Upload
semir-prasovic
View
157
Download
8
Embed Size (px)
Citation preview
Inženjerska matematika 3 Tutorijal 1:
Integralne transformacije – prvi dio
Fourierovi redovi
Primjer 1Primjer 1
• Odrediti koeficijente eksponencijalnogOdrediti koeficijente eksponencijalnog Fourierovog reda za signal:
)sin()( 0ttx ω=
RJEŠENJE:RJEŠENJE:
• Primjenimo Eulerovu formulu za sinusniPrimjenimo Eulerovu formulu za sinusni signal:
i22 ee jj θθ
θ−−
2sin
jθ =
( ) tjtjtjtj eeeetx 0000 )1(111)( ωωωω −− −=−=
• Upoređivanjem ovog izraza sa izrazom za
( )jjj 222
)(
p j gkompleksne Fourierove koeficijente,
.( ) ∑= tdkjectf )/( π ,...2,1,0 ±±=kza.( ) ∑=k
kectf ,,,
k d j d k k fi ij i
( ) ........0000 22
22110 +++++= −
−−
−tjtjtjtj ececececctf ωωωω
• Tako da je dok su koeficijenti :1±=k
c 1= c 1
= tjtj eetx 00 )1(11)( ωω −−=
• dok su svi ostali koeficijenti jednaki nuli
jc
21 = jc
21 −=− ej
ej
tx22
)( =
dok su svi ostali koeficijenti jednaki nuli.
Primjer 2Primjer 2
• Posmatrajmo periodični kvadratni talas x(t)Posmatrajmo periodični kvadratni talas x(t), prikazan na slici 1.
••• Potrebno je:
• Odrediti kompleksni Fourierov red funkcije x(t).
• Odrediti trigonometrijski Fourierov red funkcije x(t).j ( )
.
• Slika 1Slika 1.
RJEŠENJE:
• kompleksni Fourierov red funkcije x(t)kompleksni Fourierov red funkcije x(t)
• Za signal čiji je period T0 vrijedi:2π
Koristeči izraze za koeficijente kompleksnog
tjk
kk ectx 0)( ω∑= ∞±±±= ,...2,1,0kza
0
2Tπω =
eksponencijalnog Fourierovog reda
( )1∫ tjkT
( ) ,...2,1,010
00
±±== −∫ kzadtetxT
c tjkk
ω
integracija se može provesti preko bilo kog i d i l k d i l d ćperioda signala, tako da imamo sledeće:
• .
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
+= ∫ ∫ −−20
000 01
TT
tjktjkk dtedtAec ωω
⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝
∫ ∫0
20 0T
k T
⎞⎛ 0TT 2⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
−=
−=
−− 102 2
00
0
00
000Tjktjk e
TjkAT
eTjk
A ωω
ωω
( )AA0
02Tπω =
( ) ( )( )kjk
jkAe
jkA 11
21
2−−=−= −
πππ ( )kjke 1−=− π
..
• Iz izraza može se zaključiti da je:( )( )k11 −−Iz izraza može se zaključiti da je:
j
( )( )11
0,....20 ≠== mmkkc
12kA A• to jest 12 +== mk
jkA
kcπ
00 TT⎟⎞
⎜⎛
( )π12 +=
mjkc
• Dok je:2
101 2
00
2
02
0
00
000
0
00 AAdtT
dtedtAeT
cT
T
tjktj ==⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+= ∫∫ ∫ ωω
• Te je:
2 ⎠⎝( ) tmj
emj
AAtx 01212
12
)(ω
π+
∑∞
++=
mj m 122 π +−∞=
trigonometrijski Fourierov redtrigonometrijski Fourierov red
• Kako su koeficijenti definirani na sledeći načinKako su koeficijenti definirani na sledeći način
00 21 ac = 2
kkk
jbac −=
• Imamo:
2
22 00 Aca
==
0,022 ≠== mmbma
1212122 −= jbac ( )12= A
kc
[ ] 0Re2 1212 == ++ mm ca1212122 +++ = mmm jbac
[ ] ( )π122Im2 1212 +
=−= ++ mAcb mm
( )π12 +mjk
• Imajući u vidu da je ( ) ( ) .sincos21
10 ∑
∞
=++=
nnn tnbtnaatf ωω
( ) tmm
AAtx 012sin12
122
)( ωπ
+∑∞
++=
m m 00 122 π = +
⎟⎞
⎜⎛
++++ 5i13i1i2)( tttAAt ⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝++++= ......
05sin
503sin
30sin
2)( ttttx ωωω
π
Ili drugi načinIli drugi način( ) ,
22 0
0 AATT
dttfab
=== ∫ ππ
πω
. 20Ta ππ
( ) ( ) 0sin........)cos( ==== ∫ πωπω mdttmtfa
b
am
( ) .)sin(∫=b
am dttmtfb ω
πω
( ).0coscos2)2sin(
20
20
0
+−== ∫ πππ
mTdttmATbT
m ( )2
)(00 0
∫ ππ mTTm
( )( ) ,......3,2,1,0.......111=−−= m
mb m
m πm π
.( ) ( ) .sincos10 ∑
∞
++= nn tnbtnaatf ωω.
• za m=2m (1‐(‐1)m)=0 te je b2 =0
( ) ( )2 1
0 ∑=n
nnf
za m=2m (1 ( 1) )=0 te je b2m=0
• tako da možemo pisati 21
( ) ( ) ,......3,2,1,0.......12
2212
112 =
+=
+=+ m
mmb m ππ
( ) tmAAtx 012sin12
122
)( ω+∑∞
+= ( )m m 00 122 π∑= +
Primjer 3Primjer 3
• Razmotrimo periodični impuls prikazan( )tTδRazmotrimo periodični impuls , prikazan na Slici 2, koji je definisan sa:
( )tT0δ
( ) ( )∑∞
−∞=−=
kT kTtt 00
δδ
• Izračunajte kompleksni Fourierov red.j p
Slika 2Slika 2.
RJEŠENJE:RJEŠENJE:
• kompleksni Fourierov red je dat izrazomkompleksni Fourierov red je dat izrazom
02)( 0
0 Tect tjk
kTπωδ ω == ∑
∞
• Koeficijente Ck izračunavamo na sledeći način:0
0 Tk −∞=
( ) ,...2,1,010
0
±±== −∫ kzadtetxT
c tjkT
kω
00T
. ( ) .11 20
0
Tdtet
Tc tjk
T
k == −∫ ωδ.
• rješenje proizilazi iz svojstava Diracove delta
020 0 TT T−
rješenje proizilazi iz svojstava Diracove delta funkcije a to su:( ) ,0 ∞→δ Integral delta funkcije preko intervala( )
( ) 1
,0,0)(,
dtt
tt
=
≠=
∫∞+δ
δIntegral delta funkcije preko intervala koji uključuje nulu daje kao rezultat 1 (jedinicu) ili ako se množi sa nekim signalom daje taj isti signal.( )
( ) ( ).
,1
tt
dtt
−=
∫∞−
δδ
δ
1( ) ( ) ∑∑∞
−∞=
∞
−∞==−=
k
tjk
kT e
TkTtt 0
0
00
1 ωδδ
Fourierova transformacijaPrimjer 4
• Pronađite Fourierovu transformacijuPronađite Fourierovu transformaciju pravougaonog impulsa x(t) sl.3., definisanog sa:sa:
P d fi i iji j• Prema definiciji je:
Slika 3.
•
Matlab kodMatlab kod
• syms t % definiramo simboličku varijablu ty j• figure(1)• ezplot(sin(t)) % crtamo kontinuirani signal sin(t)• figure(2)• stem(sin([0:30])) % crtamo 31 uzorak diskretnog
i lsignala• figure(3)• a=2;omega1=1;• a=2;omega1=1;• ezplot(2*sin(omega1*t*a)/(omega1*t)) %Slika 3 –naš primjerp j
Naš primjerNaš primjer
• 4
2 sin(2 t)/t
2 5
3
3.5
1.5
2
2.5
0
0.5
1
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1
-0.5
tt
Primjer 5Primjer 5
• Potrebno je nači Fourierovu transformacijuPotrebno je nači Fourierovu transformaciju signala:
• Signal x(t) možemo napisati kao:
te slijedi: ( ) ,...2,1,0)/( ±±== −∫ kzadtetfc tdkjd
kπ
j
•
( )−∫d
k
Matlab kodMatlab kod
• clear allclear all
• syms t T0 k a % varijable
fi ( )• figure(1)
• a=2
• ezplot(2*a/(a^2+t^2),[‐10,10])
4/(4+t2)
0.9
1
0 6
0.7
0.8
0.4
0.5
0.6
0.2
0.3
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
0
0.1
t
•0.9
1
exp(2 t)
0.9
1
exp(-2 t)
MATLAB kodclear allsyms t T0 omega a % potrebne
ij bl 0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
varijablei1=int(exp(a*t)*exp(‐j*omega*t),‐inf,0) % integracijapretty(simplify(i1))i2=int(exp(‐a*t)*exp(‐
-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0
0.1
t0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.1
t
1/(2+ω i)+1/(2-ω i)i2 int(exp( a t) exp(j*omega*t),0,inf) % integracijapretty(simplify(i2))ii=i1+i2pretty(simplify(ii)) 0.8
0.9
1
1/(2+ω i)+1/(2 ω i)
a=2figure(1)ezplot(exp(a*t),[‐1,0])
( )0.4
0.5
0.6
0.7
figure(2)ezplot(exp(‐a*t),[0,1])figure(3)ezplot(1/(a+j*omega)+1/(a‐j*omega))
-6 -4 -2 0 2 4 60
0.1
0.2
0.3
6 4 2 0 2 4 6ω
Primjer 6Primjer 6
• Koristeči teorem vemenske konvolucije nađiteKoristeči teorem vemenske konvolucije, nađite inverznu Fourierovu transformaciju izraza:
1)(ωX =
• Primjenimo izraz iz tabela transformacije,( )2)(
ωω
jaX
+=
1
• nad funkcijom:ωja
tue at
+↔− 1)(
j
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=+
=ωωω
ωjajaja
X 111)( 2( ) ⎠⎝⎠⎝ jjj
Primjenimo operaciju konvolucije koja ja d fi idefinisana sa:
∞{ } τττωω dtfftftftfjFjF )()()(*)()()()( 12121
1 −===ℑ ∫∞
∞−
−
( )ττ taaatat∞
∫ ( ) τττ ττ dtueuetuetuetx taaatat )()()(*)()( −== −−
∞−
−−− ∫( ) τττττ dtuueetx aat )()()( −= ∫
∞−−−
• Iskoristimo činjenicu da je
τττ dtuueetx )()()( ∫∞− +∞<<∞− t
Iskoristimo činjenicu da jetzatuitzatojesttzatu ≤=−><−=− τττττ ..1)(.......0)....(,....0)(
0..1)(...0....,....0)( ≥=<= ττττ zauizau )(,)(
tako da imamo granice untegtacije od 0 do t, a i di blikizraz svodimo na oblik
•
)()( d att
at −− ∫ )()(0
tutedetx atat == ∫ τ
•MATLAB kodclear all
syms t T0 k a om % varijable
1/(a+i w)2 = 0
6
syms t
gg=fourier(t*exp(‐a*t)*heaviside(t)) %Furierova transformacija
figure(1)
2
4
%a=2
gf=ifourier(gg)
ezplot(gg,[‐10,10])
w4
-2
0
gg =
1/(a+i*w)^2
gf =a
-6 -4 -2 0 2 4 6-6
-4
gf =
1/2*exp(‐a*x)*x*(2*heaviside(x)‐1+signum(0,Re(a),0))