Upload
sugeng-rifqi-mubaroq
View
237
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
1/52
Integral danPersamaan Diferensial
Sudaryatno Sudirham
Klik untuk melanjutkan
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
2/52
Bahan Kuliah Terbuka
dalam format pdf tersedia diwww.buku-e.lipi.go.id
dalam format pps beranimasi tersedia diwww.ee-cafe.org
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
3/52
Bahasan akan mencakup
1. Integral Tak Tentu2. Integral Tentu3. Persamaan Diferensial
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
4/52
1. Integral Tak Tentu
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
5/52
Misalkan dari suatu fungsi f (x) yang diketahui, kita diminta untukmencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x
tertentu, misalnya a< x < b , dipenuhi persamaan
)( x f dxdy
Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti inidisebut persamaan diferensial .
036
652
222
2
2
y xdxdy
xydx
yd
x xdxdy
Contoh persamaan diferensial
Pengertian-Pengertian
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
6/52
)( x F y Suatu fungsi dikatakan merupakan solusi dari persamaandiferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat
memenuhi
)()(
x f dx
xdF
)( x f dxdy
Tinjau persamaan diferensial
0
)()()(dx
xdF dxdK
dx xdF
dx K x F d Karena maka
K x F y )(fungsi juga merupakan solusi
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
7/52
Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum
K x F dx x f )()(
dx x f xdF )()(
Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri
ditambah suatu nilai tetapan . Integral semacam ini disebut integral taktentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari
)()(
x f dx
xdF
dapat dituliskan
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
8/52
45 xdxdy
dx xdy 45
dx x xd 45 5)(
K x xd dx x y 554 )(5
Cari solusi persamaan diferensial
ubah ke dalam bentuk diferensial
Kita tahu bahwa
Contoh:
oleh karena itu
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
9/52
Carilah solusi persamaan
y xdxdy 2
Contoh:
dx y xdy 2 kelompokkan peubah sehinggaruas kiri dan kanan mengandung
peubah berbedadx xdy y 22/1
dy y yd 2/12/12 dx x xd 2331
32/131
2 xd yd
Jika kedua ruas diintegrasi
23
12/1
312 K x K y
K x K K x y 31232/1
31
31
2
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
10/52
Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untukmemiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini
dapat memperingan upaya pendugaan tersebut.
K ydy
1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K .
dyaady
2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan
1 jika ,1
1 n K
n y
dy yn
n
3. Jika bilangan n 1, maka integral dari yndy diperoleh denganmenambah pangkat n dengan 1 menjadi ( n + 1) dan membaginya dengan(n + 1).
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
11/52
Penggunaan Integral Tak Tentu
Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang.
Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidaktunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang
dimiliki oleh K .
kurva 210 x y adalah kurva bernilai tunggal
50
100
-5 -3 -1 1 3 5 x
y = 10 x2 y
50
100
-5 -3 -1 1 3 5
K 1 K 2
K 3
yi = 10 x2 + K i
y
x
K xdx x 2
310
310kurva
adalah kurva bernilai banyak
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
12/52
Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh denganmenerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.
Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai
30 sPosisi benda pada waktu t = 0 adalah ; tentukanlah posisi benda pada t = 4.
Contoh:t at v 3
kecepatan percepatan waktu
dt ds
v Kecepatan adalah laju perubahan jarak,
dt dv
a Percepatan adalah laju perubahan kecepatan,
.
vdt ds
K t K t atdt s 22
5,12
3
274 ssehingga pada t = 4 posisi benda adalah
K 03 3 K Kondisi awal: pada t = 0, s0 = 3 35,1 2 t s
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
13/52
Luas Sebagai Suatu Integral
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
14/52
Luas Sebagai Suatu Integral
)( x f y Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva
sumbu- x , garis vertikal x = p , dan x = q.Contoh:
y = f ( x) =2 y
x 0
2
p x x+ x q
A px A px
)(2 x f x
A px atau
2)(lim0
x f dx
dA
x
A px px
x
K xdxdA A px px 22
Kondisi awal (kondisi batas) adalah A px = 0 untuk x = p
K p20 p K 2 atau
x A px 2
p x A px 22 )(222 pq pq A pq
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
15/52
Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang q x p
p x x+ x q
y
x
y = f ( x)
0
f ( x) f ( x+ x )
A px A px
A px bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan A px = f ( x) x atau A px = f ( x+ x) x
x x x f x x f x x f A px )()()( 0x0 adalah suatu nilai x yangterletak antara x dan x+ x
Jika x 0: )(lim0
x f dx
dA
x
A px px x
K x F dx x f dA A px px )()(
q p pq x F p F q F A )()()(
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
16/52
2. Integral Tentu
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
17/52
Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas.Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai
suatu limit.
p x2 xk xk +1 xn q
y
x
y = f ( x)
0
Bidang dibagi dalam segmen-segmen
Luas bidang dihitung sebagai jumlah luassegmen
p x2 xk xk +1 xn q
y
x
y = f ( x)
0 p x2 xk xk +1 xn q
y
x
y = f ( x)
0
Luas tiap segmen dihitungsebagai f ( xk ) xk
Luas tiap segmen dihitungsebagai f ( xk + x) xk
Ada dua pendekatan dalam menghitung luas segmen
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
18/52
k k k k k k x x x f x x f x x f )()()( 0
k
n
k
k
n
k
k k
n
k
k k x x x f x x f x x f
11
0
1
)()()(
Jika xk 0 ketiga jumlah ini mendekatisuatu nilai limit yang sama
p x2 xk xk +1 xn q
y
x
y = f ( x)
0 p x2 xk xk +1 xn q
y
x
y = f ( x)
0
Luas tiap segmen dihitungsebagai f ( xk ) xk
Luas tiap segmen dihitungsebagai f ( xk + x) xk
Jika x0k adalah nilai x di antara xk dan xk+1 maka
Nilai limit itu merupakan integral tentu
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
19/52
q
p pq dx x f A )(
)()()()( p F q F x F dx x f A q pq
p pq
p x2 xk xk +1 xn q
y
x
y = f ( x)
0
Luas bidang menjadi
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
20/52
Luas Bidang
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
21/52
A px adalah luas bidang yang dibatasi oleh y=f (x) dan sumbu- x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu -x dikurangi
dengan luas bagian yang di bawah sumbu -x.
Definisi
x x y 123Luas antara dan sumbu- xdari x = 3 sampai x = + 3.
Contoh:
x x y 123
- 20
- 10
0
10
20
- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 x
75,33)5425,20(0
64
)12(
0
3
24
03
3 x xdx x x Aa
75,33)0(5425,20
64
)12(
3
0
243
0
3 x x
dx x x Ab
5,67)755,33(75,33 ba pq A A A
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
22/52
Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisimengenai A px , formulasi
))()( p F q F dx x f Aq
p
tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu- x
p q
y
x A4
A1
A2 A3
y = f ( x)
))()( p F q F dx x f Aq
p pq
4321 A A A A A pq
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
23/52
Luas Bidang Di Antara Dua Kurva
)(11 x f y )(
22 x f y
berada di atas
p q
y
x 0
y1
y2
x x+ x
A px
x x f x f A A px segmen )()( 21
Rentang q x p dibagi dalam n segmen
xq x
p x
n
segmen x x f x f A )()( 211
jumlah semua segmen:
q p
n
segmen pq dx x f x f A A )()(lim 211
Dengan membuat n menuju takhingga sehingga x menuju nol kitasampai pada suatu limit
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
24/52
30)12(186)2(4( 323
2
xdx A pq
41 y 22 y Jika dan berapakah luas bidang antara y1 dan y2
dari x1 = p = 2 sampai x2 = q = + 3.
Contoh:
21 x y 42 y Jika dan
berapakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.
Contoh:
Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada perpotongan antara y 1 dan y2.
2 ,24 212
21 q x p x x y y
332
316
316
38
838
8
34)4(
2
2-
32
2
2
x xdx x A pq
0
2
4
-2 -1 0 1 2
y2
y1 y2di atas
y1
y
x
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
25/52
221 x y x y 2 Jika dan
berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.
Contoh:
Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva
22
811 ;1
2811
02atau2
2
2
2
1
2221
q x p x
x x x x y y
5,4221
31
4238
223
)2(
2
1
232
1
2
x
x xdx x x A pq
-4
-2
0
2
4
-2 -1 0 1 2
y1 di atas y2
y1
y2
y
x
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
26/52
Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangankonstan 200V. Berapakah energi yang diserap olehpiranti ini selama 8 jam ?
Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p danenergi diberi simbol w , maka
yang memberikandt dw
p pdt w
[kWh]hourWattkilo 8,0
[Wh]rWatt.hou80010010080
8
0
8
0 t dt pdt w
Penerapan Integral
Contoh:
Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengansatuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jamadalah
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
27/52
dt
dq
i
idt q
coulomb 625,0225,1
205,0
05,05
0
5
0
25
0 t tdt idt q
Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadapwaktu sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlahmuatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t =0 sampai t = 5 detik ?
sehingga
Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah
Contoh:
Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
28/52
Volume Sebagai Suatu Integral
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
29/52
Berikut ini kita akan melihat penggunaanintegral untuk menghitung volume.
Balok
x
Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+ x) adalah luas irisan di sebelah kanan
maka volume irisan V adalah
x x x AV x x A )()(
Volume balok V adalah q
p
x x AV )(
luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+ x).
Apabila x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti maka kitamemperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu:
q
p
x x AV )(
Jika x menuju nol dan A(x)kontinyu antara p dan q maka :
q
p
q
po x
dx x A x x AV )()(lim
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
30/52
Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x
y
x
x
O Q
P A(x) adalah luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x)memiliki persamaan garis OP.
hhh
dx xmdx xr dx x AV 0
22
0
2
0)()(
m : kemiringan garis OPh : jarak O-Q.
3
3PQ/OQ)(
32
3232
kerucuth
r hhm
V
Jika garis OP memotong sumbu- y makadiperoleh kerucut terpotong
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
31/52
Rotasi Bidang Sembarang
y
x
x
0 a b
f ( x) 22 )()()( x f xr x A
b
adx x f V 2)(
Rotasi Gabungan Fungsi Linier
Fungsi f (x) kontinyu bagian demi bagian. Pada gambar di samping initerdapat tiga rentang x dimanafungsi linier kontinyu. Kita dapatmenghitung volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.
y
x x
0 a b
f 2( x) f 1( x)
f 3( x)
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
32/52
3. PersamaanDiferensial Orde-1
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
33/52
Pengertian
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa danpersamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidaktermasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjaufungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggiturunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalahpangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.
xe x
y
dx
yd
dx
yd
12
5
2
22
3
3
Contoh:
adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
34/52
Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.
0 x x keke
xke y 0 ydt
dy adalah solusi dari persamaan
xke y xkedt dy karena turunan adalah
dan jika ini kita masukkan dalam persamaanakan kita peroleh
Contoh:
Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yangmengandung n tetapan sembarang.
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
35/52
Pers amaan Diferensia l Ord e SatuDeng an Peub ah Yang
Dapat Dipisah kan
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
36/52
Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaandiferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
0)()( dx x g dy y f
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusiumum dengan satu tetapan sembarang K , yaitu
K dx x g dy y f ))()(
Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
37/52
y xe
dx
dy
0 dxedye x y
y
x
e
edxdyPersamaan ini dapat kita tuliskan
yang kemudian dapat kita tuliskan sebagaipersamaan dengan peubah terpisah
K ee x y
K ee x y
sehingga atau
Contoh:
K dxedye x yIntegrasi kedua ruas memberikan:
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
38/52
Contoh:
xydx
dy 1
0 xdx
ydy
K xdx
ydy
Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
K x y
ln2
2
K x y 2ln
atau
xdx
ydy atau
Integrasi kedua ruas:
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
39/52
Persam aan Diferensial Hom o gen
Orde Satu
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
40/52
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
41/52
Contoh: 02)( 22 xydydx y x
02)1(2
22 xydydx
x
y xUsahakan menjadi homogen
dy x y
dx x
y2)1(
2
2
)/()/(2)/(1 2
x y F x y x y
dxdy
Peubah baru v = y/x
vx y
dxdv
xvdxdy v
vdxdv
xv2
1 2
vv
vv
vdxdv
x 231
21 22
xdx
v
vdv231
2 031
22
v
vdv xdx
Peubah terpisah atau
)(21 2
v F vv
dxdy
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
42/52
Kita harus mencari solusi persamaanini untuk mendapatkanv sebagai fungsi x.
031
22
v
vdv xdx
dx xd
x)(ln1
)6(31
1
)31(
)31(
)31ln()31ln(2
2
2
22v
vdvvd
vd
vd dv
vd Kita coba hitung
K K v x ln3
1)31ln(
3
1ln 2
0)31ln(
31 2
dvdv
vd xdx
K K v x ln)31ln(ln3 2
K v x )31( 23
K x y x 23 )/(31 K y x x 22 3
Suku ke-dua ini berbentuk 1/xdan kita tahu bahwa
Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah bentuk persamaan menjadi
Integrasi ke-dua ruas:
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
43/52
Persamaan Diferensial Linier
Orde Satu
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
44/52
Dalam persamaan diferensial linier,semua suku berderajat satu atau nol
P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Halini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umumsebagai
)(t f bydt dy
a
Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f (t) tidak terlalu bervariasi.Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposityang merupakan gabungan dari bentuk utama.
Q PydxdyOleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
45/52
Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui padaperistiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah carapendugaan
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkansolusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
0bydt dy
a
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapanrangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentukrangkaian.
Fungsi f (t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupategangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksaatau fungsi
penggerak.
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
46/52
Hal ini dapat difahami karena jika f 1(t) memenuhi persamaanyang diberikan dan fungsi f 2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = ( f 1+f 2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,sebab
0
)(
11
22
11
2121
bf dt df
abf dt df
abf dt df
a
f f bdt
f f d aby
dt dy
a
Jadi y = ( f 1+ f 2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dankita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
47/52
Solusi Homogen
Persamaan homogen 0bydt
dya
Jika ya adalah solusinya maka
0 dt ab
ydy
a
a
Integrasi kedua ruas memberikan
K t ab
ya ln
sehingga
K t ab
ya ln
t aba
K t ab
a e K e y)/(
Inilah solusi homogen
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
48/52
)(t f bydt
dya p
p
Bentuk f (t) ini menentukan bagaimana bentuk y p.
t K t K yt At f t At f
Ke y Aet f
K y At f
yt f
sc p
t p
t
p
p
sincos cos)(atau,sin)(Jika
aleksponensi al,eksponensi)(Jika
konstan konstan,)(Jika
00)(Jika
Jika solusi khusus adalah y p , maka
Dugaan bentuk-bentuk solusi y p yang tergantung dari f (t) inidapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk sepertiitulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Jika dugaan solusi total adalah t aba ptotal e K y y)/(
Masih harus ditentukan melalui kondisi awal.
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
49/52
Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
01000 vdt
dv
Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Contoh:
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusikhusus bernilai nol.
01000 dt vdv
K t v 1000lnt
a K t e K ev 10001000
Penerapan kondisi awal: a K 12
Solusi total: V12 1000t ev
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
50/52
Contoh: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
1210 3 vdt
dv
Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah tanggapan lengkap.
Solusi homogen: 010 3 aa v
dt dv
010 3 dt v
dv
a
a
t aa e K v
1000
Solusi khusus: 12 pv karena f (t) = 12
Solusi total (dugaan):t
atotal e K v100012
Penerapan kondisi awal: a K 120 12a K
Solusi total: V 12121000t
total ev
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
51/52
Contoh:
t vdt
dv10cos1005
Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
menghasilkan persamaan
Carilah solusi total.Solusi homogen: 05 aa vdt
dv05 dt
vdv
a
a
K t va 5ln t
aa e K v5
Solusi khusus: t At Av sc p 10sin10cos
t t At At At A sc sc 10cos10010sin510cos510cos1010sin10
t t At A c s 10cos10010cos510cos10 100510 c s A A
010sin510sin10 t At A sc 0510 sc A A
8 s A 4c ASolusi total (dugaan): t a e K t t v
510sin810cos4
Penerapan kondisi awal: a K 40 4a K
Solusi total : t et t v 5410sin810cos4
8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial
52/52
Bahan Kuliah Terbuka
Integral danPersamaan Diferensial
Sudaryatno Sudirham