1

....TÉMATÉMATÉMATÉMA Valószínüségszámítás - Kombinatorika . . . . . . . . . . . . .

. a

A valószínőségszámítás a matematikának egy speciális ága, amely matematikai formában kezelhetı véletlen tömegjelenségekkel foglalkozik (pl. kockadobás, kártyajáték). A

....BEVEZBEVEZBEVEZBEVEZETÉSETÉSETÉSETÉS Alapfeladatok. A kombinatorikában van hatféle alapfeladat:

− permutáció, − ismétléses permutáció, − variáció, − ismétléses variáció, − kombináció, − ismétléses kombináció.

....1. ALAPFELADAT1. ALAPFELADAT1. ALAPFELADAT1. ALAPFELADAT Permutáció. Van n különbözı elem, és ezek sorba rendezéseit nevezzük permutációknak. Minden elemet pontosan egyszer használunk fel. Pl.: Ha négy elemet az 1-es, 2-es, 3-as és 4-es számmal jelölünk, akkor ezek egyik lehetséges permutációja:

3; 2; 1; 4. Ha az összes permutációt keressük, következetesen vizsgálva, az alábbi eredményt kapjuk: az elsı helyre 4-féle számot írhatunk, a második helyre 3-félét, a harmadikra 2-félét, és a negyedikre csak 1-félét. Erre találták ki a faktoriálist. n faktoriálisa ( ) ( ) ( ) 123321! ⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅−⋅== Knnnnn (feltéve, hogy n kellıen magas szám). Megállapodás szerint: 1!1 = és 1!0 = . Továbbá: ( ) ( ) !1!1 nnn ⋅+=+ . Pl.: = !910!10 ⋅= .

n különbözı elem összes permutációinak a száma: !nPn =

Példák Hányféleképpen lehet egy sakktáblán elhelyezni nyolc bástyát úgy, hogy semelyik kettı ne üsse egymást? Az elrendezéseket aszerint különböztetjük meg, hogy az A, B, C, D, E, F, G illetve H oszlopokban a bástya éppen melyik, számmal jelzett sorban helyezkedik el. Egyik lehetséges elrendezés pl.: 2; 4; 1; 5; 3; 7; 6; 8. Ha az összes permutációra vagyunk kíváncsiak, akkor az 1-tıl 8-ig terjedı számok összes permutációját keressük: == !88P 40320, vagyis

ennyiféleképpen helyezhetjük el a bástyákat. Hányféleképpen (milyen sorrendben) ülhet le nyolc ember egy padra?

2

Szintén az egytıl 8-ig terjedı számok összes permutációját keressük: == !88P 40320, vagyis ennyiféleképpen

ülhetnek le.

3

Hányféleképpen ülhet le négy nı és négy férfi egy padra úgy, hogy nem ülhet két azonos nemő egymás mellé? Az elsı helyre ülhet akár férfi, akár nı. Ha mondjuk az elsı helyre férfi ül, akkor az meghatározza, hogy a má-sodik helyre csak nı ülhet, utána ismét férfi stb., s így már meghatározott, hogy a négy férfi melyik négy hely-re ül (s ezen belül ez 4!), a négy nırıl is tudjuk ekkor, hogy melyik négy helyre ül (ez is 4!). Mivel a kettı egymástól független, össze kell szorozni, vagyis 4!·4!, és ezt még meg kell szorozni 2-vel, mert az elsı helyen ülhet férfi is, de ülhet nı is. Tehát 2·4!·4! = 1152-féleképpen ülhetnek le. Hányféleképpen ülhet le nyolc ember egy kerekasztalhoz? Az elforgatással kapott változatokat nem tekintjük más-más megoldásnak. Egy embert rögzítünk, és a maradék hetet 7!-féleképpen ültetjük le. 7! = 5040-féleképpen ülhetnek le a kerekasztal köré. Hányféleképpen ülhet le nyolc ember egy kerekasztalhoz, ha van két ember, aki egymás mellet szeretne ülni? A két embert rögzíteni kell, azonban egyként, s úgy gondolkodni tovább, hogy rajtuk kívül még 6 ember van (ezek 6!-féleképpen ülhetnek). Mivel azonban a két ember kétféleképpen helyezkedhet el, még 2-vel kell szo-rozni. Tehát 2·6! = 720-féleképpen ülhetnek le.

....2. ALAPFELADAT2. ALAPFELADAT2. ALAPFELADAT2. ALAPFELADAT Ismétléses permutáció. Az ismétléses permutációnál nem minden elem különbözı. Példa Van 10 golyó: 5 fehér, 3 fekete és 2 piros. Hányféleképpen rendezhetjük ezeket sorba? Ezeket úgy kell sorba rendezni, hogy nem tekintjük különbözı elrendezésnek két azonos színő golyó megcseré-lésébıl adódó változatokat. Mivel összesen 10 golyó van, a megoldás 10! Lenne, ha mind a 10 golyó különbözı színő lenne. Mivel az 5 fehér golyót 5!-féleképpen lehet egymás között kicserélni, ezért a 10!-t 5!-sal el kell osztani. Hasonló meggon-dolásból el kell osztanunk 3!-sal (fekete golyók) és 2!-sal (pirosak) is.

252026120

3628800!2!3!5

!10)2;3;5(10 =

⋅⋅=

⋅⋅=P , vagyis 2520-féleképpen rendezhetjük sorba a golyókat.

Általánosan: !!!

!

21

;;; 21

k

rrrn rrr

nP k

⋅⋅⋅=

K

K

4

Hányféleképpen rendezhetjük sorba a MATEMATIKA szó betőit? Tíz betőrıl van szó, amelybıl 3 db A, 2 db M, és 2 db T.

50400266

3628800!2!3!3

!10)2;2;3(10 =

⋅⋅=

⋅⋅=P , ennyiféleképpen rendezhetjük sorba a betőit.

Egy tizenhét fıs társaság át szeretne kelni a folyón. Van öt csónakjuk: egy 5-személyes, egy 4-személyes, két 3-személyes és egy 2-személyes. Hányféleképpen ülhetnek be a csónakokba akkor, ha egy-egy csóna-kon belül nem számít, hogy ki hova ül?

1715313600!2!3!3!4!5

!17)2;3;3;4;5(17 =

⋅⋅⋅⋅=P , ilyen sokféleképpen ülhetnek be a csónakokba.

Ha az elızı társaságban van két személy, akik ugyanabban a csónakban szeretnének utazni, hányféle-képpen ülhet be a csoport a csónakokba? A két személyt rögzítjük, és a maradék 15 ember permutációit vizsgáljuk, figyelembe véve, hogy a rögzített két ember is bármelyik csónakban elhelyezkedhet.

6684678001261260022702680022702680075675600126126000

)0;3;3;4;5(15

)2;1;1;4;5(15

)2;1;1;4;5(15

)2;3;3;2;5(15

)2;3;3;4;3(15

=++++==++++ PPPPP

Ennyiféleképpen ülhetnek be a csónakokba.

....3. ALAPFELADAT3. ALAPFELADAT3. ALAPFELADAT3. ALAPFELADAT Variáció. A variáció kiválasztást jelent, mégpedig úgy, hogy a kiválasztás során a sorrend számít. Ez azt jelenti, hogy ugyanazon elemek kiválasztása más sorrendben másik esetet képvisel. Példák Van egy sportverseny, ahol tíz versenyzı indul. A tíz versenyzı közül az elsı, a második és a harmadik helyezett hányféleképpen alakulhat? Különbözı eseteknek tekintjük azokat, ahol ugyanaz a három ember kerül dobogóra, de különbözı helyezéssel. Az elsı helyezett tízféle versenyzıbıl kerülhet ki, a második kilencbıl, a harmadik pedig nyolcból, vagyis az eredmény: 10·9·8.

10 elem 3-adosztályú variációinak száma: 720!7!10

8910310 ==⋅⋅=V .

Általánosan: n elem k-adosztályú variációinak száma ( ) ( )11 +−⋅⋅−⋅= knnnV kn K vagy ( )!

!kn

nV k

n −= .

Egy 35-fıs osztályban hányféleképpen sorsolhatunk ki 5 db könyvet, úgy, hogy egy fı legfeljebb csak 1 db könyvet kaphat? Az elsı könyvet 35 fı kaphatja, a másodikat 34, a harmadikat 33, a negyediket 32, és az ötödiket 31 fı.

38955840!30!355

35 ==V , ennyiféleképpen sorsolható ki az 5 könyv.

5

....4. ALAPFELADAT4. ALAPFELADAT4. ALAPFELADAT4. ALAPFELADAT Ismétléses variáció. Ismétléses variációnál ugyanaz az elem többször is választható. Példák Egy sportversenyen 3 különbözı cég 3 különbözı díjat ajánlott fel. Hányféleképpen oszthatjuk el e díja-kat 10 versenyzı között? Mivel bármelyik versenyzı megkaphatja akár mindhárom díjat, 10·10·10 = 103-féleképpen oszthatjuk el a díja-kat. 1000103,3

10 ==iV . Ez 10 elem 3-adosztályú ismétléses variációinak száma.

Általánosan: n elem k-adosztályú ismétléses variációinak száma kikn nV =, .

Egy páncélszekrény zárjának ötbetős kódja van. Ha az ABC-bıl 26 betőt használhatunk, hányféle kódja lehet ennek a zárnak?

11881376265,526 ==iV , ennyiféle kódja lehet a zárnak.

....TÉTELTÉTELTÉTELTÉTEL - bizonyítás. Egy n elemő halmaznak 2n db részhalmaza van. Ezt úgy lehet bizonyítani, hogy felírjuk a halmaz elemeit, { }naaa ;;; 21 K

1-gyel ill. 0-val jelöljük a részhalmazt, aszerint, hogy benne van-e vagy sem, 0 1 … 0 majd kiválasztunk n elemet 2-bıl, így megkapjuk, hány ilyen 0..1 sorozat van. ninV 2,

2 =

....5555. ALAPFELADAT. ALAPFELADAT. ALAPFELADAT. ALAPFELADAT Kombináció. A kombináció csak abban különbözik a variációtól, hogy a kiválasztás sorrendje nem számít. Példák Az 5-ös LOTTÓ-nál 90 számból kell kiválasztani 5 számot, úgy, hogy a kiválasztás sorrendje nem számít. Hányféleképpen tölthetünk ki egy LOTTÓ-szelvényt? Tulajdonképpen abban különbözik a variációtól, hogy a kiválasztás sorrendje nem számít, ezért a LOTTÓ ese-tében még 5!-sal osztanunk kell, mert ugyanazt a számot 5!-féleképpen húzhatjuk ki, ami a kombináció eseté-

ben ugyanannak számít:

=

⋅=⋅⋅⋅⋅=

5

90

!5!85!90

!586878889905

90C .

Binomiális együttható:

k

n.

Általánosan: n elem k-adosztályú kombinációinak a száma ( ) ( ) ( )

!121

k

knnnnC k

n

+−⋅⋅−⋅−⋅ K vagy ( )!!

!knk

n

−⋅.

6

Hányféleképpen oszthatunk ki 30 fı között 5 azonos könyvet?

142506!25!5

!305

30530 =

⋅=

=C , ennyiféleképpen oszthatjuk ki a könyveket.

....6. ALAPFELADAT6. ALAPFELADAT6. ALAPFELADAT6. ALAPFELADAT Ismétléses kombináció. A kiválasztás sorrendje itt sem számít ugyan, de egy elemet többször is kiválaszthatunk: ugyanannak felel meg az { }2;1;1 , mint az { }1;2;1 kiválasztás. Példák Hányféleképpen oszthatunk el 50000 Ft jutalmat 20 dolgozó között, hogy mindenki 1000 Ft-tal osztható összeget kapjon. Minden embert annyiszor választunk ki, ahány ezer Ft-ot kap, (a sorrend mindegy, mert mindegy, hogy melyik ezer Ft-ot kapja valaki). Tehát 20 emberbıl választunk ki 50-et, ismétléssel.

20 elem ötvened osztályú ismétléses kombinációja: !19!50

!6950

69

50

15020,5020 ⋅

=

=

−+=iC .

Általánosan: n elem k-adosztályú ismétléses kombinációinak száma

−+=

k

knC ik

n

1, .

....SILABUSZSILABUSZSILABUSZSILABUSZ - feladat típusának eldöntéséhez.

Permutáció Variáció Variáció Kombináció

Ha a feladatban egy elem csak egyszer szerepelhet, akkor ismétlés nélküli, ha többször is szerepelhet, akkor ismétléses.

FELADAT

SORBA RENDEZÉS

KIVÁLASZTÁS

Minden elemet fel-

használ

Nem használ fel minden elemet

Sorrend számít

Sorrend nem számít