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LIMITI DI FUNZIONI
1. CONCETTO DI LIMITEEsula dallo scopo di questo libro la trattazione della teoria sui limiti. Tuttavia, pensando di fare cosagradita allo studente, che deve possedere questa nozione come background, riteniamo più utile presentare,come richiamo, le interpretazioni grafiche di tale concetto.
Sia data, a tal proposito, una funzione reale y f x = ( ) definita su un insieme E ⊆ ¡ e sia x0 ,appartenente o no all’insieme, un punto di accumulazione di E.In generale quando si pensa al concetto di limite si fa riferimento alla scrittura
lim ( )x x
f x→ 0
= lIn realtà può aversi una casistica più amplia potendo sia x che f x( ) tendere ad un elemento dell’insieme x0 ovvero l , − ∞, + ∞, ∞ , dove con ∞ si indica tutta la retta reale (− ∞, + ∞).Così si potrebbero presentare ben sedici casi con scritture quali:
lim ( )x
f x→+ ∞
= l lim ( )x
f x→∞
= l lim ( )x
f x→− ∞
+ ∞
= lim ( )x x
f x→
∞0
=
che si possono racchiudere nella seguente espressione
lim ( )x
xf x
→ ± ∞∞
± ∞∞
0
= l
A volte, però, il limite non esiste ed allora occorre studiare il comportamento in un sottoinsieme di unintorno completo di x0 avendosi casi come i seguenti:lim ( )x x
f x→ −
0
lim ( )x x
f x→ +
0
lim ( )x xsu E
f x→ 0
essendo E un sottoinsieme di ¡ ed x0 un suo punto di accumulazione; la situazione tende a complicarsimaggiormente in termini di casistica.Siano x0 ed l due numeri reali finiti. Elenchiamo qui di seguito i vari casi possibili:
1) limite finito quando x tende ad un numero finitolim ( )x x
f x→ 0
= ly
l
xx0O
2
Esempiolim ( )x
x→
+1
3 2 3 =
il limite è rappresentato proprio dal punto P
2) limite finito quando x tende ad infinito comprendente i seguenti quattro casi
a) b)
lim ( )x
f x→− ∞
+
= l lim ( )
xf x
→− ∞
−
= l
Notasi che scrivere formalmente l+ ed l− fornisce un’informazione aggiuntiva sulla tendenza dall’alto edal basso della nostra funzione f x( ) verso la retta y = l .
c) d)
lim ( )x
f x→+ ∞
+
= l lim ( )
xf x
→+ ∞
−
= l
Esempi b) + c)La funzione
yx
= 1
è definita su tutta la retta reale tranne che nel punto x = 0 (cfr. capitolo precedente).Segue allora che:
y
xO x0 = 1
l = 3 P(1, 3)
yy
O x
l+
y
O xy
l−
y
O x y
l−
yy
O x
l+
3
limx x→+ ∞
+
=
10 e lim
x x→− ∞
−
=
10
a) + d)
limx x→+ ∞
−−
= 1
0 e limx x→− ∞
+−
= 1
0
3) limite infinito quando x tende ad un numero finito comprendente i seguenti due casi a) limite destro e sinistro coincidenti
lim ( )x x
f x→ ±
+ ∞0
= o lim ( )x x
f x→ ±
− ∞0
=
y
xOy = 0
x
y
Oy = 0
xO
y
x = x0
xO
x = x0
y
4
Esempio
limx x→ ±
+ ∞0
2
1 = o lim
x x→ ±−
− ∞0 2
1 =
b) limite destro e sinistro differenti b1) lim ( )
x xf x
→ ++ ∞
0
= e lim ( )x x
f x→ −
− ∞0
=
Esempio
limx x→ +
+ ∞0
1 = e lim
x x→ −− ∞
0
1 =
x = x0
x
y
y = 00
x = x0
x
y
y = 00
0 x
y
x = x0
0 x
y
x = x0
5
b2 ) lim ( )x x
f x→ +
+ ∞0
= e lim ( )x x
f x→ −
0
= l
Esempio
limx
xa→ +
+ ∞0
1
= e limx
xa→ −0
1
0 = a > 1 x ≠ 0
N.B
limx
xa→ ± ∞
±
=
1
1
4) limite infinito quando x tende ad infinito comprendente i seguenti quattro casi a) lim ( )
xf x
→ + ∞+ ∞
= e lim ( )
xf x
→ − ∞+ ∞
=
0 x
x = x0
y = l
y
x = x0
y = l = 1
y
O x
O x
y(+ ∞, + ∞)(− ∞, + ∞)
6
Esempiolim
xx
→+ ∞+ ∞
= 2 e lim
xx
→− ∞+ ∞
= 2
o più in generalelim
x
nx→+ ∞
+ ∞
= 2 e limx
nx→− ∞
+ ∞
= 2
b) lim ( )x
f x→ + ∞
− ∞
= e lim ( )x
f x→ − ∞
− ∞
=
Esempio
( )limx
x→+ ∞
− − ∞
= 2 e ( )limx
x→− ∞
− − ∞
= 2
o più in generale
( )limx
nx→+ ∞
− − ∞
= 2 e ( )limx
nx→− ∞
− − ∞
= 2
O x
y
O x
y
(+ ∞, − ∞)(− ∞, − ∞)
O x
y
7
c) lim ( )x
f x→ + ∞
+ ∞
= e lim ( )x
f x→ − ∞
− ∞
=
Esempiolim
xx
→+ ∞+ ∞
= 3 e lim
xx
→− ∞− ∞
= 3
o più in generalelim
x
nx→+ ∞
+ + ∞
= 2 1 e limx
nx→− ∞
+ − ∞
= 2 1
d) lim ( )x
f x→ + ∞
− ∞
= e lim ( )x
f x→ − ∞
+ ∞
=
y
xO
y
xO
y
xO
8
Esempio
( )limx
x→+ ∞
− − ∞
3 = e ( )limx
x→− ∞
− + ∞
= 3
EsempioSia
f x sinx
( ) = 1
Si dimostra che limx
sinx→
0
1 non esiste o meglio oscilla tra −1 e +1. Si consideri allora l’insieme
E = x xn
con n∈ = ∈
ℜ :1π
NRisulta pertanto:
( )lim limxsu E
nn
sinx
sin n→ → ∞
∈
0
10
= =
N
π
In ogni intorno di zero la curva compie infinite oscillazioni che vanno via via infittendosi a mano a mano checi si avvicina a zero.
x
y
O
y
xO
y = 1
y = − 1
9
2. TEOREMI SUI LIMITIIn questo paragrafo ci proponiamo di enunciare i più importanti teoremi che regolano le operazioni sui limitidi funzione.Teorema dell’unicità del limite: il limite di una funzione, se esiste, è unico.Teorema della permanenza del segno: se, al tendere di x ad x0 , la funzione y f x = ( ) tende al limitel ≠ 0, esiste un intorno di x0 in cui, escluso tutt’al più x0 , la funzione assume lo stesso segno del suolimite.
3. OPERAZIONI SUI LIMITILimite della somma (o differenza) di due (o più) funzioni.
Primo casoDate due funzioni y f x = ( ) ed y g x = ( ) definite rispettivamente sugli insiemi F e G ed indicato con x0
un punto di accumulazione, appartenente o no all’insieme F ∩ G, risulta:[ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x x x x x xf x g x f x g x
→ → →± ± ±
0 0 01 2 = = l l
postolim ( )x x
f x→ 0
1 = l e lim ( )x x
g x→ 0
2 = lQuindi il limite della somma di due o più funzioni è uguale alla somma dei limiti delle singole funzioni.
EsempioSianof x x x x( ) = 3 24 6− + + e g x x x( ) = 4 23 2− +
Si ha:lim ( )x
f x→2
0 = e lim ( )x
g x→2
6 =
da cui[ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x x xf x g x f x g x
→ → →± ± ± ±
2 2 20 6 6 = = =
Secondo casoCi si pone adesso il problema se il teorema di cui sopra continui a valere anche quando la x tenda a valoriinfiniti. La risposta a tale quesito è affermativa.
EsempioSianof x x x x( ) = 3 24 6− + + e g x x x( ) = 4 23 2− +
Si ha:lim ( )x
f x→ ∞
∞ = e lim ( )x
g x→ ∞
∞ =
da cui[ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x x xf x g x f x g x
→ ∞ →∞ →∞± ± ∞ ± ∞ = =
Terzo casoCi si pone ora nel caso generale in cui il valore del limite può essere anche infinito e si afferma che la regola,indipendentemente da dove tende x, vale secondo i risultati riportati nella seguente
10
TABELLA DELLA SOMMA
+ l' + ∞ − ∞ l , l' > 0
l l + l' + ∞ − ∞ + ∞ + ∞ + ∞ ?− ∞ − ∞ ? − ∞
? indica che il teorema generale della somma in questi casi (uno + ∞ e l’altro − ∞ ) non porta aconclusione. Si suole esprimere tale circostanza dicendo che si è in un caso indeterminato o diindecisione.
EsempioSianof x x x( ) = 3 5 14 3+ + e g x x x( ) = 2 4 33 2− +
Risulta:lim ( )
xf x
→ − ∞+ ∞
= e lim ( )
xg x
→ − ∞− ∞
=
da cui[ ]lim ( ) ( )
xf x g x
→ − ∞+ + ∞ − ∞
=
che, come è evidente dalla tabella, è un caso di indecisione.
Limite del prodotto di due (o più) funzioni.Date due (o più) funzioni y f x = ( ) ed y g x = ( ) definite rispettivamente sugli insiemi F e G ed indicato
con x0 un punto di accumulazione, appartenente o no all’insieme F ∩ G, risulta:
[ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x x x x
f x g x f x g x→ → →0 0 0
1 2 = = l lposto
lim ( )x x
f x→ 0
1 = l e lim ( )x x
g x→ 0
2 = lcioè il limite del prodotto di due (o più) funzioni è uguale al prodotto dei limiti delle singole funzioni.
EsempioSianof x x x x( ) = 3 24 5− + + e g x x x( ) = 4 23 2− +
Risulta:lim ( )x
f x→
−2
1 = e lim ( )x
g x→2
6 =
da cui[ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( )
x x xf x g x f x g x
→ → →− ⋅ −
2 2 21 6 6 = = =
11
Quanto sopra detto si può riassumere nella seguente
TABELLA DEL PRODOTTO
?
?
+ ? ? +
• + − + ∞ − ∞
+ − + ∞ − ∞− − − ∞ ∞+ ∞ + ∞ − ∞ + ∞ − ∞− ∞ − ∞ + ∞ − ∞ ∞
0
0 0 0 000
l l
l ll lll ll ll
' '
' '' '
l , l' > 0
? indica che il teorema generale del prodotto in questi casi (uno 0 e l’altro + ∞ o − ∞) non porta aconclusione. Si suole esprimere tale circostanza dicendo che si è in un caso di indecisione o diindeterminazione.
EsempioSiano
f x x x( ) = 3 − e g xx
x( ) =
+
2 33
3
2
Risulta:lim ( )x
f x→0
0 = e lim ( )x
g x→
+ ∞0 =
Segue che:[ ]lim ( ) ( ) ( )
xf x g x
→⋅ + ∞
00 =
che, come è facile verificare confrontando la tabella, è una forma di indecisione.
Limite del quoziente di due funzioniDate due funzioni y f x = ( ) ed y g x = ( ) , con g x( ) ≠ 0, definite rispettivamente sugli insiemi F e G ed
indicato con x0 un punto di accumulazione, appartenente o no all’insieme F ∩ G, risulta:
lim( )( )
lim ( )
lim ( )x x
x x
x x
f xg x
f x
g x→
→
→0
0
0
1
2
=
=
ll
postolim ( )x x
f x→ 0
1 = l e lim ( )x x
g x→
≠0
2 0 = lcioè il limite del quoziente di due funzioni è uguale al rapporto tra i limiti delle singole funzioni considerate.
EsempioSianof x x x x( ) = 3 24 5− + + e g x x x( ) = 4 23 2− +
Risulta:lim ( )x
f x→
−2
1 = e lim ( )x
g x→2
6 =
Segue che:
12
lim( )( )x
f xg x→
−
2
16
=
Quanto sopra enunciato si può riassumere nella seguente
TABELLA DEL QUOZIENTE
?
+ '
+ ? ? ?
÷ + − + ∞ − ∞
+ ∞ −
− − ∞ −
+ ∞ ∞ + ∞ − ∞− ∞ − ∞ − ∞ + ∞
0
0 0 0 0 0
0 0
0 0
l l
l ll
ll
l ll
ll
' '
'
' '
?
? indica che il teorema generale del quoziente in questi casi (entrambi 0 oppure entrambi ∞) non porta aconclusione. Si suole esprimere tale circostanza dicendo che si è in un caso di indecisione o diindeterminazione.
Esempi1) Sianof x x x( ) = 3 2+ − e g x x x x( ) = 3 2 1− − +
Risulta:lim ( )x
f x→1
0 = e lim ( )x
g x→1
0 =
Segue che:
lim( )( )x
f xg x→
1
00
=
che, come è facile verificare confrontando la tabella, è una forma di indecisione.2) Sianof x x x( ) = 3 + e g x x x( ) = 4 23 1− +
Risulta:lim ( )
xf x
→ + ∞∞
= + e lim ( )
xg x
→ + ∞+ ∞
=
Segue che:
lim( )( )x
f xg x→ + ∞
+ ∞+ ∞
=
che, come è facile verificare confrontando la tabella, è una forma di indecisione.
Limite della potenza di una funzioneSe, al tendere di x ad x0 , la funzione y f x = ( ) tende ad un numero finito l ≠ 0, indicando con n unintero qualsiasi, risulta:
[ ]lim ( )x x
n nf x→ 0
= l
13
cioè il limite di una potenza è uguale alla potenza del limite.
14
EsempioSiano
( )f x x x( ) = 3 52 − e n = 3
Risulta:lim ( )x
f x→2
2 = e [ ]lim ( )x
f x→2
3 32 8 = =
Quanto detto si può riassumere nella seguente
TABELLA DELL’ELEVAMENTO A POTENZA
[ ]lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( )
xx
xx
xx
g xf x g x f x→ ± ∞
∞
→ ± ∞∞
→ ± ∞∞
0 0 0
l l' ll'
0 0 ? l + ∞ + ∞ + ∞ l' + ∞ l − ∞ 0
− ∞ l' se ' è pari se ' è dispari
+ ∞
− ∞
ll
± ∞ 0 ? 1 ± ∞ ? + ∞ + ∞ + ∞
? indica che il teorema generale della potenza in questi casi (uno 1 e l’altro ± ∞ oppure entrambi 0 oppureuno ± ∞ e l’altro 0) non porta a conclusione. Si suole esprimere tale circostanza dicendo che si è in uncaso di indecisione o di indeterminazione.
Esempi1) Siano
f xx
( ) = 11
+
e g x x( ) = 2
Risulta:lim ( )
xf x
→ + ∞ = 1 e lim ( )
xg x
→ + ∞∞
= +
da cui si ha
[ ]lim ( ) ( )
x
g xf x→ + ∞
+ ∞
= 1
che è una forma indeterminata.2) Siano
( )f x x x x( ) = 3 23 2+ + e g x x( ) =
Risulta:
15
lim ( )x
f x→0
0 = e lim ( )x
g x→0
0 =
da cui segue
[ ]lim ( ) ( )
x
g xf x→0
00 =
che è un’altra forma di indecisione.3) Siano
( )f x x( ) = 3 22 + e g xx
( ) = 1
Risulta:lim ( )
xf x
→ + ∞+ ∞
= e lim ( )
xg x
→+ ∞ = 0
da cui si ottiene
[ ]lim ( ) ( )( )
x
g xf x→+ ∞
+ ∞
= 0
che è ancora un caso di indecisione.
Limite della radice n-esima di una funzioneSe, al tendere di x ad x0 , la funzione y f x = ( ) tende ad un numero l (finito o infinito), indicando con nun intero positivo, risulta:
lim ( )x x
n nf x→ 0
= lcon la sola ipotesi restrittiva che x0 , punto di accumulazione dell’insieme di definizione della y, deve essere
anche un punto di accumulazione dell’insieme di definizione della f xn ( ) . Quindi il limite della radice n-esima di una data funzione è uguale alla radice n-esima del limite della funzione stessa.Osservazione: la tabella della radice si può ricavare da quella dell’elevamento a potenza ricordando che
[ ] [ ]f x f xmn
mn( ) ( ) =
con m, n interi positivi.
Esempi1) Siaf x x x( ) = 3 22 − e n = 3
Allora
lim ( ) limx
nx
f x x x→ →
−2 2
23 33 2 8 2 = = =
2) Siaf x x x( ) = 3 22 − e n = 3
Allora
lim ( ) limx
nx
f x x x→ + ∞ →+ ∞
− + ∞
= = 3 223
3) Siaf x x x( ) = 3 23 − e n = 3
Allora
lim ( ) limx
nx
f x x x→ − ∞ →− ∞
− − ∞
= = 3 233
16
Limite di funzioni trascendenti composteA) Se, al tendere di x ad x0 , la funzione y f x = ( ) tende ad un numero l (finito o infinito), indicandocon a un intero positivo diverso da 1, risulta:
lim ( )
x x
f xa a→ 0
= l
EsempioSiaa = 2 e f x x x( ) = 3 52 −Quindi
( ) ( )lim lim( ) lim
x
f x
x
x x x xa x
→ →
− −→
2 2
3 5 3 5 22 2 2 42
2
2
= = = =
B) Se, al tendere di x ad x0 , la funzione y f x = ( ) tende ad un numero l > 0, indicando con a un interopositivo diverso da 1, risulta:
lim log ( ) logx x
a af x→ 0
= l
EsempioSiaf x x x( ) = 3 2 − e a = 10
Allora
( ) ( )[ ]lim log ( ) lim log log lim logx
ax x
f x x x x x→ → →
− −2 2
102
102
2103 3 10 1 = = = =
Analizziamo adesso più da vicino quelle che abbiamo già definito comeFORME INDETERMINATE O DI INDECISIONE
1) + ∞ − ∞ e − ∞ + ∞In questo caso è sufficiente calcolare il limite del solo termine di grado massimo.
Esempia) f x x x( ) = − + +3 5 43 ⇒ ( )lim ( ) lim
x xf x x
→ − ∞ →− ∞− ∞
= = + 3 3
b) f x x x( ) = 3 5 43 − + ⇒ ( )lim ( ) limx x
f x x→ − ∞ → − ∞
− ∞
= = 3 3
c) f x x x( ) = 3 5 22 − + ⇒ ( )lim ( ) limx x
f x x→ + ∞ →+ ∞
+ ∞
= = 3 2
d) f x x x( ) = 2 75 − − ⇒ ( )lim ( ) limx x
f x x→ + ∞ →+ ∞
+ ∞
= = 2 5
2) 0 × ∞In tal caso si elimina l’indeterminazione mediante una semplice operazione di scomposizione in fattori.
Esempio
f x x x( ) = 2 4 3− + e g xx
x x( ) =
+−
32 ⇒
17
⇒ [ ] ( )lim ( ) ( ) lim limx x x
f x g x x xx
x x→ → →− +
+−
× ∞1 1
2
1 24 33
0 = =
Scomponendo si ottiene:
( ) ( )f x x x( ) = − −1 3 e ( )g xx
x x( ) =
+−31
⇒
⇒ [ ] ( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) ( ) lim limx x x
f x g x x xx
x xx
xx→ → →
− −+−
−
+
−1 1 1
1 331
33
8 =
= =
3) 00
In questo caso si procede utilizzando il solito metodo della scomposizione in fattori oppure, se ciò non èpossibile, la regola di De L’Hopital (cfr. capitolo sulle derivate).
Esempiof x x x( ) = 2 3+ e g x x x( ) = 3 − ⇒
⇒ ( )( )lim
( )( )
lim
limx
x
x
f xg x
x x
x x→
→
→
+
−0
0
0
3
3 00
=
=
2
Scomponendo si ha:( )f x x x( ) = + 3 e ( )g x x x( ) = 2 1− ⇒
⇒ ( )( )lim
( )( )
lim limx x x
f xg x
x xx x
xx→ → →
+−
+−
−0 0 2 0 2
31
31
3 =
= =
4) ∞∞
Per tale forma di indecisione occorre distinguere i seguenti tre casi:α ) il numeratore ed il denominatore hanno lo stesso grado; il limite è finito ed è uguale al rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimoβ ) il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore; il limite è infinito (± ∞ a seconda dei casi)γ) il grado del numeratore è minore di quello del denominatore; il limite è finito e vale sempre zero, indipendentemente dal caso in cui ci si trova
Esempia) f x x x( ) = 4 3 43 2+ − e g x x( ) = 2 53 + ⇒
⇒ lim( )( )
limx x
f xg x
x xx→ + ∞ →+ ∞
+ −+
=
= =
4 3 42 5
42
23 2
3
18
b) f x x x( ) = 3 3 5+ + e g x x( ) = +2 72 ⇒
⇒ lim( )( )
limx x
f xg x
x xx→ + ∞ →+ ∞
+ ++
+ ∞
=
=
3
2
3 52 7
c) f x x( ) = 3 2+ e g x x x( ) = 2 5 7− + ⇒
⇒ lim( )( )
limx x
f xg x
xx x→ + ∞ →+ ∞
+− +
=
=
3 25 7
02
5) 00
Tale forma indeterminata ricorre nel calcolo dei limiti di funzioni del tipo [ ]f x g x( ) ( ) . Per eliminare
l’indeterminazione, quindi, si utilizza l’identità logaritmica a e a = log che ci consente di scrivere:
[ ]f x eg x g x f x( ) ( ) ( ) log ( ) =
Esempiof x x( ) = e g x x( ) = ⇒
⇒ [ ]( )
lim ( ) lim lim( ) log
lim log
x
g x
x
x
x
x xx x
f x x e ex
→ → →+ + +
→ +
0 0 0
0 = = =
Risulta:
( )lim log limlog
x xx x
x
x→ →+ +
=
0 0 1 0 = (cfr. capitolo sulle derivate)
Dunque:
[ ]lim ( ) ( )
x
g xf x e→ +0
0 1 = =
6) 1∞
Anche questa forma di indecisione si presenta nel calcolo dei limiti di funzioni del tipo [ ]f x g x( ) ( ) . Siprocede, pertanto, come al punto 5).
Esempio
f xx
x x( ) =
2
2
32 1+
+ + e g x x( ) = ⇒
⇒ [ ]lim ( ) lim lim( )
log lim log
x
g x
x
x
x
xx
x xx
x
x xf xx
x xe e
x
→ + ∞ → + ∞ →+ ∞
+
+ +
+
+ +
+
+ +
→+ ∞
=
= =
2
2
3
2 1
3
2 132 1
2
2
2
2
Risulta:
lim log limlog
x xx
xx x
xx x
x→ + ∞ →+ ∞
++ +
++ +
=
=
2
2
2
232 1
32 1
1 0 (cfr. capitolo sulle derivate)
Dunque:
[ ]lim ( ) ( )
x
g xf x e→ + ∞
= = 0 1
19
7) ∞0
Come le precedenti anche tale forma di indeterminazione ricorre nel calcolo dei limiti di funzioni del tipo
[ ]f x g x( ) ( ) . Pertanto si procede come ai punti 5) e 6).
Esempio
f x x x( ) = 2 5 3+ + e g xx
( ) = 1
⇒
⇒ [ ] ( ) ( ) ( )lim ( ) lim lim( ) log lim log
x
g x
xx
xx
x xx
x xf x x x e ex
→ + ∞ → + ∞ →+ ∞
+ + + +
+ + →+ ∞
= = = 2
1 15 3
15 3
5 32 2
Risulta:
( ) ( )lim log lim
logx xx
x xx x
x→ + ∞ →+ ∞+ +
+ +
=
= 1
5 35 3
022
Dunque:
[ ]lim ( ) ( )
x
g xf x e→ + ∞
= = 0 1
Osservazione: per le funzioni trascendenti del tipo ax (a > 1), xn (n > 0), loga x (a > 1) vale la seguentegerarchia tra gli infiniti:
esponenziale-elevamento a potenza-logaritmicacioè una funzione esponenziale tende all’infinito più velocemente rispetto ad una potenza che, a sua volta,tende all’infinito più velocemente rispetto ad una funzione logaritmica.
Esempi
a) lim limx
x
x
x
x→ + ∞ →+ ∞≅ + ∞
= 2
22
b) limlog
limx x
xx x→ + ∞ →+ ∞
≅
= 3 3
10
c) limlog
limx x x x
x→+ ∞ →+ ∞
≅
= 4
14
0
Riportiamo ora qui di seguito alcuni
LIMITI NOTEVOLI
1) limx
sinxx→0
1 =
2) limx
x
xe
→ ± ∞+
= 11
dove con e si indica il numero di Neper, compreso tra 2 e 3
3) lim logx
xax
a→
−0
1 =
4) limcos
x
xx→
−0 2
1 12
=
20
ESERCIZI PROPOSTI
Calcolare i seguenti limiti immediati (1-38) dopo aver analizzato gli esempi a)-i):a) ( )lim lim lim lim
x x x xx x x x
→ → → →− + − + − ⋅ +
1
2
1
2
1 1
23 5 3 5 1 3 1 5 3 = = =
b) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim limx x x
x x x x x x→ → →
− + − + ⋅2
2
2
2
23 5 1 3 5 1 2 3 6 = = =
c) ( )( )lim
lim
limx
x
x
xx
x
x→
→
→
−+
−
+−
3
23
2
3
43
4
356
=
=
d) limx
x x xx x x→
+ + ++ − −
+ + ++ − −
+ ∞1
3 2
3 2
3 3 12 2
1 3 3 11 2 1 2
= =
e) ( ) ( )limx
x→
− −0
2 4 42 3 3 81 = =
f) ( ) ( )lim limx x
x x x→ ± ∞ →± ∞
− + = + ∞
= 2 22 3
g) ( ) ( )lim limx x
x x x x→ ± ∞ → ± ∞
− + + ± ∞
= = 3 2 31
h) limx
x x
x→∞
− −
−
− −−
−−
= = =
3 12
21
0 0 20 1
21
22
i) limx
sin xtg x
sin
tg tg→π
π
π π6
23
3
2
32
2
0 = = =
1) ( )limx
x x→
− +1
23 2 2 ; ( )limx
x x→−
− +1
3 2 2 [3; 0]
2) ( )limx
x x→
− +2
2 7 10 ; ( )limx a
x ax a→
+ + 2 2 [0; 3 a2 ]
3) ( )limx
x x→
+ −4
2 1 ; ( )limx
x x→
− +2
3 2 5 [9; 9]
4) limx
xx→
−−1
3 12 1
; limx
xx→
−+2
3 62
[2; 0]
5) limx
xx→
+2
2 23
; limx
xx→ −
++1
1 23
112
; −
6) limx
xx→
−−2
2
3
69
; limx
xx→ −
−1
4 15
[2; 1]
7) limx
xx→
−3
2 65
; limx x→ ± ∞ +
1
1 [0; 0]
8) limx
x xx→
− +−0
23 5 22 1
; limx
xx→
+−1
2
22
− −
253
;
9) limx
xx→
−1
3 32
; limx
x xx→
−−1
2
2
41
[0; ∞]
10) limx
xx→ −
+−2
3 43 6
: limx
xx→
+2
2
16
2 24;
21
11) limx
x xx x→
− +−2
2
2
3 25
; limx
x xx→
+ +2
2 0
2 22
; +
12) limx
xx→
−−1 2
3 41
; limx
xx→
+−3
2
2
33
[− ∞; + ∞]
13) limx
xx→
−−3
4 13
; limx
xx→
−+5
55
[+ ∞; 0]
14) limx
x xx x→
− ++2 3
5 63
2
; limx
xx→
+2
2 [0; 2]
15) ( )lim cosx
sinx x→
−π4
; ( )lim cosx
sinx x→
+π4
[ ]0 2;
16) ( )limx
x x→
− + +4
3 5 ; limcos
cosx
xx→
+0
2 [4; 3]
17) ( )limx
x x→ −
− − +1
2 2 10 ; limcosx
sinxx→
−+2
11π
−
112
;
18) limx
xx→
+2
72
; limx
xx→ +5
24
34
103
;
19) limcosx
sin xx→
π2
2 ; lim
cosx
sinxx→
+π
1
[0; −1]
20) limx
tgx→
+π2
; limx
tgx→
−π2
[+ ∞; − ∞]
21) limx
tgxx→
++0
51
; ( )limx
x tgx→
++
π2
[5; + ∞]
22) ( )lim cosx
sin x x→
−π3
2 ; ( )lim cosx
x sinx→
+π6
4 3 12
0−
;
23) limcos
x
sinx xx→
−π3
3 2
; lim
cosx
sinxx→
+π2
3 1
32π
; + ∞
24) lim cosx
sinx x→
−0 ; ( )lim
x
x xe→ − ∞
+
3 2 [i; 0]
25) lim cos
x
sinx xe→
−
π4
; ( )lim logx
xe x→ ∞
+ 2 [1; ∞]
26) ( )lim lnx
sinx→π
; ( )limx
x tgx→
+π2
3 [− ∞; + ∞]
27) ( )limx
x xe→ − ∞
− −+
4 5 ; limx
x
→ ∞−
112
1
[∞; 1]
28) limlogx
x
xe
→ + ∞ +−
32
2 ; lim ln
x
xe→2
[− ∞; 2]
29) lim lnx e
x→
; limcos
x
xtgx→
+π2
3 25
[1; 0]
30) limcos
x
xx→+ ∞ +
32
; lim lncosx
xx→0
[0; − ∞]
22
31) ( )
limlog
logx
xx→
+0
3 54
; ( )lim logx
sinx→
π2
[0; 0]
32) ( )limlog
logx
xx→
++0
3 22 3
; ( )limlog
logx a
xx a→ −
[− ∞; 0]
33) limlog
x
x xx→
− +2
22 3
2
; ( )limlog
x
xx
→
−
2
32
[∞; 1]
34) limlog
xx
xe→ + +0 1
; limlogx
xex→ + ∞
−
[− ∞; 0]
35) lim logx x
x→ +
−
0
1 ;
( )lim
logx x
x→− ∞
−
12
[+ ∞; − ∞]
36) limlogx
sinx→ +
0
1 ; ( )lim log
xsinx
→ +0 [0; − ∞]
37) ( )lim logx
x→
−2 2 3 ; ( )lim log
xx
→ − ++
22 [0; − ∞]
38) limloglogx
xx→
++1
21 2
; ( )lim logx
x x→
+ −1
2 1 [2; 0]
Calcolare i seguenti limiti di funzioni razionali fratte che si presentano sotto la forma indeterminata00
(1-35):
a) ( ) ( )
( ) ( )lim lim limx x x
x xx
x xx x x
xx x→ → →
− +−
− −− + +
−+ +
−3
2
3 3 2 3 2
7 1227
4 33 3 9
43 9
127
=
= =
b) ( ) ( )
( )lim lim limx x x
x xx x
x x
x
xx→ → →
− +− +
− −
−
−−
+ ∞2
2
2 2 2 2
3 24 4
1 2
2
12
=
= =
c) ( ) ( ) ( )lim lim lim
x x x
xx
x x x
xx x
→− →− →−
++
+ − +
+− +
2
3
2
2
2
282
2 2 4
22 4 12 =
= =
d) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim
x x x
xx
x x
x x
x
x x x x→ → →
−−
− +
− +
−
− + + +4 3 4 3 4 2
264
2 2
64 2
4
4 4 16 2 =
=
=
= ( ) ( )
limx x x x→ + + +4 2
1
4 16 2
1192
=
e) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
lim lim limx x x
xx
x x x
x x
x x x
x→− →− →−
−+
− + +
+ +
− + +
+3
2
3 3
93
3 3 3
3 3
3 3 3
3 =
=
=
= ( ) ( )[ ]limx
x x→−
− +3
3 3 0 =
f) lim lim
cos
limcos
lim cosx x x x
sinxtgx
sinxsinx
x
sinx xsinx
x→ → → →0 0 0 0
1 = =
= =
23
g)
( ) ( )
( ) ( )lim lim lim limx a x a x a x a
x ax a
x a x a
x ax a x a
x a
x ax a
x ax a
x ax a→ → → →
−−
− −
−− +
+
−−
−+
+−
∞ =
= = =
1) limx
xx x→
−− +1
2
2
12 1
; limx
x x xx→
− + −−1
3 2
2
11
[+ ∞; 1]
2) limx a
x ax ax a→
−− +
2 2
2 22; lim
x
x xx x→
− +− +1
4 2
3
3 24 3
[+ ∞; 2]
3) limx
x x xx x x x→
− − +− − +2
3 2
4 3 2
4 43 4 12
; limx
xx→
−−3
22 183 9
−
12
4;
4) limx
xx→
−−2
32 162
; limx a
x aa x→
−−
2 2
3 3 − −
242
3;
a
5) limx
x x xx x→
− − +− +1
3 2
4 2
12 1
; limx m
x mx mx m→
−− −
3 3
2 25 4
12 2
; m
6) limm
m mm m→
+ −+ −1
2
2
5 62
; limx
x xx x→−
− ++ +3
3
2
7 68 15
73
10;
7) limx
x xx x→
− −− +3
2
2
2 36 9
; limx
x x xx x→
− + −− +2
3 2
2
6 12 84 4
[+ ∞; 0]
8) ( )
limx
xx→
− −−5
2
2
3 425
; limx
xx→
−−3
2
3
927
25
29
; −
9) limx
x x xx x x→
− + −− + −2
3 2
3 2
5 7 22 2 4
; limx b
b xx bx b x b→
−+ − −
3 2 2 3 − −
16
14 2;
b
10) limx
x xx x→
− −+ −2
2
2
26
; limx
x x x xx x x x→
− − + −− − + −1
4 3 2
4 3 2
2 4 10 53 4 13 7
35
47
;
11) limx
x xx x→ −
+ ++ −1
2
2
5 7 23 2 1
; limx
x x xx x→−
+ − −− −3
3 2
4 2
7 9 636 27
34
13
;
12) limx
x xx x x→
− +− + −1
2
3 2
4 36 9 4
; limx
x xx x x→
+ −+ − −1
2
3 2
22 2
− ∞
;12
13) limx
x xx x→
− +− −3
2
2
3 10 32 3 9
; limx
xx x→
−− −3
2
2
92 3
89
32
;
14) limx
x x
x x→
+ −
− +2
2
2
613
23
; limx
x xx x x→
− ++ − −1
2
3 2
2 5 33 7 4 6
151
19; −
15) limx
xx x→ −0 2 2
; limx
x x xx x→ −
+ − −+ −2
3 2
3 2
2 4 83 4
−
12
43
;
16) limx
x xx x→ −
− −− −1
5
2
2
5 9 210 13 3
; limx
x x
x x x→
− +
− + −2
2
4 22
32
1
7 8 4
1117
124
;
24
17) limx
xx x→
−− +3
2
2
3 24 8 3
; limx
xx x x→−
++ − −2 3 2
23 6 2
−
12
111
;
18) limx
x x xx x→
+ − +− +1
2
4 2
2
8 16 19 52 5 2
; limx
x x xx x→
− + +− +3
3 2
3
4 13 2 310 3
−
13
3217
;
19) limx
x xx x→
− +− +1
2
2
2 16 5
; limx
x xx x→
+ −+ −1
2
2
3 42 3
054
;
20) limx
x xx x→−
− −+ +2
2
2
63 2
; limx
x xx x→ −
+ −+ −3
2
2
62 5 3
557
;
21) limx
xx x x→
−− − +1
2
3 2
13 3
; limx
x xx x→
− +− +1
2
2
5 42 1
12
; − ∞
22) limx
x xx x→
− ++ −2
2
2
3 26
; limx
x x xx→
− + −−1
3 2
2
2 21
15
32
;
23) limx
x xx x→
− +− +1
3
2
3 26 5
; limx
x xx x→
− −− +3
2
2
2 36 9
[0; + ∞]
24) limx
x xx x x→
− +− − +1
3
3 2
3 22 4 3
; limx
x xx x x→
− +− − +2
3 2
3 2
3 42 4 8
35
34
;
25) limx
x xx x x→
− +− − +1
3
3 2
3 21
; limx
x x x xx x x→
− + + −− +2
4 3 2
3 2
5 6 4 84 4
32
0;
26) limx
x xx x→
− +− +3
2
2
8 1510 21
; limx
x xx x→
− +− +1
2
2
6 52 1
12
; − ∞
27) limx
x xx→
+0
2 3 ; lim
x
xx x→
−− +2
2
2
43 2
[3; 4]
28) limx
x xx x x→
+ −− + −1
2
3 2
5 2 74 5 2
; limx
xx→
−−1
3
4
11
+ ∞
;34
29) limx
x xx x→
+ −− −2
2
2
3 2 162
; limx
x x xx x→
− − +− +3
3 2
2
3 2 65 6
143
7;
30) limx
xx→ −
−− −3
291 2
; limx
xx→
+ −+ −1
1 28 3
− ∞
;32
31) limx a
x a
x a→
−
−
2 22 2
; limx
xx→
− + −−2
6 22
014
; −
32) limx
xx→
−−1
3 11
; limx
x xx→
+ + −−4
5 74
13
0;
33) limx
xx→ −
+− −1
11 2
; limx
x
x→
−
−12
22
2 1 [− ∞; 0]
34) limx
xx→
−−2
2 42
3
; limx
x xx→
− +−3
2 5 63
[0; + ∞]
35) lim logx
xx→ +
+ −
0
2 4 2 ; lim
x
x x
x
e ee→
−−0
2
1 [− ∞; 1]
25
Calcolare i limiti delle seguenti funzioni razionali fratte che si presentano sotto la forma
indeterminata ∞∞
(1-15):
a) lim lim limx x x
xx
xx xxx x
x
x→ ∞ →∞ →∞
+−
+
−
+
−
+−
= = = = 3 45 1
3 4
5 1
34
51
3 05 0
35
b) lim lim limx x x
x xx
xx
xx x
xx x
x x
x x→ ∞ →∞ →∞
− +−
− +
−
− +
−
− +−
∞ = = = = 2 5 3
3 2
2 5 3
3 2
25 3
3 22 0 0
0 0
2
2
2 2 2
2 2
2
2
c) lim lim limx x x
xx x
xx x
xx
xx x
x x
x x→ ∞ →∞ →∞
−− +
−
− +
−
− +
−− +
= = = = 2 5
3 2 1
2 5
3 2 1
2 5
32 1
0 03 0 0
02
3
2
3 3
3
3 3 3
3
2 3
d) lim lim lim limx x x x
x xx x
x x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x→ ∞ →∞ →∞ →∞
−
−
++
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=2
3 22
3 2
2
3 2
1 2
3 2
3
4
12
13
12
14
12
12
13
12
12
12
14
12
16
14
= lim limx x
x
x
x
x→ ∞ →∞
+
+
+
+
++
=
=
=
=
12
3 21
12
3 21
1 03 2 0
13 2
26
16
14
6
4
e) lim lim limx x x
x x
x
x x x
x x x
xx x
x x x
→ → →
−+
−
−
−+
− +
− + +
+ +− +
− + +
2
2
3
2
2
2
2
12
14
1
8
12
12 2
1
2 2 4
2 12 2
1
2 2 4
=
=
=
= ( ) ( )lim limx x
xx x
x x xx
xx x
→ →
+ +− +
− + +
+ ++
+ +
2
2
2
22 12 2
2 2 42 1
22 4
= =
= ( )2 2 12 2
4 4 43 12
26 3
23 3
+ ++
+ + =
=
=
f) ( )lim
cos
lim cos
cos
limcos
cos limx x x x
tgx
x
sinxx
x
sinxx
x sinx→ → → →
=
π π π π2 2 2 2
1 11 = = =
1) limx
xx→∞
−
15
; limx
xx→ ∞
+−
3 15 4
15
35
;
26
2) limx
xx→∞
+−
5
4 3; lim
x
xx x→∞
−−
2
3 5
2
2 14
13
; −
3) limx
x xx→∞
+ −+
5 3 1
4 2
2
; limx
xx x→∞
−−
3 2
3 52 [∞; 0]
4) limx
x xx x→ ∞
− ++ +
4 6 23 5 1
2
2 ; limx
xx→∞
+−
3 66 1
3
43
; ∞
5) limx
xx→∞
−
2 1; lim
x
x xx x→ ∞
− +− +
4 5 62 3 2
2
2 [∞; 2]
6) limx
x xx x→ ∞
− ++ +
3 4 13 7 2
2
2 ; limx
xx x→ ∞
++ +
1 3
3 2 4 2 37
0;
7) limx
x xx x→∞
− ++ +
3 52 4 1
2
2 ; limx
x xx x→∞
+ +− +
2
3 2
2 52 3 9
32
0;
8) limx
x xx x→∞
+ +− +
5 3
3
4 92 5
; limx
x xx x→∞
− ++ −
8 4 94 2
3 2
3 [∞; 2]
9) limx
x
x→
−
−2
2
12
14
; limx
xx x→ ∞
−−
5 1
2
2
2 452
; −
10) limx
x
x→
+0
2
1
25
; limx
x x
x x→
+ −
+ +0
2
2
1 53
4 28
014
;
11) limx
x xx x→∞
+ +− +
2
7 3
52 4
; limx
x x
x x→ + ∞
+ +
+ +
2
33
5
5 4 3 0
253
;
12) limx
x xx x→ ∞
− +− +
5 1 32 3 4
2
2 ; limx
x xx→∞
++
3
2
32
1;
13) limx
xx→ ∞
−+
9 64 3
; limx
xx→ ∞
+−
25 249 1
32
57
;
14) limx
xx→∞
+−
23 1
2
; limx
x
x→ ∞
+
+
2 3
3 2
13
2;
15) limx
x
x→∞
−
+
3 2
2 12; lim
x
x
x→∞
+
+
212
1 2 2
3 22
2
;
Calcolare i limiti delle seguenti funzioni che si presentano sotto la forma indeterminata + ∞ − ∞(1-13):
a) ( ) ( ) ( )lim lim limx x x
x xx x x x
x x
x x
x x→ ∞ →∞ → ∞+ −
+ − + +
+ +=
+ −
+ + =
=2
2 2
2
2 2
21
1 1
1
1
1
= limx x x→∞ + +
= 1
10
2
27
b) ( ) ( ) ( )lim limx x
x x xx x x x x x
x x x→ ∞ →∞− − − −
− − − − − + − −
− + − − =
=2 2 3
2 2 3 2 2 3
2 2 32
2 2
2
= lim limx x
x x x x
x x x
x
x x x→ ∞ →∞
− + − + +
− + − −
− +
− + − − = =
2 2
2 2
4 4 2 3
2 2 3
2 7
2 2 3
= limx
xx x
xx x
xx
xx x
→ ∞
− +
− + − −
− +− + − −
−+
− = = =
2 7
2 2 3
2 01 0 1 0 0
21 1
12
2 2 2
c) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )
lim limx x
x x xx x x x x x
x x x→ ∞ →∞+ − −
+ − − + + −
+ + − =
= 3 2
3 2 3 2
3 22
2 2
2
= ( ) ( )( )
lim limx x
x x x
x x x
x
x x x→ ∞ →∞
+ − −
+ + −
+
+ + −
= =
3 2
3 2
3 2
3 2
2
2 2 2
= limx
xx x
xx
xx
xx x
→ ∞
+
+ + −
++ + −
= =
3 2
3 2
3 01 0 1 0
322
2 2
2
2 2
d) ( ) ( ) ( ) ( )
lim lim limx x xx
xx x
xx x
x xx x→ → →−
−+−
−
−+
− +
+ − −− +
1 2 1 1
11
21
11
21 1
1 21 1
=
=
=
= limx x→
−−
− ∞1 2
11
=
e) ( ) ( )
limcos
limcos cos
limcos
cos cosx x xsin x x x xx
x x→ → →−
−
−
−−
− −− +
0 2 0 2 0
1 11
11
11
1 11 1
= =
=
= limcoscosx
xx→
−−
− ∞0 21 =
f) ( )
( ) ( )lim
coscos
limcos cos
coslim
cos coscosx x xx
xsinx
sinx x xsinx x
sinx x xsinx x→ → →+
+
+ ++
+ ++π π π
=
=
=
11
11 1
2
= ( )
( ) ( )( )
limcos
coslim
coscosx x
sinx x sin xsinx x
sinx sinx xsinx x→ →
+ + −+
− + ++π π
=
=
11
1 11
2
= ( )( ) ( )
limcos
coscos
limcosx x
sinx sinxsinx x
xsinx x
sinxx sinx→ →
−+
++
+
−+
+
−−
+ ∞π π
= = = 11
11
11
1 1 01 1
10
1) ( )limx
x x→∞
− + 3 ; ( )limx
x x→∞
− + + + 4 2 [− ∞; − ∞]
2) ( )limx
x x x→ ∞
− + 2 5 ; ( )limx
x x→∞
− + 2 4 −
52
0;
3) ( )limx
x x x→∞
− + 2 4 2 ; ( )limx
x x x→∞
− + − 2 6 9 − −
14
3;
28
4) ( )limx
x x x→∞
+ − − − 4 2 8 2 12 ; ( )limx
x x x→ ∞
+ − + − 4 1 16 8 22 −
12
0;
5) ( ) ( )( )limx
x x x→∞
+ − − − 2 3 2 1 2 3 ; ( )limx
x x x→ ∞
− + + 2 2 8 2 12 111
24
; −
6) ( )limx
x x→ ∞
− + − 2 16 2 ; ( )limx
x x x→ ∞
+ − + + 2 3 4 12 12 [1; 0]
7) ( )limx
x x→ ∞
+ − + 4 21 1 ; limx
x x→∞
− +
2 212
2 22
112
; −
8) ( )limx
x x→∞
− + 1 ; ( ) ( )[ ]limx
x x x→∞
− − − − 3 1 2 3 202 03 3
2;
−
9) ( )limx
x x→∞
+ − − 3 4 ; ( )limx
x x x→ ∞
+ − + 2 2 2 012
;
10) ( )limx
x x→ ∞
+ − − 2 21 3 ; ( )limx
x x x x→ ∞
+ + − + + 2 22 2 5 4 032
; −
11) ( )limx
x x x x→∞
+ + − − + 2 23 1 3 7 ; ( )limx
x x→∞
+ − − 3 31 1 [3; 0]
12) ( )limx
x x→ ∞
− − + 4 44 3 ; ( ) ( )[ ]lim log logx
x x→ ∞
+ − + 25 3 5 2 [0; log 5]
13) ( ) ( )[ ]lim log logx
x x x→ ∞
+ − − − 2 25 6 1 ; [ ]lim log logx
x sin x→ +
−0
2 012
; log
Calcolare i limiti delle funzioni che si presentano sotto la forma indeterminata 0 ⋅∞ (1-7):
a) ( ) ( ) ( )lim lim limx x x
xx
xx
xx x x→ → →
−−
−−
−− + +2 3 2 3 2 2
21
828
22 2 4
= =
=
= limx x x→ + +2 2
12 4
112
=
b) lim lim lim limx x x xx
xx
x
xx
x
xx
x→ ∞ →∞ →∞ →∞+
+ + +
= = = =1
1 1 11
112
= limx
x
x→∞
+ + = =
1
11
01 0
0
c) ( )limcos
limcos
limcos cosx x x
x sinxx x
x sinxx x
xx x
sinxx x→ → →
+
++
0 0 0
12 2 2 2
=
=
=
= limcos cosx x x
sinxx→
+
+ ⋅0
12
12
12
12
1 1
= =
1) ( )limx
xx→
−−
3 231
9 ; lim
xx
x x→ −
0 2
15
012
;
29
2) ( )limx
xx x→ −
++ +
1 211
2 3 1 ; ( )lim
xx
x→−+ +
+
1
1 12
1
22
2;
3) ( )limx
xx→
−−
1
3 11
1 ; lim
x x xx
→∞ ++
12
2
2 [6; 1]
4) ( )[ ]limx
sinx tgx→
−π2
1 ( )lim cosx
xtgx→
−
0
11
[0; 0]
5) limcos
xx
xsin x→
0
2
2 ; limx
tgxx→
0
31
[0; 3]
6) limx
tg xtgx→
02
1 ; lim
xx
sin x→
0
32
1 [2; 0]
7) ( )[ ]limx
tgx tg x→
−π4
1 2 ; limcos
cosx sinx x
x→ −
π
4
12 [ ]1 2; −
Calcolare i seguenti limiti di funzioni trigonometriche ricordando che 0
sinlim = 1x
xx→
:
1) limx
sin nxx→0
; limx
sin xx→0
3 [n; 3]
2) limx
sin xsin x→0
42
; limx
sin kxsin hx→0
2; kh
3) ( )
limx
sin xx→
−−α
αα
2 2 ;
( )limx
sin xx→
−−π
ππ
1
21
α;
4) limx
sinxtgx→0
; limx
sin xtg x→0
54
154
;
5) limx
tgxx→0
; limcos
x
x
x→ +π π2
2
2
[1; 0]
6) limx
tg xx→0
5 ; lim
x
tg xtg x→0
52
552
;
7) limcos
x
xx→
−0 2
1 ; lim
cosx
xx→
−0 2
1
12
12
; −
8) limcosx
xx→ −0
2
1 ; lim
cosx
xx→ −0
2
1 [2; − 2]
9) limx
tg xtg x→0 2
5 ; lim
x
sinx tgxx→
−0 3 ∞ −
; 12
10) limcos
x
xx→
−0
1 ; lim
cosx
xsin x→
−0
3
2
3 32
0
94
;
11) limcosx
sin xx x→0 2
ππ
; limx
sin xx→0
2
3 π2
; ∞
12) limcos
cosx
x x sinxsinx x x→
−+0
5 24 2
; lim
x
sinx x xsinx x→
+ −−0
24 35
12
74
;
30
13) ( )
limcos
x
x
sinx→ −π2
21
; limcosx
xx→ −0 1
[ ]∞; 2
14) limcos
x
xsinx→ −π
21
; limcos cos
x
x xsin x→
−0
2
2 ∞
; 12
15) limcoscosx
sinx x x x xsinx x x x x→
− − −+ + −0
2 3
2 3
3 2 2 54 3
;
( ) ( )lim
cos cosx
x xx sinx→
− −0
3 1
17
1;
Dire a quali forme di indecisione conducono i seguenti limiti e quindi calcolarli:
1) limx
a x ax→
− +0
2 2
2 ; limx b
x b
x x b→−
+
+ −
2 2 2 − −
12
1a
;
2) limx a
x ax a→
−−
; limx
xx→
−−3
33
aa2
36
;
3) limx b
x bx b→ −
++
3 3
; ( )limx
x x x→∞
− + 2 b
b
3 12
; −
4) limx
xx→ − +0 2 4
; ( )limx
x x→∞
− + 2 3 [− 4; 0]
5) ( )limx
x x x→∞
− + 2 3 ; limx
b x bx→
−−1
23 23
1 −
32 3
23
; b
6) ( )[ ]limx
x x x→∞
− + 2 2 2 2 ; limx
x xx→∞
+ −+
4 1
3 2
33
−
12
53
;
7) limx
x
x x x→∞ + − − +
2
3 2 25 42; ( )lim
xx x x
→∞+ + − 2 2 4 [− 1; 1]
8) ( )limx
x x x→∞
− + − 2 1 3 ; ( )limx
x x→ ∞
+ − − 2 21 1 [− ∞; 0]
9) ( )limx
x x x→∞
− − + 2 5 1 ; limx
x xx→
− − +−2 2
2 24
52
1 2 28 2
;
−
10) ( )limx
x x x→∞
+ − + − 9 1 9 3 12 2 ; limx
xx→∞ +
2
−
12
1;
11) ( )limx
x x x x→ ∞
− + − − − 2 27 3 2 1 ; ( )limx
xx→
−−
2 221
4 −
52
0;
12) ( )limx
x x x x→∞
+ + − + + 2 24 2 4 5 ; limx
xx→
−−1 3
11
[0; 0]
13) ( )limx
x x x→∞
+ − + + 3 1 9 6 22 ; limx
xx→
−−3
32 6
[0; 0]
14) ( )limx
x x x→ ∞
+ − − − 16 8 2 4 12 ; limx
xx→ −
−+1
2 11
[0; 0]
15) ( )limx
x x→ + ∞
+ − +
5 2 ; ( )limx
x x x x→ + ∞
− − − − +
2 22 1 7 3 052
;
31
16) limx x x→+ ∞ + −
11
; limx
xx→
− −−2 2
3 5 14
+ ∞
;5
24
17) ( ) ( )[ ]lim log logx
x x x→ ∞
− − − + 2 21 1 ; ( )
limx
xx→
+ −0
32 8
[0; 12]
18) limx
x xx→
+ − −0
1 1 ; lim
x
x x x xx→
+ + − + +0
2 22 2 6 2 [ ]1 2; −
19) limx
xx→
−−1
11
; ( )
limx
x x
x→
+ −
−1 2
1 2
1
12
14
;
20) limx
xx→
+ −0
4 2 ; ( )lim
xx x
→∞+ − − 2 22 1
14
0;
21) ( )limx
x x x→ + ∞
+ −
2 3 ; limx x x x→+ ∞ + − +
1
22 2
32
2;
22) limx
xx→
−−2
22
; limx
xx→
−−1 2
11
2
414
;
23) limx
xx→ −
++1
3 11
; limx
x
x→
−
−1
23
33
1
1
13
23
3;
24) limx
x xx→
+ − +−1
3 3 11
; limx
x x
x x
e ee e→ + ∞
−
−
−+
5 64 3
−
12
54
;
25) limx
x x
x x
e ee e→ − ∞
−
−
+−
3 42 6
; limloglogx
xx→
−+0
4 53 2
−
23
43
;
26) ( )lim log logx
x x→+ ∞
− − +
3 5 4 32 2 ; ( ) ( )[ ]lim log logx
x x→ + ∞
+ − −
3 1 2 1 log ; log3
232
27) limx
sinx xx→
+0
; limx
sin xtgx→0
2 [2; 2]
28) limcosx
tgxx→ −0 1
; limcosx
x sinxx→ −0 1
[∞; 2]
29) limcosx
x sinxx x→
+0 2
; lim
coscosx
xsinx x→ −π
4
2 [ ]1 2; −
30) ( )
limcos cos
x
x xsin x→
−0 2
2 1
; lim
cosx
sinxx→
−π2
1 [1; 0]
31) limcoscosx
sinx x xsinx x x→
++0
3 45 2
; limcosx
sin xx→
−π2
3
2
1 1
32
;
32) limcos
cosx
xx→
+π
1
22
3
2; lim
x
tgxtg x tg x→ −0 3 3
313
; −