logika_elemei

7/27/2019 logika_elemei

1/171

A LOGIKA ELEMEI

Bta Lszl


2/171

MDIAINFORMATIKAI KIADVNYOK


3/171

A LOGIKA ELEMEI

Bta Lszl

Eger, 2011


4/171

Lektorlta:

CleverBoard Interaktv Eszkzket s Megoldsokat Forgalmaz s Szolgltat Kft

A projekt az Eurpai Uni tmogatsval, az Eurpai Szocilis Alap trsfinanszrozsvalsul meg.

Felels kiad: dr. Kis-Tth Lajos Kszlt: az Eszterhzy Kroly Fiskola nyomdjban, Egerben Vezet: Krszy Lszl Mszaki szerkeszt: Nagy Sndorn

Kurzusmegoszts elvn (OCW) alapul informatikai curriculum s SCORM kompatibilistananyagfejleszts Informatikus knyvtros BA, MA lineris kpzsszerkezetben TMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0005


5/171

A LOGIKA ELEMEI

5

Tartalom1. Bevezets..................................................................................................................... 10

1.1 Clkitzs........................................................................................................ 10 1.2 A kurzus tartalma ............................................................................................ 10 1.3 A kurzus tmr kifejtse................................................................................. 10 1.4 Kompetencik s kvetelmnyek.................................................................... 11 1.5 Tanulsi tancsok, tudnivalk......................................................................... 11

2. A logika trtnete, trgya.......................................................................................... 12 2.1 Clkitzs........................................................................................................ 12 2.2 Tartalom .......................................................................................................... 12 2.3 A tananyag kifejtse........................................................................................ 12

2.3.1 A logikai gondolkods szletse......................................................... 13 2.3.2 Az kor s Arisztotelsz..................................................................... 14 2.3.3 Az igazsgfggvnyek megjelense................................................... 17 2.3.4 A kzpkor Arisztotelszi logika ismt........................................... 17 2.3.5 Az jkor ............................................................................................... 18 2.3.6 A szimbolikus logika ki alakulsa........................................................ 21 2.3.7 A 20. szzadi fejlds......................................................................... 22 2.3.8 A szimbolikus logika .......................................................................... 24 2.3.9 A szimbolikus logika trgya............................................................... 26 2.3.10 Matematika s logika.......................................................................... 27 2.3.11 Matematikai logika ............................................................................. 29

2.4 sszefoglals................................................................................................... 29 2.5 nellenrz krdsek...................................................................................... 30

3. Alapfogalmak .............................................................................................................. 31 3.1 Clkitzs........................................................................................................ 31 3.2 Tartalom .......................................................................................................... 31 3.3 A tananyag kifejtse........................................................................................ 31

3.3.1 Matematikai alapfogalmak .................................................................. 31 3.3.2 A matematikai logika .......................................................................... 32 3.3.3 A kijelents......................................................................................... 33

3.3.4

Az Arisztotelszi alapelvek................................................................. 34

3.3.5 A logikai rtk..................................................................................... 36 3.3.6 Tbbrtk logikk............................................................................. 36 3.3.7 Logikai szimblumok, jellsek......................................................... 38 3.3.8 Feladatok ............................................................................................. 40


4. Logikai mveletek ...................................................................................................... 41 4.1 Clkitzs........................................................................................................ 41 4.2 Tartalom .......................................................................................................... 41 4.3 A tananyag kifejtse........................................................................................ 41


6/171

A LOGIKA ELEMEI

6

4.3.1 A matematikai mvelet ....................................................................... 41 4.3.2 Logikai mveletek............................................................................... 43 4.3.3 A logikai kifejezs. A kijelentsek formulja..................................... 44 4.3.4 A negci............................................................................................ 45 4.3.5 A konjunkci....................................................................................... 47 4.3.6 A sem- sem mvelet............................................................................. 50 4.3.7 A diszjunkci...................................................................................... 51 4.3.8 A De Morgan- azonossgok................................................................. 55 4.3.9 Az abszorci s a disztributivits ttele.............................................. 56 4.3.10 Az implikci...................................................................................... 56 4.3.11 Az ekvivalencia ................................................................................... 60 4.3.12 Feladatok ............................................................................................. 61


5. A halmazelmlet......................................................................................................... 64 5.1 Clkitzs........................................................................................................ 64 5.2 Tartalom .......................................................................................................... 64 5.3 A tananyag kifejtse........................................................................................ 64

5.3.1 Halmazelmlet.................................................................................... 64 5.3.2 Mveletek halmazokkal...................................................................... 67 5.3.3 Az uni (egyests).............................................................................. 68 5.3.4 A metszet (kzs rsz)........................................................................ 68 5.3.5 Klnbsg (differencia)...................................................................... 70 5.3.6 Komplementer (kiegszt) halmaz.................................................... 72 5.3.7 A szimmetrikus klnbsg.................................................................. 73 5.3.8 A naiv halmazelmlet.......................................................................... 73 5.3.9 Feladatok ............................................................................................. 74


6. A kijelentslogika....................................................................................................... 78 6.1 Clkitzs........................................................................................................ 78 6.2 Tartalom .......................................................................................................... 78 6.3 A tananyag kifejtse........................................................................................ 78

6.3.1 A formulk interpretcija.................................................................. 78 6.3.2 A kvetkeztets................................................................................... 82 6.3.3 Kijelentslogikai korltok................................................................... 84 6.3.4 Gyakran hasznlt kvetkeztetsi szablyok........................................ 85 6.3.5 A levlasztsi szably (modus ponens)............................................... 86 6.3.6 Az elvev szably (modus tollens).................................................. 86 6.3.7 A lncszably (feltteles szillogizmus)............................................... 87 6.3.8 Az indirekt bizonyts......................................................................... 88 6.3.9 A kontrapozci (elvetsi md)....................................................... 88 6.3.10 A diszjunktv szillogizmus (modus tollendo ponens)......................... 89

6.3.11

Egy klns plda............................................................................... 90


7/171

A LOGIKA ELEMEI

7

6.3.12 Feladatok ............................................................................................. 91 6.4 sszefoglals................................................................................................... 92 6.5 nellenrz krdsek...................................................................................... 93

7. A kijelentslogika alkalmazsai................................................................................ 94 7.1 Clkitzs........................................................................................................ 94 7.2 Tartalom .......................................................................................................... 94 7.3 A tananyag kifejtse........................................................................................ 94

7.3.1 Logikai ramkrk.............................................................................. 94 7.3.2 A konjunkci....................................................................................... 95 7.3.3 A diszjunkci...................................................................................... 95 7.3.4 Implikci........................................................................................... 95 7.3.5 Az ekvivalencia ................................................................................... 96 7.3.6 rtkes azonossgok........................................................................... 96 7.3.7 Feladatok ............................................................................................. 97


8. A prediktumlogika elemei...................................................................................... 100 8.1 Clkitzs...................................................................................................... 100 8.2 Tartalom ........................................................................................................ 100 8.3 A tananyag kifejtse...................................................................................... 100

8.3.1 A prediktumlogika szerepe.............................................................. 100 8.3.2 A prediktum..................................................................................... 100 8.3.3 A konkretizci................................................................................. 102 8.3.4 A prediktum igazsghalmaza.......................................................... 102 8.3.5 A kvantifikci.................................................................................. 104 8.3.6 A prdiktum logikai rtke.............................................................. 104 8.3.7 A prediktum tagadsa...................................................................... 105 8.3.8 Feladatok ........................................................................................... 105

8.4 sszefoglals................................................................................................. 106 8.5 nellenrz krdsek.................................................................................... 106

9. Prediktumlogikai kvetkeztetsek ........................................................................ 107 9.1 Clkitzs...................................................................................................... 107 9.2 Tartalom ........................................................................................................ 107 9.3 A tananyag kifejtse...................................................................................... 107

9.3.1 Mveletek prediktumokkal.............................................................. 107 9.3.2 A prediktum s a negltja................................................................ 107 9.3.3 A prediktumok konjunkcija s diszjunkcija................................ 108 9.3.4 A prediktumok implikcija s ekvivalencija............................... 108 9.3.5 Kvetkeztets Venn-diagram segtsgvel........................................ 109 9.3.6 A helyes kvetkeztets...................................................................... 111 9.3.7 Plda a kvetkeztetsre..................................................................... 112 9.3.8 Feladat ............................................................................................... 114



8/171

A LOGIKA ELEMEI

8

10. Leckk feladatainak megoldsa.............................................................................. 116 10.1 Clkitzs...................................................................................................... 116 10.2 Tartalom ........................................................................................................ 116 10.3 A tananyag kifejtse...................................................................................... 116

10.3.1 Alapfogalmak .................................................................................... 116 10.3.2 Logikai mveletek............................................................................. 118 10.3.3 Halmazelmlet.................................................................................. 122 10.3.4 Kijelentslogika................................................................................ 127 10.3.5 A kijelentslogika alkalmazsai........................................................ 134 10.3.6 A prdiktumlogika elemei............................................................... 137 10.3.7 Prediktumlogikai kvetkeztetsek................................................... 138

10.4 sszefoglals................................................................................................. 144 11. Gyakorl feladatok s megoldsaik ........................................................................ 145

11.1

Clkitzs...................................................................................................... 145

11.2 Tartalom ........................................................................................................ 145 11.3 A tananyag kifejtse...................................................................................... 145

11.3.1 Kijelentslogika................................................................................ 145 11.3.2 Prediktumlogika.............................................................................. 149 11.3.3 Kijelentslogikai feladatok megoldsai............................................ 150 11.3.4 A prediktumlogikai feladatok megoldsai...................................... 159


12. sszefoglals............................................................................................................. 168 12.1 A kurzusban kitztt clok sszefoglalsa.................................................... 168 12.2 Tartalmi sszefoglals................................................................................... 168 12.3 A tananyagban tanultak r szletes sszefoglalsa.......................................... 168

12.3.1 A logika trtnete, trgya.................................................................. 168 12.3.2 Alapfogalmak .................................................................................... 169 12.3.3 Logikai mveletek............................................................................. 169 12.3.4 Halmazelmlet .................................................................................. 169 12.3.5 Kijelentslogika................................................................................ 169 12.3.6 A kijelentslogika alkalmazsai........................................................ 169 12.3.7 A prediktumlogika elemei............................................................... 169 12.3.8 Prediktumlogikai kvetkeztetsek................................................... 169 12.3.9 A leckk feladatainak megoldsa...................................................... 170 12.3.10 Gyakorl feladatok s megoldsaik.................................................. 170

13. Kiegsztsek ............................................................................................................. 171 13.1 Irodalomjegyzk............................................................................................ 171

13.1.1 Hivatkozsok..................................................................................... 171 14. brajegyzk .............................................................................................................. 172

15. Mdiaelemek ............................................................................................................. 174

16. Tesztek ....................................................................................................................... 175


9/171

A LOGIKA ELEMEI

9

16.1 Prbateszt...................................................................................................... 175 16.2 Zrteszt A.................................................................................................... 178 16.3 Zrteszt B.................................................................................................... 182 16.4 Zrteszt C.................................................................................................... 186


10/171

A LOGIKA ELEMEI

10

1. BEVEZETS

A jegyzet a mai modern szemllet logika alapjait taglaljaszabatos matematikai meg-kzeltssel, tekintettel az informatikus knyvtros szakos hallgatk ignyeire.

1.1 C LKITZS

A szimbolikus logika s a matematikai logika kapcsolatnak megrtetse. A matemati-kai logika alapvet fogalmi rendszernek, jellsnek, sszefggseinek bizonytsramegrtetse. Cl tovbb a tananyaggal szmos tanegysg feldolgozsnak elsegtmelyek tmaszkodnak a szimbolikus logika elemeire.

1.2 A KURZUS TARTALMA

1.

A logika trtnete, trgya 2. Alapfogalmak 3. Logikai mveletek 4. A halmazelmlet 5. A k ijelentslogika 6. A kijelentslogika alkalmazsai 7. A prediktumlogika elemei 8. Prdiktumlogikai kvetkeztetsek 9. A leckk feladatainak megoldsa 10. Gyakorl feladatok s megoldsuk

1.3 A KURZUS TMR KIFEJTSE A jegyzetben bemutatjuk a matematikai logika, ezen bell a kijelentslogika s a pri-

ktumlogika alapvet fogalmait. A kijelents- s a prediktumkalkulus szmra viszonylagknnyen lehet kvetkeztetsi szablyokat megadni, amelyek megengedik a szoksosr-talmi kvetkeztets szigor formulzst, de messzemenenmegenged tnk olyan bizony -tsokat is, amelyeket csupn a tartalom vezrli, azaz nem formalizltak. A trgyalttan-anyag matematikai mdszereket, jellseket alkalmaz, de nem jut el az axiomatikustrgyals mlyebb szintjre. A tananyag mlysgnl s a bizonytsoknl figyelembet-tk a szak sajtossgait, a szakmai hasznossgot s a vizualitst, klns tekintetteelvonatkoztatott logi kai bizonytsok esetn. A formlis logika elemeinek alapjain tl aolvas ms trgyak esetn tovbbptkezhet, de ott mr nem biztos, hogy a szabatosr-gya ls lesz szksges.

A feldolgoz and anyag trgyalsa sorn szmtalan plda segti a megrtst, a leckkfeladatai igyekeznek tltetni a tanultakata gyakorlatba . A pldk megoldsa mindeneset- ben a tananyag szvegben, a plda utn, mg a leckk feladatainak megoldsa egy klnleckben tallhat. A leckkhez kapcsoldva mg egy jabb, sszefoglal feladatsor is ren-delkezsre ll az utols leckben, melynek a megoldsa a feladatsor utn megtekinthet.


11/171

A LOGIKA ELEMEI

11

1.4 K OMPETENCIK S KVETELMNYEK

A knyvtros szmra hasznos a logika elemeinek ismerete. Segtsget nyjt a tjkoz-tat munkhoz szksges tudsanyag strukturlsban, a rejtett informcik kvetkeztet

sek rvn val feltrsban, a problmamegold gondolkods fejlesztsben, a szabategyrtelm kommunikls kpessgnek kialaktsban. A tananyag elsajttsa utn a hallgat kpes a matematikai logika alapoz elemeit a-

tematikai szabatossggal megfogalmazni, a tteleket nllan, ignyesen beltni,az elem-leti ismereteket a gyakorlatban alkalmazni. A logika elmei kpess teszik arra, hoksbbiekben az internetes keresrendszerek valamint a knyvtri rendszerek keresfunk-cit megrtse s a gyakorlatban alkalmazza. A hardverismereteket tmogatjaa matematikailogika s az ramkri tervezs rsz. A bizonytsi igny a szabatossgra studom nyos precizitsra nevel.

1.5 T ANULSI TANCSOK , TUDNIVALK A teljes tananyag nll tanulsra is alkalmas, de csak abban az esetben, ha a hallgat a

leckket sorban, egyms utn sajttja el, mivel a tananyag trgyalsa ersen pl az erszekre. A leckket nem rdemes tlpni, hiszen az olykor lehetetlenn teszi a kvetkezleckk valamelyiknek a megrtst. Egy leckben ppen ezrt nem helyeztnk el elmleti anyagot, inkbb a pldk s a feladatok vannak tbbsgben.

A logika trtnetrl szl fejezetet rdemes a tananyag feldolgozsa eltt fellettolvasni, majd a tbbi lecke utn kvetkezzen az alapos feldolgozs, mivel a tudomy-trtnet hatatlanul tartalmaz a ksbbiekben kifejtett s megmagyarzott fogalmakat,tteleket.

A matematikai , azaz egymsra pl trgyals miatt a korbbi leckk definciinak s atteleinek ismerete elengedhetetlen az elrehaladshoz. A tanultakat pldk s a feladatok megoldsval rgztheti. A feladatokat a lecke vgn annyiszor kell megoldani, amg azoka meg olds megtekintse nlkl nllan is elvgezhetk. Az rdekldk szmra ajna szakirodalm i utalsokat.

A szmonkrs teszt formban trtnik, amiben elmleti s gyakorlati krdsek is e-repelnek. A gyakorlat hangslyos,azonban a tantrgy sikeres befejezshez az elmletre sa gyakorlatra is szksg van. A szmonkrs ersen kapcsoldik a jegyzethez, a felao-kat tekintve is. Az elmleti tudst az ellenrz krdsekkel mrheti le, de ktsgek erdemes az oktatjtl krdezni, hiszen egy elakads megakadlyozhatja a tananyagl-

dolgozst. Az elmleti rsz jelentsgt ne becslje le, ha nem rtette meg, vagy kpes visszaadni, akkor nzze t jbl!


12/171

A LOGIKA ELEMEI

12

2. A LOGIKA T RTNETE , TRGYA

2.1 C LKITZS

A matematika trtnetn bell a matematikai logika helye, a matematika sa logikaszoros kapcsolatnak megrtse. A matematikai logika szerepe a matematikai bizonsoknl. A logika jeles szemlyei letnek megism erse.

2.2 T ARTALOM

A logikai gondolkods szletse Az kor s Arisztotelsz Igazsgfggvnyek megjelense A k zpkor Arisztotelszi logika ismt Az jkor A szimbolikus logika kialakulsa A 20. szzadi fejlds A szimbolikus logikaA szimbolikus logika trgyaMatematika s logika Matematikai logika

2.3 A TANANYAG KIFEJTSE A szimbolikus logika kutatsi tmit a szzadforduln fknt matematikai megalapoz

sa s filozfiai problmi, ksbb a tudomnyos mdszertan sztnzte.A 20. sz zadm-sodik fel ben az elmleti nyelvszet problmi befolysoltk tovbbfejldst.

A szimbolikus logika csrja, a logikai kalkulus skpe mr Arisztotelsz szillogisztik jban (szillogizmus) megtallhat. Egy egyetemes szimblumnyelv megteremtsnelogika matematizlsnak programjt G. W. Leibniz tzte ki (characteristica universalis), slpseket tett realizlsra is. Az els matematizlt logikai rendszer G. Boole-tl szrmazik (1847, logikai algebra).

G. Frege fogalomrsa (1879) magban foglalja a maiszimbolikus logika kz ponti je-lentsg fejezett, a klasszikus elsrend logikt; innen keltezhet aszimbolikus logikakialakulsa. Frege munkssga azonban rszben szokatlan ktdimenzis szimblumrend-szere miatt kevs figyelmet keltett. A mai szimblumrendszer nagyrszt G. Peantl B. Russelltl szrmazik. Russell s A. N. Whitehead a matematika logicista megalapora igyekezett felhasznlni a szimbolikus logikt (1910 13).

A matematikai alkalmazsok szempontjbl a 20. sz. els harmadban D. Hilbert Gdel munkssga a legjelentsebb. Aszimbolikus logika alkalmazsa a modlis logikaterletn C. I. Lewis munkssgval kezddtt. A tbbrtk logikk kidolgozst Leon Post (1897, 954) s J. Lukasiewicz kezdte meg. A matematikn kvli alkalmazttrjeaz 1920- as vektlR. Carnap.

Az intenzionlis logika 1945 utn bontakozott ki; f eredmnyei Carnap,A. Church, S.Kripke s R. Montague nevhez fzdnek. Magyarorszgon Kalmr Lszl kezdemnz-


13/171

A LOGIKA ELEMEI

13

te a szimbolikus logika, illetve a matematikai logika mint m atematikai diszciplna mvel-st, tevkenysge azonban a matematikn kvli terletekre is hatott.

2.3.1 A logikai gondolkods szletse Filozfiai termszetaz a leg korbbankeletkezett szveg, amelyben a szerz tisztn

logikai ton ksr li meg lltsait bebizonytani.Az i.e. 5. szzad els felhez kthettan-kltemny fennmaradt tredkeia grg filozfus, Parmenidsz kezemunkjt dicsrik.Parmenidsza logikai gondolkods mig kiemelt eszkznek, az indirekt bizonytsnakaszlatyja.

Znn tovbbfejlesztette a m dszert, Parmenidsz tantvnyavolt. A logikai bizo-nyts igazi diadaltjt azonban nem a filozfiban hanem a matematikban futotta be. Amatemati ka, amely a grgk eltti trsadalmakban tapasztalati eredet mrsi s szmol-si szablyok gyjtemnye volt, a Parmenidszt kvet mintegy szz-szztven vben bizo-nythatan Parmenidsz s Znn gondolatainak hatsra elnyerte gyszlvn mai alak jt:olyan tudomny lett, amely lltsait kevs szm kiindul llts (az aximk) igazsfelttelezve, szigoran logikai ton, azaz minden megfigyels s egyb tapasztalat felz-nlsnak kizrsval, egyedl az rtelemre tmaszkodva bizonytja. (A korai grg fifia s a matematika kialakulsa kztti sszefggs kutatsban magyar tuds, Szabr- pd tett az utbbi vtizedekben kiemelked jelentsg felf edezseket.)

Az i.e. 4. szzadban Platn filozfiai munkiban szmos matematikai utalsszerepel: a bizony tson alapul matematika gyszlvn mintapldja a tudsnak, az emberi gondl-kods erejnek. Platn szerint az igazi filozfinak a matematika mdszert, a tisztni-kai bizonytst kell mg magasabb tklyre emelnie, hogy a clhoz, a j megismershezeljusson. Platn mveiben szmos les elmre vall bizonytstis tallunk; ezeken tl he-lyenknt mr arra is trekszik, hogy megfogalmazza: mik a bizonyts alapelvei, szabazaz taln els zben mond ki logikai trvnyeket. Tallkozhatunk pldul annak ltalnokimondsval, hogy valami nem lehet egyszerre igaz s hamis. Ezt a felfedezst talmr nem tudjuk a mly gondolatoknak kijr csodlattal szemllni; de nem is ez a lnyeg,hanem az, hogy kialakul smeghozza els eredmnyeit is egy olyan fogalomrendszer,amelyben teljes ltalnossgban lehet lltsokrl vagy a gondolkods ms alapelemeirl beszlni. Platn mg nem fejlesztettea logikai alapel veket sszefgg elmlett.

Az els rendszeres logikai elmlet a grg filozfia msik kiemelked alakjtl, Ar isz-totelsztl szrmazik.Ariszt otelsz(i.e. 384 322) Platn tantvnya volt, ksbb pedigfilozfiai vetlytrsa. Arisztotelsz egyik mvben (Organon 3. rsz) a kvetkeztetsi s-mk viszonylag szles krnek szisztematikus vizsglata szerepel, amelyben a szerz kiv-lasztja a helyes s cfol ja a hibs kvetkeztetseket. Kifejtse sorn lnyegesen felhasznl-ta a matematikbl tvett axiomatikus mdszert, s mr betparamtereket is hasznlogi kai trvnyek ltalnossgnak kifejezsre. Miutn ktezer ven keresztl ezzeelmlettel illetve ksbbi tdolgozsval, a tradicionlis logikval azonostottk a logikvagy leg albbis az gynevezett formlis logikt, s ennek kvetkeztben a tradicionlislogika terminolgijval s fogalomrendszervel mg ma is tallkozhatunk, rdeArisz totelsz gondolataival beha tbban megismerkednnk.


14/171

A LOGIKA ELEMEI

14

2.3.2 Az kor sArisztot elsz

Arisztotelsz ( Aristoteles ) lete

Arisztotelsz(Kr. e. 384 Sztageira, Kr. e. 322 Khalkisz); kori grg filozfus. A per i- patetikus iskola megalaptja. Apja, Nikomakhosz II. Amntasz makedniai kirly hr-vosa volt. Arisztotelsz 18 ves korban Athnba kltztt. Kr. e. 366-347 kztt Platntantvnya volt.

Mestere halla utn elhagyta Athnt, s Asszoszban, majd Mtilnben tantott. 3- ben elvllalta a makedn trnrks, a ksbbi III. Alexandrosz (Nagy Sndor) neveTantvnya trnra lpsekor (335) visszatrt Athnba, s megnyitotta iskoljt, a Lkeletnek legtermkenyebb korszaka III. Alexandrosz hallig (323) tartott. A makedl-lenes politikai hangulat miatt ekkor meneklnie kellett. Khalkiszra hzdott vissza, s rvi-desen ott is halt meg.

1. kp Arisztotelsz portrja

Sokrt tudomnyos tevkenysge hrom korszakra oszthat: a tanul-, a vndor - s amestervek idszakra. Az els korszakban rott mvei csak utalsokbl s tredkismertek, a fennmaradt iratok a msodik s harmadik korszak termkei.

Ezt az anyagot, amely halla utn ktszz vig lappangott, a Kr. e. 1. sz.-ban rhodosziAndronikosz szerkesztette meg. Szerkesztsben a kvetkez tematikus sorrendet al-mazta: logikai iratok, termszetfilozfiai rtekezsek, metafizikai, etikai s politikai rvgl a Poitika c. tredk. Az athni alkotmny cm szveg1890-ben, Egyiptombankerlt el.

Arisztotelsz a logika megalapozja. Hat fnnmaradt logikai mvre (KatgorHermneutika, Els s Msodik Analtika, Topika, A szofistk cfolata) az sszefogla lOrganon (grgl eszkz) cmen szoks hivatkozni. A logikt Arisztotelsz nem tudomnynak, hanem elzetes tudnivalnak tekintette, amellyel a teoretikus tudomnok mvelinek rendelkeznie kell.

Hrom teoretikus tudomnyt klnbztetett meg: az els s msodik filozfit, va-mint a ma tematikt. Ez utbbival maga nem foglalkozott.


15/171

A LOGIKA ELEMEI

15

Az arisztotelszi logika

Az arisztotelszilogika se a hagyomnyos sa szimbolikus logiknak, az utbbirlszl ez a jegyzet is. Arisztotelsz munki kzl elssorban a Hermneutika cm mvetkell kiemelni, az abban

kidolgozott n. formlis logika kidolgozsvalteremtette meg a

logika tud omnyt. A logika fejldst tekintve ebben jelentsa szillogisztika (kvetkezte-tsek tana) rszletezse. szrevette, hogy a kvetkeztetsek helyessge kizrlag a szilo-gizmus ban szerepl lltsok logikai szerkezettl s a logikai szavak (nem, s, mindazonos) jelen tstl fgg.

E logiknak gazdag fejezete mg a kategriaelmlet. A kategrik (szubsztancia, mny-nyisg, minsg, viszony, hely, id, helyzet, llapot, cselekvs, elszenveds) a legltalo-sabb fogalmak, amelyeknek nllan mondva egyik sem foglal magban lltst, demegadjk a ltezk legltalnosabb tpusait.

Arisztotelsz logikai vizsglatai az n. kategorikus lltsokra sszpontosultak. Az idetartoz ngy tpust s a logikai szerkezetket egy-egy pldval illusztrljuk, hozztve,hogy a logikai szerkezet (formula) csak a tananyag megismerse utn lesz rthet.

(1) Minden ember haland. Formulja:x (Ex Hx)(2) Nmely grg filozfus. Formulja: x (Gx Fx)(3) Egyetl en athni sem sprtai. Formulja:x (Ax Sx)(4) Nmely filozfus nem grg. Formulja:x (Fx Gx)

Az arisztotelszi grammatika szerint ezen lltsok szerkezete a kvetkez: alany, llt-mny (azaz az els s a msodik prediktum) s az alanyhoz kapcsold mennyisg jelz(azaz a kvantorsz). A ksbbi rszek ttanulmnyozsa utn megrtjk, hogy anyelviforma nem mutatja a kondicionlist ill. a konjunkcit, de jelzi a negcit.

A szimbolikus logika kialakulsa eltti n.tradi cionlis logik ban ezeket a formkat,lnyegben a termszetes nyelv grammatikja szerint elemeztk. Az tletek (az lltshelyett az tlet terminus hasznltk szvesebben) szubjektumbl s prediktumbl llnak.A subiectum (latin) magyar jelentsealany , mg a praedicatum jelentse lltmny. A tan-anyagban a ksbbiekben alkalmazott prediktumfogalomnak azonban kevs kzevan azelbbipredi ktum fogalmhoz.

Az tletekterjedelem tekintetben ktflk: ltalnosak, mint (1) s (3), vagy rszlege-sek, mint (2) s (4), aszerint, hogy a prediktumot a szubjektum egsz terjedelmre csak egy rszre vonatkoztatjuk. Minsg tekintetben ugyancsak ktflk, spedig llt-ak, mint (1) s (2), vagy tagadak, mint (3) s (4), aszerint, hogya szubjektu mrl lltjukvagy tagadjuk a prediktumot.

Csakhogy a fenti smkbl a szubjektum neglsval add lltsok fontosak lehet,de ezeket ms nyelvi formkkal (mellkmondat, alany s lltmny megcserlsestb.) fejezzk ki. Mr ez a tmais mutatja, mennyire alkalmatlan a termszetes nyelvtan fogalom-rendszere a logikai elemzs szmra: megklnbzteti azt, amit nem kellene: teljesen azo-nos logikai termszet s szerep kifejezseket, mint a 'gr g' s a 'filozfus' szavak a (2)lltsban. Ugyanakkor megklnbztets nlkl egytt trgyal teljesen klnbz doo-kat: az egyedi nv az alany helyn ppgy szubjektum, mint a fenti pldkbanaz alanyszerepben fellp mai rtelemben vett prediktum.


16/171

A LOGIKA ELEMEI

16

Teht a vizsglt lltstpusok, az gynevezett kategorikus tletek rendszere a kvetke-z:

1. ltalnos llt Formulja:x (Ex Hx)2. Rszleges llt Formulja: x (Gx Fx)3. ltalnos tagad Formulja:x (Ax Sx)4. Rszleges tagad Formulja:x (Fx Gx)

Az A, E, F, G, H itt interpretlatlan paramterek. Termszetesenez a ngy sma nemfeddheti le az sszes tletet. Hibs olyan kijelentst, mint pl. Szkratsz halandaz 1.tpusba sorolni, azaz nem helyes a nevet (Szkratsz) behelyettesteni. Arisztotelsz n-kjbl kitnik, hogy elmletnek kor ltaival maga is tisztban volt; tbb olyan pro blmtemlt, amelyben nem kategorikus lltsok szerepelnek. A legutbb emltett hibba pedig mgnem esett be le, mert kvetkeztetselmletben neveket tartalmaz lltsokat seholsem szerepeltetett.

Elmlett nem fejlesztettk tovbb az ltala flvetett, de meg nem oldott problmknyba, viszont lland iskolapldaknt szerepeltettk ezt a kvetkeztetst: Minden ember haland. Szkratsz ember.Teht Szkratsz haland, noha ez val jban nem kategorikuslltsokbl ll. Ez arrl tanskodik, hogy mennyire megmerevtettk s flrertesokszz ven keresztl Arisztotelszt.

A kategorikus lltsok tanulmnyozst valban Arisztotelsz kezdte meg, s az etett ngy tpust is vezette be; m szerepk s jelentsgk egyoldal eltlzsa nemmve.

A kategoriku s szillogizmusok a tradicionlis logika alapvet kvetkeztetsi smi.

Arisztotelsz a helyes kategorikus szillogizmusoknak megfelel feltteles llts-smkatnevezte szillogizmusoknak, a kategorikus -nak megfelel jelzt pedig nem hasznlt. Kategorikus szillogizmus egy kvetkeztetsi sma, ha eleget tesz

a kvetkez kiktseknek:1. Mind a premisszk (sorrendben a fels s az als ttel), mind

a konklzi kategorikus lltsok.2. A premisszkban elfordul kt -kt fogalom (prediktum)

kzl az egyik kzs, ez a kzpfogalom; amelyik csak a fels ttel-ben fordul el, az a ffogalom, amelyik pedig csak az alsban, az azalfogalom.

3. A zrttel alanya az alfogalom, lltmnya a f fogalom.Arisztotelsz azt tekintette feladatnak, hogy az sszes lehetsges ilyen sma kzi-

vlassza a helyeseket. Ha tekintetbe vesszk azt a ki nem mondott fltevst, hogyfogalom terjedelme sohasem lehet res, akkor eredmnyei kifogstalanok. Ha ezt a kl-tozst elvetjk, akkor Arisztotelsz helyesnek minstett szillogizmusai kzl nhhibsnak kell mondanunk. Megjegyezzk azonban, hogy a hibs szillogizmusok egy-egyltezsi ptpremissza felvtelvel kijavthatk. Azok az esetek, amelyeket Arisztotelvetett, valban mind hibs kvetkeztetsek, s nem is javthatk kzenfekv mdon.


17/171

A LOGIKA ELEMEI

17

Arisztotelsz mdszere az volt, hogy a szillogizmusok helyessgt elszr kln-k lnrvelssel bizonytotta, a hibsakat pedig cfol interpretci megadsval szrte ki. Ezekutn a helyes szillogizmusokat mg kt, aximnak tekintett (tkletes) szillogizmusblislevezette.

Arisztotelsz elmlete mind eredmnyeit, mind mdszert tekintve az eurpai tuo-mny hajnalnak egyik kiemelked teljestmnye. Elsnek oldotta meg a helyes kvez-tets problmjt az lltsok egy meghatrozott krben. Helytll eredmnyei korsze-rbb megfogalmazsban rszt alkotjk mai logikai tudsunknak is. Az arisztotelszikvetkeztetseket ma legegyszerbben a Venn-diag ramok mdszervel vizsglhatjuk, me-lyet a prdiktumlogikrl szl leckben taglalunk.

2.3.3 Az i gazsgfggvnyek megjelense Az igazsgfggvnyekre vonatkoz els rendszeres elmlet az egyik ksbbi gri-

lozfiaiiskola hveinek, a sztoikusokna k a nevhez fzdik.A sztoicizmus ma elssorban ksbbi mvelinek munkssga s lete alapjn mint etikai s erklcsi irnyzat,magatarts kzismert. Az i.e. 3- 2. szzadbana rgi sztoikusok azonbanaz etika mellett alogikt s a fizikt a termszetfilozfit is egyenrang gazatoknak tekintettk. Igaz-sgfggvnyknt definiltk a nem , s, ha ... akkor , vagy kifejezsek (funktorok) jelentst, azaz meghatroztk s hasznltk a legfontosabb igazsgfggvnyeket. A ci s a konjunkci definilsa nem jelentett problmt.

A kondicionlis mr akkor s sok vitt vltott ki, de uralkod felfogss a maival mg-egyez meghatrozs vlt (eredetileg nem sztoikus filozfus, hanem az gynevezettmegarai iskolhoz tartoz Philn gondolata). A vagy hasznlata nem volt egysges:egyesek az alternci, msok a kizr vagy rtelmben alkalmaztk. Kvetkeztetsi szablyok megfogalmazsra trekedtek, mgpedig az axiomatikus mdszer alkalmazse tren a rendszeressg s kvetkezetessg tekintetben tlszrnyaltk Arisztotelszt.

Nhny egyszer kvetkeztetsi smt elfogadtak helyesnek, majd ezekbl igen nagy bizt onsggal vezettek le klnbz sszetett szablyokat. A smk ltalnos rvnynkifejezsre nem hasznltak betparamtereketmint Ari sztotelsz, hanem a konkrt llt-sokra sorszmozssal utaltak. A sztoikus megfogalmazsban az a sma, amelyet mi lelasztsi szablynak neveznk, s amely egyik aximjuk volt, ilyesflekpp hangzott:

Ha az els, akkor a msodik. Az els .Teht: A msodik.

Ha az itt hasznlt szmozst nem keverjk ssze ms sszefggsben hasznlt r-szmnevekkel, akkor ez a kifejezsmd teljesen pontos. A sorszmnevek itt az lltspar a-mterek funkcijt tltik be. Ksbbi kommentrok nha rtetlen mdon empirizmuse-tettek a sztoikusok szemre, pedig sz sincs arrl, hogy kvetkeztetsek helyessgigazolsakor a tapasztalatra hivatkoztak volna; m szemlltet pldkr t gyakran fordultak a fizikhoz.

2.3.4 A k zpkor Arisztotelszi logika ismt

Az arisztotelszi elmlet hossz egyeduralomra tett szert a logika trtnetben. A si-

kusok elmlett rszben elfelejtettk, rszben perifrira szortottk. Az arisztotelszi ngy


18/171

A LOGIKA ELEMEI

18

tletfajtt kiegsztettk ugyan a hipotetikus (kondicionlist tartalmaz) s a diszjunktv(kt- vagy tbbtag alterncit tartalmaz) tletekkel,melyekkel szemben kellett az arisz-totelszi tpusakat kategorikusoknak minsteni.

Ezekkel kapcsolatban fellltottak nhny kvetkeztetsi szablyt, de ezek a bvtsek inkbb zavart okoztak, mint egysges elmletet. Arrl, hogy igazsgfunktorok a katei-kus tletek bels szerkezetbenis szerepet j tszhatnak, nem is esett sz.

A kzpkorban sokan s les elmvel foglalkoztak az arisztotelszi logika, valaminki-sebb jelent sg kibvtsei szmos rszletkrdsvel. Megtalljuk pldul a DeMorgan-szablyok viszonylag pontos megfogalmazst. Miutn a ks bbiekben ezeket elfelejtet-tk, gy a mai nevket mlt szzadi, a szablyokat ismtelten felfedezDe Morgan utnkaptk. Itt-ott mg a korltokat is lttk; tudtk pldul (nevezetes plda), hogy a szilo-gizmusok elmletbe nem fr bele ez az egypremisszs kvetkeztets:

Plda: Minden l llat. Teht: Minden lfej llatfej.

(Ez kzenfekv, mert lnyeges szerepevan benne az x feje y-nak ktargumentum prediktumnak .) Mgsem tettek ksrletet a fogalmi keret megvltoztatsra.

Matematika s a logika kapcsolata

Kzben a matematika s a logika kezdeti gymlcsz kapcsolata megszakadt.Az ko-ri matematika legnagyobb mvben, a kevssel Arisztotelsz utn lt Eiukleidsz Elemek cm gyjtemnyben a bizonytsok kzben seregestl fordulnak el olyan lpsek, e-lyeket a matemati

kus termszetesen elfogad helyesnek, de a szillogisztika keretein belnem igazolhatk. Egszen a 19. szzad vgig fennllt az a helyzet, hogy a kvetkeztet-sek, levezetsek alkalmazsnak legtgabb terlete, a matematika semmire sem tudta z-nlni a logikt, a kvetkeztetsek elmlett.

Igazsg szerint a matematikusok meg is elgedtek annyival, hogy kvetkeztetseike-lyessge szemlletesen nyilvnval. Amikor pedig a matematika fe jldsvel, bonyolul-tabb s elvontabb vlsval felvetdtt a helyes matematikai bizonyts szigor kri-umai meghatrozsnak szksgessge, akkor vgl matematikusok jtottk melogikt.

2.3.5 Az jkorA kzpkor terjedelmes logikai irodalma utn hossz idn keresztl kizrlag kisisko-

ls szint logikt r tak. Az jkor ele jn a filozfin bell is cskken a logika irnti rdek-lds. Francis Bacon korszaknyit mve, a Novum Organum (j mdszer) mr cmb

jelzi, hogy Arisztote lsz logikai mdszervel szemben az empirikus mdszer kidolgozstekinti feladatnak, s afilozfit a hagyomnyos spekulci helybe lp tapasztalsraalapozva akarja megjtani.Egyetl en nagy kivtelrl kell megemlkeznnk: Leibnizrl, akia filozfia s a matematika trtnetben egyarnt kiemelked egynisg volt.


19/171

A LOGIKA ELEMEI

19

Leibniz lete

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 1716) nmet matematikus s filozfus. Foglalkozottmg biolgival, geolgival, nyelvszettel, teolgival s joggal.

Lipcsben szletett. Kezdetben, szlvrosban s Jnban jogot tanult. Jogtudomnyimunkssgra felfigyelt a mainzi vlasztfejedelem, s 1672- ben fontos diplomciai fel-

adattal Prizsba kldte. Az itt tlttt vek sok kivl tudssal hoztk ssze. Nmetaltja sorn megismerkedett Spinozval, Lond onban felkereste Newtont. Utazsai alatt sokneves tudomnyos trsasg tagjul vlasztotta.

2. kp Gottfried Wilhelm Leibni z portrja

1676- ban Hannoverbe kltztt. Itt a hannoveri herceg knyvtrosa, a braunschweuralkodhz trtnetrja volt. 1700-ban az kezdemnyezsre szletett meg a berliniakadmia. Levelezett Nagy Pter orosz crral, s 1711- ben az tervei szerint alakult meg aszentptervri akadmia.

Mint politikus, teolgus, filozfus s tuds fennklt szellemhez mlt munkssfejtett ki. Politikusknt Nmetorszg egysgnek megteremtsrt kzdtt. Mint teolgukatolikus s a protestns egyhz kztti ellenttet akarta megszntetni. A filozfus Le bniz pedig kereste azt az ltalnos mdszert, a scientia generalis -t, amely lehetv teszi atudomnyos megismerst, a vilg jelensgeinek megrtst.A matematikus Leibniz min-den tudomnyos munkjnak ez volt a kerete, ppen gy, mint Descartes esetben, dekdsi terlete sokkal szlesebb volt Descartes-nl. Mindenben az ltalnost, a nagy sz-szefggseketkereste . Trtnetri mkdse is a mdszere miatt jelents.

Nyelvtudomnyi mkdsben sszehasonlt szempontokat rvnyestett. Mint joa nemzetkzi jogot fejlesztette. Az ltalnos nyelv, a lingua universalis keresse vezetteel a szimbolikus logikhoz.

Mg prizsi tartzkodsa alatt bartkozott ssze Huygensszel. Az ifj Huygens nhatssal volt Leibnizre. Br prizsi tja eltt is foglalkozott matematikval, hiszen amintez egynisgbl kvetkezik a mennyisgek ltalnos tudomnyban, a matematik - ban is a mg ltalnosabbat kereste, s megjsolta a mai matematika lnyegt, mint speci -lis esetet tartalmaz, ltalnos matematikt, amely mr nem a mennyisgek, hanem ai-


20/171

A LOGIKA ELEMEI

20

nsgek tudomnya lesz. Ezt, a szimblumokkal lerhat, a minsgek kapcsolatait ke-z matematikt a kombinatorikban vlte felfedezni. A kombinatorikus mvszeta sor-rend, a viszony, a hasonlsg, ltalban a szimblumokkal kifejezhet minsgi kapca-tok tudomnya. Ez lenne, Leibniz szerint, a mennyisgi sszefggseket trgyal m-matikt magba foglal, j matematika. Ezrt foglalkozott intenzven a kombinator ikval,amelytlazt remlte, hogy elvezeti a matematika feletti matematikhoz.

Leibniz nagy mestere volt a z j szimblumok megalkotsnak . Kevesen lttk olyanmlyen a tartalom s a forma egysgt, mint ppen . A ma hasznlatos matematikai kztt tle szrmazik tbbek kztt az egyenl (=), a szorzs (), a hasonlsg (~)jele.Leibniz hasz nlta elszr tbbek kztta fggvny sa a koordintafogalmakat.

Neves tantvnyai s kveti, klnsen Jacob s Johann Bernoulli, valamint Eulee-zben a Leibniz felfedezte differencil- s integrlszmts mdszerei varzslatoseredm -nyeket hoztak, s hossz idre megszabtk a matematika fejldsnek az irnyt. Ha az-tokrata rangokkal mrhetnnk a szellemi nagysgot, akkor Leibniz a matematikba

elrte azt a bri cmet, amellyel a hannoveri fejedelem elismerte e nagy szellem igazkutat, nemes clokra tr, munks letnek eredmnyeit. A mai rtelemben vett matematikai logika megszletst Leibniznek ksznhet

letcljnak tekintette egy olyan mdszernek a megtallst, amely lehetv teszi aismeretek felfedezst s vgs fokon vilgunk megismerst. Ezt az ltalnos mdszmatematika terletn kereste, s gy jutott el a kombinatorika tanulmnyozsa kzbenuniverzlis nyelv keressnek a gondolathoz. Ez a nyelv a gondolkozs minden etevkenysgt szimblumokkal fejezn ki, s a kztk feltallhat kapcsolatok pplogika trvnyeit szolgltatnk. E gondolatait a Dissertatio de arte combinatoria (rteka kombinatorika tudomnyrl) cm munkjban fejtette ki 1665-ben.

Leibniz szerepe a logikban

Leibniz a 17 18. szzad forduljn ksrletet tett egy nagyobb haterej logika kidol-gozsra, br a program felvzolsn s a kezdeti lpsek kidolgozsn nem jutottMun kja hossz ideig hats s folytats nlkl maradt.

A 18. szzad vgtl j irnyt vettaz arisztotelszi tradicionlis logikval szembenielgedetlensg, az elgedetlensg forrsa a klasszikus nmet filozfia kapcsn eszkzlt javtsra vezethet vissza, ennek rvntorzult az arisztotelszi logika gondolati vilga.Kant, a klasszikus nmet filozfia elsnagy alakja hirdette meg, hog y a logiknak nem-csak a formval, hanem a tartalommal is foglalkoznia kell, s mint az emberi megismerslegltalnosabb kerete, nem maradhat kzmbs a keretbefoglalt tartal om irnt. Hegel, a klasszikus nmet idealizmus betetzje, ezt a programot valstotta meg azzal,hogy ltalnos filozfija egszt, ltelmlett logika cmmel adta el. E fordulat ta z-nljka formlis logika s a dialektikus logika megklnbztetst.

A formlis logika az arisztotelszi rtelemben felfogott logika: aszabatos kvetkeztetsnek a logikai struktrra alapozott elmlete.A formlis logikt igen gyakran arisztotelszi logiknak is nevezik.

A dialektikus logika arisztotelszi rtelemben nem logika, hanem ismeretelmlet t,Hegel felfogsban, ltelmlet is). A tovbbiakban a logika terminust vltozatlanul az

arisztotelszi rtelemben hasznljuk, tbbnyire mellzve a formlisjelz t.


21/171

A LOGIKA ELEMEI

21

A 19. szzad

A 19. szzadban jjled a szkebb rtelemben vett(formlis) logika, a kvetkeztetsekelmlete is. Tbb matematikus megk sr el valamilyen logikai algebrt teremteni. Kzlkkiemelkedik George Boole. George Boole (1815

1864.) angol matematikus volt, a forma-

lista algebra egyik kpviselje. Kt mvben, a The Mathematical Analysis of Logic-ban(A logika matematikai analzise, 1847) s az AnInvestigation of the Laws of Thought-ban(A gondolkozs trvnyeinek egy vizsglata, 1854) kimutatta, hogy a formlis logika tr-vnyei a matematikban hasznosthatk. Az ltala megalapozott algebra clja az, hogyegye stse a matematikt a logikval. Munkssga jelents az algebra, a matematikai logikas a valsznsgszmts terletn.

Boole elmlett ksbbE. Schrder fejlesztette tovbb. Mdszerk lnyege az a felis-mers, hogy az egyvltozs nyitott mondatok negcijnak, konjunkcijnak s altern jnak megfeleltethetk a terjedelmeikre azaz a trgyalsi univerzum rszhalmazaira vonatkoz egyszer halmazmveletek: a kiegszt halmaz, a kzs rsz, ill. az egyekpzse. (A trgyalsi univerzum fogalmais Boole- tl szrmazik.) A terjedelmek algebr-

ja a Boole- Schrder -algebra.

3. kp George Boole portrja

Azt is felismertk, hogy az lltsok igazsgrtkei ugyanezen logikai mveletekreo-natkozan hasonl szerkezet algebrt alkotnak. Ebben az elmletben az lltsok s a prediktumok logikja mg nem pl egybe. Boole, Schrder s kortrsaik (A. De Morgan,J. Venn) mg csak elkszti a logika alapvet jraf ormlsnak, fleg a matematikaiszemlletmd s jellstechnika alkalmazsa tekintetben. Eredmnyknt knyvelhet jk elazonban, hogy legalbbaz azonos szerkezet , s legalbb az egyargumentum prediktu-mok tekintetben lnyegesen tllpnek a szillogisztika hatrain.

2.3.6 A szimbolikus logika kialakulsa A logika valdi reformjaFriedrich Ludwig Gottlob Frege (1848- 1925) nmet matema-

tikus s filozfus nevhez fzdik. Lei bniz eszmihez ersen kapcsoldva Fregeaz aritme-tika trvnyeinek a logikra val visszavezetst tekintette cljnak. Ehhez volt szkolyan logikra, amelyben a matematikai kvetkeztetsek reproduklhatk s igazolhEzt a logik t az 1879- ben megjelent Fogalomrs cm munkjban tette kzz.


22/171

A LOGIKA ELEMEI

22

4. kp Friedrich Ludwig Gottlob Frege portrja

Ha fel akarjuk sorolni Frege jtsait a logika tern, akkor a mai logikai elmlet y-szlvn sszes sarkalatos pontjt meg kell emlteni:

felszmolta a hagyomnyos alany-lltmny megklnbztetst, helybe lltva afunktor s argumentuma szerinti elemzst,

felfedezte a kvantifikcit, s ezzel megteremtette az sszefggst az igazs-funktorok s a prediktumok elmlete kztt,

elsknttette lehet v a tbbargumentum prediktumokkal kapcsolatos kvetkez-

tetsek vizsglatt, egysges rendszerbe foglalta az igazsgfggvnyek elmlett, st a sztoikusok taelszr adott pontos defincikat az igazsgfggvnyekre,

meg alkotta a logika szmra az els teljes rtk grammatikt, amelyben vilgosanelklnlnek a logikai jelek s a vltoztathat jelents szimblumok (a parame-rek), s amelyben a logikai szimblumoknak pontosan rgztett j elentsk van.

A felsoroltak alapjn egyrtelmen tekinthet aszimbolikus logika megteremt jnek,ami taln a legmegfelelbb elnevezseannak a modern logiknak, ami az 1879- tl a tradi-cionlis logikt vltotta fel.

A mai logikai jelrends zer jrszt G. Peano olasz matematikustl szrmazik, aki az1890- es vekben magais egy olyan fogalomrs kidolgozsnmunklkodott, amely amatematikai bizonytsok kifejezsre alkalmas. Peano jelei a 20. szzad elejn fleg t-rand Russell kzvettsvel lettek szlesebb krben ismertt. Frege ms jellstechnikthasznlt, mintamelyet e knyvben alkalmaztunk, de a jellsrendszernk rszbenPeanotl is eltr.

2.3.7 A 20. szzadi fejlds Az j logikai elmlet felfedezst(Frege) egy darabig kevs figyelemre mltattk. A

20. szzad elejtl kezdve viszont az j logika risi szerepet jtszik a matematika alai-ra vonatkoz kutatsokban. A szzad kezdet tl fogva, de fleg az els vilghbor utn

jelent ss vlt a szimbolikus logika hatsa egyes polgri filozfiai irnyzatok fejlds.


23/171

A LOGIKA ELEMEI

23

A harmincas vekben szlettek a matematikai logika kibontakozsa sorn, a bizonytl-mlet els nagy eredmnyei. A msodik vilghbor utn pedig a tudomny egyre terletre vonul be hasznos segdeszkzknta modern logika. Kiemelhetjk ebbl a szempontbl a szmtgp-tudomnyt, a nyelvszetet, a pszicholgia egyes gait.

Az extenzionlis s intenzionlis logika

A logi kai szemantika extenzionlis elmletnek szabatos kidolgozsaaz 1930-as vekben flega lengyel Alfred Tarski nevhez fzdik. A teljes extenzionlis logika modernkiptse1950 krl Alonzo Church s Leon Henkin amerikai logikusok rdeme. Azextenzionlis logika olyan logikai rendszer, amely kizrlag logikai sszefggsekkelr-vnyekkel) foglalkozik, amelyek jl formlt kifejezsek (terminusok, prediktumok, n-datok) extenzi ja (halmaza) kztti kapcsolatokon alapulnak, tekintet nlkl a kifejezsintenzijra, azaz jelentsre.

Az i ntenzionlis logika fel halads els lpse a modlis logika kidolgozsa volt.Ez azelmlet a szksgszer, hogyp, lehetsges, hogyp szerkez et lltsok logikai trv-nyeivel foglalkozik (az ezekben szerepl mondatfunktorok ktsgtelenl intenzionlisak).Eredete Arisztotelszig nylik vissza, ugyanis kidolgozta a modlis szillogizmusok elm-lett is. A modern szimbolikus logika keretbenaz 1910- es vektl kezdve a modlis logi-kai kutatsok ttrje C.I. Lewis amerikai logikus volt. Kezdetben a m odalitsok trv-nyeit logikai kalkulusok (szablyrendszerek) keretben vizsgltk. A modlis szemamegalkotsaaz 1960- as vek elejn alapveten S. A. Kripke amerikai logikus rdeme.

Az intenzionlis logika ltalnos elmletnek els vltozata1950-ben Chu rchtl szr-mazik. Egy fejlett ebb vltozat, amely felhasznlja Kripke modlis szemanti kjnak jtsa-it, R. Montague amerikai logikus mve1970-ben . A szemantikai rtkrs figyelembevte-lre1957- ben trtntaz els kezdemnyezs, amely A. N. Prior ang ol logikustl ered.

Logikai kutatsok

A fentiekben vzolt f fejldsi vonal mellett szmos, specilis szakterletre vonatkalkalmazott logikai kutatsrl is emltst tehetnk. Ide tartoznak a matematikai bizonytselmletre vonatkoz eredmnyek a harmincas vekbl (K. Gdel,B. Rosser, Church,Tarski), a matematika n.intuicionista vagy konstruktivista i rnyzathoz kapcsold intuicionista logika , tovbb jrszt a modlis logikai kutatsok is. Tovbbi szakterle-tek: a normk logikja (G. H. von Wr ight), az igeid k logikja (Prior), egyes termszetesnyelvi szerkezetek modelllsa az intenzionlis logikban (Montague).

A 20. szzadban j logikai irnyzatok is keletkeztek, kztk olyanok is, amelyekegy- ben- msban vitatjk a logika Arisztotelsztl s Fregtl szrmaz alapelveit.Ezekkel azirnyzatokkal nem foglalkozhatunk, rszben terjedelmi okokbl, rszben pedig azrt mert a kzlni kvnttananyaghoz nem kapcsoldnak.

A magyarok eredmnyei

A hazai logikakutats terletn nemcsak jelents kutatkrl beszlhetnk, hanem jen-ts logikaiskolkrl is. Elmondhatjuk, hogy ezen iskolk komoly szerepet jtszottak szzadi logika trtnetben. Pter Rzsaa rekurzv fggvnyek terletn rt el fontos

eredmnyeket.


24/171

A LOGIKA ELEMEI

24

5. kp Kalmr Lszl portrja

Kalmr Lszl, akiiskolt teremtett a szmtstudomny, s ezen bellis az elmletiszmtstudomny tern, a logika szmtstudomnyi alkalmazsaiban vitt ttr szerepet.

Ruzsa Imre a logika humn alkalmazsainak terletn teremtettiskolt, kutatsi terlete elssorban a nem klasszikus logikk, ezen bell pldul az intenzionlis logika.

Nmeti Istvn s Andrka Hajnal az algebrai logikban teremtett nemzetkzi hr isko-lt. Bekapcsoldtaka Tarski-csoport munk jba, s a tmakr vezet kutati kz szm-tanak, de fontos eredmnyeik vannak a logika szmtstudomnyi alkalmazsainak teris.

Makkai Mihly terlete a modellelmlet, szmos eredmny fzdik a nevhez. A fo-rolt kutatk valamennyien a logika oktatsnak terletnis elvlhetetlen rdemeket sze-reztek.

2.3.8 A szimbolikus logika

A (formlis) logika, korszer formja.A szimbolikus logika interdiszciplinris jellegtudomny, amely fknt a filozfia, a matematika s az elmleti nyelvszet kutatsi ti-hoz kapcsoldik. Br a logika olyan krdseket vizsgl, amelyeket elszr az korban filozfia vetett fl, ma nem szksges s nemis elnys a logikt legalbbis a szimboli-kus logikt a filozfia rsznek tekinteni, mert az egyes logikai trvnyek elismernem fgg ssze kzvetlenl a filozfia alapvet krdseiben elfoglalt llsponttal. A logika hasznos eszkze a filozfiai problmk elemzsnek, de mint eszkz, nma-gban nem elegend azok megoldshoz. Ezrt van az, hogy nagyon klnbz vilgne-t filozfusok is eredmnyesen hasznlhatjk a logikt anlkl, hogy pusztn ennek kt-keztben meg kellene vltoztatniuk vilgnzeti llsfoglalsukat.

Mivel a filozfia a gondolkods tudomnya, rdemes tisztzni a logiknak az emberigondolkodssal val kapcsolatt is.Mondhatjuk- e, hogy a (formlis)logika az emberigondolkods vagy legalbb a helyes gondolkods trvnyeinek feltrsval foglalko-zik? Tananyagunkban tallkoztunk a logikai igazsgokat kifejez rvnyes smkkalvetkeztetsi smkkal, a defincikra vonatkoz szablyokkal stb. Ezek lennnek-e a (he-lyes) gondolkods trvnyei? Nos, az egyszer kvetkeztetsi smk egy rszt (tudatosan


25/171

A LOGIKA ELEMEI

25

vagy nem tudatosan ) rendszeresen hasznljuk a mindennapi tevkenysgnk sorn (s persze a tudomnyos gyakor latban is); ezek valban olyan szablyokat fejeznek ki, ame-lyeknek a megsrtse esetn nyilvnval gondolkodsi hibrl szoktunk beszlni. gy alogika szablyai, trvnyei kztt ktsgtelenl vannak olyanok, amelyek a helyes gol-kods normit fejezik ki.

Kapcsolat a matematika tudomnyval

Maga a szimbolikus logika nem rsze a matematiknak, hanem nll tudomnyg,amely (szmos ms tudomnyhoz hasonlan) matematikai eszkzket is hasznl. Aszim-

bolikus logik a a humn tudomnyokban val alkalmazsaival sszefgg kutatsi terletgyakran filozfiai logiknak mondjk.

A szimbolikus logika s a matematikai logika elnevezseket nha szinonim rtelembenhasznljk; m az utbbi elnevezst helyesebb a matematika azon gra alkalmazni, aegyrszt a matematika logikai problmival, msrszt a szimbolikus logik ban alkalmazottmatematikai appartus a logikai interpretcitl fggetlen, tisztn matematikai vizsg -latval foglalkozik.

A matematikai logika formalizlja azt a nyelvet, amelyen a matematikai lltsokai-mondjuk; szablyokat llt fel, hogy az lltsokbl j lltsokra kvetkeztethessnk,tsformkat elemez, s bizonytsi mdszereket fejleszt ki. Szoksos mdon ennek alaa ktrtk logikt vlasztjk.

6. kp A logika tudomnynak kapcsolata a filozfia s a matematika t u-domnyokkal

A szimbolikus logika felosztsa

A szimbolikus logika jelenlegi llapota szerint tbb szempontbl is feloszthat. 1. Ktrtk s nem ktrtk logika. Mi a ktrtk (igaz, hamis) logikt vizsglj

jegyzetben, de az alapfogalmaknl utalunk a tbbrtk logikra is. Az utbbi szfsorolhatk az explicite tbbrtk rendszerek mellett azok is, amelyek ugyan nem hivat-koznak igazsgrtkekre, de tteleik sszeegyeztethetetlenek a ktrtk logika ttelei

2. Extenzi onlis s intenzionlis logika. 3. Nullad- , els-, msod- s magasabb rend, valamint tpuselmleti rendszerek. Ez a

feloszts a kvantifiklhat vltozk tpusainak szma (s egyben a kimutathat logikai szr-keze t finomsgi fokozata) szerinti.


26/171

A LOGIKA ELEMEI

26

Plda: A tananyag a klasszikus elsrend logikrl szl, ez a log ika ktrtk, extenzionlis selsrend, amit aneve is tkrz.

A hagyomn yos s szimbolikus logika A szimbolikus logika korbbi szintjtl, az n. hagyomnyos logiktl a kvetkez mi-

nsgi sajtsgokban klnbzik:1. A logikai trvnyek pontos megfogalmazsa, hatkrk egyrtelm megvonsa r-

dekben nem egyetlen, univerzlis logikval, hanem logikai rendszerek sokasgvalfoglalkozik.

2. A logikai rendszereket formalizlt nyelvekre pti, s ezzel kvetkezetesen keresl-viszi a logika fggetlentst az egyes termszetes nyelvek sajtsgaitl. A formalnyelvek amely ek keretben az j, korbban ismeretlen szerkezeti formkat hasznl lehe tv teszik a fogalmak s az lltsok logikai szerkezetnek egyrtelm feltrsti-kszblve a termszetes nyelv kifejezseinek jelents ingadozsait. Ezzel fgg ssze azelnevezs. A hagyomnyos logikban csak korltozottan hasznltak szimblumokat, neve-zetesen egyes nem logikai alkatrszeket jelltek betkkel. Aszimbolikus logik ban a logi-kai alkatrszeket is szimblumok, az n. logikai konstansok reprezentljk.

3. Trvnyeit kevs alapelvre s a logikai jelek pontosan meghatrozott jelentsreti, a legalacsonyabbra cskkentve ezzel az ontolgiai s ismeretelmleti megfontolsoktval fggsgket.

4. A logikai rendszerek flptsben, szemantikai interpretlsban, ltalnos tnyeik feltrsban s bizonytsban matematikai (fknt halmazelmleti) eszkzkmdszereket hasznl. (Ehhez kapcsoldik a matematikai logika elnevezs.)

E sajtsgok kvetkeztben a hagyomnyos logikt terjedelemben, mlysgben s a- batossgban egyarnt messze meghalad eredmnyeket r el, s a tudomnyokegyre tbbterletn vlik a kutat, kifejt s rendszerez munka hasznos, esetenknt nlklzheeszkzv.

A hagyomnyos logika kritikailag fellvizsglt eredmnyei aszimbolikus logik ban is jelen vannak. A szimbolikus logika eredmnyei s eszkzei flhasznlhatk az rvelskritikai vizsglatra, bizonytsra vagy cfolsra, fogalmak szerkezeti elemzsre stb.

2.3.9 A szimbolikus logika trgya A (formlis) logika nem ad szmot sem az emberi megismers folyamatrl, sem a

problmamegold gondolkods trvnyeirl. Durvn fogalmazva: a logikbl csaktudjuk meg, hogy hogyan nem szabad okoskodnun k egy problma gondolati megoldsasorn, de nem kapunk szablyokat, mdszereket a problmk tnyleges megoldshozgy nem egszen igaz, de a kiss tlz fogalmazs segt a logika f funkcijnak megsben.)

Mint tudjuk, a logika trgya lnyegben a helyes kvetkeztets fogalmnak tisztztrvnyeinek feltrsa. (Minden ms logikai problma vagy ehhez kapcsoldik, vagyvezethet vissza.) Ennek alapjn azt mondhatjuk, hogy a logika f feladatanem a gondol-kods trvnyeinek feltrsa, hanem a gondolkods eredmnynek kritikai elemzsee-gtsgvel ellenrizhetjk akr a magunk, akr msok rvelsnek (kvetkeztetsnek)helyessgt, feltrhatjuk az esetleges hibkat. A problma megoldsnak nincsenek logikai


27/171

A LOGIKA ELEMEI

27

szablyai. De annak ellenrzsre, hogy megoldsunk helyes-e, a lo gika ad mdszereket.Ugyancsak a logika ad tmutatst a defincik s az lltsok egyrtelm megfogalmahoz, az rvelseknek (bizonytsoknak) msok ltal is kvethet kifejtsben. Ezrt a i-ka tudatos felhasznlsa nlklzhetetlen a tudomnyos kommunikciban s az oktgyakorlatban is.A problmamegoldst illeten az imnti eltlzott megllaptst gy kell helyesbtennk,hogy a logika a problma megoldshoz is nyjt segtsget, br eltekintve a trivi lis ese-tektl nmagban nem elegend. Ha a problmban figyelembe veend tnyezk szmanem tl nagy, akkor az ismert logikai eszkzk analitikus tblzat vagy Venn-diagram felhasznlsval az sszes kombincik feltrhatk a problma megoldsa(i) ezek kkiszrhet(k). Ezek az eszkzk gyakran f elhasznlhatk a problma rszekre bontsra(feltrkpezsre), vagy egyes rszletek megoldsra is.

A modern szimboliku s logiknak kiemelked szerepe van tovbbaz elektronikus sz -mol-automatk tervezsben s programozsban. Mivel ezek az automatk a probla-

megoldsok fontos segdeszkzei, kzvettskkel igazoldik a logika jelents eszke-repe a problmamegoldsban, vagyis az alkot emberi gondolkodsban. rdekes tovbb megfigyelni, hogy a tisztn logikai jelleg feladatok megoldsa bo-

nyos szempontbl a tudomnyos problmk megoldsnak modellje is. Kezdetben ree-teg, ltszlag sszefggstelen adat ll a tuds rendelkezsre, amelyekbl alig lehet tr-vnyszersgeket vagy sszefggseket felismerni. E kiindul adatokbla tudsfelttelezseket llt fel. A felttelezsekre alapozza kutatmunkjt, s a feladatra kapottmegoldst sszehasonltja a kiindul adatokkal. Ha a megolds s a kiindul adatok n-csenek sszhangban, arra a kvetkeztetsre jut, hogy hibs felttelezsekkel dolgoezrt azokat elveti, s jakat llt fel. Ez a folyamat tbbszr ismtldhet, de vgl a n-

dul adatoknak megfelel megoldsra jut az immr helyes felttelezsek alapjn. Ezumegvizs glja. hogy a megolds egyrtelm-e, vannak- e mg ms megoldsvltozatok, scsak ezutn tekinti a feladatot megoldottnak.

Hasonlkppen megy vgbe a logikai feladatok megoldsa is. A logikaifeladatok ter-mszetesen annyira eltrk, hogy egy-kt szabvnyos megoldsi md nem vezethet ered-mnyre.

2.3.10 M atematika s logika A matematika trtnete szmtalanszempont al apjnoszthat korszakokra, de csak az

utbbi vtizedek erstettk meg a kt tudomnyka pcsolatt. Ha a matematika tartalmaszerint, azaz a kutatsi mdszerek, eredmnyek, elvek alapjn trtnik a feloszts, akkelfogadhatjuk az A. N. Kolmogorov szovjet matematikus ltal megllaptott korszakoamatematika keletkezsnek a korszaka, az elemi matematika korszaka, a vltoz mennyi-sgek matematikja, a modern matematika korszaka . A korszakok sajtossga mellett kit -rnk arra is, hogy a matematikai logika alapjt kpez bizonytsi igny, azaz a matemi-kai szabatossg mennyire volt hangslyos az egyes korszakokban.

A matematika keletkezsnekk ezdete az sidk be vsz s addig tartott, amg ki nemalakult sajtos mdszere, ssze nem gylt a matematika sajtos anyaga, meg nem szlettekaz elemi fogalmak: azaz a mg nll tudomnny nem lett. Ez kb. az i. e.4-5 . szzadigtart idszak. Kialakult a termszetes s a trtszmok fogalma, megszlettek az elem

szmolsi mveletek, a gyakorlati feladatok szmolsi szablyai. A feladattpusok ml-


28/171

A LOGIKA ELEMEI

28

dsra receptszer utastsokat adtak. Kialakultak a szmrendszerek. Ksztettek tblo-kat a szmols megknnytsre. Megoldottk az egyszer gyakorlati geometriai felao-kat. Azonban a b izonytsi igny,a pontossgra trekvs,az ltalnosts,az elmletimegalapozottsg nem jellemezte ezt a korszakot, hiszen az eredmnyeket egyedl a taz-talat igazolta.

Az elemi matematika korszaka (i. e. 6-5 . szzad, s a16 . szzad kztti id) az llandmennyisgek tanulmnyozsnak a kora, ekkor fejldttki a mai rtelemben vett tteles,deduktv matematika, ami lnyegben minden lltst a bizonyts nlkl elfogadott mkra vezet vissza. A dedukci (levezets) a logikai kalkulusokban szerepl szintaktikafogalom. Egy dedukci olyan vges, de nem res formulasorozat, amelynek minden vagy premissza, vagy a kalkulus valamely alapformulja (aximja), vagy a sorozat tai- bl az elre rgztett formlis szablyokkal kpezhet.Kialaktsban az kori grgk jtszottk a f szerepet: Thalsz, Pthagorasz, Hippokratsz, Eudoxosz, Eukleidsz, Ar-khimdsz, Apollniosz, Ptolemaiosz, Diophantosz, Papposz. A grg-rmai kultra ha-

nyatlsa utn fejldsnek indult az indiai matematika, ami a tzes helyrtkrendszert, azrt, a magasabb fok egyenletek megoldst adta a vilgnak. Az kor matematikjt azarabok mentettk meg Eurpa szmra(Al-Hvrizmi, al-Battni, Abul-Vafa, al- Birni).

A vltoz mennyisgek matematikja Descartes-tl kezddtt, ami nagyon termkenyidszakvolt. A sok vita kzepettenem maradt id az eredmnyt hoz j meg j fogalmaks eljrsok aprlkos, szabatos vizsglatra s megalapozsra.A modern matematikakor szakra maradt az alapoz tevkenysg.

A 19 . szzad vgn s a20. szzadban hress vlt matematikusok (Bolzano, Cauchy,Dirichlet, Weierstrass, Dedekind, Cantor, Stieltjes, Riemann, Hilbert) vizs glatai ptoltkazt, amit az elz korszak elmulasztott. A felfedezsek ideje azonban nem rt vge

elmletek, a vizsglatra rdemes j trgykrk, a matematika j gai szlettek s szt-nek. Korunkban azonban a matematikai kutatsok klnsen ott kapnak hangslyt, ahol amatematika alapjainak tisztzsrl van sz, azaz ott, ahol lnyegben az emberi gonl-k ozs alapvet logikai trvnyeit kell megllaptani. Ugyanakkor a technika s a terszettudomnyok szles terleten alkalmazzk a matematikai eredmnyeket, saz j kutat-sokra sztnzi a matematikusokat.

A matematika terletei:matematikai logika, halmaz elmlet, szmelmlet, algebra(klas szikus algebra, lineris algebra, csoportelmlet, gyr- s testelmlet, hlelmlet,absztrakt algebra, univerzlis algebra stb.), geometria (elemi geometria, euklideszi geomet-ria, nemeuklideszi geometrik, brzol geometria, analitikus geometria, trigonometria, projektv-geometria, differencil-geometria, topolgia, grfelmlet), analzis (sorok elm-lete, vals fggvnytan, komplex fggvnytan, differencilegyenletek, integrlegyenlvariciszmts stb.), funkcionlanalzis, valsznsg szmts (matematikai statisz jtkelmlet, informcielmlet stb.), numerikus, grafikus s gpi mdszerek elmlete,szmtgp tudomny.A felsorolt gak kztt vannak tfedsek, ezeken tl a jvbenegy-egy zrjeles alfejezet nll gknt jelenhet meg (pl. a topolgia), hiszen folyton vltoz,rohansszeren fejld tudomnyrl van sz. A felsorolt fejezetek kzl kiemelked amatematika kt alapvet terlete amatematikai logika s a halmazelmlet,ugyanis a ma-tematika tbbi ga ezekre pl.


29/171

A LOGIKA ELEMEI

29

2.3.11 Matematikai logika

A logika fej ldsnek trtnete a kezdetektl fogva fontos rsze az eurpai tudomnyosgondolkods trtnetnek. Klnsen a filozfia s a matematika llt a logikval gyaszoros klcsnhatsban; olyannyira, hogy a logikt egyrszt hagyomnyosan, st olmg ma is a filozfia rsznek tekintik, msrszt pedig a 20. szzad matematikjnakegyik legjelentsebb s legdinamikusabban fejld gazata a matematikai logika, amely amodern matematika egsz arculatra rnyomja a blyegt, s aszimbolikus logika sajtfejldsben is risi lpst jelent.

A matematika logika elssorban a matematika megalapozsvalfoglalkozik, a matematikai fogalomalkotsok jogossgt, azok tu-lajdonsgait matematikai eszkzkkel vizsglja.

Fontosabb gai a bizonytselmlet, a modellelmlet, a rekurzielmlet s idnknsoroljk a halmazelmletet is. Tulajdonk p pen a helyes gondolkods kortl tanulmnyo-zott szablyai (logika) is amatematikai logika rszt kpezik, de igazn a matematikastruktrjnak vizsglatra hozta ltre a 1920. sz. forduljn az alapok tisztzsnaknye.

A modern logikt nha matematikai logiknak is nevezik. Ez az elnevezs annyihelytll, hogy a modern logika matematikai jelleg eszkzket hasznl egy-egy logikaielmlet pontos krvonalazsra s trvnyeinek bizonytsra. Az elnevezsazonban azt atves elkpzelst keltheti, hogy ez a logika a matematika logikja, azaz csak a matemati kn bell hasznlhat; noha errl sz sincs, ezrta szimbolikus lo gika elnevezsa szerencs -sebb.

A matemati knak a fent emltett fejezett nevezhetjk inkbb matematikai logiknamivel e nnek trgya valban a matematikai elmletek s bizonytsok szerkezetnek, ssze-fggseinek, trvnyeinek, valamint a modem logikbanalkalmazott matematikai eszk -zknek s ezek ltalnostsainak a logikai alkalmazsoktl teljesen fggetlen, tisztn ma-tematikai j elleg vizsglata.

2.4 SSZEFOGLALS A megismers trvnyei mindig izgattk a kutat elmket. A logika a gondolkods lta-

lnos trvnyszersgeit, szablyait vizsglja. A logika alapvet feladata a helyes kt-keztets fogalmnak szabatos meghatrozsa, trvnyeinek feltrsa.A logikai megisme-rs trvnyeinek vizsglata rgi mltra tekinthet. A logikai trvnyek els narendszerezje Arisztotelsz volt. A logika teht az korig visszavezethet tudomny. Afilozfia rszeknt volt ismert egszen a 19. szzad vgig.

Tulajdonkppen a helyes gondolkods kortl tanulmnyozott szablyai (logika) matematikai logika szablyait kpezik, de a matematikai logikt igaznmatematika struk-trjnak vizsglata hozta ltre a 19-20. szzad forduljn az alapok tisztzsnak ignye rvn. A D. Hilbert ltal megfogalmazott program krdsei s az azokra adott vla(axi marendszer, Gdel-ttel) jelentettk az els nagy korszakt.

A logika a gondolkods tudomnya. A matematikai logika a logika tudomnynak aga, amely matematikai mdszereket alkalmaz s a matematikban megszokott pontog-ra trekszik. A matematikai logika ugyanazon alapelvekre pl, mint a hagyomnyosarisz-totelszi (for mlis) logika, eredmnyei azonban tlhaladnak rajta.


30/171

A LOGIKA ELEMEI

30

A mate matikai logika a matematikban hasznlt gondolkodsi formk s kvetkeztesek formlis szablyaival foglalkozik. Feltrja az lltsok szerkezett, elvonatkoztatvaazok tar talmi jelentstl, s feladata a helyes kvetkeztetsi szablyok megllaptsa. Amatematikai logika gy a matematika, az informatika s ms tudomnygak megalapozstis szolglja. Hozzjrul a helyes gondolkodsmd kialaktshoz s a nyelvi kifejez megfelel hasznlathoz.

A matematikai logika formalizlja azt a nyelvet, amelyen a matematikai lltsokai-mondjuk; szablyokat llt fel, hogy az lltsokbl j lltsokra kvetkeztethessnk,tsformkat elemez, s bizonytsi mdszereket fejleszt ki. Szoksos mdon ennek alaa ktrtk logikt vlasztjk.

Leibniz nyomn fleg az algebra terletn indultak meg azok a kutatsok, amelyelogikai s matematikai tletalkots mdszerei kztti hasonlsgot vagy eltrst vizl-tk. Ezek eredmnyeknt szletett meg a Boole-fle algebra is, melyet az angol G. Boole-nak ksznhetnk. Eredmnyeit a valsznsg szmtsban alkalmazta. Hasonl szem-

ben mkdtek Augustus de Morgan (18061871) s W. S. Jevons (1835 1882) angol kuta-tk, akik a Boole-algebrt tovbbfejlesztettk. A matematikai logika kivl amerikai mvelje C. S. Peirce (1839 1914) volt.

A D. Hilbert ltal megfogalmazott program krdsei s az azokra adott vlaszok (axi-marendszer, Gdel-tte) jelentettk amatematikai logika els nagy korszakt.

2.5 NELLENRZ KRDSEK 1. Mutassa be Arisztotelsz s Leibniz szerept! 2. Fogalmazza meg a szimbolikus logika lnyegt!


31/171

A LOGIKA ELEMEI

31

3. ALAPFOGALMAK

3.1 C LKITZS

A leckbena matematika egszhez kapcsold, a tananyag trgyalsa s a ksbbi bi-zonytsok alapjul szolglfogalmakat, valamint a matematikai logika megrtshez el-engedhetetlenl szksges fogalmakat ismerhetjk meg. Ezen tl sszefoglaljuk a an-anyagban alkalmazott sszes jellst, amit a tanuls s a feladatok megoldsa sorntmutatknt rdemeskezelni.

3.2 T ARTALOM

Matematikai alapfogalmak Matematikai logika

A k ijelents Az A risztotelszi alapelvek A logikai rtk Logikai szimblumok. lland jellsek Feladatok

3.3 A TANANYAG KIFEJTSE

3.3.1 Matematikai alapfogalmak

A nyelv egyes elemeit mindenkppen ismerni kell ahhoz, hogy megrtsk a trgymenett. Ebben a rszben a termszettudomnyok, s azon bell a matematika legfoo-sabb alapfogalmait tisztzzuk. Az alapfogalom ms fogalmak alapjt alkot fogalome-mi ismeret, mely pontos ismerete nlkl nehzkes a rpl fogalmak szabatos megr

Vizsgljuk meg, mit rtnk definci alatt! Defincin ltalban egy fogalom pontosrlhatrolst rtik nagyobb sszefggseken bell, ms fogalmak felhasznlsvaA problmkitt is hasonlak, mint a bizonytsnl: vgl szksgszeren alapfogalmakbatkznk, amelyek egy definci szmra a fenti rtelemben mr nem hozzfrhetkSok fogalmat, klnsen az olyan alapfogalmakat, mint szm, pont, egyenes, tvolsg, testb., nem explicit, hanem implicit mdon, klcsns sszefggsek alapjn definilun.

A matematikban az alapfogalmak, fogalmak s a mveletek ismeretben sszefseket llaptanak meg, melyek bizonytsi sikere utn a tovbbi feladatoknl, tteleismt felhasznlhatak.

A ttel a matematikban olyan llts, amely igazolhat, belt-hat.

Vannak szemlyekrl elnevezett ttelek (pl. Pitagorasz-ttel) s trgykrrl elnevezettttelek (pl. szinuszttel).

Az axima a termszettudomnyokban az az alapfelvets, amelyet bizonyts nigaznak fog adnak el. Lehetv teszik egyrszt a meglv ismeretek egysges rendszerbefoglalst, msrszt j ismeretek megszerzst a bellk logikai ton levont kvetkez

sek tapasztalati megfigyelse-igazolsa sorn.


32/171

A LOGIKA ELEMEI

32

Az axima a matematikban sok esetben bizonyts nlkl elfo-gadott lltst jelent.

Az axima teht olyan llts, amit mindig helyesnek, igaznak tteleznk fel.Az axi -mt tbb rtelemben is hasznljk, pl. egy matematikai struktrt definil alaptulajdois axima (pl. cso portaximk).

Az azonossg olyan egyenlsg, amely a benne szerepl vltozk valamilyen krn belli (egy adott halmazbeli), brmely megv-lasztsa esetn teljesl. A matematikban ms rtelmezsei is isme-retesek.

Plda Azonossgra pldaknt a ksbbi rszekben szerepl De Morgan-azonossg szolglhat.

Matematikai ttelknt rgztjk a kijelentsek kztt rtelmezett logikai mveletemeghatrozott ksbbi sszefggseket, pldul a logikai mveletek tulajdonsgait. Atteleket az esetek tbbsgben bebizonytjuk.

A bizonyts a matematikban az az eljrs, amelynek sornmegmutatjuk, hogy valamely llts hogyan kvetkezik ms, lehet-leg egyszerbb (axima), mr elfogadott (sejts) vagy ismert llt-sokbl (ttel). Ha sikerlt az lltst bizonytani, akkor az llts t-tel, klnben pedig n. sejts.

Az j lltsok megfogalmazsa (sejts), valamint azok bebizonytsa (a ttelmegfo-galmazsa) a matematika egyik jelents feladata. rdekes, hogy a matematikbanegyessejtsek igazsgrtke mig nincs megllaptva(mg nem bizonytottkbe) , mgis a szo-ksos felfogsnl, fel szabad ttelezni, hogyezek vagy igazak vagy hamisak. A miltosziThalsz volt a matematikatrtnet els ismert alakja, aki geometriai lltsait bebizont-ta, mg az els letisztult bizonytsi eljrs az elem i filozfiai iskola ltal kidolgozott indi-rekt bizonyts, melynek leghresebb mvelje Arkhimdsz volt. Ez abbl indul ki, egy llts s annak tagadsa kzl az egyiknek biztosan be kell kvetkeznie, teht azts tagadsnak lehetetlensgt megmutatva is eljutunk az llts igazolshoz.

A logikai bizonyts egy llts igazsgnak kimutatsa ms,igaznak elismert llts(ok)ra tmaszkodva. Szabatos bizonytsesetn a kiindul lltsoknak mint premisszknak logikai kvet-kezmnye a bizonytand llts.

A bizonyts megbzhatsga fgg a felhasznlt rvek( premisszk) megbzhatsgtls a bizonyts sorn alkalmazott logikai lpsek szabatossgtl. A matematikai loesetn az elbb emltett logikai lpsek minden esetben szabatosak.

3.3.2 A matematikai logika

A trtneti ismeretek birtokban tudjuk, hogy a logiknak, gy a matematikai logikis egyik lnyeges clja a helyes kvetkeztetsek feltrsa, de mivel foglakozik ezen kvl?A krdsre adott vlaszknt tekintsk t pontosan a matematika logika fogalmt!


33/171

A LOGIKA ELEMEI

33

A matematikai logika a matematika egyik kiemelt ga, elsso r-ban a matematika megalapozsval foglalkozik, a matematikai fo-galomalkotsok jogossgt, azok tulajdonsgait matematikai esz-kzkkel vizsglja.

Fontosabb gai: bizonytselmlet, modellelmlet, rekurzielmlet s idknt ide sl- jk a halmazelmletetis. Vilgoss vltak a matematika logika terletei. Ezek kzl csak ahalmazelmlet s a bizonytselmlet alapjaival ismerkednk meg a kvetkezkben.

3.3.3 A k ijelents A nyelvhasznlat alapvet funkcija az informci kzlse, befogadsa s feldolgo

ami a kzs emberi tevkenysgek sszehangolshoz elengedhetetlenl szksges. Ahumn informcikzls egysgeit a logikban lltsnak vagy kijelentsnek mondjukllts nyelvi kifejezsi formja, grammatikai egysge a kijelent mondat.

A nyelvek sokflesge miatt s a kznapi beszd hasznlatnl a flrerts veszlyei-att a matematikban sokkal inkbb ttrtek arra, hogy a kijelentseket mestersges, folis nyelven fejezzk ki, amely a kznapi nyelvnek csak logikai szempontbl jelentse-meit tartalmazza. A tananyag mlyebb trgyalst kezdjk a kijelents fogalmnak tisz-tzsval.

Kijelents (llts, tlet) minden olyan jl meghatrozott dolog-ra vonatkoz kijelent mondat , amely legalbbis a trgyalsonbell vagy igaz, vagy hamis, de egyidben nem lehet igaz s h a-mis is.

Plda: llaptsuk meg, hogy kijelentsek-e a kvetkez mondatok? a) Mtys kirly igazsgos volt.

b) Haznkban Magyare presen tallhat minaret. c) IV. Antal magyar kirlynak kt fia volt d) A felsoktatsi intzmnyek knyvtraiban vannak lexikonok.e) St a nap.

Megolds: a) kijelents, mert fenti kirlyrl tudjuk, hogy ltezett

b) nem kijelents,mert nincs alanya a mondatnak, ugyanis nincs Magyarepres tele plshaznkban

c) nem kijelents, mert nincs alanya a mondatnak, hiszen a trtnelmi tanulmnyainkalapjn kijelenthetjk, hogy ilyen kirlyunknem volt.

d) kijelen ts.e) nem kijelents, mert nem egyrtelm, hogy milyen fldrajzi terletre, milyen idn-

tervallumra vonatkozik az llts, stb., s emiatt nem llapthat meg, hogy igaz vaghamis, illetve ennek eldntshez tovbbi informcikra lenne szk sg.

A formlis nyelv alkalmazsaazzal kezddik, hogy magt a kijelents fogalmt prec-zen meg kell hatrozni, amit az imnt megtettnk. ltalban azt kveteljk meg, hokijelentseket az igaz s hamis kijelentsek osztlyba lehessen sztosztani (a ktrtk


34/171

A LOGIKA ELEMEI

34

elve). gy a kijelents minden szban vagy rsban kifejezett kpzdmny, amelyhez az igaz (i) vagy a hamis (h) igazsgrtk tartozik. Itt nem jtszik szerepet, hogy az igazsg-rtket milyen mdon hatrozzuk meg.

Plda: llaptsuk mega kijelentsek logikai rtkt! a) Mtys kirly igazsgos volt. b) A felsoktatsi intzmnyek knyvtraiban vannak lexikonok. c) A 2010/11- es tanv utols vizsganapjn Egerben nem esett az es.d) Volt a 20. szzadban Sirokon egyetem.

Megolds: a) igaz

b) igazc) kijelentsugyan, de csak akk or tudjuk megllaptani a logikai rtkt, ha mr az

adott elmlt, s a feljegyzsekbl kikeressk (esetleg mi magunk jegyezzk le). d) hamis

A matematika szmra csak a kijelentsek fontosak, ezrt kzenfekv, hogy a terjel-mes (magyar nyelv) lers helyett valamilyen rvid formban tkrzze vissza azoteht a logikai rtkhez hasonlan a kijelentseket is egyedi mdon jelljk.

A kijelentsek jellsep, q, r, , x, y, z, betkkel trtnik, sezeket a betket kijelentsvltozknak nevezzk.

Plda:Jelljk az albbi kijelentseke t klnbz kijelentsvltozkkal!a) Egy Pes t megyei kzsg: Kosd. b) Vysok Tatry a Magas Ttraszlo vk elnevezse.

Megolds: a) jelljk p kijelentsvltozval (a Pest miatt egyszerbb megjegyezni) a kijelentst. jellssel: p:=Pest megyei kzsg Kosd olvasva: p (kijelentsvltoz) legyen egyenl Pest megyei kzsg: Kosd. b) jelljk v kijelentsvltozval (a kezdbet miatt egyszerbb megjegyezni)a kije-lentst jellssel: v:=Vysok Tatry a Magasttra szlovk elnevezse olvasva: v (kijelentsvltoz) legyen egyenl Vysok Tatry a Magas Ttra szlo

elnevezse.

3.3.4 Az Arisztotelszi alapelvek Mr az korban, a logika atyjnak tekintett grg filozfus, Arisztotelsz megfogaa-

zott trvnyeket, az gynevezett arisztotelszialapelveket. Ezek az alapelvek a matematikalogika jelen trgyalsnlis alapul szolglnak.

Az Arisztotelszi alapelvek: ellentmondstalansg elve s a har-madik kizrsnak elve.


35/171

A LOGIKA ELEMEI

35

Az ellentmondstalansg elve szerint egy kijelents egyidejle gnem lehet igaz is s hamis is.

A harmadik kizrsnak (kizrt harmadik) elve rtelmben, haegy kijelents nem igaz, akkor hamis, sharmadik lehetsg nincs.

Teht az arisztotelszi elvek alapjn a kijelentseknek egyrtelm logikai rtke amit a tapasztalat vagy a szaktudomny dnt el. Megvizsglva a lertakat feltnhet, hogyezeket az alapelveket a kijelents fogalmnak kialaktsnl mr hasznltuk. Az Arisze-lszi alapelvek s a kijelents defincijt figyelembe vve rdemes rgzteni, hogysoha-sem tekinthet kijelentsnek a krd s a felkilt, hajt, felszltmondat, s nem kije-lents a definci sem. A krd, felkilt, hajt, felszlt mondat s a definciugyanisnem tartalmaz logikai tletet.

Pldul, az Egy 2- vel oszthat egsz szmot pros szmnak neveznk.mondat nemkijelents, de Minden pros szm oszthat 2-vel. egy igaz kijelents. A Most nem mon-dok igazat. mondat nem kijelents, mert ellentmondsos, ha ugyanis ez igaz lenne, akknem mondank igazat, teht mgsem lenne igaz, ha pedig az llts hamis lenne, aigazat mondank, teht az llts igaz lenne.

Fontos tud ni, hogy annak eldntse, hogy egy kijelent mondat kijelents-e, s hogy ezesetben mi a logikai rtke, nem a logika feladata. Ez konkrt tapasztalattal, vagy valaszaktudomny eredmnyeivel dnthet el, vagy bizonyos esetekben megllapods kr

Plda:llaptsa meg, hogy kijelentsek-e a kvetkez mondatok! a) Nyitva van mg a knyvtr? b) Brcsak vge lenne mr a vizsgaidszaknak! c) Magyarorszg fvrosa Esztergom. d) A bibliogrfia tbb jelents sz, az egyik rtelmezs szerint egy konkrt krda-

nulmnyozshoz szksges, az elrhet sszes forrsmunka jegyzke. e) 2010- ben Heves megyben tallhat haznk legmagasabb pontja (Kkes). f) Legyen szves vrni egy pillanatot! g) Mennyi ember volt a gpteremben tegnap dlutn!

Megolds: a) nem k ijelents, mert krds. b) nem kijelents, mert hajt mondat.

c) nem kijelents, mert nem egyrtelm, hogy milyen idintervallumra vonatkozillts, ezrt nem llapthat meg, hogy igaz vagy hamis. A logikai rtk eldnthez tovbbi informcikra lenne szksg.

d) nem kijelents, mert definci. e) kijelents, mert egyrtelm a fldrajzi terlet, az idintervallum, gy megllapt

hogy igaz vagy hamis.f) nem kij elents, mert felszlt mondat. g) nem kijelents, mert felkilt mondat.


36/171

A LOGIKA ELEMEI

36

3.3.5 A logik ai rtk A kijelentsek igaz vagy hamis tulajdonsga mr megjelent az elbbiekben, most hat -

rozzuk meg pontosan pontosabban!

Logikai rtknek nevezzk a kijelentsek igaz, illetve hamis tu-lajdonsgt. A p kijelents logikai rtkt |p| -vel jelljk. Az igazlogikai rtket i betvel vagy a z 1 szmjeggyel, mg a hamis logikairtket h bet vel, illetve 0 szmjeggyel jelljk. Teht |p|=i, ha p kijelents igaz, s |p|=h, ha p kijelents hamis.

Plda:llaptsa meg az albbi kijelentsek logikai rtkt! a) M tys kirly1458- tl hallig, 1490-ig uralkodott. b) Haznkban Budapesten, Egerben, rden s Pcsett tallhat minaret. c) Az egri vrvdk sohasem nyertek csatt. d) A felsoktatsi intzmnyek knyvtraiban vannak lexikonok.

Megolds: a) igaz, ha a trtneti feljegyzsekben ellenrizzk.

b) hamis, hiszen Budapesten nincs minaret.c) hamis, amit tanulmnyaink bizonytanak.d) igaz, hiszen az ismereteink szerint ez nem lehet msknt.

3.3.6 Tbbrtk logikk A lertakon kvllteznek az n. tbbrtk logikkis, de azokkal a tananyagban nem

foglalkozunk mlyebben. Az rdekessg kedvrt kitekintsknt nhny gondolat szerepel- jen itt a nem ktrtk logikkrl.

Adott tudomnyokban, mint pldul a mszaki, a vegyszeti vagy a fizikai tudom-nyokban egzakt ma tematikai modelleket ptenek fel a tapasztalati jelensgek megfigye-lsre alapozva, majd ezeket a modelleket hasznljk fel a vals dolgok jvbeni vise-dsnek meghatrozsra.

A vals vilg jelensgeinek mkdse azonban tbbnyire bizonytalan, egzakt mrtk-rendszerrel nem jellemezhet. A fizikai jelensgek szigoran ktrtk megkzeltsenem mindig alkalmas a valsg megfelel lersra. A vals vilgban dominnsak a nagy bonyolultsg rendszerek, gy a szmtgpes modellezskhz szksg vanvalamilyenmatematikai lersra, amely lehetv teszi a pontatlan krlmnyek kezelst. Ezen sok egyike a napjainkban egyre nagyobb szerepet jtsz fuzzy logika .

Br a fuzzy logika, illetve els megfogalmazsban az ezzel algebrailag azonos strur j fuzzy halmazelmlet elszr 1965- ben kerlt megfogalmazsra, elzmnyei az korigrg logika paradoxonjaihoz nylnak vissza.

Ismert problma a kvetkez. Ha egy kupac homokbl egy homokszemet elvesznk, aztovbbra is egy kupac homok marad. Mivel minden homokkupac vges szm homk-szembl ll, ennek a mveletnek a vges szm ismtlsvel a homokkupac teljesen nik, azaz a kvetkez nyilvnvalan hamis lltshoz jutunk: egy kupac homok = semmi.A problma megoldsa rszben lehetsges a huszadik szzad 20-as veitl kezdve intenz-ven kutatott tbbrtk logikk segtsgvel.


37/171

A LOGIKA ELEMEI

37

A f uzzy logika

A fuzzy logika gondolatt elszr Lotfi A. Zadeh vetette fel 1965- ben. Az els les ipari alkalmazs egy cementget-kemence volt Dniban, 1975- ben kezdett mkdni. Ma

mr pldul a hztartsi kszlkekben, szles krben alkalmazzk a fuzzy rendszerKszlt mr s kereskedelmi forgalomban kaphat fuzzy elven vezrelt intelligens porszv, mosgp, vide kamera.

De mi is az a fuzzy logika s afuzzy halmaz? Els pillanatban bizonytalan, kevss precz vlaszokat lehet erre a krdsre adni, ppen olyanokat, mint amit ez a fogalom is takar. A fuzzy sz jelentse tbbek mellett: homlyos, elmosdott. Alapveten a fuzzy logika egy pontatlansg tpus rtkein nyugszik , mely olyan elemek csoportostsblszrmazik, melyeknek nincsenek hatrozott hatrvonalai.

Ilyen csoportok (fuzzy halmazok) jhetnek ltre, valahnyszor ktrtelmsget, bizy-talansgot runk le matematikai modellek segtsgvel.

A htkznapokban a fuzzy halmazok rszei letnknek. rezzkmit jelent a msikba-rtsga, men

Documents

logika_elemei