TRANSFORMASI BILINEAR
TRANSFORMASI BILINEARRINI MULIA SARI(120402062)M. ARIF
SUHENDRA(120402020)IBNU HAZAR(120402051)M. ROSO
SUTRISNO(120402062)1PENDAHULUANTRANSFORMASI BILINEARPROSEDUR DESAIN
FILTER DIGITALCONTOH SOAL
PENDAHULUANDalam presentasi ini kami membahas bagaimana
mendapatkan sistem digital yang wataknya mendekati watak dari suatu
sistem analog. Hal ini sering dilakukan mengingat filter analog
telah lebih dahulu berkembang, seperti dengan telah dikenalnya
beberapa bentuk filter analog seperti misalnya, filter Butterworth,
filter Chebyshev dan filter Eliptik. Hal ini juga dilakukan kalau
kita akan melakukan simulasi filter analog dengan filter digital.
Untuk ini diperlukan suatu transformasi yang membawa H(s) ke H(z).
PENDAHULUANDalam melakukan transformasi dari sistem analog H(s), ke
sistem digital H(z), ada dua hal yang harus dipenuhi, yaitu : 1.
watak frekuensi dari filter digital yang kita peroleh masih
mencerminkan watak frekuensi dari filter analog. Dengan kata lain,
oleh karena H(j)=H(s)|s=j dan H(j)=H(z)|z=ej maka transformasi s z
ini harus membawa sumbu imaginer dari bidang-s (s=j) ke lingkaran
satuan dalam bidang-z (z=ej).
PENDAHULUAN2. Hal lain yang harus dipenuhi dalam transformasi
ini adalah diperolehnya sistem digital yang stabil dari sistem
analog yang stabil. Untuk sistem kausal, ini berarti bahwa pole
dari sistem analog yang terletak disebelah kiri sumbu imaginer
dalam bidang-s, dengan transformasi ini harus dibawa ke dalam
lingkaran satuan dalam bidang-z.
PENDAHULUANSalah satu metode yang digunakan pada transformasi
dari sistem analog ke digital adalah Transformasi
BilinearTRANSFORMASI BILINEARTransformasi ini berdasar atas
pendekatan integral, dan dapat dibuktikan memenuhi syarat
kestabilan dan membawa transformasi s = j ke z=ejDengan
transformasi ini H(z) dapat diperoleh dari H(s) dengan memetakan
fungsi:
Transformasi tersebut dikenal dengan transformasi bilinear.
TRANSFORMASI BILINEARMetode ini akan diilustrasikan dengan
menggunakan sebuah persamaan differensial orde pertama dan fungsi
transfer diberikan oleh:
Teorema dasar dari integral kalkulus yaitu:
Selama persamaan mencakup t dan t0, kita dapat mengikuti dan
untuk mendapatkan:
TRANSFORMASI BILINEARMenggunakan Hukum Trapezoidal untuk mengira
integral dan mengasumsikan persamaan hubungan rekursif (berulang)
untuk menentukan dapat ditemukan dari persamaan berikut:
Derivatif dari persamaan diatas memberikan persamaan yang
berbeda untuk mengira-ngira solusi numerik dari persamaan
differensial:
TRANSFORMASI BILINEARTransformasi Z dari persamaan diatas dengan
X(Z) dan Y(Z) transformasi Z dari xa(nT) dan ya(nT), maka:
H(Z) dapat diperoleh dengan menggantikan s seperti berikut:
TRANSFORMASI BILINEARGambar z-plane dari sumbu j dari s-plane
untuk memetakan
TRANSFORMASI BILINEARTransformasi bilinear mempunyai sifat
sebagai berikut:Seluruh sumbu j dari s-plane masuk ke unit
lingkaran dari z-plane.Separuh bagian sebelah kiri dari s-plane
ditransformasikan dalam unit lingkaran
TRANSFORMASI BILINEARDengan mengasumsikan sebagai fungsi maka
didapat :
TRANSFORMASI BILINEARHubungan antara frekuensi analog dan
digital
PROSEDUR DESAIN FILTER DIGITAL
PROSEDUR DESAIN FILTER DIGITALKetika filter analog digunakan
sebagai prototipe untuk metode transformasi bilinear, kita telah
melihat bahwa hubungan antara frekuensi digital dan analog adalah
nonlinier. Oleh karena itu, untuk mendapatkan frekuensi digital
yang tepat, kita harus merancang filter analog dengan frekuensi
kritis analog.Operasi ini akan disebut sebagai prewarpingPROSEDUR
DESAIN FILTER DIGITALProsedur desain jika diberikan spesifikasi
filter s , p , ks , dan kp dan diinginkanmendapatkan H(z) adalah :
Pilih nilai T. Nilai standar T = 1. Dengan menggunakan frekuensi
cutoff p dan s didapat nilai p dan s dengan menggunakan persamaan
:
PROSEDUR DESAIN FILTER DIGITAL3. Desain filter analog Ha (s)
yang sesuai dengan spesifikasi p , s , kp , ks .
4. Transformasikan :
CONTOH SOALDesain sebuah filter low pass digital dengan 3 dB,
frekuensi 1 KHz dan frekuensi sampling 8 KHz menggunakan filter low
pass analog yang memiliki gain 1 (0 dB) pada frekuensi 0, dan gain
-3 dB pada c rad/sec (frekuensi cutoff)!CONTOH SOALPertama hitung
frekuensi cutoff digital
Tentukan frekuensi cutoff filter analog ekivalen dengan metode
pre-warped
CONTOH SOALMaka didapatkan:
Aplikasikan transformasi bilinear:
CONTOH SOALHasil H(Z) tersebut dapat kita cari menggunakan
matlab dengan cara:Dan hasilnya:
Kemudian kita bisa mendapatkan y(n):
CONTOH SOALRESPON FREKUENSI SISTEM
TERIMA KASIH
