Ionel Narita - Logica Simbolica

8/20/2019 Ionel Narita - Logica Simbolica

1/176


2/176

Descrieea CIP a Biblioteci Naţonale a RomâneNARIŢ , IONEL

Logica sibolcă Ionel Nariţa. - Tmişoaa:Edtua de Vest, 2010

ISB 978-93-36052-8

64

BN 9789708

© 00 DUA D V ŞOARAţ f Gg ROÂNA


3/176

ONEL NARTA

LOGICA SIMBOLICA

U Vş


4/176

LMBJL SMBOLC

Limbaje simboice fac pae din catgoria mbajeoricial Spr deosbire d imbaje naurae ca sauconstiut n na unor pocese sociae compexe mbajeeticiae au fos cae cu un anumi scp av un sa

ma muţi aui Lmaje simce a fs scopu de a depăşi nee " neajunsu

" a mbajuui naracum a caracte ambguu sau impecis al expresior sae.iţiatori limbajr simbic au considerat că imbaju

naua nu st poivi pentru xpma opraile gândirire dimpotrvă sar caactrza prin pcze ş nvoctae

mbju nara păra ca impropru ndosb pn aexprima enunţule matemaicii; d acea imbajesimbolic sau consiui n principa pntru a sevi scopuiormatemacii penru a ofri un mioc de xprma saclaicar a nnţior maematice ş a opraţio asupaacsra

Sp desebe d imbaju nara care conţne numaexpresii constante limbaje smboice conin xpresivrb Expresie cnstan supoă relatv a un conextat o singuă ntepreare n vreme ce expresiie variabe

p prim intpetăi difee. Pe câă vreme expresieimbajuu comun sun nepretate pe domnii exterebajuui exprsiile lmajr smboice sun npetat

prin at caegrii de psii cum sunt coarrv Dinre npreăle psie ae expresirunui imbaj simboic se rmrcă nprtarea pn exprsiemajuui natra utmă istaă imbaje smbice au

5


5/176

os conse pen cil cercee or fenomene dinineriorul lbului nurl Î fr une smnintepretă, lmbele simblce s-r reduce l un smplu cde smbol ce nu ve c o nlie. De cee,ecenţ limbeor smboice rebue udecă după cum

reşesc să de sem de propreăţle sncice, semnicesu logice l limbului nurl Lmbele smbolce sntdor strumene pn inemediul căror putem evdenţi cum muă cle şi precze propeăţe expreslorlmbuu nur ş operţo cu cese expes.

Un mb smboic conţne doă cego d smbolur

vbe ş consne Deosebre nre ceste ste căsmboluo vbile le putem soci nepetă derseÎnun conext dt n vreme ce smboule consne pmsco intepere deenă C toe ceste, smbolurilevbie n po pmi orce fel de inteprere c, ş cumvom vede, specru nepretălor l cre po supuseceste es mt de proprtăţi lor sntctice lf sungenere prdoxu Simbolure conse cr pţ unuilb smbolic nu rebue conndte cu consnelentepe ve pn cre p nepree expresiile unusemene lmb. Cnsntele ineprve nu pinmbuui simbolic expesle cre conţn â smboui âşi consne epeve r trrtt

Combinţile de smboluri lcăusc mulţimeexpeslor smbolice cre pot consie r-un imbsimbolc Dinre cese expres num uele nute rb ormt pn lmbulu Pin expese bne fmăsuormuă ui lmb simblc nţelegem o exprse ceese nepetă pn ppzţi dn cdl lmbulu nu.

n umre se desebesc măorele pui de expresobţnute pn combine smbolurlor dinr mbsimbolc ) expresii bne foe su fmule b) sbexpresibine fome su subfomule, cre sunt pă le e xpresii

6


6/176

cae se bucu de binfmae c exrsi care nu sunt binefmate d) subexesii care nu sunt bin formate

Simbouile nu o asimiae c ieree nui afabetMai înâ, un imba smbolic oate utiliza un numr neimitatd simbour, or alfabet ae înodeauna un nmr nt de

lre a a d, simbolurie au ntepetare autonmîn vrem ce lterle dbândsc ntereae nmai dac suntcmbinate cu ate tere frmând cuvne sau exresi maicomlexe e aceea, mbaju simbolic nu ae o foneic

Deoarec lmbajee smbolice au fost astfel constiteîncât s ntr imxtun e subecive ş s asgre eberarea

logci de pshologism acesea n a cmnenragmac Fomulele unui imba simblic se caacteeain valo car nu dind de conext adc nu deind destarea n cae se gseşte evauatorl de acea uizatorului mba simbc nu are nci o nuen asura valoixreslor acesua Am ua sune c tocma acesa estescul creri limbaelor simbolice eliminaea comonene

agmatice Pin umare, un imba smbolc se caracterzeaz nmai rn axă şi mtcă A den un lmba smbcînseamn a reciza care este snaxa şi semantca sa

Rolul sintaxei unu lba sbolic este de a deconcu de x brmtă frmuă în ace mbacâ ş de a abora metode d decize rn care s se

detemne dac o exrese a lmbajuui reseciv este bnefomat sau nu Se dosebire de mbaju nara care ae sinax semantic deschs snaxa ş semantica mbajeorsmblce ese îchă eseciv, conn un nm nt deregu Sntaxa unui lba smbolic cnine

a) ista smbourlr mtVe cae curnde

smblure nodus n lmba r eneb) sta rgulilor d bne formar cae ara cum t binue fnul bine fomae dn simbolure rmve


7/176

c lst ullo d nsfor cr conţn ulprivnd obţnr d foru dn t foul

d ls sibolurilor drivt pn c s noduc nosbolri p dnţ pond d l sboluril pritiv

od d dczi supr bin oă xprsior

C jorul cstor tod s pot dtin dcă oxprs s bin fotă înun lbj sbolc su nu

Sntic unu b sibolc prczză rull prncr xprsl sl sun intprtt pst libjul nurl rin ntdiu consntor ntrpiv, ori p ldon şi uli d ccu în vr inprtă un

foul D snic lbo sol conţn ls rulilor d ntprr sboulo

pitiv;b od d clcul nrprtări foullor

libulu sbolicc tod d sbor şi olir lbjul

sbolc

Sibolzr ş fomliz sunt opţ invrsnpării prin inrdiul căror s rc d l xprs lunui lb ocr inclusv l libjulu nurl lxprs l bjulu sbolc Exprsi oliză busă un din intprăr posbl l foulcorspunzător dn lbul sbolc

Libl sbolc nu u loc pntruuoxpun d c pnru przn coponntl libo sibolc utilză ibul ntrl, l cdăuă o sri d notţii l lntlor cr cătuiscibl sbolc

A B C sunt notţi pnru foul prin EBF notă cls xprslo bn fo su

cls fomullor;

8


8/176

3 E t raţa d apatţă4 C t laa otatlor5 Vr t laa variabor6 t rlaţa d dtaşa; A aă ă ola

A poat daşată

) rail dit ol l priă libal ata p opatri ş oto pr ş a daă at t

8 t relaţia d d9 t t rlaţa d otar 0 E t o pr oarar.

9


9/176

OOZ

Pin ogcă roozor LLp nlgm ogicaasocată lmbajl smbolc al propoţlor p car lprscrăm pn mbu rooor p Smbolivaiabi al lmbajli propozţiilor sn inprtat n

lmbajl natra pin propozţi a simboi constan snntpta pin ctor ca ansfomă na s ma mlpropozii n at propoii

Si imbuui propoiţiior

11 t mbouror rmtv

11 Lista simbolilor vaiablp q r (acsta pot pim ndic p q c. ş s

nmsc vrb rooo Vrprop1 1 Lista sbolilo constanta (simboll ngai s ctşt "non

"

b v (smboll disjncii s citşt "sa" 1 3 Lista simbolilo axiaa ( (parnz

1 Lt ruor d b ormr

Dacă E E Vrprop atnc E E EBF (oc vaiablă

propoziţionaă st fomlă n Lp

D xmp xprsii prcm p" q "p

c snt binfoma n limbajl popoziţiilor.

1 0


10/176

1 3 Lta rguor d trormr

a Dcă A E EBF atnc �A E EBF (ngaţa uniformul st fomulă în Lp

b Dacă A, B E EBF aunci AvB E EBF (dsuncţa

a două fomu st fomulă în Lp)c) Dcă A E EBF atunci (A) E EBF (o formuă pusă

înr paan rămân formuă în Lp.

D xmpu,

pvq, ,,�(pv(pv, ,, � sunt formu alLp Î schm, pv ,(pv, p �(pv) nu sun omul.

Lt mbouror drvt

a) AB df � (smboul conjuncţ, s cişt

Ş b AB -AvB (smbolu implicţ maral s

ctşt mplică A s nmş tcdt şi stcocvtu implicaţii

c) AB df -(-Av-Bv-(AvB) (smbolul chvalnţmatrial, s ctş

st chvnt cu)

1. c tctcă

Probma dcii sinacc s sabiira faptului dcăo xprs alcăuiă din simbolu al imbajuli prooţiior s formuă sau nu Exprsil Lp s împart în douăcagori fonul şi ctor Convnim să notăm catgoriafomullo prn unco au rolul ca în u apicări oor foul să gnr al fomu, d aca catgorianctoilor s drvtă. nctoi sn notţ prin acţi

avnd a numito simbolul xprsiilor căoa s aplică iar lanuărăo, cagoria xprsii ca ută pn aţiunanctoruui Dosbm urmăoa sub catgoii d ncori

1 1


11/176

a) cori moar car sun aplcaţ un xprsaat la stâna unia aa la drapta cum sun � ss

b) ucori biri car acionaă asupra a douăfoul nând o nou foul s\s/s. acascatori fac part dsjuncţa conuncţa mplicaia ş

civalna

Alorimul d dc sntactică asupra uni foul Ast ăorul

a) simbolul dn fonula A sunt îocu c

sboll catorilor dn car fac pa păsânduspaanl. S obţin xprsa Ab) asupa xprsi A s aplcă uătoal rul d

calcul asmnătoar calcululu cu rci

RI sss s sss s

R3 sssss sR4 (s) s

c) s fctuaă calculul în A potv ullor RIR4 tinându sama d simbolul auxilar

d) dacă s obţin aunc A st foulă alt caz Anu st foulă

D xmplu să dcdm asupra xp A ( �(()v )v( ( �p )

A l (s/s((s/s s)s\s/s.s)). s\s/s ((s/ss) s\s/ss)

AI

(s/s (ss\s/s s)).ss/s .(sss/s s)

(s/s(s))s\s/s.(s) (s)ss/s(s) ss\s/ss s.

A 1 st foulă a Lp.

1


12/176

2 Sem mbjuu popoţor

. 1 . erprearea că

Folele lbaj propoiţlor st terpretate

og ajtl a doă ostate iterpreatie otate pri şi Aestea st pse orespodeţă alorle de adeăr astel = adeărat = as

1 . 1 rrara ogcă a mbouror d

Regie de tepretae st ătoarele

aiablee propoiţoae st terpretate logi pri ostatee şi adiă pe lţiea alorlor de adeăr V = Sstel alătt di aiabile are terpretări Iată terpretăile i siste alătit ditr sgă ariabilă şi a sste ops di doă ariable

a) erpretarea ogiă a i sste oat dir sgră aiablă

Inerpreăr p

b) terpretarea logiă a siste alătit di dă aiabie

Inerpreăr

p

1 3


13/176

RI Smbolul constant unt intrpra prinfu aăr ncţil d adăr a ca doniu dfrtput al mlţmi valorilor d adv Y = {, }, şi pcoomniu mulţima valorilo d advă. rn uarncţil d dvăr sun ncţi d foma ( yn y

a nrprara logică a ngaţii gaţia stintrprată prino ncţ d advăr c n sngr argmn, : y � Y conform tablului urmăor

Inerpreări

p

Obsrvăm că ngaţa schimbă intrprtara logcă a varabili la car s aplică

b nrpara ogic a duncţ Consanadsncţii s ntrpraă logc pntro ncţi d advăr cudouă argmnt, rspctv v: y2 � y, dată d ablul

Inereări

p

pvq

T

T

Disncţia s inaă prin fals na dacă mbimn ai dsuncţii au inrpraa fals schmb, dacăc puţin nul dintr ni ar ntrprara advărat

tunci dsuncţia n ansablu ar, a f ntrprtaraaăra


14/176

1 Inrprtara lgcă a n frml a lmall

Utzând ul d rprtar a smbolurorprmtv a lmbaulu propozţlor s poat calcla

trprtara orcr fomu a Lp car coţ u umr d smbo alculul trprtr u foul Auaz umor paş

a smbour drva d fomula A sut xprmatcu auoru smbourlo prmv

b s stablsc trpr ssmulu d vablcoţu d fomla Ac pu car tprtar a sstmulu vaab

s sablsc trprtrl subfomllor fomul A pâ sau la rprl corspunztoar al foul da

D pld s sablm car su trprrl fomul A

p&q.

a A pv b trprr formul A sunt dat d urmtorul

tab

Iner�reăr 3 2 T q T

p T T

pv �q T T

pv T

1


15/176

Constatăm că nrpraa st o ncţ d advăr ca avaloaa aăra numa n caul n ca amb tmn aconncţ au nrprtara aăa Conuncţa la fl cngaţa ş dsncţa s nrprtată logc prinro ncţ dadvăr Cllalt smbolu drva al Lp accă la rândul

o p ntpări uoal ncţi d advă d câtdouă agmn

Ier reă T T - - q T T

p q - TP q T - T

D fap oric formulă a Lp a ca nrpar logcă o

ncţ d avă otal xstă ( ncţ d advă d nagmn spcv paru ncţ d un argmnt ş 16

ncţ d advăr cu două agmnt tc. Iată tabllncţor d advăr cu un argmnt ş c două agmnt

Ie reă T -

Contadcţia - -

Ngaţia - TAmaţa -

auologa T T

Ie reăr

- - - -

conadcţa - - xcuuna T

1 6


16/176

areplcaţa 1 T 1 gaea i p T ampcaţi 1 ega lu q 1 T T

dsjcţia exlusvă T compatibatea 1 T T T

ojuce T 1 echvalţă 1 T

marea q 1 impliaţa

armarea p T 1 epaţa T T dsjucţa T T T taooga T T T

Deş sut 1 6 cţ de adevăr de două argete par de ele depd doar de u r armet.

1 3 Exrmaranclr aăr

cţe de adevăr poae exprimată p prfomule diferte De piă ţa mlca marală poae expraă pri fomle pecm

" pq"; ,,pv ";

-(P& " etc Per a exprima o cţe de adevăr F(PI, P, p se poedează felul uător

a) e erprearea I a sstemuui variabie popoţoae . Se alcăteş cojcţa A k =& leP corepăoare erpreări Ik e repreă

aaa dacă erpretarea varabilei P ese şi egaia dacă ar prarea 1 b rmula care exprmă cţa F este dsjcţa

Vk( eAk) d S!ţ_a:m� dacă F e valoarea pers>;'· re'h}"�:\


17/176

iterprearea Ik ş negaţa daă valoarea cţe ese � pent inepreara corespuzătoare a variabilelor Pi.

De exeplu, să sabl oula coespuzătoare ţe plcaţie aeriale

A = p& q A = p& A & q A &� q. = ( & )v�( &�q)v(& )v( &�

Deoaece aeeş ncţ de adevăr oae expraă uzd sbou diere uee cobiaţii de sibour

c st {, } {� &} sa � sn see per a exria oce ncţie de adevăr u uul sa doă argeneMai ult estă siburi, ese e al exczn /2� p/ q (pv ) care peri epriarea orcăre cţi de aevăr

22 erprearea aura

Pri inerpreare naurală epresiile lbajlu propozţlor su puse în orespondenţă cu expresi ale libalu atural respecv, oee s nerpreae nata prin prpţ adcă, prn expesi ae lbajului naural e au valoare de adevăr Aces pnp condce la

uăoele egul d inerpreare naturală

a) varablele popozionale sun inerpreae prinprpţ spl

b) cntantele su ierpeae p nctori careansomă popzţiile în alte prooziţi anue pr ncri

ărora le orespud ncţii de adevăr. Regulle de nerpeae natrală a constantelor Lp sun uăoareleR Ngaţa, � ese nerpreată pn epresa nu" Dncţa (v, prieşe nerprearea

" sa"

1 8


18/176

R3 Cnjncţa, (&) are nterprearea atrală" şi"

R Implcaţa marală ( este rpretaă ibaul naural pin

" dacă. atni "

R Echalnţa matrală (= e iterpretarea " es

evaen cu"

De xmp formua " p& q" adme terpretarea

a) p =" plouă" q " oh a dschis umbrela

" b)

"Plouă ş Joh nu a scis umbrela"

peaa versă pr care propoziile imbauui natral sn pezenae pin fomue ale unui limba simbol se numeş fralzar Fomalizaea uilizează regule de smlar pr ca xpresiilor lmbalui natura le sunt puse orespondeă exrsii a imbaului simbolic cazul imbalui propoiiilor regulile de simblare un măarele

a) propoziile sun smbolizate pn variabile propoziioae

b) ctoi propoziional sun simbolizai p simbou nsante poiv regulior

R Fnctor negaie cum sun " nu" " " ec sunt simboliza pr constanta negaie �

Functori disuncivi de pldă sau " ori . . " e, su simbolizai prin disunci (v)

R3. Funcoi couniv de empu" şi" sun

asoca cu smbolul conuiei (&).

R4 Functoii condiionali " daă. . . auni ." " impică " et su simblizai pin implicaa marală ().

1 9


19/176

R Funcoi e echivalţă acă şi na acă . .

anc . . . es echvaln c e sn sblzaţi pr echivaleţ aeraă (=)

Foazaea parcuge uăori paş

a) propoţia aă ese analizaă în propoziţ coponente şi ncor propoţionali

b) propoziţiile coponene sun sbolizae pin variabile prpziţonale opoziţile snce sun sboli z in vb stice;

co prpoziţional sun sibolizai în ncţ e rolul juca n propozţia aă cofo regllor anrioare; ) sbolurle obţiut pn sibolzare sunt aranjate

îun şir corespnzăor loclui ocupat propoziţa ată e epesile sibolzae;

e) l car sbepresile se eeină îne ele ese evieţa prn sibolur alare acesa ebie să corespună eenăror i propoiţia fazaă

Problea oali zăii unei propozţi are ere solţi ncţie e oul în care ese analiaă propoţa şi e cote. De eeplu să foaliă propoţia

Dacă

oh a eschs ubrela anci plouă sa soarele es prea

puec

a) proozţi copone h a escs brea

Pouă;

Soarele ese prea puic ncori propozţonal

ac . . anci . ;

sau

b pr sbolzare s ajunge la h a schs

brela p; Pouă q; Soele ese prea puec = r; acă. anci . = ;

sau v

c) expresa la care se auge în ua sibliării es

Pq v0


20/176

d cu autor smbolurilor auxlare se dică raporie dre subexpresii, deosebiduse două ariante r p qr Seectarea ariatei de rmalze depine de contex

Î e nterpeae şi foalizae există ăol apr:

a pri nterpeaea ei formue A se obţn propoi a căror fomalzare este formua A

b pri oalzarea e propoziţ se obţne o mă re este epreabilă prin propoiţia

o ooţ

3 1 alrl lc al frllr Lp

Î n ncţie de inerpreare o foulă a limbajului popoziţiil poae aea umăoarele alori logce

a fomula A se neşte ală dacă şi ua daă pe orie nepreare a ariabler ae num erpreea aăra Foulelr ale le corepd nţ auologice de difee argee De exemplu ormula

este aldă

b frmua A se meşe ralablă dacă ş numai

acă exsă terpreări ae aiabileor sale pentr care A e neprearea aărat ş toodaă există nterpretări per care A admie erprearea fals Boară frmula " p ese realzablă deoarece pentr 13 2 ş Il e iterpretaraavăra ar pe 10 are inerprearea

c orma A se numeşte ralablă dacă şi numai

dacă admte numai interprearea fal Din aceasă categre ace parte oua" p&p"

1


21/176

Clasa ttro folelor vade di p oie lgicalimbali imblic al prpiiilr sau mai simplu lgicaprpiiilr De aceea foulele va de se mai nmesc lgilgic Problemele princpale ale logici propozţlor sn:

a pblma ciii are onsă n elabarea unor meode prin care să e sableasă daă o fulă daă este valiă sa (dacă apaţine logici p sau n)

b) pblma slctăii, respeciv eaboraea nor ede are să peiă separarea sa selearea foulelo valide a p. Aceasă problemă vizează generarea une li a

flelr vade3 Mt cizi î lgica prpiiilr

Lgica simbolică a dezvlta ma mule meode prin care se poae dede dacă o foulă daă a imbajul propoiţiilr ese valiă

a Meoda mariceală i e coseşte tabelul pri care fola daă ese

interpreaă logc pe lima line a abelului nterpreaiv apar ierpretările foule corespăoae la derie inerpreări ale variabelor

i e cerceează consanele nerpretatve care aar pe lima liie a abeluu nterpretav:

Dacă apare numai conata T avărat atncomua ese aliă

Daă apare aât T câ şi atnc fula daă este aiabilă

Dacă apare numai onsane fas atc oula ee iraliabilă


22/176

De exemplu să decide asupra ful A -(q( q.

Iner�reăr

h

P T q T T

�q T -(q

q� T A T T

ulta e a a apa a p

uare fula A ese lege gică Ş aare lcilimbjului prpoziţir

b Meda agebrică Sluile csae ae L seimiă duă uăaree regli:

1 -T2. - Av T A ee o fulă arcar2 Av

Se ie sema că dsjucia se cmutaivă şi aciaivă Tse et abrba iar es eme utu faă d

dijucie Dacă î u calculelr s bie T tucare itrrt a variabillr di fula daă atucifula st lg logică şi rcirc Să dcidm algbrcasura fulei ariar

A -(�(qA (-v( q)

(-vv(-Tv (vv(v vT T12 (-vv(-v (vv(vT v I (vTv(-Tv (vv(v =Tv T

23


23/176

0 -v)v-) v)vv) v .

Foua da ete leg logic deoece p Orceiteprtar a vaiabillr a obu itrrtarea

c eoda pecua Regll de lae asibolurilor cota sut uoaree

1RN2 Av A ese fo areae

2. A ARI. A =RC2. A AR A� R2 A =R3 A -A

R4 AAEI AAE2 A A se seama echivaa ste

cuativ)

Se parcug uorii paşi

i) s elă varabl care ar cee ai uleocureii dac fouele obiue co ae variabil se

rea pa i p a eiiarea or varabieoriii dup liiarea turor variabilelr dac e

bie ca rea umai costata erretatv atucfoula dat e lege logi ş recprocS aplicm toda pscutaă asupa fue dae a us:

A -(�q( qp)

24


24/176

p T: -(T ( T - T T p (( -T- - T

Doarce sa obţinut numai ezuta T fomula dat estvlid

3 3 . Mt slctar a lglr lgc prpzlr

Lsta formulor vald din imbajul propoiţiior steneitt De ee o semenea listă nu pot etivconstt Lgi pte elabora metode e gnerare a

lsti ast ncât s sigu c pn enea mtd nuunt eectate xpesi ca nu t rul vai de şi p dalt pat c dac am avea ucient imp a dipoziţi orcfouă valid va gnrat d ctre mtoda respectiv la unmomnt dat Prma dntre acst crnţe st cna cnsstnă iar cea d a doua rprezint cna cmplttn a tod d ctar a foullor vald

Împre ce dou condţii contu cna Întmr O metod de secţe a eementeor uni mulţimdup anumt cteriu este ntemiat dac slecteaz orceement p care neam propus s l selctm şi nu secteazănc un eement care nu atface rtiu d lcţie Acestasunt tocmai condiţiie de consistenţ şi completidne. Pn

umar o metod de seecţe et ntemeiat dac ş numaida este complet ş consistent ş rciproc

Ca mai utilzat mtodă d cţe a foruelor vidutiizat n logica smbolc este mta matc Prnmetoda axomatic fomuel valid sun setate poindde a u umr nit de fou valid numit m

utizâd un num ni de regu de seecţe sau de taarî ua apci metoei xmc e obţn sstmatc a gii propoţiio Un sistm axomtclgc est alcit dn

25


25/176

a o lisă nă de m care sun foule valideleca prin alte jloac dect c ale sstului;

b o istă nită de rgu d daa cae peiobinea d noi foule vaide pond de la foleeva d nrate dja n caul sistmului Rguli de detaşare

unt foulat mamba;c o lită inntă d rm car sun forul

drvat n nerioul situu axoai orele untobinut pod d la axiome sau e la ale eoree apndul d daa a sisuu cadul unu proces numnr Depre o teoreă spune că se dmnraă

a spr o fouă ar poate devată n ijloacelestmulu pun că est dmnrabă n isteulrepciv

a ungul tpulu, au fot devltate drte semaxioaice ale logci prpoziiilor. Acesea dferă prn sade axo au prn isa rgullor de detaşare

a ssmul axiomaic HbAcrmann

Axol stmulu snt

HA ( pHA2. p(HA (vq(qp4 ( ((rq

Reguil d daşar

Rgua mu pnn A, AB B, (dacă A şiAB un dmntrabil aunc B t dmonstrabă

2. Rgua ubu A( .B A(

C

ud B şi C un foul ar B este pte ot substuiă prin CA

26


26/176

b) emu axomai al lu Fre

l p�q�p)2 �qr))��r) q�r))�qr))

q)q�)5 �p6 p

Reui der m u mdu nns şreula suu

c) A Church devolă un sm axmac pn unlmba paial inrpra. E nou n lmbaul

propoţor consanaas Axiomel sun

AC pqp)AC2. �)��p)�)

AC. �))p

d) J cod a prpu sem axomac cu o sinăaxiomă şi o snă conană

A /q /r)) /s / /s)) / /q) / /) / /)))

smul său p lâă reula subsu apr şirula de daşar A C)C ca corspde lu mpnn.

Cossnţa ssemelor axomac al loc propolor ese asiaă dacă axomel sun loice şidacă reull d deaşare un corc loic Valdiaa

xomeo es vrcaă uilzând meod e dci asupaomullor Lp Corecuna rul d daşar vecă feu umăor

27


27/176

a o egulă d dtaşar are uătoarea siaxă Adud A sut ful date a B ee foula detaşaă

b se ceşe foua R (&A aupracărea e deide utilizâd todle d dcz ale logicii

propoziţilor

c dacă foula R este validă ati rgua dedeaşare se corecă; at caz egula de detşare u etecorecă

u saă dacă axoee leg ge ede edeaşae su corecte şi teoreee su deae id

ua reguil de deaşae ale ieuu şi axo sauoue deja deosrate auc oce foulă deriată estelege lgică respei isul axioaic este osstetxisă a ute deosaţi al copletitudii diferiteloree axoatic al logci propoiţiior u toae asteacopletitudiea est îdoielcă deoarec axioele coţi uuăr redu de vaiabile propoziioale discte cea c

pue sub eul tbă capacata lor de a slecafoule vaide cu uăr foat ae char lta devaiabl propoiţoale

osiseţa şi copetitudie a uui siste axioatic allogic iblc pot rapotate i la libaju aral Usist axioatc te coit reatv la lbajul atual

dacă elcteaă ua foul care au ca iepretări aturaletauoogii ş ete cplt dacă uşşt să elece toateoulel car au dpt itpreare aturală autologii u

pvir la siseele axoatce al logici popoiţlor extădoie că a copete faţă d lbaul atual deoareesut afectate de paradox care pu videţă aptl că

xisă rlaţii tre propozţii care u pt f flzae core libaul prpţAşa cu eacă L Wgeti au M uge

etoda axoatică u ese cesară î doul ogc

28


28/176

Datri plui c logica simboic st anamblufouor vade, pri xomaar nu e aduc pus dcrtiudin ci aâ xiomee ât şi oremee un a fel d justict estemologi De aceea, oric foul vad poat jua rlu d axio Axiomatizara nu st decât u

od d prnare a fouor ogii, nu od ddecoperr Aa se siaţia când axiom u ut egiogice adic auc când axiomatarea este aplicat n atdoii decât logica D acat da, gadu de nteire alemo ma mre dct cl a axioeor cu altcuvie d eemee sut consecţ al axiomeor, aci, msua cae ubiel costor considr axomadvae l ese rebie s admt a adevrat toremee

p e o propoor

4 Cacuu ar gc a prpzr

Dac foulee limbaelor mbic nu ar

nerretabile pr expreii a limbaului aal, acstlibaj r rmâne doar un joc de simbolur r m outiitae nterpretarea atur şi oarea pei cauiliâd meode ogicii simbolice, s din aloaraogic a expesiir lmbaului nurl cu punera n evidnţa tauoogiio aces mod, ogca smboc pren u

mjc p a e constieşe ca mbajuu naura camulţime a tauoogioauologile s propoiţii care au vaaa adăra

orce cotext adi difere c sar ntâpa umaraă De aci reul c dac foula dnun basbolic coresptoare uei propozţi rn rraeau pr foliare) adă atuc propoza repciese tauoogie De ceea pr irprare nara a uefoe vaide e obin numa tautoogi r prin foaliara

ei tauologi s obţne o fou vaid

29


29/176

alcuul valo ogice a propoziilor p mjloacee ded ale ogici simboic st posbl dacă rspctăprncpu d crpndnţă vaara logcă a u foubui ă coespud cu vaoarea ogc a propozilorrzutat p praa fuei respctiv atfl

aoaea ogcă a fomue

ValdRaizabă!eazabă

aoaea ogă aepeă fomue

aoogeFactual

otadce

e xmpu, s stablm vaoaea logică a propozieDac pou, ac Jo ş dcde umbrea sau pouP alzre ajug la foula A ( qvp Dacapicăm metoda prscuat de decie obm

(qvp

T T(qvT TT T. p (qv Tfoua A st vald

ofo pcipuu d corespodeă propoa dat esttauoog

Exist îsă, situai î care prcpul de corespode

u este respectat. D pd propoia ac Jo estector, aci Jo est clibatar Pi foalzare eo A q car t razabă Porvit pcipiuude cospode, prpozia da ar tebi ă e acuaăadic ar trebu să existe coexte î ar adevrat şicoexte î ca e falsă u oa acestea, doece a

cebaa sea a cstort uaz c propoiada tautologie doarc u se poate s este u cotextî ca cva u e cătot ş să u e ceibata Puare pricipiu de corspodeă st călcat

30


30/176

Voare pcpului de corspodţă î asemneauri se datorează fapului că operaţa de fomalizare a prooziilo în Lp nu ie seama de relaţiil care xistă nte propozţii Deşi u ae popoziţie ut independnte îneele chiar dacă sut dfet s simblizat pr varabl

propoziţonale care dmt iterretă indeedente cazulde mai sus cele duă roozii care aăuisc propoziaormlzaă sut nrac. u toat acsta ele au fostmblzte p vaabe propozoae difeite cae pot erretat lc pr costan iretav difeaduse a nrespcaea prciului corsndenei.

Ua d oluţi pr care a încerca depşirea tieajus a fst pa amară asupra limbajului rvcăeia există u nivel utim al imbauu alcăui din

propoziţ ama sau mna cae nu po aalzate îal propzi ormazra orecă în imbju popoziţiilresupu anaiza popoziţi date prozii atmare şto proozionai şi ao rooziţie atoma sau

simbolizate pin vaibil popozionale ditinc.potza atomară nu t suţiută d o dmnstraţi de

exitnţă a proziţlo aomar Pe de aă pate depiaceti poz n sun în măă să dea ici xmpu deasemenea popoziţ care să nu poată analizată în alte

propoziţii De pildă dacă ar acceta că o propoziţi precum

"Mae ese o plaetă" ese omaă nu sar uta xlca ce o aemenea propoziţie s asă anaizată pri propoziţii precum Mae se roteşte în uru Soelui" şi "Ma nu arumă prprie" e fp oce propozi P poate anlizată pn e propozi cum ar "P&Q" "P&Q" etc

pr urmar u at at iv l al mbajuhiar dcă a xisa proozi atomare penu ca

simboizaea lor n variabi disce ă corcă (adicăsă rspecte prcpiul corepondenţi r tebui ca propoziiile aomae să e dependnte înte l or nu exisă

1


31/176

ici o dostaie acest ses aa ct tea ideedeeirooziiilo aomae me la ivl ecuativ coseci iteza aoaă asura ibauu u oat faccetată

Sigura ca d evitare a violării iciiuu

coesodei ua foaizăi este să e acete eguac ua rooziiile ideedete s e simbolizate varabi ooiioae care admit iteetăi ogicendedee Da rooziia dat coie rooziii careunt deedete atunc s ot aota două stategi deiboizae

a iboizaa ceor du ooziii ri uecae s se ae tro relai logcă aag cu aţia dtcel două roziii

b boizarea ceor du roozii r vaabildif dar auci cd variabile su itreate ogic se aa că u oa itereril sut osibile i s seadit uai tretă logic care coresud reaei

dite ce dou ooziii

xemlul de ai su deoarec riiioot ut cotradictorii dacă alică etoda a desiboizare ai dacă ua ditre roziii est sibolizati vaabia

, ceaal ebue oaizată i foua

,- u a recta rlaia di rooiie resectie acet od aung la foula -, are ete vadcu zuau că oozia da ete autogie avdciu de coesod

Dac alcă tagia (b, atuci foua obiută foazara oozii date ră acai civ

-�q dar ac câd e dde asura ei ebuie să s saa c itretie lgice ale cor dou vaabieebuie e diei eu a esecta reaa d coadciobiâdu rezultaul:

32


32/176

nerpreări 13h

Il 10P T T q T T

T

=

�

T T

ul ese vdă rn ure r dă esetug

42 Cacuu ar gc a ranamnr

Rnnele mp sut eete e rdusuuren = [x ude = ul rl ş [] ue ărlr u rr resectv susstee de f R = ude P senues prm ese cncuza raţnamnuu Unrnen se crc dă ş nu dă n cu n cre

resele su devăre nlu s ese desene devără Prn ure rnentele recesun re rdusuu ten dă rerenă raţ nre u de ş r nuă raad dducr. ă rnenul eserct unc re de deduee de l ue ese ncue P P2 P} Q e l ş ecrc

e exelu e rneul re

e beel sun feree beee su e veUnee fee sut e vte

Ître ue ese lr ş nu esu rnee l el de deduee e benee sunt feee beee sut e vte} Unee fere sune ve

33


33/176

U raţioat st coc î cau î car cocluza sat ubaă sa ccţă a cocţi pislor sal.D ac rzultă c rlaţa d dducr îr ţa

pro ş cocluzia raţioat st chivată claţa d sualtar dir cojcţa pis or ş

coclza raţoalu rctv({P P2 P Q) st sbalta propozi &P

Doarc o popoziţi st sbalta popozţii dacă ş ua dacă opozţa Dacă atuci " satooi aă c aţoatl R =


34/176

Socate est o.* Scrate este raţoa

Prn oaizare se obţie foula (&C P i�q)&pO�o. Sădecdem p etoda prescată

o =T: To =: ((&i;k( P �D&po&po = V;k( P &qDvopo = T

Foula obută n ua foaiză aţonamului dats adă n uae aţonameu dat este corect (ntemuţma emiso şi ccluza raţionaeuu are oc

eaţa de dedcereExistă aţionamte ncoecte căra le corespud pr

foalizae foue alide sau exstă foue vade cae audrept tertare raţonamete coecte De exeplu e raţoamenul

oce este atea*aţnamenul (Pămânul este o plaetă**Socrateeste aten este corec

U asemenea aţonamet nu este corect deoarece dn aceeacă propozţie este adeărată nu rezultă că u raţnamencae ae acea pooziţie dep cocluzie este cect. P

foazae se auge a A = p�( p care este o ege alogci propziţor ată că există siuaţi ce deşi u raţoament nu ese coect fula cespuzătare estevalidă. Poblema pate invesată exisă fue ade aelimbaului propozţio cae coţi implcaţia ateraăastfe că dacă simboul mpcaţei materae ese ieretat

prn relaţa de deducere se aunge a propziţi false sau la raţioamene incorecte Aseenea fule su umiearadxur a mca mara De pidă ue precu

35


35/176

p��p)!: :q)

)v):)v( q�p) etc st paador ale mpcaţe materale

sena cesor paradour pu su îdoalăcapactate logc smolce de a da o sole pent

proema coectdn rţoamete lor; ma este sgur că raonmenee rezltate prn neretar foulelor valdesn corecte su că dacă î u oazr

raomet se oe o or vdă cel raţoname este

coec De ceea ogc smolcă e să elne pardoure de acest tpn dte solle la prdourle mplcaţe

mterle fost propsă de căre C Lews Acst cosderăcă mplcaţ mteră este potrvtă pentu smolza

relţa de dedcere deoarce mplca mterală este ocţe de adevă pe cân relţ e ecere n are caracterncol e acea pent smolz corect relaa dededcere maj propozţor ree îmoăt c o noăconstată ntrodsă tocm pe a da seama de rela dededcere pe care Lws o numete mpcaţ rcă

vocularl lmaj propozţlo Lews adagăcostant mpcae srct că teree logcă

ese dă de tael

Inte p etă i

pq

pq ndtn ndtnt ndnt

Numa pr tertare 12 mpcastrctă re nteretarea a î vreme ce er cellte


36/176

ntereăr, ces u re o nerere deentă, nend nce de devăr

Pod d l tz l Arsoel că, nr rţonmencoe coclz uză c ecese dn premse, Lewsrbe mpcţe sce ş neee mdlă. Odă ce

mplcţ strctă e rolul de smbol relţ de dedee,eză că oe ereă t prro vore logcă,olog, ct ş pno vle mdlă neeste

pq p�q " este toge pq " p

" est neesr devără

Adcă mpcţ srctă pote redsă l mplţterlă ş tologe s l mpcţ stctă ş neesteDeş mplcţ merlă ese ncţe de devă, coog, nc necese nu sunt ncţ de devăr, ş ncee n po redse l celellte osne e mbjl

prpţ rn re mplcţ strcă pe redsă l le conste le lmbjul popţlor

shmb, Lews rgmenteză că mpcţ sctă pote expmă u locele mju ppozţor dcăse me o ltă teretre logcă smbolur ese,dfertă de ntetre "scă

" Bunăoră, dă vbeest tete pe o mlţme onţnnd re (s m me)

vlor d adăr n două, c n neere cscă, nc necese ese o nţ de devă Admţd o semenenteretre, mplţ sctă pote exprmă prncosnte ce dmt neere ncţ de devă, umsun mpţ (neretă pno nţe de devăr

polvlentă ş neeste. Î es fel, neetre

mpcţe sce devne deeă pen tteneretăre vrbelor. Lews spjnă tez ă reţ dededcere nu poe smboză cu mjlocel une logbvlente, c ecestă o lgcă polvlentă. Dr dcă nlzăm

3


37/176

vaor propse de Lews onstaă că acestea sutvalor de adevăr a âd vao epsteie De pldăcând are în vedere logca trvaletă cele e vaor sadăra cu crudn, a cu cudn ş ndncAestea n prvesc vaoaea de adevăr a popozţie

preiere evlto aspr aevăl propozţeiDeş utzarea ipicaţe se pent sbolizarea relaţe d dedere evtă paadoxule plcaţe ateiale etoda popsă de ews geneează alte paradoxur itepaadur mpcaţ rc Aestea st oue vadecar tză pcaţia stictă ale căor inteetări

ntale n sut popoiţ adevărate ălcâduse prnipiude orespondenţă Dn aeastă catore ac pare omlele

(p) cazl î care concluzia un raţonaent este ecesaă a aţionaenl est coet;

Mppq ) raţioaentle c pese posibleut corecte

ews aege să n dea poanţă acesu tip de paradoxurdeoaree în sstel li necstatea conde u tatoloa şiposbiliatea este acelaş lc cu cotradcţa viziau Lews nua tautolole st popozţi adevărate în hip necesar ş recpo aest fe paradoxrle plcaisce st nteretate astfe "Orce raţonaet are aredept oncze o tautologie este corect" ş "Orce

raţonaet ale că preise st conradctoi este coret"dspăâd caate o paradoxal

° asenea abordae viă paadoxul estegeneat de folele espectve. Chiar Lews admt

teretarea epstemă a iplicaţe strcte atun câd atăcă aceasta pat edusă a ate constate dacă valore deadevăr snt sbsttuite prn valor epsteice acest fel elstabieşte o corelaţe înre valorle odae ale propozţlo ş

38


38/176

idiile episemie jusice fţă de cese. mi popoiie necesare sun cere în mod jusca dcăecesiae ese ideniă ologia mează că nmauolog sun cere în od jsic diă, nm egielogicii sn îneeie Enţurle ocăe e şţe, ce n

poe scdă î logiă rebue prvie c îdoiă,asupra cesor puem va doar ceridni nejsice Prnidenire popoziţilo necesre u uologiile se jnge ezlal lui Hue reu mai ârzi de lţ logiceni şiepisemologi că şţee ri su îemee

Kn vân în vee sucesee zici impul său rspins ezu inegi lu um ş consdea zicaîemeiă, îebâdse cm ue ese îemeiaă.ăspsul să ese că penu c zc să e îemeiă,ebie să exse o specie pre de propoi pe re e numeşe nc prr Acese popoziii n sun niiedică, nu sn oogii şi sun necesre deoarece sun r Fizic poe îneiaă nmi dcă exsă propoziii

ecsare cre n su ologii. Probem e pre eseu po îemeie seenea popoziţi? K consdeă căebuie să exise u fco pre e Înemeză popoziţiilesineice rr pe cre îl noeză c nmeierea ziciconsă în deermia coru knn

Pardoule impliaţie srice po souţioae

răâd că impicţia srică dme o ineree modă aces e, prdoxurle implicţiei sce sn eviae olulmpcţiei sie ese de simboiza reţia de deducee

P P -Q & . & p) nde P sinerăre narle le varabielr şi Q eseierearea aă vrblei

{PI, • , P} Q P1& &P)�Q ese ologieP \ & &P�Q ese auoogie & . & p�q

ese vidă.

39


39/176

& & p) & . & p)� ală\& &p)q" aliă = V((\& &p)�)& & p) V(I& .& p))

pcaia rcă poa ruă la implicaa aerală

i aiia ucra a impicaia rică i cia u un Ario puna p bună pa că nrunraoamn corc concuia rulă cu ncae nprm ar aici nu ruă echalena ci oampcaa

I P} Q & . . &p)Nq

&

& p

) \& . &p

)

N

aa corc n implcaa rică i ncia (p)Np" i niccu (p) Np" D aca arucri implcai c la mpcaa maraă i lanca nu un. Lwi a aăuga cu la in pr i proc" a a ui o

Oaă c nrara impcaii ic pn aloroal nu une uaă că nci rucra mplicairc a ci aln i ici cocinl epimic aepaoxur lor implicaii ic u po nu Vom arăacă implica rică poa ruă la ncii aăr carul logci bian ă a aa noi ea exocă a

plurală alorilor aărAnror am ju a ua

O forulă aiă acă numa acă ar

inrara "aăra" pnru rc nere aariabor propoona i o fomuă oarca A\Pn) un Pi un ariabl popoional in coponnai ac ca ar loc

40


40/176

V(A( Pn)) P)Al, , P) A eseai ac ş numai ac, penru oce inereae aariabilo sae propoziţionale A are inerearea T

meaz c mplcaţia sric poae reus la impicaţa

aral şi l cuancara arabr prpzna

pqV

V (p p ci

Ipica c = impcaia maeral + cuanicarea

ariabilelo pooziionale

Reaţia e eucee ese anaiza prn mplicaia maer şicuanicaea aabielor propozţonae

Am obţinu rezua c, penru a fomaliza corecreaţia e eucee în lmbju popozlo nu aem neoienci e conse supmenae nic moicarea omeniuluie inerear logic prn ioucerea mai muo consaneneeai e ecâ aeaul şi fasul, ci oar e amiereacuanic ariabielor propoziioale

eoa cuanici ariabileor popoziionale pemieecizia asupra corecini aţionamenelo în neriorulogicii propoziiior Po umae ou sraegi

1 ) ocabuaru limbajuu popoziiilo ese îmbogţicu un simbo pi pen cuanicaorul unersa sau celexsenţal, eme ce a oilea cuanicao rme

simbol eria puân en cu ajuorul cuanicaoruluiprimii ş a neaei Tooa, rebuie moica isaguior e ansfoae Sinaxa Lp se moc asfe

4 1


41/176

a) la lisa simbolurlo prmie se aug cuanicaorul exisenţial

b) la lisa regulior e ansformare s e aaug

ac A( Varprop ) ese o formul bine foa, aunci

(Varpop» A . . Vaprop EBF

c) la isa simboluio rae se aaug

)( p ) = p)A p )

n-un limba al propoziţilor asfel îmbogţi po expimae popoziţi compuse care nu sun ncii e aerîn apor cu popoziţiile simple componene, e pi

ese auologe" )p

" ese conaicie" )p

ese facual p )p&p )p

ac oim s sabilm aloarea logc a popoţilo e maisus, acesea sun fomaizae conform egulilo aminie şiasupa fomulelo obinue, se aplic meoee e cizie alelogici popozţiilor

2 Limbajul popozţiilor rmâne neschiba r a

îmbogţi cu smbolur penu cancaor, ar amţân cformuele sale nu po aea ca inereae juecţi piinaloaea logic a propozţiilo şi acesea nu po foalizaeîn Lp Pen a ilusa aplicara ogcii popoiţilo înasmenea conţ s um ca exepu propoziţiil foa ese auooge

a) popoziţia se foaia obnânuse formula

A , p)

4


42/176

b) se constieşte foua auxară ( ' )A( , ) Această fouă nu apaine Lp ci doa seeteprocesului de decizie ogică

c) se deie supr fouei auiiare ( . )A . ) , stabiindu-se aoarea logică propoiei

ate

tabiiea aoi ogice a foueo care conincuantictoi necesită noi metoe de deciie indifeent dacăacese oue sunt dise inteior Lp sau suntconserate auxiiae Intereăe sisem e aiabie

propoionae cae a nro oă A(p ) sedid î două case dsjuncte ş compementae casaitpretărior pent care ou A re inepretreaadăra T ş las intepretăior penr care A reinepretrea a O foulă cuanticată nersa areumăoarea intepretare

! , )A(! . )h: T

A are numai inepretarea adăra acă şi numai dacă clasa este idă şi are nmai interetarea fas dacă şi numai dacă

csa este dă 0 A este lidăh 0 A este iealibiă

= 0 & T 0 A este realiabă

onenim să notm =0 =o şi =0 =o

acal deca aspra ne fomle cnicaeuniersa şi asupra uneia cuancate eistea decurgaste

4


43/176

Iterretăr I I Cdţii(pJ, P) �

(p , Pn)(P P) ��

(P Pn)(P, , Pn) �

ola cuanica uniersal ese ai cân clasanerprrior I ese i şi ese irealizai ac I nu esei schim oula cuaica eienial eseeaza ac ese i şi ese ali ac n ese

Cuanicarea aralelor propozionale eliminparaurile mpicaie maeriale De eemplu acamiem c numai implicaia maerial cuanica unersalpoae nerprea pn reaţa e eucere aunc flaparaoal p:( q)" u are ca inerpre raonamene şi

nu se juge la paraox schim, foua ": pq)q:p)care amie ca inerpreare raionamene u ese i, aşaîncâ, nu poae inerpea pin relaa e eucereisprân paaoul

nereă 13 2 1 10 Condiţi T T q

q:p T T (pq)(qp)

p�(p,q)(q: p) T

T T

Dac exs nerprer I ş ac nu ese inerpea pnro conraicie aunc aonamenele onue prninerpreare sun incorece. Consam c, în anumie conii,

44


44/176

ar pa obin raionamn corc r paraox Dxmplu mor raionamn corc

Figura gomrc G pogon* * (igura gomic G rig/**Figura

gomric G pogon).

poa ln conaa c nu oa formull carconin implcaia maial gnra paraoxuri anci cânaca conană inrpra in raa ucr xmplu raonamnl obnu prin nrpraraformu vai mdu nn (&(� �q un

corct Uma c x ocurn al implicai maracar po inrpra pin rlaa ucr r a gnraparaoxri au r a vioa principiul corpon aacum xi ocurn paraoxal al mpliaii maral nformull ogicii ropoiiilor. onvnm numm t aclocurn al implicaii maral car nu paraoxal,

rpi a ocurn car upo iara prlaia ucr r a nclca principul corponnUna r problm imporan a logicii

prooiiilor car prmi lcara formullor car po inrpra prn raionamn, o coii rminaracaracrlui paraoxa al ocurnlor implicai i maial.Ţnân ama cl mai u o ocurn a implicai

maial no ormul "A( . p�q . )" poa inrprapin rlaia ucr r paraox, aic o ocurnte a impicaii marial ac numai ac formula

"A( . p�q A( q ) vali. ac A vali ac, coiia ncar i ucin pu ca oocun a impcai maral A a ca

formua ( q . ) vali.D xmplu, vcm ac ima ocurn a

implicaii marial n formua M ar Doarc M

45


45/176

ese ali coniia e rie pen prma ocren ese cafoula auxlar l p&pq)(P:q:q s e ali

oderreări 13 12 0

p Ţ Ţ -

q Ţ Ţ -p: q Ţ Ţ Ţ(p,q)(p: q) Ţ Ţ Ţ

- - p&(q)( Ţ

- -

&( )(): q Ţ ŢŢ Ţ T

oula MP 1 ese ali prn uare prma ocuren amplicaiei maerale in foua M nu ese paraoal.

Unele fomule conin aâ ocurene ar câ şi ocureneslabe ale mplicaei maeiale şi exis siuai în care

ocuenele mplicaei maeriale ar numa în anumecombna. De eemplu ac aem în eere egeaanzvă mplicae maerale (: q)&( q:r):3(4r)în reme ce oae cele pau ourene ale mplicaemaerale luae împreun sn ar cmbinaiile (l 4) 2 4)sa 4 sun praoxale De ceea nerprearea (PQ)&QR))-(P-R) ese neparaoxa în reme ceinerprer precum PQ)(Q: R)) -(PR) conseparaoxur

ablrea corecunii raionameelor cu moaceleloici propozlr presupune ecarea re ocurenelorplca maeriale pn cre ese smboliza relaa eeucere parurgân umor paş

a) raonamen a ese foaliza î Lp uilzâmplaia maeal penr a simolza relia e eucereSe oine fomula A

46


46/176

b) s dc asupa fol A Dac A s vala s r la pasul uor ac A nu s val ancraonamnul a nu s cor

c) s c a ocurnlor mpla maalpn car a fos smbola raa ucr

aonamnl da s corc n onl n car ournl mplca maral sun ar xmplu s sablm conl n car raonamnul

(Ion s la Ploş**Ion s la Pş) sau (Ion sla Ploş/* *Ion nu s la Ptş)

s cor mm paş mnona ma susa) A (p�)v(pq);b) A st valc) sablra conlo n car cl ou ourn al

mplca maal sun naraoxal acs scop bus s c asupra fomul A (pq)(p)(p)(p).

p

ă 1 12 10 odp q

q

p�q (pq)(p)

1p�-q

()(�) 1 1

A IvI vI

47


47/176

A obnu rzlaul c ocurenle iplicaieial di oul A su ar dac ş nuai dac unadinre clasel de inerpri b sau 12 se id rspeci,dac popoziile on s la Ploişi" şi "on s la Pişi

"

su conar sau dac a doa propoziie es subale a

d pra Daor apului c propoziiil s conrar nu sepoae ca î acelaşi coex on s se ae aâ la Ploieşi câ şila Pieşi) raionaenu da saisface conda decoeciuin nd un raţionaen corec

48


48/176

MOTĂŢ

Loica moală consă în ansamblul fulelor valieaarinând mjuu smoc mod. Limbajul sbolicmoal reprezină o eense a limbajulu prpoziiorobuă prin aăuarea la vocabuar Lp a unor consane

care pmesc drep nereae operao mdal

Siaxa ibajuui oda

1 st smouo mtve

a) simbolur varabile p, q r b) simboluri consaneneaia �posbiliaea dsjunca vc) simbolri aiae ( )

2 st eguo de n ome

p q EBF

3 Lst eguo de tnsome

a) Daă AEBF aci ABFb) Dacă AEBF anci AEBFc) acă AEBF ş EBF anc AEBF) Dacă A EBF anci AEBF

49


49/176

List smou/ devte

a) & � au aceleaş eniii ca în Lpb) N MA N ese consana "ecesar

" NA A ese ecesar adea

2 Sematca maju moda

2. Ineea ogă

nerprearea logic a aiabilelr lmbaului moal ese

aceeaş cu inerprearea ogic a ablelor limbauuipropoziilor omenul lor de nerpreare ind V { une T aea; fals Consanele care apa în Lp îşpsreaz inerprearea şi î lmbaul modal Lm Sngureleiferene nerpreaie înre lmbaul moal ş celpropozona îl reprezin consaele modale M ş

nsn M posblţ re nererea nui

"posibl adera" aic o fomul preşeierprerea "Ese posibil ca A s aib inerprerea T"ac P sun riabilele cre apar în A, aunc inereaeafoulei

ese "is o nerpreare a arablelor Ppenr care are nerpreare e aci meaz

aceas nerpreare consana posibilii ese elmacu ajuoru cuaici exiseniale a arablelorpropozionae La fel cnsana necesiii ese eliminaprn inemediul cuaicrii iersale

A MAA )AD DAD

0


50/176

Dacă se acetă o asemenea iterpretare educioistăalll iterpretăror formuelor care co constateodal re lo ofo mtodlr dzvlte pentriterpretarea fomulelor ar oi atiator aarabieor propoiioal. De plu, să calăm

interrtara oulei

Npp, "Dacă o ropoziie este cesară atunciacea propoziie ste posiiă"

ner�e

10 odp

Np T 101 0

Mp T 1&1

NpMp T T 1T T 0&1

Fomula dată are itrpretarea T pent oice terta avaraile

22 emntic umio osibie

Iterpaa costaelo odale dzvoltată mai susduc a dtiarea fomuleor ncesare cu foulel valieşi umâd prcipiul corspodei la inticarapropoziiilor ecesa adevăate c tautologile. acest odse ang la mătoarele coincidee pivi valoril loge şimoale ale popoziilor

tatologi

facale

contradcicesa adevăa ontngn avăat

osibil adevărat I imposiil aevăat

5 1


51/176

Coo tpretări redcioste nma tautogisut nesar advărat şi nma propoziie imposibiadvărat st coraiii văzt ă aeastă terpretareeste gneraar e paradouri um st parauriempiaiei srite. Pe ată pare deoarec ma

propz necse sut e mo justiat ar a căcritii oastre sut ndrptite umai ce pvştutogie în vrem c petru toat at propziatina anaă est îdoiaa Uează că numai ogicaste întmeiată sau cona temeere a u teor sta aasta să e sndată ogică să e timă nsaă

o oe găPmu care a obsrvat acst parado pistemicehvaent cu paraoe impicai stcte a ost Kat.Acesa a propus evitarea oncdnei nte tautoogi(ropoi anaiti î teioga ui) şi propoziiicsar a rr) prin postara eistenei un agoapar prpozii respectiv prpoziie ini ricare nu su tautogii dar sn esar aest e ar eistapropoziii diferite d ce ogic re în m sta.Gâdito e a Kigsberg moică raporu tre vaoeogi şi modae a propozior aste

tautoogi

actae

cotradicti

ecar

ingenpsbil

I

mposbie

Kat propune sticare psoogizaă apropoziiior n rri prpoz ca nu sntutoogii ar sut ecesar adevrate) sga posibă sstemu să gicoepistemic deoarec Kat u ă ici o

teoremă de steă a uor asemea propozi adică use a că ee ar esa şi nu nterind o aază ogcă aor ceea e u eistă n poat aaizat ogi doarpsoogic

52


52/176

Paradoxue mlicaiei tricte u elimiae dacăauooiile u coincid cu propoiiile necear adevărae,reeciv î cau care coaa "necear

" u prmeşeierpretarea T en orce nerpreare a vriaielr cuma dacă aceea atifac anumie condiii au conre,

pe a uiia otaia kaniaă)Fmuee cuaice uera p devolate cuautoru couciei

e eempu orua qq" repreintă conuca

(p(p: (T: T)I&(T:)I2&(:TI&(:)Inde coecen I ee nul dacă claa de inereări Ik aiemuui de varabie ete vdă

Pe de aă pate, ar oc

&A(PDIk &k((&ePA(» unde e eeamaia dacă T în iterpretaea Ik şi ee eaia dacăP î terpetarea I. În ace ca,

&eP T eu orce claă de iterpreări, Ievidă demodue reaia de mai u.

ace fe e obie

evennd l eeplu de mai u fomua ,q eedevolaă afel

(&T):(: » &« T &T):(T» &« &) T» &&T)(»1

53


53/176

iliâd ace aricu, puem electa itepetărlecae ifac codiile de ecete, auâd la umătoareaepreae a coaei eceăii

Probema iepeării eceiăii afe câ ă e evtaeparadoxurile mpicaiei rice e educe a detemareaodiiilo X şi a tabiea aui expreor e Uăpu a cee poeme ee propu de emntic umiooibie Di perpeciva aceeia, expree &e u

ume umi oibie . cee u iepetae mbaulaural pr coucii maime de propoiii compabiee ee daă -ar adăuga ate popo a o aemeeacouce, a auge a coade.

Lumie pobie u reae buvocă cuiepeăle poble ae uui tem de vaabepopoioe De eempu muui d două aabile


54/176

NA(P/w (w((Hww(wA(P A ete ecearăreatv a ea W dacă ş mai dacă A are iterpretarea Teativ a ore lme accebiă relaiv a W

Pi itrodcerea reaie de acceiitae e obie

cocep ei l ecetă respecv propoi ecearadeărae reav a o lme u conee reativ la aem Uiâd dene ceoralte coae modale e oţinerpretările acetora relaiv a mlţimea lmilor oibie

NAp/w (w((Hww&(w&Ap A eeonget eati a W aă i mai a A aterpretarea e cel p o me acceiblă aă de W

A(PDw (3w((H&(w&Ap A eteosibă reav a W dacă şi mai dacă A are iterprere Tetr cel o lme acceiă di W.

-MA(PD/w (w((Hww(wA(P etempoibilă reav a W dcă ş mai dacă A re ineprearea

penru oice me acceiblă d

terprearea coatelor modle depnde e deroreăle reae e acceiblate Dpă eaţa deacceibiltate auă vedere e oţi dierie olţii aprobem iterpretări oce a modaiăor şi toodată

deoarece vaditaea depnde de modu cae terpretate foele pe ecare reaţie de acceiblitatemanabilă reltă altă lită de orme valide ale m adicădi erpectiva mior oiile exist tot tâte ogiimode câte eţi de ccesiiitte

Praiatea ogicilor modae n poate accepaădeoarece ar rela ă eisă propoii ecesar adevărae

care n cie de eaa de acceibilae pot ae cetaradox prove aceea că ermenl "ue poibilă

" etecoe ar emaica lor pobile n poate e ca

55


55/176

dmen pen inerprearea consneor moae asfelncâ poxuie impcţiei srice s e eae

ou propozţi sun posbi aevrae ne ele ac şnumai ac sun compaible Aşzsee "lum posibe

" nusun compaibe nre le aş ncâ ele nu sun posbe

mpeun e eemplu, ac ne opim la lumle care o eosebie prnrun ssem e ou vaiabe oricare ouasemenea lumi cum ar "p&

" şi "p&�" nu sun

compabe (conuncţia lor ese conraicoe) ee nu sunposble mpeun Ueaz c, exs o sur lumeposbil, şi nume, ume eă lumea care ae loc eee

"um"

sun o minare su conracuae ncecumposibie Semnica umlo posbe rebue nocui cusemnc um ee

2.3. emntc um ee

oric ste a lumii rele o propoziţe au neţi eidr u ambee, ese deătă Pin unare expresiie,&e" u fos reşi nerpeae ca umi fere ee escrusri posbile, Sk ae unei sinure lum, cea cre se petreceinre cese s, a un momen a are oc una sinur Nupo ave loc ma mue eoarece sar ncca pincpulnonconaicţiei ş nu se poae s nu aib loc niciuna

eoece sr ncca pincipiul erţuui exclus exs oncţe e la imp a srile posibie le umii reae La unmomen a unele s au au ea loc, acesea consiuetecutu ia ale sri nc nu au au loc ele n varaneposbile le viiorulu

ac sare escris pn &e/ are oc a momenu

t unci propozţile e sunt ere a acel momen şeciproc up cum emarca nc Arisoe ac o propoziţeese er nc oce consecinţ a ceseia eseaevr cu necestte Prn uare, ac eis o popozţie

5


56/176

a es adăată la un momen da atunci toaesualeele ei s cu necestte deăte la acel momObţnem uăoarea inepretare a neceiăţii

NA(P/ = (3s)((s


57/176

c mposbea

-A -(oA �-A A est mposbă moeu t dacă ş uma dacă �A ese oseţă ecutu omel

Semca um reale dezvoă o epretare osaeor odale ră a apea a faomatcee lumposble ş, otodată evtâd paadoxure mplcaţe srce.Cosecţee ecutu u su oae auoo ase câ,exsă popozţ fae ecesa adevărate la u momet da

Vlor oda e popozţlo se modă î tm,asfe propozţ cae, a u ome da, su posbe sauoee, po deve eo eese sau posbe, schmb, popozţe ecesare ş cee posbe a u momeda îş păsrează vaoarea modaă la orce mome uteror

âă aum î 200 u a exsa c u orb alb cest z ces mome, popozţle eeoe ob uumăoaree valo mode

A oţ corb sut eg posblE Nc u corb u ese e mposbl1 U corb sut eg ecesaO U cob u su eg oe

Să presupuem că, a momet uleror, va ape cobab · î hp aral sau p gee geetă La acemome, propozţle de ma sus îş modă vaoaea modaăasf

A oţ ob s eg mposblE Nc cob u es e mposb1 U orb sut eg eesaO U corb u su eg eces

58


58/176

onstaăm ă în reme e propoile E şi îş păstreazăaloarea modaă în ua eeimeului apaiiei obuui albpopoziiie A şi O îşi shimbă vaoarea modlă deennprima imposibilă iar a dou neesară

Să aătăm ă o propoziţe eesară la momet dat

rămâne eesră la moment uerorNp/t Np/t t>t

Np/t �p & reut l t globeză treu a t

�p&�pp= :

p �( = qed

La fe se demonstreză ă propoziţiile imposibil deărerămân mposibie idiferent e sar îtâmpla.

Aest omportament al valolor moae generezăsăget timuui Î reme e aloarea e adeăr a unepropoziţi poate osla î tmp î ambele sensu inspreaeăr spre fals şi nvers aoare moaă a propoziior seshimbă nuai inspre posibiotie înspre neesrposib nu şi nvers e exempu propoziţia Româniaeste regat" şia moat aloarea e adeăr de mai mute oriî timp fals în 877 adeăra în 900; as în 00 putând

eeni in nou adeărtă în iitor e aeea poin e aalorile de adeăr nu se poate stabili un ses în evouia umiieale Î shmb vaorle modae ale propoziiior iă unasemenea sens e pidă daă l momen t o propoiie erposibilă ar momentu t eeaşi propoziţie era neesarăseană ă moment t este uteio momenlui t

Sar ptea Îneee a un momen vio î re toatepropoie să e sau ees sau mposibl adeărate Î aemoment nii o shimbare nu ar mai posibiă oepropoiţie şia păstra valoarea e adevăr dea urur lumea

59


59/176

reală au uveul a înca ă e ma chmbe ar nterenmote modă uniesuu Moaea emcă aunveu reăută de ermodnamcă nu ete decâ caz arcua a mo mdae cae ee o conecnă aogc ş a emanc um reae

ecuu ee necea eav la een deoaeceeutul a un momen aneo ee onecnţă a reutuu dela un momen oeor

N//] ]

t]>tqed

n aceaă cnă recutu nu oae cmbat nu e oaecăăor ooze adevărae dere eenmene dnreu unt ecea adevăae ora ee o ştnţă acertdnea n rooze ore oate jucaă

Logca modaă

Meode de decze ae og rooţor unadatae enru decza logcă aura fomulelor care conţncontante modale nând eama de nteetă ece aleaceora e exemu dcza aua oule

N ( te

necear adeăa ş aura fomule (" ete obdecurge în fe uăor

Codeeă z T T T T

T T Mp

T T T T

60


60/176

o recuul la momenu t are ntepetaea T nmai upămomentul t eoaece trecutul a un moment se ealizază întoalitae upă momentu esecti ntepretările pntu careo T se peec în viio în reme ce intepreăe o = idică trecu la momenul t

F oua p" ese necesară relav a o dacă u exisătepretări > ae sistemului respecti dacăupă mometul t p" nu ae ineprearea fs e de atăpae p

este posibilă dacă admite nepretarea deătuă t ată cum se cacuează intepretarea une foulecompuse a Lm E p�Mp

Interpretări 0 Il p

p T T

Mp T T

Np�Mp T

2 3 T

T

T T

T

Condt

2

-,h

13

& vh

Fomla E are intepretaea deăt dacă estă iitor amomentul t respecti acă t nu repreztă srşitul umirin uae în orie moment al umi reae cu excepţiasfşitlui ei dacă o propoziţe ese necesară anci ea este şposibiă Aşa cum am vă la sfrşitul umi ocepropoziţie ese necesară sau imposibilă cu ae cuvinte ocepropoziie actală va sau necesară sau imposibilă (pe ângă

tautologii care sun necesare şi conradicţii care ămânimposibe

61


61/176

Interretăi 1 Il T

N T T

T T

M

oa ersi înseană ransfoarea rooziţiorfauale în neesae şi osible ners, l înetl i,ni o rooziţie faaă n era neesară sa iosibă a

acea dtă, ma lga era eesară adiă rooţeeesar adeărate şi atoogie coincid La înceuli, na oga era înteeiată Dioră, sfârşitllmii reaţa înre aole oge şi ee odale erooziţior a

ologI

atae1

Conradţieesre

l

osbe

Prn inerearea eoraă a odaăţor în adrseanii ii reae, aradoxe iaei ste sntîlărte Se onsaă c şnă ă ea li risoe, (P

Q(PQ este aologie deoaree foa a oxră (p,)(p(p( ste aidă în ti cereiroa aeseia n ese alidă, are ă dentarearooziţiilor neesar adeărae aoogiie ese asferesinsă

62


62/176

RECE

Î rm c imba simboic a ooiţiioaizeaă exesii ingisic nmai nă a niooziţior sime imba edicaeo dce anaiza maieae nând în eienţă sinaxa ooziţiior simaci din nume şi d coi ca ranfoă samai me nme n ooţii nmiţi edcte De acea

sitaxa mba diae onie e ângă aabieooiţiona ca oă catgoi d aabioesnzare nmeor şi edicaeor

Saa mbajuu pedaeo

st smouo mte

imbori aiabiea ariabie ooziţionae Vapop: q rb aiabie iidae Vad x y c arabe edicai Vaped F G H , 2 imbori onsantea oeaori ogii

b anticaol xisnţia 1 1 3 imboi axiiaea aranze închis şi deschis

2 Regu de ne fomea Vapop E EBF d xem

q sn

exresii bne formaeb VpedVad Vad Vad E

EBF de idă exesii Fx Gy;

Fxy sn binormae

63


63/176

3 Regu de tnfomea) Da AEBF nc -ABF eemplu -p

-Fx --G n expes b fae;b) c ABF aunc AvBF d pl,

"pvq pvx -GvF sun be fa

c) a A( . aid EF anc ae lc(aid A( aid EBF pn rmare epresprecum: ()Fx, (x)(xvGy) ()()(Fxv-Gy) sun bnfa F oula (aid A( aid ) s şeE aid sel n A( aid . )"

4 st smbouo dvta) onjuc mpa ehvlena e enes l fel

ca în lmbajul ropolorb) uancaorl unversal

(adA( ad

-(aid-A( ad . De exmpu expresle ()F (x) (y) Gy

()(FxvGy)

sun oul ale lmbajuu precelor. Foul uancaunvrl (aidA( . . aid ) e ceşe Penroc aid ae loc A( aid )

5 Pdoxu ntctceÎ mule su dc nu se ne eama e naxa

exresor lmbaulu predaeor e ca în paraox

a) paadour provene d ona în pedaebsoute ş retve Predale absolue su more pl

unu sngu argumen în vreme ce preele reave sue e plc m mlo argumene Dspr un om carear ma pun d 30 de an pun c es ân esmnea nva car ae pes 50 d an de bu seam

64


64/176

u este âăr Cre este vârsa până la re ineva eonsdert pe bună dreptte, c in âă? ni eceătrconideră că u s poae abl o aseenea vârsă, rprecatu , ese tânăr face pe dintro cteorie mi vastăde edice uz cre dvd domenul contantelo

dvidua în tr lae, nu două, aduânduse clasainvizilor depre ar nu e poae preza dcă safc sauu predatul respectv În ace fel, e pncip bvalene,e pincpu terulu exlus nu ae crater unveral. efap în caul unor astfe e predcat, e ee vorba deecunoaştere âd nu ştim dă obe tae preatulsau nu, e este vorba de nclr rulilr saei inpia ctoie ac pae numeros şzse araox cumar cele cu pivre l vtor Fie predcl , va preşedntle României î 2020" n faptul că acu, în 200u putem şti ine va satisfae predcaul espectv, n ezutăă o aemeea peroană nu exsă sau u ese deteminată.Dă revem la exemplu prcedet, preda , ste tânr

provne dtrun pedca relatv, , are ma puini an decâ

"Dtrun predc relav se obţne predca absolut

îlound una dntre varabie prnto constantă În caul dat,cona este easă oveoal, ă pue, 35 de a,ând predcal bsout are urmăoarea denie: , esteână = are ma pun de 35 de n Ioduând o

aemenea dene, mpusă de snxa difeită predcaelorboue şi a celor relave, decza supr pdiclu încuză poate rează în eare az Predicaee zzy sudoar urmara încălcări sintai baului predcao nupoate oruă n o loă zy, ar prnciple loi îşoved î o dă uverliae.

b) pradoxu provete d ona ntre ume şoa Unele predcate au ca arumene nume, altel amta aruete notaţ Numele au ca denoa obecte vemec notale au roul de a xa expres. că dorim să ne

65


65/176

referim a xpreii putem dopta ou stratii etducem no xpresi pin care epreie dte sunt noe,e xpresiie sunt puse într limele e exmplu acdoim n reerm la o xpresi a mbuui pedicator oputem nota E = "Fx

" o pam într hiimele "x

"

Urmor sunt civaene $ ese un pedica" ""Fx

"

este un predat"

Deoarece notaiile unt introduse poidd pune expesiei tre ghiliele intaxa cer ca notţias poată întoteun substitită pn expresia noat reghilel i rciproc vm c numee au tot ceeainx xprsiie între liele au sintxe ifete e

aee preitle ae apic numeor nu po condtecu peiatel aplicate notilo La fe predicatee coarument re o anumită sintx u pot tine asupra unorexpresii cu o altă sintx deoaree nu r coseva bnefoare De exemplu precatl ete roşu e aplicnumeor o expresie precum ""Roşu(x)

"este roşu

"u este

popoie diatee ce aplic pecao nu pot aplicate propoiio etc De exempu preitl epropoziţii "G"p

""nu poate apliat unui nue au unui

prdicat exresiile "G"x""

sau "G"x""

nu sunt bnomte

iversl foe ale paradoxului Mincinou utconsie r a in seam de sintaxa arumentelor

predicatelor Poivt prcipiuui bivanei o propoiie nupoate deât adevrt sau flsă ie propoziţia car măepre sn c este lsă p "Propozia p

"est fasă

"

respctiv p = Fals("p"

) Cre este vlore e e aevăr?Dac prespunem est devrată atuni et ebus e aă aungând a conradicie

Aevrt("p) (presupunere)Aevrat("al("p ) )

als("p"

)

66


66/176

Dac mem c este as uni ese aevra,zânuse ar, n conaţe

Fals(p) (presuunere)

F als(Fals())

Aderat(p

)

Preiat Fals(p) se apc uma popozţilor

Dac p Fls(p) auci pent ca p s e prpozţe

ese neces c agument preatu Fals s e

propoţe respecv ese eesr p s e ppoţe

czânuse er os Îe ne ae consaat buoar ţnân sem c notaţa rebue spoa eim pin subsea cu expes notat nregilmele dac se înceac ceast operaţie se ajunge a oexprese nesar

F ls(F asF as )) .

2 Semaca ma pedcaeor

2 Inteete ogcă

2 Ineprearea logc a vaiablelor

Fecare caegoie e varable este epea pe câe domen e constante inepretave varableepropoţonale sunt inteprete pe domeniul valoior eaer V T } vrabiele ndviduae s ntepretatee omenul constnteo individue { aj . . am bj

n

} ar onsaele predatve sun ntepeae

�e

omenul constnteo edictive F { rn rnm gen k } b 'l , g n respecan use tte n va e

peve respeve.

67


67/176

Înr el tre domen de contnt npetatve tăutoa rle onnee preatv u funcţ dedeă de onstntee iviuae resptiv unt nciident p Dn cu vori î V Dacă avem n veee undomeniu cătt din n constante ndivdue D { a2a} exit onsne predcatve monre contantebnare în genea 2 cntante re e exemplu dacă eoprim la un domenu alcut n ouă constante ndivuleD2 {a a}, tabelul constanteor precatve monare enterltv a este

TT

TT

Se contat ă exst o contant pedcativă cae are

valorea f şi o constant predcatvă cre are vaoareadevăt pent oice constantă ndivdu Ceealte ouconstante u valoara adevrat doa pent un dineconstantle ndivale dn D. beu constanteorpreave bnare reatve l D2 este uoul

ahl)

(ha2 a2,l) 22)

g

g 1 T

2g T

g 5 T T T T

212. tepera logi a onstantor

Contantel lmbajuu predateor unt intepretateog prn n e advăr dene p lasa valorlor e

8


68/176

evăr, în aelaşi mo a consnele orespunoae alelmbul propolor

2 . 3 Ineprarea loă a cuantcatori lor

Dac D { a ! , , a} este domeniu constantelorinvdle, cuanicaol exisenal pimeşe umăoareanepreare logc:

3x)A x ) A a . . ) v A( a . ) v v A( a )

De exempu, ormul (3x)Fx�y) re nepree

Ineprerea cuacatoului universal se obnuiliznd dena acesuia:

(x)( . x . ) -3x)( x . . ) -(A( a . . ) v-A( . a ) v v -A . a . . ))

(x) x . ) ( . . . a2 . ) ( )

Bunoară pr epretare logc fomule x)Fx�y)e ajune a:

rnul e, formua ()y)Fxy) ar ntepretrea

(�G) Faa) F=a)) v v((F�Ga) (2G) (FaGa))

Î ua ntepreării formulelo uanae vaiabileleegae prn cuancaoi sun elimnae nd ubsue pn

69


69/176

constante exemplu de m sus ree ndvdle uăsat ou onstntelor nvduale rămânând numavabilele ectve

2 4 nterretr ogcă formuleor

Fomuele limbuu redicteo sunt nteretteogc e un domenu D atfe

a) inepretea cuntctolorb) inerreare vrielor dvdule ş recave

c) ecre sub exres simă obnu rn elnrecuntctoor şi varabllor ndvule ş redctveeste nterttă n vlo de adevăr onorm tabeelor careenesc constntele redctve

) ineetare constatelor rn cţ de devăr.

De exemlu, ă nteretăm logc exre "F v e D2:

) rn ntererea vrle ndvdue se onexresle

b) ntepretaea vable reve

fO v fO ; fO2 v -fO2 v - v - f2 v 22 v -2a23 v 3a2 v -f2

c) exresle obnute sunt nteretate rn vori eaevă

70


70/176

v- vv- Tv-TTv-T v-Tv-T; Tv-T

d constele sut nterette n ncle deadevăr oresăore oţnânduse pent eceexrese nu ntereare devă.

Se deoseesc dfete rete de neretre Bunăoară ofouă Fx oe nee l Fa câd steerea ua vaaa dvulă - âd

neere afeteză dor vrl retv saucomle când oe soul dn cdul foule sutnteete n costante neet ve M treuedeosetă neretre limă când foule sunteree n sevenţe de lor de devăr oul x

este neretă a nâ n exrsa cre l rândul

eşte eretare Inereare loă reue să esece sn

ereso nterete de ldă varalele ndvdue nuo neree n constnt edve l fel cvalele redve nu etă ca nterere cosanendvdule. e exelu F', unde ' ese o onsnă

redtvă nu este o nerere corecă oule Fx

deorece nalcă snx Sntx onsntelor redcveconne vale ndvdule ltfe r osl să lestne de consntel ndvdue e cee n cul dea sus daă l ndvdulă ese nteră ntrocosnă rdctvă nu este enă Ffx

ransoândredcul nr x

redc de redce

ncălcre onsrânelor snax rereoă oulelor lulu redclor onduce lardoxu cu este redcal

n de Russell Un

7


71/176

edct te stsut e el nsuş su nu. e eemlurctul "roşu()

"nu este oşu e cân "rect()

"ese

un rect. esre rctele cre se lcă lor nseeunm că sunt edce, r celt se necmedce Aa roblem acă redctul

"mrecabl ste rcbl u nu ă reunm ăeste recbl n s lcă lu nsuş dcă estmrebl ă resuunem că este mrebl, tunu s lă s e ete recabl.

otăm rctul "redal n "Pre"

ş"mrecbl

"n "Im

"Un redt este mredbl

dcă nu e lcă eş

m(") F("F") ş

re("F) m("Fx")

că Imp este redcbl tunc tebue să e mrecbl

red("Im") (resuunee)-Im("m

")

-m("m"

)m("m

")

I acă Im este mrecbl, tunc ct trebue să e

mcabl

Im("Im") (esuunere)

-Im("m"

)re("m

")

roxul medc fecteă lmbajul rctelorăând ă omulel sl amt nteretă căror n oteatrbu o vlor detmntă e evăr conrr conţ debne omr

72


72/176

L o nlz rgros, rzu pardox antst rr înlr sntax la prdatorrdc "prdca

" ş "prd" snt prdt d

dca snx or st "d("Fx"" stv

"Ip("Fx"" C do nu sunt redcte de redcte de

redcte pn r, st o ro sntc s pcs prd n lt întrr dc Im stpd s prd n st corc ps, dorprspn o înr rgor sntx

n vd d m st prdcl r rgunt prdu e spt "x

" s sstut n prdcul nând ptândsnx cst dn

d(Fx"rd("Ip("G

" r n s o xps infot aj prdctor dor ontrvndnţ prd "prdc

" c dc d rdct.

L s înâp ând vr s st d Im stprdl

Ip("Fx"

Ip("Ip("G"

n r, prdox mredc n fzj rdlor, nd cons pn încr sntxisti j doa g tnţ spr potnţconsânlor sinc

22 nterretre ntur

2 2 rr vor în lj ntrll ndvd snt nrtt prn nume

xp v x dn for "Fx" dt ntrr

73


73/176

pcm John st a ariabill x şi y dn fonla "Fy"

a ca ntprta "oh st în laia R c ams"

Viabill prdcat snt inrtat pn prdicatBnăoaă, o nttar natală pntr "Fx

"st "Soca

s tnian nd aabila indvidaă a ost ttaă

pn ml "Socat"

a aabila pdcatiă, pnpdical st anian

"Vabill popoiional snt

intrtat prn popoi smpl la l c limbalpopoilo

2 taa cancatoo în bal naa

Cantcato stnial st intrtat prn psipcm "să

" "ni

" "o pa

"tc ia cantcator

nisl admit c int oc" "ocar

", "o

"tc

Fola (x)(x&Gx) am inaa "să obicca nt att F cât ş ' ia fola ()FGx) a caintrtr "rc obict ca st F s "

23 taa consanto n bal natal

Constanl libali prdcalo ami dptnrpa în lmbal aral aclaş xpsi ca constantl cospnăoa din lmbal propoziilo

23 Simoizae ş omaizae

2 Simboliaa n limbal pdcalo

Smbolzara în limbal pricalo s dsşoaăpă acla gl ca ş n mbal popozlo, la cr sadagă gl pntr simbolil no intos

a) N n simboliat pn viabil indidalb) Pdcal sn smbolizat prin vabi pdica

tiv


74/176

c) Cuicaoi sun imbolizaţi pn smbuluancao o

D xmplu, xpsi pcum "Romna"

, "Evs"

"mnscu

"sun mbolia pn aabil pcum "x

", "y

c a nul lo, xpsil "s po"

, "a a"s oşu" "a m ungm" sun smboliza prn arablpiai mona, "Fx

"Al xpsii " s ma m

c ."

, " . s mai boga c " " . . s a lui .

"

au ca smbolu aiabil picaiv bna, "Fxy xpsi pcm "oca

", "oc

", "o sun smbolza

pn uancaoul nrsal, ir "n", "x, ,0 pa

"

pr cuaniaol xsnţial.

.3 Formalizara n lmbaul pcalo

a) Formala popozţlo simpl Popozţlimpl sun alui n n num un pca a

num+nmZ +numpica Numl suntsmbola pin aab niual prcaul, prnoaabl picai na Prn conn aiablapca s plasa naina aablo niual, ao oin bui s ospun cu oina nmlo pca l smbolizz. D xmplu, popozţa "Romna s

rpublc"

s faliza pn "Fx" un "x

"s smboulnumlui "Romna", a F

" smbolul pricuu " . s public

"Fomalizn popoziţia Romnia s la

no Bugia"

s aung la "Fxy"

b) Fomalizaa popozţiilo compus Popoziţiilompus po onţn un num n sau nni propozţiimpl

pmu az, popoziţil compus onn un num

ni popozii smpl ş nco popozionaliFormalzaa o cug af

75


75/176

fomaiza popoiţio simp lizând pnps idnic simbol dnic şi pn xp dfsmbol r

smbolizara ncoro popoziţona;i consra foi cospnzăoa propozi

da dcnd c ajol simbolrior axili domn şodina opaolo

D xmpl să oalăm popoziţia omânia spbcă ş s aă a nod d Blgaa Propozţcomponn s omâna s pbică omâni

s aă a nord d lgaa

= Gxy opoiia dă onn nsg co popozona c al conncţ, aşa ncâ sobţ oa x&y

Un popoziţ omps ca conţ inni d mpopozţi simpl po xpma n lmbaj naa prnmijloac ni c aol canicor o xmplpopoţa compsă Dacă oca s om aci oca

s aţona şi dacă Paon s om anci Paon s aţonaş dcă Aiso s om anci Aso s aţiona şi

ca s xnd aspa o nmlo din limbal naals prmaă ni zând ccao nsa oţioan sn aţionai imbaj pdcalo miomni

ş aţona sn simboia pn vaiabi

pdcav laţa pspsă n l pin popozţi daăs smoaă ao impica maral acancaol s simbolia prn smbo canicaorinivsl obnânds oma xxGx casăxps nco implic n lagă doă vaibilpopoiţon ci doă vaibi pdicv, ând naş

n ed omexPopoţil canica parclar sn foalzaliând cancaor xsnţa oa cospnăoapnr popoţia Uni oam sn aţionali

s

7


76/176

x)Fx&Gx Popole slostce sn oaae înlmbal predcaeo asfe

Notate Formaatgoia Formu

A o S snt P Unesal xSXPx)

aatE Nc n S n Uesal x)Sx-x)

ese neaI Un S snt " Pacla x)Sx&x)

aaO U S n snt Pacla x)S&-x)

P"

neat

Pe ln popole omplexe ae connantcao nesal ş exstenal, exst popozcancae nmec cm sn Do cop se oac în aacase, Cel p o st de depta n a otat eea

, tre O 0 de ele a os în ecrse ec. Lmalpedcatelo n conne mjloace pentr a oaa asemeneapopo lmtândse la cancatol nesal ş celexstena De ceea se mpne compleea lsesmbollo lmbajl pedcatelo prn adaeacntato lo nmec De fapt ce do cancator snca paclae de cancator nmec Cantcatorl

nesa epent numl maxm de constante nddaleconnte de n domen, a cutcatol exsenal estedenc c cantcatol cel pn nl

De exemplpopoa Cnc sden pomoa examenl

poae fonalat asfel 5x)Fx&Gx), unde Fx x este stdentGx a pomoat examen

Iteetaea loc a cancaol nme ese odsnce de conjn în cae n nm de constantenddale pecat pn cantcator satsfac pedal, acelelale onsane n îl satsac. Ia nterpetaea loc a

77


77/176

oli (xF p n doni c onin i consanindidal

(xFx (Fa&F&-Fa3 v (Fa-a&Fa3 (-F&Fa&Fa3

S consta c şunţ p acaşi oni adn ln foll (xFx ş (xFx a aaşin ia inrpaa pnt (xFx s acşi c( x (cl pn n x st

(>lxFx ( &Fa&Fa3 (Fa &Fa&-Fa3 (Fa&-&Fa3 (-&Fa&Fa3 (Fa&-Fa-Fa3 (-Fa&Fa&-Fa3 v (-Fa&-a&Fa

-(-Fa&-Fa&-Fa = FaFaFa (xFx

Logica predicateor

3 . Voze omueo imjuu editeo

Foll logici prdicatlo sun inat logc pdfi doni d consan ndvdl Dac oicna a ni fol p n sna doni st

advat, aunci ola s vdă laiv la doni d

intar . Î cal î ca oic inrpa p doniu st s aunci ola s ieziă ltv a dac unl nrpi sun devăt ia altl nt satnci fola st eiză n rapo c donl dintpt

D xpl s calc inrptl li E Fx Gx p n don al dn do constntndiidal D = a b } . Conanl pdca auol n

78


78/176

a b f f T f T T

nerprele foe dae oaele

Fx Gx FavGa FbvGbf f f f T

f f f f3 T Tf f T f) Tf f2 T Tf f3 T T

f T f T T T f f3 T Tf T Tf3 f T

f3 f T Tf T T

Formla da ese eiziă pe domenl deoeceadme a eeaea devăt c ş nepeae

xis siaţi în ce ole ade pe l domen n

sn alide pe n domen e exempl e ormaFxx)Fx Aceas foml ese ald pen domen D a deoaece FaFa ese ald Aceeaş fol eseneald pe domenil D = {a,b neele paţale sn

79


79/176

F aFaFF( a&F

acă F f atnc formla dată ae nerpetaea :fafb ( � pin ae n este o

folă valdă pe Pe de altă pae, eistă foe vai depentr oce omen cm a "Fx v Fx

". e ângă vaole

logice elatie la n domeni teie denie valor logiceunvese ale formulelo din imaj pedicaeo

o omlă valdă pe oice omen de constante

ndvdale se nmee unves vdă; o ormlă ealiablă pe oice domeni de consne individae se nmeşe unves eză;

c celelalte fole sun eaiale.

32 Metode de deze

ogica pedicaelo constă di nsamll olelounves vde. e nă seamă că n se poae decde aspane omue pentr ecae dinte domenile posile Exisănsă pentr ecae ormă n domeni de rng mm selîncâ, dacă forma ese valdă pentr acel doen aunceste nvesa vaidă Rangul domenili minm teie să e

asel ncâ să asge vaietaea maxmă de nteetăi alefomlei exempll de ma s domenil codce doaa doă ineeăi dete : ş �:� n vreme cedomenl geerează 3 nteretăr : �:�icât extnde domel de nerpeae n s oinemai mlte inteeăr ltime geneal acă o fomă

conne n vaale ndividuale domenil mini teie săconnă 2 elemene penr aigae vaeăţi e icieltă

80


80/176

acă o folă ae onţie n aiale indidualeese adă pe un domeni de angul 2 aunc ese nealaldă

Deciia n ogca pedcaelo pespne cacle

laooase ş edudane De aceea sa maina eriemeode mpicae de decize Deoaece consanelepedcae sun ncţi de adeă de consanele ndiidalepem decide aspa une oe E a logici pedicaeloeddo l o olă a logc propozţilo

a)se calcleaă domenl d dz couăo

folei E) ola E ese nerpeaă paţal emnnd

cancaoi şi alele ndidle;c) uexpesle mnime din inereăle paţale ale

expesei E cae n onţ ncor popozionali, snsue pn ae popozţonale ondse o

mlţime de fole lmajl popoţlo, EId) se decide aspa oleo d E dacă oae

acesea sn ai de au E ese unesa aldă dacă oaefolele dn E sn ealale, aci E ese esaliealală în ale siuaţi E ese realailă

De exempl să decdem aspa fole x)FxFx

a) domel de decizie ese D) eliminarea canicaoul F a&Fb )Fxc) eiminarea aale ndvdae Fa&F )Fa

Fa&F )Fd ssiuiea prin arale popozţionale &

&qe) oae olele obţe sun alde ol daă

ese unesa valdă.

8


81/176

ă dedem m aspra olei ((FxGy

a domenil de dezie este D4b &Fay; &(FaaGa &(FaaGa (FaaGa

&(a44d / q &(q &( q &( q4;e expesia daă ese eaabă

Deza logca pecatelo poae smpcată ăa o lma a domen detemin e ntă ă neeme oaeae al domeil telo indiie

dide âmpl onstateor pedae doă le dpăum reztu interpretări este adeăat sa fls eexempl î a domel D otanta ddală dde mp pedatelor î {f f} pentr ae se obineterpeaea devă ş { f3 } are geneeaă neetaea geeal petr n domei oaeae onsata k

diide âmpl pedateo deiile pese ae domeni lasele C ş C Doă onsane ndidae id âmplpedieo în pr lase şi î geneal n sistem de nostne ididale ond a 2 lase de onsaepedatie Pen a dede este sen a ariabilelepredate să e nteetate pr singr elemet din

eare asă de prediate eitâdse edndanaDe p să deidem aspra ouei "Fx(xFx Fie eemen oareare a domei de deze e obinefol pal eeaă

Fa( Fa . .

Vaaba pedatiă este inerpetă pe ând âe uneleme dn C şi din CCa( Ca . . ( . T

Ca( Ca T( . T . T T

82


82/176

oa dată ese nvesa vadă ă decde Ş asafoei "x(x)x"

a( &a& . )Ca( &Ca& ) ( && . ) = T

Ca( . . . &Ca& . ) T(. &T & )T (când consecven n conne , de idă en

doen care are n sing eeen) (când consecvent conne, bnăoaă, ent n

doen c ce ţn doă eeene

oa daă este vadă e ante domnii şi nevaidă eatele rn rare, n este nvesa vadăMatrcee decionae ot scate inând seaa

că, în cal ne fone se, x", câ consanteoredcatve se îarte în doă case dă c, inomeae c o consantă ndivdaă, se obne sa

Aeste case se odcă în nţe de constantaindividaă e ş cee doă clase

1 ondtx T 0

oa dată este nvesa adă nai dacă 0,

resectv, dacă F este interetat rin redcatl nesalUtzând aseenea atce, te decide şi asrafoneo cancate otv abe rător

l 1 ondtx T I0

(x)x T

(3x)x T T 1

8


83/176

Lna a rea conţe conda ca fola cantcaănversal să e nversal validă. Dacă varabla redcatvăeste ntereaă rntrn redica niversal atnc exresaobţntă are nterearea advăat enr orice doenLna a cncea conţine condţia ca forla cantcată

exsenţal să e nversal vadă esectv, clasantereărlor să n e vidă

33. Axomatzaa logc dcatlo

Unl dntre cele ai cnosce sstee axoae ae

logic redcaelor este sisel HlbeAceannonstanele logice ale sstel snt negaţa concţadsjncţa lcaţa aerală echvalenţa aterială la carese adagă ccaor nversal şi exstenal Sistelilbe-Acean conţne şase axome în rimele araar na varable roozonale, reetând-se axioelessel logc ooiţlo

H (vA2 (vH (v(vHAA (((rv(rvH (xFxFyH F(xFx

Reglile de detaşae snt

HAD. Regla sb stţ einae;

AD2 ega sbsţeibere

varablelor ooiţo

variableo ndividale

AD Rega de sbstitţe a varablelor redicatve

8


84/176

H4 Rega modu onn;H5 Regua de roducere a cancatoru ui

ersa AB x . ) 1- AyB . y . . ude x ese ieră îB ş aae î A iar y n aare î A sa B;

H6 Reua de inodcere a caticaori

exsteţa A x B yA y B î aceeaşcodţiiH7 Rega de redemre a aiaieor egae

C ajuoru axomeor şi a egor de detaşare sdeiae ae regi de deaşare şi eoreme.

paţ a og prdaor

4 Dtmnaa vao ogc a oozo dn mbajunatua

eru a deema aoarea ocă a ue rooii d

imaj aa iizd oca redicaeor se rocedeazăastfe

a rooiţa daă ese foaizaă ogicaredcaeor

asra foei oţie se aică o meodă de

decizie di oica redcaeor;c î cţie de rezua deziei ogice asra

formuei se staeşe aoarea ogic a rooiiei dacă foa este ersa aid atuc rooţia

ese auooe; dac foma ese nersa reaizaiă atci

ooziţia ese o coradicţie;ii dacă foa ese eaizaiă atuci oozţiase faca.

85

Documents

Ionel Narita - Logica Simbolica