Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari

8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari

http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 1/48

1

1. KONTROL SİSTEMLER İNİN BLOK DİYAGRAMLARI, İŞARET

AKIŞ DİYAGRAMLARI VE TRANSFER FONKSİYONLARI

1.1. Giriş

Blok diyagramlar ı ile işaret ak ış diyagramlar ının, fiziksel sistemlerin matematik

modellerinin giriş ve çık ış işaretlerini içeren bilimsel bir gösterimi vardır. Bu diyagramlarda,

kontrol sisteminin tüm giriş ve çık ış işaretleri yanında bir alt sistemin ya da elemanın giriş ve

çık ış işaretleri de gösterilir.

Bu projede, blok diyagramlar ı ve işaret ak ış diyagramlar ının özellikleri ayr ıntılı biçimde

incelenecek; diyagramlar ın indirgenmesinde kullanılan yöntemler ve ilgili teoremler ayr ıntılı

bir biçimde verilecektir. Blok diyagramlar ı ya da işaret ak ış diyagramlar ı, sistemlerin

matematik modelleri kurulduktan sonra çizilir.

1.2. Blok Diyagramlarında Temel Tanımlar

Bir blok diyagramında bloklar, toplama noktalar ı , işaret alınma noktalar ı ve oklar

bulunur.

1.2.1. Bloklar

Kontrol sistemlerinde bloklar, giriş ve çık ışlar ı belirtilen ve alt sistemleri tanımlayandikdörtgen ya da kare biçiminde olan şekillerdir. Bu bloklar lineer, lineer olmayan ve zamanla

değişen sistemler için gösterilebilir. Zamanla değişmeyen sistemler ya da elemanlar için

bloklar, lineer halde hem zaman domeninde hem de S domeninde gösterilirler. Çoğunlukla

zaman domeninde giriş ve çık ış işaretleri için küçük harfler, s domeninde ise büyük harfler

kullanılır. Lineer ve zamanla değişmeyen eleman ya da sistemlerin bloklar ı içine S

domeninde transfer fonksiyonu, zaman domeninde ise bu elemanın girişi u(t) birim basamak

biçiminde değiştiğinde çı

k ı

şı

nı

n zamanla değişimi gösterilir. Şimdi kabul edelim ki, lineer olan bir doğru ak ım motorunun rotor gerilimine etkiyerek hız ya da konum kontrolü

yapılmaktadır. Bu etkime işlemi türev alan ve orantılı bir işlemsel kuvvetlendirici ile

yapılmaktadır. Şekil 1’de türevli ve orantılı işlemsel kuvvetlendirici ile motorun blok

diyagramlar ı s domeninde gösterilmiş, transfer fonksiyonlar ı bunlar ın içine yazılmış ve giriş-

çık ış işaretlerinin Laplace dönüşümleri gösterilmiştir.



2

Ş ekil 1 – Orant ıl ı ve türevli i şlemsel kuvvetlendiricinin bir do ğ ru ak ım motoruna kumandaetmesi halinde blok diyagramının S domeninde gösterili şi

Şekil 1’ de gösterilen blok diyagramında her blok’a giren işaret basamak biçiminde

değiştiğinde çık ış işaretinin zamana göre değişimi blok içinde yazılmak, motorun çık ışını

W(t) almak koşulu kullanılırsa (t) domenindeki blok diyagramı yine aynı sistem için Şekil

2’de gösterildiği gibi verilir.

Ş ekil 2 – Zaman domeninde Ş ekil 1 blok diyagramının motor çık ı şının θ yerine W(t) al ınması halinde gösterili şi; G(s)S, θ yerine w al ınması nedeni ile gelmi ştir.

Lineer olmayan bir elemanın blok diyagramı çoğunlukla t domeninde gösterilir ve bu

elemanın giriş çık ış bağıntısı gösteren eğri, blok içine çizilir. Şekil 3’de lineer olmayan

elemana lineer olan bir elemanın (t) domeninde blok diyagramı verilmiştir. Bu halde lineer

olan elemanın blok’u içine durum modeline ilişkin denklemlerin yazılması zorunludur. Çünkü

blok diyagramının bir k ısmının (t) domeninde, diğer bir k ısmının (s) domeninde verilmesi

olanaksızdır. Bununla beraber literatürde aynı bir blok diyagramının bazı lineer olmayan alt

bloklar ının (t) domeninde, diğeri s domeninde verilir. Şekil 3 a’da bir ölü zamanı bulunan

lineer olmayan bir elemanla, durum modeli ile (t) domeninde tanımlanmış lineer olmayan

blok diyagramı gösterilmiştir. Lineer sistemin durum denkleminde yalnız bir çık ıştan geri

besleme alınmıştır. Şekil 3 b’de ise literatürde gösterildiği gibi aynı blok diyagramının yar ısı t

domeninde ve yar ısının s domeninde gösteriliş biçimi verilmiştir.

Ş ekil 3 a - Ölü zamanı T olan lineer olmayan bir elemanlalineer elemanın t domeninde blok diyagramı



3

Ş ekil 3 b - Ölü zamanı bulunan lineer olmayan bir elemanla lineer elemanın aynı zamanda t ve s domeninde) gösterili şi

Burada hemen şunu açıklayayım ki Şekil 3 b’deki blok diyagramı sistemin belli bir matematik modeline (örneğin, t domeni ya da s domeni) kar şı düşmez.

1.2.2. Toplama Noktaları

Blok diyagramlar ında toplama ya da kar şılaştırma noktasında toplama, çıkarma; hem

toplama hem çıkarma yapılabilir. Kar şılaştırma elemanı olarak endüktif ve omik gerilim

bölücüleri ( Potansiyometreler ) , senkronlar, fark kuvvetlendiriciler, işlemsel

kuvvetlendiricilerin özel bağlantı biçimleri, çarpım devreleri, zener diyotlar, özel köprü

bağlantılar ı v.b. kullanılır. Burada toplama noktasında cebirsel toplama yapıldığı

anlaşılacaktır. Şekil 4 a, b, c ve d’de kar şılaştırma ya da toplama noktasında yapılan işlemler

ayr ı ayr ı gösterilmiştir.

Ş ekil 4 a - Blok diyagramında toplama i şlemib - Blok diyagramında çıkarma i şlemi

c - Blok diyagramında hem toplama hem çıkarma i şlemid - Blok diyagramında cebirsel çarpma i şlemi



4

1.2.3. İşaret Alınma Noktaları

İşaret Alınma Noktalar ı sadece işaretin alındığı yere (.) biçiminde bir dolu nokta olarak

belirtilir.

1.2.4. Blok Diyagramlarında Oklar

Blok diyagramında oklar işaretlerin ak ış yönünü gösterir.

Şekil 5’de blok diyagramının yukar ıda açıklanan önemli elemanlar ı gösterilmiştir. Blok

diyagramı t domeninde çizilmiştir.

Ş ekil 5 – Blok diyagramının ba şl ıca elemanlar ı

S domeninde bir giriş ve bir çık ışlı kontrol sisteminin blok diyagramının en basit gösteriliş

biçimi Şekil 6’da verilmiştir. Laplace domeninde çoğunlukla ileri yolda bulunan transfer

fonksiyonlar ı G1, G2, ..... Gn ile, geri besleme yolu üzerinde bulunan bloklara ilişkin blok

diyagramlar ı ise H1, H2, ..... Hn ile gösterilir.

Ş ekil 6 – Bir giri ş ve bir çık ı şl ı sistemlerde basit blok diyagramı;diyagram s domeninde çizilmi ştir.

Birbirleri ardından bağlanmış ve transfer fonksiyonlar ı G1(s), G2(s), ..... Gn(s) olan n tane

blok’un birbirini yüklememek koşulu altında, eş değer bloku G(s)

dır. Bu çarpımda bloklar ın yerleri değiştirilebilir. Başka bir deyimle, transfer fonksiyonlar ının

çarpımlar ı, bloklar birbirlerini yüklememek koşulu altında komutatiftir.

Örnek 1.2.1. Şekil 7’de G1(s), G2(s), G3(s) bloklar ı birbirlerini yüklemeksizin ard arda bağlanmışlardır. Eş değer bloku bulunuz.

.....(1.1)n

1i(s)G(s)G.....(s)G,(s)G,(s)GG(s) 1n321 ∏

===



5

Ş ekil 7 – Birbirlerini yüklemeksizin ard ı şık olarak ba ğ lanmı ş olan

bloklar ın e şde ğ er bloku G(s)’un belirlenmesi

Çözüm: Bloklar birbirini yüklemediğindenE(s) G1(s) = V(s)V(s) G2(s) = U(s) .................... (1.2)U(s) G3(s) = C(s)

ya da yukar ıdaki eşitliklerde V(s) ikinci denklemde, U(s) üçüncü denklemde kullanılarak E(s) G1(s) G2(s) G3(s) = C(s) .................... (1.3) olarak bulunur. Buradan

elde edilir.

1.3. Bir Giriş Ve Çık ışlı Kontrol Düzenin En Basit Blok Diyagramı

Bundan önceki bölümde Şekil 6’da ileri yol bloklar ı ile geri yol bloklar ı ardışık bağlı

olduğundan bir blok halinde gösterilebilir. Bu koşul altında bir giriş ve bir çık ışlı kontrol

düzeninin en basit blok diyagramı Şekil 8’de gösterilen biçime girer. Bu blok diyagramında

aşağıdaki tanımlar yapılır.

G(s) = İleri yol toplam transfer fonksiyonu

H(s) = Geri besleme toplam transfer fonksiyonu

G(s) H(s) = Açık çevrim transfer fonksiyonu

Şekil 8’deki blok diyagramındanC(s) = E(s) G(s)B(s) = C(s) H(s)E(s) = R(s) – B(s) yazılır.

Ş ekil 8 – Bir giri ş ve çık ı şl ı kapal ı çevrim kontrol sisteminin en basit blok diyagramı.

Bu eşitliklerden C(s) ile R(s) ve E(s) ile R(s) arasındaki oranı belirleme olanağı vardır:

(s)G (s)G (s)G E(s)

C(s)

G(s) 321==

fonksiyonutransfer çevrimKapalıE(s)C(s)

=

fonksiyonutransfer işaretikontroldayaSapmaR(s)E(s)

=



6

C(s) = [R(s) – B(s)] G(s) = [R(s) – C(s) H(s)] G(s)

C(s) [1 + GH] = R(s) G(s)

ya da, kapalı çevrim transfer fonksiyonu için

ve hata transfer fonksiyonu

Örnek 1.3.1. Bir giriş ve bir çık ışlı geri beslemeli kontrol sisteminde toplam ileri yol

transfer fonksiyonu

olarak veriliyor.a) Açık çevrim toplam transfer fonksiyonu ,

b) Kapalı çevrim transfer fonksiyonunu,c) Hata transfer fonksiyonunu bulunuz.d) Karakteristik fonksiyon ve karakteristik denklemi yazınız.

Çözüm:a) Açık çevrim toplam transfer fonksiyonu :

b) Kapalı çevrim transfer fonksiyonu :

.....(1.4)H(s)G(s)1 G(s)R(s)C(s) +=

H(s).H(s)G(s)1

G(s) -1

R(s)

H(s)C(s) -1

R(s)B(s)

-1R(s)

B(s)-R(s)R(s)E(s)

+====

(1.5).....H(s)G(s)1

1

R(s)

E(s)

+=

c) b)(ss(sa)K(s

G(s)++

+=

ds

K H(s)

h

+=

ds

K .

c) b)(ss(sa)K(s

H(s)G(s)h

++++

=

d)sc)( b)(ss(s a)(s.K K.1H(s)G(s)1 h+++

++=+

d)sc)( b)(ss(sa)(s.K K.d)sc)( b)(ss(s

1H(s)G(s)1h

++++++++

+=+

a)(sK K d)sc)( b)(ss(sd)sc)( b)(ss(s

c) b)(ss(s

a)K(s

H(s)G(s)1

G(s)R(s)C(s)

h ++++++++

+++

=+

=

a)(sK K d)sc)( b)(ss(s

a)K(sR(s)C(s)

h ++++++

=



7

c) Hata transfer fonksiyonu :

d) Karakteristik fonksiyon ve karakteristik denklem :

olarak bulunur.

Karakteristik fonksiyonu: 1+G(s) H(s) fonksiyonuna karakteristik fonksiyon denir. ∆(s) ile

gösterilir.

Karakteristik denklem: 1+G(s) H(s) = 0 denklemine karakteristik denklem denir.

Bu tanımlamalar ın daha iyi anlaşılabilmesi için aşağıdaki örneği inceleyebilirsiniz.

1.4. Çok Giriş ve Çok Çık ışlı Kontrol Düzeninin En Basit Blok Diyagramı

Blok diyagramı s domeninde verilecek ve çok girişli çok çık ışlı sistemin ileri yol transfer

matrisi G(s), geri yol transfer matrisi H(s), referans giriş R(s), çık ış C(s) olduğu kabul

edilecektir. Şekil 9’da en basit blok diyagramı s domeninde gösterilmiştir.

Ş ekil 9 – Çok giri şli ve çok çık ı şl ı sistemin s domeninde blok diyagramı

Matris işlemlerini kullanarak Şekil 9 dan,

C(s) = G(s) E(s)

E(s) = R(s) – B(s) ........... (1.6)

B(s) = H(s) C(s)

yazılır. Yukar ıdaki denklemlerden birincisindeki E(s) yerine ikinci denklemden değeri yazılır

ve bundan sonra B(s) yerine üçüncü denklemden eşitliği konursa C(s) için

C(s) = G(s) R(s) – G(s) H(s) C(s) ) ........... (1.7)

Bulunur. Bu denklemden C(s) çözülürse

C(s) = [ I + G(s) H(s) ]-1 G(s) R(s) ) ........... (1.8)

a)(sK K d)sc)( b)(ss(sd)sc)( b)(ss(s

H(s)G(s)1R(s)

E(s)h +++++

+++=

+= 1

d)sc)( b)(ss(sa)(sK K d)sc)( b)(ss(s

H(s)G(s)1(s)h

+++

+++++=+=∆



8

Bulunur. Burada I + G(s) H(s) matrisinin singüler (tekil) olmadığı kabul edilmiştir. O halde,

Şekil 9’da verilen çok giriş ve çok çık ışlı sistemin C(s) çık ış vektörü transformu ile R(s) giriş

transformu arasındaki, transfer matrisi F(s) için

F(s) = [ I + G(s) H(s)]-1 G(s) ) ........... (1.9)

olur. Şimdi çok giriş ve çok çık ışlı sistemin transfer matrisi üzerine bir örnek verelim,

Örnek 1.4.1. İki giriş ve iki çık ışlı olan bir sistemde

olduğuna göre F(s) transfer matrisini bulunuz.

Çözüm: Önce ( I + G(s) H(s) ) belirlenir; sonra bunun tersi alınır.

]H(s)G(s)IAdj[H(s)]G(s)[I

26ss3)(ss

2)6s(s1)(s2s

26ss1s

2)6s(s3)(s4)(s1)(ss

22

221-

=

∆

+=+

+++

+++

+++

+++++

−

s

2

1s

4s

s

3s

4s

1s

3s

1s3s 2

s1 3s

s

H(s)]G(s)[Idet ++

+=+

+

+

+

+

++

++

=

=∆=+

−

24

H(s)]G(s)[IAdj

1s3s 2

s1 3s

s

=+

++

++

−

4

H(s)]G(s)[I

3s4s s

1

1ss

T

=+

++

++

−

23

1)(ss26s2s

+

++=∆

=+

++

++

−

3s 4s 2

s1 1s

s

H(s)G(s)I3

=

+

=+

+

+

+

+ −−

3s11 2

s1 1s

21

3s1 2

s1 1s

2

1 0

0 1 H(s)G(s)I

=

=

+

−+

+

−+

3s1 2

s1

1s2

1 0

0 1

3s1 2

s1

1s2

H(s)G(s)

=

=

+

−+

1 0

0 1

3s1 2

s1

1s2

H(s) G(s)



9

olur.

Örnek 1.4.2.

x = A x +B U

y = C x + D U matematik modeli ile tanımlanan çok giriş ve çok çık ışlı bir sistemin t

domeninde blok diyagramını çiziniz.

Çözüm: Blok diyagramı integral alıcı eleman kullanılarak:

Ş ekil 10 – Çok giri ş ve çok çık ı şl ı sistemin durum modeli blok diyagramının t domeninde gösterili şi

Şekil 10’daki blok diyagramı

t domeninde elde edilmiş olur. Sistem zamanla değişmeyen bir sistem olduğu taktirde aynı blok diyagramı s domeninde de verilebilir.

Örnek 1. 4. 3. İki giriş ve iki çık ışı olan bir kontrol sisteminin diferansiyel denklemleri

olarak verilir. İntegratorlar kullanılarak (t) domeninde blok diyagramını veriniz. R 1 ve R 2 giriş

alınız.

Çözüm: Yukar ıdaki denklemleri

biçiminde yazarak Şekil 11’deki blok diyagramı

2

2

2

1021

2

2202

12222

2

2

1

2

2222

2

2111

11121

2

λ

1R

λ

1r α- dt

r dα-r β-

dtdr

λ - (t)c(t)f dtr d

a

1R

a

1r k -

dtr d

b-r k - dtdr

a - (t)c(t)f dt

r d

]

]

−==

−==

[

[

(1.11).....(t)cr αdt

r dαr β

dtdr

λdt

r d λR

(1.10).....(t)cr k dt

r d br k

dtdr

adt

r daR

21021

2

2202

122

2

22

12222

2

2111

121

2

21

=++++++

=++++++

G(s)H(s)]G(s)[I F(s) -1+=

=

++ +++

+

+++

+++++

26ss 3s 2)6s(s1)(s2s

26ss1s-

2)6s(s3)(s 16s4s

22

22

2

F(S)

2

6



10

Ş ekil 11 – İ ntegratorler kullanılarak elde olunan örnek 1.4.3’e ili şkin çok giri şli çok çık ı şl ı sistemin blok diyagramı ( t domeninde çizilmi ştir )

Aynı diferansiyel denklem sistemi durum uzayında birinci türevler bulunacak biçimde

yazılır ve başka bir blok diyagramı elde edilir. Türev alıcılar kullanılarak da daha basit blok

diyagramı elde edilir. Bu açıklanan iki yol ile blok diyagramının elde olunuşu bir alıştırma

olmak üzere öğrenciye bırak ılmıştır.

1. 5. Blok Diyagramının İndirgenmesi

Karmaşık blok diyagramlar ı aşağıda verilecek indirgeme yöntemleri ile en basit blok

diyagramı biçimine örneğin Şekil 8 ya da Şekil 9’da gösterilen biçime getirilebilir. Blok

diyagramlar ının indirgenmesini bir çizelge ile açıklayacağız. Çizelge 3.5.1’de indirgeme

işlemi, blok diyagramı denklemi ve ilgili blok ve indirgenmiş blok gösterilmiştir.

1.6. Çok Girişli Lineer Sistemlerin Blok Diyagramları ve İndirgenmesi

Lineer zamanla değişmeyen çok girişli ve bir çık ışlı sistemlerin blok diyagramlar ından,

çık ış büyüklüğünün belirlenmesi süperpozisyon ( üst üste bindirme ) ilkesi ile yapılır. İki

girişi ve bir çık ışı olan bir blok diyagramı Şekil 12’de gösterilmiştir. Bu diyagramda giriş

büyüklükleri R 1, U1 ve çık ış büyüklüğü ise C dir. S domeninde verilen bu blok diyagramında,



11

Çizelge 1.5.1 Blok diyagramlar ının indirgenmesi



12

alışılmış tanım uyar ınca R 1’e giriş, U1 girişine de bozucu giriş ya da gürültü denir. R1 ve U

girişine kar şılık C çık ış büyüklüğü şöyle belirlenir:

1) U1 = 0 alınır ve R 1 girişi için CR1 çık ışı bulunur.

2) R 1 = 0 alınır ve yalnız U1’e kar şı düşen Cu1 çık ışı saptanır. Süperpozisyon ilkesine göre (R 1

, U1)’in aynı zamanda etkimesi halinde ise toplam çık ışı CR1 + CU1 olarak bulunur.

Yalnız bir çık ışı bulunan ve n girişi olan lineer bir sistemde çık ış aynı yol izlenerek

bulunur. (n-1) giriş sıf ır alınır ve bir girişe kar şı çık ış bulunur. Bu kural her giriş için

tekrarlanır ve elde edilen çık ışlar ın toplamı alınır. Böylece lineer sistem için n girişe ilişkin C

çık ışı

C k = (k)’inci girişe ilişkin çık ış; k’inci giriş dışındaki (n-1) giriş sıf ır alınarak belirlenir.

Ş ekil 12 - İ ki giri ş R1(s), U 1(s) ve bir çık ı şl ı lineer sistemin blok diyagramı

Şimdi Şekil 12’de R 1 , U1 girişlerinin birlikte olmak halinde C çık ışını bulalım:

1) U1 = 0 alınarak R 1 giriş CR1 çık ışı arasında (1.4) bağıntısından

bulunur. Buradan

yazılır.

2) R 1 = 0 alınarak U1 ile CU1 (s) arasındaki transfer fonksiyonu

Olarak bulunur. R 1 = 0 olduğunda Şekil 12’de H blokunun çık ışı (-) olduğunda bu işaret

G1(s)’in çık ışındaki işareti de (-) yapar. Süperpozisyon ilkesi ile (1.12a) ve (1.13)’ün

toplamından

(1.13).....UHGG1

G C 1

21

2U1 +=

a)(1.12.....R HGG1

GG C 1

21

21R1

+=

(1.12).....HGG1

GG

R

C

21

21

1

R1

+=

a)(1.12.....nk 21

n

1ii C ...... C...... CCCC +++++==∑

=



13

ya da

bulunur.

Şimdi blok diyagramlar ının indirgenmesi üzerine örnekler verelim. Bu örneklerde, Blok

diyagramının matematik model yardımı ile çizilmiş olduğu varsayılacak ve bu diyagramlar ın

indirgenme işlemleri örneklenecektir.

Örnek 1.5.1. Şekil 13’de verilen bir giriş ve bir çık ışlı blok diyagramını en basit blok

diyagramı biçimine (Şekil 8’deki biçim) indirgeyiniz.

Ş ekil 13 – Örnek 1.5.1’e ili şkin bir giri ş ve bir çık ı şl ı sistemin blok diyagramı

Çözüm: Blok diyagramı indirgendikten sonra R çık ışı C olacak ve bir ileri yol transfer

fonksiyonu ile geri besleme transfer fonksiyonundan oluşacaktır. Şekil 13’de G4 ve G5

bloklar ı paralel bağlıdır. Çizelge 1.5.1’de 2. kurala göre eşdeğer diyagramı G4 + G5 dir.Benzer biçimde G2, G3, H1 bloklar ından oluşan geri besleme çevrimi Çizelge 1.5.1’de 3.

kurala göre, eşdeğer olarak

transfer fonksiyonu ile gösterilebilir. Şekil 14’de bu işlemlerden elde edilen blok diyagramı

gösterilmiştir.

Ş ekil 14 – Örnek 1.5.1’in Ş ekil 13 blok diyagramının indirgenmesi

Şekil 14’de ileri yol üzerinde bulunan ve ardışık bağlı bloklar yerine yalnız bir blok

kullanılırsa, Şekil 8’de gösterilen en basit blok diyagramı elde edilir. Bu blok diyagramı daŞekil 16’da gösterilmiştir. Şekil 16’dan toplam transfer fonksiyonu C(s)/R(s) için

132

32

HGG1

GG

+

(1.14).....]UGR GG[HGG1

1

HGG1

UG R GG

C 121212121

12121 ++

=+

+=

1

21

21

21

21U1R1 U

HGG1

G R

HGG1

GG CC C

++

+=+=



14

Ş ekil 16 – İ ndirgenmesi örneklenen Ş ekil 13’deki blok diyagramınınen basit kapal ı çevrim biçimi

Şekil 17’de ise 3.15 bağıntısı kapalı çevrim kaldır ılmış olduğu halde gösterilmiştir.

Ş ekil 17 – Ş ekil 13’deki blok diyagramının bir blok ile gösterili şi

Örnek 1.5.2. Şekil 18’de verilen blok diyagramını en basit hale getiriniz. Blok

diyagramında giriş R, çık ış C’dir ve indirgenmeden sonra aynı giriş ve çık ış büyüklükleri

kullanılacaktır.

Ş ekil 18 – Örnek 1.5.2’ye ili şkin blok diyagramı

Çözüm: Önce (1) işaret alma noktası G3 blokunun arkasına götürülür, bu işlem noktalı

işaretli olarak gösterilmiştir. Bu halde (1) işaret alma noktası kalkar. (1) noktası (1ı) noktasına

kaydır ılınca G2G3 – H3 kapalı çevrimi basit bir geri besleme oluşturulur. Bu halde Şekil 18

blok diyagramının içinde iki adet geri besleme kapalı çevrimi vardır. Bunlardan (i) ile

belirlenen kapalı çevrimi yerine eş değer transfer fonksiyonu

dır. Bu transfer fonksiyonu G1 bloku ile birleştirilirse Şekil 20’deki blok diyagramı elde edilir.

(H1/G3) blokunun G3 transfer fonksiyonu Şekil 21’de görülen eş değer blok yardımı ile geri

(1.15).....HHGG1

)GG (GGG1 (

HGG1

)GG (GGG

R(s)

C(s)2

132

54321

132

54321 )+

++

=

3

2

332

32

332

32

GH

HGG1

GG1

HGG1

GG

.+

+

+



15

besleme yolu üzerinden kaldır ılabilir. Böylece geri besleme yolu üzerinde sadece H1 bloku

kalır.

Ş ekil 19 – Örnek 1.5.2’ye ili şkin blok diyagramının indirgenmesi

Ş ekil 20 – Ş ekil 19’un daha da sadele ştirilmesi

Ş ekil 21 – Örnek 1.5.2’nin en basit blok diyagramı

Sistemin toplam transfer fonksiyonu

ya da

Örnek 1.5.3. Şekil 22’de verilen R, U1, U2, U3 gibi dört girişi olan ve C gibi bir çık ışı olan

s domeni blok diyagramının toplam çık ışını bulunuz. Sistem lineer olarak alınacaktır.

3

1

33222

21

33222

21

G

HHGGHG1

GG1

HGGHG1

GG

R

C

.++

+

++=

(1.16).....HGGHGGHG1

GGG

R

C

12133222

321

+++=



16

Ş ekil 22 – Örnek 1.5.3’e ili şkin blok diyagramı. Blok diyagramında U 1 , U 2 , U 3 ve R giri ş , C çık ı şt ır .

Çözüm: Sistem lineer olduğundan 3.12’a daki bağıntı yardımı ile U1, U2, U3 sıf ır iken R

girişine ilişkin CR çık ışı ve benzer biçimde diğer çık ışlar

olarak bulunur. Bu ifadeleri süperpozisyon ilkesine göre üst üste bindirerek, toplam çık ış

olarak elde edilir.

Şekil 22’de U1, U2, U3 girişlerini G1 blokunun önüne getirme olanağı vardır. U1 girişini

G1’in önüne alınca U1, G1 ile bölünür. U2 girişini G1 ve G2 gibi iki blok atlayarak G1’in önüne

getirince U2’yi G1 , G2 ile bölmek ve U3’ü ise G3 , G2, G1 bloklar ını atlayarak G1’in önüne

alırsak G1 , G2 , G3 ile bölmek lazımdır. Bu halde Şekil 22’deki blok diyagramı

Şekil 23’de gösterilen blok diyagramı biçimine girer. Bu blok diyagramında giriş

büyüklüğü 1 toplama noktasına dört tanedir.

0U,U,R : U.HGGG1

1 C

0U, R ,U: U.HGGG1

G C

).....(1.17

0 R ,U,U: U.HGGG1

GG C

0U,U,U: R .HGGG1

GGG C

213

1321

U3

132

1321

3U2

321

1321

32U1

321

1321

321R

=+

=

=+

=

=+

=

=+

=

3

1321

2

1321

31

1321

32

1321

321

U3U2U1R

U.HGGG1

1 U.

HGGG1

G U.

HGGG1

GG R .

HGGG1

GGG

(1.18)..... CCCCC

++

++

++

+=

+++=



17

Ş ekil 23 - U 1 , U 2 , U 3 giri şlerinin Ş ekil 22’deki blok diyagramında G1 blokunun önündekitoplama noktasına al ınması

(1.19) ile verilen giriş ifadesi sistemi R ile C giriş çı

k ı

ş büyüklükleri arası

ndaki transfer fonksiyonu ile çarpıldığında R U1, U2, U3 girişlerine ilişkin toplam çık ış büyüklüğü elde

edilmiş olunur: (G1, G2, G3 ) / ( 1+ G1, G2, G3 H1 ) toplam transfer fonksiyonu olduğundan

bağıntısı bulunur. Bu bağıntı, başka bir yoldan elde edilen ve (1.18) ile verilen toplam çık ış

büyüklüğü ile aynıdır.

Örnek 1.5.4. Şekil 24’te verilen blok diyagramını R girişi ve C çık ışı arasında yalnız bir

blok biçiminde gösteriniz.

Ş ekil 24 – Örnek 1.5.4 için blok diyagramı

Çözüm: Önce 2 işaret alma noktasını G3’ün arkasına (3 noktasına) götürelim. Bu koşul

altında H1 blokunun önüne 1/G3 bloku gelir. H1 ile G3 birleştirilirse (3) noktasından H1/G3

bloku 1 işaret alma noktasına gelir. (3) noktasından hem (a) ve hem de (b) toplama noktasına

H1/G3 üzerinden geri besleme olduğundan bu geri besleme iki k ısma ayr ılır. Bu düşüncelerle

elde edilen yeni blok diyagramı Şekil 25’te gösterilmiştir.

(b) toplama noktası ile (3) işaret alma noktası arasındaki geri besleme işaretleri paralel bağlı

olduğundan, bu iki nokta arasında G2, G3 ileri yol transfer fonksiyonu ve (H1/G3 + H2) geri

yol transfer fonksiyonu olan bir basit kapalı çevrim vardır; bu çevrimin toplam

(1.19).....GGG

U

GG

U

G

U R Giriş

321

3

21

2

1

1 +++=

(1.20).....GGG

U

GG

U

G

U R (

HGGG1

GGG C(s)

321

3

21

2

1

1

1321

321 )++++

=



18

Ş ekil 25 – Örnek 1.5.4’e ili şkin diyagramın indirgenmesi

transfer fonksiyonu

olur. Buradan (3) ile (b) arasındaki bu transfer fonksiyonunu kullanarak Şekil 26 elde edilir.

(3) ve (a) arasındaki basit geri besleme bloku, geri beslemenin pozitif olduğuna dikkat ederek,

Ş ekil 26 – Blok diyagramının indirgenmesi

transfer fonksiyonu ile gösterilebilir. O halde basitleştirilmiş blok diyagramı Şekil 27’de

gösterilmiştir. Bu blok diyagramından

Ş ekil 27 – Örnek 1.5.4’e ili şkin basit blok diyagramı

)3

1232

32

G

H(HGG1

GG

++

12123212

321

3

1

23212

321

23212

321

HGGHGGHG1

GGG

G

H

HGGHG1

GGGHGGHG1

GGG

−++=

+++

++

.1



19

elde edilir. (1.20) G(s) ile gösterilirse

Ş ekil 28 – Örnek 1.5.4’e ili şkin toplam transfer fonksiyonunu gösteren blok

Örnek 1.5.4. a) Aşağıda verilen lineer bir kontrol sisteminin blok diyagramını R(s) ile

C(s) arasında bir bloktan oluşacak biçimde indirgeyiniz.

Ş ekil 28 a - Örnek 1.5.4.a’ya ili şkin şekil.

Çözüm: (2) toplama noktasından G4’ü (1) toplama noktasına alırsak G4’ün ilettiği işaretin

aynı kalması için bu blokun transfer fonksiyonu G4/G2 olmalıdır. Bu halde G1(s) ve

G4(s)/G2(s) paralel blok olur. Şekil 28 b’de yeni blok diyagramı çizilmiştir.

Ş ekil 28 b, c ,d – Örnek 1.5.4.a’ya ili şkin blok diyagramının indirgenmesi

Örnek 1.5.5. İki giriş ve iki çık ışı bulunan bir kontrol sisteminin s domeninde denklemleri

C1(s) = R 1(s) G1(s) - G1(s) G3(s) C2(s)

C2(s) = R 2(s) G4(s) - G2(s) G4(s) C1(s) ..... (1.21)

(1.20).....HGGHGHGG1

HGGGHGGHGGGGGGG

R

CG(s)

GHGGHGHGG1

GGG

R

C

23212121

243214214214321

4

23212121

321

++−

++−+==

+++−

=



20

olarak veriliyor. (1.21) denklemlerine ilişkin blok diyagramını çiziniz.C1(s), C2(s)’i R ve G ler

türünden bulunuz.

Ş ekil 29 – Örnek 1.5.5’e ili şkin blok diyagramı

Çözüm: Blok diyagramını kullanmadan (1.21) denklemlerinden

C1=f 1(R 1, R 2, G1, G2, G3, G4 )

C2=f 2(R 1, R 2, G1, G2, G3, G4 ) olarak bulunabilir. Bu yol izlenerek bulunacak çözümün

belirlenmesi kişinin kendisine bırak ılmıştır. Örnekte verilen (1.21) denklemlerine ilişkin

denklemler Şekil 29’da gösterilmiştir. Sistem lineer olduğundan R 1 giriş ve C1 çık ışından

başka bütün giriş ve çık ışlar ı sıf ır alalım: R 2 = 0 , C2 = 0 için C1R1 Şekil 30’daki blok

diyagramından bulunur.

Ş ekil 30 a – Ş ekil 29 blok diyagramında R2 = 0 , C 2 = 0 için çık ı şın belirlenmesib- (a) şıkk ındaki blok diyagramının sade biçimi

elde edilir.

C2 = 0, R 1 = 0 için C1R2 Şekil 31’deki diyagramdan

Ş ekil 31 – C 2 = 0 , R1 = 0 için Ş ekil 29 blok diyagramı

(1.22).....R GGGG1

G C 1

4321

11R1

−=

(1.23).....R GGGG1

GGG C 2

4321

4311R2

−=



21

elde edilir. (1.23) ve (1.22)’nin toplanması ile C1 birinci çık ışı için

elde edilir.

Benzer yoldan giderek C2 bulunur. Ancak simetriden dolayı

C1 C2 , R 1 R 2 , G1 G4, G3 G2 konarak aynı sonuç elde edilebilir:

Örnek 1.5.6. İki giriş ve iki çık ışlı bir sistemin matrisler denklemi aşağıda (1.25) ifadesi

ile verilmiştir. Bu ifadeye ilişkin blok diyagramını çiziniz. Denklemlerden görüldüğü gibi C1

ve C2 çık ışlar ı hem R 1 hem de R 2 girişine bağlıdır. Klasik kontrol teorisinde, bir giriş ve bir

çık ışlı sistemlerin incelenmesinde alışılmış yöntemler vardır. Bu nedenle ele almış olduğumuz

bu örnekte C1 çık ışının yalnız R 1’e ve C2 çık ışının da yalnız R 2 ‘ye bağlı olması amacı ile C2

çık ışından (1) toplama noktasına h12 üzerinden ve C1 çık ışından da ikinci toplama noktasına

h21 üzerinden geri besleme yapılarak h12(s) ve h21(s) o biçimde belirlenir ki C1 yalnız R 1

girişine ve C2 de yalnız R 2 girişine bağlı olsun. Bu koşulu sağlayacak h12(s) ve h21(s)’i

bulunuz.

Çözüm: 1.25 bağıntılar ı yardımı ile Şekil 32’de gösterilmiştir. Noktalı çizgilerle gösterilen

sistemin yeni denklemleri

Ş ekil 32 – Örnek 1.5.6’ya ili şkin blok diyagramı. Noktal ı çizgiler C 1 ile C 2 arasındaki

ba ğ l ıl ı ğ ı kald ırmak içi sonradan ilave edilmi ştir.

(1.24).....R GGGG1

GGG R

GGGG1

G CCC 2

4321

4311

4321

11R21R11

−−=+= -

(1.24).....R GGGG1

GGG R

GGGG1

G CCC 1

4321

4212

4321

42R12R22

−−=+= -

(1.25)..... R gR gCR gR gC daya

R R

gg

gg

CC

2221212

2121111

2

1

22

12

21

11

2

1

+=+=

=



22

C1 = G11 ( R 1 + h12 C2 ) + g12 ( R 2 + h21 C1 )

C2 = G21 ( R 1 + h12 C2 ) + g22 ( R 2 + h21 C1 ) ..... (1.26)

olur. (1.26) denklemlerinde sol tarafa C1 ve C2'leri oluşturan terimleri alalım ve sağ tarafta da

R 1 ve R 2'leri bırakarak

C1 (1-g12 h21) - g11 h12 C2 = g11 R 1 + g12 + R 2 ..... (1.27)

-g22 h21 C1 + (1-g21 h12 ) C2 = g21 R 1 + g22 R 2

biçiminde yazalım. Buradan C1 ve C2 çözülürse

olur. (1.28) ifadelerinden

bulunur. C1’in yalnız R 1’e, C2’nin yalnız R 2’ye bağlı olması için, C1’de R 2’li terimlerin, C2’de

ise R 1’li terimlerin sıf ır olması gerekir.

R 2 ( g12 – g12 g21 h12 + g11 g22 h12 ) = 0

R 1 ( g21 – g12 g21 h21 + g22 g11 h21 ) = 0 ..... (1.30)

Buradan geri besleme elemanlar ı h12, h21 için

bulunur. O halde

1221

1211

2122

2121

222121

212111

1211

1221

2

1221

1211

222121

212111

1

hg

hg

hg

hg

).....(1.28 R gR gR gR g

hghg

C

hg

hg

R gR g

R gR g

C

−

−

−

−=∆

∆

++

−−

=

∆

−

−

+

+

=

1

1

1

1

(1.29).....R hggR hgghR ggR hggR gR g

C

R hggR hgghR gghgR gR gR gC

22122121211122212221212121122221212

21222111122111122211212211112121111

∆

++−−+=

∆

++−−+=

(1.31).....gggg

g-h

gggg

gh

21122211

2121

21122211

1212

−=

−=



23

elde edilir. g11 = k 11 g11 ′ ve g22 = k 22 g22

′ olarak yazılırsa, C1 ve C2 , k 11 ve k 22 ‘nin

değiştirilmesi ile saptanabilir.

1.7. İşaret Ak ış Diyagramları

Değişkenlerin, örneğin ( xi , x j ) küçük noktalarla gösterildiğini ve bunlara düğüm

dendiğini, bir düğümden diğer düğüme iletilen işaretin iletim fonksiyonunun ai j ile işaretlenen

ve yönü okla belirtilen bir dal ile gösterildiğini açıklamıştık. Şimdi bu özellikleri k ısaca

sıralayalım:

1. Düğümler değişkenleri göstermek için kullanılır.

2. Bu diyagramlar hem t ve hem de s domeninde verilebilir.

3. İşaretler dallarda, dalın okunun yönünde akabilir.

4. Xi düğümünden x j düğümüne yönelmiş bir dal, işaretin xi’den x j’ye aktığını belirtir. İşaret

x j’den xi’ye akamaz.

5. Xi düğümünden x j düğümüne okla yönelmiş bir dalın iletim fonksiyonu (dal transmitansı)

a ji ise x j=a ji xi dir. Eğer x j düğüm ya da işaretinden xi düğümüne aij iletim fonksiyonu

üzerinden ak ış olursa xi = aij x j yazılır.

Ş ekil 32 – İşaret ak ı ş diyagramında dü ğ üm, dal, iletim fonksiyonu

6. Giriş düğümü, yalnız çık ış dallar ı bulunan ve hiçbir giriş dalı bulunmayan düğümdür. Budüğüme bazen kaynak düğümü de denir.

7. Çık ış düğümü, bütün dallar ı giriş dalı olan ve hiçbir çık ış dalı olmayan düğümdür. Bu

düğüme son düğüm de denir.

8. Bir düğümden iki kez geçmeksizin arka arkaya sıralanmış sürekli ve bir yönlü dal ya da

dallardan oluşan çizgiye yol denir.

9. Giriş düğümünden çık ış düğümüne giden yola ileri yol denir.

10. Geri besleme yolu ya da geri besleme çevrimi, ayn

ı

bir düğümde başlayan ve biten yoladenir.

(1.33).....R hgghggg

C

(1.32)..... R hgghggg

C

221221221221222

2

112211112211111

1

∆

+−=

∆

+−=



24

11. Yalnız bir daldan oluşan ve aynı düğümden çıkan ve aynı düğüme sonuçlanan yola öz

çevre denir.

12. Bir düğüm değişkeninin değeri, bu düğüme gelen bütün işaretlerin toplamıdır.

13. Bir düğümden çıkan dallar ın taşıdığı işaretler o düğüm değişkeni ile dal transmitans ya da

iletim fonksiyonlar ının çarpımıdır.

14. Ardışık bağlı dallar ya da bir yolun toplam iletim fonksiyonu, dallar ın iletim fonksiyonlar ı

çarpımına eşittir.

Şimdi bu tanımlar ı açıklamak amacı ile bir örnek verelim.

Örnek 1.7.1. Aşağıda verilen denklemlere ilişkin işaret ak ış diyagramını çiziniz ve

yukar ıda tanımlanan ak ış diyagramı elemanlar ını bu şekil üzerinde gösteriniz.

x2 = a21 x2 + a23 x3

x3 = a33 x3 + a32 x2 a34 x4 ..... (1.34)

x4 = a43 x3 + a42 x2

x5 = a54 x4

Çözüm: Denklemlerden x1, x2, x3, x4, x5 gibi beş değişken olduğu anlaşılır. Bu değişkenler

aynı adlı düğümlerle gösterilir. Sonra (1.34) uyar ınca dallar oluşturularak işaret ak ış

diyagramı çizilir. Şekil 33’de elde edilen işaret ak ış diyagramı gösterilmiştir. Diyagramın elde

edilişinde önce birinci denklem, sonra ikinci denklem ve en sonda da üçüncü denklemdiyagramlar ı çizilir ve tam işaret ak ışı diyagramı elde edilir.

Ş ekil 33 – Örnek 1.7.1’in (1.34) denklemlerine ili şkin i şaret ak ı ş diyagramı

çizgisi x2 = a21 x1 + a23 x3 denklemini gösterir.

çizgisi x3 = a33 x3 + a32 x2 + a34 x4 denklemini gösterir.

çizgisi x4 = a43 x3 + a42 x2 denklemini gösterir.

çizgisi x5 = a54 x4 denklemini gösterir.

x1 : Giriş düğümü ya da kaynak

x5 : Çı

k ı

ş düğümü ya da son düğüm



25

Yol : a21, a32, a43, a54 dallar ından her biri, ardışık birkaçı ya da tümü. Benzer biçimde a21, a42,

a42, a54, a34, a23 ...

İleri yol : ( a21, a32, a43, a54 ) giriş ve çık ış düğümü arasındaki yol.

( a21, a42, a54 ) giriş ve çık ış düğümü arasındaki yol

Geri besleme yolu : Düğümler ( x2-x3-x2 ) dallar ı ( a32, a33 )

Düğümler ( x3-x4-x3 ) dallar ı ( a43, a34 )

Öz çevre : x3-x3 düğümlerinde a33 dal iletim fonksiyonu olan çevredir.

x1, x2, x3, x4, x5 düğümlerinden geçen yol bir ileri yoldur. Bu yolun toplam iletim

fonksiyonu a21, a32, a43, a54 dür. x2-x3-x2 düğümlerinden geçen geri besleme çevrimi ya da

yolunun toplam iletim fonksiyonu a32 a23 ‘tür.

Örnek 1.7.2. Şekil 34’te gösterilen ak ış diyagramının denklemlerini yazınız.

Ş ekil 34 a - Örnek 1.7.2’ye ili şkin i şaret ak ı ş diyagramı

Çözüm: a) x1 = a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 ( x1 düğümüne gelen işaretlerin toplamı )

x7 = a71 x1 ( x1 düğümünden çıkan x7’ye gelen işaret )

x6 = a61 x1 + a65 x5

x2 = a26 x6

x5 = a51 x1

b) x2 = a21 x1 x3 = a31 x1 ..... xn = an1 x1

c) x1 = a12 x2 + a13 x3 + ..... + a1n-1 xn-1 + a1n xn

Örnek 1.7. 3. Şekil 35’de gösterilen paralel dallar ı bir dala indirgeyiniz.

Ş ekil 35 – Örnek 1.7.3’e ili şkin şekil



26

Çözüm: x2 ve x3 düğümleri arasında paralel bağlı olan ve aynı yönlü olan a32 , b32 ve c32

toplanır.

Örnek 1.7. 4. x1 ile x5 düğümleri arasında aynı yönlü dallardan oluşan yolun toplam iletim

fonksiyonunu bulunuz.

Ş ekil 36 – Ard ı şık ba ğ l ı ve aynı yönlü dallar ın e ş de ğ erine ili şkin örnek

Çözüm: x2 = a21 x1 x3 = a32 x2 x4 = a43 x3 x5 = a54 x4 olduğundan x5 = ( a22 a32 a43 a54 )

x1 olur.

1.8. Ak ış Diyagramlarının İndirgenmesiKarmaşık blok diyagramlar ında olduğu gibi işaret ak ış diyagramlar ı da indirgenebilir.

Burada basit bir iki kural vermede yarar vardır. Ancak, bugün ak ış diyagramlar ının

indirgenmesinden daha çok Mason formülü ile toplam ya da k ısmi iletim fonksiyonlar ı

belirlenmektedir.

1.8.1. Bir Düğümün Kaldırılması

Şekil 37’deki diyagramı göz önüne alalım x3 düğümünü kaldıralım.

Ş ekil 37 – x3 dü ğ ümünün kald ır ılması.

1.8.2. Bir Dalı Bir Düğüm Arkaya Kaydırmak

Şekil 38’de bir işaret ak ı

ş diyagramı

verilmiştir. Bu diyagramda x6 düğümü ile x2 düğümüarasındaki a26 iletim fonksiyonu olan dalı x3 düğümüne kaydıralım. Burada şuna dikkat

edelim ki a26, x6 düğümünden x2 düğümüne yöneliktir.

Ş ekil 38 – a26 dal ının x2 dü ğ ümünden x3 dü ğ ümüne kayd ır ılması. a26 ’nın sonuçland ı ğ ı dü ğ ümden x3’e kayd ır ıl ı yor.



27

Şekilde x6 değişkeninin diğer değişkenlere olan etkileri noktalı çizgilerle gösterilmiştir.

Buradan x6’dan x2’ye diğer düğümlere giden işaretleri şu biçimde yazabiliriz:

x2, 6 = a26 x6

x5, 6 = a52 x2,6 = a52 a26 x6

x3,6 = a32 x2,6 = a3,2 a26 x6

x4,6 = ( a26 x6 ) a42

x4,6 = ( a26 a24 ) x4 ..... (1.35)

Ş ekil 39 – a26 ’nın x3’e kayd ır ılması

Bağıntılar ının bulunduğu görülür. O halde a26 dalını x2 düğümünden x3 düğümüne kaydır ırken

noktalı çizgi ile gösterilen ve (1.35) bağıntısı ile verilen eşitliklerin de korunması gerekir. Bu

koşullar ın sağlanması ile Şekil 39’daki diyagram elde edilir. burada şunu açıklayalım ki,

diyagram üzerindeki indirgemeler ilgili denklemler üzerindeki işlemler sonucunda da elde

edilir.

1.8.3. Bir Dalın Başlangıç Noktasını Başka Bir Düğüme Kaydırmak

Şekil 40’daki işaret ak ış diyagramını göz önüne alalım

Ş ekil 40 – x2 dü ğ ümünde ba şlayan ve x5 dü ğ ümünde sonuçlanana52 dal ının x1 dü ğ ümüne al ınması.

Şekil 40’da gösterilen noktalı çizgili yollara ilişkin bağıntılar ı düşünelim. Çünkü, a52 dalı

x1 düğümüne taşınınca, bu bağıntılar ın korunması gerekir.

x51 = a21 a52 x1 x5 değişkenine 1’in gönderdiği işaret

x55 = a25 a52 x5 x5 değişkenine 5’in gönderdiği işaret

x53 = a32 a52 x3 x5 değişkenine 3’ün gönderdiği işaret

x45 = a24 a52 x4 x5 değişkenine 4’ün gönderdiği işaret ..... (1.36)



28

(1.36) bağıntılar ını koruyarak x5 düğümüne x2 düğümünden gelen a52 dalını x1 düğümüne

taşırsak Şekil 41’deki diyagram elde edilir.

Ş ekil 41 – Bir dal ın, Ş ekil 40’daki a52 dal ının, x1 dü ğ ümüne ta şınması

1.9. Geri Beslemeli Kontrol Sistemlerinin İşaret Ak ış Diyagramı

1.9.1. Bir Giriş ve Bir Çık ışlı Sistemlerin İşaret Ak ış Diyagramı

Bir giriş ve bir çık ışlı kontrol sistemlerinin en basit halde blok diyagramı ve bu diyagrama

ilişkin denklemler Şekil 8 ve (1.4) bağıntısı ile verilmişti. Bu bağıntıya ilişkin işaret ak ış

diyagramı Şekil 42’de verilmiştir. (1.4) bağıntısını tekrar yazalım.

içler, dışlar çarpımı yaptığımızda

C = RG1G2 - G1G2HC .......... (1.37)

elde edilir. (1.6)’nın işaret ak ış diyagramı ise Şekil 42’de gösterildiği gibidir. Eğer x3 düğümü

ile x2 düğümü arasındaki dalın ucu x3 düğümüne kaydırmak istersek;

Ş ekil 42 – Bir giri ş ve bir çık ı şl ı geri beslemeli sistemin i şaret ak ı ş diyagramı

x2,3 = - H(S)x3

x3,2 = G1(S) G2(S) x2,3 = G1(S) G2(S) [- H(S)] x3

bağıntılar ını korumak ve bir öz çevre oluşturmak gerekeceğinden Şekil 42, Şekil 43’de

gösterilen biçimi alır.

Eğer - H(S) dalı x4 düğümü etraf ında bir öz çevre oluşturacak biçimde kaldır ılırsa, Şekil42’de H(S) dalının kaldır ılması ile

HGG1

GG

R

C

21

21

+=



29

Ş ekil 43 – Bir giri ş ve bir çık ı şl ı geri beslemeli sistemi en basit ak ı ş diyagramının ba şka bir şekli. Diyagramda yalnı z giri ş ve çık ı ş gösterilmi ştir.

X4,4 = [ G2 (-H) G1] x4

bağıntısının korunması gerektir. Bu koşul ile, eşdeğer ak ış diyagramı Şekil 44’de gösterildiği

biçimde elde edilir.

Ş ekil 44 – En basit, bir giri ş ve bir çık ı şl ı sistemin e şde ğ er i şaret ak ı ş diyagramının ba şka bir biçimi. Diyagramda x4 dü ğ ümü de gösterilmi ştir.

Bütün eşdeğer işaret ak ış diyagramlar ında C(s)/R(s) toplam transfer fonksiyonu aynıdır.

Nihayet Şekil 42’deki işaret ak ış diyagramının bir kez de x2 düğümü etraf ında bir öz çevre

oluşacak biçimde bir eşdeğer diyagramını çizebiliriz. Bu diyagram Şekil 45 a’dagösterilmiştir.

Ş ekil 45 a – İşaret ak ı ş diyagramının ba şka bir e şde ğ eri. Diyagramda giri ş , çık ı ş dü ğ ümünden ba şka E(s) dü ğ ümü de gösterilmi ştir.

Geri beslemeli kontrol sistemlerinin durum uzayında matematik modelin,

x = A . x + B . u s . X(s) = A . X(s) + B . U(s)

y = C . x + D . u Y(s) = C . X(s) + D . U(s)

biçiminde yazıldığını biliyoruz. Bu modeli işaret ak ış diyagramı ile göstermek olanağı vardır.

Bu Şekil 45’de gösterilmiştir.



30

Ş ekil 45 - Geri Beslemeli Kontrol Sistemlerinin Durum Uzayı Matematik Modelinin

a - s domeninde i şaret ak ı ş diyagramı b - t domeninde i şaret ak ı ş diyagramı

1.9.2. Çok Giriş ve Çok Çık ışlı Sistemlerin İşaret Ak ış Diyagramı

Çok giriş ve çok çık ışlı bir kontrol sisteminin matris bağıntılar ı ile verilmiş denklemleri

E(S) = Im R(S) – H(S) Y(S)

U(S) = G1(S) E(S)

Y(S) = G2(S) U(S) Y(S) = C(S) = Çık ışın Laplace’ı olarak yazılabilir. Burada;

R(S) : Giriş’in Laplace Dönüşümü : (mx j) boyutunda (Referansın dönüşüm matrisi)

Im : mxm boyutunda birim matris

E(S) : (mx j) boyutunda hata (yapma) ya da kontrol işareti. Dönüşüm matrisi

U(S) : Etkiyen işaret matrisi Laplace dönüşümü r x1 boyutunda

G1(S) : (r xm) boyutunda kontrol organı transfer fonksiyonu matrisi

G2(S) : Kontrol edilen düzenin transfer fonksiyonu matrisi (mxr) boyutunda

H(S) : mxm boyutunda transfer fonksiyonu matrisi

Y(S) : r x1 boyutunda çık ışlar ın Laplace dönüşümü matrisidir.

(1.37) bağıntılar ı yardımı ile çok giriş ve çok çık ışlı sistemlerin s domenindeki Laplace

Dönüşümü için Şekil 46 elde edilir.

Ş ekil 46 – Çok giri ş ve çok çık ı şl ı lineer zamanla de ğ i şmeyen bir sistemin S domenindekii şaret ak ı ş diyagramı



31

Yukar ıda Şekil 46’da verilen işaret ak ış diyagramı değişik ve öz çevre oluşacak biçimde üç

türden gösterebiliriz. Bir giriş ve bir çık ışlı sistemlere benzer ve fakat dal iletim matris

fonksiyonlar ının boyutlar ını gözüne alarak bu gösterimler Şekil 47 a,b ve c’de gösterilmiştir.

Ş ekil 47- Toplam transfer fonksiyonu matrisi aynı kalma ko şulu alt ındaa - Sadece giri ş ve çık ı ş dü ğ ümlerine göre diyagramb - Giri ş , Ç ık ı ş ve etkiyen i şareti de içeren diyagram

c - Giri ş-Ç ık ı ş ve Hata dü ğ ümlerini de gösteren diyagram

öte yandan Rosenbrock göstermiştir ki, herhangi lineer zamanla değişmeyen çok giriş ve çok

çık ışlı bir sistemin denklemleri s domeninde;

F(s) d(s) = U(s) u(s) + n(s)

Y(s) = V(s) d(s) + W(s) u(s) .......... (1.38)

biçiminde yazılabilir. Burada, F(S), U(S), V(S) ve W(S) polinom matrisleridir. Bu biçimde S

domeninde verilen denklemleri kullanarak bir işaret ak ış diyagramı çizebiliriz. Gene bura da;

U(s) : Giriş operatör matrisidir; boyutu r xlV(s) : Çık ış operatör matrisidir; boyutu mxr

W(s) : Doğrudan doğruya iletim matrisidir; boyutu mxl

F(s) : r xr boyutunda matris

u(s) : Giriş işaret vektörünün dönüşümü; boyutu l

Y(s) : Çık ış vektörünün dönüşümü; boyutu m

d(s) : Sistemin durum değişkenleri vektörü; boyutu r

n(s) : Bozucu etki ya da gürültü vektörü; boyutu r’ dir.(1.38) denklemin birincisinin sol yanına d ekleyelim ve d çıkaralım.

d(s) – d(s) + F(s) d(s) = U(s) +n(s)

d(s) = U(s) u(s) + [ 1-F(s) ] d(s)

1 – F(s) = T(s) dersek;

d(s) = U(s) u(s) + T(s) d(s) + n(s) .......... (1.39)

elde edilir. Şimdi (1.39) denklemini ve (1.38) denklemini ve (1.38)’in de ikincisini tekrar

yazalım,



32

d(s) = U(s) u(s) + T(s) + n(s)

Y(s) = V(s) d(s) + W(s) u(s) .......... (1.40)

bulunur. Bu denklemlerden Şekil 48’de görülen işaret ak ış diyagramı elde edilir.

Ş ekil 48 – Çok giri ş ve çok çı

k ı

şl ı

bir sistemin (Lineer-zamanla de ğ i şmeyen) s domeninde genel i şaret ak ı ş diyagramı

1.10. İşaret Ak ış Diyagramlarının İndirgenmesi Üzerine Bir Örnek

Şekil 49’da verilen işaret diyagramı x1 ile x3 düğümleri arasında basit bir dal transmitansı

ya da dal iletim fonksiyonu biçimine getirilecektir.

Ş ekil 49 – x1 dü ğ ümü ile x3 dü ğ ümü arasında bir dala indirgenmesi isteneni şaret ak ı ş diyagramı

Çözüm: Önce a22 öz çevresini kaldırmaya çalışalım, x2 düğümüne ilişkin denklemi

yazalım:

olur. O halde, a22 öz çevresi kaldır ılırsa (1.41) bağıntısının korunması gerektir.

Şekil 50’de a22 öz çevriminin kalkması ile elde edilen diyagram gösterilmiştir. Şekilde

noktalı çizgilerin oluşturduğu yollar ın iletim fonksiyonlar ı

(1.41)..... xa

a x

a

a x

xaxaxax

4

22

241

22

212

2224241212

−+

−=

++=

11



33

Ş ekil 50 – Örnek 1.10.1’e ili şkin diyagramın indirgenmesi

dir. Bu iletim fonksiyonlar ını da göz önüne alarak Şekil 51 elde edilir. x1 ile x3 düğümleri

arasındaki toplam iletim fonksiyonu:

olur.

1.11 Genel İletim Fonksiyonunun Belirlenmesi ( Mason Formülü )

Bilgi-işlerin kontrol sistemlerinde giderek yaygın bir biçimde kullanılması,ü işaret ak ış

diyagramlar ının incelenmesinin de bilgi işler’e uygun bir yol izlenerek yapılmasını zorunlu

hale getirmiştir. İşaret ak ış diyagramlar ının indirgenmesi üzerine daha ayr ıntılı kurallar ve

değişik türden örnekler verme olanağı vardır. Ancak, amaç belli iki düğüm arasındaki iletim

fonksiyonunun bulunması olduğuna göre, bu bağıntıyı verecek genel bir formülü vermek ve

gerektiğinde bu formülü bilgisayarda kullanarak iletim fonksiyonunun parametrelerini sayısalolarak saptamak daha uygun olur. Bu formül Mason taraf ından gerçekleştirilmiştir. Mason

formülünü burada tanıtılmasını vermeden açıklamaya çalışacağım. Bu formül , c(s) çık ış

büyüklüğünün, R(s) giriş büyüklüğünün Laplace dönüşümünü gösterdiğine göre

olarak verilir. Burada;

T(s) : Sistemin girişi R(s) ile çık ışı C(s) arasındaki toplam transfer fonksiyonudur.C(s) : Çık ış düğümü değişkeninin Laplace dönüşümü

3432

22

24

3132

22

21

41

22

4221

xxaa

a

xxaa

a

xxa

aa

=−

=−

=−

1

1

1

(1.42)..... aa

a a()

a

aa a(

a1

aa aAAAA 32

22

2434

22

422141

22

422131344131 )

11 −+

−++

−+=+=

(1.43)..... P

R(s)

C(s) T(s)

N

1k

k k ∑= ∆

∆==



34

R(s) : Giriş düğümü değişkeninin Laplace dönüşümü

N : Toplam ileri yol sayısı

Pk : Giriş ile Çık ış arasındaki var olan ileri yollardan k. sının iletim fonksiyonu

1-(Bütün farklı kaplı çevrimlerin iletim fonksiyonlar ının toplamı) + (Birbirine dokunmayan kapalı çevrimleriniletim fonksiyonlar ının ikişer ikişer çarpımının toplamı) – (Birbirine dokunmayan kapalı çevrimlerin üçer üçer çarpımının toplamı) + .....

NOT: Birbirine dokunmayan kapalı çevrimler ortak düğümleri olmayan kapalı çevrelerdir.

∆ k : k. ileri yolun kaldır ılması ile elde edilen diyagramın ∆ sı ya da Pk ’nın kofaktörü.

Mason toplam iletim fonksiyonunu iyi anlamak bak ımından birkaç örnek verelim.Örnek 1.11.1. Şekil 52’de gösterilen işaret ak ış diyagramında Mason formülü kullanarak

giriş ile çık ış arasındaki toplam iletim fonksiyonunu bulunuz.

Ş ekil 52 – Örnek 1.11.1’e ili şkin ve C(s) ile R(s) arasındaki toplam iletim fonksiyonunubulacak i şaret ak ı ş diyagramı

Çözüm: R(s) girişini C(s) çık ışına bağlayan iki ileri yol vardır. O halde N=2’dir. Bu yollar

1. yol P1 = G1 G2 G3 G4

2. yol P2 = G5 G6 G7 G8

dir. Buna kar şılık dört adet farklı kapalı çevrim vardır. Bu kapalı çevrimlerin iletim

fonksiyonlar ı;

L1 =G2 H2 L2 =G3 H3 L3 =G6 H6 L4 =G7 H7

dir. Bunlardan G2 H2 kapalı çevrimi G6 H6 ve G7 H7’ye, aynı düşünce ile G3 H3 kapalı çevrimi

de G6 H6 ve G7 H7’ye dokunmadığından, ∆’ye belirlemek amacı ile

a) Bütün farklı kapalı çevrimlerin iletim fonksiyonlar ı: G2 H2 + G3 H3 + G6 H6 + G7 H7

∑∑∑ ++=∆=

== .....LLL-LLL-1 ts p

MQ

1q

1mqm

K

1nn



35

b) Birbirine dokunmayan kapalı çevrimlerin iletim fonksiyonlar ının ikişer ikişer çarpımlar ı

toplamı: G2 H2 G6 H6 + G2 H2 G7 H7 + G3 H3 G6 H6 + G3 H3 G7 H7

c) Birbirine dokunmayan üçlü kapalı çevrim olmadığından 3 ve bundan sonraki toplamlar

yapılmayacaktır.

d) G1 G2 G3 G4 ileri yolunu kaldırdığımızda, sadece iki kapalı çevrim kalır;

G6 H6 , G7 H7 o halde ∆1 = 1 – ( G6 H6 + G7 H7 ); P1 = G1 G2 G3 G4

e) G5 G6 G7 G8 ileri yolunu kaldırdığımızda iki kapalı çevrim kalır.

G2 H2 , G3 H3 o halde ∆2 = 1 – ( G2 H2 + G3 H3 ); P2 = G5 G6 G7 G8

f) a, b, c bağıntılar ından ∆ için

∆ = 1 – ( G2 H2 + G3 H3 + G6 H6 + G7 H7 ) + ( G2 H2 G6 H6 + G2 H2 G7 H7 + G3 H3 G6 H6 +

G3 H3 G7 H7 )

bulunur. O halde Mason formülü, toplam transfer fonksiyonu için;

bağıntısını verir.

∆ = 1 – ( - G2 H2 - G4 H4 - G1 G2 G3 G4 H5 - G1 G2 H3 G4 H5 – H6 H5 ) + (G2 H2 G4 H4 + G2

H2 H6 H5 ) dir.

Örnek 1.11.2. Şekil 53’de verilen işaret ak ış diyagramının giriş çık ış arasındaki toplam

transfer fonksiyonunu bulunuz.

Ş ekil 53 – Örnek 1.11.2’ye ili şkin i şaret ak ı ş diyagramı

Çözüm:

a) Önce ileri yollar ı saptayalım: Üç yol vardır,

1 – H6 – 1 = H6 iletim fonksiyonu

1 – G1 G2 G3 G4 – 1 = G1 G2 G3 G4 iletim fonksiyonu

1 – G1 G2 H3 G4 – 1 = G1 G2 H3 G4

b) Şimdi ∆ ‘yı

belirleyelim;

(1.44)..... ∆

HGHG(-1[GGGG

∆

HGHG(-1[GGGG

∆

∆P∆P

R(s)

C(s) T(s)

3322876577664321

2211

)])] ++

+=

+==



36

∆ = 1-(Bütün farklı kaplı çevrimlerin iletim fonksiyonlar ının toplamı) + (Birbirine değmeyen kapalı çevrimleriniletim fonksiyonlar ının ikişer ikişer çarpımının toplamı ) – (Birbirine dokunmayan kapalı çevrimlerin üçer üçer çarpımının toplamı) + .....

Kapalı Çevreler ( iletim fonksiyonlar ı ) : - G2 H2 , - G4 H4 , - G1 G2 G3 G4 (-H5)

G1 G2 H3 G4 (-H5) , H6 (-H5 )

Birbirine dokunmayan çevrelerin ikişer ikişer iletim fonksiyonlar ının çarpımı:

- ( G2 H2 ) ( - G4 H4 ) , ( G2 H2 ) ( -H6 H5 )

Birbirine dokunmayan üç kapalı çevrim olmadığından ∆’nın hesabı, bu terimlerle

yapılabilir:

c) Şekil 53’deki diyagramda üç ileri yol olduğundan bunlardan 1-H6 = 1 yolu kaldır ılırsa elde

edilen graf ın

∆ 1 = 1 – ( - G2 H2 - G4 H4 - G1 G2 G3 G4 H5 - G1 G2 H3 G4 H5 ) + (G2 H2 G4 H4 )

P1 = - H5

G1 G2 G3 G4 ileri yolu kaldır ılırsa, geri kalan devrede sadece bir kapalı çevrim kalır. O da

(-H6) (-H5) dir.

O halde;

P2 = G1 G2 G3 G4 ∆ 2 = 1 – (H5 H6)

elde edilir. Buradan toplam iletim fonksiyonu

İşaret ak ı

ş diyagramı

nda her hangi iki düğüm arası

ndaki toplam iletim fonksiyonunu belirlemek için başka bir bağıntı da verilebilir. Bunun için xi giriş x j çık ış düğümleri

arasındaki toplam iletim fonksiyonu

olarak verilir. Burada ∆ orijinal sistemin determinantı, ∆′ ise xi ve x j arasında iletim

fonksiyonu bire eşit olan bir dalın eklenmesi ile elde edilen ve eleman sayısı bir arttır ılmış

yeni işaret ak ış diyagramının determinantıdır.

562244225654321543214422

6543321654321543215432144226

321

HHHGHGHGHHHGHGGHGGGGHGH(G1

HH-(1GHGGGHH-(1GGGGHGHGGHGGGGHGHG1[H-

(1.45)..... PPP

R(s)

C(s) T(s)

++++++

++++++=

∆

∆+∆+∆==

)

)])

321

(1.46)..... T ji∆

∆′−∆=



37

1.12. Durum Uzayı Diyagramı

1.12.1. Kaynak Ya Da Giriş Fonksiyonunun Türevinin Olmaması Hali

Lineer zamanla değişmeyen bir sistemin diferansiyel denkleminin

biçiminde olduğunu var sayalım. Bu diferansiyel denklemden bir durum modeli elde etmeye

çalışacak ve sonra bu modelden s domeninde bir durum diyagramı elde edilecektir.

Diferansiyel denklemde çık ış y, daha önce kullanılan C yerine ve giriş u ise r yerine

kullanılmaktadır. Şimdi;

yazalım. x 1 , x2 , x3 ..... xn ile tanımlanan yeni değişkenlere durum değişkenleri denir. Laplace

dönüşümü alınırsa, birinci ve ikinci eşitlikleri;

yazılır. (1.49) bağıntısı genelleştirilirse

elde edilir. Şimdi (1.47) bağıntısını;

olarak yazdıktan ve sağ yandaki türev terimleri yerine (1.48) eşitliğindeki tanım bağıntılar ı

kullanılırsa;

ve Laplace dönüşümünü alarak

(1.47).....uadtdya.....

dtyda

dtyda

dtyd oy12-n

2-n

2-n1-n

1-n

1-nn

n

=+++++

(1.48)..... dt

xd

dt

(yd ,xy.....xxy,xxy,xy n

1-n

n

1-n2

31

21=======

••••• )

(1.49)..... s

(0)x

s

(s)X (s)X

(s)X(0)x-(s)SX

(s)X Y(0)-SY(s) (s)YY(s)

121

211

21

+=

=

==

(1.50) ..... s

(0)x

s

(s)X (s)X

: s

(0)x

s

(s)X (s)X

1-nn1-n

232

+=

+=

(1.51).....ua-dtdy a- ..... -dt yd a-dt yd a-dtyd oy12-n

2-n

2-n1-n

1-n

1-nn

n

+=

(1.52).....uxa-xa-.....-xa-xa-dt

yd )(y

dt

d10211-n2-nn1-nn

n1-n +==

(1.53)..... xuxa-xa-.....-(s)xa-(s)x-a(s)SX n10211-n2-nn1-nn )0(++=



38

bulunur. Şimdi, önce (1.49) ve (1.50) eşitliklerini göstermek üzere x1(s) , x2(s) ..... xn(s)

düğümlerini alalım ve sonra bu eşitliklere göre diyagramlar ı çizelim.

Ş ekil 54 – (1.47) diferansiyel denkleminin durum diyagramı , diyagram S domenindeverilmi ştir. Diyagramda x1 , x2..... xn durum de ğ i şkenlerinin Laplace dönü şümüdür.

Diyagram (1.49) ve (1.50) eşitlikleri için çizildikten sonra (1.53) için çizilir ve Şekil54’teki diyagram elde edilir.

Şimdi Y(s) / U(s) yada C(s) / R(s) toplam transfer fonksiyonunu bulmak için (1.43) Mason

formülünü kullanalım: Bir ileri yol vardır ve iletim fonksiyonu s-n dir.

öte yandan bütün gözler birbirine dokunmaktadır. İleri yol s-n

kaldır ılınca hiçbir gözkalmamaktadır. Bu düşüncelerle Mason bağıntısı uygulanınca (1.54 a) elde edilir. (1.54 a)

başka bir biçimde

olarak yazılır.

Öte yandan, (1.52) bağı

ntı

sı

nı

tekrar göz önüne alalı

m.

olur. (1.48) denklemleri ile (1.52) denklemini bir arada düşünerek (1.47) diferansiyel

denkleminin (t) domeninde durum modeli elde edilmiş olur. Şimdi;

a)(1.54..... sasasasa

s

(s)

s

R(s)

C(s)

U(s)

Y(s) T(s)

n-0

1)(n-1

2-2-n

1-1-n

-n-n

++++++=

∆===

+.....1

(1.55)..... asasa.....sas

1 T(s)

012

21-n

1-nn +++++

=

(1.52).....uxa-xa-xa-xa-.....-xa-xa-xadt

dx )(y

dt

d102132432-n3-n1-n2-nn1-n

n1-n +==



39

olarak tanımlayalım. Bu tanımla, (1.53) ve (1.52) denklemleri bulunur.

(1.54) matris-denklemi, (1.47) denklemi ile verilen n inci mertebeden diferansiyel denklemindurum modelidir. A matrisinin biçimi bu halde özellik göstermektedir. Bu özel durumu

nedeni ile A matrisine companion matrisi denir

b) Kaynak fonksiyonlar ının türevlerinin bulunması hali : Şimdi giriş r(t) yerine u(t) ve çık ış

c(t) yerine de y olarak, giriş işaretinin türevlerinin de bulunduğu bir diferansiyel denklem göz

önüne alalım:

Bu denklem sisteminin çık ış büyüklüğünün n mertebeden, ve u giriş büyüklüğünün ise m

mertebeden türevi vardır. Bütün ilk koşullar ı şimdilik göz önüne almayalım: Bu varsayım ile

(1.56) denklemi;

biçiminde yazılır. Buradan;

(1.53).....

x

x

:

x

x

x

x

x

x

x

x

y

y

y

y

y

x

x

:

x

x

x

x

n

1-n

4

3

2

1-n

2n

1)-(n

2)-(n

n

1-n

3

2

1

−

∆

∆

•

•

•

•

•

••

•

−:

:

3

2

1

C

x) ... 0 0 1 (xCy

B A

(1.54).....u.

1

0:

0

0

0

x

x:

x

x

x

a-a-a-a-a

0

0

0

x

x

x

x

x

n

1-n

3

2

1

1-n2-n210n

1n

==

+

=

•

•

•

•

•

−

...

000000:::

00...00

00...10

00...01

:

3

2

1

(1.56).....u bdt

du b.....

dt

ud b

dt

ud ba

dt

dy a .....

dt

yd a

dt

yd a

dt

yd011-m

1-m

1-mm

m

moy12-n

2-n

2-n1-n

1-n

1-nn

n

++++=+++++

(1.57).....u bs bs bs(bY(s))asasasa(s 011-m

1-mm

m012-n

2-n1-n

1-nn ).......... ++++=+++++

(1.58)..... asasasas

bs bs bs b

U(s)

Y(s)

T(s) 012-n

2-n1-n

1-nn

011-m

1-mm

m

+++++

++++==

.....

.....



40

transfer fonksiyonu elde edilir. (1.57) denklemini aşağıdaki biçimde denklem ile

gösterebiliriz:

Y(s) = ( bm s m + bm-1 s m-1 + ..... + b1 s + b0 ) x1(s) ..... (1.59)

U(s) = ( s n + an-1 s n-1 + an-2 s n-2 + ..... + a1 s + a0 ) x1(s) ..... (1.59 a)

(1.59) ve (1.60) denkleminde;

sx1 = x2(s) x1 = x2

s2x1 = s(sx1) = x3(s) x2 = x3

s3x1 = s(s2x1) = x4(s) x3 = x4 durum (1.60) değişkenleri. .

. .

. .

snx1 = s(sn-1x1) = sxn(s) xn-1 = xn

olduğunu düşünürsek. (1.59 a ) denklemini

U(s) = sxn(s) + an-1xn(s) + an-2xn-1(s) + ..... + a1x2(s) + a0x1(s)

ya da

sxn(s) = U(s) - an-1xn(s) - an-2xn-1(s) - ..... - a1x2(s) – a0x1(s) .....(1.61) olur.

Benzer biçimde (1.59) denklemi; m = n olabileceğini düşünerek ve m = n olarak

Y(s) = sbxn(s) + bn-1xn(s) + ..... + b1x2(s) + b0x1(s) .....(1.62)

elde edilir. Şimdi, kaynaklar ın ya da giriş fonksiyonunun da türevlerinin bulunduğu n inci

mertebeden bir diferansiyel denklemin durum uzayı modelini verebiliriz. (1.61) diferansiyel

denklemi (1.59), (1.59a) eşitlikleri ve (1.60) ile tanımlanan durum değişkenlerinin

kullanılması ile (1.61) ve (1.62) gibi iki denkleme ayr ılmıştır. (1.61) ve (1.62)’ye ilişkin işaret

ak ış diyagramı Şekil 55’te gösterilmiştir.

Ş ekil 55 – Giri ş fonksiyonunun da türevleri bulunan n. mertebeden sabit katsayıl ı bir diferansiyel denklemin durum modeli diyagramı. Üst yollar (1.62) denklemine, alt geri

besleme yollar ı (1.61) denklemine ili şkin dallar ı gösterir.Transfer fonksiyonlar ında m < n oldu ğ undan genel hal olarak m = n al ınmı şt ır.

İ lk ko şullar diyagrama sonradan ilave edilmi ştir.



41

Şekil 55’de bütün ilk koşullar sıf ır alınarak Mason formülü ile toplam transfer fonksiyonu

y(s) / u(s) belirlenebilir; bu ifade (1.58)’de m=n yazılarak elde edilecek ifade ile aynıdır. İlk

koşullar (1.49) , (1.50) eşitlikleri ve (1.54) diyagramına benzer biçimde diyagrama

eklenmiştir.

Şimdi Şekil 55 diyagramından ve (1.60) , (1.61) eşitliklerinden durum denklemlerini

yazabiliriz. Burada şunu açıklayalım ki, işaret ak ış diyagramlar ı da indirgenebildiğine göre,

başka başka diyagramlar ın bu denklemi gösterebileceği açıkça bellidir. Durum denklemleri;

olur. (1.63) denklemleri genellikle lineer sabit katsayılı sistemin minimum gerçekleşmesi

değildir. Başka bir deyimle (A) matrisinin singüler olduğu her denklem için söylenemez.

Mason bağıntısı ile (1.58) in elde edilişi kişinin kendisine bırak ılmıştır. Şekil 55’te xn sxn

düğümü kolayca kaldır ılabilir. Böylece xn+1 durum değişkeni kaldır ılabilir.

Şimdi, belli olan diferansiyel denklemden, durum denklemlerinin elde ediliş ve durum

diyagramlar ı üzerine birkaç örnek verelim.

Örnek 1.12.1. Lineer zamanla değişmeyen bir sisteme ilişkin diferansiyel denklem;

dir.

a) sistemin durum diyagramı b) transfer fonksiyonunu

(1.63) .....u.

1

0

:0

0

0

x

x

:x

x

x

aaaaa

x

x

:x

x

x

)A(

n

1-n

3

2

1

1-n2-n210n

1-n

3

2

1

+

=

−−−−− ...

10...000

:...::00...000

00...100

00...010

u b

x

x:

x

x

x

b b... b b b(y n

n

1-n

3

2

1

1-n2-n210+

=)

(1.64)..... yc

ur 5u4y

dt

dy3

dt

yd2

dt

yd2

2

3

3

=

==+++



42

c) durum denklemlerini alışılmış standart biçiminde veriniz.

Çözüm:

ya da Laplace dönüşümü

olarak yazılır. Sistemin durum diyagramı Şekil 56’da gösterilmiştir. Diyagramı çizerken U(s)

,sx(s) , x3(s) , x2(s) , x1(s) , Y(s) düğümleri ardışık olarak çizilir.

Ş ekil 56 - Örnek 1.12.1’e ili şkin durum diyagramı. İ lk ko şullar sonradan eklenmi ştir.

b) Transfer fonksiyonu iki yoldan bulunabilir: Şekil 56’daki işaret ak ış diyagramında Mason

formülünü kullanalım. Diyagramın ∆ determinantı bütün gözler ( kapalı çevrimler ) birbirine

dokunduğundan;

diyagramda sadece bir ileri yol vardır:

P1 = (5) (1/s) (1/s) (1/s)

∆1 = 1 : ( bu ileri yol kalk ınca hiçbir göz kalmamaktadır)

O halde

3

032

1

221

1

x5u4yyy2-y

a xxy

(1.64)..... a a 3n xxy

edenklemind(3.47)vexy a)

••••••

•••

••

=+−−=

===

=====

=

3

3

32

a)(1.64..... 5u4xxx2-sx

x5u4xxx2-y

1233

3123

+−−=

=+−−=

••••

3

3

(1.65)..... s

43s2ss )4/s-3/s-2/s-(-1∆ 3

2332 +++

==



43

ya da (1.64) diferansiyel denkleminden, bütün ilk koşullar ı sıf ır alarak Laplace dönüşümü

alınırsa;

(s3 + 2s2 + 3s + 4) Y(s) = 5U(s)

ya da

olur.

c) Durum denklemleri (1.54) genel denkleminden ya da (1.64) bağıntılar ından x1, x2 , x3 gibi

üç durum değişkeni olduğundan;

Örnek 1.12.2. Giriş fonksiyonunun da türevlerinin bulunduğu bir diferansiyel denklem;

olarak veriliyor.

a) Durum diyagramını bulunuz

b) Transfer fonksiyonunu belirleyiniz

c) Durum denklemlerinin standart biçimini veriniz.

Çözüm:

a) Diferansiyel denklemin sol yanı (1.64) denklemi ile aynıdır. Şekil 56 işaret ak ış diyagramı

bu sol yana ilişkin diyagramdır. (1.59) ve (1.59 a) genel denklemlerine benzer yol ile m = 2, n

=3 olduğundan;

43s2ss

5

s

43s2sss

5

R(s)

C(s) T(s)

23

3

23

3

+++=

+++==

43s2ss

5

U(s)

Y(s) T(s)

23 +++==

][

C

0D

x

xx

101xy

(1.66)..... DuCxcy

u

5

0

0

x

x

x

2

1

0

3

0

1

4

0

0

x

x

x

3

2

1

1

3

2

1

3

2

1

=

==

+==

+

=

−−−

(1.67)..... dt

ud7

dt

du65u4y

dt

dy 3

dt

yd 2

dt

yd2

2

2

2

3

3

++=+++



44

Y(s) = ( 7s2 + 6s + 5 ) x1 (s) ..... (1.68)

U(s) = ( s3 + 2s2 + 3s + 4 ) x1 (s) ..... (1.69)

yazlılır. Şimdi durum değişkenleri olarak :

yazılırsa bu yeni değişkenlerle (1.69)

ve (1.68)

y(s) = 7x3(s) + 6x2(s) + 5x1(s) ..... (1.71)

olur. (1.70) ve (1.71)’e ilişkin işaret ak ış diyagramı Şekil 57’de gösterilmiştir. Diyagramı

çizerken yine sırası ile u , sx3 , x3 , x2 , x1 , y düğümleri alınır ; bundan sonra (1.70) ve (1.71)

denklemleri uyar ınca Şekil 55’e benzer diyagram çizilir. m = 2 ve n= 3’tür.

Ş ekil 57 – Örnek 1.12.2’ye ili şkin i şaret ak ı ş diyagramı

b) Transfer fonksiyonu işaret ak ış diyagramından, bütün kapalı çevrimler bir birine

dokunduğundan, örnek 1.12.1’inki ile aynıdır.

Diyagramda üç ileri yol vardır. Fakat bu ileri yollar kaldır ıldığında kapalı çevrim kalmaz. Bu

nedenle ∆1 , ∆ 2 , ∆ 3 = 1’dir. P’ler ise;

P1 = 7/s P2 = ( 1/s2 ) . 6 P3 = 5/s3 ‘tür. O halde

232

21

1

xy xxy

xxy

xy

•••••••

••

===

==

=

(1.70)..... xU(s)4x-3x-2x-sx 31233

•

→+=

(1.65)..... s

43s2ss )4/s-3/s-2/s(--1

3

2332 +++==∆

3

23

32

n

s43s2ss

5/s6/s7/s

U(s)

Y(s)T

+++++

==



45

olarak bulunur. Aynı transfer fonksiyonu (1.58) de m = 2 , n = 3 , a 0 = 4 , a 1 = 3 , a 2 = 2 , b 0

= 5 , b 1 = 6 , b 2 = 7 yazarak elde edilebileceği gibi, (1.67) diferansiyel denkleminden deLaplace dönüşümü olarak elde edilebilir.

c) Durum denklemleri, (1.63) denklemlerinden elde edilir. hemen söyleyebiliriz ki (A) matrisi

yukar ıdaki örnekte verilmiş olan (A) matrisi ile aynıdır.

elde edilir.

Örnek 1.12.3. Lineer zamanla değişmeyen bir sistemin durum denklemleri:

ya da

olarak veriliyor.

a) Bu denklem sisteminin, ilk koşullar ı sıf ır alarak, Laplace dönüşümünü bulunuz ve durum

diyagramını çiziniz.

b) Sistemin u ile x1 arasındaki transfer fonksiyonunu bulunuz.

c) Sistemin üçüncü mertebeden olan diferansiyel denklemini (x1)’e bağımlı değişken ve t’yi

bağımsız değişken olarak tanımlayabiliriz.

Cçık ışx

girişuu bxa-x

(1.74)..... u bxxa-x

u bxxa-x

1

0103

13112

22121

==

=+=

++=

++=

•

•

•

(1.72)..... 43s2ss

56s7s (s)T

23

2

n+++

++=

)0()D(

x

x

x

)7 6 5(y

DUCXcy

(1.73).....u

0

x

x

x

2-3-4-

100

010

x

x

x

3

2

1

3

2

1

3

2

1

=

=

+==

+

•

•

•

1

0

u.

b

b b

x

xx

00a-

10a-01a-

x

xx

0

1

2

3

2

1

0

1

2

3

2

1

+

•

•

•



46

Çözüm:

yi düğüm alalım. Bundan sonra (1.74)’ün Laplace dönüşümleri;

Ş ekil 58 – Örnek 1.12.3 için durum diyagramı

elde edilir. Bu denklemlerden kolayca Şekil 58’deki durum diyagramı elde edilir.

b) Üç ileri yol ve birbirine değen gözler bulunduğundan;

olur.

(1.76)..... asasas

bs bs b T(s)

s

asasas s

bs bs b

T(s)

s

asasas

s

b P

/sa-/sa-/s(-a-1 s

b P

1 1 1 s

b P

PPP T(s)

012

23

012

2

301

22

3

301

22

301

22

32

3

02

13

021

2

32130

1

332211

+++

++=

+++

++

=

+++=∆=

=∆=

=∆=∆=∆=

∆ ∆+∆+∆=

)

U(s) b(s)xa-(s)x

(1.75)..... U(s) b(s)x(s)xa-(s)x

U(s) b(s)x(s)xa-(s)x

0103

13112

22121

+=

++=

++=

•

•

•

C(s)Y(s)veR(s)u(s),(s)x,(s)x,(s)x,(s)x,(s)x,(s)xa) 332211 ==•••



47

c) x1’e göre diferansiyel denklemi elde etmek için (1.74) denklemlerini göz önüne alal ım.

Birinciden x2’yi çözelim ve ikincide yerine koyalım. Sonra x3’ü çözüp üçüncüde yerine

koyalım.

ya da

elde edilir.

1.13. Paralel Durum Diyagramı ( Jordan Diyagramı )

Bir giriş ve bir çık ışlı sistemin zaman domeninde, giriş işaretinin türevlerinin de bulunması

halinde en genel denklemi (1.56) ile verilmiştir. Aynı sistemin transfer fonksiyonu ise (1.58)

ifadesi ile;

olarak verilmiştir. Yukar ıdaki ifadenin paydasının köklerinin hepsinin de basit kökler

olduğunu kabul edelim. O halde Şekil 55’ten başka biçimde bir durum diyagramı vermek ve

yeni durum değişkenleri tanımlama olanağı vardır. Üstelik, bu halde durum değişkenlerinin

bir birini etkilemediği ve (A) durum matrisinin diagonal ( köşegenel ) matris olduğu

gösterilecektir. Eğer m = n alınırsa, basit köklerin olması halinde basit kesirlere ayırarak;

yazılabilir. Çık ış büyüklüğünün Laplace dönüşümü Y(s) , (1.78) kullanılarak;

ya da durum değişkenlerinin Laplace dönüşümlerini

c)(1.78..... λ-s

U(s)k .....

λ-s

U(s)k

λ-s

U(s)k U(s)k Y(s)

n

n

2

2

1

10 ++++=

b)(1.78..... (s)Gk λ-s

k .....

λ-s

k

λ-s

k k T(s)

n

1k i0

n

n

2

2

1

10 ∑

=

+=++++=

a)(1.78..... asa.....sasas

bs b.....s bs b

U(s)

Y(s) T(s)

012-n

2-n1-n

1-nn

011-m

1-mm

m

+++++

++++==

(1.77)..... dt

ud bdtdu bu bxa

dtdxa

dtxda

dtxd 2

2

210101

121

2

231

3

++=+++

10012111213

11121213

131121212

21212

xau bu bu bxaxaxx

u bxau bxaxx

u bxxa-u bxaxx

u bxaxx

den(1.)'

++−−++=

−+−+=

++=−+=

−+=

••••••••

••••

•••••

•



olarak tanımlarsak çık ışın Laplace dönüşü için

Y(s) = k 0 U(s) + k 1x1(s) + k 2x2(s) + .... + k nxn(s) ..... (1.78 e)

yazılır. Burada n. terimi göz önüne alalım. Bu terimi n. durum değişkeninin Laplace

dönüşümü olarak tanımlayalım:

olur. (1.79) denklemini durum değişkeni cinsinden t domeninde

biçiminde yazabiliriz. Bütün λ1 , λ2 , ..... ler için bu işlem yapılırsa (1.78 a)’nın durum modeli;

olarak bulunur. Buradan (A)’nı

n diagonal olduğu ve

kanonik biçimde yazılan durum modelinde;

dır. Şekil 59’da sistemin paralel durum diyagramı gösterilmiştir.

=

=

=

n

2

1

n

2

1

x

:

x

x

X

1

:

1

1

B

λ.....00

::

0..... λ0

0.....0 λ

A

UBXA X +=•

U

1

:

1

1

x

:

x

x

λ.....00

::

0..... λ0

0.....0 λ

x

:

x

x

n

2

1

n

2

1

n

2

1

+

=

•

•

•

a) (1.80..... (s)X λ U(s)(s)X nnn +=

•

(1.79)..... U(s) λ(s)X-(s)sX daya λ-s

U(s)k (s)X nnn

n

nn ==

d)(1.78..... λ-s

U(s) (s)X..........

λ-s

U(s) (s)X

λ-s

U(s) (s)X

n

n

2

2

1

1 ===

Documents

Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari