Lezione n. 13Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 1 Luce ed onde elettromagnetiche Maxwell dimostrò che la luce è unonda elettromagnetica di natura

Lezione n. 13 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

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Luce ed onde elettromagneticheMaxwell dimostrò che la luce è un’onda elettromagnetica di natura ondulatoria con frequenze comprese nell’intervallo 4x1014 Hz - 7x1014 Hz che si propaga, in un mezzo dielettrico (omogeneo e isotropo) di costante dielettrica e permeabilità magnetica , con velocità v. Nel vuoto, dove = 0 = 8.85 10-12 C2N-1m-2 e = 0 = 1.26 10-6 Ns-2C-2, tale velocità è la velocità della luce nel vuoto, generalmente indicata con c.

v 1

c 1

0 0

2.99792458 108 ms 1


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Grandezze radiometriche e fotometricheL’intervallo 4x1014 Hz - 7x1014 Hz in frequenza (4x10-7 m - 7x10-7 m in lunghezze d’onda) è la zona dello spettro elettromagnetico denominata “luce visibile”. Al suo interno, l'occhio umano ha un massimo di sensibilità nel giallo-verde, intorno ai 550 nm. Pertanto, è stata costruita empiricamente una "curva di visibilità dell'occhio umano medio", V(), accettata per convenzione internazionale, che ha il massimo a 555 nm ed ha la forma di una campana asimmetrica. Nel punto massimo, per definizione, V()=l.

Le grandezze fotometriche sono ricavate moltiplicando per V() le corrispondenti grandezze radiometriche utilizzate per le misure di radiazione e integrando sui valori di ; le unità di misura includono in più una costante moltiplicativa pari a 1/683 che ha origine storica (deriva dai campioni di misura utilizzati nell'Ottocento per le misure di intensità luminosa). Le principali grandezze fotometriche sono:

0

)()( dVWCI

ddVWCIdF0

)()( sorgente luminosa di 1 cd emette 1/683 W/sr nel visibile (ciò equivale a porre C=1/683 cd sr-1 W-1).

Flusso luminoso: è l'intensità integrata su tutto l'angolo solido di emissione.

Intensità luminosa: energia emessa nel visibile nell'unità di tempo e per

unità di angolo solido (sr) intorno a una ben determinata direzione, dove W() è la potenza emessa per steradiante intorno a una determinata direzione, con lunghezza d'onda fra e +d. L’unità di misura dell’intensità luminosa è la candela (cd), definita come segue: una

L'unità di misura è il lumen (lm), cioè una candela moltiplicata per l'angolo solido di emissione. Dal punto di vista delle applicazioni, il lumen è più usato della candela, perché tiene conto dell'effettiva potenza emessa in tutte le direzioni dalla sorgente luminosa. Ovviamente 1 lm = 1/683 W. La grandezza radiometrica corrispondente è la potenza.

Illuminamento: è il flusso luminoso che incide sull'unità di superficie: I=dF/dS. L'unità di misura è il lux (lx): 1 lx = 1 lm m-2. L'illuminamento tiene quindi conto sia della sorgente sia della superficie illuminata. Ovviamente 1 lx = 1/683 W/m2. La grandezza radiometrica corrispondente è la radiazione.


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Le onde elettromagneticheUn’antenna (circuito LC) genera onde e.m. con velocità c e campi elettrico e magnetico di equazione:

I vettori elettrico e magnetico variano continuamente la propria di-

E E0 sin(kx t)B B0 sin (kx t)

Rezione come indicato sotto. Inoltre tra le ampiezze dei campi elettrico e magnetico vale la relazione:dove c è la velocità della luce nel vuoto E cB


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Campo elettrico indottoQuando l’onda raggiunge il rettangolo h dx, all’interno di esso B varia, quindi varia B e pertanto, per la legge di Faraday, deve apparire un campo elettrico indotto:

Sviluppando l’integrale, si trova:

Cioè sostituendo: o meglio

Sostituendo le espressioni per i campi elettrico e

magnetico:

si ottiene: da cui si ha:

dt

d B dsE

dt

dBhdxBhdx

dt

d

dt

d

hdEEhhdEE

B

)(

)(dsE

dt

dB

dx

dE

t

B

x

E

)sin(

)sin(

tkxBB

tkxEE

m

m

)cos()cos( tkxBtkxkE mm cB

E

m

m


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Campo magnetico indottoQuando l’onda raggiunge il rettangolo h dx, all’interno di esso E varia, quindi varia E e pertanto, per la legge di Maxwell, deve apparire un campo magnetico indotto:

Sviluppando l’integrale, si trova:

Cioè sostituendo:

Sostituendo le espressioni per i campi elettrico e

magnetico:

si ottiene: da cui si ha:

equivalente a:

dt

d E 00dsB

dt

dEhdxEhdx

dt

d

dt

d

hdBBhhdBB

E

)(

)(dsB

t

E

x

B

00

)sin(

)sin(

tkxBB

tkxEE

m

m

)cos()cos( 00 tkxEtkxkB mm ckB

E

m

m

0000

1

)/(

1

00

1

c


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Trasporto di energia: vettore di PoyntingLa quantità di energia trasportata da un’onda elettromagnetica nell’unità di tempo per unità di superficie è data dal vettore di Poynting S, definito come:

Il modulo del vettore di Poynting, essendo E e B perpendicolari tra loro in ogni punto, è dato da:

Nel caso in cui E=Em sin (kx-t), si ottiene per S il valore:

BES 0

1

2

00

11E

cEBS

)(sin1 22

0

tkxEc

S m

Il valore medio temporale di S è chiamato intensità (del campo elettromagnetico) e denotato con I. Si noti che I è misurato in W/m2.

Per quanto riguarda le densità di energia, si può sostituire nell’espressione che definisce uE (densità volumica di energia elettrica) l’espressione di E:

2

0

1qmE

cSI

BE uBB

cBEu 2

000

202020

2

11

222


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La pressione di radiazione e la coda delle cometeLe onde elettromagnetiche, oltre a trasportare energia, trasportano anche quantità di moto. Detta U l’energia assorbita (totalmente) da un oggetto nel tempo t per effetto della radiazione, l’oggetto riceve anche la quantità di moto. In modulo |p| = U / c. mentre la direzione di p è la direzione di propagazione dell’onda elettromagnetica.

Nel caso in cui, invece, il corpo in questione rifletta (incidenza normale) la radiazione, la relazione precedente diventa |p| = 2 U / c. In un caso generico, p varierà tra i due valori precedenti.

L’energia incidente sull’area A può essere espressa utilizzando l’intensità luminosa I come: U = I A t

La forza F è legata alla quantità di moto p dal II principio della dinamica: F = dp / dt Allora |F| = I A / c oppure |F| = 2 I A / c e, per definizione di pressione, si ha p = I / c oppure p = 2 I / c.Questo risultato aiuta a capire la traiettoria delle particelle di polvere (non cariche) emesse da una cometa. Infatti, la loro traiettoria dipende dall’importanza della forza gravitazionale e da quella dovuta alla pressione di radiazione. Detto R il raggio della particella, la prima forza varia come R3 (perché dipende dal volume) mentre la seconda dipende da R2 (perché dipende dalla superficie) e quindi, detto Rc il raggio per cui le due forze si uguagliano (traiettoria b), per R > Rc prevale la forza gravitazionale (traiettoria c) e per R < Rc prevale la pressione di radiazione (traiettoria a).


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PolarizzazioneUn’onda si dice polarizzata quando il piano di vibrazione del vettore campo elettrico (o del campo magnetico) rimane costante nel tempo. Per un’onda non polarizzata, invece, ciò non avviene per cui il vettore campo elettrico (e magnetico) vibrerà in tutte le direzioni. In tal caso, in ogni istante è possibile scomporlo in due componenti lungo gli assi y e z.

Facendo passare la luce (radiazione luminosa) attraverso particolari lamine polarizzatrici, le componenti dei vettori del campo elettrico parallele alla direzione di polarizzazione vengono trasmesse attraverso la lamina, mentre le altre vengono assorbite.


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Intensità della luce polarizzata trasmessaNel caso di luce non polarizzata, dal momento che l’orientazione dei vettori campo elettrico è casuale, l’intensità luminosa dopo il passaggio attraverso la lamina polarizzatrice è pari alla metà di quella incidente, cioè

I = I0 / 2.

Nel caso della luce polarizzata, occorre considerare l’angolo tra la direzione di polarizzazione della lamina y e quella di vibrazione del vettore campo elettrico E. La componente di E nella direzione y vale Ey = E cos e siccome l’intensità I è proporzionale al quadrato del campo elettrico, vale la legge (di Malus)

I = I0 cos2


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Riflessione e rifrazioneSi parla di ottica geometrica quando la direzione di propagazione dell’onda luminosa può essere individuata da una linea retta perpendicolare al fronte d’onda.

Nell’attraversamento di una superficie di separazione tra due mezzi, l’onda luminosa viene in parte riflessa ed in parte rifratta (fenomeno della rifrazione). Il raggio rifratto è quasi sempre deviato rispetto alla direzione di propagazione originaria.

Gli angoli di incidenza, riflessione e rifrazione sono calcolati rispetto alla direzione di propagazione ed indicati con 1, 1’ e 2 rispettivamente, e si trovano sullo stesso piano.

La legge della riflessione dice che 1 = 1’ mentre la legge della rifrazione dice che n1 sin 1 = n2 sin 2

Le grandezze n1 e n2 sono definite indici di rifrazione del mezzo.


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Dispersione cromaticaL’indice di rifrazione n dipende dalla lunghezza d’onda della radiazione. Se il raggio luminoso è formato da componenti con lunghezze d’onda diverse, la rifrazione ne separa le componenti (fenomeno della dispersione cromatica).

Nelle sostanze di uso comune, l’indice di rifrazione n è inversamente proporzionale alla lunghezza d’onda per cui l’angolo di rifrazione per le componenti a lunghezza d’onda minore (ad es. Quelle di oclore blu) sarà maggiore e viceversa

Pertanto le lunghezze d’onda minori hanno angoli di rifrazione maggiori (il BLU viene rifratto con angoli maggiori del ROSSO)

L’arcobaleno è prodotto come risultato della rifrazione dei raggi luminosi (solari) sulle goccioline di acqua nelle nubi o nella precipitazione. Il colore all’interno dell’arcobaleno è indaco-violetto.


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Riflessione totaleSe un raggio luminoso incide sulla superficie di separazione provenendo da un mezzo più denso verso un mezzo meno denso, l’angolo di rifrazione è maggiore di quello di incidenza. Esisterà allora un angolo di incidenza 1 = c, detto angolo limite o angolo critico per il quale l’angolo di rifrazione vale 2 = 90°, e per cui per 1 > c non si ha angolo rifratto ma soltanto angolo riflesso. Tale angolo numericamente si trova imponendo

n1 sin c = n2 sin 90°

da cui si ricava:

Esempi di applicazione di questo fenomeno sono le fibre ottiche, i periscopi, ecc.

211

2 arcsin nnn

nc


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Polarizzazione per riflessione: legge di BrewsterQuando un raggio luminoso non polarizzato incide su una superficie di separazione tra due mezzi, esso può essere scomposto in due direzioni di polarizzazione, una perpendicolare ed una parallela al piano di incidenza (nella figura, la superficie della pagina).

In generale, il raggio riflesso mantiene entrambe le componenti, ma quando l’angolo di incidenza (e di riflessione) assume il particolare valore B (detto angolo di Brewster), il raggio riflesso risulta avere soltanto la componente perpendicolare (cioè è polarizzato).

Il valore di B è tale che

B + r = 90°dove r è il raggio rifratto. Utilizzando la legge della rifrazione, si ha:

n1 sin B = n2 sin r

ma

n1 sin B = n1 sin (90°- r) = n1 cos r

da cui si ottiene la legge di Brewster:

1

2arctann

nB

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