Mg. William Richard Sánchez Tapia 1

Universidad Nacional de Ingeniería

I Diplomado de Econometría Aplicada al Desarrollo Económico

Módulo: Evaluación de Política Macroeconómica I

Profesor: Mg. William Richard Sánchez Tapia wsanchezt@ mef.gob.pe

Modelos de Series de Tiempo No Estacionarias: Raíz Unitaria

La presencia de una raíz unitaria en una serie de tiempo económica revela directamente

inestabilidad de la misma, siendo necesario transformarla para poder trabajar con ella.

Supongamos un proceso AR(1) de la forma:

ttt YY 110

Para derivar la expresión tY se debe cumplir las siguientes condiciones:

- El valor absoluto de 1 sea menor a 1 ( )11 Al incluir un rezago adicional el

efecto marginal de los nuevos errores será cada vez menor.

- Que el proceso sea convergente

Se dice que el proceso tiene raíz unitaria si 1 =1.

Si una serie tiene raíz unitaria los shocks que puedan afectar a la serie en un determinado

momento lo harán de manera permanente, dado que potencias sucesivas de 1 no se

diluirán a través del tiempo. Estos procesos son los conocidos paseos aleatorios o random

walk debido a la persistencia de los shocks.

De acuerdo al programa: Ejemplo1_Castro

a) Proceso Estacionario: ttt YY 111 *5.0

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La serie Y1 sigue un proceso estacionario con coeficiente igual a 0.5 siendo una serie

estable presentándose una alta fluctuación alrededor de su valor medio, lo que garantiza

que cualquier shock que afecte a la serie se diluirá rápidamente. En el caso de un proceso

estacionario la FAS se diluye después de un número finito de rezagos y solo el primer

coeficiente del FAP es significativo.

b) Random Walk Clásico: ttt YY 111

La serie Y2 es un paseo aleatorio, serie que por definición tiene una raíz unitaria. El grafico

de líneas muestra dicha raíz unitaria al observarse shocks persistentes que mantienen a la

serie por encima o por debajo de su valor medio por un lapso indeterminado de tiempo.

Según la FAS el proceso tiene memoria larga, los coeficientes de correlación simple no se

diluyen al incrementar el número de rezagos.

c) Random Walk con Drift: ttt YY 121 25.0

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La serie Y3 es un random walk con intercepto igual a 0.25.

Pruebas de Raíz Unitaria

Los tests de raíz unitaria son usados usualmente para evaluar si una serie es estacionara en

diferencia o tendencia. Dada la importancia de las diferencias estadísticas entre series con y

sin raíz unitaria se asume frecuentemente que solo la inspección visual no es suficiente.

Ejemplo 1: Inspección Visual

Ver Programa Ejemplo1_Chumacero

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¿Qué series tienen raíz unitaria?

ty

tt

ty

yy

1

1

9.0

t

tt

tt

zz

05.0

05.0 1

1y Random Walk (RW) 1z Random Walk con drift

2y AR(1) Estacionario 2z Proceso Estacionario en Tendencia

La inspección visual no sirve como guía para distinguir entre series con o sin raíces unitarias

por lo que existen varios tests estadísticos para superar esta limitante.

Del ejemplo las series Y1 Y Z1 tienen raíz unitaria.

Test de Dickey-Fuller

Generalmente viene dado por:

p

i

tititt yyty1

1 ….. (1)

Donde p denota el número de rezagos necesarios para hacer que t sea ruido blanco.

La prueba de hipótesis es:

1:0 H ( ty Tiene una raíz unitaria)

La ecuación anterior es estimada vía MCO con el objetivo de contrastar la hipotes nula

mediante el estadístico t del estimador . La distribución asintótica de este estimador no es

estándar y por tal razón ocurrirían errores Tipo I (Se rechaza la Ho siendo verdadera).

Ejemplo 2: Considérese el siguiente proceso estocástico:

ttt yy 11.0 )1,0(; Nt

Suponga que esta serie es generada 1000 veces bajo las mismas condiciones, donde cada

muestra es también de 1000 observaciones.

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Ver Programa Ejemplo2_Chumacero

Ver Archivo Uroot_ABC

0

20

40

60

80

100

120

140

-4.0 -3.4 -2.8 -2.2 -1.6 -1.0 -0.4 0.1 0.7 1.3 1.9 2.5 3.1 4.0

norm t

B

AC

La línea roja representa la distribución empírica del test de raíz unitaria, mientras que la

línea azul representa la distribución normal. El área denotada por “A” corresponde al error

de Tipo I que ocurriría si el test fuera asintóticamente normal. El área denotada por C

corresponde al error de Tipo I que ocurriría si valores críticos “correctos” fuesen usados. Por

lo tanto, el área “A+B” representa el tamaño de la distorsión generado al utilizar un valor

critico estándar par este tipo de test.

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Test de Dickey- Fuller Aumentado (ADF)

Considerando los siguientes procesos:

GENR y1=0.99*y1(-1)+NRND*5

GENR y2=3.75+0.99*y2(-1)+ NRND*4

GENR y3=1.5+0.55*@TREND+0.75*y3(-1)+ NRND*5

GENR y4=3.5+0.88*y4(-1)+NRND*5

Ver ejemplo2-castro_adfsecuencial.prg

Para testear la existencia de raíz unitaria se sigue el procedimiento descrito en el programa:

Adf_secuencial.prg

Para aceptar la Ho de existencia de una raíz unitaria se debe comparar el valor reportado

como ADF Test Statistics contra el valor critico de MacKinnon, debiéndose cumplir que el

valor absoluto del primero es menor que el del Segundo para los distintos niveles de

significancia.

unitaria raíz una Existe MackstatistictestADF

Resultados:

Serie Y1

La serie Y1

presenta una raíz unitaria al 1 y 10 por ciento de significancia.

Null Hypothesis: Y has a unit root

Exogenous: None

Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12)

t-Statistic Prob.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.700553 0.0842

Test critical values: 1% level -2.588530

5% level -1.944105

10% level -1.614596

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Observando las regresiones obtenidas en inter_adf y trend_adf concluimos que la

especificación del Test ADF no tiene elementos deterministicos, es decir, en la

especificación no es necesario incluir ni intercepto ni tendencia.

A continuación aplicamos Test ADF a la tasa de crecimiento del PBI del Perú a datos

mensuales desde Enero de 1992 a Mayo de 2006. El programa es: adf_secuencial_pbi

De los resultados, concluimos que la tasa de crecimiento del PBI para el caso peruano no

tiene raíz unitaria, este resultado era intuitivamente correcto al saber que los choques de la

demanda agregada y los quiebres de la misma se reflejan en el nivel del producto, pero en

el largo plazo estas variaciones son relativamente constantes tendiendo al estado

estacionario.

Test de Zivot y ANDREWS

Al analizar la estacionariedad de una serie se debe considerar la existencia de un quiebre

estructural, es decir, evaluar la presencia de un cambio en algunos de los elementos

deterministicos que caracterizan a la serie: el intercepto y la tendencia.

La presencia de un quiebre conlleva a que la prueba de Dickey-Fuller pierda potencia y se

acepte la presencia de raíz unitaria cuando en realidad no existe.

Considerando los siguientes procesos:

- Proceso estacionario con quiebre estructural en tendencia

y1=2.5+0.55*y1(-1)+NRND*3

Null Hypothesis: Y has a unit root

Exogenous: Constant, Linear Trend

Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=10)

t-Statistic Prob.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic -8.732552 0.0000

Test critical values: 1% level -4.161144

5% level -3.506374

10% level -3.183002

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

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- Proceso estacionario con quiebre en pendiente

y2=1.75+0.75*@TREND(1)-0.25*y2(-1)+NRND*8

Ver: Ejemplo_Quiebre.prg

Apli

can

do

el

Tes

t de

Dic

key

Fuller obtenemos:

Y1 no tiene raíz unitaria

Y2 tiene raíz unitaria

Zivot y Andrews (1992) construyeron un test para analizar la posibilidad de quiebre

estructural en series estacionarias. Evalúa la presencia de una raíz unitaria a la vez que

considera la posibilidad de que la serie en cuestión presente un quiebre en intercepto

(modelo A), tendencia (modelo B) o ambos (modelo C). La Hipótesis Nula del Test es la

no estacionariedad de la serie.

Ver: Zivot_Andrews.prg

Del ejemplo anterior:

Serie Y1

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Se rechaza la Hipótesis Nula de no estacionariedad a favor de la estacionariedad en

quiebre. Se observan varias fechas tentativas de quiebre.

Resultados de la

prueba F

Serie analizada

Modelo A El quiebre está en el período 46

Modelo B El quiebre está en el período 41

Modelo C El quiebre está en el período 46

Mejor Modelo 1

De acuerdo a los resultados el mejor modelo es el 1, es decir, existe quiebre en intercepto

alrededor del periodo 46 tal como se había especificado. Para corregir este problema se

construye una variable dummy que adopte el valor de 1 a partir del periodo 47 y la aplicara

al intercepto de una regresión de Y1 sobre una constante. Los residuos de esta regresión

corresponderán a la serie Y1 limpia de quiebre estructural.

Ver Programa: Dummy1.prg

GENR Dummy1=0

SMPL 46 100

GENR Dummy1=1

SMPL @ALL

LS Y1 C Dummy1

Y1 = 6.255997031 + 6.391299348*DUMMY1

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En el siguiente grafico apreciamos la serie verdadera, predicha y residuos de la regresión de

Y1 sobre un intercepto y una dummy que adopta el valor de uno a partir del periodo 46

constituyendo la serie Y1 limpia del quiebre estructural.

Serie Y2

Se rechaza la Hipótesis Nula de no estacionariedad a favor de la estacionariedad en

quiebre. Se observan varias fechas tentativas de quiebre.

Resultados de la

prueba F

Serie analizada

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Modelo A El quiebre está en el período 45

Modelo B El quiebre está en el período 45

Modelo C El quiebre está en el período 45

Mejor Modelo 2

De acuerdo a los resultados el mejor modelo es el 2, es decir, existe quiebre en tendencia

alrededor del periodo 45 tal como se había especificado. Para corregir este problema se

construye una variable dummy que adopte el valor de 1 a partir del periodo 46 y la aplicara

al intercepto y tendencia de una regresión sobre Y2. Los residuos de esta regresión

corresponderán a la serie Y2 limpia de quiebre estructural.

Ver Programa: Dummy2.prg

GENR Dummy2=0

SMPL 46 100

GENR Dummy2=1

SMPL @ALL

LS Y2 C @Trend(1) @Trend*Dummy2

En el siguiente gráfico apreciamos la serie verdadera, predicha y residuos de la regresión de

Y2 sobre una tendencia, intercepto y una dummy aplicada a dicha tendencia.

Y2 = 1.049000619 + 0.5008490343*@TREND(1) + 0.761822686*@TREND*DUMMY2