LajesAcetato

8/8/2019 LajesAcetato

http://slidepdf.com/reader/full/lajesacetato 1/43

Escola Superior de Tecnologia e Gestão

Lajes Betão Armado II

1. Introdução

1.1 Generalidades

Uma laje é uma estrutura limitada por dois planos paralelos, com

afastamento h (altura ou espessura da laje), em que h é pequeno

comparado com as outras dimensões, e em que as cargas actuam

perpendicularmente ao plano médio.

acções actuam perpendicularmente

ao plano médio

Figura 1 - Laje

Acções actuam paralelamente ao

plano médio

Figura 2 - Placa

página 1





1.2 Tipos e Classificações

As lajes podem ser classificadas da seguinte forma:

a) Quanto ao tipo de apoio

Lajes vigadas (apoiadas em vigas – figura 3)

Lajes fungiformes (apoiadas em pilares – figura 4 e 5)

Lajes em meio elástico (apoiadas em superfície deformável -

- ensoleiramento geral – figura 6)

Figura 3 - Laje vigada

Figura 4 - Laje fungiforme semcapiteis

Figura 5 - Laje fungiforme comcapiteis

página 2





Figura 6 - Laje em meio elástico

b) Quanto à sua Constituição

Monolíticas (só em betão armado)

o Lajes maciças

o Lajes aligeiradas

o Lajes nervuradas

Mistas (constituídas por betão armado e outro material)

o Vigotas pré-esforçadas

o Perfis metálicos

página 3





c) Modulo de Flexão Dominante

lajes armadas numa direcção (comportamento predominantemente

unidimensional – figura 8)

lajes armadas em duas direcções (comportamento bidimensional –

figura 9)

Figura 7 - Laje armada numadirecção

Figura 8 - Laje armada emduas direcções

d) Modo de Fabrico

Betonadas in-situ

Pré-fabricação total (lajes alveoladas)

Pré-fabricação parcial (lajes aligeiras pré-esforçadas)

página 4





Alguns tipos de lajes devem ser referidas por mais que um termo:

Lajes fungiformes maciças

Lajes fungiformes aligeiradas

Laje vigada maciça armada numa direcção

1.3 Princípios Gerais de Dimensionamento

1.3.1 Modelos de Dimensionamento

Teoria da Elasticidade (com ou sem redistribuição de esforços)

Teoria da Plasticidade – Teoremas estáticos ou cinemáticos

1.3.2 Verificação da Segurança

1.3.2.1 Estados Limites Últimos

a) Flexão

Numa laje as armaduras de flexão são calculadas por metro de

largura, ou seja, considerando uma secção com 1m de base, e

altura igual à altura da laje.

página 5





b) Esforço transverso

Em lajes simplesmente apoiadas não é usual a utilização de

armaduras transversais. Devido ao efeito de arco devem dispor-se

armaduras de tracção suficientes para garantir o atirantamento

(devem ser mantida até ao apoio pelo menos ½ da armadura

longitudinal do vão).

Figura 9 - Efeito de arco Figura 10 - Disposição deArmadura

De acordo com o REBAP, no caso de lajes sem armadura

específica de esforço transverso a verificação da segurança deve

ser feita de acordo com a seguinte expressão:

d d V V V cd Rd Sd ⋅⋅⋅−==≤ 16,0)6,1( τ

página 6





1.3.2.2 Estados Limites de Utilização

De acordo com o REBAP a verificação da segurança pode ser feita

de uma forma indirecta ou directa:

Estados Limites de Fendilhação

Verificação directa – cálculo da abertura característica de fendas e

comparar com valores admissíveis admk ww ≤ ;

Verificação indirecta – Imposição de um limite para o afastamento dos

varões.

Estados Limites de Deformação

Verificação directa – cálculo da flecha a longo prazo e comparar com

valores admissíveis a ;adma≤∞

Verificação indirecta - garantir que a relação entre o vão e altura não

ultrapassa determinado limite (artigo 102).

página 7





1.3.3 Condições de Apoio e Convenção de Esforços

Figura 11 - Condições de apoio e representação de cálculo

Figura 12 - Convenção deesforços numa laje

Figura 13 - Distribuição detensões

página 8





1.3.4 Análise qualitativa do Comportamento Elástico de Lajes

Numa laje as cargas são transmitidas aos apoios segundo duas

direcções.

a) Laje apoiada numa direcção e bordos livres na outra

Uma laje nestas condições de apoio fica sujeita a uma estado de

flexão cilíndrica semelhante sendo o seu comportamento

semelhante ao de uma viga.

Figura 14 - Laje Figura 15 - Viga

página 9





Ao contrário do que sucede nas vigas, em que a deformação

transversal não esta impedida (figura 16), nas lajes cada banda

impede a banda adjacente de se deformar (figura 17).

Figura 16 - Deformação transversal de uma viga sujeita a um momento flector positivo

Figura 17 - Efeito dos esforço na direcção principal na direcção transversal

0=− b

t

a

t ε ε ⇔ 0=−⋅− E

t l

σ ε ν ⇔ l t σ ν σ ⋅=

l t σ ν σ ⋅= → x y M M ⋅=ν → x y A A ≈

página 10





b) Laje apoiada nos quatro bordos com l x y l >>

Figura 18 - Laje apoiada no contorno com ly>>lx

c) Laje apoiada nos quatro bordos com x y l l ≈

Figura 19 - Analogia do comportamento de uma laje com uma grelha

CD AB δ δ = para l → y x l < CD AB M M >

=

r EI M

1

Nota: numa laje apoiada nos 4 bordos os maiores esforços surgem

na direcção do menor vão.

página 11





1.3.5 Resultados de Ensaios em Lajes

Figura 20 - Comportamento de uma laje até à rotura

a) Fase elástica – Estado I – o modelo elástico linear;

b) Fase fendilhada – Estado II - o modelo elástico linear é válido

mas não exacto. Ter em conta a fendilhação;

c) Fase da plastificação – concentração de fendas em bandas

(linhas de rotura). O modelo elástico linear já não é válido;

d)Fase da Rotura – Teoria da plasticidade - deformação por

rotação em torno das linhas de rotura e esmagamento do betão.

página 12





2. Modelo Elástico Linear das Lajes Finas

2.1 Hipóteses Simplificativas

H1 laje de pequena espessura (h<1/10 do vão) constituída por material

homogéneo, isotrópico e de comportamento elástico linear.

H2 É válida a hipótese dos pequenos deslocamentos – os

deslocamentos w são pequenos quando comparados com a espessura

e as inclinações do plano médio ( x

w

∂∂

e ) y

w

∂∂

são pequenas quando

comparadas com a unidade.

Figura 21 - Deformação de um elemento de laje

H3 Hipótese de Kirchoff

a) deformações do plano médio da laje são nulas;

b) as fibras perpendiculares ao plano médio (CO) permanecem

rectas e perpendiculares a este após a deformação.

H4 As tensões normais perpendiculares ao plano médio são pequenas

e desprezáveis quando comparadas com as tensões de flexão ( 03 =σ )

página 13





2.2 Formulação

Campo de deslocamentos → campo de deformações → campo detensões → relação momentos e as tensões normais → relações

entre momentos e as deformações associadas.

∂∂

⋅+∂∂

⋅−=2

2

2

2

y

w

x

w Dm x ν - momento flector na direcção x

∂∂

⋅+∂∂

⋅−=2

2

2

2

y

ww

x

w Dm y - momento flector na direcção y

( )

∂⋅∂

∂⋅−⋅−=

y x

w Dm xy

4

1 ν - momento torçor

)(2

2

2

2

y x x Dv x ∂

∂+

∂∂

⋅∂∂

⋅−=ω ω

- esforço transverso na direcção x

)(2

2

2

2

y x y Dv y ∂

∂+

∂∂

⋅∂∂

⋅−=ω ω

- esforço transverso na direcção y

em que

( )2

3

112 ν −⋅⋅

=h E

D - rigidez de flexão das lajes

ν – módulo de poisson; h – altura da laje

página 14





2.2.1 Equação de Equilíbrio

Figura 22 - Equilíbrio de um elemento de laje

00 =+∂

∂+

∂∂

⇔=∑ q y

v

x

v F

y x z

00 =−∂

∂+∂∂⇔=∑ y

xy y

x v x

m

y

mM

00 =−∂∂

+∂

∂⇔=∑ y

x yx

y v x

m

y

mM

página 15





Substituindo as equações dos momentos e esforços transversos

nas equação anteriores, resulta a seguinte equação diferencial:

q y

m

y x

m

x

m y xy x −=∂

∂+

∂⋅∂

∂⋅+

∂∂

2

2

2

2

2

2.2.2 Equação de Lagrange das Lajes (1811)

D

q

y y x x−=

∂∂

+∂⋅∂

∂⋅+

∂∂

=∇4

4

22

4

4

44 2

ω ω ω ω

A determinação dos esforços resume-se à resolução da equação

diferencial de Lagrange (determinação da função w(x,y)) e

atendendo às condições de fronteira da laje.

Bordo encastrado 0=ω ; 0=∂∂ x

ω

Bordo simplesmente apoiado 0=ω ; 0)(2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

⋅−= y x

Dm x

ω ν

ω

Bordo livre 0= xm ; 0=∂

∂

− y

m

vxy

x

página 16





É possível obter soluções aproximadas da equação de Lagrange a

partir do desenvolvimento em série dupla de Fourier.

Para uma laje apoiada no seu contorno e submetida a uma carga

uniforme pode obter-se a função w(x,y) a partir da seguinte

expressão:

Figura 23 - Laje simplesmente apoiada no seu contorno

( ) ∑∑∞

=

∞

=

+⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅⋅

=..5,3,1

2

2

2

2..5,3,1

6

16,

mm

b

n

a

mnm

b

xm sen

a

xm sen

D

q y x

π π

π ω

página 17





2.2.3 Reacções de Apoio

As reacções num bordo de laje são dadas pelas seguintes

expressões:

y

mvr

xy

x x ∂

∂+=.

x

m

vr xy

y y ∂

∂+=.

Figura 24 - Representação do efeito do momento torçor

Figura 25 - Forças de canto equivalentes à acção do momento torçor

xym R ⋅= 20

página 18





2.2.4 Influência do Coeficiente de Poisson ( µ )

O coeficiente de Poisson varia consoante o material:

Betão armado – segundo o REBAP µ varia entre 0,2 (fase não

fendilhada e 0 (fase fendilhada). Em aplicações correntes tomar o valor

µ=0,2. Nas tabelas de Barés considerar um valor de µ=0,15.

Aço –µ varia entre 0,25 a 0,30.

Deslocamentos transversais (w)

Estes são inversamente proporcionais a( )2

3

112 ν −⋅⋅

=h E

D . Para µ=0 vem

D=0,083.E.h3 e para µ=0,15 vem D=0,085.E.h3. Esta diferença é

inferior a 3%.

Momentos flectores e momentos torsores (mx,my e mxy)

Se calcularmos o momento flector no centro da laje, em que

, cometemos um erro da ordem de 15% (do lado

da insegurança) considerando µ=0. Ao aumentarmos µ a laje torna-se

mais rígida → diminuição de w e aumento dos momentos flectores.

Para os momentos torsores o erro é da ordem 15% para qualquer

ponto.

2222 // yw xw ∂∂=∂∂

Esforços transversos e reacções (v e R)

Os esforços transversos não dependem significativamente de µ.

página 19





2.3 Comparação entre o Modelo de Viga e de Laje

Valores Laje (h=ct) Viga (bxh)carga Carga repartida q(x,y) Carga repartida q(x)

coordenadas

deformada w (x,y) w (x)

equaçãodiferencial D

q

y y x x−=

∂∂

+∂⋅∂

∂⋅+

∂∂

4

4

22

4

4

4

2ω ω ω

EI

q

x−=

∂∂

4

4ω

rigidez de flexão ( )2

3

112 ν −⋅⋅

=h E

D EI,12

3hb I

⋅=

momentos deflexão

∂∂

⋅+∂∂

⋅−=2

2

2

2

y

w

x

w Dm x ν

∂∂

⋅+∂∂

⋅−=2

2

2

2

x

w

y

w Dm y ν

∂∂

⋅−=2

2

x

w EI m y

0≅ ym

momento torçor ( )

∂⋅∂

∂

⋅−⋅−= y x

w

Dm xy

4

1 ν 0≅ xym (carga centrada)

esforçostransversos

)(2

2

2

2

y x x Dv x ∂

∂+

∂∂

⋅∂∂

⋅−=ω ω

)(2

2

2

2

y x y Dv y ∂

∂+

∂∂

⋅∂∂

⋅−=ω ω

∂∂

⋅−=3

3

x EI v x

ω

0≅ yv

v e m

y

m

x

mv

xy x x ∂

∂+

∂∂

=

x

m

y

mv

xy y

y ∂∂+

∂∂=

dx

dmv x

x =

0≅ yv

v e q 0=+∂

∂+

∂

∂q

y

v

x

v y x 0=+∂∂

q x

v x

m e q q y

m

y x

m

x

m y xy x −=∂

∂+

∂⋅∂

∂⋅+

∂

∂2

2

2

2

2 q x

m x −=∂∂

2

2

página 20





3. Teoria da Plasticidade em Lajes

A Teoria da Plasticidade engloba dois métodos: o Estático e o

Cinemático.

3.1 Método Estático

O teorema estático garante que a carga distribuída q, associada a

um campo de esforços equilibrado, isto é, que verifique a equação:

q y x

qm

y

qm

x

qm xy y x −=∂⋅∂

∂⋅+

∂

∂+

∂∂ )(2)()(

2

2

2

2

2

e não seja excedida, em nenhum ponto, a capacidade resistente da

laje.

)()( r mqm <

constitui um valor inferior ao da carga última. Nas expressões

anteriores:

m(q) -momento da distribuição equilibrada de esforços devido à carga q

m(r) - momento resistente da laje

página 21





3.1.1 Método das Bandas (ou grelha) (mxy=0)

A carga q é suportada em bandas na direcção x e y:

q y

qm

x

qm y x −=∂

∂+

∂∂

2

2

2

2 )()(equação de equilíbrio para mxy=0

Pode decompor-se a equação anterior em duas equações:

q x

qm x ⋅−=∂

∂α

2

2)(

q y

qm y ⋅−−=∂

∂)1(

)(2

2

α

em que α é um coeficiente de repartição de cargas em cada uma

das direcções e varia entre 0 e 1.

Estas bandas “vigas” suportam em cada direcção uma carga α.q e

(1-α).q respectivamente.

Figura 26 - Modelo de grelha

página 22





O coeficiente de repartição α, pode ser escolhido atendendo às

seguintes situações:

Para iguais condições fronteira nas duas direcções o valor de α a

considerar para a menor direcção deve variar entre 0,5 e 1, para

relações de vãos entre 1 e 2. Para lmaior /lmenor ≥2, trata-se praticamente

de flexão cilíndrica sendo α=1 (direcção do menor vão).

As direcções com condições fronteira mais rígidas absorvem mais

carga (α maior).

Exemplo 1

página 23





Exemplo 2

página 24





Exemplo 3

Exemplo 4

página 25





4. Análise Elástica Seguida de Redistribuição de Esforços

A redistribuição de esforços pode conduzir a uma solução que

permite uma melhor distribuição de armaduras e a um aumento de

ductilidade do elemento.

A redistribuirão de esforços consiste em somar à distribuição de

esforços elásticos um campo de esforços auto-equilibrado,

obtendo-se uma solução que é ainda, equilibrada.

Exemplo: (viga bi-encastrada)

Figura 27 - Redistribuição de esforços numa viga bi-encastrada

página 26





O REBAP art. 50º permite uma redistribuição máxima de 25%.

5. Dimensionamento de Lajes Vigadas

O Dimensionamento de lajes passa pela verificação da segurança

aos estados limites últimos e de utilização

Nas lajes vigadas os Esforços são determinados com base numa

análise elástica ou plástica.

Em sistemas de lajes contínuas para a determinação de esforços

pode recorrer-se a um dos seguintes métodos:

Método exacto: método dos elementos finitos ou das diferenças finitas

Método aproximado: determinação dos esforços elásticos de cada

painel seguida de um equilíbrio daqueles no bordo contínuo e

consequente redistribuição de momentos no vão de cada painel.

Nota: A distribuição elástica de esforços não é exacta: não é tida

em conta a deformabilidade das vigas e o comportamento não

linear do betão.

página 27





5.1 Lajes Vigadas Armadas numa Direcção

Estas lajes têm um comportamento idêntico ao de uma viga.

5.1.1 Painéis Isolados

Nas lajes rectangulares alongadas (lmaior >> lmenor ) toda a zona

central fica sujeita a flexão cilíndrica

Figura 28 - Esforços elásticos com ν=0 de uma laje rectangular com lx=2.ly

Quanto maior a relação lmaior /lmenor menos significativos são os

esforços segundo o maior vão.

Projecto: dimensionar as lajes como armadas numa só direcção

quando se verificar a condição:

página 28

2≥menor vão

vão maior





transmitindo-se a totalidade da carga na direcção do menor vão.

O dimensionamento da laje é efectuado com base no modelo de

uma viga equivalente de largura unitária, com a orientação do

menor vão, e com as condições de apoio dessa direcção.

Figura 29 - Modelo de cálculo usual para lajes com l y x l .2≥

Para lajes apoiadas apenas na direcção do maior vão, a laje é

dimensionada segundo essa direcção.

Figura 30 - Laje apoiada em dois apoios paralelos

página 29





5.1.2 Sistemas de Painéis Contínuos

Figura 31 - Painel continuo de lajes vigadas

a) Momento máximo positivo em AB

Figura 32 - Painel continuo de lajes vigadas – momento máximo positivo

b) Momento máximo negativo no apoio B

Figura 33 - Painel continuo de lajes vigadas – momento máximo negativo

página 30





5.2 Lajes Vigadas Armadas em duas Direcções

5.2.1 Introdução

As lajes em que se verifique a condição:

2<<vãomenor

maior vão1

são armadas em duas direcções.

A análise elástica de um sistema de lajes contínuas, figura 34,

armadas em duas direcções (ou em cruz), pode realizar-se pelos

seguintes métodos:

Análise do sistema global pelo Método dos Elementos Finitos. Tem

em conta a deformabilidade das vigas.

Análise dos painéis de laje isolados, seguida de uma redistribuição da

diferença entre os esforços em bordos adjacentes.

Utilização de tabelas de origem semi-empírica, em que a continuidade

dos esforços já é considerada directamente.

página 31





Figura 34 - Lajes contínuas armadas em duas direcções

Para ter em conta a alternância de sobrecargas pode utilizar-se o

denominado “Método de Marcus”, aplicável a sistemas de lajes

sujeitos a cargas uniformemente distribuídas e com vãos

adjacentes semelhantes.

página 32





5.2.2 Momentos Negativos

Para obter o momento máximo negativo a sobrecarga tem que

actuar simultaneamente em dois painéis adjacentes ao bordo da

laje a analisar como ilustrado na figura seguinte.

Figura 35 - Carregamento mais desfavorável para o cálculo do momento máximo

negativo sobre a viga indicada

Admitindo que os vão dos painéis 4 e 5 são semelhantes e que se

encontram ambos carregados, a rotação perpendicular ao bordo é

pequena, podendo considerar-se o bordo encastrado.

Figura 36 - Modelo de cálculo dos momentos negativos admitindo encastramento nobordo de continuidade

página 33





5.2.3 Momentos Positivos

A distribuição de sobrecargas que produz um momento flector

máximo no painel central é a indicada na figura seguinte. Nesta

situação, a rotação nos bordos interior do painel já é significativa.

Figura 37 - Carregamento mais desfavorável para o cálculo do momento máximopositivo no painel central

Figura 38 - Decomposição da carga, segundo Marcus, para o cálculo do momentomáximo positivo

página 34





De acordo com a figura 38:

No painel a) podemos considerar os bordos encastrados no caso de

haver continuidade.

No painel b) podemos considerar um modelo simplesmente apoiado, já

que os pontos de inflexão se situam aproximadamente sobre o apoio.

Figura 39 - Modelos de cálculo para a determinação dos momentos positivos maisdesfavoráveis de painéis de canto, bordo e interior

Figura 40 - Modelos de cálculo para a determinação do momento positivo maisdesfavoráveis numa laje com bordo livre

página 35





5.3 Equilíbrio entre Painéis Adjacentes

Num bordo de continuidade temos 2 momentos negativos: MA

e MB.

Figura 41 - Momentos num

bordo de continuidade

Figura 42 - Equilíbrio demomentos

O valor de MAB está compreendido entre MA e MB e depende darigidez dos painéis adjacentes.

( ) B A

B B A B AB

K K

K M M M M

+⋅−+= (método de Cross)

B A A B AB M M M ⋅+⋅= η η

B A

A A

K K

K

+=η e

B A

B B

K K

K

+=η

Nota: na prática

⋅

+=

);(8,0

2/)(

B A

B A

ABM M máx

M M máxM

página 36





Figura 43 - Avaliação do momento de cálculo mais desfavorável no vão após equilíbriodo momento no apoio

Se após a distribuição 21 M M M red <∆+ ++ , os esforços de

dimensionamento passam a ser os seguintes:

ABM M =−

2M M =+

página 37





Figura 44 - Verificação do momento mais desfavorável no vão

página 38





5.4 Vãos Adjacentes Diferentes

Figura 45 - Cálculo de lajes com vãos adjacentes diferentes

B A A B AB M M M ⋅+⋅= η η ; B A

A

B A

A A

l l

l

K K

K

/1/1

/1

+≈

+=η ;

B A

B

B A

B B

l l

l

K K

K

/1/1

/1

+≈

+=η

5.5 Momento de Continuidade de uma Consola

Figura 46 - Momento decálculo numa consola

Figura 47 - Cálculo do momentopositivo numa laje com uma

consola adjacente

página 39





6. Verificação da Segurança aos Estados Limites Últimos

A determinação dos esforços de dimensionamento em lajes pode

assim ser efectuada pelos seguintes métodos:

Análise elástica e análise elástica com redistribuição de esforços

(máxima 25%);

Análise plástica – método estático e método cinemático. O

dimensionamento de armaduras de flexão é efectuado de forma a

garantir ductilidade no elemento ( 25,0/ ≤d x )

6.1 Estado Limite Último de Flexão

Sd xySd x Rd x mmm ,,, +≥

Sd xySd y Rd y mmm ,,, +≥

página 40





6.2 Estado Limite Último de Esforço Transverso

A espessura da laje deve ser tal que em situações correntes não

seja necessário o uso de armaduras transversais.

µ τ ⋅⋅⋅⋅−==≤ d d V V V cd Rd Sd 16,0)6,1(

sd sd Sd p L phV ⋅== 2/. - lajes armadas numa direcção (figura 48)

sd Sd phV .= - lajes armadas em duas direcções (figura 49)

Figura 48 - Esforço transverso de cálculo em lajes armadas numa direcção

Figura 49 - Esforço transverso de cálculo em lajes armadas em duas direcções

página 41





6.3 Estado Limite Último de Punçoamento

Nas lajes em que actuem cargas concentradas deve ser feita a

verificação a este estado limite. No caso de lajes sem armadura

especifica, a verificação pode ser feita pela seguinte expressão

(art.º 54 REBAP):

µ τ ⋅⋅⋅−==≤ d d V V V cd Rd Sd 1)6,1(

7. Estados Limites de Utilização

De acordo com o REBAP a verificação da segurança pode ser feita

de uma forma indirecta ou directa:

Estados Limites de Fendilhação

Verificação directa – cálculo da abertura característica de fendas e

comparar com valores admissíveis admk ww ≤ ;

Verificação indirecta – Imposição de um limite para o afastamento dos

varões (quadro 1).

página 42





Quadro 1 - Espaçamento máximo de varões da armadura longitudinal de lajes (cm)

Tipo de açoAmbiente

A235 A400 A500

Pouco agressivo (w=0,3 mm) - 25 20

Moderadamente agressivo(w=0,2 mm)

- 15 10

Muito agressivo (w=0,2 mm)Estimativaobrigatória

Estados Limites de Deformação

Verificação directa – cálculo da flecha a longo prazo e comparar com

valores admissíveis a 400/l aadm =≤∞ ;

Verificação indirecta - garantir que a relação entre o vão e altura não

ultrapassa determinado limite (artigo 102).

η ⋅≤ 30h

l i - em geral

η i

i

l h

l 180≤ - para lajes que afectam paredes divisórias

Nota: em muitas situações estes valores não impedem a

deformação excessiva e a fendilhação dos elementos não

estruturais.

Documents

LajesAcetato