Kvantni brojevi

Konstante kretanja u klasičnoj fizici

• Pod djelovanjem centralnih sila javljaju se konstante kretanja uklasičnoj fizici

• To su veličine koje se ne mijenjaju s vremenom- ukupna energija sistema, moment količine kretanja i naelektrisanje

• U kvantnoj mehanici dolazi do kvantiziranja ovih veli čina

KVANTNI BROJEVI KOJE SMO DO SAD UVELI

Kvantni brojevi do sad uvedeni- radi objašnjenja eksperimentalnih rezultata (spektralne linije)

Bor je uveo glavni kvantni broj n kvantizacijom momenta količine kretanja koji odreñuje ukupnu energiju dozvoljenih stanja atoma vodika. Nije mogao da objasni spektre komplikovanijih atoma

Sommerfeld prostornim kvantovanjem uvodi još dva dodatna kvantna broja, ali broj linija u atomskim spektrima ne odgovara broju linija koji se dobije iz njegove teorije

Rješavanje Schrodingerove jednačine � ΨΨΨΨ(r, θ, ϕ)= R(r) Y( θ, ϕ)

ΨΨΨΨnlm =Rnl Ylm

valna funkcija zavisi od 3 kvantna broja n,l i m

Sferne koordinate- separacija varijabli

Kvantna teorija uvodi kvantne brojeve, kao rezultat rješavanja Schredingerove jednačine uz granične uslovePogledajmo elektron u atomu vodika

• Vlastite funkcije vodikovog atoma

Kvantni brojevi

Rješavanje Schrodingerove jednačine � ΨΨΨΨ(r, θ, ϕ)= R(r) Y( θ, ϕ)

Sferne koordinate su vezane za brojeve n, l i m koji odreñuju moguće vrijednosti energije E (n), ugaonog momenta L elektrona (broj l) i projekcije tog momenta na Z-osu (broj m).

Rješenje za vodikov atom (svojstvene vrijednosti):

ΨΨΨΨnlm =Rnl Ylm

220

42

2 8

1

h

eZm

nE e

n ε−=

n - glavni kvantni broj (n=1,2,3,......)

svi elektroni istog kvantnog broja n pripadaju istoj ljusci. Oznake za ljuske su (K, L, M, ....);

n=1 K

n=2 L

n=3 M

l- orbitalni kvantni broj

Bohrov model kružnih putanja ne može objasniti finu strukturu, ni Starkov ni Zeemanov efekt (cijepanje linija u električnom i magnetnom polju).

Sommerfeld je proširio model na eliptički model atoma. Valna mehanika pokazuje, umjesto Bohrovog L=nħ, da je:

gdje orbitalni kvantni broj l može za odreñeni glavni kvantni broj n poprimiti ove vrijednosti:

l=0,1,2...n-1

Orbitalni kvantni broj odreñuje moment količine kretanja. Stanja sa odreñenim l označavaju se malim slovima s, p, d, f,

( )ℏ1+= llL

l=0 sl=1 pl=2 d

Moguća stanja: 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d ...

ml - magnetni kvantni broj

ml odreñuje vrijednosti koje može imati Z komponenta ugaonog momenta tj.

Za odreñeni l magnetni kvantni broj može poprimiti 2l+1 cjelobrojnih vrijednosti izmeñu –l i l, tj.

m l=0,±±±±1,±±±± 2,..., ± l

Kvantna mehanika tačno odreñuje broj mogućih vrijednosti intenziteta njegove Z-

komponente. Pošto je elektron naelektrisana čestica u kretanju, on proizvodi magnetno polje. Kvantizacija komponente ugaonog momenta u 2l+1 različito stanje

usko je vezana sa magnetnim osobinama pa se ml zove magnetnim brojem.

ℏlz mL =

L�

Lm

e

e

��

2−=µElektron koji se kreće oko jezgre čini

zatvorenu strujnu petlju odreñenog magnetskog momenta.

l=2m=-2,-1,0,1,2Uobičajen prikaz vektora L za odreñeni kvantni broj m

Ograničenja kvantnih brojeva su vezana za moguća stanja elektronau atomu

Oznake stanja elektrona u omotaču

∆l = ±1 ∆ml= 0, ±1

Dozvoljeni prelazi- selekciona pravila

Energetski spektar atoma vodika

Spin- četvrti kvantni broj

• Linijski spektri atoma pokazuju finu strukturu• Bor to nije uspio objasniti• Sommerfeldov relativistički proračuna za vodikov atom pokazuje

cijepanje linija, ali broj linija koji dobiva ne slaže se sa eksperimentom

Cijepanje spektralnih linija kada se atomi koji emitiraju svjetlost nalaze u magnetnom polju opazio je 1896. Zeeman.

Cijepanje energetskih nivoa u magnetnom polju (EB=µzB) uzrokuje cijepanje spektralnih linija tj. nastaje Zeemanov efekt.

Cijepanje energijskih nivoa tj. spektralnih linija u električnom polju je Starkov

efekt.

• Anomalni Zeemanov efekat- fina struktura (čak i bez mag. polja)• Pauli 1925. godine, da bi objasnio finu strukturu predlaže uvoñenje

novog kvantnog broja za elektron koji može poprimiti samo dvije vrijednosti. Vjerovao je da je spinski kvantni broj vezan za ograničenje koordinate vremena u relativističkoj teoriji, ali to nije bilo tačno

• Četvrti kvantni broj (spinski) uvode 1925. godine Samuel Goudsmit i George Uhlenbeck posmatrajući elektron klasično. Elektron okrećući se oko svoje ose mora imati ugaoni momenat usljed rotacije Ls, a kako je negativno naelektrisan mora posjedovati i spostveni magnetni momenat µµµµs koji će biti suprotno orijentisan od ugaonog magnetnog momenta

• Kvantni broj spina uvodi se u Diracovoj relativističkoj kvantnoj teoriji i nema veze sa vrtnjom elektrona oko svoje ose. Spin je intrinsično svojstvo elektrona (poput naboja ili mase elektrona) koje se može opisati pomoću spinskog kvantnog broja

• Spinski kvantni broj s koji se koristi za opisivanje spinskog ugaonog momenta elektrona prema Dirakovoj teoriji trebalo bi dobiti iz podataka o spektrima.

• Istražujući spektre bez vanjskog polja pokazuje se da je svaki energetski nivo (izuzev s stanja) razložen u dvije komponente (dublet), dok su s stanja singleti.

• s, 2s +1 podstanja pod dejstvom unutrašnjeg mag. polja• Broj podstanja je 2 tj. 2s+1=2 tj. s=1/2

( )

2

1

2

1

2

12

3)1

−==

=

=

=+=

ss

sZ

mm

mS

s

ssS

S

ℏ

ℏℏ

�Vlastiti moment količine kretanja elektrona(spinski ugaoni moment)

Intenzitet vlastitog ugaonog momenta

spinski kvantni broj ili spin

Z- komponenta ugaonog momenta spina

Magnetni spinski broj

Ukupni moment količine kretanja:

ℏ

���

)1( +=

+=

jjJ

SLJ Russel-Sandersovo vezanje

1. Kretanje elektrona u atomu odreñeno je sa četiri kvantna broja.

2. U elektronskom omotaču elektroni su rasporeñeni po tzv. Paulijevom principu zabrane

Ljuska je popunjena kad sadrži 2n2 elektrona

Postoje 4 kvantna broja n, l, ml, ms, s nije pravi kvantni broj jer ima samo jednu vrijednost

• Primjer.• Napiši sve kvantne brojeve za stanja• a) 1s• b) 2p