Iskazi2

1

Дискретна математика 1

Литерартура

� Kenneth H. Rosen, AT&T Laboratories , DISCRETE MATHEMATICS AND ITS APPLICATIONS, SIXTH EDITION International Edition 2007. The McGraw-Hill Companies, 2007, ISBN-13: 978-007-124474-9

� Rowan Garnier and John Taylor University of Brighton, UK: Discrete Мathematics for New Technology Second Edition, IOP Publishing Ltd 2002, ISBN 0 7503 0652 1

� Множества и логика, Билјана Јанева

2

Што е всушност Математиката?

� Не се работи само за броеви!� Математиката е многу повеќе од тоа:� Математиката е , најопшто, проучување на

било кои и сите сигурни вистини

за

било кои и сите добро-дефинираниконцепти.

� Но, овие концепти можат да сеоднесуваат на броеви, симболи, објекти, слики, звуци, билошто!

Што е суштината на математиката?

� Суштината на математиката е всушностпроучување на формални системи.

� Формален систем е било кој ентитет дефиниранперфекно прецизно, така што нема не може даима недоразбирање што значи истиот.

� Еднаш штом се воспостави ваков систем и сепостават правилата за расудување за истиот, тогаш се што може да се заклучи за тој системсо следење на тие правилата е апсолутновистинито во контекс на тој систем и тиеправила.

� Бројните системи не се единствените системиза кои може да се зборува, тие се само системикои најшироко се користат. На пример можемеда зборуваме за геометриски фигури вогеометријата, слики во алгебра на слики и таканатаму.

3

Што е математички систем?

� Секогаш кога прецизно дефинирате зашто зборувате, поставувате множествоод аксиоми и правила за еден систем, тогаш тоа по дефиниција е математичкисистем , и секогаш кога ќе откриетенедискутабилни последици од овиеправила правите математика.

� На извесен начин лесно е да сикреирате своја нова гранка наматематиката.

� Дали некој друг ќе смета дека новатаобласт во математиката е интересна едруго прашање.

На што се однесува овој курс?

� Што е тоа “дискретна математика“воопшто? – Математичко проучување надискретни објекти и структури.

� “Дискретни” - - Составени одразлични разделиви делови. (Спротивно на непрекинати.) дискретни:непрекинати :: дигитални:аналогни

� “Структури” – Објекти изградени одпоедноставни објектии според некоидефинирани шеми или правила.

4

Дискретни структури со кои ќе се

сретнеме

•Искази•Исказни функции•Докази•Множества•Функции•Алгоритми•Матрици•Цели броеви

•Низи•Пермутации•Комбинации•Реалации•Графови•Дрва•Булови алгебри

Користење на дискретна математика

� Почнувајќи од обични структури вологиката и теоријата на множествапостојат теории кои ги разгледуваатаспектите на реалниот свет како:– Физиката– Биологијата(DNA)– Разумно размислување (логика)– Природни јазици (дрва, множества,

функции, ..)– …– Се што сакаме прецизно да опишеме

5

Дискретна математика за

компјутерски науки

� Основата на работа сокомпјутерите е :Дискретна манипулација надискретни структури претставениво меморијата.

� Дискретната математика еосновниот јазик и концепцискаоснова на сите компјутерскинауки.

Примери

•Алгоритми иструктури наподатоци•Компајлери иинтерпретери.•Формалнаспецификација иверификација•Компјутерскиархитектури

•Бази на податоци•Криптографија•Кодови закорегирање нагрешки•Алгоритми заграфика ианимација, машиниза играње и т.н.

•ДМ е релевантназа сите аспекти наинформатиката!

6

Цели на курсот

� По завршувањето студентите треба даможат:– Да ја проверат валидноста на едноставни

логички аргументи (докази). – Да ја проверат точноста на едноставни

алгоритми. – Креативно да конструираат едноставни

логички точни аргументи и точни алгоритми. – Да ги опишат дефинициите и својствата на

голем број посебни дискретни структури. – Правилно да прочитаат, претстават и

анализираат различни типови на дискретниструктури користејќи разбирливи ознаки.

ЛОГИКА И ДОКАЗИ

7

Што е логика (математичка логика)?

� Логиката се користи за да се определивалидноста на аргументите. Притоа не секонцентрира на тоа за што се однесувааргументот туку повеќе со обезбедувањена правила такви што за општиот облик нааргументот може да се просуди дали е воред или не.

� Правилата кои ги обезбедува логиката нидаваат можност да провериме дализаклучокот изведен од одреденипретпоставки е во согласност сопретпоставките или постои некоја фалинкаво дедуктивниот процес со кој сеподдржува точноста на заклучокот.

Зошто е корисна математичката

логика?

� Логичките правила даваатпрецизно значење наматематичките изрази. Овиеправилата се користат за даразликува меѓу точни и неточниматематички аргументи.

� Освен разбирање наматематичкото размислувањелогиката има бројни примени вокомпјутерските науки.

8

Зошто логиката е важна за

компјутерските науки?

� База во математичкото размислување ибило кое автоматско размислување� Дизајнирање на машини за пресметување� Спецификација на системи� Вештачка интелегенција� програмски јазици и кола� дизајнирање на алгоритми, � анализа на програми, � дизајнирање на системи и� други кретативни работи во КН

Зошто логиката е важна за

компјутерските науки?

� За да се разбере математиката треба дасе разбере како да се работи со точнитематематички аргументи – доказ� теорема

� Ако го знаеме доказот на некојатеорема, секогаш можеме да јамодифицираме за некоја конкретнаситуација� Развој на нови идеи

� Доказите имаат голема улога водокажување на точност на програма

9

Основи на математичката логика

� Математичката логика претставува алатказа работа со сложени реченици и изјави.

� Вклучува:• Формален јазик за нивно изразување. • Концизни ознаки за нивно пишување. • Методологија за објективно расудување за

нивната вистинитост или невистинитост. • Претставува основа за изразување на

формални докази во сите гранки наматематиката.

Исказно сметање

�Исказната логика е логика на сложениискази кои се градат од поедноставни

реченици и користење на таканаречениБулови сврзници.

Некои примени во информатиката-Дизајнирање на дигитални електронски кола-Изразување на услови во програми-Прашалници за бази на податоци и машини запребарување.

Topic #1 – Propositional Logic

George Boole(1815-1864)

Aristotel(384 B.C. – 322 B.C.)

10

Дефиниција на ИСКАЗ

� Дефиниција: ИСКАЗ (се означува со p, q, r, …) е:декларативна реченица (т.е. изјава) со одреденоконкретно значење, која има вистинитоснавредност која е точно (Т) или неточно (F) но не идвете или нешто “помеѓу“

� Но, може и да не ја знаете соодветната вистинитоснавредност,

� и, вистинитосната вредност може да зависи одситуацијата или контекстот.

Примери на искази

� “Надвор врне.” (во дадена ситуација.)� “Скопје е главен гарад на Македонија.”� “2 + 2 = 5”

� Следните реченици не се искази:� “Колку е часот?”� “Ла ла ла ла ла.”� “Направи го тоа!”� “Јаболкото е вкусно овошје”� “1 + 2”

Topic #1 – Propositional Logic

11

� Оператор или сврзниккомбинира еден или повеќеизрази во поголем израз. – Унарните оператори дејствуваат на

еден израз; – Бинарни оператори дејствуваат на

два изрази.

� Логички(исказни) или Буловиоператори дејствуваат на искази(или нивни вистинитоснивредности) .

Оператори / Сврзници

Topic #1.0 – Propositional Logic: Operators

Попознати Булови оператори

ФормалноФормално имеиме НазивНазив АрностАрност СимболСимбол

НегацијаНегација НЕНЕ ((NOTNOT)) УнарнаУнарна ¬¬

КонјункцијаКонјункција ИИ ((ANDAND)) БинарнаБинарна ∧∧

ДисјункцијаДисјункција ИЛИИЛИ ((OROR)) БинарнаБинарна ∨∨

ЕкслузивнаЕкслузивна дисјункцијадисјункција ИлиИли--илиили

((XORXOR))БинарнаБинарна ⊕⊕

ИмпликацијаИмпликација ПОВЛЕКУВАПОВЛЕКУВА

((IMPLIESIMPLIES))БинарнаБинарна →→

ЕквиваленцијаЕквиваленција АККОАККО ((IFFIFF)) БинарнаБинарна ↔↔

12

Негација

� Унарниот оператор негација “¬” (НЕ) го трансформира одреден исказ вонеговата логичка негација.

� Пример ако p = “Скопје е главенгарад.”тогаш ¬p = “Скопје не е главен град.”

� Вистинитосна табела занегација:

p ¬p T ⊥ ⊥ T

T :≡ Точно; ⊥ :≡ Неточно

“:≡” значи “е дефинирано со”

Исказно сметање. Сврзници

Конјункција на искази

� Бинарниот оператор конјункција“∧” (И) комбинира два искази заформирање на нивна логичкаконјункција.

� Пример: Акоp=“Ќе ручам салата.” иq=“Ќе вечерам риба.”, тогашp∧q=“Ќе ручам салата и ќевечерам риба.”

Аналогија: “∧∧”” изгледаизгледа какокако ““ AA”” , , одод ““ ∧∧NDND””

∧∧NDND


13

� Конјункција е точна само ако и двата исказисе точни.

� Забелешка. ¬ и ∧ операторите заедно седоволни за изразување на било која Буловавистинитосна таблица!

Таблица на вистинитост на

конјункција

p q p∧q Τ Τ Τ Τ ⊥ ⊥ ⊥ Τ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥


Дисјункција на искази

� Бинарниот оператор дисјункција“∨” (ИЛИ) комбинира два исказиво нивна логичка дисјункција.

� p=“Вардар тече низ Скопје.”� q=“Скопје е главен град на Р.М.”� p∨q=“Вардар тече низ Скопје или

Скопје е главен град на Р.М.”Удар со “секира” или“∨∨”” гого делидели дрвотодрвото, , папа можеможе дада гого земетеземете

првотопрвото парчепарче ИЛИИЛИ

друготодругото илиили ии дветедвете. .

∨∨∨∨∨∨∨∨


14

� p∨q значи дека p е точно, или q е точно, илии двете се точни!

� Овој оператор е познати како инклузивно илисо значење дека јавклучува можноста идвата искази p и q да се точни.Дисјункција на два искази е неточна само ако идвата искази се неточни.

� Забелешка.“¬” и “∨” заедно се исто такауниверзални.


дисјункција

p q p∨q Τ Τ Τ Τ ⊥ ΤΤΤΤ ⊥ Τ ΤΤΤΤ ⊥ ⊥ ⊥


Исклучителна дисјункција

� Бинарниот исклучително илиоператор “⊕” (XOR) комбинирадва искази да формираат нивналогичко “исклучително или“.

� p = “Ќе го научам материјалот,”� q = “Нема да го положам испитот,”� p ⊕ q = “Или ќе го научам

материјалот или нема да гоположам испитот“ (но не и двете)“


15

� p⊕q значи дека p е точно,или q е точно, но не и двете!

� Се нарекува исклучително илизатоа што ја исклучуваможноста дека и двата искази ,p и q се точни.

� Забелешка. “¬” и “⊕” заедно не сеуниверзални.


исклучително или

p q p⊕q Τ Τ ⊥ Τ ⊥ T ⊥ Τ T ⊥ ⊥ ⊥⊥⊥⊥


Импликација

� Импликацијата p → q значи дека p гоповлекува q.

� Значи ако p е точно, тогаш тога q еточно; но ако p е неточно тогаш q можеда биде или точно или неточно.

� На пример, нека p = “Учиш напорно.”q = “Ќе добиеш висока оценка.”

� p → q = “Ако учиш напорно ќе добиешвисока оценка.”


16


импликација

� p → q е неточна само когаp е точно но q е неточно.

� p → q не значи дека pе причина за q!

� p → q не е потребноp или q да се воопшто точни!

� На пример “(1=0) → слоновите можатда летаат” е ТОЧНО!

p q p→q Τ Τ T Τ ⊥ ⊥ ⊥ Τ ΤΤΤΤ ⊥ ⊥ T


Како да се запамети таблицата на

вистинитост за импликација

Да претоставиме дека од владата на РМ ветиле:� Ако нашата кошаркарска репрезентација земе

медал, ќе им приредиме голем пречек на аеродром.Кога можеме да сметаме дека владата не излажала? Ако нашата репрезетација навистина земе медал, сите

ќе очекуваме таа да го исполните ветувањето и даорганизира пречек на аеродром. Но и ако не земемедал, а владата сепак организира пречек нааеродром, нема да се чувствуваме измамени. Немада се чувствуваме измамени ни ако владата неорганизира пречек на аеродром когарепрезентацијата не зела медал.

Значи, народот ќе се чувствува измамен само во еденслучај, кога владата нема да организира пречек, арепрезентацијата зела медал.

17

Примери од импликација

� “Ако овој час воопшто заврши, тогаш сонцето ќеизгрее утре.” Точно или Неточно?

� “Ако вторник е ден од неделата, тогаш јас сумпингвин.” Точно или Неточно?

� “Ако 1+1=6, тогаш Иванов е претседател наМакедонија.”Точно или Неточно?

� “Ако месечината е направена од сирење, тогаш јассум побогата од Бил Гејтс.” Точно или Неточно?


Различни записи p → q во говорниотјазик

•“p го повлекува q”•“Ако p, тогаш q”•“Ако p, q”•“кога p, q”•“секогаш кога p, q”•“q ако p”•“q кога p”•“q секогаш кога p”

•“p само ако q”•“p е доволно за q”•“q е потребно за p”•“q следи од p”•“q е имплицирано од p”


18

Примери за различните записи на

p → q во говорниот јазик

•“Ако p, тогаш q”• Ако не отидам на училиште, тогаш ќе мора да однесам

оправдување.•“Ако p, q”

• Ако одиме на стадион, ќе седиме на северната трибина.•“p повлекува q”

• x+1=3 повлекува х=2 (ако x+1=3, тогаш х=2 )•“кога p, q”

• Кога ќе се разбудам, ќе ти се јавам.•“секогаш кога p, q”

• Секогаш кога одиме на излет, врне.•q ако p”

• Не можам да ги решам задачите ако не сум го прочиталапредавањето

•“q кога p”• Учениците влегуваат во училницата кога ќе заѕвони ѕвончето.


Примери за различните записи на

p → q во говорниот јазик

•“q секогаш кога p”• Професорот ме прашува секогаш кога нема да дигнам

рака.•“p само ако q”

• Тестот ќе го решам само ако го научам материјалот.•“p е доволно за q”

• Да одговорам на три прашања е доволно за да положам.•“q е потребно за p”

• За да положам потребно е да одговорам на 3 прашања.•“q следи од p”

• Неговото унапредување во фирмата следи од тоа што тојмногу работи

•“q е имплицирано од p”• х=1 е имплицирано од х+1=2


19

Може да настане забуна меѓу “Ако p, q” и“p само ако q”(или “само ако p, q”)

� Нека p: добивам нов компјутер X, q: го положувмиспитот.

� Да претпоставиме дека на родителите сте им рекле: � Ако добијам нов компјутер, ќе го положам испитот (ако

p, q)� Со оваа изјава ветувате дека ако добиете нов

компјутер ќе го положите испитот, но може да гоположите испитот дури и да не добиете нов комјутер. Ветувањето нема да биде исполнето ако сте добиленов компјутер, а испитот не сте го положиле.

� Само ако добијам нов комјутер, ќе го положам испитот. (само ако p, q)

� Со оваа изјава кажувате дека нема шанси испитот дасе положи без нов компјутер. Сега не би било лага аконе сте го положиле испитот, а сте добиле новкомпјутер, но лага би било ако положите, а не стедобиле нов компјутер (значи новиот комјутер не билнеопходен за положувањето на испитот).

Обратна, спротивна, инверзна

� За импликацијата p→q� Обратна q→p� Контрапозитивна ¬q→¬p� Инверзна ¬p → ¬qПример: “Домашниот тим добива секогаш кога

врне“Ако врне добива домаќинот: p→qАко домаќинот добива тогаш врне: q→pАко домаќинот не добива тогаш не врне:

¬q→¬pАко не врне тогаш домаќинот не добива: ¬p →

¬q

20

Еквиваленција

�Еквиваленција p ↔ q значи дека p е точно акои само ако (акко) q е точно.�p = “Партијата XXX победува на изборите2012.”�q = “Партијата XXX има премиер во 2012.”�p ↔ q = “Ако, и само ако, партијата XXX гидобие изборите во 2012, партијата XXX ќе имапремиер во 2012.“



еквиваленција

� p ↔ q значи дека p и qимаат иста вистинитоснавреност.

� Забелешка. Вистинитосната таблицае спротивна на таа на ⊕!� Според тоа, p ↔ q значи ¬(p ⊕ q)

� p ↔ q не значи дека p и q се точни или декабило кое од нив е причина за другото илидека имаат иста причина.

p q p ↔ q T T T T ⊥ ⊥ ⊥ T ⊥ ⊥ ⊥ T


21

Преведување на реченици од

македонски јазик

� Постојат повеќе причини запреведување на реченици одмакедонски јазик� Ја оттргаат двосмисленоста� Реценицата која е преведена во

логицки јазик полесно мозе да сеанализира и да се најде нејзинатавистинитосна вредност

Говорни реченици со

симболички јазик

� Имате пристап на интернет од лабораторија ако стестудент на ФИНКИ или не сте бруцош.� Нека a, c и f се исказите “Имате пристап до интернет од

лабораторија“, “Вие сте студент на ФИНКИ“ и “Вие стебруцош“ тогаш (c ∨ ¬ f) → a

� Имате пристап на интернет од лабораторија самодоколку сте студент на ФИНКИ или не сте бруцош.

a → (c ∨ ¬ f)

� Ако сте пониски од 120 см, а не сте постари од 16 години, не можете да се возите на ролер костер. � Нека q, r и s се исказите “Можете да се возите на ролер

костер”, “Пониски сте од 120 см“ и “Постари сте од 16 години“ соодветно. Тогаш

(f ∧ ¬ s) → ¬ rr → (¬ f ∨ s)

22

Таблици на вистинитост

� Да се утврди вистинитоста нанекој сложен исказ

Системски спецификации

� Кога се бара да се изготви некаковсистем, барањата од страна на клиентотсе даваат во говорен јазик.

� Едно такво барање се нарекуваспецификација� Пример: Автоматскиот одговор не може да

биде испратен кога системот е полн.

� Спецификациите на еден систем секонзистентни, ако не содржатконфликтни побарувања(побарувања коине се можни заедно).

23

Системски спецификации

� Проверете дали спецификациите се конзистентни:� Дијагностичката порака се става во баферот или се

препраќа.� Дијагностичката порака не се става во бафер.� Ако дијагностичката порака се тави во бафер тогаш

таа се препраќа.� p: Дијагностичката порака се става во баферот, q:

Дијагностичката порака се препраќа� (p∨q)∧¬p∧(p→q) може да биде Т ако p≡⊥ и q≡T – па

системот е конзистентен

� Дали е конзистентен системот ако се додадеспецификацијата: Дијагностичката порака не сепрепраќа

� Се додава ¬q- па системот не е конзистентен

Булови пребарувања

� Логичките сврзници многу секористат за пребарување надголем број на податоци, какоиндекси на веб страни� И – кога се бараат записи кои ги

содржат сите фрази� ИЛИ – кога се бараат записи кои ги

содржат една од дадените фрази� НЕ – кога се бараат податоци кои не

ја содржат фразата

24

Логички загатки

� Загатки кои можат да се решат со користење налогичко размислување

� Пример:Некој остров има два вида на станари, едништо секогаш лажат и други кои никогаш не лажат. Ако имаме двајца луге А и В, во која групаприпаѓаат ако А вели: В не лаже, а В вели: Ниедвајцата сме од различни групи.

� Има двајца близнаци од кои едниот секогаш лаже адругиот никогаш. На крстопат, на кој имаш двапатишта по кои можеш да тргнеш за да стигнеш доместото А, го сренуваш едиот од нив, но не знаешкој. Какво прашање да му поставиш за со сигурностда го дознаеш патот до местото А.

Логички и бит операции

� Компјутерите ги репрезентираатподатоците со битови

� Бит е симбол со две можни вредности: 0 (неточно) и 1(точно)

� Променлива која може да земе одна одовие вредности се нарекува битпроменлива

� Бит стринг е низа од еден или повеќебитови. Должината на оваа низа ебројот на битови во низата

25

Операции со битови

� Буловите операции можат да сепрошират до операции на низи одбитови.

� На пример:01 1011 011011 0001 110111 1011 1111 Битово ИЛИ01 0001 0100 Битово И10 1010 1011 Битово исклучителноИЛИ

Topic #2 – Bits

Documents

Iskazi2