Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Procesy Cieplne. Wymiana Ciepła – Pojęcia

podstawowe c. d.



Przenikanie ciepła przez ściankę cylindryczną:

d1

d2

qq α1

α1

Tw1

Tf1

Tw1

Tf

2

Rozpatrzmy jednorodną ściankę cylindrycznązbudowaną z materiału o stałej wartościwspółczynnika przewodzenia ciepła λ.Dane są temperatury przepływających czynników Tf1 i Tf2 oraz współczynniki wnikania ciepła po obu stronach ściankiα1 α2



d1

d2

qq α1

α2

Tw1

Tf1

Tw1

Tf

2

W warunkach ustalonego ruchu ciepła:

1111 wfh TTLdQ 1) wnikanie ciepła wewnątrz przewodu:

powierzchnia wymiany ciepła

1

2

21

ln2

ddTT

LQ wwh

2) przewodzenie ciepła w ściance:

wnikanie ciepła na zewnątrz przewodu:

2222 fwh TTLdQ

1 2 3



Przekształcając:

1111

wfh TT

LdQ

211

2ln21

wwh TT

dd

LQ

2222

fwh TT

Ld

Q sumując stronami:

21221

2

11

1ln

2111

ffh TT

ddd

dL

Q



221

2

11

21

1ln

211

ddd

d

TT

L

Q ffh

221

2

11

1ln

211

1

ddd

d

kL

21 ffLh TTkLQ [ W / m ]



221

2

11

1ln

211

1

ddd

d

kL

liniowy współczynnik przenikania ciepła

Charakteryzuje on intensywność ruchu ciepła od jednego ośrodka do drugiego przezrozdzielającą te ośrodki ściankę cylindryczną. Liczbowo jest on równy ilości ciepłaprzechodzącego przez ściankę o grubości 1 m w jednostce czasu i przy jednostkowejróżnicy temperatur.

Wielkość odwrotną do liniowego współczynnika przenikania ciepła nazywamyliniowym oporem cieplnym

221

2

11

1ln

2111

ddd

dkR

LL

[ m * K / W ]

[ W / m * K ]



221

2

11

1ln

2111

ddd

dkR

LL

1

11

1 LRd

2

22

1 LRd

opory cieplne wnikania ciepła

LRdd

1

2ln21

opór cieplny przewodzenia ciepła w ściance

LLLL RRRR 21

Z równań wynika, że liniowe opory cieplnedla rury zależą od wartości współczynnikówwnikania α1 α2, materiału z którego zbudowanajest rura (λ) i od średnic d1 i d2



Przy odniesieniu strumienia cieplnego do wewnętrznej lub zewnętrznej powierzchniścianki cylindrycznej otrzymamy obciążenie cieplne

2111

1 ffLh TTdk

LdQ

q

[ W / m2 ]

2122

2 ffLh TTdk

LdQ

q

można to również zapisać:

2111 ff TTkq

2122 ff TTkq 11 d

kk Lgdzie:

22 d

kk L [ W / m2 * K ]



Powyższy zapis pozwala sformułować zależności między współczynnikami przenikania ciepła przy odniesieniu strumienia cieplnego do jednostki długościrury i do jednostki powierzchni:

2211 dkdkkL

przy czym:

22

1

1

21

1

1

ln2

11

dd

ddd

k

21

22

11

22 1

ln2

1

ddd

dd

k

[ W / m2 * K ]



W wielu praktycznych przypadkach grubość ścianki cylindrycznej jest mała w porównaniu ze średnicą. Wykorzystujemy wówczas do obliczeń równania uproszczone:

Wielkość ln ( d2 / d1 ) można rozłożyć w szereg:

...121

1ln2

1

2

1

2

1

2

dd

dd

dd

Szereg taki dla wartości stosunku d2 /d1 1 jest szybko zbieżny i z dostatecznym przybliżeniem można się wówczas ograniczyć do pierwszego wyrazu szeregu:

11

12

1

2

1

2 21ln

dddd

dd

dd

grubość ścianki, m



Podstawiając to do równania na k1 :

21

`

111

k

równanie to jest identyczne jak na współczynnik przenikania ciepła k dla ściankipłaskiej.

[ W / m2 * K ]

Dla rur o cienkich ściankach do obliczeń praktycznych można stosować równanie:

21`

ffxh TTLdkQ dla

12 2dd x 21

21 1dd x 2

21 ddd x



Cylindryczna ścianka wielowarstwowa

λ1 λ2 λ3

r1r2

r4

r2

Tw1

Tw2

Tw3

Tw4

Rura pokryta izolacją jest przykładem ściankiwielowarstwowej.

Stosując równanie dla pojedynczej ściankicylindrycznej

1

2

21

ln2

rrTT

LQ wwh

w stanie ustalonym możemy zapisać



3

4

433

2

3

322

1

2

211

ln2

ln2

ln2

rrTT

rrTT

rrTT

LQ wwwwwwh

Wykorzystując koncepcję oporów cieplnych i eliminując temperatury Tw2 i Tw3

3

3

4

2

2

3

1

1

2

41

2

ln

2

ln

2

ln

rr

r

r

rr

TTLQ wwh



A dla ścianki zawierającej n warstw:

n

i i

i

i

nwwh

r

r

TT

L

Q

1

1

11

2

ln

W przypadku gdy znany jest strumień cieplny Qh / L wówczas z równań naprzewodzenie ciepła przez poszczególne warstwy można wyznaczyć temperaturypomiędzy warstwami Tw2, Tw3, …, Tw(k+1)



1

2

112 ln

21

dd

L

QTT hww

2

3

21

2

113 ln

21

ln211

dd

dd

LQ

TT hww

n

i i

i

i

hwkw d

d

L

QTT

1

111 ln

211



Przenikanie przez ściankę cylindryczną wielowarstwową opisuje równanie:

n

i ni

i

i

ffh

dd

d

d

TT

L

Q

1 12

1

11

21

1ln

211

W zastosowaniach praktycznych często zależy nam na zwiększeniu oporu przenikaniaciepła przez ściankę rury. Dlatego rurociągi pokrywa się warstwą materiału o małej wartości współczynnika przewodzenia ciepła. Mówimy wówczas o izolacji przewodu.



Rozpatrzmy przypadek rury z izolacją λ. Straty cieplne od rury izolowanej do otoczenia można obliczyć z równania:

d1

dz

qTw

Tf

α2

λ

z

z

fwh

ddd

TT

LQ

21

1ln

21

eL

fwh

R

TT

LQ

opór cieplny



Strumień cieplny będzie maksymalny wówczas, gdy mianownik równania będzieminimalny. To znaczy gdy opór cieplny osiągnie wartość minimalną. Tę wartośćmożna wyznaczyć obliczając pochodną oporu cieplnego względem średnicy dz i przyrównując otrzymany wynik do 0:

2221

12

11ln

21

zzz

z

zz

eL

ddddd

ddd

dddR

01

21

22

zzz

eL

dddd

dR

zkrz dd 2

2



Druga pochodna 02

2

z

eL

dd

Rd dla dz równego dzkr a więc krytyczna średnicajest średnicą dla której straty cieplne są maksymalne.

Stąd nasuwa się wniosek że straty cieplne od rury do otoczenia mogą być zwiększoneprzez zwiększenie warstwy izolacyjnej , jeżeli średnica krytyczna jest większa niżśrednica rury bez izolacji.

Qh/L

dzd dkr d*

sytuacja ta występuje tylko dla małych rur lub drutówo małe średnicy

dopiero izolacja o grubości większej niż (d* - d) / 2 powoduje spadek strat ciepła.



Podstawy ruchu ciepła przez wnikanie

Dotychczas nasz uwaga skupiona była na procesie przewodzenia ciepła w ciałach stałych. Wnikanie ciepła było głownie rozpatrywane jako pewien rodzaj warunków brzegowych w zastosowaniu do powierzchni ciała przewodzącego ciepło. Współczynnik wnikania ciepła α definiowany był prawem Newtona i przyjmowanyjako wielkość znana.

Rozpatrzymy teraz szczegółowo proces wnikania ciepła w płynach i metodywyznaczania wartości współczynników wnikania ciepła.

Wnikanie ciepła obejmuje przewodzenie ciepła w warstewce płynu przylegającej do powierzchni wymiany oraz konwekcję w głównej masie płynu.



Przez konwekcję rozumiemy transport energii w płynie głównie w wyniku ruchu samego płynu. Proces przewodzenia energii przez wymianę cząsteczkową występuje nadal, ale główny ruch energii zachodzi na skutek kontaktu elementów płynu o większej energii z obszarem o mniejszej energii, kontakt ten następuje w wyniku ruchu pakietów płynu ( mieszanie)

W przypadku gdy ruch elementów płynu spowodowany jest przez siły zewnętrznemechanizm taki nazywamy konwekcją wymuszoną

Kiedy nie występują siły zewnętrzne w płynie, jego ruch zachodzi wówczas w wynikuróżnic gęstości. Występujący w takich warunkach ruch ciepła nazywamy konwekcją swobodną



Wyznaczenie wartości współczynników wnikania może być przeprowadzonemetodą analityczną. Obejmuje ona poszukiwanie rozkładu temperatur w płynieotaczającym ciało. Ruch płynu w bezpośrednim sąsiedztwie powierzchni jest laminarny i wówczas strumień cieplny od powierzchni musi być szacowanyna podstawie gradientu temperatury płynu na powierzchni.

powierzchnia ciała

przepływ płynu

Tw

Tf

wnT

Współczynnik wnikania może być definiowanyjako stosunek gęstości strumienia cieplnegodo różnicy między temperaturą powierzchnia temperaturą płynu:

wf

w

TTdndT



Wyznaczenie wartości α metodą analityczną opisaną powyżej jest bardzo złożone

Ponieważ proces wnikania ciepła obejmuje również przewodzenie ciepła w cienkiejwarstwie przy powierzchni ciała, można tu zastosować równanie Fouriera:

0

nnT

q normalna do powierzchni ciała

Poza wymienioną warstewką ruch ciepła można opisać równaniem Newtona:

fw TTq

porównując:

0

nfw nT

TT



Wprowadzając oznaczenie:fTT

0

yw dyd

dla układu dwuwymiarowego x, y

Równanie tego typu opisuje ruch ciepła na granicy ciała dla y = 0. W przypadku gdyinteresuje nas tylko hydrodynamika układu, do pełnego opisu przepływu płynu, należy dysponować składowymi prędkości Ux i Uy oraz ciśnieniem p dla każdego punktu. Równanie ciągłości oraz równanie Naviera – Stokesa wystarczają doznalezienia wymienionych niewiadomych. Podczas rozpatrywania zagadnień ruchu ciepła przez wnikanie należy również wyznaczyć temperaturę T w każdym punkciepola przepływu. Potrzebne jest zatem dodatkowe równanie podstawowe.

Równaniem tym jest równanie różniczkowe wnikania ciepła zwane równaniem energii



Przyjmijmy następujące założenia: płyn jest nieściśliwy i jednorodny, nie występująwewnętrzne źródła ciepła, ciepło wydzielane w płynie w wyniku tarcia może byćzaniedbane oraz ciepło dostarczane do elementu płynu zużywane jest jedynie nazmianę entalpii.

X1

X2

X3

z

x

y

dQx

dQx+dx

dQy

dQy+dy

dQz

dQz+dz

Rozpatrzmy elementarny prostopadłościano wymiarach dx, dy, dz przyjmując, że płynma stałe parametry λ, cp, ρ.

BILANS CIEPLNY ELEMNTU PŁYNU



X1

X2

X3

z

x

y

dQx

dQx+dx

dQy

dQy+dy

dQz

dQz+dz

Ilość ciepła dostarczona do prostopadłościanu wzdłuż osi x w jednostkowym czasie dtwynosi:

dtdzdyqdQ xx Ilość ciepła opuszczająca element w kierunku x:

dtdzdyqdQ dxxdxx

dtdzdydxx

qqdQ x

dxxdxx



Różnica pomiędzy ciepłem dopływającym a odpływającym w kierunku x :

dtdVxq

dtdzdydxxq

dQdQ xxdxxx

podobnie dla pozostałych kierunków:

dtdVy

qdtdzdydx

y

qdQdQ yy

dyyy

dtdVzq

dtdzdydxzq

dQdQ zzdzzz



Stąd całkowita ilość ciepła dostarczona do elementu wyniesie:

dtdVzq

y

q

xq

dQ zyx

Zgodnie z założeniem całe to ciepło zużywane jest na zmianę entalpii:

Tci p

dtdVtT

cdtdVti

dQ p

przyjmując:



Przyrównując oba równania:

zq

y

q

xq

tT

c zyxp

lub:

qdivtT

cp



Wyznaczmy wartość gęstości strumienia cieplnego qx. Ciepło przenoszone jest wpłynie zarówno przez konwekcję jak i przewodzenie:

niexprzewodzexkonwekcjax qqq

xT

q niexprzewodze [ J / m2 * s ]

jeżeli przyjmiemy ux jako składową wektora prędkości na kierunku x i iloczynρux [ kg/m2*s ] jako gęstość strumienia masy ( na jednostkę powierzchni normalnejdo kierunku przepływu ) wówczas:

Tucq xpxkonwekcja



Sumując:

xT

Tucq xpx

Podobnie dla osi y i z:

yT

Tucq ypy

zT

Tucq zpz



różniczkując otrzymujemy:

2

2

xT

x

uT

xT

ucx

q xxp

x

2

2

yT

y

uT

yT

ucy

q yyp

y

2

2

zT

zu

TzT

uczq z

zpz

sumując:



zu

y

u

x

uTc

zT

uyT

uxT

uczT

yT

xT

tT

c zyxpzyxpp 2

2

2

2

2

2

dla cieczy nieściśliwych:

0

zu

y

u

x

u zyx

2

2

2

2

2

2

zT

yT

xT

czT

uyT

uxT

utT

pzyx

Jest to równanie energii opisujące rozkład temperatury w poruszającymsię płynie.



Korzystając z definicji pochodnej wędrownej:

zT

uyT

uxT

utT

DtDT

zyx

pc

adyfuzyjności cieplnej:

i wprowadzając operator Laplacea równanie energii przyjmuje postać:

TaDtDT 2



W przypadku gdy nie ma przepływu płynu u = 0 to równanie sprowadza się doróżniczkowego równania przewodzenia ciepła:

TatT 2

Uwzględniając w wyprowadzeniu szybkość z którą energia mechaniczna jest rozpraszana w energią cieplną pod działaniem sił lepkości ( dyssypacja energii)równanie przyjmuje postać dla układu dwuwymiarowego x, y:

222

2

2

2

2

22x

u

y

u

y

u

x

u

cyT

xT

cyT

uxT

utT yxyx

ppyx



Parametry podobieństwa w ruchu ciepła:

W odniesieniu do ruchu ciepła parametry podobieństwa procesu mogą być utworzonena podstawie dyskusji równań różniczkowych : ciągłości , ruchu i energii.

Rozważmy przypadek ustalonego ruchu ciepła podczas przepływu płynu otemperaturze Tf nad powierzchnią ciała o temperaturze Tw.

W takim przypadku w układzie pojawią się siły masowe będące wynikiem unoszenia. Jeżeli obierzemy sobie kierunek x zgodnie z kierunkiem wektora ciążenia, w równaniuNaviera – Stokesa siły masowe w kierunku y będą równe 0 a w kierunku x :

fx TTgF

współczynnik rozszerzalności objętościowej

w tych warunkach równania podstawowe przyjmują postać:



0

y

u

x

u yx

fxxxy

xx TTg

yu

xu

xp

yu

uxu

u

2

2

21

fyyyy

yx TTg

y

u

x

u

yp

y

uu

x

uu

2

2

21

222

2

2

2

2

22x

u

yu

y

u

xu

yT

xT

cyT

uxT

u yxyx

pyx



Równania te mogą być przekształcone do postaci bezwymiarowych przez wybórpewnych wielkości charakterystycznych, takich jak długość l, prędkość u0 i różnicatemperatur ΔT = Tw – Tf oraz zdefiniowanie następujących zmiennych bezwymiarowych:

lx

X ly

Y 0u

uu xX

0u

uu yY

fw

f

TT

TT

202

1u

p

Wprowadzając do równań otrzymujemy:



0

Yu

Xu YX

2

0

2

2

2

021

u

TTlg

Yu

Xu

luXYu

uXu

u fwXXXY

XX

2

2

2

2

021

Yu

Xu

luYYu

uXu

u YYYY

YX

22220

2

2

2

20 22

Xu

Yu

Yu

Xu

TTu

YXYu

Xu

lucYXYX

fwYX

p

Pojawiają się cztery grupy bezwymiarowe



Rozwiązanie powyższych równań względem temperatury bezwymiarowej może być przedstawione za pomocą zależności funkcyjnej:

luc

Tu

uTg

luYXf p 0

20

200

,,,,,

te cztery grupy bezwymiarowe mogą być wykorzystywane jako parametry podobieństwa procesów. Zależność funkcyjna przedstawiana jest często w postaci:

p

p

c

TcuTlglu

YXf ,,,,,20

2

30



Tak więc otrzymane grupy bezwymiarowe są parametrami podobieństwa dla ogólnegoprzypadku opływu powierzchni ogrzewanej przez ciecz lepką przy czym:

2

3

Tlg

Gr liczba Grashofa

Tcu

Ecp

20

liczba Eckerta

pcPr liczba Prandtla

lu 0Re liczba Reynoldsa



Tak więc bezwymiarowa temperatura :

Pr,,Re,,, EcGrYXf

Do otrzymania wartości współczynnika wnikania ciepła wykorzystuje się zależność:

0

nfw nT

TT

wprowadzając zmienne bezwymiarowe:

wNl

fw

f

TT

TT

lnN



lub po przekształceniu :

wNl

pojawia się jeszcze jedna grupa bezwymiarowa

l

Nu liczba Nusselta

jest to liczba bezwymiarowa o istotnym znaczeniu w ruchu ciepła.



biorąc pod uwagę :

wNl

Nu

Pr,,Re,,, EcGrYXforaz

możemy zapisać zależność funkcyjną postaci:

Pr,,Re,,, EcGrYXfNu

zależność ta pozwala nam wyznaczyć współczynniki wnikania ciepła w układzie.



W szczególnych przypadkach równanie to może być wykorzystywane w uproszczonejpostaci:

W zastosowaniu do konwekcji wymuszonej zaniedbuje się często wpływ sił unoszenia:

Pr,Re,EcfNu

lub zaniedbując efekty lepkiej dyssypacji energii:

PrRe,fNu

W zastosowaniu do konwekcji swobodnej pomija się liczbę Reynoldsa:

Pr,GrfNu

Documents

Inżynieria Chemiczna i Procesowa