KPSS2016ÖABT

SINIFÖĞRETMENLİĞİ

29.Eğitimde

yıl

Pegem AkademiSınav Komisyonu;

2015 KPSS’yePegem Yayınları

ile hazırlanan adayların,40'ın üzerinde soruyu

kolaylıklaçözebildiğini

açıkladı.

TEMEL MATEMATİK

Komisyon

ÖABT Sınıf Öğretmenliği Temel Matematik

ISBN 978-605-318-202-3

Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayın ve satış hakları

Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında

yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.

2. Baskı: 2015, Ankara

Yayın-Proje: Neslihan GürsoyTürkçe Redaksiyon: Şafak Tangıç

Dizgi-Grafik Tasarım: Hilal Sultan

Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı

Baskı: Korza Yay. Basım San. Tic. A.Ş.Yenice mah. No:3 Esenboğa-Ankara

0312 342 22 08

Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 30233

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net

ÖN SÖZ

Sevgili Öğretmen Adayları,

ÖABT Sınıf Öğretmenliği kapsamına giren Temel Matematik dersi konu anlatımlı kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Sınıf Öğretmenliği Temel Matematik" adlı yayınımız Kamu Perso-nel Seçme Sınavı (KPSS) Sınıf Öğretmenliği Alan Bilgisi Dersi Temel Matematik bölümün-deki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.

Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın tara-ması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT’de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedefl enmiştir.

Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açık-lamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir.

Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitapla ilgili görüş ve önerile-rinizi pegem@pegem.net adresini kullanarak bizimle paylaşabilirsiniz.

Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...

Başarılar...

iv

SINIF ÖĞRETMENLİĞİ ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER

ÖABT SINIF ÖĞRETMENLİĞİ, 50 sorudan oluşmakta ve Sınıf Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Temel Matematik, Genel Biyoloji, Genel Fizik, Genel Kimya, Türk Dili, Cumhuriyet Dönemi Türk Edebiyatı, Çocuk Edebiyatı, Uygarlık Tarihi, Türk Tarihi ve Kültürü, Genel Coğrafya, Türkiye Coğrafyası ve Jeopolitiği) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.

Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Sınıf Öğretmenliği Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.

Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Sayısı

Alan Bilgisi Testi % 80 1 - 40

a) Temel Matematik

b) Genel Biyoloji

c) Genel Fizik

d) Genel Kimya

e) Türk Dili

f) Cumhuriyet Dönemi Türk Edebiyatı

g) Çocuk Edebiyatı

h) Uygarlık Tarihi

i) Türk Tarihi ve Kültürü

j) Genel Coğrafya

k) Türkiye Coğrafyası ve Jeopolitiği

% 12

% 6

% 6

% 6

% 12

% 6

% 6

% 6

% 6

% 6

% 8

Alan Eğitimi Testi % 20 41 - 50

Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 2014 - 2015 ÖABT Sınıf Öğretmenliği Sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

v

1. BÖLÜM: KÜMELERKümelerin Gösterilişi................................................3

1. Ortak Özellik Yöntemi ......................................32. Liste Yöntemi ...................................................33. Venn Şeması Yöntemi: ....................................34. Boş Küme ........................................................35. Alt Küme ..........................................................3

Evrensel Küme ........................................................5Kümenin Tümleyeni .................................................5

Özellikler ..............................................................5Kümelerin Kesişimi ..................................................5Kümelerin Birleşimi ..................................................6

Kesişim ve Birleşimin Özellikleri ..........................6İki Küme Farkı .........................................................6

Özellikler ..............................................................7Çözümlü Test ..........................................................8Çözümler ...............................................................10

2 BÖLÜM: SAYILARRakam ...................................................................15Sayı .......................................................................15

Doğal Sayılar .....................................................15Tam Sayılar ........................................................16Rasyonel Sayılar ................................................16İrrasyonel (Rasyonel Olmayan) Sayılar .............16Tek ve Çift Sayılar ..............................................16Pozitif ve Negatif Sayılar ....................................17Ardışık Sayılar....................................................17

Asal Sayılar ...........................................................18Asal Çarpanlarına Ayırma ..................................18Aralarında Asal Sayılar ......................................18

Çözümlü Test ........................................................20Çözümler ...............................................................22

3. BÖLÜM: BASAMAK KAVRAMI VE TABAN ARİTMETİĞİ

Taban Aritmetiği .....................................................2710 Tabanındaki Bir Sayının Herhangi Bir Tabanda Yazılması ...........................................28Herhangi Bir Tabandaki Sayının Başka Bir Tabanda Yazılımı ...................................28

a Tabanındaki Sayının an Tabanındaki Yazılımı ..........................................28

Herhangi Bir Tabana Göre İşlemler .......................29Çözümlü Test ........................................................30Çözümler ...............................................................32

4. BÖLÜM: BÖLME, BÖLÜNEBİLME,OBEB - OKEK

Bölme ve Kalan Özellikleri .....................................37Bölünebilme Kuralları ............................................37

2 ile Bölünebilme................................................37

İÇİNDEKİLER

3 ile Bölünebilme................................................374 ile Bölünebilme................................................375 ile bölünebilme ................................................387 ile Bölünebilme................................................388 ile Bölünebilme................................................389 ile Bölünebilme................................................3811 ile Bölünebilme ..............................................38

OBEB - OKEK .......................................................39Çözümlü Test ........................................................41Çözümler ...............................................................43

5. BÖLÜM: ÜSLÜ VE KÖKLÜ İFADELERÜslü İfadeler ..........................................................47

Üslü İfadelerin Özellikleri ...................................47Köklü İfadeler.........................................................49

Özellikler ............................................................50Çözümlü Test ........................................................53Çözümler ...............................................................55

6. BÖLÜM: ORAN - ORANTIOran ......................................................................59Orantı.....................................................................59

Özellikler ............................................................59Orantı Çeşitleri.......................................................60

1. Doğru Orantı ..................................................602. Ters Orantı .....................................................603. Bileşik Orantı..................................................60

Aritmetik Ortalama .................................................61Geometrik Ortalama ..............................................61Harmonik Ortalama ...............................................61Dördüncü Orantılı ..................................................61Çözümlü Test ........................................................62Çözümler ...............................................................64

7. BÖLÜM: ÇARPANLARINA AYIRMA VE ÖZDEŞLİKLER

Dağılma Özelliği ....................................................69Ortak Çarpan Parantezine Alma............................69Gruplandırma ........................................................69Özdeşlikler .............................................................69

1. İki Kare Farkı..................................................692. Tam Kare........................................................703. Küp Açılımı.....................................................704. İki Küp Toplamı ve Farkı ................................705. Üç Terimli İfadeler ..........................................71

Sadeleştirme..........................................................71Çözümlü Test ........................................................73Çözümler ...............................................................75

vi

8. BÖLÜM: BİRİNCİ DERECEDEN BİRBİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

Birinci Dereceden İki BilinmeyenliDenklem Sistemleri................................................79

1) Yok Etme Metodu ..........................................792) Yerine Koyma Metodu ...................................80

Çözümlü Test ........................................................81Çözümler ...............................................................83

9. BÖLÜM: PROBLEMLER1. Sayı, Kesir Problemleri ......................................87Çözümlü Test ........................................................90Çözümler ...............................................................922. Yaş Problemleri .................................................94Çözümlü Test ........................................................96Çözümler ...............................................................983. İşçi - Havuz Problemleri...................................101Çözümlü Test ......................................................103Çözümler .............................................................1054. Hareket Problemleri .........................................108Çözümlü Test ...................................................... 110Çözümler ............................................................. 1125. Yüzde Faiz Problemleri ................................... 115Çözümlü Test ...................................................... 117Çözümler ............................................................. 1196. Karışım Problemleri .........................................121Çözümlü Test .......................................................123Çözümler .............................................................125

10. BÖLÜM: İKİNCİ DERECEDENDENKLEM VE EŞİTSİZLİK

İkinci Dereceden Denklemin Köklerinin Bulunması ...........................................129

1) Çarpanlara Ayırma Yöntemi ........................1292) Diskriminant Yöntemi ...................................129İkinci Dereceden Denklemin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki Bağıntılar ................130

Kökleri Bilinen İkinci Dereceden Denklemin Yazılımı ..............................................131İkinci Dereceden Eşitsizlikler ...............................131

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler 132İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ..132

Tablo Çizimi .........................................................133Eşitsizlik Sistemleri ..........................................135

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemi Çözmeden Köklerin İşaretinin İncelenmesi ........136İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli DenkleminKöklerinin Bir Reel Sayı ile Karşılaştırılması .......137Çözümlü Test ......................................................138Çözümler .............................................................140

11. BÖLÜM: İKİNCİ DERECEDENFONKSİYONLAR

İkinci Dereceden Bir Fonksiyonun Grafiği (Parabol) ..................................................145

A. Fonksiyonun Tepe Noktası ..........................145B. Fonksiyonun Eksenleri Kestiği Noktalar ......146C. Genel Parabol Grafiği ..................................146Grafiği Verilen Parabolün Denkleminin Bulunması ........................................................148

Çözümlü Test ......................................................150Çözümler .............................................................153

12. BÖLÜM: BAĞINTI VE FONKSİYON

Sıralı İkili ..............................................................157Sıralı İkililerin Eşitliği ........................................157

İki Kümenin Kartezyen Çarpımı ...........................157Kartezyen Çarpımının Özellikleri .....................158

Analitik Düzlem (Dik Koordinat Sistemi) ..............158Bağıntı .................................................................159

Bağıntı Sayısı...................................................159Bağıntının Tersi ................................................160Bağıntının Grafiği .............................................161Bağıntının Özellikleri ........................................161

Denklik ve Sıralama Bağıntısı .............................164Fonksiyon ............................................................165

Fonksiyonun Grafiği .........................................167Fonksiyon Çeşitleri...........................................168Fonksiyon Sayısı..............................................170Bir Fonksiyonun Tersi.......................................170Fonksiyonların Bileşkesi ..................................173Fonksiyonlarda Dört İşlem ...............................175Permütasyon Fonksiyon .................................175Tek ve Çift Fonksiyon .......................................175İki Fonksiyonun Birbiri Cinsinden Ifadesi ........176

Grafik Okuma ......................................................177Çözümlü Test ......................................................178Çözümler .............................................................180

13. BÖLÜM: İŞLEM VE ÖZELLİKLERİİşlem ....................................................................185İşlemin Özellikleri.................................................185

a) Kapalılık Özeliği ...........................................185b) Değişme Özelliği ..........................................186c) Birleşme Özelliği ..........................................186d) Dağılma Özelliği...........................................187e) Birim (Etkisiz) Eleman ..................................187f) Ters eleman ..................................................187g) Yutan Eleman ..............................................188

Grup.....................................................................189Çözümlü Test ......................................................190Çözümler .............................................................192

14. BÖLÜM: ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

Parçalı Fonksiyonlar ............................................197Dört İşlem ............................................................197

vii

Bir Fonksiyonun Tersini Bulma ............................197Parçalı Fonksiyonların Grafiği .............................198Mutlak Değer Fonksiyonu ....................................200

Mutlak Değer Fonksiyonunun Özellikleri..........200Mutlak Değer Fonksiyonun Grafiği...................201

İşaret (Signum) Fonksiyonu.................................201Tam Değer Fonksiyonu........................................204

Tam Değer Fonksiyonunun Özellikleri .............204Tam Değer Fonksiyonunun Grafiği ..................207

Çözümlü Test ......................................................209Çözümler ............................................................. 211

15. BÖLÜM: TRİGONOMETRİ

Yönlü Açılar .........................................................215Birim Çember .......................................................215Açı Ölçü Birimleri .................................................215

Derece .............................................................215Grad .................................................................215Radyan.............................................................215

Açı Ölçü Birimlerinin Birbirine Dönüştürülmesi ....215Esas Ölçü.........................................................216

Trigonometrik Fonksiyonlar .................................217I. Kosinüs ve Sinüs Fonksiyonları ....................217Dar Açıların Sinüs ve Kosinüsleri.....................218II. Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları ..............218III. Sekant ve Kosekant Fonksiyonları..............218Trigonometrik Fonksiyonların Özellikleri ..........219

Trigonometrik Oranlardan Biri VerildiğindeDiğerlerinin Bulunması ........................................224Üçgende Bazı Trigonometrik Teoremler ..............224

1) Kosinüs Teoremi ..........................................2242) Sinüs Teoremi ..............................................2253) Tanjant Teoremi ...........................................226Toplam ve Fark Formülleri ...............................226Yarım Açı Formülleri ........................................2273a'nın Trigonometrik Oranları ..........................229Dönüşüm Formülleri.........................................229Ters Dönüşüm Formülleri .................................230

Çözümlü Test ......................................................231Çözümler .............................................................233

16. BÖLÜM: AÇILAR VE ÜÇGENLER

Geometrik Kavramlar...........................................237Tanımsız Kavramlar .........................................237

Açılar ...................................................................237Açının Ölçüsü...................................................237Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler ..................237Açı Ölçü Birimleri .............................................237Derecenin Alt Birimleri .....................................238Açı Çeşitleri ......................................................238Dar Açı .............................................................238

Dik Açı..............................................................238Geniş Açı .........................................................238Doğru Açı .........................................................238Tam açı ............................................................238Komşu Açılar....................................................238Tümler Açılar....................................................239Bütünler Açılar .................................................239Ters Açılar ........................................................239Paralel İki Doğrunun Bir Kesenile Yaptığı Açılar ...............................................239Paralel İki Doğrunun Birden Çok Kesen ile Meydana Getirdiği Açılar..................................240Kenarları Paralel Açılar ....................................240Kenarları Dik Açılar ..........................................241

Üçgenler ..............................................................242Üçgen Çeşitleri ....................................................242

Açılarına Göre Üçgenler ..................................242Kenarlarına Göre Üçgenler ..............................242

Üçgende Temel ve Yardımcı Elemanlar .............243Yükseklik ..........................................................243Açıortay ............................................................243Kenarortay .......................................................243

Üçgende Açılar ile İlgili Özellikler ........................244Dik Üçgen ........................................................246Pisagor Teoremi ...............................................246Öklid Bağıntıları ...............................................247Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler ...............248Açılarına Göre Dik Üçgenler ............................249

Üçgende Açıortay Teoremleri ..............................250İç Açıortay Teoremi ..........................................250Dış Açıortay Teoremi........................................251

Üçgende Kenarortay Teoremleri ..........................251Ağırlık Merkezi .................................................251Kenarortay Bağıntıları ......................................253

İkizkenar Üçgen ...................................................253Eşkenar Üçgen ....................................................255Üçgende Alan ......................................................257Üçgende Benzerlik ..............................................259

Açı - Açı - Açı Benzerlik Kuralı .........................259Tales Teoremi ...................................................261Temel Orantı Teoremi.......................................261Çapraz Tales Teoremi ......................................261Ters Orantılı Uzunluk Bağıntısı ........................262Kenar - Açı - Kenar Benzerlik Kuralı ................262Kenar - Kenar - Kenar Benzerlik Kuralı............262Üçgende Açı - Kenar Bağıntıları ......................263Üçgen Eşitsizliği ...............................................264

Çözümlü Test - 1..................................................267Çözümlü Test - 2..................................................269Çözümler - 1 ........................................................271Çözümler - 2 ........................................................274Cevaplı Test - 1....................................................277Cevaplı Test - 2....................................................279

viii

17. BÖLÜM: ÇOKGENLER VE DÖRTGENLERÇokgenler ............................................................283

Dışbükey ve İçbükey Çokgenler ......................283Düzgün Çokgenler ...............................................284Dörtgenler ............................................................287Dörtgenlerde Alan................................................288Paralelkenar ........................................................288

Paralelkenarda Alan.........................................289Paralelkenarda Alan Özellikleri ........................290Paralelkenarda Uzunluk ile İlgili Özellikler .......291

Eşkenar Dörtgen..................................................291Dikdörtgen ...........................................................292Kare .....................................................................293

Yamuk ..............................................................294İkizkenar Yamuk ...............................................295

Dik Yamuk ...........................................................296Deltoid .................................................................297Çözümlü Test .......................................................298Çözümler .............................................................300Cevaplı Test ........................................................302

18. BÖLÜM: ÇEMBER VE DAİREÇemberde Açı......................................................307

Çemberde Yardımcı Elemanlar ........................307Çemberde Yay ve Açı Özellikleri ......................308Merkez Açı .......................................................308Çevre Açı .........................................................308Teğet Kiriş Açı ..................................................309İç Açı ................................................................310Dış Açı .............................................................310

Çemberde Kiriş Yay Özellikleri ............................ 311Kirişler Dörtgeni ................................................... 311Çemberde Uzunluk .............................................. 311Bir Noktanın Bir Çembere Göre Kuvveti .............. 311Kuvvet Ekseni ......................................................313İki Çemberin Ortak Teğetleri ................................314İki Çemberin Birbirine Göre Durumları ................315Üçgenin Çemberleri .............................................316

Üçgenin İç Teğet Çemberi................................316Üçgenin Dış Teğet Çemberi .............................316

Teğetler Dörtgeni .................................................317Dairede Alan ........................................................317

Dairenin Alanı ve Çevresi ................................317Daire Diliminin Alanı.........................................317Çember Yayının Uzunluğu ...............................317

Daire Kesmesinin Alanı .......................................318Daire Halkasının Alanı .........................................318Çemberde Benzerlik ............................................319Cevaplı Test .........................................................320

19. BÖLÜM: DOĞRU VE NOKTA ANALİTİĞİNoktanın Analitik İncelenmesi .............................325Analitik Düzlem ....................................................325İki Nokta Arasındaki Uzaklık ................................326Doğrusal Noktalar ................................................326Bir Doğru Parçasının Orta NoktasınınKoordinatlarının Bulunması .................................327Paralelkenarın Köşe NoktalarınınKoordinatlarının Bulunması .................................327

Doğrusal Olmayan Noktalar ................................328Doğrunun Analitik İncelenmesi ............................330

Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi ........................330Doğru Grafiğinin Çizimi........................................332Doğrunun Denklemleri .........................................332Özel Doğrular ......................................................334İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları ................334Doğru Demeti ......................................................336Simetriler .............................................................337

Noktanın Simetriği............................................337Doğrunun Simetriği ..........................................340

Eşitsizlikler ...........................................................341Cevaplı Test .........................................................343

20. BÖLÜM: KATI CİSİMLERKatı Cisimler ........................................................347Prizma .................................................................347

Dikdörtgenler Prizması.....................................348Küp...................................................................349Silindir ..............................................................349Dönel Silindir ....................................................350

Piramit .................................................................351Düzgün Piramit ................................................351Kesik Piramit ....................................................352

Koni .....................................................................352Küre .....................................................................353Cevaplı Test .........................................................354

21. BÖLÜM: ÇEMBER ANALİTİĞİÇember Analitiği ..................................................359Çember Denklemi ................................................359Genel Çember Denklemi .....................................360Teğet ve Normal Denklemleri ..............................361Doğru İle Çemberin Birbirine Göre Durumları .....361Nokta İle Çemberin Birbirine Göre Durumları ......361Çembere Göre Kuvvet .........................................362İki Çemberin Birbirine Göre Durumları ................362Çözümlü Test .......................................................363Çözümler .............................................................364Cevaplı Test .........................................................365

22. BÖLÜM: KONİKLERElips .....................................................................369

Elipsin Denklemi ..............................................369Elipsin Parametresi ..........................................369Elipsin Dış Merkezi ve Basıklığı .......................370Elipsin Doğrultmanları ......................................370Elipsin Alanı .....................................................370

Parabol ................................................................370Parabolün Denklemi.........................................371

Hiperbol ...............................................................371Hiperbolün Denklemi........................................372Hiperbolün Parametresi ...................................372İkizkenar Hiperbol ............................................373Hiperbolün Doğrultmanları ...............................373Hiperbolün Dış Merkezliği ................................373

Çözümlü Test .......................................................374Çözümler .............................................................375

KAYNAKLAR........................................................376

1. BÖLÜMKÜMELER

3

KÜMELER

Küme kavramının tanımı olmamakla beraber, küme de-nilince, belli (iyi tanımlanmış) ögelerden meydana gelmiş anlamlı nesneler topluluğuna küme denir.

Bir kümeyi meydana getiren ögelerin her birine kümenin elemanı denir ve "! " sembolü ile gösterilir. Kümeye ait ol-mayan elemanlar "∉" elemanı değil sembolü ile gösterilir.

Bir A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.

Küme içerisinde tekrarlı eleman bulunmaz. Kümenin elemanlarının, küme içerisinde yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez.

Kümelerin Gösterilişi

1. Ortak Özellik Yöntemi

Kümenin elemanlarının ortak özelliklerini belirterek, küme ifade edilir.

Örnek

i. A kümesi, mutlak değerce 6'dan küçük tam sayıların kümesi ise

A x: x 6,x Z1 != $ .

ii. B kümesi, ardışık tek sayıların kümesi ise,

B x:x 2n 1,n Z!= = -$ . ile gösterilir.

2. Liste Yöntemi

Kümenin elemanları, { } sembolünün içine birbirinden vir-gülle ayrılarak yazılır.

Örnek

A kümesi bir basamaklı tek doğal sayılar ise A 1,3,5,7,9= $ . ile gösterilir.

3. Venn Şeması Yöntemi:

Kümenin elemanları, kapalı bir eğri içinde, elemanların yanına nokta konularak yazılır.

Örnek

A kümesi, rakamların oluşturduğu kümesi ise

A

.0

.3

.1

.4

.6 .7

.5

.2

.9

.8

şeklinde gösterilir.

4. Boş Küme

Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme, $ . veya ∅ şeklinde gösterilir.

Örnek

A x:x 4 0, x R2!= + =' 1 kümesi x2 + 4 > 0 olduğundan

boş kümedir.

A = $ . veya A ,s A 0Q= =` j 'dır.

5. Alt Küme

A ve B iki küme olmak üzere, B kümesinin her elemanı A kümesinin de elemanı ise B kümesi A kümesinin alt kümesidir veya A kümesi B kümesini kapsar denir.

B A veya A B1 2 şeklinde gösterilir.

:1 alt küme sembolü

:2 kapsar sembolü

Örnek

i.

A

B

.a

.1

.2

.3

.b A B1 'dir.

ii. A 1,2,3= $ . kümesinin alt kümeleri

, , , , , , , , , , , ,1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3$ $ $ $ $ $ $ $. . . . . . . . olmak

üzere, 8 tanedir.

i. Her küme kendisinin alt kümesidir. A A1

ii. Boş küme, her kümenin alt kümesidir. AQ 1

Not

4

Alt Küme Sayısı

n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n dir.

Örnek

A a,1, 1 ,2, 1,2 , ,7Q= ' $ $. . 1

kümesinin kaç tane alt kümesi vardır?

A) 16 B) 32 C) 64

D) 128 E) 256Çözüm

A kümesi 7 elemanlı bir küme olduğundan alt küme sayısı 27=128'dir

Cevap D

Örnek

A 1,2,3,4,5,6= $ .

kümesinin, alt kümelerinin kaç tanesinde 1 elemanı bulunur, 2 elemanı bulunmaz?

A) 8 B) 16 C) 24

D) 32 E) 48Çözüm

Alt kümelerin içinde 2 elemanın bulunması istenmi-yorsa 2 kümeden atılır, 1 elemanı bulunacak ise 1 kü-meden çekilir ve kalan , , ,3 4 5 6$ .elemanları ile 24=16 tane alt küme yazılır. Bu alt kümelerin içine 1 elemanı dâhil edildiğinde, alt küme sayısı değişmez. O hâlde 16 alt kümede 1 bulunur, 2 bulunmaz

Cevap B

n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kü-melerinin sayısı n'in r'li kombinasyo-nu ile bulunur. n'in r'li kombinasyonu

C n,r rn

n r ! r!n!

:= =

-` c

`j m

j'dir.

i. 0n

nn 1= =c cm m

ii. 1n

n 1n n= - =c cm m

iii. rn

kn n r k veya r k'dir&= = + =c cm m

iv. 0n

1n

2n ... n

n 2 'dirn+ + + + =c c c cm m m m

v. n 1r 1

n 1r

nr

--

+-

=e e eo o o

Not

Örnek

A a,b,c,d,e= $ .

kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaçında a bulunur?

A) 24 B) 18 C) 12

D) 8 E) 6Çözüm

a elemanı alt kümelerde bulunacak ise a kümeye yer-leştirilir ve diğer 4 elemandan a nın yanına herhangi 2 eleman seçilir.

a, ,- -$ . , , ,b c d e$ .

24

2! 2!4!

2 224 6'dı .r

: := = =e o

Cevap E

Örnek

A = {a, b, c, d, e}

kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaçında a bulunur, b bulunmaz?A) 24 B) 18 C) 12 D) 6 E) 3

Çözüm

Alt kümelerde a bulunacak, b bulunmayacak ise a kü-meye yerleştirilip b kümeden atıldığında kalan 3 ele-mandan a nın yanına 2 eleman seçilir.

a, ,- -$ . , ,c d e$ .

23

2! 1!3!

26 3

:= = =e o tür.

Cevap E

Özalt Küme

Bir kümenin kendisinden farklı alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir.

Örnek

A a,b= $ . kümesinin özalt kümeleri; , ,a b Q$ $. . olmak üzere 3 tanedir.

5

Özalt Küme Sayısı

n elemanlı bir kümenin özalt kümelerinin sayısı 2 1'dirn -

Örnek

Bir kümenin alt kümelerinin ve özalt kümeleri-nin eleman sayıları toplamı 31 oduğuna göre, bu kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16

Çözüm

Küme n elemanlı olsun.

O hâlde 2 2 1 31 2 2 32

2 16n 4

n n n

n&

&

&

:+ - = =

==

` j

tür.

4 elemanlı kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı

24

2! 2!4!

424 6'dır.

:= = =e o

Cevap B

Evrensel KümeTüm kümeleri kapsayan ve üzerinde işlem yapılabilen en geniş kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir.

Örnek

A B E

C

Kümenin TümleyeniA kümesi, E evrensel kümesinin alt kümesi olsun. Evren-sel kümeye ait olup, A kümesine ait olmayan elemanların kümesine A'nın tümleyeni denir ve , ,A A Acý ile gösterilir.

A x:x E ve x Aıg!= $ . ile gösterilir.

AA'

E

Özellikler

1. EıQ=

2. EıQ =

3. A Aı ı =` j

4. A A Eı, =

5. A Aı+ Q=

6. A B B Aý ý&1 1

7. s A s A s Eı+ =` ` `j j j

Örnek

A EB

.a .c .f

.g

.h.d

.e

.b

Aı={f,g,h}Bı={c,d,e,f,g,h}

' ý .A B ve B A d rý ý1 1

Kümelerin Kesişimi

A ve B iki küme olmak üzere, A'nın ve B'nin ortak ele-manlarının oluşturduğu kümeye A kesişim B kümesi de-nir ve A B+ ile gösterilir.

A B x:x A ve x B dir.+ ! != $ .

A B+ A B A'dır.+ =

A

A

B B

A ile B'nin kesişimi boş küme ise A ile B'ye ayrık kümeler denir.

A B A ileB&+ Q= ayrık kümelerdir.

Not

A B

A B+ Q= A ile B ayrık küme

6

Kümelerin Birleşimi

A ve B iki küme olmak üzere, bu iki kümenin elemanla-rının oluşturduğu yeni kümeye A ile B nin birleşimi denir ve A B, ile gösterilir.

A B x:x A veya x B 'dir., ! != $ .

A B, A B B'd r.i, =

ABA B

Kesişim ve Birleşimin Özellikleri1. Kesişim ve birleşimin değişme özelliği vardır.A B B AA B B A'dır.+ +

, ,

==

2. Kesişim ve birleşimin birleşme özelliği vardır.

A B C A B C

A B C A B C'dir.

+ + + +

, , , ,

=

=

`

`

`

`

j

j

j

j

3. Kesişim ve birleşimin birbiri üzerine dağılma özelliği vardır.

A B C A B A C

A B C A B A C 'dir.

+ , + , +

, + , + ,

=

=

`

`

`

`

`

`

j

j

j

j

j

j

4. De Morgan kuralı

A B A B

A B A B dır.

ı ı ı

ı ı ı

+ ,

, +

=

=

`

`

j

j

5. A , A E A , A A AA A , A E E , A A A+ + +

, , ,

Q Q

Q

= = == = =

6. s A B s A s B s A B, += + -` ` ` `j j j j

7.

s A B C s A s B s C s A B s A C

s B C s A B C

, , + +

+ + +

= + + - -

- +

`

`

` `

`

` ` `j j

j

j j

j

j j

Örnek

A A B A Bý ý ý+ + , +` j; 8E B

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?A) A B) B C) Q D) E E) Aı

Çözüm

A A B A B A A B A B

A A A B A B

A B A B

B A AB EB'dir

ı ı ı ı ı

ı ı

ı

ı

+ + , + + , , +

+ , + + +

, + , +

+ ,

+

Q

=

=

=

===

` `

c`

`

`

c `

`

`

`

`j j

j

j

j

j

j

m

m

j

j

j; E

Cevap B

Örnek

Bir sınıftaki öğrenciler matematik veya Türkçe dersinden geçmişlerdir. Matematikten geçenler sınıfın %60, Türkçeden geçenler sınıfın %80'i olduğuna göre, her iki dersten geçenler sınıfın yüzde kaçıdır?A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 40

Çözüm

Sınıfın tamamı 100x olsun.

Matematikten geçenler %60 & 60x

Türkçeden geçenler %80 & 80x'dir.

s M T s M s T s M T

100x 60x 80x s M T

s M T 40x'dir.&

, +

+

+

= + -

= + -

=

`

`

` `

`

`j

j

j j

j

j

O hâlde sınıfın %40'ı her iki dersten de başarılıdır.

Cevap E

İki Küme FarkıA ve B iki küme olmak üzere, A kümesine ait olup B kü-mesine ait olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A fark B kümesi denir ve A\B veya A − B ile gösterilir.

A B x:x A ve x B dir.= g!= $ .

A B= B A= B A=

ABA B

7

Özellikler

1. A B A Bı= +=

2. s A B s A B s B A s A B dir., = = += + +` ` ` `j j j j

3. A B B A A B simetrik fark= , = 3=` ` `j j j

Örnek

A B C

.a

.b.c

.d .g

.e .h.f

Yukarıdaki şekle göre, s B A B C= + =` `c j jmkaçtır?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

Çözüm

B A d,e, f

B C c,d,e

B A B C d,e dir.

=

=

= + =

=

=

=` `j j

$

$

$

.

.

.

O hâlde s B A B C 2= + = =c` `j jm bulunur.

Cevap E

Örnek

A a,b,c ve B a,b,c,d,e, f= =$ $. . kümeleri veriliyor.Buna göre, B A= kümesinin 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

Çözüm

B A d,e, f= = $ . dir. s B A 3= =` j ise bu kümenin 2 ele-

manlı alt küme sayısı 23

2!1!3! 3= =e o bulunur.

Cevap C

Örnek

A B Bý

= +` j; E kümesinin eşiti aşağıdakilerden

hangisidir?

A) A B) B C) ∅ D) E E) A

Çözüm

A B A B dir.

A B B A B

A B B B B dirA

dir.

A B B E bulunur.

Bı ı

ı ı

ı

ı= +

= + + +

+ + +

+

= +

Q

Q

Q

Q

=

=

= ===

= =

`

c`

`

` `

j

j m

j

j j

Cevap D

Örnek

s A B 2s B A 3s A B= = += =` ` `j j j

olmak üzere, s A B 22, =` j ise A kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 18

Çözüm

s A B s B A s A B2 3k k k6 3 2

= += =` ` `j j j1 2 344 44 1 2 344 44 1 2 344 44

( ) ( ) ( ) ( )22 6k 3k 2k11k 22 k 'dir.

s A B s A B s B A s A B

2&

, = = +

= + += =

= + +

O hâlde s A s A B s A B= += +` ` `j j j

6k 2k8k16 bulunur.

= +==

Cevap D