Laporan 5 Kompres (Fix)

LAPORAN PRAKTIKUM KOMPUTASI PROSES

V. PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDINER

SIMULTAN DENGAN RUNGE KUTTA

DISUSUN OLEH

Nama

Kelas

NIM

Asisten

: Ahmad Ulin Nuha

: D

: 13521109

: 1. Heni Anggorowati

2. Andry Septian

3. Agus Kurniawan

4. Khuriyati A’malina

LABORATORIUM KOMPUTASI PROSES

JURUSAN TEKNIK KIMIA

FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI

UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA

YOGYAKARTA

2015

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Tujuan

Agar mahasiswa dapat menyelesaikan bentuk penyelesaian differensial ordiner

simultan menggunakan penyelesaian numerik.

B. Dasar Teori

Sistem Persamaan Diferential (PD. Simultan)

Simultan berarti sekaligus, dalam hal ini x(t) dan y(t) adalah sekaligus solusi

persamaan.

1. Syarat awal (initial condition)

1. Mencerminkan keadaan sebenarnya, memiliki arti fisik

2. Pada persamaan diferensial orde n, maka dibutuhkan sejumlah n syarat

awal

2. Syarat batas (boundary conditions)

Syarat yang harus dipenuhi tidak hanya di satu titik di awal saja, namun juga di

titik-titik lain atau di beberapa nilai variabel bebas yang lain.

Jika dijumpai bentuk;

),,( zyxf

dx

dy

........................................................................................(5.1)

),,( xyxfdx

dz

...........................................................................................(5.2)

I.C.; x = x0; y= y0; z= z0

2

Maka cara range kutta untuk mencari xI+1, Yi+1, zi+1 berdasarkan harga xi, yi, zi,

adalah;

k1= f ( xi , yi , zi ) ∆x...................................................................................(5.3)

l1= f ( xi , yi , zi ) ∆x....................................................................................(5.4)

k2= f ( xi + ∆x/2 , yi + k1/2 , zi + k1/2 ) ∆x.................................................(5.5)

l2= f ( xi + ∆x/2 , yi + k1/2 , zi + k1/2 ) ∆x..................................................(5.6)

k3= f ( xi + ∆x/2 , yi + k2/2 , zi + k2/2 ) ∆x.................................................(5.7)

l3= f ( xi + ∆x/2 , yi + k2/2 , zi + k2/2 ) ∆x..................................................(5.8)

k4= f ( xi + ∆x , yi + k3 , zi + k3 ) ∆x..........................................................(5.9)

l4= f ( xi + ∆x , yi + k3 , zi + k3 ) ∆x.........................................................(5.10)

diperoleh;

Xi+1 = xi + ∆x............................................................................................(5.11)

YI+1 = Yi ((k1+2k2+2k3+k4)/6)..................................................................(5.12)

ZI+1 = Yi ((l1+2l2+2l3+l4)/6)......................................................................(5.13)

Algoritma penyelesaiannya yaitu:

1. Menentukan persamaan yang akan diselesaikan

),,( zyxf

dx

dy

),,( zyxf

dx

dz

2. Menentukan nilai X0, Y0, Z0, Xn, n, dan ∆X

3

3. Menghitung nilai K1L1, K2L2, K3L3, K4L4 dengan Runge Kutta

xzyxfk iii ),,(11

xzyxfl iii ),,(21

x

lz

ky

xxfk iii

)

2,

2,

2( 11

12

x

lz

ky

xxfl iii

)

2,

2,

2( 11

22

x

lz

ky

xxfk iii

)

2,

2,

2( 22

13

x

lz

ky

xxfl iii

)

2,

2,

2( 22

23

xlzkyxxfk iii ),,( 3314

xlzkyxxfl iii ),,( 3324

4. Menghitung harga X, Y, Z baru

xxx ii 1

43211 22

6

1kkkkyy ii

43211 22

6

1llllzz ii

4

BAB II

PERSOALAN DAN PENYELESAIAN

A. Latihan

Soal I

x0 1

y0 0.5

z0 0.2

xN 2

n 10

∆x 0.1

TENTUKAN NILAI y, z PADA SAAT x= 2 DENGAN MENGGUNAKAN METODE RUNG

KUTTA !!

n x0 y0 z0 K1 L1 K2 L2 K3 L3 K4 L4 y z

0 1 0.5000 0.2000 0.2342 0.1562 0.2878 0.1720 0.2956 0.1731 0.3583 0.1892 0.7932 0.3726

1 1.1 0.7932 0.3726 0.3576 0.1891 0.4286 0.2054 0.4386 0.2065 0.5239 0.2234 1.2292 0.5786

2 1.2 1.2292 0.5786 0.5232 0.2233 0.6220 0.2405 0.6358 0.2416 0.7566 0.2594 1.8618 0.8198

3 1.3 1.8618 0.8198 0.7557 0.2594 0.8970 0.2776 0.9175 0.2788 1.0926 0.2978 2.7747 1.0981

4 1.4 2.7747 1.0981 1.0913 0.2978 1.2979 0.3173 1.3292 0.3186 1.5882 0.3390 4.0969 1.4162

5 1.5 4.0969 1.4162 1.5861 0.3389 1.8937 0.3598 1.9426 0.3614 2.3326 0.3834 6.0288 1.7770

6 1.6 6.0288 1.7770 2.3291 0.3833 2.7948 0.4059 2.8728 0.4078 3.4700 0.4317 8.8845 2.1841

7 1.7 8.8845 2.1841 3.4641 0.4315 4.1805 0.4562 4.3071 0.4583 5.2367 0.4845 13.1639 2.6416

8 1.8 13.1639 2.6416 5.2266 0.4843 6.3470 0.5113 6.5555 0.5139 8.0263 0.5428 19.6735 3.1545

9 1.9 19.6735 3.1545 8.0088 0.5426 9.7896 0.5724 10.1381 0.5755 12.5041 0.6076 29.7349 3.7289

10 2 29.7349 3.7289 12.4733 0.6073 15.3508 0.6406 15.9419 0.6443 19.8116 0.6803 45.5466 4.3718

Jadi, pada saat x = 2, nilai y= 29.7349 dan nilai z= 3.7289

zxydx

dy3)(2 4/13 )(yzx

dx

dz

5

Soal II

x0 1

y0 1.3

z0 1.4

xN 2

n 20

∆x 0.05


KUTTA !!

n x0 y0 z0 K1 L1 K2 L2 K3 L3 K4 L4 y z

0 1 1.3000 1.4000 0.0837 0.0670 0.0846 0.0689 0.0846 0.0689 0.0855 0.0708 1.3846 1.4689

1 1.05 1.3846 1.4689 0.0855 0.0708 0.0864 0.0728 0.0863 0.0728 0.0872 0.0748 1.4710 1.5417

2 1.1 1.4710 1.5417 0.0872 0.0748 0.0881 0.0768 0.0881 0.0768 0.0890 0.0788 1.5591 1.6185

3 1.15 1.5591 1.6185 0.0890 0.0788 0.0900 0.0809 0.0899 0.0809 0.0909 0.0830 1.6490 1.6994

4 1.2 1.6490 1.6994 0.0909 0.0830 0.0918 0.0851 0.0918 0.0851 0.0927 0.0872 1.7408 1.7845

5 1.25 1.7408 1.7845 0.0927 0.0872 0.0936 0.0894 0.0936 0.0894 0.0946 0.0915 1.8344 1.8739

6 1.3 1.8344 1.8739 0.0946 0.0915 0.0955 0.0937 0.0955 0.0937 0.0965 0.0959 1.9300 1.9676

7 1.35 1.9300 1.9676 0.0965 0.0959 0.0974 0.0982 0.0974 0.0982 0.0984 0.1005 2.0274 2.0658

8 1.4 2.0274 2.0658 0.0984 0.1005 0.0994 0.1027 0.0993 0.1028 0.1003 0.1051 2.1267 2.1685

9 1.45 2.1267 2.1685 0.1003 0.1051 0.1013 0.1074 0.1013 0.1074 0.1023 0.1098 2.2280 2.2759

10 1.5 2.2280 2.2759 0.1023 0.1098 0.1033 0.1121 0.1033 0.1121 0.1043 0.1145 2.3313 2.3881

11 1.55 2.3313 2.3881 0.1043 0.1145 0.1053 0.1170 0.1053 0.1170 0.1063 0.1194 2.4366 2.5051

12 1.6 2.4366 2.5051 0.1063 0.1194 0.1073 0.1219 0.1073 0.1219 0.1083 0.1244 2.5439 2.6270

13 1.65 2.5439 2.6270 0.1083 0.1244 0.1093 0.1269 0.1093 0.1269 0.1103 0.1295 2.6532 2.7539

14 1.7 2.6532 2.7539 0.1103 0.1295 0.1114 0.1320 0.1114 0.1321 0.1124 0.1346 2.7645 2.8860

15 1.75 2.7645 2.8860 0.1124 0.1346 0.1134 0.1373 0.1134 0.1373 0.1145 0.1399 2.8780 3.0232

16 1.8 2.8780 3.0232 0.1145 0.1399 0.1155 0.1426 0.1155 0.1426 0.1166 0.1453 2.9935 3.1658

17 1.85 2.9935 3.1658 0.1166 0.1453 0.1176 0.1480 0.1176 0.1480 0.1187 0.1507 3.1111 3.3137

18 1.9 3.1111 3.3137 0.1187 0.1507 0.1197 0.1534 0.1197 0.1535 0.1208 0.1562 3.2309 3.4672

19 1.95 3.2309 3.4672 0.1208 0.1562 0.1219 0.1590 0.1219 0.1590 0.1229 0.1619 3.3527 3.6262

20 2 3.3527 3.6262 0.1229 0.1619 0.1240 0.1647 0.1240 0.1647 0.1251 0.1676 3.4767 3.7910


5/321

yxZdx

dy

zyx

dx

dz

5

1)(4 5.2/6

6

B. Tugas

x0 0.5

y0 0.75

z0 1

xN 1

n 20

∆x 0.025


KUTTA !!

n x0 y0 z0 K1 L1 K2 L2 K3 L3 K4 L4 y z

0 0.5 0.7500 1.0000 0.0710 0.0137 0.0730 0.0143 0.0731 0.0143 0.0751 0.0149 0.8230 1.0143

1 0.525 0.8230 1.0143 0.0751 0.0149 0.0772 0.0156 0.0772 0.0156 0.0793 0.0163 0.9002 1.0299

2 0.55 0.9002 1.0299 0.0793 0.0163 0.0813 0.0170 0.0813 0.0170 0.0834 0.0178 0.9815 1.0469

3 0.575 0.9815 1.0469 0.0834 0.0178 0.0854 0.0186 0.0854 0.0186 0.0874 0.0194 1.0670 1.0655

4 0.6 1.0670 1.0655 0.0874 0.0194 0.0894 0.0203 0.0895 0.0203 0.0914 0.0212 1.1564 1.0858

5 0.625 1.1564 1.0858 0.0914 0.0212 0.0934 0.0222 0.0934 0.0222 0.0953 0.0233 1.2498 1.1081

6 0.65 1.2498 1.1081 0.0953 0.0233 0.0972 0.0243 0.0972 0.0243 0.0991 0.0255 1.3470 1.1324

7 0.675 1.3470 1.1324 0.0991 0.0255 0.1009 0.0267 0.1009 0.0267 0.1027 0.0279 1.4479 1.1591

8 0.7 1.4479 1.1591 0.1027 0.0279 0.1044 0.0293 0.1044 0.0293 0.1061 0.0307 1.5523 1.1884

9 0.725 1.5523 1.1884 0.1061 0.0307 0.1077 0.0322 0.1077 0.0322 0.1093 0.0338 1.6600 1.2206

10 0.75 1.6600 1.2206 0.1093 0.0338 0.1108 0.0354 0.1108 0.0355 0.1122 0.0372 1.7707 1.2560

11 0.775 1.7707 1.2560 0.1122 0.0372 0.1136 0.0391 0.1135 0.0391 0.1148 0.0411 1.8843 1.2952

12 0.8 1.8843 1.2952 0.1148 0.0411 0.1161 0.0432 0.1160 0.0432 0.1172 0.0455 2.0003 1.3384

13 0.825 2.0003 1.3384 0.1172 0.0455 0.1182 0.0478 0.1182 0.0479 0.1192 0.0504 2.1185 1.3863

14 0.85 2.1185 1.3863 0.1192 0.0504 0.1200 0.0531 0.1200 0.0532 0.1208 0.0560 2.2385 1.4394

15 0.875 2.2385 1.4394 0.1208 0.0560 0.1215 0.0591 0.1214 0.0592 0.1220 0.0625 2.3599 1.4986

16 0.9 2.3599 1.4986 0.1220 0.0625 0.1226 0.0660 0.1225 0.0661 0.1229 0.0699 2.4825 1.5647

17 0.925 2.4825 1.5647 0.1229 0.0699 0.1232 0.0739 0.1231 0.0741 0.1234 0.0785 2.6056 1.6388

18 0.95 2.6056 1.6388 0.1234 0.0785 0.1235 0.0832 0.1234 0.0834 0.1234 0.0885 2.7290 1.7221

19 0.975 2.7290 1.7221 0.1234 0.0885 0.1233 0.0940 0.1232 0.0943 0.1230 0.1003 2.8523 1.8164

20 1 2.8523 1.8164 0.1230 0.1003 0.1227 0.1069 0.1226 0.1072 0.1222 0.1143 2.9749 1.9235


2

55.025.0 2

xz

yyx

dx

dy

4

22 yx

xzdx

dz

7

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

1. Persamaan diferensial ordiner simultan merupakan perluasan dari metode persamaan

ordiner Runge kutta orde 4, dimana persamaan simultan ini terdiri dari dua buah

persamaan yang harus diselesaikan secara bersama-sama

2. Dapat menyelesaikan bentuk persamaan differensial ordiner simultan dengan runge

kutta.

3. Dengan menggunakan program excel, dapat mempermudah dalam perhitungan dan

penyelesaian bentuk differensial.

4. Dari latihan yang dilakukan, didapatkan hasil untuk persamaan:

a.


b.


5. Dari soal tugas didapatkan hasil untuk persamaan :


6. Algoritma penyelesaiannya:

a. Menentukan persamaan yang akan diselesaikan

),,( zyxf

dx

dy

),,( zyxf

dx

dz

b. Menentukan nilai X0, Y0, Z0, Xn, n, dan ∆X

c. Menghitung nilai K1L1, K2L2, K3L3, K4L4 dengan Runge Kutta

xzyxfk iii ),,(11

xzyxfl iii ),,(21

zxydx

dy3)(2 4/13 )(yzx

dx

dz

5/321

yxZdx

dy

zyx

dx

dz

5

1)(4 5.2/6

2

55.025.0 2

xz

yyx

dx

dy

4

22 yx

xzdx

dz

8

xl

zk

yx

xfk iii

)2

,2

,2

( 1112

xl

zk

yx

xfl iii

)2

,2

,2

( 1122

xl

zk

yx

xfk iii

)2

,2

,2

( 2213

xl

zk

yx

xfl iii

)2

,2

,2

( 2223

xlzkyxxfk iii ),,( 3314

xlzkyxxfl iii ),,( 3324

d. Menghitung harga X, Y, Z baru

xxx ii 1

43211 226

1kkkkyy ii

43211 226

1llllzz ii

B. Saran

1. Dalam penyelesaiannya persamaan differensial ordiner simultan dengan runge

kutta, memerlukan ketelitian yang tinggi sebab dalam penggunaan microsoft excel

apabila proses input data ke dalam formula tidak sesuai atau ada penempatan

kurung buka dan tutup maupun posisi angka yang tidak pas, maka program bisa

salah mengartikan solusinya dan harga penyelesaian yang dicapai akan berbeda

dari yang seharusnya

2. Tingkat ketelitian hasil akhir adalah tiga angka di belakang koma.

9

DAFTAR PUSTAKA

Kalab komputasi.2006.Modul Praktikum Komputasi Proses.Yogyakarta.

https://noniarizka.files.wordpress.com/2015/06/bab-5-penyelesaian-persamaan-differensial-

ordiner-simultan-dengan-runge-kutta.docx (diakses 01 Desember 2015, pukul 18.49

WIB)

Documents

Laporan 5 Kompres (Fix)