Limites2

Anotacoes sobre limite de funcoes

Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ

[email protected]

‡

1

Sumario

1 Limite de funcoes 3

1.1 Limite de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Limite e sequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Propriedades aritmeticas dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Funcao de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Limite da composicao de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Limites e desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Teorema do sanduıche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 Criterio de Cauchy para limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Limites no infinito e limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.1 Definicoes com limites de x → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.2 Definicoes com limites de x → −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.3 Definicoes de limites tendendo ao infinito . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5.4 Definicoes de limites tendendo a menos infinito . . . . . . . . . . . 19

1.5.5 Criterio de comparacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.6 limx→a

f(x) = ∞ e sequencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6 Limites de funcoes em espacos metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7 Stolz-Cesaro para limite de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2

Capıtulo 1

Limite de funcoes

1.1 Limite de funcoes

m Definicao 1 (Definicao de limite). Sejam A ⊂ R um conjunto de numeros reais, f de

A em R uma funcao real cujo domınio e A e a ∈ A′ um ponto de acumulacao do conjunto

A. Definimos

limx→a

f(x) = L

sse

∀ε > 0,∃δ > 0|x ∈ A, 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε.

Dizemos que L e o limite de f quando x tende para a ou que limite de f(x) com x

tendendo para a e L.

0 < |x− a| < δ significa que x ∈ (a− δ, a) ∪ (a, a+ δ), ou x ∈ (a− δ, a+ δ), x = a.

Pela definicao dada, nao e necessario que a ∈ A em limx→a

f(x), precisamos apenas que

a ∈ A′, isto e, todo intervalo (a− δ, a+ δ) possua pontos de A distintos de a. A funcao f

pode mesmo nao estar definida em a e quando esta definida em a, nao vale necessariamente

limx→a

f(x) = f(a).

Quando falarmos de limites usaremos sempre que a ∈ A′ onde A e o domınio da funcao

da qual queremos estudar limx→a

f(x).

3

CAPITULO 1. LIMITE DE FUNCOES 4

b Propriedade 1 (Unicidade do limite). Sejam A ⊂ R, f de A em R. Se limx→a

f(x) = L1

e limx→a

f(x) = L2 entao L1 = L2.

ê Demonstracao. ∀ε > 0 existem (δ1, δ2)(> 0) tais que para x ∈ A vale 0 <

|x− a| < δ1 implica |f(x)−L1| <ε

2e 0 < |x− a| < δ2 implica |f(x)−L2| <

ε

2, usando a

desigualdade triangular para δ = min{δ1, δ2} segue |L1−L2| ≤ |L1−f(x)|+|f(x)−L2| < ε

o que significa que L1 = L2.

b Propriedade 2 (Limite da funcao constante). Se g(x) = c para todo x ∈ A entao

limx→a

g(x) = c.

ê Demonstracao. Tem-se que g(x)− c = 0 logo |g(x)− c| = 0 ∀x ∈ A entao ∀ε > 0

∃δ > 0| x ∈ A, 0 < |x− a| < δ ⇒ |g(x)− c| = 0 < ε.

Z Exemplo 1. Seja f : R∗ → R dada por f(x) = x⌊1x⌋ entao f(x) = 0 para x > 1,

pois 0 <1

x< 1 e daı ⌊1

x⌋ = 0, isso implica que

limx→∞

x⌊1x⌋ = 0.

b Propriedade 3 (Limite da funcao identidade). Seja g : A → R dada por g(x) = x

entao vale

limx→a

g(x) = a.

Lembrando que a nao necessariamente pertence ao conjunto A, entao a princıpio nao

tem-se g(a) = a.

ê Demonstracao. Tomamos δ = ε e daı Para 0 < |x− a| < δ tem-se |g(x)− a| =|x− a| < δ = ε.

Z Exemplo 2. Dada uma funcao r : R → R tal que limh→0

r(h)

h= 0 pode nao vale que

limh→0

r(h)

h2= 0, por exemplo, r(h) = h2, tem-se

r(h)

h= h e

r(h)

h2= 1.

1.1.1 Limite e sequencias

⋆ Teorema 1 (Criterio de sequencias para limite). limx→a

f(x) = L ⇔ limn→∞

f(xn) = L

para toda sequencia de pontos xn ∈ A \ {a} tal que lim xn = a.


ê Demonstracao. ⇒.Suponhamos que limx→a

f(x) = L e lim xn = a com xn ∈ A\{a}.Pela definicao de limite tem-se que ∀ε > 0 ,∃δ > 0 tal que

0 < |x− a| < δ, x ∈ A ⇒ |f(x)− L| < ε

e pelo limite da sequencia ∀ε1 > 0, ∃n0 ∈ N |n > n0 ⇒ 0 < |xn−a| < ε1, como e garantida

a relacao para qualquer ε1 > 0, tomamos ε1 = δ de onde segue 0 < |xn − a| < δ, usando

essa desigualdade com a definicao do limite de f(x) segue |f(xn) − L| < ε que implica

lim f(xn) = L.

⇐ Agora para provar a recıproca, vamos usar a contrapositiva que e

limx→a

f(x) = L ⇒ lim f(xn) = L.

∃ε > 0 tal que ∀n ∈ N podemos obter xn ∈ A com 0 < |xn − a| < 1

ne |f(xn)− L)| ≥ ε.

Entao xn → a, mas nao se tem lim f(xn) = L.

$ Corolario 1 (Criterio de divergencia por sequencias). Dadas duas sequencias (xn), (yn) ∈

A \ {a} com lim xn = lim yn = a entao se lim f(xn) = lim f(yn) ou um deles nao existir,

entao limx→a

f(x) nao existe.

Z Exemplo 3. Sejam f : gR → R definidas como

� f(x) = 0 se x ∈ R \Q, f(x) = x se x ∈ Q.

� g(0) = 1 e g(x) = 0 se x = 0.

Nessas condicoes vale limx→0

f(x) = limx→0

g(x) = 0 e nao existe limx→0

g(f(x)).

Vale limx→0

f(x) = 0, pois tomamos ε = δ entao par 0 < |x| < δ vale |f(x)| < δ = ε,

tanto para x irracional, pois no caso vale |f(x)| = 0 < ε, tanto no caso de x racional pois

nesse caso vale |f(x)| = |x| < δ = ε, entao em qualquer desses casos temos |f(x)| < ε.

Tambem vale que limx→0

g(x) = 0, pois tomando ε = δ, 0 < |x| < δ implica x nao nulo,

portanto g(x) = 0 e daı |g(x)| = 0 < δ = ε.

Nao existe limx→0

g(f(x)).

Seja xn → 0 por valores racionais, entao f(xn) = xn e daı lim g(f(xn)) = lim g(xn) = 0.

Tomando yn → 0 por valores irracionais temos f(yn) = 0 e lim g(f(yn)) = lim g(0) = 1,


logo nao pode existir limx→0

g(f(x)), pois o limite depende de como se aproxima de zero

(usamos o criterio de divergencia por meio de sequencias).

b Propriedade 4. Se ∀(xn) em A \ {a} com lim xn = a implicar (f(xn)) convergente

entao limx→a

f(x) existe.

ê Demonstracao. Usaremos que limx→a

f(x) = L ⇔ ∀ (zn) ∈ A \ {a} com lim zn = a

vale lim f(zn) = L. Por isso vamos tomar duas sequencias arbitrarias (xn) e (yn) com

limxn = lim yn = a em A \ {a} e vamos mostrar que lim f(xn) = lim f(yn). Tomamos

(zn) definida como z2n = xn e z2n−1 = yn, daı lim zn = a, portanto lim f(zn) existe, como

(f(xn)) e (f(yn)) sao subsequencias de (f(zn)) entao elas convergem para o mesmo limite

L, daı provamos que ∀ (zn) ∈ A \ {a} com lim zn = a vale lim f(zn) = L que implica

limx→a

f(x) = L.

b Propriedade 5. Seja f : A → R, a ∈ A′, B = f(A \ {a}). Se limx→a

f(x) = L entao

L ∈ B.

Tal propriedade significa que o limite L pertence ao fecho da imagem f(A \ {a}), isto

e, existem pontos de f(A \ {a}) arbitrariamente proximos de L.

ê Demonstracao. Usaremos o criterio de sequencias. Como limx→a

f(x) = L, entao

existe sequencia (xn) em A \ {a} tal que lim f(xn) = L, daı tome f(xn) = yn, (yn) e uma

sequencia em f(A \ {a}) tal que lim yn = L, portanto L ∈ B.

Z Exemplo 4. limx→0

sen(1

x) nao existe.

Tomamos as sequencias xn =1

2nπe yn =

1

2nπ + π2

vale limxn = 0 = lim yn e

sen(1

xn

) = sen(2nπ) = 0 e sen(2nπ+π

2) = 1 logo os limites sao distintos entao lim

x→0sen(

1

x)

nao existe.

Em geral, existe t ∈ R tal que sen(t) = v ∈ [−1, 1], tomando xn =1

t+ 2πnvale

limxn = 0 e sen(1

xn

) = sen(t+ 2πn) = sen(t) = v.


1

xnao existe, pois se existisse seria um numero real a e tomando

a sequencia xn =1

n, terıamos que ter limn = a o que nao acontece, pois vale limn = ∞.


Z Exemplo 6. limx→a

⌊x⌋ nao existe se a ∈ Z.

Tomamos as sequencias que convergem para a, xn = a− 1

n+ 1e yn = a+

1

n+ 1, daı

⌊xn⌋ = a − 1 e ⌊yn⌋ = a, logo essas sequencias nao tem o mesmo limite, implicando que

nao existe limx→a

⌊x⌋.

Z Exemplo 7. Seja f : R \ {0} dada por f(x) =|x|x, entao lim

x→0

|x|x

nao existe. Se

x > 0 entao|x|x

=x

x= 1 se x < 0,

|x|x

=−x

x= −1, tomamos uma sequencia xn =

1

ndaı

f(xn) = 1 e tomando yn =−1

ntem-se f(yn) = −1, os limites sao distintos, logo lim

x→0

|x|x

nao existe.

Z Exemplo 8. Se a nao e inteiro, entao limx→a

⌊x⌋ = ⌊a⌋.

Dado a nao inteiro, tem-se que a ∈ (m,m+1) onde m e inteiro, logo podemos escolher

δ > 0 tal que (a − δ, a + δ) ⊂ (m,m + 1) e daı para esses valores, vale ⌊x⌋ = m = ⌊a⌋,

implicando que ⌊x⌋ − ⌊a⌋ < ε para qualquer ε > 0.

b Propriedade 6. (ver isso depois) Sejam f, gA → R. Se g(x) e limitada numa vizi-

nhanca de a e limx→a

f(x) = 0 entao limx→a

f(x).g(x) = 0.

ê Demonstracao. Tomamos uma sequencia (xn) em A tal que lim xn = a, temos

que (g(xn)) e limitada e lim f(xn) = 0, logo lim f(xn)g(xn) = 0, por propriedade de

sequencias, como a sequencia (xn) e arbitraria, segue que limx→a

f(x).g(x) = 0.


x⌊1x⌋ = 1 pois escrevemos

1

x= ⌊1

x⌋+ {1

x} daı

x⌊1x⌋ = 1− x{1

x}

como {1x} e limitada, segue que lim

x→0x⌊1

x⌋ = 1.

1.2 Propriedades aritmeticas dos limites

b Propriedade 7 (Limite da soma). Se limx→a

f(x) = L e limx→a

g(x) = M entao limx→a

f(x)+

g(x) = L+M.


ê Demonstracao. Tomamos uma sequencia (xn) em A com lim xn = a, daı temos

lim f(xn) = L e lim g(xn) = M , e por propriedade de limite de sequencias lim f(xn) +

g(xn) = L+M , pela arbitrariedade da sequencia (xn) concluımos que limx→a

f(x) + g(x) =

L+M.

b Propriedade 8. Se limx→a

fk(x) = Lk entao

limx→a

n∑k=1

fk(x) =n∑

k=1

Lk.

ê Demonstracao.

b Propriedade 9 (Limite do quociente). Se limx→a

f(x) = L e limx→a

g(x) = M = 0 entao

limx→a

f(x)

g(x)=

L

M.


lim f(xn) = L e lim g(xn) = M , e por propriedade de limite de sequencias

limf(xn)

g(xn)=

L

M

pela arbitrariedade da sequencia (xn) concluımos que limx→a

f(x)

g(x)=

L

M.

b Propriedade 10 (Limite do produto). Se limx→a

f(x) = L e limx→a

g(x) = M = 0 entao

limx→a

f(x)g(x) = L.M


lim f(xn) = L e lim g(xn) = M , e por propriedade de limite de sequencias

lim f(xn)g(xn) = LM

pela arbitrariedade da sequencia (xn) concluımos que limx→a

f(x)g(x) = L.M


fk(x) = Lk entao

limx→a

n∏k=1

fk(x) =n∏

k=1

Lk.

$ Corolario 2. Se p ∈ N , f : A → R dada por f(x) = xp entao

limx→a

xp = ap.


$ Corolario 3. Se f : A → R e polinomial f(x) =n∑

k=0

akxk entao

limx→c

n∑k=0

akxk =

n∑k=0

akck.

ê Demonstracao.

1.2.1 Funcao de Dirichlet

m Definicao 2 (Funcao de Dirichlet). E a funcao g : R → R definida como

g(x) =

1 se x ∈ Q

0 se x /∈ Q

b Propriedade 12. Para qualquer a ∈ R nao existe limx→a

g(x).

ê Demonstracao. Como Q e R \Q sao ambos densos em R, podemos tomar uma

sequencia de racionais (xn) que converge para a e daı g(xn) = 1, entao lim g(xn) = 1,

porem tomando uma sequencia (yn) de irracionais tais que lim(yn) = a, temos g(yn) = 0

e lim g(yn) = 0, como os limites sao diferentes segue que limx→a

g(x) nao existe.

1.2.2 Limite da composicao de funcoes

⋆ Teorema 2 (Limite da composicao de funcoes). Sejam A,B ⊂ R, f de A em R e g

de B em R com f(A) ⊂ B. Se limx→a

f(x) = b e limy→b

g(y) = c ainda com c = g(b), tem-se

limx→a

g(f(x)) = c.

ê Demonstracao. Da existencia do limite de g(x) temos que para todo ε > 0

existe δ1 > 0 tal que y ∈ B, |y − b| < δ1 ⇒ |g(y) − c| < ε, onde tiramos a restricao

de y = b, pois no caso y = b a propriedade vale. Agora usando a existencia do limite

de f tomando δ1 como εf , ε para f , temos que para δ1 existe δ2 > 0 tal que x ∈ A,

0 < |x− a| < δ2 ⇒ |f(x)− b| < δ1 como f(x) ∈ B, podemos tomar y = f(x) de onde do

primeiro limite que |g(f(x))− c| < ε implicando que limx→a

g(f(x)) = c.

Se x = a implicar f(x) = b ainda teremos a propriedade pois , repetindo o argumento

com pequenas alteracoes:


Da existencia do limite de g(x) temos que para todo ε > 0 existe δ1 > 0 tal que y ∈ B,

0 < |y − b| < δ1 ⇒ |g(y) − c| < ε, onde agora mantemos a restricao de y = b. Usando a

existencia do limite de f tomando δ1 como εf , ε para f , temos que para δ1 existe δ2 > 0

tal que x ∈ A, 0 < |x − a| < δ2 ⇒ 0 < |f(x) − b| < δ1 ( aqui usamos que x = a implica

f(x) = b) como f(x) ∈ B, podemos tomar y = f(x) de onde do primeiro limite que

|g(f(x))− c| < ε implicando que limx→a

g(f(x)) = c.

Z Exemplo 10. Nesse exemplo mostramos que e necessario supor g(b) = c. Suponha

que g(x) = x, ∀x = 1 e g(1) = 0. Temos que

limx→1

g(x) = 1 = g(1) = 0.

Tomando f(x) = 1, ∀x, segue que

limx→a

f(x) = 1,

porem

limx→a

g(f(x)) = limx→a

g(1) = 0 = limx→1

g(x) = 1.

1.3 Limites e desigualdades

1.3.1 Teorema do sanduıche

⋆ Teorema 3 (Teorema do sanduıche). Sejam f, g, h de A em R, a ∈ A′ e limx→a

f(x) =

limx→a

g(x) = L. Se f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x ∈ A \ {a} entao limx→a

h(x) = L.

ê Demonstracao. ∀ε > 0 ∃(δ1, δ2)(> 0) tais que x ∈ A,

0 < |x− a| < δ1 ⇒ L− ε < f(x) < L+ ε

e

0 < |x− a| < δ2 ⇒ L− ε < g(x) < L+ ε

, tomando δ = min{δ1, δ2} tem-se L− ε < f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) < L+ ε

que implica limx→a

h(x) = L.


b Propriedade 13. Sejam f, g de A em R, a ∈ A′,se limx→a

f(x) = L e limx→a

g(x) = M com

M > L entao existe δ > 0 tal que g(x) > f(x) para todo x ∈ A com 0 < |x− a| < δ.

ê Demonstracao. Pela definicao de limite temos ∀ε > 0, ∃δ1 > 0 tal que x ∈ A ,

0 < |x−a| < δ1 implica f(x) ∈ (L−ε, L+ε) e o mesmo para g(x) , ∃δ2 > 0 tal que x ∈ A

, 0 < |x− a| < δ2 implica g(x) ∈ (M − ε,M + ε), podemos tentar tomar M − ε = L+ ε,

com issoM − L

2= ε, como M > L tal ε cumpre a condicao ε > 0, tomando ε =

M − L

2e δ = min{δ1, δ2} tem-se f(x) < L− ε = M − ε < g(x), isto e, f(x) < g(x) para x ∈ A,

0 < |x− a| < δ.

$ Corolario 4. Se limx→a

f(x) = L < M entao existe δ > 0 tal que f(x) < M para todo

x ∈ A com 0 < |x− a| < δ.

Tome g(x) = M para todo x ∈ A, assim limx→a

g(x) = M e aplicamos a propriedade

anterior.

$ Corolario 5. Sejam limx→a

f(x) = L e limx→a

g(x) = M . Se g(x) ≥ f(x) para todo

x ∈ A− {a} entao M ≥ L.

Pois se fosse L > M , existiria δ > 0 tal que f(x) > g(x) para 0 < |x − a| < δ o que

entra em contradicao com g(x) ≥ f(x).

$ Corolario 6 (Conservacao de sinal). Se limx→a

g(x) = M > 0 entao existe δ > 0 tal que

g(x) > 0 para todo x ∈ A com 0 < |x−a| < δ, tomamos f(x) = 0 e usamos a propriedade

ja demonstrada.

b Propriedade 14 (Existencia de limite e limitacao da funcao). Sejam X ⊂ R, f :

X → R, a ∈ X ′. Se existe limx→a

f(x) entao f e limitada numa vizinhanca de a, isto e,

existem A > 0, δ > 0 tais que 0 < |x− a| < δ, x ∈ X ⇒ |f(x)| < A.

Seja L = limx→a

f(x) e ε = 1 na definicao de limite, entao existe

δ > 0|x ∈ X, 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < 1

L− 1 < f(x) < L+ 1 multiplicando por −1 segue e invertendo as desigualdades tem-se

−L− 1 < −f(x) < −L+ 1


como temos L ≤ |L| e −L ≤ |L| segue L+ 1 ≤ |L|+ 1 e −L+ 1 ≤ |L|+ 1 e

−f(x) ≤ |L|+ 1, f(x) ≤ |L|+ 1 ⇒ |f(x)| ≤ |L|+ 1

tomando A = |L|+ 1 segue a propriedade.

1.3.2 Criterio de Cauchy para limites

b Propriedade 15. limx→a

f(x) existe sse

∀ε > 0∃δ > 0 |0 < |x− a| < δ, 0 < |y − a| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε.

ê Demonstracao. Se limx→a

f(x) = L entao

∀ε > 0, ∃δ > 0 | x, y ∈ A, |x− a| < δ, |y − a| < δ ⇒ |f(x)− b| < ε

2, |f(y)− b| < ε

2

tomando a desigualdade triangular segue

|f(x)− f(y)| ≤ |f(y)− b|+ |f(x)− b| < ε

2+

ε

2= ε

logo nessas condicoes |f(x)− f(y)| < ε.

Para toda sequencia de pontos (xn) em A com limxn = a, com as condicoes dadas a

sequencia (f(xn)) e de Cauchy em R como R e completo ela converge o que implica que

existe o limite limx→a

f(x).

1.4 Limites laterais

m Definicao 3 (Limite a direita). Seja a ponto de acumulacao a direita de A, isto e,

∀δ > 0 vale A ∩ (a, a+ δ) = ∅ entao

limx→a+

f(x) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0, x ∈ A, 0 < x− a < δ ⇒ |f(x)− L| < ε.

Podemos escrever 0 < x− a < δ como a < x < a+ δ.

m Definicao 4 (Limite a esquerda). Seja a ponto de acumulacao a esquerda de A, isto

e,∀δ > 0 vale A ∩ (a− δ, a) = ∅ entao

limx→a−

f(x) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0, x ∈ A, 0 < a− x < δ ⇒ |f(x)− L| < ε.


Podemos denotar os limites laterais como

limx→a−

f(x) = f(a−)

limx→a+

f(x) = f(a+).

b Propriedade 16. Sejam X ⊂ R, f : X → R, a ∈ X′

+. Tomando Y = X ∩ (a,+∞) e

g = f |Y entao

limx→a+

f(x) = L ⇔ limx→a

g(x) = L.

ê Demonstracao. Se x ∈ Y temos x ∈ (a,+∞), de onde segue a < x, 0 < x− a.

Se limx→a+

f(x) = L ⇒

∀ε > 0, ∃δ > 0 | x ∈ X, 0 < x− a < δ ⇒ f(x) ∈ (L− ε, L+ ε)

de x ∈ X e 0 < x − a, implica x ∈ Y e nesse intervalo g = f logo f(x) ∈ (L − ε, L + ε)


g(x) = L.

Se limx→a

g(x) = L entao

∀ε > 0,∃δ > 0 | x ∈ Y, 0 < x− a < δ ⇒ |g(x)− L| < ε

mas em Y , g = f entao |f(x)− L| < ε que implica limx→a+

f(x) = L.

b Propriedade 17. Seja A ⊂ R, f : A → R e a ∈ A′

+ ∩ A′

− entao limx→a

f(x) = L sse

existem e sao iguais os limites laterais

limx→a+

f(x) = L = limx→a−

f(x)

ê Demonstracao. Se limx→a+

f(x) = L = limx→a−

f(x) entao ∀ε > 0,∃(δ1, δ2)(> 0) tais

que x ∈ X ∩ (a, a+ δ1) implica |f(x)−L| < ε e x ∈ X ∩ (a− δ2, a) implica |f(x)−L| < ε.

Tomando δ = min{δ1, δ2} entao x ∈ (a − δ, a) ∪ (a, a + δ) implica |f(x) − L| < ε e

limx→a

f(x) = L. Falta a outra parte.

b Propriedade 18. Sejam A ⊂ R, f : A → R uma funcao monotona limitada, a ∈ A′+

e b ∈ A′−. Entao existem os limites laterais

limx→a+

f(x) = L, limx→b−

f(x) = M.


ê Demonstracao. Seja B = inf{f(x), x ∈ A, x > a}, tal conjunto e nao vazio pois ae ponto de acumulacao a direita e limitado inferiormente , pois f e limitada inferiormente,

logo ele possui ınfimo L . L+ε nao e cota inferior de B , logo existe δ > 0 tal que a+δ ∈ A

e vale L ≤ f(a + δ) < L + ε, como f e nao-decrescente tem-se com a < x < a + δ que

L ≤ f(x) < f(a+ δ) < L+ ε daı limx→a+

f(x) = L.

Z Exemplo 11. Vale limx→a+

⌊x⌋ = a e limx→a−

⌊x⌋ = a− 1 logo nao existe o limite limx→a

⌊x⌋

se a e inteiro. Podemos tomar δ < 1 com a < x < a + δ < a + 1 e nesse intervalo vale

⌊x⌋ = a logo limx→a+

⌊x⌋ = a, da mesma maneira tem-se a − 1 < a − δ < x < a, logo nesse

intervalo vale ⌊x⌋ = a− 1 de onde tem-se limx→a−

⌊x⌋ = a− 1 .

b Propriedade 19. limx→a+

f(x) = L ( limx→a−

f(x) = L) ⇔ ∀(xn) em A decrescente (cres-

cente) com lim xn = a tem-se lim f(xn) = L.

ê Demonstracao. Vale que limx→a+

f(x) = L ⇔ limx→a

g(x) = L onde g : B → R onde

B = A ∩ (a,∞). Porem limx→a

g(x) = L ⇔ ∀(xn) em B com lim xn = a vale lim g(xn) = L.

Vamos entao provar a propriedade.

⇒). Se limx→a+

f(x) = L entao limx→a

g(x) = L que implica ∀(xn) em B com limxn = a

vale lim g(xn) = L, em especial para as sequencias (xn) que sejam decrescentes.

⇐). Vamos usar a contrapositiva que e se limx→a

g(x) = L entao existe (xn) em A decres-

cente com limxn = a tal que lim g(xn) = L. Supondo que temos limx→a

g(x) = L entao existe

sequencia (yn) em B com lim yn = a tal que lim g(yn) = L, como (yn) ∈ (a, a + ε) ∩ A,

podemos tomar (xn) subsequencia de (yn) tal que lim xn = a e lim g(xn) = L (pois as

subsequencias devem convergir para o mesmo valor das sequencias), assim fica provado o

resultado.

Z Exemplo 12. Tomamos f : R \ {0} → R definida como f(x) =1

1 + a1x

com a > 1,

vamos analisar os limites laterais limx→0+

f(x) e limx→0−

f(x).

Seja (xn) em R \ {0} tal que lim xn = 0 entao vale lim a1xn = ∞, pois como lim xn = 0

podemos tomar c > 0 tal que ac > M > 0 arbitrario e 0 < xn0 <1

c< 1 daı axn0 < a

1c ⇒

M < ac < a1

xn0 e como xn e decrescente para n0 < n vale xn < xn0 portanto axn < axn0 ⇒

M < a1

xn0 < a1xn logo lim a

1xn = ∞ de onde segue que lim f(xn) = lim

1

1 + a1xn

= 0 que

por sua vez implica limx→0+

f(x) = 0.


Admitimos agora (yn) crescente em R \ {0} tal que lim yn = 0. a1yn =

1

a1

−yn

, como

yn+1 > yn segue que −yn > −yn+1, (−yn) e decrescente e tende a zero logo pelo resultado

anterior lim a1

−yn = ∞ ⇒ lim a1yn = lim

1

a1

−yn

= 0, portanto lim 1+ a1yn = 1 e lim f(xn) =

lim1

1 + a1xn

= 1 daı vale limx→0−

f(x) = 1.

b Propriedade 20. Seja f : A → R monotona. Se existe (xn) em A com xn > a,

limxn = a e lim f(xn) = L entao limx→a+

f(x) = L.

ê Demonstracao. Suponha f nao decrescente, vamos mostrar que

B = {f(x), x ∈ R, x > a}

e um conjunto limitado inferiormente. Dado x arbitrario e fixo tal que x > a existe xn > a

que satisfaz x > xn > a, pois limxn = a, f nao decrescente implica f(x) ≥ f(xn), como

(f(xn)) e convergente, vale que tal sequencia e limitada inferiormente, portanto existe M

tal que f(xn) > M ∀n ∈ N daı f(x) ≥ f(xn) > M para f(x) ∈ B arbitrario, logo B e

limitado inferiormente. Por B ser limitado inferiormente ele possui ınfimo .

Seja L′ = inf B = inf{f(x), x ∈ R, x > a}, vale que limx→a

f(x) = L′ (resultado ja

demonstrado), disso segue pelo criterio de sequencias para limite lateral que lim f(xn) =

L′ = L, pela unicidade de limite, portanto limx→a

f(x) = L.

Z Exemplo 13. Seja f : R\{0} dada por f(x) = sen(1

x)

1

1 + 21x

. Determine o conjunto

dos pontos L tais que lim f(xn) = L, com lim xn = 0, xn = 0.

Tomando o modulo da expressao∣∣∣∣sen( 1x) 1

1 + 21x

∣∣∣∣ = 1

1 + 21x

< 1

pois 0 < 21x , daı nao podemos ter limites dessa expressao fora do intervalo [−1, 1], vamos

mostrar que temos limites em cada ponto desse intervalo .

Existe −t ∈ R tal que sen(−t) = v ∈ [−1, 1]., Tomando xn =−1

t+ 2πnvale sen(

1

xn

) =

sen(−t) = v, alem disso (xn) e decrescente com limxn = 0, portanto vale lim f(xn) =

limv

1 + 21xn

= v, pois o limite no denominador resulta em 1 (limite ja calculado).


1.5 Limites no infinito e limites infinitos

1.5.1 Definicoes com limites de x → ∞

m Definicao 5. Seja A ⊂ R ilimitado superiormente e f : A → R, dizemos que

limx→∞

f(x) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃A > 0, x > A ⇒ |f(x)− L| < ε.

Tal definicao abrange a definicao para limite de sequencias, que e tomada como o caso

A = N.

m Definicao 6. limx→∞

f(x) = ∞ ⇔

∀A > 0, ∃B > 0 | x > B ⇒ f(x) > A.

b Propriedade 21. Se limx→∞

f(x) = ∞ entao limx→∞

1

f(x)= 0.

ê Demonstracao. Pela primeira propriedade temos ∀B > 0,∃A > 0 | x > A ⇒f(x) > B entao a funcao assume apenas valores positivos a partir de certo valor de x, se

f(x) > 0 entao 0 <1

f(x)1

f(x)<

1

B= ε

logo vale limx→∞

1

f(x)= 0.

Z Exemplo 14. Pode acontecer de limx→∞

1

f(x)= 0 porem lim

x→∞f(x) = ∞, como o caso

de f(x) = −x vale

limx→∞

1

−x= 0

e

limx→∞

−x = −∞.

m Definicao 7. limx→∞

f(x) = −∞ ⇔

∀A > 0, ∃B > 0 | x > B ⇒ f(x) < −A.


b Propriedade 22. Seja f : B → R limitada superiormente e nao-decrescente, B

ilimitado superiormente entao

limx→∞

f(x) = sup{f(x), x ∈ B}.

ê Demonstracao.

f e limitada superiormente logo existe sup{f(x), x ∈ B} = L. Como L e o supremo,

dado ε > 0, existe xA ∈ B tal que f(xA) ∈ (L − ε, L], como f e nao-decrescente temos

para x > xA, L ≥ f(x) ≥ f(xA), logo f(x) ∈ (L− ε, L] o que implica

limx→∞

f(x) = L.

b Propriedade 23 (Limite da soma). Sejam g, f definidas em B ⊂ R ilimitado. Se

limx→∞

f(x) = L1 e limx→∞

g(x) = L2 entao

limx→∞

f(x) + g(x) = L1 + L2.

ê Demonstracao. Dado ε > 0 arbitrario existe A1 > 0 tal que x ∈ B, x > A1

implica |f(x) − L1| < ε e existe A2 > 0 tal que x ∈ B, x > A2 implica |f(x) − L1| <ε

2|g(x)−L2| <

ε

2pela existencia de lim

x→∞f(x) = L1 e lim

x→∞g(x) = L2, tomando A > A1+A2

valem ambas propriedades descritas e daı temos por desigualdade triangular

|f(x) + g(x)− (L1 + L2)| ≤ |f(x)− L1|+ |g(x)− L2| <ε

2+

ε

2= ε.

1.5.2 Definicoes com limites de x → −∞

m Definicao 8. Seja A ⊂ R ilimitado inferiormente e f : A → R, dizemos que

limx→−∞

f(x) = L

sse

∀ε > 0 ∃A > 0, x < −A ⇒ |f(x)− L| < ε.

m Definicao 9. limx→−∞

f(x) = −∞ sse

∀A > 0, ∃B > 0 | x < −B ⇒ f(x) < −A.

m Definicao 10. limx→−∞

f(x) = ∞ sse

∀A > 0, ∃B > 0 | x < −B ⇒ f(x) > A.


1.5.3 Definicoes de limites tendendo ao infinito

m Definicao 11. Dizemos que limx→a+

f(x) = ∞ quando

∀A > 0,∃δ > 0 | 0 < x− a < δ ⇒ f(x) > A.

m Definicao 12. Dizemos que limx→a−

f(x) = ∞ quando

∀A > 0,∃δ > 0 | 0 < a− x < δ ⇒ f(x) > A.

m Definicao 13. Dizemos que limx→a

f(x) = ∞ quando

∀A > 0,∃δ > 0 | 0 < |x− a| < δ ⇒ f(x) > A.

Negar que limx→a

f(x) = ∞ significa dizer

∃A > 0,∀δ > 0 | ∃x ∈ A com 0 < |x− a| < δ e f(x) < A.


f(x) = ∞ e limx→a

g(x) = ∞ entao

limx→a

(f(x) + g(x)) = ∞.

Intuitivamente, temos que se f(x) e g(x) assumem valores arbitrariamente grandes

com x proximo de a, entao f(x) + g(x) tambem assume valor arbitrariamente grande

nessas condicoes. Por isso dizemos que ∞ + ∞ nao e uma forma indeterminada, ela e

determinada com valor ∞.

ê Demonstracao. Seja A > 0 arbitrario , temos por condicoes de que limx→a

f(x) = ∞e lim

x→ag(x) = ∞ , existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que

0 < |x− a| < δ1 ⇒ f(x) > A,

0 < |x− a| < δ2 ⇒ g(x) > A,

tomando entao δ = min{δ1, δ2} segue que tanto f(x) > A e g(x) > A para |x − a| <δ, por isso tambem temos f(x) + g(x) > 2A > A com |x − a| < δ e daı segue que

limx→a

(f(x) + g(x)) = ∞ , por definicao de limite infinito .



f(x) = ∞ e g(x) > c > 0 numa vizinhanca de a entao

limx→a

f(x).g(x) = ∞.

ê Demonstracao. Para todo A > 0 existe ε > 0 tal que x ∈ (a− ε, a+ ε) implica

g(x) > c e f(x) >A

c, daı g(x).f(x) > A o que implica lim

x→af(x).g(x) = ∞.

Z Exemplo 15.

limx→0

1

x2(2 + sen(

1

x)) = ∞

pois o limite da primeira funcao e infinito e a segunda funcao e limitada inferiormente

por 1 .

1.5.4 Definicoes de limites tendendo a menos infinito

m Definicao 14. Dizemos que limx→a+

f(x) = −∞ quando

∀A > 0,∃δ > 0 | 0 < x− a < δ ⇒ f(x) < −A.

m Definicao 15. Dizemos que limx→a−


∀A > 0,∃δ > 0 | 0 < a− x < δ ⇒ f(x) < −A.

m Definicao 16. Dizemos que limx→a


∀A > 0,∃δ > 0 | 0 < |x− a| < δ ⇒ f(x) < −A.


f(x) = ∞ entao f e ilimitada numa vizinhanca de a. Pois para

qualquer A > 0 que escolhermos, ira existir δ > 0 tal que |x− a| < δ implique f(x) > A,

logo f nao e limitada.


f(x) = −∞ entao f e ilimitada numa vizinhanca de a. Pois para

qualquer A > 0 que escolhermos, ira existir δ > 0 tal que |x−a| < δ implique f(x) < −A,

logo f nao e limitada.

b Propriedade 26 (Unicidade do limite). Se limx→a

f(x) = ∞ entao nao acontece de

limx→a

f(x) = L para algum L real ou limx→a

f(x) = −∞.


ê Demonstracao. Se limx→a

f(x) = L entao f seria limitada numa vizinhanca de a,

o que nao pode acontecer. Se limx→a

f(x) = −∞ entao existiria δ > 0 tal que |x − a| < δ

implicaria f(x) < −A e por limx→a

f(x) = ∞ implicaria existir δ1 > 0 tal que |x − a| < δ1

implica f(x) > A, tomando δ2 < min{δ, δ1} terıamos que ter f(x) > A e f(x) < −A, logo

f(x) > 0 e f(x) < 0 o que e absurdo.

1.5.5 Criterio de comparacao

b Propriedade 27 (Criterio de comparacao). Se g(x) ≥ f(x) numa vizinhanca qualquer

de a, entao limx→a

f(x) = ∞ implica limx→a

g(x) = ∞, isto e, se a funcao ”menor”tende ao

infinito a ”maior”tambem tende ao infinito.

ê Demonstracao. Existe δ > 0 tal que x ∈ A, |x − a| < δ implica g(x) ≥ f(x),

como limx→a

f(x) = ∞ entao para todo A > 0 existe δ1 > 0 tal que |x − a| < δ1 implica

f(x) > A, tomando δ2 < min{δ1, δ} tem-se que g(x) ≥ f(x) e f(x) > A daı g(x) > A o


g(x) = ∞.


f(x) existe e limx→a

g(x) = ∞ entao g(x) > f(x) numa vizinhanca

de a, pois f e limitada valendo f(x) ≥ |f(x)| < A e g e ilimitada numa vizinhanca de a

valendo g(x) > A > f(x).


1

|x|= ∞ pois para qualquer A > 0 tomando δ =

1

Atem-se de

0 < |x| < 1

Aque A <

1

|x|logo lim

x→0

1

|x|= ∞.

Z Exemplo 17. Tomando −1 < x < 1, x = 0 tem-se 0 < |x| < 1 e daı |x|2 < |x|, isto

e, x2 < |x| logo 1

x2>

1

|x|isso implica que lim

x→0

1

x2= 0 pelo criterio de comparacao.

b Propriedade 28 (Teorema do sanduıche). Se vale f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para x sufici-

entemente grande, se limx→∞

f(x) = limx→∞

h(x) = L entao limx→∞

g(x) = L.

ê Demonstracao. Existem A1, A2 > 0 tais que para x > A1 vale

L− ε ≤ f(x) ≤ L+ ε

para x > A2 vale

L− ε ≤ g(x) ≤ L+ ε


e para x > A3 vale f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) , tomando B > A1 + A2 + A3 e x > B segue que

L− ε ≤ f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ≤ L+ ε

que implica limx→∞

g(x) = L.

1.5.6 limx→a

f(x) = ∞ e sequencias.

b Propriedade 29. limx→a

f(x) = ∞ sse lim f(xn) = ∞ com xn ∈ B \ {a} e lim xn = a.

ê Demonstracao. ⇒. Do limite da funcao tem-se ∀A > 0, ∃δ > 0 tal que

0 < |x− a| < δ implica f(x) > A, do limite da sequencia temos que existe n0 ∈ N tal que

n > n0 implica |xn − a| < δ e daı f(xn) > A que significa lim f(xn) = ∞.

⇐. Usaremos a contrapositiva. Existe A > 0 tal que podemos construir uma sequencia

xn que satisfaz 0 < |xn − a| < 1

ne f(xn) < A, daı lim xn = a e lim f(xn) = ∞.

b Propriedade 30. Seja P : R → R com P (x) =n∑

k=0

akxk com an = 0, n ≥ 1. Se n e

par entao limx→∞

P (x) = limx→−∞

P (x) sendo ∞ se an > 0 e −∞ se an < 0. Se n e ımpar entao

limx→∞

P (x) = ∞ e limx→−∞

P (x) = −∞ com an > 0 e limx→∞

P (x) = −∞ e limx→−∞

P (x) = ∞ se

an < 0.

êDemonstracao. Escrevemos P (x) = anxn

→1︷︸︸︷(n−1∑k=0

akanxn−k︸︷︷︸→0

+1). Se n e par limx→∞

xnan =

∞ = limx→−∞

xnan com an > 0 e limx→∞

xnan = −∞ = limx→−∞

xnan se an < 0, portanto o mesmo

segue para P (x).

Se n e ımpar, limx→∞

xnan = ∞ e limx→−∞

xnan = −∞ com an > 0, caso an < 0 tem-se

limx→∞

xnan = −∞ e limx→−∞

xnan = ∞.

b Propriedade 31. Seja f : [a,∞) → R limitada. Para cada t ≥ a definimos

Mt = sup{f(x) | x ∈ [t,∞)} = supAt

mt = inf{f(x) | x ∈ [t,∞)} = supAt


wt = Mt − mt, chamada de oscilacao de f em I = [t,∞). Nessas condicoes, existem

limt→∞

Mt e limt→∞

mt.

∃ limt→∞

f(t) ⇔ limt→∞

wt = 0.

ê Demonstracao. Mt e nao-crescente e mt e nao-decrescente. Se s > t vale

que {f(x) | x ∈ [s,∞} = As ⊂ {f(x) | x ∈ [t,∞)} = At, portanto supAt ≥ supAs,

implicando Mt ≥ Ms logo mt e nao-crescente. Da mesma maneira mt e nao-decrescente,

pois de As ⊂ At segue inf As ≥ inf At e daıms ≥ mt que significa quemt e nao-decrescente.

Ambas funcoes sao limitadas logo os limites limt→∞

Mt e limt→∞

mt existem.

limt→∞

Mt = L, limt→∞

mt = l ⇒ limt→∞

wt = L− l.

Agora provamos a equivalencia enunciada. ⇐). Se limt→∞

wt = 0 entao ⇒ limt→∞

f(t)

existe. Vale que mt ≤ f(t) ≤ Mt (pois mt e Mt sao ınfimo e supremo respectivamente),

se ⇒ limt→∞

wt = 0 entao L− l = 0 ⇒ L = l, daı por teorema do sanduıche tem-se

L = limt→∞

mt ≤ limt→∞

f(t) ≤ limt→∞

Mt = L

de onde segue limt→∞

f(t) = L.

⇒). Se limt→∞

f(t) = L entao ∀ε > 0 ∃x ≥ a tal que para t ≥ a vale L−ε < f(t) < L+ε,

logo L − ε ≤ mt ≤ f(t) ≤ Mt ≤ L + ε pois mt e ınfimo e Mt e supremo, portanto

Mt − mt ≤ 2ε (pois ambos pertencem ao intervalo (L − ε, L + ε)) e isso implica que

limt→∞

Mt = limt→∞

mt = L daı limwt = 0.

1.6 Limites de funcoes em espacos metricos

m Definicao 17. Sejam A ⊂ M , a ∈ A e f : A → N , b ∈ N e o limite de f(x) quando

x tende a a quando

∀ε > 0, ∃δ > 0 | d(x, a) < δ ⇒ d(f(x), b) < ε.


1.7 Stolz-Cesaro para limite de funcoes

b Propriedade 32 (Stolz-Cesaro para limite de funcoes). Sejam f, g : R+ → R limita-

das em cada intervalo limitado, g crescente, com

limx→∞

∆f(x)

∆g(x)= L lim

x→∞g(x) = ∞

entao

limx→∞

f(x)

g(x)= L.

ê Demonstracao. Dado ε > 0 existe, tal que para x > M vale

ε− L <∆f(x)

∆g(x)< ε+ L

como g e crescente vale ∆g(x) > 0 entao podemos multiplicar a desigualdade por tal

termo, substituir x por x+ k onde k natural e aplicar a soman−1∑k=0

, que resulta em

(ε− L)(g(x+ n)− g(x)) + f(x) < f(x+ n) < (ε+ L)(g(x+ n)− g(x)) + f(x)

por soma telescopica, dividimos por g(x+ n), que pode ser considerado positivo pois

g → ∞

(ε− L)(1− g(x)

g(x+ n)) +

f(x)

g(x+ n)<

f(x+ n)

g(x+ n)< (ε+ L)(1− g(x)

g(x+ n)) +

f(x)

g(x+ n)

agora passamos as sequencias, tomamos x = yn em [M,M + 1] e xn = n + yn e uma

sequencia arbitraria que tende a infinito, g e f sao limitadas em [M,M + 1] daı

(ε− L)(1− g(yn)

g(xn)) +

f(yn)

g(xn)<

f(xn)

g(xn)< (ε+ L)(1− g(yn)

g(xn)) +

f(yn)

g(xn)

a passagem do limite nos garante que limf(xn)

g(xn)= L pois g(yn) e f(yn) sao limitadas e

lim g(xn) = ∞ .

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