Laurent-Reihen und isolierte Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularit aten Seite 7 2

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Text of Laurent-Reihen und isolierte Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularit aten Seite 7 2

  • Seminar zu Analysis III LA Gym

    Laurent-Reihen und isolierte Singularitaten

    Eingereicht von:

    Judith Krischke

    Matrikelnr.: 129151

    Email: judith.krischke@tu-

    dortmund.de

    Eingereicht bei:

    JP Dr. Tomas Dohnal

    17. Juni 2013

  • Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seite 2

    Abstract

    Diese Arbeit beschäftigt sich mit dem Thema Laurent-Reihen und isolierte Singula-

    ritäten aus dem Gebiet der komplexen Analysis.

    Bisher hatten wir Funktionen betrachtet, die auf einer Umgebung von z0 holomorph sind

    und sich somit in eine Potenzreihendartellung entwickeln lassen. In dieser Arbeit soll

    gezeigt werden, dass für Funktionen, die auf einer Umgebung von z0 ohne den Punkt z0

    holomorph sind, etwa gebrochenrationale Funktionen, eine Laurent-Reihenentwicklung

    − sozusagen eine Verallgemeinerung der Potenzreihenentwicklung − existiert. Die Form dieser Reihen soll zunächst näher erläutert werden, um anschließend die aus der Umge-

    bung ” herausgenommenen Stellen“ z0 (die isolierten Singularitäten von f) zu charak-

    terisieren.

    This Paper will examine Laurent series and isolated singularities, which is an important

    topic of complex function theory.

    Previously, we often considered a function that is holomorphic on an open set of z0 and

    therefore can be expanded in a power series. In this paper it is shown that functions

    which are holomorphic on a punctured open set excluding z0 can be expanded in a

    Laurent series, which thus can be regarded as a generalization of power series, allowing

    negative as well as positive powers. Firstly, the structure and shape of Laurent series is

    derived. In the following, the paper deals with the isolated singularities of f , z0, which

    shall be characterized by the function f (as described above) in the last chapter.

    1 Laurent-Reihen

    Definition 1.0.1. Eine Laurent-Reihe ist eine Reihe der Form

    L(z) = ∞∑

    n=−∞

    an(z − z0)n = ∞∑ n=0

    an(z − z0)n + ∞∑ n=1

    a−n(z − z0)−n. (1)

    Dabei heißt z0 ∈ C Entwicklungspunkt der Reihe L(z). Die an heißen Koeffizienten der Reihe und bilden eine Folge komplexer Zahlen {an}∞n=−∞ = {an}∞n=0 ∪ {a−n}∞n=1. Die Reihe

    R(z) = ∞∑ n=0

    an(z − z0)n = a0 + a1(z − z0) + a2(z − z0)2 + ... (2)

    TU Dortmund Datum: 17. Juni 2013

  • Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seite 3

    heißt Regulärteil und die Reihe,

    H(z) = ∞∑ n=1

    a−n(z − z0)−n = a−1 z − z0

    + a−2

    (z − z0)2 + ... (3)

    heißt Hauptteil der Laurent-Reihe.

    Bemerkung: An z = z0 und z =∞ ist die Laurent-Reihe nicht definiert.

    Wie bei Potenzreihen soll zunächst das Konvergenzverhalten von Laurent-Reihen un-

    tersucht werden. Hierzu ist die Aufteilung der Laurent-Reihe in L(z) = R(z) + H(z)

    nützlich, da so die Reihe mit ” doppelt unendlichen“ Grenzen von −∞ bis ∞ in zwei

    einfache Potenzreihen (in z − z0 bzw. 1z−z0 ) aufgeteilt wird (vgl. (2) und (3)).

    Wiederholung: Konvergenz von Potenzreihen

    Für jede Potenzreihe der Form ∑∞

    n=0 an(z − z0)n, an ∈ C existiert eindeutig ein r, 0 ≤ r ≤ ∞, ihr sogenannter Konvergenzradius, für welchen gilt:

    1. Ist r = 0, so konvergiert die Reihe nur an z0.

    2. Ist 0 < r r}.

    3. Ist r =∞, so konvergiert die Reihe absolut auf dem Konvergenzkreis U∞(z0) = C.

    Sei r1 > 0, sodass der Hauptteil

    H(z) = ∞∑ n=1

    a−n(z − z0)−n = ∞∑ n=1

    a−n( 1

    z − z0 )n (4)

    der Laurent-Reihe für | 1 z−z0 | <

    1

    r1 konvergiert und für | 1

    z−z0 | > 1

    r1 divergiert. Oder an-

    ders ausgedrückt: H(z) konvergiert für |z − z0| > r1. Sei r2 der Konvergenzradius des Regulärteils der Laurent-Reihe, so konvergiert R(z) für |z − z0| < r2.

    TU Dortmund Datum: 17. Juni 2013

  • Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seite 4

    Frage: Wo konvergiert L(z) = H(z) +R(z)?

    • Ist r1 > r2, so gibt es kein z für das beide Reihen R(z) und H(z) zugleich kon- vergieren.

    • Für r1 = r2 kann keine klare Aussage getroffen werden, da über den Rand zunächst nichts bekannt ist. Die Konvergenz der beiden Reihen kann allerdings höchstens

    an gewissen Punkten der Kreislinie Kr1 = {z : |z − z0| = r1} = Kr2 vorliegen.

    • Ist r1 < r2, so konvergieren beide Reihen auf einem Ringgebiet Kr1,r2(z0) = {z : r1 < |z − z0| < r2}. Der Hauptteil konvergiert kompakt auf {z : |z − z0| > r1} (d.h. die Reihe konvergiert gleichmäßig auf jeder kompakten Teilmenge von {z : |z − z0| > r1}) und der Regulärteil konvergiert kompakt auf {z : |z − z0| < r2}. Auf dem Durchschnitt dieser beiden Mengen, Kr1,r2(z0), konvergieren also beide

    Reihen kompakt.

    Abbildung 1: Kr1,r2(z0) = {z : r1 < |z − z0| < r2}

    Genau wie beim Identitätssatz für Potenzreihen lässt sich für Laurent-Reihen die

    Eindeutigkeit der Koeffizienten beweisen.

    Satz 1.0.2 (Eindeutigkeit der Koeffizienten an einer Laurent-Reihe). Konvergieren die

    Laurent-Reihen

    A(z) = n=∞∑ n=−∞

    an(z − z0)n, B(z) = n=∞∑ n=−∞

    bn(z − z0)n (5)

    auf einem Ringgebiet Kr1,r2(z0) = {z : r1 < |z − z0| < r2}, und gilt dort A(z) = B(z), so folgt an = bn ∀n ∈ Z.

    TU Dortmund Datum: 17. Juni 2013

  • Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seite 5

    Beweis: Es sei k ∈ Z. Weiterhin sei Γ ⊂ Kr1,r2 eine geschlossene, positiv orientier- te Jordan-Kurve mit endlicher Länge, welche in ihrem Inneren die Kreislinie Kr1(z0)

    enthält. Wegen der Konvergenz auf Kr1,r2(z0) gilt:

    1

    2πi

    ∫ Γ

    A(ζ)

    (ζ − z0)k+1 dζ

    = 1

    2πi

    ∫ Γ

    ( n=∞∑ n=−∞

    an(ζ − z0)n−k−1 ) dζ

    (6)

    Wegen der gleichmäßigen Konvergenz des Integranden kann man die Summe mit dem

    Integral vertauschen und man erhält die Reihe

    = n=∞∑ n=−∞

    an

    ( 1 2πi

    ∫ Γ

    (ζ − z0)n−k−1dζ ) . (7)

    Um diesen Term weiter vereinfachen zu können, soll die folgende Wiederholung aus

    den vorangehenden Analysis-Veranstaltungen die Berechnung komplexer Kurveninte-

    grale dieser Form erläutern.

    Wiederholung: Berechnung komplexer Kurvenintegrale

    Sei m eine ganze Zahl. Für alle z0 ∈ C und r > 0 gilt für das Kurvenintegral über den Kreis Kr(z0)

    ∫ Kr(z0)

    (ζ − z0)mdζ =

    0, falls m 6= −12πi, falls m = −1 . Beweis:

    Die Parameterdarstellung der glatten Kurve Kr(z0) ist gegeben durch z(t) = z0 +re it =

    z0+r(cos t+i sin t) mit t ∈ [0,2π] und ihre Ableitung ist z′(t) = −r sin t+ir cos t = ireit. Aus Analysis I-III wissen wir:

    ∫ K

    f(z)dz =

    β∫ α

    f(z(t)) · z′(t)dt.

    TU Dortmund Datum: 17. Juni 2013

  • Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seite 6

    Wir erhalten ∫ Kr(z0)

    (ζ − z0)mdζ

    =

    2π∫ 0

    rmeimt · ir · eitdt = irm+1 · 2π∫

    0

    ei(m+1)tdt

    = irm+1 · 2π∫

    0

    ( cos(m+ 1)t+ i sin(m+ 1)t

    ) dt.

    Nun unterscheiden wir zwei Fälle:

    1. für m 6= −1:∫ Kr(z0)

    (ζ − z0)mdζ = irm+1 · (

    sin(m+ 1)t

    m+ 1 − icos(m+ 1)t

    m+ 1

    )∣∣∣2π 0

    = 0,

    2. für m = −1: ∫ Kr(z0)

    (ζ − z0)−1dζ = i · 2π∫

    0

    1dt = 2πi.

    Gemeinsam mit dem Satz über die Wegunabhängigkeit von Ringintegralen (Wiederho-

    lung auf Seite 9) kann dieses Ergebnis auf alle einfach geschlossenen, positiv orientierten

    Jordan-Kurven mit endlicher Länge erweitert werden.

    Also folgt für (7), dass das Integral über Γ Null für n 6= k und 2πi für n = k ist, und somit gilt

    n=∞∑ n=−∞

    an

    ( 1 2πi

    ∫ Γ

    (ζ − z0)n−k−1dζ )

    = ak.

    Nun setzt man A(ζ) = B(ζ) ein, dann folgt analog

    1

    2πi

    ∫ Γ

    A(ζ)

    (ζ − z0)k+1 dζ = bk.

    Also gilt ak = bk für k ∈ Z und somit ist die Eindeutigkeit der Koeffizienten bewiesen.

    TU Dortmund Datum: 17. Juni 2013

  • Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seite 7

    2 Laurent-Entwicklung

    Ähnlich zur Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe, kann man Funktionen in

    eine Laurent-Reihe entwickeln. Für die Laurent-Reihenentwicklung muss die Funktion

    nun nicht mehr holomorph auf der ganzen Umgebung von einem Punkt z0 sein, sondern

    es reicht, wenn f holomorph auf einem Ringgebiet ist.

    Satz 2.0.3. Sei f holomorph auf dem Ringgebiet Kr1,r2(z0).

    1. Dann lässt sich f auf Kr1,r2(z0) in eine Laurent-Reihe entwickeln mit

    f(z) = n=∞∑ n=−∞

    an(z − z0)n

    2. Ist Γ eine geschlossene, positiv orientierte Jordan-Kurve mit endlicher Länge, die

    ganz in Kr1,r2(z0) verläuft und in ihrem Inneren z0 enthält. Dann gilt für alle

    n ∈ Z an =

    1

    2πi

    ∫ Γ

    f(ζ)

    (ζ − z0)n+1 dζ.