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C.Ü. Fen-Edebiyat Fakültesi
Fen Bilimleri Dergisi (2007)Cilt 28 Sayı 2
Sonlu Aralıkta Coulomb Potansiyele Sahip Sturm-Liouville Diferansiyel
Denklemlerin Çözümleri İçin Bir Gösterilim
R. Kh. AMİROV , N. TOPSAKAL
Cumhuriyet Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü SİVAS
[email protected], [email protected]
Received: 26.10.2007, Accepted: 14.12.2007
Özet: Bu çalışmada sonlu aralıkta Coulomb potansiyele sahip Sturm-Liouville operatörleri için çevirme
operatörü tipinde gösterilimler elde edilmiştir.
Anahtar kelimeler: Çevirme operatörü, İntegral Denklemi, Sturm-Liouville operatörü, Coulomb
potansiyeli.
An Integral Representation for Solutions of Sturm-Liouville Differential
Equations with Coulomb Potential on a Finite Interval Abstract: In this study, representation with transformation operator has been obtained for Sturm-
Liouville operators with Coulomb potential on a finite interval.
Keywords: Transformation operator, Integral Equation, Sturm-Liouville operator, Coulomb Potential.
1. Giriş
( )ba, sonlu aralığında ( ) ( ) ( ): ''y y x q x y x= − +l diferansiyel ifadesinin ürettiği
Sturm-Liouville operatörler teorisinde, ( )xq fonksiyonu, ( ) ( )baLxq ,1∈ koşulunu
12
sağladığında yl diferansiyel ifadesi regüler, ( )ba, aralığı sonsuz ya da ( )xq fonksiyonu
verilen aralığın iç noktalarında veya sınırında integrallenemeyen singüleriteye sahip ise
singüler diferansiyel ifade olarak adlandırılır.
[6] çalışmasında, ( )1,02Lu ∈ olmak üzere genelleştirilmiş türev kullanılarak
( ) ( )xuxq ′= şeklinde bir potansiyele sahip singüler Sturm-Liouville operatörü
tanımlanmıştır.
Ayrıca bu çalışmada ( )1,02Lu ∈ olmak üzere ( ) ( )xuxq ′= potansiyeline sahip
yl diferansiyel ifadesi tarafından diferansiyel operatörlerin self-adjoint genişlemeleri
oluşturulmuştur. Genelleştirilmiş fonksiyonlar, [5] ‘de kanonik regülarizasyon metodu
kullanılarak signxx a− , ,...6 ,4 ,2≠a durumlarında belirtilmiştir. 23
<a durumunda, bu
yolla elde edilen genelleştirilmiş fonksiyonlar 2L uzayındaki fonksiyonların
genelleştirilmiş türevleri şeklinde gösterilebilir. Böylece yl diferansiyel ifadesi ve
( ) signxxxq a−= şeklinde bir potansiyele sahip Sturm-Liouville operatörü
tanımlanabilir. [1] çalışmasında, ( ) aCxxq −= ve 23
<a , RC ∈ , +∈ Rx olması
durumunda, bu tip potansiyele sahip Sturm-Liouville denklemi için sınır-değer
probleminde bir regülarizasyon verilmiştir.
[4] çalışmasında ise ( ) aCxxq −= ve [ )2,1∈a olması durumunda sınır-değer
koşullarına göre bu tip potansiyele sahip yl diferansiyel ifadesi tarafından üretilen
operatörlerin tüm self-adjoint genişlemeleri ve dolayısıyla bu tip potansiyele sahip
Sturm-Liouville denklemi için sınır-değer probleminin nasıl konulacağı konusu
incelenmiştir. Ayrıca [4] ve [6] çalışmalarında ki regülarizasyonlar sadece 23
<a
durumu için çakışmaktadır.
( ) ( ) ( ) ( ): '' aCy y x y x q x y xx
= − + +l , π<< x0 (I)
diferansiyel ifadesini ele alalım. Burada ,RC ∈ ( )xq - gerçel değerli, sınırlı bir
fonksiyondur.
( )π,000∞=′ CD kümesinde ( )0 0:L L y y′ ′ = l operatörünü tanımlayalım. Açıktır ki,
[ ]π,02L uzayında 0L′ operatörü simetriktir. 0L ın kapanışı olan 0L′ operatörü (I)
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diferansiyel ifadesinin ürettiği minimal operatördür, 0L operatörünün eşleniği olan *0L
operatörüde (I) diferansiyel ifadesinin ürettiği maksimal operatör olarak adlandırılır.
[4] çalışmasında, tüm maksimal dissipative ve accumulative ve ayrıca 0L
operatörünün self-adjoint genişlemeleri; (I) diferansiyel ifadesinin ürettiği maksimal ve
minimal operatörlerin sınır koşulları ve tanım kümesine göre çalışılmıştır.
( )a
xCxua
−=
−
1
1
olmak üzere ( )( ) ( ) ( ) ( )xyxuxyya −′=Γ x alalım.
[4] de ( ) ( )*0LDxy ∈ ise bu durumda 0+→x iken ( ) ( )x yαΓ fonksiyonu bir
limite sahip olduğu gösterilmiştir. Yani
( ) ( ) ( )( )0 x lim0
yy aaxΓ=Γ
+→
dir. Dolayısıyla (I) diferansiyel ifadesinin ürettiği 0L minimal operatörünün ( )0LD
tanım kümesi sadece ( ) ( )*0LDxy ∈ fonksiyonlarından oluşur öyle ki, ( )xy fonksiyonu
( ) ( ) ( )( ) ( ) 00 0 =′=Γ== ππ yyyy a koşullarını sağlar.
Bu çalışmada 1a = durumu incelenmiştir. Dolayısıyla ( ) [ ]π,0ln 2LxCxu ∈=
ve ( )( ) ( ) ( ) ( )xyxuxyxy −′=Γ olarak alınmıştır. Ayrıca bu çalışmada [10] çalışmasında
ki
( ) ( ) ( )∫−
+=x
x
ikt dtetxKkxykxy ,,, 0
çevirme operatörüne benzer bir gösterilim elde edilmiştir.
2. İntegral denklemin oluşturulması
( ): '' Cy y q x y yx
λ = − + + = l , 2k=λ , π<< x0 (1)
diferansiyel denklemi,
( ) ( )0 0, 0y y π= = (2)
sınır koşulları ve
( ) ( )( ) ( ) ( )1
0 0
' 0 ' 0 2 0
y d y d
y d y d ik y d
α
α β−
+ = −
+ = − + − (3)
14
süreksizlik koşullarının ürettiği L problemini ele alalım. Burada λ -spektral parametre,
0,1,,, >≠∈ ααβα RC , ,,2
∈ π
πd ( )xq - gerçel değerli, sınırlı ve ( ) ( )π,02Lxq ∈
dir.
(1) diferansiyel denkleminde ( ) ( )π,0ln 2LxCxu ∈= olmak üzere
( )( ) ( )yxuyxy −′=Γ alınırsa,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2:y y u x y q x y y u x y u x y q x y k y′
′′ ′ ′ ′= − + + = − − − + = l ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 ' y y x u x y x u x y q x y k y= − Γ − Γ − + = l
elde edilir. Şimdi ,1 yy = ( )( )xyy Γ=2 alınırsa,
( )( ) ( ) ( )
+−−=+
=−
112
212
2
121
''
yxqyxuyxuykyyxuyy
(4)
( ) ( )1 10 0, 0y y π= = (5)
( ) ( )( ) ( ) ( )
−+−=+
−=+− 0200
00
111
2
11
dyikdydydydy
βα
α (6)
problemi elde edilir.
(4) sisteminin matris gösterilimi
−+−−=
′
2
122
2
1
1
yy
uquku
yy
(7)
veya
( )( ) ( ) ( )
12 2
2
1 ,
-
u x yA y
yk u x q x u x
= = − − +
olmak üzere Ayy =′ , matrisinin
elemanları integrallenebilir olduğundan [12] de fAyy +=′ , ( )1 0,f L π∈ sistemleri için
başlangıç-değer problemin çözümünün varlığı ile ilgili teorem gereği her [ ]πξ ,0∈ ,
( ) 221 , CT ∈= ννν için (7) sisteminin ( ) 11 νξ =y , ( ) 22 νξ =y başlangıç koşullarını
sağlayan sadece bir tek çözümü vardır. Özel olarak ( ) ( ) ikyy == 0,10 21 alınabilir.
Tanım: (4) diferansiyel denklemler sisteminin ( ) ( ) 11 νξξ == yy , ( ) ( )( ) 22 νξξ =Γ= yy
başlangıç koşullarını sağlayan çözümünün birinci bileşenine, (1) denkleminin aynı
koşulları sağlayan çözümü denir.
15
(4) diferansiyel denklemler siteminin ( )
=
iky
y 10
2
1 başlangıç koşullarını ve (6)
süreksizlik koşullarını sağlayan çözümü, ( )1
21 −+ += ααα , ( )1
21 −− −= ααα olmak
üzere,
dx < iken,
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
−−++−−
−−+−−+
=
∫ ∫
∫∫x x
ikx
xxikx
dttxkytqytuytudttxkytkuike
dttxkytqytuytuk
dttxkytuex
yy
0 011
221
011
22
01
2
1
cossin
sin1cos (8)
dx > iken, ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )∫ ∫
∫
∫
∫
∫
−−+−−+
−−+−−+−
+−+−+
+−−−−+−
+−+−+
−++=
+
−+
−−−+
x
d
x
d
d
d
o
d
d
xdikikxxdikikx
dttxkytqytuytuk
dttxkytu
dttxktdxkytqytuytuki
dtytutdxktxki
dttdxktxkytqytuytuk
dtytutdxktxk
eeeey
sin1cos
cos2cos
2sinsin
2sinsin 1
2coscos
112
21
011
22
1
0
_11
22
01
221
β
β
αα
αα
βαα
(9)
16
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )∫ ∫
∫
∫
∫
∫
−−+−−−
+−−−−+−
+−+−+
+−+−−−++
+−−−−+
−+−=
+
−+
−−−+
x
d
x
d
d
d
o
d
d
xdikikxxdikikx
dttxkytqytuytudttxkytuk
dttdxktxkytqytuytui
dtytutdxktxkik
dttdxktxkytqytuytu
dtytutdxktxkk
eeikeikeiky
cossin
2sinsin
2coscos
2coscos
2sinsin
112
21
011
22
1
0
_11
22
01
222
β
β
αα
αα
βαα
(10)
integral denklemler sistemini elde edilir.
Şimdi (4) diferansiyel denklemler siteminin ( )
=
iky
y 10
2
1 başlangıç koşullarını
ve (6) süreksizlik koşullarını sağlayan her çözümünün
dx < iken,
( )( )
( ) ( ) ( )
+++
+
=
∫ ∫
∫
− −
−
x
x
x
x
iktiktikxikx
x
x
iktikx
etxKiketxKexbike
dtetxKex
yy
,,
,
2221
11
2
1 (11)
dx > iken,
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )[ ]
( ) ( )
++
−+++
++−
+−++
=
∫ ∫
∫
− −
−−−+
−−−+
−
−−−+
x
x
x
x
iktikt
xdikikxxdikikx
xdikikxxdikikx
x
x
iktxdikikxxdikikx
etxKiketxK
eeeexbeeikeikeik
dtetxKeeee
xyy
,,
,
2221
22
22
1122
2
1
βαα
βαα
βαα
(12)
şeklinde bir integral gösterilime sahip olduğunu ispatlayalım. Burada
( ), , , 1, 2ijK x t i j = ve ( )xb reel değerli sınırlı fonksiyonlardır. (11) ve (12) ifadeleri, (9)
ve (10) çözümünde yerine yazılırsa,
17
( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 110
, cos cos 2 ,x d t
ikt ikt iks
x t
K x t e dt u t k x t k x d t e K t s e ds dtα α+ −
− −
= − + − + +
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
_21
0
22
1 sin sin 2 ,
,
d tikt ikt iks
t
tiks
t
u t k x t k x d t ike b t e K t s e dsk
ik K t s e ds dt
α α+
−
−
− − − − + + +
+
∫ ∫
∫
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 _11
0
1 sin sin 2 ,d t
ikt iks
t
u t q t k x t k x d t e K t s e ds dtk
α α+
−
− − − − − + +
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )11sin sin 2 ,d t
ikt iks
o t
i u t k x t k x d t e K t s e ds dtβ−
+ − + − + +
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
210
22
cos 2 cos ,
,
d tikt ikt iks
t
tiks
t
i u t k x d t k x t ike b t e K t s e dsk
ik K t s e ds dt
β
−
−
− − + − − + +
+
∫ ∫
∫
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )211
0
cos 2 cos ,d t
ikt iks
t
i u t q t k x d t k x t e K t s e ds dtkβ
−
− − − + − − +
∫ ∫
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 211 , cos
x tik d t ik d tikt ikt iks
d t
u t e e e e K t s e ds k x t dtα α β− −+ −
−
+ + + − + −
∫ ∫
( ) ( ) ( )( ){ } ( )2 2 sinx
ik d t ik d tikt ikt
d
u t ik e ik e ik e e k x t dtα α β− −+ −− − + + −∫
( ) ( ) ( ) ( )21 22, , sinx t t
iks ikt
d t t
u t K t s e ik K t s e k x t dt− −
+ + −
∫ ∫ ∫
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2211 , sin
x tik d t ik d tikt ikt iks
d t
u t q t e e e e K t s e ds k x t dtα α β− −+ −
−
− − + + − + −
∫ ∫
ve
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 sinx
ik d t ik d tikt ikt
d
u t b t e e e e k x t dtα α β− −+ − − + + − − ∫
18
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 221 22, ,
x xik d x ik d xikx ikx ikt ikt
x x
b x e e e e K x t e ik K x t eα α β− −+ −
− −
+ + − + + = ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )110
sin sin 2 ,d t
ikt iks
t
k u t k x t k x d t e K t s e ds dtα α+ −
−
− − − − + +
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
_21
0
22
cos cos 2 ,
,
d tikt ikt iks
t
tiks
t
u t k x t k x d t ike b t e K t s e ds
ik K t s e ds dt
α α+
−
−
+ − − + − + + +
+
∫ ∫
∫
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 _11
0
cos cos 2 ,d t
ikt iks
t
u t q t k x t k x d t e K t s e ds dtα α+
−
+ − − − + − + +
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )11cos cos 2 ,d t
ikt iks
o t
ik u t k x t k x d t e K t s e ds dtβ−
+ − + − + +
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
210
22
sin sin 2 ,
,
d tikt ikt iks
t
tiks
t
i u t k x t k x d t ike b t e K t s e ds
ik K t s e ds dt
β−
−
− − − − + + +
+
∫ ∫
∫
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 211 , sin
x tik d t ik d tikt ikt iks
d t
k u t e e e e K t s e ds k x t dtα α β− −+ −
−
− + + − + −
∫ ∫
( ) ( ) ( ){ } ( )2 2 cosx
ik d t ik d tikt ikt
d
u t ik e ik e ik e e k x t dtα α β− −+ − − − + − ∫
( ) ( ) ( ) ( )21 22, , cosx t t
iks ikt
d t t
u t K t s e ik K t s e k x t dt− −
− + −
∫ ∫ ∫
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2211 , cos
x tik d t ik d tikt ikt iks
d t
u t q t e e e e K t s e ds k x t dtα α β− −+ −
−
− − + + − + −
∫ ∫
integral denklemleri elde edilir. Gerekli hesaplamalardan sonra
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 cosx
ik d t ik d tikt ikt
d
u t b t e e e e k x t dtα α β− −+ − − + + − − ∫
19
( )112
, 2 2 2 2
x x xikt ikt ikt
x x x d
x t t xK x t e dt u e dt u d e dtα α+ −
− − −
+ − = + + ∫ ∫ ∫
2 2
22 2 2 2 2 2
d x d x xikt ikt ikt
x x d x
t x x t x tu d e dt u e dt u e dtα β β− −−
− −
− + + − − − + ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2
0
2 2 2
x td x x
ikt ikt
x x
t xu d e dt u s u s b s q s ds e dtβ α+
− +
− −
− − − − + −
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2
2
2 2
2 2 2
x tdx xikt ikt
x d d x d
t xu d e dt u s u s b s q s ds e dtβ α++
−
− −
− + + − + −
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2
22
2
x dikt
t xx d d
u s u s b s q s ds e dtα −
−− +
+ + −
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2
2
22
x tdxikt
d x d
u s u s b s q s ds e dtβ++
−
+ + −
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )11 11
2 2
, ,2 2
x x x xikt ikt
x t x tx x
u s K s t s x ds e dt u s K s t s x ds e dtα α+ +
− +− −
+ + − + − +
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )21 220
2
- , ,2 2
x d t x s x xikt ikt
x tx t x s x
u s K s d ds e dt u s K s t s x ds e dtα αξ ξ
+ −+ +
−− − + −
− + −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )22
2
,2
x xikt
x tx
u s K s t s x ds e dtα +
+−
+ − +
∫ ∫
( ) ( )2
210 2
, 2
x d t x s dikt
x t x s d
u s K s d ds e dtαξ ξ
+ + −−
− − − +
+
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2
2
2 02
x tx
ikt
d x
u s u s b s q s ds e dtβ+
−
− + −
∫ ∫
( ) ( )( ) ( )211
0
,2
x d t x sikt
x t x s
u s q s K s d ds e dtαξ ξ
+ −+
− − +
− −
∫ ∫ ∫
20
( ) ( ) ( ) ( )22 22
2 2
, ,2 2
x x x xikt ikt
x t x tx x
u s K s t s x ds e dt u s K s t s x ds e dtβ β
− +− −
− + − − − +
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )11 21
2
, - ,2 2
x x x x t x sikt ikt
x tx x d t x s
u s K s t s x ds e dt u t K s d ds e dtβ βξ ξ
+ −
−− − − +
+ − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )( ) ( )211- ,
2
x x t x sikt
x d t x s
u s q s K s d ds e dtβξ ξ
+ −
− − +
−
∫ ∫ ∫
( ) ( )2
11
2
, 22
d x dikt
t xx d
u s K s t x d s ds e dtα −−
+− −
+ + − +
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2
22 222
2 2
, 2 ,2 2
x d d x xikt ikt
t x x tx d xd
u s K s t x d s ds e dt u s K s t s x ds e dtα α −− −
− −− −−
+ − + − − + −
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )222
2
, 22
x dikt
t xx d d
u s K s t x d s ds e dtβ
−− −
+ − + −
∫ ∫
( ) ( )2
22
2
, 22
d x dikt
t xx d
u s K s t x d s ds e dtβ −
+− −
+ + − +
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2
11 112
2 2
+ , ,2 2
x x d x xikt ikt
x t x tx d x
u s K s t x s ds e dt u s K s t s x ds e dtβ β −
− +− −
− + − − +
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )112
2
, 2 2
x dikt
t xx d d
u s K s t x d s ds e dtβ
−− −
+ − + −
∫ ∫
( ) ( )( ) ( )2
211
0 2
,2
x d t x s dikt
x t x s d
u s q s K s d ds e dtαξ ξ
+ + −−
− − − +
+ −
∫ ∫ ∫
( ) ( )222
2
1 , 22
x dikt
t xx d d
u s K s t x d s ds e dt−− +
− − + −
∫ ∫
( ) ( )112
2
, 22
x dikt
t xx d d
u s K s t x d s ds e dtα −
−− −
+ − + −
∫ ∫
21
( ) ( ) ( ) ( )2
2
2 02
t xdxikt
x d
u s u s b s q s ds e dtβ−
+
−
− + −
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2 2
21 212 0 2 0
, ,2 2
x d t x s d x d t x d sikt ikt
x d t x d s x t x s
u t K s d ds e dt u t K s d ds e dtβ βξ ξ ξ ξ
+ − − − + −
− + − + − − +
− +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )211
2 0 2
, 2
x d t x sikt
x d t x d s
u t q t K s d ds e dtβξ ξ
+ −
− + − +
− −
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2
11 112
2
1 1, ,2 2
d x x x xikt ikt
x tx d d x
u t K s t x s ds e dt u t K s t x s ds e dt−
+− −
+ + − + + −
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )∫ ∫−
− +−
+−++
xd
x
iktd
xtd
dtedssdxtsKsu2
2
22 2,21 (13)
( )∫ ∫− −
−
−
+−
−
+
−
++
−
+=x
x
x
dx
iktikt dtextdqxtdbxtduxtdudtetxK2
221 22224
, α
22
4 2 2 2 2
d xikt
x
t x t x t x t xu d u d b d q d e dtα −− − − − − + − + − − − − ∫
2
4 2 2 2 2
xikt
x
t x t x t x t xu u b q e dtα +
−
+ + + + − + − ∫
2
4 2 2 2 2
xikt
x
t x t x t x t xu u b q e dtβ
−
+ + + + − + − ∫
2
24 2 2 2 2
xikt
x d
t x t x t x t xu d u d b d q d e dtβ
−
− − − − − + + + + − + ∫
( ) ( )2
2
2
, 22
d x dikt
t xx d
u s K s t x d s ds e dtβ −
+− −
+ + − +
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2
02
t xd x
ikt
x
u s u s b s q s ds e dtβ+
−
−
+ + −
∫ ∫
( ) ( ) ( )2 2
211
0
,2
d x d t x d sikt
x t x s
u t q t K s d ds e dtβξ ξ
− − + −
− − +
+ −
∫ ∫ ∫
22
2
24 2 2 2 2
xikt
d x
t x t x t x t xu d u d b d q d e dtβ
−
− − − − − − + − − − − ∫
( ) ( )212
2
, 22
x dikt
t xx d d
u s K s t x d s ds e dtα −
−− +
− − + −
∫ ∫
( ) ( )2
21
2
, 22
d x dikt
t xx d
u s K s t x d s ds e dtα −−
+− −
− + − +
∫ ∫
( ) ( )( ) ( )221
22
, 22
x dikt
t xx d d
u s q s K s t x d s ds e dtα −
−− +
− − − + −
∫ ∫
( ) ( )( ) ( )2
221
2
, 22
d x dikt
t xx d
u s q s K s t x d s ds e dtα −−
+− −
− − + − +
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2
21 212
2
1 1, ,2 2
x d x x xikt ikt
t xx x d dd
u s K s t x s ds e dt u s K s t x s ds e dt−
−− −+
− − + − − +
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2
21 212
2
1 1, ,2 2
d x x x xikt ikt
x tx d d x
u s K s t x s ds e dt u s K s t x s ds e dt−
+− −
− + − − + −
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2
11 112
2
1 1, ,2 2
x d x x xikt ikt
x tx x d d
u s K s t x s ds e dt u s K s t x s ds e dt−
−− −
− − + − − +
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2
11 112
2
1 1, ,2 2
d x x x xikt ikt
x txd d d x
u s K s t x s ds e dt u s K s t x s ds e dt−
+− −
− + − − + −
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )11 112 2
2 2
, ,2 2
x x x xikt ikt
x t x td x d x
u s K s t x s ds e dt u s K s t x s ds e dtα α+ +
− +− −
− − + − + −
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )( ) ( )211
2
,2
x xikt
x tx
u s q s K s t x s ds e dtα +
−−
− − − +
∫ ∫
23
( ) ( )( ) ( )2
211
2
,2
d x xikt
t xx
u s q s K s t x s ds e dtα −+
+−
− − + −
∫ ∫ (14)
( )∫−
=x
x
ikt dtetxK ,22
2222
- 22
2
2∫∫∫−
−
−
−
−
−
+
−
−−
−
+
+
−xd
x
iktx
dx
iktx
x
ikt dtextdudtextdudtetxu ααα
2
2 22 2 2 2 2 2
d x x xikt ikt ikt
x d x x d
x t x t t xu e dt u e dt u d e dtβ β β−
− − −
+ + − + − − + ∫ ∫ ∫
( ) ( )( ) ( )2
211
0
,2 2 2
d x x d t x sikt ikt
x x t x s
t xu d e dt u s q s K s d ds e dtβ β ξ ξ− + −
− − − +
− + − − −
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2
11 112
2 2
, ,2 2
x x d x xikt ikt
x t x tx d x
u t K s t x s ds e dt u t K s t x s ds e dtα α −+ +
− +− −
+ − + − + −
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2
11 112
2 2
, ,2 2
x d d x dikt ikt
t x t xx d xd d
u s K s t x s ds e dt u s K s t x s ds e dtα α −− −
− +− −− −
− − + + + −
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )222
2
, 22
x dikt
t xx d d
u s K s t x d s ds e dtα −
−− +
− − + −
∫ ∫
( ) ( )2
11
2
, 2 2
d x dikt
t xx d
u s K s t x d s ds e dtβ −
+− −
− + − +
∫ ∫
( ) ( )2
22
2
, 2 2
d x dikt
t xx d
u s K s t x d s ds e dtβ −
+− −
− + − +
∫ ∫
( ) ( )2
22
2
, 22
d x dikt
t xx d
u s K s t x d s ds e dtα −−
+− −
− + − +
∫ ∫
( ) ( )222
2
, 22
x dikt
t xx d d
u s K s t x d s ds e dtβ
−− −
+ − + −
∫ ∫
24
( ) ( ) ( ) ( )2
11 112
1 1, , 2 2
x x d x xikt ikt
x d d x d
u s K s t x s ds e dt u s K s t x s ds e dt−
− −
+ − + − + −
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2
11 222
2 2
1 1, , 2 2
x x x d xikt ikt
x t x td x x
u s K s t x s ds e dt u s K s t x s ds e dt−
+ −− −
− + − − − +
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2
22 222
1 1, ,2 2
x x x d xikt ikt
x d d x d
u s K s t x s ds e dt u s K s t x s ds e dt−
− −
− − + − + −
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )22 212 0
2
1 , ,2 2
x x x d t x sikt ikt
x td x x t x s
u s K s t x s ds e dt u t K s d ds e dtαξ ξ
+ −+
+− − − +
− + − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )11 11
2 2
, ,2 2
x x x xikt ikt
x t x tx x
u s K s t x s ds e dt u s K s t x s ds e dtα β+
+ +− −
− + − + + −
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )11 22
2 2
, ,2 2
x x x xikt ikt
x t x tx x
u s K s t x s ds e dt u s K s t x s ds e dtβ β
− +− −
+ − + + + −
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2
21 220 2
2
, ,2 2
x d t x d s x xikt ikt
x tx t x d s x
u t K s d ds e dt u s K s t x s ds e dtβ βξ ξ
+ − +
−− − + − −
− − − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )( ) ( )2
211
0 2
,2
x d t x d sikt
x t x d s
u s q s K s d ds e dtβξ ξ
+ − +
− − + −
− −
∫ ∫ ∫ (15)
eşitlikleri elde edilir. (13), (14) ve (15) eşitliklerinden ( ) 2,1, ,, =jitxK ij fonksiyonları
için aşağıdaki integral denklem sistemleri bulunur.
( ) ( )2
11
2
1 ,2
d x xikt
x tx
u s K s t x s ds e dt−
−−
+ − +
∫ ∫
25
( )
−
−+
−
++
+
−
−
++
+
=−+
2222222222,11
xtduxtduxtuxtduxtutxK βββαα
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫−
+
−+
+
−++−+−d
xtd
xt
dttqtbtutudttqtbtutu
2
22
0
2
2
2 αα
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫+−
+
−++−+−2
0
22
0
2
2
2
xtxtd
dttqtbtutudttqtbtutu ββ
( ) ( ) ( ) ( )∫∫+
+
−
+
−+++−+x
tx
x
tx
dssxtsKsudssxtsKsu
2
11
2
11 ,2
,2
αα
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫−+
+− −
++
+−−sxt
sxt
x
tx
d
dssxtsKsudsdsKsu
2
22210
,2
-,2
αξξ
α
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∫∫∫−+
+−
+
+
+
−−−++sxt
sxt
dx
tx
dsdsKsqsudssxtsKsu ξξαα ,2
,2
110
2
2
22
( ) ( ) ( ) ( )∫∫+
−
−
−+
−
+−++−+−+d
txd
d
xtd
dssdxtsKsudssdxtsKsu
2
11
2
11 2,2
2,2
αα
( ) ( ) ( ) ( )∫∫−
−
−+
−
+−−−+−+x
tx
d
xtd
dssxtsKsudssdxtsKsu
2
22
2
22 ,2
2,2
αα
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∫∫∫ ∫+−+
−+−
−+−+
−+−
−
−++sdxt
sdxt
dd sdxt
sdxt
dsdsKsqsudsdsKsu2
211
0
2
0
2
221 ,
2,
2 ξξ
αξξ
α
( ) ( ) ( ) ( )∫∫+
−−
+
+−++−+−+d
txd
d
xtd
dssdxtsKsudssdxtsKsu
2
22
2
22 2,2
2,2
ββ
( ) ( ) ( ) ( )∫∫+−
−+−+−+x
tx
x
tx
dssxtsKsudssxtsKsu
2
11
2
11 ,2
,2
ββ
( ) ( ) ( ) ( )∫∫+
−−
+
+−++−+−+d
txd
d
xtd
dssdxtsKsudssdxtsKsu
2
11
2
11 2,2
2,2
ββ
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ∫∫∫−+−
+−
−+
+−+
−− −++sdxt
sxt
sxt
sdxt
nd
nd
dsdsKsqsudsdsKsu2
2
111
0
2121
0
,2
,2
ξξβ
ξξβ
26
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∫−+
+−+
−+−
+−
−−+d sxt
sdxt
sdxt
sxt
d
dsdsKsudsdsKsqsu0 2
21
2
110
2 ,2
,2
ξξβ
ξξβ
( ) ( ) ( ) ( )∫∫+−
−+−+−−x
tx
x
tx
dssxtsKsudssxtsKsu
2
22
2
22 ,2
,2
ββ
( ) ( ) ( ) ( )∫∫−
+
−+−−−++d
xtd
x
d
dssdxtsKsudssxtsKsu
2
2211 2,21,
21
( ) ( ) ( ) ( )∫∫−+
−
+−++−++x
tx
d
xtd
dssxtsKsudssdxtsKsu
2
11
2
22 ,212,
21
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∫∫∫ ∫−+
+−
−+
+−
−−−sxt
sxt
x
d
x
d
sxt
sxt
dsdsKsqsudsdsKsu ξξξξ ,21,
21 11
221
( )
+
−
+
+
+
+
−=+
22224, 2
21txqtxbtxutxutxK α
−
+−
−
+
−
++
−
++−
22224 2 xtdqxtdbxtduxtduα
+
−
+
+
+
+
−22224
2 txqtxbtxutxuβ
−
+−
−
+
−
++
−
+−22224
2 xtdqxtdbxtduxtduβ
( ) ( ) ( ) ( )∫∫+
+
−
+
−+−+−−x
tx
x
tx
dssxtsKsudssxtsKsu
2
11
2
11 ,2
,2
αα
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )dssxtsKsqsudssxtsKsqsux
tx
x
tx
−+−−+−−− ∫∫+
+
−
+
,2
,2
11
2
211
2
2 αα
( ) ( ) ( ) ( )dssdxtsKsudssdxtsKsud
txd
d
xtd
+−+−−+−− ∫∫+
−
−
−+
−
2,2
2,2
21
2
21
2
αα
( ) ( )( ) ( )211
2
, 2 2
d
t xd
u s q s K s t x d s dsα −
−+
− − − + −∫
27
( ) ( ) ( ) ( )21 11
2 2
1 1 , ,2 2
x x
x t x t
u s K s t x s ds u s K s t x s ds− −
− − + − − +∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )21 211 1 , ,2 2
x x
d d
u s K s t x s ds u s K s t x s ds+ − + + + −∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )11 111 1 , ,2 2
x x
d d
u s K s t x s ds u s K s t x s ds+ − + + + −∫ ∫
( )
−
+−
+
+
−
+−
+
−=−+
22222222,22
xtduxtuxtduxtutxK ββαα
( ) ( ) ( ) ( )21 11
2 2
, ,2 2
x x
x t x t
u s K s t x s ds u s K s t x s dsα α+ +
− +
+ − + − + −∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )dssxtsKsudssxtsKsud
txd
d
xtd
−+−+−− ∫∫+
−
−
−+
−
,2
,2
11
2
11
2
αα
( ) ( ) ( ) ( )dssdxtsKsudssdxtsKsud
txd
d
xtd
+−+−−+−− ∫∫+
−
−
−+
−
2,2
2,2
22
2
22
2
αα
( ) ( ) ( ) ( )dssxtsKsudssxtsKsux
tx
x
tx
−+−+−+ ∫∫+−
,2
,2
11
2
11
2
ββ
( ) ( ) ( ) ( )dssdxtsKsudssxtsKsud
txd
d
xtd
+−+−+−− ∫∫+
−−
+
2,2
,2
11
2
11
2
ββ
( ) ( ) ( ) ( )dssdxtsKsudssdxtsKsud
txd
d
xtd
+−+−−+−− ∫∫+
−−
+
2,2
2,2
22
2
22
2
ββ
( ) ( ) ( ) ( )dssxtsKsudssxtsKsux
tx
x
tx
−+−+−+ ∫∫+−
,2
,2
22
2
22
2
ββ
( ) ( )( ) ( )211
2
, 22
d
x td
u s q s K s t x d s dsα −
+−
− − + − +∫
( ) ( )210
,2
d t x s
t x s
u s K s d dsαξ ξ
+ −+
− +
− ∫ ∫
28
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫−+
−+−
+−+
−+−
−+d sxt
sxt
d sdxt
sdxt
dsdsKsudsdsKsu0
210
2
221 ,
2,
2 ξξ
βξξ
β
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) dsdsKsqsudsdsKsqsusdxt
dxst
d
txd
sxt
sxt
d
xtd
ξξβ
ξξβ ,
2 ,
2 11
2
22
211
2
2 ∫∫∫∫+−+
+−−+−
−+
+−−+
−−−−
( ) ( ) ( ) ( )dssxtsKsudssxtsKsux
tx
x
tx
+−−+−+ ∫∫+−
,21 ,
21 22
2
11
2
( ) ( ) ( ) ( )dssxtsKsudssxtsKsux
d
x
d
−+−+−+ ∫∫ ,21,
21 1111
( ) ( ) ( ) ( )dssxtsKsudssxtsKsux
d
x
d
−+−+−− ∫∫ ,21,
21 2222
1-) xddxtxdxd −<−<<−<< 22 ,2 bölgesinde ( ) ( ) ( )txKtxKtxK , ve, ,, 222111
ifadelerine ardışık yaklaşımlar yöntemi uygulanırsa;
( ) ( )
−
−+
−
++
+
−
−
++
+
=−+
2222222222,0
11xtduxtduxtuxtduxtutxK βββαα
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫−
+
−+
+
−++−+−d
xtd
xt
dttqtbtutudttqtbtutu
2
22
0
2
2
2 αα
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫+−
+
−++−+−2
0
22
0
2
2
2
xtxtd
dttqtbtutudttqtbtutu ββ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫+
−+
−
−+
−+++−=x
tx
nx
tx
nn dssxtsKsudssxtsKsutxK
2
111
2
11111 ,
2,
2, αα
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫−+
+− −
−+
−+
+−−sxt
sxt
x
tx
nnd
dssxtsKsudsdsKsu
2
122
121
0
,2
-,2
αξξ
α
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫−+
+−
−+
+
−+
−−−++sxt
sxt
ndx
tx
n dsdsKsqsudssxtsKsu ξξαα ,2
,2
111
0
2
2
122
29
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫+
−
−−
−+
−−
+−++−+−+d
txd
nd
xtd
n dssdxtsKsudssdxtsKsu
2
111
2
111 2,
22,
2 αα
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫−
−−
−+
−−
+−−−+−+x
tx
nd
xtd
n dssxtsKsudssdxtsKsu
2
122
2
122 ,
22,
2 αα
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )∫∫∫ ∫+−+
−+−
−−+−+
−+−
−−
−++sdxt
sdxt
ndd sdxt
sdxt
n dsdsKsqsudsdsKsu2
2
111
0
2
0
2
2
121 ,
2,
2 ξξ
αξξ
α
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫+
−
−
−+
− +−++−+−+d
txd
nd
xtd
n dssdxtsKsudssdxtsKsu
2
122
2
122 2,
22,
2 ββ
( ) ( )( ) ( ) ( )( )∫∫+
−
−
− −+−+−+x
tx
nx
tx
n dssxtsKsudssxtsKsu
2
111
2
111 ,
2,
2 ββ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫+
−
−
−+
− +−++−+−+d
txd
nd
xtd
n dssdxtsKsudssdxtsKsu
2
111
2
111 2,
22,
2 ββ
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ∫∫∫−+−
+−
−+
+−+
−− −++sdxt
sxt
sxt
sdxt
nd
nd
dsdsKsqsudsdsKsu2
2
111
0
2121
0
,2
,2
ξξβ
ξξβ
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∫−+
+−+
−−+−
+−
− −−+d sxt
sdxt
nsdxt
sxt
nd
dsdsKsudsdsKsqsu0 2
121
21
110
2 ,2
,2
ξξβ
ξξβ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫+
−
−
− −+−+−−x
tx
nx
tx
n dssxtsKsudssxtsKsu
2
122
2
122 ,
2,
2 ββ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫−
+
−− −+−−−++d
xtd
nx
d
n dssdxtsKsudssxtsKsu
2
122
111 2,
21,
21
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫−
−
+−
− +−++−++x
tx
nd
xtd
n dssxtsKsudssdxtsKsu
2
111
2
122 ,
212,
21
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫ ∫−+
+−
−−+
+−
− −−−sxt
sxt
nx
d
x
d
sxt
sxt
n dsdsKsqsudsdsKsu ξξξξ ,21,
21 1
1121
21
( ) ( )
+
−
+
+
+
+
−=+
22224, 20
21txqtxbtxutxutxK α
30
−
+−
−
+
−
++
−
++−
22224 2 xtdqxtdbxtduxtduα
+
−
+
+
+
+
−22224
2 txqtxbtxutxuβ
−
+−
−
+
−
++
−
+−22224
2 xtdqxtdbxtduxtduβ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 121 11 11
2 2
, , ,2 2
x xn n n
x t x t
K x t u s K s t x s ds u s K s t x s dsα α+ +− −
− +
= − − + − + −∫ ∫
( ) ( )( ) ( ) ( )1211
2
, 2
xn
x t
u s q s K s t x s dsα +−
−
− − − +∫
( ) ( ) ( )121
2
, 22
dn
x td
u s K s t x d s dsα −−
+−
− + − +∫
( ) ( )( ) ( ) ( )1211
2
,2
xn
x t
u s q s K s t x s dsα +−
+
− − + −∫
( ) ( ) ( )121
2
, 22
dn
t xd
u s K s t x d s dsα −−
−+
− − + −∫
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
1211
2
1211
2
, 22
, 22
dn
t xd
dn
x td
u s q s K s t x d s ds
u s q s K s t x d s ds
α
α
−−
−+
−−
+−
− − − + −
− − + − +
∫
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dssxtsKsudssxtsKsu nx
tx
nx
tx
+−−+−− −
−
−
−∫∫ ,
21 ,
21 1
11
2
121
2
( ) ( )( ) ( ) ( )( )dssxtsKsudssxtsKsu nx
d
nx
d
−+++−+ −− ∫∫ ,21,
21 1
211
21
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dssxtsKsudssxtsKsu nx
d
nx
d
−+++−+ −− ∫∫ ,21,
21 1
111
11
31
( )( )
−
+−
+
+
−
+−
+
−=−+
22222222,0
22xtduxtuxtduxtutxK ββαα
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dssxtsKsudssxtsKsutxK nx
tx
nx
tx
n −+−+−= −
+
+−
−
+
∫∫ ,2
,2
, 111
2
121
2
22αα
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dssdxtsKsudsdsKsu nd
txd
d sxt
sxt
n +−+−− −
+−
−−+
+−
−+
∫∫ ∫ 2,2
,2
122
20
121
αξξ
α
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )dssxtsKsudssxtsKsu nd
txd
nd
xtd
−+−+−− −
+−
−−
−+
−
∫∫ ,2
,2
111
2
111
2
αα
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫−+
−+−
−−
−+
−
−−+−−d sxt
sxt
nnd
xtd
dsdsKsudssdxtsKsu0
121
122
2
,2
2,2
ξξβα
( ) ( )( ) ( ) ( )( )dssxtsKsudssxtsKsu nx
tx
nx
tx
−+−+−+ −
+
−
−∫∫ ,
2 ,
2 1
11
2
111
2
ββ
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )dssdxtsKsudssxtsKsu nd
txd
nd
xtd
+−+−+−− −
+−
−
−+
∫∫ 2,2
,2
111
2
111
2
ββ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dssdxtsKsudssdxtsKsu nd
txd
nd
xtd
+−+−−+−− −
+−
−
−+
∫∫ 2,2
2,2
122
2
122
2
ββ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dssxtsKsudssxtsKsu nx
tx
nx
tx
−+−+−+ −
+
−
−∫∫ ,
2 ,
2 1
22
2
122
2
ββ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) dsdsKsqsudsdsKsu nsdxt
dxst
d
txd
d sdxt
sdxt
n ξξβ
ξξβ ,
2 ,
2 1
11
2
22
2
0
2
2
121
−+−+
+−−+−
+−+
−+−
− ∫∫∫ ∫ −−+
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dssxtsKsudsdsKsqsu nx
d
nsxt
sxt
d
xtd
−+−−− −−−+
+−−+
∫∫∫ ,21,
2 1
221
11
2
2 ξξβ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dssxtsKsudssxtsKsu nx
tx
nx
tx
+−−+−+ −
+
−
−∫∫ ,
21 ,
21 1
22
2
111
2
32
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dssxtsKsudssxtsKsu nx
d
nx
d
−+−+−+ −− ∫∫ ,21,
21 1
111
11
( ) ( ) ( )dssxtsKsu nx
d
+−− −∫ ,21 1
22
integral denklemleri elde edilir. O halde
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )011
0 0
,x x d x d
x d x d x
K x t dt u t dt u t dt u t dt u t dtα α β β+ −
− − −
= + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
0
d x x
d
u t dt x t u t u t b t q t dtβ α+
+ + + − + + ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
0
2 x
x t u t u t b t q t dtβ + − + + ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ∫∫−
−+
−
+++++=x d
xd
x
x
dttqtbtutudttqtbtutudttxK0
22021 22
,αα
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫ ++++++−
xd
xd
dttqtbtutudttqtbtutu0
22
22
ββ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫−−
−+
−
+++=x d
xd
x d
xd
x
x
dttudttudttudttudttxK00
022 , ββαα
dolayısıyla,
( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫ ++−++≤ −+
−
xx
x
dttqtbtututxdttxK0
2011 622, βαα
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫ ++−
++≤
−+
−
xx
x
dttqtbtututxdttxK0
2021 22
, βαα
( )( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫ ++−++≤ −+
−
xx
x
dttqtbtututxdttxK0
2022 2, βαα
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
0
x
x t u t u t b t q t dtβ + − + + ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
0
+x
x t u t u t b t q t dtα − − + + ∫
33
eşitsizlikleri bulunur.
[ ] [ ]
++
++++= −+
−+−+ 2 ,
22 , 622 max1 βααβ
ααβααc ve
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ++−=x
dttqtbtututxx0
2σ olarak alınırsa, her 2,1, =ji için
( ) ( ) ( )xcdttxK ij
x
x
σ10 , ≤∫
−
olur. Ayrıca
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫−
−+
−
−+
−
+≤s
s
nxs
s
nx
nx
x
dsdsKsudsdsKsudttxK ξξα
ξξα ,
2,
2, 1
110
111
011
( ) ( )( ) ( ) ( )( )∫ ∫∫∫− −
−+
−+ ++s
s
s
s
nx
nx
dsdsKsudsdsKsu ξξα
ξξπα ,2
, 122
0
121
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫∫−
−+
−
−+
+++s
s
nxs
s
nx
dsdsKsqsudsdsKsu ξξπαξξα ,,2
111
0
2122
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫−
−−
−
−− ++s
s
nxs
s
nx
dsdsKsudsdsKsu ξξαξξα ,, 111
0
111
0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∫ −
−
−
−
−− ++x
ns
s
s
s
nx
dsdsKsudsdsKsu0
122
122
0
,2
, ξξα
ξξα
( ) ( ) ( )121
0
,x s
n
s
u s K s d dsα π ξ ξ−−
−
+ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫ −
−
−
−
++x
ns
s
xn
s
s
dsdsKsudsdsKsu0
122
0
122 ,, ξξβξξβ
( ) ( )( ) ( ) ( )( )∫∫∫∫−
−
−
− ++s
s
nxs
s
nx
dsdsKsudsdsKsu ξξβ
ξξβ
,2
,2
111
0
111
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫∫∫−
−
−
− ++s
s
nxs
s
nx
dsdsKsudsdsKsu ξξβξξβ ,, 111
0
111
0
( ) ( ) ( )121
0
,x s
n
s
u s K s d dsβ π ξ ξ−
−
+ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2 111
0
,x s
n
s
u s q s K s d dsα π ξ ξ−−
−
+ + ∫ ∫
34
( ) ( ) ( )121
0
,x s
n
s
u s K s d dsβ π ξ ξ−
−
+ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2 111
0
,x s
n
s
u s q s K s d dsβ π ξ ξ−
−
+ + ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 122 22
0 0
, ,2 2
x s x sn n
s s
u s K s d ds u s K s d dsβ β
ξ ξ ξ ξ− −
− −
+ +∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 122 21
0 0
2 , ,x s x s
n n
s s
u s K s d ds u s K s d dsξ ξ π ξ ξ− −
− −
+ +∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 111 11
0 0
, ,x s x s
n n
s s
u s q s K s d ds u s K s d dsπ ξ ξ ξ ξ− −
− −
+ + + ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 121 11 11
0 0
, , ,2 2
x s x sn n n
s s
K x t u s K s d ds u s K s d dsα αξ ξ ξ ξ
+ +− −
− −
= +∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2 111
0
,2
x sn
s
u s q s K s d dsαξ ξ
+−
−
+ + ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2 111
0
,2
x sn
s
u s q s K s d dsαξ ξ
+−
−
+ + ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2 111
0
,x s
n
s
u s q s K s d dsα ξ ξ−−
−
+ + ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2 111
0
,x s
n
s
u s q s K s d dsα ξ ξ−−
−
+ + ∫ ∫
( ) ( ) ( )121
0
,x s
n
s
u s K s d dsα ξ ξ−−
−
+ ∫ ∫
( ) ( ) ( )121
0
,x s
n
s
u s K s d dsα ξ ξ−−
−
+ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 121 11
0 0
1 1 , ,2 2
x s x sn n
s s
u s K s d ds u s K s d dsξ ξ ξ ξ− −
− −
+ +∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 111 11
0 0
, ,x s x s
n n
s s
u s K s d ds u s K s d dsξ ξ ξ ξ− −
− −
+ +∫ ∫ ∫ ∫
35
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 121 21
0 0
, ,x s x s
n n
s s
u s K s d ds u s K s d dsξ ξ ξ ξ− −
− −
+ +∫ ∫ ∫ ∫
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) dsdsKsudsdsKsudttxK nx s
s
nx s
s
nx
x
ξξα
ξξα ,
2 ,
2, 1
110
121
022
−
−
+−
−
+
−∫ ∫∫ ∫∫ +=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) dsdsKsudsdsKsu nx s
s
nx s
s
ξξαξξπα ,, 111
0
121
0
−
−
−−
−
+ ∫ ∫∫ ∫ ++
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) dsdsKsudsdsKsu nx s
s
nx s
s
ξξαξξα ,, 122
0
111
0
−
−
−−
−
− ∫ ∫∫ ∫ ++
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) dsdsKsudsdsKsu nx s
s
nx s
s
ξξβξξα ,, 111
0
122
0
−
−
−
−
− ∫ ∫∫ ∫ ++
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) dsdsKsudsdsKsu nx s
s
nx s
s
ξξβξξβ ,2,2 122
0
111
0
−
−
−
−∫ ∫∫ ∫ ++
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dsdsKsudsdsKsu nx s
s
nx s
s
ξξβπξξβ ,2, 121
0
122
0
−
−
−
−∫ ∫∫ ∫ ++
( ) ( ) ( ) ( )2 111
0
, x s
n
s
u s q s K s d dsβ π ξ ξ−
−
+ + ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,21 ,
21 1
220
111
0
dsdsKsudsdsKsu nx s
s
nx s
s
ξξξξ −
−
−
−∫ ∫∫ ∫ ++
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,, 122
0
111
0
dsdsKsudsdsKsu nx s
s
nx s
s
ξξξξ −
−
−
−∫ ∫∫ ∫ ++
yukarıdaki eşitsizlikler kullanılırsa, 1=n için;
( ) ( ) ( ) ( )!2
1236272,
2
11
11xcdttxK
x
x
σβααπβαα
+++++++≤ −+−+
−∫
( ) ( ) [ ] ( )!2
542,K 2
11
21
x
x-
xcdttx σαα ++≤ −+∫
( )( ) ( )[ ] ( )!2
4364,2
11
22xcdttxK
x
x
σβαπβαα +++++≤ +−+
−∫
( ) ( ) ( ) ( )2 111
0
,x s
n
s
u s q s K s d dsβ π ξ ξ−
−
+ + ∫ ∫
36
eşitsizlikleri elde edilir.
( )( ) }1
7max 2 6 3 2 1 , 2 4 5 ,2
4 6 3 4 ,
c
c
α α β π α α β α α
α α β π α β
+ − + − + −
+ − +
= + + + + + + + + +
+ + + + +
olarak alınırsa; her 2,1, =ji için ( ) ( ) ( )!2
,2
21 xcdttxK ij
x
x
σ≤∫
−
eşitsizlikleri elde edilir.
Ayrıca 2=n için 2,1, =ji olmak üzere ( ) ( ) ( )!3
,3
32 xcdttxK ij
x
x
σ≤∫
−
elde edilir.
Tümevarım yöntemi uygulanırsa, her 2,1, =ji için ( ) ( ) ( )( )!1
,1
1
+≤
++
−∫ n
xcdttxKn
nnij
x
x
σ
eşitsizliği geçerli olur. Benzer işlemler diğer
2-) xdtxxd −<<−< 2 ,2 , 3-) xdtdxdxd −<<−<< 22 ,2 , 4-)
dxtxxd 2 ,2 −<<−<
5-) xtxdxd <<−< 2 ,2 , 6-) xtdxdxd <<−<< 2 ,2
bölgelerinde de yapılabilir.
Dolayısıyla ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ++−=x
dttqtbtututxx0
2σ olmak üzere her 2,1, =ji
için
( ) ( ) 1, −≤∫−
xcij
x
x
edttxK σ
eşitsizliği sağlanır.
Bu durumda aşağıdaki teorem ispatlanmış olur.
Teorem: L probleminin ( )
=
iky
y 10
2
1 başlangıç koşullarını sağlayan çözümü için
dx < iken,
( )( )
( ) ( ) ( )
+++
+
=
∫ ∫
∫
− −
−
x
x
x
x
iktiktikxikx
x
x
iktikx
etxKiketxKexbike
dtetxKex
yy
,,
,
2221
11
2
1
dx > iken,
37
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 211
2 2
1
2 22
21 22
,
, ,
xik d x ik d xikx ikx ikt
x
ik d x ik d xikx ikx
ik d x ik d xikx ikx
x xikt ikt
x x
e e e e K x t e dt
ik e ik e ik e eyx
y b x e e e e
K x t e ik K x t e
α α β
α α β
α α β
− −+ −
−
− −+ −
− −+ −
− −
+ + − + − + +
= + + + −
+ +
∫
∫ ∫
gösterilimleri mevcuttur.
Burada ( ) ( ) ( )[ ]( )
∫∫
−−=−x dttu
dsesqsuxb
x
s
0
21
2 21 ve
( ) ( ) ( ) ( )[ ]xbxuxxK ++
=+
2,11
βα , ( ) ( ) ( ) ( )[ ]xbxuxxK 22
,22 ++
−=+ βα
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )∫ ∫−−−=x x
dsssKdsKsqsuxbxxK0 0
21112
21 ,su21 ss,
21',
( )x
xK ji
∂
∂ ,., , ( ) [ ]π,0
,.2
, Lt
xK ji ∈∂
∂, ( )2,1, =ji
şeklindedir.
Kaynaklar
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