krutog tijela Eulerove jednadžbe - phy.pmf.unizg.hrtniksic/Klasicna/I/biljeske/dinamika2.pdf · Dinamika gibanja krutog tijela Eulerove jednadžbe Slobodan simetrican zvrkˇ Opis

Dinamika gibanjakrutog tijela

Eulerovejednadžbe

Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav

Opis gibanja u odnosu nazvrk

Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja

Nutacija i precesija

Uspavani zvrk

Eulerove jednadžbe

• gibanje zvrka možemo opisati iz sustava ukojem zvrk miruje tj. s obzirom na promatracafiksiranog na zvrku

• trebamo povezati vremenske promjene vektora~A u vanjskom sustavu (O′) i sustavu zvrka (O)

• ako je vremenska promjena vektora ~A u sustavuzvrka jednaka

• veza vremenske promjene vektora ~A u vanjskomsustavu i sustavu zvrka glasi

d~Adt

=d ′~Adt

+ ~Ω × ~A (1)

Derivacije...


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• koordinatni sustav vezan uz zvrk biramo tako davrijedi

• ishodište sustava je u centru mase zvrka• osi sustava se poklapaju s glavnim osima zvrka

• jednadžbe gibanja zvrka

d~Pdt

=d ′~Pdt

+ ~Ω × ~P = ~F (2)

d ~Mdt

=d ′ ~Mdt

+ ~Ω × ~M = ~N (3)

• koristimo oznake: x , y , z → 1, 2, 3• impuls zvrka: ~P = µ~V• zakretni impuls zvrka: ~M = I~Ω


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• promotrimo prvo jednadžbu (2)• prvi clan na lijevoj strani

d ′~Pdt

=d ′P1

dt~i +

d ′P2

dt~j +

d ′P3

dt~k

= µd ′V1

dt~i + µ

d ′V2

dt~j + µ

d ′V3

dt~k (4)

• drugi clan na lijevoj strani(

~Ω × ~P)

k=

∑

ij

ǫijkΩiPj (5)

(

~Ω × ~P)

1= Ω2P3 − Ω3P2 (6)

(

~Ω × ~P)

2= Ω3P1 − Ω1P3 (7)

(

~Ω × ~P)

3= Ω1P2 − Ω2P1 (8)


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• jednadžbu (2) možemo napisati u sljedecemobliku

d ′V1

dt+ Ω2V3 − Ω3V2 =

F1

µ(9)

d ′V2

dt+ Ω3V1 − Ω1V3 =

F2

µ(10)

d ′V3

dt+ Ω1V2 − Ω2V1 =

F3

µ(11)

• još je preostala jedn. (3)• osi sustava se poklapaju s glavnim osima zvrka

pa vrijedi

~M = M1~i+M2

~j+M3~k = I1Ω1

~i+I2Ω2~j+I3Ω3

~k (12)


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• racunamo vektorski produkt(

~Ω × ~M)

k=

∑

ij

ΩiMjǫijk =∑

ij

Ωi IjΩjǫijk (13)

(

~Ω × ~M)

1= Ω2Ω3 (I3 − I2) (14)

(

~Ω × ~M)

2= Ω1Ω3 (I1 − I3) (15)

(

~Ω × ~M)

3= Ω1Ω2 (I2 − I1) (16)

• jedn. (3) svela se na

I1d ′Ω1

dt+ Ω2Ω3 (I3 − I2) = N1 (17)

I2d ′Ω2

dt+ Ω1Ω3 (I1 − I3) = N2 (18)

I3d ′Ω3

dt+ Ω1Ω2 (I2 − I1) = N3 (19)


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• izraze (9-11) i (17-19) zovemo Eulerovejednadžbe

• jedn. (9-11) opisuju gibanje tocke vanjskogsustava u odnosu na zvrk

• jedn. (17-19) opisuju vrtnju okoline u odnosu nazvrk


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

Slobodan simetrican zvrk• dvije od tri glavne vrijednosti tenzora tromosti su

jednakeI1 = I2 6= I3 (20)

• zvrk je slobodan pa ukupan moment sileišcezava

• gledano iz vanjskog sustava moment kolicinegibanja je konstanta

~M = 0 =⇒ ~M = konst. (21)

• vanjski sustav možemo orjentirati tako da vrijedi

~M = M~k ′ (22)


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

φ

θ

ψ

x ′

y ′

z ′

~n

x

yz

~M

• osi y i z se nalaze uistoj ravnini kao vektorzakretnog impulsa ~M

=⇒ M1 ≡ Mx = 0

• promotrimo zvrk utrenutku kada se os xpoklapa s cvornimpravcem ~n

• tada vrijedi ψ = 0

φ

θ

x ′

y ′

z ′

x = ~n

yz

~M


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• osi xyz se poklapaju s glavnim osima zvrka pavrijedi

~M = I1Ω1~i + I2Ω2

~j + I3Ω3~k (23)

• komponente kutne brzine u sustavu zvrka

Ω1 = θ cosψ + φ sin θ sinψ (24)

Ω2 = −θ sinψ + φ sin θ cosψ (25)

Ω3 = ψ + φ cos θ (26)

• projekcija zakretnog impulsa na os x išcezavapa vrijedi

M1 = I1Ω1 = I1θ = 0 =⇒ θ = 0 (27)


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

y

z

~Mθ

M2

M3

• promatramo ravninu yz• projekcije zakretnog

impulsa na glavne osi zvrka

M2 = M sin θ (28)

M3 = M cos θ (29)

• uvrstimo ψ = 0 u komponente kutne brzine (25) i(26)

M2 = I2Ω2 = I2φ sin θ = M sin θ =⇒ φ =MI2

(30)

M3 = I3Ω3 = I3(

ψ + φ cos θ)

= M cos θ (31)


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• zvrk je po pretpostavci simetrican pa vrijedi

I1 = I2 ≡ I (32)

• izbor glavnih osi x i y je zbog degeneracijeI1 = I2 proizvoljan

• u svakom trenutku sustav možemo izabrati takoda se cvorni pravac poklapa s glavnom osi x

• stoga iz jedn. (27) slijedi

θ = konst. (33)

• kut izmedu glavne osi zvrka s momentomtromosti I3 i vektora momenta kolicine gibanja ~Mje konstantan


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• jedn. (30) daje brzinu precesije zvrka• glavna os zvrka s momentom tromosti I3 vrti se

oko vektora momenta kolicine gibanja ~Mkonstantnom kutnom brzinom

φ =MI

(34)

• jedn. (31) daje kutnu brzinu kojom se zvrk vrtioko svoje glavne osi s momentom tromosti I3

Ω3 =M3

I3=

M cos θI3

(35)

• kut θ je konstantan pa je i kutna brzina Ω3

konstantna• brzina promjene kuta ψ

ψ = Ω3I − I3

I= M cos θ

I − I3II3

(36)


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

Iz prethodnih razmatranja možemo izvesti sljedecezakljucke

• uz odabir~i = ~n vektor kutne brzine nalazi se uravnini definiranoj osima z i z ′

~Ω = Ω2~j + Ω3

~k =M sin θ

I~j +

M cos θI3

~k (37)

• ravnina zz ′, a to znaci i vektori ~k i ~Ω, vrte sekonstantnom kutnom brzinom φ = M/I okovektora momenta kolicine gibanja ~M

• zvrk se pritom vrti kutnom brzinom Ω3 oko osi ~k


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• do istih zakljucaka možemo doci koristeciLagrangeov formalizam

• zvrk je slobodan pa je Lagrangian jednakkinetickoj energiji

T =12

[

I(

Ω21 + Ω2

2

)

+ I3Ω23

]

(38)

• uvrstimo jedn. (24-26)

L = T =12

[

I(

θ2 + φ2 sin2 θ)

+ I3(

ψ + φ cos θ)2

]

(39)• primjetimo da Lagrangian ne ovisi o kutu ψ zbog

degeneracije I1 = I2 ≡ I


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• Lagrangian (39) ima dvije ciklicke varijable: φ i ψ• pripadni generalizirani impulsi su konstante

gibanja

pφ =∂L

∂φ= I sin2 θφ+ I3(ψ + φ cos θ) cos θ (40)

pψ =∂L

∂ψ= I3(ψ + φ cos θ) (41)

• promotrimo impuls pφ

pφ = I sin θφ sin θ + I3(ψ + φ cos θ) cos θ (42)

• uz odabir~i = ~n tj. ψ = 0 slijedi

pφ = IΩ2 sin θ + I3Ω3 cos θ = Mz′ (43)


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• vanjski sustav orjentiramo tako da vrijedi~M = M~k ′

=⇒ pφ = |~M| ≡ M (44)

• impuls pψ je ocito jednak projekciji vektoramomenta kolicine gibanja na glavnu os zvrka smomentom tromosti I3

=⇒ pψ = M3 = M cos θ (45)

• M3 i M su konstante gibanja pa vrijedi

cos θ =M3

M= konst. (46)

• kut izmedu osi simetrije zvrka i vektoramomenta kolicine gibanja je konstantan


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• da bi opisali gibanje u odnosu na promatracavezanog uz zvrk koristimo Eulerove jednadžbe

• u slucaju slobodnog simetricnog zvrka one glase

IΩ1 + (I3 − I)Ω2Ω3 = 0 (47)

IΩ2 + (I − I3)Ω1Ω3 = 0 (48)

I3Ω3 = 0 (49)

• vremenske derivacije Ω1, Ω2 i Ω3 odnose se napromatraca vezanog uz zvrk

• iz jedn. (49) slijedi

Ω3 = 0 =⇒ Ω3 = konst. (50)

• koristimo oznaku

ω ≡ Ω3I3 − I

I(51)


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• prve dvije Eulerove jednadžbe svode se na

Ω1 + ωΩ2 = 0 (52)

Ω2 − ωΩ1 = 0 (53)

• deriviramo prvu jednadžbu po vremenu

Ω1 + ωΩ2 = 0 (54)

• uvrstimo Ω2 iz druge jednadžbe

Ω1 + ω2Ω1 = 0 (55)

• dobili smo jednadžbu harmonickog oscilatora• jedno moguce rješenje glasi

Ω1 = Ω0 cosωt i Ω2 = Ω0 sinωt (56)


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• komponenta kutne brzine oko glavne osi smomentom tromosti I3 je konstantna

• ostale dvije komponente osciliraju pa njihovvektorski zbroj

Ω1~i + Ω2

~j = Ω0

[

cosωt~i + sinωt~j]

(57)

rotira u ravnini odredenoj osima s momentomtromosti I i pritom zadržava stalnu duljinu

Ω0 =√

Ω21 + Ω2

2 (58)

• kutna brzina te rotacije iznosi

ω = Ω3I3 − I

I(59)


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

Skica ravnine xy :

x

y

Ω1~i + Ω2

~j

Ω1

Ω2 φ = ωt

• gledano iz sustava zvrka, vektor kutne brzinerotira oko osi z kutnom brzinom ω

•


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• zakretni impuls zvrka

~M = I(

Ω1~i + Ω2

~j)

+ I3Ω3~k (60)

• u sustavu zvrk vektor zakretnog impulsa rotiraoko osi z kutnom brzinom ω


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

Simetrican zvrk u poljusile teže

• promatramo simetrican zvrk na podlozi koji sevrti tako da mu je tocke kojom dodiruje podlogufiksna

• tocu dodira s podlogom odaberemo za ishodištevanjskog sustava

• os z ′ vanjskog sustava orjentiramo tako davrijedi

~g = −g~k ′ (61)

• primjetimo da zakretni impuls zvrka ~M više nijekonstanta jer na zvrk djeluje moment sile teže


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• sustav vezan uz zvrk orjentiramo tako da se osz poklapa s osi simetrije zvrka

φ

θ

ψ

x ′

y ′

z ′

~n

x

yz

c.m.

µ~g

• udaljenost centramase od fiksne tockeiznosi a

• momenti tromosti uodnosu na fiksnutocku

I ′ = I + µa2 i I3

• potencijalna energija zvrka

U = µgz ′

c.m. = µga cos θ (62)


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• kao generalizirane koordinate koristimoEulerove kuteve

• Lagrangian zvrka

L = T − U

=I ′

2

(

θ2 + φ2 sin2 θ)

+I32

(

ψ + φ cos θ)2

− µga cos θ (63)

• kao i u slucaju slobodnog simetricnog zvrkaLagrangian ne ovisi o kutevima ψ i φ

• pripadni generalizirani impulsi su konstantegibanja

pψ =∂L

∂ψ= I3(ψ + φ cos θ) (64)

pφ =∂L

∂φ= (I ′ sin2 θ + I3 cos2 θ)φ+ I3ψ cos θ

(65)


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• generalizirani impuls pψ odgovara projekcijizakretnog impulsa duž glavne osi zvrka z, dokpφ odgovara projekciji zakretnog impulsa na osz ′ vanjskog sustava

pψ = M3 i pφ = Mz′ (66)

• našli smo dvije konstante gibanja: M3 i Mz′

• treca konstanta gibanja je energija jerLagrangian ne ovisi eksplicitno o vremenu

E = T + U

=I ′

2

(

θ2 + φ2 sin2 θ)

+I32

(

ψ + φ cos θ)2

+ µga cos θ (67)

• trebamo eliminirati ψ i φ iz prethodnog izraza


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• iz jedn. (64) izrazimo ψ

ψ =M3

I3− φ cos θ (68)

• uvrstimo ψ u jedn. (65)

Mz′ = I ′ sin2 θφ+M3 cos θ =⇒ φ =Mz′ − M3 cos θ

I ′ sin2 θ(69)

• eliminiramo φ i ψ iz kineticke energije

I ′

2φ2 sin2 θ =

(Mz′ − M3 cos θ)2

2I ′ sin2 θ(70)

I32

(

ψ + φ cos θ)2

=M2

3

2I3(71)


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• energija zvrka sada ovisi samo o kutu θ ipripadnoj generaliziranoj brzini θ

E =I ′

2θ2 +

(Mz′ − Mz cos θ)2

2I ′ sin2 θ+

M23

2I3+ µga cos θ

(72)

=I ′

2θ2 +

M23

2I3+ Ueff (θ) (73)

• problem zvrka s tri stupnja slobode smo sveli nagibanje u jednodimenzionalnom efektivnompotencijalu

Ueff (θ) =(Mz′ − Mz cos θ)2

2I ′ sin2 θ+ µga cos θ (74)


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• problem dalje možemo rješavati kvadraturom

E =I ′

2θ2 + Ueff (θ) +

M23

2I3

=⇒dθdt

=2I ′

[

E −M2

3

2I3− Ueff (θ)

]

=⇒ t =

∫

dθ[

2I′

(

E −M2

32I3

− Ueff (θ))]1/2

(75)

• kvalitativne zakljucke o gibanju možemo izvestikoristeci supstituciju

cos θ ≡ u , −1 ≤ u ≤ 1 (76)

=⇒ − sin θθ = u =⇒ θ2 =u2

1 − u2(77)


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• energija zvrka (72) svodi se na

E =I ′

2u2

1 − u2+

M23

2I3+

I ′

2

(

Mz′

I′ − M3I′ u

)2

1 − u2+ µgau

(78)• uvodimo supstitucije

Mz′

I ′≡ mz i

M3

I ′≡ m3 (79)

E =I ′

2u2

1 − u2+

M3

2I3+

I ′

2(mz − m3u)2

1 − u2+µgau (80)

=⇒ u2 =2I ′

(

1 − u2)

[

E −M2

3

2I3

]

−2µga

I ′u

− (mz − m3u)2 (81)


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• daljnje supstitucije

2µgaI ′

≡ β > 0 i2I ′

(

E −M2

3

2I3

)

≡ α (82)

=⇒ u2 = (α− βu)(1 − u2) − (mz − m3u)2 (83)

• u može poprimiti samo one vrijednosti za koje jedesna strana prethodnog izraza pozitivna ipritom vrijedi −1 ≤ u ≤ 1

f (u) ≡ (α−βu)(1−u2)− (mz −m3u)2 ≥ 0 (84)

• f (u) je kubna funkcija za koju vrijedi

f (u → +∞) → +∞ (85)

f (u → −∞) → −∞ (86)

f (±1) = −(mz − m3u)2 ≤ 0 (87)


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• funkcija f (u) u intervalu −1 ≤ u ≤ 1 može imatinijednu, jednu ili dvije nultocke

• treca moguca nultocka nalazi se u podrucjuu > 1

• promotrimo slucaj dvije nultocke u intervalu−1 ≤ u ≤ 1

u

f (u)

−1 +1u1 u2 u3


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• zvrk se može gibati samo u podrucju u kojemvrijedi

f (u) =⇒ u1 ≤ u ≤ u2 (88)

• kut θ se mijenja periodicno izmedu vrijednosti

θ2 = arccos u2 ≤ θ ≤ θ1 = arccos u1 (89)

• periodicna promjena smjera glavne osi premavertikali tj. kuta θ naziva se nutacija

• promjenu azimutalnog položaja glavne osi z (kutφ) možemo izracunati koristeci jedn. (69)

φ =Mz′ − M3 cos θ

I ′ sin2 θ=

mz − m3u1 − u2

(90)


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• nazivnik jedn. (90) je cijelo vrijeme pozitivan,dok brojnik mijenja predznak u tocki

u0 =mz

m3(91)

• ako je u0 izvan podrucja dostupnog zvrku(u1 ≤ u ≤ u2), φ tokom gibanja zadržava stalnoisti predznak

• os zvrka u tom slucaju precesira monotono

• putanja probodišta glavneosi sa sferom koja imacentar u ishodištu O

• nagib glave osi z premavertikali se mijenja izmeduθ1 i θ2


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• glavna os se istovremenovrti oko vertikale kutnombrzinom φ koja stalno imaisti smjer

• zvrk precesira monotono

• ako se u0 nalazi unutar intervala [u1, u2], brzinaφ mijenja predznak tokom gibanja

• φ ima suprotan predznak utockama u1 i u2

• precesija više nijemonotona


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• ako se u0 podudara s krajevima intervala u1 ili u2

putanja probodišta glavne osi sa sferom kojaima centar u ishodištu O izgleda kao nasljedecoj slici


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• promotrimo poseban slucaj zvrka koji rotira takoda mu je glavna os vertikalna (tzv. uspavanizvrk)

• da bi takvo gibanja bilo moguce, mora bitiispunjen uvjet

Mz′ = M3 = I3Ω3 (92)

• efektivni potencijal se svodi na

Ueff (θ) =(Mz′ − Mz cos θ)2

2I ′ sin2 θ+ µga cos θ

=M2

z (1 − cos θ)2

2I ′ sin2 θ+ µga cos θ

=I23Ω2

3

2I ′(1 − cos θ)2

sin2 θ+ µga cos θ (93)


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• tocka θ = 0 je stabilno rješenje ako efektivnipotencijal ima minimum

• razvijemo Ueff u blizini θ = 0

cos θ = 1 −θ2

2!+ · · · (94)

sin θ = θ − · · · (95)

Ueff =I23Ω2

3

2I ′θ4/4θ2

+ µga −12µgaθ2 + · · ·+ O(θ4)

≈ µga +

[

I23Ω2

3

8I ′−µga

2

]

θ2 (96)

• ukoliko je koeficijent ispred θ2 pozitivan tockaravnoteže je stabilna, a u suprotnom jenestabilna


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• na slici je primjer efektivnog potencijala zastabilan (crvena linija) i nestabilan (zelena linija)uspavani zvrk

θ

Ueff

0 π

• u slucaju stabilnog uspavanog zvrka potencijal uθ = 0 ima minimum, a u slucaju nestabilnogmaksimum


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• uvjet stabilnosti uspavanog zvrka glasi

I23Ω2

3

8I ′−µga

2> 0 =⇒ Ω2

3 >4µgaI ′

I23

(97)

• uvjet stabilnosti je lakše postici ako je zvrkplosnat (I3 ≫ I) i ako mu je centar mase blizutocke dodira s podlogom (što manji a)

• primjetimo da masa zvrka ne utjece nastabilnost jer vrijedi

I ∼ µ i I3 ∼ µ (98)

pa se masa u brojniku u nazivniku izraza (97)pokrati


Eulerovejednadžbe





Uspavani zvrk

• u realnom slucaju zvrku bi se zbog trenjasmanjivala brzina Ω3

• u trenu kad uvjet (97) više nije ispunjen zvrk izvertikalne vrtnje prelazi u gibanje s nutacijom iprecesijom


Derivacija u pomicnomsustavu

povratak

• pretpostavimo da je sustav x ′y ′z ′ fiksiran, doksustav xyz rotira u odnosu na njega

• neka oba sustava imaju zajednicko ishodište• oznacimo s

d~Adt

id ′~Adt

(99)

derivacije vektora ~A za opažaca u fiksnom ipomicnom sustavu

• želimo povezati derivaciju u fiksnom i pomicnomsustavu

Dinamika gibanjakrutog tijela povratak

• neka su ~e1, ~e2 i ~e3 jedinicni vektori, a A1, A2 i A3

komponente vektora ~A u pomicnom sustavu• za opažaca u fiksnom sustavu mijenjaju se i

komponente i jedinicni vektori pomicnog sustavapa vrijedi

d~Adt

=∑

i

dAi

dt~ei +

∑

i

Aid~ei

dt(100)

• za opažaca u pomicnom sustavu mijenjaju sesamo komponente vektora

d ′~Adt

=∑

i

dAi

dt~ei (101)

• uvrstimo jedn. (101) u jedn. (100)

d~Adt

=d ′~Adt

+∑

i

Aid~ei

dt(102)


• i za opažacu nepomicnom sustavu jedinicnivektori ~e1, ~e2 i ~e3 cine desni ortonormiranisustav pa uvijek vrijedi

~ei · ~ej = δij (103)

• iz uvjeta ~e2i = 1 slijedi

ddt~e2

i = 0 =⇒ 2~ei ·d~ei

dt= 0 (104)

• vremenska derivacija jedinicnog vektora jeokomita na sam vektor

~e1 = α1~e2 + α2~e3 (105)

~e2 = α3~e3 + α4~e1 (106)

~e3 = α5~e1 + α6~e2 (107)


• promotrimo uvjete ortogonalnosti

~e1 · ~e2 = 0 =⇒ ~e1 · ~e2 + ~e1 · ~e2 = 0 =⇒ α1 = −α4

~e1 · ~e3 = 0 =⇒ ~e1 · ~e3 + ~e1 · ~e3 = 0 =⇒ α2 = −α5

~e2 · ~e3 = 0 =⇒ ~e2 · ~e3 + ~e2 · ~e3 = 0 =⇒ α3 = −α6

• iz zadnje tri relacije slijedi

∑

i

Aid~ei

dt= (−α1A2 − α2A3)~e1

= (α1A1 − α3A3)~e2

= (α2A1 + α3A2)~e3


• zadnju jednadžbu možemo napisati pomocudeterminante

∑

i

Aid~ei

dt=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~e1 ~e2 ~e3

α3 −α2 α1

A1 A2 A3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(108)

• uz identifikaciju

α3 ≡ ω1 , −α2 ≡ ω2 , α1 = ω3 (109)

jedn. (108) možemo napisati kao vektorskiprodukt

∑

i

Aid~ei

dt= ~ω × ~A (110)


• veza derivacija u fiksnom i pomicnom sustavu

d~Adt

=d ′~Adt

+ ~ω × ~A (111)

• vektor ~ω je kutna brzina pomicnog u odnosu nafiksni sustav

Documents

krutog tijela Eulerove jednadžbe - phy.pmf.unizg.hrtniksic/Klasicna/I/biljeske/dinamika2.pdf · Dinamika gibanja krutog tijela Eulerove jednadžbe Slobodan simetrican zvrkˇ Opis