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Ionen-Bindung (z.B Gruppe I+VII) Salze sehr stark: ~5-10 eV
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Halogenelemente und Alkalimetalle können durch Elektronen-aufnahme, bzw. -abgabe eine Edelgaskonfiguration erreichen
der eigentliche Energiegewinn entsteht aufgrund des Coulomb-Potentials durch die regelmäßige Anordnung der geladenen Ionen in einem dreidimensionalen Gitter, das insgesamt elektrisch neutral ist
einfachste Kristallstrukturen der Salze
±1 rij
NaCl-Struktur CsCl-Struktur
⎤⎡ − q2R q = Ionenladung
∑≠
±=α
ij ijp1
Rr
p ijij = + / - = anziehend/abstoßendMadelung-Konstante
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡α−λ= ρ
−
RqezNRU N = Anzahl Ionenpaare
z = Anzahl nächster Nachbarn (Koordinationszahl)
R = Abstand nächster NachbarnBindungs-Potential
z = Anzahl nächster Nachbarn (Koordinationszahl)ρ = Abklinglänge der abstoßenden Wechselwirkungλ = Amplitude der abstoßenden Wechselwirkung
Potential im KCl-Kristall
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
ote t a C sta
repulsiver Anteil
Rρ
−λ∝ ez
q2
α−∝
Coulomb-AnteilR
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
kovalente Bindung Halbleiter sehr stark: ~3-8 eV
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
g(Gruppe IV, III+V)
Überlapp der Wellenfunktionen führt zu einer Elektronenpaarbindung gerichtete Bindung
Ψ1,2 ∈ R (1s-Einelektron-Wellenfunktionen)
ACdVH ±ψψ∫ ∗
21 ψ±ψ=ψ
dVHdVHC ∫∫ ∗∗
Bindungsenergie (H2
+-Molekül)
C = Coulomb-IntegralS1AC
dVE
±±
=ψψ
ψψ=
∫∫
∗dVHdVHC 2211 ψψ=ψψ= ∫∫ ∗∗
dVHdVHA ψψ=ψψ= ∫∫ ∗∗dVdVS ψψ=ψψ= ∫∫ ∗∗
A = Austausch-IntegralS = Überlapp-Integral
dVHdVHA 1221 ψψ=ψψ= ∫∫dVdVS 1221 ψψ=ψψ= ∫∫
C Si G h b l V l l k k fi i 2 2
→ sp1-Hybridisierung: zwei gleiche Orbitale in linearer Anordnung
C, Si, Ge haben als Valenzelektronenkonfiguration s2p2
spx -Hybridorbitale
3 H b idi i i l i h
→ sp2-Hybridisierung: drei gleiche Orbitale in planarer Anordnung mit 120°
Diamant-Struktur
→ sp3-Hybridisierung: vier gleiche Orbitale in tetraedrischer Anordnung
→ starke und gerichtete Bindung
Kovalente BindungRepetition Einführung in die Festkörperphysik
Orbitale im H2+-Molekül
(Q ll Ch Ki l(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)(Quelle: Ibach/Lüth,
Festkörperphysik, Springer, Berlin)
Elektronendichte im Germanium
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
Einheiten: e− / Einheitszelle
p-Orbitale sp-Hybridorbitale
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
p-Orbitale sp-Hybridorbitale
sp1-Hybridorbitalesp -Hybridorbitale
(Quelle: K. Krane, Modern Physics, Wiley, New York)
sp2-Hybridorbitale
Diamantstruktur sp3-Hybridorbitale
(Quelle: K. Krane, Modern Physics, Wiley, New York)
(Quelle: Ibach/Lüth, Festkörperphysik, Springer, Berlin)
Van-der-Waals-Bindung (Gruppe VIII)
Edelgaskristalle schwach: ~ meV
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
(Gruppe VIII)gegenseitig induzierte Dipole in den Atomen; auch bei T = 0 K vorhanden wegen der quantenmechanischen Nullpunktsenergie
Ursache:
10tot HHH += 22
22
21
210 xf
21p
m21xf
21p
m21H +++=
zwei harmonische OszillatorenHamilton-Operator (für zwei ident. Atome)
{ 44 344 2143421WWKernElektron
2
2
1
2
WW.Elektr.Elektr
12
2
WWKernKern
2
1 xRe
xRe
xxRe
ReH
−−−−−−
++
−+
−++= Coulomb-WW
WW
Taylorentwicklung attraktive Wechselwirkung!213
2
1 xxRe2H −≅
Neue Resonanzfrequenzen
( )62
3
2
021
as21
0 R4
Rfe2
812U2UU ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ σ
ε−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=ω−ω+ω=−=Δ hhEnergiedifferenz
im Grundzustand
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ σ
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ σ
ε=612
RR4RU zwischen zwei Atomen
⎠⎝⎠⎝im Grundzustand
Lennard-Jones-Potential⎥⎦⎢⎣
0R
Utot =∂
∂ 09.1R0 =σ
Gleichgewichtsabstand im Kristall
Edelgas-Kristalle (van-der-Waals-Bindung)
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
dichteste Kugelpackung(kubisch flächenzentriert)
g ( g)
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)Lennard-Jones-Potential
N A K X1.09
Ne1.14R0/σ
Ar1.11
Kr1.10
Xe1.09
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Metall-Bindung (Gruppe III) Metalle stark: ~1-8 eV
ausgedehnte Wellenfunktionen der äußersten Elektronen (4s, 5s)→ positive Atomrümpfe und relativ frei bewegliche, delokalisierte Elektronen→ Abschirmung durch „Elektronengas“ führt zu ungerichteter Bindung→ hohe elektrische und thermische Leitfähigkeit
Ursache:
→ hohe elektrische und thermische Leitfähigkeit→ kristallisieren vorwiegend in dichtester Kugelpackung→ gute mechanische Verformbarkeit
Wasserstoffbrücken-Bindung Faltung von org. Molekülenschwach:~0.1 eV
H gibt bei Bindung an ein stark elektronegatives Ion sein Elektron fast vollständig ab. Der kleine H-Kern (Proton) kann dann ein negativ geladenes Atom binden.
Ursache:
A - H - A
A - H ... B
Bindung zwischen gleichen Ionen A
Bindung zwischen ungleichen Ionen A, B
Bravais-Gitter (Translationsgitter)
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Z∈++= i332211 n,anananrrrrr
(= periodische Anordnung von Punkten im Raum mit Translationsinvarianz)
i iti Gitt kt→
r =Gittervektor→
ai = primitive Gittervektoren
rittervektoT,Trr G=+=′vrrr
jeder Gittervektor kann durch eine Translation erreicht werden:
,
primitive Gittervektoren spannen das gesamte Translationsgitter auf
∃ mehrere Sätze primitiver Gittervektoren für ein bestimmtes Bravais-Gitterp
Bravais-Gitter in 2D 5 Bravais-Gitter: Parallelogramm-Gitter
Quadrat-Gitter
hexagonales Gitter
Rechteck-GitterQuadrat Gitter Rechteck Gitter(primitiv, zentriert) Punktsymmetrien
1 (Identität) C (E)
Drehungen: Drehinversion / Drehspiegelung:i1 (I i )
_
internat. Notation
(Hermann-
1 (Identität)
Schön-flies
C1 (E)
2 (180°) C2
3 (120°) C3
i
σ
S6
1 (Inversion)
2 (m = Spiegelung)_
3_
(HermannMauguin) 4 (90°) C4
6 (60°) C6
S4
S3
4_
6_Drehung +
InversionDrehung + Spiegelung
Bravais-Gitter in zwei Dimensionen
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Parallelogramm-Gitter Quadratgitter hexagonales Gitter
Beispiele primitiver Gittervektoren (blau). D ( i h l ) Pf il i i hDas rote (gestrichelte) Pfeilpaar ist nicht primitiv!
fünf Bravais-Gitter:fünf Bravais Gitter:
Quadrat-Gitter:
Parallelogramm-Gitter: a1 ≠ a2, ϕ ≠ 90°
a1 = a2, ϕ = 90°
a1 = a2, ϕ = 120°
Rechteck-Gitter:
hexagonales Gitter:
a1 ≠ a2, ϕ = 90°
→ → Rechteckgitter zentrierteszentriertes Rechteck-Gitter: a1 ·a2 = a1
2/2→ → Rechteckgitter zentriertes
Rechteckgitter (Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
Bravais-Gitter in 3D
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Bravais Gitter in 3D
in drei Dimensionen gibt es insgesamt 14 Bravais-Gitter, die in 7 Kristallsysteme unterteilt sind
Klassifizierung nach zunehmender Punktsymmetrie
jedem der sieben Kristallsysteme kann eine minimale Symmetrie zugeordnet werden die durch ein Punktsymmetrieelement charakterisiert wird
14 Bravais-Gitter (minimales Symmetrieelement):
werden, die durch ein Punktsymmetrieelement charakterisiert wird
triklin ⇒ 1 oder 1_
monoklin (primitiv und basiszentriert) ⇒ 2 oder 2_
orthorhombisch (primitiv, basiszentriert, raumzentriert, flächenzentriert) ⇒ zweimal 2 oder 2
_
hexagonal ⇒ 6 oder 6 _
rhomboedrisch (trigonal) ⇒ 3 oder 3 _
tetragonal (primitiv, raumzentriert) ⇒ 4 oder 4_
kubisch (primitiv, raumzentriert, flächenzentriert) ⇒ viermal 3 oder 3 _
Die 14 Bravais-Gitter in drei Dimensionen
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
system no. of lattices
restrictions
triklinprimitiv basiszentriert
monoklinlattices
triclinic 1 a1 ≠ a2 ≠ a3α ≠ β ≠ γ
orthorhombisch
monoclinic 2 a1 ≠ a2 ≠ a3α = γ = 90°≠ β
orthorhombic 4 a1 ≠ a2 ≠ a3β 90° orthorhombisch
primitiv basis-zentriert
flächen-zentriert
raum-zentriert
α = β = γ = 90°
tetragonal 2 a1 = a2 ≠ a3α = β = γ = 90°
hexa-rhombo-edrisch primitiv raum-
tetragonal
cubic 3 a1 = a2 = a3α = β = γ = 90°
trigonal 1 a = a = a gonaledrisch
(trigonal)primitiv raum
zentrierttrigonal 1 a1 = a2 = a3
α = β = γ < 120°, ≠ 90°
hexagonal 1 a1 = a2 ≠ a3α = β = 90° γ = 120°
(Quelle: Ibach/Lüth, Festkörperphysik, Springer, Berlin)
kubischprimitiv flächen-
zentriertraum-
zentriert
α = β = 90 , γ = 120
Primitive Elementarzelle Parallelepiped, das genau einen Gitterpunkt enthält
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
( ) ( ) ( )213132321EZ aaaaaaaaaVrrrrrrrrr
×⋅=×⋅=×⋅= Volumen der primitiven Elementarzelle
primitive Gittervektoren 321 a,a,arrr
kleinste Einheit, aus der das Gitter raumfüllend aufgebaut werden kann
Wigner-Seitz-Zelle
3
besitzt im Zentrum genau einen GitterpunktWigner-Seitz-Zelle besitzt im Zentrum genau einen Gitterpunkt
Konstruktion durch Bildung der mittelsenkrechten
hat die volle Symmetrie des Bravais-Gitters
gEbenen auf den Verbindungslinien zu den nächsten(und ev. über- und überübernächsten) Nachbarn
Kristallsystem = Punktgitter + BasisKristallsystem = Punktgitter + BasisBasis: wird ausgedrückt durch Gittervektoren, die aus Gründen der Symmetrie auch nicht primitiv gewählt werden können
a2→
→
a2→
→
a2→
→
+Bemerkung:Di T l i i i a1 a1 a1
→Die Translationsinvarianz muss nach wie vor für jedes Atom in der Basis erfüllt sein Punktgitter + Basis = Kristallsystem
Primitive ElementarzelleRepetition Einführung in die Festkörperphysik
( ) ( ) ( )213132321EZ aaaaaaaaaV rrrrrrrrr×⋅=×⋅=×⋅= Volumen der primitiven
Parallelepiped, das genau einen Gitterpunkt enthält
( ) ( ) ( )213132321EZ aaaaaaaaaV pElementarzelle
= primitive Gittervektoren321 a,a,arrr
kleinste Einheit, aus der das Gitter raumfüllend aufgebaut werden kann
(Quelle: Ashcroft, Mermin, Solid State Physics SaundersPhysics, Saunders, Philadelphia)
bcc-Struktur fcc-Struktur
Wigner-Seitz-ZelleRepetition Einführung in die Festkörperphysik
besitzt im Zentrum genau einen Gitterpunkt
hat die volle Symmetrie des Bravais-Gitters
Konstruktion durch Bildung der mittelsenkrechten Ebenenauf den Verbindungslinien zu den nächsten (und ev. über-und überübernächsten) Nachbarn
hat die volle Symmetrie des Bravais-Gitters
und überübernächsten) Nachbarn
ebenes Parallelepiped fcc-Struktur(face-centered cubic)
bcc-Struktur(body-centered cubic)
(Quelle: Ashcroft, Mermin, Solid State Physics, Saunders, Philadelphia)
Miller-Indizes beschreibt die Schar aller parallelen Gitterebenen (Netzebenen) im Kristall: (h k l), wobei h, k, l ganze Zahlen sind
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
( ), , , g
Schnittpunkte der Ebene mit den durch die (primitiven) Gittervektoren definierten Koordinatenachsen → 3 2 2
1.Bestimmung der Miller-Indizes:
Gittervektoren definierten Koordinatenachsen → 3, 2, 2
nehme den Reziprokwert → 1/3, 1/2, 1/2
finde die kleinsten ganzen Zahlen mit gleichem
2.
3. finde die kleinsten ganzen Zahlen mit gleichem Verhältnis → 2, 3, 3 Miller Indizes: (2 3 3)
3.
Beispiele von Miller-Indizes(1 0 0) (1 0 0)
_(2 1 3) {1 0 0}
negative Abschnitte mit
Balken
Gesamtheit aller Ebenen mit Symmetrie
der (1 0 0) Ebene
parallele Abschnitte
ergeben 0“(h k l)
Balken der (1 0 0)-Ebeneergeben „0
Richtungen im Kristall haben eckige Klammern: [u v w]Richtungen im Kristall
[1 0 0] [1 1 0]_
[1 1 1]
(u, v, w sind die kleinsten ganzen Zahlen mit dem gleichen Verhältnis wie die Komponenten der die Richtung beschreibenden Gittervektoren
<1 0 0>parallel zum
a1-Gittervektor→Entlang der Winkelhal-bierenden zwischen a1-
und -a2-Gittervektor→
→parallel zur
Raumdiagonalen der Elementarzelle
Gesamtheit aller Rich-tungen mit Symmetrie der [1 0 0]-Richtung
Netzebenen im KristallRepetition Einführung in die Festkörperphysik
Beispiele von Netzebenen im kubischen Kristall
Miller Indizesim kubischen Kristall
(1 0 0) (1 1 0) (1 1 1)
bestimme die Schnittpunkte mit
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
1.
(1 0 0) (1 1 0) (1 1 1)
pden Koordinatenachsen → 3, 2, 2
nehme den Reziprokwert → ⅓, ½, ½2.(2 0 0) (1 0 0)
_
finde die kleinsten ganzen Zahlen mit gleichem Verhältnis → 2, 3, 3
Mill I di (2 3 3)
3.( )
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
( )
Miller Indizes: (2 3 3)
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Anzahl nächster Nachbarn im KristallsystemKoordinationszahl
N Cl S k
y
NaCl-Struktur zwei verschachtelte fcc-Strukturen um [½ 0 0] verschoben Basis: Cl: 0 0 0, ½ ½ 0, ½ 0 ½, 0 ½ ½
Na: ½ 0 0, 0 ½ 0, 0 0 ½, ½ ½ ½Koordinationszahl: 6 (d.h. 6 nächste Nachbarn)4 NaCl-Einheiten pro kubische Elementarzelle
CsCl-Struktur zwei verschachtelte einfach kubische StrukturenCsCl Struktur zwei verschachtelte einfach kubische Strukturen um [½ ½ ½] verschoben
Basis: Cs: 0 0 0Cl: ½ ½ ½Cl: ½ ½ ½
Koordinationszahl: 8 (d.h. 8 nächste Nachbarn)1 CsCl-Einheit pro kubische Elementarzelle
Einfache KristallstrukturenRepetition Einführung in die Festkörperphysik
NaCl-Struktur CsCl-Struktur
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)Physics, Wiley, New York)
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics Wiley New York)
zwei verschachtelte fcc (= kubisch flächenzentrierte)-Strukturen um
Physics, Wiley, New York)
zwei verschachtelte einfach kubische Strukturen um [½ ½ ½] verschobenflächenzentrierte) Strukturen um
[½ 0 0] verschobenStrukturen um [½ ½ ½] verschoben
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Diamant-Struktur zwei verschachtelte fcc-Strukturen um [¼ ¼ ¼] entlang der Raumdiagonalen verschoben
Basis: 0 0 0, ½ ½ 0, ½ 0 ½, 0 ½ ½¼ ¼ ¼, ¾ ¾ ¼, ¾ ¼ ¾, ¼ ¾ ¾
Koordinationszahl: 4 (d.h. 4 nächste Nachbarn)
8 Atome pro kubische Elementarzelle
Packungsdichte: 34%Packungsdichte: 34%
Zinkblende-Struktur zwei verschachtelte fcc-Strukturen um [¼ ¼ ¼]Zinkblende Struktur(ZnS)
zwei verschachtelte fcc-Strukturen um [¼ ¼ ¼] entlang der Raumdiagonalen verschoben
Basis: 0 0 0, ½ ½ 0, ½ 0 ½, 0 ½ ½Zn: , , ,¼ ¼ ¼, ¾ ¾ ¼, ¾ ¼ ¾, ¼ ¾ ¾
Koordinationszahl: 4 (d.h. 4 nächste Nachbarn)
S:
4 ZnS-Einheiten pro kubische Elementarzelle
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Diamant-Struktur Zinkblende (ZnS)-Struktur( )
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York) (Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
zwei verschachtelte fcc-Strukturen um [¼ ¼ ¼] verschoben
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
hexagonal dichteste Kugelpackung (hcp)
60°-Basis: 0 0 0, ½3 1 3/1/
1 3/2 3/zwei verschachtelte hexagonale Gitter um [ ½] (in einer 120°-Basis) oder um [ ½] (60°-Basis) verschoben1 3/1 3/
Koordinationszahl: 12 (d.h. 12 nächste Nachbarn)
120°-Basis: 0 0 0, ½1 3/2 3/
2 Atome pro hexagonale ElementarzellePackungsdichte: 74%
S lf l ABABABStapelfolge: ABABAB...
kubisch dichteste = fcc-Gitter (entlang der Raumdiagonalen betrachtet)!kubisch dichteste Kugelpackung (ccp)
fcc Gitter (entlang der Raumdiagonalen betrachtet)!
Basis: 0 0 0, ½ ½ 0, ½ 0 ½, 0 ½ ½
Koordinationszahl: 12 (d.h. 12 nächste Nachbarn)Koordinationszahl: 12 (d.h. 12 nächste Nachbarn)4 Atome pro kubische ElementarzellePackungsdichte: 74%
Stapelfolge: ABCABCABC...
Dichteste KugelpackungenRepetition Einführung in die Festkörperphysik
hexagonal dichteste Kugelpackung (hcp)
kubisch dichteste Kugelpackung (fcc)
A
B
AC
(Quelle: Ashcroft, Mermin, (Quelle: Ashcroft, Mermin,
B
B
C
Solid State Physics, Saunders, Philadelphia)
Solid State Physics, Saunders, Philadelphia)
AA
AC
(Quelle: Ashcroft, Mermin, Solid State Physics, Saunders, Philadelphia)
(Quelle: Ashcroft, Mermin, Solid State Physics, Saunders, Philadelphia)
BC
Stapelfolge ABABAB... Stapelfolge ABCABCABC...
Bedeutung der Symmetrie
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Bedeutung der Symmetrie
wenn eine Kristallstruktur invariant unter einer Symmetrieoperation Sist, dann besitzt auch der Hamilton-Operator H diese Symmetrie
H und der Symmetrieoperator S sind vertauschbar: [S, H] = 0
H und S besitzen ein gemeinsames System von EigenzuständenH und S besitzen ein gemeinsames System von Eigenzuständen
Die Eigenzustände von H lassen sich nach den Eigenwerten derSymmetrieoperation klassifiziereny p
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Gitterkonstante Ausdehnung der Elementarzelletypische Werte: 1-10 Å (1 Å = 0.1 nm)
Beugung an Kristallen Voraussetzung: Wellenlänge λ ≤ 1 Å
Röntgenstrahlung im keV-Bereich
Elektronenstrahlen ab 100 eVNeutronenstrahlen ab 50 meV
Bragg-Bedingung n = Ordnung des BeugungsreflexesN∈λ=θ n,nsind2Bedingung für konstruktive Interferenzg g
θ
keine Information über Intensität der Reflexe
konstruktive Interferenz von den an parallelen Gitterebenen reflektierten Teilstrahlen
d
θ
2θ
Elektronendichte ( ) ( )rnTrn rrr=+ 0i332211 n,anananT Z∈++=
rrrrRepetition Einführung in die Festkörperphysik
Elektronendichte ( ) ( )rnTrn =+orenGittervektprimitiveai =
r
Streuung der Röntgenstrahlen an der Elektronendichte
Translationsinvarianz des Gitters führt zur Periodizitätaller physikalischen Eigenschaften
Elektronendichte kann als Fourier-Reihe dargestelltwerden
1-dim. komplexe ( ) ∑π xp2i nn =∗mit1 dim. komplexe
Fourier-Darstellung der Elektronendichte
( ) ZC ∈∈= ∑>
p,n,enxn p0p
ap
pp nn =−mit
damit n(x) ∈ R
besitzt Periodizität a, d.h. n(x + a) = n(a)
der Faktor 2πp/a hat die Dimensioneiner reziproken Länge und
n(x)
einer reziproken Länge undbeschreibt einen Gitterpunkt imFourier-Raum des Kristalls, der alsreziproker Raum bezeichnet wird
x (m)
G (m )-1
a
2πa
4πa
-2πa
-4πa
-6πaezip oke aum be e c et w d
die Fourier-Darstellung von n besitzt nur Werte an denreziproken Gitterpunkten 2πp/a
a aaaa
Elektronendichte ( ) ∑ ⋅= rGiGenrn
rr
rr
G = reziproker Gittervektor →
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Elektronendichte(dreidimensional)
( ) ∑G
Ger
p
GG nn rr =∗−mit damit n(x) ∈ R
die Vektoren sind so zu wählen, dass ( ) ( )rnTrnrrr
=+Gr
( )∫ ⋅− rGidV1 rrr V V l d( )∫ ⋅−=EZV
rGi
EZG erndV
Vn r
r VEZ = Volumen der Elementarzelle
die Fourier-Zerlegung einer Funktion, die periodischdie Fourier Zerlegung einer Funktion, die periodischim Kristallgitter ist, hat nur Komponenten anreziproken Gitterpunkten des Kristalls
primitive reziproke 32 aa2brrr ×
π [ ] 1mb −=
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
primitive reziproke Gittervektoren ( )321
321 aaa
2b rrr×⋅
π=
13 aa2brrr ×
π=
[ ]i mb =
ai = primitive Gittervektoren im realen Raum
→
( )3212 aaa
2b rrr×⋅
π=
21 aa2brrr ×
π=
im realen Raum
( )3213 aaa
2b rrr×⋅
π=
bi spannen das reziproke Gitter auf→
ijji 2ab πδ=⋅rr
t h k ht j i i iti Gitt kt⎩⎨⎧
=≠
=δji,1ji,0
ij
stehen senkrecht zu je zwei primitiven Gittervektoren des Kristallgitters
0i332211 v,bvbvbvG Z∈++=rrrr
jede Kristallstruktur hat zwei charakteristische Gitter:
reziproker Gittervektor [ ] 1mG −=
Kristallgitter im realen Raumreziprokes Gitter im reziproken Raum
Reziprokes GitterRepetition Einführung in die Festkörperphysik
kubisch raumzentrierte Struktur
kubisch flächenzentrierte Struktur
(Quelle: Ch. Kittel,
(Quelle: Ch. Kittel,
Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
R l b i k R f
Realraum: fcc
Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
Realraum: bcc reziproker Raum: fcc
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid
reziproker Raum: bcc
Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
Streubedingung kkk,Gkrrrrr
−′=Δ=Δ G = reziproker Gittervektor →
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
g g ,G p
die Menge der reziproken Gittervektoren enthält alle möglichen Beugungsreflexe
( ) ( )∑∫∫ ⋅Δ−⋅Δ− rkGirki dVdVFrrrrrr
St lit d
alternative Formulierung (identisch mit Bragg-Bedingung
2GGk2 =⋅rr
( ) ( )∑∫∫ ⋅Δ−⋅Δ− ==G
rkGiG
rki endVerndVFr
rr
GnVF r= falls Streubedingung erfüllt, sonst
Streuamplitude
0F =
N t b b t d 2π afür kubische
die Streuamplitude hat nur Beiträge an Punkten des reziproken Gitters
Netzebenenabstand[für Netzebene (hkl)] hkl
hklG2d r
π= 222hkl
lkhad
++=für kubische
Systeme gilt:
( )lkhblbkbhrrrr
der reziproke Gittervektor steht senkrecht zur Netzebenenschar mit Miller-Indizes gleich den Komponenten des reziproken Gittervektors
( )lkhblbkbhG 321hkl ⊥++=
Miller-Indizes gleich den Komponenten des reziproken Gittervektors
die Miller-Indizes sind die Komponenten des kürzesten reziproken Gittervektors, der senkrecht zur Netzebenenschar steht
Ewald Konstruktion
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Ewald-KonstruktionEwald-Kugel: Kugel mit Radius k
der Wellenvektor k der einfallenden Welle endet auf→
→k
→Δk = G
→
jeder Schnittpunkt der Kugel mit dem reziproken Gitter definiert die Richtung eines Beugungsreflexes
der Wellenvektor k der einfallenden Welle endet auf einem beliebigen Gitterpunkt
→k‘
Brillouin Zone di 1 B ill i Z i t di Wi S it Z ll
Gitter definiert die Richtung eines Beugungsreflexes
Brillouin-Zone die 1. Brillouin-Zone ist die Wigner-Seitz-Zelledes reziproken Gitters
der Rand der n Brillouin-Zone definiert= ½ G
der Rand der n. Brillouin-Zone definiert alle k-Vektoren, die im Kristall Bragg-reflektiert werden können
rr 1rr
→G→
k
2GGk2 =⋅rr
2G21Gk =⋅
rr
= mittelsenkrechte Ebene auf G→
= Streubedingung
Brillouin-ZonenRepetition Einführung in die Festkörperphysik
1. Brillouin-Zone: Wigner-Seitz-Zelle im reziproken Gitter
alle Brillouin-Zonen haben das gleiche Volumenn. Brillouin-Zone:lassen sich durch Translation um einen reziprokenGittervektor lückenlos in die erste Brillouin-Zone verschieben
1 BZ1. BZ2. BZ3. BZ
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
St kt f kt ( ) ( )∑ ∫ ρ⋅−⋅−s
GirGi dVS jrrrr r s = Anzahl Atome
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Strukturfaktor ( ) ( )∑ ∫=
ρρ=1j
Gi
Vj321G endVev,v,vS
EZ
jr s Anzahl Atomein der Basis
rj = (xj, yj, zj) = Koordinaten der B i t0i332211 v,bvbvbvG Z∈++=
rrrr
( ) ( )∑ ++π−=s
zvyvxv2ij321G
j3j2j1efv,v,vS r
Basisatome033
=1jder Strukturfaktor beschreibt die Interferenzen durch die Streuung an identischen und elektronische gleichwertigenAtomen innerhalb einer ElementarzelleAtomen innerhalb einer Elementarzelle
jrrrrr
−=ρAtomfaktor ( )∫ ρ⋅−ρ= Gijj endVf
rrrgilt allgemeinjrrρ
( ) ( )∫ ρ
ρρρρπ= j
2j G
Gsinnd4f nj(ρ) = kugelsymmetrischeElektronendichte
( )∫ ρV
jj g g
∫ ρV G Elektronendichte
zusätzlich: nj(ρ) bei ρ = 0 zentriert( ) Znd4fV
j2
j =ρρρπ= ∫Z = Anzahl Elektronen im AtomV Z Anzahl Elektronen im Atom
der Atomfaktor beschreibt die Stärke der Streuung an einem Atom (Thomson-Streuung)
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Methoden der Strukturanalyse
Laue-Methode:nutzt breitbandige Röntgenstrahlung λ - λ0 um Ewald-Kugel zu verbreitern
liefert nur die Symmetrie nicht die StrukturStreubedingung häufiger erfüllt
Drehkristall-Methode:
liefert nur die Symmetrie nicht die Struktur
Der Kristall wird um eine Achse gedreht. Die Reflexe werden auf einem Film aufgezeichnet, der um den Kristall fixiert ist.
di R fl d l ti K i t ll i ti f i h t
Debye-Scherrer (Pulver)-Methode:
die Reflexe werden relativ zur Kristallorientierung aufgezeichnet
y ( )
gemessen wird ein Kristallpulver. Die Reflexe werden auf einem Filmstreifen aufge-zeichnet, der ringförmig um die Pulverprobe parallel zur Einfallsrichtung gelegt ist.
sehr genaue Methode
Methoden der StrukturanalyseRepetition Einführung in die Festkörperphysik
Laue-Methode:nutzt breitbandige Röntgenstrahlung λ1 - λ0
Wellenvektorbereich: k0 – k1
„Verdickung“ der Ewald-Kugel
Streubedingung häufiger erfüllt k
k1g g g
liefert nur die Symmetrie nicht die Struktur
(Quelle: Ashcroft, Mermin, Solid State Physics, Saunders, Philadelphia)
0k0
Drehkristall-Methode:Der Kristall wird um eine Achse gedreht. Die Reflexe werden auf einem Film aufgezeichnet, der um den Kristall fixiert ist.
Bragg-Reflexe laufen auf Kreisendurch die Ewaldkugel kdurch die Ewaldkugel
die Reflexe werden relativ zurKristallorientierung aufgezeichnet
(Quelle: Ashcroft Mermin
k
(Quelle: Ashcroft, Mermin, Solid State Physics, Saunders, Philadelphia)
Methoden der StrukturanalyseRepetition Einführung in die Festkörperphysik
Debye-Scherrer (Pulver)-Methode:y ( )gemessen wird ein Kristallpulver. Die Reflexe werden auf einem Filmstreifen aufgezeichnet, der ringförmig um die Pulverprobe parallel zur Einfallsrichtung
Δkk k‘
k‘Δk
kPulverprobe parallel zur Einfallsrichtung gelegt ist.
Mittelung über alle RichtungenKugel mit Radius Δk
k k k
Kugel mit Radius Δk
Schneidet Ewald-Kugel in Kreisensehr genaue Methode
(Quelle: Ashcroft, Mermin, Solid State Physics, Saunders, Philadelphia)
k‘
(Quelle: G. Burns, Solid State Physics, Academic, Orlando)
Temperaturabhängigkeit Bragg-Reflexe bleiben scharf
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Temperaturabhängigkeit der Röntgenreflexe
Bragg Reflexe bleiben scharf
Intensität nimmt ab mit zunehmender TemperaturIntensität nimmt ab mit wachsendem
Debye-Waller-Faktor
Intensität nimmt ab mit wachsendem Streuvektor bzw. reziprokem Gittervektor
( ) ( )s
tuGirGij eeftS j∑ ⋅−⋅−=
rrrr
r
( ) ( )turtr jjrrr
+= thermische Fluktuation um die Gleichgewichtslage
zeitlich gemittelter St kt f kt( )
t1jjtG eeftS ∑
=
r Strukturfaktor
( ) ( )∑ ⋅−− s
rGiGtu61
j2
t2
efSSetSrr
T l E t i kl( ) ∑=
==1j
jGG6
tGjefS,SetS rrr aus Taylor-Entwicklung
( ) ( ) 2Gtu312
SIIetSI2
t2
rr ===−
Intensität( ) G00tG SI,IetSI rr ===
TGk 2
Intensität
Debye-Waller-Faktor:( ) 2
t2 Gtu
31
e−
0M
TGk
IeI 2B
ω−
=Intensität für harmonischen Oszillator:(Masse M, Resonanzfrequenz ω)
ebye W e o e
Temperaturabhängigkeit der Röntgenreflexe in Aluminium
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Röntgenreflexe in Aluminium
Beobachtungen:
Bragg-Reflexe bleiben scharf
(200)
(400)
Intensität nimmt ab mit zunehmender Temperatur
Intensität nimmt ab mit
(600)
wachsendem Streuvektor bzw. reziprokem Gittervektor
(800)
(10 00)(10 00)
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
Gitterschwingungen Modell: jedes Atom ist ein harmonischer Oszillator
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Atome sind durch die Bindungskräfte gekoppelt
N gekoppelte harmonischen Oszillatoren in drei Dimensionen
dli h l li K i N A
Anwendung: für Wellen in kubischen Kristallen, die entlang hoch-symmetrischer Richtungen ([100], [111], [110]) laufen
unendlich lange, lineare monoatomare Kette mit N Atomen1-dim.
Bewegungsgleichung: ( )s1s1s2s
2
u2uufdt
udM −+= −+
us = Auslenkung des s. Atoms aus der Ruhelage
M = Masse des AtomsM = Masse des Atomsf = Federkonstante zwischen
zwei Atomena = Gitterkonstante
Ansatz: ( ) ( )taski0
txki0s eueuu ω−ω− ==
ebene Welle x = s a, s ∈ Z
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=ω
2kasin
Mf4Dispersionsrelation der
linearen monoatomaren Kette
k ∈ [- π/a, π/a] 1. Brillouin-Zone: reziprokes Gitter: b = 2π/adefiniert alle sinnvollen Werte von ω(k)!
GitterschwingungenRepetition Einführung in die Festkörperphysik
longitudinale Welle transversale Welle
u u u u uus+4
us+2us+1usus-1us-2
us-1 us us+1 us+2 us+3
a a
K K
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
s-1 s s+1 s+2 s+3 s+4 s-1 s s+1 s+2s-2s-3
a
physikalische Relevanz der 1 B Z k π≤≤
π− ZB1k ∈
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
physikalische Relevanz der 1. B.Z.
die 1. Brillouin-Zone enthält ll ö li h W t (k)
ak
a≤≤ .Z.B.1k ∈
Periode des reziproken Gitters: b = 2π/aalle möglichen Werte von ω(k)
( ) ( ) ti0
stisi0
taski0s eu1eeueuu max ω−ω−πω− −===an der Zonengrenze:
(k = k = ± π/a)(k = kmax = ± π/a) stehende Welle!
,dkdvgω
= ( )kv kg
rrrr ω∇=Gruppengeschwindigkeit ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
2kacosa
Mfvg,
dkg ( )kgpp g g⎠⎝ 2Mg
langwelliger Grenzfall kaMf
≅ω constaMf
kvvg ==
ω==
(ka << 1) Melastischer Grenzfall (Kontinuumslimit)
Mkg
Bedeutung vonBedeutung von periodischen Randbedingungen
sNs uu =+
1e aNki =periodische Randbedingung (N = Periode)
Z∈π
= n,Nn
a2k
genau N diskrete k-Werte in der 1. B.Z.
GitterschwingungenRepetition Einführung in die Festkörperphysik
Relevanz der B ill i Z
Dispersionsrelation für lineare K tt it id ti h At ersten Brillouin-ZoneKette mit identischen Atomen
Wellen bezüglich At iti i ht
1. BZAtomposition nicht
unterscheidbar!
/ 0 / 2 /a
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
-π/a 0 π/a 2π/a
Gitterschwingungen in Kristallen mit zweiatomiger Basis
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Modell: 2N gekoppelte harmonischen Oszillatoren in drei Dimensionenlineare biatomare Kette mit 2N Atomen, period. Randbeding.
Anwendung: Wellen in NaCl-, CsCl-, Diamant-Strukturen entlang der [111]-Richtung
Bewegungsgleichung ( )s1ss2s
2
1 u2vvfdt
udM −+= − ( )ss1s2s
2
2 v2uufdt
vdM −+= +2dtMi = Masse der Atome
Ansatz ( )taskieuu ω−= ebene Wellen x = s a s ∈ Z
2dt
( )taskievv ω−=
f = gleiche Federkonstante
Ansatz s euu = ebene Wellen x s a, s ∈ Zs evv =
Dispersionsrelation ( )kacosMM2MMMMf
MMMMf 21
22
21
2121
2122,1 ++±
+=ω
ka << 1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=ω+
21
2
M1
M1f2( )
22
21
2 akMM2
f+
=ω−akustischer Ast [ω(k→0) = 0]
optischer Ast [ω(k→0) ≠ 0]
ka = ±π/a1
2
Mf2
=ω−2
2
Mf2
=ω+akustischer Ast (M1 > M2)
optischer Ast (M1 > M2)
GitterschwingungenRepetition Einführung in die Festkörperphysik
Dispersion für Germanium (80 K) in [111]-Richtung
O
Dispersionsrelation für lineare Kette mit zwei Atomen
LO
TOoptische Phononen
(Quelle: Ch. Kittel, TA
LA
Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)akustische
Phononen
Dispersion für KBr (90 K) in [111]-Richtung
LO
TO(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid
TALA
Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
Anzahl Moden p Atome / primitiver Elementarzelle
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
(periodische Randbeding.) 3p Äste der Dispersionsrelation ω(k)
3 akustische Äste [ω(k → 0) = 0] pro Elementarzelle
(3p-3) optische Äste [ω(k → 0) ≠ 0] pro Elementarzelle
ein longitudinal polarisierter Ast: LA oder LO
zwei transversal polarisierte Äste: TA oder TO
akustische Äste: 1 LA + 2 TA
bei N Elementarzellen gibt es genau N Moden pro Ast
optische Äste: (p-1) LO + 2(p-1) TO
g g p
insgesamt 3pN Moden für N Elementarzellen mit p Atomen
3N akustische und (3p-3)N optische Moden
Phonon Energiequantum einer Gitterschwingung, bzw.
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Phonon
( )1 nnE N∈ω+= h
n = Besetzungszahl
Energie eines Phonons
Energiequantum einer Gitterschwingung, bzw. quantisierter Gitterschwingungszustand
N = Anzahl Atome( ) 02phon n,nE N∈ω+= h
( )ωρ
+=
Vn2u 2
120
hquantisierte Amplitude:
Energie eines PhononsM = Masse des Atoms
V = Volumen des KristallsDi ht d K i t llωρV
Kristall Impuls hk i kpr
hr
= k h = Wellenvektor des Phonons→
ρ = Dichte des Kristalls
Kristall-Impuls(Phononen-Impuls)
phonkrist kp h kphon Wellenvektor des Phonons
das Phonon verhält sich in Streuprozessen als ob es einen Impuls hätte. Aber es hat keinen
Bemerkung:
physikalischen Impuls, da der Gesamtimpuls des Kristalls verschwindet außer für k ≡ 0
inelastische Streuung an Phononen
Gkkk phon
rrrr+=+′ Phonon-Erzeugung G = reziproker
Gittervektor
→
Gkkk phon
rrrr++=′ Phonon-Vernichtung
k, k’ = Wellenvektor des ein-/ausfallenden Teil-chens (z. B. Photon, Neutron, Elektron)
→ →
Zustandsdichte Anzahl Moden im Wellenvektorintervall dk( ) dNkD =
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
(im k-Raum in 1-D)Anzahl Moden im Wellenvektorintervall dk( )
dkkD =
Modell: lineare monoatomare Kette der Länge L = Na
Randbedingung: Enden fest N: Anzahl Atome
N32k π=
ππππ= L
( ) ( ) 0kLsinNkasin ==a: Atomabstand
N-1 k-Werte (Moden)aL
,L
,L
,L
k == L N-1 k-Werte (Moden)
jede Eigenmode kann eindeutig einem k-Wert zugeordnet werden d h man kann die k Werte
Bemerkung:
( ) ==L1kDk π
=ΔModenabstand:
zugeordnet werden, d.h. man kann die k-Werte stellvertretend für die Eigenmoden betrachten
( )πΔk
periodische Randbedingung: us = us+N
L
1ee ikLiNka ==
Modenabstand:
( )aL
N,L4,
L2,0,
L2,
L4,,
L2N,
LNk π
=ππππ
−π
−π−
−π
−= LL
( )π
=2LkD
L2k π
=Δ N k-Werte (Moden) in der 1. BZ(N gerade)
periodische Rand- ( ) ( ) z,y,xi,eee izyx eLrkizkykxkirki === +⋅++⋅rrrr Würfel der Kan-
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
bedingung in 3-D,y,,
tenlänge L = Na, d.h. N3 prim. E.Z. im Volumen V = L3aL
N,L4,
L2,0k,k,k zyx
π±=
π±
π±
π±= L
( )( ) ( )33
3
2V
2LkD
π=
π=3-D Zustandsdichte im k-Raum
(periodische Randbedingung)
êi = Einheitsvektorin x-, y- oderz Richtung
( ) ( )( )
33 k
34
2VkdkDkN π
=′′= ∫Anzahl Zustände mit Betrag ≤ k:
z-Richtung
( ) 2
2
2kVkD =
Zustandsdichte Anzahl Zustände im
( ) ( )( )3
kRadiusmitKugel 32π∫g
(Kugel im k-Raum)
( ) ( ) 1kDdkdNdND ===ω
( ) 22π
Zustandsdichte (im Frequenzraum)
Anzahl Zustände im Frequenzintervall dω
( ){ {
( )g
Ableitunginnere
Ableitungäußere
vkD
ddkdD =
ω=
ω=ω
dkVk23 D Zustandsdichte vg = dω/dk = Gruppeneschwind. ( )ωπ
=ωddk
2VkD 2
23-D Zustandsdichte(im Frequenzraum)
diese Herleitung berücksichtigt keine PolarisationBemerkung: g gg
für große N liegen die k-Werte sehr dichtquasikontinuierliche, homogene Verteilung
Zahl der Zustände ( )( ) ( ) ( ) =ω+ω=ω+ω=ω+ω constdkconstdkconstdk
VV
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Zahl der Zustände im Freq.intervall dω ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
∫∫∫=ω
⊥ω=ω=ω π
=π
==ωωconstk
3constk
33
constk
3 dkdS2Vkd
2VkdkDdD
r
3mit ⊥ω= dkdSkd3 dSω = Flächenelement im k-Raum auf der Fläche ω(k) = const
dk⊥ = Komponente von k senk-→
die Zahl der Zustände im Frequenzintervall dω ist gegebenBemerkung:
dk⊥ Komponente von k senkrecht zur Fläche dSω
die Zahl der Zustände im Frequenzintervall dω ist gegeben durch das Produkt von D(k) mit dem Volumen des k-Raums zwischen den Flächen ω(k) = const und ω(k) + dω = const
Bemerkung:
( )mit ( ) ( ) ( ) ⊥ω∇=⋅ω∇=ω dkkkdkkd kk
rrrrrrrr
( )( )kkddk
k
rr
r
rω∇
ω=⊥
( )( ) ( ) ( ) ∫∫
=ω
ω
=ω
ω
π=
ω∇π=ω
const g3
const k
3 vdS
2V
kdS
2VD rrr
r
3-D Zustandsdichte(im Frequenzraum)
Ableitung von D(ω) hat einen Pol für vg = 0van Hove-Singularität
Zustandsdichte der Phononen
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Berechnung der Zustandsdichte im 2-D k-Raum
π/a2π/10a
Zustandsdichte im Silizium
π/a
k→
period. Randbedin-gungen für L = 10a
2π/10a
chte
D(ν
)
(Quelle: Ch Kittel
1. BZ:2π/a
k
(Quelle: Ibach/Lüth, F kö h ikus
tand
sdicFläche pro k-Punkt:
(2π/L)2 = (2π/10a)2
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
erlaubte k-
Festkörperphysik, Springer, Berlin)
Frequenz ν (1012 s-1)
Zu
(1012
s-1)Punkte im
Kreis k: πk2/(2π/L)2
(Quelle: Ibach/Lüth, requ
enz
ν
Festkörperphysik, Springer, Berlin)
Zustandsdichte D(ν)
Fr
Γ KX ΓΓ LX
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Planck-Verteilung ∑∞
=ωλ
=
−
=0s
sTk
,k Ps1e
1nB
hr 1
Tkxfür,Tkn
B
B,k <<
ω=
ω≅
λ
h
hr
<nk,λ> = mittlere Besetzungszahl
−1e
<nk,λ>
λ = Polarisationsindex
innere Energie ( )∑∫λ
ω
ωωω= DdU
Tkh
h x-1 = kBT/hω
Wärmekapazität UC ⎟⎞
⎜⎛ ∂
= betrachten hier nur Gitteranteil C l
λ−1e TkB
von Phononen constVV T
C=
⎟⎠
⎜⎝ ∂
= betrachten hier nur Gitteranteil CV ,lat
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Debye-Näherung kv=ω berücksichtigt nur akustische Phononen (v = const.)
Nv6 323 π
=ωcut-off Frequenz wird so gewählt, dass gleich i l M d Ph i i VD =ωviele Moden pro Phononenast existieren:
Debye-Temperatur DD k
ω=θh
∫Dx 344
B xdTVk3Uinnere Energie ωh Faktor 3 berücksichtigt
y pB
D k
∫ −π=
0x332
B
1edx
v2U
hinnere Energie
Tkx
B
= Faktor 3 berücksichtigt alle Polarisationen λ
33⎞⎛⎞⎛
3⎞⎛
Debye T3-Gesetz(T << θD)
3
DB
3
DB
4
lat,VTkN234TNk
512C ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛θ
≅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛θ
π=
DB
4 TTNk53U ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛θ
π=
Gesetz von Dulong-Petit(T >> θD)
constNk3C Blat,V ==
klassischen Grenzwert eines 3D schwingenden Systems mitklassischen Grenzwert eines 3D schwingenden Systems mit N Atomen, bei dem alle Schwingungsmoden angeregt sind
Wärmekapazität der Phononen
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
ä e apa tät de o o e
Wärmekapazität der Wärmekapazität vonWärmekapazität der Phononen (Debye)
Wärmekapazität von Germanium und Silizium
Ge
SiSi
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
Wärmekapazität der Phononen
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
p
T3-Gesetz von Debye fü f t A
Vergleich des Debye- mit d Ei t i M d llfür festes Argon dem Einstein-Modell
)
Debye
mol
-1K
-1)
Einstein
Cv
(mJ
m
(Quelle: Ashcroft, Mermin, Solid State Physics Saunders Philadelphia)T3 (K3)
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)Physics, Saunders, Philadelphia)( )
b l t T t 1S ⎞⎛ ∂ S E t i
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
absolute Temperatur(statistische Definition) T
1US
V,N
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂dSTdU = S = Entropie
S
U = innere Energie
glnkS B= g = Anzahl möglicher Zustände
BkS
eg =Entropie und Anzahl Zustände
chemisches Potential(mit Massenaustausch) TN
S
V,U
μ−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂ N = Teilchenzahl
U = innere Energie
( ) ( )NS1
USEN,US1N,EUS
V,UV,N00 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−≅−− Taylor-Entwick-lung
F i Di V il ( ) ( ) 1
( ) TTEUS 0 μ+−=
Fermi-Dirac-Verteilung
T 0 E
( ) ( )1e
1T,EfE,1PTkµE
B +
== −
Boltzmann-Verteilung
T = 0 µ = EF
E - µ >> kBT ( ) TkµE
BeT,Ef−
−
=
Freies ElektronengasRepetition Einführung in die Festkörperphysik
Fermi-Dirac-Verteilung
500 K
2 5⋅104 K
104 K 5⋅103
K
5⋅104 K
2.5⋅10 K
5 10 K
105 K
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid StateIntroduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
Modell Freies gut für Alkalimetalle (Li, Na, K, Rb, Cs)
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Elektronengasg f ( )
N Leitungselektronen, N einfach positiv geladene Ionenrümpfe
Elektron wird nicht gestreut an periodisch angeordneten At (M t i ll !)Atomen (Materiewelle!)
Elektron-Elektron-Streuung selten wegen Pauli-Prinzip
( ) ( ) ( )rErkkkm2 kkk
2z
2y
2x
2 rrhrrr ψ=ψ++Freies Elektronengas
(in 3-D)zeitunabhängigeSchrödinger-Gleichung
( ) ( )trki0k et,r ω−⋅ψ=ψ
rr
rr
Wellenfunktion ebene Welle
( ) ( ) z,y,xi,reLr kik =Ψ=+Ψrr
rrperiodische Randbedingungen
êi = Einheitsvektor in x-, y-, z-Richtung
LL6,
L4,
L2,0k z,y,x
π±
π±
π±= kx,y,z quantisiertWellenvektor
( )2222
22
k zyx kkkm2
km2
E ++==hh
r kx,y,z quantisiertEnergie in 3-D
Teilchenzahl ( ) ( ) 33
kVk342kN =π
= Pauli-Prinzip:
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
31
2N3k ⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ πFermi Wellenvektor
Teilchenzahl(im k-Raum)
( )( ) 23 k
3L22kN
π=
π= z p
jedes Orbital wird mit zweiElektronen besetzt
F Vk ⎟⎟
⎠⎜⎜⎝
=
32
222
2 N3kE ⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ π
==hh
Fermi-Wellenvektor
Fermi-Energie EF = höchster besetzterFF Vm2
km2
E ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
==
FF
ET =
Fermi-Energie
Fermi-Temperatur
EF höchster besetzterEnergiezustand
BF k
TFermi Temperatur
( ) Em22V
dEdNED
23
22 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==h
Zustandsdichte ( ) EED ∝( )2dE 22 ⎠⎝π h
( )
temperaturabhängige Z standsdichte
( ) ( ) ( )EDT,EfT,ED = f(E,T) = Fermi-Dirac-VerteilungZustandsdichte
Wärmekapazität in Metallen
3V ATTC +γ= elektronischer (γ) + phononischer Beitrag (A)
(prop zu T) (prop zu T3)in Metallen(T << TF, θD)
(prop. zu T) (prop. zu T )
Freies ElektronengasRepetition Einführung in die Festkörperphysik
Fermi-Kugel Zustandsdichte des freien Elektronengas
kBT)
→Fermi-Oberfläche bei Energie E
kBT
icht
e D
(E)
T = 0 K
(Quelle: Ch Kittel
kF→ bei Energie EF
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to S lid St t Ph iZ
usta
ndsd
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
Solid State Physics, Wiley, New York)
Energie EF
Z T > 0 K
Freies ElektronengasRepetition Einführung in die Festkörperphysik
Wärmekapazität von Kalium (Quelle: Ch Kittelm
ol-1
K-2 )
C/T = 2.08 + 2.57 T2
von Kalium (Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
T2 (K2)C/T
(mJ
m
γ-Konstante der Wärmekapazität
T (K )C
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
( )kd rrr
Bewegungsgleichung
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
( )BvEedtkd r
h ×+−=Bewegungsgleichung in äußeren Feldern 2. Newton‘sches Gesetz
für B = 0→
Verschiebung der Fermi-Kugel als Ganzes um δk→
τ−=δ Eekr
h
r τ = mittlere Stoßzeit
elektrische Leitfähigkeit ne2τ m1− ifi h Wid t d
τvF=l
elektrische Leitfähigkeit
mittlere freie Weglänge
m=σ
τneσρ 2
1 == ρ = spezifischer Widerstand
Bsp. Cu: τ4K = 2⋅10-9 s, l4K = 3 mm, l300K = 30 nm
Bewegung mit Reibung ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ×δ+−=×+−=δ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
τ+ Bk
mEeBvEek1
dtd rrhrrrrr
h⎠⎝⎠⎝ τ mdt
v = hδk/m = Geschwindigkeit→ →δk/τ = Reibungsterm→
thermische Leitfähigkeit κ = WärmeleitzahlTκjQ ∇−=rr
thermische Leitfähigkeit in Metallen
TκjQ ∇
Wiedemann-Franz-Gesetz LTTk 2B
2
=⎟⎞
⎜⎛π
=κ 2
B2 kL ⎟
⎞⎜⎛π
= Lorenz-ZahlWiedemann Franz Gesetz LTTe3
=⎟⎠
⎜⎝
=σ e3
L ⎟⎠
⎜⎝
=
= 2.45⋅10-8 W Ω K-2
Lorenz-Zahl
Freies ElektronengasRepetition Einführung in die Festkörperphysik
Verschiebung der Fermi-Kugel im elektrischen Feld
Ft = 0 t > 0ky ky
kx kx
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
Temperaturab-hängigkeit des
Umklapp-StreuungGelektrischen
Widerstands in Kalium
R/R
290
K
k
q
G
Rre
l= 1
02R k
k
q
k’k’
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
R
T (K)(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York)
Modell des fast freien Einbezug der Periodizität des Gitters aber nur schwache
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Modell des fast freien Elektronengases
Einbezug der Periodizität des Gitters, aber nur schwacheWechselwirkung mit dem periodischen Potential derIonenrümpfe
fast freies Elektronengas(in 1-D)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
−
+ axπcosψee
2ψψ 0
axπi
axπi
0
stehende Wellen
2
am Zonenrand (k = ±π/a)⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−
− axπsiniψee
2ψψ 0
axπi
axπi
0
Aufenthaltswahrscheinlichkeit |ψ±(x)|2 verschiedenführt zu einer Energielücke am Zonenrand
potentielle EnergieAbschätzung der Energielücke
( )[ ]a22
∫
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
=a
x2cosUU 0
die Energielücke ist gleich der Fourier-
( )[ ] 00
22g UψψxUdxEEEE =−==−=Δ ∫ −+−+
Eg
freies Elek-
2. Band
1. Band
Komponente des Kristallpotentialstronengas
Bloch-Theorem Die Lösung der Schrödinger Gleichung für ein periodisches
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Bloch-Theorem
( ) ( ) rkikk erurψ
rr
rrrr ⋅=
Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für ein periodisches Potential hat die Form von Bloch-Wellen
( ) ( )Truru kk
rrrrr += T = Gittervektor
→mit
( ) ( ) ( ) ( ) ( )rψeeerueTruTrψ kTkiTkirki
kTrki
kk
rrrrrrr
rrrrrr
r
rrr
rr⋅⋅⋅+⋅ ==+=+
Translationsverhalten von Bloch-Wellen im direkten Gitter
( ) ( )rψeTrψ kTki
k
rrrr
rr
r⋅=+
nicht periodisch im direkten Gitter
aber |ψ|2 ist periodisch im direkten Gitter:
( ) ( ) ( ) ( ) 2
k
2
k
2Tki
2
kTki2
k rψrψerψeTrψ rrrrrrr
rr
r
rr
r ===+ ⋅⋅
Translationsverhalten von Bloch-Wellen im reziproken Gitter
( ) ( )rψrψ kGk
rrrrr =
+G = reziproker
Gittervektor
→
periodisch im reziproken Gitter
Energieeigen- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2222
hk GkGkGkkEGkEkE +++++==+=hrrrr
l
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Energieeigenwerte der Bloch-Wellen
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]zzyyxxhk GkGkGkm2
kEGkEkE +++++==+= l
G = reziproker Gittervektor →
321 bbkbhGrrrr
l++=
Energie ist periodisch im reziproken Raum
Schar von Parabeln im Abstand G(in der Näherung des leeren Gitters)
→
(in der Näherung des leeren Gitters)
es genügt E(k) in der 1. Brillouin-Zone zu diskutieren→
zu jedem k gibt es ∞ viele Energieeigenwerte Ehkl(k)→ →
es genügt E(k) in der 1. Brillouin Zone zu diskutieren
Ursache der Entartung am Rand jeder Brillouin-Zone wird durch das i di h P i l f h bEnergiebänder periodische Potential aufgehoben
E(k) i t h b d t b h ä kt d i di h
es entsteht eine Energielücke am Zonenrand
E(k) ist nach oben und unten beschränkt und periodisch
es entstehen Energiebänder zwischen den Energielücken
Anzahl Zustände im Energieband
jedes Energieband enthält genau 2N Zustände
Fast freies Elektronengas
Repetition Einführung in die Festkörperphysik
Entstehung der Energiebänder
Bandverlauf anBandverlauf an der Zonengrenze
Zonengrenze
Ene
rgie
zweites Band
erstes Banderstes Band
(Quelle: Ch. Kittel, Introduction to Solid
k/(½G1)
Energie-bänder
State Physics, Wiley, New York)
(Quelle: Ashcroft, Mermin, Solid State Physics, Saunders, Philadelphia)