LÄROBOK

i

ANALYTISK GEOMETRI

Dr L. L I N D E L Ö F PROFESSOR TID KEJS. ALEXANDER-UNIVERSITETET I FINLAND.

M e d 9 3 i t e x t e n i n t r y c k t a t r ä s n i t t .

T R E D J E U P P L A G A N .

S T O C K H O L M

A D O L F B O N N I E R K G L . H O F - OCH U N I V E R S I T E T S B O K H A X D L A R E .

C E N T R A L - T R Y C K E R I E T

Förord till första upplagan.

Den så kallade analytiska geometrin är en del af matematiken, för hvars område det är svårt att ur vetenskaplig synpunkt utstaka några bestämda gränser. Ty det gifves knappast någon del af analysen, som icke har sin tillämpning i geometrin, och en, fullständig framställning af alla dessa tillämpningar skulle der-för i det närmaste omfatta hela matematiken.

Långt ifrån att sträfva till en sådan fullständighet, som för öfrigt är omöjlig att uppnå, inskränker sig närvarande lärobok uteslutande till den lägre analysens, algebrans, användning vid undersökningar om liniers och ytors egenskaper. Den sönderfaller i tvänne delar, plan och rymd-geometri, af hvilka den förra hufvudsakligen behandlar kmiiska > sektionerna jemte några linier af högre ordning, den- senare åter läran om räta linier i rymden samt om ytor, hvilkas eqvationer äro af första eller andra graden. Af de metoder och teorier, som äro egendomliga för den nyare geometrin, har förf. trott sig böra upptaga användningen af ett för-kortadt beteckningssätt för eqvationer, hvar igenom vissa undersökningar blifvit i hög grad förenklade, samt den i mångfaldigt af-seende intressanta läran om s. k. harmoniska egenskaper hos linier och ytor af andra graden.

Arbetets plan afser för öfrigt ett fortskridande från de enskilda, för begynnaren lättare tillgängliga, till de allmänna och mer abstrakta teorierna. I öfverensstämmelse härmed behandlas i förra delen ellipsen* hyperbeln och parabeln hvar för sig före

undersökningen om koniska sektioner i allmänhet, äfvensom i se

nare delen den allmänna teorin för ytor af andra graden före

gås af en förberedande undersökning om de särskilda former, som

höra under denna grupp.

Genom denna anordning, åsyftande ett lättare studium af

ämnet, och genom den konseqventa behandlingen af alla hit hörande

frågor på rent algebraisk väg, utan någon inblandning af högre

analys, afviker närvarande framställning väsendtligen från de af

Briot och Bouquet, Fort och Schlömilch m. fl. utgifna ock

nu för tiden allmännast begagnade läroböcker, ehuruväl förf. vil

ligt erkänner sig i åtskilliga delar hafva dragit fördel såväl af

nämda arbeten som af de klassiska verk, hvarmed Hesse och

Salmon nyligen riktat den matematiska literaturen.

F Ö R R A D E L E N .

PLAN GEOMETRI.

F ö r s t a K a p i t l e t .

Inledning.

1. Algebrans och öfver hufvud analysens användning på geometrin förutsätter, att de geometriska storheterna (linier, ytor, kroppar, vinklar) uttryckas genom tal, hvilket sker sålunda, att man jämför hvarje storhet med en annan gifven storhet af samma slag och undersöker, huru många gånger eller till hvad del den förra innehåller den senare. Den gifna storheten får namn af mått eller enhet och hvarje annan storhet af samma slag representeras då genom ett rationelt eller irrationelt tal, som angifver dess förhållande till den antagna enheten.

Till mått för längder väljer man någon bekant längd efter behag, t. ex. en tum, en fot, en mil o. s. v. Måtten för ytor och rymder kunde äfven väljas godtyckligt; men för enkelhets skull lägger man äfven här det en gång tagna längdmåttet till grand, i det man till enhet för ytor tager en qvadrat, der hvarje sida är lika med längd-enheten, samt till enhet för rymder en kub, der hvarje kant är lika med samma enhet. Ytan af en rektangel, hvars sidor äro a och 6, kommer då att omedelbart uttryckas genom produkten ab och volymen af en rätvinklig parallelipiped, hvars kanter äro a: b, c, genom produkten abc. I allmänhet uttryckes on yta genom produkten af två och en volym genom produkten af tre liniära faktorer.-

Till mått för vinklar begagnas i lägre geometrin vanligen räta vinkeln eller dess nittionde del, som benämnes grad. I analytiska geometrin är det derimot vanligt att såsom uttryck för en vinkel använda längden af den båge, som samma vinkel upptager, när den ställes vid medel-

punkten af en cirkel med radien 1, eller, med andra ord, förhållandet mellan bågen och radien. Då detta förhållande, för en och samma vinkel vid medelpunkten, är lika i alla cirklar, så är radiens storlek i sjelfva verket godtycklig. Halfva periferiens förhållande till radien uttryckes, såsom bekant, genom det Ludolfska talet •K = 3,14159 . . . Talet K betecknar således äfven en vinkel af 180°, hvaraf åter följer, att enheten motsvarar en vinkel af 180° : 7r= 57° 17' 44" 8. Det är denna vinkel, upptagande en båge af samma längd med radien, som i analytiska geometrin utgör det vanliga måttet eller enheten för vinklar.

2. I det man sålunda tänker sig de geometriska storheterna förestälda genom tal, blifver det möjligt att genom eqvationer uttrycka de samband, som ega rum emellan skilda delar af en figur. Ilen för att en eqvation må kunna gälla såsom det analytiska uttrycket för någon allmän geometrisk sats, måste den vara oberoende af den antagna längd-enheten; den måste, med andra ord, vara så beskaffad, att den ej undergår någon förändring, om man i stället för denna enhet tager hvilken annan som helst, t. ex. en m gånger mindre enhet. De linier, som förut voro betecknade med a, b, c ..., blefve då uttryckta genom ma, mb, mc,... och eqvationen bör således förblifva oförändrad, om alla liniära qvantiteter i den samma multipliceras med en godtycklig faktor m. En eqvation, som uppfyller detta vilkor, säges vara h o m o g e n .

En algebraisk eqvation är homogen, när alla dess termer äro af samma gradtal i afseende på de geometriska storheter, som der ingå. Om a, b, x, y beteckna linier, så är t. ex. eqvationen

3 axs + 5 by3 — a* Z>2 == 0

homogen; ty insätter man här i stället för nämda qvantiteter ma, mb, mz, my, erhålla alla termer en gemensam faktor m 4 , och då denna divideras bort, blir eqvationen i sjelfva verket oförändrad.

9

Om en eqvation icke är homogen, eger den geometrisk betydelse endast under förutsättning, att en viss längd tages till enhet. Sätter man exempelvis a — 1, kan föregående eqvation skrifvas

3a,« + 5% 3 — b' = 0 och den upphör att vara homogen. Men i dylika fall åter-ställes homogeniteten lätt genom att i hvarje term införa en passande dignitet af den förutsatta längd-enheten.

Efter dessa korta antydningar rörande beskaffenheten af de eqvationer, som i analytiska geometrin komma i användning, gå vi nu att visa, huruledes man analytiskt utmärker de motsatta rigtningar, i hvilka en geometrisk storhet, linie eller vinkel, kan tagas.

3. Om en punkt rör sig efter en rät linie XX', så kan denna rörelse ske i tvänne motsatta rigtningar, antingen från X till X eller från X till X'. För att åtskilja dem från hvar andra använder man tecknen + och —, i det man med + a betecknar en längd a, beskrifven i den ena rigtningen, t. ex. från X' till X, samt med — a en lika stor längd, beskrifven i den motsatta rigtningen. Af sjelfva dessa rigtningar kalla vi för korthetens skull den förra posit iv , den sednare negativ.

Antaga vi, att punkten ursprungligen befinner sig i O och efter hand beskrifver vägarna O A = + «, AB = + b, BC = — c, CD = — d, . . ., hvarvid tecknen antyda rörelsens rigtning, så uttrycker den algebraiska summan af de särskilda vägstyckena, tagna med deras tecken

a + b — c — d ... tydligen punktens slutliga afstånd från O åt den positiva eller negativa sidan, allt efter som denna summa är positiv eller negativ.

i. Vinkeln imollan F i g - 1-tvänne räta linier XX', YY' ar så till vida tvetydig, som dermed kan menas antingen den spetsiga vinkeln XOY eller den trubbiga vinkeln XOY. Men denna tvety-

10

dighet försvinner, så snart man bestämmer den rigtning, i hvilken hvardera linien skall tagas. Bigtningarna OX, OY göra med hvar andra vinkeln XOF, rigtningarna OX', OY formera vinkeln XOY, o. s. v. För att äfven i fråga om vinklar införa en större precision i uttycken, tänka vi oss en radie af obestämd längd, som vrider sig omkring punkten O. Denna vridning kan ske antingen från höger till venster (motsols), eller från venster till höger (mcdsols); i förra fallet benämna vi vridningen pos i t iv , i sednare fallet negativ, samt beteckna med + v en vinkel v beskrifven af den rörliga radien genom en positiv vridning och med — v en lika stor vinkel beskrifven genom en negativ vridning. Den vinkel rigtningen OY gör med en gifVen rigtning OX, bestämmes då fullständigt genom den positiva eller negatira vridning, hvar igenom den rörliga radien från läget OX öfverföres till läget OY. Om radien från det ursprungliga läget OX efter hand beskrifVer åtskilliga vinklar + v, — v', + v", — v'", . . . , hvarvid tecknen angifva vridningens rigtning, så uttrycker den alge-braiska summan

v — v' + v" — v'" . . . den vinkel radiens slutliga läge gör med rigtningen OX åt öfra eller nedra sidan, allt efter som denna summa är positiv eller negativ.

Anm. Parallela räta linier betraktas i analytiska geometrin såsom linier, hvilka T a k a s på oändligt afstånd och göra med hvarandra en vinkel = 0.

5. Om projektioner. —Med projektion af en punkt A på en rät linie XX' förstås ändpunkten A' af den per-pendikel, som från A falles emot XX'.

Projektion af en rät linie AB på en annan odetermi-nerad rät linie XX' kallas den dol A'B' af sist nämda linie, som inneslutes imellan de perpendiklar, hvilka mot den samma fällas från ändpunkterna af den först nämda linien. Längden af denna projektion erhålles, om längden af AB multipliceras med cosinus för vinkeln imellan båda liniema. Ty om AM dragés parallel med XX', har man tydligen

1 1

A'B' = AM = AB cos BAM och vinkeln BAM är lika stor med den vinkel, som AB gör med linien XX.

Men det är ofta nödigt att närmare bestämma icke blott längden utan äfven rigtningen af en linies projektion. Till vinnande af fullkomlig tydlighet i detta afseende må vi åter tänka oss en punkt, som Pig- 2. rör sig utefter linien AB. Allt B ©fter som denna rörelse sker frän | \

sig punktens projektion i positiv ^T^~~ ristning från Ä till B\ eller i v , „ negativ rigtning från B' till A'. A

I förra fallet säger man, att liniens projektion är positiv (= +A'B'), i det senare fallet att den är negativ ( = —A'B'). Linien AB har således en positiv eller negativ projektion på XX, allt efter som den tages i rigtningen från A till B, eller i den motsatta rigtningen från B till A.

Om man nu genom A och B drager linier AM, BN parallela med den positiva rigtningen af X'X, så äro BAM och ABN de vinklar, som rigtningarna AB och BA göra med X'X; dessa vinklar äro hvar andras supplement och hafva således lika stora cosinus, men af motsatt tecken. Nu är AB cos BAM=A'B'= projektion af AB, och följaktligen AB cos ABN=—ÄB'= projektion ai BA, hvar-vid bokstäfvernas ordning (AB eller BA) antyder den rigtning, i hvilken linien bör tagas. Här igenom erhålles följande sats:

En rät linies pro jekt ion på en annan rät l inie erhålles såväl till s tor lek som tecken, när den förras längd mult ipl iceras med cosinus för den vinkel , som dess r igtning gör med den p o s i t i v a r i g t n i n gen af den senare l inien.

6 . Betrakta vi nu en sluten polygon ABGDA och föreställa oss, att en punkt utgående från A genomlöper dess perimeter, så beskrifver punkten hvarje sida af polygo-nen i on viss rigtning, och hvarje sida erhåller således en

A till B eller från B till A, rör A C

1 2

bestämd positiv eller negativ projektion, hvilken omedelbart representeras af den positiva eller negativa väg, som den rörliga punktens projektion tillryggalägger. När punkten återkommit till A, har dess projektion återkommit till A\ efter att hafva beskrifvit de positiva vägarna A'B', B'C samt de negativa vägarna G'D, D'Ä, hvilka upphäfva hvar-andra. Alltså:

Om en sluten p o l y g o n proj ioieras på en rät l inie, är summan af sidornas pro jekt ioner lika med noll.

Man har således, om a, b, e, . . . beteckna polygonens sidor och «, /?, j , . . . de vinklar de samma, tagna i den genom punktens rörelse bestämda rigtningen, göra mod den positiva rigtningen af X'X, eller med de linier, som genom vinkelpunkterna A, B, G, . . . dragas parallelt med denna rigtning,

a cos a + b cos j3 + c cos y + . . . = 0. Betrakta vi åtor tvänno af räta linier sammansatta

vägar ABG och ADC, som förena tvänne punkter A och C, samt en punkt, som från A rör sig till G följande den ena eller den andra af dessa vägar, så finna vi, att dess projektion i hvardera fallet beskrifver samma väg ÄG'. De brutna linierna ABG och ADG hafva således samma projektion A'G\ som den räta linie, hvilken omedelbart sammanbinder ändpunkterna A och G. Häraf följande sats:

För po lygoner med samma ändpunkter är summan af sidornas projekt ioner densamma.

Vi foga härtill tvänne teorem, hvilkas sanning omedelbart inses:

Parallela och lika stora räta l inier hafva lika stora pro jekt ioner och af samma el ler motsatt tecken allt efter som de tagas i samma eller motsatt rigtning.

En rät linies pro jekt ioner på tvänne parallela räta l inier äro lika stora och af samma eller motsatt tecken, allt efter som sist nämde linier tagas i samma eller motsatt rigtning.

13

I allmänhet är projektionen af en rät linie på en annan desto mindre, ju större vinkel linierna göra med hvar andra. Om denna vinkel är noll, det är om linierna äro parallela, så är projektionen lika stor med sjelfva den pro-jicierade linien; men projektionen är noll, om linierna äro vinkelräta mot hvarandra.

A N D R A K A P I T L E T .

Om punkten. 7. Rätl iniga koordinater . — För att bestämma

läget af en pimkt P i ett plan, hänför man den samma vanligen till tvänne fasta räta linier eller axlar XX', TT. Den punkt O, der dessa skära hvar andra, kallas or igo (begynnelsepunkt). På hvardera Fig. 3 . axeln åtskiljer man tvänne rigt-ningar, af hvilka den ena (OX, OT) anses positiv och den andra (OX, OY') negativ.

Drager man genom P räta li- "XT nier PM, PN patfallela med axlarna och bestämmer afstånden från origo till de punkter M, N, der dessa linier råka axlarna, så blifver punkten P här igenom till läge bestämd. Afstån-det OM taget med tecknet + eller —, allt efter som M faller till höger eller venster om origo, kallas abskissa för punkten P och betecknas med x; afståndet ON taget med tecknet + eller —, allt efter som punkten N faller öfver eller under origo, kallas ordinata för punkten P och betecknas med y. Abskissan och ordinatan, hvilka till sammans bestämma punktens läge, kallas med gemensamt namn dess rätliniga eller paral le l -koordinater . Linien XX benämnes ab-skiss- eller x-axel, linien TT ordinat- eller 7/-axel, och båda med gemensamt namn koord inat -ax lar .

14

Dessa axlar formera fyra vinklar XOY, YOX', X'OY\ Y'OX, som benämnas den första, andra, tredje och fjerde axelvinkeln. För en punkt belägen i den första axelvinkeln äro koordinaterna * och y båda positiva; i den andra axel vinkeln är x negativ, y positiv; i den tredje x och y båda negativa, i den fjerde x positiv, y negativ. Koordinaterna x = — 2, i / = + 3 tillhöra således en punkt «-andra, koordinaterna » = + 5, y = — 7 en punkt i fjerde axelvinkeln, o. s. v. En punkt, livars koordinater äro x och y} betecknas i det följande för korthetens skull med (x, y).

Emot hvarje system af värden, som man tilldelar koordinaterna * och i / , svarar en bestämd punkt. G-ifver man åt x och y alla möjliga positiva och negativa värden, eller, med andra ord, låter man * och y variera från — oo till + oo, så erhållas efter hand alla punkter i planet.

De fasta axlarne XX\ YY' kunna göra med hvar andra antingen räta eller sneda vinklar och punkten P följaktligen till sitt läge bestämmas antingen genom rätvinkliga eller genom snedvinkliga koordinater. I det rätvinkliga koordinatsystemet utgör abskissan x och ordinatan y projektioner af afståndet OP på x- och y-axcln. Man kan då äfven säga, att x är punktens afstånd från y-axeln, och y dess afstånd från »-axeln, förutsatt att hvardera afståndet tages med tillbörligt tecken, såsom ofvanför är förklaradt.

8. Polära koordinater. — Man plägar äfven stundom bestämma läget af en punkt P (fig. 3) genom dess afstånd r = OP från en fast punkt O, som får namn af pol, och den vinkel v = POX, som detta afstånd gör med en fast axel OX. Qvantiteterna r och v, af hvilka den förra kallas radius vector , utgöra polära koord inater för punkten P. Mot hvarje par värden för r och v svarar en bestämd punkt, och man erhåller efter hand alla punkter i planet, då man låter v variera från 0 till 360° samt r från 0 till + oo.

Till fixerande af en punkts läge i .ett plan erfordras i allmänhet tvänne bestämningsstycken, och dessa kunna väljas på oändligt mänga sätt. Men bland de otaliga koordi-

15

natsystem, som sålunda kunna tänkas, äro de hittills om-nämda rätliniga och polära systemen de enklaste, hvar-för de äfven hufvudsakligen och nästan uteslutande användas i analytiska geometrin.

9 . P r o j e k t i o n e r af en punkts koordinater. — OX, OY (fig. 3) äro tvänne rät- eller snedvinkliga koor-dinat-axlar, P en punkt, hvars koordinater vi beteckna med so, y, och OL en rät linie, hvars rigtning bestämmes genom de vinklar a = LOX, fl — LOY den samma gör med koor-dinat-axlarnes positiva rigtningar. Genom P draga vi räta linier parallela med OX, OY och föresätta oss att bestämma projektionerna på OL af de stycken OM, ON dessa linier afskära af koordinat-axlarna.

Antaga vi först, att punkten P faller till höger om i/-axeln (i första eller fjerde axelvinkeln), så är OM= + x, vinkeln MOL = a och således projektionen af OM på OL = x cos a. Faller derimot P till venster om ^/-axeln (i andra eller tredje axelvinkeln), OM = — x, vinkeln MOL = = 180° — a och projektionen af O M = — a ; c o s ( 1 8 0 ° — « ) = = + x cos «. Projektionen af OM på OL uttryckes således i hvardera händelsen genom x cos a.

Hvad ON beträffar, måste vi särskilja de fall, då P ligger på öfra eller nedra sidan om »-axeln. I förra fallet är ON = + y, vinkeln •> NOL — /3 och projektionen af ON på OL följaktligen = y cos /9; i det senare fallet ON=—y, vinkeln NOL = 180° ~' j3 och projektionen af ON = — y cos (180° — /?) = + y cos /?. Projektionen af ON på OL uttryckes således i hvardera händelsen med y cos /?.

Då nu MP är parallel och lika stor med ON och dessa linier således hafva lika stora projektioner (§ 6), så uttrycker summan x cos a -f y cosy9 i hvarje händelse (d. ä. i hvil-ken axelvinkel punkten P än må befinna sig) projektionen af koorduiatpolygonen OMP på rigtningen OL. A andra sidan veta vi (§ 6) att den brutna linien OMP har samma projektion som räta linien OP. Här igenom erhålles följande vigtiga teorem:

Om afståndet från origo til l en punkt (x, y) pro-

16

j ic ieras på en rät l inie, som med koordinat -ax larna gör vinklarna «, /?, b l i fver pro jekt ionen ti l l s tor lek och tecken uttryckt genom x cos a + y cos /5.

Vi hafva antagit, att linien OL går genom origo; men äfven om detta ej vore fallet, gäller nyss nämde sats, emedan projektioner på parallela linier äro lika stora (§ 6).

10. Koord inaters transformation. — Så benämnes det problem, i hvilket man förutsätter sig att finna ömsesidiga relationer mellan koordinaterna för en och samma punkt i skilda koordinatsystem. Härvid förekomma hufvud-sakligen följande tre händelser:

l:o Flyttning af origo. — Låt x(=OM), y (= MP) vara koordinaterna för en punkt P i det rätliniga systemet OX, OY, och antagom att detta system flyttas parallelt med sig sjelf till en punkt O', hvars koordinater må betecknas med a(=OL), b (= LO'); det begäres att finna koordinaterna x'(= O'M'), y'{=^Il'P) för punkten P i det nya systemet.

Der igenom att ?/-axeln flyttas från OY till O' Y\ minskas abskissan för punkten P med a; den nya abskissan är således x'= x — a. Genom flyttning af »-axeln

—X'från OX till 0'X' minskas ordinatan med x l, och den nya ordinatan blifver y'= y — b.

Man har alltså mellan de ursprungliga

Fig. 4.

Yl

o> M L .

O L M

och de nya koordinaterna följande relationer x'—x — a] x = x' + a\ , 1, eller y = y — M y = y +W

som gälla för hvilka positiva eller negativa värden som helst af koordinaterna.

2:o Förändring af axlarnas rigtning. — Vi skola här endast sysselsätta oss med öfver-gången från ett rätvinkligt koordinatsystem OX, OY till ett annat rät-eller snedvinkligt system OX', OY' med samma origo. Koordinaterna {OM, MP) för punkten P i det

Fig. 5.

17

förra systemet beteckna vi med as, y och koordinaterna (OM, M'P) för samma punkt i det andra systemet med as', y'. Till bestämningen af det senare systemet hör, att man känner de vinklar de nya axlarna OX', OY' göra med den" ursprungliga abskiss-axeln OX; vi vilja beteckna dessa vinklar med « ocli /?, nämligen a = XOX, ft — XOY, hvarvid. a och /? anses positiva eller negativa, allt efter som de förutsätta en positiv eller negativ vridning af OX; (§ 4). De vinklar de nya axlarna göra med OY äro då a—90°, J3—90°, såframt man öfverenskommer att äfven anse dem såsom positiva eller negativa, allt efter som de motsvara en positiv eller negativ vridning af OY.

För att erhålla as och y uttryckta genom x' och y' be-höfver man nu endast jämföra projektionerna af räta linien OP och brutna linien OMP på OX och OY. Projektionerna af afståndet OP på OX och OY äro helt enkelt se och y. Hvad åter den brutna linien OMP beträffar, är dess projektion på OX as' cos a + y' cos /9 och på OY x' cos (a —90°) + y' cos (ft — 90°) = x' sin « + y sin /?, emedan OX gör vinklarna a, /9 och OY vinklarna a — 90°, /? —- 90° med koordinat-axlarna OX', OY' (§ 9). Man har således

x = x cos a + y' cos /9, y = x sin a + y' sin /?.

Genom att turvis* eliminera x och y' mellan dessa eqva-tioner erhålles

assin/9— y cos/? = as'(sin/? cos « — cos /Jsiua) = as'sin(/9—a), —x sin a + y cos a = y'(sin/? cos a—cos/?sina) = y' sin (/?—a). Men /?—a är lika med vinkeln XOY' mellan de nya koordinat-axlarna; kallas denna vinkel e, har man alltså

, x sin/9 — y cos j3 sin ö

, — x sin a + y cos a « = : : . 3 s i n e

Äro båda koordinat-systemerna rätvinkliga, så är /? = 90° + a, e = 90° och nyss nämda formler förenklas till

x~% cos a — y' sin a, as' = x cos a + y sin a, y ~x' sin a + i/' cos a. y' = — x sin a + y c o s

Lind elit/, Geometri. 2

18

3:o Öfvergång från rätl iniga til l polära koordi nater och tvärt om. — Läget af punkten P (fig. 3) bestämmes å ena sidan genom parallel-koordinaterna x = OM, y = MP, å andra sidan genom de polära koordinaterna r = OP, v = POX. Antaga vi först, att koordinat-axlarna äro vinkelräta mot hvar andra, så gifVer triangeln POM, som då äfven är rätvinklig,

x — r cos v, r = V x1 + y7,

y = r sin v, tang v = —.

För att erhålla de motsvarande formlerna för parallel-koor-dinater i allmänhet, då axel vinkeln e = XOY kan hafva hvilket värde som helst, projicierar man afståndet OP samt den brutna linien OMP först på axeln OX; projektionen af OP är r cos v, projektionen af OMP är enligt § 9 x + y cos *, emedan »-axeln gör vinkeln 0 och y-axeln vinkeln e med linien OX. Då nu dessa projektioner äro lika stora (§ 6), har man alltså

r cos v == x -+• y cos n. Projicierar man samma linier OP, OMP på en mot «-axeln vinkelrät linie och observerar, att denna linie gör med OP vinkeln 90°—v samt med x- och y-axlarna respective vinklarna 90° och 90° — e, erhålles å andra sidan r cos (90° — v) — x cos 90° + y cos (90° — e), det är

r sin v = y sin f>. När sist nämda formler upphöjda till qvadrat adderas till hvar andra och dervid iakttages, att sin* v + cos 1 v = 1, sin2 e + cos* H — 1, finner man

r 2 = a ; * + 2xy cos e + y1. Dividerar man åter don senare formeln med den föregående samt erinrar sig att S m = tang v, erhålles ° cos v

y sin e tang v — —~ x + y cos t De polära koordinaterna r och v äro sålunda uttryckta genom de snedvinkliga x och y. Genom samma formlers upplösning i afseende på * och y skulle man omvändt erhålla sist nämda koordinater uttryckta genom r och v.

19

11. Afståndet mellan tvänne punkter. — Den n y s s anförda formeln rt=xi+2xy cos 9+y' eller

r=y x* + 2xy cos 8 + y1

uttrycker afståndet från origo till en punkt P, hvars koordinater äro x, y i ett system med axelvinkeln 6. Föi rätvinkliga koordinater är e—90°, cose = 0 och således

r=Vx*+y*. U r dessa formler kan man lätt härleda

afståndet d mellan hvilka två punkter som helst, P, P', hvilkas koordinater «, y och x', y' äro gifna. Tages nämligen P till origo

, för ett nytt koordinat-system, i hvilket axlama äro parallela med do förra, blifva de nya koordinaterna för P' (§ 10, l:o) x'— y'—y. Afståndet d mellan punkten P' och det nya origo P blifver således, under antagande af sned-vinkliga axlar, hvilka med hvar andra göra en vinkel 6,

d = V (g)' — x f + (y1 — y y + 2(x' — xTW— V) cos e; och denna formel reduceras till

d = V (af — vy + y — yy, för 6 = 90°, det är om koordinaterna äro rätvinkliga.

12. At t finna koordinaterna för en punkt, som delar en rät l inie i ett bestämdt förhållande. — P' och P" äro tvänne punkter, hvars koordinater x', y och x", y" äro gifna, och P en tredje punkt, som delar afståndet FP" i det förhållande, att

PP : PP" = m :n; man önskar veta koordinaterna x, y för punkten P.

Drager man genom nämda tre punk- F i g 7. t e r räta linier parallela med koordinat-a x l a r n a , så blifva dessa axlar skurna i s a m m a proportion som linien P' P". Man W h a r således äfven N

MM : MM" — m : », N' M ' : NN" = m:n.

Enligt figuren är MM' = x — x', o w MM"'

20

MM" = %" — x, och dotta inträffar hvarje gång rigtningen P P " gör en spetsig vinkel med »-axelns positiva rigtning. "Vore der iniot vinkeln mellan i fråga varande rigtningar trubbig, blefve — MM = x — x\ — MM' = x"— x. Likaså finner man, att NN' = y— ?/, NN" = y"— y, eller också — NN' — V — y'i — NN" = y" — i / , allt efter som P'P" gör en spetsig eller trubbig vinkel med ^/-axeln. I hvarje händelse har man således

* — «': x" — x = m : n, V — '/'- y" — y= m:n,

hvaraf mx" 4 - nx mv" + ny'

(1) x = , y = — —• m + 11 m + n

Vore m = n, d. v. s. låge punkten P midt på linien P'P", blefve

x' + x" y' + y" * = - 2 — ' » = — 2 — '

hvaraf synes, att koordinaterna för midten af en begränsad rät linie utgöra aritmetiska medier af ändpunkternas motsvarande koordinater.

Låtom oss nu betrakta det fall, då punkten P (x, y) ligger utom punkterna P' och P", på förlängningen af linien P' P" antingen åt P' eller åt P" och på sådant afstånd, att P P ' : PP" = m : n. Man finner då i hvardera händelsen

x — x : z — x" — m : n, y — y '-y — y" — m '•w>

hvaraf mx" — nx' my" -— ny'

(2) x= , y = -m — n m — n

Dessa formler skilja sig från (1) ondast der igenom, att koefficienterna för x och x" der hafva samma, men här olika tecken.

13. Geometriska orter. — En punkt är bestämd till sitt läge, när man känner dess koordinater. Dessa kunna vara gifna antingen omedelbart, eller genom tvänne eqvationer, som först måste upplösas. I senare fallet erhåller man efter cqvationernas gradtal ett eller flere par

21

värden på koordinaterna, hvar igenom i allmänhet en eller f i e r e punkter blifva bestämda.

Men om endast en eqvation vore gifven mellan koordinaterna för en punkt, blefve denna icke fullständigt bestämd. Man kunde nämligen då taga värden efter behag p å den ena koordinaten och ur eqvationen härleda motsvarande värden på den andra. En sådan eqvation med-gifver således ett oändligt antal lösningar, af hvilka hvar o c h en, såvidt den är reel, bestämmer en punkt i plan e t . Låter man den ena koordinaten variera kontinuer-ligen eller genom oändligt små differenser, äro de successiva förändringarna af den andra koordinaten äfven i allmän-

' h e t oändligt små; de punkter, som sålunda erhållas, bilda alltså e n oafbruten följd eller linie. En eqvation mellan en punkts koordinater representerar således i allmänhet en linie, o c h man säger då, att denna linie utgör geometrisk o r t (eller blott ort) för den i fråga varande punkten.

Undantagsvis kan likväl hända, att eqvationen har ing e n , eller blott ett ändligt antal reella lösningar; i förra fallet har den ingen geometrisk betydelse, i det sednare betecknar den ett antal isolerade punkter.

E x e m p e l . E q v a t i o n e n

x 2 + y2 = — a 2

k a n e j satisfieras af n å g r a reel la v ä r d e n för x och y, e m e d a n v e u s t r a

m e m b r u m , s å s o m s u m m a a f t v ä n n e qvadrater , a l l t i d b l i fver p o s i t i v , u n d e r

det h ö g r a m e m b r u m ä r n e g a t i v . D e n hav således i n g e n g e o m e t r i s k b e t y

d e l s e . E q v a t i o n e n

x 2 + y1 = 0

t i l lå ter i n g i a n d r a reel la v ä r d e n för de o b e k a n t a ä n x = 0 , y = 0 ; den

representerar f ö l j a k t l i g e n e n enda p u n k t , n ä m l i g e n o r i g o . D e r i m o t s a t i s

fleras e q v a t i o n e n

x2 + y* = a 2

u n d e r f ö r u t s ä t t n i n g a f e t t r ä t v i n k l i g t s y s t e m , af koordinaterna för h v a r j e

p u n k t , h v a r s a f s t å n d från o r i g o ä r a; d e n förestä l le t s å l e d e s e n c irke l b e

skri fven o m k r i n g o r i g o m e d radien a.

Omvändt har hvarje efter en gifven lag konstruerad l i n i e s i n eqvation, hvilken uttrycker det allmänna samband e t emellan koordinaterna för hvilken punkt som helst på l i n i e n , o c h s o m kan härledas u r liniens geometriska defin i t i o n . En linie kallas algebraisk eller transcendent

22

efter beskaffenheten af dess eqvation i rätliniga koordinater. De algebraiska linierna äro åter af första, andra, tredje graden, o. s. v.

Liniers föreställande genom eqvationer \vtgör grundvalen för analytiska geometrin in piano. De frågor, som dervid förekomma, äro af tvänne slag: l:o att härleda eqvationen för en linie ur dess geometriska definition, 2:o att undersöka beskaffenheten af en linie, hvars eqvation är gifven.

T r e d j e K a p i t l e t .

Om r ä t a linien. 14. Orten för en punkt, mellan hvars koordi

nater en eqvat ion af första graden ogcr rum. — Den allmänna formen för en eqvation af första graden med två obekanta x, y är

(1) Ax + By + G = 0, der koefficienterna A, B, C i allmänhet kunna hafva hvilka bestämda värden som helst. Dock må här genast anmärkas, att A och B ej kunna vara på en gång noll, emedan man då borde hafva jämväl C = 0 och eqvationon således skulle försvinna. Upplöst i afseende på y gifver den samma

A C y = - B x - B '

och om man här för korthetens skull sätter

erhålles

y = mx + b. För C = 0 förenklas denna eqvation till y=*mx, för A=Q blifver den samma y = h. Vore B = 0, skulle eqvationens upplösning i afseende å y ej mera vara möjlig; men i detta fall gifver eqvationen (1) ett bestämdt värde för x och an-

23

tager formen x = a. Vi skola särskildt undersöka don geometriska betydelsen af de fyra eqvationerna x = a, y — 6, y — mx, y = mx + b, som utgöra speciella fall af den allmänna eqvationen af första graden.

Eqvationen x = a föreställer hvarje punkt, hvars ab-skissa är a, hvilken än dess ordinata må vara, det är hvarje punkt på en med y-axeln parallel rät linie, som skär »-axeln på afståndet a till höger eller venster om origo, allt efter som <*. ax positiv eller negativ; % = a är således eqvationen för en sådan rät linie. Eqvationen y = b representerar likaledes en med »-axeln parallel linie, som skär y-axeln i en punkt, hvars ordinata är b. När a och b försvinna, blifva dessa eqvationer * = 0, y = 0; den förra föreställer sjelfra 3/-axeln, den senare sjelfva »-axeln.

F ' g - «• Eqvationen y = mx, eller y 2 - = m föreställer ett system punkter M, M, M",..., hvilka äro så belägna, att förhållandet mellan ordinatan och abskissan för hvar och en af dem är lika med m. Om m är positiv, hafva x och y samma tecken och punkterna ligga antingen i första

axelvinkeln, der båda koordinaterna äro positiva, eller i den trodje, der båda äro negativa. Drager man MP, MP, M'P" parallela med y-axeln och sammanbinder O med hvar och en af punkterna M, M, M", har man således

MP:PO = MP : PO = M'P" : P"0 = ..., hvaraf följer, att trianglarna OMP, OMP, OM'P", .. . äro likformiga och vinklarna vid O i de skilda trianglarna lika stora. Alla dessa punkter M, M, M", ... äro derför i en rät linie, som går genom origo.

När ra är negativ, finner man på samma sätt, att alla de punkter, hvars koordinater uppfylla vilkoret y—mx, äro belägna på rät linie, som går genom origo inom den andra

24

och fjerde axelvinkeln. Eqvationen y = mx representerar således i alla händelser en rät linie, som går genom origo.

För att slutligen finna betydelsen af eqvationen y — mx + b, jämföra vi henne med eqvationen y — mx. Man ser då, att de ordinator, som motsvara samma abskissor, skilja sig blott på den konstanta (oföränderliga) storheten b. För att konstruera eqvationen y = mx + i, har man derför endast att oftor tecknet för b öka eller minska alla ordinator för linien y = mx med konstanta längder MNy

MN', M"N", ... som äro lika med det absoluta värdet af b. De sålunda bestämda punkterna N, N', N", ... bilda tydligen en med MM" parallel rät linie.

Det är således bevist, att hvarje eqvat ion af första graden mellan x och y förestäl ler en rät linie.

15. Att finna eqvationen för en rät linie. — Om räta linien är parallel med y-axeln, hafva alla dess punkter samma abskissa a; dess eqvation är derför x~a. Likaså är y = b eqvation för en rät linie, som är parallel med »-axeln.

Låtom oss dernäst betrakta en rät linie MM" (fig. 8), som går genom origo. För alla punkter på denna linie är förhållandet mellan ordinatan och abskissan det samma. Betecknas detta konstanta förhållande med m och koordinaterna för hvilken punkt som helst på linien MM" med

v x, y, har man alltså ^ = m i e U e r

y = mx. Koefficienten m beror af liniens rigtning. När linien

faller inom första och tredje axolvinkoln, är m positiv, emedan x och y då hafva samma tecken •, faller linien der imot inom andra och fjerde axelvinkeln, hafva x och y olika tecken och m är då negativ. Om linien sammanfaller med »-axeln, är m = 0; om den sammanfaller med y-axeln, är m = co. i ör en rät linie, som halfverar vinkeln XOY, är m = } ; för en, som halfverar vinkeln X'OY, finner man m = — 1, o. s. v.

25

Det återstår att söka eqvationen för en rät linie NN", som har ett hurndant läge som helst i afseende till koor-dinat-systemet. Denna linie skär i/-axeln i en punkt B, hvars ordinata, antingen den är positiv eller negativ, må betecknas med b. Vidare beteckna vi med y koordinaterna för en punkt N tagen efter behag på linien NN". Genom origo draga vi en rät linie MM" parallel med NN" och genom N en linie NP parallel med 2/-axeln; ordinatan för den punkt M, der dessa linier skära hvar andra, är tydligen y — 6 och dess abskissa x. Men mellan ordinatan och abskissan för alla punkter på linien MM" finnes ett konstant förhållande; betecknas detta förhållande med m,

y — b har man - — m, eller y — b=mx, hvaraf

Då x och y här äro koordinater för hvilken punkt som helst på T ä t a linien NN", så är detta eqvationen för nämde linie. Vi se häraf, att hvarje rät linie kan representeras genom en eqvation af första graden mellan * och y.

16. Koeff ic ienternas betydelse. — I den senast funna allmänna eqvationen för en rät linie y — mx + b förekomma tvänne konstanter m och b, som endast bero af liniens läge och hvijkas geometriska betydelse framgår af det redan anförda; b är nämligen ordinatan för den punkt, der räta linien skär i/-axeln, m åter betecknar det konstanta förhållandet MP : PO mellan ordinatan och abskissan för en linie MM", som genom origo dragés parallel med den gifna.

Kallar man <p den vinkel NAX, som linien gör med se-axeln, räknad från »-axelns positiva rigtning uppåt, samt e vinkeln XOY mellan koordinat-axlarna, så är i enlighet härmed

(2) y = mx + b.

m — MPBO sin O AB PO OA~&TORÄ'-

det är

(3) m = sm f sin {e — f)'

26

Häraf synes, att konstanten m endast beror af den vinkel tp, som räta linien gör med a-axeln. Onivändt kan denna vinkel beräknas, när koefficienten m är gifven. Föregående formel kan nämligen skrifvas

sin tp = m sin (e — tp) = m (sin e cos tp — cos e sin y>) eller

(l+m, cose) sin^ = m sin* cos tp;

dividerar man med cos w och observerar, att = t a n g « cosp ° r

erhålles häraf . « i sin 6 (4) tang tp = — .

r 1 + m cos d Emedan koefficienten m sålunda bestämmer räta liniens rigtning eller den vinkel, som räta linien gör med »-axeln, kallas den samma vinkelkoef f ic ient .

När axelvinkeln e är 90°, förenklas formeln (3) och gifver

sin w «i = £- = tangc»;

cosp r

i det rätvinkliga koordinatsystemet betecknar vinkelkoefficienten m således tangenten för den vinkel, som räta linien gör med as-axeln.

17. Parallela räta linier. — Tvänne parallela räta linier hafva samma vinkelkoefficient; ty då de göra lika stora vinklar tp med »-axeln, blifver enligt (3) värdet för m det samma för hvardera linien.

Omvändt äro tvänne räta linier parallela, när de hafva samma vinkelkoefficient, emedan formeln (4) då äfven gifver samma värde för vinkeln tp. Eqvationerna y = mx + b och y — m'x + b' föreställa således tvänne parallela räta linier, om m — m'.

För att i allmänhet undersöka, huruvida de räta linier, som representeras af tvänne eqvationer af första graden

Ax + By + G = 0, Äx + By + G' = 0, äro parallela, behöfver man endast upplösa hvardera eqvationen i afseende på y. Man finner då, att koefficienten

27

A A' för x blifver i den ena •, i den andra — =-„ och sluter -D B

deraf, att linierna äro parallela, om A_A[ B~B"

det är, om koefficienterna för * och y i den ena eqvatio nen förhålla sig såsom motsvarande koefficienter i den andra.

18. Bestämning af de punkter, i hvilka en rät l inie skär koordinat -axlarna. — Det enklaste sättet att konstruera en rät linie, hvars eqvation

Ax + By + G = 0 $r gifven, är att söka dess afskärningspunkter M, N med koordinat-axlarna. Då koordinaterna för hvarje punkt på linien måste satisfiera den gifna eqvationen, så gäller detta äfven om den punkt M, der linien skär »-axeln. Men i denna punkt är y = 0; eqvationen reduceras der igenom till Ax + G = 0 och gifver

G x =— ,

A som följaktligen är värdet för abskissan i punkten M. I den punkt N, der linien skär y-axeln, ar x = 0; eqvationen reduceras till By + C = 0 och gifver

0

såsom motsvarande värde för ordinatan. C C Om man för korthetens skull sätter a = -., b= — —, A B

C G hvaraf A= , B = — - T , samt inför dessa värden i stäl-a b let för A och B i eqvationen Ax + By + G = 0, erhålles

- * - % + C a b nas omflyttning

(5) - + ! = !• a b Detta är en ny allmän form för räta liniens eqvation,

som är att ställas vid sidan af de hittills begagnade eqva-

Gx Gy T- + G = 0, eller efter division med C och termer-a b

28

tionerna (1) och (2); a betecknar här abskissan för den punkt, der linien skär »-axeln, b ordinatan för den punkt.

der linien skär 2/-axeln, eller med andra ord, a och b äro de stycken, som räta linien afskär af koordinataxlarna, tagna med tecknet + eller—, allt efter som de falla i den positiva eller negativa rigtningen af hvardera axeln.

Nämnarena a och b kunna vara antingen positiva eller negativa. För linien MN är a = + OM, b = + ON; för linien MN är a = — OM, b = + ON; för MN' är a = — OM', b = —ON; för MN' är a = +OM, b= — ON'.

E x . 1. A t t k o n s t r u e r a den r ä t a l in ie , h v a r s e q v a t i o n ä r

3 x — hy + 8 = 0 .

8 8 F ö r y — 0 b l i f v e r x =— —; för x=0 finnes y = -p- D e n s ö k t a l i n i e n s k ä r

o o s å l e d e s a ;-axeln p å a f s t å n d e t t i l l v e n s t e r o m o r i g o s a m t «/-axeln p å a f-

o 8 v

s t å n d e t ö fver o r i g o .

E x . 2 . A t t finna e q v a t i o n e n f ö r d e n r ä t a l i n i e , s o m s k ä r a j -axe ln p å

a f s t å n d e t 5 t i l l h ö g e r o m o r i g o s a m t y - a x e l n p å a f s t å n d e t 7 u n d e r o r i g o .

— D e n s ö k t a e q v a t i o n e n ä r — — y = 1, e l l e r h y f s a d

7x— hy — 3 5 = 0 .

19. Bestämning af tvänne räta l iniers afskär-ningspunkt. — Låt

Ax + By + G = 0, A'x+B'y + C' = 0

vara eqvationerna för de båda räta linierna. Då afskär-ningspunkten tillhör hvardera linien, måste dess koordinater satisfiera hvardera liniens eqvation. För att bestämma denna punkt, har man således ondast att söka de värden for * och y, som på en gång satisfiera de båda uppgifna eqvationerna. Genom deras upplösning erhållas följande uttryck för af skärningspunktens koordinater:

29

BC — BO ~ AB' —A'B' V~ AB' —ÄB

Vore nämnaren AB' — ,4'P> = 0, blefve x och y oändliga, hvilket betyder, att linierna då skulle råkas på oändligt afstånd, d. v. s. vara parallela. Vi finna således för

A A' liniernas parallelism vilkoret AB' — ÄB — 0 eller ~ = ™;

B B det är samma vilkor, som på annat sätt härleddes i § 17.

20. VINK.EL.N. .MELLAN t T & N N E .xltaj^igigk. — Vi antaga här, att koordinat-axlarna äro rätvinkliga, att de båda liniernas L och L' eqvationer äro framstälda under formen

y = mx + b, y = m'x + &',

samt att tp och tp' äro de vinklar, som dessa linier göra med a>-axeln. Enligt § 16 är då

m = tang <p, m' = tang tp. Vinkeln v mellan de båda linierna är enligt figuren lika med tp' — tp; man har derför*)

GA' — G'A

tang v — tang {tp' — <p) =

det är

(6)

tang tp — tang tp 1 + tang tp tang <pfl

tang v - m — m 1 + mm''

hvar igenom vinkeln v kan beräknas, när koefficienterna m och m' äro gifna.

Anm. Vinkeln v kan alltid tagas mellan gränserna — 90° och + 9 0 ° och erhåller ett positivt eller negativt värde, allt efter som tang» är positiv eller negativ. I förra fallet

* ) E n l i g t b e k a n t a t r i g o n o m e t r i s k a f o r m l e r ä r n ä m l i g e n

s i n {tp — <p] s i n tp' c o s tp — cos tp' s i n tp c o s tp cos cp + s i n <p' s i n tp' t a n g {tp — y ) = -

COS (tp — tp) N ä r t ä l j a r e och n ä m n a r e d i v i d e r a s m e d cos tpcos tp, f å s h ä r a f

s in tp' s i n tp t a n g tp' t a n g ( p ' — f) = COS tp COS tp • t a n g fi

s in tp s in tp' 1 + t a n g tp t a n g tp' 1 T . ;

COS tp COS tp

30

motsvarar v en positiv, i senare fallet en negativ vridning af linien L omkring dess afskärning med L' (§ 4).

Om m = m', försvinner täljaren och formeln (6) gifver tang v = 0, hvaraf v = 0; linierna äro då parallela. Försvinner der imot nämnaren, det är om 1 + mm! = 0 eller

TO' — — — , blifver tmgv = co och v = 90°; linierna äro då

vinkelräta mot hvar andra. Täljaren och nämnaren kunna ej försvinna på samma gång, emedan produkten mm' nödvändigt är positiv, så ofta m = m'.

Och omvändt: om linierna äro parallela, så är tp — tp, och följakteligen m = m'; äro de vinkelräta mot hvarandra, så är f = 90° + tp, tang tp' == tang (90° + f) — — cotg tp —

— -—-—, det är m' = — — . Alltså: tang tp m Tvänne räta l inier äro parallela, när de hafva

samma v inkc lkoe f f i c i ont ; do äro v inkelräta mot hvar andra, när den enas v inke lkoe f f i c i ent är l ika med det r e c iproka (uppnedvända) värdet af den andras, taget med ombytt tecken.

Den förra delen af denna sats gäller äfven för sned-vinkliga koordinater, såsom af § 17 inhemtas; den senare der imot, som angår vinkelräta linier, har sin giltighet endast för rätvinkliga koordinater.

E x . A t t f i n n a v i n k e l n m e l l a n r ä t a l i n i e r n a 2 x — 3 ^ + 5 = 0 o c h 6x + y—4= 0 . O m d e g i f n a e q v a t i o n e r n a s ä t t a s n n d e r f o r m e n

y = !sx+~5' y = — §x + A> 2 2 0

finner m a n m = g-, m = — 6 , h v a r a f t a n g v = -g s a m t v = 6 5 ° 4 6 ' 2 0 " .

21. E q v a t i o n för en rät linie, som går genom en gifven punkt. — Den gifna punktens koordinater beteckna vi med y'. Enligt § 15 kan eqvationen för en rät linie alltid framställas under formen y = mx + b. Vi kunna således antaga, att denna eqvation representerar den sökta linien; det återstår då att, såvidt möjligt är, bestämma eller eliminera de obekanta koefficienterna m, b. Då nu enligt antagande y' äro koordinater för en viss punkt

31

på linien, måste de samma, insatta i stället för x och y, satisfiera den anförda eqvationen. Man har derför samtidigt

y == mx -(- b, y' --- mx'-\- b,

hvaraf (7) y — y' = m (x — x'),

en eqvation, som ännu gäller för hvilken punkt som helst (xi y) på den sökta linien och således i allmänhet representerar en genom punkten (x', y') gående T ä t linie.

I denna eqvation qvarstår ännu vinkelkoefficienten m fullkomligt obestämd, hvilket var att förutse; ty genom en gifven punkt kunna oändligt många räta linier dragas, hvilka med »-axeln göra olika vinklar.

Men denna obestämdhet upphör, om man tillägger ett nytt vilkor, såsom att räta linien skall vara parallel med eller vinkelrät mot en gifven rät linie y = m'x + V; i förra fallet är nämligen in — m', i det senare, under förutsättning af rätvinkliga koordinater, m — -,.

m 22. Eqvat ion för en rät linie, som går genom

två gifna punkter. — Låt x', y' vara koordinaterna för den ena punkten, x", y" för den andra, samt y = mx + b föreställa den sökta liniens eqvation. Denna eqvation måste då satisfieras, om man för x, y insätter antingen y' eller

y", och man har samtidigt y = mx + b, y' — mx + b, y"= mx" + b.

Mellan dessa tre eqvationer kunna de obekanta m och b elimineras och man erhåller en eqvation mellan x, y samt de gifna qvantiteterna y', x", y". För att verkställa i fråga varande elimination, subtraherar man den andra eqvationen från den första samt den tredje från den andra, hvar igenom erhålles

y — y' = m(x — x'), y'—y" = m(x'— x").

Af dessa nya formler gifver den senare

1

i

y' — v"

fn = , — -7 , j

hvarigenom den förra förvandlas till (8) y-y^-F^rX*-*),

som är den sökta liniens eqvation. Härvid förtjenar sär-skildt ihogkommas det värde vi funnit för vinkelkoefficienten m.

E x e m p e l . E q v a t i o n e n för en r ä t l in i e , som g å r g e n o m p u n k t e r n a 3 1

{ — - j , 1 ) och ( 2 , - g ) ä r e f ter v e r k s t ä l d h y f s n i n g

4cr + 2 2 y = 1 9 .

23. A t t finna eqvationen för en rät linie, som går genom tvänne gifna räta liniers afskärnings-punkt.

Detta problem kunde upplösas enligt § 21, sedan mån först enligt § 19 bestämt koordinaterna för afskärningspunk» ten. Men den sökta eqvationen erhålles utan en sådan ; omväg på följande sätt.

Om eqvationerna Ax + By + G = O, ' A'x + B'y + C' = Q

representera tvänne gifna räta linier X, L', så är (9) Ax + By + G + le (Äx + By + C') = 0

eqvationen för en rät linie, som går genom de båda först nämdas afskärningspunkt. Denna eqvation är nämligen af första graden och representerar således en rät linie; den satisfieras derjämte af de värden för x och y, som på en gång göra Ax + By + G = 0 och Äx + B'y + G' = 0, det är af koordinaterna för de gifna liniernas afskärningspunkt.

Den nya liniens rigtning beror för öfrigt af koefficienten &; när k erhåller olika värden, kan eqvationen (9) efterhand representera alla räta linier, som gå genom afskär-ningspunkten för linierna L och L'. Ty om eqvationen upplöses i afseende på y, finner man för vinkelkoefficienten m uttrycket

A + ItÄ

32

33

som genom lämplig bestämning af k kan erhålla hvilket värde som helst.

Ex. 1. Den sökta linien skall gå genom origo . — Eqvationen (9) måste då satisfieras af värdena x — 0,

Q 3/=0, hvilket förutsätter G + kO' = 0 och således k — —

Genom insättning häraf i samma eqvation fås (AC — AV) x + (BC — B'G) y = 0.

Ex. 2. Den sökta l inien skall vara parallel med A

*-axeln. — Vilkoret m = 0 gifver A + hA' = 0, k = -

eqvationen (9) blifver således genom elimination af k (AB' — ÄB) y + (AC — A'G) = 0.

A"

2 4 . Eqvat ion för en rät l inie, uttryckt genom dess vinkelräta afstånd från or igo , samt de vinklar, som detta afstånd gör med koordinat -axlarna. — En rät linie LL' är till sitt läge bestämd, när man känner längden af den perpendikel p = OP, som från origo fälles der imot, samt den vinkel a = POX, som denna perpendikel gör med a>axeln. Vinkeln / 9=POF, som samma perpendikel gör med y-axeln, är då äfven bekant, förutsatt att axelvinkeln e = XOY är gifven; ty man har tydligen J3= a—e. Båda dessa vinklar « och /? tagas i den bestämda mening, som i § 4 blifvit närmare förklarad.

Tager man på linien LL' efter behag en punkt H, hvars koordinater vi beteckna med x, y, och drager MN parallel med y-axeln, så uppkommer en bruten linie ONMP, hvars projektion på OP sammanfaller med sjelfva per-pendikeln p). Men projektionen af ONM uttryckes genom x cos a + y cos J3 (§ 9) och projektionen MP är noll; man har således p = x cos a + y cos ft, eller

(10) x cos a + y cos /9—j> = 0. Lindelöf, Geometri. Q

34

Denna eqvation beteckna vi framdeles såsom normalform för räta liniens eqvation. Den kan utan undantag föreställa hvilken rät linie som helst, under det att eqva-

tionerna y — mx + b och —-|-~= 1 blifva oanvändbara, den a b

förra om linien är parallel med y-axeln, den senare om linien går genom origo.

25 . Bestämning af p, a, fl. — Om eqvationen för en rät linie är gifven under hvilken form som helst

Ax + By + C = 0, kan man omvändt bestämma liniens afstånd p från origo och de vinklar a, fl, som detta afstånd gör med koordinat-axlarna. För samma räta linie gäller nämligen äfven eqvationen

x cos a + y cos fl — p = 0. Men för att båda dessa eqvationer verkligen må vara identiska, måste koefficienterna A, B, G i den ena förhålla sig såsom motsvarande koefficienter cos a, cos fl,—p i den andra och det måste finnas en så beskaffad faktor R, att den första eqvationen multiplicerad dermed erhåller samma koefficienter som den andra. Yi kunna derför sätta

[cos a = RA, (11) cos/? = E £ ,

I — P = BC; och det återstår numera endast att bestämma faktorn R.

Vanligen antager man, att koordinat-axlarna äro rätvinkliga, och då är fl = a—90°, cos fl = sin a samt

cos 8a + cos 2 /9= cos2a + sin s« = 1; man finner då, när nyss nämda värden för cos a och cos fl insättas, R2 (A* + B 2 ) = 1, hvaraf

(12) B = ± y = W .

I allmänhet, om koordinat-axlarna göra med hvar andra hvilken vinkel som helst e, är a — fl = e och man har relationen

35

cos s« + cos2/? — 2 cos a cos j3 cos e = sm'e. *) När man här för cos a och cos/9 insätter RA och RB, erhålles B 2 + B1 — 2 XBcoss ) = sin2ö, hvaraf

sin e (13) E = ± vj*-+=jji^~2 AB 6ÖB8

Sedan den faktor, hvarmed eqvationen Ax + By + G = 0 måste multipliceras för att bringas under normalformen, sålunda blifvit funnen, kunna a, fi och p beräknas genom formlerna (11). Den tredje af dessa formler, — p = RG, utvisar, att RG är negativ, det är att R bör tagas med motsatt tecken mot C, hvar igenom all tvetydighet i eqvationerna (12) och (13) försvinner.

26 . At t finna afståndet från en punkt t i l l en rät l inie. — Låt

* cos a + y COSYS — p — 0

Fig. 12.

T

vara eqvationen för en gifven rät linie L, framstäld under normalformen, *' y koordinaterna för en gifven punkt Q samt å det sökta afståndet mellan punkten och räta linien. Jag drager OP och QN vinkelräta mot L samt QM parallel med y-axeln; då är OP

=p och QN—3. Om nu den slutna polygonen OMQNPO projicieras på rigtningen OP, blifver summan af sidornas projektioner noll. Projektionen af OMQ är i hvarje hän-

* ) A f a — /? = e h ä r l e d e s n ä m l i g e n e f ter h a n d

cos a cos /? + s i n a s i n fi = cos e, s i n 2 a s i n 2 / ? = (cos e — cos a cos / ? ) 2

— c o s 2 # — 2 cos a cos /? cos e + c o s z a cos ' / ? .

A T /

1 / - 0 M

MEN

a l l t s å :

h v a r a f

s i n 5 a s in 2 / ? = ( 1 — c o s 2 a ) ( 1 — cos 2 / ? )

= 1 — c o s 2 a — c o s 2 ^ + c o s 2 a cos 2 / ?

1 — c o s 2 a — cos 2 / ? = cos 2«? — 2 cos a cos /? cos e,

c o s 2 a + cos 2 / ? — 2 cos a cos /? cos 6 = 1 — cos 2e = s i n 2 » .

36

delse*' cos a + y' cos fl; projektionen af QN är + d, om Q ligger på samma sida om linien L som origo, men — Si motsatt fall; projektionen af NP är noll och af PO lika med — p . Summan af alla dessa projektioner är

cos a + y cos fl ± d — p = 0, hvaraf

(14) + o = *'cos « + y' cos fl—p. Afståndet från en punkt till en rät linie erhålles såle

des, då man i venstra membrum af liniens eqvation, fram-stäld under normalformen, i stället för x och y insätter den gifna punktens koordinater. Den erhållna expressionen blir negativ eller positiv, allt efter som den gifna punkten och origo liggs, på samma sida eller på motsatta sidor om räta linien.

Qvantiteten x cos a + y cos / ?—p uttrycker sålunda, på tecknet när, afståndet från punkten (*, y) till den räta linie, hvars eqvation är x cos a + y cos fl —-p = 0.

2 7 . Är den räta liniens eqvation gifven under någon annan form

Ax + By + C = 0, kan den samma bringas under normalformen genom multiplikation med en viss konstant faktor B (§ 25); man har då cos a = BA, cos fl ~ BB, —p = BC, samt för hvilka värden som helst af * och y

x cos a + y cos fl — p = R (Ax + By + C). Enligt (14) blifver således afståndet från punkten (x, y') till den gifna räta linien

(15) + S = R (Ax' + By' + C). Angående tecknen gäller här samma anmärkning, som blif-vit gjord vid eqvationen (14).

1

För rätvinkliga koordinater är R = + 0 C f l s&~

ledes Ax' + By' + O (16) 9=±-Wt&-*'

d. v. s. det sökta afståndet erhålles, om man i venstra

37

membrum af liniens eqvation insätter den gifna punktens koordinater och dividerar resultatet med VA* + B*.

Man ser af eqv. (15), att afstånden från tvänne punkter (*', y'), (%", y") till en rät linie Ax + By + G = 0 förhålla sig såsom expressionerna Ax' + By' + G och Ax" + By" + G, samt att punkterna falla åt samma sida eller motsatta sidor om linien, allt efter som dessa expressioner hafva samma eller motsatta tecken.

I allmänhet är qvantiteten Ax + By + G propor -t ionel mot afståndet från den föränderl iga punkten (x, y) t i l l den räta linie, hvars eqvat ion i rät- e l ler snedvinkl iga koordinater är Ax + By + G = 0.

E x . 1 . A t t f i n n a a f s t å n d e t f r å n p u n k t e n ( — 1 , 2 ) t i l l d e n

r ä t a l i n i e , s o m s k ä r d e r ä t v i n k l i g a k o o r d i n a t - a x l a r n a p å a f

s t å n d e n — 3 och + 4 f r å n o r i g o . — R ä t a l i n i e n s e q v a t i o n ä r

( t e c k n e t — a n v ä n d e s , e m e d a n C ä r p o s i t i v ) . A f s t å n d e t f r å n en p u n k t

(a; , y) t i l l r ä t a l in ien u t t r y c k e s s å l e d e s i a l l m ä n h e t g e n o m ——?^_JL_1H — o

2

I n s a t t e s h ä r x = — 1 , y - 2 , finner m a n de t s ö k t a a f s t å n d e t = — - 7 - . D å

o

d « t t a v ä r d e ä r n e g a t i v t , f a l l e r d e n g i f n a p u n k t e n p å s a m m a s i d a o m r ä t a

l i n i e n s o m o r i g o .

E x . 2 D å t v å s i d o r a, b o c h m e l l a n l i g g a n d e v i n k e l C i e n

t r i a n g e l ä r o g i f n a , a t t f i n n a h ö j d p e r p e n d i k e l n h m o t d e n t r e d j e

s i d a n . — T a g e r m a n de t v å g i f n a s i d o r n a t i l l k o o r d i n a t - a x l a r , b l i f v e r

d e n t r e d j e s i d a n s e q v a t i o n

D e n s ö k t a p e r p e n d i k e l n ä r a f s t å n d e t f r å n o r i g o m o t d e n n a l in i e , h = Rab. D å a x e l v i n k e l n n u ä r C, finner m a n ( § 2 5 , ( 1 3 ) )

~ 2 + ^ = 1, e l l e r 4x — Sy + 1 2 = 0 .

H ä r ä r A = 4 , B = — 3 , 0 = 1 2 s a m t (en l . § 2 5 , ( 1 2 ) )

V l 6 + 9 5 '

— + j- = l e l l e r Ix + ay — ab = 0 .

R = s in C

Va2 + V 2 ab cos C och s å l e d e s

h = ab s in C

W 4 V - 2 2 ab cos C

38

28. ter.

F i g . 13.

En rät l inies eqvat ion i polära koordina-Räta linien L bestämmes till sitt läge i anseende

till polen O och axeln OX genom dess vinkelräta afstånd OQ=pfrån polen och den vinkel QOX — a, som detta afstånd gör med axeln. De polära koordinaterna för en punkt P på räta linien äro r = OP, v = POX. Då således vinkeln POQ är = v — «, erhålles af denjätvinkliga

triangeln POQ r cos (v — a) = p,

hvilken är den sökta eqvationen för räta linien. 29. Förkortadt beteckningssätt . — Vissa under

sökningar i analytiska geometrin blifva i väsendtlig grad underlättade och förenklade genom användning af ett förkor-tadt, så att säga symboliskt beteckningssätt för eqvationer. Detta inträffar exempelvis, då fråga är om linier, som gå genom en och samma punkt.

Om vi för korthetens skull med L beteckna ett tri-nom af första graden Ax + By + G och med L' ett annat dylikt trinom Äx + B'y + C\ så representera eqvationerna

L = 0, L' = 0 tvänne räta linier, hvilka vi helt enkelt benämna L och L'. Genom den dubbla betydelse, hvilken sålunda tilldelas bok-stäfverna L och I/ , kan ingen tvetydighet uppkomma, emedan det i hvarje fall måste vara tydligt, huruvida fråga är om en verklig qvantitet eller blott om benämningen för en linie. Af § 23 veta vi redan, att

L + kU = 0 då är eqvationen för en tredje rät linie, som går genom de båda först nämdas afskärningspunkt. Men det är nyttigt att öfvertyga sig härom äfven på ett annat, direktare sätt.

Eqvationen Ax + By + G = 0 reduceras till normalformen genom multiplikation med en viss konstant faktor E, beroende endast af koefficienterna A, B och vinkeln 8 mellan koordinat-axlarna. Qvantitoten B (Ax + By + G)

39

eller BL i och för sig betraktad uttrycker då (§ 27) vinkelräta afståndet från punkten (x, y) till linien L. Likaså uttrycker B' (Ax + B'y + G') eller B'L\ der K' är en viss annan konstant faktor, afståndet från punkten (x, y) till linien L'. Eqvationen L + hL' — 0 satt under formen

L 7 BL TcB L ^ - h 6 l l e r R L ^ ~ l t f

innebär således, att afstånden från den föränderliga punkten (as, y) till de båda räta linierna L och L' äro till hvar andra i ett konstant förhållande. Orten för denna punkt är tydligen en rät linie, som går genom afskärningspunk-ten för L och L'.

3 0 . Saken blir ännu enklare, om de båda räta linier-nas eqvationer från början äro framstälda under normalformen. Vi skola antaga, att x cos a + y cos / ? — p = O är eqvationen för den ena och * cos a + y cos /9'—p' = O för den andra linien, samt för korthetens skull beteckna dessa eqvationer med

4 = 0, A' = Q; A och A' uttrycka då omedelbart perpendiklarna från punkten (as, y) mot de båda linierna och eqvationen

A + kÄ = 0 representerar orten för alla de punkter, hvilkas afstånd från de båda linierna hafva till hvar andra ett konstant förhål-

lande = — det är en rät linie dragen genom de båda

gifna liniernas afskärningspunkt. Vill man äfven fästa afseende vid tecknen för A och

A', hvilket hittills ej varit nödigt, behöfver man endast erinra sig (§ 26), att om x cos a + y cos ft — p eller A är positiv, punkten (*, y) och origo falla på motsatta sidor om linien A, men att de falla på samma sida derom, när A är negativ. Det samma gäller om Ä. Om derför A och Ä hafva samma tecken, ligger punkten (as, y) inom samma af linierna A, A' bildade vinkel som origo, eller inom den motsatta, d. v. s. vertikal-vinkeln; men om A och A' hafva

40

olika tecken, ligger punkten (SE, y) inom någon af de båda öfriga vinklarna.

Att punkten (SE, y) är på lika afstånd från linierna Ay

A', uttryckes genom eqvationen A — A' = O,

hvilken således representerar den räta linie, som halfverar vinkeln mellan de båda linierna, nämligen den vinkel, i hvilken origo faller och dess vertikal-vinkel. Der imot uttrycker

A + A' = 0, att perpendiklarna äro lika men af motsatt tecken; denna senare eqvation betecknar följaktligen den räta linie, som halfverar de öfriga vinklarna mellan samma linier. Alltså: om -4 = 0 och A' = 0 äro eqvationerna för tvänne räta l inier under normalformen, så äro A — A' = 0 och A + Ä = 0 eqvat ioner för tvänne andra räta l i nier, som halfvera lutn ings -v inklarna mellan de båda först nämda.

3 1 . Tre räta linier skära hvar andra i en punkt, om mellan deras eqvationer L = 0, i ' = 0, L" = 0 en identitet eger rum

TtL + k'L' + k"L" = 0, så att en af dessa eqvationer kan härledas ur de båda andra. Ty på grund af denna identitet försvinner L" för de värden på x och y, som på en gång satisfiera eqvationerna L — 0 och L' = 0; eqvationen L" = 0 satisfleras således af koordinaterna för den punkt, der linierna L och L' skära hvar andra.

Denna sats erbjuder ett enkelt medel att undersöka, huruvida vissa räta linier skära hvar andra i en och samma punkt. Följande exempel tjena till närmare förtydligande af saken.

Ex. 1. Om a — O, 6 = 0, c = 0 beteckna eqvationerna för de tre sidorna i en triangel, framstälda under normalformen, så äro, under förutsättning att origo faller inom triangeln,

a — 6 = 0, 6 — c = 0, c — a = 0

41

eqvationerna för de linier, som balfvera vinklarna. Då nu summan af venstra membra i dessa eqvationer är identiskt noll, så är härmed bevist, att de räta linier, som half-vera vinklarna i en tr iangel , skära hvar andra i en punkt.

Ex. 2. I samma triangel beteckna i + e = 0 , c - f a = 0 räta linier, som halfvera tvänne yttre vinklar, samt a— & = 0 den räta linie, som halfverar triangelns tredje vinkel. Äfven dessa tre linier skära hvar andra i en punkt, emedan en af eqvationerna genom addition eller subtraktion kan härledas ur de båda öfriga.

Ex. 3. De tre höjdperpendiklarna i en tr iangel skära hvar andra i en punkt. — Ty om A, B, G resp. beteckna de vinklar, som stå mot sidorna a = 0, b = 0, c = 0 , så blifver exempelvis vinkeln A genom en af per-pendiklarna skuren i tvänne delar, som äro komplementer till B och G. Afstånden från en punkt på denna perpendikel till sidorna b och c förhålla sig således såsom cos G till cos B och perpendikelns eqvation är, under förutsätt-

b c ning att origo faller inom triangeln, t , = =, eller

cos O cos B b cos B — c cos C — 0. De tre perpendiklarna representeras alltså genom följande eqvationer

a cos A — b cos B = 0, b cos B — c cos (7 = 0, c cos G — a cos .4 = 0;

och då summan af dessa eqvationer är identiskt noll, så följer häraf, att de tre perpendiklarna skära hvar andra i en punkt.

Ex. 4. I hvarje triangel gå de räta l inier, som sammanbinda vinkelspetsarna med midterna af m o t stående sidor, genom en och samma punkt. — Perpendiklarna från midten af sidan c mot sidorna a och b förhålla sig såsom sin B till sin A. Eqvationen för den räta linie, som dragés genom C, så att den halfverar motstående

42

sida, är således . a , = , . och de tre halfveringslinier-sm B s i n i ° nas eqvationer äro

a sin 4 — b sin B — 0, 6 sin B •— c sin C = 0, c sin C — a sin A — 0.

Summan af venstra membra är identiskt noll; dc tre linierna skära hvar andra följaktligen i en punkt.

F j e r d e K a p i t l e t .

Om cirkeln. 32 . Cirkelns eqvation. — En cirkel är till storlek

och läge bestämd, om man känner dess radie r samt koordinaterna a = OD, b = DG för dess medelpunkt. Betecknas koordina-

• terna för en punkt P på cirkeln med x, y, så är enligt § 11, under antagande af rätvinkliga koor-dinat-axlar, afståndet GP = r =

X V(a; — a) 2 + (y — b)\ hvaraf (1) (x-a)'+(y-by = r\

hvilket är den sökta eqvationen för cirkeln. I denna eqvation ingå tre konstanter, a, &, r, hvilka

för olika cirklar hafva olika värden. Genom lämplig bestämning af dessa konstanter kan man derför åstadkomma, att cirkeln uppfyller tre förelagda vilkor, såsom t. ex. att dess periferi går genom tre gifna punkter, eller att den tangerar tre gifna räta linier, o. s. v.

Om medelpunkten ligger på »-axeln, så är dess ordinata 6 = 0 och cirkelns eqvation blifver

(x — ay + y* = r\ Yore der jämte a=r, så att periferin skulle gå genom

origo, blefve (x — r) a + y* = r s , eller utveckladt

43

y' = 2rx — xi, hvilket således är cirkelns eqvation hänförd till en diameter och en tangent såsom koordinat-axlar.

Ligger åter medelpunkten på y-axeln, så är dess ab-skissa a = 0 och cirkelns eqvation (1) förvandlas till

^ + (y — b)* = r\ Om slutligen medelpunkten sammanfaller med origo,

har man på en gång a = 0, b = 0 och följaktligen (2) . x' + y"- = r\

hvilket är den enklaste formen för cirkelns eqvation. Begagnas snedvinkliga koordinater, erhåller man för

en cirkel, hvars radie är r och hvars medelpunkt är (a, b), i stället för (1) en något vidlyftigare eqvation

(* — a) 5 + (y — by+ 2 (x — a) (y — b) cos B — r 2 , der e betecknar axelvinkeln; och denna eqvation reduceras till

x* + yi + 2*2/ cos e = r*, om medelpunkten sammanfaller med origo. I det följande skola vi likväl endast göra bruk af rätvinkliga koordinater.

33 . Cirkelns allmänna eqvation (1) antager genom qvadrat-termernas utveckling formen

x^ + y* — 2ax — 2by + a 2 + b2 — r 2 = 0 och innehåller således utom qvadratsumman x* + y* ej några termer af högre grad än den första i afseende på * och y. Omvändt gäller den satsen, att en eqvation af andra graden, i hvilken qvadraterna x2_ och y2 J\afva samma koefficient och produkten xy icke förekommer, således en eqvation af formen

(3) c(x* + y2) + dx + ey+f=0 i allmänhet föreställer en cirkel. Ty om man dividerar med

å% e 2

c och för qvadraternas komplettering tillägger j-j + -T-* till hvardera membrum, antager denna eqvation följande vitseende

och blifver således identisk med (1), när man sätter

44

(4) « = - d 6

'2c' d2+ e 2 — 4 c /

Fig. 15.

2c' ""' 2c' ' 4c 2

Häraf synes, att eqvationen (3) föreställer en cirkel, hvars medelpunkt och radie bestämmas genom de anförda värdena på a, b, r.

3 4 . Såsom en tillämpning af den i föregående § anförda teori framställes här följande problem:

Att finna orten för en punkt P, hvars afstånd från tvänne fasta punkter A och B äro t i l l hvar andra i ett konstant förhållande mm.

Tages A till origo och räta linien AB till »-axel, så äro koordinaterna för den rörliga punkten P x — AM, y — MP, och man har, då afståndet AB betecknas mod a, AP = V*' + y%, BP = V(»— aY + y*. Men enligt vårt antagande förhåller sig AP till

BP som m till n, följaktligen Vx^~+y~* m

V(x — ay + y*~^ eller genom bortskaffande af nämnare och rotmärken

(m 2 — n%) (x% + y3) — 2m*ax + m V = 0. Denna eqvation är af formen (3), hvarvid c = m 2 — n*, d — — 2m2a, e = 0, / = m 2 a 2 ; den representerar derför en cirkel, hvars medelpunkt (a, b) och radie r enligt (4) bestämmas genom formlerna

mna a = - 6 = 0, r =

m" — n" ' m* — n' Följaktligen är den sökta orten en cirkel, hvars medelpunkt ligger på linien AB. Medelpunkten faller till höger om B eller till venster om A, allt efter som m är större eller mindre än n, emedan a i förra fallet blifver positiv och större än a, i det senare negativ. De punkter G, D, i hvilka cirkeln skär »-axeln, finnas lätt, då man observerar,

45

att äfven för dessa punkter det gifna vilkoret m : n — GA : GB = DA : DB måste uppfyllas.

För m = n reduceras föregående eqvation till

— 2m ! «« + m V = 0, eller » = ^-

Orten för den punkt, som är på lika afstånd från A och B, sammanfaller således med den perpendikel, som halfverar linien AB.

35. Tangenten til l on cirkel. — Med tangent till en kroklinie förstås i allmänhet det gränsläge, hvartill en skärande rät linie (sekant) närmar sig, då afskärningspunk-terna mer och mer närma sig hvar andra, tills de sammanfalla.

Till förtydligande af denna definition må vi betrakta en kroklinie MN'N och en rät linie MN, som skär den samma i två punkter M och JV. Låter man den ena punkten H vara orörlig, under det den andra JV" flyttar sig längs krok-linien och närmar sig till M, så vrider sig sekanten MN omkring punkten M, hvar under den successivt pas

serar genom lägena MN, MN", o. s. v., samt närmar sig mer och mer till ett visst gränsläge MT, hvilket den uppnår i det ögonblick, då punkten N sammanfaller med punkten M. Linien MT, som utmärker detta gränsläge, säges tangera kroklinien i punkten M.

För att finna eqvationen för tangenten till en gifven kroklinie i en punkt M, har man derför att först söka eqvationen för en rät linie, som går genom två punkter JVf, N på kroklinien, samt att sedan tillse, hvad denna eqvation blir, när punkterna M och JV" sammanfalla.

"Vi skola nu enligt denna metod söka eqvationen för en rät linie, som tangerar cirkeln

se2 + y* = r 2

i en gifven punkt (%', y'). Eqvationen för en rät linie,

4 6

som går genom punkten (as', y') och en annan punkt (as " , y") på cirkeln, är enligt § 22

, y' — y", y — y = — — - / a ; — a s )

* y x' — x'K ' och vi hafva att undersöka hvad denna eqvation blir, då de båda punkterna sammanfalla, d. ä. för a s " = a s ' , y"=y'.

Vid första påseende tyckes resultatet blifva obestämdt, y' — y"

emedan vinkelkoefficienten —. '—, antager den obestämda as — x

formen -jj. Men denna anomali är blott skenbar och man finner utan svårighet det verkliga värdet af i fråga varande koefficient genom följande betraktelse.

Emedan (as' , y') och ( a s " , y") äro punkter på den gifna cirkeln, har man

a s " + y"1 =r% a s " 2 + ?/"2 = r 2.

Genom subtraktion erhålles x"-x"* + y"-y"* = (x'~x")(x' + as " ) + (y'-y") (y' + y") = 0, hvaraf

i — y"^ a s ' + as"

as' - as" y' + y"' När man nu gör x"—x\ y"=y\ förvandlas högra membrum

till — ~ r i = — s o m således är tangentens vinkelkoeffi-2y y

cient. Det återstår blott att insätta detta värde i stället v' —'/" för i sekantens eqvation, som da blir

y — y' = ~Xy' (* — *') och nu mera representerar en tangent till cirkeln i punkten (*', y')-

Denna eqvation kan ytterligare förenklas. Genom nämnarens bortskaffande och termernas omflyttning fås nämligen yy' — y^ + xx'— a s " = 0, eller xx' + yy' = x'* + y'%. Men a s ' 2 + i / ' 2 = r 2 ; således

(5) asas' + yy' = r 2 ,

47

hvilket är den enklaste formen för tangentens eqvation. Här beteckna y koordinaterna för tangeringspunkten och x, y de löpande koordinaterna, det vill säga koordinaterna för hvilken punkt som helst på tangenten. Men det förtjenar anmärkas, att man kan låta x, y och x', y' vexla betydelse, utan att tangentens eqvation (5) der igenom förändras.

Eqvationen för cirkelns radie i punkten (x', y'), det är för en rät linie, som går genom punkterna (0, 0) och (*',

y'), har till vinkelkoefficient %, hvilket är det reciproka var-

det af tangentens vinkelkoefficient med ombytt tecken. Häraf följer (§ 20), att tangenten är vinkelrät mot radien. Ur denna bekanta egenskap hos tangenten hade man omvändt kunnat härleda dess eqvation; men vi hafva föredragit att här genast uppställa en för alla slags kroklinier användbar metod.

36. Tangentkorda. — Från en punkt P utom cirkeln kunna tvänne tangenter PM, PN dragas till den samma; räta linien MN, som förenar de båda tangeringspunkter-na, kallas tangentkorda till punk- M ten P. Vi skola söka dess eqvation.

Om medelpunkten tages till origo, är cirkelns eqvation x3 + y* = r 2 och eqvationen för en tangent

(5) xx' + yy' — r*. Sist nämda eqvation måste derför satisfieras, om x', y'

äro koordinater för punkten P och x, y koordinater för den ena eller andra tangeringspunkten (M eller JV). Orten för denna eqvation är således en linie, som går genom punkterna M, N, och det är en rät linie, emedan eqvationen är af första graden i afseende på de föränderliga * och y. I fråga varande eqvation representerar alltså tangentkordan till punkten (*', y').

48

Äfven här kunna ar, y och y' vexla betydelse; eqvationen (5) gäller derför ännu, om x och y beteckna koordinaterna för punkten P samt *' och y' koordinaterna för en punkt Q på tangentkordan.

Tänker man sig nu, att kordan MN vrider sig omkring punkten Q, så förändrar punkten P, der de genom kordans ändpunkter dragna tangenterna mötas, äfven sitt läge och beskrifver en viss linie, som vi nu gå att bestämma. Eqvationen (5) fortfar att gälla för punkterna P och Q; och då

y' nu äro de oföränderliga koordinaterna för punkten Q samt x, y de föränderliga koordinaterna för den rörliga punkten P, så är (5) just eqvationen för den linie punkten P beskrifver, hvilken linie är rät, emedan dess eqvation är af första graden. Alltså:

Om en körda vrider sig omkring en punkt, så är orten för den punkt, der de genom kordans ändpunkter dragna tangenterna råkas, en rät linie.

Eqvationen xx' + yy' = r* har således olika betydelser, allt efter som (se', y') är en punkt på, utom eller inom cirkeln x* + y* = r*. I första fallet betecknar den nämligen en tangent, i det andra en tangentkorda, i det tredje orten för den punkt, hvars tangentkorda går gonom punkten (*', y').

Man kallar i allmänhet punkten (#', y') pol till räta linien xx' + yy' = r 2 och denna linie polar till punkten •(«', y') i afseende på cirkeln * 2 + y* — r 2.

3 7 . Att finna längden af den tangent, som från en punkt (*', y') dragés till c irkeln

(a? — «)• + (y — &)' — r 1 = 0. Den sökta tangenten och radien för tangeringspunkten

utgöra kateter i en rätvinklig triangel, hvars hypotenusa är afståndet från punkten (*', y') till cirkelns medelpunkt (a, b). Qvadraten af sist nämda afstånd (x — a) 2 + (y' — by är derför lika med r 2 + tangentens qvadrat, och tangentens qvadrat följaktligen:

ix'-ay + (;y'-by-r\ Qvantiteten (x — a,y + (y —• 6 ) 2 — r 2 , som försvinner för punkter på sjelfva cirkeln, uttrycker således, om («, y) är

49

Fig. 18.

en punkt utom cirkeln, qvadraten af den ifrån sist nämde punkt dragna tangenten. För punkter inom cirkeln är samma qvantitet tydligen negativ.

38. Att finna orten för en punkt P, så belägen, att de från den samma till två gifna cirklar dragna tangenterna PS, PT äro lika stora.

Antagom, att A är medelpunkt och R radie till den större cirkeln samt B medelpunkt och r radie till den mindre. Afståndet AB beteckna vi med a. Tages A

till origo och räknas abskissorna i rigtningen AB, så äro de båda cirklarnas eqvationer

x'+y' — 22 '= 0, (as —-aY + y' — r ' = 0 .

Enligt föregående § uttrycka venstra membra i dessa eqvationer qvadraterna af de tangenter, som från punkten (x, y) dragas till nämda cirklar. Låter man nu x, y beteckna koordinaterna för en punkt P, så belägen, att i fråga varande tangenter äro lika stora, så har man följaktligen x* + y* — B1 = (x — a)* + y*—r* eller genom förenkling 2ax = B* — y* + a1, hvaraf

B* — r 4 + a' ( 6 ) 2a

hvilket är eqvationen för den sökta orten. Då denna eqvation icke innehåller y, representerar den samma en mot as-axeln vinkelrät linie, hvars afstånd från A är just det senast funna värdet för as.

Till samma eqvation ( 6 ) kommer man äfven, om man söker de punkter, i hvilka de gifna cirklarna skära hvar andra; ty för dessa punkter gäller på en gång hvardera cirkelns eqvation och således äfven likheten x*+y* — R* = (as — a)* + y* — y', hvaraf (6 ) endast är en förenklad form. Om cirklarna skära hvar andra, måste derför afskär-

Lindelöf, Geometri. A

50

ningspunkternas koordinater satisfiera eqvationen (6 ) , hvilken således i detta fall representerar den gemensamma kordan till båda cirklarna.

På grund af dess särskilda egenskaper har i fråga varande räta linie (6 ) erhållit olika namn såsom radikal-axel, l inie för de lika tangenterna, kordal ; vi vilja här begagna sist nämda af Pluecker föreslagna benämning såsom den kortaste.

Por att närmare bestämma de gränser, inom hvilka kordalen eller dess afstånd x från origo faller, anmärka vi först, att eqvationen ( 6 ) kan bringas under en af formerna

v ' 2a 2a t a . B 1 —(a —r)» (a+B-r)(B + r~a) ( ( S ) a ; = a _ r + ^ = a-r+ .

Vi skola nu betrakta de särskilda fall, som kunna inträffa. l:o. Om cirklarna ligga helt och hållet utom hvar an

dra, såsom i föregående figur, är a > R + r, hvaraf följer, att i produkten (a — R + r) (a — R — r) båda faktorerna äro positiva, men i produkten (a + R — r) (R + r — a) den ena faktorn positiv, den andra negativ. Den förra produkten är derför positiv, den senare negativ, hvaraf man åter i betraktande af eqvationerna («), (/J) kan sluta, att * är större än R, men mindre än a — r, det är, att kordalen faller mellan båda cirklarna.

Om cirklarna tangera hvar andra utantill, följer häraf omedelbart, att kordalen sammanfaller med den genom tangeringspunkten dragna gemensamma tangenten till båda cirklarna.

2:o. Cirklarna skära hvar andra. I detta fall sammanfaller kordalen, såsom redan nämdes, med den gemensamma kordan till båda cirklarna.

3:o. Om den ena cirkeln ligger inom den andra, är a<.R—r, hvaraf följer, att produkten (a—R + r)(a— R — r) är positiv. Eqvationen (a) utvisar då, att x är större än R, det är, att kordalen faller utom de båda cirklarna.

51

Man kunde omvändt antaga kordalen och den ena cirkeln såsom gifna samt föresätta sig att derefter bestämma den andra cirkelns läge och storlek. I eqvationen ( 6 ) vore då R och x att anses såsom gifna, r och a såsom obekanta. Detta omvända problem tillåter en oändlig mängd lösningar; ty man kan åt den ena obekanta r gifva hvilket värde man behagar och derefter bestämma värdet på den andra obekanta a. Genom upplösning af eqvationen ( 6 ) i afseende på a erhålles

a = x ± V^ + r 4 — R?. Antager man, att cirkeln r ligger inom cirkeln E, så måste 1 9-af de båda tecknen det nedra användas, emedan a i detta fall bör blifva mindre än x. Gifver man då efter hand åt r olika värden, så får äfven a olika värden, större, ju mindre r är. Om således den inre cirkeln oupphörligen minskas, under det den större cirkeln och kordalen blifva oförändrade, tilltager afståendet a mellan medelpunkterna och uppnår, då r försvinner, gränsvärdet a = * — V«2 — E 2 . Den inre cirkeln är då reducerad till en gränspunkt C med den egenskap, att dess afstånd från hvilken punkt som helst P på kordalen är lika med den från sist nämde punkt dragna tangenten PT. Betraktelsen af denna gränspunkt har en vigtig användning i läran om de elliptiska funktionerna.

52

F e m t e K a p i t l e t .

Om ellipsen. 39. Orten för en punkt P, som är så belägen, att sum

man af dess afstånd från tvänne fasta punkter F och F' är konstant, kallas el l ips. De fasta punkterna kallas brän-punkter (foci), och de räta linier, som från en punkt på ellipsen dragés till bränpunkterna, få namn af bränpunkts-radier (radii vectores).

I öfverensstämmelse med denna definition kan ellipsen konstrueras medelst en tråd på följande sätt. Ändarna af tråden, hvars längd bör vara lika med den konstanta summan af radii vectores, fästas i båda bränpunkterna, hvarefter tråden hålles spänd medelst ett stift, som föres omkring. Vid denna rörelse beskrifver stiftet en ellips.

•40. El l ipsens eqvat ion i rätvinkl iga koord inater. — Vi taga till »-axel linien FF', som förenar båda bränpunkterna, och till origo punkten O, som halfverar denna linie, samt beteckna den konstanta summan af radii vectores PF + PF' med 2a och afståndet mellan bränpunkterna med 2c, så att OF = OF' = c. Om då x, y föreställa koordinaterna för punkten P,

så är x — OM, y = MP, FM—c — x, F'M=c + x, samt P F = V ( c — x)* + y\ PF'^V(7+xy+y\

Enligt ellipsens bestämmande vilkor är nu PF + PF' = 2a, det är

VtT—zy + y* + V(c + x)' + y* = 2a, hvilket är den sökta eqvationen mellan x och y. För att förenkla den samma, öfverflytta vi den första radikalen i

53

högra memhrum och upphöja till qvadrat, hvar igenom erhålles (c + « ) ' + f = 4a 2 + (c — »)2 + iy' — ia^lc^xY+y~' eller, genom termernas reduktion, omflyttning och division med 4, aV(c —x)* + y* = a*—cx. Genom förnyad upphöjning till qvadrat och termernas reduktion fås

(a' — c 2 ) x1 + a-Y = a1 (a 2 — c 2). I triangeln PFF' är PF+ PF'>FF', det är 2 » > 2 c , eller a > c , hvaraf följer, att a.2 — c 2 är en positiv qvantitet. Vi kunna derför sätta a'~c' = b\ hvar igenom föregående eqvation blifver

Genom division med aSb1 erhålles slutligen

(1) ^ + ^ = 1

Sådan är ellipsens eqvation under dess enklaste form. Vore a = 6 , skulle denna eqvation förvandlas till

a 2 + 2/* = a 2 och representera en cirkel, hvars radie är a. Cirkeln kan således betraktas såsom en ellips, hvars båda axlar äro lika stora.

41 . El l ipsens form. — Eqvationen (1) upplöst i afseende på y gifver

b. (2) y = ± -Va» — x\

a Häraf synes, att * ' ej kan vara större än a 2 och att x således ej kan falla utom gränserna + & och — a, emedan y eljest blefve imaginär. Mot hvarje värde på x inom dessa gränser svara tvänne reela värden på y, som äro lika stora, men af motsatt tecken. För x — a är y = 0. När x efter hand minskas från a till 0, tillväxer y från 0 till ± b; när x ytterligare minskas från 0 till — a, aftager y åter från + b till 0. Ellipsen utgör således en i sig sluten linie, symmetrisk i afseende på »-axeln, det är bestående af

54

tvänne hälfter, som sammanfalla, om figuren hopvikes efter nämde axel.

Om eqvationen (1) upplöses i afseende på x, finner man

x = + ^V6^rp ~ b *

och slutar deraf, att y ej kan falla utom gränserna + b och — b samt att ellipsen jämväl är symmetrisk i afseende på y-axeln. Ellipsen består således af fyra kongruenta qvadranter AB, BA', AB', B'A.

Vidare inses, att om x, y äro koordinater för en punkt P på ellipsen, värdena — x, — y jämväl satisfiera ellipsens eqvation (1) och således bestämma en annan punkt P' på den motsatta qvadranten af ellipsen. Då nu P och P hafva lika stora koordinater, men af motsatta tecken, så är triangeln POM kongruent med triangeln P'OM' och följaktligen vinkeln POM lika med vinkeln POM samt PO = PO. Punkterna P, P' äro således symmetriskt belägna i afseende på O, det: är ligga i samma genom O gående räta linie och på lika afstånd från O åt motsatta sidor. Punkten O, hvilken sålunda halfverar alla genom den samma dragna kordor till ellipsen, kallas af sådan anledning ellipsens medelpunkt.

I de punkter A, A, der ellipsen skär »-axeln, är x = ± a; i punkterna B, B', der ellipsen skär y-axeln, är y = ± b. Linien AA' = 2s, kallas ellipsens större axel, linien BB' = 2b dess mindre axel. Qvantiterna a och b i ellipsens eqvation (1) utmärka således half-axlarna.

42 . Eör att erhålla en tydlig föreställning om ellipsens form, är det nödigt att undersöka, huru afståndet från medelpunkten varierar mod rigtningen af linien OP (fig. 20). Sättes OP=p och vinkeln POX=<o, så är « = p cos to, y = p sin m och dessa värden insatta i ellipsens eqvation (1) gifva

p1 cos' to p* sin8 OJ a' + ^ '

hvaraf

55

cos CD sm co ' ~i I Ti :

sm w sm a ~ 2 I 7~i

1 (1 1\ . , = ~ i + I Ti 1 s m 0 J -

a \ t r a ) 1 1

Då nu p — — t alltid är positiv, så utvisar denna formel, att -p tillväxer med sin V För a> = 0 har p sitt största

värde —a; när w tillväxer, minskas p, tills den för o> = 90° uppnår sitt minsta värde = b. När OJ ytterligare tillväxer från 90° till 180°, tilltager p åter från b til] a.

Mot lika värden af sin'« svara äfven lika värden af p\ de medelpunkts-radier, som hafva samma lutning mot större axeln, äro derför lika stora. För hvarje lutningsvinkel finnas fyra sådana radier, som äro symmetriskt stälda i anseende till axlarna och af hvilka en faller inom hvarje axelvinkel.

é 3 . El l ipsen jämförd med den omskrifna och den inskrifna cirkeln. — Beskrifver man på den större axeln såsom diameter en cirkel, så blir dess eqvation ** + y* — a1, hvaraf

y = + VoT'— x\ För ellipsen finner man der imot (2) ' ( U ' V I Y

y = + —Va2 — x*. v ~ a

Mot samma abskissa x — OM svarar således i ellipsen ordinatan

b och i cirkeln ordinatan KM=Vas

a

förhållandet mellan dessa ordinator är —, det är: uti KM a'

el l ipsen och den omskrifna cirkeln förhål la sig motsvarande ordinator till hvar andra såsom mindre

5 6

axe ln til l den större. Detta gifver oss ett enkelt medel att bestämma huru många punkter som helst på ellipsen. Sedan man på större axeln såsom diameter uppritat en cirkel, drager man till denna så många ordinator man behagar och afskär af hvarje ordinata KM en viss del PM,

hvars förhållande till hela ordinatan är —. Hvarje sålunda

bestämd punkt P ligger på ellipsen. Beskrifver man åter på mindre axeln såsom diameter

en cirkel och jämför dess eqvation as' + y* = b' med ellipsens, så finner man, att de abskissor NP, NL, som i e l l ipsen och den inskri fna c irkeln motsvara samma ordinata ON, förhålla sig till hvar andra såsom större axeln ti l l den mindre. Äfven denna egenskap kan läggas till grund för ellipsens konstruktion genom punkter.

Lättast verkställes den antydda konstruktionen med tillhjelp af de båda förenämda cirklarna på följande sätt. Man drager en radie OK efter behag. Från de punkter L och. K, der denna radie skär den inskrifna och den om-skrifna cirkeln, dragas linier LP, KM parallela med as- och y-axeln; den punkt P, der dessa linier skära hvar andra, är en punkt på ellipsen. Man har nämligen PM:KM = LO : KO = b:a.

Om man genom P drager en linie PC parallel med KO, blifver tydligen PC = KO = a och DP = O i = 6 samt CD=za—b. Häraf kan man sluta till följande teorem:

Om en rät l inie af konstant längd (CD = a — b) rör sig sålunda, att dess ändpunkter (C, D) städse förb l i fva på tvänne mot hvar andra vinkelräta ax lar (AA' och BB'), så beskri fver en punkt P på samma l in ie en el l ips , hvars hal faxlar äro l ika med afstån-den från punkten P t i l l den konstanta l iniens ändpunkter {PC = a, PD = b).

Här förutsattes, att den beskrifvande punkten P ligger på förlängningen af den konstanta linien CD. Men teoremet gäller äfven, om punkten är tagen på sjelfva denna linie. Gör man nämligen MD' = MD och drager linien

57

D'P tills den råkar den mindre axeln i C", så blifva trianglarna PDD' och PCC likbenta, hvaraf PC = PG = KO = a, PD' = PD = LO = b och CD' = a + b. Punkten P befinner sig således på en rät linie CD' af konstant längd och på afstånden a, b från dess ändpunkter C, D\ hvilka ligga på ellipsens axlar.

På nämde teorem har man grundat ett instrument för uppritande af ellipser, som fått namn af ellipsograf. Dess närmare beskrifning nödgas vi dock här förbigå.

44 . E l l ipsens bränpunkter. — Dessa äro belägna på den större axeln på lika afstånd c från medelpunkten. Mellan detta afstånd och ellipsens halfaxlar a, b har man enligt § 40 relationen a1 — c* = 6', eller

inedpist hvilken en af dessa qvantiteter kan beräknas, när de båda öfriga äro gifna.

De genom den mindre axelns ändpunkt dragna brän-punktsradierna BF, BF' (fig. 20) äro tydligen lika stora; deras summa är 2a (enligt ellipsens definition) och hvardera af dem är således lika med a. Eör att finna bränpunkterna, när axlarna äro gifna, behöfver man derför endast omkring mindre axelns ändpunkt såsom medelpunkt och med halfva större axeln såsom radie upprita en cirkel; de punkter, der denna cirkel skär den större axeln, äro ellipsens bränpunkter.

Med e^centr ic i tet ^ t i en elligs förstås afståndet mellan bränpunkterna uttryckt i större axeln såsom enhet, eller, med andra ord, förhållandet mellan detta afstånd och större axeln. Betecknas excentriciteten med e, har man således

c e = —, a

hvaraf c = ae och b' = a* — c' = a' ( 1 — e ' ) ,

det är

b = a V f ^ V , eller - = Vi — e\ a

58

Excentricitoten sålunda definierad är ett abstrakt tal, mindre än enheten, emedan c < a.

Vi gå na att söka radii vectores för en punkt P (fig. 20), uttryckta genom abskissan. Betecknas dessa med r och / , nämligen r = PF, r = PF', så har man

r 2 = (c — icY + y', r" = (c + z)> + y\ hvaraf

r' 2 — r* = (V + r) (r' — r) = Acx. Enligt ellipsens definition är

(3) r' + r = 2«, och då föregående eqvation divideras härmed, erhålles

(4) r — r = = 2ex. a

Tager man ena gången skilnaden och andra gången summan af (3) och (4), finner man de sökta uttrycken för radii vectores <

c r = a x — a — ex, r == a -|— x = a -f- ex. a

Multipliceras dessa uttryck med hvar andra och iakttager

man, att ^ + p = l , samt c 2 = a 2 — b', fås

, , c 2 , Jxl y'\ a'-b' , « y 6 V , a' \a b 7 a,2 6 2 a.5

eller

<« (?+£)• Vi skola framdeles göra ett vigtigt bruk af dessa formler.

Genom bränpunkten F delas den större axeln i tvänne olika delar, af hvilka den mindre AF är lika med a—c== a(l — e) och den större A'F lika med a + c = a(1 + e). Dessa äro tillika den minsta och den största af de radii vectores, som utgå från punkten F. Deras medelvärde utgör a.

Parameter benämnes den körda, som genom en af bränpunkterna är dragen vinkelrät mot den större axeln. Om

59

man i eqvationen r = a •—ex gör x = c = ae, erhålles för halfva parametern j> värdet a (1 — e 2 ) , som jämfördt med eqvationen a 2 ( l — e 2 ) = 62 gifver ap = b*, eller a:b = b:p. Parametern utgör således tredje proport ionalen ti l l större och mindre axeln.

E x . 1. J o r d m e r i d i a n e n ä r en e l l i p s , h v a r s h a l f v a s t ö r r e a x e l ( e q v a -

t o r n s r a d i e ) ä r a = 8 5 9 , 4 4 och h v a r s h a l f v a m i n d r e a x e l ( p o l a r - r a d i e n ) ä r

6 = 8 5 6 , 5 7 g e o g r a f i s k a m i l ; h u r u s t o r ä r d e s s e x c e n t r i c i t e t ? — M a n finner

/ c c = ' a 2 — b2 = 7 0 , 1 8 g e o g r . m i l s a m t e = — = 0 , 0 8 1 7 , e l l e r i d e t n ä r m a -

s t e = i .

A n m . E x e n t r i c i t e t e n b ö r ej f ö r v e x l a s m e d a f p l a t t n i n g e n , h v a r -

m e d f ö r s t å s s k i l n a d e n m e l l a n b å d a a x l a r n a u t t r y c k t i s t ö r r e a x e l n s å s o m

e n h e t , d e t ä r " ^ . D e n n a bef innes u t g ö r a för j o r d m e r i d i a n e n i d e t n ä r -

m å s t e X

E x . 2 . J o r d e n s b a n a o m k r i n g s o l e n ä r e n e l l i p s , i h v a r s e n a b r ä n -

p u n k t s o l e n ä r b e l ä g e n . D å n u j o r d e n s m e d e l a f s t å n d f r å n s o l e n , d . ä .

e l l i p s e n s h a l f v a s t ö r r e a x e l , u t g ö r a = 2 0 6 8 0 0 0 0 g e o g r . m i l o c h j o r d b a n a n s

e x c e n t r i c i t e t ä r i d e t n ä r m a s t e é = f r å g a s j o r d e n s s t ö r s t a och m i n s t a

a f s t å n d f r å n s o l e n .

S v a r : D e t s t ö r s t a a f s t å n d e t ä r a ( 1 + e) = 2 1 0 2 0 0 0 0 o c h d e t m i n s t a

a (1 — e ) = 2 0 3 4 0 0 0 0 g . m.

45. El l ipsens tangent. — F ö r att finna eqvationen för en tangent till ellipsen, skola vi, liksom i § 35, först söka eqvationen för en rät linie, som går genom tvänne punkter (as', y'), (as", y") på ellipsen, och derefter undersöka, hvad denna eqvation blir, när de båda punkterna sammanfalla.

Eqvationen för en rät linie, som går genom punkterna (x', y) och (x", y") är

y—y' = y,~~y„ (x — x). x — *

Emedan de i fråga varande punkterna tillhöra ellipsen, måste deras koordinater satisfiera ellipsens eqvation (1), och man har således

60

1- ^ — = 1 ^ b'

När den efterföljande af dessa eqvationer subtraheras från den föregående, erhålles

' + f - y " b'

(x'-x")(x' + x") (y'-y")(y> + y") a' + fc'

hvaraf y'-y"__ V(x' + x") x' — x" a*{y' + y")

Om man nu låter båda punkterna sammanfalla, i det man b1 x'

gör *" = x\ y" = y', reduceras högra membrum till —

och när detta värde insattes i stället för vinkelkoefficienten y' — v" — ^77 i den ofvan anförda eqvationen för räta linien, som fl? — SFR der igenom förvandlas till en tangent, erhålles

b*x' y — y = —r-,(x — x)

a y eller genom hyfsning

xx' yy' x" y'* ~c?+V::=V, + ~bi'

x" y" Men —i + T Y = 1, emedan (V, y') är en punkt på ellipsen.

(X o Alltså blir slutligen eqvationen för ellipsens tangent

(7) ^ + f = *> en formel, som är lätt att bibehålla i minnet i anseende till dess analogi med ellipsens egen eqvation. Här beteckna

y' koordinaterna för tangeringspunkten, och x, y tangentens löpande koordinater; men det är tydligt, att x, y och y kunna vexla betydelse, utan att eqvationen (7) derigenorn undergår någon förändring. Om denna eqvation

61

upplöstes i afseende på y, skulle koefficienten för x blifva b*x

— bvilket således är tangentens vinkelkoefficient, såsom vi redan funnit under loppet af deduktionen.

Eqvationen (7) förändrar betydelse, om (»', y'), i stället att vara en punkt på ellipsen, betecknar en punkt antingen utom eller inom ellipsen. I förra fallet representerar eqvationen (7) tangentkordan till punkten (*', y'), i senare fallet betecknar samma eqvation orten för en punkt, hvars tangentkorda vrider sig omkring («', y'). Man öfvertygar sig härom genom samma bevisning, som blifvit använd (§ 36) i fråga om cirkeln.

Om man i tan-4 6 . Tangentens konstruktion, gentens eqvation (7) gör y = 0, finner man abskis-san för den punkt T, der tangenten råkar »-axeln,

Detta värde undergår ingen förändring, om man låter ellipsens mindre axel b variera, förutsatt att a och x' förblifva oförändrade. Om man derför på samma axel AÄ uppritar särskilda ellipser och på dem tager punkter P, Q, som motsvara samma abskissa x' — OM och således ligga på samma ordinata, samt genom hvarje sålunda bestämd punkt drager en tangent till motsvarande ellips, så råka alla dessa tangenter den förlängda axeln i en och samma punkt T. Bland i fråga varande ellipser befinner sig nu äfven den cirkel, som har AÄ till diameter. Denna omständighet leder till följande metod att finna den räta linie, som tangerar ellipsen i en gifven punkt P.

På ellipsens större axel såsom diameter uppritas en cirkel och ordinatan MP utdrages, tills den råkar cirkelns periferi i Q; genom Q dragés sedan en tangent till cirkeln och den punkt T, der denna tangent skär den förlängda

6 2

större axeln, sammanbindes med den gifna punkten P. Linien PT är då don sökta tangenten.

En annan enklare konstruktion af tangenten meddelas längre fram (§ 49).

47. Normal kallas en rät linie PH, som genom tan-geringspunkten P är dragen vinkelrät mot tangenten TT'.

b1 %' Vi hafva funnit, att r—, är vinkelkoefficient för den räta

a y linie, som tangerar ellipsen i punkten (%', y')\ den genom samma punkt dragna normalens vinkelkoefficient är följaktligen + ^ ~ och dess eqvation

(8) • x').

Gör man här y = 0, blifver x — a •°x' = ~x' = eix',

hvaraf följer, att normalen skär »-axeln på afståndet e* x' från origo.

Normalen PH halfverar vinkeln FPF' mellan radii vec tores . — Ty man har (§ 44, (5))

r — PF — a — ex, r' = PF'=a + ex',

samt, då OF = OF'= c = ae, och OH=e'x', FH — ae — e V = e (a — ex') = er, F'H= ae + e V = e (a + ex') = er', hvaraf

FH r PF PF'

Fig. 23.

F'H r

Vinkeln FPF' är således midt i tu skuren genom linien PH (Eucl. VI, 3).

Af triangeln PHF erhålles vidare

s i n P Z f P - P P " " " 7 - e ' a " sin PPff sin PHF =

sinus för de vinklar normalen gör med radius vec -

63

tor och med större axeln hafva till hvar andra ett konstant förhållande, som är lika med excentr i c i -teten.

I de båda satser, som nu blifvit bevista rörande normalen, innehållas följande vigtiga egenskaper hos ellipsen i afseende å dess förmåga att återkasta eller bryta ljus-(äfvensom ljud- och värme-) strålar:

I. Om ljusstrålar, utgående från ena bränpunk-ten, återkastas från el l ipsens periferi , så sammanträffa de ref lekterade strålarna i den andra brän-punkten.

Af fysiken är nämligen bekant, att den infallande och den reflekterade strålen göra lika stora vinklar med infallslodet (normalen) och det samma gäller äfven, såsom vi sett, om radii vectores. Från denna egenskap härleder sig namnet bränpunkt.

II. Tänker man sig l jusstrålar (LP) infal lande paral le lt med större axe ln och e l l ipsen såsom egan-de förmåga att bryta l juset, så sammanträffa dessa strålar, efter undergången brytning , i e l l ipsens aflägsnare bränpunkt F', förutsatt att brytn ings koef f i c ienten är lika med excent r i c i t e t ens rec iproka

varde —

Ty om LP är parallel med större axeln och PI normalens förlängning, så är LPI = FHP och F'PH = HPF, hvaraf sin LPI sin FHP 1 faFTH = sln~HPF = 7 = brytningskoefficienten.

e

Fig. 24. Är LP den infallande strålen, så är följaktligen PF' den brutna strålens väg.

48. För att finna nya egenskaper hos normalen, skola vi bestämma de stycken eller segment Pff, PK af den samma, som begränsas af axlarna. Om man i normalens eqvation (8), der

64

«' ( = OM), y' ( = ON) äro koordinater för punkten P, gör y = 0, finner man

T R , R 6 V

hvaraf

Göres åter « = 0 i eqvationen (8), finner man likaledes « V

y' — y = KN=^-

och följaktligen

Häraf fås

PH_b* PK" a'

samt PH.PK=a*b*^ + £?)=rS (jämf. § 44, (6)),

der r, r' beteckna radii vectores för punkten P. Dessa formler, uttryckta i ord, gifva följande teorem:

De segment PH, PK, som axlarna afskära af en normal, dragen genom hvi lken punkt som helst P på el l ipsen, hafva til l hvar andra ett konstant förhållande = b*: a' och rektangeln af dem är lika med rektangeln af radii vectores för punkten P.

49. Tangenten gör lika stora vinklar med radii vectores . — Detta följer såsom ett korollarium af den i § 47 bevista satsen, att normalen PN halfverar vinkeln FPF' mellan radii vectores. Ty då FPN — NPF' och NPH = NPQ, emedan normalen är vinkelrät mot tangenten, så är äfven FPH— F'PQ. Härpå grundar sig en enkel metod att draga tangenter till en ellips.

l:o. A t t draga en tangent genom en punkt P på el l ipsen. — Drag radii vectores FP, P'F; utdrag F'P åt G och skär vinkeln FPG midt i tu genom räta linien

65

Fig. 25. PH; denna linie blir da tangent till ellipsen, emedan F'PQ = GPH=FPH.

2:o. Att draga en tangent genom en punkt Q utom ell ipsen. — Omkring den ena bränpunkten F' be-skrifves en cirkel med radien 2a; omkring Q såsom medelpunkt beskrifves en annan cirkel, hvars periferi går genom den andra bränpunkten F. Punkterna G, G', der dessa cirklar skära hvar andra, sammanbindas sedan med F', hvar igenom tangeringspunkterna P, P blifva bestämda.

Ty då F'G = 2a = F'P + PF, så är PF=PG; sist nämda linier göra således lika stora vinklar med radien QH, hvilken följaktligen tangerar ellipsen. På samma sätt bevisas äfven, att QP' är en tangent till ellipsen.

3:o. At t draga en tangent parallel med en gi f ven rät linie. — Sedan cirkeln GKG' blifvit uppritad, dragés FG vinkelrät mot den gifna linien och en perpendikel HQ uppreses på midten af FG.

50. Den i föregående § bevista egenskapen hos ellipsens tangent, att den gör lika stora vinklar med radii vectores,, gifver upphof åt några nya teorem:

I. Orten för den punkt H, der perpendikeln från focus råkar tangenten, är den omkring el l ipsen om-skrifna cirkeln.

Ty då tangenten PH halfverar vinkeln P P 6 r mellan den ena bränpunktsradien och den andras förlängning samt FG antages vara vinkelrät mot PH. så blifva trianglarna PHF, PHG kongruenta och FH= HG. Linien OH halfverar således FG, lika som den half-

Lindelöf, Geometri.

Fig. 26.

66

verar FF' och utgör följaktligen hälften af F'G. F'G är = F P + P F = 2 a ; alltså är OH=a.

Men

II. Om man från en yttre punkt P drager två tangenter t i l l e l l ipsen, så göra dessa båda tangenter lika stora vinklar MPF, WPF' med de räta l inier, som sammanbinda punkten P med de båda bränpunkterna.

Ty om man utdrager F'M, så att MN — MF, samt likaledes utdrager FM', så att MN'

, JSI = MF', uppkomma tvänno trianglar PFN', PNF', som äro kongruenta, emedan sidorna uti den ena äro lika stora med hvar sin af sidorna i den andra. Man har nämligen PF= PN, PN =

= PF' samt FN' = FM + M'F' = 2a, F'N — F'M+ MF= 2a och således äfven FN' = F'N. Följaktligen äro vinklarna FPN', NPF' lika stora. Tager man bort den gemensamma FPF', blifva de återstående F'PN', FPN och således äfven deras hälfter lika stora, det är F'PM = PPikf.

III. Rektangeln af de perpendiklar, som från bränpunkterna fällas mot en tangent, är konstant och lika med qvadraten af halfva mindre axeln.

PM och PN äro tvänne tangenter tagna efter behag och FM, FN, F'M, F'N' perpendiklar fälda mot dem ifrån bränpunkterna. I stöd af föregående teorem äro trianglarna PFM och PF'N' samt trianglarna PFN och PF'M' likformiga. Man har derför FM: F'N' = PF-.PF' och FN:F'M' = PF:PF'; alltså är FM: F'N = FN: F'M\ hvaraf

FM.F'M' = FN.F'N',

Mg. 28.

67

d. ä. rektangeln af de perpendiklar, som från bränpunkterna fällas mot den ena tangenten, är lika med rektangeln af de mot den andra tangenten fälda perpendiklarna. Denna rektangel är således konstant eller lika stor för alla tangenter.

Betraktar man nu särskildt den tangent, som är dragen genom mindre axelns ändpunkt, så inser man omedelbart, att i fråga varande rektangel är lika med b2.

51. Ell ipsens yta finnes genom jämförelse med den omskrifna cirkeln. Man inskrifvor i halfcirkeln en polygon AMMM"Ä och fäller perpendiklar ifrån polygonens spetsar mot den större axeln. Dessa skära ellipsen uti vissa punkter N, N', N", som sammanbindas med hvar andra, hvar igenom en i ellipsen inskrifven polygon uppkommer.

Betrakta vi nu tvänne mot- F i g - 2 9-svarande trapezier MP' och NP', så finna vi för deras ytinnehåll följande uttryck:

Trapez. MP'= MP + MP'

Trapez. IVP' =

Men enligt § 43 är b NP N'P' NP + N'P' a MP MP' MP + M'Pr

alltså förhåller sig trapezium NP' till trapezium MP', som b till a. Samma förhållande eger äfven rum mellan de öfriga trapezierna och följaktligen äfven mellan ytorna af de i ellipsen och cirkeln inskrifna månghörningarna, huru stort än antalet är af deras sidor. Låter man nu sidorna blifva oändligt små och deras antal oändligt stort, så hafva månghörningarna till gräns sjelfva ellipsen och cirkeln. Häraf kan man sluta, att ellipsens yta förhåller sig till cirkelns såsom b till a. Då nu cirkelns yta = t o t 2 , så är följaktligen

Ellipsens yta = nab. Af nyss framstälda bevis följer äfven, att, om man dra

ger tvänne räta linier efter behag vinkelrätt mot den större

68

rig. so. axeln, dessa linier afskära af ellipsen och af den omskrifna cirkeln segment, hvilkas ytor förhålla sig som b : a. Sålunda är t. ex. BP:CP = b:a. Men äfven trianglarna OIW och OPM äro i samma förhållande. Häraf drager man ytterligare den slutsats, att de

motsvarande sektorerna OBN och OOM i ellipsen och cirkeln jämväl förhålla sig till hvar andra såsom den mindre axeln till den större.

52. El l ipsens diametrar. — M e d diameter förstås i allmänhet en linie, som halfverar alla med en viss rigtning parallela kordor. Yi föresätta oss att söka eqvationen för en diameter till ellipsen.

Eör detta ändamål betrakta vi en körda EK\ hvars eqvation må vara

y = mx + k. Om man i denna eqvation låter k få olika värden, under det att m för-blifver konstant, representerar den samma olika kordor, hvilka alla äro sig imellan parallela. Elimineras y mellan denna och ellipsens eqvation

x . y a' b*

erhålles en eqvation af andra graden (aV + b^x1 + 2a*mkx + a\¥—¥) = 0,

hvars rötter utgöra abskissor för kordans ändpunkter K, K'. Halfva summan af dessa abskissor är abskissa för kordans midt M (§ 12). Men å andra sidan är summan af rötterna till en eqvation, hvars första term till koefficient har enheten, lika med andra termens koefficient tagen med ombytt tecken. Beteckna vi med « 0 , ya koordinaterna för punkten M, så är derför

a2m& a 2 m 2 + 6 2 '

då för öfrigt M är en punkt på kordan, måste dess koordinater satisfiera kordans eqvation och man har

69

y0 — mxa + l: Genom elimination af den variabla k mellan dessa eqvationer erhålles

V_

en eqvation, som måste satisfieras af koordinaterna för mid-ten af hvarje med KK parallel körda och följaktligen utgör eqvationen för den linie, som halfverar alla dessa parallela kordor. Då denna eqvation är af första graden och icke innehåller någon af xa och y0 oberoende term, kan man häraf sluta, att diametern eller den linie, som halfverar parallela kordor i en ellips, är en rät linie, som går genom medelpunkten. Att diametern måste gå genom medelpunkten, kunde förutses deraf, att bland de parallela kordorna finnes en, DD', hvars midt sammanfaller med ellipsens medelpunkt.

53. Konjugat-diametrar . — Om m' betecknar vinkelkoefficienten för diametern GG', har man mellan kor-

fe2

dornas och diameterns rigtningar relationen m'= r - — eller ° ° « 2 w,

(9) mm ——^5. a

Denna relation, som är symmetrisk i afseende på m och m', utvisar, att om m! tages till vinkelkoefficient för kordorna, m blifver vinkelkoefficient till diametern. Med andra ord: om CG' halfverar de med DD' parallela kordor, så halfverar omvändt DD' de kordor, som äro parallela med CG'. De två diametrarna CC och DD äro följaktligen så beskaffade, att hvardera af dem halfverar de kordor, som äro parallela med den andra; de benämnas af sådan orsak konjugat-diametrar.

Det är tydligt, att båda axlarna bilda ett system mot hvar andra vinkelräta konjugat-diametrar.

]STär en diameter DD' är gifven, är det lätt att finna dess konjugat-diameter. Man behöfver blott draga en körda KK' parallel med DD' och sammanbinda midten af denna

70

körda mod ellipsens medelpunkt; den sammanbindande linien CC blifver då den sökta konjugat-diametern.

Om y' äro koordinater för punkten C, så har dia-ty'

metern CO' till vinkelkoefficient m' = —., hvilket värde insatt x

i eqvationen (9) gifver 6 2 6 V

m = s — ; = r - . 6 V Men — är äfven vinkelkoefficient för tangenten i punk-

a y ten C; alltså:

Den tangent, som dragés genom ändpunkten af en diameter, är parallel med konjugat-diametern.

Denna vigtiga sats gifver oss ett nytt och enkelt medel att konstruera ellipsens tangent i en punkt C. Man drager diametern GG' och dess konjugat-diameter DD' samt genom G en linie parallel med DD'.

54. Supplementar -kordor kallas de räta linier PC, PC', som äro dragna från en punkt på ellipsen till ändpunkterna af en diameter GG'.

Tvänne supplementar -kordor äro parallela med pig. 32. ett system konjugat-diametrar .

— Ty drager man en diameter DD' D parallel med kordan PC, så blifva i

triangeln GG'P sidorna CG' och PC skurna i samma proportion. Men CC är skuren midt i tu i punkten O; alltså skär diametern DD' äfven kordan PC i två lika stora delar, hvaraf

följer, att de med PC och PC parallela diametrarna äro konjugat-diametrar.

Konstrukt ioner : l:o Att finna medelpunkten t i l l en gifven ell ips. — Man drager tvänne parallela kordor och sammanbinder deras midter; sålunda erhålles en diameter, och när denna skares midt i tu, finnes ellipsens medelpunkt.

2:o. A t t finna axlarna. — På en godtycklig diameter CC uppritas en halfcirkel och den punkt, der denna

71

skär ellipsen, sammanbindes med ändpunkterna G, G' af diametern; der igenom erhålles ett system rätvinkliga sup-plementar-kordor, som äro parallela med axlarna.

Eller: man uppritar en med ellipsen koncentrisk cirkel, som skär ellipsen i fyra punkter; dessa punkter utgöra vinkelspetsarna af en rektangel, hvars sidor äro parallela med axlarna.

55. Lika konjugat-diametrar. — Eqvationen (9), enligt hvilken m och m hafva olika tecken, utvisar, att tvänne konjugat-diametrar alltid falla inom olika axelvinklar, den ena till höger, den andra till venster om den mindre axeln. För att vara lika stora med hvar andra, måste de hafva ett symmetriskt läge i afseende på axlarna (§ 42) och följaktligen vara parallela med de supplementar-kordor AB, A'B, som från ändpunkterna af den större axeln dragas till den mindre axelns ändpunkt.

Ellipsen har alltså ett enda system lika konjugat-diametrar och dessa sammanfalla med diagonalerna till den rektangel, som uppritas på axlarna. Vinkelkoefficienten för

den ena är m = — och för den andra ra = — —. a a

56. Vinkeln mellan tvänne konjugat -d iametrar. — För att utröna, huru vinkeln mellan tvänne konjugat-diametrar varierar med diametrarnas olika ställning, behöfver man endast undersöka variationen af vinkeln mellan tvänne supplementar-kordor. Till vinnande af större enkelhet kan man antaga, att de båda supplementar-kor-dorna utgå från ändpunkterna af den större axeln.

Vinkeln APA', som vi vilja kalla e, delas genom perpendikeln PM i tvänne delar APM och A'PM,

hvilkas tangenter äro och y Ä

^ ^ ~ x då x, y äro koordinaterna för y

punkten P. Man har följaktligen

7 2

tang e = -

y b2

as a ; *

Men af ellipsens eqvation följer y* = —^(a2— ,r2), eller s— a y

OJ2

— TIT h^ar igenom föregående formel reduceras till tang 6 = — —z =-—.

Vi behöfva endast betrakta de värden vinkeln e erhåller, då punkten P beskrifver don öfre hälften ABÄ af ellipsen. Tangenten förblifver derunder ständigt nogativ och vinkeln e är således i allmänhet trubbig. När punkten P sammanfaller med A, är y — 0, tang e = oo och # = 90°; när P rör sig från .4 åt B, tillväxer y\ det absoluta värdet för tang e aftager och sjelfva vinkeln e tillväxer, tills den uppnår sitt största värde i punkten B. När B fortfar att röra sig från B till A', minskas åter vinkeln * från sitt maximi-värde-till en rät vinkel.

Häraf framgår, att vinkeln mellan de hälfter OD, OE af tvänne konjugat-diametrar, som falla å samma sida om större axeln, är trubbig och varierar från 90° till ett visst maximi-värde. De enda konjugat-diametrar, som bilda räta vinklar, äro ellipsens axlar. De konjugat-diametrar, som innesluta don största trubbiga vinkel, äro parallela med supplementarkordorna för punkten B och således lika stora.

57. Om man med a och /? betecknar halfdiametrarna OD, OE, samt med <p och ip de vinklar, som de göra med halfaxeln O A, så äro koordinaterna för punkten Dx = a cos <p, y = as,in(p och för punkten E %=fi cos ip, y = sin rp. Dessa värden insatta i ellipsens eqvation gifva

a 2 cos 2^ « s s in s p K ) a7~+ b i ~ = '

/?2 c o s > ft* sin^p

73

Då de båda diametrarna äro konjugerade, har man dess utom enligt (9) relationen

tang tp tang xjj = —

eller n , cos p cos ^ sin f sin (jf n

Mellan de fyra qvantiteterna a, /?, i// har man sålunda tre relationer, hvilka på olika sätt kombinerade leda till särskilda tooreni. Af de båda vinklarna tp, rp är, såsom vi sett, den ena alltid spetsig, den andra trubbig; i det följande antages, att tp är den spetsiga och if> den trubbiga vinkeln.

58. Eqvationen (12) multiplicerad med a[i kan bringas under formen

a cos tp a sin tp a b

iSsmiji —/?cosi// b a

Hvartdera af dessa bråk är nu lika med ett tredje bråk, hvars täljare är qvadratroten af summan af täljarenas qva-drater och hvars nämnare utgör qvadratroten af summan af nämnarenas qvadrater*). Till följe af eqvationerna (10)

* ) T y o m flera b r å k ä r o l i k a s t o r a

a b c s å ä r h v a r t och e t t a f d e m ä f v e n l i k a m e d d e t b r å k

A + B + C+ . . .

a + & + c + ... s o m u p p k o m m e r , n ä r s u m m a n a f t ä l j a r e n a d i v i d e r a s m e d s u m m a n a f n ä m -

n a r e n a ( E u c l . V , 1 2 ) . F ö r s a m m a o r s a k ä r i a l l m ä n h e t

A™ _B™ _ö» _ __ Am + B M + O + .. . a™ ~~ bn ~~ c"1 am + b™ + c*> + . . . '

e l l e r , d å m a n öfver a l l t u t d r a g e r » ? : t e r o t e n

m

A _ B _ C _ _ VÄ" + B M + O + , ,

a b c "' m

Va'" + bm + cm + .. M a n k a n s å l u n d a , d å flera l i k a s t o r a b r å k ä r o g i f n a , p å m å n g f a l d i g t s ä t t

b i l d a e t t n y t t b r å k , s o m ä r l i k a m e d h v a r t o c h e t t a f d e g i f n a ; och d e t t a

f ö r f a r a n d e g i f v e r i m å n g a f a l l e t t e n k e l t o c h e l e g a n t m e d e l a t t t r a n s f o r

m e r a och u p p l ö s a e q v a t i o n e r .

74

och (11) äro båda dessa summor lika med enheten; det tredje bråket reducerar sig således till + 1, hvarvid endast det öfre tecknet kan komma i fråga, emedan do gifna bråken tydligen äro positiva. Man har följaktligen

a cos f a sin <p a, ^ 1

/9sini/; —/9cosi/> ' b a

hvaraf , 1 q . « c o s ^ ftsmip asin^j ftcosip

( l d ) ~aT~ = ~ T ~ ' ~b~ = o~-

Om man nu i eqvationen (10) ur dessa formler insätter ena

gången värdet för a S ™^, andra gången värdet för —

erhålles ..... |a2eos*y + j3icosi/<p = a*,

( ' ja* sin V + ff s i n > = b\ hvilka formler innebära, att summan af eqvat ionerna af tvänne kon jugat -d iametrars p r o j e k t i o n e r på en af axlarna är konstant och lika med qvadraten af samma axel.

Sist nämda formler (14) gifva, då de adderas till hvar andra term för term,

(15) « s + /95 = a s + &2; d. ä. summan af tvänne konjugat -d iametrars qva-drater är konstant och lika med summan af axlarnas qvadrater.

59. Om man genom ändpunkterna af tvänne konjugat-diametrar 2a, 2/9 drager tangenter till ellipsen, uppkommer en omkring ellipsen omskrifven parallelogram, hvars ytinnehåll uttryckes genom 4a5sin(i/;—(p). För att finna värdet af denna expression återgå vi till formeln (10), som genom qvadrat-termernas upplösning i faktorer kan skrifvas

a cos $2 « c o s p asm<p aemf_^ a ' a b ' b

Då man här utbyter en af faktorerna i hvardera termen mot dess eqvivalenta uttryck enligt formlerna (13), erhålles

75

1, aft (sini//cosp— cosi^sin^)

ab hvaraf

(16) a/9 sin ( 0— f)=zab, eller i ord uttryckt:

Ytan af den paral le logram, som uppritas på tvänne konjugat -d iametrar , är konstant och lika med rektangeln af axlarna.

Den inskrifna parallelogram, som uppkommer, när man sammanbinder ändpunkterna af tvänne konjugat-diametrar, utgör hälften af förut nämde omskrifna parallelogram och har således äfven ett konstant ytinnehåll.

60. E l l ipsens eqvat ion hänförd til l tvänne konjugat -d iametrar . — I stället för de rätvinkliga koordinater, som hittills blifvit använda, skola vi införa ett nytt koordinat-system, hvars axlar OX, OY' utgå såsom förut från ellipsens medelpunkt, men göra vissa vinklar <p, ip med den ursprungliga »-axeln, nämligen f = XOX, tf/ = YOX. Mellan de ursprungliga koordinaterna x, y för en punkt P och koordinaterna för samma punkt i det nya systemet, hvilka vi beteckna med f, jy, existera (enligt § 10, 2:o) följande relationer

x = £cosp + ^COSI^,

y = i sin f + rj sin ip.

Är nu P en punkt på ellipsen, så har man ^ + — = 1

samt, då förut nämda värden för x och y här insättas, (ccos$? + jycosi/^)2 (f sin + jysini/>)2

a o

Fig. 3 4 .

~X

eller utveckladt cos <p sin <p

+ 2

b" f cos tp cos rp

+

COS 1p ~~a^~'

sin f sin ty

sin* i/A

) f ? = l .

+

76

Yinklarna <p och i/> äro hittills arbiträra; men när den bestämning tillkommer, att de nya axlarna skola bilda ett system konjugat-diametrar, inträder mellan tp och iy relationen (12), hvar igenom koefficienten för fy försvinner. Till följe af eqvationerna (10) och (11) reducerar sig då äfven koeffi-

1' 1 cienten för f 2 till och koefficienten för k 2 till der a a 2 ' /? 2 ' och beteckna de båda halfdiametrarna, och man erhåller

C 2 772

(17) f . =

Sådan är den sökta eqvationen för en ellips i det nya koordinat-systemet. Gör man turvis ij = 0 och £ = 0 , finner man, att ellipsen skär f-axeln på afståndet + a och )y-axeln på afståndet ± /? från origo; de båda konjugat-diametrarnas längder äro således 2a och 2/9, hvilket öfverensstämmer med vårt antagande.

Då eqvationen (17) endast innehåller qvadraterna af £ och t], så svai'a mot hvarje värde af i tvänne värden af , som äro lika stora men af motsatta tecken, samt likaledes mot hvarje värde af -q tvänne lika stora men motsatta värden af c- Häraf följer, att den ena axeln halfverar de kordor, som äro parallela med den andra, hvilket ytterligare bekräftar den redan kända egenskapen hos konjugat-diametrar.

61. Vi hafva för ellipsen, hänförd till ett system konjugat-diametrar, funnit en eqvation (17), som i ingenting annat skiljer sig från ellipsens eqvation i afseende på axlarna, än att de nya koordinaterna f, TJ äro snedvinkliga. Om man i detta snedvinkliga system enligt samma metod, som ofvan (§ 45) blifvit följd, söker eqvationen för en tangent, har man endast att substituera «, /?, f, TJ i stället för a, fe, x, y och räkningen blifver i öfrigt oförändrad. Tangentens eqvation blifver således af samma form som i det rätvinkliga systemet, nämligen

77

der f , rf äro koordinater för tangeringspunkten och f, rj tangentens löpande koordinater.

Samma resonnement som förut (§§ 52, 53) leder äfven, utan någon annan förändring än den antydda substitutionen, till bestämning af den inbördes relationen mellan tvänne konjugat-diametrar; så att, om deras vinkelkoefficienter i det snedvinkliga systemet betecknas med ji, ju', man i öfverens-stämmelse med (9) har formeln

W = ~f?

Här igenom erhållas några nya teorem: I. Om man från en punkt på för längningen af

en diameter drager tvänne tangenter til l el l ipsen, så halfverar diametern den körda, som sammanbinder tangeringspunkterna.

Ty om denna diameter tages till a-axel och g, rf äro koordinater för den ena tangeringspunkten samt f", rf' för den andra, så är afståndet från origo till den punkt, der de båda tangenterna sammanträffa,

3 2

a _ a

hvaraf £" — f, samt, till följe af ellipsens eqvation, rf' — —rf.

II. Om en paral le logram är omskrifven omkring en e l l ips , så bestämma dess diagonaler r igtnin-garna af tvänne konjugat-diametrar.

Ty den koi'da, som sammanbinder tvänne närliggande tangeringspunkter, halfveras af den ena diagonalen och är parallel med den andra.

III. Tvänne efter behag dragna konjugat -d iametrar OE, OF afskära af tangenten i en gifven punkt O s tycken OE, OF, hvilkas produkt är konstant och lika med qvadraten af den hal fdiameter OD, som är parallel med tangenten.

Diametrarna 00, OD, af hvilka den ena går genom tangeringspunkten och den andra är parallel med tangenten, äro konjugat-diametrar; vi taga den förra af dem till

78

W g - 3 5 - abskiss-axel, den senare till or-dinat-axel samt beteckna OG med a, OD med /?. Om nu

äro eqvationer för konjugat-dia-metrarna OE, OF, så har man

/¥=--»•

Men punkterna E och P hafva samma abskissa OC — a; deras ordinator äro derför /UA = — GE. FIA = CF, och man har följaktligen

GE .GF= — (1/1(1*= {?,

hvaruti det uppstälda teoremet innehålles.

S j e t t e K a p i t l e t .

Om h y p e r b e l n .

62. Orten för en punkt P, hvars afstånd från tvänne fasta punkter F, F' hafva en konstant differens, kallas hy-porbe l ; de fasta punkterna kallas bränpunkter och en rät linie, som man från någondera bränpunkten drager till hyperbelns periferi, får namn af bränpunktsradie (radius vector).

Hyperbe lns eqvation. — I det följande betecknar pig. 36. 2a den konstanta skilnaden

y mellan radii vectores PF' och PF samt 2c afståndet mellan bränpunkterna FF'. Vidare antages ett rätvink-

—'X ligt koordinat-system OX, OY, dervid origo O halfverar linien FF', så att OF = OF'= c och »-axeln sammanfaller med OF samt

79

axeln är vinkelrät der imot. Om då PM dragés vinkelrät mot OX, så äro koordinaterna för punkten P x—OM, y=MP och man har F'M — x + c, FM=x-—c samt

PF' = Ylx + cf + y*, PF = V(x — cy + y\ För positiva värden af * är nu alltid (* + c) 2 > (x—c)2, således PF'>PF och PF'—PF=2a; för negativa värden är der imot (x — c)*>(x + c) 2 , således PF>PF' och PF—PF' — 2a. Hyperbelns analytiska definition kan således sammanfattas i formeln

V(x + cy + y* — M{x — c)* + 3, '= ± 2a, der det öfra tecknet gäller för positiva, det nedra för negativa värden af x.

Grenom den senare radikalens öfverflyttning i högra membrum och upphöjande till qvadrat erhålles

+ aV(x — c) 2 + y 2 = cx — a%; genom förnyad upphöjning till qvadrat och hyfsning finner man

(c 2 — a > 2 — a , y = a 2(c ä — o,2). Emedan skilnaden mellan två sidor i triangeln PFF' är mindre än den tredje, så är 2 a < 2 c eller c > a . Vi kunna derför sätta

c 2 —

då före gående eqvation blifver

eller genom division med a 2 6 2

2 2

a ) x—y-=i K ' a2 V

Sådan är under dess enklaste form hyperbelns eqvation i rätvinkliga koordinater. Mellan den samma och ellipsens eqvation existerar en anmärkningsvärd analogi. För att öfvergå från den ena till den andra behöfver man nämligen endast förändra tecknet för V.

63. Diskussion. — Emedan eqvationen (1) endast innehåller qvadraterna af x och y, motsvaras hvarje punkt (x, y) på hyperbeln af en symmetrisk punkt (x, —y) på motsatt sida om »-axeln samt af en annan symmetrisk punkt

V) på motsatt sida om y-axeln. Hyperbeln är följ-

80

aktligen symmetrisk i afseende på båda dessa axlar och består således af fyra kongruenta delar, belägna i hvar sin axelvinkel. Då vidare punkten (as, y) jämväl motsvaras af en fjerde punkt (— as, —y) med motsatta koordinater och sist nämda punkter tydligen ligga i rät linie med och på lika afstånd från origo, så följer häraf, att origo halfverar alla genom den samma dragna kordor till hyperbeln. Punkten O kallas af sådan anledning hyperbelns medelpunkt.

Om man i eqvationen (1) gör y—0, fås x— ± a; hyperbeln skär således as-axeln i tvänne punkter A, A' belägna på hvar sin sida om medelpunkten O och på lika afstånd a ifrån denna. Linien AÄ — 2a kallas hyperbelns träns ver-sal -axel och punkterna A, A dess t oppar (vertices). Göres x = 0, finner man för y tvänne imaginära värden y — ± bV— 1, hvaraf följer, att hyperbeln alls icke råkar y-axeln. Imellertid tager man äfven på denna axel tvänne punkter B, B' på lika afstånd b från origo och kallar linien BB' = 26 hyperbelns kon jugat -axe l .

Eqvationen (1) satt under formen

y=+ ^ V a ^ V y ~ a

utvisar, att as2 ej kan vara mindre än a 2, emedan y då blefve imaginär, och att as således ej kan få något värde mellan —a och + a. Häraf följer, att om man genom punkterna A, Ä drager tvänne räta linier vinkelrätt mot transversal-axeln, ingen punkt af hyperbeln kan falla mellan dessa linier. För x — a är y=0; för hvarje värde af x större än a får y tvänne lika stora värden af motsatta tecken och dessa värden tillväxa i oändlighet, när as ökas oändligt. Hyperbeln består således af tvänne från hvar andra skilda, i afseende på konjugat-axeln symmetriskt belägna branscher, af hvilka hvardera har en oändlig utsträckning såväl öfver som \mder transversal-axeln.

64. Mekanisk uppritning af hyperbeln. — För att konstruera en hyperbel genom en kontinuerlig rörelse, kan man betjena sig af en tråd och en lineal. Trådens ena ända fästes vid bränpunkten F, den andra vid ändpunkten G af

81

en lineal, som är vridbar omkring F i g . 3 7. den andra bränpunkten F'. Om nu tråden med ett stift hålles spänd emot linealen, under det denna vri-des omkring, så beskrifver stiftet en hyperbelbåge. Ty PF' — PF är i hvarje läge af linealen lika med den konstanta skilnad, som eger rum mellan linealens längd GF' och trådens längd GPF.

Hyperbelns andra branch erhålles på samma sätt, då linealen vrides omkring bränpunkten F.

65. Hyperbe lns bränpunkter äro belägna på transversal-axeln på lika afstånd c från medelpunkten åt hvardera sidan. Af don i § 62 uppstälda relationen c 2 •— a1 — b\ eller

c* = a* + b\ följer, att c är hypotenusa i en rätvinklig triangel, hvars kateter utgöras af hyperbelns half-axlar. Äro dessa gifna, finnas bränpunkterna alltså, då man af transversal-axeln åt hvardera sidan om medelpunkten afskär stycken lika stora med afståndet mellan transversal- och konjugat-axlarnas ändpunkter.

Med e x c e n t r i c i t e t i e n hyperbel förstås afståndet mellan bränpunkterna uttryckt i transversal-axeln såsom enhet. Betecknas excentriciteten med e, har man således

c

a hvaraf

det är c — ae och 62 = c 2 — a 2 = a 2 (e 2 — 1),

b = aVe*~l, eller - = V e2 — 1.

Excentriciteten sålunda definierad är ett abstrakt tal större än enheten, emedan c > a.

66. Radii vectores för en punkt P på hyperbeln kunna enkelt uttryckas genom abskissan * för samma punkt. Sättes nämligen PF=r, PF' = r\ har man

Lindelöf, Geometri. R

8 2

rr ~ — a

Dessa formler blifva framdeles af nytta. Med parameter i en hyperbel förstås den körda, som

genom bränpunkten dragés vinkelrät mot transversal-axeln. Om man i eqvationen r = ex — a gör * = ae, finner man

6 2

för halfva parametern p värdet p — a ( e 2 — 1) = —, hvaraf OJ

a : b = b :p, d. ä.: parametern utgör tredje propor t ionalen till transversal - och konjugat -axe ln .

67. Hyperbe lns asymptoter. — Jämföres hyperbelns eqvation under formen

V = + - V a T ^ a 2

med eqvationen af första graden b

r 2 = (z — Cy + y\ r* = (X + cy + y\ hvaraf

r" — r 2 = (r + r) (r—r) = 4 c * .

Då nu r' — r~ ±2a

enligt hyperbelns definition, så blifver

r 4- r = x = ± Aex. a

Halfva skilnaden och halfva summan af sist anförda formler gifva

[r = ± I — k — a I = ± (ex — a),

11 = + I — x + a I = + (ea? + a),

hvarvid öfra tecknet gäller för positiva, det nedra för negativa värden af x.

För rektangeln af radii vectores fås häraf följande uttryck

83

som representerar diagonaler-na OH, OK till den på axlarna konstruerade rektangeln, så finner man, att mot samma abskissa x = OM svarar på linien OK en punkt Q och på hyperbeln en punkt P, hvilkas ordinator äro

MQ=-x, MP = — VxT^ol\ a a

Afståndet mellan dessa punkter är således

Fig.

PQ = _ (x — \x* — a'),

eller, om täljare och nämnare multipliceras med x + Va;*.— a',

PQ = * + vx*—a2

Detta uttryck minskas oupphörligen och kan blifva mindre än hvilken gifven qvantitet som helst, om x ökas i oändlighet. Häraf följer, att hyperbelbågen AP närmar sig oupphörligen till räta linien OQ, så att afståndet mellan dem blifver huru litet som helst, utan att dessa linier likväl någonsin sammanträffa. Räta linien OQ kallas af sådan anledning asymptot till hyperbeln, nämligen till de bågar, som falla inom första och tredje axelvinkeln. Linien OK är likaledes asymptot till de hyperbelbågar, som falla inom andra och fjerde axelvinkeln.

Hyperbeln har således två rätvinkliga asymptoter, som sammanfalla med diagonalerna till den på axlarna konstruerade rektangeln. Eqvationen för den ena är y = —x, för

den andra y-b a

Dessa eqvationer kunna äfven skrifvas

y__Q % y . - + f = 0 . a b

Genom deras hopmultiplicering erhålles en eqvation af andra graden

84

(3) ^ = 0,

som på en gång representerar båda asymptoterna. Hvardera asymptoten gör med transversal-axeln en vin

kel, hvars tangent är ~ . Är a = &, blifva asymptoterna vin-

kelräta mot hvar andra och hyperbeln kallas då lik si di g.

68. H y p e r b e l n s tangent. — Det förfarande, som i § 45 blifvit användt med afseende på ellipsen, leder äfven till bestämning af hyperbelns tangent. Sjelfva räkningen undergår ingen annan förändring, än att b2 öfver allt erhåller motsatt tecken. Eqvationen för hyperbelns tangent blir derför

eller (i) w a 2 62 '

der x', y' äro koordinater för tangeringspunkten och », y beteckna tangentens löpande koordinater.

Abskissan för den punkt, der tangenten skär »-axeln, a'

är den utgör således tredje proportionalen till x och a, hvar igenom ett medel erhålles att konstruera tangenten.

V För tangentens afskärning med y-axeln är ordinatan -.

Ju mer x och y' tillväxa, det är, ju längre kontaktspunkten allägsnar sig från origo, desto mindre blifva de

a% V segment —, ;, som tangenten afskär af axlarna och desto

x y mer närmar sig tangenten till origo. Yinkelkoefficienten 6 V —z—, närmar sig dervid tillika en gräns, som är lätt att be-a y ° ° 1

stämma. Ty då (*', y') är en punkt på hyperbeln, har man

85

hvaraf synes, att för oändligt tillväxande värden af *' för

hållandet närmar sig en viss ändlig gräns ± - och att

hvilket är asymptotens vinkelkoefficient. Asymptoten är således det gränsläge, hvartill tangenten närmar sig oupphörligen, då kontaktspunkten ailägsnar sig oändligt; man kan derför säga, att asymptoten är tangent till hyperbeln i en oändligt aflägsen punkt.

Ofvanståendo formler visa tillika, att — är det största

nummervärde förhållandet —, kan uppnå, och att följakt-

ligen — är det minsta möjliga värde för tangentens vinkel-

koefficient, hvaraf man åter kan sluta, att tangentens lutning mot transversal-axeln alltid är större (d. ä. närmare 90°) än asymptotens.

69. Tangenten halfverar vinkeln mellan radii vectores . — Ty antag, att PT tangerar hyrperboln i P (*', y') och drag radii vectores PF, PF'. Då nu

OT=—„ OF = OF' = c = ae, J l 8 . S 9 .

F'P = r' — ex' + a, FP = r — ex — a, (§ 66), så är /

Enligt Eucl. TI, 3 är således vinkeln TPF' = TPF. Ur denna sats kunna åtskilliga teorem härledas: I. Orten för den punkt if, der perpendikeln

från focus råkar tangenten, är en cirkel uppritad

a

hvaraf F'T_ r' ~FT~V

86

på t ransversa l -axe ln såsom diameter. — Ty då FG är vinkolrät mot PT, blifva trianglarna PKF och PKG kon-gruenta; man har således PF — PG och FK = KG. Då nu FG är skuren midt i tu i punkten K och FF' likaledes är skuren midt i tu i punkten 0, så är OK parallel med F'G och lika med \F'G. Men F'G = F'P — PF=2a; alltså är O I = s .

II. Om man från en yttre punkt P d rager två tangenter PM, PM t i l l hyperbeln, så g ö r a dessa båda tangenter l ika stora v inklar ,MPF, MPF' med de räta linier, som sammanbinda punkten P med de båda bränpunkterna.

Ty om man af MF' afskär ett stycke MN = MF samt af MF ett stycke MW = MF', så blifva trianglarna PMF, PMN kongruenta, emedan MF = MN, MP gemensam och PMF = PMN. På samma sätt blifva trianglarna PMN.

således äfven deras hälfter FPM, F'PM lika stora.

III. Rektangeln af de perpendik lar , som från bränpunkterna fäl las mot en tangent, är konstant och lika med qvadraten af halfva kon jugat -axe ln . — Att i fråga varande rektangel är konstant, bevisas på samma sätt som motsvarande teorem angående ellipsen (§ 50); att den är = b', inses, om man betraktar tangenten i vertex; ty perpendiklarna från bränpunkterna mot denna tangent äro c + a, c — a och deras produkt är c 2 — a* = bi.

Fig. 40. PMF' kongruenta. Häraf följer nu, att äfven trianglarna PFN', PNF' äro kongruenta, emedan sidorna i den ena äro lika stora med hvar sin af sidorna i den andra, PF=PN, PN' — PF', FN' ~ F'N = 2a. Följaktligen äro vinklarna FPW, NPF' lika stora. Tager man bort den gemensamma NPW, blifva de återstående FPN, FPN' och

87

70. Normalen PH är vinkelrät mot tangenten; dess

vinkelkoefficient är derför — o c h dess eqvation

(5) y - y — t v 0 " - * ) '

Fig. 41.

då a;', y' äro koordinater för den punkt P på hyperbeln, genom hvilken normalen är dragen.

Normalen gör lika stor a vinklar FPH, VPK med radii v e c t o r e s samt halfverar v inke ln PPG me l lan den ena radius v e c -tor och f ö r längn ingen af den andra. — Ty då tangenten PT är vinkelrät mot normalen HK och der jämte halfverar vinkeln mellan radii vectores, så är TPF — TPF', TPH = TPK och följaktligen PPf l = F'PK= GPH.

b V Normalen skär »-axeln på afståndet OH=x -\ r —

a a s + 6 s

x = - i * ' = e V från origo. Då nu OF = ae, så är

FH=e*x—ea=^e(ex—a) = er. I triangeln PFH har man således

sin FPH FH_er FP • = e, d. ä. sinPHF b\r r

normalen gör med radius voc tor och med transver-sa l -axe ln vinklar, hvars sinus hafva til l hvar andra ett konstant förhållande = e.

Af de båda satser, som nu blifvit bevista, framgå följande egenskaper hos hyperbeln i afseende å dess förmåga att återkasta och bryta ljusstrålar.

I. Strålar (FP), som utgå från ena bränpunk-ten, återkastas från h y p e r b e l n i en sådan r igt ning (PG), som om de komme från den andra brän-punkten.

88

II. Tänker man sig h y p e r b e l b å g e n P såsom åtsk i l jande tvänne media med ol ika brytn ings förmåga (det tunnare till venster, det tätare till höger), mellan hv i lka bry tn ingskoe f f i c i enton är l ika med hyperbelns excentr i c i t e t , så bl i fva de strålar, som utgå från den aflägsnare bränpunkten F', e f ter brytningen parallela med t ransversa l -axe ln .

Ty då F'PK=FPH och LPH=PHF, så är sin F'PK sinPPff , x . . „ . A — — = - = - = . = — — . y r , = e = brvtnmgskoemcienten. sm LP H sin PHF " °

Vore F'P den infallande strålen, så blefve följaktligen PL den brutna strålens väg.

71. Om man i normalens eqvation gör y — 0, finner Vx

man x — x' = MH - — j - , hvaraf

Man har följaktligen

För x = 0 finner man likaledes y — y' = JViC = - p r > hvaraf

P f f _ 6 2

P 2 f ~ V '

P f f . P # = « V ^ + ^ = = r r ' , (jämf. § 66),

der r och / beteckna radii vectores för punkten P. Här igenom erhålles följande teorem:

De segment PH, PK, som axlarna afskära af en normal, dragen genom hvilken punkt som helst P på hyperbeln, hafva til l hvar andra ett konstant för hållande = V : a,2, och rektangeln af dem är lika mod rektangeln af radii vectores för punkten P.

72. Tvänne hyperbler, hvilka äro så beskaffade, att den enas transversal-axel utgör den andras konjugataxel och tvärt om, kallas konjugat -hyperb ler . Då

89

är eqvationen för den ena hyperbeln hänförd till axlarna, nämligen för den, hvars transversal-axel sammanfaller med se-axeln, så är i samma system

V1

eqvation för dess konjugat-hyperbel. Tvänne konjugat-hyperbler hafva äfven gemensamma

asymptoter. I båda äro bränpunkterna på samma afstånd c = Va2 + b% från medelpunkten, men excentriciteterna hafva

det oaktadt i allmänhet olika värden, nämligen i den ena

V * , x i = 1 eller -• b' a' a' — 1

och ^ i den andra hyperbeln.

Det är tydligt, att, med undantag af asymptoterna, hvarje rät linie, som dragés genom medelpunkten, råkar endera hyperbeln i två motsatta punkter, men icke råkar den andra. Denna sats kunde äfven bevisas direkt, om man sökte hyperbelns genomskärning med en rät linie y = mx, gående genom origo.

73. Diametrar. — På samma sätt som i § 52 kan man bevisa, att diametern eller den linie, som halfverar parallela kordor till hyperbeln, är en rät linie gående genom medelpunkten. För att på hyperbeln tillämpa den deduk-tion nämde § innehåller, behöfver man endast öfver allt förändra tecknet för &ä. Man finner då mellan vinkelkoef-ficienten m för de parallela kordorna och vinkelkoefficien-tcn m' för den diameter, som halfverar dem, den symmetriska relationen

b2

(6) mm som utvisar, att omvändt m är vinkelkoefficient för diametern till de kordor, hvilkas vinkelkoefficient är m'. Genom ni och ni bestämmas således rigtningarna af två diametrar,

90

af hvilka hvardera halfverar de kordor, som äro parallela med den andra, och hvilka af sådan anledning kallas konjugat-diametrar .

Yille man bestämma inbördes rigtningen mellan parallela kordor till konjugat-hyperbeln och deras diameter, egde man att i § 52 förändra tecknet för a 2 och man skulle mellan m och m' finna samma relation (6), som ofvan. Häraf kan man sluta, att tvänne konjugat-hyperbler hafva gemensamma konjugat-diametrar.

Relationen (6) utvisar, att m och ra' hafva samma tecken, samt att den ena till nummervärde är mindre, den andra större än ^ med undantag af den speciella händelse, då

m = TO', i hvilket fall bådas nummervärde är ^. Vi draga

häraf den slutsats, att båda diametrarna ligga inom samma axelvinklar, antingen första och tredje, eller andra och fjerde, på hvar sin sida om en asymptot, från hvilken de aflägsna sig eller till hvilken de närma sig samtidigt, så att asymptoten sjelf sammanfaller med sin konjugat-diameter.

Då konjugat-diametrarna befinna sig på olika sidor om en asymptot, kan blott den ena af dem råka hyperbeln, den andra icke; den förra halfverar de kordor, som falla inom endera branchen af hyperbeln; den andra der imot de kordor, som gå från den ena branchen till den andra,

I öfverensstämmelse med § 54 finner man, att tvänne supplementar-kordor till hyperbeln, det är tvänne kordor, som från en punkt på hyperbeln dragas till ändpunkterna af en diameter, äro parallela med ett system konjugat-diametrar.

En rät linie, som tangerar hyperbeln i ändpunkten af en diameter, är parallel med konjugat -d iametern. — Ty om x, y äro koordinater för tangerings-

b 2x y punkten, så är - i— vinkelkoefficient för tangenten samt —

vinkelkoefficient för den genom samma punkt dragne dia-

91

metern; och dessa värden insatta för m och m satisfiera eqvationen (6).

Om <p och ip äro de vinklar, som konjugat-diametrarna göra med transversal-axeln, blir eqvationen (6)

tang <p tang ty = OJ

För a = b reduceras den samma till tang <p tang ty — 1, eller tang $o = cos t//. I den liksidiga hyperbeln äro således vinklarna ty hvar andras komplement; och enär asymptoten då gör lika vinklar med båda axlarna, måste den samma i detta fall jämväl halfvera vinkeln mellan två konjugat-diametrar.

74r. Hyperbe ln hänförd t i l l tvänne k o n j u g a t -diametrar. — Beteckna *, y koordinaterna för en punkt på hyperbeln i det rätvinkliga systemet, och f, rj koordinaterna för samma punkt, hänförd till tvänne konjugat-diametrar, af hvilka den ena gör vinkeln <p, den andra vinkeln ty med transversal-axel, så är

x = fcos <p + jycos V, y = f sin <p + rj sin ty.

När dessa värden insättas i eqvationen 2 2

1

a 2 fc2 ' försvinner koefficienten för fy till följe af relationen

6 2

tang <p tang ty — —r„ eller

cos <p cos ty sin cp sin ty som eger rmn mellan tvänne konjugat-diametrar, och hyperbelns eqvation i det snedvinkliga systemet reduceras till

(cos 2 y s in 2 {p\ / o o s 2 ^ sin 2i /A , b * ~ ) S + v ~ p ~~

Om nu (p bestämmer den diameter, som faller mellan

asymptoten och transversal-axeln, så är tang 2^ det är

92

sinV b2 c o s V s in 2 G> , b1

<-~i eller — ~ - > . Men da är tang ty>^. cos 2 ^ a* a2 b cos ii' sin ty — ^ — < — p — . Af koefficienterna i vår eqvation är således den första positiv, den andra negativ och man kan sätta

jcos2{o sin 2^ 1

( 8 ) a2 b2 a 2 '

cos1 ty sin'ty__ 1 a 2 b2

hvar igenom hyperbelns eqvation hänförd till tvänne konjugat-diametrar slutligen blifver

£ 2 t? 2

eller af samma form som dess eqvation i afseende på axlarna. Det bör ej förgätas, att i denna eqvation $ är koor-dinaten räknad efter den diameter, som träffar hyperbeln.

Yille man likaledes söka eqvationen för konjugat-hy-perbeln i afseende å samma diametrar, hade man att i stal-

2 2 2 4

let för eqvationen —%—p=l taga till u t g å n g s p u n k t — ^

= — 1 , det är att förändra tecknet för högra membrum. Räkningen blefve i öfrigt den samma och man skulle finna för f2 och 7 j 2 samma koefficienter som förut. Häraf följer, att om (9) är eqvationen för en viss hyperbel, hänförd till ett system konjugat-diametrar, eqvationen för dess konjugat-hyperbel i samma koordinat-system är

a 2 /92

Hyperbeln (9) råkar f-axeln på afstånden + a från origo, men icke ij-axeln. Motsatsen eger rum med konjugat-hy-perbeln; den råkar ondast jy-axeln på afstånden ± /? från origo. Man tillskrifver derför de båda konjugat-diametrarna respektive längderna 2a och 2/?.

75. Relationerna (7), (8) äro analoga med dem, som vi i § 57 funnit för ellipsen och kunna undergå dylika trans-formationer. Eqvationen (7) kan sättas under formen

93

a cos <p a sin <p a b

fl sin ty"~ fl cos ty'

b a Här är till följe af (8) såväl skilnadcn mollan täljarenas qvadrater, som skilnaden mellan nämnarenas qvadrater lika med 1 och hvardera bråket således (jämf. noten § 58) lika med ± 1, h varvid åter det öfre tecknet bör tagas, emedan de gifna bråken tydligen äro positiva. Följaktligen är

a cos <p _ fl sin ty a sin <p fl cos ty a b ' b a

Af dessa formler i förening med (8) erhålles a 2 cos 2 $o— f l 2 cos 2 ty= a 2, a 2 sin2 <p — fl% sin2 ip = — 6 2;

d. v. s. skilnaden mellan qvadraterna af tvänne konjugat -d iametrars pro jekt ioner på hvardera axeln är konstant. Genom addition af sist anförda eqvationer framgår

« 2 _ ,9* = a' —b'; skilnaden mellan tvänne konjugat -d iametrars qvadrater är konstant och lika med ski lnaden mellan axlarnas qvadrater.

Man finner ytterligare, liksom i § 59, relationen aflsin(ty — <p) — ab,

som innebär, att ytan af den parallelogram, som uppritas på tvänne konjugat -d iametrar , är konstant och lika med rektange ln af axlarna.

Relationen a 2 —/3 2 = a 2 —& 2 utvisar, att om a och b äro olika, a och fl jämväl äro olika och hyperbeln ej eger något par lika stora konjugat-diametrar; men att der imot, om a = b, äfven a = fl, och att således i den liksidiga hyperbeln hvilka två konjugat-diametrar som helst äro lika stora.

76. Om den i § 74 omförmälda koordinat-transforma-tionen verkställes äfven med afseende å eqvationen

2 2

2 Z, 2 ? a b

hvilken enligt § 67 representerar båda asymptoterna, blir

94

eqvationen för dessa, hänförd till tvänne konjugat-diametrar 2a, 2/9,

hvaraf

£ - £ = 0 a2 y?2 '

Mot hvarje värde på den ena koordinaten svara således tvänne lika stora och motsatta värden på den andra. Här igenom erhållas följande teorem:

I. H v a r j e d iameter halfverar de räta l in ier (asymptot-kordor), som dragas från ena asymptoten til l den andra paral lelt med konjugat -d iametern . Med andra ord: hyperbe ln och dess asympto ter hafva gemensamma kon jugat -d iametrar .

II. A s y m p t o t e r n a sammanfalla med d iagona-lerna till hv i lken som helst af de p a r a l l e l o g r a m -mer, som uppritas på två konjugat -d iamotrar .

Eqvationen för dessa diagonaler i afseende på konjugat-o

diametrarna är nämligen t j = ± — $, således den samma som för asymptoterna.

IH. A s y m p t o t e r n a afskära lika stora stycken GU, GH' af en tangent, och hvardera s tycke t är l ika med

F i e - 4 3 - den hal fdiameter OD, som är paral le l med tangenten.

Om man nämligen genom ändpunkterna af tvänne konjugat-diametrar GG', DD' drager tangenter till hyperbeln, uppkommer en parallelogram, hvars sidor äro parallela med de gifna diametrarna och hvars diagonaler sammanfalla med asympto

terna; man har således GK=GW = OD. IV. Om en rät l inie skär hyperbe ln och asymp

toterna, så äro de delar af henne, som på hvardera

95

sidan inneslutas mellan Kg. 44. hyperbeln o ch asymptoten, lika stora.

Ty då samma diameter OM halfverar såväl hyperbelkordan GG' som asymptot-kordan DD', så är MD = MU, MC = MG' och följaktligen CD = G'D. För en körda HH' dragen mellan hyperbelns olika brancher har man likaledes HK = H'K.

V. Drager man genom en punkt P på hyperbeln en rät linie QQ' (fig. 43), som träffar asympto terna i två punkter , så är rektangeln af dessa punkters afstånd från P lika med qvadraten af den half-diameter, som är paral le l med den gifna linien.

Ty om OG är den diameter, som halfverar QQ' och

OM=$, så är MP = MP' = ^ V f ^ 3 « 2 och MQ = MQ'^£, a a

hvaraf PQ = l ( £ _ V<F=V), PQ' = É$ + V F ^ j

a a och således

PQ • PQ' = ^ — (f2 - « ! ) j = /?2.

77. H y p e r b e l n hänförd till asymptoterna såsom koordinat -axlar . — Betecknar 2w vinkeln mellan asymptoterna, så att den ena asymptoten gör vinkeln — co, den andra vinkeln + to med transversal-axeln, och tager man den förra asymptoten till axel för x, den senare till axel för y, så har man att i de allmänna formlerna för koor-dinaters transformation (§ 10, 2:o) göra a = —co, ft = co; dessa formler reduceras då till

x = (y' -f- x') cos co, y = (y' — x') sin to.

Observera vi dess utom, att c o s « = - , sinw=—, dåc =Va2-t-&*

96

är halfva diagonalen till den rektangel, som uppritas på axlarna, eller, med andra ord, bränpunktens afstånd från medelpunkten, så kunna dessa formler iifvon skrifvas

x y' + x a c

y y —x

När dessa värden insättas i eqvationen ^ — ^ = 1, erhålles a b

{y +*T — (y' — x'y = e\ eller genom termernas reduktion och accenternas bortlem-nande

c" xy = T

hvilken är den sökta eqvationen för hyperbeln hänförd till asymptoterna.

För tangenten i en punkt (x, y') af hyperbeln finner man i detta koordinat-system eqvationen

xy' -f" yx' — — = 2x'y'.

Tangenten skär den ena asymptoten på afståndet OH— 2x', den andra på afståndet OK=2y från origo. Om man genom tangeringspunkten P drager räta linier PM, PN parallela med asymptoterna, så är OM = x', ON = y'. Man har således OH=20M, OK =

~_1 20N, d. v. s. de s tycken, som en M. Ii tangent afskär af asymp to terna,

hal fveras af de l inier , som genom tanger ingspunkten dragés para l l e l t med asymptoterna.

Dubbla ytan af triangeln O HK uttryckes genom OH. OK sin HO K — 4x'y' sin 2w. Då nu produkten 4x'y' till följe af hyperbelns eqvation är konstant = c 2 och vinkeln CD jämväl är oföränderlig, så följer häraf, att tangenten till en hyperbe l bildar med asymptoterna en triangel , hvars y t - innehå l l är konstant .

Fig. 4 5 .

K

N

97

Betraktar man särskildt tangenten i vertox, så finner man, att i fråga varande triangels yta är ab eller lika med rektangeln af half-axlarna. Samma resultat erhålles omedelbart, om man observerar, att triangeln OKH är fjerdedolen af en på tvänne konjugat-diametrar uppritad parallelogram.

"78. Yi framställa här till slut några geometriska konstruktioner i afseende på hyperbeln.

I. Hyperbe lns uppr i tn ing genom punkter, då man känner asymptoterna och en punkt P på hyperbeln. — Man drager genom P (fig. 43) så många räta linier man behagar ifrån den ena asymptoten till den andra och bestämmer på hvarje sådan linie en symmetrisk punkt P', så att P och P' äro på lika afstånd från liniens ändpunkter. Hvarje sålunda bestämd punkt P' är belägen på hyperbeln (§ 76, IV).

II. Att finna hyperbelns bränpunkter och asymptoter, när axlarna äro gifna. — Man uppritar en rektangel på axlarna och drager diagoualerha till den samma, så erhållas asymptoterna. Sedan afskäres af träns versal-axeln åt hvardera sidan om medelpunkten ett stycke lika med halfva diagonalen till förut nämch? rektangel; der igenom blifva bränpunkterna bestämda.

III. Att finna axlarnas längd, när bränpunkterna och asymptoterna äro gifna,—Man tager asymptoternas genomskärning till medelpunkt och uppritar en cirkel, hvars periferi går genom bränpunkterna. Denna cirkel skär asymptoterna i fyra punkter, hvilka sammanbundna två och två bilda en rektangel, hvars sidor äro parallela och lika stora med hyperbelns axlar.

IV. Att draga en tangent til l hyperbeln g e n o m en punkt P på den samma. —Man sammanbinder P med båda bränpunkterna och halfverar vinkeln mellan radii vectores. Eller annorlunda: man drager genom P linier PM, PN (fig. 45) parallela med asymptoterna, gör MH= MO, NK=NO och sammanbinder HK; sist nämde linie är den sökta tangenten.

Lindelöf, Geometri. 7

98

Y. A t t från en yttre punkt Q draga tangenter t i l l hyperbeln. — Man beskrifver omkring den gifna punkten Q en cirkel, hvars periferi går genom den ena bränpunkten F, samt omkring den andra bränpunkten F' en cirkel med radien 2a. Dessa cirklar skära hvar andra i två punkter G, G. Ifrån Q dragés sedan två räta linier, som halfvera bågarna FG och FG; dossa linier äro de sökta tangenterna.

Läsaren behagade sjelf upprita figuren. Beviset är analogt med det i § 49, 2:o.

Yl. At t draga en tangent paral le l med en gifven rät linie. — Man drager en asymptot- (eller hyper-bel-) körda parallel med den gifna linien samt en diameter, som halfverar denna körda. Ändpunkterna af denna diameter blifva kontaktspunkter för de två tangenter, som här äro möjliga.

VII. At t finna konjugat -d iametern til l en gifven diameter. — Härtill erbjuda sig tre metoder:

l:o. Man drager en asymptot-korda parallel med den gifna diametern samt en diameter, som halfverar denna körda.

2:o. Man konstruerar enligt IV en tangent till hyperbeln i don gifna diameterns ändpunkt; donna tangent är parallel med konjugat-diametern och den del deraf, som faller mellan asymptoterna, är lika med konjugat-diameterns längd.

3:o. Man drager tvänne supplementar-kordor, af hvilka den ena är parallel med den gifna diametern; den andra är då parallel med den sökta konjugat-diametern.

VIII. A t t finna axlarna til l en g i fven hyperbel . — Man drager tvänne parallela kordor efter behag och en rät linie, som halfverar dem. Denna linie blifver en diameter och midten deraf är hyperbelns medelpunkt. Omkring denna beskrifves en cirkel, som skär hyperbeln i fyra punkter. När dessa sammanbindas två och två med räta linier, uppkommer en rektangel, hvars sidor halfveras af axlarna.

9 9

S j u n d e K a p i t l e t .

Fig. 46.

Om parabeln.

79. Parabel kallas orten för en punkt P, hvars afstånd från en gifven punkt F och från en gifven rät linie 88' äro lika stora. Den gifna punkten kallas bränpunkt (focus) och den gifna linien styrl inie (directrix) till parabeln. Afståndet från en punkt på parabeln till bränpunk-ten får namn af bränpunkts - rad ie (radius vector).

För att konstruera parabeln genom punkter, drager man ordinator eller räta linier PQ, P'Q', . .. pa- ? rallela med styrlinien samt beskrif- J 5L ver omkring bränpunkten F cirklar, ^ hvilkas radier äro lika med afstånden LM, LM,. .. mellan styrlinien och ordinatorna. Dessa cirklar skära j \ motsvarande ordinator i vissa punkter P, Q, P', Q', ..., som ligga på parabeln, emedan för hvarje sådan punkt radius vector tydligen blifver lika med afståndet från styrlinien.

Parabeln kan äfven uppritas genom en kontinuerlig rörelse med tillhjelp af en tråd och en vinkelhake på följande sätt. En tråd af samma längd som vinkelhakens ena sida AC fästes med ena ändan i C, med den andra i bränpunkten F. Då nu vinkelhakens andra sida AB föres utefter styrlinien, under det tråden medelst ett stift hålles spänd mot sidan af vinkelhaken, beskrifver stiftet en parabelbåge.

80. Parabelns eqvat ion . — Parabelns gestalt beror endast af det vinkelräta afståndet FL från bränpunkten till styrlinien, hvilket afstånd vi skola beteckna mod p. Mid-ten O af FL taga vi till origo och låta »-axeln falla utefter OF samt y-axeln vinkelrätt der imot, utefter OY.

100

Koordinaterna för punkten P äro då x = OM, y = MP och man har

PF = V ( a 7 ^ j 3 ) 2 + y\ PA = L l f = * + i p. Enligt parabelns definition är nu PF = P.4, det är (z-teY + y* = +

hvaraf (1) y" — 2px,

hvilket är den sökta eqvationen för parabeln. Denna eqvation utvisar, att * endast kan få positiva

värden, emedan i annat fall y blefve imaginär. Parabeln ligger således till hela sin utsträckning på den sidan om y-axeln, der x är positiv. Mot hvarje värde af * svara tvänne lika stora värden för y af motsatta tecken; parabeln är följaktligen symmetrisk i afseende på linien OX, som derför kallas dess axel. Fur * = 0 är y = 0; när x tillväxer från 0 till co, tillväxer det absoluta värdet af y äf-venledes från 0 till oo. Häraf följer, att parabeln går genom punkten O, som får namn af topp (vortex), samt består af tvänne symmetriska armar, som sträcka sig i oändlighet den ena öfvor, den andra under axeln.

Eqvationen y° = —2]>x representerar en annan parabel med samma topp och axel som den föregående, men vänd åt motsatt sida, det är åt det negativa x.

81 . Parabeln har en viss yttre likhet med hyperbeln; men eu väsendtlig olikhet består deruti, att parabeln icke har någon rätlinig asymptot. I sjelfva verket insor man genast, att den ej kan ega någon med »-axeln parallel asymptot, emedan y tillväxer i oändlighet med x. Jämför man åter parabeln med en rät linie, som skär axeln, och i hvars eqvation y = mx + b vinkelkoefficienten m således icke är noll, finner man, att, för en och samma abskissa x, parabelns ordinata är V 2j>x och räta liniens ordinata mx + b; differensen mellan dessa ordiuator, eller afståndet mellan parabeln och räta linien taget i rigtningen af en ordinata utgör således mx + b — \2jax, eller

im+bx-V2i)>

101

x' — x" y' + y"' Nar detta värde insattes, blir sekantens eqvation

2p y — y' = —, (x — %'). y 9 y + y K '

Eqvationen för en tangent erhålles häraf, om man låter punkten (*", y") sammanfalla med punkten (x, y'), det är om man gör x" = y" = y'. Man finner då

V~ V' = | (x — x'),

eller genom nämnarens bortskaffande och insättning af y'1

och denna expression växer utan gräns, när x ökas oändligt; ty den första faktorn x blifver oändlig och don andra faktorn (inom parentesen) har till gräns m. Följaktligen aflägsnar sig räta linien mor och mer från parabeln och kan icke utgöra en asymptot till den samma.

82 . Radius v e c t o r u t t ryckt i abskissan. — Enligt parabelns definition är PF = PA = ML = MO + OL, således

radius vector = x + \p. Parameter kallas den körda, som genom bränpunkten är dragen vinkelrät mot axeln. Om man i föregående formel gör. * = bränpunktons abskissa = \j>, erhålles

halfva parametern =p. I parabelns eqvation y* = 2px är koefficienten för x således lika med parametern. Bränpunktons afstånd från styrl inien u tgör häl ften och dess afstånd från v e r t e x en f j e rdede l af parametern.

83. Tangent . — Eqvationen för en rät linie, som går genom tvänne punkter (x, y'), (x", y") pä parabeln är

y' — y", y—y = (*—*)•

I följd af parabelns eqvation har man der jämte y'"==2px, y"'l=2px", hvaraf y" — y"2 = (y' — y")(y' + y") = 2p(x' — x"), eller

y' — y" %>

102

(2) yy' =p(x + *'), hvilken alltså är eqvationen för den räta linie, som tangerar parabeln i punkten (x', y').

Gör man i denna eqvation j / = 0, finnes x =—x'\ den punkt T, der tangenten träffar axeln, och ordinatans ändpunkt M äro således på lika afstånd från vertex O. I sjelfva vertex är tangenten vinkelrät mot axeln, emedan vinkelkoefficienten — der blifver oändlig.

Emedan OY är parallel med IfP, blifva TM och TP skurna i samma proportion af linien OY; men TM är midt i tu skuren i punkten 0; alltså är äfven TP midt i tu skuren i punkten G. Om nu F och G sammanbindas, blifva derföre trianglarna FGP och FGT kongruenta, emedan sidorna i den ena äro lika stora med hvar sin af sidorna i den andra. Linien FG är således vinkelrät mot tangenten. Härmed är bevist, att orten för den punkt, der perpendike ln från f o cus råkar tangenten , sammanfal ler med den räta l inie , som tangerar parabeln i v e r t e x .

8é. Normal. — Tangentens vinkelkoefficient är —;

vinkelkoefficienten för parabelns normal i punkten (*', y') v'

är således = — 2 - , och normalens eqvation

y

Y

Fig. 47. Tangenten gör l ika stora

v inklar med radius vec tor och med axeln. — Ty då OF = OL och OM=OT, så är FT—ML = PN— PF; triangeln PFT är således likbent och vinkeln vid P lika stor med vinkeln T. Dragés PQ parallel mod axeln, så följer häraf, att tangenten gör lika stora vinklar med PF och PQ.

y

(3) y—y' = —!L (x — x').

103

För den punkt H, der normalen skär axeln, är y = O och z = OH=x'+p. Häraf erhålles subnormalen, eller normalons projektion på axeln, MH=OH—OM—x+p— x'—p; d. v. s. subnormalons längd är konstant och lika med halfva parametern .

Då normalen är vinkelrät mot tangenten och denna gör lika stora vinklar med PF och PQ, så följer, att normalen PR halfverar vinkeln FPQ mellan radius vector PF och den med axeln parallela linien PQ. Härpå beror följande egenskap hos parabeln i afseende å dess förmåga att reflektera ljuset:

Strålar, som i n f a l l a pära l l e l t med axeln, sammanträffa efter r e f l e x i o n e n i parabelns bränpunkt, och tvärt om: strålar, som utgå från bränpunkten, återkastas i en med axe ln para l l e l r igtning .

På denna egenskap grundar sig inrättningen af spe-gel-teleskoper, bränspoglar, reverberer, m. m.

85. Diametrar. — Diameter till en parabel kallas hvarje linie, som halfverar ett system parallela kordor. Vi beteckna med

y = mx + k eqvationen för hvilken som helst af de parallela kordorna, hvarvid koefficienten m äf konstant, men termen k varierar från den ena kordan till den andra. Då man mellan denna och parabelns eqvation

y2 = 2px eliminerar x, erhålles eqvationen

y —-y + — = o, * ra '

hvars rötter yx, y^ äro ordinator för kordans ändpunkter. Rötternas summa är, såsom bekant, lika med andra termens koefficient tagen med ombytt tecken, och halfva denna summa uttrycker ordinatan för kordans midt. Om man med x0, y0 betecknar koordinaterna för sist nämde punkt (mid-ten af kordan), så är följaktligen

p ii —

104

Då denna eqvation är oberoende af k, gäller den samma för midten af hvarje körda, hvars vinkelkoofficient är m och representerar således orten för de parallela kordornas mid-ter. Af eqvationens form synes, att denna ort är en med »-axeln parallel rät linie, hvars konstanta ordinata eller

afstånd från axeln är —. I parabe ln utgör hvar ie dia-m 1 o j

meter, e l ler ha l fver ings l in ie för p a r a l l e l a kordor , en rät l inie , som är p a r a l l e l med axeln.

Yore diameterns afstånd yQ från axeln bokant, blefve rigtningen af de kordor, den samma halfverar, bestämd genom vinkelkoefficionten

Vo V

Men — är tillika vinkelkoefficient för parabelns tangent i ändpunkten af samma diameter, hvaraf följer, att:

Tangenten t i l l parabe ln i ändpunkten af en diam e t e r är para l le l mod do k o r d o r , som af samma diameter ha l fveras .

86. Parabe ln hänförd ti l l on diameter och ti l l t angenten i diameterns ändpunkt såsom koord inat -axlar. — Öfvergången från det hittills begagnade rätvinkliga systemet till det nya snedvinkliga skor genom en dubbel transformation; den erfordrar såväl flyttning af origo, som förändring af i/-axelns rigtning. Tänker man sig först det

rätvinkliga koordinat-systemet flyt-tadt parallelt med sig sjelft från vertex O till den nya origo O', hvars koordinater OM, MO' vi beteckna med h, k, så har man mellan koordinaterna as, y i det första systemet och koordinaterna as', y i det andra systemet för hvilken punkt som helst följande relationer as == as' + Ä, y — y' + k.

Fig. 48.

O P M

105

Låter man sedan i det andra systemet i/-axeln få en sned rigtning 0'Y': under det »-axeln 0'X' förblifvor oförändrad, och betecknar man med e vinkeln X'0'Y' mellan de nya koordinat-axlarna samt med rj koordinaterna i detta tredje system, finner man (§ 10, 2:o)

x' = c + f] cos <9, y' = T/ sin e,

hvar igenom föregående formler blifva x — c + rj cos & + h, y = T] sin e + k.

Genom insättning af dessa värden för x och y i parabelns eqvation y" = 2px erhålles

yf sin2 e + 27i)j sin ft + k'' = 2p ($ + q cos e + h). Denna eqvation tillåter en ansenlig förenkling; man

hav nämligen, för det första k1 = 2ph,

emedan (h, k) är en punkt på parabeln, och för det andra V

tang e = 7-, eller Ib

k sin ö = p cos e, till följe deraf, att 0'Y' tangerar parabeln. Genom dessa värden reduceras vår eqvation till

r/' sin2 o = 2p$, P

eller, om man för korthotens skull sätter . „ = t i l l sin A

(4) ? 2 = 2p'c. Sådan är parabelns eqvation i det nya snedvinkliga sy

stemet. Vi skola ännu undersöka den geometriska betydelsen af koefficienten p. I den rätvinkliga triangeln FGT är FG — FT sin e = FO' sin#; i den rätvinkliga triangeln FGO åter är vinkeln vid G — e och således ™ = FO = FG sin B = FO' sin26, hvaraf

sm 2 e p' är således dubbla radius vector från origo O', på samma sätt som i den ursprungliga eqvationen, i / 2 = 2px, p be-

106

tecknar dubbla radius vector för vertex O. Man kan äfven utan svårighet bevisa, att %> utgör hälften af den körda, som genom focus dragés parallel med 77-axoln.

87. Såsom vi sett, är parabelns eqvation (4) hänförd till en diameter och tangenten i dess ändpunkt af samma form som dess eqvation i afseende på axeln och tangenten i vertex. Af denna öfverensstämmelse följer, att eqvationen för parabelns tangent äfven har samma form i båda koordi-nat-systemen. I det nämda snedvinkliga systemet är tangentens eqvation således i enlighet med (2)

rjrj = / (? + f ) , då (g, rj) är kontaktspunkten och f, rj tangentens löpande koordinater. För den punkt, der tangenten råkar diametern, är rj = 0 och f = — c äfven för det snedvinkliga systemet gäller det alltså, att om man genom hvilken punkt som helst på parabeln drager en tangent och en ordinata, dessa linier skära ?-axeln på lika afstånd från origo åt motsatta sidor.

Häraf följer ytterligare, att tvänne genom ändpunkterna af en körda dragna tangenter sammanträffa på den diameter, som halfverar kordan; eller annorlunda uttryckt:

Om man genom en y t t re punkt drager tvänne t a n g e n t e r och cn d iameter til l parabeln, så halfverar diametern den körda, som sammanbinder tangeringspunkterna.

88. Ytan af ett parabelsegment. — Om man från ändpunkterna af en parabelbåge MN drager brän-

Fig. 49. punktsradierna MF, NF, tangenterna MS, N8 samt perpendiklarna MP, NQ mot styrlinien, så uppkomma tvänne fyrhörningar MNQP och FMSN, af hvilka den förra till sitt ytinnehåll är dubbelt större än den senare. För att bevisa detta, draga vi genom 8 linien LH vinkelrät med styrlinien och sammanbinda 8 med F, P och Q. Dia-

107

metern LH halfverar då tangentkordan MN (enl. föreg. §) oeh följaktligen äfven sidan PQ. Triangeln 8NF är kon-gruent med triangeln 8NQ, emedan vinklarna vid JV äro lika stora och NF == NQ. Af dylik orsak äro äfven trianglarna SMF och 8MP kongruenta. Men trianglarna 8NQ och 8MP utgöra till sammans hälften af trapeziet MNQP, ty deras sammanlagda yta erhålles, då halfva summan af baserna JVQ och MP multipliceras med den gemensamma höjden i PQ. Alltså är trapeziet MNQP = 2 . FM8N.

Tänker man sig parabelbågen JtfJV delad i ett godtyckligt antal delar, och för hvarje sådan del samma konstruktion utförd, som här ofvan verkstälts för hela bågen MN, så uppkommer der igenom å ena sidan ett antal trapezier, hvilkas baser till sammans upptaga linien PQ, och å andra sidan lika många fyrhörningar med gemensam spets i F, om hvilka figurer parvis den ofvan bevista satsen gäller. Följaktligen är summan af alla dessa trapezier dubbelt större än summan af fyrhörningarna. Detta gäller, om bågen är delad i huru många och huru små delar som helst. Låter man nu delarna blifva oändligt små och deras antal växa i oändlighet, har summan af trapezierna till gräns den mellan parabelbågen JtfJV och styrlinien inneslutna blandade figuren MNPQ, och summan af fyrhörningarna till gräns parabelsektorn FMN. Då nu det förhållande, som eger rum mellan tvänne föränderliga qvantiteter i allmänhet, äfven måste gälla för deras gränsvärden, följer häraf:

Om man från ändpunkterna af en parabe lbåge fäller perpendiklar mot styrl inien, så är den här igenom uppkommande blandade fyrhörningen dubbe l t s törre än den af bränpunktsradierna och samma båge inneslutna sektorn.

Af detta teorem, jämfördt med den först bevista satsen, att trapeziet MNQP är dubbelt större än fyrhörningen FMSN, följer ytterligare, att det af kordan JlfJV och motsvarande parabelbåge inneslutna segment är dubbelt större

108

än den af samma båge och don brutna linien MSN begränsade ytan, eller med andra ord:

Ytan af ett parabelsegment utgör tvåtredjedelar af den kring segmentet omskrifna triangelns yta.

89. Med stöd häraf är det lätt att beräkna den yta F is- so- OPM (fig. 50), som inneslutes

mellan parabeln och dess axel samt ordinatan för en punkt P på den samma, då koordinaterna .b, y för denna punkt äro gifna. Drager man nämligen tangenten PT, så är 0 T = OM=x, och triangeln MPT — xy, samt följaktligen MPO = \xy.

90. Till slut framställas här några geometriska konstruktioner i afseende å parabeln.

I. Att draga en tangent til l parabeln genom en punkt P på den samma (fig. 47). —• Detta kan verkställas på flera olika sätt:

l:o Man drager ordinatan PM, gör OT — OM och sammanbinder PT.

2:o Man gör FT lika mod radius vector FP och sammanbinder PT.

3:o Man gör MH lika med halfva parametern, det är lika med 2OF, drager PH, som blifver normal (§ 84), samt genom P en linie PT vinkelrät mot PH.

II. At t genom en yttre punkt Q draga tangenter t i l l parabeln. — Man beskrifver omkring Q en cirkel, hvars periferi går genom focus, sammanbinder focus med de punkter, der cirkeln skär styrlinien, samt fäller från Q perpendiklar mot de sammanbindande linierna; dessa perpendiklar blifva då de sökta tangenterna.

Beviset grundar sig på parabelns egenskap, att afståndet från bränpunkten är lika med afståndet från styrlinien och att tangenten halfverar vinkeln mellan dessa afstånds-linier.

109 III. Att draga on tangent parallel med en gif

ven rät linie. — Man fäller från bränpunkten en perpen-dikel mot don gifna linien; den del af perpendikeln, som faller mellan bränpunkten och styrlinien, halfveras och genom midten dragés en rät linie parallel mod den gifna,

IV. A t t finna axeln och bränpunkten ti l l en gi fven parabel. — Man drager tvänne parallela kordor och sammanbinder deras rnidter, hvar igenom en diameter erhålles. Vinkelrät mot denna dragés en körda och genom dess midt en ny diameter parallel med den förra; sist nämde diameter är axeln till parabeln. Slutligen finnes bränpunkten, då man genom ändpunkten af den första diametern drager en tangent (parallel med de först omnämda kordorna) samt en rät linie, mot hvilken tangenten har samma lutning som den har mot axeln; sist nämde linie råkar nämligen axeln i focus.

Å t t o n d e K a p i t l e t .

Koniska Sektioner.

91 . Kon kallas don yta, som uppkommer, när en ode-terminerad rät linie, som skär en annan rät linie, svänger sig omkring den senare, utan att i öfrigt förändra sitt läge i anseende till henne. Don fasta linie, omkring hvilken svängningen sker, kallas axel, den rörliga räta linien ge-neratrix eller genererande linie, den vinkel, de båda linierna göra med hvar andra, genererande vinkel och don punkt, der de skära hvar andra, spets till könen. Könen består af tvänne mantlar eller från hvar andra skilda ytor, som mötas i spetson; hvardera manteln har en oändlig utsträckning. Vi gå nu att undersöka beskaffenheten af den figur, som uppkommer, när en kon afskäres med en plan.

110

Om det skärande planet går genom könens spets, inser man genast, att afskärningen blir antingen en punkt, en rät linie, eller två räta linier, som skära hvar andra i spetsen, allt efter som den vinkel planet gör med könens axel är större än, lika stor med, eller mindre än den genererande vinkeln.

I hvarje annan händelse, det vill säga om planet icke går genom spetsen, blifver afskärningen en kroklinie, hvars beskaffenhet åter beror af planets läge. Här har man att åtskilja tre fall.

l:o Det skärande planet g ö r med könens axel en vinkel, som är s törre än den genererande vin-

Fi g . a. keln. — Planet genomskär då könens ena mantelyta, utan att råka den andra, och afskärningen blifver en sluten kroklinie. Man tanke sig ett plan genom könens axel vinkelrätt mot det skärande planet. Detta nya plan, som i figuren representeras af sjelfva papperets plan, möter könen iitefter tvänne genererande linier SG', SH' och det skärande

planet utvisar en viss rät linie AÄ. Man tanke sig vidare tvänne cirklar O, O', som på en gång tangera AÄ samt sidorna 8G', StI'. Vid figurens omsvängning kring axeln 80' beskrifva dessa cirklar tvänne sferer, som tangera könen utefter cirklarna GLH, G'L'H'. Det skärande pianot tangerar den ena sferon i punkten J P , den andra i punkten F\ eme-pan planet är vinkelrätt mot sferernas radier i dessa punkter.

Detta förutsatt, taga vi efter behag en punkt iW"på könens och planets afskärningslinio och sammanbinda MF, MF', MS. Sist nämde linie MS bildar en goneratrix till könen och tangerar de båda sfererna i punkterna i , L'.

111

Linierna MF och ML äro lika stora, såsom tvänne från samma punkt M dragna tangenter till sferen O. Linierna MF' och ML' äro äfven lika stora, såsom tangenter till sferen O'. Man har alltså

MF + MF = ML + ML' = LL'.

Men LL' är konstant och lika med GG', emedan cirklarna GTJH, G'L'H' afskära lika stora stycken af alla genererande linier; alltså är summan af afstånden från en punkt M på afskärningslinien till tvänne fasta punkter F, F' konstant; denna linie är följaktligen en ellips, hvars bränpunkter är F och F'.

Den konstanta summan GG' är lika med större axeln AÄ. Tager man bort åt ena sidan AG, KG', å andra sidan de lika stora AF, AF', blifva de återstående AK och FF' lika stora; AK är således lika med afståndet mellan bränpunkterna.

2:o Det skärande planet gör med k ö n e n s axel en vinkel, som är mindre än den genererande vinkeln. — Pianot råkar könens båda mantlar, utan att fullständigt genomskära någondera, och afskärningslinien består af två oändliga brancher.

I figuren förutsattes, att det skärande planet är vinkelrätt mot papperets plan och råkar det samma längs linien AÄ. Cirklarna O och O' konstru- Pi g . 5 2 . eras på samma sätt som i första händelsen. Genom deras omsvängning uppkomma tvänno sferer, som tangera könen utefter cirklarna GLE, G'L'H' samt det skärande planet i punkterna F och F. På genomskärningslinien mellan si st nämde plan och könen tages en punkt M efter behag, som samman-bindes med F, F' och 8. Då är MF'—MF= ML'- ML—LL'=GG', d. ä. skilnaden mellan afstånden

112

från en punkt M på afskärningslinien till tvänne fasta punkter F, F' är konstant; denna linie är således en hyperbel, hvars bränpunkter äro F och F'. Den konstanta differensen GG' är lika med transversal-axeln AÄ och AK är lika med afståndet FF' mellan bränpunkterna.

3;o Det skärande p lanet är para l l e l t med könens sida. — Planet råkar endast den ena mantelytan. utan att fullständigt genomskära henne. Sektionens axel,

„. „, linien AÄ, blifver i detta fall Fig. 03. '

parallel med SH och af de begge sfererna kommer blott den ena O i betraktande. Genom tan-geringspunkterna G, H draga vi en rät linie, som träffar sektionens axel i D. Tager man nu en punkt M efter behag på sektionen, sammanbinder MF, MS och fäller en perpendikel MN mot AÄ samt drager NP

parallel med DG, det är vinkelrät mot könens axel, så är AD = AG = AF, AN = AP samt

MF = ML — PG — ND. Afståndet från en punkt M på sektionen till den fasta punkten F är således lika med on del af sektionens axel, som faller mellan ordinatan MN och den fasta punkten D. Man igenkänner på denna egenskap, att sektionen är en parabel, hvars bränpunkt är F och hvars styrlinie går genom D.

När en konisk yta afskäros med ett plan, uppkommer således efter omständigheterna en e l l ips , en h y p e r b e l eller en parabel , hvilka linier derför med ett gemensamt namn kallas kon iska sekt ioner . Men såsom speciella fall af koniska sektioner måste dess utom anses l:o tvänne räta linier som skära hvar andra, 2:o en rät linie, 3:o en punkt, hvilka fall inträffa, när det skärande planet går genom könens spets.

92. Den i föregående § beskrifna uppkomsten af de koniska sektionerna leder naturligen till den frågan, huru-

113

vida det är möjligt att på hvilken kon som helst placera en gifven ellips, hyperbel eller parabel. Yi skola särskildt betrakta hvar och en af dessa linier.

l:o El l ipsen. — I triangeln AÄK (fig. 51) är sidan AÄ ellipsens större axel, sidan AK afståndet mellan bränpunkterna och vinkeln AKÄ komplement till könens genererande vinkel. Denna triangel kan alltid formeras, när ellipsen och könens vinkel äro gifna. När då sidan AK halfveras och en perpendikel uppreses, bestämmes punkten 8 och afståndet AS samt följaktligen det skärande planets läge.

2:o Hyperbe ln . — I triangeln AÄK (fig. 52) känner man sidan AÄ, som är hyperbelns transversal-axel = 2a, sidan AK, som är afståndet mellan bränpunkterna = 2c, samt vinkeln AKA, som är komplement till könens genererande vinkel = 90° — y. Men emedan nu den sidan är mindre, som står mot den gifna vinkeln, är triangelns konstruktion ej alltid möjlig. Dertill fordras nämligen, att

a>> ccos y, eller då — är cosinus för den vinkel <o, som asymptoten gör med hyperbelns axel, att c o s g j > cos;-, det är y > to. En gifver. hyperbel kan således endast placeras på en sådan kon, hvars genererande vinkel icke är mindre än halfva vinkeln mellan asymptoterna.

3:o Parabeln . — Om man'sammanbinder sferens medelpunkt O (fig. 53) med A och G, uppkommer en vid G rätvinklig triangel, der sidan AG är lika med fjerdedelen af parametern och vinkeln vid O lika med könens genererande vinkel. Sedan man konstruerat denna triangel, hvilket alltid är möjligt, dragés 08 vinkelrät mot OA, tills den råkar förlängningen af AG. Der igenom bestämmes punkten 8 och afståndet AS samt följaktligen det skärande planets läge.

Häraf följer, att man på en gifven kon kan placera alla ellipser, alla parabler samt de hyperbler, i hvilka asymptotens lutning mot transversal-axeln icko öfverstiger könens genererande vinkel.

Lindelnf, Geometri. 8

114

Koniska sektionerna voro redan föremål för de grekiska geometrernas undersökningar. A p o l l o n i u s från P e r g a (250 före Kr.) har efterlemnat ett verk i åtta böcker, der han sammanstält hvad man före honom känt samt de upptäckter han sjelf gjort i ämnet. Före honom betraktade man endast sektioner, som uppkomma, när det skärande planet är vinkelrätt mot könens sida, d. ä. mot en gene-ratrix; derför indeltes de uppkommande linierna i sektioner af den rätvinkliga, den spetsvinkliga och den truhb-vinkliga könen och sektionen benämdes parabel, ellips eller hyperbel, allt efter som könens vinkel (dubbla genererande vinkeln) var lika med, mindre eller större än en rät. Men Apollonius var den första, som beviste, att alla tre slagen af koniska sektioner kunna erhållas af samma kon, och som hänförde namnen parabel, ellips, hyperbel till de egenskaper, som i § 94 anföras.

För att från en annan synpunkt visa sammanhanget mellan de skilda slagen af koniska sektioner, framställes här följande problem.

93. A t t f inna orten för en punkt P, hvars afstånd från en g i fven punkt F och från en g i f ven rät l in ie 88' äro t i l l hvar andra i ett k o n -

PF stant f ö rhå l lande

PN~ Genom F draga vi en rät linie DX vinkelrät mot 88'

AF och bestämma på den samma en punkt A, så att - 7 7 ; = e;

JiLJJ

A är då äfven en punkt på den sökta ortlinien. Denna punkt A taga vi till origo samt låta »-axeln vara rigtad efter AX och ?/-axeln vinkelrätt der imot efter AY. Koordinaterna för punkten P i detta system beteckna vi med se, y och afståndet AF med

AF q. Enligt vårt antagande är -JJ.—

AU

115

- 2 - = c och således AD = —. Då nu AM=x, MP = y, så är AD e

FM=q — x, PN=MD=-x + ~ och följaktligen

FP V ^ Z T ^ T f y _

a; + -e hvaraf

+ = + (1) (l—eiy — 2(l+e)qx + yi^0,

hvilket är eqvationen för den sökta ortlinien. För att utröna dess geometriska betydelse, måste den samma underkastas vissa transformationer, hvilka äro olika, allt efter som det konstanta förhållandet e är lika med, mindre eller större än enheten.

Om e — 1, förenklas föregående eqvation till y* = 4qx

och representerar en parabel, i hvilken bränpunktens afstånd från vertex är q.

För diskussion af de öfriga fallen bringa vi eqvationen (1) först under formen

( l _ e s ) ( ^ _ J ^ ) + , / = 0 ,

hvilken, då (1 — eJ) ^ - r ~ ^ adderas till båda membra, öfver-

går till

(2) ( i - o ^ - ^ V . ^ d - o ^ ) 2 -

Om nu e < l , så är 1 — e en positiv qvantitet och man kan sätta

1 1 — = a

e eqvationen (2) blifver då

(1 _ e») (a, _ a y + y* = (1 — e > * . öenom flyttning af origo från A till den punkt på AX, hvars abskissa är a, antager den samma den enklare formen

( 1 — e > , + y* = (l — e > 5 .

116

b' V ä » — 6 !

1 — e 2 = ' - 5 , e = •

erhålles 1 2

a^b* ' som utvisar, att ortlinion i denna händelse är en ellips. Af formlerna

Va1 —b' e = • , q = a (1 — e)

synes, att e är ellipsens excentricitet och q bränpunktens afstånd från vertex, hvaraf åter följer, att F är en af bränpunkterna. Linien <S'<S" får namn af ellipsens styrlinie. Till den andra bränpunkten hör en annan styrlinie; båda dessa styrlinier äro vinkelräta mot den större axeln och hafva ett symmetriskt läge i afseende på ellipsen, utom hvilken de falla.

Om slutligen e > 1, kan man sätta q

e — 1 ' hvarvid a blir positiv, och eqvationen (2) antager formen

(a* — 1) O + a)% — y1 = (e 2 — 1) a\ Genom flyttning af origo till en punkt på a;-axeln, hvars abskissa är — a , förenklas den samma till

(e' — l ) * » — y ^ C e ' —l )a* . Betecknas den positiva qvantiteten (e s — 1) a 2 med &2, hvaraf

e — 1 = —s, e =

erhålles omsider a 2 ' a

2 2 X1-JL-i a' V ~ '

hvarpå man igenkänner, att den sökta linien i detta fall är en hyperbel. Formlerna

e = , q = a(e — l)

Betecknas slutligen den positiva qvantiteten (1—e ' ) a* med b1, hvaraf

1 1 7

utvisa, att e är hyperbelns excentricitet och q bränpunktons afstånd från toppen, hvaraf åter följer, att F är en af bränpunkterna, Linien SS' får namn af styrlinie. Den andra bränpunkten motsvaras af en annan styrlinie; båda dessa styrlinier äro vinkeiräta mot transversal-axeln och symmetriskt belägna i afseende på hyperbeln, mellan hvars båda brancher de falla,

Den sökta orten är således i hvarje händelse en konisk sektion, nämligen en parabel, om e = l ; en ellips, om e < l ; en hyperbel, om e > l . I de båda senare fallen utgör det konstanta förhållandet e ellipsens eller hyperbelns excentricitet. I öfverensstämmelse härmed tillskrifvor man äfven parabeln en excentricitet e = l . Resultäterna af vår undersökning kunna då sammanställas i följande teorem:

En kon i sk s e k t i o n är or ten för en punkt, hvars afstånd från en g i f ven punkt och från en g i fven rät l in ie äro t i l l hvar andra i ett k o n s t a n t f ö r hål lande. Den gi fna punkten är bränpunkt , den gi fna l in ien s t y r l i n i e och det kons tanta f ö r h å l landet e x c e n t r i c i t e t för koniska sekt i onen .

9é . E q v a t i o n e n för en k o n i s k sekt ion hän förd t i l l v e r t e x är enligt det föregående (1)

(1 — e*)x2 — 2(1 + e)qx + ty*=0, då e är excentriciteten och q bränpunktens afstånd från vertex eller f oka lv idden . (xöres x = q, så blifver y — halfva parametern =p och man finner genom insättning af dessa värden ( 1 — e !)<f — 2(1 + e ) 2 «+_p« = 0, eller i>' = (l + 2e + e*) q\ hvaraf

p = (1 + e) q. Eqvationen (1) kan derför äfven skrifvas

(l—ei)xi — 2px + yi=0 eller

(3) y* = 2px— ( 1 — e*)x\ Denna formel visar sammanhanget mellan de olika sla

gen af koniska sektioner. Qvantiteten 2px utmärker rekt-

118

ängeln af parametern och abskissan. I parabeln är ordi-natans qvadrat lika med denna rektangel; i ellipsen är den mindre, i hyperbeln större än rektangeln af parametern och abskissan. Härpå grundar sig enligt Pappus benämningarna ellips, parabel och hyperbel (xupaftoM] = likhet, zXXsuptq = brist, tmspfiolr] = öfVerskott).

Konstruerar man på samma axel och med samma topp flere koniska sektioner med lika parametrar, men olika excentriciteter, så tangera de alla hvar andra i vertex, men divergera från denna punkt; ellipserna falla helt och hållet inom parabeln, hyperblerna helt och hållet utom den samma. Ju mer ellipsens excentricitet ökas och ju mer hyperbelns excentricitet minskas, desto mer närma sig dessa linier till parabeln, hvilken således kan anses bilda en öfvergång från ellipsen till hyperbeln.

Om parametern 2p försvinner, uppkomma vissa afarter af konisk sektion, till hvilkas beskaffenhet man omedelbart kan sluta af eqvationen (3), som då förvandlas till y = + »Ve2 — 1. Denna eqvation föreställer tvänne räta linier, som skära hvar andra, om e > 1, men en rät linie, nämligen »-axeln, om e = 1. När e är < 1, satisfieras före-nämde eqvation endast af de speciella värdena * = 0, y = 0 och representerar således en enda punkt, nämligen origo.

95. E q v a t i o n e n för en konisk sek t i on i po lära k o o r d i n a t e r kunde erhållas ur eqv. (1) genom koordinat-transformation, men vi föredraga att härleda den samma direkt ur den i slutet i § 93 framstälda allmänna egenskapen, enligt hvilken afståndet från en punkt P (fig. 54) på en konisk sektion till bränpunkten F, och afståndet från samma punkt till styrlinien 88', hafva till hvar andra ett konstant förhållande = e. De koordinater vi välja till bestämmande af punkten P äro afstånden från bränpunkten eller radius vector PF = r samt den vinkel PFA = v, som denna radius vector gör med fokaldistansen. Drager man då PM och PN vinkelräta mot axeln och styrlinien, så är

119

FM= r cos v, FA = q, AD = - samt

PiV" = D.4 + ^77— F3f = o + — r cos v, hvaraf e

PF _ r __ PN~ fl q + —— r cos v 6

e]ler genom successiv reduktion r = (1 + e) q — er cos v,

(1 + e cos v) r = (1 + e) q, (4) „ _ ( ! + e ) ?

1 + e cos v Sådan är eqvationen i polära koordinater r, v för en konisk sektion, hvars excentricitet är e och fokalvidd q. Vill man i stället för sist nämde qvantitet införa halfva parametern _p, behöfver man endast observera, att mot v = 90° svarar r = jo, hvilka värden insatta i föregående formel gifva p = (1 + e) q. Eqvationen (4) kan således äfven skrifvas

(5) 1 + e cos v då p betecknar halfva parametern.

I parabeln är e = 1 och således 1 + e cos v = 1 + cos v v

= 2cos 2 2 ' i dess polar-eqvation blifver derför enligt (4)

2 V cos V

I ellipsen är e < 1 och således 1 + e cos v samt r positiva för alla värden af v. För att bestämma längden af den större axeln 2a, observeras, att denna utgör summan af de radii vectores, som motsvara v = 0 och v = 180°. Då nu

formeln (5) gifver för v = 0, r— ~— och för v = 180°,

—, har man alltså 1 — e'

120

Ellipsens polar-eqvation kan följaktligen äfven skrifvas a (1 — e2)

r = —— 1 + e cos v

I hyperbeln är e > 1 och 1 + e cos v är positiv för alla värden af v, som äro mindre än 90°. Blifver v större än 90°, fortfar expressionen 1 + e cos v att vara positiv, tills den försvinner, då v uppnår ett sådant värde «, att cos a = . För ännu större värden af v blifver 1 + e cos v

e negativ. Radius vector får således äfven enligt (5) både positiva och negativa värden. När v tillväxer från 0 till «, växer r fran ^ ^ till co. För en oändligt aflägsen

punkt är radius vector tydligen parallel med asymptoten, hvaraf man kan sluta, att asymptoten gör med transversal-axeln en vinkel 180° — «, hvars cosinus är —. För värden

e af v större än a blir r negativ, d. v. s. hyperbelpunkten ligger då icke på sjelfva den radie, som bestämmes genom i fråga varande vinkel v, utan på dess förlängning i motsatt rigtning från bränpunkten. De positiva värdena af r tillhöra den ena, de negativa den andra branchen af hyperbeln. För hyperbelns närmaste topp är v = 0 och således (enl. (5))

för den aflägsnare är v = 180° och r——— e + i ' ° ^ ^ ' ' ~e — 1'

Skilnaden mellan dessa värden utgör transversal-axeln, hvars längd således är

2a = ( T = - r ^ - * , hvaraf p = a (e* — 1). e — 1 e + 1 e' — 1' ^ v '

På grund häraf kan hyperbelns eqvation äfven skrifvas a(e*~ 1) 1 + e cos v

under hvilken form den har största likhet med den nyss anförda eqvationen för ellipsen.

121

Om den geometriska betydelsen af en andra gradens eqvation.

96. Den allmänna formen för en eqvation af andra graden mellan tvänne obekanta är

(1) Axi + Byi + 2Cxy + 2Dx + 2Ey + F=0, der koefficienterna för de skilda termerna kunna hafva hvilka reela, positiva eller negativa, värden som helst. En eller flere af dessa koefficienter kunna äfven vara noll; dock be-höfva vi ej betrakta den händelse, då A, B, C på en gång äro noll, emedan eqvationen då vore af första graden. Till undvikande af bråk vid vissa framdeles skeende transfor-mationer äro några koefficienter multiplicerade med faktorn 2.

För att lättare utröna geometriska betydelsen af en sådan eqvation, skola vi först antaga att x och y beteckna rätvinkliga koordinater. Genom en lämplig förändring af axlarnas rigtning kan man alltid bortskaffa den term, som innehåller koordinaternas produkt xy. För sådant ändamål låta vi koordinatsystemet vrida sig om en vinkel a i positiv rigtning omkring origo. De nya likaledes rätvinkliga axlarna för * och y göra då med den ursprungliga »-axeln vinklarna « och 90° + a och man har följaktligen mellan de gamla koordinaterna x, y och de nya koordinaterna y följande relationer (§ 10, 2:o)

x=x' cos a — y' sin a, y = x sin a + y' cos «.

Genom insättning af dessa värden för x och y antager eqvationen (1) formen

(2) Mx" + Ny" + 2Px'y' + 2Gx' + 2Hy' + F=0, der

iM= A cos 5 a + B sin2 a + G sin 2a, (3) IN = A sin2 a + B cos 2 a — C sin 2a,

\2P = (25 — A) sin 2a + 2G cos 2a. Bestämmer man nu a så, att

122

(A — B) sin 2a = 20 cos 2a, eller

2C tang2« = J - ^ ,

hvilket alltid är möjligt, så försvinner P och eqvationen (2) blifver med bortlemnande af accenterna

(4) Mx2 + Ny* + 2Gx + 2Hy + F = 0. Om ingendera af koefficienterna M, N är noll, kan man genom flyttning af origo ur denna eqvation ytterligare bortskaffa de termer, som innehålla x och y i första digniteten. Eqvationen (4) kan nämligen i sådant fall äfven skrifvas

X[* + M) + =M + N~F-Flyttas nu origo till den punkt, hvars koordinater äro

G S — — -== och betecknas högra membrum för korthetens W N 6

skull med K, erhålles mellan de nya koordinaterna följande enkla relation

(I) Mx' + Ny* = K. Vore der imot någondera af koefficienterna M, N lika

med noll, så skulle denna transformation icke mer vara

( G H\

— — då vore oändligt af-lägsen. Men i sådant fall kan eqvationen (4) reduceras till* två termer. Jag antager, att t. ex. N = 0, och skrifver eqvationen (4) sålunda

3f(«B + | ) , + 2ff!, + F - g = 0>

eller .» / M F - ~ . G ' \

= 0. ™f G V nTr( MF — G"\

M ( » + M ) + m [ y + - m M - ) Man behöfver nu endast flytta origo till den punkt, hvars

koordinater aro — — , —2ME—' bringa eqvationen

under denna enkla form (II) Mx' + 2Hy = 0.

123

Sist nämde transformation vore blott då omöjlig, om jämte N äfven H vore noll; men man skulle då komma till en eqvation .1/. - = K, hvilken redan innefattas i formen (I).

Den allmänna eqvationen af andra graden kan således genom transformationen af koordinaterna alltid bringas under endera af formerna (I), (II). Dess geometriska betydelse är nu lätt att igenkänna.

Låtom oss till en början betrakta eqvationen (I) och antagom först, att M och IV hafva samma tecken. Om då K har motsatt tecken, innebär eqvationen en orimlighet och har ingen geometrisk betydelse. Är K= 0 , kan eqvationen endast satisfieras af värdena se = 0, y = 0 och betecknar då en punkt, nämligen origo. Men om K har samma tecken som Af och IV, så representerar eqvationen (I) en ellips. Denna ellips urartar till tvänne parallela räta linier, om den ena af koefficienterna Af, N är noll, och dessa linier sammanfalla, om tillika K är noll.

Om der imot M och IV hafva olika tecken, representerar (I) en hyperbel. Är i T = 0 , öfvergår hyperbeln i två räta linier, som skära hvar andra.

Eqvationen (II) betecknar i allmänhet en parabel, hvilken för H=0 reduceras till en rät linie.

97. För att af den gifna eqvationen (1) omedelbar-ligen kunna sluta, hvilket af de nu uppräknade fallen i verklighoton inträffar, måste vi återgå till formlerna (3), som utvisa sambandet mellan de nya koefficienterna M, IV, P, och de ursprungliga A, B, G. Ur dessa formler härleder man genom addition och subtraktion

M +N=A + B, M — N=(A — B)cos 2a + 2Csin 2a,

2P = — (A — B) sin 2a + 2C cos 2a. De båda sista eqvationerna, upphöjda till qvadrat och adderade, gifva

( M — IV)2 + 4P 2 = (A —B)' + AG\ och när detta subtraheras från

124

(M + IV)2 = (A + B)\ erhålles slutligen

MN — P 2 = AB — C\ Alla dessa relationer gälla för hvilket värde som helst af vinkeln a; men när nu denna vinkel blifvit så bestämd, att P försvinner, gifver den sista formeln

MN=AB — C\ Häraf synes, att M och N hafva lika eller olika tecken, allt efter som AB — C 2 är positiv eller negativ, samt att MN är noll och således antingen M=0 eller IV = 0 , om AB —• G2 = 0. Det är alltså på tecknet för qvantiteten AB — G" som betydelsen af eqvationen (1) väsendtligen beror, och vi kunna på följande sätt sammanfatta de allmänna resultaterna af vår undersökning.

Eqvationen Ax' + By' + 2Gxy + 2Dx + 2Ey + F = 0 representerar

en ellips, 1 en punkt, om AB — G1 > 0; ingenting,)

en hyperbel, ] två räta linier, som om AB — C 2 < 0 ;

skära hvar andra, )

om AB — C* = 0.

en parabel, två parallela räta linier, | en rät linie, ingenting,

98. Hittills hafva vi antagit, att koordinaterna äro rätvinkliga. Skulle der imot x och y i eqvationen (1) beteckna snedvinkliga koordinater, så kunde den samma transformeras till rätvinkliga koordinater genom en substitution af formen

x = mx + ny\ y = mix! -f- it'y'.

Då en sådan lineär transformation icke kan förändra eqva-tionens gradtal, följer häraf, att en eqvation af andra graden mellan snedvinkliga koordinater, så framt den har någon betydelse, äfven representerar en konisk sektion eller någon af dess afarter.

125

I den allmänna eqvationen af andra graden ingå sex koefficienter; men då kola eqvationen kan divideras med en af dem, inser man, att don samma i sjelfva verket endast innehåller fem af hvar andra oberoende konstantor. För att fullständigt bestämma en konisk sektion äro derför i allmänhet fem vilkor nödvändiga och tillräckliga; men dessa kunna väljas på oändligt många sätt. Exempelvis kan man fordra, att den koniska sektionen skall gå genom fem gifna punkter, eller tangera fem gifna räta linier o. s. v.

N i o n d e K a p i t l e t .

Harmoniska egenskaper hos linier af andra graden.

99. H a r m o n i s k a punkter . — Storheter a, b, c, . . . sägas vara i en harmon i sk p r o g r e s s i o n , * ) när deras

reciproka värden ~) p ~) • • • bilda en aritmetrisk progression.

Om tre storheter a, b, c , äro i en harmonisk progression, kallas den mellersta af dem harmon i sk m e d e l p r o -port ional till de båda öfriga. Man har då

a b b c' hvaraf

1 1 2 - + - = y a c b

Fyra punkter A, B, C, D på en rät linie kallas h a r moniska punkter , när afstånden AB, AC, AD från den yttersta af dem till de tro öfriga bilda en harmonisk progression. Emedan de reciproka värdena — — d å

* ) B e n ä m n i n g e n ä r l å n a d f r å n m u s i k e n . F ö r a t t en s t r ä n g m å e f t e r

h a n d g i f v a d e t r e t o n e r n a a f e n d u r - t r e k l a n g , t . ex . u t , m i , s o l ( C , E, G), m å s t e n ä m l i g e n d e v i b r e r a n d e l ä n g d e r n a f ö r h å l l a s i g s å s o m J , | , § ,

o c h d e s s a t a l s r e c i p r o k a v ä r d e n , 4 , 5, 6 ä r o i e n a r i t m e t i s k p r o g r e s s i o n .

126

bilda en aritmetisk progression, har man _1 1__ J . 1_ AB AG" AG AD

hvaraf AG—AB _AB—AG

AB.AG" AC.AD' eller, då AC — AB = BC och AD — AG = CD,

BC _ GD AB" AD

det är AB:BC = AD: DG.

Häraf framgår, att punkterna A, B, C, D äro harmoniska, om afstånden från B till A och G förhålla sig såsom afstånden från D till A och C. Punkterna A och G sägas vara konjugerade, likaså punkterna B och D. Det be-höfver knappt antydas, att punkter, som äro harmoniska i en rigtning (A, B, O, D), jämväl äro harmoniska i den motsatta rigtningen (D, G, B, A).

Af de konjugerade punkterna B och D faller den ena nödvändigt mellan A och C, den andra utom dessa gränser. Antagom, att punkterna följa på hvar andra i ordningen A, B, C, D\ i den ofvan anförda analogien AB: AG = AD:DG är då tredje termen störst och följaktligen andra termen minst, det är BG mindre än både AB och GD. De mellersta punkterna ligga således närmare till hvar andra än till någondera af do yttersta punkterna. De konjugerade punkterna B och D närma sig samtidigt till den mellanliggande punkten G, eller aflägsna sig samtidigt der ifrån; om B sammanfaller med C, så sammanfaller D äfven med samma punkt, men om B faller midt mellan A och O, är punkten D oändligt aflägsen.

Om man med xa, y0 och x1, yt betecknar koordinaterna för tvänne punkter A och C, samt på den räta linie, som sammanbinder dessa punkter, tager en punkt B mellan A och C och en annan punkt D utom dem, sålunda att AB.BG = AD : DG = Å:l, så blifva koordinaterna för B och C re-spective (§ 12)

127

^ 0 + tei Vo+^yl_ x0—Xxl y0— Xy, 1 + / ' 1 + X ' 1 — X ' 1 — X '

Härmed uttryckas således koordinaterna för tvänne punkter, som äro harmoniska med punkterna (« 0 , y0) och (»,, yj. När X varierar från O till co, representeras här igenom efter hand alla så beskaffade punktpar.

100. Harmoniskt knippe. — Fyra räta linier OA, OB, OC, OD, som utgå från en och samma punkt O, kallas harmoniska radier och sägas bilda ett harmoniskt knippe, om sinus för de vinklar, som två af dem, 073, OD, bilda med de två öfriga, O A, 00, äro proportionella:

sin AOB : sin7300 = sin^lOD: sin 0079. Radierna OA och OC kallas konjugerade; likaså radierna OB och OD.

Ett harmoniskt knippe skares af hvilken rät linie (transversal) som helst i fyra harmoniska punkter A, B, C, D. — Sinus för vinklarna AOB, BOC förhålla sig nämligen såsom perpendiklarna från punkten B mot radierna OA, OC, och sinus för vinklarna AOD, COD förhålla sig såsom perpendiklarna från punkten D mot samma radier OA, OC. Då nu de fyra sinus äro proportionella, så äro äfven de fyra perpendiklarna proportionella. Men perpendiklarna från B och D mot 0.4 förhålla sig såsom 473 till AD och perpendiklarna från 73 och D mot OC såsom BC till CD; följaktligen är AB : BC = AD: DC och de fyra punkterna äro således harmoniska,

De räta l inier , som från en punkt O dragas till fyra harmoniska punkter A, 73, C, D, bilda ett harmoniskt knippe. — Af analogien AB: BC = AD: DC följer nämligen först, att perpendiklarna från B och 79 mot OA och OC äro proportionella, hvaraf man sedan kan sluta att sinus för vinklarna AOB, 7300, AOD, DOC jämväl äro proportionella.

1 2 8

Ett harmoniskt knippe har vissa allmänna egenskaper analoga med dem, som tillkomma harmoniska punkter. Af ett par konjugerade radier faller den ena mellan, den andra utom de båda öfriga radierna. De konjugerade radierna OB, OD närma sig samtidigt till den mellanliggande 00 eller aflägsna sig samtidigt der ifrån. Äfven här förekomma tvänne gränsfall: l:o radierna OB och OD sammanfalla på en gång med 00; 2:o om OB faller midt mellan O A och 00, så blir OD vinkelrät mot OB. Allt detta härflyter omedelbart ur sjolfva definitionen på harmoniska radier.

En rät linie, som är parallel med en af radierna i ett harmoniskt knippe, skär de tre öfriga i punkter, som äro på lika afstånd från hvar andra. Ty om transversalen AD voro parallel mecl OD, så skulle afskärningspunkten D vara oändligt aflägsen och den konjugerade punkten B skulle då falla midt mellan A och C.

101. Eqvat ioner för harmoniska linier. — Låt A — x cos a + y cos jj—p = O, A' — x cos a + y cos /?' —p' = 0 vara eqvationerna för tvänne räta linier under normalformen; eqvationen A = XA' representerar då orten för en punkt, hvars afstånd från dossa linier hafva till hvar andra ett kon-

stant förhållande -r = X och som faller inom samma par af A r

linierna A, A' bildade vertikalvinklar som origo, eller inom det andra paret, allt efter som X är positiv eller negativ. Denna ort är tydligen en rät linie, som går genom afskärningspunkten för linierna A, A' och med dem gör vinklar, hvars sinus förhålla sig till hvar andra såsom X till 1. Häraf inses, att eqvationerna

A — XA' = 0, A + XA'=0 representera tvänne konjugerade radier, som med de gifna linierna A = 0, A'—0 bilda ott harmoniskt knippe.

Om eqvationerna för de gifna linierna äro framstälda under någon annan form

L =Ax + By + C= 0, L'=A'x + By + C'=0, så kunna de samma bringas under normal-formen genom multiplikation med vissa konstanta faktorer B, B'. Eqvationerna

129

Fig. 56.

i = 0, 27 = 0, L — ÅL'=0, L + ÅL' = 0 beteckna då äfven fyra harmoniska linier, af hvilka do två första och de tvä sista äro konjugerade; men förhållandet mellan sinus uttryckes icke mer genom ^,:1, utan genom ÅR: R'. Detta inses omedelbart, om eqvationerna sättas under formen

2?L = 0, R'L'=0, E7, + /|.2?'-L'=0. ii'

102. Ful lständig fyrsiding. — Fyra odetermine-rade räta linier M, N, P, Q sägas bilda en fullständig fyrsiding. De skära hvar andra i sex punkter, som bilda tre par motstående hörn A, 23; C, D; E, F. När dessa sammanbindas, uppkomma tre di-agonaler, som tillräckligt utdragna skära hvar andra i tre punkter O, O,, 0 2 .

Om vi med M=0, 2V = 0, P = 0 , Q=0, beteckna eqvationerna för de fyra räta linierna M, N, P, Q, så kan diagona-len JB representeras såväl genom eqvationen mM—nN = 0 som genom eqvationen pP— qQ=ö, der m, n, p, q äro vissa konstanta tal. De båda sist nämda eqvationerna, såsom betecknande samma räta linie, kunna icke skilja sig från hvar andra annorlunda än genom en konstant faktor, och blifva genom division med denna faktor fullkomligt identiska. Vi kunna autaga, att denna division redan blifvit verkstäld och att man således har identiskt

mM— nN=pP — qQ samt i följd deraf äfven

mM—pP=nN—qQ, mM+qQ=nN+pP. Man inser lätt, att eqvationerna

mM— wiV=0, mM—pP=Q, nN+pP=Q i ordning då representera de tre diagonalerna .423, CD, EF.

Lindelöf, Geometri. 9

130

Eqvationen mM+nN—0, uppkommen genom addition af de båda sist nämda, betecknar således en rät linie, som går genom afskärningspunkten för CD och EF, det är genom punkten 0 2 ; don går dess utom äfven genom afskärningspunkten för linierna M=0, N=0, det är genom punkten A. Sist nämda eqvation representerar således linien A02.

Betrakta vi nu de fyra räta linierna AD, AC, AO, AO%, som utgå från punkten A, så finna vi för den första och andra eqvationerna N—O, M—O; för den tredje och fjerde eqvationerna mM—nN=0, mM + nN=0, och kunna häraf sluta, att dessa linier bilda ett harmoniskt knippo samt att således punkterna D, O, C, 02 äfven som punkterna F, Ot, E, 0 2 äro harmoniska. Häraf följer åter, att linierna FD, FC, FO, FO^ äfven bilda ett harmoniskt knippe och att således punkterna A, O, B, O, äro harmoniska. Vi komma der igenom till följande vigtiga teorem :

I en ful lständig fyrsiding äro ändpunkterna af hvarje diagonal samt dess afskärningar med de två öfriga diagonalerna harmoniska punkter , hvarvid de båda först nämda punkterna å ena sidan samt de båda sist nämda å den andra äro konjugerade.

Det samma uttryckes kortare sålunda: hvarje diagonal b l i fver harmoniskt skuren af de båda andra.

Här igenom erhålles ett enkelt medel att till tre räta linier AD, AB, AC, som utgå från en punkt A, konstruera den fjerde harmonikalen. Genom en punkt B på den räta linie, hvars konjugat-radie sökes, drager man två räta linier GF, DE efter behag, sammanbinder de punkter C, D, E, F, der dessa linier skära de Öfriga radierna, och utdrager linierna CD, EF, tills de råkas i O s ; linien A02 blir då den sökta fjerde harmonikalen.

103. Afskärningspunkter mellan en konisk sekt ion och en rät linie. —• Vi hafva sett, att en konisk sektion i allmänhet representeras genom en eqvation af andra graden

(1) U=Axt + By"~ + 2Cxy + 2Dx+2Ey + F = 0.

131

Yenstra menibrum beteckna vi för korthetens skull med U. Införas der jämte följande förkortningar

iX=Ax + Cy +D, (2) \Y=Gx+By + E,

\p = Dx + Ey + F, så kan förut nämda eqvation äfven skrifvas

(3) U=Xx + F?/ + P = 0, der X, F, P äro algebraiska funktioner af x och y af första graden.

Vi skola nu söka genomskärningarna mellan den sålunda bestämda koniska sektionen och en rät linie, som går genom tvänne punkter (*0, ya), y,) tagna efter behag. Koordinaterna för en tredje punkt på denna linie uttryckes i allmänhet genom

mx0 + nxt my0 + ny1

m + n ' ^ m + n ' då n:m är förhållandet mellan den tredje punktens afstånd från de två gifna (se0, ya) och (xi: y,). När dessa värden för * och y insättas i eqvationen (1) och resultatet ordnas efter digniteterna af m, erhålles följande eqvation till bestämmande af det förhållande mellan m och w, som eger rum i räta liniens afskärningspunkt med koniska sektionen

0 = (Axa* + ByS + 2GxoVo + 2Dx0 + 2EVo + P ) m 2

+ 2[4x0a?1 + By0y1 + C(a>0y, + y0xj + D(xa + xx) + E(ya + yt) + F]mn + (Axl

t + ByS + 2GxlVl + 2Dx, + 2EVl + F)n\ Koefficienterna för m 2 och n2 erhållas, när man i venstra membrum U af den gifna eqvationen i stället för x och y insätter ena gången xQ och ?/D, andra gången x, och y,; de utgöra således de värden, som U antager i punkterna (sb 0 , y0) och ys). Koefficienten för 2mn åter är symmetrisk i afseende å indices 0, 1 och kan skrifvas antingen

(Ax0 + Cy0 + D)xl + (Gx0 + ByQ + E)Vl + Dx0 +EyQ + F eller

(Ax, + Gyx + D)x0 + [Gx, + By, + E)y0 + Dxt + EVi + F. Betecknar man nu mod Z70, X 0 , F c , P0 de värden, som funktionerna U, X, F, P antaga i punkten (x0, y0), samt med Uj, X,, F l 5 P n de värden, som samma funktioner antaga

132

i punkten (xt, yj), reduceras föregående eqvation till (4) • Vam* + 2(X0xl + YoVl + P0)mn +Uy = 0.

Dividerad med %2 gifver den samma tvänne värden för för-

hållandet — , hvaraf följer, att en konisk sektion och en

rät linie skära hvar andra i tvänne punkter, hvilka dock i enskilda fall kunna sammanfalla eller vara imaginära.

Angående sammansättningen af koefficienten för 2mn, hvarpå nedan stående undersökning h u f v u d s a k l i g 3 n grundar sig, må ännu erinras, att denna koefficient undergår ingen förändring genom förvexling af x0 och yQ med x1 och yt, och att man har identiskt

X Ä + Y0y1 + P 0 = Xtx0 + YlVo + P,. 104. Harmoniska poler och polarer. — Den i före

gående § betraktade räta linien skär koniska sektionen i tvänne punkter, som äro harmoniska till (*0, y0) och (a , yf),

om de båda värdena för som framgå ur eqv. (4), äro lika

stora och af motsatta tecken, d. v. s. om deras summa är noll, och detta inträffar så ofta andra termens koefficient försvinner, d. v. s. så ofta punkterna (xm y0) och (xl, yj, äro så belägna, att vilkoret

(5) x A + r o 2 / l + p 0 = o

uppfylles. Man kallar tvänne punkter harmoniska poler till en

konisk sektion, om deras sammanbindningslinie är harmoniskt skuren af koniska sektionen. Eqvationen (5) innefattar sålunda det enda nödvändiga vilkoret för ett par harmoniska poler. Om den ena polen (x0) ya) är gifven eller tagen efter behag, kan den andra y}) vara hvilken punkt som helst, hvars koordinater satisfiera eqvationen

( 6 ) Xox+Yoy + Po^0. Denna är af första graden i afseende på x och y och representerar således en rät linie; koefficienterna X 0 , F 0 , P D , såsom endast beroende af den gifna punktens koordinater xQ, y0, äro nämligen konstanta. Man kallar denna räta linie polar till punkten (x0, ya), hvilken åter kallas pol till

133

den räta linien (6 ) . Med polar till en gifven punkt förstås således orten för dess pol eller, med andra ord, orten för den fjerde harmoniska punkten på de genom den gifna punkten dragna radierna, hvilken ort, enligt hvad ofvan bevistes, är en rät linie.

Hvarje punkt (xa yL) på den räta linien ( 6 ) har likaledes sin polar, som måste gå genom punkten (xa, y0), emedan denna punkt är en af polerna till (xt, yj. Omvändt har hvarje rät linie, som går genom punkten (xD, y0) sin pol på räta linien (6 ) , emedan denna pol nödvändigt äfven måste vara en harmonisk pol till (xa, y0). Dessa båda satser kunna äfven uttryckas sålunda:

Om en punkt rör sig efter en rät linie, vrider sig dess polar omkring en punkt, som är pol t i l l räta linien.

Om en rät linie vrider sig omkring en punkt, beskr i fver dess pol en rät linie, som är polar t i l l punkten.

105. Polen ligger stundom längre från polaren, stundom närmare, allt efter dess läge i anseende till koniska sektionen; den kan äfven falla på sjelfva polaren. Vilkoret för dess sammanfallande med polaren erhålles ur ( 6 ) , om man i stället för de variabla koordinaterna x, y insätter koordinaterna för polen x0, y0; man finner då

Xoxo+Yoyo + Po = 0, hvilken eqvation enligt (3) uttrycker, att (» 0 , y0) är en punkt på koniska sektionen. Hvarje sådan punkt ligger således på sin egen polar. I detta fall har äfven polaren en anmärkningsvärd egenskap. Är nämligen O en punkt på koniska sektionen och P en annan punkt på polaren till ö , så äro O och P harmoniska poler och räta linien OP skär koniska sektionen i tvänne punkter, som äro harmoniska med punktparet O, P. Af dessa skärningspunkter sammanfaller den ena med O; den andra måste derför äfven sammanfalla med O; det vill säga, linien OP råkar koniska sektionen i tvänne sammanfallande punkter och är följ-

134

aktligen tangent till den samma, Härmed är alltså följande teorem bevisadt:

Po laren till en punkt på koniska sektionen sammanfaller med tangenten i samma punkt, och om-T ä n d t utgör tangeringspunkten pol ti l l tangenten.

Eqvationen ( 6 ) är således eqvation för tangenten i punkten (x0) y0), om denna punkt ligger på koniska sektionen.

106. Ur det senast anförda teoremet härflyta åter åtskilliga följdsatser, af hvilka de vigtigaste här må finna plats.

Om man från e n punkt O drager tvänne tangenter till en konisk sektion, så ä r den räta l inie JtfJV, som sammanbinder tangeringspunkterna, (tangent-kordan), polar till den gifna punkten.

Ty då tangenten OM äro polar till tangeringspunkten Jtf, så äro O och M harmoniska poler. Samma gäller om O och JV. Punkterna M och JV äro således båda poler till O, hvars polar följaktligen sammanfaller med kordan JtfJV.

Do räta linier, som sammanbinda ändpunkterna af en körda JtfJV med dess po l O, äro tangenter till koniska sektionen. Ty då O är en pol till M, måste polaren till Jtf gå genom O; men denna polar sammanfaller med tangenten i punkten Jtf; OJtf är således tangent till koniska sektionen.

"Vrider sig kordan omkring en pimkt P, så beskrifver den punkt O, der tangenterna i kordans ändpunkter skära hvar andra, en rät l inie, som är polar t i l l P. Denna sats följer omedelbart deraf, att tangenternas genomskärningspunkt O är pol till kordan.

Polaren till en punkt har sålunda olika egenskaper efter punktens olika lägen. Härvid kunna tre fall inträffa. Om punkten faller utom koniska sektionen (d. v. s. så, att man från den samma kan draga tvänne tangenter), utgör

135

polaren tangentkorda; faller punkten på sjelfva koniska sektionen, så blifver polaren tangent i samma punkt; om slutligen punkten faller inom koniska sektionen, är polaren orten för den punkt, livars tangentkorda går genom den gifna punkten.

107. Styrl inien är polar till bränpunkten. Ty drager man genom bränpunkten F en rät linie, som råkar koniska sektionen i M och JV och stvr-linien i G, samt fäller från M och JV ., perpendiklar Mff, JVJT mot sist nämde linie, så är enligt en gemensam egenskap hos alla koniska sektioner FM:MH = FN:NK, hvaraf

FM: FN = MH: JVJT = GM: GN. Kordan JlfJV är således harmoniskt skuren i punkterna F och G, d. v. s. G utgör en harmonisk pol till F. Då nu orten för denna pol sammanfaller med styrlinien, så är teoremet härmed bevisadt.

Ur denna sats härflyta omedelbart följande korollarier: De tangenter , som dragas genom ändpunkterna

af en fokal -korda, skära styr l in ien i en och samma punkt.

Om man g e n o m hvi lken punkt s o m h e l s t p å s tyr l inien drager tvänne tangenter och sammanbinder tangeringspunkterna, så går den sammanbindande l inien genom focus.

108. Po laren til l medelpunkten är oändligt af-lägsen. Ty då medelpunkten halfverar alla genom den samme dragna kordor, måste den fjerde harmoniska punkten på hvarje sådan körda falla på oändligt afstånd. Man kunde derför äfven definiera medelpunkten såsom pol till en oändligt aflägsen rät linie, eller såsom den punkt, hvars polar faller på oändligt afstånd.

Polaren X0x + Y0y + P o = 0 skär koordinat-axlarna på P P

afstånden — =?, — från origo; för att polaren må falla X0 J-o

138

konjugat -d iametrar , d. v. s. äro så beskaffade, att hvardera halfverar de kordor, som äro parallela med den andra. I parabeln äro alla diametrar parallela, emedan de alla gå genom den oändligt aflägsna medelpunkten; konju-gat-diametrarna falla der på oändligt afstånd. I sjelfva

A C verket följer det af relationen AB — O s = 0 , att t j = „ =

C B A + Cm TT ,

G + Bm •"• u r u c ' a i 1 rigtning kordorna än må hafva, erhåller

derför enligt (8) diameterns vinkelkoefficient det konstanta

v ä r d e t - ^ - - . Med anledning af det föregående kan man lätt pröfva,

huruvida koordinat-axlarna äro parallela med ett system konjugat-diametrar. Då nämligen as-axelns vinkelkoefficient är = 0 och y-axelns = oo, bör formeln (8) i detta fall för m = 0 gifva M'=OO, hvilkot endast inträffar, om O = 0. Om således produkten XY saknas i eqvationen för en konisk sektion, är detta ett kännetecken derpå, att koordinaterna äro parallela med ett system konjugat-diametrar.

110. Konjugat-diametrarna utgöra axlar, om de äro vinkelräta mot hvar andra. För att detta må inträffa, måste under förutsättning af rätvinkliga koordinater relationen mm'——1 ega rum mellan diametrarnas vinkelkoefficienter.

Ur (8) erhålles då m— — —. = ^ "^ m , hvaraf ' m A + Cm/

A p, w 2 -| — m — 1 = 0.

Denna eqvation gifver alltid tvänne reela värden för m, emedan tredje termen är negativ, hvar igenom de båda axlarnas rigtningar bestämmas. Värdena på m blefve blott i den händelse obestämda, att man på en gång hade 0 = 0 och A = -B; i detta fall är kroklinien en cirkel. Bland alla koniska sektioner har således cirkeln allena den egenskapen att besitta ett oändligt antal axel-systemer.

139

111. Po laren ti l l en punkt («c0, yQ) är paral le l med de kordor , som halfveras af den genom samma punkt dragna diametern. — Diameterns eqvation är nämligen i allmänhet X+mY=0, der m är kordornas vinkel-koefficient; och då nu (xD, y0) är en punkt på diametern, har

X X manäfven X o + m Y o = 0 , hvaraf m=—t/. M e n — ä r äfven

o o

vinkelkoefficient i polarens eqvation X0x + Y0y + P0 = 0; följaktligen är polaren parallel med kordoma.

Då tangenten kan betraktas såsom polar till tangeringspunkten, så följer häraf, att tangenten i ändpunkten af en diameter är parallel med konjugat-diametern.

En omedelbar följd af samma teorem är äfven, att de tangenter , som dragas genom ändpunkterna af en körda , hafva sin afskärningspunkt på kordans diameter .

112. A s y m p t o t e n , såsom tangent i en oändligt af-lägsen punkt, kan äfven till sitt läge bestämmas genom föregående analys. Såsom polar till den oändligt aflägsna punkten måste nämligen asymptoten å ena sidan sammanfalla med diametern till de kordor, som äro rigtade mot denna punkt, under det å andra sidan asymptoten sjelf är rigtad mot samma punkt. Asymptoten är således en diameter , som sammanfaller med sin egen kon jugat -diameter. Dess rigtning bestämmes sålunda, då man i eqvationen (9) gör w = m'. Man erhåller då

(10) Bm" + 2Cm + A = 0 och härleder deraf för asymptotens vmkelkoefficient det dubbla värdet

—G± Te1—AB m = _

Kroklinien har tvänne asymptoter, om qvantiteten C 2 — AB är positiv, men ingen, om den är negativ. Linier af andra graden med medelpunkt sönderfalla här igenom i tvänne grupper, nämligen l in i e r utan asympto t (ellipser), för hvilka AB — C 2 > 0 , o c h l i n i e r m e d a s y m p t o t (hyporbler), för hvilka AB — C 2 < 0 .

140

Vore AB— C s = 0 , blefve värdet för m = — = d. v. s. B

lika med den konstanta vinkelkoefficienten för alla diametrar. I parabeln är derför tangenten i en oändligt afläg-sen punkt parallel med axeln; men den fäller på oändligt afstånd och parabeln har således i verklighoten ej någon asymptot.

Eqvationen för en rät linie, som genom origo dragés parallel med asymptoten, är y = mx. eller — = m. Genom

insättning häraf i (10) erhålles Ax2 + By2 + 2Gxy = 0.

Om man således i eqvationen för en konisk sektion endast behåller termerna af andra graden, så representerar den sålunda reducerade eqvationen de räta linier, som genom origo dragas parallela med asymptoterna. Man kommer till samma resultat genom att söka de genom origo dragna räta linier, som råka koniska sektionen på oändligt afstånd.

113. Vi ansluta härtill ännu betraktelsen af några enskildheter beträffande polarens eqvation X0x + Ycy + P D = 0. Eör X0 — 0 erhåller y ett konstant värde och polaren blir parallel med »-axeln. Eäta linien X = 0 är således orten för don punkt, hvars polar är parallel med »-axeln; den är tillika en diameter, emedan den går genom medelpunkten (X= 0, Y—0). Häraf följer, att X = 0 eller

Ax + Gy + D = 0 representerar den diameter, som halfverar de med »-axeln parallela kordorna. Likaså är T = 0 , det är

Ox + By + E = 0 eqvationen för den diameter, som halfverar alla med y-axeln parallela kordor.

När P o = 0 , går polaren genom origo; räta linien P = 0 , är derför orten för den punkt, hvars polar går genom origo, eller med andra ord: eqvationen P = 0 , det är

Dx + Ey + F=0, representerar polaren till origo.

141

114. Harmoniska poläror till en konisk sektion kallas tvänne räta linier OP, OQ, som bilda ett harmoniskt knippe med det från deras afskärningspunkt utgående tangentparet OM, ON. De skära tangentkordan MN i tvänne harmoniska punkter P, Q.

Af de tre punkterna O, P, Q är enhvar pol till den räta linie, som sammanbinder de två öfriga. Ty O är pol till tangentkordan MN; P och O äro således harmoniska polor; men P och Q äro äfven harmoniska poler; alltså är P pol till OQ och på samma sätt bevisas, att 0/ är pol till OP. Härmed äro äfven följande satser bevista:

Alla harmoniska poläror till en gi fven rät linie gå genom dess pol.

Polerna till ett par harmoniska polarer äro harmoniska poler och polarerna til l ett par harmoniska po ler äro harmoniska polarer.

Tre punkter, af hvilka två och två äro harmoniska, bilda ett system harmoniska poler. Sådana system finnas oändligt många. Ett så beskaffadt system har den egenskapen, att en rät linie, som sammanbinder två af dess punkter, är polar till den tredje. Om en af punkterna är medelpunkt, så äro de båda andra oändligt aflägsna och deras rigtningslinier från den första punkten bestämma då tvänne konjugat-diametrar.

Vore OP en diameter, så blefve kordan MN midt i tu skuren i P. Den fjerde harmoniska punkten Q vore då oändligt aflägsen, det är OQ, blefve parallel med kordan MN och således med konjugat-diametern till OP. Härmed är bevist, att alla harmoniska polarer till en diameter äro parallela med konjugat-diametern.

Asymptoterna till en hyperbel kunna anses såsom tvänne från medelpunkten dragna tangenter; de bilda derför ett harmoniskt knippe med hvilka två konjugat-diametrar som helst. Häraf följer åter, att de asymptot-kordor, som halfveras af

142

en diameter, äro parallela med konjugat-diametern, eller med andra ord, att paral le la asymptot- och hyperbel -kor-dor halfveras af samma diameter. De i § 76 under III och IV anförda teoremen äro omedelbara korollarier af denna sats.

115. Vi anföra här till slut tvänne teorem angående fyrhörningar, som äro inskrifna uti eller omskrifna omkring en konisk sektion, hvilka teorem otvunget framgå ur den hittills framstälda läran om poler och polarer.

I. Om en fyrhörning är inskrifven i en konisk sektion, så bilda de punkter E, F, der de motstående sidorna råka hvar andra, samt d iagonalernas genomskärningspunkt O ett system harmoniska punkter.

I den fullständiga fyrsidingen bilda nämligen räta lini-Fig. 6 „ . erna ED, EG, BO, EF ett

l> harmoniskt knippe (§ 102); \ linien EO skär derför sidorna

) AB och GD i punkter, som / äro harmoniska till F, och ut

gör följaktligen polar till F. Likaså bevisas, att FO utgör polar till E. Då nu O således är pol såväl till E som

till F, följer häraf slutligen, att EF är polar till O. Le tre punkterna E, F, O bilda följaktligen ett harmoniskt system.

Här igenom erhålles medel att ifrån en yttre punkt E draga tangenter till en konisk sektion endast med begagnande af lineal. Man drager gonom E tvänne räta linier EG, ED efter behag, fullkomnar den inskrifna fyrsidingen ABCD och sammanbinder O och F med en rät linie. Sist nämde linie blifver polar till E och dess afskärningar med koniska sektionen bestämma de båda tangeringspunkterna.

I händelse fyrhörningen är en parallelogram, skära di-agonalerna hvar andra i medelpunkten och de motstående sidorna råka hvar andra på oändligt afstånd. Parallelogram-

143

mens närliggande sidor bestämma då rigtningen af tvänne konjugat-diametrar. Vi återfinna således här teoremet om supplementar-kordor.

II. Om en fyrs id ing är omskri fven omkring en konisk sektion, så utgör hvarje diagonal po lar til l de två ö fr igas genomskärningspunkt .

Ty då EO och EF äro M g . 6 1. harmoniska polarer, måste po- o , len till EF ligga på EO; den /, måste å andra sidan äfven ligga / / på 770, emedan FO och FE / ' äro harmoniska polarer; följ- t,[ t aktligen är O pol till diago- / \ A > V ~ S ^~^-^ nålen EF. Då vidare såväl .\— BO, som DO, äro harmoniska i/ \^__J^'^ polarer till diagonalen 737), är / O, pol till den samma. Likaså £ bevisas, att 0 2 är pol till AC. De tre punkterna O, O n

0 2 , der den omskrifna fyrsidingens diagonaler skära hvar andra, bilda således ett harmoniskt system.

Vore fyrhörningen en parallelogram, så blefve O medelpunkt samt O, och 0 2 oändligt aflägsna punkter i diago-nalernas rigtningar. Diagonalerna till en omkring en konisk sektion omskrifven parallelogram bilda således ett system konjugat-diametrar.

Det förkortade beteckningssättet användt på eqvationer af andra graden.

116. Afskärningspunkter mellan tvänne koniska sek t i oner .— För att i allmänhet finna de punkter, i hvilka tvänne linier skära hvar andra, har man att söka de värden på x och y, som satisfiera båda liniernas eqvationer. Äro dessa linier tvänne koniska sektioner, har man således att upplösa tvänne eqvationer af andra graden med två obekanta. Genom elimination af en obekant t. ex. y, erhålles en final-eqvation af fjerde graden, der endast den andra, «, före-

144

kommer, och som för denna obekanta gifver fyra värden. För hvarje värde på x erhålles sedan ett motsvarande värde på y. Man finner således fyra upplösningar eller system af värden på x och y och slutar deraf, att tvänne koniska sektioner i allmänhet skära hvar andra i fyra punkter, af hvilka likväl i enskilda fall två eller flere kunna sammanfalla och hvilka äfven efter omständigheterna kunna vara parvis imaginära.

Antagom, att 8 = 0, 8, = 0 äro eqvationer för tvänne koniska sektioner, hvilka såsom nyss nämdes skära hvar andra i fyra reella eller imaginära punkter; eqvationen 8 + kS, = 0 representerar då en tredje konisk sektion, som går genom samma fyra punkter. Ty denna eqvation är af andra graden och satisfieras af de värden på x och ?/, som på en gång göra S = 0 och 8, = 0. Omvändt är eqvationen för hvarje konisk sektion, som går genom förut nämda fyra punkter, af formen 8 + kS, = 0; ty den måste i allmänhet bestå af tvänne delar, af hvilka den ena försvinner för 8=0, den andra för 8t = 0, det är af tvänne termer, af hvilka den ena innehåller faktorn 8, den andra faktorn 8,. Dessa faktorer åter kunna endast vara multiplicerade med konstanta koefficienter, emedan eqvationen eljest vore af högre grad än den andra.

117. Om a = 0, b = 0 äro ekvationerna för tvänne räta linier, så är ab = 0 en eqvation af andra graden, som på en gång representerar båda dessa linier. Eqvationen

8 + kab = O

betecknar då en konisk sektion, som går genom de fyra punkter, der nämda räta linier skära koniska sektionen 8=0; ty den satisfieras tydligen af de värden på * och y, som på en gång göra antingen # = 0 o c h a = 0 , eller 8 = 0 och b = 0. 8 + kab = 0 är således eqvationen för en konisk sektion, som med den gifna koniska sektionen 8 = 0 har de gemensamma kordorna a = 0, b = 0. På samma sätt finner man, att

ac + kbd — 0 betecknar en konisk sektion, som går genom do fyra punk-

145

ter, der räta linierna a = O, b — O; 6 = O, c = 0; c = O, å = 0; rf = O, a — O skära hvar andra, och som således är omskrifven omkring fyrhörningen abcd.

Med ledning häraf kan man lätt finna eqvationen fölen konisk sektion, som går genom fem gifna punkter. Sedan man bildat eqvationerna a = 0, b = 0, c = 0, d — O för sidorna i den fyrhörning, som uppritas mellan fyra af punkterna, blifver den sökta eqvationen ac + hbd = 0, der koefficienten lt efteråt bestämmes genom insättning af den femte punktens koordinater.

E x . A t t f i n n a e q v a t i o n e n f ö r e n k o n i s k s e k t i o n , s o m g å r

g e n o m p u n k t e r n a ( 1 , 2 ) , (3 , 5 ) , ( — 1, 4 ) , ( — 3 , — 1) , ( — 4 , 3 ) .

D å m a n b e t r a k t a r k o n i s k a s e k t i o n e n s å s o m o m s k r i f v e n o m k r i n g d e n

a f d e f y r a f ö r s t a p u n k t e r n a b i l d a d e f y r h ö r n i n g e n , e r h å l l e s d e s s e q v a t i o n

u n d e r f o r m e n

( 3 a ; — 2t/ + l ) ( 5 x — 2y+ 1 3 ) = k{x — iy + 1 7 ) (3x— 4«/ + 5 ) ;

o c h d å d e n n a e q v a t i o n j e m v ä l m å s t e s a t i s f i e r a s a f k o o r d i n a t e r n a ( — 4 , 3 )

2 2 1

f ö r d e n f e m t e p u n k t e n , f r a m g å r k = • — — s a m t g e n o m i n s ä t t n i n g d e r a

7 9 x 2 — Z20xy + 3 0 1 j / 2 + H O l x — 1 6 6 5 y + 1 5 8 6 = 0

s å s o m d e n s ö k t a e q v a t i o n e n .

118. Yi hafva sett att 8 + hab = 0 är eqvationen för en konisk sektion, som går genom de fyra punkter Jf , IV, M, IV, der räta linierna a, b skära koniska sektionens 8, och det är tydligt, att ju närmare kordorna a, b falla till hvar andra, dess mer närmar sig M till M samt ZV till N. Antaga vi nu, att linierna a och b sammanfalla med hvar andra, så sammanfaller äfven Jf med M samt IV med IV och de båda koniska sektionerna tangera hvar andra i punkterna M och IV. Vi inhemta häraf, att eqvationen

8 + ka2 = 0 representerar en konisk sektion, som tangerar koniska sektionen 8 = 0 i båda ändpunkterna af den gemensamma kordan a = 0.

Lindelöf, Geometri. 10

Fig. 62.

146

I öfverensstänunelse härmed är

eqvationen för en konisk sektion, som tangerar räta linierna a och b i ändpunkterna af kordan c. Då nu det värde funktionen a antager i en punkt («, y) bestämmer längden af perpondikeln från denna punkt mot linien « = 0, så innehåller sist nämde eqvation i ord uttryckt följande teorem:

Rektangeln af afstånden från hvilken punkt som helst på en konisk sektion till tvänne fasta tangenter är i ett konstant förhållande t i l l qvadraten af afståndet från samma punkt till tangentkordan.

Genom en dylik tolkning härleder man ur eqvationen ac -f Jcbd = 0 denna sats:

Om en fyrhörning är inskri fven i en konisk sektion och man från hvilken punkt som helst på ko niska sektionen fäller perpendiklar mot fyrhörnin-gens sidor, så är rektangeln af perpendiklarna mot två motstående sidor i ett konstant förhållande ti l l rektangeln af perpendiklarna mot de två ö fr iga sidorna.

119. Egenskaper hos en i en konisk sekt ion inskrifven sexhörning. — Yi veta, att en konisk sektion i allmänhet är bestämd genom fem punkter på den samma. Äro fem punkter gifna, kan en sjette punkt icke mer tagas efter behag, eller med andra ord: man kan icke omskrifva en konisk sektion omkring hvilken sexhörning som helst. En i en konisk sektion inskrifven sexhörning måste dorför uppfylla vissa vilkor, som vi nu gå att utröna.

Sidorna i den inskrifna sexhörningen beteckna vi med «, fe, c, a', b\ c', och deras eqvationer med a = 0, b = 0, c = 0,

Vig. 68. a ' = 0 , o ' = 0 , c '=0 . Yidare beteckna vi med cl = 0 eqvationen för diagona-len d, som sammanbinder de motstående hörnen (ac1) och (a'c). Då koniska sektionen är omskrifven såväl omkring fyrhörningen abcd, som omkring fyrhörningen a'b'c'd, måste dess

147

eqvation kunna framställas under hvilkendera som helst af formerna

ac + Xbd = 0, a'c' + XV d = O, hvilka såsom representerande samma geometriska ort måste vara identiska på en konstant faktor när. Man kan antaga, att denna faktor redan ingår t. ex. i a' och b' och att man således har identiskt

ac + Xbd = a'c' + k'b'd, hvaraf

ac — a'c' — d(X'V— XI). Häraf synes, att eqvationen af andra graden

ac — a c' = 0 sönderfaller i tvänne eqvationer af första graden, nämligen

d=0, X'V — Xb=0, och således representerar tvänne räta linier, af hvilka den ena är diagonalen d, den andra en viss rät linie dragen genom den punkt (bb'), der de motstående sidorna b och b' råka hvar andra. Dessa räta linier, såsom ort för eqvationen ac — a'c' = 0, måste nu innehålla icke endast punkterna (ac) och (a'c), utan äfven punkterna (aa') och (cc). De två första punkterna tillhöra diagonalen d; de två senare, hvilka tydligen icke ligga på denna diagonal, måste derför befinna sig på den andra genom (bb') dragna räta linien, det är, de tre punkterna (aa), (bb'), (cc) ligga i en rät linie. Man erhåller här igenom följande vigtiga teorerh:

Om en s e x h ö r n i n g ä r inskrifven i en konisk sektion, så skära dess motstående sidor hvar andra i tre punkter, som l igga i en rät linie.

Denna sats bärrör från Pascal och man kallar derför vanligen en sexhörning med förenämde egenskap Pascals sexhörning.

Den PascaFska satsen gäller om huru beskaffade inskrifna sexhörningär som helst, äfven om sådana med ut-springande hörn. Äro sex punkter, som vi vilja beteckna med 1, 2, 3, 4, 5, 6, gifna på en konisk sektion, kunna dessa sammanbindas med hvar «ndra på flere olika sätt, hvar igenom en myckenhet olika sexhörningär erhållas, hvilka

148

alla hafva samma vinkelpunkter. De sex hörnen kunna tagas t. ex. i ordningen 1, 3, 5, 6, 4, 2, 1, eller i ordningen 5, 1, 6, 2, 4, 3, o. s. v. Man finner lätt, att antalet af sålunda uppkommande skilda sexhörningar är 60; och då det om hvar oeh en af dem gäller, att de punkter, i hvilka

motstående sidor skära hvar andra, ligga i en rät linie, så är antalet af sådana Pa-scaPska linier äfven 60.

Tagas punkterna exempelvis i denna 4 ordning: 1, 3, 5, 2, 6, 4, 1, så finner

man, att genomskärningspunkterna mel-*an linierna 13, 26; 35, 64; 52, 41 äro i en rät linie.

120. En omkring en konisk sektion omskrifven sexhörning har äfven intressanta egenskaper, som man med tillhjelp af läran om poler och polarer lätt kan härleda ur det PascaPska teoremet. Sammanbinder man tangerings-punkterna, uppkommer nämligen en inskrifven sexhörning, hvars sidor utgöra polarer till den omskrifna figurens hörn, och hvars hörn utgöra poler till den omskrifna figurens sidor. Häraf följer, att de punkter, i hvilka motstående sidor till den inskrifna figuren skära hvar andra, äro poler till de dia-gonaler, som sammanbinda motstående hörn i den omskrifna figuren. Då nu de först nämda punkterna ligga i en rät linie, måste deras polarer, diagonalerna, skära hvar andra i en punkt, som är pol till nämde räta linie. Här igenom erhålles följande sats, känd under namn af Brianchons teorem:

Om en sexhörning är omskrifven omkring en konisk sektion, så gå de tre diagonalerna, som sammanbinda motstående hörn, genom en och samma punkt.

Denna sats tillåter samma mångfald af konstruktioner, som den PascaPska,

121. Tänker man sig, att i den inskrifna sexhörningen två vinkelspetsar rycka oändligt nära hvar andra, hvar igenom den sida, som sammanbinder dem, blifver en tangent, erhålles följande teorem:

149

Om en femhörning är inskr i fven i en konisk sekt ion och man genom ett af hörnen drager en tangent, så l i gger den punkt, der denna tangent råkar mots tående sida, i rät l inie med de punkter, i hvi lka två och två af de ö fr iga s idorna , näml igen andra och f jerde samt t red je och femte, skära hvar andra.

I betraktande af det samband, som i afseende å polära egenskaper förefinnes mellan inskrifna och omskrifna figurer, följer häraf:

Om en femhörning är omskri fven omkring en konisk sekt ion och man sammanbinder ett hörn med m o t s t å e n d e t a n g e r i n g s p u n k t samt de öfr iga hörnen med hvar andra v e x e l v i s (det andra med det f jerde, det tredje med det femte), så gå de tre sammanbindande linierna genom en och samma punkt.

Denna sats kan äfven härledas ur Brianchons teorem, om man i den omskrifna sexhörningen låter två tangerings-punkter sammanfalla.

122. Låter man tvänne sidor i den inskrifna sexhörningen blifva oändligt små och förvandlas till tangenter, gifver Pascal'ska teoremet följande sats:

Om en fyrhörn ing är inskr i fven uti och en annan f y r h ö r n i n g omskr i fven omkring en k o n i s k sektion, så att den inskri fna f igurens hörn sammanfalla med den omskrifnas tanger ingspunkter , så l i g g a de fyra punkter , i hvi lka hvardera f igurens motstående si dor skära hvar andra, i en rät l inie.

Genom betraktande af den inskrifna och omskrifna figu rens ömsesidiga polar-egenskaper sluter man häraf åter, att de fyra d iagonalerna ti l l förenämda två fyrhörn in -gar gå genom en och samma punkt.

123. Låter man slutligen tangeringspunkterna i den omskrifna sexhörningen parvis sammanfalla, så att denna förvandlas till en triangel, härleder man ur Brianchons teorem följande sats:

148

alla hafva samma vinkelpunkter. De sex hörnen kunna tagas t. ex. i ordningen 1, 3, 5, 6, 4, 2, 1, eller i ordningen 5, 1, 6, 2, 4, 3, o. s. v. Man finner lätt, att antalet af sålunda uppkommande skilda sexhörningar är 60; och då det om hvar och en af dem gäller, att de punkter, i hvilka

motstående sidor skära hvar andra, ligga, i en rät linie, så är antalet af sådana Pascal'ska linier äfven 60.

Tagas punkterna exempelvis i denna 4 ordning: 1, 3, 5, 2, 6, 4, 1, så finner

man, att genomskärningspunkterna mel-\n linierna 13, 26; 35, 64; 52, 41 äro i en rät linie.

120. En omkring en konisk sektion omskrifven sexhörning har äfven intressanta egenskaper, som man med tillhjelp af läran om poler och polarer lätt kan härleda ur det PascaPska teoremet. Sammanbinder man tangerings-punkterna, uppkommer nämligen en inskrifven sexhörning, hvars sidor ixtgöra polarer till den omskrifna figurens hörn, och hvars hörn utgöra poler till den omskrifna figurens sidor. Häraf följer, att de punkter, i hvilka motstående sidor till den inskrifna figuren skära hvar andra, äro poler till de dia-gonaler, som sammanbinda motstående hörn i den omskrifna figuren. Då nu de först nämda punkterna ligga i en rät linie, måste deras polarer, diagonalerna, skära hvar andra i en punkt, som är pol till nämde räta linie. Här igenom erhålles följande sats, känd under namn af Brianchons teorem:

Om en sexhörning är omskrifven omkring en konisk sektion, så gå de tre diagonalerna, som sammanbinda motstående hörn, genom en och samma punkt.

Denna sats tillåter samma mångfald af konstruktioner, som den PascaPska.

1 2 1 . Tänker man sig, att i den inskrifna sexhörningen två vinkelspetsar rycka oändligt nära hvar andra, hvar igenom den sida, som sammanbinder dem, blifver en tangent, erhålles följande teorem:

149

Om en femhörning är inskr i fven i en konisk sekt ion och man genom ett af hörnen drager en tangent, så l i g g e r den punkt, der denna tangent råkar mots tående sida, i rät l inie med de punkter, i hvi lka två och två af de ö fr iga s idorna , näml igen andra och f jerde samt t red je och femte, skära hvar andra.

I betraktande af det samband, som i afseende å polära egenskaper förefinnes mellan inskrifna och omskrifna figurer, följer häraf:

Om en femhörning är omskri fven omkring en konisk sekt ion och man sammanbinder ett hörn med m o t s t å e n d e t a n g e r i n g s p u n k t samt de öfr iga hörzien med hvar andra v e x e l v i s (det andra med det f jerde, det tredje med det femte), så gå de tre sammanbindande linierna genom en och samma punkt.

Denna sats kan äfven härledas ur Brianchons teorem, om man i den omskrifna sexhörningen låter två tangerings-punkter sammanfalla.

122. Låter man tvänne sidor i den inskrifna sexhörningen blifva oändligt små och förvandlas till tangenter, gifver Pascal'ska teoremet följande sats:

Om en fyrhörn ing är inskr i fven uti och en annan f y r h ö r n i n g omskr i fven omkring en k o n i s k sektion, så att den inskri fna f igurens hörn sammanfalla med den omskrifnas tanger ingspunkter , så l i gga de fyra punkter , i hvi lka hvardera f igurens motstående si dor skära hvar andra, i en rät l inie.

Genom betraktande af den inskrifna och omskrifna figu rens ömsesidiga polar-egenskaper sluter man häraf åter, att de fyra d iagonalerna ti l l förenämda två fyrhörn in -gar gå genom en och samma punkt.

123. Låter man slutligen tangeringspunkterna i den omskrifna sexhörningen parvis sammanfalla, så att denna förvandlas till en triangel, härleder man ur Brianchons teorem följande sats:

150

Om en t r iange l är omskrifven omkr ing en konisk sekt ion och man sammanbinder hvar je hörn med t a n g e r i n g s p u n k t e n för mots tående sida, så skära de tre sammanbindande l inierna hvar andra i en punkt.

Den motsvarande egenskapen hos inskrifna trianglar framgår omedelbart ur Pascals teorem, då man låter hvar annan sida i den inskrifna sexhörningen blifva oändligt liten och förvandlas till en tangent.

T i o n d e K a p i t l e t .

Om några linier af högre ordning.

124. De linier, hvilkas natur vi hittills undersökt, hafva varit representerade genom algebraiska eqvationer af första eller andra graden. Vi skola i detta kapitel framställa åtskilliga exempel på linier, hvilkas eqvationer äro antingen algebraiska af högre grad än den andra, eller tran-scendenta. De flesta af dem äro sådana, som erhållit en viss ryktbarhet i geometrins historia. En närmare undersökning af dessa liniers egenskaper, såsom bestämning af tangentens rigtning i hvilken punkt som holst m. m., blefve utan användning af differential-kalkylen alltför omständlig; vi nödgas derför inskränka oss till undersökning om liniernas allmänna lopp och härledning af deras eqvationer.

125 . C i sso iden* ) . — En cirkel, en diameter AB och en tangent BC i diameterns ändpunkt äro gifna; om man på en rät linie AE, som vrider sig omkring punkten A, afsätter ett stycke AM lika med den del DE af

* ) A f xuiabq = m u r g r ö n , t i l l fö l j e a f l i k h e t e n m e d e t t m u r g r ö n s b l a d .

C i s s o i d e n u p p t ä n k t e s a f g r e k e n D i o k l e s f ö r l ö s n i n g e n a f p r o b l e m e t att k o n s t r u e r a t v ä n n e m e d e l p r o p o r t i o n a l e r m e l l a n t v å g i f n a l i n i e r .

151

.samma räta linie, som faller mellan cirkeln och den fasta tangenten, så är orten för den sålunda bestämda punkten M en- kroklinie, som fått namn af cissoid.

Låtom oss till en början söka cissoidens eqvation i polära koordinater. Tages A till pol, AB till axel och betecknas cirkelns diameter med a samt koordinaterna för hvilken punkt som helst M på kroklinien med r, v, så gifva de rätvinkliga trianglarna ABE, ABB

AE = ——-, AD — a c o s v,

hvaraf c o s v

r = DE •• •a cos v -a s i n v

cos v cos v Cissoidens eqvation i polära koordinater är således

r = a sin v tang v. För att ifrån do polära koordinaterna öfvergå till rät

vinkliga, i det AB och den der imot vinkelräta AY tagas till axlar för % och y, har man att göra följande substitutionor

tang v==—, sm v =—, r = \x + y ; x x man finner då för cissoiden en eqvation af tredje graden

x(x* + y2) — ay%— 0. Emedan den samma endast innehåller qvadraten af y,

svara mot hvarje värde på x tvänne värden på y, som äro lika stora, men hafva motsatta tecken; kroklinien består således af tvänne grenar, symmetriskt belägna i anseende till AB, d. v. s. AB utgör en axel till cissoiden. För att närmare bestämma liniens lopp, upplösa vi dess eqvation i afseende på y och erhålla

y = x\f —-— 3 ~ ' a—x ,

Ordinatan är reel endast för de värden af abskissan, som falla mellan 0 och a; följaktligen är cissoiden till hela sin utsträckning belägen mellan y-axeln och den dermed

152

parallela, genom diameterns ändpunkt B dragna linien CC. När * tillväxer från O till a, tillväxer y från O till c o ; cissoiden utgår från punkten A, som utgör dess spets, och sträcker sig i oändlighet uppåt och nedåt. På samma gång minskas afståndet a — x mellan cissoiden och linien CC oupphörligt och närmar sig till noll; CC är således en asymptot.

Axeln AB tangerar cissoidens båda brancher i A; ty om sekanten AM vrider sig omkring punkten A, till dess kordan AM försvinner, så närmar den sig till rigtningen AB, som utgör dess gränsläge.

126. K o n k o i d e n * ) . — En punkt P och en rät linie OT äro gifna; om man på en sekant PD, som vrider sig omkring P, tager stycken DM = DN — a, så är orten för de sålunda bestämda punkterna M, N en konkoid. A f denna definition följer, att konkoiden består af två brancher, belägna på hvar sin sida om OT.

För att finna linions eqvation i polära koordinater taga vi P till pol och PX, som är vinkelrät mot OT, till polar-axel. Betecknas afståndet PO med b samt koordinaterna

för M eller N med r, v, så har man enligt konkoidens definition r = PD ± a, det är

b . r = + a.

cos v Liniens eqvation i rätliniga

koordinater, då OX och OT tagas till koordinat-axlar, erhålles häraf,. om man sätter

b + x

Fig. 66.

1 > S (

A U

0

1 cos v •• r*=(b + xy+y*;.

man finner då en eqvation af fjerde graden x'y'— (b + x)' (a, — x*)=0.

* ) D e n n a l i n i e , h v a r s n a m n h ä r l e d e r s i g f r å n g r e k i s k a o r d e t xöyp)

= m u s s l a , u p p f a n n s a f N i k o m e d e s för u p p l ö s n i n g e n a f d e r y k t b a r a p r o

b l e m e n o m v i n k e l n s t r e d e m i n g och k u b e n s f ö r d u b b l i n g .

153

Emedan y här endast förekommer i andra digniteten, är kroklinien symmetrisk i anseende till »-axeln. Dess eqvation upplöst i afseende på y blifver

b + x^—a r

y = + va — x . * ~ x

Ordinatan är reel endast för de värden af x, som ligga mellan — a och + a; tager man således O A = OB = a samt drager genom A och B räta linier parallela med OT, så faller konkoiden helt och hållet mellan dessa linier. När * aftager i nummervärde från a till 0, tillväxer y från 0 till oo, hvaraf följer, att OT är asymptot till konkoidens båda brancher.

Radius vector PM är större än PA, emedan PD>PO och DM= O A = a; bågen AM faller således mellan den cirkel, som beskrifves omkring P med radien OA och dess tangent i A; följaktligen är konkoidens tangent i A vinkelrät mot OX.

Konkoiden förändrar utseende allt efter som b är större, lika stor eller mindre än a; dessa fall måste derför åtskiljas.

l:o b>a. Linien har den form, som föregående figur utvisar. Men utom brancherna AM och BN hör dertill ännu den iso lerade punkten P, emedan dess koordinater x = — b, y = 0 satisfiera konkoidens eqvation.

2:o b=a. P utgör en spets till konkoidens ena branche (fig. 67) och tangenten i denna punkt sammanfaller med axeln PA. Ty då s ekan ten PD vrider sig omkring P, till dess kordan PN försvinner, närmar den sig till gränsläget PO.

3:o 6 < a . I detta fall är punkten B till venster om P (fig. 68). Antagom att PF=a; om sekanten utgående från läget PF vrider sig åt venster, höjer sig punkten JV, som ursprungligen sammanföll med P, och beskrifver den oändliga branchen PK; om sekanten från läget PF vrider sig åt höger, öfvergår punkten JV åt andra sidan om P och beskrifver en båge PB belägen under axeln. P är en dubbelpunkt, i hvilken två grenar af kroklinien skära hvar

154

andra. Tangenterna i denna punkt sammanfalla med PF och den dermed symmetriska PF'.

127. Pascals snäcka. — En rät linie AD vrider sig omkring en fast punkt A, tagen på periferin af en gifven cirkel, och man afskär af denna linie från D åt båda sidor stycken af bestämd längd DM= DN=a; orten för punkterna M, N är då en kroklinie kallad Pascals snäcka.

Antagom, att a är mindre än cirkelns diameter b och att AD' = a. När sekanten vrider sig från AB till AD', beskrifva punkterna M och JV bågarna GM och HNA, hvilken sist nämde tangeras af AD', som är sekantens gräns-läge i det ögonblick kordan AN försvinner. Under rörelsens fortsättning sänker sig punkten N under diametern

Fig. 67. Fig. 68.

K

Fig. 69.

JU

W •X

AB. När sekanten vridit sig om en rät vinkel, blifver AD noll och AM" — AN" = a. Punkten M har då beskrifvit bågen GM' och punkten JV bågen HAN". Vrider sig sekanten om en rät vinkel åt motsatt sida om AB, uppkomma tvänne andra bågar, symmetriska med de förenämda i afseende på axeln AB, hvilka

155

förena sig med dem för att bilda en enda sammanhängande kroklinie.

Tages A till pol och AB till polar-axel, blifver krok-liniens eqvation

r = b cos v + a. Men man finner utan svårighet, att hela kroklinien kan

representeras genom eqvationen r = b cos v + a,

då man öfverenskommer att taga de negativa värdena för r på radius vectors förlängning i motsatt rigtning mot den, som bestämmes genom vinkeln v.

Man härleder häraf dess eqvation i rätvinkliga koordinater

<V + y 2 — &*)» = <»•(*• + y 2), då A tages till origo och AB till »raxel.

128. A t t f inna orten för en punkt , som är så b e l ä g e n , att r e k t a n g e l n af dess afstånd från två fasta punkter F, F' (fig. 70) är konstant = a 2.

Tager man till origo midten O af linien FF\ till axlar för x och y linien OF och den der imot vinkelräta OY och betecknar man afståndet FF' med 2c, så blifver eqvationen för den sökta kroklinien

(4) y 4 + 2 (*2 + c 2) y 2 + (*2 — c 2 ) 2 — a 4 = 0. Här ingå endast jämna digniteter af x och y; kroklinien

är derför symmetrisk i anseende till hvardera koordinat-axeln och har en medelpunkt, som sammanfaller med origo. Denna eqvation upplöst i afseende på i / 2 gifver

y 2 = — * 2 — c 2 ± V47V+"a4'. De båda värdena för y 2 äro reella; deras summa

är — 2 (x2 + y 2), således alltid negativ; deras produkt är (a;2 — c 2) 2 — a 4. Om denna produkt är positiv, hafva de båda värdena för y 2 samma tecken och äro således båda negativa allt efter som deras summa är negativ; de fyra värdena på y äro då imaginära. För att y må erhålla reella värden, måste derför (a;2 — c2) 2 — a* vara negativ och således * 2 — c 2 falla inom gränserna — a 2 och + a 2, det är,

156

se2 måste vara mindre än c 2 + a 2 och. större än c 2 — a 2. När de båda vilkoren

(2) x*<c% + a\ z 2 > c * _ a J

äro uppfylda, är det ena värdet för y% positivt, det andra negativt.

Om eqvationen (1) upplöses i afseende på xa, erhålles x2 = c 2 — y2 + Va1 — 4c V ;

man finner häraf, att 4c ' i / 2 ej kan blifva större än a*, och a 1

att det största numeriska värde för y är ~-. När y har detta maximivärde, försvinner radikalen och man har s J = c 2 — y 1

eller x1 + yt = ci; de punkter på kroklinien, der y är maxi-

mum = + —, hgga således på den cirkel, som beskrifves

omkring O med radien c, och hvars periferi går genom de fasta punkterna F, F'. Dessa punkter svara mot abskissan

X=—Yc—•

För den närmare bestämningen af krokliniens form måste tre fall åtskiljas.

l.o » < c . Abskissan måste enligt (2) vara innesluten antingen mellan gränserna V'cJ — « 2 och V«2 -f. a * t eller mellan gränserna —V c* — a1 och — V c

! + a*. Man erhåller tvänne från hvar andra skilda, omkring punkterna F och F' beskrifna slutna kroklinier (utmärkta med 1 i figuren).

2:o a = c. Vilkoren (2) reducera sig till s e ' < 2c*, s e 2 > O; det senare är alltid uppfyldt och x kan variera från — c V2 till + c V2. Maximivärdet för ordinatan blifver

jj-. Kroklinien, hvars eqvation i detta fall förenklas till

(3) (zt + yV=2ct(x'-y\ går genom origo och har formen af oo (den är i figuren utmärkt med 2). För att bestämma tangenten i origo, betrakta vi först en sekant, som går genom origo och en punkt (x, y) på kroklinien, och hvars vinkelkoefficient så-

157

ledes ä r - = w; den gräns, hvartill denna qvantitet närmar

sig när * ock y blifva oändligt små, är vinkelkoefficient för -tangenten. Om nu eqvationen (3) divideras med x2 ock man sedan gör x = 0, y = 0, försvinner venstra membrum och man erhåller 0 = 1 — TO2, hvaraf m = + 1; origo är således en dubbelpunkt; kroklinien har der tvänne tangenter, som halfvera vinklarna mellan koordinat-axlarna.

Denna kroklinie är känd under namn af lomniskata {Xyjnvi<TxoQ= band); den påfans först af Jak. Bernoulli.

3:o a > c . Det senare vilkoret (2) är alltid uppfyldt och abskissan kan variera från —Va 2 + c 2 till -f-Va,2 + c*. Om 4c 4 — a 4 är positiv, det är om a<.c V2, skär cirkeln c kroklinien i fyra punkter, hvilkas koordinater äro

, VicT^a^ a2

2c ' J - 2 c ' och som bestämma maximum af ordinatan; man har då en linie af formen 3. Når a = cV2, falla dessa punkter två och två tillsamman på y-axeln och cirkeln tangerar kroklinien, som då får namn af Cassinis oval (i fig. betecknad med 4). Om slutligen a > c V 2 , ligger kroklinien helt och hållet utom cirkeln och har då formen 5.

Fig. 70.

Y

»J29. Logaritmikan. — En kroklinie, hvars abskissor äro logaritmer för motsvarande ordinator, kallas l ogar i t -mika. Dess eqvation är x — \ogy, eller

158

Fig. 71.

då a är basen för det logarit-miska systemet.

När x tillväxer från — oo till + oo, tillväxer y från O till oo (förutsatt att a > l ; vore a < 1, skulle y tvärtom aftaga från oo till 0); kroklinien sträcker sig i oändlighet på båda sidor

B

om jf-axeln, i det den på ena sidan aflägsnar sig mer ocb mer från »-axeln, på den andra åter närmar sig oupphörligen till denna axel, som utgör dess asymptot. För x = O, 1, 2, 3, . . . finnes y = l , a, a 2, a 3, . . . ; när abskissorna tillväxa i en aritmetisk progression, bilda ordinatorna en geometrisk progression.

De olika slagen af logaritmikor skilja sig från hvar-andra genom olika värden af basen a.

130. Sinusoiden. — Dess eqvation är y = sin x.

Hvarje abskissa utmärker längden af den båge (i en cirkel med radien 1), hvars sinus är lika med ordinatan. När x är O, + 7 r , ± 27T, ± 37T, o. s. v., försvinner 2/kroklinien skär as-axeln i oändligt många punkter A, B, . . . A\ B\ . . ., hvilka erhållas, när man gör O A = AB = .. . = OÄ = A'B'

hälfter. Mellan A och B är ordinatan negativ och man erhåller en båge AMB, kongruont med OMA, men vänd åt motsatt sida om as-axeln. På andra sidan om B blifver ordinatan åter positiv o. s. v. Kroklinien gör sålunda ett oändligt antal lika beskaffade oskillationer.

Fig. 72. = . . . = TT. Mellan O och A är ordinatan positiv; dess största värde MN=1, mot-

-x svarande OiV=^, af-2 delar bågen OMA i tvänne symmetriska

159

Man kan lätt bestämma tangentens rigtning i punkten O. Den körda, som från O dragés till en punkt (», y) på

kroklinien, har nämligen till vinkelkoefficient — = och * x

sist nämde bråk har till gräns 1, när x blifver oändligt liten; tangenten i O gör således en vinkel af 45° med »-axeln och det samma gäller om tangenterna i A, B, .,.

Det förtjenar anmärkas, att sinusoiden har en oändlig mängd medelpunkter, nämligen alla de punkter, i hvilka den skär »-axeln, samt likaledes ett oändligt antal axlar, nämligen de största såväl positiva som negativa ordinatorna.

131 . Cyklo iden. — Om en cirkel O rullar utan glidning på en rät linie AB, beskrifver en punkt P på dess periferi en kroklinie kallad cyklo id .

An tågom, att den genererande cirkeln ursprungligen tangerat räta linien AB i punkten A, och att den beskrif-vande punkten P då äfven sammanfallit med y 8 ' A. När tangeringspunk- | I _E ten förflyttat sig till K, hafva alla delar af bågen PK efter hand varit i kontakt med motsvarande dejy .. af linien AK; bågen PK måste derför till sin längd vara lika med linien AK. Betecknas cirkelns radie med a och den föränderliga vinkeln PCK med co, är

PK=aco, PN = a sin co, CiV"= a cos co. Vi skola taga A till origo, AB till »-axel och den vinkel-räta AY till y-axel. Koordinaterna för punkten P äro

x=*AM= AK— MK= aco — a sin co, y = P l f = OK — KN= a — a cos co,

och man har nu endast att eliminera w mellan dessa eqvationer. Den senare gifver

a — y . ^2ay—y2

cos co = -, sm co = ± —, a a

a — y co — are cos - .

a

160

Genom substitution af dessa värden i den föregående eqvationen erhålles

(1) a; = a are c o s - + ^2ay— y*. OJ

Vanligen användas dock i stället för denna omedelbara relation mellan % och y de ursprungliga eqvationerna

lx = a (co — sin co), \y = a (1 — cos co),

med bibehållande af hjelpvinkeln co. När cirkeln gjort ett hälft omlopp, har punkten P höjt

sig från A till E och ordinatan har ökats från 0 till 2a; under det följande halfva omloppet aftager den åter från 2a till 0. Den största ordinatan DE delar cykloiden i tvänne symmetriska hälfter; AD är lika med halfva och AB lika med hela periferin af den genererande cirkeln.

Mot samma cosinus svara oändligt många bågar; följaktligen representerar eqvationen (1) oändligt många sådana brancher som AEB. Denna omständighet, som eger rum hos en stor mängd tränscendenta linier, var för öfrigt lätt att förutse, ty man kan antaga, att cirkeln G rullar på linien AX obegränsadt.

I A, B, . . . bildar cykloiden spetsar eller såkallade rebroussements-punkter . I hvarje sådan punkt är tangenten vinkelrät mot »-axeln, hvarom man öfvertygar sig

genom att söka gränsvärdet för—, då x och y försvinna. it?

132. Epicyklo iden. — Om en cirkel O'rullar utan glidning på en annan fast cirkel O, beskrifver en punkt P på den rörliga cirkelns periferi en kroklinie, som kallas epicykloid.

Vid hvarje omlopp af den rörliga cii-keln beskrifver punkten P en branche af epicykloiden; antalet af sådana brancher, hvilka alla äro lika, beror på förhållandet mellan cirklarnas periferier eller, som är det samma, mellan deras radier. Vore förhållandet mellan den rörliga och den fasta cirkelns radier t. ex. såsom 5 till 11, så att den förra cirkelns periferi tagen 11 gånger vore lika med den senares

161

Fig. 74.

periferi tagen 5 gånger, så skulle epicykloiden bestå af 11 brancher, hvilka inalles 5 gånger omslöte den fasta cirkeln, så att hvarje branche upptoge T

8r af dess periferi. Men

branchernas antal blefve oändligt, om cirklarnas radier vore inkommensurabla.

Antagom att den beskrifvande punkten P ursprungligen berört den fasta cirkeln i A; då är bågen CA lika med bågen CP. Betecknas den fasta cirkelns radie med A, den rörliga cirkelns radie med b samt de föränderliga vinklarna GOA och GO'P med TO och co', så är GA — ATO, CP = bco och man har således aco = bco',

eller CO' = a

CÖ = b Drager man O'B och PM vinkelräta mot O A

samt. PN parallel med samma linie, blifver vinkeln 0'PN

tydligen supplement till TO + cd, det är till ^ ~ - C O och man

har alltså a t d j , a+b ~ a+b NP = — b cos — : — C O , ON= b s m — — CO.

b b Epicykloidens eqvation är nu lätt att härleda. Vi taga

O till origo, O A till a;-axel och en der imot vinkelrät linie till ?/-axel. Koordinaterna för punkten P (x = OM— OB + BM, y = PM=0'B — 0'N) blifva då

(1)

c i ia 7 a+b x = (a + b) cos co — b cos —7— co,

y — (a + b) sinw- , .a+b - o s i n — = — c o .

Den sökta relationen mellan x och y bestämmes här igenom, Lindelöf, Geometri. - j ^

162

ehuru indirekt medelst hjelpvinkeln co. När förhållandet mellan a och b är rationelt, kan denna hjelpvinkel elimineras och man erhåller en algobraisk eqvation för epicykloiden. Men eliminationen är icke mer möjlig på algebraisk väg, om a och b äro inkommensurabla; epicykloidens eqvation är då transcendent, hvartill man redan kan sluta af den ofvan anförda omständigheten, att den samma i sådant fall har ett oändligt antal brancher och således kan skäras af en rät linie i ett oändligt antal punkter.

133. Låtom oss särskildt betrakta den händelse då b = a. Värdena ( 1 ) för x och y blifva då

|as = 2 a c o S f l > - — a cos 2co = a (2 cos co — 2 cos 2 » + 1 ) , \y = 2a snuu — a sin 2co = a (2 sin« — 2 sin co cos co),

hvaraf x — a = 2a coSft>(l— cos&i),

y = 2 a sin & i ( l — c o s a i ) , och således

(3) (x —a)2+i/2=4a2(l— cosco)\ Eqvationerna (2) upphöjda till qvadrat och adderade gifva å andra sidan

x*+ y2 = Aa2 — 4a 2 c o s « + a1

eller (4) x^+y*— ct 2 =4a 2 ( l—cos<u) .

Genom elimination af 1—cosco mellan (3) och (4) erhålles slutligen en eqvation af fjerde graden

(x'+y* — aty=W(.(x — ay + y*) för den i fråga varande epicykloiden.

Dess eqvation i polära koordinater framgår omedelbart ur (3), der venstra membrum tydligen är qvadraten af afståndet AP. Betecknas detta afstånd med p, erhåller man efter qvadratrotens utdragning

p = 2a (1— cosw), som är krokliniens polar-eqvation, då A tages till pol och AX till polar-axel. Ty då a, — b och GA = GP, så är AP tydligen parallel med OO' och vinkeln PAX= vinkeln O'OX; co betecknar således i sjelfva verket den vinkel, som radius vector p gör med axeln AX.

163

På grund af dess hjertformiga utseende har den epi-cykloid, som uppkommer när båda cirklarna, den rörliga och den fasta, äro lika stora, särskildt fått namn af kardioid. Dess polareqvation utvisar, att den der jämte utgör ett spe-cielt slag af Pascals snäcka, hvarom man äfven kan öfver-tyga sig genom en enkel geometrisk konstruktion. Låtom oss betrakta den rörliga cirkeln i tvänne diametralt motsatta lägen 0\ O" och utdraga PA, tills den råkar cirklarna O och O" i punkterna Q, R; då denna linie är parallel med 0'0", blifva äfven radierna OQ, 0"R parallela med 0'P samt PQ = QR=2a; och R är en punkt på epicykloiden, emedan bågarna 0'R och CA tydligen äro lika stora. Man kan derför tänka sig uppkomsten af i fråga varande linie sålunda, att en sekant AQ vrider sig omkring en punkt A på periferin af cirkeln O och man af den samma från den punkt Q, der den träffar cirkeln, afskär åt hvardera sidan stycken QR, QP lika med cirkelns diameter 2a.

Kardioiden har en intressant fysisk egenskap, hvilken här i förbigående må omnämnas. Beskrifver man nämligen omkring O en cirkel med radien 3a, hvilken således jämt omsluter den rörliga cirkeln och tangerar kardioiden i punkten D, så utgör donna linie katakaustika (bränlinie) för de strålar, som utgående från D reflekteras från periferin af nämde cirkel.

Bränlinien för parallelt infallande strålar, som reflekteras från den konkava (inre) sidan af en cirkelbåge, är äfven en epicykloid, hvilken uppkommer, när den fasta cirkelns radie utgör hälften och den rörliga cirkelns radie f jerdedelen af radien till den reflekterande cirkeln.

134. H y p o c y k l o i d e n beskrifves af en punkt P på periferin af en cirkel O', som rullar utan glidning på den konkava (inre) sidan af en annan, orörlig cirkels O periferi.

Tages O till origo samt OA till »-axel, då A är den punkt, der P ursprungligen berörde den fasta cirkeln, och betecknar man såsom förut den fasta cirkelns radio med a, den rörliga cirkelns radie med b samt vinkeln 0'OA med

164

Fig. 75

6 = 7-1 hvilken händelse i 4 formler

co, så finner man för koordinaterna se, y för punkten P samma uttryck, som i § 132 (1), mod don skilnad, att b öfVer allt erhåller motsatt tecken, eller

/ i\ . 2 . a—k x — (a —6)cos&> + & cos - ^ — c o ,

/ JA • J, ' a ~ " &

y=(a — b) sin cu — 6 sm — - — c o .

Antager man t. ex. att

figuren är afbildad, gifva dessa

x — j ( 3 cos« + cos3<u) = a c o s 3 ö i ,

y = j ( 3 sinw— sin3w) = « sins<y,

och man erhåller genom elimination af co följande enkla eqvation för hypocykloiden

2 2 2 x5 + y^ = as.

Kroklinien är symmetrisk i afseende på båda koordinat-axlarna och bildar fyra spetsar, såsom figuren utvisar.

Låtom oss ännu betrakta den händelse, då b — ~. Yär-dena för x och y blifva då

x= a cos co, y = 0;

man ser häraf, att punkten P ständigt befinner sig på se-axeln samt att hypocykloiden således sammanfaller med diametern AB. På denna egenskap grundar sig hypocykloidens användning i några maskiner för att förvandla en roterande rörelse i en rätlinig eller tvärt om.

135. Arch imedes ' spiral. —Spira l kallas i allmänhet en linie, som gör oändligt många sig städse vidgande omlopp omkring en fast punkt. Den enklaste spiral uppkommer på följande sätt. En odeterminerad radie OB vri-

165

\

Fig. 76. der sig med likformig hastighet omkring en fast punkt O, under det en punkt P rör sig utefter denna radie äfvenledes

\S" med en likformig hastighet. TJnder denna dubbla rörelse beskrifver punkten P en kroklinie, som fått namn af Archime-des ' spiral.

Antagom, att den rörliga radien hade läget OX, när punkten P sammanföll med O. Vi taga O till pol, OX till polar-axel och beteckna de polära koordinaterna för P med r och v, nämligen r = OP, v = POX. Af krokliniens definition följer, att r och v

äro i ett konstant förhållande till hvar andra, så att — är v

lika med en viss konstant längd a; häraf erhålles omedelbart spiralens eqvation

För v=l är r = a; om man, såsom i analysen är vanligt, till mått för en vinkel begagnar längden af motsvarande båge i en cirkel, hvars radie är tagen till enhet, så att talet iz motsvarar en vinkel af 180°, betecknar konstanten a i föregående eqvation således den radius vector, som mot-

180° svarar en vinkel v = = 57°17'45".

I origo O tangeras spiralen af axeln OX; ty OX utgör gränsläget för sekanten OR, när den vrider sig omkring punkten O, till dess kordan OP försvinner.

Man kan tänka sig rörelsen fortsatt äfven åt andra sidan om axeln OX; v erhåller då negativa värden och följaktligen blifver äfven r negativ, hvilket betyder, att punkten P befinner sig icke på sjelfva den radie, som bestämmes genom vinkeln v, utan på dess förlängning åt motsatt sida om O. Man erhåller der igenom en annan spiral 08', fullkomligt lik 08, men vänd åt motsatt sida.

av.

7T

166

136. Logari tmisk spiral kallas don, hvars eqvation i polära koordinater är

r = a". När v tillväxer från 0 till co, tillväxer äfven r från 1 till oo; när v minskas från 0 till —oo, minskas äfven r från 1 till 0. Spiralen gör således oändligt många slingringar omkring polen, till hvilken den närmar sig oupphörligt, utan att likväl någonsin uppnå den samma.

En märkvärdig egenskap hos logaritmiska spiralen är att tangenten i hvarje punkt gör samma vinkel med radius vector; för att härleda denna egenskap erfordras dock kännedom af högre analysen, hvarför den samma här endast i förbigående kan omnämnas.

S E N A R E D E L E N .

RYMDGEOMETRI.

F ö r s t a K a p i t l e t .

Om punkter och rigtningar i rymden.

137. Förberedande satser ur läran om pro jektioner. — En punkt i rymden projicieras på en rät linie eller axel OX, då man genom den samma drager ett plan (eller endast en rät linie) vinkelrät mot OX. Om punkten rör sig efter en rät linie AB, beskrifver dess projektion ett vägstycke A'B' antingen i rigtning från O till X eller i den motsatta rigtningen. Den ena af dessa rigtningar, t. ex. OX, anse vi såsom positiv, den andra XO såsom negativ, och benämna vägstycket A'B' taget med tecknet + eller —, allt efter som det faller i den förra eller senare rigtningen, p ro j ek t i on af l inien AB på axeln OX. Detta förutsatt gäller följande teorem:

Pro j ekt i onen af en determinerad rät l in ie på en annan rät l inie erhål les till s tor lek och tecken, när den förra l iniens längd mult ip l i ceras med cos inus för v inkeln mellan båda linierna.

Drager man nämligen genom ändpunkterna A, B af den gifna linien vinkelräta planer mot OX, hvilka råka denna axel i punkterna Ä, B\ samt genom A en linie AC parallel med OX, tills den råkar det genom B dragna planet i en punkt C, så är AC= A'B'= projektion af AB på li-nien OX och vinkeln BAG är lika 0

med den vinkel a, som räta linien

170

AB gör med axeln OX*). Då nu triangeln ABC är rätvinklig vid C, emedan AC är vinkelrät mot planet BB'C, har man således ÄB' = AB cos «.

Så ofta vinkeln « är spetsig, faller punkten B' till höger om Ä och projektionen är positiv; men motsatsen eger rum när. a är trubbig. Då nu äfven cos a i förra fallet är positiv, i det senare negativ, så ser man, att AB cos a i hvarje händelse uttrycker projektionen af AB på OX till såväl storlek som tecken.

138. Om en sluten p o l y g o n pro j i c ieras på en rät linie, är summan af sidornas pro jekt ioner noll .

För p o l y g a n e r med samma ändpunkter är summan af s idornas pro jekt ioner den samma.

I de polygoner, som här betraktas, behöfva icke alla sidor ligga i samma plan. Beviset är det samma som för motsvarande teorem angående plana polygoner (§ 6 ) , hvar-för det ej behöfver här upprepas.

139. Om man genom alla punkter af en kroklinie i rymden föreställer sig perpendiklar fälda mot ett plan, så alstra dessa perpendiklar en cylindrisk yta, hvars genomskärning med planet kallas projektion af kroklinien på detta plan **). Om linien i rymden är rät, blifver den cylindriska ytan plan och projektionen blir då äfven en rät linie, emedan den utgör afskärningen mellan tvänne planer.

Lutningen mellan en rät linie och ett plan mätes af vinkeln mellan räta linien och dess projektion på planet. För att erhålla projektionen af en determinerad rät linie

* ) V i n k e l n m e l l a n t v å r ä t a l i n i e r i r y m d e n , s o m i c k e l i g g a i s a m m a

p l a n o c h s å l e d e s ej k u n n a r å k a s , a n s e s n ä m l i g e n l i k a m e d v i n k e l n m e l l a n

t v å a n d r a r ä t a l in ie r , s o m g e n o m n å g o n p u n k t d r a g a s p a r a l l e l a m e d d e

f ö r s t n ä m d a . N ä r h v a r d e r a l i n i e n t a g e s i e n b e s t ä m d r i g t n i n g , b l i f v e r

ä f v e n v i n k e l n m e l l a n d e m u t a n t v e t y d i g h e t b e s t ä m d .

* * ) H ä r ä r e n d a s t f r å g a o m r ä t v i n k l i g p r o j e k t i o n . M a n e r h å l l e r e n

s n e d v i n k l i g p r o j e k t i o n a f en l i n i e i r y m d e n p å e t t p l a n , o m m a n g e n o m

a l l a p u n k t e r p å d e n s a m m a t ä n k e r s i g r ä t a l in ier d r a g n a p a r a l l e l t m e d e n

r i g t n i n g , s o m i c k e ä r v i n k e l r ä t m o t p l a n e t .

171

på ett plan, har man således att multiplicera räta liniens längd med cosinus för dess lutning mot planet.

léO. Arean af en plan figurs projektion på ett annat plan är lika med don gifna figurens area mult ipl icerad med cosinus för v inkeln mellan do båda planerna.

En plan figurs projektion på ett annat plan erhålles, om man från alla punkter på dess perimeter fäller perpendiklar mot det senare planet. Projektioner af samma figur på parallela planer äro tydligen kongruenta.

Antagom först, att den gifna figuren är en triangel ABC, hvars bas AB är parallel med det plan P, på hvilket man projicerar. Yi lägga genom AB parallelt med P ett plan ABC samt fälla från C en per-pendikol CC mot sist nämda plan och från C en perpendikel CD mot AB. Linien AB är då vinkelrät mot planet CDC'*) och vinkeln CDC mäter lutningsvinkeln mellan planerna ABC och ABC. Betecknar man nu med T ytan af triangeln ABC, med T' ytan af dess projektion ABC samt med e planernas lutnings-vinkel CDC, så är T = 1 AB. CD, T=\ AB. CD; men CD = CD cos e; alltså är 2"= T cos e.

Om ingen af triangelns sidor är parallel med projektionsplanet P, så tanke man sig triangelns plan utdraget tills det skär planet P utefter en viss rät linie. Drager man sedan genom triangelns spetsar linier parallela med nämda afskärningslinie, så är det tydligt, att en af dessa linier delar triangeln T i tvänne mindre trianglar T n T 2, hvilkas projektioner, enligt hvad redan bevistes, äro T, cos e

* ) T y o m m a n g e n o m D d r a g e r en l i n i e p a r a l l e l m e d C C, s å f a l l e r

d e n n a l in ie i p l a n e t CDC och ä r t i l l i k a v i n k e l r ä t m o t p l a n e t AB C s a m t

t i l l f ö l j e d e r a f ä fven m o t l in ien AB. S i s t n ä m d e l in ie AB, s o m d e s s u t o m

ä r v i n k e l r ä t m o t DC, ä r s å l e d e s v i n k e l r ä t m o t t v å s k i l d a l in ie r i p l a n e t

CDC och f ö l j a k t l i g e n ä f v e n m o t s j e l f v a p l a n e t .

Fig. 78.

C

B

172

och Tt cos e. Projektionen af hela triangeln T är således Tj cos * + T s cos 6 = (T, + Tt) cos * = T cos -9.

För att utsträcka teoremet till en rätlinig plan figur med huru många sidor som helst, behöfver man endast tänka sig figuren uppdelad i trianglar. Låter man sedan sidornas antal blifva oändligt stort och hvarje sida oändligt liten, finner man, att teoremet äfven gäller om krokliniga plana figurer.

141. Paral le l -koordinater . — För att bestämma läget af en punkt P i rymden, hänför man den samma vanligen till tre så kallade koordinat -ax lar XX', YY', ZZ', som skära hvar andra i en punkt O, benämd origo eller begynnelsepunkt, och icke ligga i ett plan. Dessa axlar anses gifna och oföränderliga. På hvarje af. dem åtskiljas två motsatta rigtningar, af hvilka den ena [OX, OY, OZ) anses positiv, den andra (OX, OY', OZ') negativ. Dessa axlar, tagna två och två, bestämma tre planer XOY, XOZ, YOZ, som benämnas koordinat-planer .

Om man genom P drager tre planer PA, PB, PO parallela med de tre koordinat-planerna, uppkommer en pa-

rallelipiped, som är till alla delar bestämd, så snart man känner de tre kanterna O A, OB, OO. Yi beteckna respective med x, y, z dessa kanter tagna med tecknet -f- eller —, allt efter som de falla i den positiva eller negativa rigtningen af motsvarande koordinat-axlar. Det är då tydligt, att qvantiteterna se, y, z fullständigt bestämma läget af punkten P; de kallas af sådan anledning koor

dinater för denna punkt. Dess afstånd OP från origo benämnes radius vector.

De tre koordinat-axlarna OX, OY, OZ få namn af se-, y-, 2-axel och de tre koordinat-planerna XOY, XOZ, YOZ skiljas från hvar andra genom benämningarna xy-, xz-,

Fig. 79.

173

yz-plan. En punkt, hvars koordinater äro x = a, y = b, s = c betecknas korteligen med (a, b, c).

De tre koordinat-planerna, utdragna åt alla sidor, bilda åtta triedriska vinklar, motsvarande de åtta olika kombinationer, som kunna förekomma i afseende å koordinaternas tecken. För punkter belägna inom vinkeln XYZ äro alla tre koordinaterna positiva; inom vinkeln X'YZ är x — —, y=+, » = + ; inom vinkeln X'Y'Z är x = —, y = —, z = +, o. s. v. När x, y, a hvar för sig variera från — o o till + oo, bo-stämma de efter hand alla punkter i rymden.

Då x = OA = PL, y = OB = PM, z = OC = PN, kunna koordinaterna x, y, z äfven konstrueras sålunda, att man genom P drager linier PL, PM, PN parallela med OX, OY, OZ, tills de möta de tre koordinat-planerna, När koordinaterna x, y, z äro gifna och man vill finna punkten P, begagnar man sig helst af följande konstruktion: man afskär af «-axeln ett stycke O A = x, drager genom A parallelt med y-axeln AN= y samt genom N parallelt med »-axeln NP = s. Alla dessa linier OA, AN, NP tagas i de positiva eller negativa rigtningarna af motsvarande koordinat-axlar efter tecknen för x, y, z. Der igenom uppkommer en ko or dinat-p o l y g o n OANP, som förenar origo med punkten P.

Om koordinat-axlarna äro vinkelräta mot hvar andra, så är parallelipipeden OP rätvinklig; x, y, z utgöra då projektioner af radius vector OP på de tre koordinat-axlarna. Man kan i sådant fall äfven definiera x, y, z såsom de vinkelräta afstånden från punkten P till de tre koordinat-planerna, tagna med behöriga tecken.

142. Polära koordinater. — Läget af en punkt P i anseende till tre vinkelräta axlar OX, OY, OZ bestämmes äfven stundom genom följande så kallade polära koordinater: l:o längden r af radius vector OP, 2:o den vinkel, y, som radius vector gör med axeln OZ, samt 3:o vinkeln <p mellan planet ZOP och det fasta planet ZOX, det är den vinkel, som projektionen ON af radius vector på ajy-planet gör med »-axeln, tagen i en viss öfverenskommen rigtning

1 7 4

Fig.

/

t. ox. från OX åt OY. Mellan dessa polära koordinater r, Yi f o c n a e rätvinkliga koordinaterna x, y, z för samma punkt ega följande relationer rum:

x = r sin y cos tp, y — r sin y sin f,

!^--v j j _ s = r cos / ^ För att härleda dem, har man först

att betrakta den vid JV rätvinkliga triangeln OPJV, som gifver z = P J V =

O P sin P O J V = r cos y och OJV = r sin y. U r den vid A rätvinkliga triangeln 0 J V 4 erhålles sedan y = OJV" sin <p och se — ON cos <p, der man endast har att insätta för OJV det nyss funna värdot r sin y.

143. Längd och r igtning af radius vector . —• I en rätvinklig parallelipiped är diagonalens qvadrat lika med summan af qvadraterna af de tre kanter, som bestämma parallelippipeden. Ty då (fig. 7 9 ) Ö P " = Ö~N* + JVP* och Qjy2 = OA* + JN\ så är Ö P 2 = O T + Z F + NP* = O A + OB + OG . Betecknar man med r radius vector för punkten P , eller afståndet från origo till den punkt, hvars rätvinkliga koordinater äro x, y, z, har man således

r2 = x2 -f i / 2 + z2, hvaraf r = Vx2 + y2 + z2. Rigtningen af radius vector bestämmes genom de vinklar

a —FOX, ft=POY, y=POZ, den samma gör med de tre koordinat-axlarnas positiva rigtningar. I det rätvinkliga systemet äro x, y, z projektioner af radius vector på de tre axlarna; och man har

ic = r c o s « ,

y — r cos /?, hvaraf

z = r cos y,

cos a -

cos/9 =

cos y-

x 7 '

y

z r'

De tre sista formlerna tjena till beräkning af a, /?, y. Samma formler gifva genom qvadrering af båda membra och addition

175

cos 2 « + cos2/9 + c o s V = ^ ;

då nu * s + V* + a2 = r 2 , såsom vi nyss funnit, erhålles (1) cos 2a + cos2/9 + c o s 2 1,

en relation, som således i allmänhet eger rum mellan de vinklar, som en rät linie gör med tre mot hvar andra vinkelräta axlar. Man ser häraf, att vinklarna a, ft, r icke äro oberoende af hvar andra, Att de i sjelfva verket aromer än tillräckliga för att bestämma rigtningen af linien OP, finner man genom följande betraktelse. Låter man OP successivt svänga sig omkring OX, OY, OZ, uppkomma tre koner, hvilka skära hvar andra längs OP. Yore nu endast vinkeln a gifven, så skulle OP kunna vara hvilken alstrings-linie som helst till den första könen. Känner man der jämte vinkeln /?, så vet man, att OP måste ligga både på den första och på den andra könen och således vara endera af de linier, i hvilka dessa koner skära hvar andra och hvilka linier göra med z-axeln vinklar, som äro hvar andras supplement. Den tredje vinkeln y kan då endast vara någondera af sist nämda vinklar och för att fixera rigtningen af OP vore det tillräckligt att veta, om y är spetsig eller trubbig, det är om cos y är positiv eller negativ. Men den absoluta storleken af cos y måste kunna beräknas, när a och /3 äro gifna, och detta låter sig göra genom formeln (1).

144. Afstånd och rigtning mel lan tvänne punkter. — P och P' (fig. 81) äro tvänne punkter, hvilkas rätvinkliga koordinater x, y, z och y', z' anses gifna. Fråga är att finna ' ,' afståndet p = PP' mellan dem, samt de vinklar, a, /?, y, som detta afstånd, taget i rigtning från P till P', gör med koordinat-axlarna.

Drager man genom P räta linier PX, PY, PZ' parallela med OX, OY, OZ och tager dessa linier till axlar för ett nytt rätvinkligt koor-

176

dinar-systern, blifva koordinaterna för F i detta system x' — x, y' — y, z — z och man har således

p % = - *)' + (y' -y)1 + V - *)', hvaraf det sökta afståndet p erhålles genom qvadratrotens utdragning. Iakttages der jämte, att de nämda koordinaterna x — x, y' —• y, z' — z utgöra projektioner af PP' på de nya axlarna, eller, hvilket är det samma, på de dermed parallela ursprungliga axlarna OX, OF, OZ, finner man

x' — x p cos «

p cos,S=y'

p cos Y = Z'

hvaraf

cos a -

cos;? •• P

y' — y p

cos x • Då man för p alltid har att taga det positiva värdet, blifva vinklarna a, /?, y här igenom utan tvetydighet bestämda.

145. Att finna koordinaterna för en punkt P, som delar afståndet mellan tvänne gifna punkter P', P" i det förhål lande att PP' : PP" = m: n.

Låt x, y, z och *', y', z samt x", y", z" i ordning föreställa koordinaterna i ett rät- eller snedvinkligt system för

de tre punkterna P, P', P". Drag genom P, P', P" räta linier parallela med z-axeln; dessa linier ligga i ett plan, hvars afskärning med xy--pla.net bildar en rät linie N'N". Drag slutligen P'L och PM parallela med iVW".

[ Då är P'IV' = a', PN = e, F'N" = z"; följaktligen FL = z — z', P"M = z"— z. Af de likformiga trianglarna

FPL, PP"M erhålles nu PL:P"M = m:n, det är

Fig. 82.

hvaraf n (s — z) = m (z" — z), eller (m + n) z = nz' + mz". Analoga resultat erhållas för x och y. De sökta koordinaterna för punkten P blifva alltså

tnx" -)- nx' my" + ny' ms" + nz' m + n y m + n

177

Dessa formler gälla, när P faller mellan punkterna P' och P". Låge P der imot på förlängningen af linien P'P" och på ett sådant afstånd, att PP' :PP" = m: n, bevisar man på samma sätt, att dess koordinater blefve

mx"—nx' my"—ny' mz"—ns m — n ' m — n ' m — n

Om punkten P halfverar afståndet P'P", blifva dess koordinater

x + *" y' + v" z' +z"

d. v. s. aritmetiska media af de gifna punkternas motsvarande koordinater . Dessa media försvinna och man erhåller x = 0 , y = 0, z = 0, så ofta x" = — y " = —y', z"=—z'\ alltså: när tvänne punkter hafva sina motsvarande koordinater lika stora, men af motsatta tecken, halfverar or igo deras sammanbindnings-l inie.

146- Pro jekt ion af radius vector . — Projektionen af radius vector OP (fig. 80) på hvilken rät linie som helst är lika med projektionen af koordinat-polygonen OANP på samma linie. Om a, /?, y äro de vinklar, som denna linie gör med koordinat-axlarna, och a, y, z koordinater för punkten P, blir projektionen af sidan O A x cos a, af sidan AN 2/cos/2, af sidan NP zcosy (jämf. § 9); summan

x cos a + y cos/? + z cos y uttrycker således projektionen af hela koordinat-polygonen eller af radius vector. Detta gäller äfven för snedvinkliga koordinater.

Om den linie, på hvilken man projicierar, har rigtningen OP, så sammanfaller nämda projektion med sjelfva radius vector r och man har

r = a; cos a + y cosft + z cosy. Men då «, /?, y nu beteckna de vinklar, som radius vector gör med koordinat-axlarna, har man, under antagande af rätvinkliga koordinater, x = rcosa, y = rcosft, z = rcosy (§ 143); genom insättning af dessa värden i föregående formel erhålles

Linde löf, Geometri. ^2

178

r = r(cos 2a + cos2/? + cos Y) , hvaraf

cos 2a + eos2/? + cos2?- = l ; vi återfinna sålunda den i § 143 härledda relationen mellan vinklarna «, /?, y.

147. Vinkeln mellan tvänne räta linier. — När man känner de vinklar a, /?, y och a', /?', ?-', som tvänne räta linier OL, OL' (eller dermed parallela linier i rymden)

göra med koordinat-axlarna, äro båda Fig. 83.

liniernas rigtningar fullkomligt be-^ I z stämda och det måste vara möjligt

att finna ett uttryck för vinkeln e mellan dem. Detta sker enklast på

4 A följande sätt, då man antager, att koordinat-systemet är rätvinkligt.

Man tager på linien OL efter behag en punkt P, hvars koordina

ter och radius vector må betecknas med x, y, z, r, samt projicierar på OL' såväl radius vector OP som koordinat-polygonen OANP. De båda projektionerna måste blifva identiska och man har således

r cos e = x cos d + y cos/9' + z cos / . Insätter man här * = rcosa, y = r cos/9, 2 = rcos?' och dividerar resultatet med r, erhålles

(2) costf = cos« cosa'+ cos^cos^-f cos^cosj-', hvar igenom den sökta vinkeln ft kan beräknas. Denna vinkel tages alltid mellan 0 och 180° och bestämmes således utan tvetydighet genom sin cosinus.

När «, /?, y, «', /?', y hafva sådana värden, att högra membrum i föregående eqvation försvinner, blifver cose = 0 och 0 = 90°. Vilkoret

cos«cosa' + cos/9 cos/9'+ cos? -cos /= 0 innebär således, att linierna äro vinkelräta mot hvar andra. För deras parallelism erfordras tydligen, att de göra lika stora vinklar « = a', /9=/9', y=y med koordinat-axlarna.

148. E ig tn ings -v ink lar och kosiner. — De vinklar «, /?, y, som en rät linie gör med tre rätvinkliga koor-

179

dinat-axlar, benämnas korteligen dess r igtn ings -v inklar . I analytiska geometrin är det vanligen cosinus för vinklarna a, J3, som komma i användning, hvarför vi, följande engelska författares exempel, äfven för dessa cosinus införa en särskild benämning, i det vi kalla dem r i g t n i n g s - k o -siner (eng. direction-cosines) för räta linien.

Låt a, 5, c föreställa de tre rigtnings-kosinerna för en rät linie. Mellan dessa qvantiteter förefinnes enligt (1) (§ 143) en identisk relation a 2 - f o 2 + c 2 —1, i stöd hvaraf de kunna beräknas, så snart deras inbördes förhållanden äro gifna. Antagom, att a, &, c äro proportionella mot tro gifna qvantiteter A, B, O, så att

a b c A^B^G'

hvart och ett af dessa bråk är då äfven lika med + Vq« + + 1 ~ VI* + B2 -HT2 ~ ± V I 2 + B2 + G1

och man har alltså a _ ±A h__ ±B ±G

VJT~+ B' + C 2 ' + B''+cv C~yAr+W+"Gi'

Här kunna antingen alla de öfre eller alla de nedre tecknen med hvar andra kombineras och man erhåller två system af värden för a, &, c, hvilka likväl endast bestämma de två motsatta rigtningarna af samma räta linie.

Cosinus för vinkeln e mellan tvänne räta linier, hvil-kas rigtnings-kosiner äro a, b, c och a', b', c', är enligt (2)

cosfi — aa' + bb'4-cc\ hvaraf

cos 2ö = a V 2 + b%'%+ c V 2 + 2aba'b'+ 2acäc'+2bcb'c'. Man har der jämte 1 = (o, 2+ i 2 + c 2 ) (o/ 2 + b" + c'2) = « V 4 + 6 2 6' 2 + c V 2 + a 2 6 ' 2 + a"6* + a V 2 + a ' V + fcV2+ &'V. När man från denna eqvation subtraherar den näst föregående, erhålles

1 _ cos 2e = a2&'2 + a ' V + o V ' + a 'V + 6 V ' + &'2c2

— 2aba'b'— 2aca'c'— 2öci'c', det är

180

(3) sin'e = (ab'~dbf+ (bc'— bc)s + (ca'— ca)\ en formel, som i följande problem kommer i användning.

149. Att finna r ig tn ings -kos inerna för en rät l inie, som är v inkelrät mot två gifna räta linier.

Låt a, b, c och a\ b\ c' vara rigtnings-kosiner för de gifna räta linierna OL, OL', hvilka vi för större tydlighet tänka oss dragna genom origo, samt a", b", c" rigtnings-kosiner för en tredje rät linie OL", som är vinkelrät mot de båda först nämda; man har då till bestämmande af a", b", c" de tre eqvationerna

aa" + bb" + cc" = 0, a! a" + Vb" + c'c" = 0, a"a"+b"b"+c"c"=l.

Genom att eliminera c" mellan den första och andra eqvationen erhålles

a" b" bc' — b'c ca'— c'a'

Eliminationen af b" eller a" mellan samma eqvationer gifver analoga resultat, hvilka alla kunna sammanfattas i formeln

a" b" c" 1 bc'—b'c ca'—c'a ab'—a'b ~ sine'

der e är vinkeln mellan de gifna linierna OL och OL'. Det sista membrum i denna formel har tillkommit sålunda, att man i de tre föregående bråken tagit summan af tälja-renas qvadrater a* + b*+ c 2, som är = 1 , och summan af näm-narenas qvadrater, som enligt (3) är = sin'e, samt utdragit

qvadratroten af det här igenom erhållna nya bråket

För att finna värdena på a", b", c" behöfver man endast jämföra hvart för sig af de tre första bråken med det fjerde och bortskaffa nämnaren.

Formeln (4) gäller för hvilket läge som helst af det rätvinkliga koordinat-systemet, således äfven, om man låter i/-axeln sammanfalla med OL' och »-axeln med OL", i hvilket fall a ' = 0 , V=l, c ' = 0 , o " = 0 , fe"=*0, c " = l . Tredje

membrum af formeln (4) reducerar sig då till i och man

181

bör således hafva a = + sine. Men a betecknar här cosinus för den vinkel, som OL gör med den nya »-axeln och denna vinkel är tydligen spetsig eller trubbig, allt efter som OL faller åt samma sida om y»-planet som »-axeln, eller åt motsatt sida. Då nu sin e alltid är positiv, har man således att i formeln (4) i förra fallet taga tecknet + , i det senare tecknet —.

Samma tecken, som gäller för det nu betraktade speciella läget af koordinat-systemet, gäller för hvilket annat läge som helst. Ty då man kan tänka sig, att systemet öfver-går från ett läge till ett annat genom kontinuerlig vridning

c"

och expressionen — ^ enligt formeln (4) dervid stän

digt måste hafva det ena eller det andra af de konstanta

värdena + — m e n denna expression icke plötsligen kan springa öfver från det ena värdet till det andra, inser man, att den samma alls icke kan förändra tecken. För att afgöra hvilketdera tecknet i formeln (4) som bör tagas, behöfver man derför endast i tanken flytta koordinat-systemet så, att y-och 2-axlarna respective sammanfalla med OL' och OL", samt undersöka, huruvida OL då faller åt samma sida om ys-planet som »-axeln, eller icke. Resultatet häraf kan sammanfattas i följande regel: Om de tre l inierna OL, OL', OL", sedda från O, fö l ja på hvar andra i samma ordning (medsols eller motsols) som de tre koord inat -ax larna OX, OT, OZ, har man att i formeln (4) taga tecknet + , i motsatt fal l tages tecknet —.

För öfrigt är det klart, att samma formel (4) äfven gäller, om de gifna linierna hafva hvilket läge som helst i rymden, emedan man alltid genom origo kan draga räta linier parallela med dem.

150. Qvadraten af en plan f igurs area är lika med summan af qvadraterna af dess pro jekt ioner på tre mot hvar andra vinkelräta planer.

Ty om A är den gifna figurens area och «, /?, y de vinklar, som dess plan gör med de tre rektangulära planerna

182

YOZ, ZOY, XOY, eller med andra ord do vinklar, som normalen mot A gör med de tre rätvinkliga axlarna OX, OY, OZ, så äro de tre projektionerna af A

A = Aco$a, B = Acos/3, C = Acosy och summan af dessa qvadrater är

A* + B2 + C2 = A\ emedan cos 2a + cos2/? + cosY = 1.

Koordinaters transformation.

151 . F lyt tn ing af origo. — Om koordinat-systemet flyttas parallelt med sig sjelf från origo O till ett nytt origo O', hvars koordinater äro a, /?, y, så har man mellan de ursprungliga koordinaterna » , y, z för en punkt P och de nya koordinaterna x', y', z' för samma punkt följande relationer

x = x' + a,

s — z' + y. Ty der igenom att yg-planet flyttas parallelt med sig sjelf från O till O', minskas alla abskissor (i algebraisk mening) med den konstanta qvantiteten a, så att x = x — a eller x = x'+a. Rigtigheten af två öfriga eqvationerna bevisas på samma sätt.

152. Förändr ing af axlarnas r igtning. — Vi betrakta här endast öfvergången från ett rätvinkligt koordinatsystem till ett annat rät- eller snedvinkligt system med samma origo O. Låt » , y, z vara koordinaterna för en punkt P i det förra systemet, och » ' , y', z koordinaterna för samma punkt i det senare systemet. Rigtningarna af de nya axlarna bestämma vi medelst cosinus för de vinklar de samma göra med de ursprungliga axlarna, i det vi beteckna rigt-nings-kosinerna för »'-axeln med a, b, c, för y'-axeln med d, V, c', för s'-axeln med a", b", c". Projicierar man nu på »-axeln afståndet OP samt den koordinat-polygon, som förenar origo med punkten P i det nya systemet, erhålles

183

den första af nedan stående eqvationer; de båda öfriga erhållas likaledes genom samma liniers projiciering på y- och s-axlarna.

x = ax + dy + a"s\ (1) y = bx' + Vy + b"e',

z = ex + c'y' + c'V. Mellan de nio rigtnings-kosinerna, som ingå i dessa formler, ega på grund af det ursprungliga systemets rätvinklig-het följande relationer rum:

( a 2 + b* + c 2 = 1 , (2) a'2 +bn + c'2 = 1 ,

l o ' " + & " , + c" , = l . Antager man, att äfven det nya systemet är rätvink

ligt, har man ytterligare dessa vilkors-eqvationer aa' + bb' + cc' = 0,

(3) aa" + bb" + cc" = 0, a'a" + b'b"+c'c"=0,

af hvilka den första innebär, att och y'-, den andra att si- och z'-, den tredje att y'- och 2'-axlama äro vinkelräta mot hvar andra.

153 . För att omvändt uttrycka hvar och en af de nya koordinaterna genom de ursprungliga, då båda systemen antagas rätvinkliga, har man att projiciera afståndet OP samt koordinat-polygonen xyz på hvar och en af de nya axlarna. Samma ändamål vinnes äfven, om man adderar till hvar andra eqvationerna (1) efter att hafva multiplicerat den första, andra och tredje af dem respective med a, b, c eller med a', b', c' eller slutligen med a", b", c". Med fästadt afseende på vilkoren (2) och (3) erhålles sålunda

x' —ax +by + ca, y' = a'x + Vy + c'», z' = a"x + b"y + c"z.

Då cosinus för de vinklar, som x- och y- samt »-axeln göra med de nya koordinat-axlarna, äro respective a, a', a" -och 6 , b\ b" samt c, c', c", har man mellan dessa nio qvantiteter ytterligare följande relationer

184

a*+an + a"2 = 1 , ab + a'b'+ a" b" = O, b2 + b" + b"2 = 1 , ac + a'c' + a"c" = O, c 2 + c' 2 + c" 2 = 1 , bc + b'c' + b" c" = O,

af hvilka de tre första betingas af det nya systemets rätvinklighet och de tre senare uttrycka, att de ursprungliga koordinat-axlarna, tagna två och två, äro vinkelräta mot hvar andra. Dessa sex formler utgöra således endast nya uttryck för samma vilkor, som redan innehållas i eqvationerna (2) och (3), ur hvilka de i sjelfva verket kunna härledas.

154. Det inbördes sambandet mellan koefficienterna a, b, c, a ' , . . . . kan ännu framställas under en annan form. Då nämligen »'-axeln är på en gång vinkelrät mot y'- och 2'-axlarna och vinkeln mellan sist nämda axlar är 90°, har man enligt § 149

a b c b'c"— b" c'= c'a"—c"a' ^ a'b"—a"V = ± '

hvarvid tecknet + eller — bör tagas, allt efter som axlarna för x', y', z', sedda från O, följa på hvar andra i samma ordning som axlarna för x, y, z, eller i motsatt ordning, det är, allt efter som de båda koordinat-systemen, som här antagas rätvinkliga, kunna bringas att sammanfalla, eller icke. Under antagande af det förra alternativet har man således

a = b'c" — b" c', a = b" c — bc", a" — bc' — V c, b = c'a"— c" a', b' = c" a — ca", b" = ca' — c'a, c = a'b"— a"V, c' = a"b — ab", c" = ab' — a'b.

Det behöfver knappt erinras, att alla dessa formler äro en följd af de vilkor, som redan finnas uttryckta i de sex eqvationerna (2) och (3)*).

155. Eulers formler. — Då de nio koefficienterna a, b, c, a',... äro underkastade sex vilkors-eqvationer, (2) och

* ) D å v i i d e t f ö l j a n d e i c k e g ö r a b r u k a f d e a l l m ä n n a f o r m l e r n a f ö r

ö f v e r g å n g e n f r å n e t t s n e d v i n k l i g t k o o r d i n a t - s y s t e m t i l l e t t a n n a t l i k a l e d e s

s n e d v i n k l i g t s y s t e m , m e d d e l a v i d e m h ä r e n d a s t i en n o t .

L å t A, v v a r a d e v i n k l a r , s o m x - a x e l n g ö r m e d ^ - p l a n e t , y - a x e l n

m e d crz-planet , z - a x e l n m e d x j / - p l a n e t , s a m t a, /?, y, a, ft', y, a", ff, y" d e v i n k l a r , s o m a x l a r n a f ö r x', y', z g ö r a m e d f ö r u t n ä m d a k o o r d i n a t - p l a -

185

(3), så kunna blott tre af dem tagas efter behag. Häraf följer, att i allmänhet tre konstanter erfordras och äro tillräckliga för att bestämma det inbördes läget mellan tvänne rätvinkliga koordinat-system.

Man föreställe sig en sfer beskrifven omkring origo såsom medelpunkt med en godtycklig radie; de punkter X, Y, Z och X', Y', Z', der de båda axelsystemen råka sferens yta, bestämma tvänne sferiska trianglar XYZ och X'Y'Z'R

hvilkas alla vinklar och alla sidor äro = 90°. Utdrager man storcirkelbågen X'Y', tills den råkar XY i N, och betecknar bågen XN med <P, bågen NX' med <P samt vinkeln YNY', som äfven mä-tes af storcirkelbågen ZZ', med E, så kunna qvantiteterna E, <P, <F> tjena att fixera det nya systemets läge i anseende till det ursprungliga och det måste vara möjligt att uttrycka samtliga k o efficienter i formlerna (1) genom dessa tre qvantiteter.

För detta ändamål behöfver man i sjelfva verket endast tillämpa den ur sferiska trigonometrin bekanta formeln, enligt hvilken cosinus för en sida i en sferisk triangel är = produkten af de båda öfriga sidornas cosinus + produkten af deras sinus multiplicerad med cosinus för mellanliggande vinkeln.

Först bör anmärkas, att storcirkelbågarna *) X X Y X , Z X , XY', YY', ZY, XZ\ YZ\ ZZ\ till gradtal äro lika med de vinklar, som axlarna för %', y' och z' göra med de ursprungliga koordinat-axlarna, och att således a = cosXX',

n e r ; p r o j i c i e r a r m a n d å k o o r d i n a t - p o l y g o n e r n a xyz o c h x'y'z' p å p e r p e n

d i k l a r n a m o t s a m m a k o o r d i n a t - p l a n e r , e r h å l l e s

xsinÅ = a s ' s i n a + y'sina + z ' s i n a " ,

ysinp.= x s in /S + « / ' s m / 5 ' + z ' s i n / J " ,

z s i n v = x'sin y + y'sin y + z s i n / ' . * ) F ö r a t t i c k e g ö r a figuren o t y d l i g , ä r o d e s s a b å g a r i d e n s a m m a

i c k e u t s a t t a , h v a r f ö r l ä s a r e n b e d e s a t t s j e l f u t m ä r k a d e m e l l e r h e l l r e å t -

n ö j a s i g m e d b l o t t a f ö r e s t ä l l n i n g e n .

Kg. 84.

186

b = cosYX\ c = cosZX', o. s. v. Eör att nu bestämma t. ox. a, bar man att betrakta sferiska triangeln NXX', i hvilken NX = p, NX' = <p och mellanliggande vinkeln = 180°—6; likaså erhålles b ur triangeln NX'Y, i hvilken två sidor och mellanliggande vinkel äro <p, 90°—<p, e; c åter finnes ur triangeln NX'Z, der NX' = <p, NZ= 90° (emedan Z är pol till storcirkeln XY) och vinkeln X'NZ = 90° — 8, o. s. v. I allmänhet har man hvarje gång att betrakta en sferisk triangel, som har till spets IV och till bas den båge, hvars cosinus sökes. Man finner sålunda:

a = cos X X = cos^cosc^— sinpsin^cos e, b = cos YX' = cos y sin + sin^cos^cos ö, c = cos ZX' = sin sin e, a' = c o s X F ' = — sin^cos^ — cos^sin^cos*, b' = cos YY'= — sinjjsin^ + cos <p cos <p cos o, c = oos ZY'= cos^sinö, a" = cos XZ' = sin sin ö, i " = cos YZ' = — cos <J> sin 0, c" = cos ZZ' = cos 8.

Genom insättning af dessa värden i (1) erhållas de s. k. Eulerska formlerna för koordinaters transformation, i hvilka endast det för det nya systemets bestämning nödiga antalet konstanter e, <p, <p ingår.

Vi förutsätta här, att båda systemen hafva sina axlar stälda i samma ordning, så att de kunna bringas att sammanfalla med hvar andra. Man kan då tänka sig koordinatsystemets flyttning från det ursprungliga läget till det nya verkstäld medelst tre successiva vridningar, nämligen l:o omkring a-axeln om en vinkel </>, 2:o omkring »-axeln, som nu sammanfaller med OIV, om en vinkel 6 samt 3:o omkring den nya s-axeln, som nu har läget OZ\ om en vinkel <p. Hvarje sådan vridning omkring en koordinat-axel anses positiv, om den sker i rigtning från X till Y, från Y till Z eller från Z till X, men negativ, om den sker i motsatt rigtning.

187

; 0 A

Liniers och ytors föreställande genom eqvationer.

156. Läget af en punkt i rymden bestämmes genom tre koordinater x, y, z, som kunna vara gifna antingen omedelbart eller medelst tre eqvationer, hvilka först måste upplösas. Har man der imot endast tvänne eqvationer mellan koordinaterna x, y, z, så kan man taga ett godtyckligt värde för en af dem, t. ex. x, och ur eqvationerna härleda motsvarande värden för y och z; hvarje sådant system af värden, t. ex.

x = O A, y = AN, z = NP, bestäm-

Pig. 85. 13 1 1 mer en punkt P i rymden. Vär-

^ ^ dena för x och y i och för sig betraktade bestämma åter en punkt 2V, som utgör projektion af P på

x an/-planet, tagen i rigtning af ordinatan z. Låter man nu x variera kontinuerligen, så varierar äfven

^ y såsom en funktion af * (det är såsom en af x beroende qvantitet) och punkten 2V beskrifver en viss linie i xy-plmet. Samtidigt varierar äfven z och punkten P beskrifver en linie i rymden, som har till projektion nämde linie i »y-planet. Häraf framgår, att tvänne eqvationer mellan x, y, z representera en linie i rymden.

Vore omvändt en linie i rymden gifven, så skulle i och med det samma äfven dess projektion på »/-planet vara bestämd. Mot hvarje värde på x, taget efter behag, skulle då svara vissa värden på y och z, så att tvänne af koordinaterna vore beroende af den tredje. För att analytiskt uttrycka ett sådant beroende erfordras tvänne eqvationer och man kan således säga, att en l inie i rymden representeras genom två eqvat ioner mellan x, y, z.

När en enda eqvation är gifven mellan koordinaterna x, y, z, kunna två af dem, t. ex. x och y, erhålla godtyckliga värden, hvarefter eqvationen gifver ett motsvarande värde för den tredje z. Hvarje efter behag tagen punkt i *i/-planet motsvaras sålunda af en punkt i rym-

188

den och orten för sist nämde punkt måste tydligen vara en yta.

En eqvat ion mel lan x, y, z representerar så le des en yta. Omvändt har hvarje efter en gifven lag konstruerad yta sin eqvation. Ty då man kan taga punkter efter behag i *i/-planet och genom dem draga linier parallela med z-axeln, tills de råka den gifna ytan, så finner man att en af koordinaterna, t. ex. 2, är beroende af de båda öfriga, hvilkas värden äro godtyckliga, och detta beroende måste kunna uttryckas genom en eqvation.

Undantagsvis kan det likväl hända, att en eqvation föreställer en linie eller en punkt, nar den nämligen upplöser sig i två eller tre simultana (samtidigt gällande) eqvationer. Detta är fallet t. ex. med eqvationerna

(x + y)' + z*=0, (x — a)* + (y — by + (z — cy = 0.

Den förra fordrar, att man på en gång har x + y = 0 och 2 = 0; den representerar således en rät linie i »y-planot. Den senare åter föreställer en punkt, ty den satisfieras endast af de bestämda värdena x = a, y = b, z = c.

Äfven kan det inträffa, att en eqvation ej har någon reel lösning, i hvilket fall den saknar geometrisk betydelse. Detta gäller t. ex. om eqvationen

x' + y' + sl+l = 0. 157 . En eqvation, som endast innehåller as, t. ex.

aj = a, representerar hvarje punkt, hvars abskissa har ett konstant värde a. Alla dessa punkter äro tydligen belägna i ett plan, som är parallelt med yz-planet och som skär »-axeln på afståndet a fråu origo. Likaså äro y = b och z = c eqvationer för tvänne planer, af hvilka det förra är parallelt med xz-, det senare med a^-planet. Eqvationerna x = 0, y = 0, s = 0, betraktade hvar för sig, föreställa sjelfva koordinat-planerna.

Om en eqvation åter innehåller tvänne koordinater x, y, men icke den tredje z, bestämmer den samma närmast någon linie NN' (fig. 85) i a^-planet; men dess geometriska betydelse inskränker sig icke till denna linie allena. Ty om

189

man genom en punkt N på den samma drager en rät linie parallel med s-axeln, så hafva alla punkter på denna räta linie samma x och y som punkten N och deras koordinater satisfiera således äfven den gifna eqvationen, i hvilken z icke ingår. Denna eqvation representerar således en c y l indrisk yta, beskrifven af en med s-axoln parallel linie, som rör sig utmed linien NN'. En eqvation, som endast innehåller x och z eller y och z, föreställer likaledes en cylindrisk yta, hvars alstrings-linie (generatrix) är parallel med y- eller med »-axeln.

158. Då en linie alltid kan betraktas såsom genomskärningen mellan tvänne ytor, blifver ytors framställning genom eqvationer hufvudföremålet för analytiska geometrin i rymden. Eqvationen för en yta i rätliniga koordinater kan vara algebraisk eller transcendent och i förra fallet af första, andra, tredje graden o. s. v. I det följande betraktas endast ytor, hvilkas eqvationer äro af första eller andra graden.

Till slut ännu en vigtig anmärkning. Öfvergången från ett rätlinigt koordinat-system till ett annat sker enligt § 151 o. f. der igenom, att man i stället för x, y, z substituerar vissa lineära funktioner af de nya koordinaterna x', y\ z, det är vissa algebraiska uttryck, i hvilka de nya koordinaterna ingå endast i första digniteten. Det är tydligt, att en sådan substitution ej kan förändra en eqvations gradtal. Man kan häraf sluta, att eqvationen för en gifven yta är af samma grad, till hvilket rätlinigt koordinat-system den än må hänföras.

190

A N D R A K A P I T L E T .

Om planet.

159. Planets eqvation. — Hvilket plan som helst bestämmes till sitt läge genom längden och rigtningen af den normal eller perpendikel, som från origo fälles mot det samma. Perpendikelns längd, som alltid får betraktas såsom en positiv qvantitet, beteckna vi med p; dess rigtning bestämmes mor än fullständigt genom de vinklar a, /?, y den gör med koordinat-axlarna.

Det är en karakteristisk egenskap hos planet, att om radius vector för hvilken punkt som helst i det samma pro-jicieras på den omnämda normalens rigtning, projektionen blifver konstant och lika med sjelfva perpendikeln p; ty för ingen punkt utom planet gäller det samma. För att erhålla planets eqvation, har man derför endast att gifva ett analytiskt uttryck åt denna egenskap.

Om x, y, z äro koordinaterna för en punkt i planet, så uttrycker *cosa + y cos/? + a cos;- projektionen af dess koordinat-polygon och således äfven af dess radius vector på förenämde normal; man har alltså relationen

(1) x cos a + y cos/? + z cos y—J> = 0, hvilken, såsom gällande för alla punkter i planet, utgör dess eqvation.

160. Man kan omvändt bevisa, att hvarje eqvation af första graden mellan *, y, a representerar ett plan. Den allmänna formen för cn sådan eqvation är nämligen

(2) Ax + By + Cz + D = 0. Bestämmer man på de tre koordinat-axlarna punkter L, Jl~, iV, hvil-

Fig. 86.

191

kas afstånd från origo (åt positiva eller negativa sidan af hvarje axel) äro proportionella mot A, B, G, nämligen

O L = k A , OM=kB, ON=kC, der k är en godtycklig faktor, och drager man vinkelräta planer genom L mot »-axeln, genom M mot y-axeln, genom N mot z-axeln, så måste dessa planer skära hvar andra i någon punkt Q, hvars radius vector OQ har till projektioner på koordinat-axlarna kA, kB, kO. Cosinus för de vinklar, som linien OQ gör med nämda axlar äro derför,

kA kB kO om man sätter OQ — l, respective—, — , — , och vi hafva

t t t

sålunda till en början funnit en linie, hvars rigtnings-cosiner äro proportionella mot A, B, O.

Betraktar man nu en punkt (x, y, z), hvars koordinater satisfiera eqvationen (2), och projicierar dess radius vector (eller koordinatpolygon) på linien OQ, erhålles

kA kB kC k „ „ s kB ~fx + —y + - j Z = -£(Ax + By + Gz) = p

emedan enligt vårt antagande Ax + By -f Cz = — D. Projektionen på OQ af radius vector för hvarje punkt, hvars koordinater uppfylla vilkoret (2), är således konstant och

kD

lika med j - , hvaraf tydligen följer, att alla dessa punk

ter tillhöra ett mot OQ vinkelrätt plan. Det är härmed bevisadt, icke blott att eqvationen (2)

föreställer ett plan, utan äfven att normalen mot planet gör med koordinat-axlarna vinklar, hvilkas cosinus äro proportionella mot A, B, G; och detta resultat gäller såväl för snedvinkliga, som för rätvinkliga koordinater.

161. Eqvationen (1) beteckna vi såsom normal-form för planets eqvation och skola nu visa, huru hvarje annan eqvation af första graden kan bringas under denna form. Jämföra vi eqvationerna (1) och (2) med hvar andra under antagande, att de representera samma plan, finna vi, att A , B, G, D förhålla sig till hvar andra såsom cos a, cos /?, cos x, — p , och kunna följaktligen sätta

192

cos a = RA, cos/? = RB, cos y = RO, —p = RD, der det ännu återstår att bestämma den obekanta faktorn R.

Så ofta koordinat-axlarna äro rätvinkliga, har man cos 2 « + cos2/? + cos V = 1 och således R2 (A* + B2 + ö2) = 1 , hvaraf

1 R= + r = .

VA2+B2+C2

Formeln —p = RD utvisar, att R bör tagas med motsatt tecken mot D. Sålunda är den faktor bestämd, hvarmed eqvationen (2) bör multipliceras för att bringas under nor-mal-formen. För normalens vinklar erhåller man nu uttrycken

±A _ ±B ±C

och för planets vinkelräta afstånd från origo + D

p VA2 + B2+C2

De motsvarande formlerna för snedvinkliga koordinater komma sällan i användning, hvarför de här förbigås.

162. At t bestämma vinkeln e mel lan tvänne planer , hv i lkas eqvat ioner i rätvinkl iga koord ina ter äro

Ax + By + Gz + D = 0, Äx + B'y+C'z + D' = 0.

Yinkeln mellan planerna är den samma som vinkeln mellan deras normaler. Enligt föregående § bestämmer man cosinus för de vinklar, som hvardera normalen gör med koordinat-axlarna, och enligt § 147 finner man sedan

AÄ + BB' + OC COS 8-

VA2 + B2 + C2- VÄ2+B'2 + C2

Häraf kan man härleda • * - (AB'—BÄ)2 + (BC — OB'Y + (CÄ — ACy

S i n 8 ~~ (A2 + B2+ O2) (Ä2 + B'2 + C2) Cos 8 försvinner och planerna äro vinkelräta mot hvar

andra, om AÄ + BB' + CC = 0.

193

Der imot försvinner sin e och planerna äro parallela, om man på en gång- har

AB'—BA'=0, BC'—CB'=Q, CÄ—AC' = 0, det är, om koefficienterna för x, y, z i båda planernas eqvationer äro proportionella, nämligen

Ä ~ B'~C I sjelfva verket inser man af det föregående, att norma-lerna mot båda planerna då göra samma vinklar med koordinat-axlarna, samt att detta gäller icke blott för rätvinkliga, utan äfven för snedvinkliga axlar.

163. För att bestämma den punkt, i hvilken ett plan Ax + By + Cz + D = 0

skär »-axeln, har man att sätta y = 0 och « = 0; eqvationen reduceras då till Ax + D = 0 och gifver x = — ^ såsom värde på abskissan för den i fråga varande punkten. På samma sätt finner man y = — ^ för den punkt, der

planet skär i/-axeln, och z = — ™ för planets afskärning

med z-axeln. Betecknar man med a, 6 , c de stycken, som planet afskär af koordinat-axlarna, har man således

hvaraf

_ D __P _ D

•£,B — ° 0 — ° a' b c

Genom insättning af dessa värden för A, B, C antager planets eqvation formen

(3) - + I + — a b c

164. "Vill man åter bestämma den linie, utefter hvilken ytan Ax + By + Cz + D — 0 skär aiy-planet, n a r m a n

att göra z = 0 i ytans. eqvation. Afskärningarna med de öfriga koordinat-planerna erhållas likaså genom att turvis

Lindelöf, Geometri,

194

sätta y = O och x- = 0. Man finner sålunda följande eqvationer

Ax + By + D = 0, Ax + Cz + D = 0, Bi/ + Gz + D = 0, hvilka i ordning gälla för ytans genomskärningar med xy-, xz- och yz-planet.

165. Eqvationen ( 2 ) innehåller fyra koefficienter A, B, C, D, hvilka för skilda ytor hafva olika värden; men då hela eqvationen kan divideras med en af dem utan att förändra betydelse, reduceras antalet af oberoende konstanter i sjelfva verket till tre, genom hvilkas ändamålsenliga bestämning man kan finna ett plan, som uppfyller tre gifna vilkor.

Fordrar man t. ex., att planet skall gå genom tre gifna punkter (x', y', A'), (x", y'\ A"), ( « " ' , y'", A'"), och betecknar dess eqvation med

Ax + By + Gz+D = 0, så måste koefficienterna A, B, C, D erhålla sådana värden, att denna eqvation satisfieras af koordinaterna för hvar och en af de gifna punkterna, hvilket leder till följande relationer

Ax' + By' + Cz + 0 = 0, Ax" + By" + Gz" + D = 0, Ax'" + By"' + Gz'" + D = 0.

I verkligheten förekomma här tre obekanta, nämligen förhållandena ^ , ^ , ~ , hvilkas värden man kan beräkna ur de tre senaste formlerna och derefter substituera i planets eqvation, som då blifver fullkomligt bestämd. Vi anse dock icke nödigt att här utföra denna räkning.

Om endast en punkt (%', y', A'), vore gifven och det begärdes att finna ett genom den samma gående plan, vore koefficienterna i den allmänna eqvationen

Ax + By + Gz + D = 0 endast underkastade vilkoret

Ax' +By'+ Cz' + D=Q; man kunde då eliminera blott en af konstanterna, t. ex. D, hvar igenom planets eqvation skulle antaga den ofta begagnade formen

195

A(x — »') + B(y — y') + G(z —a') = 0. Koefficienterna A, B, G förblifva här obestämda och bero af den rigtning man vill gifva planet; man vet nämligen, att dessa koefficienter förhålla sig till hvar andra såsom cosinus för de vinklar, som planets normal gör med koordinat-axlarna.

166. Afståndet från en punkt t i l l ett plan. — Låt x', y', z' vara koordinaterna för en gifven punkt och o dess vinkelräta afstånd från ett gifvet plan, hvars eqvation under normalformen må betecknas med

x cos a + y cos + z cos y — p = 0. Radius vector för punkten («', y', z') bildar med afståndet å en bruten linie, hvars projektion på den från origo mot planet fälda perpendikelns rigtning sammanfaller med sjelfva perpendikeln p. Nu uttryckes projectionen af radius vector genom x' cos a + y' cos/? + z' cos y\ projektionen af afståndet å åter är antingen + o eller — å, allt efter som punkten (*', y', z') befinner sig på samma sida om planet som origo, eller på motsatt sida. Man finner således

x cos a + y' cos j3 + z' cos y ± o =p, hvaraf

+ o = x' cos a + y' cos j3 + z cos y —p, ett resultat, som i ord kan återgifvas sålunda:

Afståndet från en punkt till ett plan erhålles, om man i venstra membrum af planets eqvat ion , framstäld under normalformen, i stället för as, y, z insätter den gifna punktens koordinater . Det erhållna uttrycket är negat iv t eller posit ivt , allt efter som punkten och or igo befinna sig på samma sida eller på motsatta sidor om planet.

I allmänhet uttrycker x cos a + y cos (i + z cos y — p (på tecknet när) afståndet från den genom koordinaterna *, y, z bestämda punkten till det plan, hvars eqvation är

x cos a + y cos/9 + z cos y —p = 0. Om planets eqvation är gifven under någon annan form

Ax + By + Gz + D = 0, kan den samma bringas under normalformen genom multi-

196

plikation med en viss konstant faktor B, beroende endast af koefficienterna A, B, G (§ 161). Afståndet från punkten (x\ y', z) till i fråga varande plan blir då uttryckt genom formeln

+ d = R (Ax + By' + Gz + D). I allmänhet uttrycker Ax + By + Gz + D, på en konstant faktor när, afståndet från punkten (<«, y, z) till det plan, hvars eqvation är Ax + By + Gz + D = 0.

När koordinat-systemet är rätvinkligt, har faktorn B det i § 161 uppgifna värdet och vår formel blir då

+ fi^-AaS + Btf + W + D V I 2 + B^+IT* '

det är: a fs tåndet från en punkt t i l l ett plan erhålles, om man i venstra m e m b r u m af p lanets eqva t ion i stäl let för a-, y, z insätter den gi fna punktens koord inater och dividerar det erhållna utt r y c k e t med qvadratro ten ur summan af qvadra-terna af koe f f i c i en terna för y, z.

Emedan B har motsatt tecken mod D, inser man, att det sålunda beräknade afståndet erhåller samma tecken som D, så ofta punkten och origo falla åt samma sida om planet, men motsatt tecken, när de falla åt motsatta sidor.

Förkortadt beteckningssätt.

167. Äfven i rymd-geometrin kan man ofta med fördel använda ett förkortadt beteckningssätt för eqvationer (jämf. § 29). Några exempel skola närmare belysa detta.

Betecknar man med symbolerna A och A' följande uttryck

A = x cos a + y cos fl + z cos y — p, A'— x cos d + y cos fl + z cos / — j / ,

så äro A och A' de vinkelräta afstånden från punkten (x, y, z) till de genom eqvationerna A = 0 och A'=0 representerade planer. Sätter man A = Ä, så uttryckes der igenom, att nämda afstånd äro lika stora och af samma tecken. Orten för punkten (x, y, z) är i sådant fall tydli-

197

gen ett plan, som halfverar lutningsvinkeln mellan de gifna planerna, nämligen den vinkel, inom hvilken origo är belägen. Följaktligen är

A—Ä=0 eqvationen för detta halfvorings-plan. Sätter man åter

A + A'= 0, så uttryckes der igenom, att afstånden från punkten (x, y, z) till de båda planerna äro lika, men af motsatt tecken. Denna eqvation föreställer således ett plan, som halfverar den andra lutningsvinkeln mellan de gifna ytorna. Alltså:

Om A — O o c h y l ' = O ä r o e q v a t i o n e r n a f ö r t v ä n n e gi fna planer under normalformen, så äro A — A' = 0 och A + Ä—0 eqvat ioner f ör de planer, som half-vera de gi fna planernas lutn ings vinklar.

Vinkeln mellan de båda halfveringsplanerna är tydligen en rät. Man behöfver derför endast bringa eqvationerna för tvänne planer under formen A — A'=0, A + A'—0 för att der igenom bevisa, att de i ett gifvet fall äro vinkelräta mot hvar andra.

168. Om man med L — 0 och M= 0 betecknar eqvationerna för tvänne planer L och M under hvilken form som helst, således tvänne eqvationer af första graden mellan

y, «, så är i allmänhet L + ef=o

eqvationen för att tredje plan, som går genom de först nämdas afskärningslinie. Ty denna eqvation är af första graden och representerar således ett plan; den satisfieras der jämte af alla de värden på x, y, z, som på en gång göra L = 0 och l f = 0 , det är af koordinaterna för alla punkter, som äro gemensamma för de båda planerna L och M. Det nya planets rigtning beror för öfrigt af koefficienten k; genom att gifva olika värden åt denna bestämmas efter hand alla planer, som gå genom afskärningslinien mellan L och M.

Vill man t. ex. finna eqvationen för ett plan, som går genom en gifven punkt (»', y\ z') och genom afskärningslinien mellan planerna

198

Ax + By+Cz + D = 0, Äx + B'y + C'z + D = O, så bildar man först en ny eqvation af formen

Ax + By + Cz + D + k{Äx + B'y + C'z + D') = 0 och bestämmer k genom det vilkor, att denna eqvation skall satisfieras af koordinaterna x\ y\ ss\ hvilket gifver

Ax' + By' + Gz' + D + Jc(Äx' + B'y' + C'z + U) = 0. Genom elimination af k erhålles sedan den sökta eqvationen

Ax + By + Cz + D _ Äx + B'y + G'z + B' Äx7^ By' +Gz'+D~Äx'+ B'y7~+ljT+ly'

169. Tre planer, mellan hvilkas eqvat ioner L = 0, M = 0, A r = 0 en identitet

lL + mM+nN=0 eger rum, skära hvar andra i en och samma räta linie.

På grund af denna identitet försvinner nämligen AT för alla de värden på x, y, a, som på en gång göra L = 0 och M= 0, hvaraf följer, att alla puukter på afskärningslinien mellan ytorna L = 0 och J f = 0 äfven tillhöra ytan IV = 0 .

Pyra planer, mellan hvi lkas eqvat ioner L == 0, J f = 0 , IV=0 , P = 0 en identitet

IL + mM + nN + pP = 0 eger rum, skära hvar andra i en och samma punkt.

Man finner nämligen afskärningspunkten mellan de tre första ytorna genom att söka de värden på x, y, z, som på en gång satisfiera eqvationerna L = 0, M=0, N = 0. Men dessa värden måste äfven på grund af den rådande identiteten tillfredsställa eqvationen P = 0, hvilket bevisar, att samma punkt äfven tillhör den fjerde ytan.

Dessa båda satser erbjuda i många fall ett enkelt medel att ådagalägga, det vissa ytor skära hvar andra i en linie eller i en punkt. I sådant afseende meddelas här några exempel.

170 . Antagom, att man känner eqvationerna för tre planer under normalformen

4 , = 0, 4 = 0 , 4 = 0; dossa planer bilda åtta triedriska vinklar eller fack, af hvilka vi skola taga det i betraktande, inom hvilket origo

199

befinner sig. De planer, som halfvera lutningsvinklarna inom detta fack mellan två och två af de gifna planerna, representeras (§ 167) af eqvationerna

4 — 4 = 0 , 4 — 4 = 0, 4 — 4 = 0 . Då nu summan af dessa eqvationers venstra membra är identiskt lika med noll, så följer häraf enligt första teoremet i föregående §, att de tre halfveringsytorna skära hvar andra längs en och samma räta linie.

För att åt denna sats gifva ett beqvämare uttryck, tanke man sig en sfer beskrifven omkring de tro gifna planernas genomskärningspunkt såsom medelpunkt; dessa planer afskära på sforens yta en sferisk triangel. De tre half-veringsplanerna motsvaras åter af storcirklar, som halfvera vinklarna i den sferiska triangeln. Det resultat, hvartill vi nyss kommit, kan derför uttryckas sålunda:

De storcirklar, som halfvera vinklarna i en sferisk triangel, skära hvar andra i en och samma punkt.

Eqvationerna för de planer, som halfvera de yttre lutningsvinklarna till ofvan nämda fack äro

4 , + 4 = O, 4 + 4 = 0, A 2 + 4 = 0. Sammansätter man venstra membra af de två senaste eqvationerna med venstra membrum af eqvationen 4 — 4 = ®i finner man den identiska relationen

{A, + 4 ) - {A, + 4 ) + {A, - 4 ) = 0 och kan deraf sluta till följande sats:

De storcirklar , som hal fvera tvänne y t t r e och den tredje inre vinkeln i on sferisk triangel, skära hvar andra i en och samma punkt.

171. Samma resonnement kan utsträckas till de fyra planer, som innesluta en tetraeder och hvilkas eqvationer under normalformen må betecknas med

4 = 0, 4 = 0 , 4 = 0, 4 = 0. Under förutsättning att origo faller inom tetraedern, äro eqvationerna för do planer, som halfvera sidoytornas inre lutningsvinklar

Mo — A = O, 4 _ 4 = O, 4 — 4 = 0, ( I ) 4 - 4 = 0, 4 _ 4 = O,

U 0 - 4 = O,

200 och eqvationerna för de planer, som halfvera de yttre lutningsvinklarna

|4+4=0, 4 + 4 = 0, 4 + 4 = 0, (2) 4 + A, = 0, A, + A3 = 0,

\Ao + A3 = 0-Då man nu ur de tre första eqvationerna i systemet

(1) kan härleda de tre öfriga eqvationerna i samma system, så framgår häraf (§ 169, andra teoremet) följande sats:

De sex planer, som halfvera s idoytornas lutningsvinklar i en tetraeder, gå alla genom en och samma punkt. Denna punkt är, såsom bekant, medelpunkt till den i tetraedern inskrifna sferen.

Men äfven följande sex eqvationer A0 — Ax = 0, Aa + A% = 0, 4 - 4 = 0 , 4+4=0, 4 - 4 = o, 4 + 4 = 0,

föreställa planer, som skära hvar andra i en och samma punkt, emedan de tre eqvationerna i den första vertikalkolumnen låta härleda sig från de tre öfriga. Härmed är bevist, att:

De planer, som halfvera lutningsvinklarna mellan tre s idoy tor i en tetraeder, och de, som halfvera de yttre lutningsvinklarna mellan den f jerde s idoytan och hvarje af de öfriga, skära hvar andra i en och samma punkt. Denna punkt är medelpunkt till en sfer, som utvändigt berör tetraederns sidoytor.

172. Harmoniska planer. — Låtom oss ännu betrakta tvänne planer, hvilkas eqvationer under normalformen äro A0=0 och 4 — 0- Eqvationen 4 - ^ 4 = 0, det är A0 :A1=Å: 1, uttrycker då, att perpendiklarna från punkten (as, y, z) mot de båda planerna förhålla sig såsom

Orten för denna punkt är tydligen ett plan, som går genom afskärningslinien mellan de gifna planerna och med dem gör vinklar, hvilkas sinus förhålla sig till hvar andra såsom Å : 1. Man finner på samma sätt, att 4 + ;4 = 0

201

föreställer ett annat plan, som går genom samma afskär-ningslinie och delar den andra lutningsvinkeln mellan do gifna planerna i tvänne delar, hvilkas sinus förhålla sig jämväl såsom A:l.

Fyra planer A, B, C, D, som gå genom en och samma räta linie, kallas harmoniska, när sinus för de vinklar, som två af dem, t. ex. B och D, göra med de två öfriga, äro proportionella, nämligen

sin(BA): sin (BC) = sin : sin (DG). Man säger då, att A och G å ena sidan samt B och D å den andra äro med hvarandra samordnade (konjugerade) eller bilda harmoniska par.

Af det ofvan anförda följer, att eqvationerna A0 = 0 , At= 0, A0 — ÅA1 = 0 , A0 + AAt = 0

föreställa fyra harmoniska planer, af hvilka de två första utgöra det ena, de två senare det andra samordnade paret,

I allmänhet, om eqvationerna för tvänne planer äro gifna under hvilken form som helst

L = 0, M=0, föreställa eqvationerna

i — 0 1 = 0, L + /cJVf=0 tvänne andra planer, som äro harmoniska i anseende till de först nämda. Man öfvertygar sig härom lätt, om de båda första eqvationerna bringas under normalformen, hvilket sker genom deras multiplicering, med vissa konstanta faktorer Z, m. De fyra eqvationerna kunna nämligen då skrifvas

i./ i ; IL = 0, mM=0, IL — — m J f = 0 , lL + —mM=0

m m och man ser nu, att de representera ett system harmoniska planer, der förhållandet mellan sinus är kl: m.

Af fyra harmoniska planer kunna tre väljas efter behag, men det fjerde är genom dem bestämdt. Antager man, att paret A, C är gifvet och att B vrider sig omkring planernas afskärningslinie, så kan man genom diskussion af den mellan vinklarnas sinus rådande analogien lätt göra sig en föreställning om det fjerde planets läge i speciella fall. Om t. ex. B halfverar den ena lutningsvinkeln mellan A och G,

202

så halfverar D den andra lutningsvinkeln mellan samma planer; sammanfaller B med O, så sammanfaller äfven D med G.

Föreställer man sig, att en rät linie genomskär de harmoniska planerna A, B, G, D i fyra punkter a, fe, c, d, samt att man från fe fäller perpendiklarna p, q, och från d perpendiklarna p', q mot A och G, så inser man lätt, att sinus för de vinklar, som B och D göra med A och C, förhålla sig såsom dessa perpendiklar, samt att, då de fyra sinus äro proportionella, man äfven har p : q=p': q\ eller

p :p = q : q'. Men nu är tydligen p : p' = ba : da och q : q' =bc : dc; alltså är äfven ba :da = bc : dc, eller genom omvexling

ba : bc = da : dc, d. v. s. afstånden från punkterna b och d till punkterna a och c äro proportionella, hvaraf följer, att de fyra punkterna a, fe, c, d äro harmoniska.

Utgår man åter från det antagande, att do fyra punkterna a, 6 , c, d äro harmoniska, så kan man, genom att följa samma bevisning i omvänd ordning, ådagalägga, att äfven de fyra planerna A, B, G, D äro harmoniska. Häraf framgå följande tvänne satser:

Fyra harmoniska planer skäras af hv i lken rät rät l inie som helst i fyra harmoniska punkter.

Fyra planer, som skära hvar andra i en o c h samma räta l inie, äro harmoniska, om de gå genom hvar sin af fyra harmoniska punkter.

203

TREDJE K A P I T L E T .

Om räta linier i rymden.

173. Räta l iniens eqvationer . — En rät linie i rymden kan alltid betraktas såsom afskärningslinie mellan tvänne planer och representeras derför i allmänhet genom tvänne samtidiga eqvationer af första graden

[Ax + By + Gz + D = 0, ( ' \Äx+B'y+C'z+D'=0.

Genom att turvis eliminera y och x kan man ur dem härleda tvänne andra eqvationer af formen

ix = mz+p, I V = nz + o,

hvilka satisfieras af samma värden för x, y, z, som de båda först nämda, och kunna ersätta dem. Betraktade hvar för sig föreställa eqvationerna (2) tvänne planer, af hvilka det ena är parallelt med y-, det andra med »-axeln, och medelst hvilka räta linien, som utgör deras genomskärning, projici-eras (i rigtningarna af nämda axlar) på xz- och på yz-pla-net. Fattad i inskränktare mening representerar eqvationen x = mz-\-f räta liniens projektion på «z-planet och eqvationen y = nz + q dess projektion på yz-planet.

Koordinaterna för den punkt, der den räta linien möter .ajy-planet, äro x = p , y = q, z = 0, såsom man finner, om man i eqvationerna (2) gör z = 0. Räta liniens rigtning beror af koefficienterna m, n. Då parallela räta liniers projektioner på samma plan äfven äro parallela, inser man, att nämda koefficienter måste vara de samma i eqvationerna för tvänne parallela linier. Enligt denna anmärkning föreställa eqvationerna

x = mz, y = nz «n rät linie, som genom origo dragés parallel med räta linien (2).

Sjelfva koordinat-axlarna representeras genom följande eqvationer,

204

»-axeln: y = 0, z = 0, y-axeln: 2 = 0 , se = 0, 2-axeln: se = 0, y — 0.

174. I räta liniens eqvationer (2) förekomma fyra konstanter m, n, p, q, hvilka endast bero af liniens läge, och man kan föresätta sig att bestämma dessa konstanter så, att räta linien uppfyller vissa gifna vilkor.

Antagom först, att linien bör gå genom två gifna punkter (se', y', z') och (se", y", z"). Eqvationerna (2) måste då satisfieras, om man i stället för se, y, z substituerar de gifna punkternas koordinater, hvar igenom erhålles

(«) se' = mz' + p, y' = nz' + o, (8) se"= mz"+ p, y"= nz" + q.

Ur dessa vilkors-eqvationer kunde man härleda värden på m, n, p, q att insättas i eqvationerna (2). Men eliminatio-nen verkställes lättare sålunda, att man först subtraherar («) från (2) samt (/?) från (a), hvilket gifver

se — se' = m(z — z'), y — y' = n(z — z'), se'— se"= m(z' •—• s"), y' — y" = n(z'— 2"),

och sedan dividerar dessa eqvationer två och två med hvar andra. Man erhåller då dubbelformeln

se — se' = y — y' z — z' K ' se'—se" y ' — y " ' z'— 2"'

som motsvarar tvänne eqvationer och representerar deö sökta linien.

Fordrar man åter endast, att linien skall gå genom en gifven punkt (se', y\ 2'), har man blott att förbinda vilkoret (a) med de allmänna eqvationerna (2). Man kan då eliminera p och q, hvar igenom erhålles

se — se' = m(z — 2'), y — y' = n(z — 2'), eller

... se — se' 1/ —• y' 2 — 2' (4) = » *L = _ ^ .

m w. 1 Sist nämda formel föreställer således i allmänhet en rät linie, som går genom punkten (se', y\ 2'). Koefficienterna m, » qvarstå här ännu obestämda och bero af den rigtning man vill gifva åt räta linien.

205

175 . Afskärningspunkten mellan en rät l in ie och ett plan bestämmes genom att söka de värden på x, y, z, som på en gång tillfredsställa eqvationerna för räta linien

x = mz + p, y = nz + q och för planet

Ax + By + Cz + D = 0. •Genom elimination af x och y erhålles omedelbart

A(mz +p) + B(nz + q) + Gz+ 29 = 0, hvaraf

_ Ap + Bq + 29 Z ~~Am + Bn +~Ö'

och genom insättning häraf i räta liniens eqvationer finnas sedan värdena för x och y.

Om nämnaren Am + Bn + C försvinner, blifver z = oc och afskärningspunkten är oändligt aflägsen. Eqvationen

Am = Bn + O = 0 uttrycker således, att räta linien är parallel med planet.

Vore samtidigt Ap + Bq + D = 0, Am + Bn + (7 = 0,

blefve värdet för z obestämdt. Räta linien hade då ett oändligt antal punkter gemensamma med planet och läge följaktligen i sjelfva planet. Af de båda sist anförda eqvationerna uttrycker den senare, att räta linien är parallel med planet, och den förra, att planet innehåller den punkt (p, q, 0), i hvilken räta linien råkar »y-planet.

176. A f skärn ingspunkten me l lan tvänne räta l in ier

* = mz + p 1 x = m'z + p' j y = nz + q j y — n'z + q \

bestämmes likaledes genom att söka de värden på x, y, «, som på en gång satisfiera de båda liniernas eqvationer. Men då antalet af eqvationer här är större än antalet af obekanta, är problemet icke alltid möjligt. I sjelfva verket måste det ju betraktas såsom ett undantagsfall, om tvänne räta linier i rymden skära hvar andra.

Genom elimination af x och y härledes

206

(m •— m')z +p —p' = 0, (11 — n')z + q — q' 0;

och då man här ytterligare eliminerar z, kommer man till en eqvation mellan endast bekanta qvantiteter, som uttrycker v i l k o r e t för skärning, nämligen

... m — TO' 11 — n' (5) ; = ,. P—j? — 1

När detta vilkor är uppfyldt, skära de båda räta linierna hvar andra i en punkt, för hvilken

P—jJ G — G ' 2 = , = ,1

m — m n — n och hvars öfriga koordinater finnas genom insättning af detta värde för z i någondera liniens eqvationer.

Anm. När m = m och n = n', befinnes vilkoret (5) vara uppfyldt, utan att linierna skära hvar andra, emedan de då äro parallela. Till undvikande af motsägelse bör derför eqvationen (5) egentligen fattas såsom endast uttryckande det vilkor, att linierna äro i samma plan och således kunna råkas, utan att dermed är afgjordt, huruvida detta eger rum på ett ändligt eller oändligt afstånd.

17 7. I det föregående hafva vi betraktat en rät lime såsom afskärningen mellan tvänne planer och betecknat den samma i allmänhet genom tvänne eqvationer af första graden. Men man erhåller räta liniens eqvationer under en mera symmetrisk form, om man bestämmer dess läge genom koordinaterna a, b, c för en viss punkt A på den samma och genom de vinklar a, /?, 7-, som räta linien gör med koordinat-axlarna. För enkelhets skull antaga vi här och i det följande, att koordinat-systemet är rätvinkligt.

Låt P vara en punkt på räta linien, tagen efter behag, och *, y, z dess koordinater samt p dess afstånd från den gifna punkten A. Projektionerna af linien AP på de tro koordinat-axlarna äro

(x — a = p cos«, (6) \y — b =/>cos/?,

I z — c = p cos y, hvaraf man finner, då p elimineras,

207

x— a y—b z—c

* ) D e t f j e r d e b r å k e t h a r h ä r u p p k o m m i t u r d e t r e f ö r e g å e n d e g e

n o m a d d i t i o n a f t ä l j a r e n a s q v a d r a t e r å e n a o c h n ä m n a r e n a s q v a d r a t e r å

a n d r a s i d a n s a m t q v a d r a t r o t e n s u t d r a g n i n g ( j ä m f . n o t e n t i l l s i d a n 7 3 ) .

( / ) = - — = . cos « cos/J cos 7-

Denna formel, motsvarande tvänne eqvationer mellan x, y, 2, representerar följaktligen en rät linie, som går genom punkten (a, b, c) och gör med koordinat-axlarna vinklarna a, fi. y. I stället för formeln (7) använder man stundom de tre eqvationerna ( 6 ) , som innehålla fyra variabla *, y, a, p och hvilkas geometriska betydelse är den samma.

Då formoln (7) icke undergår någon förändring, om alla tre nämnarena multipliceras med samma tal, kan man i stället för cos a, cos/9, cos?- substituera tre andra qvantiteter l, m, n som med dem äro proportionella. Formeln

*—a y— b z — c (8) — — = J- =

gäller således i allmänhet för en rät linie, som går genom punkten (a, b, c) och hvars rigtningskosiner äro proportionella mot l, m, n.

Har man omvändt relationen (8) gifven mellan koordinaterna y, z för en punkt, är orten för denna punkt lätt att finna. Den måste nämligen vara en rät linie, emedan formeln (8) är liktydig med tvänne eqvationer af första graden mellan x, y, z\ denna räta linie måste vidare gå genom punkten (a, b, c), emedan formeln satisfieras af värdena x = a, y = b, z=c; slutligen måste liniens rigtningskosiner vara proportionella mot l, m, n, ty dessa kosiner förhålla sig såsom differenserna x — a, y — b, z — c, hvilka åter enligt formeln (8) äro proportionella mot l, m, n.

För att finna de vinklar a, /?, y, som en rät linie gör med koordinat-axlarna, behöfver man derför endast framställa dess eqvationer under formen (8); man har nämligen då

cos a_ c o s / ? _ cos y _ 1 . ~1T~ m ~~ n ~~ ~ V Z ^ W + M,»'

hvaraf

208

(9)

Z cos a = +

VZ 2 + TO2 + W2'

cos/? =

cos r = +

TO VT2 + m 2 + wa

V"Z« + m 2 + n2' Då man här kan taga antingen of ver allt tecknet + eller öfver allt tecknet —, uppkomma tvänne skilda system af värden för cos a, cos/?, cos y, motsvarande de båda motsatta rigtningarna af samma räta linie.

Om Z = 0, är linien vinkelrät mot »-planet och således parallel med yz-planet; har man på en gång 1 = 0 och m—0, är linien parallel med z-axeln.

Eqvationerna (2) x = mz -f j>, y = nz + q kunna bringas under formen

x—p y — q z — 0. TO n 1 '

man ser häraf, att de föreställa en rät linie, som går genom punkten (p, q, 0), och hvars rigtnings-kosiner förhålla sig såsom talen TO, n, 1.

E x . 1 . O m r ä t a l i n i e n s e q v a t i o n e r ä r o x = 2 z — 1, y = — 3 z + 2 ,

k u n n a d e s ä t t a s u n d e r f o r m e n

x+1_y— 2 _ £ 2 ~ — 3 ~ T

o c h m a n s e r h ä r a f , a t t l i n i e n g å r g e n o m p u n k t e n (—• 1, + 2 , 0 ) , s a m t a t t

d e s s r i g t n i n g s - k o s i n e r ä r o p r o p o r t i o n e l l a m o t 2 , — 3 , 1 .

E x . 2 . A t t b e s t ä m m a r i g t n i n g e n a f r ä t a l i n i e n my — nx = 0 , z = c. — D å d e s s a e q v a t i o n e r ä f v e n k u n n a s k r i f v a s

x _ y _z — c

m n 0 '

finner m a n , a t t r ä t a l i n i e n g å r g e n o m e n p u n k t ( 0 , 0 , c ) p å z - axe ln , s a m t

a t t d e s s r i g t n i n g s k o s i n e r ä r o

m n = ' 0 .

L i n i e n ä r s å l e d e s v i n k e l r ä t m o t z - a x e l n .

178. V inke ln me l lan tvänne räta l in i e r .— Om Z, TO, n och V, m', n' beteckna cosinus för de vinklar, som tvänne räta linier göra med koordinat-axlarna, samt e vinkeln mellan sjelfva linierna, har man enligt § 147

209

cos 8 = 11' + mm' + nn'. Men om l, m, n och Z', TO', n' föreställa qvantiteter, som endast äro proportionella mot de båda liniernas rigtningskosiner, erhållas de verkliga uttrycken för dessa kosiner enligt (9), då hvar och en af qvantiteterna Z, m, n divideras med + V Z 2 + T O 2 + w2 samt hvar och en af qvantiteterna Z', m', ri med + VZ" + mn + nn. För vinkeln mellan de räta linierna har man då formeln

W + mm' + nn' cos 8 = +

VZ2 + M2 + %

2 V Z ' 2 + m ' 2 + w ' 4

Linierna äro vinkelräta mot hvar andra, om IV + mm' + nn' = 0;

de äro parallela, om xl m n V m! n1'

E x. O m d e b å d a r ä t a l i n i e r n a s e q v a t i o n e r ä r o

x- — 2 z + 5 1 x = z + 1 1

y = 3z—lV y = 2z V s å f ö r h å l l a s i g r i g t n i n g s k o s i n e r n a f ö r d e n e n a l i n i e n s å s o m — 2 , 3 , 1 , f ö r

d e n a n d r a s å s o m 1, 2 , 1 , o c h c o s i n u s f ö r d e n v i n k e l , s o m l i n i e r n a g ö r a

5 m e d h v a r a n d r a , ä r = + y = = .

179. Vinkeln mellan en rät l inie och ett plan är komplement till den vinkel, som räta linien gör med planets normal. Om normalens rigtningskosiner äro proportionella mot A, B, C och räta liniens rigtningskosiner förhålla sig såsom Z, TO, n, samt <p betecknar liniens lutningsvinkel mot planet, har man derför

Al + Bm + Gn s m p + .—

V . 4 2 + 23 2 + C 2 V Z 2 + T O 2 + » I 2

och slutar häraf, att linien är parallel med planet, om Al + Bm + Cn = 0,

samt att linien är vinkelrät mot planet, om Ä_B__C_ l TO n'

Lindelöf, Geometri. 14

210

Problemer angående räta linien och planet.

180. Att finna eqvat ionen för en rät l inie , som går genom en g i f ven punkt och är v inkelrät mot ett g i fvet plan.

Låt y', z' vara koordinaterna för den gifna punkten och Ax + By + Gz + D = O föreställa planets eqvation. Cosinus för de vinklar, som planets normal gör med koordinat-axlarna, äro då proportionella mot koefficienterna A, B, C (§ 160). Då nu den sökta räta linien har samma rigtning1

som normalen, blifva dess eqvationer följaktligen x — x' y — y' z — z'

~~Ä~ = =~c~' 181. At t finna eqvat ionen för ett plan, som

går genom en gi fven punkt (*', y', z') och är v inkel -kelrätt mot en g i fven rät linie.

Eqvationen för ett plan, som går genom punkten (»', y', «'), är i allmänhet af formen

A(x — x') + B(y — y') + G(z — z') = 0. För att planet må vara vinkelrätt mot en gifven rät linie, erfordras endast, att koefficienterna A, B, G förhålla sig såsom liniens rigtningskosiner. Tore liniens eqvationer t. ex.

x = mz y = nz + q och dess rigtningskosiner således proportionella mot m, n, 1, blefve det sökta planets eqvation

m(x — x') + n(y — y') + z — z' = 0. 182. At t finna afståndet från en punkt (se', y', a')

t i l l en rät l inie x — a y—-b __z — c

l m n Af den rätvinkliga triangeln APM (icke afbildad), der

P föreställer den gifna punkten («•', y', »'), M dess projektion på den gifna räta linien och A den punkt på samma

211

linie, hvars koordinater äro a, b, c, finner man för det sökta afståndet PM följande uttryck

PM=AP sin PAM. Nu är

ÄP*=(x' - ay + (y> - by + (*- - cy och sin 2 P^M = (cos a cos j3' — cos d cos /?)" + (cos /? cos •/ — cos/9' cos f)*

+ (cos y cos d — cos / cos « ) 2 , om man nämligen med a, /?, Y o c n a ' j 'i r hetecknar de vinklar, som linierna och AP göra med koordinat-axlarna (jämf. § 148). Men rigtningskosinerna för AM äro Z, m, n dividerade med + Vz2+m2 + ?i2; för AP äro de *' — a, y' — z' — c dividerade med

± V(su' — a) 2 + (y' — 6) 2 + (»' — cy. Genom insättning af dessa värden finner man för qvadraten af det sökta afståndet PM följande uttryck: [m(x-a)-l(y'-b)Y + [n(y'-b)-m{z'-c)] %+ [l(z'-c)-n(x'-a)Y

P + m 2 + w2

183. A t t f inna eqvat ionen för ett plan, som g e n o m en rät l in ie dragés v inke lrät t mot ett gif-v e t plan.

Antagom, att eqvationerna för den gifna räta linien äro Äx + B'y + Cz + D' = 0, A"x + B"y + Cz + B" = 0

och för det gifna planet Ax + By + Cz + D == 0.

De två första eqvationerna tagna hvar för sig föreställa tvänne planer, hvilkas genomskärning är den gifna räta linien. Eqvationen för ett tredje plan, som går genom samma linie, är derför (§ 168) i allmänhet af formen

Äx + B'y + Cz + D' + k(A"x + B"y + Cz + D") = 0. För att nu detta plan må vara vinkelrätt mot det gifna, måste följande vilkor uppfyllas

A (Ä + kA") + B(B' + kB") + G (C + kö") = 0, hvaraf

AÄ + BB' + CC AA"+BB"+GC

212

Genom insättning af detta värde för k erhålles den sökta eqvationen

Äx + B'y + C'z + £>' _ Ä'x + B"y + C"z + D" AÄ + BB' + CC AA" + BB" + CC" "

Samma problem kan äfven lösas på annat sätt. Iakttager man nämligen, att det sökta planets normal måste vara på en gång vinkelrät mot den gifna räta linien och mot det gifna planets normal, så kan man här igenom enligt § 149 bestämma den först nämda normalens rigtningskosiner och således erhålla koefficienterna för x, y, z i den sökta eqvationen. Antaga vi här för större beqvämlighet, att räta liniens eqvationer äro gifna under formen

* — a y — b z — c l TO n '

och att planets eqvation är såsom förut Ax+By + Cz + D = 0,

så att rigtningskosinerna för räta linien och för planets normal resp. äro proportionella mot l, TO, n och A, B, C, så finna vi, att rigtningskosinerna för det sökta planets normal måste förhålla sig såsom

Bn — Cm, Cl — An, Am — Bl. Då planet der jämte skall gå genom punkten (a, b, c) på den gifna räta linien, blifver dess eqvation följaktligen (Bn — Cm) (x — a) + (Cl — An) (y — b) + (Am—Bl)(z—c) = 0.

184. När tvänne räta l inier äro gifna, att finna eqvat ionen för det plan, som genom den ena l inien dragés paral le l t med den andra.

Vi antaga här, att de båda liniernas eqvationer äro gifna under formen

* — a y — b z — c l TO n '

* — a' y — V _z — c' V TO' n'

Det sökta planets normal måste tydligen vara på en gång vinkelrät mot båda linierna och dess rigtningskosiner äro derför proportionella mot

mn' — m'n, ni' — n'l, lm' — l'm.

213

Om nu planet skall dragas genom den första räta linien parallelt med den andra och således innehålla punkten (a, b, c), blifver dess eqvation följaktligen (m»'— m'n) (x — a) + (ni'— n'l) (y — b) + (lm— l'm) (z — c) = 0. På samma sätt blir eqvationen för ett plan, som genom den senare linien dragés parallelt med den förra, (mn— m'n) (x — a') + (ni'— n'l) (y — b') + (lm — l'm)(z — c') = 0.

Afståndet A mellan dessa planer är lika med afståndet från punkten (a, b, c) till det senare planet; enligt § 166 har man således

+ ^ (mn'—m'n) (a — a') + (ni'—n'l) (b—b') + (lm'—l'm)(e—c') — [(mn'—m'ny + (nl'—n'iy + (lm'—l'my\\

185. Kor tas te afståndet mellan tvänne räta lin ier eller den gemensamma perpendikeln till dem båda kan bestämmas på följande sätt. Sedan man, såsom i föregående problem, genom hvardera linien dragit ett plan parallelt med den andra, föreställe man sig ytterligare tvänne planer, dragna genom samma linier vinkelrätt mot de först nämda planerna. Afskärningslinien mellan dessa senare planer blifver då vinkelrät mot de parallela planerna och följaktligen mot de gifna räta linierna, hvilka den tydligen äfven måste råka. Af denna konstruktion följer, att den sökta perpen-dikelns längd är lika med afståndet mellan de parallela planerna och således uttryckes genom den i slutet af näst föregående § gifna formeln för A.

Låter man för korthetens skull l, m, n och l\ m', n' omedelbart föreställa sjelfva rigtningskosinerna för de båda räta linierna samt e vinkeln mellan dessa linier och bibehåller i öfrigt det i föregående § antagna beteckningssättet, finner man utan svårighet för de båda ofvan nämda vinkelräta planerna följande eqvationer {lcos d — V) (x— a) + (meosti — m) (y — b) + (ncasd — n) (z — c ) = 0 , (V c o s 8 — V) (x —a') + (m' c o s 6 — m) (y — b') + (ri c o s 0 — n)(z — c') = 0 .

Dessa eqvationer representera således till sammans den räta linie, som mäter det kortaste afståndet mellan de båda gifna linierna.

214

F J E B D E K A P I T L E T .

Ytor af andra graden. — Deras indelning. 186. Den allmänna formen för en eqvation af andra

graden mellan tre variabla x, y, z är i Ax* + By* + Gz' + 2A'yz + 2B'xz + 2C'xy

+ 2A"x + 2B"y + 2G"z + D = 0. Det har redan blifvit anmärkt (§ 158), att en eqvations

gradtal icke förändras genom transformation från ett rät-linigt koordinat-system till ett annat, hvilken ställning axlarna än må hafva i de båda systemen. Då vi nu gå att undersöka de olika geometriska betydelser, som en eqvation af andra graden kan ega, kunna vi derför, utan att på något sätt inskränka resultaternas allmängiltighet, antaga att koordinat-systemet är rätvinkligt.

En allmän egenskap hos ytor af andra graden skola vi redan här antyda. Om man i eqvationen (1) gör a = 0, erhålles för ytans afskärning med »y-planet en eqvation mellan x och y af andra graden, hvilken, såsom bekant är, föreställer en konisk sektion. Då nu ytans eqvation alltid är af samma allmänna form (1), det är af andra graden, hvilket plan man än må taga till »y-plan, följer häraf, att afskärningen mellan en yta af andra graden och ett plan alltid är en konisk sektion.

Genom lämpligt val af koordinater kan eqvationen (1) ansenligt förenklas. Låter man koordinat-systemet vrida sig omkring origo, under det axlarna fortfara att vara vinkelräta mot hvar andra, kan man alltid gifva det en sådan ställning, att koordinaternas produkter försvinna i ytans eqvation hänförd till det nya systemet, hvar igenom denna eqvation antager formen

(2) Lxi + My" + Nz* + 2L'x + 2My + 2N'z + Z> = 0. Beviset för möjligheten af en sådan transformation nödgas vi dock uppskjuta till sjette kapitlet.

215

187. Eqvationen (2) föreställer ännu alla ytor af andra graden. För att ytterligare förenkla don samma, flytta vi koordinat-systemet parallelt med sig sjelft till en punkt (a, /?, f)i i det vi sätta

x = x' + a, y=y' + fl, z=z' + y; eqvationen (2) förvandlas här igenom till n ) \ Lx'* + My" + Nz" { ' I +2(La + L')x' + 2(Mj3 + M')y+2Q3r + N')z' + F = <j, om man för korthetens skull sätter

F = La' + Mj3* + Nf + 2L'a + 2M/3 + 2N'r + B. Den konstanta termen F kan äfven bringas under formen

F= (La + L') a + (Mj3+M)/3 + (Nr + N) r

+ L'a + M'j3+N'y+D. Om nu ingen af qvantiteterna L, M, N är noll, kan man alltid välja origo så, att termerna af första graden i eqvationen (3) försvinna; man har nämligen endast att bestämma a, /?, x genom vilkoren

J/« + Z' = 0, M/3 + M' = 0, Ny+N' = 0, som alltid satisfieras af ändliga värden på a, J3, y, "är ingen af koefficienterna L, M, N är noll. I denna händelse kan sålunda eqvationen (3), med bortlemnande af accenterna för x, y, z, bringas under formen

(4) Lx* + My* + Nz*=K.

När en enda af koefficienterna £ , if, N är noll, t. ex. JY=0 , utan att den motsvarande koefficienten N' tillika försvinner, är det icke mer möjligt att bortskaffa den term, som innehåller z', emedan vilkoret Ny + N' = 0 då skulle gifva ett oändligt värde för y. Men man kan ännu göra

La + L'=0, M/3+M'=0, hvar igenom koefficienterna för x och y' försvinna och den konstanta termen reduceras till

F = L'a + Mp+2N'y + D, samt derefter bestämma y så, att denna konstanta term försvinner. Eqvationen (3) antager då formen

(5) Lx1 + My* = 2Hz.

216

Vore IV och N' samtidigt noll, skulle eqvationen (3) reduceras till

Lx^ + My^K; men denna eqvation innehålles redan i formen (4), om man nämligen underförstår, att en eller flere koefficienter i den samma kunna vara noll.

Det återstår slutligen att betrakta den händelse, då tvänne af koefficienterna L, M, IV äro noll, t. ex. H f = 0 , IV = 0. Genom flyttning af origo kan man då endast bortskaffa den term, som innehåller %' i första digniteten jämte den konstanta termen och kommer sålunda till en eqvation af formen

Lx*=Gy+G'z. Men termerna i högra membrum kunna reduceras till en enda genom en ny transformation. Låter man nämligen koordinat-systemet vrida sig omkring »-axeln om en vinkel y>, i det man sätter

y = y' cos <p — z' sin <p, z = y' sin <p + z' cos cp,

och bestämmer man sedan cp genom vilkoret G

G cos cp + G' sin cp = 0, eller tang cp = — antager i fråga varande eqvation formen

i » ' 2 = mz1. Den utgör således i sjelfva verket endast ett specielt fall af eqvationen (5).

Yi behöfva icke här befatta oss med den händelse, då alla tre koefficienterna L, M, N på en gång vore noll, emedan eqvationen (2) då vore af första graden och det samma nödvändigtvis äfven skulle gälla om den ursprungliga eqvationen (1).

188. Resultatet af föregående diskussion är, att hvarje yta af andra graden kan representeras genom någondera af eqvationerna

I. Lx'+ My* + Nz* = K, II. Z* 2 + My 2==2Hz.

217

Dessa båda eqvationer föreställa tvänne skilda klasser af ytor, mellan hvilka en vigtig geometrisk åtskilnad eger rum, en åtskilnad, som omedelbart framgår af eqvationer-nas form. Då nämligen alla termer i eqvationen I äro af jämn grad (af andra graden i venstra membrum, af graden 0 i det högra), så undergår den samma ingen förändring, om man i stället för x, y, z skrifver —x, — y , —z. Mot hvarje punkt P på ytan svarar derför en annan punkt P' med motsatta koordinater och så belägen, att räta linien PP' halfveras af origo. Häraf följer, att origo halfverar alla genom den samma dragna kordor och således utgör mede lpunkt till ytan I.

I eqvationen II, som innehåller termer af både jämn och udda grad, kan man der imot icke förändra tecknen för alla tre koordinaterna utan att förändra sjelfva eqvationen. Origo är således icke medelpunkt till de ytor, som karakteriseras genom i fråga varande eqvation. De hafva icke heller någon annan medelpunkt, emedan det är omöjligt att genom någon koordinat-transformation bortskaffa termen 2Hz.

Vi finna alltså, att ytorna af andra graden sönderfalla 1 tvänne klasser, y t o r med medelpunkt och y tor utan medelpunkt . De först nämda representeras af eqvationen I, de senare af eqvationen II. Vi skola särskildt undersöka hvardera af dessa klasser.

Ytor med medelpunkt.

189. De ytor af andra graden, som höra till denna klass, inbegripas samtligen under eqvationen

I. Lx* + My* + Nz* = K, der koefficienterna kunna hafva alla möjliga reella värden En sådan yta delas af hvarje koordinat-plan i tvänne symmetriska hälfter; ty om eqvationen I upplöses i afseende-på hvilken som helst af koordinaterna, erhållas tvänne lika-stora värden med motsatta tecken. Koordinat-planerna äro» i denna mening verkliga hufvud-p laner till ytan och

218

deras genomskärningar med hvar andra eller koordinat-axlarna benämnas derför äfven axlar till ytan. Axlarna sägas vara ree l la eller ideella, allt efter som de begränsas af ytan eller icke råka den samma.

Eqvationen I har för öfrigt olika betydelser efter de olika kombinationer af koefficienternas tecken, som kunna förekomma. Antagom för enkelhets skull, att man gjort högra membrum positivt; vi hafva då att särskilja de fall, l:o då alla tre koefficienterna i venstra membrum äro positiva, 2:o då två af dem äro positiva och en negativ, 3:o •då en är positiv och två negativa. Don fjerde händelsen, då alla tre koefficienterna i venstra membrum äro negativa, kommer ej i betraktande, emedan det är tydligt, att eqvationen då ej medgifver något system reella värden för x, y, z och således ej har någon geometrisk betydelse.

190. El l ipso iden . — Om alla koefficienter i eqvationen I äro positiva, kan den samma genom division med K bringas under formen

2 2 2

Göres y = O och z = O, finner man, att ytan skär »-axeln i tvänne punkter A, Ä, för hvilka x = ± a. Likaså finner man, att ytan skär y-axeln i tvänne punkter B, B', för hvilka y = ±b, samt »-axeln i två punkter C, G', för hvilka

Fig. 87.

C

A

z = + c. Dessa punkter utmärka tillika ytans gränser i rigtningarna af de tre koordinat-axlarna. Ty då alla termer i venstra membrum af eqvationen (1) till sin natur äro positiva och deras summa är = 1, kan ingen term särskildt blifva > 1; följaktligen måste x alltid falla mellan gränserna + a och — a , y mellan +b och — 6 , samt z mellan + c och — c. Ytan är således i hvarje rigtning begränsad och bildar en i sig slu-

219

ten figur. Dess genomskärning med hvilket plan som helst måste derför äfven bilda en sluten kroklinie af andra graden, det är en ellips. Af sådan anledning har ifrågavarande yta blifvit benämd e l l ipso id . Qvantiteterna a, b, c beteckna längderna af ellipsoidens tre half-axlar, hvilka alla äro reela,

Låtom oss särskildt betrakta de sektioner af ellipsoiden, som äro parallela med något hufvud-plan. Då man i eqvationen (1) gör z = 0, finner man för ytans afskärning med ajy-planet en ellips

2 2

x y a2^b2 '

hvars half-axlar äro a och b. Gifver man åt z något annat konstant värde z = h, erhåller man en eqvation

x2 y2 , h2

a2^b2 c 2 ' föreställande en ellips, hvars half-axlar äro

Man ser häraf, att alla med sey-planet parallela sektioner utgöra ellipser, hvilkas half-axlar äro proportionella mot a och b samt minskas, ju mer det skärande planet aflägsnar sig från origo, tills de försvinna och ellipsen reduceras till en punkt, hvilket inträffar för h = ± c, det är då planets afstånd från origo åt någondera sidan är lika med c.

Man finner på samma sätt, att afskärningarna med xz-och 2/z-planerna äro ellipser, hvilkas half-axlar äro respec-tive a, c och b, c.

1 9 1 . Låt (x, y, z) vara en punkt på ellipsoiden, p dess afstånd från origo eller radius vector samt « , /?, y de vinklar, som denna radius vector gör med koordinat-axlarna. Man har

x=pcosa, y = pcosft, z=pcosÅ och genom insättning häraf i ellipsoidens eqvation erhålles

cos 2 a cos 2/? c o s 2 ? - _ 1 a b c p

Antager man nu, att a, b, c äro olika samt att a>b>c, så är venstra membrum i denna eqvation tydligen större än

220

cos 2 a cos 2 ^ cos 2;-a a a

det är större än —.. Man har derför > det är p < a. a p a '

På samma sätt finner man, att p > c. Afståndet från medelpunkten till en punkt på ellipsoiden är således i allmänhet större än den minsta half-axeln och mindre än den största samt varierar för öfrigt mellan dessa gränser.

192. Vi skola nu betrakta den händelse, då ellipsoiden har två lika stora axlar. Om a = b, blifva alla med cey-planet parallela sektioner cirklar, hvilkas medelpunkter ligga på z-axeln, och sjelfva ytan kan då anses uppkommen der igenom, att en ellips svängt sig omkring sin ena axel. En sådan yta kallas r o t a t i o n s - e l l i p s o i d eller sferoid. Den är a fp lattad eller för längd, allt efter som svängningen sker omkring ellipsens mindre eller större axel. Det är bekant, att jorden äfvensom himlakropparna i allmänhet hafva formen af afplattade sferoider.

193. Antages slutligen a = 6 = c, så förenklas eqvationen (1) till

a ; 5 + 7 / 2 + z 2 = a 2

och uttrycker, att afståndet från origo till hvilken punkt som helst på ytan är konstant och lika med a. Ellipsoiden är då förvandlad till en sfer.

I sammanhang härmed må anmärkas, att eqvationen för en sfer, som med radien p beskrifves omkring punkten (a, /?, f) såsom medelpunkt, är

( y _ Ä » + ( l ! , _ r ) » = / 0 « ; denna eqvation uttrycker nämligen enligt § 144, att afståndet från den fasta punkten (a, /?, f) till en punkt (x, y, z) på ytan är lika med p.

194. H y p e r b o l o i d e n med en mantel. — Om en af qvantiteterna L, M, N är negativ, t. ex. JV", men de öfriga positiva, antager eqvationen I dividerad med K formen

2 2 2

x y z

221

Ytan skär »-axeln i två punkter, för hvilka % = ± a, och -y-axeln i två punkter, för hvilka y = ± &, men råkar der imot icke a-axeln, för hvars afskärningar man finner de imaginära värdena « = ± c V — 1 . Den har således två reela och en ideel axel, hvilkas halfva längder uttryckas genom a, &, c.

Afskärningen med »y-planet är en ellips, hvars half-axlar äro OA = a och OB = b. För att undersöka dermed parallela sektioner, har man att göra z — h, då man erhåller eqvationen

** y* i

U i _ = 1 -J

a^b* c " föreställande en ellips, hvars half-axlar

äro proportionella mot a och b. De med »y-planet parallela sektionerna äro således ellipser med proportionella axlar, hvilka ökas, ju mer det skärande planet aflägsnar sig från origo åt någondera sidan. Den minsta af dessa ellipser är den, som faller i sjelfva »y-planet; den benämnes derför s trup-e l l ipsen (ellipse de gorge).

Afskärningen med »z-planet är en hyperbel, hvars halfva transversal-axel är OA = a och halfva konjugat-axel 00 = c. Afskärningen med yz-planet är likaledes en hyperbel, hvars halfva transversal-axel är OB = b och halfva konjugat-axel OG=c. Båda dessa hyperbler hafva således gemensam konjugat-axel.

Man ser häraf, att eqvationen (2) föreställer en sammanhängande yta med oändlig utsträckning och hvars genomskärningar bilda i vissa rigtningar ellipser, i andra hyperbler. Denna yta, om hvars utseende

222

närstående figur ger en föreställning, har fått namn af hy -perbo l o id med en mantel (hyperboloiide å une näppe).

När de reella axlarna äro lika stora, a = 6, blifva de med ay-planet parallela sektionerna cirklar och ytan kan då tänkas beskrifven af en hyperbel, som svängt sig omkring sin konjugat-axel. I detta fall har man således en r o ta t i ons -hyperbo l o id med en mantel.

195 . H y p e r b o l o i d e n med två mantlar. — Äro två koefficienter i eqvationen I negativa, t. ex. L och M, antager den samma genom division med — K formen

2 2 2

Ytan skär z-axeln i två punkter, för hvilka z = + c, utan att råka de öfriga koordinat-axlarna, för hvilkas afskärnin-gar man finner de imaginära värdena x=±aV— 1 och y = ± bV— 1. Af de tre half-axlarna a, b, c är således blott den sist nämda reel, de båda öfriga ideella.

Afskärningarna med xz- och ys-planerna äro hyperbler med gemensam transversal-axel 2c, som faller i rigtningen af z-axeln. För att lära känna beskaffenheten af de med ay-planet parallela sektionerna, göra vi z = h i eqvationen (3), som då gifver

O m - ^ < l , det är om h faller mellan gränserna — c och C

+ c, innebär denna eqvation en orimlighet och satisfieras endast af imaginära värden på x och y. För h = + c försvinner högra membrum och man erhåller en reel lösning nämligen x = 0, y = 0, föreställande en punkt. Men är det absoluta värdet af h större än c, blir högra membrum positivt och man erhåller en ellips, hvars half-axlar äro

och hvars dimensioner ökas med h. Häraf följer, att om man drager tvänne planer parallela med xy på afståndet c

a^b" c'

223

Fig. 89.

öfver och under origo, ingen del af ytan faller mellan dessa planer. Hvardera af dem råkar ytan i en enda punkt. De med xy parallela sektioner, som falla utom nämda planer, äro ellipser med proportionella axlar, hvilka tillväxa i storlek, när det skärande planet af-lägsnar sig från origo. Ytan består således af två från hvar andra skilda delar, hvardera med oändlig utsträckning, och benämnes derför hyper -b o l o i d med två mantlar (hyper-boloiide å deux näppes). Den finnes afbildad i fig. 89.

När a = &, blifva de med asy-planet parallela sektionerna cirklar och eqvationen (3) föreställer då en ro tat ions -h y p e r b o l o i d med två mantlar, det är en yta, som uppkommer, då en hyperbel svänger sig omkring sin transver-

, sal-axel. 196. Sedan vi nu undersökt de tre förnämsta slagen

af ytor med medelpunkt, återstår det ännu att betrakta de afarter af dem, som uppkomma, när en eller flera termer i eqvationen I försvinna. Antagom först, att K= 0.

Om i , M, IV alla hafva samma tecken, erhåller man då i stället för ellipsoidens eqvation (1) en eqvation af formen

2 2 2

a 2 + 6 2 + c 2 ' hvilken ej medgifver någon annan reel lösning än * = 0r

y = 0, z = 0, och således föreställer sjelfva origo. Ellipsoiden är då reducerad till en punkt.

197. Könen. — Nyss nämda hypotes, K= 0, förvandlar såväl eqvationen (2) som eqvationen (3) till

(4) r = 0.

Om man här gör ^ = 0, finner man för ytans afskärning-med aw-planet

224

x z a ~ c '

det är tvänne räta linier, som gå genom origo och falla åt olika sidor om z-axeln, mot hvilken de båda hafva samma lutning. Ett dylikt resultat erhålles för afskärningen med ya-planet.

Detta föranleder oss, att i allmänhet undersöka ytans afskärning med ett plan, som går genom 2-axeln, och hvars eqvation må betecknas med

y = mx. När denna kombineras med eqvationen (4), framgår genom elimination af y ett resultat af formen zi = nix2, hvaraf

z = + nx. Den sökta sektionen representeras alltså genom de två samtidigt gällande eqvationerna af första graden

y = mx, z = ± nx, hvilka i anseende till det i den senare förekommande dubbla tecknet föreställa tvänne räta linier, som gå genom origo. Dessa linier hafva sina rigtningskosiner proportionella mot 1, TO, + n, hvaraf det är tydligt, att äfven de göra lika stora vinklar med 2-axeln.

Det är lätt att se, om man gör z = h i eqvationen (4), att de med #y-planet parallela sektionerna äro ellipser, hvilkas axlar tillväxa proportionelt med afståndet från origo. När härmed sammanställes hvad nyss blef utredt angående .afskärningar med planer, som gå genom 2-axeln, blir det klart, att ytan i förevarande fall är en kon med elliptisk bas. Men emedan de plana skärningarna af en sådan kon kunna vara icke blott ellipser, utan äfven parabler och hy-perbler, allt efter det skärande planets rigtning, är det rättare att karakterisera nämda yta såsom en konisk yta af andra graden, det är en sådan kon, hvars bas kan vara hvilken linie som helst af andra graden.

198 . Könen (4) är a s y m p t o t til l båda hyper-bo lo iderna (2) och (3). — Jämför man nämligen könens •eqvation

225

x y z V- = 0

a^V c 2

med eqvationen 2 2 2

d^V c 2 _ i ~ ' som på en gång representerar de båda hyperboloiderna, och sätter man i hvardera af dem z = h, erhållas följande eqvationer

*2 y' h* x* y* h2 , U — = — = 4- 1

som föreställa könens och hyperboloidens tvärsektioner vid höjden h öfver a«/-planet. Dessa sektioner äro concentriska ellipser med proportionella och lika stälda axlar. Half-axlarna i den förra ellipsen äro

ah bh T ' T '

i den senare

skilnaderna mellan motsvarande halfaxlar i båda ellipserna äro följaktligen

V 'h* ah _ ±

"I / /V M- _ +bc V c 2 ± c _ VÄ» ± c» + ti

För oändligt växande h hafva dessa differenser noll till gräns; följaktligen skilja sig motsvarande tvärsektioner i könen och hyperboloiderna desto mindre från hvar andra, på ju större afstånd de tagas från origo. Könen är således gemensam asymptot till de båda hyperboloiderna, af hvilka den med två mantlar faller helt och hållet inom, den med en mantel helt och hållet utom könen.

199. Om en eller två af koefficienterna L, M, N i eqvationen I försvinna, hvar igenom denna antager någondera af omstående former

Lindel öf, Geometri. 15

226

(5) Lx* + My* = K,

(6) m* = K,

uppkomma nya varieteter af ytor med medelpunkt, hvilkas beskaffenhet inses utan någon diskussion. Eqvationen (5) föreställer nämligen i allmänhet en cyl inder med e l l ip -tisk eller hyperbo l i sk bas, allt efter som L och Mhafva samma eller olika tecken, hvilken cylinder för K=0 reducerar sig till en rät l inie eller till tvänne planer, som skära hvar andra. Eqvationen (6) åter föreställer tvänne paral le la planer, hvilka sammanfalla, om K = 0.

Ytor utan medelpunkt.

200. De ytor af andra graden, som sakna medelpunkt, karakteriseras genom eqvationen

II. Lx" + My1 = 2Hz, der H ej är noll. Då endast jämna digniteter af x och y här förekomma, är hvarje sådan yta symmetrisk i afseende på såväl yz- som »z-planet, hvilka planers afskärningslinie, a-axeln, derför benämnes axel till ytan. En sådan sym-metri förefinnes der imot icke i afseende på »y-planet; ty då eqvationen är af första graden i afseende på 2, erhåller denna koordinat blott ett värde för hvarje särskildt system af värden på x och y.

Vid eqvationen II äro tvänne fall att åtskilja: l:o då koefficienterna L och 31 hafva samma tecken, 2:o då de hafva olika tecken. Här igenom uppkomma tvänne slag af ytor, hvilka nu hvart för sig skola undersökas.

201. El l ipt isk parabolo id . — Vi betrakta först den händelse, då L och 31 hafva samma tecken. Antagom, att de äro positiva; H kan då äfven antagas vara positiv; ty vore den negativ, så behöfde man endast substituera z = —• z för att erhålla en ny eqvation, i hvilken koefficienten för z' vore positiv. Denna substitution betyder, att z-axeln erhåller en motsatt rigtning, det är att ordinatan z räknas nedåt i stället för uppåt, hvaraf synes, att tecknet

227

för H endast har inflytande på ytans läge öfver eller under xy-planet, men ej på dess form.

Genom division med E kan eqvationen II då bringas under formen

(1) - + y j? q

:2*,

Fig. 90.

der p och q äro positiva, Ytans sektioner med xz- och yz-planerna äro tvänne parabler

(a) x*=2pz, (/?) y2 = 2qz med gemensam topp och axel och hvilkas halfva parametrar äro respective p och q. Dessa parabler äro i figuren utmärkte med bokstäfverna P och Q.

För att finna beskaffenheten af de sektioner, som äro parallela med »y-planet, har man att tilldela z något konstant värde. För z = 0 reduceras sektionen till en punkt, nämligen origo. Gifver man åt z positiva och allt större värden, erhållas ellipser, hvilkas dimensioner tillväxa oupphörligt. För negativa värden på z blifva sektionerna imaginära. Eqvationen (1) föreställer således en sammanhängande yta af oändlig utsträckning, belägen helt och hållet ofvan om »y-planet, hvilken yta fått namn af e l l i p t i sk parabolo id .

Ett med yz parallelt plan, x = h, skär ytan utefter en parabel

hvars parameter är 2q, och som således är kongruent med den dermed parallela principal-sektionen Q. Dess axel är äfven parallel med s-axeln och dess topp är belägen på parabeln P. I sjelfva verket satisfieras eqvationen (a) af

h*

koordinaterna för vertex, som äro x = h,- y = 0, s = ^ -

Man kan derför betrakta ytan såsom alstrad af parabeln

228

Q, då denna rör sig parallelt med sig sjelf, så att dess topp beskrifver parabeln P.

På samma sätt äro de med »z-planet parallela sektionerna parabler, som alla äro kongruenta med principal-sektionen P. Man kan således äfven betrakta ytan såsom alstrad af parabeln P, då denna rör sig parallelt med sig sjelf, så att dess topp beskrifver parabeln Q.

I det särskilda fall, då p = q, förvandlas eqvationen ( 1 ) till

x2 + y2 = 2pz\ alla med an/-planet parallela sektioner äro cirklar och ytan kan anses beskrifven af en parabel, som svängt sig omkring sin axel. Den får då namn af r o ta t i ons -parabo lo id .

202 . H y p e r b o l i s k parabolo id . — Antagom för det andra att L och M hafva olika tecken. Eqvationen II kan då bringas under formen

(2) y - = 2g. p q

Den föreställer en yta, hvars med koordinat-planerna parak-lela sektioner äro dels parabler, dels hyperbler, och som derför benämnes hyperbolisk paraboloid. För att kunna göra sig en tydlig föreställning om denna yta, måste man närmare betrakta nämda sektioner.

I »z-planet bildar ytan en parabel P med parametern 2p och hvars axel är vänd uppåt. I yz-pla-net bildar den en parabel Q med parametern 2q och hvars axel är rigtad nedåt. De med i/z-planet parallela sektionerna äro parabler, som äro kongruenta med parabeln Q och hafva sina

toppar på parabeln P. Ytan kan derför tänkas alstrad af parabeln Q, när denna rör sig parallelt med sig sjelf, så att dess topp beskrifver parabeln P.

229

De med sey-planet parallela sektionerna äro hyperbler, hvilkas med OX och OY parallela axlar förhålla sig såsom Vp : \'q och tillväxa oupphörligt med 2, det är med sektionens afstånd från »y-planet. I hvarje sådan hyperbel är transversal-axeln parallel med OX eller med OY, allt efter som 2 är positiv eller negativ, det är allt efter som sektionen är tagen ofvanom eller nedanom »(/-planet. När sektionen sammanfaller med sjelfva *i/-planet, reduceras hyperbeln till tvänne räta linier, som skära hvar andra, representerade genom eqvationen

Samma eqvation gäller äfven för alla de förenämda hyper-blemes asymptoter, hvilkas projektioner på »y-planet således sammanfalla med nämda räta linier. Tvänne planer, dragna genom hvardera af dessa linier och 'z-axeln, innehålla följaktligen asymptoterna till alla tvärsektioner; till följe af en egenskap, som längre fram skall omtalas, få de namn af styrplaner till ytan.

203. När en af koefficienterna L och M i eqvationen II är noll, t. ex. J f = 0 , antager den samma formen

Lx2 = 2 f f 2

och föreställer då en cy l inder med parabol isk bas , hvilken är att anse såsom en öfvergångsform mellan den elliptiska och den hyperboliska paraboloiden.

Den händelse, då H försvinner i eqv. II, kommer icke här i betraktande, emedan ytan då hör till dem, som ega medelpunkt.

204 . De särskilda geometriska betydelser, som kunna tillkomma en eqvation af andra graden mellan tre parallel-koordinater, sammanställa vi i följande öfversigt.

I. YTOR MED MEDELPUNKT.

Imaginär yta, Ellipsoid, Hyperboloid med en mantel, Hyperboloid med två mantlar.

Hufvudytor:

230

Varieteter:

Punkt, Kon, Elliptisk cylinder, En rät linie, Hyperbolisk cylinder, Två planer.

II. Ytor utan medelpunkt.

T T . , , (Elliptisk paraboloid, Hufvudytor: , v , , (Hyperbolisk paraboloid. "Varietet: {Parabolisk cylinder.

F E M T E K A P I T L E T .

Allmän teori för ytor af andra graden.

Medelpunkt och diametralplan.

205. I föregående kapitel hafva vi undersökt de särskilda betydelser, som en eqvation af andra graden kan ega, och grundat denna undersökning på eqvationens förenkling medelst koordinat-transformation. I det följande skola vi närmare diskutera sjelfva den allmänna eqvationen af andra graden och ur den samma omedelbart härleda egenskaper, som äro gemensamma antingen för alla ytor af andra graden, eller för vissa grupper af dem.

Den allmänna eqvationen af andra graden, i hvilken vi fortfarande låta *, y, z föreställa rätv inkl iga koordinater, är

i Ax\+ By' + Cz* + 2Äyz + 2B'xz + 2C'xy W I + 2A"x + 2B"y + 2C"z + D = 0.

231

För korthetens skull beteckna vi venstra membrum i denna eqvation med II samt med X, F, Z, P följande funktioner af första graden *)

X = Ax +G'y+ B'z + A", Y=Cx+By +A'g + B",

• ' Z =B'x + Äy +Gz + C", P =A"x + B"y + C"z + D.

Man har då identiskt (3) U=Xx + Yy + Zz + P,

hvarom man lätt öfvertygar sig genom insättning af de med X, F, Z, P betecknade funktionerna.

Om man i stället för x, y, z har att insätta de med en index 0 eller 1 utmärkta koordinaterna för någon särskild punkt, tillkännagifves detta genom att vidfoga samma index till bokstäfverna U, X, Y, Z, P, så att t. ex. U0 betecknar det värde, som funktionen U antager i punkten (*0, y0, z0), d. v. s. då man i stället för x, y, z substituerar x0, y 0, z 0 ; X ( det värde, som funktionen antager i punkten (se,, y,, o. s. v.

Funktionerna X, Y, Z, P ega en framstående betydelse i läran om ytor af andra graden, såsom det i det följande skall visa sig.

206. Afskärningspunkter mellan en yta af andra graden och en rät linie. — En rät linie, som går genom en viss punkt x0, y 0, z0 och hvars rigtningskosiner äro Z, TO, n, kan representeras genom eqvationerna

y = y0+pm1

z = z0 + pn, der p betecknar afståndet från den fasta punkten (xQ, y0, z0)

* ) D e n s o m g j o r t n å g o n b e k a n t s k a p m e d h ö g r e a n a l y s e n , s e r g e n a s t ,

a t t 2X, 2Y, 2Z f ö r e s t ä l l a d e p a r t i e l l a d e r i v e r a d e a f U i a f s e e n d e p å x, y, z. O m m a n , f ö r a t t g ö r a e q v a t i o n e n ( 1 ) h o m o g e n , m u l t i p l i c e r a r t e r

m e r n a a f f ö r s t a g r a d e n m e d d e n a n t a g n a l ä n g d - e n h e t e n , h v i l k e n m å b e

t e c k n a s m e d p, s a m t d e n k o n s t a n t a t e r m e n m e d p2, b l i f v e r 2 P l i k a l e d e s

d e n p a r t i e l l a d e r i v e r a d e a f U i a f s e e n d e p å p, d å m a n n ä m l i g e n e f t e r

d i f f e r e n t i e r i n g e n å t e r s ä t t e r p = 1 .

232

till den variabla punkten (*, y, z). Formlerna förutsätta der jämte, att detta afstånd anses positivt åt den ena och negativt åt den andra sidan om punkten (x0, i/0, z 0). För att finna de punkter, i hvilka räta linien träffar ytan af andra graden, har man att i stället för x, y, z införa uttrycken (4) i eqvationen (1). Man erhåller då en eqvation, i hvilken endast den obekanta p ingår, och som ordnad med afseende på p antager följande utseende:

I (Al*+Bm* + Cn*+ 2Amn + 2B'ln + 2C'lm)p2

{0)\' +2 (XJ + Y0m + Z0n)p +Uo=0. Denna eqvation gifver tvänne värden för p och mot hvardera svarar ett system af värden på x, y, z, som genom formlerna (4) kunna beräknas. Häraf följer, att en rät linie i allmänhet skär en yta af andra graden i tvänne punkter, hvilka dock i särskilda fall kunna sammanfalla eller vara imaginära.

Rötterna till eqvationen (5) beteckna afstånden från punkten (xa, y0, za) till de punkter, i hvilka räta linien skär ytan. Om JJQ försvinner, blifver en rot noll, hvilket betyder, att punkten (xm y0, z0) befinner sig på sjelfva ytan. I sjelfva verket uttrycker ju vilkoret V0= 0, att koordinaterna »o, y0, zQ satisfiera eqvationen 17 = 0, det är ytans eqvation (1).

207. Medelpunkt till hvilken yta som helst kallas i allmänhet en punkt, som halfverar alla genom den samma dragna kordor till ytan. Vi skola nu undersöka huruvida. den genom eqvationen (1) representerade ytan eger någon medelpunkt.

Om en sådan punkt finnes och x0, y0, za beteckna dess koordinater samt eqvationerna (4) en genom den samma drageu rät linie, så måste i de punkter, der räta linien skär ytan, och som bestämmas genom eqvationen (5), p hafva lika stora, men motsatta värden, d. v. s. summan af de båda rötterna till eqvationen (5) måste försvinna, hvilket åter förutsätter, att koefficienten för andra termen försvinner, således att XJ, + Y0m + Z0n = 0. Detta måste ega rum för hvilken rigtning som helst af räta linien, det är för alla värden

233

på l, m, n, som äro förenliga med relationen l2 + m2 + n'=l. Men X0l + Y0m + Z0n kan icke vara noll i alla möjliga värden af l, ra, 11, t. ex. för 1=1, m = 0, n = 0, för 1=0, m = l , ii = 0, för 1 = 0, m = 0, n = l, med mindre qvantiteterna X0, Y0, Z0 försvinna hvar för sig. Om den punkt, hvars koordinater äro x0, y0, z0, är medelpunkt till ytan (1), måste derför nämda koordinater uppfylla de tre vilkoren X0 = 0, Yo = 0, Zo = 0. Omvändt är (x0, y0, zQ) alltid medelpunkt till ytan, så snart nämda vilkor äro uppfylda, emedan eqvationen ( 5 ) då gifver tvänne lika stora och motsatta värden på p, hvilken rigtning räta linien än må hafva.

Till bestämmande af medelpunktens koordinater har man således de tre eqvationerna X o = 0 , Yo=0, Zo=0, eller, med bortlemnande af index 0 , X = 0 , Y= 0, Z=0, det är, om eqvationerna fullständigt utskrifvas,

i Ax +C'y + B'z + A"=0, (6) G'x +By + A'z + B"=0, I B'x + Äy + Cz + C" = 0.

När dessa eqvationer upplösas, framställa sig värdena för x, y, z under form af bråk med gemensam nämnare

A0 Ba 0 o °=j> y=J' Z=A> der

(7) J = ABC + 2A'B'C—AÄ2— BB'* — CC". Yi behöfva icke känna de allmänna uttrycken för täljarena Aa, Ba, Ca, emedan de framdeles icke komma i någon användning.

Så framt A icke är noll, blifva de anförda värdena för x, y, z ändliga och bestämda och ytan har en enda medelpunkt. Men om nämnaren A är noll utan att alla tre täljarena A0, BQ, C0 samtidigt försvinna, blir åtminstone en af koordinaterna x, y, z oändlig, hvilket betyder, att ytan då saknar medelpunkt. Försvinna der imot A0, B0, Ca jämte

A, framställa sig värdena för x, y, z under obestämd form eqvationerna (6) medgifva då oändligt många lösningar och ytan har följaktligen oändligt många medelpunkter.

234

208. Saken förtydligas genom följande geometriska åskådningssätt. Eqvationerna (6), betraktade hvar för sig, föreställa tre planer, hvilka i allmänhet skära hvar andra i en punkt, som är medelpunkt till ytan. Dock om det inträffar, att planernas tre afskärningslinier äro parallela med hvar andra, finnes ingen gemensam genomskärningspunkt och således ingen medelpunkt. Inträffar det åter, att alla tre planerna skära hvar andra längs samma räta linie, i hvilket fall en af eqvationerna (6) kan härledas ur de båda öfriga (§ 169) och dessa eqvationer således i verkligheten uttrycka blott tvänne distinkta vilkor, finnes en oändlig mängd medelpunkter, nämligen alla punkter på den räta linie, i hvilken de tre planerna skära hvar andra. Ytan kan då endast vara en cylinder med elliptisk eller hyperbolisk bas. Om slutligen alla tre eqvationerna (6) reducera sig till en enda och således representera ett och samma plan, äro alla punkter i detta plan medelpunkter till ytan af andra graden, som då ej kan vara annat än ett system af tvänne parallela planer.

I enlighet härmed kunde ytor af andra graden indelas i tre slag: l:o ytor med en enda medelpunkt, 2:o ytor utan medelpunkt, 3:o cylindriska ytor med oändligt många medelpunkter, belägna antingen på en centra l -axe l eller i ett central -plan. Men som dessa cylindrar inbegripas under samma allmänna eqvation, som gäller för ytor af det första slaget, är det nog att särskilja tvänne hufvudklasser, nämligen ytor med och ytor utan medelpunkt, hvilken indelning i föregående kapitel redan blifvit iakttagen.

209. Medelpunktsradier . — Om man i eqvationen (5) låter xm ya, zQ beteckna medelpunktens koordinater, försvinner koefficienten för p emedan X o = 0, Y o = 0, Z o = 0, och den konstanta termen U0, som enligt (3) är lika med X0x0 + Y0y0 + Z0z0 + P0, reducerar sig till

Po = A"x0 + B"yo + C"so + D. Sätter man här för korthetens skull

ä=Al* + Bm* + Cn* + 2Ämn + 2B'ln + 2G'lm, blir eqvationen (5)

(8) + P o = 0.

235

Denna formel bestämmer längden af medelpunktsradien p i en gifven rigtning (Z, m, n). P0 är här det värde, som funktionen P = A"x + B"y + G"z + D antager, då man i stället för as, y, s insätter medelpunktens koordinater; den är således en konstant qvantitet, beroende endast af koefficienterna i den ursprungliga eqvationen (1 ) , trär imot koefficienten Q i allmänhet varierar med radiens rigtning.

210 . Diametral -p lan. — Man tänko sig ett system parallela kordor till en yta af andra graden. Medelpunkterna af alla dessa kordor äro belägna på en viss annan yta, hvars beskaffenhet och läge vi nu gå att närmare undersöka.

Antagom, att eqvationerna ( 4 ) föreställa en af dessa kordor och att x0, ym z0 äro koordinaterna för kordans midt. Eqvationen (5), i hvilken p betecknar afståndet från punkten (xQ, yQ, zQ) till någondera af kordans ändpunkter, måste då hafva tvänne lika stora rötter af motsatt tecken, hvilkas summa är noll, och dertill erfordras, att koefficienten för p försvinner. Mellan koordinaterna xa, yc, ea för kordans midt har man således eqvationen XJ, + Y0m + Z0n = 0; och då samma eqvation gäller för midten af samma körda, hvars rigtningskosiner äro Z, m, n, representerar den samma den sökta orten för de parallela kordornas medelpunkter. Med bortlemnande af index 0 kan denna eqvation skrifvas

( 9 ) XI + FOT + Zn = 0, eller om man i stället för X, F , Z inför de dermed betecknade funktionerna (2) samt ordnar resultatet efter koordinaterna x, y, z,

(Al + Cm + B'n)x + (C'l + Bm + A'n)y + (B'l + Äm + Cn)z { ' +A"l + B"m + G"n = 0. Sådan är eqvationen för den yta, som halfverar de med rigt-ningen (Z, m, n) parallela kordorna. Den är af första graden, hvaraf följer, att den yta, som hal fverar ett sys tem para l l e la k o r d o r t i l l en yta af andra graden, är ett plan. Hvarje sådant plan för namn af d iametra l -p lan .

En rät linie och ett plan sägas vara k o n j u g e r a d e , om planet är parallelt med det diametral-plan, som halfverar de med räta linien parallela kordorna.

236

Om kordorna äro parallela med »-axeln, ä r Z = l , m = 0, »i = 0 och diametral-planets eqvation förenklas till X = 0 . Likaså finner man, att Y = 0 och Z=0 föreställa diame-tral-planerna till de kordor, som äro parallela med y- och »-axlarna.

211. Hvilken rigtning kordorna än ma hafva, satisfieras diametral-planets eqvation (9) af de värden på z, y, s, som på en gång göra X = 0, Y = 0 , Z = 0, det är af koordinaterna för ytans medelpunkt. Hvar j e diametral-plan går der för genom mede lpunkten , när en sådan finnes. När ytan har oändligt många medelpunkter, går diametral-planet genom den central-axel eller sammanfaller med det central-plan, som innehåller dem alla.

Om ytan saknar medelpunkt, äro de tre planer, som representeras af eqvationerna X = 0 , Y = 0, Z = 0, antingen parallela med hvar andra, eller ock är genomskärningslinien mellan två af dem parallel med det tredje planet. I förra fallet äro koefficienterna för x, y, g proportionella mot hvar andra i de tre eqvationerna X = 0, Y = 0, Z = 0 och följaktligen äfven i eqvationen XI + Ym + Zn = 0, hvilken alltså föreställer ett med de nämda tre planerna parallelt plan. I det senare fallet, om man antager, att planerna X = 0, Y = 0 skära hvar andra i en rät linie L, som är parallel med planet Z = 0, föreställer XI + Ym = 0 ett genom nämda linie gående plan, hvilket alltså skär planet Z=0 i en med L parallel rät linie M; eqvationen XI + Ym + Zn = 0 åter föreställer ett annat plan, som går genom afskärningslinien M mellan planerna XI + Ym = 0 och Z = 0, och som följaktligen är parallelt med linien L. Häraf följer, att en yta, som saknar m e d e l p u n k t , har a l la sina d iametra l -p laner paral le la ant ingen med hvar andra eller med en och samma räta l inie.

212. Till hvarje system af parallela kordor, hvilken rigtning (Z, m, n) de än må hafva, hör i allmänhet ett diametral-plan, representeradt af eqvationen (9) eller (10). 1 ett enda fall upphör planet att existera eller förflyttas i det

237

oändliga, nämligen när koefficienterna för » , y, z i eqvationen (10) på en gång är noll, det är, när man har

[Al + Cm + B'n = 0, (11) \ci+ Bm 4-A'n=0,

[B'l+A'm + Gn = 0, utan att den konstanta termen A"l + B"m + C"n tillika försvinner. Yenstra membrum i eqvationen (10) eller (9), det är summan XI + Ym + Zn, reduceras då till nämda konstanta term och det gifves följaktligen intet system af värden på x, y, z, som på en gång göra X = 0, Y = 0, Z = 0, således icke heller någon medelpunkt. Eqvationerna (11) åter innebära, att kordorna äro parallela med hvarje af planerna X = 0, Y = 0, Z = 0. Diametral-plan saknas alltså endast hos ytor utan medelpunkt och äfven då blott för de kordor, som kunna anses rigtade mot den oändligt aflägsna medelpunkten.

213. Mellan kordornas och diametral-planets rigtningar finnes en viss reciprocitet. Antagom för större 'enkelhet, att kordorna äro parallela med »-axeln; diametral-planets eqvation är då X = 0, det är

Ax + Cy + B'z + A" = 0. Om l, TO, n äro rigtningskosiner för ett annat system kordor, som äro parallela med sist nämda plan, så är

Al + 6'm + B'n = 0; i eqvationen (10) för motsvarande diametral-plan försvinner koefficienten för x, hvaraf följer, att diametral-planet är parallelt med »-axeln. Då nu »-axeln kan hafva hvilken rigtning som helst, utan att ytans eqvation upphör att vara af andra graden, erhålles häraf följande allmänna sats:

Om en rät l inie är para l le l med kon jugat -p lanet t i l l en annan rät l inie , så är omvändt den senare l in ien paral le l med k o n j u g a t - p l a n e t t i l l den förra.

214 . Diametrar. — Den räta linie, i hvilken tvänne iiametral-planer skära hvar andra, kallas diameter. Hvarje diameter går genom medelpunkten, när en sådan finnes. Saknas medelpunkt, äro alla diametrar parallela antingen med en och samma räta linie eller med ett och samma plan.

238

Den diameter, som går genom en gifven punkt (x0) y0, z0), kan bestämmas på följande sätt. Såsom bekant, föreställa eqvationerna X = 0, Y—O, Z = 0 de med axlarna för «, y, z konjugerade diametral-planerna. Eqvationen X+ hY = 0, der k är en godtycklig konstant faktor, representerar åter i allmänhet ett plan, som går genom de två första planernas genomskärning och som innehåller den gifna punkten, så framt man tillika har Xo + hY=0. Genom elimination af h erhålles

x_X såsom eqvation af det diametral-plan, som går genom, af-skärningslinien mellan planerna X=0, Y=0 och der jämte innehåller punkten (x0, y e , z0). Eqvationen för det diametral-plan, som går genom samma punkt och genom afskärningen mellan planerna F = 0 , Z = 0 , är på samma sätt

Y _ Z Y0-Z0-

Den sökta diametern utgör afskärningen mellan förut nämda tvänne diametral-planer; dess eqvationer kunna följaktligen sammanfattas i den symmetriska formeln

(12) * = Z = 1 Xc YQ Z0

hvilken således föreställer den diameter, som går genom punkten (*0, y0, z0).

215. När tre diametrar äro så beskaffade, att de kordor, som äro parallela med en af dem, hvilken som helst, halfveras af det plan, som innehåller de båda öfriga, få de namn af konjugat-diametrar. Att ytor utan medelpunkt ej kunna ega konjugat-diametrar, är tydligt, hvarför vi här endast hafva att betrakta ytor med medelpunkt.

Till hvarje diameter D hör i allmänhet ett konjugat-diametral-plan, som halfverar de med D parallela kordorna. Tager man i detta plan en ny diameter D' efter behag, går dess konjugat-diametral-plan genom den först nämda diametern (§ 213). De båda diametral-planerna skära hvar andra längs en tredje diameter D\ hvars konjugat-diametral-

239

plan åter måste innehålla såväl B som B'. De tre linierna D, B', B" bilda således ett system konjugat-diametrar.

Betraktar man nu den plana sektion af ytan, som innehåller två af dessa diametrar, till exempel B och B', samt föreställer sig inom den samma kordor dragna parallelt med B, så halfveras dessa af linien Z>', emedan det plan, som innehåller D' och D", halfverar alla med diametern D parallela kordor till ytan. Likaså halfveras inom samma sektion de med B' parallela kordorna af linien B. Häraf följer, att B och B' utgöra konjugat-diametrar till i fråga varande sektion.

En yta af andra graden med medelpunkt har således oändligt många system konjugat-diametrar. För att erhålla ett sådant system, kan man välja en diameter efter behag, då de båda öfriga måste tagas i motsvarande diametralplan och vara konjugat-diametrar till ytans sektion med detta plan.

216. P a r a l l e l a sekt ioner . — Det har redan blifvit anmärkt, att afskärningen mellan en yta af andra graden och ett plan i allmänhet är en konisk sektion. Vi skola nu närmare undersöka beskaffenheten af ett system plana sektioner, som äro parallela med hvar andra.

Man föreställe sig parallela kordor dragna i hvilken rigtning som helst inom de plana sektionerna; alla dessa kordor halfveras af ett och samma diametral-plan, hvilket således innehåller diametern till kordorna inom hvarje särskild sektion. De motsvarande diametrarna i de skilda sektionerna äro följaktligen parallela. Deras konjugat-diametrar äro likaså parallela och innehållas alla i ett visst annat diametral-plan. De båda diametral-planerna skära hvar andra i en rät linie, som är orten för de plana sektionernas medelpunkter. Samma räta linie utgör tillika en diameter, hvars konjugat-plan är parallelt med de i fråga varande plana sektionerna.

Häraf följer redan, att de parallela sektionernas medelpunkter ligga i en rät linie, samt att hvarje system konjugat-diametrar i en sektion motsvaras af parallela konjugat-diametrar i alla de öfriga. Då detta äfven gäller om de

240

konjugat-diametrar, som äro vinkelräta mot hvar andra, så hafva alla sektioner sina axlar lika rigtade.

Antagom nu, att en af sektionerna är en ellips. Låter man en diameter, som först sammanföll med en af axlarna, vrida sig åt ett visst håll, så vrider sig dess konjugat-dia-meter åt samma håll. Diametrarna, som ursprungligen voro vinkelräta mot hvar andra, antaga en lutning, hvilken ökas mer och mer och uppnår sitt maximum, när diametrarna sammanfalla med diagonalerna till den på axlarna konstruerade rektangeln. Det samma måste nu inträffa med konju-gat-diametrarna inom hvarje annan parallel sektion, att de nämligen samtidigt vrida sig åt ett och samma håll, samt att för deras inbördes lutning ett maximum eger rum, när de äro parallela med de lika konjugat-diametrarna i den först nämda ellipsen. På denna egenskap hos konjugat-diametrarna igenkänner man lätt, att alla sektionerna äro ellipser, i hvilka icke blott axlarna utan äfven diagonalerna till de på axlarna konstruerade rektanglarna äro parallela och hvilka således hafva sina axlar proportionella.

Antagom för det andra, att en af sektionerna är én hyperbel. Dess konjugat-diametrar hafva den egenskapen, att om de ursprungligen sammanfalla med axlarna och en af dem vrider sig åt ett visst håll, den andra vrider sig åt motsatt håll, tills de slutligen mötas och båda sammanfalla med en af asymptoterna. Då nu förhållandet måste vara alldeles det samma med konjugat-diametrarna i de öfriga sektionerna, utgöra äfven dessa hyperbler, i hvilka icke blott axlarna, utan äfven asymptoterna äro parallela och axlarna följaktligen äro proportionella.

När en af sektionerna är en parabel, äro alla dess diametrar parallela med hvar andra; de öfriga sektionerna måste då äfven hafva sina diametrar parallela och utgöra följaktligen parabler, hvilkas axlar äro parallela och formera ett diametral-plan.

Det anförda kan sammanfattas i följande allmänna teorem: A f s k ä r n i n g a r n a mel lan en yta af an dra graden

och ett sys tem para l l e la p laner u t g ö r a l ik formiga

2 4 1

koniska sektioner, hvilkas axlar äro lika r igtade och hvi lkas medelpunkter befinna sig på den med sekt ionernas planer kon jugerade diametern.

Med likformiga koniska sektioner förstå vi här sådana, som äro af samma slag och hvilkas axlar äro proportionella. Enligt denna definition äro alla parabler likformiga, emedan de kunna anses såsom ellipser, i hvilka förhållandet mellan mindre och större axeln är noll *).

SJETTE K A P I T L E T .

Allmän teori. Fortsättning.

Principal-diametralplan. 217. När ett diametral-plan är vinkelrätt mot de kor

dor, som det samma halfverar, får det namn af pr inc ipal -diametralplan och de motsvarande kordorna kallas princip a l -kordor . Deras rigtning kan icke mer vara godtycklig, emedan vinkeln mellan ett system parallela kordor och deras diametral-plan i allmänhet är beroende af kordornas rigtningskosiner, hvilka derför måste uppfylla vissa vilkor, om nämda vinkel skall vara rät. Dessa vilkor gå vi nu att skärskåda.

Om l, w, n äro rigtningskosiner för ett system prin-cipal-kordor, hvilka således äro parallela med normalen till det genom eqvationen (10) (§ 210) representerade diametral-planet, så måste l, m, n äfven uttrycka normalens rigtningskosiner, hvilka åter förhålla sig till hvar andra såsom koefficienterna för aj, y, B i nämda eqvation. Man har alltså (1 Al + C'm +B'n _ Cl + Bm + Än _ B'l + Äm + Cn

L m n

* ) O m m a n n ä m l i g e n i u t t r y c k e t f ö r e l l i p s e n s e x c e n t r i c i t e t

g o r b : a = 0 , b l i f v e r e = 1, d . ä . e l l i p s e n f ö r v a n d l a s t i l l en p a r a b e l .

Lindelöf. Geometri. 1 i\

242

hvilka två eqvationer, kombinerade med l2 + m2 + n2 = 1, tjena till bestämning af l, m, n.

För att lätta upplösningen af dessa eqvationer, införa vi en tills vidare obekant hjelpstorhet s, hvarmed vi beteckna det gemensamma värdet för de tre lika stora bråken (1). I stället för formlerna (1) kan man då skrifva

j Al + Cm + B'n = si, (2) Cl -t- Bm + Än = sm,

I B'l + Am + Cn = sn, eller, om alla termer öfverföras i venstra membrum,

UA — s)l + Cm + B'n = 0, (3) | Cl + (B —s) m +Än = 0,

[B'l+ Am+ (C—s)n = 0. Det bör märkas, att qvantiteterna l, m, n ej kunna för

svinna på samma gång, emedan summan af deras qvadrater är = l . Om t. ex. n icke är noll och man tänker sig föregående eqvationer dividerade med n, ser man, att de utom s egentligen innehålla blott tvänne obekanta, nämligen förhållandena —, —, för hvilkas bestämning två eqvationer äro

n n c i

tillräckliga, så ofta s är gifven, och ur hvilka de fullständiga värdena på l, m, n sedan kunna härledas medelst relationen l2 + m2 + n2 = 1. När s är gifven, innehålla eqvationerna (3) således en öfverflödig bestämning och frågan blifver nu att finna ett sådant värde på s, att nämda eqvationer icke innebära någon motsägelse.

För sådant ändamål har man att eliminera l, m, n (eller l 7YL förhållandena —, —) mellan dessa eqvationer; man erhåller n n

då till bestämmande af a följande sluteqvation \(s-A) (s - B) (« - O) - A\s - A ) - B'2(s - B)

1 ; I — C2(s — G) — 2AB'C = 0, hvilken utvecklad efter digniteterna af s blifver

I s > - ( A + B + C)s2

w I + (AB + AG + BO — A2 — B'2 — C2) s — A = 0, der A har samma betydelse som i § 207.

243

Emedan hvarje eqvation af udda grad har åtminstone en reel rot, gifves det åtminstone ett reelt värde på s, som satisfierar eqvationen (5) och således bringar eqvationerna (3) i öfverensstämmelse med hvar andra. Man är alltså berättigad till den slutsats, att hvarje yta af andra graden har åtminstone ett system af principal-kordor. Huruvida flere sådana system finnas, är en fråga, hvars besvarande påkallar en närmare diskussion af den kubiska eqvationen (5).

218. För att framställa den samma under en för vårt ändamål beqvämare form, återgå vi till eqvationerna (3) och utföra eliminationen af l, m, n på ett annat sätt *). Om den första eqvationen divideras med B'O' och man derefter adderar -4 till hvardera membrum, erhålles

Ä l m ii l , . B'G\

Ä + B> + C' = VC'{s-Å + ^r)-De båda öfriga eqvationerna kunna på analogt sätt ombildas. Sätter man nu för korthetens skull

. B'G' ÄG' ÄB1

a = A—-jr, b = B — ^ r , c = G

antaga eqvationerna (3) följande utseende

( 6 )

l m n l(s — a) Ä + B' + ~C' = B'G' l m n m(s-—b)

A' + B' + Ci=:~ÄFC1~'' l m n ii (s — c )

\Ä B C' ÄB' ' Adderar man dessa eqvationer efter att hafva dividerat den första med Ä*(s — a), den andra med B'2 (s—b), den tredje med C'2(s — c), erhålles

1 1 1 Ä\s — a) (s— by C* (s — c ) ÄBV

* ) V i " b e h a n d l a h ä r d e n k u b i s k a e q v a t i o n e n h u f v u d s a k l i g e n i öfver-

e n s s t ä m m e l s e m e d J a c o b i . F ö r e h o n o m h a d e C a u c h y g i f v i t e t t a n n a t

b e v i s f ö r d e t r e r ö t t e r n a s r e a l i t e t .

244

och genom multiplication med (s — a) (s — b) (s — c) (s—a) ( g — 6 ) (s—c) (s—b) (s—c) (s—a) ( s — c ) (s—g) ( $ — 6 ) _ u ; ^ . j j , ^ A „ c,.2

219 . Diskussion af den kubiska eqvat ionen. — Låtom oss först betrakta den allmänna händelsen, då ingen af koeffiicienterna Ä, B\ C är noll. De med a, 6, c betecknade qvantiteterna äro då ändliga och bestämda och formen (7) är användbar.

I. Antagom att a, b, c äro olika och att a > 6 > c . Om man i eqvationen (7) låter s tillväxa oändligt, blifver den term, som innehåller högsta digniteten, af s och som, när de betecknade multiplikationerna utföras, befinnes vara ss: A'B'C, slutligen öfvervägande öfver summan af de öfriga och venstra membrum erhåller samma tecken som denna term. Hypotesen s = oo gifver således för venstra membrum tecknet + eller —, allt efter som produkten ÄB'C är positiv eller negativ. Hypotesen s = — co gifver i samma händelser de motsatta tecknen — eller + . För s = a reducerar sig venstra membrum till

(a — b) (a — c)

ett resultat, som är negativt, emedan a antogs större än b och c. För s = b erhålles ett positivt, för s = c åter ett negativt resultat. Vi finna således, att om man för s efter

-hand insätter + co, a, 6, c, — co,

venstra membrum i eqvationen (7) erhåller följande tecken

och kunna deraf sluta, icke blott att eqvationen har alla sina tre rötter reella, utan äfven att en rot faller mellan a och b, en annan mellan b och c samt att den tredje är större än a eller mindre än c, allt efter som produkten ÅB'C är positiv eller negativ.

I ofvan stående händelse äro således de tre rötterna till eqvationen (7) reella och olika. Mot hvarje rot svarar en bestämd rigtning af kordorna. Formlerna (6) gifva nämligen

(8) A' (s — a) l = B'(s — b)m = C (s — c)n, hvaraf synes, att l, ra, ro äro proportionella mot de tre qvantiteterna

_ _ _ 1 _ _ 1 1 _ A\s^ä)' B'(s — by C'(s — c) '

hvilka, då ingen af nämnarena försvinner, behålla ändliga och bestämda värden.

II. När a = b, ingår s — a såsom faktor i alla termer af eqvationen (7), som då har en rot lika med a. Efter division med s — a qvarstår en eqvation af andra graden

(s — «) (s — c) s — c s — c s — a iBG' I ' 1 B1 G72" ^

Insätter man här i stället för s efter hand + co , « , c, — co, erhåller venstra membrum följande tecken: + , —, + , + , hvaraf synes, att den ena roten faller mellan a och c, den andra utom dessa gränser. De tre rötterna till den kubiska eqvationen äro således äfven i detta fall reella och olika.

. Formlerna (8) gifva äfven nu en bestämd rigtning för hvardera af de rötter, som icke sammanfalla med a. För don tredje roten s = a = b försvinner högra membrum i de två första formlerna ( 6 ) och den tredje gifver i följd deraf n — 0. Besagde formler reduceras här igenom till dessa tvänne

^ 1 m

" * = o, z,+ ^ = o, som jämväl bestämma en enda med »y-planet parallel rigtning.

III. Är slutligen a = b = c, blifver eqvationen (7) divi-sibel med (s — a,)2 och har tvänne rötter lika med a. Den tredje roten är större eller mindre än a, allt efter som produkten A'B'G' är positiv eller negativ. Mot denna enkla rot svarar en enda rigtning, som enligt (8) bestämmes genom formeln

A'l = B'm = G'n. För den dubbla roten s = a = b = c reducera sig de tre eqvationerna ( 6 ) till en enda

24'i

/ m, , n Ä + B + C = °

och qvantiteterna /, w, n erhålla oändligt många värden. Hvarje med planet

X V 3

Ä' + W + ä = 0

parallel rigtning tillhör då ett system principal-kordor. 220. Det återstår att betrakta den händelse, då en

eller flere af koefficienterna A\ B\ C äro noll. Formen (7) är då obrukbar, men i stället egnar sig formen (4) till omedelbar diskussion.

I. En enda af koefficienterna är noll, t. ex. C. Den kubiska eqvationen (4) blifver (g — A)(s — B) (s — C) — A" (s — A) — — B) = 0. Om A>B och man i stället för s substituerar + oo, A, B, — co, erhåller venstra membrum följande tecken: + , —, + , —•; eqvationen har således sina tre rötter reella och olika. De två första af formlerna (3) reduceras till

(A —s) l + B'n = 0, (B — s)m + Än = 0 och gifva för hvarje rot en bestämd rigtning.

Det samma gäller ännu, om A=B, med den skilnad, att en rot då är lika med A och att mot den samma svarar en rigtning, som euligt (3) bestämmes genom formlerna

«. = 0, B'l+ Äm=0 och alltså är parallel med xy-vAa.net.

II. Tvänne koefficienter äro noll, till exempel B' och C. Eqvationen (4) förenklas till

(s — A) (s — B)(s — C) — Ä'(s — Ä) = 0; en rot är lika med A, de båda öfriga erhållas ur eqvationen

(s — B) (s — C) — Ä- = Q. De tre rötterna äro i allmänhet olika och mot hvar och en af dem svarar en enda rigtning, bestämd genom formlerna (3). Hvad särskildt roten s — A beträffar, motsvaras den af en med »-axeln parallel rigtning.

I händelse likväl den senast anförda qvadratiska eqvationen satisfieras af s = A, utgör A en dubbelrot. För denna dubbla rot reduceras eqvationerna (3) till en enda

247

(B — A)m + Än = O och de motsvarande kordorna kunna hafva hvilken som helst med planet

(B — Ä)y + Äz = 0 parallel rigtning.

III. När alla tre koefficienterna A, B', C äro noll, förvandlas eqvationen (4) till

{g — A)(8 — E){8 — C) = 0 och dess rötter äro A, B, C. När de äro olika, äro de motsvarande rigtningarnä bestämda och parallela med de tre koordinat-axlarna. Om A = B, motsvaras denna dubbla rot af alla med »y-planet parallela rigtningar. Är slutligen A = B = G, förvandlas eqvationerna (3) till identiteter och kordornas rigtning är fullkomligt obestämd. Alla rigtningar i rymden motsvara denna tredubbla rot.

Resultatet af hela denna undersökning är i korthet följande: E q v a t i o n e n af tredje graden i afseende på .<? har allt id tre reel la rötter . Mot hvar je enkel rot svarar en enda och bestämd r igtn ing ; mot en dubbe l ro t svara alla med ett plan paral le la r i g t ningar, mot en tredubbel rot alla r igtningar i rymden.

2 2 1 . i åt s, s' vara tvänne olika rötter till eqvationen af tredje graden samt l, TO, n och V, m\ n rigtningskosiner för motsvarande kordor; man har då i kraft af (2)

I Al + Cm + B'n = si, | Al' + Cm + B'n' = sT, Cl + Bm + Än = STO, Cl' + Bm + Än' = sm',

1 B'l + A'm+ Gn = sn, \ B'l'+ Am + Gn' = s'n'. Multipliceras de tre första eqvationerna i ordning med l', TO', n', de tre senare med l, TO, n och subtraheras derefter summan af de senare från summan af de förra, erhålles

(s — s')(W + m/m! + nn') = 0. Då nu s — s' icke är noll, emedan rötterna s och s' antogos vara olika, har man alltså

IV + TOTO' + nn' = 0. Häraf följer, att de r igtningar , som motsvara tvänne skilda rötter , äro vinkelräta mot hvar andra. För

248

samma orsak äro alla do rigtningar, som motsvara en dubbelrot, vinkelräta mot den, som motsvarar den tredje roten.

222 . Härmod är utrodt, att en yta af andra graden har åtminstone tre skilda system principal-kordor, som äro vinkelräta mot hvar andra. Det återstår att undersöka, huru det förhåller sig med principal-planerna, Eqvationen för ett sådant plan är

(9) s(lx + my + nz) + A" l + B"m + C"n = 0, såsom man finner, om man i diametral-planets eqvation (§ 210, (10)) för koefficienterna till x, y, g substituerar uttrycken (2). Mot hvarje rot s, som icke är noll, svarar således ett principal-plan.

Om en rot s försvinner, upphör principal-planet att existera eller förflyttas i det oändliga, så framt icke der jämte

A"l + B"m + G"n = 0. I sist nämda fall förvandlas eqvationen (9) till en identitet och principal-planets läge är obestämdt. Hvarje mot kordorna vinkelrätt plan kan då anses för principal-plan.

Det förtjenar anmärkas, att alla tre rötterna s ej kunna vara noll. För deras likhet erfordras nämligen, att Ä = B' = O " = 0 ; rötterna äro då A, B, G och om de alla skulle försvinna, vore ytans eqvation icke mera af andra graden. Hvarje yta af andra graden har således åtminstone ett principalplan.

223. Om se-axeln är parallel med ett system principal-kordor, så måste dess rigtningskosiner, som äro l = 1, m = 0, n — 0, satisfiera eqvationerna (3), hvilket endast då är möjligt, när B' och G' äro noll. Ytans eqvation är i detta fall befriad från de termer, som innehålla produkterna xy och xz. Den befrias följaktligen från alla tre produkterna xy, xz, yz, om koordinat-axlarna tagas parallela med de tre systemen principal-kordor, hvilkas tillvaro i det föregående blifvit bevisad. Man kan för öfrigt öfvertyga sig härom direkt genom koordinat-transformation.

Låt x, y', s' beteckna koordinaterna i ett nytt rätvinkligt system, hvars axlar äro parallela med de tre systemen

249

principal-kordor; låt vidare l, m, n och l\ TO', ri, samt l"y

m", n" föreställa cosinus för de vinklar, som axlarna för x' och y' samt z göra med de ursprungliga koordinat-axlarna; man har då

S6 = lx' + Vy' + l"z\ y = mx' + m'y' + TO'V, z = nx + n'y' + n"z'.

När dessa värden på y, z insättas i eqvationen (1) (§ 186), erhålles en eqvation af andra graden i afseende på y\ z\ i hvilken koefficienten för produkten 2x'y' är

AU' + Bmm' + Cnn' + A'(mn + m'n)+ B'(In' + Vn)+ C'(lm' + Vm).

Men om eqvationerna (2) (§ 217) adderas till hvar andra, sedan man multiplicerat den första af dem med V, den andra med TO', den tredje med n, finner man, att denna koefficient reduceras till

s(W + TOTO' + nn')] och då nu rigtningarna (l, TO, n) och (T, TO', n') äro vinkelräta mot hvar andra, blifver den samma lika med noll. Likaledes försvinna koefficienterna för 2x'z' och 2y'z' och den transformerade eqvationen antager således utseendet

Lx'* + My"1 + Nz" + 2L'x' + 2M'y' + 2N'z' + D = 0. Den i § 186 gjorda anticipationen är härmed rättfärdigad.

Koefficienterna L, Af, JV" hafva en anmärkningsvärd betydelse. Man finner till exempel

L=AP + Bm* + CV + 2Å'mn + 2B'ln + 207m. A andra sidan utvisa formlerna (2), om de multipliceras i ordning med l, TO, n och derefter adderas, att sist nämda expression är identisk med s(l'' + TO2 + w2), det är med s. Man har således B = s, d. v. s. L måste satisfiera den ku-biska eqvationen (5). Det samma gäller om M och JV och det är alltså härmed bevist, att koef f ic ienterna L, M, N utgöra de tre röt terna t i l l den kubiska eqvat i onen .

224. Principal-planernas genomskärningar med hvar andra få namn af axlar till ytan; hvarje sådan är parallel med ett system principal-kordor. För att finna de tre half-axlarna till en yta med medelpunkt, behöfver man derför

2 5 0

endast söka medelpunktsradierna i de tre hufvudrigtnin-garna. Om nu l, m, n bestämma en sådan rigtning, sammanfaller qvantiteten Q ( § 2 0 9 ) med en rot ,? och formeln för medelpunktsradien reduceras till

^ 2 + P O = 0,

der P 0 föreställer det värde, som funktionen P = A" x + B"y + C" z + D antager, när man föra*, y, z insätter medelpunktens koordinater. De tre halfaxlarnas qvadrater äro följaktligen

P P P

och ytans eqvation i afseende på dessa axlar blifver

sx* + «y + «v + P 0 = o, då s, s, s" beteckna de tre rötterna till den kubiska eqvationen.

225 . Diskussion af numeriska eqvat ioner . — Ti ega nu alla medel, som äro nödvändiga för att kunna bestämma don geometriska betydelsen af en gifven eqvation af andra graden. I främsta rummet har man att uppställa de tre medelpunktseqvationerna (§ 2 0 7 ) , hvilkas upplösning-utvisar, huruvida ytan har en, ingen eller oändligt många medelpunkter. När medelpunkt finnes, insättas dess koordinater i expressionen A"x + P>"y + G"z + D, hvar igenom den med P 0 betecknade qvantiteten erhålles. Äro medelpunkterna oändligt många, beräknas,P 0 på samma sätt för en af dem tagen efter' behag. Derefter uppställes den kubiska eqvationen (5 ) , hvars konstanta term A tillika är gemensam nämnare till do bråk, som uttrycka koordinaterna för medelpunkten. Den närmare bestämningen af ytans natur beror nu på beskaffenheten af de tre rötterna s, s', s" till denna eqvation.

Om A icke är noll, försvinner icke heller någon af de tre rötterna. Ytan har då en enda medelpunkt ocli dess eqvation i afseende på hufvudaxlarna blir

sx* + s y + s v + P 0 = 0. Om A är noll, försvinner äfven en, möjligen tvänne.

af rötterna s, s, s". Ytan har då, efter omständigheterna antingen ingen eller oändligt många medelpunkter. I förra

fallet kan dess eqvation bringas under formen sx2 + s'y2 = 2Hz,

i senare fallet förenklas den till sx2 + sy"- + P 0 = 0.

Vill man endast i allmänhet undersöka, hvad slags yta en gifven eqvation af andra graden representerar, utan att närmare bestämma dess-axlar eller parametrar, är det icke nödigt att i verkligheten upplösa den kubiska eqvationen, hvilket vanligen utgör den besvärligaste delen af räkningen. Det är nog att känna de tre rötternas tecken och för sådant ändamål behöfver man blott observera koefficienternas tecken i den kubiska eqvationen. Enligt Cartesii regel har nämligen denna eqvation lika många positiva rötter som teckenombyten och lika många negativa rötter som teckenföljder.

Följande schema leninar en öfversigt öfver de särskilda fall, som kunna förekomma vid diskussionen af en-numerisk eqvation af andra graden.

I. J > 0 .

Ytor med en enda medelpunkt. s , s', s" h a f v a a l l a s a m m a [

t e c k e n s o m P 0 : { I m a g i n ä r y t a .

a l l a m o t s a t t t e c k e n : J E l l i p s o i d .

en s a m m a , t v å m o t s a t t : { H y p e r b o l o i d m e d en m a n t e l ,

t v å s a m m a , e n m o t s a t t : J H y p e r b o l o i d m e d t v å m a n t l a r .

. s, s', s" h a f v a a l l a s a m m a (

p „ = 0 ; ! t e c k e n : J E n p u n k t .

s k i l d a t e c k e n : { K o n .

I I . Å = 0.

A. Ytor utan medelpunkt. ( D e t v å ö f r i g a h a f v a s a m m a I

E n r o t s \ t e e k e n . E l l i p t i s k p a r a b o l o i d .

P > 0 - 1 o ^ v

ä r n o l l ; o l i k a t e c k e n : { H y p e r b o l i s k p a r a b o l o i d .

T v å r ö t t e r g ä r o n o l l : { P a r a b o l i s k c y l i n d e r .

252

P > 0 -

E n r o t s

ä r n o l l ;

= 0;

B. Ytor med oändligt många medelpunkter. D e ö f r i g a r ö t t e r n a j

h a f v a b å d a s a m m a [ I m a g i n ä r y t a .

t e c k e n s o m P 0 : |

b å d a m o t s a t t t e c k e n : { E l l i p t i s k c y l i n d e r ,

s k i l d a t e c k e n : { H y p e r b o l i s k c y l i n d e r .

D e n t r e d j e r o t e n h a r j

T v å r ö t t e r s | s a i n m a t e c k e n s o m { I m a g i n ä r y t a .

ä r o n o l l ; | P 0 : |

m o t s a t t t e c k e n : j T v å p a r a l l e l a p l a n e r .

D e b å d a ö f r i g a h a f v a |

s a m m a t e c k e n :

i s k i l d a t e c k e n : ( T v ä n n e p l a n e r s o m s k ä r a

| h v a r a n d r a .

T v å r ö t t e r s ä r o » u l l : { E t t p l a n .

E n r o t s

ä r n o l l ;

E n r ä t l i n i e .

E x . 1. A t t f i n n a b e t y d e l s e n a f e q v a t i o n e n

7 x 2 + 6y2 + 5z2 — Ayz — Axy — 6 = 0 .

H ä r ä r o r i g o m e d e l p u n k t och Pa = — 6. D e n k u b i s k a e q v a t i o n e n b l i f v e r

( s — 7 ) ( s — (i) ( s — 5) — 4 ( s — 7 ) — 4 ( s — 5 ) = 0

e l l e r o r d n a d

s 3 — ISs" + 9 9 s — 1 6 2 = 0 .

D e s s r ö t t e r ä r o 3 , 6 , 9 ; y t a n ä r s å l e d e s en e l l i p s o i d , h v a r s e q v a t i o n i af

s e e n d e p å h u f v u d a x l a r n a , ä r

a r + 2yl + 3 z J = 2 .

E x . 2 . 5 x 2 — y2 + z2 + 6xy + Axy + 2x + Ay + 6 z — 8 = 0 .

M e d e l p u n k t s - e q v a t i o n e r n a ä r o

o x + 2y + 3z + 1 = 0 ,

2 x — y + 2 = 0 ,

o x + z + 3 = 0 .

D e n a n d r a a f d e m g i f v e r y = 2 x + 2 , d e n t r e d j e z = —- 3 x — 3 , h v i l k a

v ä r d e n , i n s a t t a i d e n f ö r s t a , r e d u c e r a d e s s v e n s t r a m e m b r u m t i l l — 4 . Y t a n

h a r a l l t s å i n g e n m e d e l p u n k t . D e n k u b i s k a e q v a t i o n e n b l i f v e r

s 3 — 5 s 2 — 1 4 s = 0

och d e s s r ö t t e r ä r o 0 , 7 , — 2 . Y t a n ä r s å l e d e s en h y p e r b o l i s k p a r a b o l o i d ,

i h v i l k e n d e p a r a b o l i s k a h u f v u d s n i t t e n s p a r a m e t r a r f ö r h å l l a s i g såsom 2: 7.

E x . 3 . 2x2 — Sy2 + z2 — 2yz + Axz — <ox — 2z = k. o

M e d e l p u n k t e n s k o o r d i n a t e r ä r o x = • —, y = — 1, z = + 3 . D e n k u b i s k a

e q v a t i o n e n

' — 1 2 s — 4 = 0

253

SJUNDE K A P I T L E T .

Allmän teori. Fortsättning.

T a n g e n t och tangentplan, pol och po larp lan .

226. Tangent till en yta i en punkt A är det gräns-läge, hvartill en rät linie, som går genom A och en annan punkt B på ytan, närmar sig, när B närmar sig till A, och som det uppnår, när båda punkterna sammanfalla, eller kortare: tangenten är en rät l in ie , som råkar ytan i två sammanfal lande punkter.

De punkter, i hvilka en rät linie i allmänhet skär en yta af andra graden, bestämmas genom formeln (5) sid. 232. Låter man här x0, ya, z0 beteckna koordinaterna för en punkt på sjelfva ytan, så försvinner V0 och ett värde på p är noll. Äfven det andra värdet på p försvinner och räta linien råkar ytan i två sammanfallande punkter, om man der jämte har

( 1 ) Xol + Yom+Zon = 0.

h a r t v å n e g a t i v a och en p o s i t i v ro t . . såsom C a r t e s i i r e g e l g i f v e r v i d h a n

d e n . M a n finner v i d a r e P 0 = ~ — k. Y t a n ä r s å l e d e s en h y p e r b o l o i d m e d

3 3 en m a n t e l , o m k<i^, en k o n , o m ^ = g-, en h y p e r b o l o i d m e d t v å m a n t l a r ,

o m fc>|.

E i . 4 . . r 2 + Sy- + fe2 + dxz ~2y — 7 = 0 .

2 2 M e d e l p u n k t e r n a ä r o o ä n d l i g t m å n g a och m a n f inner P 0 = — — . D e n

ö k u b i s k a e q v a t i o n e n

s 5 — 1 3 s 2 + 3 0 s = 0

h a r t i l l r ö t t e r 0 , 3 , 1 0 . D e n g i f n a e q v a t i o n e n f ö r e n k l a s a l l t s å t i l l

9a» 2 + 3 0 / = 2 2

och f ö r e s t ä l l e r en e l l i p t i s k c y l i n d e r .

254

När detta vilkor uppfylles, är således den i rigtningen (l, TO, n) genom punkten (*0, y0, z0) dragna räta linien tangent till ytan.

Eqvationen ( 1 ) utvisar, att tangeringspunkten (xa, y0, zQ) är belägen i diametral-planet till de med tangenten parallela kordorna. Om man således genom alla punkter på den koniska sektion, som utgör afskärningslinie mellan ytan och ett diametralplan, föreställer sig räta linier dragna parallelt med motsvarande kordor, så blifva alla dessa linier tangenter till ytan och bilda en cylinder, som berör ytan längs nyss nämda koniska sektion.

Är der imot tangeringspunkten gifven, blifver tangentens rigtning till en viss grad obestämd, emedan oändligt många system af värden på l. m, n finnas, som uppfylla vil-koret (1). Detta vilkor uttrycker nämligen endast, att tangenten är vinkelrät mot en viss rät linie, hvars rigtningskosiner äro proportionella mot Xa, Y0, Z0. Genom en punkt på ytan kunna derför oändligt många tangenter dragas, hvilka alla äro vinkelräta mot en och samma räta linie och således bilda ett plan*). Detta plan benämnes tangerande plan och den genom tangeringspunkten vinkelrätt der imot dragna räta linien kallas normal till ytan.

Vi veta redan, att normalens rigtningskosiner förhålla sig såsom Xm Y0) Z0; ytans normal i punkten (xD, yQ, zc) kan derför representeras genom formeln

(2) x ~~ x°=y~~y°= X0 YQ ZQ

Eqvationen för det tangerande planet i samma punkt, hvilket, såsom nämdes, är vinkelrätt mot normalen, blifver

Xa (x — x0) + Y0 (y — y0) + Za{z — z0) = 0. Men då (*0, y0, zQ) är en punkt på ytan, har man äfven ?7o = 0, det är

X0x0 + Yoy0 + Z0zQ + P0 = 0, hvilken eqvation adderad till den föregående gifver

* ) I h ö g r e a n a l y s e n l ä r e s , a t t d e n n a e g e n s k a p , s o m h ä r h l i f v i t b e

v i s a d e n d a s t f ö r y t o r a f a n d r a g r a d e n , t i l l k o m m e r a l l a y t o r i g e m e n .

255

. (3) Xox+Yoy + Zoz + Po = 0. Sådan är under dess enklaste form eqvationen för det plan, som tangerar ytan i punkten (se0, y0, z0).

227 . En anmärkningsvärd egenskap hos denna eqvation är, att don icke undergår någon förändring, om x, y, z förvexlas med x0, y0, z 0, d. v. s. att man har identiskt

(4) X0x + Y0y + Zaz + P0 = XxQ 4- Yy0 + Zz0 + P; hvardera af de expressioner, som här jämföras, antager nämligen, fullständigt utvecklad, den i afseende på se, y, z och x o ) 2/oi » o symmetriska formen

isese0 + Byy0 + Czz0

+ A'(yz0 + y0z) + B'(xzQ + xQz) + G'(xya + xay) + A"(x + xa) + B"(y + ya) + C"(z + z0) + B.

Vigten af denna anmärkning visar sig i det följande. 228, Tangerande planet t i l l en yta af andra

graden är kon jugeradt med den diameter, som går genom tanger ingspunkten .

Låt xt, y1, z1 för ett ögonblick beteckna medelpunktens koordinater; diameterns rigtningskosiner äro då proportionella mot se 0 —x 1 , yQ — y^ zQ — z1 och det konjugerade diametral-planets eqvation blir enligt § 210

X(x0 — sej + Y(ya — V l + Z)(z0 — z1) = 0 eller

Xx0 + Yy0 + ZzQ + P = Xse1 + YVl + Zz, + P. Såsom nyss anmärktes, får man här förvexla se, y, z med x o i Voi z o i venstra membrum och för samma orsak med x n Vn g i i högra membrum; sist nämda formel kan derför äfven skrifvas

XQx + Y0y + -Z0z + P 0 = A > +Yly + Z1z + P1. Men då se y1, z1 äro medelpunktens koordinater, måste de samma satisfiera eqvationerna Xt = 0, Yl = 0, Z1 = 0; vår formel reduceras här igenom till

X0x + Yay + Z0z + P0 — P1 = 0, hvilken eqvation alltså föreställer konjugat-diametralplanet till den diameter, som går. genom punkten (se0, y0, z0). Då se, y, z här hafva samma koefficienter som i eqvationen (3), är tangerande planet parallelt med nämda diametralplan.

256

229. Poler och polarplan. — Tvänne punkter A, B kallas po ler till en yta af andra graden, om de äro harmoniska med de punkter O, Z>, i hvilka deras samnian-bindningslinie skär ytan, nämligen så, att A och B utgöra det ena, C och D det andra paret konjugerade punkter. Betecknas afstånden från punkten A till punkterna B, O, D i ordning med r, p \ p " , hvarvid dessa afstånd anses positiva åt en viss sida om A, men negativa åt den motsatta sidan, så utgör r harmonisk medelproportional mellan p och p" och man har

2 1 1

- = A + V ) . v p p

Antagom nu, att xOJ i/0, zQ äro koordinater för punkten A samt <!, m, n rigtningskosiner för räta linien AB; denna linie representeras då genom formlerna (4) sid. 231 och dess afskärningar med ytan bestämmas genom eqvationen (5), hvars rötter i närvarande fall äro p och p " . Men om denna eqvation divideras med o 2 , hvar igenom den blifver

U0 (- V + 2 (Xal + Y > + Z0n)- + . .. = 0, W P

äro — och — rötter till denna transformerade eqvation och P P

man har följaktligen 2 = 1 l_ = 2(Xal+Y0m + ZQn) r p p" V0

hvaraf r(XJ + Y0m + Z0n) + B0= 0.

* ) R i g t i g h e t e u h ä r a f i n s e s o m e d e l b a r t , n ä r A f a l l e r u t o m och B inom

v t a n , s å a t t p u n k t e r n a f ö l j a p å h v a r a n d r a i o r d n i n g e n A, G, B, D; m e n

s a t s e n g ä l l e r ä fven i d e n m o t s a t t a , h ä n d e l s e n , e l l e r oin p u n k t e r n a f ö l j a p å

h v a r a n d r a i o r d n i n g e n B, C, A, D. T y a n t a g e s t i l l e x e m p e l r i g t n i n g e n

AB fö r p o s i t i v , s å ä r AB = r, AC = p', AD = — p", h v a r a f BC = r—p, BD = r—p". D å n u AC : AD = BC-.BD, s å ä r ä f v e n

p : — p = r — p : r — p"\ h v a r a f p [>' — p"] + p" [>• — p'] = 0, det ä r r [p + p"}- 2p'p", e l l e r

JL - 1 + 1 r p p"'

257

Betecknas koordinaterna för punkten B med xt, yx, zv så är rl = xx — x0, rm = yl — y0, rn = zt — z0 och föregående eqvation blifver

Z 0 (xx — x0) + Ya (Vl — y0) + Za (a, — e0) + Uo = 0. Insätter man här för UQ dess värde X0xQ + Y0y0 + Z0za + P 0 , erhålles slutligen

2^B 1 + R o y l + 5 f o a 1 + P o = 0. Sådant är det analytiska vilkor, hvar igenom betingas, att punkterna (se0, y0, z0) och (»,, yx, z j äro harmoniska poler till ytan.

Om den ena polen (x0, yQ, z0) är gifven eller tagen efter behag, kan den andra vara hvilken punkt som helst, hvars koordinater satisfiera eqvationen

(5) Xox+Yoy + Zoz + P0 = 0, som är af första^ graden i afseende på se, y, z och således representerar ett plan. Man kallar detta plan po larp lan till punkten (#„, ym a0), hvilken åter kallas po l till planet (5). Med polarplan till en gifven punkt förstås således orten för dess pol, eller, med andra ord, orten för den fjerde harmoniska punkten på de genom den gifna punkten dragna kordorna.

Man bevisar på samma sätt som i § 228, att p o l a r -p lanet t i l l en g i fven punkt är kon jugeradt med den diameter, som går genom punkten. Alla punkter på samma diameter hafva följaktligen parallela polarplaner, och alla parallela planer hafva sina poler i en rät linie, som är den med planerna konjugerade diametern.

230. Eqvationerna (3) och (5) äro till formen identiska och det har redan blifvit anmärkt, att denna form är symmetrisk i afseende på se, y, z och se0, ya, za. Man kan derför låta koordinaterna vexla betydelse, så att (*, y, z) utmärker polen A samt (xm y0, z0) någon punkt B i polar-planet, och eqvationen (5) fortfar icke dess mindre att ega bestånd. Den utvisar då, att, om punkten B är gifven, orten för A är ett plan, nämligen polarplanet till B. Polerna till alla planer, som gå genom B, äro följaktligen belägna i polarplanet till denna punkt, eller med andra ord:

Lin de lä/, Geometri. 1 7

258

Om ett plan vrider sig omkring en punkt, så beskr i fver dess po l ett plan, som är polarplan t i l l punkten.

Låter man x, y, z och a*c, y0, z0 ännu en gång voxla betydelse, så ser man, att om A är hvilken punkt som helst i det plan, hvars pol är B, dess polarplan går genom B, eller annorlunda uttryckt:

Om en punkt rör sig i ett plan, vr ider sig dess polarplan omkring en punkt, som är pol till det först nämda planet.

231 . Hvarje punkt har sitt polarplan, hvars läge i anseende till ytan af andra graden är beroende af punktens läge. Om A är en punkt på sjelfva ytan af andra graden och B en af dess poler, så faller en af .de punkter C, D, i hvilka räta linien AB skär ytan, till sammans med A; den andra måste derför äfven sammanfalla med A, emedan de båda punktparen A, B och C, D äro harmoniska. Linien AB, hvilken nu råkar ytan i tvänne sammanfallande punkter, är således en tangent; och då B kan vara hvilken punkt som helst i polarplanet till A, måste alla räta linier, som i detta plan dragas genom A, vara tangenter till ytan; följaktligen tangerar planet ytan i punkten A. Alltså:

Polarplanet t i l l en punkt på s jel fva ytan af andra graden tangerar ytan i samma punkt; om-vändt sammanfaller polen ti l l ett tangerande plan med sjelfva tangeringspunkten.

I öfverensstämmelse med hvad vi redan funnit, framgår häraf, att om xa, y0, z0 äro koordinater för en punkt på ytan, eqvationen (5) eller (3) föreställer tangerande planet i samma punkt.

Antager man åter, att A är en gifven punkt utom ytan och B någon punkt på ytans afskärning med polarplanet till A, finner man liksom i föregående händelse, att linien AB är en tangent till ytan. Låter man nu punkten B röra sig efter nämda afskärningslinie, så be-

259

skrifver AB en kon, som tangerar ytan längs samma linie. Kortligen:

Om man från en gi fven punkt drager t a n g e n t e r till en yta af andra graden, så är orten för tange-r ingspunkterna en konisk sektion, hvars plan utg ö r polarplan till den gifna punkten. Orten för de tangerande linierna är en tangent kon.

Hvarje plan sektion af ytan kan anses såsom berö-ringslinie för en tangentkon, hvars spets är pol till sektionens plan. Om sektionen vrider sig omkring en punkt, beskrifver könens spets ett plan, som är polarplan till punkten; rör sig könens spets i ett plan, så vrider sig berörings-liniens plan kring en punkt, som är pol till det först nämda planet.

232. Om polarplanet till en punkt faller i det oändliga, mås'.o donna punkt halfvera alla genom den samma dragna kordor och således utgöra medelpunkt till ytan. lian kan derför definiera medelpunkten såsom p o l t i l l .ett oändl igt aflägset plan.

Om åter polen är oändligt aflägsen, blifva alla der-ifrån utgående kordor till ytan parallela och på hvarje sådan körda ligger den fjerde harmoniska punkten midt imellan de båda afskärningarna med ytan. Polarplanet till den oändligt aflägsna punkten halfverar följaktligen alla parallela kordor, som äro rigtade mot denna punkt. I enlighet härmed kan man i allmänhet betrakta ett diametralplan såsom po larp lanet t i l l en oändl igt af lägsen punkt, nämligen till den punkt, mot hvilken de motsvarande parallela kordorna kunna anses rigtade.

I sist nämda fall, det är när polen är oändligt aflägsen, förvandlas den derifrån utgående tangentkonen till en tangent-cyl inder , som berör ytan utefter dess afskärning med diametralplanet till de med cylinderns alstringslinier parallela kordorna (Jämf. § 226).

233. Rec iproka polarer . — Låt AB vara en rät linie, tagen efter behag, P och Q tvänne genom den samma.

260

lagda planer samt A' och B' polerna till dessa planer. Hvarje punkt på linien AB tillhör på en gång planerna P och Q; dess polarplan går derför genom de båda polerna A' och B', det är genom linien A'B'. För samma orsak hafva omvändt alla punkter på linien A'B' polarplaner, som skära hvar andra i en och samma räta linie; och som P, Q äro tvänne sådana polarplaner, måste sist nämda afskär-ningslinie tydligen vara linien AB. Härmed är följande teorem bevisadt:

Om en punkt rör sig efter en rät l inie AB, vri der sig dess polarplan omkring en annan rät l inie A'B', och om en punkt rör sig efter den senare l inien, vr ider sig dess polarplan omkring den förra.

De båda räta linierna AB, A'B' kallas rec iproka po larer. Deras hufvudegenskap är, att hvarje punkt på den ena af dem är harmonisk pol till hvarje punkt på den andra. Häraf följer omedelbart, att hvarje rät l inie, som råkar tvänne rec iproka polarer, skares af dessa och af ytan i fyra harmoniska punkter.

Alla punkter på en rät linie AB hafva, såsom vi sett, polarplaner, som gå genom den reciproka polaren A'B'. Bland dessa punkter märka vi företrädesvis trenne, nämligen liniens båda afskärningspunkter med ytan samt en oändligt aflägsen punkt i liniens rigtning. Polarplanerna till de först nämda två punkterna sammanfalla med de tangerande planerna i samma punkter; polarplanet till den oändligt af-lägsna punkten är åter det samma som diametralplanet till de med linien AB parallela kordorna. Häraf framgå följande tvänne satser:

Afskärnings l in ien mellan tvänne tangerande planer t i l l en yta af andra graden är r e c ip rok po lar t i l l den räta l inie, som sammanbinder tanger ings -punkterna.

Den rec iproka polaren til l en rät l inie AB l ig ger i det med r ig tn ingen AB konjugerade diametralplanet.

261

Låt G vara den punkt, der linien AB skär det kon-jugerade diametral-planet. Betraktar man den koniska sektion, i hvilken sist nämda plan skär ytan, och föreställer sig räta linier dragna genom G till särskilda punkter på den reciproka polaren, så inser man, att alla dessa räta linier blifva harmoniskt skurna af koniska sektionen. Den reciproka polaren till AB är derför polar till punkten G med afseende å nämda koniska sektion.

ÅTTONDE K A P I T L E T .

Tillämpning af den allmänna teorin på speciella ytor af andra graden.

E l l i p s o i d e n .

234. Tangent- och diametral -plan. — Om ellipsoidens eqvation

« 2 V 2 ^

a b c jämföres med den allmänna eqvationen af andra graden, finner man, att de med X, Y, Z, P betecknade funktionerna (§ 205) erhålla följande värden

TT — X V—V 7 — S P — 1

Eqvationen för det plan, som tangerar ellipsoiden i en punkt, hvars koordinater äro z\ y\ z', blifver följaktligen (§ 226)

(2) ^ + ^ + ^ = 1. a b c

Enligt § 210 erhålles åter för diametral-planet till de kordor, hvilkas rigtningskosiner äro Z, TO, TO, eqvationen

,., lx TOM nz (3) ^ + - T | + ^ = 0. a b c Hvarje plan, som går genom medelpunkten, är ett dia

metral-plan; ty om dess eqvation

262

Ax + By + Gz = O identifieras med den näst föregående, finner man

. I m 11 { ) Aa^^Bb^C?1

hvar igenom rigtningen bestämmes af de kordor, som planet halfverar.

235. Konjugat-diametrar . — Hvarje diametralplan skär ellipsoiden i en sluten kroklinie af andra graden, således i en ellips. Tvänne konjugat-diametrar till en sådan ellips, tagna efter behag, bilda jämte den diameter, som är konjugerad med diametral-planet, ett system konjugat-diametrar till ellipsoiden (§ 215). De äro alla reel la, det är verkligen begränsade af ytan. Tager man tre konjugat-diametrar till axlar för ett nytt (snedvinkligt) koordinatsystem fjyC blifver ellipsoidens eqvation af formen

(5) 5+£+?= 1-Ty då de kordor, som äro parallela med en koordinat-axel, halfveras af det plan, som innehåller de båda öfriga, måste eqvationen, upplöst i afseende på hvilken som helst af koordinaterna f, q, C, alltid gifva tvänne lika stora värden med motsatta tecken, hvaraf följer, att eqvationen endast kan innehålla koordinaternas qvadrater jämte en konstant term. Härtill kommer, att koefficienterna för de tre qvadratiska termerna i venstra membrum måste alla hafva samma tecken som den konstanta termen i det högra, emedan några koor-dinat-axlars afskärningar med ellipsoiden eljest blefve imaginära, hvilket är omöjligt. Ellipsoidens eqvation i afseende på ett system konjugat-diametrar är således af samma form som dess eqvation i afseende å hufvudaxlarna.

Ytan skär axlarna för f, RJ, C på afstånden ± «, ± ft, ± Y från origo; «, /?, Y beteckna således här de radier eller halfdiametrar, som falla i rigtningarna af de tro koordinat-axlarna.

236. Mellan rigtningarna af tro konjugat-diametrar OD, OD', OD" förefinnes ett inbördes samband, som vi' nu

263

gå att utreda. Låt l, m, n vara rigtningskosinerna för den första, V, TO', n' för den andra, /", TO", n" för den tredje diametern. Det plan, som halfverar de med den första diametern parallela kordorna, har till eqvation (3)

Ix my nz - . + T v + - = 0 ,

a b' t:' och då detta plan bör innehålla den andra diametern, är

//' mm' nn' - 1 + -TiT + - I " = 0. a b c

Man har alltså de tre relationerna IV mm nn

+ + .-' II" mm" nn" - + - T , - + - I - = 0,

VI" m'm" n'n" a b' c.

Den första är liktydig med det vilkor, att OD och OD' äro konjugat-diametrar till den sektion, hvars plan genom dem bestämmes; den andra och tredje uttrycka, att det samma gäller om OD och OD" samt om OD' och OD".

237. Summan af qvadraterna af tre konjugat-diametrar är konstant. — Denna sats bevisas lätt med stöd af motsvarande teorem angående ellipsen. Låt 2«, 2,>3, 2y vara tre konjugat-diametrar till ellipsoiden. I den ellips, hvars plan innehåller diametrarna 2«, 2/?, kunna vi välja två andra konjugat-diametrar 2a', 2/3' sålunda, att den ena, 2a', utgör planets genomskärning med »y-planet. Enligt § 58 är då as-r-/9a. = « " + / ? " och följaktligen a 2 + /? 2 + f = rP + /3 ' 2 +/- 2 . Vi hafva då ett 'nytt system konjugat-diametrar till ellipsoiden, nämligen 2a', 2/9', 2j, hvilkas qvadratevs summa är lika med summan af de gifna diametrarnas qva-drater och af hvilka en, 2a', ligger i »y-planet. Uti den sektion, som innehåller de båda öfriga, kan man åter i stället för 2/?', 2y välja två andra konjugat-diametrar 2 3", 2y sålunda, att en af dem, 2/3", der jämte ligger i sy-planet. Man har då ett tredje system konjugat-diametrar 2a', 2/3", 2f, af hvilka dc två första äro belägna i .-»//-planet, som är

264

ett principal-plan; den tredje måste alltså.vara vinkelrät der imot och sammanfalla med axeln 2c. I stället för 2«', 2yJ" kan man slutligen välja axlarna 2a, 26, som äfven utgöra tvänne konjugat-diametrar i »y-planet, och man har sålunda successift öfvergått från systemet a, /?, y till det rätvinkliga systemet a, b, c utan förändring af qvadraternas summa. Alltså är

a2 + fi2 + y2 = a2 + b2+c\ På samma sätt kan man, stödjande sig på § 59, bevisa,

att den paral le l ipiped, som konstrueras på tre konjugat -d iametrar , är konstant. Då man t. ex. öfvergår från systemet a, # y till systemet d, /?', y, förändras icke parallelipipedens volym; ty de båda parallelipipederna hafva samma höjd och lika stora baser, nämligen de parallelogram-mer, som uppritas på diametrarna 2a, 2/9 och 2d, 2/J'.

238. Cirkelformiga sektioner. — Af den allmänna undersökningen i § 216 framgår, att alla parallela sektioner af en ellipsoid äro likformiga ellipser med lika rigtade axlar, och hvilkas medelpunkter befinna sig på den med sektionerna konjugerade diametern. Då vi nu gå att undersöka läget af de cirkelformiga sektionerna, är det derför tillräckligt att betrakta planer, som gå genom medelpunkten.

Om ett sådant plan skär ytan i en cirkel, måste cirkelns medelpunkt sammanfalla med ellipsoidens och cirkeln kunna betraktas såsom afskärningslinie mellan ellipsoiden

x2 y 2 s

2

a2 + V+72^ och en viss dermed concentrisk sfer

x2 y2 z2

1- — 4 = 1

Ur de båda anförda eqvationerna härledes genom subtraktion

Detta är eqvationen för en kon, som har sin spets i origo samt går genom sferens och ellipsoidens afskärningslinie. I den händelse, hvarom fråga är, måste könen reducera sig till en, eller rättare tvänne planer, hvilket ej kan ske annor-

265

lunda, än att koefficienten för någon af de tre qvadraterna « 2 , i / 2 , Ä2 försvinner, det är att r blifver lika med någon af halfaxlarna a, 6, c. Antagom, att a > 6 > c ; r kan då icke vara lika med a, icke heller med c , emedan könen i hvardera fallet blefve imaginär; man har derför nödvändigt r = br

hvar igenom näst föregående eqvation förvandlas till

(6) X\b2~c72)~Z\l2~l>2\ föreställande nu tvänne planer, som gå genom i/-axeln och hvars afskärningar med ellipsoiden äro cirklar.

Häraf följer, att ellipsoiden har tvänne serier cirkelformiga sektioner, hvilkas planer äro parallela med den till storleken mellersta af ellipsoidens axlar. De yttersta planerna i hvardera serien tangera ellipsoiden i punkter, hvilka kunna betraktas såsom försvinnande cirklar och derför lämpligen benämnas c irkelpunkter (ombilics). De äro fyra till antalet och sammanfalla med ändpunkterna af de två diametrar, som äro konjugerade med de båda serierna cirkelformiga sektioner.

Koordinaterna xa, ya, za för en cirkelpunkt kunna äfven bestämmas genom det vilkor, att det tangerande planet (2),

, yyo -i

a* + ~V c 2

i en sådan punkt är parallelt med någondera af de planer, som eqvationen (6) representerar; deraf erhålles nämligen omedelbart

a2' V c eller

r 2 v 2 z 2 *o lo zo

b2 c2 1 a2 —b2 0 b2

och således , \/a% — b2 , , \fb2—c2

hvarvid de fyra kombinationer, som kunna göras med tecknen för xQ och z 0 ) motsvara de fyra cirkelpunkterna. Alla.

266

dessa punkter äro belägna i det hufvudplan, som innehåller den största och den minsta axeln, och hafva ett symmetriskt läge i anseende till dessa axlar.

När ytan är en rotations-ellipsoid, sammanfalla de båda serierna cirkelsektioner och blifva vinkelräta mot rotationsaxeln.

Könen, 239- Hvarje yta, som är beskrifven af en rät linie,

hvilken rör sig i rymden efter någon gifven lag, har nödvändigt den egenskapen, att det tangerande planet i hvilken punkt som helst A af ytan innehåller den alstringslinie AL, som går genom denna punkt. Ty enligt dess definition måste det tangerande planet innehålla alla de räta linier, som gå genom A och de oändligt nära der omkring belägna punkterna på ytan, och en sådan linie är AL. Häraf följer likväl icke, att planet tangerar ytan utefter hela linien AL; skilda punkter på denna linie kunna nämligen hafva olika tangerande planer, ehuru de alla skära hvar andra längs samma räta linie. De ytor, som beskrifvas af räta linier, kallas med gemensamt namn r e g e l - y t o r (surfaces reglées).

Låt Ä vara en punkt, belägen oändligt nära A, men på en annan alstringslinie A'L'; det i A tangerande planet, som, enligt hvad nyss nämdes, går genom linien AL, måste tillika innehålla punkten A', hvar igenom planets rigtning blir fullkomligen bestämdt; det innehåller således äfven alstringslinien A'L', om denna ligger i samma plan med AL. I sådant fall blifver det tangerande planet det samma för alla punkter af linien AL. De regel-ytor, på hvilka två successiva alstringslinier alltid äro i samma plan, kallas deve-loppabla, emedan de kunna utvecklas i ett plan. En de-veloppabel yta har alltså den egenskapen, att hvarje tangerande plan berör ytan utefter en rät linie och kan betraktas såsom innehållande tvänne successiva alstringslinier.

Till sist nämda slag af ytor höra de koniska, hvilkas alstringslinier gå genom en punkt, och do cylindriska, hvilkas alstringslinier äro parallela med hvar andra; hos hvar-

267

dera af dessa ytor måste nämligen hvilka två alstringslinier som helst alltid ligga i samma plan. En cylinder kan för öfrigt betraktas såsom en kon med oändligt aflägsen spets.

240. Efter dessa allmänna anmärkningar vända vi vår uppmärksamhet särskildt till den koniska ytan af andra graden, hvars eqvation är

(!) ~* + 'h—i = °-a o c

Eqvationen för det plan, som tangerar könen i punkten («', y', z), är

Då denna eqvation icke undergår någon förändring, om man i stället för x''y\ z insätter koordinaterna för hvilken punkt som helst på räta linien

x y z x' y' z '

så besannas här igenom den ofvan uttalade satsen, att planet tangerar könen längs en alstringslinie.

Föreställer man sig ett plan lagdt genom könens spets, kunna tre fall inträffa: l:o planet kan råka ytan i en enda punkt, eller 2:o tangera henne utmed en rät linie, eller 3:o skära henne i tvänne räta linier. Hvarje dermed parallelt plan skär ytan i en konisk sektion, som i det första fallet tydligen blifver en ellips, i det andra en parabel, i det tredje en hyperbel.

Diametralplanet till de kordor, hvilkas rigtningskosiner äro l, TO, n, har till eqvation

Ix my nz _

Låt OD vara en med kordorna parallel diameter. Om OD faller inom könen, gå kordorna från könens ena mantelyta till den andra; diametralplanet befinner sig då mellan dessa ytor och råkar könen endast i dess spets. Faller OD utom könen, så befinna sig kordorna inom den samma och diametralplanet skär könen i tvänne räta linier. Om slutligen OD sammanfaller med en alstringslinie till könen, råkar

268

hvarje körda könen i en enda punkt och diametralplanet upphör att existera i egentlig mening. Men föregående eqvation representerar då icke dess mindre ett verkligt plan, som tangerar könen utefter linien OD. Ty om Z, TO, n beteckna rigtningskosinerna för denna linie och y\ z' koordinaterna för en punkt på den samma, har man

x' II' z' l TO n"1

eqvationen (3) för diametralplanet sammanfaller följaktligen med eqvationen (2) för det tangerande planet i punkten

Genom en punkt P utom könen kunna tvänne tangerande planer dragas, hvilka skära hvar andra längs diametern OP samt beröra könen längs tvänne räta linier. Det plan, som går genom sist nämda linier, är polarplan till P (§ 231) och således konjugeradt med diametern OP (§ 229). Eftersom det der jämte går genom medelpunkten, utgör det följaktligen sjelfva diametral-planet till de med OP parallela kordorna. När P är en punkt på könen, sammanfalla de båda tangerande planerna med sjelfva diametralplanet. Befinner sig punkten P inom könen, så kan dess polarplan, det är diametralplanet till OP, betraktas såsom orten för de diametrar, hvilkas konjugerade diametralplaner gå genom OP.

Hyperboloiderna.

2 4 1 . Dessa ytor inbegripas under den gemensamma eqvationen

hvilken för Å = 1 föreställer en hyperboloid med en mantel, för A — — 1 en hyperboloid med två mantlar samt för Å = 0 asymptot-konen till dem båda,

Eqvationen för det plan, som tangerar en af dessa ytor i punkten («', y\ z'), är

269

(2) xx' yy' zz

För diametral-planet till de kordor, hvilkas rigtnings-kosiner äro l, m, n, har man eqvationen

Då denna eqvation är oberoende af parametern X, kan man häraf draga den vigtiga slutsats, att alla tre ytorna hafva gemensamma diametral-planer för lika rigtade kordor och således äfven gemensamma kon jugat -d ia metrar.

Om de tre ytorna skäras af ett plan, uppkomma tre koniska sektioner, hvilka äro så beskaffade, att de parallela kordor, som dragas inom dem i hvilken rigtning som helst, halfveras af samma diametral-plan, således af samma räta linie. Man härleder häraf, liksom i § 216, att de tre sektionerna äro likformiga och hafva samma medelpunkt samt lika rigtade axlar. I händelse afskärningarna äro parabler, äro de kongruenta med hvar andra; ty då diametrarna till parallela kordor sammanfalla, hafva de tre parablerna icke blott gemensam axel, utan äfven gemensam diameter för de kordor, som göra 45 graders vinkel mot axeln; men denna diameter går genom parametrarnas ändpunkter; följaktligen hafva de äfven lika stora parametrar.

För att lära känna beskaffenheten af afskärningslinien mellan en hyperboloid och ett plan, behöfver man således endast undersöka asymptot-konens afskärning med samma plan. Då härtill kommer, att parallela sektioner äro likformiga, kan man inskränka sig till betraktande af planer, som gå genom medelpunkten. Hvad ofvanför blifvit sagdt om könen, gäller alltså äfven om de båda hyperboloiderna, att nämligen sektionen är en ellips, parabel eller hyperbel, allt efter som det parallela diametral-planet råkar könen i en punkt, i en rät linie eller i tvänne räta linier.

242 . Cirkel formiga sektioner . — Samma resonne-ment, hvar igenom vi bestämde cirkelsektionerna hos ellipsoiden, utsträckes med lätthet till hyperboloiderna och

(3)

270

könen. Betrakta vi särskildt hyperboloiden med en mantel, så finna vi liksom i § 238, att det diametralplan, som skär ytan i en cirkel, måste gå genom en af axlarna. Det kan icke gå genom halfaxeln c , emedan afskärningen då blefve en hyperbel, icke heller genom den mindre af halfaxlarna a, b, emedan resultatet i sådant fall blefve imaginärt. Planet måste således gå genom den större axeln till strup-ellipsen.

Låt 2a vara denna axel. Beskrifver man omkring origo såsom medelpunkt en sfer med radien a, så skär denna hyperboloiden i tvänne cirklar, hvilkas planer gå genom »-axeln och hafva ett symmetriskt läge i anseende till de öfriga axlarna.

Tvänne serier af planer, som äro parallela med de nyss nämda, bilda såväl med de båda hyperboloiderna som med könen cirkelformiga afskärningar. De fyra punkter, i hvilka planerna tangera hyperboloiden med två mantlar, kallas e irkelpunkter . Hyperboloiden med en mantel har der imot ingen cirkelpunkt.

När ytan är en rotations-hyperboloid, sammanfalla båda serierna cirkelsektioner och blifva vinkelräta mot rotationsaxeln.

243. Konjugat -d iametrar . — Hvarje diameter OP, som icke är en alstringslinie till könen, motsvaras af ett konjugeradt diametralplan, som skär den yttro hyperboloiden antingen i en ellips eller i en hyperbel. Tvänne konjugat-diametrar OD', OD" till ellipsen eller hyperbeln bilda jämte OD ett system konjugat-diametrar icke blott till nämda hyperboloid, utan äfven till könen och den inre hyperboloiden.

Tager man tre sådana diametrar till axlar för ett nytt (snedvinkligt) koordinatsystem $, rj, C och transformerar eqvationen (1), i det man för x, y, z insätter lineära uttryck af formen

* = +l'vj +Z"C, y = m f + m'iy4- m"C, z = + n'rj + n" C,

erhåller man en eqvation mellan c, rj, C, i hvilken endast

termer af andra graden förekomma jämte den konstanta termen /, som förblifver orubbad. I denna eqvation måste dess utom koefficienterna för produkterna 67, ?C, 7 försvinna, emedan eqvationen, upplöst i afseende på hvilken som helst af koordinaterna, bör gifva tvänne lika stora värden af motsatta tecken. Den antager således följande utseende:

A? + Bj1t + C? = A.

Man märker vidare, att koefficienterna A, B, G ej kunna alla hafva samma tecken, emedan eqvationen då skulle föreställa en ellipsoid, en punkt eller ingenting. En af dem måste derför hafva motsatt tecken mot de öfriga; antager man, att det är C, erhålles för hyperboloiderna en eqvation af formen

i-2 „'2 >•* A JI' 7-

under det asymptot-konens eqvation blifver

*2 2 r2

I den förra af dessa eqvationer hör det öfra tecknet till den yttre och det nedra till den inre hyperboloiden, såsom man omedelbart ser af genomskärningen med fiy-planet. Hyperboloidernas och könens eqvationer äro således af samma form, antingen de hänföras till hufvudaxlarna eller till hvilket system som helst af konjugat-diametrar. Af konjugat-diametrarna till en hyperboloid med en mantel äro två reella och on idool; hyperboloiden med två mantlar har der imot alltid en reel och två ideella konjugat-diametrar.

244. Vi äro nu i tillfälle att närmare undersöka de nämda ytornas plana sektioner. Om det skärande planet är parallelt med äro de tre ytornas sektioner likformiga ellipser med lika rigtade axlar och gemensam medelpunkt, belägen på C-axeln. Sektionen af hyperboloiden med två mantlar blifver imaginär, om C<J*, och reduceras till en punkt, om C= ± T, i hvilket fall planet tangerar ytan. Planet f f skär de båda hyperboloiderna i tvänne konjugat-hyperbler och könen i tvänne räta linier, som äro asymptoter till dem. De med parallela sektionerna af de tre

272

ytorna äro hyperbler med parallela axlar och asymptoter, och hvilkas medelpunkter ligga på jy-axeln.

Bland sist nämda sektioner betrakta vi särskildt dem, som tillhöra hyperboloiden med en mantel och som representeras af eqvationen f2 C RF

För hvarje gifvet värde på TJ föreställer denna en hyperbel, hvars asymptoter äro parallela med de räta linier, i hvilka fC-planet skär asymptot-konen. När RJ tillväxer från 0, minskas hyperbelns axlar, tills de, för Y = fl, försvinna och sektionen reduceras till tvänne räta linier. Planet tangerar då ytan i ändpunkten af diametern fl. När 7J ytterligare ökas och blifver >/?, förändrar högra membrum tecken och hyperbelns axlar vexla betydelse; den, som förut var reel, blifver imaginär och tvärt om; men asymptoterna bibehålla samma rigtning som förut. Hyperbeln flyttar sig då ifrån de asymptot-vinklar, som man med afseende å könen kunde kalla de yttre, till de inre eller supplementar-vinklarna. Denna öfvergång förmedlas, såsom vi sett, af det tangerande planet, som råkar ytan i tvänne räta linier.

En sådan omkastning eger icke rum hos hyperboloiden med två mantlar; de med fC parallela hyperboliska sektionerna af denna yta reduceras aldrig till räta linier.

245. Hvad hittills blifvit anfördt, gäller om de ellip-tiska och hyperboliska sektionerna i allmänhet, emedan intet hindrar att låta ett af koordinat-planerna i det nyss begagnade snedvinkliga systemet vara parallelt med en sådan sektion. Men för undersökningen af de paraboliska sektionerna måste en annan transformation användas.

Vi välja till axlar för £ och RJ tvänne af könens alstringslinier samt till C-axel den med |jj-planet konjugerade diametern. Koordinat-planerna fC och RJ£ äro då tangerande planer till könen, hvilken de beröra längs axlarna för £ och 7] (§ 240). Om nu eqvationen (1) transformeras till detta koordinat-system, erhålles ett resultat af formen

273

Ty venstra membrum kan endast innehålla termer af andra graden; vidare kan C der endast förekomma i qvadrat och för £ = 0 måste eqvationen representera en till sina asymptoter hänförd hyperbel. Man kan antaga, att M och JV hafva samma tecken; ty för att bringa koefficienten för första termen att vexla tecken, om nödigt är, behöfver man endast taga axeln för $ eller för rj i motsatt rigtning. Eqvationerna för de båda hyperboloiderna och för könen blifva således i detta system

Mfy + NC = ± 1, M$r> + NC = 0, der M och JV kunna anses positiva. I den första eqvationen gäller det öfra tecknet tydligen för hyperboloiden med en mantel, det nedra för den med två mantlar.

Planet rj = 0, som är ett tangerande plan till könen, råkar ej ~den inre hyperboloiden, men skär den yttre i tvänne med f-axeln parallela räta linier JVC2 = 1. Hvarje dermed parallelt plan rj = h skär de tre ytorna i parabler, hvilkas axlar sammanfalla. Alla tre parablerna äro vända åt samma håll och kongruenta, emedan deras parametrar äro lika stora. Deras dimensioner tillväxa proportionelt med h, det är med planets afstånd från medelpunkten.

246. Räta a l s t r ings l in ier t i l l h y p e r b o l o i d e n med en mantel. — Den koniska sektion, som i allmänhet utgör afskärningen mellan en yta af andra graden och ett plan, kan i speciella fall reduceras till tvänne räta linier, som antingen skära hvar andra, eller äro parallela, eller slutligen sammanfalla. Om linierna skära hvar andra i en punkt M, måste planet tangera ytan i denna punkt; ty de båda räta linierna kunna anses såsom tvänne från M utgående tangenter. Det samma kan sägas inträffa, när linierna äro parallela, endast att tangeringspunkten då är oändligt afiäg-sen. Om linierna sammanfalla, tangerar planet ytan i alla punkter af räta linien (jämf. § 239).

Vi hafva hittills utredt beskaffenheten af ellipsoidens och hyperboloidernas plana sektioner i allmänhet och funnit, att bland dessa ytor endast hyperboloiden med en mantel

Lindelöf, Geometri. ~|

274

bildar rätliniga afskärningar med vissa planer. Dessa rätliniga sektioner skola nu närmare undersökas.

Betrakta vi först ett plan, som går genom medelpunkten, är dess afskärning i allmänhet en ellips eller en hyperbel; men om planet tangerar asymptot-konen, och endast i detta fall, förvandlas sektionen till tvänne räta linier L, L\ som äro parallela med beröringslinien mellan planet och könen (§ 245). Nämda räta linier måste tydligen råka strup-ellipsen i tvänne diametralt motsatta punkter A, A'. Låter man det tangerande planet vrida sig rundt kring könen, förändra linierna L, Ii kontinuerligen såväl läge som afstånd från medelpunkten, och hvardera af dem beskrifver under sin rörelse hela hyperboloiden. Man erhåller sålunda tvänne serier af räta alstringslinier till hy

perboloiden, hvilka icke sam-Fig. 92. r 1

manfalla med hvar andra. Ty då det tangerande planet gjort ett hälft omlopp, så att punkten Ä intager det ursprungliga läget af punkten A, befinner sig planet på motsatt sida om könen och linien L' sammanfaller icke med den ursprungliga rigtningen af linien i , utan skär henne i on punkt på strup-ellipsen. Skil-naden mellan tvänne till olika

serier hörande alstringslinier består således deruti, att de tangerande planer, som genom dem läggas till könen, falla åt olika sidor, från den ena linien åt höger, från den andra åt venster om könens axel. En gemensam egenskap hos båda serierna är der imot, att hvarje alstringslinie till hyperboloiden är parallel med en alstringslinie till asymptot-konen.

De nämda serierna inbegripa för öfrigt alla räta linier, som kunna dragas på en hyperboloid med en mantel; ty om man genom en sådan rät linie drager ett diametral-

275

plan, måste detta plan tangera asymptot-konen, emedan sektionen eljest icke vore rätlinig.

247. Genom hvarje punkt P på hyperboloiden gå tvänne alstringslinier, hörande till skilda serier; ty man kan genom P draga tvänne tangerande planer till könen, hvilka skära hyperboloiden i räta linier. Det plan, som innehåller de båda alstringslinierna, tangerar hyperboloiden i punkten P. Omvändt skär hvarje tangerande plan till hyperboloiden denna yta i tvänne räta linier (§ 244), hörande till skilda serier. Genom samma punkt kan icke någon tredje rät linie dragas på hyperboloiden; ty då skulle tangerande planet skära hyperboloiden i tre räta linier, motsvarande en linie-komplex af tredje graden, hvilket är omöjligt.

Om P är en punkt af strup-ellipsen, blifver det tangerande planet tydligen vinkelrätt mot a*y-planet. (Man öf-vertygar sig härom omedelbart genom att sätta «' = 0 i tangerande planets eqvation (2)). Då nu nämda plan är orten för alla räta linier, som tangera hyperboloiden i punkten P, innehåller det samma icke blott de genom P gående alstringslinierna, utan äfven strup-ellipsens tangent i samma punkt, hvilken tangent således utgör nämda alstringsliniers projektion på £W/-planet. Vi sluta häraf, att hvarje alstringslinie projicierar sig på »y-planet längs en tangent till strup-ellipsen. Projektionerna på de öfriga hufvudplanerna sammanfalla likaledes med tangenterna till de genom dessa planer bestämda hyperboliska sektionerna.

248. Att hyperboloiden med en mantel är en linier-bar yta, kan man se omedelbart af dess eqvation, satt under formen

eller

«> (MXf-iM^K 1 - :)-Denna eqvation kan nämligen anses uppkommen genom hopmultiplicering af tvänne första grads eqvationer

276

der A är en godtycklig' parameter. För hvarje värde på A föreställa dessa en rät linie, som är belägen på ytan, emedan alla de värden på x, y, z, som satisfiera eqvationerna (A), nödvändigt äfven satisfiera deras produkt, som är ytans eqvation. Tilldelar man åt A efter hand olika värden, uppkommer en serie af räta alstringslinier till hyperboloiden.

Genom en annan kombination af faktorerna erhållas tvänne andra eqvationer af första graden

innehållande en arbiträr parameter /I och föreställande ett annat system af räta linier på ytan.

Genom hvarje punkt på hyperboloiden går en rät linie af hvardera systemet. Ty om P är en punkt, hvars koordinater x', y\ z satisfiera eqvationen (4), har man

11' 2' „ x' b c a

x' y' z ' a b c

och om A antages lika med hvardera af dess lika stora bråk, blifva eqvationerna (A) satisfierade af den gifna punktens koordinater. På samma sätt bevisas, att man genom punkten P äfven kan draga en rät linie hörande till systemet

Dessa båda linier äro distinkta; ty för att eqvationerna (A) och (FJ.) skulle representera en ooh samma räta linie, borde man hafva

för alla möjliga värden på x, således på en gång A = ; I och A=—hvilket är omöjligt, med mindre A=FI = 0; men äfven i detta fall föreställa nämda eqvationer två skilda

277

räta linier, emedan den andra af eqvationerna (X) här igenom

reduceras till 1 -f- — = 0, den andra af eqvationerna (/i) der OJ

imot till 1 = 0 och dessa relationer icke kunna bestå a

samtidigt. Häraf följer, att eqvationerna (X) och (//) representera de båda serierna af alstringslinier, som i det föregående blifvit undersökta och hvilka till sammans omfatta alla räta linier, som kunna dragas på en hyperboloid med en mantel.

249. Två räta linier, som höra til l samma system, kunna icke vara i samma plan. Man erhåller tvänne linier i systemet (X), om man åt parametern X efter hand tilldelar tvänne skilda värden Å, X'. Söker man vil-koret för liniernas skärning, i det man eliminerar x, y, z mellan deras eqvationer, kommer man till en relation X = X', som strider mot det gjorda antagandet, att X och X' vore olika, samt bevisar, att linierna icke råka hvar andra, livarken på ändligt eller oändligt afstånd. Vi tillägga, att tre t i l l samma system hörande räta l inier ej kunna vara parallela med samma plan; ty de äro parallela-med tre skilda alstringslinier till könen, hvilka ej kunna ligga i ett plan.

Två räta linier, som höra t i l l ski lda system, äro al lt id i samma plan. Ty eqvationerna (X) och (/i) satisfieras på en gång af värdena

x X—fi y X/J. + 1 z X/i—1 a " X + /l b~~ X + JS c 7 ~ ~ T + / ?

hvar igenom koordinaterna bestämmas för den punkt, i hvilken linierna (X) och (u) skära hvar andra. Om X + /i = 0, är denna punkt oändligt aflägsen och linierna äro parallela.

Hvarje rät linie af den ena serien råkar alltså (på ändligt eller oändligt afstånd) alla dem, som höra till den motsatta serien. På denna egenskap grundar sig ett sätt, att konstruera hyperboloiden medelst räta linier. Låt M, M\ M" vara tre räta linier hörande till serien (/c); hvarje rät linie L af serien (X) måste råka dessa tre och man kan följ-

278

aktligen tänka sig hyperboloiden beskrifven af en rät linie L, som glider längs tre gifna räta linier Af, Af, Af". I sjelfva verket är liniens rörelse här igenom fullkomligt bestämd; ty genom hvarje punkt på linien Af kan blott en rät linie dragas, som tillika råkar linierna Af, Af", nämligen afskärningslinien mellan de två planer, som läggas genom nämde punkt, samt hvardera af linierna Af', Af".

250 . Man kan omvändt bevisa, att i allmänhet en rät l inie L, som g l ider efter tre fasta räta l inier Af, Af, Af", hvi lka icke äro parallela med ett plan, alstrar en hyperbo lo id med en mantel. Tänker man sig nämligen planer dragna genom hvar och en af linierna Af, Af, Af" parallelt med de två öfriga, innesluta de sålunda uppkommande sex planerna en parallelipiped, i hvilken nämda linier utgöra tre olika, men icke sammanstötande kanter. Medelpunkten af denna parallelipiped taga vi till origo och låta koordinat-axlarna vara parallela med kanterna i den samma, hvilkas längder må betecknas med 2a, 26, 2c. Förde tre linierna Af, Af, Af" har man då följande eqvationer

\y = b, | z = c , |x = a, \z = —c , \x = —a, \y = —b;

den rörliga linien L kan åter representeras genom formeln x — x' y — y' z — z

l m n Att denna linie råkar de tre först nämda, uttryckes genom vilkoren

y'— b z' + c m n '

z—c x'+ a

x'—a y'+b l TO

Man kan eliminera l, TO, n genom att multiplicera dessa tre eqvationer med hvar andra och erhåller då

(*' — ») (V' — i) («' — c) = (*' + a) (y' + b) (z + c), en formel, som gäller, om x', y', z beteckna koordinaterna för hvilken punkt som helst på den rörliga linien L i ett

279

godtyckligt läge af den samma, och hvilken således föreställer sjelfva den af linien L beskrifna ytan. Denna formel reducerar sig, då accenterna utelemnas, till

ayz + bxz + cxy + abc = 0. Det är en eqvation af andra graden representerande en yta, som har origo till medelpunkt. Yi veta, att denna yta är linierbar; den är icke en kon, emedan ytan ej går genom medelpunkten; följaktligen måste den utgöra en hyperboloid med en mantel.

Paraboloiderna. 251 . Dessa ytor representeras af följande eqvation, der

det öfre tecknet hör till den elliptiska och det nedre till den hyperboliska paraboloiden

( I ) x-±t = 2z. p q

Yi begynna med en undersökning af hvardera ytans plana sektioner och betrakta dervid först afskärningen med ett plan

z = mx + ny + /i, som icke är parallelt med ytans axel (s-axeln). Genom elimination af z mellan de anförda eqvationerna erhålles

*2 V* r — ± -k - = mx + ny + Ii

såsom eqvation för afskärningsliniens projektion på suiy-pla-net. Tillämpar man här de i § 97 uppstälda kriterierna, finner man, att denna projektion är en ellips eller hyperbel, allt efter som det öfre eller nedre tecknet användes. Då nu projektionen tydligen ej kan vara af annat slag än sjelfva •den projicierade koniska sektionen, så följer häraf, att hvarje plan, som icke är paral le l t med axeln, skär den e l l ipt i ska parabo lo iden i en el l ips , den hyper bo l i ska i en hyperbel . I denna allmänna bestämning inbegripas äfven de nämda liniernas afarter, nämligen så, att ellipsen kan reducera sig till en punkt och hyperbeln till tvänne räta linier.

Antagom för det andra, att det skärande planet är parallelt med s-axeln och har till eqvation

280

x = my + h. Eliminationen af * mellan denna och ytans eqvation (1) gifver för afskärningsliniens projektion på ya-planet eqvationen

(qm2 ± rp)y% + 2mqhy — 2pqz + qh1 = 0. Denna föreställer i allmänhet en parabel. Men parabeln reduceras till en rät linie, om den första termens koefficient försvinner, hvilket endast kan inträffa, när det nedra tecknet användes och man tillika har

-* Vi m -— *i

det är, när ytan är en hyperbolisk paraboloid och det skärande planet x = my + h är parallelt med någotdera af de planer, som representeras af eqvationen

(2) ^ - ^ = 0, p q

och hvilka ej äro annat än de i § 202 redan omnämda s. k. styrplanerna.

Häraf framgår, att hvarje med axe ln para l le l sekt ion af den e l l ipt iska parabo lo iden är en parabel, och att det samma äfven gäl ler om den hyperbo l i ska parabolo iden med det t i l lägg , att sektionen r e d u ceras, ti l l en rät l inie, så ofta det skärande planet är paral le l t med någotdera af styrplanerna.

252. Tangent- och diametral-pJan. — Eqvationen för det plan, som tangerar någondera paraboloiden (1) i punkten (x\ y\ befinnes vara

xx' yy' — ± — = z + z'. P 2

Om åter l, TO, n beteckna rigtningskosinerna för ett system parallela kordor, så är eqvationen för motsvarande diametral-plan

Ix my — + —- = n. P 2

Dess form utvisar, att diametral-planet alltid är parallelt med ytans axel.

Vore kordorna parallela med axeln, det är l = 0, TO = 0, w = l , blefve planet förflyttadt i det oändliga och dess rigt-

281

ning blefve obestämd, eller, med andra ord, planet upphörde att existera. Men för kordor, dragna i hvilken annan rigtning som helst, finnes alltid ett diametral-plan, som är parallelt med axeln, och omvändt hör till hvarje sådant plan ett system kordor. Häraf följer, att alla diametrar till en paraboloid äro parallela med axeln och att hvarje med axeln parallel rät linie är en diameter.

Kordornas lutning mot diametral-planet varierar med deras rigtning. Sinus för lutningen är proportionel mot P m 2

— ± — och om detta uttryck försvinner, är diametral-planet parallelt med kordorna. Denna händelse inträffar endast vid den hyperboliska paraboloiden, när kordorna äro parallela med någondera af styrplanerna (2). Man finner lätt, att diametral-planet då äfven är parallelt med samma styrplan.

253 . Konjugat-diametrar existera icke hos någondera paraboloiden; men det gifves likväl ett oändligt antal snedvinkliga koordinat-systemer, i afseende på hvilka paraboloi-dens eqvation är af samma enkla form som den hittills begagnade (1).

Låtom oss först betrakta den elliptiska paraboloiden samt föreställa oss, att man genom någon punkt A på ytan dragit en diameter och genom denna ett plan i hvilken rigtning som helst. Planets afskärning med ytan är, såsom redan nämdes, en parabel. Tager man nu punkten A till origo, diametern till axel för C och parabelns tangent i punkten A till axel för f samt låter <y-axeln vara parallel med de kordor, som planet halfverar, så blifver ytans eqvation i detta nya koordinat-system af formen

^ + 2j = 2C; p i

ty q kan endast förekomma i qvadrat och för TJ = 0 bör man erhålla eqvationen för en parabel, hänförd till en diameter och en tangent såsom koordinat-axlar. Vidare måste termerna i venstra. membrum hafva samma tecken, emedan de med £ij parallela sektionerna eljest blefve hyperbler, hvilket ej är möjligt. Vi kunna derför antaga, att p' och q' äro positiva.

282

Man ser nu, att de med cC-planet parallela sektionerna äro parabler med samma parameter, och då nämda plan kan utgöras af hvilket diameter-plan som helst, följer häraf, att alla i hufvudaxe lns r i g t n i n g gjorda parallela sekt ioner af ytan äro kongruenta parabler.

De med ^-planet parallela sektionerna äro likformiga ellipser, hvilkas medelpunkter äro belägna på C-axeln. För C= 0 reduceras ellipsen till en punkt, nämligen origo, och cjy-planet tangerar ytan i denna punkt.

254. Vi skola nu betrakta den hyperboliska paraboloiden och liksom i föregående § välja till axlar för c och C en tangent och en diameter samt låta ly-axeln vara konju-gerad med fC-planet. Vid detta val af koordinat-system bör endast iakttagas, att ff-planet ej får vara parallelt med någotdera af styrplanerna, emedan axlarna för $ och TJ då skulle sammanfalla. Detta förutsatt, blifver ytans eqvation af formen

P 1 De med ?C-planet parallela sektionerna äro äfven här kongruenta parabler och det samma gäller således öfver hufvud om alla i axelns rigtning tagna parallela sektioner.

Dé med f^-planet parallela sektionerna äro likformiga hyperbler, hvilka för 0 reducera sig till tvänne räta linier. För dessa linier äfvensom för hyperblernas asymptoter gäller eqvationen

föreställande tvänne planer, som gå genom C-axeln och som äro parallela med styrplanerna, emedan hvardera af dem skär ytan i en rät linie. Dessa planer innehålla således asymptoterna till alla de i fråga varande hyperboliska sektionerna. Sjelfva £j-planet tangerar ytan i origo och skär henne tillika i tvänne räta linier.

Toge man sist nämda linier till axlar för $ och rj, skulle eqvationen för den hyperboliska paraboloiden framställa sig under den ytterst enkla formen

283

$>1 = K Ty för ett värde på C taget efter behag måste den ju föreställa en till sina asymptoter hänförd hyperbel.

255 . Cirkel formiga sektioner . — Den hyperboliska paraboloiden är bland alla ytor af andra graden den enda, som icke har någon elliptisk, följaktligen ej heller någon cirkelformig sektion. Vi hafva alltså här att betrakta endast den elliptiska paraboloiden.

Om en sektion af paraboloiden är en cirkel, så äro alla dermed parallela sektioner äfven cirklar, hvilkas medelpunkter befinna sig på en diameter. Det plan, som genom denna diameter dragés vinkelrätt mot de cirkelformiga sektionernas planer, måste tydligen dela ytan i tvänne symmetriska hälfter och således utgöra ett hufvudplan. När paraboloi-dens eqvation i rätvinkliga koordinater är

- + y - = 2s,

så är nämda hufvudplan nödvändigtvis antingen xz- eller yz-planet.

Låtom oss särskildt betrakta den cirkelsektion, som går genom origo, och tänka oss en rät linie dragen genom cirkelns medelpunkt vinkelrätt mot dess plan. Denna räta linie måste råka s-axeln i någon punkt, s = r, och cirkeln kan följaktligen anses såsom paraboloidens genomskärning med en sfer, hvars eqvation är

2 2 2 x y z* „ - + y - + - = 2*. r r r När denna eqvation subtraheras från den näst föregående, erhålles eqvationen för en kon

. ( I _ I U y . ( I _ I ) _ i! = 0, \p r) \q rf r hvars spets är i origo och som går genom sforens och pa

raboloidens afskärningslinie. För att denna kon må upplösa sig i tvänne planer, måste r vara lika med den större af parametrarna p, q. Antagom p>p och r = p\ föregående eqvation blifver då

284

(p— q)y% = qz' och föreställer mi tvänne planer, som gå genom origo och skära paraboloiden i cirklar. Den elliptiska paraboloiden har således tvänne serier parallela cirkelformiga sektioner.. De yttersta af dem reducera sig till tvänne c i rke lpunkter , hvilkas koordinater äro

* = 0, y=± V P 2 — G » , z = ^ ^ -

256. Räta a lstr ings l in ier t i l l den hyperbo l i ska parabolo iden. — Af de båda paraboloiderna är endast den hyperboliska så beskaffad, att vissa sektioner af den samma reduceras till räta linier. Dessa räta linier skola nu blifva föremål för en närmare undersökning.

Vi hafva sett (§ 251), att hvarje plan, som är parallelt med någotdera af styrplanerna, skär ytan i en rät linie. Om det skärande planet rör sig parallelt med ett styrplan, erhålles en serie af räta linier, hvilka till sammans konstituera hela ytan. En annan dylik serie erhålles, om planet rör sig parallelt

med det andra styrplanet. Den hyperboliska paraboloiden eger således tvänne skilda serier af räta alstringslinier, hvilka äro parallela med de båda styrplanerna.

Genom hvarje punkt P på ytan gå tvänne alstringslinier hörande till skilda serier; ty om man genom P drager tvänne planer parallela med styrplanerna, skär hvardera af dem ytan i en rät linie. Det plan, som innehåller do båda räta linierna, tangerar ytan i punkten P. Genom samma pijnkt kunna icke flere än två räta linier dragas uti ytan; ty dessa borde alla innehållas i ett tangerande plan, som då skulle skära ytan i en linie-komplex af högre grad än den andra, hvilket är omöjligt.

285

Om P är en punkt på någondera af de paraboliska hufvudsektionerna, blifrer det tangerande planet vinkelrätt mot sektionens plan och innehåller då äfven parabelns tangent i nämda punkt. Häraf synes, att projektionen af en alstringslinie på ett hufvudplan tangerar den parabel, i hvilken planet skär ytan.

257. Eqvationerna. för de båda systemen af räta linier, som kunna dragas på en hyperbolisk paraboloid, framgå omedelbart ur ytans eqvation

2 2

" X—V-=2, P 1

Man kan nämligen anse denna uppkommen genom multi-plicering af eqvationerna

x y 2« y_ = i

Vp V'2 ' hvilka, när parametern A är obestämd, följaktligen representera ett system på ytan befintliga räta linier. Samma produkt erhålles äfven af eqvationerna

l L = 2 a

\Vp V q fi' C") x y Vp v q

hvilka alltså föreställa ett annat system räta alstringslinier. ' Det är lätt att bevisa, liksom i § 248, att man genom

hvarje punkt på ytan kan draga en rät linie af hvardera systemet (A) och (//), hvaraf följer, att hvardera systemet af linier konstituerar hela paraboloiden. Eqvationernas form utvisar för öfrigt, att alla linier i systemet (A) äro parallela med styrplanet

- L - J U O

Vp V q -och alla linier i systemet QJ.) med styrplänet x V

_ + - 4 = 0 ; \p V q

286

dessa system äro följaktligen identiska med de båda förut omnämda serierna af räta alstringslinier.

258. Man bevisar liksom i § 249, att tvänne räta linier, som höra till samma system, icke kunna vara i ett plan, samt att tvärt om tvänne till olika system hörande räta linier alltid äro i samma plan. Hvarje rät linie i det ena systemet råkar derför (på ändligt eller oändligt afstånd) alla dem, som höra till det andra systemet.

Väljer man efter behag tre räta linier Af, Af, Af" i systemet (jx) samt låter en fjerde rät linie L glida utefter dem, så att hon i hvarje ögonblick råkar dem alla, så är den sist nämda liniens rörelse här igenom fullkomligt bestämd; hon måste derför i hvarje läge sammanfalla med en alstringslinie af systemet (X) och följaktligen beskrifva den hyperboliska paraboloiden.

I stället för att låta räta linien L beröra tre gifna räta linier, kan man bestämma dess rörelse sålunda, att den glider längs tvänne alstringslinier af den ena serien och dervid städse är parallel med det styrplan, som hör till den andra; det är nämligen klart, att linien äfven då måste efter hand koincidera med alla alstringslinier af den andra serien.

259. För att öfvertyga sig om, att det, som nu blifvit anfördt om uppkomsten af den hyperboliska paraboloiden, äfven gäller omvändt, har man att upplösa följande tvänne problem.

l:o. A t t finna orten för en rät linie L: som glider efter tre fasta räta l inier Af, Af, Af", hvilka äro parallela med ett plan.

Tager man till origo en punkt O på linien Af samt låter axeln OX sammanfalla med denna linie, axeln OY vara parallel med Af och axeln OZ hafva en sådan rigtning, att den råkar alla tre styrlinierna, blifva eqvationerna för dessa linier

(Af) (M)\ y ' I z = k.

287

En rät linie. som på en gång råkar de båda första linierna, kan alltid betraktas såsom afskärningen mellan tvänne planer, som gå genom hvar sin af linierna 31, Jf, men för öfrigt kunna hafva hvilka rigtningar som helst. Dess eqvationer äro följaktligen

y = ),z, x = n(z — h). För att denna linie äfven må råka 31", bör man hafva

ÅTc+fi.m(h — k) = 0. Genom elimination af Å och p mellan de tre senast anförda eqvationerna erhålles för den sökta orten

kyz + m(h — k) xz — hky = 0. Denna eqvation af andra graden representerar en yta utan medelpunkt, ty den kan icke befrias från termer af första graden, om koordinat-systemet flyttas parallelt med sig sjelf till hvilken punkt som helst. Ytan är således antingen en paraboloid af någotdera slaget eller en parabolisk cylinder. Den senare hypotesen förfaller, emedan alstringslinierna icke äro parallela med hvar andra; följaktligen är ytan en hyperbo l i sk parabolo id , då den andra paraboloiden icke medgifver några räta alstringslinier.

2:o. At t finna den yta, som beskr i fves af en rät linie L, hvilken gl ider utefter tvänne fasta räta l inier 31, M'. och derunder förbl i fver paral le l med ett g i f ve t plan.

Det lämpligaste val af koordinater är följande. Det gifna planet tages till xy-plan; origo O placeras midt imellan de punkter, i hvilka linierna 31, M' skära nämda plan, och sammanbindningslinien mellan dessa punkter tages till y-axel. At xz-planet gifves en sådan rigtning, att det innehåller de räta linier Om, Om', som genom O dragas parallelt med 31 och 31', hvar igenom »-axelns rigtning blir bestämd. Slutligen låter man z-axeln halfvera de kordor, som inom vinkeln mOm' dragas parallelt med »-axeln. De gifna liniernas eqvationer blifva då af formen

( M ) j y = rt" (M')\y = ~^ 12 = mx, | z = — mx.

288

En rät linie åter, som är parallel med an/-planet, representeras i allmänhet af eqvationerna

(L) z = y, y — ax + /?. För att den samma må råka linierna M och JU', erfordras att

j3 = 0, ay = ma. Om man med tillhjelp af dessa relationer eliminerar «, /?, y ur eqvationerna L, erhålles för den sökta orten

yz = max; denna ort är således en hyperbo l i sk parabolo id .

Vid det i föregående problem beskrifna alstringssättet blifva linierna M, M' skurna i samma proportion af den genererande linien i dess successiva lägen JO, L\ i " , . . . . Ty då hon i alla dessa lägen är parallel med ett gifvet plan, kan man genom hvar och en af linierna L, £', L", . . . draga ett plan parallelt med detta styrplan och man vet, att parallela planer alltid dela i samma proportion hvilka räta linier som helst. På denna egenskap grundar sig ett högst enkelt sätt att framställa en upphöjd bild af den hyperboliska paraboloiden medelst en skef (icke plan) fyrhörning, i det motstående sidor delas i samma antal lika stora delar och de motsvarande delningspunkterna förenas med hvar andra medelst trådar.

Anm. Vid behandlingen af ofvan stående problem äfvensom af det i § 250 hafva vi med afsigt framstält eqvationerna för den rörliga räta linien under skilda former för att der igenom tillika antyda de olika metoder, som kunna följas vid dylika problems upplösning.

INNEHÅLL.

F ö r r a d e l e n . P L A N G E O M E T R I .

F ö r s t a k a p i t l e t . I n l e d n i n g . S i d . 7 — 1 3 .

D e g e o m e t r i s k a s t o r h e t e r n a s u t t r y c k a n d e g e n o m t a l . — H o m o g e n a e q v a t i o n e r . — P o s i t i v a och n e g a t i v a l i n i e r och v i n k l a r . — O m p r o j e k t i o n e r .

Andra k a p i t l e t . O m p u n k t e n . S . 1 3 — 2 2 . B ä t l i n i g a och p o l ä r a k o o r d i n a t e r . — P r o j e k t i o n e r a f en p u n k t s koor

d i n a t e r . — K o o r d i n a t e r s t r a n s f o r m a t i o n . — A f s t å n d e t m e l l a n t v ä n n e p u n k t e r . — T r e p u n k t e r i en r ä t l i n i e . — G e o m e t r i s k a o r t e r .

T r e d j e k a p i t l e t . O m r ä t a l i n i e n . S . 2 2 — 4 2 . E q v a t i o n e n för e n r ä t l i n i e . — P a r a l l e l a r ä t a l i n i e r . — R ä t a l i n i e r s

a f s k ä r n i n g a r . — V i n k e l n m e l l a n t v å r ä t a l i n i e r . — E n r ä t l i n i e , s o m g å r g e n o m en e l l e r t v å g i f n a p u n k t e r . — N o r m a l f o r m f ö r r ä t a l i n i e n s e q v a t i o n .

- A f s t å n d e t f r å n en p u n k t t i l l en r ä t l i n i e . — F ö r k o r t a d t b e t e c k n i n g s s ä t t .

F j e r d e k a p i t l e t . O m c i r k e l n . S . 4 2 — 5 1 . C i r k e l n s e q v a t i o n . — T a n g e n t e n t i l l en c i r k e l . — T a n g e n t k o r d a . —

K o r d a l .

F e m t e k a p i t l e t . O m e l l i p s e n . S . 5 2 — 7 8 . E l l i p s e n s e q v a t i o n . — E l l i p s e n j ä m f ö r d m e d d e n o m s k r i f n a o c h d e n

i n s k r i f n a c i r k e l n . — B r ä n p u n k t e r . — T a n g e n t och n o r m a l . — F y s i s k a e g e n s k a p e r . — P r o b l e m a n g å e n d e t a n g e n t e n . — E l l i p s e n s y t a . — K o r d o r o c h d i a m e t r a r . — E l l i p s e n s e q v a t i o n h ä n f ö r d t i l l t v ä n n e k o n j u g a t - d i a m e t r a r .

S j e t t e kap i t l e t . O m h y p e r b e l n . S . 7 8 — 9 8 . H y p e r b e l n s e q v a t i o n . — B r ä n p u n k t e r . — A s y m p t o t e r . — T a n g e n t

och n o r m a l . — K o n j u g a t - h y p e r b l e r . — D i a m e t r a r . — H y p e r b e l n h ä n f ö r d t i l l t v ä n n e k o n j u g a t - d i a m e t r a r . — H y p e r b e l n h ä n f ö r d t i l l a s y m p t o t e r n a . — K o n s t r u k t i o n e r .

S j u n d e k a p i t l e t . O m p a r a b e l n . S . 9 9 — 1 0 9 . P a r a b e l n s e q v a t i o n . — B r ä n p u n k t . — T a n g e n t o c h n o r m a l . — D i

a m e t r a r . — S n e d v i n k l i g a k o o r d i n a t e r . — J ä m f ö r e l s e m e l l a n i n s k r i f n a och o m s k r i f n a p o l y g o n e r . — Y t a n a f e t t p a r a b e l s e g m e n t . — K o n s t r u k t i o n e r .

Åttonde k a p i t l e t . K o n i s k a s e k t i o n e r . S . 1 0 9 — 1 2 5 . P l a n a a f s k ä r n i n g a r a f e n k o n . — O r t e n för e n p u n k t , h v a r s a f s t å n d

f r ä n en g i f v e n p u n k t och f r å n en g i f v e n r ä t l i n i e ä r o t i l l h v a r a n d r a i e t t k o n s t a n t f ö r h å l l a n d e . — E q v a t i o n e n f ö r en k o n i s k s e k t i o n . — G e o m e t r i s k a b e t y d e l s e n a f en a n d r a g r a d e n s e q v a t i o n .

N i o n d e k a p i t l e t . H a r m o n i s k a e g e n s k a p e r h o s l i n i e r a f a n d r a g r a d e n . S . 1 2 5 — 1 5 0 .

H a r m o n i s k a p u n k t e r . — H a r m o n i s k t k n i p p e . — F u l l s t ä n d i g f y r s i d i n g . H a r m o n i s k a p o l e r och p o l a r e r . —• I n s k r i f n a och o m s k r i f n a f y r h ö r n i n g a r . — F ö r k o r t a d t b e t e c k n i n g s s ä t t . — P a s c a l s s e x h ö r n i n g . — B r i a n c h o n s t e o r e m

T i o n d e kap i t l e t . O m n å g r a l i n i e r a f h ö g r e o r d n i n g . S . 1 5 0 — 1 6 6 . C i s s o i d e n . — K o n k o i d e n . — P a s c a l s s n ä c k a . — L c m n i s k a t a n . —

S i n u s o i d e n . — C y k l o i d e n . — E p i c y k l o i d é n . — H y p o c y k l o i d e n . — A r c h i -m e d e s ' s p i r a l . — L o g a r i t m i s k a s p i r a l e n .

S e n a r e d e l e n . R Y M D - G E O M E T R I .

F ö r s t a kap i t le t . O m p u n k t e r o c h r i g t n i n g a r i r y m d e n . S . 1 6 9 — 1 8 9 .

O m p r o j e k t i o n e r . — K o o r d i n a t e r . — A f s t å n d e t m e l l a n t v å p u n k t e r . — T r e p u n k t e r i en r ä t l i n i e . — P r o j e k t i o n a f r a d i u s v e c t o r . — V i n k e l n m e l l a n t v å r ä t a l i n i e r . — R i g t n i n g s - v i n k l a r och k o s i n e r . — K o o r d i n a t e r s t r a n s f o r m a t i o n . — E u l e r s f o r m l e r . — L i n i e r s och y t o r s f ö r e s t ä l l a n d e g e n o m e q v a t i o n e r .

Andra kap i t l e t . O m p l a n e t , S . 1 9 0 — 2 0 2 . P l a n e t s e q v a t i o n . — V i n k e l n m e l l a n t v å p l a n e r . •— P l a n e t s a f s k ä r -

n i n g a r m e d k o o r d i n a t - a x l a r n a . — E t t p l a n , s o m g å r g e n o m t r e g i f n a p u n k t e r . — A f s t å n d e t f r å n e n p u n k t t i l l e t t p l a n . — F ö r k o r t a d t b e t e c k n i n g s s ä t t . — P l a n e r s a f s k ä r n i n g a r i n b ö r d e s . — H a r m o n i s k a p l a n e r .

T r e d j e k a p i t l e t O m r ä t a l i n i e r i r y m d e n . S . 2 0 3 — 2 1 S . R ä t a l i n i e n s e q v a t i o n e r . — E n r ä t l in i e , s o m g å r g e n o m t v å g i f n a

p u n k t e r . — A f s k ä r n i n g s p u n k t e n m e l l a n en r ä t l i n i e och e t t p l a n . — Afs k ä r n i n g s p u n k t e n m e l l a n t v å r ä t a l i n i e r . — S y m m e t r i s k f o r m för r ä t a l i n i e n s e q v a t i o n e r . — V i n k e l n m e l l a n t v å r ä t a l i n i e r . — P r o b l e m a n g å e n d e r ä t a l i n i e n o c h p l a n e t .

F j e r d e k a p i t l e t . Y t o r a f a n d r a g r a d e n . — D e r a s i n d e l n i n g . S . 2 1 4 — 2 3 0 .

F ö r e n k l i n g a f d e n a l l m ä n n a e q v a t i o n e n a f a n d r a g r a d e n . — Y t o r m e d m e d e l p u n k t : e l l i p s o i d e n , h y p e r b o l o i d e n m e d en m a n t e l , h y p e r b o l o i d e n m e d t v å m a n t l a r , k ö n e n . — Y t o r u t a n m e d e l p u n k t : e l l i p t i s k p a r a b o l o i d , h y p e r -b o l i s k p a r a b o l o i d , p a r a b o l i s k c y l i n d e r . — Ö f v e r s i g t .

F e m t e k a p i t l e t . A l l m ä n t e o r i f ö r y t o r a f a n d r a g r a d e n . S . 2 3 0 - 2 4 1 .

A f s k ä r n i n g a r m e l l a n en y t a a f a n d r a g r a d e n o c h en r ä t l i n i e . — M e d e l p u n k t . — M e d e l p u n k t s r a d i e r . — D i a m e t r a l p l a n . — K o n j u g a t - d i a m e t r a r . — P a r a l l e l a s e k t i o n e r . '

S j e t t e kap i t l e t . A l l m ä n t e o r i . F o r t s ä t t n i n g . S . 2 4 1 — 2 5 3 . P r i n c i p a l - d i a m e t r a l - p l a n . — D i s k u s s i o n a f d e n k u b i s k a e q v a t i o n e n . —

D i s k u s s i o n a f n u m e r i s k a e q v a t i o n e r .

S j u n d e k a p i t l e t . A l l m ä n t e o r i . F o r t s ä t t n i n g . S . 2 5 3 — 2 6 1 . T a n g e n t . — T a n g e r a n d e p l a n . — P o l och p o l a r p l a n . — R e c i p r o k a

p o l a r e r .

Åttonde kap i t l e t . T i l l ä m p n i n g a f d e n a l l m ä n n a t e o r i n p å s p e c i e l l a y t o r a f a n d r a g r a d e n . S . 2 6 1 — 2 8 8 .

E l l i p s o i d e n . — K ö n e n . — H y p e r b o l o i d e r n a . — P a r a b o l o i d e r n a .