LES MATEMÀTIQUES DE LA

MATÈRIA DE TECNOLOGIES

(1r d’ESO)

Núria Magrins Oller INS Gorgs Curs 2009-2010

1

ÍNDEX

1. Introducció ........................................................................................... 2

1.1. Justificació de la necessitat d’aquest material .............................. 2

1.2. Aportació de la matèria de Tecnologies a la comp. matemàtica .. 3

1.3. Coordinació de les programacions ............................................... 3

1.4. Estructura del dossier.................................................................... 4

2. Consideracions generals...................................................................... 4

2.1. Aproximacions decimals................................................................ 4

2.2. Aproximació dels euros.................................................................. 5

2.3. Regla de tres.................................................................................. 5

2.4. Consideració final.......................................................................... 5

3. Eines per dibuixar i mesurar. Dibuix tècnic........................................... 6

3.1. Continguts matemàtics que s’hi utilitzen Rectes. Paral·leles i perpendiculars Angles. Tipus i mesura Triangle rectangle.......................................................................... 6

3.2. Quan es treballa a la classe de matemàtiques?............................ 6

3.3. Com es treballa a la classe de matemàtiques?............................. 6

3.3.1. Rectes.................................................................................. 6

3.3.2. Angles.................................................................................. 9

3.3.3. Triangle rectangle................................................................ 11

4. L’escala. Reducció, natural i ampliació................................................. 15

4.1. Continguts matemàtics que s’hi utilitzen Canvi d’unitats de longitud Magnituds proporcionals. Constant de proporcionalitat................. 15

4.2. Quan es treballa a la classe de matemàtiques?............................ 15

4.3. Com es treballa a la classe de matemàtiques?............................. 15

4.3.1. Canvi d’unitats de longitud................................................... 15

4.3.2. Magnituds proporcionals. Constant de proporcionalitat....... 16

2

1. INTRODUCCIÓ 1.1. Justificació de la necessitat d’aquest material El nostre centre, l’IES Gorgs de Cerdanyola del Vallès, està duent a terme un Pla de Millora aprovat pel Departament d’Educació. Aquest Pla de Millora té com un dels seus objectius prioritaris millorar els resultats de les competències bàsiques de l’alumnat en tots els àmbits curriculars. Una de les primeres accions realitzades va ser la posada en funcionament d’una coordinació interdepartamental per tal de debatre sobre la transversalitat de les competències bàsiques i les connexions entre les matèries. D’aquestes reunions interdepartamentals va sorgir la idea d’incorporar la comprensió lectora com a contingut de totes les àrees. Aquesta idea es va desenvolupar i posar en pràctica durant el curs 2008-2009. A finals del mateix curs, el centre –tant a nivell de l’equip directiu, com de tot el claustre del professorat- va manifestar la voluntat de treballar seriosament en el sentit de millorar la competència matemàtica implicant-hi totes les àrees que tinguin relació amb les matemàtiques.

En el decret pel qual s’estableix l’ordenació dels ensenyaments de l’educació secundària obligatòria, el Departament d’Educació precisa que la competència matemàtica té un caràcter transversal a totes les matèries i que per millorar-la cal que els aprenentatges dels continguts matemàtics s’orientin cap a la seva utilització a la vida diària i a les altres àrees del coneixement. Tradicionalment, però, estem acostumats a un model educatiu molt compartimentat en matèries o assignatures on les matemàtiques solen ser tractades sense connexió amb les altres matèries. Cal que el nostre alumnat pugui veure les matemàtiques com un valor instrumental que ajuda a l’aprenentatge de les altres disciplines. A més, establir connexions entre els continguts matemàtics i els no matemàtics contribueix clarament a donar sentit als primers, ja que mostra el seu origen i les seves aplicacions. Una altra necessitat que se’ns planteja a l’hora de mirar les matemàtiques de manera interdisciplinar és l’acurada selecció i seqüenciació de continguts. Cal optimitzar l’ensenyament dels continguts matemàtics presents en els currículums de les diferents àrees, aconseguint que la duplicitat que es produeix a l’hora de treballar els aspectes matemàtics es faci de manera coordinada tant en el temps com en el procediment. Cal, doncs, que coneguem quines matemàtiques treballem a cada àrea, com les treballem i en quin moment. Quan treballem un mateix concepte des de diferents matèries, cal que el professorat ho tinguem present i que els alumnes vegin pautes coherents i el puguin interrelacionar. Per acabar, voldria afegir la importància que aquest material pot tenir per al professorat. Per una banda, ha de servir als docents experts, tant de Matemàtiques com de Tecnologies, per reflexionar sobre la nostra metodologia a l’hora de ensenyar les matemàtiques i de connectar les dues matèries. I, per altra banda, pot ser un material molt útil per al professorat de nova incorporació al centre, ja que disposarà d’una guia sobre com treballar les matemàtiques que apareixen a la matèria de Tecnologies en cada curs.

3

1.2. Aportació de la matèria de Tecnologies a la competència matemàtica

El decret del Departament d’Educació pel qual s’estableix l’ordenació dels ensenyaments de l’educació secundària obligatòria detalla la contribució de la matèria de Tecnologies a l’assoliment de la competència matemàtica de la següent manera: “Participa en el desenvolupament de la competència matemàtica per mitjà de l’ús d’eines matemàtiques, de manera contextualitzada, en la mesura que proporciona situacions d’aplicabilitat a diversos camps i facilita la visibilitat d’aquestes aplicacions i de les relacions entre els diferents continguts matemàtics. Les eines matemàtiques especialment presents en la matèria estan relacionades amb la resolució de problemes pràctics de l’entorn: mesura i càlcul de magnituds bàsiques, l’ús d’escales, la lectura i interpretació de gràfics, i la resolució de problemes basats en l’aplicació d’expressions matemàtiques referides a principis i fenòmens físics.” 1.3. Coordinació de les programacions Un cop analitzats els continguts matemàtics presents en les matèries de Ciències socials, Ciències de la naturalesa, Tecnologies i Educació visual i plàstica de 1r i 2n d’ESO, el departament de matemàtiques ha reestructurat la seva programació per tal d’adaptar-la al màxim a les necessitats de les altres matèries. Tot i això, no ha estat possible fer una seqüenciació dels continguts a l’assignatura de Matemàtiques de manera que s’expliqui a l’alumnat tot el necessari abans que es treballi a les altres matèries. Per intentar solucionar aquest fet, s’han realitzat dues accions. Al començament d’alguns trimestres s’ha introduït a l’assignatura de matemàtiques el TEMA 0. En aquest tema es donen nocions bàsiques de continguts matemàtics directament aplicables a d’altres assignatures i que s’estudiaran durant el trimestre. Per exemple, en el TEMA 0 del primer trimestre de 1r d’ESO s’explicarà el concepte de proporció per entendre les escales. Per altra banda, s’ha fet una proposta sobre la metodologia a emprar en cada un dels continguts matemàtics que apareixen a l’assignatura en qüestió. D’aquesta forma, si encara no s’han fet a la classe de matemàtiques, el professorat de Tecnologies sabrà com es treballaran aquests continguts i li podrà servir d’orientació. Cada departament disposarà d’una graella-resum on constaran els continguts matemàtics treballats a cada matèria en cada trimestre. Per últim, s’aconsella adaptar al màxim, també, la programació de la matèria de Tecnologies per tal d’optimitzar l’assoliment dels continguts matemàtics presents en el currículum d’aquesta matèria.

4

1.4. Estructura del dossier

El present dossier està estructurat de la forma següent: en primer lloc, hi ha un apartat de CONSIDERACIONS GENERALS. A partir d’aquí, cada un dels apartats següents porta el títol del TEMA de la matèria de Tecnologies on apareixen continguts matemàtics. En cada un d’aquests apartats hi ha tres parts que s’expliquen a continuació: TEMA Continguts matemàtics que s’hi utilitzen. En aquest apartat només s’escriuen els títols dels continguts matemàtics necessaris per a aquest tema.

Quan es treballa a la classe de matemàtiques? En aquest apartat es diu en quin moment del curs es treballa a la classe de matemàtiques cada un dels continguts descrits en l’apartat anterior, segons la nova programació. Cal tenir present que durant el curs 2010-2011 es començarà a aplicar la nova programació de matemàtiques només a 1r d’ESO. A 2n d’ESO s’aplicarà a partir del curs 2011-2012. Cal posar atenció als continguts que es treballen a les dues matèries gairebé alhora ja que, segons la dinàmica del grup-classe, no sempre es pot seguir la temporització de la programació.

Com es treballa a la classe de matemàtiques? En aquest apartat s’explica la metodologia emprada, a la classe de matemàtiques, per assimilar cada un dels continguts descrits en el primer apartat. Cal tenir en compte que aquest dossier va dirigit al professorat i, per tant, s’han omès moltes parts que sí que es fan a l’aula i, en canvi, es defineixen conceptes necessaris per al professorat que no són estrictament necessaris per a l’alumnat. Per introduir un concepte nou a la classe de matemàtiques es solen plantejar problemes concrets per resoldre i, sempre que es pot, contextualitzats. Es provoca una discussió sobre la forma de resoldre el problema plantejat i finalment s’ordenen les idees sorgides i es defineix el concepte o el mètode que s’està estudiant. Finalment, i dins d’aquest apartat, de vegades hi ha unes Recomanacions a tenir en compte quan es treballen aquells conceptes de més difícil assimilació per part de l’alumnat o aquells procediments on cometen més errors. 2. CONSIDERACIONS GENERALS 2.1. Aproximacions decimals Si la solució d’un problema és un nombre amb moltes xifres decimals, cal fer una aproximació d’aquest nombre. A la classe de matemàtiques sempre recomanem fer l’arrodoniment del nombre en qüestió amb dues o tres xifres decimals, com a màxim. Arrodonir un nombre amb dos decimals (fins als centèsims) significa donar la millor aproximació amb dues xifres decimals del nombre. Això s’aconsegueix observant la tercera xifra decimal. Si aquesta és una xifra menor que 5, l’arrodoniment es farà tallant

5

als centèsims (truncament). Si la tercera xifra decimal és més gran o igual a 5, l’arrodoniment s’aconsegueix sumant un centèsim al truncament. Per exemple si volem arrodonir amb dos decimals el nombre A = 45,67385...., observem que la tercera xifra decimal és un 3 (menor que 5). L’arrodoniment del nombre A amb dos decimals serà, doncs, A ~ 45,67. Si volem fer el mateix amb el nombre B = 0,24515...., com que la tercera xifra decimal és un 5 (major o igual que 5), l’arrodoniment del nombre serà B ~ 0,25. Si volem arrodonir els nombres A i B amb tres decimals, haurem d’observar la quarta xifra decimal i seguir el mateix procés. Així doncs, A ~ 45,674 i B ~ 0,245. 2.2. Aproximació dels euros Sempre cal donar els nombres que indiquen quantitats d’euros amb dues xifres decimals. Si el resultat d’una operació amb euros ens dóna més de dues xifres decimals, hem de fer l’arrodoniment i si només té una xifra decimal, hem d’escriure en el lloc dels centèsims (cèntims d’euro) un 0. Si no es fa d’aquesta forma, pot portar a confusió a l’hora d’interpretar la lectura d’aquest nombre d’euros. Per exemple, si diem que un objecte val vint-i-quatre amb tres, no sabem si ens referim a vint-i-quatre euros i tres cèntims o a vint-i-quatre euros i 30 cèntims ja que 24,03 ≠ 24,3 = 24,30. Cal escriure 24,30 € i llegir vint-i-quatre amb 30. 2.3. Regla de tres Sobre l’aplicació de la regla de tres simple, cal fer notar que és correcta només en alguns casos. Aquests casos es descriuen en els apartats corresponents del dossier. No obstant això, l’alumnat tendeix a aplicar-la també, en d’altres situacions on el seu ús és incorrecte. En aquest dossier i en cada cas concret es dóna una alternativa fàcil i entenedora a la regla de tres. 2.4. Consideració final

I, per últim, voldria remarcar el fet que quan l’alumnat es troba davant d’un problema que ha de resoldre, l’objectiu final és trobar-hi la bona solució. No és tan important el mètode utilitzat per arribar a aquesta solució, sempre que sigui correcte. Com a docents, hem d’estar oberts a diferents formes de resoldre un problema i a diferents formes d’ensenyar a resoldre un problema. Si davant un concepte a assolir, una part de l’alumnat té grans dificultats, cal reflexionar i buscar alternatives per intentar minimitzar aquestes dificultats. Aquest dossier és un material obert que podem anar canviant i millorant entre tots, curs rere curs, i que espero que us sigui de molta utilitat.

6

3. EINES PER DIBUIXAR I MESURAR. DIBUIX TÈCNIC

3.1. Continguts matemàtics que s’hi utilitzen RECTES. Paral·leles i perpendiculars ANGLES. Tipus i mesura

TRIANGLE RECTANGLE

3.2. Quan es treballa a la classe de matemàtiques?

RECTES. Paral·leles i perpendiculars Es treballen a final de curs dins el bloc de geometria. ANGLES. Tipus i mesura

Es fa una introducció als angles entre la segona i la tercera setmana de curs. TRIANGLE RECTANGLE

Es treballa a final de curs dins el bloc de geometria.

3.3. Com es treballa a la classe de matemàtiques?

OBSERVACIÓ PRÈVIA

A la classe de matemàtiques es comença la geometria treballant amb polígons i, a partir d’aquests, van sortint els conceptes de segment, recta, diagonal, .... Sempre que es pot es porta a l’aula material que l’alumnat pugui manipular. En algunes ocasions també es va a l’aula d’informàtica per treballar amb programes tipus Geoclic, Geogebra o d’altres. L’ordre que s’exposarà en aquest apartat no és el que es segueix a l’aula. Tampoc no s’expliquen ni es fan aprendre totes les definicions que hi apareixen. De totes formes s’ha cregut convenient deixar per escrit en aquest dossier tots els conceptes relacionats amb la geometria de 1r d’ESO per tal que el professorat hi tingui fàcil accés. 3.3.1. RECTES

Els elements bàsics de la geometria plana són el punt, la recta i el pla. Són conceptes primaris i per definir-los necessitem relacionar-los entre ells. Tenim, però, la idea intuïtiva del que són.

7

Un punt no és un objecte físic, no té dimensions. Representa una posició

dins el pla o l’espai. També es pot definir com la intersecció de dues rectes. Com ja s’ha dit, el punt és un concepte intuïtiu, una idea, i en no tenir gruix és impossible de representar. No obstant això, utilitzem les formes següents per fer-ho:

- El senyal que deixa la punta d’un llapis en tocar un full de paper sense lliscar (·).

- La intersecció de dos petits segments (x) (+). - Un petit cercle ( ). El punt se sol anomenar amb lletres majúscules (A, B, C, ....)

Un segment és la línia recta que uneix dos punts. Se sol posar exemples

visibles a la mateixa aula (costat de la pissarra, mina d’un llapis,...) Si es prolonga infinitament un segment per un dels seus extrems tindrem una semirecta. Si el prolonguem infinitament pels dos extrems tindrem una recta. Una recta està formada per infinits punts, tots en la mateixa direcció. Té una sola dimensió, no té gruix. No es pot representar una recta sencera, ja que és infinita. Només en podem representar un tros, però ens hem d’imaginar aquesta representació prolongada fins l’infinit en els dos sentits.

Les rectes, les semirectes i els segments se solen anomenar amb lletres minúscules (r, s, t, .....)

8

Dues rectes poden ser paral·leles si no tenen cap punt en comú o secants

si tenen un punt en comú, és a dir, si es tallen en un punt.

Quan dues rectes secants divideixen el pla en quatre parts iguals, diem que són perpendiculars.

La idea de pla, ens la dóna una superfície com la pissarra, una taula, una

paret,.... però cal imaginar-se el pla il·limitat en totes les direccions. Les representacions del pla que podem fer són un tros de pla. Un pla té dues dimensions i està format per infinites rectes i infinits punts.

Els punts, les rectes i els plans són dins l’espai, que té tres dimensions.

9

3.3.2. ANGLES

Definició d’angle com a regió del pla: és la part o porció del pla limitada per

dues semirectes que tenen l’origen en un mateix punt.

Definició d’angle com a gir: és la regió del pla escombrada per una semirecta

en girar al voltant del seu origen, és a dir, la regió del pla que escombra una semirecta en moure’s fixant el seu origen. L’angle queda determinat per les posicions inicials i finals de la semirecta. Aquesta segona definició ens ajuda a la classe de matemàtiques quan cal definir angles orientats, positius i negatius.

Dues rectes perpendiculars divideixen el pla en quatre parts iguals. Cada una d’aquestes parts és un angle recte.

Una unitat per mesurar angles és el grau sexagesimal (º). Un grau és la norantena part d’un angle recte, és a dir, si dividim un angle recte en 90 angles iguals, cada un d’aquests angles mesura 1º. Perquè es pugui apreciar un angle d’un grau cal fer les semirectes prou llargues.

Cada grau està dividit en 60 minuts d’arc i cada minut d’arc en 60 segons d’arc (A la pràctica diem minuts i segons). Els múltiples i submúltiples van de 60 en 60, per això se’n diu sistema sexagesimal.

Un angle recte mesura 90º.

El doble d’un angle recte és un angle pla i mesura 180º

10

En un angle nul o de 0º la semirecta inicial no ha girat, no ha escombrat cap zona del pla. En un angle complet la semirecta inicial ha fet un gir sencer escombrant tot el pla. Aquest angle té una amplitud de 360º

Classificació dels angles:

- Un angle α és convex si és menor que un pla (α<180º). - Un angle α és còncau si és major que un pla (α>180º). D’entre els convexos tenim que:

- Un angle α és agut si és menor que un recte (α<90º). - Un angle α és obtús si és major que un recte (90º<α<180º)

Exemples

11

3.3.3. TRIANGLE RECTANGLE

Una línia poligonal és una figura formada per segments consecutius. Poden

ser tancades si l’origen del primer segment coincideix amb l’extrem de l’últim o obertes en cas contrari.

Un polígon és un tros de pla limitat per una línia poligonal tancada. La paraula polígon prové del grec “poli” diversos, “gono” angle.

Elements d’un polígon:

- Costat: Cada segment que forma la línia poligonal - Vèrtex: Punt on s’uneixen dos segments - Angle: Angle que formen dos costats consecutius del polígon - Diagonal: Segment que uneix dos vèrtexs no consecutius

Un polígon és regular si tots els seus costats tenen la mateixa longitud i tots

els seus angles tenen la mateixa amplitud. En cas contrari és irregular.

Un polígon és convex si tots els seus angles són convexos (<180º) i és

còncau si algun dels seus angles és còncau (>180º).

12

Un triangle és un polígon de tres costats. Té les característiques següents:

- És el polígon amb el nombre més petit de costats ja que per tancar una

línia poligonal es necessita un mínim de tres segments. - Sempre és convex. Un polígon còncau necessita un mínim de quatre

costats.

- No té diagonals ja que dos vèrtexs d’un triangle sempre són consecutius.

- És rígid, no es pot deformar. Si ens imaginem els polígons construïts amb peces de meccano, un triangle no el podrem moure, qualsevol altre polígon, sí.

- La suma dels seus angles sempre és 180º.

Generalment, se sol anomenar els vèrtexs d’un triangle amb les lletres A, B i C i els costats oposats a cada vèrtex amb les mateixes lletres però en minúscula.

Classificació dels triangles segons la longitud dels seus costats:

- Equilàter: Els tres costats tenen la mateixa longitud. És el triangle

regular. Els tres angles també tenen la mateix amplitud, que és de 60º ja que 180º:3=60º.

- Isòsceles: Només té dos costats amb la mateixa longitud i, per tant, dos angles d’igual amplitud.

- Escalè: No hi ha cap costat amb la mateixa longitud i, per tant, cap angle d’igual amplitud.

Classificació dels triangles segons l’amplitud dels seus angles:

- Acutangle: Els tres angles són aguts (<90º). - Rectangle: Té un angle recte (=90º). - Obtusangle: Té un angle obtús (>90º).

13

Els costats d’un triangle rectangle reben un nom especial. Els dos costats que formen l’angle recte es diuen catets i el costat oposat a l’angle recte es diu hipotenusa. Al vèrtex corresponent a l’angle recte se li sol assignar la lletra “A” i, per tant, a la hipotenusa la lletra “a”, tot i que no sempre és així.

En un triangle rectangle la suma dels angles aguts sempre és de 90º ja que la suma dels tres angles és 180º i n’hi ha un de recte (90º).

Recomanacions

És important mostrar els objectes perpendiculars en diferents posicions; si no, l’alumnat pot creure que la perpendicularitat existeix només quan els objectes són horitzontals i verticals. Aquesta creença es dóna sovint amb els triangles rectangles.

En el cas de l’escaire i el cartabó és important fer notar a l’alumnat que l’escaire és un triangle rectangle isòsceles; per això té dos angles iguals de 45º cada un i el cartabó, un triangle rectangle escalè.

Cal remarcar el fet que no n’hi ha prou que un polígon tingui els costats d’igual longitud per ser regular; cal, a més, que tingui els angles iguals. Un rombe qualsevol i l’hexàgon dibuixat tenen tots els costats iguals i no són regulars.

14

Després d’haver estudiat els triangles rectangles i les definicions de catet i hipotenusa, part de l’alumnat es queda amb la idea que la hipotenusa és el costat més llarg. Quan aquest alumnat es troba amb un triangle que no és rectangle segueix pensant que el costat més llarg és la hipotenusa. Cal insistir que un triangle només té catets i hipotenusa si és rectangle. És bo que s’acostumin a trobar l’angle recte i l’assenyalin amb un quadradet.

15

4. L’ESCALA. Reducció, natural i ampliació

4.1. Continguts matemàtics que s’hi utilitzen

CANVI D’UNITATS DE LONGITUD MAGNITUDS PROPORCIONALS. CONSTANT DE PROPORCIONALITAT

4.2. Quan es treballa a la classe de matemàtiques?

CANVI D’UNITATS DE LONGITUD

Es repassa només començar el curs MAGNITUDS PROPORCIONALS. CONSTANT DE PROPORCIONALITAT

Entre la tercera i la quarta setmana de curs es dóna la idea de proporcionalitat enfocada a treballar les escales tant de reducció com d’ampliació.

4.3. Com es treballa a la classe de matemàtiques?

4.3.1. CANVI D’UNITATS DE LONGITUD

Es canvia d’unitat multiplicant o dividint per 10 o per una potència de 10.

Cal que s’aprenguin els múltiples i submúltiples del metre i el seu valor respecte a aquest.

Múltiples Unitat bàsica del SI

Submúltiples

km hm dam m dm cm mm

1 km = 1 000 m 1 dm = 0,1 m

1 hm = 100 m 1 cm = 0,01 m

1 dam = 10 m 1 mm = 0,001 m

Per passar a la unitat immediatament inferior, multipliquem per 10 i per passar a la unitat immediatament superior, dividim per 10.

16

Exemples

1. Per passar de m a mm hem de multiplicar tres vegades per 10 (de m a dm, de

dm a cm i de cm a mm), és a dir, per 1 000 (10·10·10 = 1 000) 2 m = 2 · 1 000 mm = 2 000 mm 2. Per passar de mm a cm hem de dividir una vegada per 10 89 mm = 89 : 10 cm = 8,9 cm 3. Per passar de cm a m hem de dividir dues vegades per 10, és a dir, per 100 34,3 cm = 34,3 : 100 m = 0,343 m Recomanacions

No convé parlar a l’alumnat de potències de 10 ja que encara no hem treballat les potències a la classe de matemàtiques.

És bo que l’alumnat tingui sempre present l’ordre dels múltiples i submúltiples del metre per saber quantes vegades cal multiplicar o dividir per 10 per passar d’una unitat a una altra.

Un cop fet el canvi d’unitat cal que l’alumnat pensi si el resultat numèric té sentit.

4.3.2. MAGNITUDS PROPORCIONALS. CONSTANT DE PROPORCIONALITAT

Es recorda el que és una magnitud: Qualsevol propietat que es pot mesurar i

per tant, pot ser expressada amb un número i la seva unitat de mesura. Exemples 1. Quilos de taronges que compro 2. Nombre de paletes que hi ha construint un edifici 3. Dimensions de les habitacions d’una casa 4. Diàmetre de les diferents peces circulars d’un rellotge de polsera

Definició de magnituds proporcionals: Dues magnituds són proporcionals

sempre que el producte o la divisió entre un valor d’una de les magnituds i el corresponent a l’altra magnitud es manté constant.

17

Exemples 1. Quilos de taronges que compro i euros que pago per aquesta compra. La

divisió entre dos d’aquests valors que es corresponguin sempre serà el mateix, es mantindrà constant.

Taronja

(kg) 2 3 5 6

Preu (€)

3 4,50 7,50 9

2. El nombre de paletes que hi ha construint un edifici i els dies que tarden a

acabar-lo. El producte de dos valors corresponents es mantindrà constant. (Cal suposar que tots els paletes treballen al mateix ritme i cada dia igual)

Paletes 12 6 4 3

Dies 40 80 120 160

3. Les dimensions de les habitacions d’una casa a la realitat i les dimensions de

les habitacions de la mateixa casa en un plànol. La divisió és manté constant.

Dimensió real (m)

1 3 5 6 0,5

Dimensió plànol(cm)

2 6 10 12 1

4. Els diàmetres reals de les peces circulars d’un rellotge de polsera i els

mateixos diàmetres en un dibuix més gran que la realitat.

Diàmetre real (mm)

4 8 2 6 1

Diàmetre dibuix(cm)

1 2 0,5 1,5 0,25

En el cas de les magnituds directament proporcionals, la divisió entre un

valor d’una de les magnituds i el valor corresponent de l’altra magnitud es manté constant. Això fa que si doblem el valor d’una de les magnituds, el valor corresponent de l’altra magnitud queda doblat, si el tripliquem, el corresponent també es triplica, si un el dividim per 2, el corresponent també es dividirà per 2, etc. La raó (divisió) entre dos valors corresponents ens dóna la constant de proporcionalitat i ens indica les vegades que està continguda una magnitud

en una unitat de l’altra.

18

Exemples 1. En l’exemple de les taronges tenim dues magnituds directament

proporcionals. La raó entre el preu que pago per la compra de taronges i els quilos que he comprat em dóna el preu de les taronges per quilo.

50,1

6

9

5

50,7

3

50,4

2

3

kgtaronja

€preu → Vol dir que 1 kg de taronges

val 1,50 € (1,50 €/kg)

La raó entre els quilos de taronges que compro i els euros que he pagat em dóna els quilos de taronges que compararia amb un euro.

67,0

9

6

50,7

5

50,4

3

3

2

€preu

kgtaronja → Vol dir que amb 1 € podem

comprar 0,67 kg de taronges, és a dir, 670 g de taronges 2. El cas dels paletes i els dies que tarden a construir l’edifici no són magnituds

de proporcionalitat directa. En aquest cas la constant de proporcionalitat és el producte i no la divisió.

Quan es fa una representació d’un objecte real, casa, ciutat, país,...les longituds reals i les corresponents de la representació són magnituds directament proporcionals. La raó (fracció) entre una longitud de la representació (plànol, mapa, ...) i la longitud corresponent a la realitat, amb la mateixa unitat, s’anomena escala.

3. En l’exemple de les dimensions de les habitacions d’una casa estem

relacionant una mateixa magnitud però amb diferents unitats, longitud en m i longitud en cm. Són magnituds directament proporcionals i la raó entre la dimensió real i la dimensió en el plànol ens donarà la constant de proporcionalitat que, si la calculem amb les mateixes unitats (m, cm o qualsevol altra unitat de longitud) ens indicarà l’escala en què està dibuixat el plànol.

50

1

50

12

600

10

500

6

300

2

100

cmplànol.dim

cmreal.dim

Vol dir que 1 cm en el plànol equival a 50 cm a la realitat, és a dir, 0,5 m. En aquest cas tenim una escala de reducció ja que en representar les mides en el plànol estem reduint les mides reals. Aquesta escala està simbolitzada en els plànols o dibuixos amb la forma 1:50 o bé 1/50, que és la raó entre les dimensions del plànol i les dimensions reals, és a dir, l’escala.

19

4. Per fer una representació d’objectes molt petits, sovint ens cal ampliar les seves mides i, per tant, utilitzar una escala d’ampliació. Aquest és el cas de l’exemple de les peces circulars d’un rellotge de polsera. Les longituds dels diàmetres reals i les del dibuix són magnituds directament proporcionals i la raó entre els diàmetres del dibuix i els diàmetres reals ens dóna la constant de proporcionalitat que si la calculem amb les mateixes unitats (cm, mm o qualsevol altra unitat de longitud) ens indicarà l’escala en la qual està feta la representació.

5,2

1

5,2

6

15

2

5

8

20

4

10

mmreal.diàm

mmdibuix.diàm

Vol dir que 1 mm real equival a 2,5 mm del dibuix.

En el dibuix apareix el símbol 2,5:1 o bé 2,5/1, que ens indica l’escala (raó entre les mides del dibuix i les reals)

Observacions

En una escala de reducció (mides reals més grans que les representades) el símbol és 1:x o bé 1/x. Indica que la realitat és x vegades més gran que la representació.

En una escala d’ampliació (mides reals més petites que les representades) el símbol és x:1 o bé x/1. Indica que la realitat és x vegades més petita que la representació.

En una escala natural (mides reals igual que les representades) el símbol és 1:1 o bé 1/1. Indica que les mides reals són idèntiques a les representades.

Exemples

A l’hora de treballar l’escala a la classe de Tecnologies se’ns poden plantejar tres situacions:

i. Calcular una mida real a partir de la mida al dibuix i l’escala.

Les dades són l’escala i les mides del dibuix. En cada cas cal tenir molt present si les mides reals són més petites o més grans que la representació ja que a partir d’aquest fet sabrem si hem de multiplicar o dividir pel valor que ens indica l’escala.

a) Si l’escala és de reducció (1:x) només cal multiplicar la distància

mesurada al plànol o dibuix per x i canviar-la a la unitat de longitud més adequada.

20

Exemple: Dades; Escala → 1:300 (1 cm al plànol o dibuix equival a 300 cm a

la realitat). Mesura al plànol → 1,5 cm

Resolució; Mesura a la realitat: → 1,5 · 300 = 450 cm = 4,5 m

b) Si l’escala és d’ampliació (x:1) només cal dividir la distància mesurada

al plànol o dibuix per x i canviar-la a la unitat de longitud més adequada. Exemple: Dades; Escala → 5:1 (5 cm al plànol o dibuix equival a 1 cm a la

realitat). Mesura al plànol → 1,5 cm

Resolució; Mesura a la realitat: → 1,5 : 5 = 0,3 cm = 3 mm

c) Si l’escala és natural, la distància mesurada al dibuix és la distància real.

ii. Calcular quina distància tindrà al dibuix una distància real a partir de l’escala. Les dades són l’escala i les mides reals. En cada cas cal tenir molt present si les mides reals són més petites o més grans que la representació ja que a partir d’aquest fet sabrem si hem de multiplicar o dividir pel valor que ens indica l’escala.

a) Si l’escala és de reducció (1:x), només cal dividir la distància real per x

i canviar-la a la unitat de longitud més adequada.

Exemple:

Dades; Escala → 1:150. Mesura real → 3 m

Resolució; Mesura al dibuix → cm2m02,0150

3

21

b) Si l’escala és d’ampliació (x:1), només cal multiplicar la distància real per x i canviar-la a la unitat de longitud més adequada.

Exemple:

Dades; Escala → 3:1.

Mesura real → 7 mm

Resolució; Mesura al dibuix → cm1,2mm2137

c) Si l’escala és natural, la distància mesurada al dibuix és la distància

real.

iii. Calcular l’escala si coneixem les mides reals i les corresponents mides al dibuix

Les dades són les mides reals i les mides corresponents del dibuix. Per trobar l’escala caldrà dividir, en les mateixes unitats de longitud, una de les mides grans (real o dibuix) entre la corresponent petita (real o dibuix). Després escriurem l’escala amb la simbologia (fracció) adequada segons sigui una escala de reducció o d’ampliació.

a) Si l’escala és de reducció, només cal, amb la mateixa unitat de

longitud, dividir la mida real entre la mida corresponent del dibuix.

Exemple:

Dades; Mida real → 18 m = 1 800 cm Mida al dibuix → 9 cm

Resolució; 2009

8001 → Escala de reducció 1:200

b) Si l’escala és d’ampliació, només cal, amb la mateixa unitat de

longitud, dividir la mida del dibuix entre la corresponent de la realitat.

Exemple:

Dades; Mida real → 13 mm Mida al dibuix → 2,6 cm = 26 mm

Resolució; 213

26 → Escala d’ampliació 2:1

c) Si les mides reals, en la mateixa unitat de longitud, coincideixen amb

les mides del dibuix, llavors tenim una escala natural i, per tant, 1:1.

22

Resum per treballar escales

Per trobar l’escala en què està feta una representació de la realitat, es divideix la mida gran entre la petita corresponent amb la mateixa unitat de longitud. Si el resultat d’aquesta divisió és x, escriurem 1:x o bé 1/x si és una escala de reducció, i escriurem x:1 o bé x/1 si és una escala d’ampliació.

Per trobar les mides reals o del dibuix a partir de l’escala, multiplicarem pel valor que ens indica l’escala si hem de passar de petit a gran i dividirem pel valor que ens indica l’escala si hem de passar de gran a petit.

Recomanacions

No convé parlar a l’alumnat de fraccions equivalents ja que encara no hem treballat les fraccions a la classe de matemàtiques.

És important, des del punt de vista matemàtic, deixar molt clar a l’alumnat que l’escala és la relació entre les longituds (distàncies) i no entre d’altres magnituds com les àrees, per exemple. És a dir, l’àrea d’un mapa multiplicada per l’escala no ens dóna l’àrea real.

Si no és estrictament necessari, recomanem no fer càlculs d’àrees a partir de l’escala ja que encara no s’han treballat les àrees a la classe de matemàtiques.

La regla de tres és aplicable a les situacions descrites anteriorment, però s’aconsella evitar-la. Hi ha d’altres situacions, que no són de proporcionalitat directa, en què aplicar la regla de tres es fa de forma mecànica però la comprensió de la seva aplicació és difícil i crea confusió a l’alumnat.

Un error molt comú entre l’alumnat és pensar que dues magnituds són directament proporcionals si quan n’augmenta una, augmenta l’altra. Cal remarcar que no n’hi ha prou amb aquest fet sinó que quan una de les magnituds augmenta el doble, l’altra també ha d’augmentar el doble, si una es triplica, l’altra també es triplica, .... Hi ha moltes relacions entre magnituds en què en augmentar-ne una, també augmenta l’altra però no de forma proporcional. És millor evitar la frase: “quan una magnitud augmenta , l’altra també” i substituir-la per “quan una magnitud augmenta el doble, l’altra també augmenta el doble, ......”

Com sempre, cal que l’alumnat pensi si el resultat numèric té sentit en el context en què es troba.