Kapitel 3: TAYLOR-REIHEN

von Patricia, Anita, Lisa, Curdin & Mario 5Gm

TAYLOR-REIHEN: Übersicht -1-

Einführung zu den Taylor-Reihen am einem Beispiel

Potenzreihenentwicklung zweier Funktionen:

• Mac Laurinsche Reihe- Entwicklung zur Definition & Anmerkungen- Beispiel 1- Beispiel 2- Beispiel 3

• Taylorsche Reihe- Definition & Anmerkungen- Beispiel

• Tabelle wichtiger Potenzreihenentwicklungen

Beispiel übers ganze Kapitel 3

SEITEN:

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12 - 14

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TAYLOR-REIHEN: Einführung -2-

Einleitung:

- erklären wie man eine Funktion in eine Potenzreihe „entwickelt“

- durch Reihenentwicklung eine Nährungsfunktion

- Potenzreihenentwicklung: ein brauchbares Hilfsmittel

Anwendung bei folgenden Problemen:

- Annäherung von f(x) durch Polynomfunktion

- Berechnung von Funktionswerten

- Herleitung von Nährungsformeln

- Integration einer Funktion

TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -3-

Mac Laurinsche Reihe:

1. Die Entwicklung der Funktion f(x) vom folgenden Typ ist grundsätzlich möglich und eindeutig.

2. f(x) ist in der Umgebung von x=0 beliebig oft differenzier- bar und die Ableitungswerte f(0), f`(0), f``(0),... können berechnet werden.

Zu zeigen ist, dass unter diesen Voraussetzungen die Koeffizienten a1, a2, a3,...eindeutig durch die Funktions- und Ableitungswerte f(0), f`(0), f``(0),... bestimmtsind.

Annahmen:

TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -4-

Mac Laurinsche Reihe:

1. Berechnung der ersten Ableitungen

2. Ausklammern der Koeffizienten

3. Allgemeiner Bildungssatz

An der Stelle x=0 gilt dann:

Dadurch sind die Koeffizienten von f(x) an der Stelle x=0 eindeutig bestimmt.

Unter den ganannten Voraussetzungen ergibt sich die Formel:

TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -5-

Mac Laurinsche Reihe:

Anmerkungen:1. Die Funktion muss um die Entwicklungsstelle x=0 belibig oft differenzierbar sein.

2. Potenzreihenentwicklung um den Nullpunkt

3. Innerhalb des Konvergenzradius wird eine Funktion durch die Mac Laurinsche Reihe dargestellt.

4. - Symetrieeigenschaften ablesbar - Reihenentwicklung gerader Funktion, daraus folgt: gerade Potenzen - Reihenentwicklung ungerader Funktion, daraus folgt: ungerade Potenzen

TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -6-

Mac Laurinsche Reihe: Beispiele

Beispiel 1.a: Mac Laurinsche Reihe von f(x)=ex

Beispiel 1.b: Mac Laurinsche Reihe von f(x)=e-x

TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -7-

Mac Laurinsche Reihe: Beispiele

Beispiel 2: Mac Laurinsche Reihe von f(x)=sin(x) und f(x)=cosx

Entwicklung der Sinusfunktion f(x)=sinx in eine Mac Laurinsche Reihe:

TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -8-

Mac Laurinsche Reihe: Beispiele

Beispiel 3: Mac Laurinsche Reihe von ex/(1-x)

TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -9-

Taylorsche Reihe:

- Die Mac Laurinsche Reihe ist ein Sonderfall der taylorschen Reihe.

- Funktion an beliebiger Stelle x0 entwickeln, wenn die gleichen Vorraussetzungen wie bei der Mac Laurinschen Reihe gegeben sind.

Die Taylorsche Reihe ist somit von folgender Form:

TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -10-

Taylorsche Reihe:

Anmerkungen:1. Die Taylorsche Reihe geht in die Mac Laurinsche Reihe über für den Nullpunkt.

2. Sie konvergiert für jedes x aus |x-x0|< r

TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -11-

Taylorsche Reihe: Beispiele

Beispiel: Die Entwicklung der logarythmischen Funktion f(x)=lnx

Zusammengefasste Schreibweise:

TAYLOR-REIHEN: Tabelle wichtiger Potenzreihenentwicklungen -12-

TAYLOR-REIHEN: Tabelle wichtiger Potenzreihenentwicklungen -13-

TAYLOR-REIHEN: Tabelle wichtiger Potenzreihenentwicklungen -14-

THE END