Állandó negatív görbület¶ felületek

Diplomamunka

Írta: Aubin Zoltán

Matematikus szak

Témavezet®:

Csikós Balázs, egyetemi docensGeometriai Tanszék

Eötvös Loránd TudományegyetemTermészettudományi Kar

2010

Typeset by LATEX

Tartalomjegyzék

Bevezetés 1

Negatív görbület¶ felületek aszimptotikus vonalai 31.1. Aszimptotikus vonalakról általában . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Út a sine-Gordon-egyenlethez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. A Hazzidakis-formula és Hilbert tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Állandó negatív görbület¶ forgásfelületek 162.1. Áttérés f®görbületi koordinátákra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2. A pszeudoszféra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3. Állandó negatív görbület¶ forgásfelületek osztályozása . . . . . . . . . . . . 22

A Bianchi- és a Bäcklund-transzformáció 283.1. A Bianchi-transzformált . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2. A pszeudoszféra, mint Bianchi-transzformált . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3. A Bäcklund-transzformált . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4. A Dini-felület, mint Bäcklund-transzformált . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5. Bäcklund-transzformáció aszimptotikus koordinátákkal . . . . . . . . . . . 383.6. Bianchi felcserélhet®ségi tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.7. Szolitonok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.7.1. Lélegz®k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Irodalomjegyzék 52

Bevezetés

Ezen dolgozat célja az állandó negatív görbület¶ felületekkel kapcsolatos alapvet® ismeretekösszefoglalása.

Az els® fejezetben bevezetjük az aszimptotikus vonalak fogalmát. Ezek olyan görbék afelületen, melyek normálgörbülete minden pontban 0. Ebb®l láthatjuk, hogy pozitív gör-bület¶ felületeknek nincsenek aszimptotikus vonalaik, de például a sík bármely regulárisgörbéje aszimptotikus vonal, azaz itt végtelen sok van. Minket persze a negatív görbület¶eset foglalkoztat leginkább, amikor minden egyes ponton át két aszimptotikus görbe fut,így lehet®ségünk nyílik ezeket a felület koordinátavonalaiként használni. Az aszimptotikusvonalak egy szemléletes megközelítési módja a következ®: vesszük a felület érint®síkját egypontban, és ezzel párhuzamos síkokkal metsszük el a felületet (mely, mivel negatív gör-bület¶, minden pontja körül úgy néz ki, mint egy nyereg). Ezekb®l a síkokból a felületlokálisan hiperbolákkal jól közelíthet® görbéket vág ki, melyek aszimptotái tartani fognakegy egyenespárhoz, ahogy a metsz® síkokkal tartunk az érint®síkhoz. Ezen határhelyzetáltal meghatározott két irányt nevezzük aszimptotikus irányoknak, és ezek integrálgörbéilesznek az aszimptotikus görbék. Els® állításunkban az aszimptotikus vonalakat karakteri-záljuk azzal, hogy a simulósíkjuk egybeesik az érint®síkkal. Ezután belátjuk Beltrami ésEnneper meglep® tételét, mely szerint egy (negatív görbület¶) felület adott pontbeli Gauss--görbülete és a ponton áthaladó aszimptotikus görbék (egyenl® abszolútérték¶) torzióimeghatározzák egymást. Ezután felelevenítjük a hiperfelület-elméletb®l ismert szükségesfogalmakat és tételeket, melyek a további munkához elengedhetetlenek. Itt a TheoremaEgregium-ot be is bizonyítjuk a Gauss- és Codazzi-Mainardi-egyenletek segítségével. Utób-biakról ki fog derülni, hogy fennállásuk ekvivalens az aszimptotikus vonalakból álló para-méterezés Csebisev-tulajdonságával, ami azt jelenti, hogy bármely aszimptotikus vonalak-ból álló négyszög olyan, mint egy paralelogramma, azaz a szemközti oldalaik egyenl®hosszúak. Emellett, levezetjük az aszimptotikus vonalak szögére vonatkozó sine-Gordon--egyenletet, mely a dolgozat további eredményeinek alapköve lesz, hisz ennek valamely ωmegoldása egyértelm¶en meghatároz egy állandó negatív görbület¶ felületet. Az els® fe-jezet utolsó részében belátjuk Hazzidakis formuláját, mely az aszimptotikus vonalakbólálló paralelogrammák területét 2π-vel korlátozza felülr®l. Ez lesz az egyik kulcsa Hilbert1901-ben bizonyított nevezetes tételének, miszerint a teljes hiperbolikus sík nem ágyazhatóbe a háromdimenziós euklideszi térbe. [1], [2], [3], [4]

A második fejezetben bevezetjük az els® ismert példát állandó negatív görbület¶ felület-re: Beltrami pszeudoszféráját. Mivel ez egy forgásfelület, tovább is megyünk ezen a vo-nalon, és három osztályba soroljuk a konstans negatív görbület¶ forgásfelületeket. Mivelezek be vannak ágyazva a háromdimenziós euklideszi térbe, így Hilbert tétele szerint szük-ségképpen megjelennek rajtuk szingularitások. [4]

A harmadik fejezet állandó negatív görbület¶ felületek nagyüzem¶ gyártásáról szól.

1

Az ehhez szükséges gépezetet Bianchi és Bäcklund transzformációi biztosítják. El®bbiegy tisztán geometriai konstrukció, melyet Bianchi 1879-ben alkotott meg, s amely egy ál-landó negatív görbület¶ felületb®l újabb ugyanolyan görbület¶t készít. Nem sokkal kés®bb,1882-ben Bäcklund általánosította ezt a koncepciót, és létrehozta a nevezetes Bβ Bäcklund--transzformációt, mely már állandó negatív görbület¶ felületek 1-paraméteres seregét képesel®állítani. 1883-ban Lie felbontotta a Bäcklund-transzformációt a paraméterfüggetlenBianchi-transzformált Lie-transzformációval vett konjugáltjára: Bβ = L−1

β B1Lβ. Végül, azegésznek a megkoronázásaként, Bianchi 1892-ben belátta, hogy a Bäcklund-transzformáció-ra igaz a Bβ1Bβ2 = Bβ2Bβ1 kommutativitási reláció. Mi is ezen az úton fogunk haladni, dea régiekt®l eltér® módon, ugyanis a geometriai deníciót amint lehet, visszavezetjük egyanalitikus konstrukcióra: kapunk egy els®rend¶, kétváltozós parciális dierenciálegyenlet--rendszert, mely a sine-Gordon-egyenlet egy meglév® ω megoldását összeköti egy újabbω megoldásával. Érdemes itt megemlíteni, hogy ez a szemléletmód vezet el a Bäcklund--transzformáció mai jelentéséhez: általában két függvényt összeköt® els®rend¶ parciálisdierenciálegyenlet-rendszert nevezünk Bäcklund-transzformációnak, ahol a függvényekegy-egy (általában nemlineáris) parciális dierenciálegyenlet megoldásai. Ekkor a két függ-vényt egymás Bäcklund-transzformáltjának szokás nevezni. Ha a két (nemlineáris) par-ciális dierenciálegyenlet ugyanaz, akkor auto-Bäcklund-transzformáltról beszélünk. Így aklasszikus Bäcklund-transzformált mai nyelven a sine-Gordon-egyenletre vonatkozó auto--Bäcklund-transzformáció. A Bäcklund-transzformáció fontos szerepet játszik a szoliton--elméletben, ami manapság is igen divatos kutatási téma. A szolitonokra konstans sebes-séggel utazó, alakjukat mindvégig meg®rz® hullámokként kell gondolni, amelyek bizonyosnemlineáris parciális dierenciálegyenletek megoldásaiként állnak el®. A legérdekesebbdolog a szolitonokkal kapcsolatban, hogy eleget tesznek egy nemlineáris szuperpozícióselvnek. Mivel a sine-Gordon-egyenlet is rendelkezik szoliton megoldásokkal, így dolgo-zatunk utolsó részében kitekintünk a szolitonok világába, és az így megszerzett tudáströgtön felhasználjuk szemet gyönyörködtet® állandó negatív görbület¶ felületek készítésére.[4], [5], [6], [7]

Köszönetnyilvánítás

Szeretném megköszönni témavezet®mnek, Csikós Balázsnak, felmerül® kérdéseimre adottrészletes magyarázatait, illetve a dolgozat igen alapos ellen®rzését.Ezen kívül köszönet illeti még nagyon sok évfolyamtársamat és barátomat, akik neveitfelsorolni is nehéz lenne.

2

Negatív görbület¶ felületekaszimptotikus vonalai

1.1. Aszimptotikus vonalakról általában

Az L Weingarten-leképezés, a második alapforma szimmetriájából adódóan, egy önad-jungált leképezés, melynek a f®tengely-tétel szerint mindig van sajátvektorokból álló ortonor-mált bázisa, azaz diagonalizálható. A f®átlóban megjelen® sajátértékeket f®görbületekneknevezzük. Minket a 2-dimenziós eset érdekel (felületelmélet), amikor csak két f®görbületvan. Ezek szorzatát hívjuk a felület Gauss-görbületének. Ha egy felület Gauss-görbületenegatív, akkor a f®görbületek minden pontban ellenkez® el®jel¶ek. Ebb®l következik, hogymindig létezik két irány a f®irányokra szimmetrikusan1, ahol a normálgörbület elt¶nik.Ezek az aszimptotikus irányok. Ha e1 és e2 mer®leges egységvektorok, melyek a f®irányokbanéznek, κ1 és κ2 a hozzájuk tartozó f®görbületek, és a v irány θ szöget zár be e1-gyel, akkoraz Euler-formula szerint a v irányú normálgörbület

k(v) = κ1 cos2 θ + κ2 sin2 θ.

Átrendezés után kapjuk, hogy

k(v) = 0⇔ tan θ = ±√−κ1

κ2

.

1.1.1 Megjegyzés: Egy negatív görbület¶ felületnek, a különböz® el®jel¶ f®görbületekb®ladódóan, minden pontja nyeregpont. Így egy adott pontban vett érint®sík a felületb®lmindig egy görbepárt metsz ki, melynek az érint®irányai az aszimptotikus irányok.

1.1.2 Deníció: Aszimptotikus vonalnak nevezünk egy olyan regulárisan paraméterezettgörbét a felületen, melynek érint®i aszimptotikus irányok.

1.1.3 Állítás: Legyen γ(t) egy aszimptotikus görbe. Tegyük fel, hogy γ′(t) ∦ γ′′(t)-vel.Ekkor az aszimptotikus görbe simulósíkja a felület érint®síkja. Ez a tulajdonság karakteri-zálja az aszimptotikus vonalakat.

1Ezt látjuk be mindjárt az Euler-formulával

3

Bizonyítás: A nempárhuzamossági feltételre azért van szükség, hogy létezzen a simulósík.Mivel γ(t) egy aszimptotikus görbe paraméterezése, így γ′(t) aszimptotikus irány, amideníció szerint azt jelenti, hogy ebben az irányban a normálgörbület 0:

0 = k(γ′(t)) =II(γ′(t), γ′(t))I(γ′(t), γ′(t))

=II(γ′(t), γ′(t))||γ′(t)||2

.

De ez persze akkor 0, ha a számláló 0. Azaz

0 = II(γ′(t), γ′(t)) = 〈γ′(t),L(γ′(t))〉 ∗=

ahol L a Weingarten-leképezést jelöli. Mivel L(γ′(t)) = −∂γ′(t)N = − ddtNγ(t), így

∗=⟨γ′′(t),Nγ(t)

⟩,

ahol ez utóbbi ∗-os egyenl®ség a⟨γ′(t),Nγ(t)

⟩≡ 0 deriválásából átrendezéssel adódik:

0 =⟨γ′(t),Nγ(t)

⟩′=⟨γ′′(t),Nγ(t)

⟩+

⟨γ′(t),

d

dtNγ(t)

⟩.

Megkaptuk tehát, hogy γ′(t), γ′′(t) ⊥ Nγ(t), azaz hogy γ′′(t) is érint®síkbeli. Így, mivel

γ′(t) és γ′′(t)-r®l feltettük, hogy függetlenek, a simulósík létezik és egybeesik a γ(t)-beliérint®síkkal.

Ez tényleg karakterizálja az aszimptotikus görbéket, hiszen vegyünk egy γ(t) görbét,aminek a simulósíkját γ′(t) és γ′′(t) kifeszíti, és tegyük fel, hogy ez egybeesik a γ(t)-beliérint®síkkal. Ekkor γ′′(t) nyilván mer®leges Nγ(t)-re, és így az utolsó ∗-os egyenl®ségt®lvisszafelé haladva láthatjuk, hogy γ(t) aszimptotikus görbét paraméterez.

Most pedig idézzük fel röviden a térgörbékre tanult Frenet-formulákat:

1

v(t)t′1(t) = κ(t) t2(t),

1

v(t)t′2(t) = −κ(t) t1(t) + τ(t) t3(t),

1

v(t)t′3(t) = −τ(t) t2(t),

ahol κ(t) jelöli a görbületet és τ(t) a torziót (klasszikus jelöléseket használunk, hogy nekeverhessük össze a principális görbületeket ezekkel), v(t) = ||γ′(t)|| a sebesség, illetve ti(t)jelöli a Frenet-féle bázisvektorokat, azaz t1(t) egységhosszú érint®vektor γ′(t) irányában,t2(t) erre mer®leges egységvektor a simulósík γ′′(t)-t tartalmazó félsíkjában, t3(t) pedig azel®z® kett®t jobb rendszerré egészíti ki.

1.1.4 Megjegyzés: A torzió a síkgörbeségt®l való eltérést méri, ezért τ -ra azt mondják,hogy egy görbe csavarodásának mértékét mutatja.

4

1.1.5 Tétel: (Beltrami-Enneper) Egy aszimptotikus görbe τ torziójára

τ(t)2 = −Kγ(t),

aholK a felület Gauss-görbülete. Ha az egy ponton átmen® mindkét aszimptotikus vonalatúgy paraméterezzük, hogy a t3 binormálisuk a felületi normális2, akkor torziójuk ellentétesel®jel¶ lesz (tehát görbéink ellentétes irányba csavarodnak).

Bizonyítás: Paraméterezhetjük az egy ponton átmen® aszimptotikus vonalakat ívhosszszerint: γ(t), η(t). (Hisz ez a torziójukon nem változtat.)Legyen γ′(t) = tγ1(t), η′(t) = tη1(t) és tudjuk, hogy tγ3(t) = Nγ(t), t

η3(t) = Nη(t).

A harmadik Frenet-képlet mindkét oldalát skalárisan megszorozva t·2-vel, a következ®tkapjuk:

−τ γ(t) =

⟨d

dtNγ(t), t

γ2(t)

⟩= 〈−L(γ′(t)), tγ2(t)〉 = 〈−L(tγ1(t)), tγ2(t)〉 ,

−τ η(t) =

⟨d

dtNη(t), t

η2(t)

⟩= 〈−L(η′(t)), tη2(t)〉 = 〈−L(tη1(t)), tη2(t)〉 .

(∗)

Mostantól elég az aszimptotikus vonalaink γ(t0) = η(t0) metszéspontjában vett érin-t®síkra koncentrálnunk, hiszen a binormálisok itt megegyeznek.Nγ(t0) = Nη(t0) = tγ3(t0) = tη3(t0), így t·2(t0) = t·3(t0) × t·1(t0), magyarul, ha t·1(t0)-t egyadott irányban 90-kal elforgatjuk az érint®síkban, akkor t·2(t0)-t kapjuk.Mivel tγ1(t0) és tη1(t0) aszimptotikus irányok, ezért

0 = II(t·1(t0), t·1(t0)) = 〈L(t·1(t0)), t·1(t0)〉 ,

1. ábra. Skaláris szorzás

ebb®l pedig láthatjuk, hogy L(t·1(t0)) mer®legest·1(t0)-ra, azt pedig tudjuk, hogy L(t·1(t0)) érin-t®síkbeli, így csak t·2(t0) számszorosa lehet.(∗)-ból pedig láthatjuk, hogy ez a szám csakτ ·(t0) lehet, tehát

L(t·1(t0)) = τ ·(t0) · t·2(t0).

Eddig még nem használtuk L-r®l, hogy önad-jungált:

〈L(tγ1(t0)), tη1(t0)〉 = 〈tγ1(t0),L(tη1(t0))〉 .

Jelölje ω a tγ1(t0) és a tη1(t0) szögét. Ekkor azel®z® két egyenletb®l kapjuk, hogy

〈τ γ(t0) · tγ2(t0), tη1(t0)〉 = 〈tγ1(t0), τ η(t0) · tη2(t0)〉 ,2Ezt fontos leszögeznünk, hisz ha egy görbén másik irányba megyünk végig, azaz vesszük a

γ(t) = γ(−t) átparaméterezést, akkor könnyen láthatjuk, hogy t1 és t3 (−1)-szeresére változik, míg t2ugyanaz marad, és ezért a κ görbület nem változik, de a τ torzió el®jelet vált!

5

τ γ(t0) cos(π

2− ω

)= τ η(t0) cos

(π2

+ ω),

τ γ(t0) = −τ η(t0) .

Ez az állítás második fele.Kiderült, hogy hogy viselkedik a Weingarten-leképezés az érint®sík egy (nem ortogonális)bázisán (ti. tγ1-n és tη1-n): az egyiket +90-kal, a másikat pedig −90-kal forgatja el, ésmindkett®t |τ |-szeresére nyújtja. A Gauss-görbület a f®görbületek, azaz L sajátértékeinekszorzata. Err®l feltettük, hogy negatív:

detL = K < 0.

A determinánsok szorzástételéb®l tudjuk, hogy egy lineáris leképezés determinánsának ab-szolútértéke a megfelel® paralelepipedonok térfogatarányát fejezi ki:

| detL| = L(tγ1(t0)) és L(tη1(t0)) paralelogramma területetγ1(t0) és tη1(t0) paralelogramma területe

=|τ |2 sin(π − ω)

sinω= |τ |2.

1.1.6 Következmény: Állandó K < 0 negatív Gauss-görbület¶ felületen az aszimp-totikus vonalak torziója állandó.

Következ® célunk pedig a felületelmélet alaptételében szerepl® Gauss- illetve Codazzi--Mainardi-alapegyenletek segítségével megmutatni, hogy az aszimptotikus vonalak Csebisev--hálót alkotnak, valamint be fogjuk bizonyítani Hilbert nevezetes tételét a hiperbolikus síkháromdimenziós euklideszi térbe való beágyazhatatlanságáról.

1.2. Út a sine-Gordon-egyenlethez

Ezentúl mindig feltesszük, hogy a szóbanforgó felület állandó negatív Gauss-görbület¶. S®t,hogy K ≡ −1. Ez utóbbit azért tehetjük fel, mert kicsinyítéssel vagy nagyítással elérhet®.Ugyanis, ha v és w a Weingarten-leképezés sajátvektorai, akkor L(v) = κ1v = κ1

λ· λv =

L(λv) és L(w) = κ2w = κ2

λ· λw = L(λw) egyenl®ségekb®l azt kapjuk, hogy λ-szoros

nagyításnál a Weingarten-leképezés sajátértékei 1λ-szorosra változnak, így a K = detL

Gauss-görbület az 1λ2 szorzóval módosul.

Korábban láttuk, hogy egy állandó negatív görbület¶ felület bármely pontján át kétaszimptotikus görbe megy. Azt is láthatjuk, hogy az ilyenek lokálisan két fed® görbeseregetalkotnak, így vehetjük a felület egy olyan reguláris paraméterezését (lokálisan), melynekparamétervonalai aszimptotikus vonalak. Legyen r : Ω → Rn ilyen (Ω ⊆ Rn−1 nyílt).Nekünk persze elég lenne az n = 3 esettel foglalkoznunk, de lesznek általánosabb jelleg¶számolások is, ahol erre a formára támaszkodunk.

A parciális deriváltakat, szokás szerint, az esetleges többi indext®l vessz®vel elválasztva,alsó indexben fogjuk jelölni. Például: ∂

∂xir = ∂ir = r,i , azonban pont ebben az esetben,

azaz, amikor az r paraméterezés parciális deriváltjait tekintjük, a vessz®t®l is megszabadu-lunk: ri .

6

Az alapformák mátrixai:

G =

(〈r1, r1〉 〈r1, r2〉〈r2, r1〉 〈r2, r2〉

), B =

(II(r1, r1) II(r1, r2)II(r2, r1) II(r2, r2)

)=

(0 b12

b21 0

).

B f®átlójában azért állnak 0-k, mert a paramétervonalak aszimptotikus vonalak. Ráadá-sul a második alapforma szimmetrikus is, ezért valójában B csak egyetlen függvényt®l, ab12 = b21-t®l függ.

Legyen |r1| = A, |r2| = B és r1r2^ = ω. Ekkor

G =

(A2 AB cosω

AB cosω B2

),

−1 = K =detBdetG

=−(b12)2

A2B2 − A2B2 cos2 ω=

−(b12)2

A2B2 sin2 ω⇒ b12 = ±AB sinω.

Az utóbbi el®jel csak attól függ, hogy a felületi normális merre néz, ennek változtatásapedig nem befolyásolja a Gauss-görbületet. Tehát

B =

(0 ±AB sinω

±AB sinω 0

).

Az u 7→ A(u, v0) és a v 7→ B(u0, v) függvényekr®l feltehet®, hogy azonosan 1-ek, azaz az(u0, v0)-on átmen® két aszimptotikus vonal ívhossz szerint paraméterezett. Ez a torziójukatnem változtatja, és így az 1.1.5 Beltrami-Enneper tétel szerint a görbületet sem.

Most pedig idézzünk fel pár a hiperfelület-elméletb®l már megismert eredményt! Azr1, . . . , rn−1,N vektormez®ket Gauss-bázisnak nevezzük. Ezek parciális deriváltjai:

rij =n−1∑k=1

Γkij · rk + bij ·N , Ni =n−1∑k=1

(−lki ) · rk .

Itt a Γkij együtthatókat Christoel-szimbólumoknak nevezzük, bij-kel a második alapformamátrixának elemeit, lki -kal pedig a Weingarten-leképezés mátrixának elemeit jelöltük. Anormális vektormez® deriváltjában nincs normális irányú komponens (hisz Nj = −L(rj)).A Christoel-szimbólumok kifejezhet®ek tisztán az els® alapforma mátrixából:

Γkij =1

2

n−1∑l=1

gkl(gil,j + gjl,i − gij,l) , (1.1)

ahol (gij) = G−1 az els® alapforma mátrixának inverze. Fontos látnunk, hogy a Weingarten--leképezés mindkét alapformától függ, ugyanis II(v,w) = 〈v,L(w)〉, így B = GL, tehát

(lki ) = G−1B, vagyis lki =n−1∑m=1

gkm · bmi.

További hasznos összefüggéseket kaphatunk, ha az rij vektorokat tovább deriváljuk, ésaz így kapott vektormez®ket kifejezzük a Gauss-bázis segítségével:

rijk =

(n−1∑s=1

Γsij · rs + bij ·N

),k

=n−1∑s=1

(Γsij,k · rs + Γsij · rsk

)+ bij,k ·N + bij ·Nk =

7

=n−1∑s=1

(Γsij,k · rs + Γsij ·

(n−1∑m=1

Γmsk · rm + bsk ·N

))+ bij,k ·N + bij ·

n−1∑s=1

(−lsk) · rs =

=n−1∑s=1

[Γsij,k +

n−1∑m=1

ΓmijΓsmk + bij

(−

n−1∑m=1

gsm · bmk

)]rs +

[bij,k +

n−1∑s=1

Γsij · bsk

]N.

A Young-tétel szerint rijk = rikj, így a két oldal megfelel® együtthatói megegyeznek. Azérint®irányú komponensekb®l adódó (n−1)4 db egyenletet Gauss-egyenleteknek nevezzük:

Γsij,k − Γsik,j +n−1∑m=1

(ΓmijΓ

smk − ΓmikΓ

smj

)=

n−1∑m=1

gsm (bijbmk − bikbmj) , (1.2)

míg a normális komponensek együtthatóinak egyenl®ségéb®l a Codazzi-Mainardi-egyen-leteket kapjuk:

bij,k − bik,j =n−1∑s=1

(Γsikbsj − Γsijbsk

). (1.3)

Vezessük be a következ® jelölést:

Rsijk = Γsij,k − Γsik,j +

n−1∑m=1

(ΓmijΓ

smk − ΓmikΓ

smj

). (1.4)

Ekkor

Rsijk =

n−1∑m=1

gsm (bijbmk − bikbmj) .

Ezt gls-sel szorozva és s szerint összegezve:

n−1∑s=1

glsRsijk =

n−1∑s=1

n−1∑m=1

glsgsm (bijbmk − bikbmj) =

n−1∑m=1

(bijbmk − bikbmj)n−1∑s=1

glsgsm =

=n−1∑m=1

(bijbmk − bikbmj) δml = bijblk − bikblj .

Legyen Rlijk =n−1∑s=1

glsRsijk. Ezzel az imént azt kaptuk, hogy Rlijk = bijblk − bikblj . Mivel

Rlijk-kból, gml-lel való szorzás és l szerinti összegzés után, visszakaphatjuk az Rmijk-eket,

így az el®bbi egyenletekre is Gauss-egyenletekként hivatkozhatunk.

1.2.1 Megjegyzés: Az Rlijk Ω-n értelmezett függvények valójában a Riemann-féle gör-

bületi tenzor komponensei. Azaz X =n−1∑i=1

X iri, Y =n−1∑i=1

Y iri, Z =n−1∑i=1

Ziri, W =n−1∑i=1

W iri

sima vektormez®k esetén

R(X, Y ;Z,W ) :=n−1∑l=1

n−1∑i=1

n−1∑j=1

n−1∑k=1

RlijkXlY iZjW k.

8

Egy másik hasznos észrevétel, hogy Rlijk kifejezhet® az els® alapforma segítségével: havisszafejtjük a jelöléseket, akkor láthatjuk, hogy Rs

ijk kifejezhet® a Christoel-szimbólumoksegítségével, amikr®l már korábban megállapítottuk, hogy az els® alapforma függvényei.Innen kapjuk Gauss nevezetes tételét:

1.2.2 Következmény: (Theorema Egregium) Egy R3-beli paraméterezett regulárisfelület Gauss-görbülete kifejezhet® az els® alapforma segítségével a következ®képp:

K =detBdetG

=R1221

detG.

Láttuk, hogy egy paraméterezett hiperfelület els® és második alapformáinak mátrixairaigazak a Gauss- és Codazzi-Mainardi-alapegyenletek. A következ® tétel ennek megfordításáttárgyalja, pontosabban: milyen feltételek teljesülése esetén lesznek a G és B mátrixok egyparaméterezett hiperfelület alapforma-mátrixai.

1.2.3 Tétel: (A hiperfelület-elmélet alaptétele) Tegyük fel, hogy Ω ⊂ Rn nyílt, össze-függ® és pontrahúzható halmaz. Ha G,B : Ω → R(n−1)×(n−1) sima leképezések úgy, hogyG minden egyes pontban pozitív denit és szimmetrikus mátrix, B szimmetrikus mátrix,valamint G és B kielégítik a Gauss- és Codazzi-Mainardi-alapegyenleteket, akkor létezik(egybevágóság erejéig egyértelm¶en) egy r : Ω → Rn regulárisan paraméterezett hiper-felület, melynek els® illetve második alapforma-mátrixai az r1, . . . , rn−1 bázisban G illetveB.

Térjünk vissza a felületelmélethez, azaz az n = 3 esethez. Fentebb már megkap-tuk, hogy K ≡ −1 esetén hogyan is néznek ki az alapmátrixok. A Gauss- és Codazzi--Mainardi-egyenletek segítségével további egyszer¶sítésekre van lehet®ség, és egyéb hasznoskövetkezményeket is kiolvashatunk majd.

1.2.4 Lemma: B =

(0 b12

b12 0

)esetén a Codazzi-Mainardi-egyenletek:

−(ln b12),1 = Γ212 − Γ1

11, es (ln b12),2 = Γ222 − Γ1

21 .

Bizonyítás: Az el®bb már kiszámolt általános esetben is j = k-ra az (1.3) egyenletmindkét oldala 0. Emiatt feltehetjük, hogy j < k. Felületek esetén ez azt jelenti, hogyj = 1 és k = 2. Így viszont csak 2 egyenletet kaphatunk aszerint, hogy i = 1 vagy i = 2.Kezdjük az el®bbivel:

b11,2 − b12,1 =2∑s=1

(Γs12bs1 − Γs11bs2) .

A bal oldal els® tagja b11 = 0 miatt t¶nik el, míg a jobb oldali 2 tagú szummában b11 ésb22 is megjelenik, így azokat is elfelejthetjük:

−b12,1 = b12

(Γ2

12 − Γ111

).

9

b12-vel átosztva az els® változó szerinti logaritmikus derivált jelenik meg:

−(ln b12),1 = Γ212 − Γ1

11 .

Az 1-es és 2-es indexek cseréjével a második egyenlethez jutunk, így ugyanez a számolásigazolja azt is.

A lemmában lev® egyenl®ségek jobb oldalát szeretnénk tovább alakítgatni, azaz aChristoel-szimbólumokat kifejezni az els® alapforma segítségével (1.1). Ehhez el®szörfelírjuk a G−1 mátrixot:

G−1 =1

detG

(g22 −g12

−g12 g11

)=

1

A2B2(1− cos2 ω)

(B2 −AB cosω

−AB cosω A2

)=

=

1

A2 sin2 ω−

cosω

AB sin2 ω

−cosω

AB sin2 ω

1

B2 sin2 ω

.

Γ212 − Γ1

11 =1

2

2∑l=1

g2l(g1l,2 + g2l,1 − g12,l)−1

2

2∑l=1

g1l(g1l,1 + g1l,1 − g11,l) =

=1

2g21g11,2 +

1

2g22g22,1 −

1

2g11g11,1 −

1

2g12(2g12,1 − g11,2) =

= g12g11,2 +1

2g22g22,1 −

1

2g11g11,1 − g12g12,1 =

= − cosω

AB sin2 ω2A ·A,2 +

1

2

1

B2 sin2 ω2B ·B,1−

1

2

1

A2 sin2 ω2A ·A,1 +

cosω

AB sin2 ω(AB cosω),1 =

(elvégezve az egyszer¶sítéseket, észrevéve a logaritmikus deriváltakat, és az utolsó tagbancosω-val b®vítve)

= −2 cosω · A,2B sin2 ω

+1

sin2 ω(lnB),1 −

1

sin2 ω(lnA),1 + cot2 ω · (ln(AB cosω)),1 =

(az utolsó tagban a szorzat logaritmusát összegre bontva)

= −2 cosω · A,2B sin2 ω

+1

sin2 ω(lnB),1 +

(cot2 ω − 1

sin2 ω

)· (lnA),1 + cot2 ω · (lnB),1+

+ cot2 ω · − sinω · ω,1cosω

.

(1.5)

A lemmában szerepl® egyenl®ség bal oldalán lév® tagot is felírhatjuk:

− (ln b12),1 = −(lnAB sinω),1 = −(lnA),1 − (lnB),1 −cosω · ω,1

sinω. (1.6)

10

Tehát a lemma szerint ezek egyenl®ek. (lnA),1 együtthatója a jobb oldal (1.5) kifejtésében

cot2 ω − 1

sin2 ω=

cos2 ω − 1

sin2 ω= −sin2 ω

sin2 ω= −1 ,

ez pedig éppen az (1.6) második felírásbeli együtthatóval egyezik meg, így ez a tag kiesik.Hasonlóan az ω,1-es tag is ki fog esni, hisz az (1.5)-beli együttható

cot2 ω · − sinω

cosω= −cosω

sinω,

ami épp az (1.6)-belivel egyezik meg. A maradékkal folytatjuk a számolást:

B,1

B

(cot2 ω +

1

sin2 ω+ 1

)=

2A,2 cosω

B sin2 ω,

B,1

(cos2 ω + 1 + sin2 ω

)︸ ︷︷ ︸2

= 2A,2 cosω ,

B,1 = A,2 cosω .

Amásodik Codazzi-Mainardi-egyenletet az 1-es és 2-es indexek megcserélésével kaphatjukmeg, ezért ugyanez a számolás igaz, így

A,2 = B,1 cosω.

Ezekb®l B,1 = B,1 cos2 ω következik, amib®l B,1 sin2 ω = 0 adódik. Itt sin2 ω nem lehet 0,mert ω az egy ponton átmen® két aszimptotikus vonal (érint®inek) szöge, és az aszimp-totikus vonalak regulárisan paraméterezik a felületet (legalább lokálisan), így ezek érint®inem eshetnek egybe (a regulárisan paraméterezett környezet minden pontjában).

2. ábra. Csebisev-tulajdonság

Emiatt B,1 = 0 és ugyanígy A,2 = 0. Ez aztjelenti, hogy az A = |ru| nem függ v-t®l, azazA(u, v) = A(u, v0) err®l pedig korábban feltettük,hogy konstans 1. Tehát A ≡ 1 és hasonlóan B ≡ 1,így minden egyes paramétervonal u 7→ r(u, v1)és v 7→ r(u1, v) paraméterezései ívhossz szerintiparaméterezések (2. ábra).

1.2.5 Deníció: Egy paraméterezést Csebisev-féleparaméterezésnek vagy Csebisev-hálónak nevezünk,ha a koordinátavonalakból készített négyszögekszemközti oldalai egyenl® hosszúak.

1.2.6 Megjegyzés: Jelen esetben ez a Codazzi--Mainardi-egyenletekkel egyenérték¶ tulajdonság.

11

Mátrixaink tovább egyszer¶södnek:

G =

(1 cosω

cosω 1

), B =

(0 ± sinω

± sinω 0

), G−1 =

1

sin2 ω−

cosω

sin2 ω

−cosω

sin2 ω

1

sin2 ω

.

Rlijk szimmetriáiból adódóan a Gauss-egyenletek többsége megegyezik. Az egyetlennem triviális egyenlet a következ®:

R1221 = detB .

A jobb oldal persze egyszer¶en − sin2 ω. A bal oldal meghatározásához az általánosesetben látott (1.4) képletbe helyettesítünk be:

R1221 = g11R1221 + g12R

2221 =

= g11

[Γ1

22,1 − Γ121,2 +

2∑m=1

(Γm22Γ1

m1 − Γm21Γ1m2

)]+g12

[Γ2

22,1 − Γ221,2 +

2∑m=1

(Γm22Γ2

m1 − Γm21Γ2m2

)] ∗=

Most meghatározzuk a Christoel-szimbólumokat (1.1). Mivel az alsó két indexben szim-metrikusak, ezért csak 6-tal kell foglalkoznunk.

Γ111 =

1

2

2∑l=1

g1l(g1l,1 + g1l,1 − g11,l) =1

2g11 g11,1︸︷︷︸

0

+1

2g12(2g12,1 − g11,2︸︷︷︸

0

) =

= − cosω

sin2 ω(− sinω) · ω,1 = cotω · ω,1 .

A többit is hasonló számolás adja:

Γ211 = − ω,1

sinω, Γ1

12 = 0 , Γ212 = 0 , Γ1

22 = − ω,2sinω

, Γ222 = cotω · ω,2 .

Ezek behelyettesítésével folytathatjuk az el®z® egyenl®ségsorozatot (csak a nem nulla tagokatírjuk):

∗= g11

[Γ1

22,1 + Γ122Γ1

11

]+ g12

[Γ2

22,1 + Γ122Γ2

11

]=

= 1·[

cosω · ω,1 · ω,2 − ω,12 · sinωsin2 ω

− cosω · ω,1 · ω,2sin2 ω

]+cosω

[−ω,1ω,2

sin2 ω+ cotω · ω,12 +

ω,2ω,1sin2 ω

]=

= − ω,12

sinω+ ω,12 · cotω · cosω = − sinω · ω,12 .

Az R1221 = detB egyenlet bal és jobb oldalát összehasonlítva kapjuk a következ®t:

ω,12 = sinω . (1.7)

12

Ez az úgynevezett sine-Gordon-egyenlet. Az aszimptotikus vonalak szöge kielégíti ezt azegyenletet.

Mi történt eddig? Kiindultunk egy azonosan−1 görbület¶ felület aszimptotikus vonalak-ból álló (lokális) reguláris paraméterezéséb®l, és ennek segítségével felírtuk az alapforma--mátrixokat. Kiderült, hogy a Codazzi-Mainardi-egyenletek teljesülése ekvivalens a paramé-tervonalak Csebisev-tulajdonságával, míg a Codazzi-Mainardi-egyenletek és a Gauss-egyen-letek együttes teljesülése a sine-Gordon-egyenlet megoldhatóságával egyenérték¶. Mind-eközben az alapforma-mátrixokat igen egyszer¶ alakra hoztuk: csak az ω függvényekéntírtuk fel ®ket. Ahhoz, hogy a hiperfelület-elmélet alaptételét (1.2.3) a mi esetünkre tudjukalkalmazni, már csak az kell, hogy G pozitív denitségét biztosítsuk (minden pontban),ezért az ω 6= k · π kikötést tesszük. Mindezeket egybevetve kapjuk a következ® állítást:

1.2.7 Állítás: Ha Ω ⊂ R2 egy konvex halmaz, ω a sine-Gordon-egyenlet egy olyan megol-dása, melyre (u, v) ∈ Ω esetén ω(u, v) 6= k · π, akkor van olyan r : Ω → R3 regulá-risan paraméterezett felület K ≡ −1 Gauss-görbülettel, melynek paramétervonalai ívhosszszerint paraméterezett aszimptotikus vonalak, ahol ω az aszimptotikus vonalak szöge.

1.3. A Hazzidakis-formula és Hilbert tétele

Bárkiben felvet®dhet a kérdés, hogy vajon mekkora egy aszimptotikus vonalakból állónégyszög területe (jelöljük ezt T -vel). Ezt válaszolja meg a Hazzidakis-formula:

3. ábra. Aszimptotikus vonalakból állóparalelogramma

T =

v2∫v1

u2∫u1

√detG(u, v)dudv =

v2∫v1

u2∫u1

sinωdudv∗=

∗=

v2∫v1

u2∫u1

ωuvdudv = ...

Az utóbbi ∗-os egyenl®ség azért igaz, mert ωkielégíti a sine-Gordon-egyenletet (1.7).3

... =

v2∫v1

ωv(u2, v)− ωv(u1, v)dv =

= ω(u2, v2)− ω(u2, v1)− ω(u1, v2) + ω(u1, v1) = (α + β + γ + δ)− 2π.

Mivel α-, β-, γ- és δ-val egy aszimpotikus vonalak által határolt négyszög bels® szögeitjelöltük, így rájuk is igaz, hogy 0 és π közé esnek, így viszont α+β+γ+ δ < 4π, tehát aztaz igen meglep® eredményt kaptuk, hogy akármekkora (aszimptotikus vonalakból álló)négyszög területe kisebb, mint 2π.

3A dolgozat hátralev® részében áttérünk a parciális deriválás változónévvel való jelölésére (vessz®nélkül).

13

1.3.1 Megjegyzés: Ha a 3. ábra szerinti vízszintes paramétervonalak irányítását meg-fordítanánk, akkor az ω szögek is balra néznének, és így a Hazzidakis-formula a T == 2π− (α+ β + γ + δ) alakot öltené, ami már emlékeztethet minket a Gauss-Bonnet tételegyik alkalmazására: konstans −1 görbület¶ felületen, egy geodetikusokból álló három-szög területe megegyezik a bels® szögek összegének 180-tól való elmaradásával, azaz T == π − (α + β + γ).

A most következ® állításból azonnal meg fogjuk kapni Hilbert tételét.

1.3.2 Állítás: A sine-Gordon-egyenletnek nincs olyan ω megoldása a [0, 1] × R sávon,melyre 0 < ω < π teljesül.

Bizonyítás: (Indirekt) Tegyük fel, hogy van ilyen ω ∈ (0, π). Három esetet tár-gyalunk. Els® esetben tegyük fel, hogy ω(1, 0) > ω(0, 0). Legyen 3c = ω(1, 0) − ω(0, 0).

u2 := mins ∈ [0, 1] : ω(1, 0)− ω(s, 0) = c,

u1 := maxs ∈ [0, u2] : ω(s, 0)− ω(0, 0) = c.

Azaz u2 az els® olyan id®pont, amikor ω(s, 0) c-re megközelítiω(1, 0)-t, u1 pedig az utolsó id®pont u2-ig, amikor ω(s, 0)még c távolságra van ω(0, 0)-tól. Ebb®l rögtön látszik, hogyt ∈ [u1, u2]-ra c ≤ ω(t, 0) ≤ π − c teljesül (ω(0, 0)-t 0-valbecsültük alulról, és ω(1, 0)-t π-vel felülr®l).4 Ebb®l viszontsin c ≤ sinω következik. Így tetsz®leges pozitív v-re:

v∫0

u2∫u1

sinωdudv ≥ sin c · (u2 − u1) · v .

A bal oldalt viszont a sine-Gordon-egyenlet segítségéveltovább becsülhetjük felülr®l:

v∫0

u2∫u1

sinωdudv =

v∫0

u2∫u1

ωuvdudv =

= ω(u2, v)− ω(u2, 0)− ω(u1, v) + ω(u1, 0) < 2π.

Az utóbbi egyenl®tlenség az ω ∈ (0, π) feltevésb®l következik.Azt kaptuk, hogy sin c · (u2 − u1) · v < 2π, ami ellentmondás,mert v-t tetsz®legesen nagyra választhatjuk.

Második esetben ω(1, 0) < ω(0, 0). Ezt egy egyszer¶ változócserével visszavezethetjükaz els® esetre: ω(u, v) := ω(1− u,−v). Ez szemléletesen azt jelenti, hogy a [0, 1]×R sávot

4Persze az egyenl®tlenség-sorozat értelmességéhez az is szükséges, hogy c ≤ π− c, ami azzal ekvivalens,hogy c ≤ π

2 . Ez persze igaz, mert 3c ≤ π, így c ≤ π3 .

14

tükrözzük az (12, 0) pontra. A mindkét változóban megjelen® mínusz el®jel biztosítja, hogy

ω továbbra is a sine-Gordon-egyenlet megoldása legyen, így valóban semmi sem sérül azállítás feltételei közül.

Az utolsó ω(1, 0) = ω(0, 0) eset kezelését egy általános észrevétellel kezdjük. Legyenu1 < u2 és v1 < v2. Vegyünk egy aszimptotikus vonalakból álló négyszöget, melynekcsúcsait az (u1, v1), (u2, v1), (u1, v2), (u2, v2) pontok r-nél vett képei határozzák meg.A Hazzidakis-formula levezetésénél láttuk, hogy T = ω(u2, v2) − ω(u2, v1) − ω(u1, v2)++ω(u1, v1), ami terület lévén nyilván pozitív. Emiatt ω(u2, v2) − ω(u1, v2) > ω(u2, v1)−−ω(u1, v1), azaz (pongyolán fogalmazva) a szögek fels® oldalon vett eltérése nagyobb aszögek alsó oldalon vett eltérésénél.Az els® esetre való visszavezetés a következ®képp történik: ω(u, v) := ω(u, v + v0), ahol v0

tetsz®leges pozitív konstans. Ez nyilván továbbra is megoldása a sine-Gordon-egyenletneka megadott tartományon. Az észrevétel szerint ω(1, v0)− ω(0, v0) > ω(1, 0)− ω(0, 0) = 0,tehát ω(1, 0) > ω(0, 0).

1.3.3 Következmény: (Hilbert tétele) A teljes hiperbolikus síkot nem lehet izometriku-san immertálni E3-ba.

Bizonyítás: Hiperbolikus sík alatt egy konstans −1 Gauss-görbület¶ teljes5, regulárisfelületet kell érteni: r : R2 → R3. Az izometrikusság ívhossztartóságot jelent, azaz egy ilyenfüggvény meg®rzi az els® alapformát, és így persze a görbületet is (Theorema Egregium1.2.2). Az immerzió pedig olyan sima leképezés, aminek a deriváltja injektív. Vegyükészre, hogy egy immerziónak globálisan nem kell injektívnek lennie (lehet önátmetszés), deaz inverzfüggvény-tétel miatt lokálisan már az, tehát lokális beágyazásról van szó.

Tegyük fel, hogy a H2 hiperbolikus síknak létezik izometrikus immerziója a 3-dimenzióseuklideszi térbe. Korábban már láttuk, hogy az aszimptotikus vonalak ívhossz szerintparaméterezettek, és mivel a leképezés meg®rzi a hosszúságot, így az E3-beli képeik isegységsebesség¶ek lesznek. Ekkor viszont aszimptotikus vonalakon bármeddig el tudnánkjutni, így a sine-Gordon-egyenletnek egész síkon értelmes megoldása lenne, ami ellentmondaz el®z® állításnak.

Hilbert eredeti bizonyítása nem így szólt. Belátta, hogy az aszimptotikus vonalakCsebisev-hálót alkotnak, majd azt igazolta, hogy ezekkel az egész felületet regulárisanlehet paraméterezni. Innen pedig a Hazzidakis-formula segítségével fejezte be a bizonyítást,ugyanis a hiperbolikus sík területe végtelen, ellentmondásban azzal, hogy a Csebisev-hálóakármekkora paralelogrammája 2π-nél kisebb terület¶.

5Teljesség alatt lehet metrikus teljességet érteni (minden Cauchy-sorozat konvergens), de ez ekvivalensa geodetikus teljességgel. Egy M Riemann-sokaság geodetikusan teljes, ha minden M -beli geodetikuskiterjeszthet® az egész R-re.

15

Állandó negatív görbület¶forgásfelületek

2.1. Áttérés f®görbületi koordinátákra

Most megvizsgáljuk, hogy mi történik, ha a koordináta-rendszert elforgatjuk 45-kal, pon-tosabban, tekintjük a következ® átparaméterezést:

r(u, v) = r(u+v

2, u−v

2

).

Az áttekinthet®ség kedvéért bevezetjük az @ (at) jelölést: f@x azt jelenti, hogy f az xhelyen. Nyilván akkor érdemes ilyet használni, ha f összetett függvény.Számoljuk ki az érint®tér szokásos bázisát:

ru(u, v) =1

2(ru + rv)@

(u+v

2, u−v

2

),

rv(u, v) =1

2(ru − rv)@

(u+v

2, u−v

2

).

Korábban az Euler-formulából azt kaptuk, hogy az aszimptotikus irányok a f®irányokraszimmetrikusak, és most láthatjuk, hogy ru és rv éppen az ru, rv aszimptotikus irányokszögfelez®i által meghatározott irányokba, azaz a f®irányokba mutatnak. Az els® alapformamátrixa az új bázisban:

G(u, v) =

|ru|2 〈ru, rv〉

〈rv, ru〉 |rv|2

@(u, v) =

=

14(1 + 2 cosω + 1) 0

0 14(1− 2 cosω + 1)

@(u+v

2, u−v

2

)= ...

Itt felhasználtuk, hogy az aszimptotikus vonalak ívhossz szerint paraméterezettek, azaz|ru| = |rv| = 1. Azt az ismert tényt is kiolvashatjuk, hogy a f®irányok egymásra mer®lege-sek, hiszen a f®átlón kívüli elemek 0-k. Legyen θ(u, v) = 1

2ω(u+v

2, u−v

2

). Ez az Euler-

-formula szerint az aszimptotikus irányok és a f®irányok által bezárt szög (ld. 1.1 fejezet).Ekkor a cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ azonosság segítségével:

... =

1+cosω2

0

0 1−cosω2

@(u+v

2, u−v

2

)=

cos2 θ 0

0 sin2 θ

@(u, v).

16

A második alapforma mátrixának felírásához szükség lesz a következ®kre:

ruu(u, v) =1

4(ruu + 2ruv + rvv)@

(u+v

2, u−v

2

),

ruv(u, v) =1

4(ruu − ruv + rvu − rvv)@

(u+v

2, u−v

2

),

rvv(u, v) =1

4(ruu − 2ruv + rvv)@

(u+v

2, u−v

2

).

Ezeket kell az N(u, v) normális vektorral skalárisan szorozni.

Felhasználva, hogy B =

(〈ruu,N〉 〈ruv,N〉〈rvu,N〉 〈rvv,N〉

)=

(0 ± sinω

± sinω 0

)kapjuk, hogy

B(u, v) =

±2 sinω4

0

0 ∓2 sinω4

@(u+v

2, u−v

2

)=

± sin θ cos θ 0

0 ∓ sin θ cos θ

@(u, v).

Így már a Weingarten-leképezés mátrixát is felírhatjuk: L = G−1B =

(± tan θ 0

0 ∓ cot θ

).

Tehát el®jelt®l eltekintve megkaptuk a két f®görbületet: tan θ és − cot θ 6. Ha észrevesszük,hogy ω(u, v) = 2θ(u+ v, u− v), akkor az összetett függvény deriválási szabályát használvaa sine-Gordon-egyenlet egy új alakját kapjuk:

2(θuu − θvv) = sin 2θ, azaz θuu − θvv = sin θ cos θ.

2.1.1 Megjegyzés: Ez az alak már nagyon hasonlít az úgynevezett Klein-Gordon-egyenletre:θuu − θvv = θ. Kis θ-ra sin θ ≈ θ és cos θ ≈ 1, innen az elnevezés.

2.2. A pszeudoszféra

Az imént aszimptotikus vonalakból álló lokális koordináta-rendszerr®l áttértünk görbületivonalakból álló paraméterezésre. Szeretnénk ennek a szemléletes tartalmát is bemutatniegy állandó negatív görbület¶ forgásfelületen, nevezetesen, a pszeudoszférán. Ehhez el®szörbe kell vezetnünk a traktrixot. Ezt többféleképp meg lehet tenni.

2.2.1 Deníció: Traktrixnak nevezzük a γ(t) = (cosh t, t) láncgörbe azon evolvensét,mely γ-t a (0, 1) pontban érinti.

Emlékeztet®: egy γ görbe evolvensei (involútái), a γ-n csúszásmentesen gördül® egyenespontjai által leírt görbék. A láncgörbe γ(0) és γ(t) közötti ívének hossza:

t∫0

||γ′(τ)||dτ =

t∫0

√sinh2 τ + 1 dτ =

t∫0

cosh τ dτ = sinh t .

6Ez következik az Euler-formulából is (ld. 1.1 fejezet), felhasználva, hogy κ1κ2 = −1.

17

Így a traktrix paraméterezése a következ®:

γ(t) = γ(t)− sinh t · γ′(t)

||γ′(t)||= (cosh t, t)− sinh t · (sinh t, 1)

cosh t=

(1

cosh t, t− tanh t

).

2.2.2 Megjegyzés: Van egy ennél sokkal természetesebb módja is a traktrix bevezetésének:traktrixnak nevezünk egy olyan görbét, mely átmegy a vízszintes tengely (1, 0) pontján, ésamelynek bármely pontjába húzott érint® érintési pontjának és a függ®leges tengelynek azérint®n mért távolsága konstans 1.

Sokkal találóbb a görbe német elnevezése: Hundekurve. Ugyanis a traktrix egy olyancsökönyös kutya útját írja le, akit (észak-déli irányban közleked®) gazdája pórázon von-szol maga után.7 Amennyiben az olvasó nem kíván ebekkel hadakozni, akkor ajánlomgyelmébe a következ® származtatást: ha egy kerékpár els® kerekét olyan egyenes menténtoljuk, mely a vázzal nem párhuzamos, akkor a hátsó kerék egy traktrixon gurul végig.

Ha innen közelítünk, akkor az érint® meredekségénekkétféle felírásából juthatunk el egy γ(t) := (x(t), y(t))paraméterezéshez:

y′(x) = −√

1− x2

x.

Mindkét oldalt integrálva kapjuk, hogy

y(x) = −∫ √

1− x2

xdx .

Az integrálban x helyére sin θ-t helyettesítve, majd parciálisanintegrálva kapjuk a következ®t:

y(x) = −∫ √

1− sin2 θ

sin θ·cos θ dθ = −

∫cot θ·cos θ dθ = − cot θ sin θ+

∫− 1

sin2 θ·sin θ dθ =

= − cos θ−∫

1

sin θdθ = − cos θ−

∫1

2 sin θ2

cos θ2

dθ = − cos θ−∫

1

tan θ2

· 1

cos2 θ2

· 12dθ =

Az utolsó lépésben csak cos θ2-vel b®vítettünk. Itt pedig már a láncszabály szerint követik

egymást a deriváltak, és könnyen ráismerhetünk a következ®re:

= − cos θ − log tanθ

2+ c .

Az integrációs konstansról nyugodtan feltehetjük, hogy 0, hisz ez csak a traktrix függ®legestengely menti eltolásáért felel®s (nem 0 konstans nem ad más alakú képgörbét).

Mivel x ∈ (0, 1], így θ ∈ (0, π). Ha θ → 0, akkor világos, hogy x(θ) = sin θ → 0 ésy(θ) = − cos θ−log tan θ

2→ +∞, azaz ha θ-t változtatjuk 0-tól π

2felé, akkor a traktrix fels®

7A magyar elnevezésben is van logika: a latin traho, trahere, traxι, tractum (húz) igéb®l származik.

18

szárát kapjuk meg, míg ha π2-t®l megyünk π felé, akkor az (x(θ), y(θ)) pont az alsó száron

fut végig. Hogy a mínusz jelekkel ne kelljen bajlódni, tükrözzük az egészet az x tengelyre,azaz a végs® paraméterezésünk γ(θ) = (sin θ, cos θ + log tan θ

2) legyen.8 Természetesen ez

is jó paraméterezés, csak éppen ellenkez® irányban futjuk be a képgörbét.Illene belátnunk, hogy a kétféle paraméterezés ugyanazt a görbét írja le. Ezt bizonyítja

a következ®

2.2.3 Lemma: Ha t = log tan θ2, akkor

sin θ =1

cosh tes cos θ = − tanh t .

Bizonyítás:

t = log tanθ

2⇔ tan

θ

2= et , ekkor persze cot

θ

2= e−t,

cosh t =et + e−t

2=

tan θ2

+ cot θ2

2=

sin2 θ2

+ cos2 θ2

2 cos θ2

sin θ2

=1

sin θ,

tanh t =et − e−t

et + e−t=

tan θ2− cot θ

2

tan θ2

+ cot θ2

=sin2 θ

2− cos2 θ

2

sin2 θ2

+ cos2 θ2

= − cos θ .

4. ábra. 5. ábra.

8Jogosan felt¶nhet valakinek az az ellentmondás, hogy a fenti számolásból y(sin θ) = − cos θ− log tan θ2

jött ki, és utána gátlástalanul csak y(θ) = − cos θ − log tan θ2 -t írtunk. Itt természetesen új jelölést kellett

volna bevezetnünk γ(θ) második koordinátájára, de így egyszer¶bb volt, és kés®bb sem lesz fontos. Czáchtanár úr azt mondaná, hogy ugye mindenki látja, hogy ez már egy piros y?.

19

Ha a traktrixot a függ®leges tengely körül megforgatjuk, akkor egy azonosan −1 gör-bület¶ felülethez, az úgynevezett pszeudoszférához jutunk. Ha a traktrix els® felírásátvesszük alapul, akkor a pszeudoszféra f®görbületi paraméterezéséhez jutunk (4. ábra)

r(u, v) =

(cos v

coshu,

sin v

coshu, u− tanhu

),

míg a második szerint a szokásos paraméterezést kapjuk meg (5. ábra)

r(u, v) =(

sinu cos v, sinu sin v, cosu+ log tanu

2

).

A szemmel látható különbség a két ábra között annyi, hogy az els®n az u-hoz tartozókoordinátavonalak (paralell görbék) egyenletesebben követik egymást.A f®görbületi paraméterezésnél a koordinátavonalak görbületi vonalak lesznek, innen azelnevezés. Ennek belátásához igazoljuk a következ® állítást:

2.2.4 Állítás: Ha egy r : Ω → Rn reguláris paraméterezés¶ hiperfelület els® és másodikalapforma-mátrixa diagonális, akkor koordinátavonalai görbületi vonalak. A megfordításis igaz, ha a f®görbületek minden pontban különböz®ek.

Bizonyítás: A f®görbületek, deníció szerint, a Weingarten-leképezés sajátértékei. AWeingarten-leképezés mátrixa felírható az alapforma-mátrixok hányadosaként: L = G−1B.Így persze L is diagonális. Egy lineáris leképezés valamilyen bázisban felírt mátrixa pon-tosan akkor lesz diagonális, ha a bázis sajátvektorokból áll. Mivel G és B az r1, . . . , rn−1

bázisban felírt mátrixok, így, feltevésünk szerint, ezek L-nek (is) sajátvektorai, azaz ezeka vektorok f®irányokba mutatnak.

A megfordításhoz tegyük fel, hogy a koordinátavonalak görbületi vonalak, és hogy aκ1, . . . , κn−1 f®görbületek különböz®ek. Ekkor⟨

κiri, rj⟩

=⟨L(ri), rj

⟩=⟨ri,L(rj)

⟩=⟨ri, κjrj

⟩,

⇒ (κi − κj)⟨ri, rj

⟩= 0.

Mivel i 6= j esetén κi 6= κj, ezért gij =⟨ri, rj

⟩= 0, ha i 6= j. Tehát G diagonális. Persze

L is diagonális, hisz föltettük, hogy a koordinátavonalak görbületi vonalak, azaz, hogyr1, . . . , rn−1 f®irányokba néznek. B = GL pedig B diagonalitását biztosítja.

Elég tehát belátnunk a pszeudoszféra f®görbületi paraméterezéséhez tartozó alapforma-mátrixokról, hogy diagonálisak.

ru =

(− cos v · sinhu

cosh2 u,− sin v · sinhu

cosh2 u, 1− 1

cosh2 u

),

rv =

(− sin v

coshu,

cos v

coshu, 0

).

||ru||2 =(cos2 v + sin2 v

) sinh2 u

cosh4 u+

(1− 1

cosh2 u

)2

=sinh2 u(1 + sinh2 u)

cosh4 u= tanh2 u ,

20

||rv||2 =1

cosh2 u, 〈ru, rv〉 = 〈rv, ru〉 = 0 .

Ugyanilyen nehézség¶, de sokkal hosszabb számolás adja a második alapforma mátrixánakelemeit, ezért csak a végeredményt írjuk fel:

G =

tanh2 u 0

0 1cosh2 u

, B =

− 1coshu

tanhu 0

0 1coshu

tanhu

.

Így az el®z® 2.2.4 állítás szerint a f®görbületi paraméterezésnél a koordinátavonalak valóbangörbületi vonalak lesznek.Másik fontos észrevétel, hogy a 2.2.3 lemmában szerepl® azonosságok használatával azalapforma-mátrixok éppen a fent már látott

G =

(cos2 θ 0

0 sin2 θ

), B =

(sin θ cos θ 0

0 − sin θ cos θ

)alakot öltik. Ott egy állandó −1 görbület¶ felület aszimp-totikus vonalakból álló paraméterezéséb®l kaptuk ezt a formáta koordinátarendszer 45-os elforgatásával. Ez egyrészt azt je-lenti, hogy a pszeudoszféra konstans −1 görbület¶, másrésztazt, hogy visszaforgatással, azaz az (u, v) (u+ v, u− v)koordinátacserével a pszeudoszféra aszimptotikus vonalak-ból álló paraméterezéséhez jutunk. Az ábrán jól látható,ahogyan az aszimptotikus vonalak a szingularitásokhozközeledve párhuzamossá válnak, ami összhangban vanHilbert tételének bizonyításával, mert ott éppen abból kap-tuk az ellentmondást, hogy nincs olyan megoldása a sine--Gordon egyenletnek, mely az egész síkon értelmes, és nemveszi fel a k · π értékek valamelyikét. Érdekes viszont, hogyaz aszimptotikus vonalak simán mennek át a szingularitá-sok körén egyik féltekér®l a másikra (ez csak a látszat, mertvalójában visszafordulnak).

Igen meglep® az is, hogy a 2.2.3 lemmában θ a traktrix érint®jének függ®leges tengely-lyel bezárt szögét jelentette, itt pedig az aszimptotikus vonalak hajlásszögének felét, azaza f®irányok aszimptotikus irányokkal bezárt szögét.

További érdekességként, illetve az elnevezés magyarázataként, megjegyezzük, hogy apszeudoszféra területe 4π, ami éppen az egységgömb területével egyezik, valamint a térfo-gata 2π

3, ami épp a gömb térfogatának fele.

Következ® célunk pedig az lesz, hogy általánosságban jellemezzük az állandó negatívgörbület¶ forgásfelületeket, vagyis azok generáló (más néven prol-) görbéit. Nyilvána pszeudoszférát is meg fogjuk kapni, így új bizonyítást nyerünk konstans negatív gör-bület¶ségére.

21

2.3. Állandó negatív görbület¶ forgásfelületek osztályozása

Legyen (x(t), y(t)) ívhossz szerint paraméterezett görbe, azaz x′2 + y′2 ≡ 1. A függ®legestengely körül megforgatva az

r(u, v) = (x(u) cos v, x(u) sin v, y(u))

paraméterezéshez jutunk. Ez reguláris lesz minden olyan pontban, ahol x 6= 0. A Gauss--görbületet szeretnénk kifejezni x és y segítségével a regularitási pontokban, ehhez pedigszükségünk van az els® illetve a második alapforma mátrixára. Még itt érdemes föltenni,hogy x mindenütt pozitív. Ez nem okoz problémát, hisz ha a görbe azon részeit, melyeknélaz x koordináta negatív, tükrözzük az y tengelyre, akkor is az eredeti prolgörbéb®lkészített forgásfelület egy generáló görbéjét kapjuk.

ru(u, v) = (x′(u) cos v, x′(u) sin v, y′(u)) ,

rv(u, v) = (−x(u) sin v, x(u) cos v, 0) ,

⇒ G =

(1 00 x2

).

N(u, v) =ru × rv||ru × rv||

@(u, v) =

=

(−x(u) cos v · y′(u),−x(u) sin v · y′(u), x′(u)x(u) cos2 v + x(u)x′(u) sin2 v

)√x2(u)y′2(u) cos2 v + x2(u)y′2(u) sin2 v + x′2(u)x2(u)

=

=(−x(u) cos v · y′(u),−x(u) sin v · y′(u), x′(u)x(u))

x(u)√y′2(u) + x′2(u)︸ ︷︷ ︸

1

= (−y′(u) cos v,−y′(u) sin v, x′(u)) ,

ruu(u, v) = (x′′(u) cos v, x′′(u) sin v, y′′(u)) , ruv(u, v) = (−x′(u) sin v, x′(u) cos v, 0) ,

rvv(u, v) = (−x(u) cos v,−x(u) sin v, 0) ,

⇒ B =

(x′y′′ − x′′y′ 0

0 xy′

).

K =detBdetG

=(y′′x′ − x′′y′)xy′

x2=y′y′′x′ − x′′y′2

x= ...

Itt pedig felhasználjuk, hogy 0 = 12

(x′2 + y′2

)′= x′x′′ + y′y′′ ,

... =−x′x′′x′ − x′′y′2

x=−x′′(x′2 + y′2)

x= −x

′′

x.

22

Mivel most a K ≡ −1 eset foglalkoztat minket, így az x′′(u) = x(u) dierenciálegyenletetkell megoldanunk, de ugyanígy kezelhet® az állandó pozitív görbület¶ eset is (speciálisan,a gömb generáló görbéjét is megkaphatnánk). Az általános megoldás a következ® alakbanadható meg:

x(u) = Aeu +Be−u ,

y′2(t) = 1− x′2(t) = 1−

(Aet −Be−t

)2,

y(u) =

u∫0

√1− (Aet −Be−t)2dt .

Ez egy elliptikus integrál, melyet általában nem lehet kiszámolni. Vizsgáljuk meg milyenesetek jöhetnek szóba.

I. eset: A vagy B = 0. (Pszeudoszféra)Mindkett® nem lehet 0, hisz akkor x ≡ 0 lenne, és így nem lenne reguláris pontja afelületnek, mi pedig éppen ezeket vizsgáljuk. Tegyük fel, hogy A = 0. Ekkor feltehetjük,hogy B > 0, hisz ha nem így van, akkor a prolgörbe függ®leges tengelyre való tükrözésévelezt elérhetjük, más szóval (x, y) helyett (−x, y)-t vesszük. Ez nyilván nem változtatja mega forgásfelületet. Ha pedig elvégezzük az u u + logB helyettesítést, akkor az els®koordinátafüggvény az x(u) = e−u alakra redukálódik. Mivel

0 ≤ y′2(u) = 1− x′2(u) = 1− e−2u,

így u ≥ 0-nak kell teljesülnie. Tehát

(x(u), y(u)) =

e−u, u∫0

√1− e−2t dt

, ha 0 ≤ u <∞ .

B = 0 esetén teljesen hasonlóan feltehetjük, hogy A > 0, illetve elvégezhetjük az u u− logA helyettesítést. 0 ≤ y′2(u)-ból pedig u ≤ 0 következik, de az u = 0 esetegybeesik az el®z®vel, így attól eltekinthetünk, és kapjuk a következ®t:

(x(u), y(u)) =

eu, u∫0

√1− e2t dt

, ha −∞ < u < 0 .

Mostantól tehát feltesszük, hogy A és B nullától különböz®. Ekkor az u u+ 12

log∣∣BA

∣∣helyettesítéssel az els® koordinátafüggvényre a√

|A|√|B|eu +

√|A|√|B|e−u

felírást kapjuk, amib®l látszik, hogy |A| = |B| feltehet®. (Az eddig látott helyettesítésekhatására az értelmezési tartomány nem változik, hisz u befutja R-et, és a számegyeneseltoltja önmaga.)

23

II. eset: A = B. (Hiperbolikus)Megint feltehetjük, hogy A > 0 (generáló görbe tükrözése az y tengelyre). Ekkor

x(u) = A(eu + e−u) = 2A coshu .

Ebb®l persze a b = 2A jelölés bevezetésével

y(u) =

u∫0

√1− b2 sinh2 t dt

adódik. Vigyáznunk kell azonban, hogy a gyök alá ne kerüljön negatív szám: b > 0-ra

1− b2 sinh2 u ≥ 0⇔ b2 sinh2 u ≤ 1⇔ −1

b≤ sinhu ≤ 1

b⇔ − arsinh

1

b≤ u ≤ arsinh

1

b.

Utolsó lépésben felhasználtuk, hogy a sinh páratlan függvény, és hogy páratlan függvényinverze is páratlan.

III. eset: A = −B. (Kúpszer¶)Ismét (u −u segítségével) feltehetjük, hogy A > 0. Így

x(u) = A(eu − e−u) = 2A sinhu,

y(u) =

u∫0

√1− b2 cosh2 t dt .

Az értelmességhez szükséges feltétel az el®z®höz hasonlóan:

1− b2(1 + sinh2 u) ≥ 0⇔ 1− b2

b2≥ sinh2 u⇔ arsinh

√1− b2

b≥ u ≥ − arsinh

√1− b2

b.

Látszik, hogy (0 <) b ≤ 1 is szükséges.

2.3.1 Deníció: Az

E (φ|m) :=

φ∫0

√1−m sin2 θ dθ

függvényt m < 1 esetén másodfajú elliptikus integrálnak nevezzük. E (m) := E(π2|m)-et

pedig teljes másodfajú elliptikus integrálnak nevezzük.

Ha vesszük az ellipszis szokásos γ(t) = (a cos t, b sin t) paraméterezését, akkor valamelyívének hosszát éppen egy ilyen integrállal tudjuk meghatározni: γ′(t) = (−a sin t, b cos t),

t1∫t0

||γ′(t)|| dt =

t1∫t0

√a2 sin2 t+ b2 cos2 t dt =

t1∫t0

√b2 + (a2 − b2) sin2 t dt =

= b

t1∫t0

√1−

(1− a2

b2

)sin2 t dt = b · E

(t1

∣∣∣ 1− a2

b2

)− b · E

(t0

∣∣∣ 1− a2

b2

).

24

2.3.2 Megjegyzés: Vegyük észre, hogy E (φ|1) = sinφ, így E (φ|m) -re gondolhatunk úgy,mint a szinusz függvény általánosítása. S®t, ha felhasználjuk, hogy sin z = eiz−e−iz

2i= sinh iz

i,

akkor egyb®l a hiperbolikus szinusz függvény általánosításának is tekinthet®:

−i E (iφ | −m) =

φ∫0

√1−m sinh2 θ dθ .

Ennek ismeretében már végleges formájában kimondhatjuk a fent bizonyított tételt:

2.3.3 Tétel: Legyen M egy konstans −1 Gauss-görbület¶ forgásfelület. Ekkor M egy-bevágó az r(u, v) = (x(u) cos v, x(u) sin v, y(u)) paraméterezés¶ felület egy részével, ahol aγ(u) = (x(u), y(u)) prolgörbe a következ®k valamelyike:

I. (Pszeudoszféra)

(x(u), y(u)) =

(e−u,

u∫0

√1− e−2t dt

), ha 0 ≤ u <∞ ;(

eu,u∫0

√1− e2t dt

), ha −∞ < u < 0 .

II. (Hiperbolikus típusú)

(x(u), y(u)) =(b coshu,−i E

(iu | − b2

))valamilyen b > 0 konstanssal, és − arsinh 1

b≤ u ≤ arsinh 1

begyenl®tlenséget kielégít®

u-val.

III. (Kúpszingularitással rendelkez®)

(x(u), y(u)) =

(b sinhu,−i

√1− b2 E

(iu∣∣∣− b2

1− b2

)),

ahol 0 < b < 1 állandó, és u-ra − arsinh√

1−b2b≤ u ≤ − arsinh

√1−b2b

teljesül.

Bizonyítás: A tételt a korábbi számolások már bizonyítják. Itt csak azt mutatjukmeg, hogy az I. esetben megjelen® görbe éppen a traktrix, és így jogosan tüntettük felzárójelben, hogy a pszeudoszféra generáló görbéje.

Tekintsük a traktrix szokásos paraméterezését: η(θ) = (sin θ, cos θ+ log tan θ2). Nyilván

θ-t szeretnénk u megfelel® függvényének tekinteni, de hogy ne teljesen kalapból nyuszibizonyítást adjunk, megpróbálunk intuíció szerint haladni, és nem az elején mondjuk meg,mit válasszunk θ(u)-nak. A bizonyítást I. 0 ≤ u < ∞ esetében fogjuk elvégezni, a−∞ < u < 0 eset teljesen hasonlóan kezelhet®. Azt fogjuk megmutatni, hogy minden

25

u ≥ 0-ra γ′(u) = (η θ)′(u), és γ(0) = η(θ(0)). Ekkor a közönséges dierenciálegyen-letek megoldásának egyértelm¶ségér®l szóló (Picard-Lindelöf) tétel szerint γ(u) = η(θ(u))minden u ≥ 0-ra. Nézzük tehát a tételbeli paraméterezés deriváltját:

γ′(u) =(−e−u,

√1− e−2u

).

Ha látunk egy f függvényt, és√

1− f 2 is megjelenik a közelben, akkor f helyére érdemesvalamelyik szögfüggvényt írni. Mi is ezt tesszük. A deriváltra ránézve tehát θ(u)-tólazt követeljük meg, hogy sin θ(u) = e−u és cos θ(u) =

√1− sin2 θ(u) = −

√1− e−2u

teljesüljön. θ(u) = π − arcsin(e−u) jó választás lesz (azért kell π-vel eltolni, hogy π2és π

közé essen θ(u), és így cos θ(u) negatív legyen). Ekkor tehát

(η θ)′(u) =

(cos θ(u),− sin θ(u) +

1

sin θ(u)

)· θ′(u)

∗=

θ′(u) = − 1√1− e−2u

· (−e−u) = − sin θ(u)

cos θ(u)

∗=

(− sin θ(u),

sin2 θ(u)

cos θ(u)− 1

cos θ(u)

)= (− sin θ(u),− cos θ(u)) =

(−e−u,

√1− e−2u

)= γ′(u).

S minthogy γ(0) = η(θ(0)) = (1, 0), így a fent már megbeszéltek miatt készen vagyunk.

2.3.4 Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a tétel els® esetében a traktrix ívhossz szerintiparaméterezése szerepel:

||γ′(u)||2 = e−2u +√

1− e−2u2

= 1 .

26

6. ábra. Hiperbolikus típusú forgás-felülethez tartozó prolgörbe (b = 0.5 ), ésmegforgatottja

7. ábra. Kúpszer¶ forgásfelülethez tartozóprolgörbe (b = 0.3 ), és megforgatottja

27

A Bianchi- és aBäcklund-transzformáció

A most következ®kben olyan transzformációkkal fogunk foglalkozni, melyek állandó negatívgörbület¶ felületb®l újabb ugyanolyan görbület¶ felületet gyártanak. A Bianchi-transzfor-mációval kezdjük, majd áttérünk ennek általánosítására, a Bäcklund-transzformációra.Látni fogjuk, hogy mindkett® megadható geometriai illetve analitikus formában is. Utób-bit bizonyos típusú parciális dierenciálegyenletek úgynevezett szoliton megoldásainakkeresésére is használják. Err®l még beszélni fogunk.

3.1. A Bianchi-transzformált

3.1.1 Deníció: Legyen r : Ω → R3 egy állandó −1 Gauss-görbület¶ felület, r : Ω → R3

pedig egy másik felület9.Azt mondjuk, hogy r az r Bianchi-transzformált ja, ha

1. ||r(u, v)− r(u, v)|| ≡ 1,

2. r(u, v)− r(u, v) érinti az r-et és az r-ot az r(u, v) illetve r(u, v) pontokban,

3. N(u, v) érinti r-et r(u, v)-ben.

8. ábra.

Próbáljuk meg leírni r Bianchi-transzformáltjait!Paraméterezzük úgy az eredeti felületet, hogy ru és rvf®irányok legyenek. Ezt nyugodtan megtehetjük, mertparaméterezést®l független, tisztán geometriai feltételeinkvannak. Ekkor a korábbi számolások szerint

G =

(cos2 θ 0

0 sin2 θ

), B =

(± sin θ cos θ 0

0 ∓ sin θ cos θ

).

Persze ekkor ||ru|| = cos θ és ||rv|| = sin θ miatt ru

cos θés rv

sin θ

minden egyes pontban az érint®sík ortonormált bázisa lesz.Így, a 2. tulajdonság miatt, r(u, v)−r(u, v) kifejezhet® ezen

9Vegyük észre, hogy r és r paramétertartománya ugyanaz, így található valamilyen megfeleltetés a kétfelület között.

28

egységhosszú vektorok segítségével, és az együtthatók meghatározásánál az 1. tulajdonsá-got is kihasználva a következ® egyenl®séghez jutunk:

r− r = cos θ · rucos θ

+ sin θ · rvsin θ

, (3.8)

ahol a θ : Ω → R függvény az r(u, v)− r(u, v) egységvektor ru báziselemmel bezárt szöge.Ezt szokás a Bianchi-transzformált szögfüggvényének is nevezni (8. ábra). A 3. tulajdonságszerint N(u, v) is a szóbanforgó érint®síkban van, és így r(u, v) − r(u, v) -nek ebben asíkban vett + vagy −90-os elforgatottja, amit középiskolás módszerrel megkaphatunk (ti.koordinátacsere és az egyik (−1)-gyel való szorzása)

N = ±(− sin θ · ru

cos θ+ cos θ · rv

sin θ

)(3.9)

Vegyük észre, hogy θ-ról még szinte semmi sem derült ki, de szerencsére van még egytulajdonság, amit egyáltalán nem használtunk, nevezetesen az, hogy N az r normálisa,azaz (θ-ra) teljesülniük kell az N ⊥ ru, N ⊥ rv feltételeknek. A következ® hosszadalmasszámolás tehát semmi másról nem fog szólni, mint hogy felírjuk a megfelel® deriváltakat aszokásos bázisban, és az N normális vektorral vett skaláris szorzatukat nullává tesszük.

ru = ru +

(cos θ

cos θ

)u

· ru +cos θ

cos θ· ruu +

(sin θ

sin θ

)u

· rv +sin θ

sin θ· ruv .

Fejezzük ki a most megjelent második parciális deriváltakat az els®k segítségével, de ehhezszükségünk lesz a Christoel-szimbólumok 1.1 kifejtésére, ahol egyb®l felhasználjuk, hogyG és így G−1 is diagonális (számok helyett most értelemszer¶en magukkal a változókkalindexelünk)

Γuuu =1

2guuguu,u =

1

2· sin2 θ

cos2 θ sin2 θ· (cos2 θ)u = −cos θ sin θ

cos2 θ· θu = − tan θ · θu ,

Γvuu =1

2gvv(−guu,v) = −1

2· cos2 θ

cos2 θ sin2 θ· (cos2 θ)v =

cos θ sin θ

sin2 θ· θv = cot θ · θv ,

ruu = Γuuu · ru + Γvuu · rv + buu ·N = − tan θ · θu · ru + cot θ · θv · rv + buu ·N . (3.10)

Hasonlóan: Γuuv = − tan θ · θv és Γvuv = cot θ · θu . Ezekb®l pedig:

ruv = − tan θ · θv · ru + cot θ · θu · rv + buv︸︷︷︸0

·N . (3.11)

Jelölje A az ru együtthatóját az ru felírásában, B pedig rv-ét:

A = 1 +

(cos θ

cos θ

)u

+cos θ

cos θ· (− tan θ · θu) +

sin θ

sin θ· (− tan θ · θv) =

29

= 1 +− sin θ cos θ · θu + sin θ cos θ · θu

cos2 θ− cos θ sin θ · θu

cos2 θ− sin θ sin θ · θv

sin θ cos θ=

= 1− sin θ

cos θ

(θu + θv

),

B =

(sin θ

sin θ

)u

+cos θ

cos θ· cot θ · θv +

sin θ

sin θ· cot θ · θu =

=cos θ sin θ · θu − sin θ cos θ · θu

sin2 θ+

cos θ cos θ · θvcos θ sin θ

+sin θ cos θ · θu

sin2 θ=

cos θ

sin θ

(θu + θv

).

ru normális komponensének C együtthatójával azért nem foglalkoztunk, mert N ⊥ Nmiatta skaláris szorzásnál ez úgyis azonnal kiesik. A kés®bbiek miatt viszont megjegyezzük, hogyC = cos θ

cos θbuu = ± sin θ cos θ .

0 =⟨N , ru

⟩=⟨N , A · ru +B · rv + C ·N

⟩=

=

⟨− sin θ

cos θ· ru +

cos θ

sin θ· rv ,

(1− sin θ

cos θ

(θu + θv

))ru +

(cos θ

sin θ

(θu + θv

))rv

⟩=

= − sin θ

cos θ

(1− sin θ

cos θ

(θu + θv

))||ru||2︸ ︷︷ ︸cos2 θ

+cos θ

sin θ

(cos θ

sin θ

(θu + θv

))||rv||2︸ ︷︷ ︸sin2 θ

=

= − sin θ cos θ +(

sin2 θ + cos2 θ)(

θu + θv

)Tehát: N ⊥ ru ⇔ θu + θv = sin θ cos θ . A másik feltételhez hasonló számolással kapjukaz

rv =

[− sin θ

cos θ

(θv + θu

)]ru +

[1 +

cos θ

sin θ

(θu + θv

)]rv +

[∓ sin θ cos θ

]N

felírást, amib®l

0 =⟨N , rv

⟩= sin θ cos θ +

(θu + θv

)adódik. Tehát a másik feltétel: N ⊥ rv ⇔ θu + θv = − sin θ cos θ .

Ezek szerint, ha meg akarjuk keresni az r felület Bianchi-transzformáltjait, akkor megkell oldanunk a következ® parciális dierenciálegyenlet-rendszert θ-ra:

θu = sin θ cos θ − θvθv = − sin θ cos θ − θu

(3.12)

Ez persze nem mindig oldható meg. Éppen erre ad szükséges és elégséges feltételt Frobeniustételének eredeti alakja: ennek a rendszernek pontosan akkor létezik lokális megoldása, ha aYoung-tétellel nem tudunk ellentmondásra jutni, azaz ha a θuv = θvu egyenl®ség teljesül,

30

ami alatt azt kell érteni, hogy az el®z® egyenletek (megfelel® változó szerinti) deriváltjainakkell megegyezniük.

θuv =(

sin θ cos θ − θv)v

= cos θ · θv · cos θ − sin θ sin θ · θv − θvv =

θv helyére persze beírhatjuk a másik egyenlet jobb oldalát, így

= − cos θ sin θ cos2 θ − cos θ cos θ · θu − sin θ sin θ · θv − θvv , (∗)

θvu =(− sin θ cos θ − θu

)u

= − cos θ · θu · cos θ + sin θ sin θ · θu − θuu =

= − cos θ · θu · cos θ + sin θ sin2 θ cos θ − sin θ sin θ · θv − θuu . (∗)

A (∗)-osok egyenl®ségéb®l egyszer¶sítések után kapjuk, hogy

θuu − θvv = sin θ cos θ(

sin2 θ + cos2 θ)

Azaz θuu − θvv = sin θ cos θ, ami épp a θ-ra felírt sine-Gordon-egyenlet. Tehát ennekteljesülése biztosítja a fenti (3.12) parciális dierenciálegyenlet-rendszer megoldhatóságát,és mivel egy azonosan −1 görbület¶ felületb®l indultunk ki, ez természetesen teljesül.Magyarul, egy állandó negatív görbület¶ felület Bianchi-transzformáltja mindig elkészít-het®. Már csak azt kéne belátnunk, hogy r valóban konstans −1 Gauss-görbület¶ felületetparaméterez. Ehhez tovább pontosítjuk ru és rv felírását a fenti, θ-ra vonatkozó (3.12)egyenletrendszer felhasználásával, hogy aztán kifejezhessük az els® és második alapformamátrixát. Láttuk, hogy a normálvektor csak el®jel erejéig van meghatározva, így ez abizonytalanság B f®átlójában is megjelent. Mi most önkényesen rögzítjük az egyik verziót:buu = − sin θ cos θ és bvv = sin θ cos θ. (Ennek oka esztétikai apróság: így B ugyanolyanalakú lesz, mint B.)

ru = A·ru+B·rv+C·N =

[1− sin θ

cos θ

(θu + θv

)]ru+

[cos θ

sin θ

(θu + θv

)]rv+[− sin θ cos θ

]N =

=[1− sin2 θ

]ru + cos θ sin θ cot θ · rv − sin θ cos θ ·N , (3.13)

〈ru, ru〉 = cos4 θ · ||ru||2︸ ︷︷ ︸cos2 θ

+ cos2 θ sin2 θ cot2 θ ||rv||2︸ ︷︷ ︸sin2 θ

+ sin2 θ cos2 θ ||N||2︸ ︷︷ ︸1

=

= cos2 θ(

cos2 θ(cos2 θ + sin2 θ) + sin2 θ)

= cos2 θ .

Teljesen hasonlóan rv = sin θ cos θ tan θ ·ru+sin2 θ ·rv+sin θ cos θ ·N , innen 〈rv, rv〉 = sin2 θ.

〈ru, rv〉 = cos2 θ sin θ cos θ tan θ·||ru||2+cos θ sin θ cot θ sin2 θ·||rv||2−sin θ cos θ sin θ cos θ||N||2 =

= sin θ cos θ sin θ cos θ(cos2 θ + sin2 θ)− sin θ cos θ sin θ cos θ = 0 ,

31

=⇒ G =

(cos2 θ 0

0 sin2 θ

).

Ez pedig éppen a standard alakja az els® alapformának −1 Gauss-görbület esetén, így haa Theorema Egregium (1.2.2) segítségével ki akarjuk számolni a Gauss-görbületet, akkora korábbiak alapján tudjuk, hogy K ≡ −1 csak akkor jöhet ki, ha θ-ra (is) teljesül a sine-Gordon-egyenlet. Ellen®rizzük hát ezt a tulajdonságot! A θ-ra vonatkozó (3.12) parciálisdierenciálegyenlet-rendszerb®l, megfelel® változó szerinti parciális deriválás után kapjuka következ®ket:

θuu = cos θ · θu · cos θ + sin θ · (− sin θ) · θu − θvu ,

θvv = −(

cos θ · θv · cos θ + sin θ · (− sin θ) · θv)− θuv .

θu és θv helyére ismét beírhatjuk a (3.12) egyenletek jobb oldalait:

θuu = cos θ cos θ(sin θ cos θ − θv)− sin θ sin θ · θu − θvu ,

θvv = − cos θ cos θ · θv + sin θ sin θ(− sin θ cos θ − θu)− θuv .

Vonjuk ki egymásból a két egyenletet!

θuu − θvv = cos θ sin θ cos2 θ + sin θ cos θ sin2 θ ,

θuu − θvv = sin θ cos θ .

Tehát az r Bianchi-transzformált valóban konstans −1 görbület¶ felületet paraméterez.Folytatjuk a második alapforma mátrixával, melynek elemei általánosan: 〈rij,N〉 =

= 〈ri,L(rj)〉 = 〈ri,−∂jN〉 = 〈ri,−Nj〉. Láthatjuk, hogy szükségünk van N els®rend¶parciális deriváltjaira. A mátrix egyetlen elemére végezzük el a számításokat, mert a többinagyon hasonló.

Nu =

(− sin θ

cos θ· ru +

cos θ

sin θ· rv

)u

=

(− sin θ

cos θ

)u

·ru−sin θ

cos θ·ruu+

(cos θ

sin θ

)u

·rv+cos θ

sin θ·ruv =

Felhasználva korábbi eredményeinket ((3.10) és (3.11)):

= −cos θ · θu · cos θ − sin θ · (− sin θ) · θucos2 θ

·ru−sin θ

cos θ(− tan θ · θu · ru + cot θ · θv · rv + buu ·N) +

+− sin θ · θu · sin θ − cos θ · cos θ · θu

sin2 θ· rv +

cos θ

sin θ(− tan θ · θv · ru + cot θ · θu · rv) =

Itt néhány tag kiesik, a maradékot pedig csoportosítva

=

(−cos θ · θu · cos θ

cos2 θ− cos θ sin θ · θv

sin θ cos θ

)· ru +

(−sin θ cos θ · θv

cos θ sin θ− sin θ · θu · sin θ

sin2 θ

)· rv+

32

+sin θ

cos θsin θ cos θ ·N = −cos θ

cos θ

(θu + θv

)︸ ︷︷ ︸

sin θ cos θ

·ru −sin θ

sin θ

(θu + θv

)︸ ︷︷ ︸

sin θ cos θ

·rv + sin θ sin θ ·N .

Megint korábbiak (3.13) behelyettesítésével folytathatjuk⟨ru, Nu

⟩=⟨

cos2 θ · ru+ cos θ sin θ cot θ · rv − sin θ cos θ ·N,

− cos θ sin θ · ru − sin2 θ cot θ · rv + sin θ sin θ ·N⟩

=

= − cos3 θ sin θ cos2 θ − sin3 θ cos θ cot2 θ sin2 θ − sin θ cos θ sin2 θ =

= − cos2 θ(

sin θ cos θ(cos2 θ + sin2 θ))− sin2 θ sin θ cos θ = − sin θ cos θ .

A második alapforma mátrixa tehát a következ®:

B =

(− sin θ cos θ 0

0 sin θ cos θ

).

Azért volt érdemes ezeket kiszámolni, mert így az is látszik, hogy a Bianchi-transzformációaszimptotikus vonalakat aszimptotikus vonalakba visz, és persze görbületi vonalak is gör-bületi vonalakba mennek. Így, ha szép paraméterezést választunk az egyik felületen,akkor a másikon is hasonlót kapunk.

3.1.2 Megjegyzés: Ne feledjük, hogy θ-ot egy parciális dierenciálegyenlet-rendszermegoldásaként deniáltuk, és mint ilyen, nem egyértelm¶. Értéke tetsz®legesen el®írhatóegy (u0, v0) ∈ Ω pontban (kezdeti feltétel).

3.1.3 Megjegyzés: További említésre méltó észrevétel, hogy a fenti (3.12) parciális die-renciálegyenlet-rendszer θ-ban és θ-ban szimmetrikus, azaz ha θ-ra szeretnénk megoldani,akkor az integrálhatóság feltétele a θ-ra vonatkozó sine-Gordon-egyenlet. Mindezek is-meretében már nyugodtan mondhatjuk r-re és r-ra, hogy egymás Bianchi-transzformáltjai.

3.2. A pszeudoszféra, mint Bianchi-transzformált

Miel®tt rátérnénk a Bäcklund-transzformáció tárgyalására, nézzük meg a Bianchi-transz-formáció használatát egy példán keresztül. Veszünk egy szinguláris paraméterezést, amitakár állandó −1 görbület¶nek is tekinthetünk, és meglep® módon az fog kiderülni, hogyBianchi-transzformációval megkaphatjuk a pszeudoszférát. Legyen

r(u, v) = (0, 0, u).

Ehhez az elfajuló felülethez tartozó G =

(1 00 0

)els® alapforma-mátrix, cos θ = 1 illetve

sin θ = 0-val, a megszokott G =

(cos2 θ 0

0 sin2 θ

)alaknak éppen megfelel. Írjuk hát fel a

Bianchi-transzformált θ szögfüggvényére a (3.12) parciális dierenciálegyenlet-rendszert:

θu = sin θ es θv = 0 .

33

Az els® egyenlet pár (korábban már látott) ügyes fogással kiintegrálható:

1

sin θ· θu = 1 ⇔ 1

2 sin θ2

cos θ2

· θu = 1 ⇔ 1

tan θ2

· 1

cos2 θ2

· 1

2· θu = 1 . (3.14)

Utóbbi lépésben csak cos θ2-vel b®vítettünk. Itt viszont már éppen a láncszabály szerint

követik egymást a deriváltak, így könny¶ látni mi lesz a primitív függvény, tehát integráljukmindkét oldalt u szerint:

log tanθ

2= u+ c .

Az integrációs konstans különböz® értékeihez tartozó felületek egymás eltoltjai, ezért csaka c = 0 esettel foglalkozunk. A 2.2.3 lemma szerint érdekes összefüggés van θ szokásosszögfüggvényei és u hiperbolikus szögfüggvényei között:

coshu =1

sin θtanhu = − cos θ .

Mivel r képe egydimenziós, ha szigorúan vesszük, akkor nem létezik mozgó bázis a szokásosértelemben, azaz ru

cos θ, rv

sin θés N nem feszítik ki a három dimenziós teret, hiszen rv

sin θnem

értelmes. Viszont így szabadon kijelölhetünk a felület minden pontjában rv

sin θhelyett egy

(v-t®l függ®) értéket úgy, hogy mer®leges legyen ru = (0, 0, 1)-re. (cos v, sin v, 0) megfelel®lesz.10 A korábban látott (3.8) el®állításból kapjuk a Bianchi-transzformáltra a következ®t:

r(u, v) = r(u, v) + cos θ · (0, 0, 1) + sin θ · (cos v, sin v, 0) =

= (0, 0, u)− tanhu · (0, 0, 1) +1

coshu· (cos v, sin v, 0) =

=

(cos v

coshu,

sin v

coshu, u− tanhu

),

ami éppen a pszeudoszféra szokásos görbületi vonalak menti paraméterezése.

3.3. A Bäcklund-transzformált

3.3.1 Deníció: Legyen r : Ω → R3 állandó −1 görbület¶ felület, r : Ω → R3 egy másikfelület. Azt mondjuk, hogy r az r-nek σ hajlásszög¶ Bäcklund-transzformált ja, ha

1. ||r(u, v)− r(u, v)|| ≡ cosσ,

2. r(u, v)− r(u, v) érinti r-et r(u, v)-ben és r-ot r(u, v)-ben,

3. N és N szöge π2− σ.

10Ekkor N = (− sin v, cos v, 0) ortonormált bázissá egészíti ki ®ket, de erre nem lesz szükségünk.

34

Ugyanazokat a lépcs®ket fogjuk végigjárni, mint a Bianchi-transzformációnál (σ = 0),csak nem akkora részletességgel. Legyen az r paraméterezés olyan, hogy ru és rv f®irányok.Ekkor ru

cos θés rv

sin θortonormált bázis az érint®síkban. A 2. tulajdonság szerint r(u, v)−r(u, v)

felírható ebben a bázisban:

r− r = cosσ(

cos θ · rucos θ

+ sin θ · rvsin θ

). (3.15)

A cosσ konstans szorzó az 1. tulajdonság teljesüléséhez kell. Itt θ a Bäcklund-transzformációszögfüggvénye. A 2. tulajdonságból még az is következik, hogy N(u, v) és N(u, v) ismer®leges r(u, v) − r(u, v)-re. A Bianchi-transzformációnál láttuk, hogy N az N 90-oselforgatottja, így felírható r érint®síkjának ru

cos θ, rv

sin θbázisában. Itt annyi a különbség,

hogy az ott megkapott N(u, v)-t vissza kell forgatni σ-val r(u, v) − r(u, v) körül11, hogymegkapjuk a Bäcklund-transzformált normálisát. Így, ha az ru

cos θ, rv

sin θpárt kiegészítjük

az r normálisával a tér ortonormált bázisává, a következ®képp fejezhetjük ki a Bäcklund--transzformált normálisát ((3.9)-et felhasználva):

N = cosσ(− sin θ · ru

cos θ+ cos θ · rv

sin θ

)+ sinσ ·N .

Itt is megnézzük mi adódik az N ⊥ ru és N ⊥ rv feltételekb®l.

ru = ru + cosσ

((cos θ

cos θ

)u

· ru +cos θ

cos θ· ruu +

(sin θ

sin θ

)u

· rv +sin θ

sin θ· ruv

).

Ehhez kellenek a második parciális deriváltak, amiket már korábban kiszámoltunk ((3.10)és (3.11)):

ruu = − tan θ · θu · ru + cot θ · θv · rv − sin θ cos θ ·N ,

ruv = − tan θ · θv · ru + cot θ · θu · rv .A számolást ismét nem részletezve, adódik a következ®:

ru =

[1− cosσ

sin θ

cos θ

(θu + θv

)]ru +

[cosσ

cos θ

sin θ

(θu + θv

)]rv −

[cosσ sin θ cos θ

]N .

Hasonlóan:

rv =

[− cosσ

sin θ

cos θ

(θv + θu

)]ru +

[1 + cos σ

cos θ

sin θ

(θu + θv

)]rv +

[cosσ sin θ cos θ

]N .

N ⊥ ru-ból illetve N ⊥ rv-b®l:

0 =⟨N , ru

⟩= cosσ

(− sin θ cos θ + cosσ

(sin2 θ + cos2 θ

)(θu + θv

)− sinσ sin θ cos θ

),

11Valójában ez egy csavarmozgás: a Bianchi-transzformáltnál szerepl®, egységhosszú r(u, v) − r(u, v)mentén az (ugyancsak a Bianchi-transzformáltnál szerepl®) N(u, v) normális vektort visszatoljuk 1−cosσ--val, és közben elforgatjuk körülötte σ-val, hogy megkapjuk a Bäcklund-transzformált normálisát.

35

0 =⟨N , rv

⟩= cosσ

(cosσ

(sin2 θ + cos2 θ

)(θu + θv

)+ cos θ sin θ + sinσ sin θ cos θ

).

Ha feltesszük, hogy r különböz® r-t®l, azaz σ 6= π2, akkor cosσ 6= 0, és így oszthatunk vele:

θu + θv =sin θ cos θ + sinσ cos θ sin θ

cosσ,

θu + θv = −cos θ sin θ + sinσ sin θ cos θ

cosσ.

(3.16)

Ez a rendszer is pontosan akkor oldható meg, ha Frobenius tételének feltétele ( θuv = θvu)teljesül, ami megint a θ-ra felírt sine-Gordon-egyenlet lesz. Hogy lássuk, valóban nemnehéz, ellenben hosszú számolásokat hagyunk ki, G egy elemét kiszámoljuk:

ru =

(1− cosσ

sin θ

cos θ· sin θ cos θ + sinσ cos θ sin θ

cosσ

)ru+

+

(cosσ

cos θ

sin θ· sin θ cos θ + sinσ cos θ sin θ

cosσ

)rv − cosσ sin θ cos θ N =

= cos θ[(

cos θ − sinσ sin θ tan θ)ru +

(sin θ cot θ + sinσ cos θ

)rv − cosσ sin θ N

].

〈ru, ru〉 = cos2 θ

[(cos2 θ − 2 sinσ tan θ sin θ cos θ + sin2 σ sin2 θ tan2 θ

)cos2 θ+

+(

sin2 θ cot2 θ + 2 sin θ cos θ cot θ sinσ + sin2 σ cos2 θ)

sin2 θ + cos2 σ sin2 θ

]=

= cos2 θ

[(cos2 θ + sin2 θ

)cos2 θ + sin2 θ

(sin2 σ

(sin2 θ + cos2 θ

)+ cos2 σ

)−

−2 sinσ sin θ cos θ sin θ cos θ + 2 sin θ cos θ cos θ sin θ sinσ

]= cos2 θ .

⇒ G =

(cos2 θ 0

0 sin2 θ

).

Ahhoz, hogy lássuk, hogy a Bäcklund-transzformáció is állandó negatív göbület¶ felületetugyanilyen görbület¶be visz, megint kell a sine-Gordon-egyenlet teljesülése θ-ra (ez éppen(3.16) integrálhatósági feltétele θ-ra nézve). Természetesen ez most is teljesül. A Bäcklund--transzformáció θ szögfüggvénye lesz az új felületen az aszimptotikus és görbületi vonalakhajlásszöge. Igaz továbbá, hogy aszimptotikus vonalak aszimptotikus vonalakba mennek,görbületi vonalak meg görbületi vonalakba. Most nézzünk meg egy alkalmazást!

36

3.4. A Dini-felület, mint Bäcklund-transzformált

Tekintsük a már korábban is látott szinguláris felületet:

r(u, v) = (0, 0, u) .

Mozgó (ortonormált) bázisnak a 3.2-ben látott (0, 0, 1), (cos v, sin v, 0) és (− sin v, cos v, 0)hármas itt is megfelel. θ-t 0-nak tekintve cos θ = 1 és sin θ = 0. Ekkor r(u, v) σ hajlásszög¶Bäcklund-transzformáltjának θ szögfüggvénye (3.16) alapján kielégíti a következ® parciálisdierenciálegyenlet-rendszert:

θu =sin θ

cosσes θv = −sinσ sin θ

cosσ.

(3.14)-b®l láthatjuk, hogy(log tan

θ

2

)u

=1

cosσes

(log tan

θ

2

)v

= − sinσ

cosσ.

Dierenciális írásmód segítségével:

d

(log tan

θ

2

)=∂(

log tan θ2

)∂u

du+∂(

log tan θ2

)∂v

dv =du− sinσ dv

cosσ.

Integrálva:

log tanθ

2=u− v sinσ

cosσ+ c =⇒ θ = 2 arctan exp

u− v sinσ

cosσ+ c

,

ahol c integrációs konstans. A kés®bbiek folyamán err®l általában feltesszük, hogy 0. A2.2.3 lemma szerint:

cos θ = − tanh

(u− v sinσ

cosσ

)es sin θ =

1

cosh

(u− v sinσ

cosσ

) .

Most már minden további nélkül felírhatjuk r(u, v) σ hajlásszög¶ Bäcklund-transzformáltját:

r(u, v) = r(u, v) + cos σ(

cos θ · (0, 0, 1) + sin θ · (cos v, sin v, 0))

=

=

cosσ cos v

cosh

(u− v sinσ

cosσ

) ,cosσ sin v

cosh

(u− v sinσ

cosσ

) , u− cosσ tanh

(u− v sinσ

cosσ

) . (3.17)

Ez a Dini-felület f®görbületi paraméterezése.

37

9. ábra. Ugyanannak a paraméterezésnek (σ = π20

) kétféle reprezentációja

3.4.1 Megjegyzés: Dini felületét a pszeudoszférához hasonlóan, nem a Bäcklund-transz-formáció segítségével szokták deniálni. A szokásos meghatározás a következ®: vegyünkegy traktrixot, és forgassuk az aszimptotája körül, miközben el is toljuk amentén úgy, hogyaz eltolás és a forgatás sebességének aránya állandó. Ezt csavarmozgásnak szokták hívni.A traktrix 2.2.2-ben látott klasszikus paraméterezését használva a következ®höz jutunk:

r(u, v) =

(sin u cos v, sin u sin v,

(cos u+ log tan

u

2

)+ bv

)Ha ezt megszorozzuk cosσ-val, akkor (a 2.2.3 lemma és) az értelemszer¶ log tan u

2= u−v sinσ

cosσ

és v = v helyettesítés adja a két felület közötti átjárást (mellesleg b = tanσ adódik). Így aztis láthatjuk, hogy a szokásos paraméterezésre való áttérésnél az 1.2 fejezet elején látottakszerint ( 1

cos2 σ) konstans szorzóval módosul a görbület, így az továbbra is állandó és negatív

marad.

3.5. Bäcklund-transzformáció aszimptotikus koordinátákkal

Most a Bäcklund-transzformált (3.16) egyenletrendszerét egy kés®bb jobban használhatóalakra hozzuk. Nyilván ekvivalens egyenletrendszerhez jutunk, ha vesszük a két egyenlet

38

összegét illetve különbségét:

(θu + θv

)+(θv + θu

)=

(1− sinσ)(

sin θ cos θ)

+ (sinσ − 1)(

cos θ sin θ)

cosσ=

=(1− sinσ)

(sin θ cos θ − cos θ sin θ

)cosσ

=1− sinσ

cosσ· sin

(θ − θ

),

(θu + θv

)−(θv + θu

)=

(1 + sin σ)(

sin θ cos θ + cos θ sin θ)

cosσ=

1 + sin σ

cosσ· sin

(θ + θ

).

Az átláthatóság kedvéért áttérünk egy rövid id®re a dierenciáloperátorok használatára.Így az új rendszer:(

∂

∂u+

∂

∂v

)(θ + θ

)= (∂1 + ∂2)

(θ + θ

)=

1− sinσ

cosσ· sin

(θ − θ

),

(∂

∂u− ∂

∂v

)(θ − θ

)= (∂1 − ∂2)

(θ − θ

)=

1 + sin σ

cosσ· sin

(θ + θ

).

A 2.1 fejezetb®l tudjuk, hogy θ(u + v, u− v) = ω(u,v)2

. Jelölje ϕ az (u, v) 7→ (u + v, u− v)

leképezést! Ezzel a jelöléssel (θ ϕ)(u, v) = ω(u,v)2

.

1

2∂1ω(u, v) = ∂1(θ ϕ)(u, v) = θ′(ϕ(u, v)) · ∂1ϕ(u, v) = (∂1θ(ϕ(u, v)), ∂2θ(ϕ(u, v))) ·

(11

)=

= (∂1 + ∂2) θ(u+ v, u− v).

Hasonlóan1

2∂2ω(u, v) = (∂1 − ∂2) θ(u+ v, u− v).

Így már írhatjuk, hogy (ω + ω

2

)u

=1− sinσ

cosσ· sin

(ω − ω

2

),(

ω − ω2

)v

=1 + sin σ

cosσ· sin

(ω + ω

2

).

Tehát ez a Bäcklund-transzformáció egyenletrendszere aszimptotikus vonalak menti para-méterezés esetén. Azért lesz ez igazán hasznos, mert itt egyenletenként csak egyféle par-ciális deriválás szerepel. Ennek megoldhatóságát ismét a sine-Gordon-egyenlet teljesülésebiztosítja: ωuv = sinω.Vegyük észre, hogy az egyenletek jobb oldalán lev® konstans együtthatók szorzata 1. Enneka ténynek egy kis geometriai tartalmat adva, illetve a kés®bbiek érdekében végrehajtunk

39

egy kis csinosítást a fenti rendszeren. Legyen ζ = π2− σ, azaz, a Bäcklund-transzformáció

deníciója szerint, az N és N által közrezárt szög. Ekkor

1 + sin σ

cosσ=

1 + cos ζ

sin ζ=

sin2 ζ2

+ cos2 ζ2

+ cos2 ζ2− sin2 ζ

2

2 sin ζ2

cos ζ2

= cotζ

2.

Bevezetve a β = cot ζ2jelölést, a fenti egyenletrendszer a következ® alakra redukálódik:(

ω + ω

2

)u

=1

β· sin

(ω − ω

2

),(

ω − ω2

)v

= β · sin(ω + ω

2

).

Bβ (3.18)

Bβ-val mostantól azt a leképezést fogjuk jelölni, mely a sine-Gordon-egyenlet egy ωmegoldásához hozzárendeli a bekeretezett parciális dierenciálegyenlet-rendszer ω megoldá-sát, mely tehát ismét a sine-Gordon-egyenlet megoldása lesz. Érdemes itt (újból) hangsú-lyoznunk, hogy ω nem egyértelm¶: egy (u0, v0) ∈ Ω pontban az értéke tetsz®legesen megad-ható. Ezért Bβ egy többérték¶ hozzárendelés, és nem egy függvény. Bβ(ω)-ra is azt fogjukmondani, hogy az ω σ = π

2− ζ hajlásszög¶ Bäcklund-transzformáltja.12 Ez nem okoz

félreértést, mert a konstans −1 görbület¶ felületek egy-egyértelm¶ megfeleltetésben állnakaszimptotikus vonalaik szögfüggvényével. σ = 0, azaz ζ = π

2esetén β = cot ζ

2= cot π

4= 1,

ezért B1 a Bianchi-transzformált.A sine-Gordon-egyenlet egy már megtalált megoldásából újabbat kaphatunk egy másik

módszerrel is, melyet Lie-transzformációnak nevezünk, és Lβ-val jelölünk:(Lβ(ω)

)(u, v) = ω

(u

β, βv

).

Ez igazából egy egyszer¶ átparaméterezés.

3.5.1 Állítás: Legyen ω a sine-Gordon-egyenlet megoldása. Ekkor Lβ(ω) is kielégíti asine-Gordon-egyenletet.

Bizonyítás: Jelölje ψ a helyettesít® függvényt, azaz ψ(u, v) :=(uβ, βv). Azt kell meg-

mutatnunk, hogy ω ψ-re is igaz a sine-Gordon-egyenlet.

∂1(ω ψ) = (ω′ ψ) · ∂1ψ =(∂1ω ψ, ∂2ω ψ

)·(

1β

0

)=

1

β· (∂1ω ψ) ,

∂2∂1(ω ψ) = ∂2

( 1

β· (∂1ω ψ)

)= β ·

(∂1∂1ω ψ, ∂2∂1ω ψ

)·(

0β

)=

1

β· β ∂2∂1ω ψ .

De ∂2∂1ω = sinω miatt ∂2∂1(ω ψ) = sin(ω ψ), tehát készen vagyunk.

12Persze ha a felépítésünket innen kezdtük volna, akkor nyilván ζ hajlásszögr®l beszélnénk. Ezen kívülcsak az 1. tulajdonságot kéne értelemszer¶en módosítani ||r− r|| ≡ sin ζ-ra.

40

3.5.2 Állítás: (Lie) A β paraméter¶ Bäcklund-transzformált el®áll, mint a Bianchi-transz-formált β paraméter¶ Lie-transzformációval vett konjugáltja. Azaz

Bβ = L−1β B1Lβ .

Bizonyítás: Vezessük be az (u, v) =(uβ, βv)jelölést! B1(ω) (u, v) a következ® rendszer

megoldása13 ω-ra:(ω (u, v) + ω (u, v)

2

)u

= sin

(ω (u, v)− ω (u, v)

2

)(ω (u, v)− ω (u, v)

2

)v

= sin

(ω (u, v) + ω (u, v)

2

)B1Lβ(ω)(u, v).

Általánosságban igaz, hogy

limv→v0

f(v)− f(v0)

v − v0

= limβv→βv0

f(βv)− f(βv0)

βv − βv0

=1

βlimv→v0

f(βv)− f(βv0)

v − v0

,

így a v szerinti deriválásnál kiemelhetünk 1β-t, és v szerinti deriváláshoz jutunk. Az u

szerintinél hasonlóan járunk el β kiemelésével. Átszorzással adódik tehát a következ®: ω(uβ, βv)

+ ω(uβ, βv)

2

u

=1

β· sin

ω(uβ, βv)− ω

(uβ, βv)

2

,

ω(uβ, βv)− ω

(uβ, βv)

2

v

= β · sin

ω(uβ, βv)

+ ω(uβ, βv)

2

.

S minthogy L−1β éppen az (u, v)

(βu, v

β

)helyettesítés, így nyilván a Bβ (3.18) egyenlet-

rendszeréhez jutunk.

3.6. Bianchi felcserélhet®ségi tétele

10. ábra. Bianchi-diagram

Tegyük fel, hogy ω a sine-Gordon-egyenlet egy (kezdeti)megoldása. Vegyük ennek egy β1 paraméter¶ Bäcklund--transzformáltját, majd egy β2 paraméter¶t. Azaz legyenω1 ∈ Bβ1(ω), illetve ω2 ∈ Bβ2(ω). Ezen kívül legyen ω12 ∈∈ Bβ2(ω1) és ω21 ∈ Bβ1(ω2). A szituációt az úgynevezettBianchi-diagrammal lehet szemléltetni (10. ábra). Fel-vet®dik a természetes kérdés, hogy vajon mikor teljesül-het az ω12 = ω21 kommutativitási reláció. A válasz igenmeglep®: mindig lehet ilyen megoldást találni.

13Megoldáshalmaz lenne a pontos kifejezés, de a bizonyítás lényegén ez most nem változtat.

41

3.6.1 Tétel: (Bianchi felcserélhet®ségi tétele) Ha ω1 ∈ Bβ1(ω) és ω2 ∈ Bβ2(ω), akkora sine-Gordon-egyenlet tetsz®leges ω megoldásához létezik Ω ∈ Bβ2(ω1) ∩ Bβ1(ω2), ami akövetkez®képp adható meg:

Ω = ω + 4 arctan

(β1 + β2

β1 − β2

tanω1 − ω2

4

). (3.19)

Bizonyítás: Szorítkozzunk el®ször a (3.18) Bäcklund-transzformáció második egyenletére.Ekkor a következ®ket kapjuk:

ω1,v = ωv + 2β1 · sin(ω1 + ω

2

),

ω2,v = ωv + 2β2 · sin(ω2 + ω

2

),

ω12,v = ω1,v + 2β2 · sin(ω12 + ω1

2

),

ω21,v = ω2,v + 2β1 · sin(ω21 + ω2

2

).

(3.20)

El®ször tegyük fel, hogy ω12 = ω21 = Ω. Ha az els® két egyenlet különbségét hozzáadjuk amásodik két egyenlet különbségéhez, akkor a következ®t kapjuk:

0 = 2β1

[sin

(ω1 + ω

2

)− sin

(Ω + ω2

2

)]+ 2β2

[sin

(Ω + ω1

2

)− sin

(ω2 + ω

2

)].

Szinuszok különbségét általában ki lehet fejteni az addíciós formula segítségével:

sinx−sin y = sin

(x+ y

2+x− y

2

)−sin

(x+ y

2− x− y

2

)= 2 cos

(x+ y

2

)sin

(x− y

2

).

Ennek felhasználásával az el®bbi egyenlet:

0 = 4β1 cos

(ω1 + ω + Ω + ω2

4

)sin

(ω1 + ω − Ω− ω2

4

)+

+ 4β2 cos

(Ω + ω1 + ω2 + ω

4

)sin

(Ω + ω1 − ω2 − ω

4

).

Leosztva 4-gyel és a cos-os tényez®t kiemelve:

0 = cos

(Ω + ω1 + ω2 + ω

4

)·[β1 sin

(ω1 − ω2

4− Ω− ω

4

)+ β2 sin

(Ω− ω

4+ω1 − ω2

4

)].

Ennek az egyenletnek a teljesülése tehát szükséges ahhoz, hogy ω12 = ω21 = Ω fennálljon.Ez pedig nyilván igaz, ha a második tényez® nulla:

0 = β1 sin

(ω1 − ω2

4− Ω− ω

4

)+ β2 sin

(Ω− ω

4+ω1 − ω2

4

),

42

0 = β1

[sin

(ω1 − ω2

4

)cos

(Ω− ω

4

)− sin

(Ω− ω

4

)cos

(ω1 − ω2

4

)]+

+ β2

[sin

(Ω− ω

4

)cos

(ω1 − ω2

4

)+ sin

(ω1 − ω2

4

)cos

(Ω− ω

4

)],

(β1 − β2) sin

(Ω− ω

4

)cos

(ω1 − ω2

4

)= (β1 + β2) sin

(ω1 − ω2

4

)cos

(Ω− ω

4

).

Mivel β1 = β2 esetén az állítás triviális, így nyugodtan feltehetjük, hogy β1 6= β2. Ekkor

tan

(Ω− ω

4

)=β1 + β2

β1 − β2

tan

(ω1 − ω2

4

), (3.21)

Ω = ω + 4 arctan

[β1 + β2

β1 − β2

tan

(ω1 − ω2

4

)].

Tehát a kommutativitási reláció fennállásának el®bb említett szükséges feltételét ez kielégíti.Be kéne látnunk, hogy ez valóban megoldása a fenti (3.20) rendszernek, illetve az u-valfelírt ugyanilyen rendszernek. Ezt úgy fogjuk megtenni, hogy Ω-t behelyettesítjük a (3.20)rendszer harmadik egyenletébe, és az els® két egyenlet felhasználásával megmutatjuk, hogyteljesül az egyenl®ség. Ugyanezt kellene eljátszanunk a negyedik egyenletre is, meg az u-valfelírt rendszerre is, de a hasonlóság miatt ezekt®l eltekintünk.Essünk hát neki a számolásnak!

Ωv?=ω1,v + 2β2 · sin

(Ω + ω1

2

).

El®ször elvégezzük a bal oldalon lév® deriválást:

Ωv = ωv + 4 · 1

1 +(β1+β2

β1−β2tan(ω1−ω2

4

))2 ·β1 + β2

β1 − β2

· 1

cos2(ω1−ω2

4

) · ω1,v − ω2,v

4.

Mivel itt megjelent (3.21) jobb oldala, így a kérdéses egyenl®ség jobb oldalára olyan alakotpróbálunk majd ráer®ltetni, melyben tan

(Ω−ω

4

)szerepel. Alakítgassuk hát a jobb oldalt!

ω1,v helyére beírhatjuk (3.20) els® egyenletét, és egy apró trükköt is bevetünk:

ωv + 2β1 · sin(ω1 + ω

2

)+ 2β2 · sin

(Ω− ω + ω + ω1

2

)=

ωv+2β1·sin(ω1 + ω

2

)+2β2·

[sin

(Ω− ω

2

)cos

(ω + ω1

2

)+ cos

(Ω− ω

2

)sin

(ω + ω1

2

)]∗=

Könnyen ellen®rizhet® a következ® két általánosan igaz azonosság:

sinx =2 tan x

2

1 + tan2 x2

, cosx =1− tan2 x

2

1 + tan2 x2

.

43

Ezeket az Ω−ω2

argumentumú sin-ra és cos-ra alkalmazva:

∗=ωv + 2

(β1 + β2 ·

1− tan2(

Ω−ω4

)1 + tan2

(Ω−ω

4

)) sin

(ω1 + ω

2

)+ 2β2 ·

2 tan(

Ω−ω4

)1 + tan2

(Ω−ω

4

) cos

(ω + ω1

2

).

Itt (3.21) jobb oldalát beírhatjuk a megfelel® helyekre, majd visszatérhetünk a kérdésesegyenl®ség vizsgálatára. ωv nyilván kiesik, a bal oldalon pedig 4-gyel egyszer¶síthetünk.

Szorozzuk mindkét oldalt 1 +(β1+β2

β1−β2tan(ω1−ω2

4

))2

-nel, így

β1 + β2

β1 − β2

· ω1,v − ω2,v

cos2(ω1−ω2

4

) ?= 2

[β1

(1 +

(β1 + β2

β1 − β2

tan

(ω1 − ω2

4

))2)

+

+ β2

(1−

(β1 + β2

β1 − β2

tan

(ω1 − ω2

4

))2)]

sin

(ω1 + ω

2

)+

+ 2β2 · 2β1 + β2

β1 − β2

tan

(ω1 − ω2

4

)cos

(ω + ω1

2

).

A bal oldalon ω1,v−ω2,v helyére (3.20) els® két egyenlete szerint 2β1 sin(ω1+ω

2

)−2β2 sin

(ω2+ω

2

)kerül. Az egyenlet mindkét oldalát leoszthatjuk 2-vel, és szorozzuk cos2

(ω1−ω2

4

)-gyel:

β1 + β2

β1 − β2

·(β1 sin

(ω1 + ω

2

)− β2 sin

(ω2 + ω

2

))?=

?=

((β1 + β2) cos2

(ω1 − ω2

4

)+ (β1 − β2)

(β1 + β2

β1 − β2

)2

sin2

(ω1 − ω2

4

))sin

(ω1 + ω

2

)+

+β2β1 + β2

β1 − β2

2 sin

(ω1 − ω2

4

)cos

(ω1 − ω2

4

)︸ ︷︷ ︸

sin(ω1−ω22 )

cos

(ω + ω1

2

).

Osszuk le mindkét oldalt (β1 + β2)-vel, és szorozzuk (β1 − β2)-vel, aztán rendezzük egyoldalra a sin

(ω1+ω

2

)-t tartalmazó tagokat:

−β2 sin

(ω2 + ω

2

)?=

?=

[((β1 − β2)

(1− sin2

(ω1 − ω2

4

))+ (β1 + β2) sin2

(ω1 − ω2

4

))− β1

]sin

(ω1 + ω

2

)+

+β2 sin

(ω1 − ω2

2

)cos

(ω + ω1

2

).

Alakítsunk egy kicsit sin(ω1+ω

2

)együtthatóján! Beszorzás és egyszer¶sítések után:

−β2+2β2 sin2

(ω1 − ω2

4

)= −β2

(sin2

(ω1 − ω2

4

)+ cos2

(ω1 − ω2

4

)− 2 sin2

(ω1 − ω2

4

))=

44

= −β2

(cos2

(ω1 − ω2

4

)− sin2

(ω1 − ω2

4

))= −β2 cos

(ω1 − ω2

2

).

A kérdéses egyenlet mindkét oldalát −β2-vel osztva:

sin

(ω2 + ω

2

)?= sin

(ω1 + ω

2

)cos

(ω1 − ω2

2

)− cos

(ω + ω1

2

)sin

(ω1 − ω2

2

).

Err®l pedig látható, hogy igaz, tehát Ω valóban megoldás.

11. ábra. Kommutatív Bianchi--diagram

Ekkor tehát a Bianchi-diagram jobb oldalát bezárhat-juk (11. ábra). S®t a felcserélhet®ségi tétel ismételt al-kalmazásaival úgynevezett Bianchi hálóhoz juthatunk.

Vegyük észre, hogy amennyiben ismerünk egy kezdetiω megoldást, illetve ezek ω1, ω2 transzformáltjait,a tétel algebrai gépezetet biztosít a sine-Gordon--egyenlet új megoldásaiból készített végtelen sorozatlétrehozására. Magyarul, bármiféle dierenciálegyenletmeg-oldása nélkül kaphatjuk újabb megoldásait egy dif-ferenciálegyenletnek.

3.7. Szolitonok

A szoliton elnevezés az angol solitary wave kifejezésb®l származik, ami magányos hullá-mot jelent. Szolitonok, bizonyos nemlineáris parciális dierenciálegyenletek megoldásaikéntnyerhet®k, melyeknek egyik változóját id®nek tekintjük. Úgy kell elképzelni ®ket, mintegy magányos, konstans sebességgel utazó, a formáját mindvégig meg®rz® hullám, melya két végtelenben14 gyorsan tart valamilyen konstanshoz (általában 0-hoz). Ugyan nincsáltalánosan elfogadott precíz deníció rájuk, de elég jól megfogja egy szoliton-megoldásjellemz®it a következ® három tulajdonság:

• Alakját egész id® alatt megtartja.

• Lokalizált, azaz (minden egyes id®pillanatban) egy adott területen kívül aszimp-totikusan konstans.

• Keresztül tud menni más szolitonokon úgy, hogy az ütközés után visszanyeri eredetialakját, s fáziseltolódással folytatja útját.

Lineáris parciális dierenciálegyenlet-rendszerek megoldásairól tudjuk, hogy bármelylineáris kombinációjuk, speciálisan az összegük is megoldás lesz. Ezt a megoldások szuper-pozíciójának nevezzük. Ilyesmit nem várhatunk nemlineáris egyenletekt®l, de a harmadiktulajdonság éppen egy ilyesfajta nemlineáris szuperpozíciós elvet fogalmaz meg. Általában

14A klasszikus szoliton-megoldásokat a számegyenesen értelmezik, de vannak ma már többdimenziósmegfelel®ik is, amikor nem lehet két végtelenr®l beszélni.

45

ezek az utazó hullámok f(x− ct) alakúak, ahol f egy gyorsan lecseng® (sima) függvény, cvalamilyen konstans, x a tér- és t az id®változó.

n-szoliton megoldásnak egy olyan megoldást nevezünk, mely t → −∞ esetén n db

szoliton megoldás nemtriviálisn∑i=1

fi(x− cit) összegéhez tart, míg t→∞ esetén ugyanezen

hullámok valamilyen ri fáziseltolódással vett összegéhez:n∑i=1

fi(x − cit + ri). Ez éppen a

harmadik tulajdonság formalizálása.Az ok, amiért elkezdtünk szolitonokkal foglalkozni az az, hogy a sine-Gordon-egyenletnek

is vannak szoliton-megoldásai. Az igazság az, hogy már meg is találtunk néhányat. A tri-viális (azonosan 0) megoldásból kiindulva Bäcklund-transzformációval kaptuk a

θ = 2 arctan exp

x− t sinσ

cosσ

(3.22)

megoldást, mely a Dini-felület (speciálisan a pszeudoszféra) megkonstruálását tette lehet®vé.Az el®z® fejezetben bizonyított Bianchi permutációs tétel pedig épp a nemlineáris szuper-pozíciós elv, mely n-szoliton megoldások generálására alkalmas.

-5 5

Π

2

Π

-5 5

1

-5 5

Π

2

Π

-5 5

1

-5 5

Π

2

Π

-5 5

1

-5 5

Π

2

Π

-5 5

1

A bal oldali ábrasorozaton az el®bbi (3.22) 1-szoliton megoldást ábrázoltuk különböz®t id®pillanatokban (t = −5, 0, 5, 10), aminek láthatóan nincs meg a hullámoktól elvártbuckaszer¶ alakja. Ezért rajzoltuk le a jobb oldalon ugyanennek a függvénynek az x szerin-ti deriváltját (ugyanazokban az id®pontokban), mely már rendelkezik az elvárt küls®vel.

46

Az els® ábrasorozatnak az a mögöttes tartalma, hogy ha θ-t, vagy méginkább a kétszeresét,azaz ω-t x-t®l és t-t®l függ® szögnek tekintjük, akkor rögzített t esetén ez egy hengerfelületrerajzolt görbét határoz meg, mely egy ideig a tengellyel párhuzamosan egy meridián menténhalad, majd megkerüli a tengelyt (továbbra is a hengeren haladva), és visszatér arra azegyenesre, amelyiken eredetileg ment. Ha pedig a t-t is elkezdjük változtatni, akkor ez akunkor fog a tengellyel párhuzamosan el®re mozogni. Magyarul ω egy hengerre rajzoltutazó hullámot határoz meg.

12. ábra.(

cos θ(x, t), sin θ(x, t), x)a t = −5 id®pillanatban

A sine-Gordon-egyenletnek vannak triviális megoldásai: ω = ±k · π. Az imént prezen-tált 1-szoliton pedig az alapmegoldásokat köti össze (most 0-t 2π-vel). Ezeket kunkorodómegoldásoknak hívjuk (az elnevezést a 12. ábra motiválja) (angolul: kink). Úgynevezettvisszakunkorodó 1-szolitont kaphatunk, ha x helyébe −x-et írunk (antikink).

Az el®z® fejezetekben csak azért tértünk át aszimptotikus koordinátákra, mert így aszögekre vonatkozó (3.18) Bäcklund-transzformációban egyenletenként csak egyféle par-ciális deriválás szerepelt, és ennek segítségével tudtuk bizonyítani Bianchi felcserélhet®ségitételét, vagyis (szolitonok nyelvén) a nemlineáris szuperpozíciós elvet. Ezel®tt viszontf®görbületi koordinátákkal dolgoztunk, és ilyen alakban kaptuk meg a felületek Bäcklund--transzformáltjának (3.15) képletét is. Aszimptotikus koordinátákra ezt most nem szeret-

47

nénk kiszámolni, ezért a (3.21) szuperpozíciós elvet kell átírnunk θ-kra.

tan

(θ12 − θ

2

)=β1 + β2

β1 − β2

tan

(θ1 − θ2

2

).

Célunk: a triviális θ = 0 megoldásból, illetve a (3.22) 1-szolitonból a szuperpozíciós elvsegítségével 2-szolitont készíteni. Mivel az el®z® képletben β-kat használtunk, érdemesa σ-kat felírni β-k segítségével. Emlékeztetünk, hogy ζ = π

2− σ -val az eredeti felület

normálisának illetve a Bäcklund-transzformált normálisának szögét jelöltük, illetve, hogycot ζ

2= β. Ekkor

1

β+ β =

sin ζ2

cos ζ2

+cos ζ

2

sin ζ2

=sin2 ζ

2+ cos2 ζ

2

cos ζ2

sin ζ2

=2

sin ζ, (3.23)

1

β− β =

sin ζ2

cos ζ2

−cos ζ

2

sin ζ2

=sin2 ζ

2− cos2 ζ

2

cos ζ2

sin ζ2

= −2 cos ζ

sin ζ,

x− t sinσ

cosσ=x− t cos ζ

sin ζ=

1

2

[(1

β+ β

)x+

(1

β− β

)t

].

Ha még bevezetjük a

χi =1

2

[(1

βi+ βi

)x+

(1

βi− βi

)t

]i = 1, 2

jelöléseket is, akkor (3.22) szerint θ1 = 2 arctan eχ1 és θ2 = 2 arctan eχ2 . A szuperpozícióselv felírásához már csak a következ® azonosságra van szükségünk:

tan (α1 − α2) =tanα1 − tanα2

1 + tanα1 tanα2

.

Ezzel tehát

tan

(θ1 − θ2

2

)= tan (arctan eχ1 − arctan eχ2) =

eχ1 − eχ2

1 + eχ1+χ2· e−χ1+χ2

2

e−χ1+χ2

2

=

=eχ1−χ2

2 − e−χ1−χ2

2

e−χ1+χ2

2 + eχ1+χ2

2

=sinh

(χ1−χ2

2

)cosh

(χ1+χ2

2

) ,=⇒ θ12 = 2 arctan

(β1 + β2

β1 − β2

·sinh

(χ1−χ2

2

)cosh

(χ1+χ2

2

)) .Sajnos itt nem tudunk animációt megjeleníteni, azonban érdemes megnézni például

β1 = 1, β2 = 0.95 választással mi adódik az el®bb is említett hengerfelületre kiraj-zoltatva15. Ehelyett a θ12-höz tartozó állandó negatív görbület¶ felületet demonstráljuk.Ennek paraméterezését (3.15) szerint a következ®képp írhatjuk fel:

r12 = r1 +2

1β2

+ β2

·(

cos θ12

cos θ1

· r1,x +sin θ12

sin θ1

· r1,t

), (3.24)

15Ez egy tipikus példája a szolitonokat jellemz® 3. tulajdonságnak, ugyanis jól láthatóan az egyik hullámáthalad a másikon miközben arrébb rakja azt, tehát a fáziseltolódás igen szembet¶n®.

48

13. ábra. β1 = 1, β2 = 0.95

ahol felhasználtuk, hogy cosσ2 = sin ζ2, ami (3.23) sze-rint = 2

1β2

+β2. Ezen kívül r1 (a β1 = 1 választás miatt) a

pszeudoszféra f®görbületi paraméterezése.Az ábrán látható felület nagyon hasonlít Kuenfelületéhez, amit a pszeudoszféra Bianchi transzfor-máltjaként kaphatunk, azaz B1B1(θ)-ból, ahol θ a tri-viális, azonosan 0 kezdeti megoldást jelöli. Ne feledjük,hogy a szuperpozíciós elvvel csak tartani tudunk Kuenfelületéhez, hisz β1 = β2 esetén nullával kéne osztanunk.

3.7.1. Lélegz®k

Ebben a részben azt fogjuk megvizsgálni, hogy mitörténik, ha β helyére valamilyen komplex számot írunk.A Bäcklund-transzformáció geometriai bevezetésénél en-nek ugyan nincs értelme, de a Bäcklund-transzformáltszögfüggvényét meghatározó parciális dierenciálegyen-leteknél nyugodtan próbálkozhatunk komplex test felettimegoldás keresésével. Ilyenre persze nem vetemedünk.Ezzel csak azt akarjuk hangsúlyozni, hogy teljesenértelmes dolog β-nak komplex értéket adni. A felcserél-het®ségi tételben szinte csak trigonometrikus azonossá-

gokat használtunk, amik (az unicitás tétel miatt) nyilván fennállnak a komplex test fölöttis, így a (3.19) szuperpozíciós elv is érvényben marad. Ebbe β1 és β2 helyére konjugáltkomplex számokat helyettesítve valós, s®t t-ben periodikus Ω fog adódni, amit lélegz®megoldásnak hívnak. Az elnevezés az így kapott hullám viselkedésére utal.

Mi ezt arra a speciális esetre látjuk be, amikor |β1| = |β2| = 1, azaz β1 = eiα ésβ2 = e−iα valamilyen (valós) α-ra. Az általános eset teljesen hasonló. Felhasználva, hogyekkor β1 = 1

β2, kapjuk hogy

χ1 − χ2

2=

1

4

([(1

β1

+ β1

)−(

1

β2

+ β2

)]x+

[(1

β1

− β1

)−(

1

β2

− β2

)]t

)=

=1

4([(β2 + β1)− (β1 + β2)]x+ [(β2 − β1)− (β1 − β2)] t) =

1

2(β2 − β1) t .

Ugyanígyχ1 + χ2

2=

1

2(β2 + β1)x ,

tehát

θ12 = 2 arctan

(β1 + β2

β1 − β2

·sinh

(β2−β1

2t)

cosh(β2+β1

2x)) .

49

Mivel eiα = cosα + i sinα és e−iα = cosα− i sinα, így

sinh

(e−iα − eiα

2t

)= sinh (−i sinα · t) =

e−it sinα − eit sinα

2∗=

itt pedig az el®z®höz teljesen hasonlóan beírhatjuk az eit sinα = cos(t sinα) + i sin(t sinα)és e−it sinα = cos(t sinα)− i sin(t sinα) azonosságokat, így

∗=−i sin(t sinα).

Ezen kívülβ1 − β2 = 2i sinα es β1 + β2 = 2 cosα .

Egyszer¶sítések után, és felhasználva, hogy a tan és így az arctan függvény is páratlan,kapjuk, hogy

θ12 = −2 arctan

(cosα

sinα· sin (sinα · t)

cosh (cosα · x)

).

Ez pedig jól láthatóan valós érték¶, és t-ben periodikus. Ezt a megoldást stacionáriuslélegz®nek hívjuk, mert ahogy az id® telik, nem változtatja a helyét, így (ismét a hengerenszemléltetve) egy egyhelyben hintázó hullámot kapunk.

14. ábra. t = 0, 0.6, 2.2, 3.5, 4.3, 5.3

Nem egységhosszú komplex paraméterekkel is a f®körök mentén periodikusan kileng®hullámhoz jutunk, csak ez közben a henger tengelye mentén konstans sebességgel halad azid® múlásával.

50

Zárásként pedig, pusztán szépségük miatt, ábrázolunk néhány lélegz® megoldáshoz tar-tozó felületet. Ehhez ismét a (3.24) képletet kell használnunk, annyi módosítással, hogyr1 itt a Dini-felületnél látott (3.17) paraméterezésnek felel meg, komplex hajlásszöggel.Átírva ezt a mostani jelöléseinkre:

r1(x, t) =

21β1

+β1cos t

coshχ1

,

21β1

+β1sin t

coshχ1

, x− 21β1

+ β1

tanhχ1

.

51

15. ábra. Rendre β1 = 3+4i5, 4+3i

5,√

5+2i3

, 2√

6+i5

,√

3+i4, 5+12i

13.

Irodalomjegyzék

[1] Csikós Balázs: Dierential Geometry, Lecture Notes for BSM, http://www.cs.elte.hu/geometry/csikos/dif/dif.html.

[2] Manfredo P. do Carmo: Dierential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall,Inc., Englewood Clis, New Jersey, 1976.

[3] J. J. Stoker: Dierential Geometry, Wiley-Interscience, 1989.

[4] Alfred Gray, Elsa Abbena and Simon Salamon: Modern Dierential Geometry ofCurves and Surfaces with Mathematica, Chapman & Hall/CRC, imprint of Taylor &Francis Group, Third edition, 2006.

[5] C. Rogers, W. K. Schief: Bäcklund and Darboux Transformations / Geometry and Mod-ern Applications in Soliton Theory, Cambridge University Press (Virtual Publishing),2003.

[6] Chuu Lian Terng and Karen Uhlenbeck: Geometry of Solitons, Notices of the AMS, pp.17-25, January 2000, http://www.ams.org/notices/200001/fea-terng.pdf, vagyhttp://math.uci.edu/~cterng/SGE.html.

[7] C. Rogers, W.F. Shadwick: Bäcklund Transformations and Their Applications, Aca-demic Press, 1982.

52