Kuyruk Teorisi

16.07.2012

1

Kuyruk Teorisi

Bölüm 1: Temel Kavramlar

KONU 8

Kuyruk Teorisi’nin Bileşenleri

Varışlar:Müşteriler sisteme belirli bir varış yapısında girerler

Kuyrukta Bekleme :Müşteriler sırada veya sıralarda hizmet almak içinbeklerler

Hizmet :Mülşterilerin hizmeti alması ve müteakiben sistemiterk etmeleri gereklidir

Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ

16.07.2012

2

İşletmelerde Kuyruk Sistemi

Mülteri

Hizmet Sunucu

Müşteriler sırada bekler

Hizmet

Hizmeti alanlar sistemi terk eder

Müşterilerin Varışı


Varış Süreci

1. Deterministik Varış Süreci

2. Rassal Varış Süreci

Poison Dağılımı


16.07.2012

3

Poison Dağılımına Bağlı Olan Varışlar için Koşullar

Düzenlilik – Müşteri hizmet imkanından heranfaydalanabilir

Durağanlık– Bekleme hattı her müşteri için aynızaman ve uzuluktadır, durağandır

Bağımsızlık – Müşteriler birbirinden bağımsız olaraksisteme giriş yaparlar


Poison Dağılıma Bağlı Varışlar

λ = birim zamanda ortalama varış hızıt = zamane = 2.7182818k! = k (k-1) (k-2) (k-3) . . . (3) (2) (1)

!

)()(

k

etkXP

tk λλ −

==t süresinde k varışın olma

olasılığı


16.07.2012

4

Örnek - Bilgisayar Donanım Problemi

Müşteriler Poison dağılıma uygun varış yapmaktadır.

Salı 8:00-9:00 = 6 müşteri (ortalama) ise;

8:00-8:30 Saatleri arasında varış yapma olasılığınedir ?



λ = 6 müşteri varışı / saat

t = 30 dk. = 0.5 saat

λ t = 6(0.5) = 3 müşteri


16.07.2012

5


P(X=0) = 30 e-3 / 0! = e-3 = 0.049787

P(X=1) = 31 e-3 / 1! = 3e-3 = 0.149361

P(X=2) = 32 e-3 / 2! = 9e-3/2 = 0.224042

P(X=3) = 33 e-3 / 3! = 27e-3/6 = 0.224042

P(X=4) = 34 e-3 / 4! = 81e-3 /24= 0.168031

1 - 0.049787 - 0.149361 = 0.800852 (~80.1 %)

!

)()(

k

etkXP

tk λλ −

==


Bekleme Hattı

Hat şekli (bir tane uzun bekleme hattı veya birkaç tane kısa hat)

Müşteriler

Hizmet sunucu

A B C D


16.07.2012

6

Bekleme Hattı

Kuyruk Atlama (Müşteriler arası kuyruk atlama yapısı)

Sunucu A Sunucu B Sunucu A Sunucu B


Bekleme Hattı

Katılmama (kuyruk yeterince uzun olduğunda müşterinin hatta girmektenvazgeçmesi)


16.07.2012

7

Bekleme Hattı

Öncelik (müşterilerin hizmet görme sıraları farklılık gösterebilir)

İlk gelene, hizmet ilk olarak verilir (FCFS)

Son gelene, hizmet en son verilir (LCFS)

Rassal gelen, hizmeti rassal olarak alır


Bekleme Hattı

Atlamalı Bekleme Hatları (ikinci bir hat gerekli olduğunda kullanılır, araçmuayene istasyonları)


16.07.2012

8

Bekleme Hattı

Homojen sıralar (Tüm müşteriler aynı seviyede hizmet ihtiyacındadır)


Hizmet Süreci

1. Deterministik Hizmet Süreci

2.Rassal Hizmet Süreci

Üssel Olasılık Dağılımı


16.07.2012

9

Üssel Hizmet Dağılımının Süreye Bağlılığı

XeXf

µµ −=)(

µµµµ = ortalama servis hızı (birim zamanda hizmet sunulabilen ortalama müşteri sayısı)

1 / µµµµ = ortalama servis zamanı

tetXP

µ−−=≤ 1)(“t” süresinde

hizmetin tamamlanma olasılığı



Hizmet süresi = 4 dk.

Üssel dağılım

Servis zamanının < 3 dk.’dan kısa olma olasılığı ?


16.07.2012

10


Ortalama servis zamanı = 1/µ = 4 dk.

Ortalama servis hızı = µ = 1/4 müşteri / dakika

Bir hizmetin 3 dk.’dan kısa verilme olasılığı ;

3 dk.’yı saate çeriverelim, 3/60 = 0.05 saat

P(X<0.05) = 1 - e-15 x 0.05 = 1 - e-0.75

= 1- 0.47237 = 0.52763

tetXP

µ−−=≤ 1)(


Modeldeki Formüllerin Özeti

Arrival rate = Average number of arrivals per unit time

Service rate = Average number of services per unit time

Probability of k arrivals in t time

Probability of k services in t time

Average time between arrivals Avergae service time

Probability that an arrival will occur within t time

Probability that service will be completed within t time

Probability that the next arrival will not occur within t time

Probability that service time will be grater than t time

Arrivals Services

te

µ−−1

te

µ−te

λ−

te

λ−−1

λ/1 µ/1

!

)(

k

ettk λλ −

µ

!

)(

k

ettk µµ −

λ

Hizmet

Varış hızı

“t” sürede “k” varışını olma olasılığı

Varışlar arasındaki ortalama zaman

Herhangi bir varışın “t” süre.inde gerçekleşme olasılığı

Müteakip varışın “t” zamanı içinde oluşmama olasılığı

Varışlar

Hizmet hızı

“t” sürede “k” hizmetin verilme olasılığı

Ortalama hizmet zamanı

Hizmetin “t” süresinde tamamlanma olasılığı

Servis süresinin “t” süresinden büyük olma olasılığı


16.07.2012

11

Kesikli ve Sabit Durum Süreleri

Kesikli Süreç :Başlangıçtaki kesikli sistem yapısı uzun vadedesistemi temsil edememektedir.

Sabit Süreç :Uzun vadeli olasılıklar durağan bir hal sürecindegerçekleşmektedir. Diğer ifadeyle, sistemde “n” müşteri bulunmaolasılığı zamana karşı uzun vadede sabittir.

zaman

# (müşteri sayısı)


Durağan Hale Ulaşmak için Bazı Gereklilikler

Sistem Gereklilik

Tekli hizmet sunucu λ < µ

k sunucu, farklı hizmet hızları λ < µ1+ µ2+.. +µk

k sunucu, aynı hizmet hızı λ < k µ


16.07.2012

12

Durağan Hal Performans Ölçütleri

P0: Sistemde müşteri olmama olasılığı

Pn: sistemde “n” müşteri olma olasılığı

L: Sistemdeki ortalama müşteri sayısı

Lq: Sıradaki ortalama müşteri sayısı

W: Sistemde bir müşteri tarafından harcanan ortalama zaman

Wq: Sırada bir müşteri tarafından harcanan ortalama zaman

Pw: Varış yapan müşterin hizmet almak için bekleme olasılığı

ρρρρ : Hizmet hattının kullanım hızı (hatların meşguliyet oranı, %)


Little Modeli

Kuyruk teroisi kapsamındaki performans kriterleri

arasında karşılıklı ilişkileri “Little” formülleriyle

çözümlemek mümkündür.

L = λλλλ W

Lq = λλλλ Wq

L = Lq + λ /λ /λ /λ / µµµµ


16.07.2012

13

Kuyruk Sistemlerinin Gösterimi

Varış Süreci / Hizmet Süreci/ Sunucu Sayısı

M Markoviyan

D Deterministik

G Genel

M / D / 5

M / D / 5 / 10 / 20


M / M / 1 Kuyruk Sistemi

Özellikler

Gelişler Poison dağılımdadır

Hizmet süresi Üssel dağılım sergiler

Tekli hizmet sunucu vardır

Kuyruk potansiyel olarak sonsuz uzunluktadır

Gelen müşteri sayısı sonsuzdur


16.07.2012

14

Performans Ölçütleri

P0 = 1- (λλλλ //// µµµµ)

Pn = [1 - (λλλλ //// µµµµ)] (λλλλ //// µµµµ)n

L = λλλλ //// (µµµµ - λλλλ)

Lq = λλλλ 2 //// [µµµµ(µµµµ - λλλλ)]

W = 1 //// (µµµµ - λλλλ)

Wq = λλλλ //// [µµµµ(µµµµ - λλλλ)]

Pw = λλλλ //// µµµµ

ρρρρ = λλλλ //// µµµµ

Bir müşterinin, sistemde “t” süresinden fazlabekleme olasılığı ;

P(X>t)= e-(µ − λ)tDoç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ

Örnek – Ayakkabı Şirketi

Müşteriler, 12 dakikada bir ortalama hızda veposion dağılıma uygun olarak varış yapmaktadır.

Servis hızı ortalama 8 dk. / müşteri

�irket yönetimi; bu hizmet için performansdüzeyinin belirlenmesini istemektedir.


16.07.2012

15

Örnek – Ayakkabı Şirketi - Çözüm

Verilerλ = 1/ 12 müşteri / dk. = 60/ 12 = 5 müşteri/saatµ = 1/ 8 müşteri / dk. = 60/ 8 = 7.5 müşteri/saat

Performans HesaplamalarıP0 = 1- (λ / µ) = 1 - (5 / 7.5) = 0.3333Pn = [1 - (λ / µ)] (λ/ µ) = (0.3333)(0.6667)nL = λ / (µ − λ) = 2Lq = λ2/ [µ(µ − λ)] = 1.3333W = 1 / (µ − λ) = 0.4 saat = 24 dk.Wq = l / [µ(µ − λ)] = 0.26667 saat = 16 dk.

Pw = λ / µ = 0.6667ρ = λ / µ = 0.6667


Kuyruk Teorisi

Bölüm 2 : Modeller

16.07.2012

16


M / M / k kuyruk Sistemi

Özellikler

Gelişler Poison dağılımdadır

Hizmet süresi Üssel dağılım sergiler

“k” tane sunucu vardır ve bunların müşteri hizmet

hızı “µ “ ‘dır




P

n k

k

k

n k

n

k0

0

1

1

1 1=

+

−

∑

=

−

! !

λµ

λµ

µ

µ λ

Pn

P

k kP

n

n

n

n k

=

≤

=

−

λµ

λµ

!

!

0

0

for n k.

P for n > k.n


16.07.2012

17


( ) ( )W

k k

P

k

=

− −+

λµ

µ

µ λ µ1

1

2 0

!

Little Formülünden; diğer performans ölçütleri olan L, Lq, Wq, hesaplanabilmektedir.

Pk

k

kP

w

k

=

−

10

!

λµ

µ

µ λρ

λ

µ=

k



Örnek – Posta OfisiPostane cumartesileri 9:00 ile 13:00 saatleri arasında açık

kalmaktadır.

Veriler

- Bu sürede, sisteme ortalama olarak 100 müşteri gelmekteve bu kişilere 3 adet personel hizmet vermektedir.

- Varışlar Poison dağılımına, hizmet süreleri ise Üsseldağılıma uygun olmaktadır.

Postane Yöneticisi aşağıdaki hususları öğrenmekistemektedir ;

- Mevcut hizmetin seviyesinin değerlendirilmesi

- Tek personele düşüldüğü takdirde bu durumun hiztmeteolan etkileri

16.07.2012

18


Örnek – Posta Ofisi - Çözüm

Problemdeki veriler incelendiğinde sistemin M / M / 3 kuyruksistemi olduğu anlaşılmatadır.

Verilerλ = 100 müşteri / saatµ = 40 müşteri / saat (60 / 1.5)

Durağan durum var mıdır ? (λλλλ < kµµµµ ))))

λ = 100 < kµ = 3(40) = 120

“Durağanlık söz konusudur”


M / G / 1 kuyruk Sistemi

Özellikler

Müşteriler Poisson dağılıma uygun olarak ve λ ortalama

debisinde varış yapmaktadır.

Hizmet süresi ortalama hizmet hızı µ� olan genel dağılım

sergilemektedir.

Tekli hizmet sunucu mevcuttur.



16.07.2012

19


( )L =

+

−

+

2

2

2 1

λ σ λµ

λµ

λ

µ

Dağılımın yalnızca ortalaması ve standart sapması

belirli ise yukarıdaki formül kuyruk uzunluğunun

tespitinde kullanılabilmektedir.

L için Pollaczek – Khintchine Formülü


Örnek – TV Tamir Şirketi

Veriler

Bir Tv veya setin tamiri ortalama 2.25 saattir.

Tamir süresinin standart sapması 45 dk.’dır.

Müşteriler Poison dağılım ile varış yaparlar, ortalama varış hızı2.5 müşteri / saat’tir.

Tek çalışan günde 9 saat çalışmaktadır.

Yeni alınacak tamir ekipmanı ile; yeni tamir süresinin 2 saat,standart sapmasının ise 40 dk.’ya düşmesi beklenmektedir.

16.07.2012

20


İstenenler:

1)Tamirat için bekleyen ortalama set miktarı

2) Bir müşterinin ortalama bekleme süresi

Örnek – TV Tamir Şirketi


Örnek – TV Tamir Şirketi - Çözüm

Bu verilerden sistemin M / G / 1 olduğu anlaşılmaktadır.

VerilerMevcut sistem (yeni ekipman olmadan)

λ = 1/ 2.5 = 0.4 müşteri / saatµ = 1/ 2.25 = 0.4444 müşteri / saatσ = 45/ 60 = 0.75 saat

Yeni sistem (yeni ekipman oluduğu takdirde)µ = 1/2 = 0.5 müşteri / saatσ = 40/ 60 = 0.6667 saat

16.07.2012

21

Kuyruk Teorisi

Bölüm 3 : Ekonomik Analiz


Kuyruk Sistemlerinin Ekonomik Analizi

Servis Sistemlerinde Maliyetler

� Servis süreci yatırım maliyeti� Sistemin İşletim maliyeti

İşletim Maliyeti = Bekleme Maliyeti + Servis MaliyetiBekleme Maliyeti = f (Servis debisi, Geliş debisi)Servis Maliyeti = h (Servis debisi)

Maliyetler

Servis Debisi

Toplam Maliyet (TM)

Bekleme Maliyeti (C1)

Hizmet Maliyeti (C2)

Hizmet Seviyesi

16.07.2012

22


Optimal Hizmet Hızı

TM Rassal Değişken ise; TM = Bekleme Maliyeti + ServisMaliyeti

B (TM) = C1 + C2 µ

µ * = λ +

µ * = Servis hızının optimum değeri

λ = Ortalama varış hızı

λ−µ

λ

2

1

CC λ


Optimal Hizmet Hızı

Örnek:

Bir depoya araçların gelişi Poison olup, saatte ortalama 10

araç gelmektedir.

6 kişilik bir boşaltım ekibi bir aracı ortalama 5 dakikada

boşaltabilmektedir.

Boşaltım süresinin üssel dağılım sergilemektedir.

Bir aracın bir saat bekleme maliyeti 25.000 birimdir.

Ekipteki kişilere saat başı 5.000 birim ödenmektedir. Bu

veriler ışığında, en iyi ekip sayısını bulunuz.

16.07.2012

23


Optimal Hizmet Süresi

λ = 10 araç/saatC1 = 25.000 birimC2 = ?C2 = 6 x 5.000 / 12 = 2.500 birim

x : Ekipteki kişi sayısı (ortalama debiden bulunacaktır)1 saatte 6 kişi 12 araç1 saatte x kişi µx araç (lineer ilişki olsun)µx = 12x / 6 = 2xµ*x = 20 araç / saat (formülden bulunur)20 = 2x ise; x= 10 kişilik ekip

Not: µx kesikli değişken ise, farklı µx’ler bulunarak en düşüktoplam maliyetlisi seçilir.


Kuyruk Sistemlerinin Ekonomik Analizi

Daha önceki bölümlerde açıkladığımız performansölçütlerinin tanıtılmasındaki temel amaç, söz konusuölçütlerin “minimal maliyetli” kuyruk sistemleriningeliştirilebilmesidir.

Bu kapsamda, aşağıda sunulan maliyetlerin tahminigerekmektedir :

Sunucu başına saatlik maliyet

Müşterinin bekletilmesine yönelik maliyet (şerefiye)

Müşteriye bekleme hattında hizmet sunulmasınınmaliyeti

16.07.2012

24


Örnek – Gıda Şirketinin Müşteri Hattı

Bir gıda şirketi, müşterilerinin sorularına cevap verebilmek için 800numaradan hizmet vermektedir.

VerilerSaatte ortalama 225 çağrı alınmaktadır.Her görüşme ortalama 1.5 dk. sürmektedir.Müşterinin hatta bekleme süresi 3 dk.’dır.Müşteri hizmetleri temsilcisi saatte 16 $ kazanmaktadır.Gıda şirketi, telefon operatörüne müşteriler hatta kaldığında veyahizmet verildiğinde dakkada 0.18 $ ödemektedir.Müşterinin hatta kalmasının maliyeti 0.2 $/dk.’dır.Müşterilere hizmet sunulmasının maliyeti 0.05 $/dk.’dır

Bu kapsamda, saatlik faaliyet maliyetini minimize edebilmek için Gıda�irketi’nin kaç adet müşteri hizmetleri temsilcisi istihdam etmesigerektiğini bulunuz.


Çözüm - Toplam Maliyet Modeli

“k” adet müşteri temsilcisi istihdam

etmenin saatlik toplam ortalama

maliyeti

Toplam saatlik maaş Beklemedeki müşterilerin

ortalama saatlik şerefiye maliyeti

TC(k) = Cwk + CtL + gwLq + gs(L - Lq)

Saatlik toplam ortalama telefon

gideri

Hizmet sunulan müşterilerin saatlik ortalama şerefiye

maliyeti

TC(k) = Cwk + (Ct + gs) L + (gw – gs) Lq

16.07.2012

25


Veriler

Cw= $16

Ct = $10.80 /saat [0.18(60)]

gw= $12 /saat [0.20(60)]

gs = $0.05 /saat [0.05(60)]

Toplam Saat Başı Ortalama Maliyet :

TC(k) = 16k + (10.8+3)L + (12 - 3)Lq

= 16k + 13.8L + 9Lq



Gelişlerin Poisson, servis zamanının ise Üssel dağılımsergilediği varsayılırsa, M / M / k kuyruk sistemi üzerindengerekli hesaplamalar yapılabilir.

λ = 225 çağrı /saatµ = 40 / saat (60 / 1.5)

Durağan durumun oluşması için (λ < kµ) mümkün olanminimal k değeri 6 olacaktır.

L, Lq, and Wq parametreleri için gerekli işlemler yapıldığındaaşağıdaki sonuçlara ulaşılmaktadır.


16.07.2012

26


k L Lq Wq TC(k)

6 18.1249 12.5 0.05556 458.627 7.6437 2.0187 0.00897 235.628 6.2777 0.6527 0.0029 220.509 5.8661 0.2411 0.00107 227.12

10 5.7166 0.916 0.00041 239.70

Değişik Müşteri Sayılarının Maliyete Etkisi

Sonuç : bu veriler ışığında 8 adet müşteri temsilcisinin istihdamı önerilebilir.

k = 6, 7, 8, 9, 10 için hesaplamalar yapılamalıdır.


Atlamalı Kuyruk Sistemleri

Atlamalı kuyruk sisteminde, müşteri belirli bir hizmetsunucusunda hizmetini temin ettikten sonra diğer sunucularıda ziyaret etmektedir.

Müşterilerin Poison dağılımına uygun olarak varış yaptıklarıve sunulan hizmetin zamanının ise üssel dağılım sergilediğidikkate alındığında;

Sistemdeki Her Sunucu Toplam Ortalama = İstasyonundaki

Zaman Ortalama Hizmet Sürelerinin Toplamı

16.07.2012

27


Ödev 8 – Müzik Aletleri Satıcısı Bölüm - 1

Müzik ekipmanları satışı gerçekleştiren bir şirketin satış süreciaşağıdaki gibidir :

- Müşteriler siparişlerini satış temsilcisi kanalıyla vermektedir.- Müşteri daha sonra kasaya giderek siparişinin ödemesini gerçekleştirir.- Ödemeyi müteakiben, müşteri ürünü alabilmek için teslimat masasına

yönlendirilmektedir.

Normal bir Cumartesi günü için veriler:

a) Personel:

8 satış görevlisi, 3 kasiyer, 2 işçi teslimat alanında görevlidir.

b) Ortalama Hizmet Süreleri :

Satış görevlisinin bir müşteri için beklediği ortalama süre 10 dk.Ödeme süreci için gereken ortalama süre 3 dk.Teslimat işlemi için gereken ortalama süre 2 dk.

c) İstatistiksel Dağılımlar :

Tüm hizmet birimlerinde hizmet süreleri Üssel dağılım sergilerMüşterilerin sisteme varışları Poison dağılımda olup, varış hızı 40müşteri/saat’tir.


Varış yapan müşterilerin %75’i satın alma gerçekleştirilyor ise;

1) Verileri dikkate alarak soruya uygun olan kuyruk sisteminin

türünü belirleyiniz.

2) Müzik aletleri satış merkezinde bir müşterinin satın alma işlemi

için harcadığı ortalama süreyi bulunuz.

3) Hizmet istasyonlarına ilişkin akım şemasını çiziniz ve ilgili kuyruk

sitemi notasyonlarını da belirterek tüm sonuçlarınızı gösteriniz.

Bu kapsamda gerekli açıklama ve yorumları yapınız.

Teslim Tarihi : 24 Mayıs 2006

Ödev 8 – Müzik Aletleri Satıcısı Bölüm - 1

16.07.2012

28


Ödev 8 – Bölüm - 2

B (TM) = C1 + C2 µ (Eşitlik 1)

µ * = λ + (Eşitlik 2)

Toplam maliyet fonksiyonu (Eşitlik 1) dikkate alarak, optimalhizmet debisinine ilişkin Eşitlik 2’nin nasıl elde edilebileceğinigerekli matematiksel işlemleri yaparak açıklamalar ilegösteriniz.

λ−µ

λ

2

1

CC λ


ÇözümBu sorudaki veriler üç istasyonlu atlamalı kuyruk sistemidir.

M / M / 8

M / M / 3M / M / 2

λλλλ1111 = 40

λλλλ2222 = 30λλλλ3333 = 30

W1111 = 14

W2222 = 3.47W3333 = 2.67

Toplam süre = 20.14 dk.

Documents

Kuyruk Teorisi