Jelena Ned El j Kovic

7/26/2019 Jelena Ned El j Kovic

1/70

UNIVERZITET U NOVOM SADU

PRIRODNO-MATEMATIKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA

MATEMATIKU I INFORMATIKU

Jelena Nedeljkovi

Uopteni stohastiki procesi- zavrni rad -

Novi Sad, 2011.


2/70


3/70

5.2 Stohastike diferencijalne jednaine sa Kolomboovim stohastikim

procesima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Zakljuak 61

Literatura 62


4/70

Predgovor

Dok posmatramo mnoge prirodne fenomene i pokuavamo da im damomatematiki prihvatljiv oblik, sluajnost je neto to je jako teko izbei.

ak i ako nam to uspe, ne moemo uvek dobiti linearan problem koji kaoreenje daje funkciju sa idealnim osobinama. Ovaj rad kombinuje delovevelikih teorija, kao to su stohastika analiza i teorija distribucija, u cilju do-bijanja jednog od mnogih pristupa za reavanje stvarnih problema sa kojimase susreu fiziari ili inenjeri.

U prvoj glavi, dajemo osnove stohastike analize i teorije distribucija. Ciljnam je definisanje sluajnih procesa, na klasian nain, i proirivanje pojmafunkcije u matematici. U radu sa uoptenim funkcijama ili distribucijamaimamo veu slobodu nego sa klasinim pristupom, ali nailazimo na problem

kada pokuamo da definiemo njihovo mnoenje.

Druga glava u potpunosti je posveena problemu mnoenja distribucija.Kroz primere uoavamo potrebu za takvom operacijom i tekoe koje nastajuukoliko pokuamo da tu operaciju definiemo tako da su neke prirodne oso-bine zadovoljene. Konano, prihvatamo rezultat nemogunosti i kao metodza prevazilaenje problema biramo proirivanje skupa objekata, obraen uGlavi 4.

U treoj glavi, uoptavamo koncept stohastikog procesa na isti nain na

koji smo uoptili koncept funkcije. Kao prototip uoptenog stohastikog pro-cesa uzimamo beli um - izvod Vinerovog procesa.

Glave 4 i 5 bave se konstrukcijama Kolomboovih algebri uoptenih funk-cija i uoptenih stohastikih procesa, redom. Na kraju, reavanjem sto-hastike diferencijalne jednaine pokazujemo korisnost prethodnih konstruk-cija.

Zahvaljujem se svom mentoru dr Danijeli Rajter - iri, najpre na za-

3


5/70

nimljivim predavanjima iz teorije verovatnoe i stohastike analize, a zatim

i na nesebinoj pomoi prilikom izrade ovog rada. Njena stalna ljubaznost usvim pitanjima, naunim i manje naunim, bila je veliki podstrek.

Posebno se zahvaljujem svojim roditeljima Vladimiru i Bosiljki, koji sume uvek podravali.

Novi Sad, septembar 2011. god. Jelena Nedeljkovi

4


6/70

Glava 1

Uvod

U ovoj glavi naveemo osnovne definicije neophodne za dalji rad. Po-zabaviemo se najpre osnovama teorije verovatnoe i stohastike analize, azatim i uoptenim funkcijama. Ove oblasti objedinjuje zajedniki cilj. Uidealnom sluaju, problemi koji se javljaju u prirodi modeliraju se sistemimau kojima su svi parametri poznati, a kao reenje dobijamo funkciju sa osobi-nama neprekidnosti, diferencijabilnosti, ...

Stvarnost je esto mnogo drugaija. Stohastika analiza nam moe po-moi u radu sa nepoznatim parametrima, dok nam teorija uoptenih funkcijapomae da proirimo skup reenja problema koja za nas imaju smisla. Spa-

janje ovih principa dae nam jo veu korist, kao to emo videti kasnije.

1.1 Osnove stohastike analize

Modeliranje velikog broja sistema (na primer, pomou diferencijalnih jed-naina) veoma esto zahteva sluajne parametre. Takvi modeli esto nastajuiz problema u prirodnim naukama ili ekonomiji gde nemamo dovoljno infor-

macija o vrednostima parametara koji se pojavljuju.Postavlja se pitanje kako da radimo sa nekim parametrima kada ne znamo

kako oni tano izgledaju. Jedna od mogunosti je da koristimo prilaz sto-hastike analize i da posmatramo te parametre kao sluajne objekte. Drugamogunost za prevazilaenje ovog problema moglo bi biti zamenjivanje pravih,ali nepoznatih parametara nekom vrstom prosenih vrednosti i rad sa odgo-varajuim deterministikim sistemom nadajui se da je to dovoljno dobraaproksimacija polaznog problema.

5


7/70

Tokom proteklog veka, sve ee su korieni metodi stohastike analize.Takav pristup se razvijao veoma brzo i sada predstavlja vaan alat u mnogimoblastima. U ovom odeljku nalaze se osnove stohastike analize koje emokasnije koristiti da bismo razvili na stohastiki aparat za reavanje problemau okviru Kolomboove teorije uoptenih funkcija.

1.1.1 Osnovni pojmovi teorije verovatnoe

Teorija verovatnoe bavi se matematikim modelima iji ishodi zavise od

sluaja. Oznaimo sa skup svih moguih ishoda - elementarnih dogaaja. Skup A P() nazivamo sluajnim dogaajem, dok sa A oznaavamodogaaj suprotan dogaaju A. U istom smislu, je siguran dogaaj, a jenemogu dogaaj.

Definicija 1. Neka jeF P(). Ako su zadovoljeni uslovi:

1. F ;

2. izA F slediA F ;

3. iz{Ai}iNslediiNAi F,Fse naziva - polje ili - algebra nad.

Elementi - algebre su merljivi skupovi, a par (, F) naziva se merljivprostor.

Definisaemo zasebno Borelovu - algebru.

Definicija 2. Neka jeEmetriki prostor. Najmanja - algebra podskupovaodEkoja sadri sve otvorene (zatvorene) podskupove odEse zove Borelova

- algebra i oznaava se saB (E).Specijalno, oznaavamo: Bn =B (Rn).

Definicija 3. Prostor verovatnoa je trojka(, F, P) gde je(, F) merljivprostor iP je probabilistika mera naF, to znai daP :F [0, 1]i vai:

1. P() = 1,

2. P(

n=1 An) =

n=1 P(An), gde su An F, n N, disjunktniskupovi.

6


8/70

Definicija 4. Neka je(, F, P)prostor verovatnoa. PreslikavanjeX : Rn takvo da X1 (B) F, B Bn naziva se Rn - vrednosna sluajnapromenljiva nad(, F, P).

Takoe koristimo izraz XjeF- merljivo.

Definicija 5. Neka jeX : Rn sluajna promenljiva na(, F, P). Tadaje F(X) = {X1 (B) , B Bn} jedna - algebra na i to je najmanjapodalgebra odFodnosu na koju jeXmerljivo. Ovako definisana - algebranaziva se - algebra generisana sluajnom promenljivomX.

Definicija 6. Neka jeX = (X1, . . . , X n) Rn - vrednosna sluajna promen-

ljiva. FunkcijaFX

definisana sa

FX(x) =FX(x1, . . . . , xn)

=P{: X1() x1, . . . , X n() xn}= P[Xx]

se zove funkcija raspodele sluajne promenljiveX.

Funkcija raspodele sluajne promenljive Xpokazuje koliko je verovatnoda Xuzima vrednosti manje od x.

Postoje dva osnovna tipa sluajnih promenljivih: diskretne, kod kojihmoemo sluajnoj promenljivoj dodeliti konkretne vrednosti sa odreenimverovatnoama, i apsolutno neprekidne, kod kojih to nije mogue.

Za apsolutno neprekidne sluajne promenljive, gustina raspodele sluajnepromenljive se definie na sledei nain.

Definicija 7. Sluajna promenljivaX= (X1, . . . , X n) jen - dimenzionalnasluajna promenljiva apsolutno neprekidnog tipa ako postoji integrabilna funk-cija X(x1, . . . , xn) 0, < x1, . . . , xn < , takva da je, za svakiBorelov skup B Bn,

P{(X1, . . . , X n) B}= S . . . X(x1, . . . , xn) dx1 . . . d xn.FunkcijaX(x) zove se gustina raspodele verovatnoa (ili samo gustina ras-podele) sluajne promenljiveX.

Specijalno, ako izaberemoB ={(y1, . . . , yn) ; yk xk, k= 1, . . . , n}dobi-jamo

FX(x1, . . . , xn) =

x1

. . .

xn

X(y1, . . . , yn) dy1 . . . d yn.

7


9/70


10/70

Definicija 8. Neka jen= 1.

1. V(x) = E(X E(X))2 = 2 (X), gdeX L2, se zove disperzija ilivarijansa sluajne promenljiveX.

2. =

V (X)se zove standardna devijacija sluajne promenljiveX.

3. E

Xk

, XLk, k N, jek - ti momenat sluajne promenljiveX.

4. E(X E(X))k, gdeXLk, k N, se zovek - ti centralni momenatsluajne promenljiveX.

Definicija 9. Neka jen= 1. Tada se

Cov (X, Y) =E((X E(X)) (Y E(Y))) ,

gdeX, Y L2, zove kovarijansa sluajnih promenljivihX iY.Ako jeCov (X, Y) = 0, kaemo da su sluajne promenljiveX iY neko-

relirane.Zan >1, simetrina nenegativnan nmatrica

Cov (X, Y) =E

(X E(X)) (Y E(Y))T

= (Cov (Xi, Y j)) , i, j = 1, . . . , n

se zove kovarijansna matricaRn - vrednosnih sluajnih promenljivihX iY.

ZaCov (X, X)jednostavno piemo Cov (X).

Sledi definicija karakteristine funkcije.

Definicija 10. Karakteristina funkcija sluajne promenljive X ili njenefunkcije raspodeleF je

(t) =X(t) =E

eitX

=Rn

eitXdF(x), t Rn.

Funkcija raspodele Fje jedinstveno odredjena sa .

Pre nego to se pozabavimo sluajnim procesima, moramo napomenuti dau teoriji verovatnoe postoji vie principa konvergencije. U sledeoj definicijinavodimo etiri koncepta konvergencije, najeih u primenama.

9


11/70

Definicija 11. Neka X iXn, n N, oznaavajuRd - vrednosne sluajne

promenljive definisane na prostoru verovatnoa(, F, P).

1. Ako postoji skup mere nulaN Ftakav da, za sve /N, nizXn()R

d konvergira ka X() Rd, tada kaemo da niz {Xn} konvergiraP- skoro sigurno ili sa verovatnoom 1 kaX. Piemo

ss limn

Xn= X.

2. Ako, za svako >0,

pn() =P{:|Xn() X()|> } 0, kadan ,

tada kaemo da niz{Xn}konvergira u verovatnoi kaX. Piemo

P limn

Xn= X.

3. Ako Xn, XLp, p 1, i

E(|Xn X|p) 0, kadan ,

tada kaemo da niz{Xn} konvergira up - srednjem kaX. Zap = 1govorimo o konvergenciji u srednjem, a zap = 2 govorimo o konver-genciji u srednje kvadratnom i piemo

sk limn

Xn = X.

4. Neka suFn iF funkcije raspodela sluajnih promenljivihXn iX, re-dom. Tada, ako za svaku realnu neprekidnu funkciju g definisanu naR

d, vai

limn

Rd

g (x) dFn(x) =Rd

g (x) dF(x),

kaemo da niz{Xn}konvergira u raspodeli kaX.

To je sluaj ako i samo ako

limn

Fn(x) =F(x)

u svakoj taki u kojoj jeFneprekidna ili

limn

n(t) = (t) , za svet Rd,

gden ioznaavaju odgovarajue karakteristine funkcije.

10


12/70

Moe se pokazati da su ovi koncepti konvergencije meusobno u sledeim

odnosima.

Ako je p q, tada q- sredna konvergencija implicira p - srednju konver-genciju. Takoe, konvergencija u p- srednjem i skoro sigurna konvergencijaimpliciraju konvergenciju u verovatnoi, koja dalje implicira konvergenciju uraspodeli. Dalje, niz konvergira u verovatnoi ako i samo ako svaki podniztog niza sadri skoro sigurno konvergentan podniz.

Konano, dovoljan uslov da ss limn Xn = Xje da

n=1

E(|Xn X|p)< , za neko p >0.

1.1.2 Stohastiki procesi

Zamislimo da se u svakom trenutku t vremenskog intervala I posmatraneka karakteristika Xfizikog sistema, a da je pri tome ta karakteristikasluajna. Moemo rei da je X(t)sluajna promenljiva, za t I. To znaida na skup svih sluajnih promenljivih X(t), t Imoemo gledati kao nasluajnu veliinu koja se menja u vremenu, odnosno, sluajnu funkciju vre-mena. Tada je za nas X(t)jedan sluajni ili stohastiki proces.

Sada emo navesti i formalnu definiciju. Neka I oznaava proizvoljanneprazan skup i neka je (, F, P)prostor verovatnoe.

Definicija 12. Familija{Xt : t I} Rd - vrednosnih sluajnih promenljivih

se zove stohastiki (sluajan) proces sa parametarskim (indeksnim) skupomI i prostorom stanjaRd.

Ako je parametarski skup konaan, tada jednostavno imamo konanomnogo sluajnih promenljivih. Ako je taj skup prebrojiv, govorimo o nizusluajnih promenljivih. Izraz proces najee koristimo u sluaju kadaparametarski skup nije prebrojiv.

Neka je {Xt : t [t0, T]}sluajan proces. Tada je Xt()Rd - vrednosnasluajna promenljiva, za svako fiksirano t [t0, T]. Tu sluajnu promenljivunazivamo zasek iliseenjestohastikog procesa.

Definicija 13. Neka je{Xt : t [t0, T]} sluajan proces. Tada je, za svakofiksirano , X() Rd - vrednosna funkcija na [t0, T] i zove se staza(trajektorija) sluajnog procesa.

11


13/70

Definicija 14. Konano - dimenzionalne raspodele sluajnog procesa

{Xt :t [t0, T]}

su date sa

P[Xt x] =Ft(x) ,

P[Xt1 x1, Xt2 x2] =Ft1,t2(x1, x2) ,...

P[Xt1 x1, . . . , X tn xn] =Ft1,...,tn(x1, . . . , xn) ,...

gdetiti pripadaju [t0, T] ixi pripadajuRd, i= 1, 2, . . .

Moe se pokazati da sistem funkcija raspodela zadovoljava sledea dvauslova:

1. Uslov simetrije: Ako je {i1, . . . , in}permutacija brojeva 1, . . . , n, tadaza proizvoljne trenutke i n 1,

Fti1 ,...,tin(xi1, . . . , xin) =Ft1,...,tn(x1, . . . , xn) .

2. Uslov kompatibilnosti: Za m < n i za proizvoljne trenutke tm+1, . . . , tn[t0, T]vai

Ft1,...,tm,tm+1,...,tn(x1, . . . , xm, , . . . , ) =Ft1,...,tm(x1, . . . , xm)

esto je umesto familije sluajnih promenljivih definisanih na nekom pros-toru verovatnoa data familija funkcija raspodela Ft1,...,tn(x1, . . . , xn) kojezadovoljavaju uslove simetrije i kompatibilnosti. Ova dva koncepta su ekvi-

valentna kao to se moe videti iz sledeeg tvrenja.Teorema 2.(Kolmogorova fundamentalna teorema) Za svaku familiju funk-cija raspodele koja zadovoljava uslove simetrije i kompatibilnosti postoje pros-tor verovatnoa(, F, P)i sluajni proces{Xt:t [t0, T]} definisan na njemukoji poseduje date raspodele kao konano - dimenzionalne raspodele.

U nastavku, umesto {Xt:t [t0, T]}jednostavno emo pisatiXt, i izloitineke od osobina sluajnih procesa.

12


14/70

Definicija 15. Sluajni procesiXtiXtdefinisani na istom prostoru verovat-

noa su (stohastiki) ekvivalentni ako, za svako t [t0, T], vaiXt = Xt saverovatnoom 1. Tada seXt zove verzija procesaXt i obrnuto.

Konano - dimenzionalne raspodele dva ekvivalentna sluajna procesa sepodudaraju. Sa druge strane, trajektorije ekvivalentnih procesa mogu imatipotpuno razliita svojstva.

Definicija 16. Sluajan proces je (strogo) stacionaran ako su njegove ko-nano dimenzionalne raspodele invarijantne u odnosu na raspored u vremenu,odnosno ako, za sveti, ti+ t[t0, T],

Ft1+t,...,tn+t(x1, . . . , xn) =Ft1,...,tn(x1, . . . , xn) .

Strogo stacionarni procesi, ukoliko imaju oekivanje, zadovoljavaju

E(Xt) =E(Xt+h) =m = const.

Ako je strogo stacionaran proces ujedno i L2 proces, tada je Cov (Xt, Xs)funkcija razlike argumenata. To nas motivie da uvedemo stacionarnost uirem smislu. Posmatramo procese koji iako nisu strogo stacionarni, imajuneke od osobina koje smo primetili kod strogo stacionarnih procesa.

Definicija 17. Sluajan proces Xt je stacionaran u irem smislu ako jeE(Xt) = m = const. i Cov (Xt, Xs) = C(t s), gde je C funkcija jednepromenljive.

Ako je taj proces i srednje - kvadratno neprekidan, to jest, ako ima osobinu

limts

E

|Xt Xs|2

= 0,

tada kovarijansna matricaCima reprezentaciju

C(t) =

eitudF(u), < t


15/70

1.1.3 Vinerov proces

Jedan od najee korienih sluajnih procesa je svakako Gausovski pro-ces.

Definicija 18. Rd vrednosni sluajan proces se zove Gausovski proces ako sunjegove konano - dimenzionalne raspodele normalne. Drugim reima, akozajednika raspodela odXt1, . . . , X tn ima sledeu karakteristinu funkciju

t1,...,tn(u1, . . . , un) =exp

i nk=1

uTk m (tk) 1

2

nk=1

nk=j

uTk C(tk, tj) uj

,gdeu1, . . . , un Rd, t1, . . . , tn [t0, T].

Ovde jem (t) =E(Xt)iC(t, s) =C ov (Xt, Xs).

Zato su konano - dimenzionalne raspodele Gausovog procesa jedinstvenoodreene dvema funkcijamam (t)iC(t, s), odnosno, prvim i drugim momen-tom.

Takozvano Braunovo kretanje prvi put je korieno u biologiji za opisi-vanje kretanja estica polena u fluidu. Kasnije je primeeno da se ista pravila

mogu primeniti i na druge fenomene u fizici ili, recimo, promenu cena akcijau ekonomiji. Stohastiki proces koji opisuje Braunovo kretanje je Vinerovproces.

Definicija 19. Vinerov proces Wt je sluajan proces sa nezavisnim, sta-cionarnim iN(0, (t s) I) - raspodeljenim prirastajima Wt Ws (I je je-dinina matrica), sa poetnom vrednouW0= 0i skoro neprekidnim trajek-torijama.

Moe se pokazati da je Wt Gausovski proces sa oekivanjem E(Wt) = 0i kovarijansnom matricom E(WtWs) =min (t, s) I.

Dalje, ako jeWtVinerov proces, procesi Wt,cW tc2

(c= 0),tW1t

iWt+sWs(sje fiksirano i t 0) su takoe Vinerovi procesi.

Skoro sve trajektorije Vinerovog procesa su neprekidne, ali nigde diferen-cijabilne funkcije. Da bismo stekli probabilistiku predstavu o tome, uzmimoda je tfiksirano.

14


16/70

Diferencni kolinik Wt+h Wt

h je normalno raspodeljen sa parametrima

0 i 1

|h|I. To zapisujemo

Wt+h Wth

:N

0,

1

|h|I

.

Kada h 0, ta normalna raspodela divergira, odnosno, za svaki ogranienmerljiv skup B ,

PWt+h Wt

h

B 0, kada h 0.Zato diferencni kolinik ne konvergira sa pozitivnom verovatnoom ka nekojkonanoj sluajnoj promenljivoj.

Kao to smo videli, Vinerov proces je klasian sluajan proces. U nas-tavku emo definisati proces belog uma koji je sa njim povezan. Meutim,pre nego to to uradimo, moramo se pozabaviti uoptenim funkcijama.

1.2 DistribucijeDistribucije opisuju matematiki koncept uoptavanja klasinog koncepta

funkcije. Potreba za takvim uoptavanjem javlja se u mnogim problemimainenjera, fiziara i matematiara. Uvoenje uoptenih funkcija daje nammogunost da matematiki ispravno definiemo mnoge idealizovane situacijenpr. gustinu materijalne take, napon u taki,... S druge strane, uoptenefunkcije reflektuju injenicu da se u stvarnosti fizike veliine ne mogu izmeritiu proizvoljnoj taki; samo se srednje vrednosti u dovoljno malim okolinamadate take mogu zaista meriti. Dakle, teorija uoptenih funkcija daje adek-vatan aparat za opisivanje raspodela (distribucija) raznih fizikih veliina.Zbog toga se uoptene funkcije nazivaju i distribucije.

Osnovna ideja daljeg izlaganja je sledea: definisaemo najpre tzv. pros-tor test funkcija, funkcija na koje e delovati distribucije, zatim sam prostordistribucija ili uoptenih funkcija i na kraju emo videti da je taj prostorproirenje prostora klasinih funkcija kojima smo se do sada bavili. Cilj jenaravno da prostor uoptenih obuhvati na neki nain i klasine funkcije.

15


17/70

Na slian nain emo kasnije pokuati da uvedemo uoptene stohastike

procese.

Pre nego to se pozabavimo prostorom distribucija, uveemo prostoreLp (Q) , Lploc(Q), za 1 p


18/70

integrabilnih funkcija.

Skup merljivih funkcija sa vrednostima u Knad otvorenim skupom Q Rn za koje vai |f(x)|< skoro svuda u Q, odnosno nad svakim ogranienimn- intervalom IQ, |f(x)|< skoro svuda u I, se oznaava sa (Q),odnosno loc(Q). Prostori odgovarajuih klasa ekvivalencije u odnosu narelaciju: f i g su u relaciji ako su jednaki skoro svuda u Q, se oznaavajurespektivno saL (Q)odnosno Lloc(Q).

U odnosu na normu

fL(Q)=ess supQ |f(x)|:= infCR+; |f(x)| Cskoro svuda u Q

prostor L (Q)je Banahov.

1.2.1 Prostor osnovnih funkcija

Neka je Qpodskup odRn.

Definicija 20. Nosa neprekidne funkcijef :Q Cje adherentan skup zaskup{x ; f(x)= 0}. Nosa funkcijefskraeno oznaimo sasupp f.

Prema ovoj definiciji nosa neprekidne funkcije f je najmanji zatvorenskup uQ izvan koga je f= 0. Akox supp f, tada ne postoji okolina takexu kojoj je f= 0.

Koristei se vezom A B = A B moe se pokazati da za neprekidnefunkcije vaisupp(f+ g) supp f supp g.

SaPn oznaimo podskup odRn iji elementi imaju koordinate cele nene-gativne brojeve. Akok = (k1, . . . , kn) Pn tada stavljamo |k|= k1+. . .+kn.

esto umesto P1

stavljamo samo P, P ={0} N.Za funkciju fkoja ima parcijalne izvode koristimo oznaku

f|k|(x) = |k|

xk11 xknn

f(x) =kf(x)

Definicija 21. Cm(Q), m P1 ilim=, je skup funkcija koje su defini-sane nadQ i imaju neprekidne sve izvode do redam. Cm0 (Q) je podskup odCm(Q) onih funkcija iji su nosai kompaktni uQ.

17


19/70

Iz primedbe o kompaktnim skupovima u Qsledi da je Cm0 (Q) Cm0 (R

m).

Tada je g Cm0 (Rn)element i skupa Cm0 (Q)ako i samo ako je supp g Q.

Sa obinim sabiranjem i mnoenjem kompleksnih brojeva, prostori Cm (Q)iCm0 (Q)su vektorski prostori nad poljemC. Funkcije izC

(Q)se nazivajuglatke funkcije.

Oznaimo sa Cm0 (K) , m P1 ilim= , gde je Kkompaktan podskup

od Q, potprostor od Cm0 (Q)iji elementi imaju nosae sadrane u K.

U prostoru C0 (K), gde je Kkompaktan podskup od Q definiimo niz

normi{pK,m; m P1}:

pK,m() =|j|m

supxK

(j) (x) .Sa ovim normama C0 (K) je lokalno konveksan prostor, tj. ima bazu

okolina nule sastavljenu od konveksnih skupova.

Definicija 22. Vektorski prostorC0 (K) snabdeven navedenom topologijomjeD (K).

Ako za dva kompaktna skupa K1 i K2 znamo da je K1 K2, sledi daje C0 (K1) C0 (K2) i da se topologija u D (K1) poklapa sa topologijom

koju D (K2) indukuje na D (K1). Za otvoren neprazan skupQ Rn moese konstruisati niz {K} kompaktnih skupova za koje vai: K K+1 i

=1 K=Q.

Ideja je naravno da pomou ve definisanih topologija na kompaktnimpodskupovima odQdefiniemo eljenu topologiju na C0 (Q), tzv. topologijustriktne induktivne granice, meutim, neemo ulaziti u detalje.

Definicija 23. Vektorski prostorC0 (Q)snabdeven definisanom topologijomstriktne induktivne granice je prostorD (Q). Ovaj prostor se naziva prostorosnovnih ili test funkcija.

1.2.2 Prostor distribucija

Definicija 24. Neprekidna linearna funkcionela nad D (Q) naziva se dis-tribucija.

18


20/70

Distribucije oznaavamo istim oznakama kao i funkcije: f, g , . . .; one pres-

likavaju D (Q)u C. To simboliki oznaavamo sa

f : f, =

f,

.

esto emo distribucije f, g , . . .oznaavati sa f(x), g(x), . . .da bismo istaklidomen, dok itav prostor distribucija na Q oznaavamo saD (Q).

Jasno, u odnosu na uobiajene operacije sabiranja:

f+ g, = f, + g,

i mnoenja kompleksnim brojem:

cf,= c f, , D (Q)

skup distribucija ini vektorski prostor D (Q), dual od D (Q).

Teorema 3. Linearna funkcionelaf : D (Q) C je izD (Q) ako i samoako za svaki niz{} D (Q)koji konvergira ka nuli uD (Q)sledi da(f, )konvergira ka nuli u skupu kompleksnih brojeva.

Sledea teorema esto se koristi i kao definicija distribucije.

Teorema 4.Potreban i dovoljan uslov da je linearna funkcionelaf :D (Q)C distribucija jeste da za svaki kompaktan skup K postoje konstanteC >0 im P1 tako da za svako D (K)vai

|f, | C pK,m() . (1.1)

Definicija 25. Neka za distribucijuf D (Q) vai da postojip P1 takoda jep najmanji broj takav da (1.1) vai zam = p i svaki kompaktan skupKQ. Brojp je red distribucijef; distribucijafje konanog redap. Akodistribucija nije konanog reda, tada kaemo da je beskonanog reda.

1.2.3 Regularne distribucije

U narednom primeru, definiemo Dirakovu distribuciju.

Primer 1. Dirakova (Dirac) distribucija (x x0) D (Q) , x0 Q, defi-nisana je na sledei nain

(x x0) , (x)= (x0) , x0 Q, D (Q) .

19


21/70

Neka je f L1loc(Q), tj. lokalno integrabilna funkcija, kako smo ranije

definisali.

Jednostavno se pokazuje da je tada sa

f, =Rn

f(x) (x) dx, D (Q)

definisana distribucija izD (Q).

Definicija 26. Distribucije definisane pomou lokalno integrabilnim funkci-jama izrazom f , :=

Rn

f(x) (x) dx=K

f(x) (x) dx= f , ,

gde jeK = supp izD (Q), nazivaju se regularne distribucije. Regularnadistribucija koja odgovara lokalno integrabilnoj funkcijifoznaava se saf.Teorema 5.Ako suf, g L1loc(Q)i ako za svako D (Q),

f , = g, ,tada suf ig jednake skoro svuda uQ.

Drugim reima, razliiti elementi izL1loc(Q)generiu razliite distribucije.

Prethodna teorema nam govori da je prostor L1loc(Q)izomorfan sa pros-torom regularnih distribucija. Na osnovu izomorfizma

L1loc(Q) ff D (Q)

poistoveujemo regularne distribucije i odgovarajue funkcije iz L1loc(Q). Re-gularnu distribucijufkoja je definisana sa f L1loc(Q) emo oznaavatitakoe sa f, ako to ne unosi konfuziju.

Iz izloenog sledi da je D (Q)podskup od D (Q).

Postoje distribucije koje nisu regularne. Dirakova - distribucija, datau Primeru 1, nije regularna distribucija, tj. ne postoji lokalno integrabilnafunkcija(x)tako da vai

(0) =

(x) (x) dx, D (Q) .

20


22/70

1.2.4 Nosa distribucije

Za f D (Q)kaemo da je nula na KQ ako je

f, = 0, za sve D (Q) .

Definicija 27. Nosa distribucijef D (Q)je skup taaka izQkoje imajuokolinu u kojoj f nije jednaka sa distribucijom 0. Nosa distribucijef oz-naava se sasupp f.

Drugaije reeno, nosa distribucije f D (Q)je komplement unije svihotvorenih skupova u Q nad kojim je f= 0.

Komplement od supp fje i najvei otvoren skup u kojem je f = 0, toznai da Definicija 27. i Definicija 20. utvruju isti nosa za regularnu dis-tribucijufi njoj odgovarajuu funkciju f izL1loc(Q).

SaE (Q)oznaavamo prostor distribucija sa kompaktnim nosaem.

Definicija 28. Zaf D (Q)singularni nosa odf, u oznacising supp f,je skup taaka uQkoje nemaju okolinu u kojoj jef glatka funkcija.

Drugaije reeno, singularni nosa je komplement unije svih otvorenihskupova u Qnad kojima je fglatka funkcija.

Teorema 6. Distribucijafje glatka funkcija u komplementu odsing supp f.

1.2.5 Izvod distribucije

Neka je f D (Q) i ei Pn vektor ija je i - ta komponenta 1, a sveostale komponente su nula. Parcijalni izvod

xif=f(ei) je definisan sa

f(ei) (x) , (x)

:=

f(x) ,

(x)

xi

, i= 1, . . . , n . (1.2)

Sa (1.2) definisano je preslikavanje iz D

(Q)u D

(Q)to znai da svakadistribucija ima sve parcijalne izvode prvog reda. Navedena operacija senaziva diferenciranje distribucija.

Za proizvoljno Pn vai

f, = (1)||

f, ()

,

ime je u D (Q) definisan proizvoljan meovit izvod koji ne zavisi od redaparcijalnih izvoda u njemu.

21


23/70

Primer 2.Pokaimo da je izvod distribucije koju definie Hevisajdova (Heav-

iside) funkcija

H(x) =

1, x >00, x


24/70

Kako u Definiciji 29. f g Rn, sa njom je odreena regularna distribu-

cija f g D (Rn). Za D (Rn)imamo

f g, =

(f g) (x) (x) dx

=

f(y) g (x y) dy

(x) dx

=

f(x)

g (x y) (x) dx

dy

=

f(y)

g (z) (y+ z) dz

dy

=f(y) , g (z) , (y+ z) .

Ovo je motivacija za definiciju konvolucije distribucija. Meutim, prethod-nim izrazom ne moe se definisati konvolucija dve proizvoljne distribucije.Umesto toga, daemo definiciju na manjim skupovima za koje smo sigurnida konvolucija postoji. U svakom sluaju, onda kada fg postoji, to jedistribucija izD (Rn).

Definicija 30. Zaf D (Rn) ig E (Rn), izrazom

f g, = f(x) , g (y) , (x + y) , D (Rn) .

definisana je konvolucija distribucija.

U sledeoj teoremi navedene su neke osobine konvolucije distribucija.

Teorema 8. Zaf D (Rn) ig E (Rn)vai:

1. f g D (Rn),

2. f g=g f,

3. Ako jeh E (Rn), tada

(f g) h= f (g h) ,

4. Ako oznaava Dirakovu distribuciju, onda

f = f=f.

23


25/70

Glava 2

Mnoenje distribucija

U ovoj glavi pozabaviemo se pitanjem mnoenja distribucija. Iako smouspeli da proirimo prostor klasinih funkcija, to ponekad nije dovoljno.Matematiari su se bavili pitanjem proizvoda distribucija, jer mnogi problemiteorijske fizike, na primer kvantne teorije polja, vezani su za nemogunostdefinisanja mnoenja proizvoljnih elemenata iz D. Sa manje ili vie uspehadefinisano je mnoenje samo nad nekim podskupovima od D (Q).

Najpre emo pokazati opravdanost potrebe za proizvodom distribucija,zatim opisati tekoe koje nastaju pri pokuajima definisanja ovog proizvodapod odgovarajuim prirodnim uslovima koje bi takav proizvod morao dazadovolji. Na kraju navodimo teoremu o nemogunosti definisanja proizvodadistribucija i potencijalne dalje korake.

2.1 Zato mnoimo distribucije?

Do sada smo vie puta naglasili iroku primenu teorije distribucija u rea-vanju stvarnih fizikih problema. Pokazaemo sada primer parcijalne dife-

rencijalne jednaine koje se pojavljuje prilikom modeliranja fizikih sistema.U njoj je jasno izraena potreba za mnoenjem distribucija.

Primer 3. (Udarni talasi u kvazilinearnim, nekonzervativnim sistemima)Posmatramo jednodimenzionalnu elastinu sredinu koja zauzimax - osu, imagustinu (x, t)i kree se brzinomu (x, t). Zakon odranja mase u diferenci-jalnom obliku nam govori da je brzina promene gustine jednaka negativnomgradijentu fluksau, tj.

t+ (u)x = 0.

24


26/70

Zakon odranja impulsa nam daje

(u)t+

u2x

=x,

gde predstavlja prosenu silu kojom se telo opire deformaciji. Pun sis-tem termoelastinosti moe se formirati dodavanjem jo diferencijalnih vezaizmeu raznih fizikih veliina (kao to su unutranja energija, entropija, ...)i konano zamenjivanjem u jednaine odreenih fizikih zakona.

Na primer, za idealni gas sila kojom se opire deformaciji jednaka je pointenzitetu sa pritiskom, ali suprotnog delovanja, dok je za idealni gas u sis-temu u kome se entropija ne menja (izotopni sistem - isoentropic system),pritisak zadat funkcijom gustine. Dobijamo sistem

t + (u)x = 0(u)t + (u

2)x =px, p= p () (2.1)

S druge strane, ukoliko modeliramo sudare metala pri velikoj brzini, mo-emo prihvatiti sledee razmatranje. Sa (, t) oznaimo koordinate materi-jala, tako da jex= x (, t) i= x (, 0). Poznati Hukov zakon nam govorida je sila kojom se materijal suprotstavlja maloj promeni proporcionalan tojdeformaciji. U naem sluaju ta sila je (x (, t) , t), pa moemo zapisati( >0)

(x (, t) , t) =(x (, t) ) .

Ukoliko jeDt izvod poloaja materijala u odnosu na vreme, znamo da je

Dtx (, t) =u (x (, t) , t) ,

to nam dajeDt=u. Pod pretpostavkom da je deformacija mala, dobi-jamo u xu.

Konano, u prostornim koordinatama(x, t)izvodDt postajet+ ux, pa

stiemo do sistema

t + (u)x = 0(u)t + (u

2)x =xt + ux =ux

(2.2)

Sistemi (2.1) i (2.2) se fundamentalno razlikuju: sistem (2.1) je u konzerva-tivnom obliku, tj. svaka jednaina predstavlja divergenciju u odnosu natixnekih funkcija odu, ip. To je uobiajeni oblik koji nastaje primenom za-kona odranja u fizici. S druge strane, sistem (2.2) nije tog oblika: proizvod

25


27/70

ux koji se javlja u treoj jednaini nije gradijent.

Razlika je velika kada traimo reenja u obliku udarnih talasa. To sureenja koja su po delovima u C1, ali imaju skokove du nekih C1 - krivihu (x, t) - ravni. U sistemu (2.1) nemamo nikakvih problema: mogue jenajpre obaviti mnoenje, a zatim nai izvode u distributivnom smislu (nataj nain dolazimo do takozvanih slabih reenja.) U drugom sistemu, akodoe do skoka uui istovremeno du iste krive, nailazimo na proizvod tipaHevisajdova funkcija puta Dirakova mera. Ovakav problem moe se samopogorati ukljuimo li u na sistem izvode vieg reda zau, , , a skokove nijemogue izbei.

Poznato je da ak i uz glatke ulazne veliine, klasina reenja kvazilinear-nih hiperbolinih sistema imaju skokove u konanom vremenu. Zato problemmnoenja ne moe da se izbegne zahtevanjem dodatnih lepih osobina zaulazne veliine. U Primeru 5. videemo zato ne moemo definisati odgo-varajui proizvod.

Sledi primer iz domena linearne akustike.

Primer 4. Linearizacija sistema (2.1) u blizini stanja mirovanja0,u0= 0,p0 =p (0) daje nam novi sistem

t + 0 ux = 00 ut + px = 0, p= c

20

(2.3)

za prirataje = 0, u = u, p = p p0. Brzina zvukac0 data je dobropoznatim izrazom

c0=

p (0).

Pretpostavimo da negativnu x - osu zauzima materijal sa gustinom 0 i ukome je brzina prostiranja zvuka c0, a pozitivnu x - osu materijal gustine

+0, uz brzinu prostiranja zvukac+0. elimo da prouimo prostiranje zvunogtalasa koji kree iz neke takex0


28/70

do nove interpretacije problema (2.3) kao globalnog problema sa prekidima u

koeficijentima.

Jednaine bi trebalo da vae na celomR2, ali0ic0imaju skokove du li-nije{(0, t) :t R}, pa nam prelazni uslov nije potreban. Kako smo napustilia priori zahtev neprekidnosti odu, moramo da platimo cenu: izraz uxpred-stavlja proizvod step funkcije i izvoda funkcije koja ne mora biti neprekidna,dakle, proizvod distribucija. Ipak, upravo e ovakva interpretacija problema(2.3) imati jedinstveno reenje u Kolomboovoj algebri uoptenih funkcija.tavie, ako su podaci zax0 dati klasino, uopteno reenje se ponaa mak-roskopski kao i klasino reenje koje smo dobili ranije uz ispravan prelazni

uslov. Mehanizam koji se krije iza toga ukljuuje postojanje i pogodno po-naanje sekvencijalnih reenja koja moemo dobiti ublaavanjem skokova kod0 ic0, kao i injenice da sistem (2.3) moemo formalno zapisati kao

c20 10 pt + ux = 0

0 ut + px = 0 (2.4)

Deljenje funkcijom koja ima prekide nema smisla ukoliko se bavimo koncep-tom klasinih slabih reenja, ali u diferencijalnoj algebri uoptenih funkcijaprelaz sa sistema (2.3) na sistem (2.4) je opravdan. Obe formulacije su za-pravo ekvivalentne.

Lako je zamisliti mnoge druge situacije u kojima se pojavljuju jednainesa diskontinuitetima u koeficijentima; veoma strmi gradijenti ili prekidi ufizikim sredinama su samo neki od razloga te pojave.

2.2 Tekoe i rezultat nemogunosti mnoenjadistribucija

Pokazali smo da potreba za mnoenjem distribucija postoji. Da li je tano

da je u optem sluaju mnoenje distribucija nemogue? Da bismo se pri-bliili odgovoru pokuaemo da otkrijemo mogue razloge za nemogunostmnoenja.

Postoje dve vrste primera. Prva vrsta se bavi takozvanom unutranjomoperacijom mnoenja distribucija, tj. pokuajem da definiemo proizvod dvedistribucije koji je ponovo distribucija. Pomou ovakvih primera zakljuu-

jemo da deluje nemogue pronai postupak koji bi dao razumnu vrednostza proizvod dve potpuno proizvoljne distribucije. Druga vrsta primera tie

27


29/70

se diferencijalnih algebri koje sadre prostor distribucija. U takvoj algebri,

proizvod dve distribucije je definisan. Tada nastaju nove tekoe. Ispostavilose da je nemogue obezbediti eljene algebarske osobine (kao to su aso-cijativnost ili komutativnost) i u isto vreme konzistenciju izmeu novogproizvoda i novih izvoda i odgovarajuih klasinih operacija tamo gde semogu definisati.

Primer 5. (Proizvod Hevisajdove funkcije i Dirakove mere) U Primeru3. ukazala se potreba za definisanjem proizvoda Hevisajdove funkcije i Di-rakove mere. Pokuaemo da taj proizvod definiemo pomou regularizacije i

traenja granine vrednosti, tanije kaolim0

H

ukoliko ta granina vrednost postoji uD (R).

Pretpostavljamo da jeH(x) glatko, konvergira kaH(x) za skoro svakox i da je ogranieno nezavisno od. Slino, svako je glatko i zadovoljavasledee uslove:

1. supp () {0}kad 0

2.(x) dx= 1za sve >03.

|(x)| dxje ogranieno nezavisno od >0.

Oigledno, granina vrednost zavisi od izbora regularizacije. Neka jesupp ()[, ]. Ako jeH= 0na(, ]za sve vrednosti, onda

H 0,

ali ako jeH= 1na[, ), onda vai

H .

Na kraju, moemo definisatiH i kao konvoluciju odH i istog, to namdaje

(H ) = d

dx

1

2(H )

2

d

dx

1

2H

=

1

2 uD (R) ,

28


30/70

s obzirom da je i(H )2 HuD (R).

Ovako neto nam sugerie da bi najrazumnije reenje bilo H = 12

.Meutim, ova kao i sve ostale formule zaHosuena je na propast.

Uzmimo u razmatranje jo jedan zakon odranja:

ut+

1

mum

x

= 0. (2.5)

Klasian koncept slabih reenja sprovodi sledei postupak: za dato u L R

2

, najpre nalazimoum u algebriL - funkcija, a zatim traimo izvode

u smislu distribucija. Lako se proverava da je po delovima konstantan putu-jui talas

u (x, t) =H(x ct)

slabo reenje ako i samo ako je

c= 1

m.

S druge strane, ako naivno interpretiramo zakon odranja (2.5) kao

ut+ um1ux = 0 (2.6)

i iskoristimoHm1 (x ct) =H(x ct)iH(x ct) (x ct) = 12

(x ct),vidimo da jeu (x, t) = H(x ct) reenje za (2.6) ako i samo ako je c = 1

2

za proizvoljnu vrednostm. Dakle, nismo doli do pouzdane formule.

Dublji razlog za neslaganje reenja jednaina (2.5) i (2.6) zam= 2 leiu tome to smo da bismo transformisali prvu jednainu u drugu koristilizakone komutativne diferencijalne algebre. Naalost, ti zakoni se ne slau sazahtevimaHm =H iH = 0, to emo pokazati u Primeru 6.

Iz svega do sada izloenog moemo zakljuiti da pod odgovarajuim prirod-nim uslovima koje bi trebalo mnoenje da zadovoljava, tu operaciju nijemogue definisati nad celimD (Q). Izloiemo sada jedno varcovo tvrenjekoje je dato u optoj formi, ali e nas dovesti do konanog rezultata.

Teorema 9. Neka jeEvektorski prostor nadC iji je jedan podskup C(Q),gde jeQotvoren podskup realne prave koji sadri nulu. Neka je uEdefinisanalinearna operacija (mnoenje) kao i unarna operacijaD(izvod) sa sledeimosobinama:

29


31/70

1. Operacija indukuje naC(Q)obino mnoenje.

2. To je bilinearna asocijativna operacija za koju je neutralan element 1.

3. Za operator D se pretpostavlja da je linearan, da ako f C1 (Q), tadajeDf=f kao i da vai

D (f g) =Df g+ f Dg (Lajbnicova formula). (2.7)

Pod svim navedenim pretpostavkama uEne postoji elementrazliit od nuleza koji jex = 0.

Dokaz. Pokaimo prvo da f(x) = x, x R, ima inverzan element u Euodnosu na operaciju. Neka je h (x) :=x (log |x| 1),x R. Pokazaemoda vai

D2 (x (log |x| 1)) x= x D2 (x (log |x| 1)) = 1.

Iz (2.7) sledi (za proizvoljno f igiz E)

D2 (f g) =

D2f

g+ 2 (Df) (Dg) + f

D2g

,

pa kako je x2 (log |x| 1) C2 (Q), dobijamo

D (x h (x)) = x2 (log |x| 1)

= 2x (log |x| 1) + x= 2h + x.Zato je

x

D2h

= D2 (x h) 2Dh= 1.

Na isti nain se pokazuje i da je (D2h) x= 1.

Ako pretpostavimo da postoji Erazliit od nule za koji vai x= 0,iz asocijativnosti sledi

0 = D2h (x ) = D

2h x = 1 = ,to dovodi do kontradikcije; time je dokaz kompletan.

U prostoru D (Q), - distribucija ima osobinu da je razliita od nule ida je x = 0. Ako stavimo da je D (Q) prostor E iz prethodne teoreme,a operator D operator distribucionog izvoda, iz prethodne teoreme direktnosledi da u D (Q) ne moemo definisati multiplikativnu operaciju sa osobi-nama navedenim u teoremi.

Navodimo jo jedan primer koji moe biti zanimljiv.

30


32/70

Primer 6. (Stepeni Hevisajdove funkcije) Neka jeA asocijativna i komuta-

tivna diferencijalna algebra sa izvodima. Pokazaemo da svaki elementHza koji jeH2 =Hmora biti konstanta, to jest, H= 0. Zaista,

H2

= (H) H+ H(H) = 2HH,

H3

= 3H2H.

Ako jeH2 =H, onda jeH3 =Hi tako

2HH=H= 3HH.

Sledi da jeHH= 0i daljeH= 0, to smi i eleli da pokaemo.

Vidimo da ako izvrimo potapanje prostora D (R) u asocijativnu i ko-mutativnu algebru i protumaimo Hkao Hevisajdovu funkciju, mora biti iliH2 =H iliH=.

31


33/70

Glava 3

Uopteni stohastiki procesi

Na isti nain na koji smo uoptili matematiki koncept funkcije i dobilidistribucije, sada elimo da uoptimo koncept stohastikog procesa. U su-tini, teorija distribucija nam je potrebna da bismo to ispravno uradili. Unastavku emo definisati proces belog uma i pokazati da to nije mogueuiniti na klasian nain.

3.1 Proces belog uma

Radi jednostavnosti, na poetku emo posmatrati jednodimenzionalansluaj.

U inenjerskoj literaturi takozvani (Gausovski) beli um se definie kaostacionaran Gausovski proces t, < t < , sa srednjom vrednouE(t) = 0 i konstantnom spektralnom gustinomf()na realnoj osi R.

Ako je E(st+s) =C(t)kovarijansna funkcija za t, tada

f() = 12

eitC(t) dt= c2 , R, (3.1)

gde jecpozitivna konstanta. Moemo, bez gubitka optosti, uzeti da je c 1.

Drugim reima takav proces ima spektralnu gustinu u kojoj sve frekven-cije uestvuju sa istom gustinom. Zbog analogije sa belom svetlou u optici,gde se sve frekvencije vidljive svetlosti pojavljuju uniformno, taj spektar sezove beli spektar. Meutim, takav proces ne postoji u klasinom smislu,

32


34/70

jer (3.1) odgovara samo izboru

C(t) =(t) ,

gde je Dirakova distribucija. Onda bismo imali

C(0) =E

2t

=

f() d= .

Kako je C(t) = 0 za t = 0, vrednosti t i t+s bi bile nekorelirane zaproizvoljno male vrednosti s, i kako je proces Gausovski, bile bi nezavisne.To objanjava zato se beli um esto oznaava kao potpuno sluajan pro-ces. Jasno, trajektorije procesa ije su vrednosti nezavisne u svakoj taki

moraju biti jako iregularne.

Kao to smo napomenuli, beli um je prvi put korektno opisan i defini-san koristei teoriju distribucija. U sledeem odeljku pozabaviemo se tomdefinicijom.

3.2 Definicija uoptenih stohastikih procesa

Kreemo od injenice da u svakom stvarnom merenju vrednosti neke

funkcije f(t), preciznost mernog instrumenta nam dozvoljava da dobijemosamo prosenu vrednost

Xf, =

(t) f(t) dt, (3.2)

gde je (t)funkcija koja karakterie merni instrument. Xfzavisi linearno ineprekidno od . Tanije, to je uoptena funkcija kojoj odgovara f.

Vraamo se prostoru test funkcija D

Rd

. Neka je (, F, P) prostorverovatnoa.

Definicija 31. Uopten stohastiki (sluajni) proces je sluajna uoptenafunkcija u sledeem smislu: svakom D

R

d

je dodeljena sluajna pro-menljivaX, tako da vae sledea dva uslova:

1. FunkcionelaXje linearna naDR

d

sa verovatnoom 1, tj. za proiz-

voljnei izDR

d

i proizvoljne brojeve i imamo

X,+ = X, + X,

sa verovatnoom 1.

33


35/70

2. X, je neprekidno u sledeem smislu: konvergencijakj ku pros-

toru D Rd, k = 1, . . . , n, implicira konvergenciju raspodele vektoraX, 1j

, . . . ,

X, nj

ka raspodeli (X, 1 , . . . , X, n) u smislu

konvergencije u raspodeli.

Drugim reima, za fiksirano iz D

Rd

, preslikavanje Rdefinisanosa

X() ,

je sluajna promenljiva.

Koristei reprezentaciju (3.2), moe se pokazati da svakom obinomstohastikom procesu sa neprekidnim trajektorijama odgovara uopteni sto-hastiki proces.

Za uopteni stohastiki proces kaemo da je Gausovski proces ako, zaproizvoljne1, . . . , n D

Rd

, sluajna promenljiva(X, 1 , . . . , X, n)

ima normalnu raspodelu. Kao i u klasinom smislu, uopteni Gausovskiproces je jedinstveno odreen neprekidnom linearnom funkcionelom

E(X, ) =m ()

i neprekidnom bilinearnom pozitivno - definitnom funkcionelom

E((X, m ()) (X, m ())) =C(, ) .

Jedna od vanih prednosti uoptenog stohastikog procesa je to njegovizvod uvek postoji i ponovo je uopteni stohastiki proces. Izvod Xuoptenogstohastikog procesa Xjeste proces definisan sa

X,

= X, .

Izvod Gausovskog procesa sa oekivanjem m ()i kovarijansom C(, )je ponovo Gausovski proces sa oekivanjem m () =m ( )i kovarijansomC(, ) =C

,

.

Kao primer uzimamo Vinerov proces i njegov izvod. Iz reprezentacije

X, =

(t) Wtdt,

34


36/70

(uz uslov Wt 0za t


37/70

koja se esto sree u inenjerskoj literaturi. Naravno, imamo i obrnuto

Wt =

t0

sds (3.4)

u smislu poklapanja kovarijansnih funkcionela.

Konano, moemo dati formalnu definiciju:

Definicija 32. Gausovski beli um t, za t R, je uopteni Gausovskistohastiki proces X sa oekivanjem koje ima vrednost 0 i kovarijansnim

funkcionalom

C(, ) =

(t) (t) dt. (3.5)

Iz (3.5), moemo zakljuiti da

C( (t) , (t)) =C( (t + h) , (t + h)) , hR,

to za posledicu ima sledee: za proizvoljne funkcije 1, . . . , n D

Rd

,sluajna promenljiva(

X

,

1(t + h)

, . . . ,

X

,

n(t + h)

)ima istu raspodelu

za sve h, tj. beli um jestacionaranuopteni proces.

Izraz (3.5) nam takoe govori da je

C(, ) = 0 ako je (t) (t) 0,

tj. sluajne promenljive X, i X, su nezavisne u tom sluaju. Zauoptene stohastike procese sa ovom osobinemo kaemo da imaju u svakojtaki nezavisne vrednosti.

Ovakvi procesi veoma su dobro proueni. Grubo govorei, mogli bismorei da ih dobijamo diferenciranjem procesa sa stacionarnim i nezavisnim pri-ratajima. Svaki od tih procesa moe posluiti za modeliranje umova, to

jest, stacionarnih i brzo fluktuirajuih fenomena. um je beli, odnosno,spektralna gustina je konstantna, ako kovarijansna funkcionela ima oblik(3.5). Iako smo ovde razmatrali samo Gausovski beli um, postoje i drugi,ne - Gausovski, procesi belog uma, na primer, takozvani Poasonov beli um,izvod Poasonovog procesa (posle oduzimanja oekivanja).

36


38/70

Mada stacionarni Gausovski procestsa svuda konstantnom spektralnom

gustinom u tradicionalnom smislu ne postoji, takav koncept se pokazao kaoveoma korisna matematika idealizacija. Dalje, posmatrajui izraze (3.3) i(3.4) zakljuujemo da je t samo izvod klasinog procesa, i da je potrebansamo uglaavajui efekat jedne integracije da se sa t vratimo na klasianstohastiki procesWt. Iz ovog razloga se diferencijalne jednaine koje sadrebeli um esto zapisuju kao integralne jednaine.

Primer 7. Zakljuili smo da beli um ne postoji kao proces u klasinomsmislu. Pokazaemo u ovom primeru da se ipak moe dobro aproksimirati

klasinim stacionarnim Gausovskim procesom.Neka je dat stohastiki procesXt sa kovarijansom

C(t) =a eb|t| (a >0, b >0) .

Takav proces ima spektralnu gustinu

f() = 1

ab

b2 + 2.

Ako sada pustimo da a i b tee beskonanosti, ali tako da a/b 1/2,dobijamo

f() 1

2 za sve R

i

C(t)

0, t= 0,, t= 0,

ali

C(t) dt 1,

pa

C(t) (t) ;

to jest, Xt konvergira u odreenom smislu kat.

37


39/70

Posmatraemo dalje odreeni integral

Yt =

t0

Xsds.

To je ponovo Gausovski proces sa oekivanjemE(Yt) = 0i kovarijansom

E(YtYs) =

t0

s0

aeb|uv|dudv.

Ako potraimo graninu vrednost gornjeg izraza, imamo

E(YtYs) min (t, s) ,

tanije, kovarijansu jednodimenzionalno Vinerovog procesaWt.

3.3 Stohastiki integrali

Analiza stohastikih dinamikih sistema esto podrazumeva razmatranjediferencijalnih jednaina oblika

Xt =f(t, Xt) + G (t, Xt) t, (3.6)

gde je t m - dimenzionalni beli um, Xt i f su Rd - vrednosne funkcije iG (t, x) = (Gij(t, x))je (d m)- matrica.

Kao to smo videli, iako tnije klasian stohastiki proces, integral od tse moe identifikovati sa m- dimenzionalnim Vinerovim procesom Wt:

Wt =

t0

sds,

ili

dWt =tdt.

Reenje deterministikog poetnog problema

xt = f(t, xt) , xt0 =c,

za neprekidnu funkciju f(t, x)je ekvivalentno reenju integralne jednaine

xt=c +

tt0

f(s, xs) ds,

38


40/70

za koju je mogue nai krivu reenja klasinom procedurom iteracije.

Na isti nain transformiemo jednainu (3.6) u integralnu jednainu

Xt = C+

tt0

f(s, Xs) ds +

tt0

G (s, Xs) sds, (3.7)

gde je Cproizvoljna sluajna promenljiva.

Prvi integral u prethodnom izrazu moemo posmatrati kao poznat Ri-manov integral. Drugi integral moe predstavljati vei problem.

Sada i formalno eliminiemo beli um iz (3.7) pomou

tt0

G (s, Xs) sds=

tt0

G (s, Xs) dWs,

tako da dobijamo

Xt = C+

t

t0f(s, Xs) ds +

t

t0G (s, Xs) sdWs. (3.8)

Jednaina (3.8) moe biti jednostavnije zapisana u diferencijalnom obliku

dXt=f(t, Xt) + G (t, Xt) dWt. (3.9)

Na cilj je da definiemo integral

Xt = Xt() =

tt0

G (s) dWs=

tt0

G (s, ) dWs(),

za to je mogue iru klasu (d m)- vrednosnih funkcija (matrica) G. To jemogue uiniti na vie naina. Mi emo definisati Ito - ov integral. Najprenavodimo par definicija potrebnih za glavnu konstrukciju.

Neka je Wtm - dimenzionalni Vinerov proces definisan na prostoru verovat-noa (, F, P). Neka je t0 fiksirani nenegativni broj. Definiemo dve -algebre:

W[t0, s] :=F(W(t) , t0 t s) ,

39


41/70


42/70

prostor M2[t0, t]aproksimacijom proizvoljne funkcije step - funkcijama.

FunkcijaG M2[t0, t]se nazivastep - funkcijaako postoji dekompozicijat0 t1 tn = t tako da je

G (s) =G (ti1)

za sve s[ti1, ti),i= 1, . . . , n.

Za step - funkciju G, definiemo stohastiki integral od G u odnosu naWtkaoRd - vrednosnu sluajnu promenljivu

tt0

G dW = tt0

G (s) dWs=n

i=1

G (ti1) (Wti Wti1). (3.10)

U cilju definisanja stohastikog integrala za proizvoljnu funkciju G izM2[t0, t], primetimo najpre da je skup step - funkcija gust u M2[t0, t] usmislu sledee leme:

Lema 1. Za svaku funkciju G M2[t0, t] postoji niz step - funkcija Gn M2[t0, t]takav da

ss limn

tt0

|G (s) Gn(s)|2 ds= 0.

Lema 2. Neka jeG M2[t0, t] i neka jeGn M2[t0, t] niz step - funkcijaza koji

P limn

tt0

|G (s) Gn(s)|2 ds= 0.

Ako definiemo

tt0

Gn(s) dWs

jednainom (3.10), tada

P limn

tt0

Gn(s) dWs= tt0

G (s) dWs= I(G) ,

gde jeI(G)sluajna promenljiva koja ne zavisi od izbora niza{Gn}.

41


43/70

Za svaku(d m)- vrednosnu funkciju G M2[t0, t], stohastiki integral

od G u odnosu na m - dimenzionalni Vinerov procesWtje sluajna promen-ljiva I(G) koja je, na osnovu Leme 2, skoro sigurno jedinstveno odreenasa

I(G) = tt0

G (s) dWs= P limn

tt0

Gn(s) dWs,

gde je{Gn}niz step - funkcija iz M2[t0, t]koji aproksimira G. Time stiemodo integrala koji smo eleli da definiemo.

Neka nam je dat stohastiki proces

Xt() =Xt0() + tt0

f(s, ) ds + tt0

G (s, ) dWs,

uz prethodne pretpostavke. Tada kaemo da stohastiki proces Xt imasto-hastiki diferencijal

dXt = f(t) dt + G (t) dWt.

Navodimo jo teoremu koja e nam omoguiti rad sa stohastikim inte-gralima i reavanje jednaina (3.7).

Teorema 10. (Ito - ova teorema) Neka jeu = u (t, x) neprekidna funkcijadefinisana na [t0, t] R

d sa vrednostima uR i sa neprekidnim parcijalnimizvodimaut, uxi iuxixj , i, j d. Neka jedjednodimenzionalnih stohastikihprocesaXt definisano na [t0, t] stohastikim diferencijalima

dXi(t) =fi(t) dt + Gi(t) dWt, i= 1, 2, . . . , d ,

u odnosu na isti jednodimenzionalni Vinerov procesWt.

Tada stohastiki proces

Yt = u (t, X1(t) , . . . , X d(t))

takoe ima stohastiki diferencijal u odnosu na isti Vinerov procesWt:

dYt=utdt +d

i=1

uxidXi+1

2

di=1

dj=1

uxixjdXidXj.

42


44/70

Glava 4

Kolomboove algebre

Posle svih razmatranja u Glavi 2, o potrebi mnoenja distribucija i te-koama na koje nailazimo, ostaje nam da se zapitamo koje mogunosti sunam preostale. Kao i ranije, dve osnovne ideje su: definisanje operacijena distribucijama koja kao rezultat daje distribuciju (unutranja operacija),i uveanje prostora objekata (spoljanja operacija). Ovoga puta, poueniprethodnim iskustvom, znamo da ne moemo oekivati u isto vreme potpunuoptost, slobodu u diferencijalno - algebarskim manipulacijama i poklapanjesa klasinim definicijama.

varcov rezultat, dat u Teoremi 9, je nakon objavlivanja 1954. godineproizveo slogan: Mnoenje distribucija je nemogue. Meutim, ako palji-vije razmotrimo dokaz ovog tvrenja, vidimo da je jedino nemogue imatimnoenje neprekidnih funkcija, diferenciranje diferencijabilnih funkcija, i uisto vreme - funkciju.

Ukoliko sve protumaimo na povoljniji nain, rezultat nemogunostinam samo govori da u asocijativnim algebrama uoptenih funkcija, mnoenjei diferenciranje ne moemo istovremeno proiriti odgovarajue klasine ope-racije bez ikakvih ogranienja. Neke od osobina ipak moemo obezbediti.

Zahvaljujui radu Kolomboa (J. F. Colombeau), mogu se konstruisati aso-cijativne algebre sa operacijom mnoenja , u terminima Teoreme 9, koja neindukuje obino mnoenje na C(Q), ali indukuje obino mnoenje na C (Q).

Kolomboove algebre se konstruiu kao faktor algebre beskonanog ste-pena prostoraC po modulu odreene klase ideala. Pozabaviemo se najprenekim elementarnim konstrukcijama.

43


45/70

4.1 Osnovne definicije i osobine

Za q P1 definiemo

Aq(R) =

D (R) :

(x) dx= 1i

xj (x) dx= 0, 1 j q

,

Aq(Rn) =

D (Rn) : (x1, . . . , xn) =

nk=1

(xk) za neke Aq(R)

.

Lema 3. Za svako q P1, skup Aq(Rn)nije prazan.

Dokaz. Jasno, dovoljno je da pokaemo Aq(R) = . Dajemo dva razliitadokaza, koji e nam kasnije biti od koristi.

I nain: Posmatramo neprekidne linearne forme na D (R),

L0() =

(x) dx,

Lj() =

xj (x) dx, 1 j q.

Vidimo da suLj, 0 j qlinearno nezavisni (akoq

j=0 j

xj (x) dx= 0za sve D (R), onda polinom

qj=0 jx

j mora nestati.) Specijalno,L0nijelinearna kombinacija od L1, . . . , Lq.

Kao posledica Han - Banahove teoreme, postoji element biduala D (R) =D (R)tako da

L0() = 1, Lj() = 0, 1 j q.

Konano,pripadaAq(R).

II nain: Neka je D (R)tako da vai

(x) dx= 1i (x) = (x).Onda A1(R). Oznaimo

= + ,

pri emu treba odrediti. Jasno, A1(R). Meutim, x2 (x) dx=

x2 (x) dx + 2

(x) dx

uz izbor = 12

x2 (x) dx, smetau A2(R), onda ak i u A3(R). Dalje,

ako stavimo

= + (4)

i izaberemo = 14!

x4 (x) dx, dobijamo A4(R), i tako dalje.

44


46/70

Drugi deo dokaza pokazuje da Aq(Rn) sadri simetrine elemente, ele-

mente sa realnim vrednostima i elemente sa proizvoljnim nosaem. Prvi deodokaza se moe lako proiriti da bi se pokazalo da Aq(R) sadri elementetakve da vai = 0ili

|x| (x) dx= 0, i tako dalje. Primetimo, meutim,

da elementi od Aq(Rn) nisu nikad nenegativni kada je q 2. Konano,napominjemo da je presek svih skupova Aq(Rn)prazan.

Definisaemo jo nenegativne model delta mree.

Definicija 35.Za dato D (Rn)za koje je

(x) dx= 1, mrea{}>0,gde je

(x) =n x ,

naziva se nenegativna model delta mrea.

Sada smo spremni za konstrukciju Kolomboove algebre Gq(Rn), najprena itavomRn. Kao polaznu taku uzimamo

Eq[Rn] = (C (Rn))A0(R

n)

={Sva preslikavanja u: A0(Rn) C (Rn)} .

Alternativno, moemo videtiE[Rn]kao skup svih preslikavanja

u: A0(Rn) Rn C

koja su neprekidna po drugoj promenljivoj. Moramo naglasiti da elemente Aq(R

n)posmatramo u ovom sluaju kao parametre, ne kao test funkcije.

Na E[Rn]uvodimo strukturu diferencijalne algebre. Operacije definiemopo komponentama:

(uv) () =u () v ()

(u) () = (u ()) ,

za Aq(Rn) i Pn. tavie, postoji potapanje : D (Rn) E[Rn]dato sa

(w) () =w ,

za w D (Rn), Aq(Rn) i w (x) = w (y) , (x y). Injektivnostod sledi iz relacije

w= lim0

(w ) .

45


47/70

Jasno, (w) = (w).

Dakle, E[Rn] je komutativna, asocijativna diferencijalna algebra kojasadri distribucije, sa definisanim parcijalnim izvodima koji su proirenjeizvoda naD (Rn).

Meutim, mnoenje na E[Rn]nije proirenje ak ni mnoenja vrednostipo takama naC (Rn). Zaista, ako f, g C (Rn), onda

(f g) () = (f g) = (f ) (g ) = ( (f) (g)) ()

u optem sluaju. Zbog toga elimo da preemo na faktor algebru, u kojoje(f g) i (f ) (g )biti identifikovani, barem za f, g C (Rn). Mo-emo zahvaliti Kolomboou zato to je pokazao da se to zaista moe uiniti,zadravajui sve diferencijalno - algebarske osobine E [Rn]o kojima smo go-vorili.

Da bismo motivisali narednu definiciju, primetiemo da je ispunjeno

(f g) = (f ) (g )

za Dirakovu distribuciju . To nam sugerie da uporedimo (f g) i

(f ) (g )za malo >0; vrednosti elemenata odE [Rn

]za svakosamalim >0 bie od presudnog znaaja.

UvodimoN(Rn)kao skup svih nula funkcija na Rn.

Definicija 36. Funkcijau E[Rn] je nula funkcija naRn ako:

Za sve kompaktne skupoveK Rn i sve Pn postojiN Ntako daza sve Aq(R

n), gde jeq N vai:

Postojec >0, >0 takvi da je

supxK

|u (, x)| c qN, 0< < . (4.1)

Ovde smo koristili notaciju u (, x) = u () (x). Moemo rei da ele-mentiN(Rn)tee nuli bre od bilo kog stepena od kada deluju na , za Aq(R

n)i qdovoljno veliko.

N(Rn)je, oigledno, podalgebra od E[Rn]zatvorena u odnosu na dife-renciranje. Meutim, to nije ideal od E[Rn], jer E[Rn]sadri elemente koji

46


48/70

imaju proizvoljan rast na kad 0. Na primer, u () = exp():

Postoje elementi iz Aq(Rn) takvi da je (0) = 1, i onda u (, 0) =exp

1

.

Da bismo iskljuili takve sluajeve, uvodimo skup EM[Rn], skup svihumerenih funkcija na Rn.

Definicija 37. Funkcijau E[Rn] je umerena naRn ako:

Za sve kompaktne skupoveK Rn i za sve Pn postojiN Ntakoda za sve AN(R

n) vai:

Postojec >0, >0 tako da je

supxK

|u (, x)| c N, 0< < . (4.2)

EM[Rn]je diferencijalna algebra, podalgebra od E[Rn], i sadri N(Rn)

kao diferencijalni ideal.

Definicija 38. Kolomboova algebra uoptenih funkcija se definie kao faktoralgebra

G(Rn) =EM[Rn] /N(Rn) .

I dalje je u pitanju asocijativna i komutativna diferencijalna algebra.Sledee tvrenje nam govori da potapanje : D (Rn) EM[Rn] indukujepotapanjeD (Rn) G(Rn).

Teorema 11. (D (Rn)) EM[Rn], i1 (N(Rn)) ={0}.

Moemo zakljuiti da indukuje linearno injektivno preslikavanje pros-toraD (Rn)u G(Rn), i da komutira sa izvodima. Poenta cele konstrukcije

jeste da ova injekcija pretvaraC (Rn)u podalgebru odG(Rn), preciznije, C (Rn) je algebarski monomorfizam.

Uzmimo, na primer, f C (Rn). Onda

(f) = klasa od [ f ] u G(Rn) .

Sa druge strane, postoji konstantno ili standardno potapanje odC (Rn)u G(Rn):

(f) = klasa od [ f] uG(Rn) .

je takoe algebarski monomorfizam. tavie, ova potapanja se pokla-paju naC (Rn).

47


49/70

Teorema 12. Akof C (Rn), onda(f f)A0(Rn) pripadaN(Rn).

Kao posledica, C (Rn) =.

Dokaz. Dokaz se zasniva na Tejlorovom razvoju. Zbog jednostavnosti, pos-matramo samo sluaj n= 1:

(f f) (x) =

(f(x y) f(x)) (y) dy

=q

j=1

f(j) (x)

(y)j

j! (y) dy+

(y)q+1

(q+ 1)!f(q+1) () (y) dy, (4.3)

gde je izmeu xi x y .

Prvi deo izraza (4.3) nestaje, jer Aq(Rn). Ako xpripada kompakt-nom skupu, drugi deo izraza (4.3) moe biti ocenjen sa const q+1, a faktorq+1 je isti za sve Aq(Rn). Sline ocene vae i za izvode od f.

Ovim je zavrena konstrukcija algebreG(Rn).

4.2 Kolomboova algebra G(Q)Prihvatamo konvenciju: elemente U G(Rn)oznaavamo velikim slovima,

a svaki od njih je definisan svojim pretstavnikom u () EM[Rn].

Sve operacije su definisane pomou odgovarajuih operacija meu pred-stavnicima. Na primer: U = [u ()], P1, U V = [u () v ()], itako dalje.

Da sumiramo, u prethodnom delu definisana algebra G(Rn)ima sledeeosobine:

1. G(Rn) je komutativna, asocijativna algebra sa izvodima prirodno de-finisanim na predstavnicima.

2. Postoji linearno potapanje D (Rn) G(Rn).

3. j D(Rn)se poklapa sa obinim izvodom na D (Rn),j = 1, . . . , n.

4. Proizvod elemenata iz G(Rn) se poklapa sa obinim proizvodom uC (Rn).

48


50/70

5. Ako je Fpolinomijalno ograniena sa svim svojim izvodima funkcija i

akoU1, . . . , U n G(Rn), tada F(U1, . . . , U n) G(Rn).

Na sledei zadatak bie konstrukcija algebre G(Q) na proizvoljnim ot-vorenim podskupovima Q od Rn. Zapravo, konstrukcija same algebre jepotpuno ista kao na Q =Rn, ali je potapanje prostora distribucijaD (Q)uG(Q)neto komplikovanije.

Neka je E[Q] algebra svih preslikavanja iz Aq(Rn) u C (Q). Podal-gebra E [Q]sastoji se od svih preslikavanja koja zadovoljavaju osobinu (4.2)na svim kompaktnim podskupovima K Q, dok se ideal N(Q)sastoji odonih preslikavanja koja zadovoljavaju osobinu (4.1).

Kao i pre, definiemo

G(Q) =EM[Q] .

Potapanje 0 distribucija sa kompaktnim nosaem E (Q)u Kolomboovualgebru G(Q)je odmah dostupno, i to kao

0(w) () = (w )Q

za w E (Q), A0(Rn).

U sluaju kada ne radimo sa distribucijama sa kompaktnim nosaem pro-ces potapanja se vri na sledei nain. Koristiemo (bez dokaza) injenicuda je Kolomboova algebra G(Q)snop (diferencijalnih algebri), odakle imamoda postoji samo jedno proirenje od 0kao morfizam snopa D (Q) G(Q).

Napomena 1. Iskoristili smo injenicu da je G(Q) snop. U pitanju jeza nas nov pojam. Intuitivno, snop koristimo da bismo podatke koji su namdostupni o nekom otvorenom skupu dobili pomou podataka koji su ogranienina manje otvorene skupove koji zajedno ine poetni skup. Takvi podaci mogu

biti dati pomou, recimo, prstenova neprekidnih ili glatkih funkcija definisanihna svakom od otvorenih skupova. Da bi odreena struktura bila snop, morada zadovolji neke poetne pretpostavke, odnosno da bude predsnop (presheaf).Neka je X topoloki prostor i neka jeC kategorija. Predsnop F nadX savrednostima uCzadovoljava sledee osobine:

Svakom otvorenom skupuU nadXodgovara objekatF(U)uC.

Svakoj inkluziji otvorenih skupova V U odgovara morfizam U,V :F(U) F(V)u kategorijiC.

49


51/70

MorfizamU,V naziva se restriktivni morfizam (restriction morphism). Re-

striktivni morfizam mora da zadovolji sledee osobine:

Za svaki otvoreni skup UnadX, restriktivni morfizamU,U :F(U)F(U)je identiki morfizam naF(U).

Za svaka tri otvorena skupaWV U, vaiW,V V,U=W,U.

Pozabaviemo se samo konkretnim osobinama koje moraju biti zadovol-jene da bi predsnop G(Q) bio snop nadRn. Neka je otvoren podskup odR

n i{} otvoren pokriva od. Osobine koje nas zanimaju su:

AkoU, V G(Q)takvi daU =V za sve , onda jeU=VuG(Q).

Ako nam je data kompatibilna familija{U} elemenataU G(Q),tj. U = U , za sve, , postojiU G(Q) tako dajeU =U za sve .

Kao to smo ranije naveli, neemo dokazivati da ove osobine vae, ali nampomau da bolje shvatimo nau strukturu.

Da bismo izvukli koliinu iz datog , koristimo ovakav trik: Stavimo

() = sup {|x| (x)= 0}za Aq(Rn). Tada je () = ().

Da smo uzeli, recimo

m () =

| (x)|2 dx,

onda bismo imali m () =nm ().

Dalje, iscrpljujemo skup Q kompaktnim skupovima

Qr =

x Q : |x| 1

r idist (x,Q) 2r

,

gde je r >0. Neka je r karakteristina funkcija za Qr. Konano, stavimo

() =() ,

za A0(Rn).

50


52/70


53/70

Definicija ne zavisi od predstavnika i w je jedinstveno, ukoliko postoji.

Piemo Uw. Svaka distribucija je asocirana sa samom sobom; preciznije, (w) w za w D (Q). Za date U, V G(Q), vai

UV ako i samo ako U V 0.

Dve distribucije, posmatrane kao elementi od G(Q), su meusobno aso-cirane ako i samo ako su jednake. Dakle, koncept asociranosti je proirenje

jednakosti distribucija.

Takoe, za elemente U, V G(Q)za koje je UV, vai:

UV za sve Pn,f Uf V za sve f C (Q) .

(4.5)

Primer 8. Navodimo dva problema koje smo ranije spominjali.

1. x (x) 0. Zaista, za dato A0(R)i D (R), x

x

(x) dx=

y (y) (y) dy 0

kad 0.

2. H2 =HuG(R), aliH2 H, za Hevisajdovu funkcijuH. Drugi iskazje oigledan, a prvi smo pokazali u Primeru 6. Zbog osobine 4.5, imamo2H , to jest,

H1

2.

52


54/70

Glava 5

Kolomboovi uopteni

stohastiki procesi

U ovoj glavi, uvodimo najpre Kolomboove stohastike procese, a zatimemo pokazati kako se sve o emu smo do sada govorili moe upotrebiti nareavanje stvarnih problema.

5.1 Konstrukcija Kolomboovih uoptenih pro-

cesaZa poetak, fiksiramo prostor verovatnoe (, , ), gdeoznaava mer-

ljiv podskup odije probabilistika mera. Za vremenski interval uzimamoR.

Algebru klasinih sluajnih procesa na R sa skoro sigurno neprekidnimtrajektorijama emo oznaavati saC(R), dok eC (R)oznaavati algebruklasinih sluajnih procesa sa skoro sigurno glatkim trajektorijama.

Oznaimo sa E[R]prostor mrea {X}, (0, 1), procesa X sa skorosigurno glatkim trajektorijama, odnosno, prostor mrea procesa

X: (0, 1) R R

takvih da

X(t, )je merljivo, za sve (0, 1)i tR;

tX(t, )pripadaCR, za sve (0, 1)i skoro sve .

53


55/70

Sada definiemo prostoreEb (R),Nb (R)i G

b (R)na sledei nain.

Definicija 40. Eb (R)je prostor mrea procesa{X} koji pripadajuE[R], (0, 1), sa osobinom da za skoro svako , za sveT > 0 i P1,postoje konstanteN, C >0 i0 (0, 1) takve da

supt[0,T]

|X(t, )| C N, 0.

Definicija 41. Nb (R)je prostor mrea procesa{X}koji pripadajuE [R], (0, 1), sa osobinom da za skoro svako , za sveT >0 i P1 i sveb R, postoje konstanteC >0 i0 (0, 1) takve da

supt[0,T]

|X(t, )| C b, 0.

Definicija 42. Algebra Kolomboovih uoptenih sluajnih procesa je faktoralgebra

Gb (R) =Eb (R) /N

b (R) .

Gb (R) je diferencijalna algebra, pa Kolomboove uoptene sluajne pro-cese moemo mnoiti i traiti njihove (uoptene) izvode. tavie, ta injenicaini moguom superpoziciju Kolomboovog uoptenog sluajnog procesa sapolinomijalno ogranienom funkcijom (ili ogranienom funkcijom), kao toemo videti u nastavku.

NekaOM(Rn)oznaava algebru glatkih polinomijalno ogranienih funk-cija F :Rn R.

Definicija 43. Funkcija C (Rn)se naziva brzo opadajua ako za svakipar multi indeksa, Pn vai

sup

x (x)

; x Rn

< ;

skup brzo opadajuih funkcija oznaavamo saS(Rn), kraeS.

U odnosu na uobiajene operacije Sje vektorski prostor za koji vai dajeC0 S,C

0 =S,S C

iS =C.

Definicija 44. Prostor neprekidnih linearnih funkcionela nad S(Rn) oz-naavamo saS (Rn)iliS. Elementi odS se nazivaju temperirane distribu-cije ili distribucije sporog rasta.

54


56/70

Definicija 45. Familija G = {G}, (0, 1), se zove temperirana ako

G OM R2 za sve (0, 1) i ako za sve P2 postojeN, C >0 takveda

|G(x, y)| C N (1 + |x| + |y|)N , za sve (x, y) R2 i (0, 1) .

Moe se pokazati da vai sledee tvrenje.

Teorema 13. Neka suX, Y Gb (R)Kolomboovi uopteni sluajni procesii neka jeG temperirana familija. Tada jeG (X, Y)dobro definisan elementprostoraGb (R). Specijalno,F(X, Y)je dobro definisano akoF OM

R

2

.

Sada emo definisati potapanje prostora procesa sa neprekidnim trajek-torijama u Kolomboov prostorGb (R). U tu svrhu, izaberimo element

S(R) takav daR

(s) ds= 1,

iji svi momenti nestaju, to jest,R

sj (s) ds= 0, za sve j1.

Dalje, uzmimo D (R)tako da je

(s) 1 u okolini od s= 0.

Za proces Zsa skoro sigurno neprekidnim trajektorijama definiemo odgo-varajui element prostoraGb (R)kao

(Z) = [(Z ())] , (0, 1) , (5.1)

gde zagrade[ ]oznaavaju klasu,(s) = 1

s

i konvolucija je konvolucija

po trajektorijama

(Z ()) (t, ) =R

Z(s, ) (t s) (t s) ds.

Za skoro svako , (Z ()) (t, ) pripada Eb (R) obzirom da je

Z(, )uniformno ogranieno na kompaktnom vremenskom intervalu. Dakle,moemo uzeti njegovu klasu u Gb (R).

Primer 9. Neka jeW Vinerov proces. TadaW Gb (R)i

W = d

dt (W)

predstavlja beli um kao element prostoraGb (R).

55


57/70

ProcesiC (R)sa skoro sigurno glatkim trajektorijama se takoe mogu

potopiti uGb (R)pomou standardnog potapanja

(Z) = [{Z}] , (0, 1) .

Svojstvo konzistencije C(R)= je dato u sledeoj teoremi.

Teorema 14. Ako jeZproces sa skoro sigurno neprekidnim trajektorijama,tada

(Z) = (Z) u Gb (R) .

Iz ovog tvrenja sledi da je (C (R))diferencijalna subalgebra od Gb (R).Slino smo imali i pri definisanju potapanja kod Kolomboovih uoptenih funk-cija.

Za izraunavanje vrednosti Kolomboovog uoptenog sluajnog proccesau fiksiranom vremenskom trenutku uvodimo koncept Kolomboove uoptenesluajne promenljive.

Neka jeERprostor mrea merljivih funkcija na .

Definicija 46. ERb je prostor mrea{X} ER, (0, 1), sa osobinomda za skoro svako postoje konstanteN,C >0 i0 (0, 1)takve da

|X()| C N, 0.

N R je prostor mrea{X} ER, (0, 1), sa osobinom da za skorosve i sveb R, postoje konstanteC >0 i0 (0, 1)takve da

|X()| C b, 0.

Diferencijalna algebraGR Kolomboovih uoptenih sluajnih promenljivihje faktor algebra

GR = E Rb/N R.

Za Kolomboov uopten sluajni proces X Gb (R)i vremenski trenutakt0 [0, T) imamo da je X(t0) Kolomboova uoptena sluajna promenljiva,odnosno, element prostoraG R.

56


58/70

5.2 Stohastike diferencijalne jednaine sa Ko-lomboovim stohastikim procesima

Poto smo kroz itav rad obezbedili alat koji nam omoguava nelinearneoperacije sa uoptenim funkcijama, a zatim i sa uoptenim stohastikim pro-cesima, elimo da na konkretnom primeru sve to primenimo. U prirodnimi inenjerskim naukama stohastike diferencijalne jednaine se pojavljuju naprirodan nain i pri tome najee opisuju takozvane sisteme sa umom.

Pozabaviemo se jednainama tipa

X

(t) =F(X(t) , Y (t)) , tR, X(0) =A, (5.2)u prostorima Kolomboovih uoptenih sluajnih procesa koje smo definisali uprethodnom odeljku.

Pretpostavimo da je YKolomboov uopten sluajni proces na R, odnosno,Y = [{Y}] G

b (R), (0, 1). Poetna vrednost je Kolomboova uoptena

sluajna promenljiva A= [{A}] GR, (0, 1), a funkcija F = [{F}]E

R2

, (0, 1), je data temperiranom familijom (kao u Definiciji 45).

Reenje jednaine (5.2), X = [{X}], (0, 1), emo posmatrati kao

element prostora Gb (R). Dodatno, pretpostaviemo da svaka od funkcijaF(koje definiu F) ima globalno ogranien gradijent:

|F(x, y)| Clog1

, (x, y)R2, (0, 1) , (5.3)

za neku konstantu C > 0. Specijalno, ova pretpostavka je ispunjena ako jeFklasina globalno Lipicova neprekidna funkcija koja pripada OM

R2

.

Sledea teorema bavi se reenjem problema (5.2).

Teorema 15. (Reenje i jedinstvenost) Neka jeF takvo da je zadovoljena

osobina (5.3). Za dateY Gb (R)iA GR, problem (5.2) ima jedinstvenoreenjeX Gb (R).

Dokaz. (Egzistencija reenja.) Fiksirajmo (0, 1). Tada moemo koristitiklasine teoreme za reenja trajektorija i dobiti jedinstveno reenje X saglatkim stazama.

Ostaje da pokaemo da{X} Eb (R). Njegova klasa u G

b (R)e tada

biti traeno reenje.

57


59/70

Za skoro svako fiksirano imamo

X(t) =A+ tF(0, 0) +

t0

yF( (X(s) , Y(s))) Y(s) ds

+

t0

xF( (X(s) , Y(s))) X(s) ds,

za neku funkciju .

Kako su F(0, 0) i Y [0,T] reda N na fiksiranom intervalu [0, T], zasvako T > 0, a xF i yF reda log 1

, primenom Gronvalove nejednakostidobijamo

supt[0,T]

|X(t)| C N exp

Tlog 1

= C (N+T),

odnosno, X ima umerenu granicu. Sline ocene za izvode od X direktnoslede iz jednaine primenom indukcije.

(Jedinstvenost reenja.) Neka suXi Xdva reenja problema (5.2). Tada,postoje{N1} N

b (R)i {N2} N Rtakvi da

X X= F(X, Y) F X, Y + N1,

X(0) X(0) =N2.

Dakle,

X(t) X(t) =N2+

t0

N1(s) ds +

t0

xF(, Y)

X(s) X(s)

ds,

za neku funkciju =

X, X

.

Na osnovu Gronvalove leme

supt[0,T]

X(t) X(t) C(1 + T) b exp Tlog 1= C(1 + T) bT,odnosno, razlikaX Xje nula funkcija.

Slino se mogu oceniti svi izvodi te razlike i na osnovu toga zakljuitida

X X

Nb (R). Dakle, X = X pripada Gb (R) i time je dokaz

zavren.

58


60/70

Ako je F F, za malo , klasina globalno Lipic neprekidna funkcija,

proces S C (R) je gladak, i poetna vrednost A = A L0 je klasinasluajna promenljiva, onda problem

Z =F(Z, S) , Z(0) =A (5.4)

ima klasino, glatko reenje Z C (R). Veoma je vano da se, u tomsluaju, uopteno reenje X Gb (R)poklapa sa klasinim reenjem Z, kaoto je izloeno u sledeoj teoremi.

Teorema 16. (Konzistencija) Neka jeF F OMR

2

, zatim neka je|F| ogranieno i A = A L0. Pretpostavimo da S C (R). Neka je

Z C (R)klasino reenje jednaine (5.4), aX G

b (R)uopteno reenjejednaine (5.2) saY = (S). Tada jeX= (Z)uGb (R).

Dokaz. Na osnovu Teoreme 14, {Y} S, (0, 1), daje predstavnikaza Y = (S). Slino, {Z}, koje definie klasino reenje Z, moe bitipredstavnik jedinstvenog uoptenog reenja X.

Ovaj pristup nam omoguava da radimo i sa glatkim funkcijama F pro-izvoljnog rasta i to koristei pogodnu proceduru seenja. Sa druge strane,postavljanjem nekih dodatnih uslova na Y, procedura seenja moe postatinepotrebna, kao to je pokazano u sledeem primeru.

Primer 10. Posmatramo jednainu multiplikativnog uma

X (t) =X(t) W(t) , X(0) =A, (5.5)

gde W Gb (R) oznaava beli um koji nam je poznat od ranije, R iA GR je Kolomboova uoptena sluajna promenljiva.

Bez procedure seenja desna strana u

F

X, W

= X(t) W(t)

ne zadovoljava pretpostavke Teoreme 15. Ipak, zahvaljujui lokalnoj ogranienosti

Vinerovog procesa, imamo jedinstveno reenjeX Gb (R).

Zaista, za {W}, (0, 1), predstavnika od (W), na osnovu (5.1),imamo da je

W

, (0, 1).

Ako je{X}, (0, 1) predstavnik reenjaX Gb (R) za (5.5), tada,

za neke{N1} Nb (R) i{N2} N R,

X(t) =X(t)W(t) + N1(t) , X(0) =A+ N2,

59


61/70

gde je{A}, (0, 1), predstavnik odA.

Dakle,

X(t) = (A+ N2)exp(W(t) W(0))

+

t0

exp(W(t) W(s)) N1(s) ds.

Na osnovu ogranienosti po trajektorijama{W}, (0, 1), na svakomintervalu [0, T], nezavisno od , mrea {X}, (0, 1), pripada E

b (R).

Ona definie reenje.

Lako se moe videti da je to reenje jedinstveno obzirom da izrazi kojisadreN1 iN2 pripadajuNb (R). Predstavnik reenja je

X(t) =Aexp (W(t) W(0)) .

U sluaju kada je A klasina sluajna promenljiva A, X(t) iliX(t)konvergiraju, po trajektorijama uniformno po t[0, T], ka

Z(t) =A exp(W(t)) , kada .

To moemo protumaiti kao da je uopteno reenjeX Gb (R)asociranosa klasinim procesomZ C(R).

U optem sluaju, kada umesto belog uma u (5.5) imamo proizvoljanuopteni sluajan proces teko je dati odgovor da li je uopteno reenjeXGb (R)asocirano sa nekim klasinim sluajnim procesom ili ne.

Siguran pozitivan odgovor postoji samo za glatke procese. Tada je Xjednako klasinom reenju.

60


62/70

Zakljuak

Moglo bi se rei da se ovaj rad bavi osnovnim idejama. Kao to smoranije napomenuli, radi se o malim delovima velikih teorija. Svaki obraeni

odeljak mogao bi postati zaseban rad.

U tom smislu, kada smo se suoavali sa problemima u konstrukciji, reavalismo ih na izvestan nain - koji svakako nije jedini. Na primer, problemmnoenja distribucija ovde prevazilazimo uvoenjem takozvane spoljaneoperacije. Meutim, postoji itava teorija koja se bavi unutranjim ope-racijama, odnosno, definisanjem proizvoda dve distribucije na manjim pod-skupovima prostora distribucija koji je opet distribucija. O svemu tome ovdenismo govorili.

Uopteni stohastiki procesi zbog svojih osobina imaju veliku primenu.U ovom radu smo ih posmatrali u odnosu na neke od Kolomboovih struk-tura. Dalja razmatranja vodila bi nas u komplikovanije strukture istog tipaili potpuno drugaije pristupe - mogunosti su zaista velike.

61


63/70

Literatura

1. L. Arnold - Stochastic Differential Equations: Theory and Applica-tions, John Willey and Sons, New York, 1974.

2. S. Pilipovi, B. Stankovi- Prostori distribucija, Srpska akademijanauka i umetnosti, Ogranak u Novom Sadu, 2000.

3. M. Oberguggenberger- Multiplication of Distributions and Appli-cations to Partial Differential Equations, John Wiley and Sons, NewYork, 1992.

4. D. Rajter - iri - Konstrukcija Kolomboovih reenja determinis-tikih i stohastikih diferencijalnih jednaina, Doktorska teza, 2001.

5. M. Nedeljkov, D. Rajter - iri- Nonlinear Stochastic Wave Equa-tion with Colombeau Generalized Stochastic Processes, MathematicalModels and Methods in Applied Sciences, Vol. 12, No. 5 (2002) 665-688

62


64/70

Kratka biografija

Roena sam 13. januara 1988. godine. Zavrila sam Osnovnu kolu AcaSinadinovi u Predejanu kao ak generacije, a zatim Gimnaziju u Leskovcu,smer uenika talentovanih za matematiku, kao nosilac Vukove diplome. 2006.godine upisala sam osnovne akademske studije na Prirodno-matematikomfakultetu u Novom Sadu, smer inenjer matematike. Studije sam zavrilau oktobru 2010. godine sa prosenom ocenom 10,00. Iste godine na istomfakultetu upisala sam master studije primenjene matematike, modul tehno-

matematika. Zakljuno sa junskim ispitnim rokom 2011. godine poloilasam sve predviene ispite sa prosenom ocenom 10,00.

Novi Sad, septembar 2011. god. Jelena Nedeljkovi

63


65/70

UNIVERZITET U NOVOM SADU

PRIRODNO - MATEMATIKI FAKULTETKLJUNA DOKUMENTACIJSKA INFORMACIJA

Redni broj:RBR

Identifikacioni broj:

IBR

Tip dokumentacije: Monografska dokumentacijaTD

Tip zapisa: Tekstualni tampani materijalTZ

Vrsta rada: Zavrni radVR

Autor: Jelena NedeljkoviAU

Mentor: dr Danijela Rajter - iriMN

Naslov rada: Uopteni stohastiki procesiMR

Jezik publikacije: Srpski (latinica)

JP

Jezik izvoda: s / enJI

Zemlja publikovanja: R SrbijaZP

Ue geografsko podruje: Vojvodina

64


66/70

UGP

Godina: 2011.GO

Izdava: Autorski reprintIZ

Mesto i adresa: Novi Sad, Trg Dositeja Obradovia 4MA

Fiziki opis rada: (5/ 70/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0) (broj poglavlja/ broj strana/brojliterarnih citata/ broj tabela/broj slika/ broj grafika/ broj priloga)FO

Nauna oblast: MatematikaNO

Nauna disciplina: Stohastika analizaND

Kljune rei: stohastiki proces, Vinerov proces, beli um, uopteni sto-hastiki proces, distribucija, mnoenje distribucija, Kolomboove algebrePOUDK

uva se: U biblioteci Departmana za matematiku i informatikuU

Vana napomena:VN

Izvod: U uvodnom delu rada, obraene su osnove stohastike analize iteorije distribucija. U nastavku, rad se bavi problemom mnoenja distribu-cija. Kroz primere je ukazano na postojanje potrebe za mnoenjem dis-tribucija i tekoe koje se pri tome javljaju. Opisan je beli um kao modelstacionarnih i brzo fluktuirajucih fenomena i uvedeni su uopteni stohastikiprocesi. Problem mnoenja distribucija reen je proirivanjem prostora dis-tribucija pomou prostora Kolomboovih uoptenih funkcija. Definisani suKolomboovi uoptene stohastiki procesi u cilju reavanja stohastikih dife-rencijalnih jednaina.

65


67/70

IZ

Datum prihvatanja teme od strane NN vea: 14. 9. 2011. god.DP

Datum odbrane: Septembar 2011. god.DO

lanovi komisije:KO

Predsednik: Akademik dr Stevan Pilipovi, redovni profesor Prirodno -matematikog fakulteta u Novom Sadu

lan: dr Marko Nedeljkov, redovni profesor Prirodno - matematikog fakul-teta u Novom Sadu

Mentor: dr Danijela Rajter - iri, vanredni profesor Prirodno - mate-matikog fakulteta u Novom Sadu

66


68/70

UNIVERSITY OF NOVI SAD

FACULTY OF SCIENCEKEY WORDS DOCUMENTATION

Accession number:ANO

Identification number:INO

Document type: Monograph typeDT

Type of record: Printed textTR

Contents Code:CC

Author: Jelena NedeljkoviAU

Mentor: dr Danijela Rajter iriMN

Title: Generalized Stochastic ProcessesTI

Language of text: SerbianLT

Language of abstract: s / enLA

Country of publication: SerbiaCP

67


69/70

Locality of publication: Vojvodina

LP

Publication year: 2011.PY

Publisher:Authors reprintPU

Publication place: Novi Sad, Trg Dositeja Obradovia 4PP

Physical description: (5/ 70/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0) (chapters/ pages/ quota-tions/ tables/ pictures/ graphics/ enclosures)PD

Scientific field: MathematicsSF

Scientific discipline: Stochastic analysisSD

Key words: Stochastic process, Wiener process, white noise, generalizedstochastic process, distribution, multiplication of distributions, ColombeaualgebraSKWUC:

Holding data: The Library of the Department of Mathematics and In-formaticsHD

Note:N

Abstract: The paper starts with introduction to stochastic analysis andtheory of distributions. Next, the problem of multiplication of distributionsarises. Examples are used to show existence of the need to multiply distribu-tions and difficulties encountered in attempts to define the desired product.White noise process is described as a common way for modelling stacionaryand rapidly fluctuating phenomena and generalized stochastic processes are

68


70/70

intoduced. Problem of multiplication of distribution is solved by introduc-

ing larger space containing the space of distributions. The paper deals withthis approach, using space of Colombeau generalized funcions. Generalizedstochastic processes in Colombeau algebras are defined. Examples are givento state how some problems can be solved using this structure.AB

Accepted by the Scientific Board on: 14. 9. 2011.ASB

Defended: September 2011.

DE

Thesis defend board:DB

President: Academician dr Stevan Pilipovi, full professor at Faculty ofScience in Novi Sad

Member: dr Marko Nedeljkov, full professor at Faculty of Science in NoviSad

Mentor: dr Danijela Rajter - iri, associate professor at Faculty of Sciencein Novi Sad

Documents

Jelena Ned El j Kovic