Pitanja za usmeni iz Matematike II (ETF)(2010.)

Visestruki integrali

1. Kada kazemo da je podjela oblasti D pravilna?

2. Definisati δ-podjelu oblasti u n-dimenzionalnom euklidskom prostoru.Sta znaci da je jedna podjela produzenje druge podjele?

3. Definisati integralnu sumu, donju i gornju integralnu sumu za funkcijuvise varijabli.

4. Navesti veze izmedju integralne sume, gornje i donje integralne sume.

5. Navesti definiciju visestrukog integrala i definiciju integrabilnosti funkcijevise promjenljivih u zadatoj oblasti.

6. Navesti osobine visestrukog integrala.

7. Definisati dvostruki integral na pravougaonoj oblasti.

8. Neka je funkcija f(x, y) integrabilna u zatvorenoj pravougaonoj oblastiD (a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d). Uz pretpostavku postojanja svih integrala,vrijedi:

(a)∫

b

adx

∫

d

cf(x, y)dy =

∫

d

cdy

∫

b

af(x, y)dx.

(b)∫

b

adx

∫

d

cf(x, y)dy =

∫

a

bdx

∫

c

df(x, y)dy.

(c)∫ ∫

Df(x, y)dxdy =

∫

b

a

(

∫

d

cf(x, y)dy

)

dx.

(d)∫ ∫

Df(x, y)dxdy = −

∫ ∫

−Df(x, y)dxdy

9. Ako je podintegralna funkcija u dvojnom integralu po pravougaonojoblasti funkcija sa razdvojenim promjenljivima, to nam olaksava izracunavanjeintegrala. Obrazloziti teoretski i primjerom!

10. Izvesti prelaz iz dvojnog u dvostruki integral po proizvoljnoj oblastiintegracije, ako je unutrasnja integracija u dvostrukom integralu povarijabli y.

11. Kojim se osobinama visestrukog integrala koristimo u obrazlaganjuprelaza iz dvojnog u dvostruki integral funkcije na proizvoljnoj oblasti?

12. Izvrsiti prelaz iz dvojnog u dvostruki integral funkcije f(x, y) nad oblascuD : y = 2x , y = 3x , x = 2.

13. Izvrsiti zamjenu redosljeda integracije u dvostrukom integralu za funkcijuf(x, y) nad oblascu D : y = 2x , y = 3x , x = 2.

14

14. Navesti tvrdjenje koje nam govori o nacinu izracunavanja trojnog inte-grala po oblasti paralelepipeda.

15. Napraviti prelaz iz trojnog u trostruki integral za funkciju f(x, y, z) =xy, nad oblascu V : x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 , x2 + y2 + z2 ≤ 1, a zatimizracunati dati integral.

16. Definisati Jacobijevu determinantu proizvoljnog preslikavanja. Kadakazemo da je preslikavanje regularno u oblasti D?

17. Kako glase polarne koordinate i sta je njihova geometrijska interpretacija?(navesti smjene, prirodne granice i jakobijan preslikavanja)

18. Sta su koordinatne linije polarnih koordinata u xy-ravni? Sta je idejauvodjenja polarnih koordinata?

19. Pokazati primjerom kako dvojni integral mozemo iskoristiti za izracunavanjenekih ”nerjesivih” jednostrukih integrala.

20. Kako uvesti polarne koordinate ako figuru D : 2x2 + 3y2 = 6 zelimoprevesti u jedinicnu kruznicu u polarnom sistemu. Kako glasi jakobijanu tom slucaju?

21. Kako uvesti polarne koordinate ako figuru D : 2x2 + y2 + 4x− 2y = 7zelimo prevesti u jedinicnu kruznicu u polarnom sistemu. Kako glasijakobijan u tom slucaju?

22. Koje od sljedecih smjena predstavljaju neki oblik polarnih polarnihkoordinata:

(a) x = aρ cos φ , y = bρ sin φ.

(b) x = ρ cos φ , y = ρ sin φ.

(c) x = aρ cos φ + α , y = bρ sin φ + β.

(d) x = ρ + cos φ , y = ρ + sin φ.

23. Kako glase cilindricne koordinate i sta je njihova geometrijska inter-pretacija? (navesti smjene, prirodne granice i jakobijan preslikavanja)

24. Sta su koordinatne povrsi cilindricnih koordinata i kako ih dobijamo?

25. Zadata je ogranicena oblast D. Uvodeci cilindricne koordinate, odreditioblast D∗, sliku oblasti D.

(a) D : x2 + y2 = 1 , x2 + y2 = 4 , z = 0 , z = 1.

15

(b) D : x2 + y2 = 2 , z2 = x2 + y2 , z ≤ 0.

(c) D : x2 + y2 = 1 , z = x2 + y2.

(d) D : z2 = x2 + y2 , z2 + 1 = x2 + y2.

26. Izvesti sferne koordinate, ako ugao θ mjerimo od ekvatorijalne ravni.(navesti smjene, prirodne granice i jakobijan preslikavanja)

27. Izvesti sferne koordinate, ako ugao θ mjerimo od sjevernog pola. (navestismjene, prirodne granice i jakobijan preslikavanja)

28. Zadata je ogranicena oblast V . Uvodeci sferne koordinate, odreditioblast V ∗, sliku oblasti V .

(a) V : x2 + y2 + z2 = 2 , z ≥ 0.

(b) V : x2 + y2 + z2 = 2 , y ≥ 0.

(c) V : x2 + y2 + z2 = 2 , x ≥ 0.

(d) V : x2 + y2 + z2 = 1 , x2 + y2 + z2 = 4.

(e) V : x2 + y2 + z2 = 1 , x2 + y2 + z2 = 4 , z ≥ 0.

(f) V : x2 + y2 + z2 = 1 , z2 = x2 + y2 , z ≥ 0.

(g) V : x2 + y2 + z2 = 1 , z2 = x2 + y2.

29. Obrazloziti nacin primjene visestrukih integrala na izracunavanje za-premine tijela. Izracunati zapreminu lopte u 3-dimenzionalnom pros-toru, poluprecnika R.

30. Obrazloziti nacin primjene dvojnog integrala za izracunavanje povrsineravnih likova. Izracunati povrsinu kruga, poluprecnika r.

31. Obrazloziti nacin primjene trojnog integrala za izracunavanje mase ti-jela.

16