La géométrie

La géométrie à l’école

Elle renvoie à deux domaines de connaissance:les connaissances spatiales qui permettent à chacun de contrôler ses rapports à l’espace environnant;

les connaissances géométriques qui permettent de résoudre des problèmes portant sur des objets situés dans l’espace physique ou dans l’espace graphique

L’enseignement de la géométrie : les objectifs

Apprendre à raisonner : nécessité d'articuler observation, intuition, connaissance et rigueur.

Initier aux aspects culturels et esthétiques : urbanisme, architecture, arts visuels…

Connaître quelques utilisations courantes et professionnelles :lecture de plans ou de cartes, logiciels, astronomie...

Développer la «vision dans l'espace».Comment représenter ce que nous voyons autour de nous (schéma, plan, vue en perspective...) ?

Guy Brousseau propose une classification de ces différents milieux en trois types d ’espace : le micro-espace: espace des petits objets que le sujet peut manipuler, déplacer ... Le sujet est à l’extérieur de l’espace; il n’est pas nécessaire de conceptualiser pour appréhender cet espace (ex. espace feuille)

L’enseignement de la géométrie : les objectifs

Le méso-espace: espace des situations où le sujet doit prendre des décisions relatives à un territoire placé sous le contrôle de sa vue. Ex. la classe de l’élève : une conceptualisation est utile pour appréhender cet espace.(maquette, plan...)

Le macro-espace: espace des situations où le sujet doit prendre des décisions relatives à un territoire beaucoup trop grand pour qu’il puisse l ’embrasser d ’un regard.

APPRENTISSAGE SUR LE LONG TERME

Cycle 2

Les élèves enrichissent leurs connaissances en matière d’orientation et de repérage.

Ils apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes et des solides.

Ils utilisent des instruments et des techniques pour reproduire ou tracer des figures planes.

Ils utilisent un vocabulaire spécifique.

LES PROGRAMMES

Cycle 3

L’objectif principal de l’enseignement de la géométrie du CE2 au CM2 est de permettre aux élèves de passer progressivement d’une reconnaissance perceptive des objets à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de mesure.

Les relations et propriétés géométriques :alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs, symétrie axiale, milieu d’un segment.

L’utilisation d’instruments et de techniques : règle, équerre, compas, calque, papier quadrillé, papier pointé, pliage.

LES PROGRAMMES

Les figures planes : le carré, le rectangle, le losange, le parallélogramme, le triangle et ses cas particuliers, le cercle :

- description, reproduction, construction ;

- vocabulaire spécifique relatif à ces figures : côté, sommet, angle, diagonale, axe de symétrie, centre, rayon, diamètre ;

- agrandissement et réduction de figures planes, en lien avec la proportionnalité.

Les solides usuels : cube, pavé droit, cylindre, prismes droits, pyramide.

- reconnaissance de ces solides et étude de quelques patrons

-vocabulaire spécifique relatif à ces solides : sommet, arête, face.

Les problèmes de reproduction ou de construction de configurations géométriques diverses mobilisent la connaissance des figures usuelles. Ils sont l’occasion d’utiliser à bon escient le vocabulaire spécifique et les démarches de mesurage et de tracé.

LES PROGRAMMES

ProgressionsCE2 CM1 CM2

Dans le plan

-Reconnaître, décrire, nommer et reproduire, tracer des figures géométriques : carré, rectangle, losange, triangle rectangle.- Vérifier la nature d’une figure plane en utilisant la règle graduée et l’équerre.- Construire un cercle avec un compas.- Utiliser en situation le vocabulaire : côté, sommet, angle, milieu.- Reconnaître qu’une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie, par pliage ou à l’aide du papier calque.- Tracer, sur papier quadrillé, la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à une droite donnée.

-Reconnaître que des droites sont parallèles.- Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : points alignés, droite, droites perpendiculaires, droites parallèles, segment, milieu, angle, axe de symétrie, centre d’un cercle, rayon, diamètre.- Vérifier la nature d’une figure plane simple en utilisant la règle graduée, l’équerre, le compas.-Décrire une figure en vue de l’identifier parmi d’autres figures ou de la faire reproduire.

- Utiliser les instruments pour vérifier le parallélisme de deux droites (règle et équerre) et pour tracer des droites parallèles.- Vérifier la nature d’une figure en ayant recours aux instruments.- Construire une hauteur d’un triangle.- Reproduire un triangle à l’aide d’instruments.

CE2 CM1 CM2

Dans l’espace

- Reconnaître, décrire et nommer : un cube, un pavé droit.

- Utiliser en situation le vocabulaire : face, arête, sommet.

- Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, prisme.- Reconnaître ou compléter un patron de cube ou de pavé.

-Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, cylindre, prisme.- Reconnaître ou compléter un patron de solide droit.

Problèmes de reproduction, de construction

- Reproduire des figures (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d’un modèle.- Construire un carré ou un rectangle de dimensions données.

- Compléter une figure par symétrie axiale.- Tracer une figure simple à partir d’un programme de construction ou en suivant des consignes.

- Tracer une figure (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d’un programme de construction ou d’un dessin à main levée (avec des indications relatives aux propriétés et aux dimensions).

Progressions

Socle commun Palier 1

Compétence 3Palier 2

Compétence 3

- situer un objet par rapport à soi ou à un autre objet, donner sa position et décrire son déplacement ; - reconnaître, nommer et décrire les figures planes et les solides usuels ; - utiliser la règle et l’équerre pour tracer avec soin et précision un carré, un rectangle, un triangle rectangle

- Reconnaître, décrire, nommer des figures géométriques : carré, rectangle, losange, triangle (et ses cas particuliers), parallélogramme, cercle.

- Décrire une figure en vue de l’identifier parmi d’autres figures ou de la faire reproduire.

- Reconnaître qu’une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie.

- Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : côté, sommet, angle, milieu, diagonale, centre d’un cercle, rayon, diamètre, axe de symétrie.

- Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, cylindre, prisme.

- Reconnaître, décrire et nommer une pyramide.

- Reconnaître et compléter un patron de solide droit.

- Utiliser en situation le vocabulaire : face, arete, sommet (d’un solide).

-Reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels.

- Utiliser la règle, l’équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision.

- Percevoir et reconnaître parallèles et perpendiculaires.

- Résoudre des problèmes de reproduction, de construction.

Quatre modes de résolution de problèmes géométriques

Résolution perceptive : estimationLes enfants identifient à l’oeil un carré. Attention cette résolution, qui s'appuie sur le vécu des élèves, parfois on s’aperçoit que les enfants de maternelle ont des connaissances réelles sur les propriétés du carré qu’ils ont construites intuitivement même s’ils n’ont pas le vocabulaire qui va avec. Cette résolution les amène à faire une estimation du résultat.

Résolution pratiqueC’est celle des élèves qui collent, découpent, superposent… bricolent pour rendre réelle et concrète leur estimation. (puzzles géométriques, tangram)

Résolution pratico-mathématique Les élèves mesurent, modélisent. Ils sont à la frontière entre le concret et les mathématiques. Ils vont construire une maquette, faire un schéma…

Résolution mathématique Les élèves sont amenés à raisonner tout en continuant d’améliorer leurs compétences manuelles:

Ils sont passés de l’objet réel à l’objet mathématique, ils sont en mesure de généraliser : ces droites sont parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaires à une troisième…

• Accumulation de définitions et de lexique. Beaucoup de fiches, peu de manipulation ou des manipulations sans objectif d'apprentissage

• Séances sans lien évidentConséquence : construction des savoirs de manière isolé. Les concepts ne sont pas replacés parmi d'autres plus généraux ou plus particuliers. Exemple : lien entre carré, losange, rectangle.

• Dogme géométrique : construction règle/compas/papier blancConstruire les savoirs en diversifiant les approches : dessin à main levée, feuille pointée ou lignée...

Quelques obstacles

UN carré a ses quatre côtés égaux mais...

La valeur du « UN »

Nouveau

Coin ?

Pic ?

Bout pointu ?

Sommet !

Angle !

Polysémique

Un vocabulaire …

Un vocabulaire …

Déjà familier ?

Qu’est-ce que c’est ?

Un rectangle penché ? Un carré allongé?

Un vocabulaire POUR :

- Nommer précisément les objets, les particularités- Créer chez l’élève la prise de conscience de la spécificité géométrique- Accéder à l’abstraction- Le maître utilise ce vocabulaire et en facilite l’accès et la maîtrise progressive pour les élèves.

Multiplicité des signes

Une droite

Un segment

L’angle droit

⊥ //Des symboles

Un pointX

P P P

Lors de l'introduction d'un concept présenter des exemples riches et variés.Par exemple, pour une même figure, présenter différentes tailles, différentes orientations...

Quelques principes didactiques1. principe de pluralité

une vision-surface

une vision-ligne

une vision-évidée

une vision “points singuliers”

Éviter les représentations stéréotypées :

- Les triangles équilatéraux.

-Des rectangles qui ont un rapport entre les côtés de 1,5 à 2,5.

- Orientations des carrés et des losanges d'où la nécessité de manipuler des « formes-objets ».

1. Principe de pluralité

Nécessité de replacer un concept parmi d'autres plus généraux, plus particuliers.

Ex : l'étude des quadrilatères ne peut se faire de manière isolée.

2. Principe de hiérarchie

Diagramme ensembliste de Venn pour la classification des quadrilatères

Lors de la construction d'un concept, il faut le situer par rapport au non-concept.

• Expliquer pourquoi les figures A et B sont des polygones et la figure C ne l'est pas.

• Expliquer pourquoi les solides A et B sont des polyèdres et le solide C ne l'est pas.

3. principe de négation

A B C

A B C

• Proposition : utiliser un tri ou une séance non/oui

Définition du parallélogramme

Oui Non

Des jeux préliminaires, structurés et concrets apportent des expériences nécessaires à partir desquelles les concepts géométriques peuvent se construire, à condition que chaque type d'activité soit programmé au moment approprié.

Manipulations avec un objectif précis.

4. le principe dynamique

• La construction intuitive devra précéder l'analyse et la pensée réflexive.

• Permettre aux élèves de dessiner un carré à main levée (à partir de repères, points ou grilles) puis progressivement les doter de savoirs qui vont leur permettre d'affirmer qu'il s'agit bien d'un carré (longueurs des côtés et angles par exemple)

5. le principe de constructivité

• Pour tenir compte des différences individuelles dans la formation des concepts, le même concept est présenté sous la forme de plusieurs situations équivalentes.

• Par exemple, un travail d'étude des solides peut être mené à partir de différents outils : logiciel, photos, squelettes, perspectives, construction de patrons sur papier ligné, blanc...

6. le principe de variabilité perceptuelle

Le prisme droit à base triangulaire

Il est composé de 4 faces rectangulaires et de 2 faces triangulaires.Il a 9 arêtes et 6 sommets.