MỤC LỤC

Trang

Mục lục 1

Danh mục các ký hiệu và chữ cái viết tắc 2

Mở đầu 3

Chương 1: Kiến thức cơ bản

1.1.Định nghĩa và ví dụ 5

1.2.Một số tính chất của môđun nội xạ 10

Chương 2: Đặc trưng của môđun tựa nội xạ bởi tính chất (1-C1)

2.1.Một số tính chất của môđun tựa nội xạ 15

2.2.Một số tính chất của lớp CS-môđun và (1-C1)-môđun 18

2.3.Đặc trưng của môđun tựa nội xạ bởi tính chất (1-C1) 26

Kết luận 29

Tài liệu tham khảo 31

1

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

Các ký hiệu trong luận văn này chúng tôi chủ yếu dựa vào F.W

Anderson and K.R Fuller [1], Ngo Sy Tung [5].

N M : Giao của tập hợp N và tập hợp M

N M : N là môđun con của môđun M

N M: N là môđun con cốt yếu của môđun M

N M: N là hạng tử trực tiếp của M

: tổng trực tiếp của môđun A và môđun B

: Tổng trực tiếp các môđun Mi với tập chỉ số I

:Tích Đềcác của các môđun Mi

:Tập hợp mà mỗi phần tử là một tổng của các tập hợp Mi , i I

2

MỞ ĐẦU

Cùng với sự phát triển của toán học hiện đại nói chung, lý thuyết môđun

đã được các nhà toán học rất quan tâm và đã đạt được nhiều kết quả xuất sắc.

Vào năm 1977, Chatters và Hajarnavis đưa ra khái niệm CS-môđun

(Extending Module). Khi các lớp CS-môđun ra đời thì lý thuyết môđun đã

phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu

lý thuyết vành. Đặc biệt, Đinh Văn Huỳnh, P.F Smith, R.Wisbauer,

A.Harmanci, Nguyễn Việt Dũng, Ngô Sỹ Tùng,…, là những người nghiên

cứu và đạt nhiều kết quả về CS-môđun.

Lớp (1-C1)-môđun là mở rộng thực sự của lớp CS-môđun và hiện nay

lớp CS-môđun đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước nghiên

cứu.

Vì vậy việc nghiên cứu đặc trưng của môđun tựa nội xạ bởi tính chất (1-

C1) đó là một vấn đề có ý nghĩa và thời sự. Đó cũng chính là lí do chúng tôi

chọn đề tài “đặc trưng môđun tựa nội xạ bởi tính chất (1-C1)”.

Trong đề tài này chúng tôi dựa trên cơ sở là bài báo “Some Results on

quasi-continuous modules” của Ngô Sỹ Tùng, Đại Học Vinh.

Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận,

danh mục các ký hiệu và tài liệu tham khảo.

Chương 1: Trình bày các định nghĩa, ví dụ và các tính chất cơ bản có

liên quan đến luận văn.

Chương 2: Trình bày một số tính chất của môđun tựa nội xạ, lớp CS-môđun,

(1-C1)-môđun và đặc trưng của môđun tựa nội xạ bởi tính chất (1-C1). Kết quả

chính của chương này là: Hệ quả 2.1.3, Hệ quả 2.2.3, Bổ đề 2.2.4, Bổ đề 2.2.9,

Mênh đề 2.2.11, Định lí 2.3.2.

Luận văn bắt đầu từ tháng 7 năm 2007, được thực hiện và hoàn thành tại

trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.Ngô Sỹ Tùng.

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo

hướng dẫn, người đã trực tiếp động viên, dìu dắt tận tình, chỉ bảo nghiêm túc

3

trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn, giúp cho tác

giả tự tin hơn trong quá trình độc lập sáng tạo, tu dưỡng và rèn luyện khả

năng tập dượt nghiên cứu khoa học.

Trong quá trình học tập và viết luận văn, tác giả cũng nhận được sự giúp

đỡ tận tình của các thầy giáo trong tổ Đại số trường Đại học Vinh.

Cũng trong dịp này, tác giả xin được cảm ơn đến các thầy, cô giáo trong

khoa Toán, Khoa Sau đại học trường Đại học Vinh, Khoa Sau đại học trường

Đại học sư phạm Đồng Tháp và các bạn lớp cao học khoá 13 tại Đồng Tháp,

Sở Giáo dục và Đào tạo TP Cần Thơ, Ban giám hiệu và đồng nghiệp trường

THPT Hà Huy Giáp, đã động viên và giúp đỡ để luận văn được hoàn thành

đúng kế hoạch.

Cuối cùng, do khả năng còn nhiều hạn chế nên không tránh khỏi những

sai sót, tác giả rất mong nhận được những góp ý chân tình của quý thầy giáo,

cô giáo cùng tất cả các bạn.

Vinh, tháng 04 năm 2008

Tác giả

4

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong toàn bộ luận văn vành luôn được xét là vành kết hợp có đơn vị ký

hiệu 1 và các môđun là các môđun phải unita trên một vành R nào đó.

1.1.Định nghĩa và ví dụ

1.1.1.Định nghĩa. Cho môđun M và N M. Môđun con N được gọi là cốt yếu

trong M, ký hiệu N M, nếu N K 0 với mọi môđun con khác không K của

M.

Nếu N là môđun con cốt yếu của M, thì ta nói rằng M là mở rộng cốt

yếu của N.

Ví dụ. Môđun M M ; nZ Z,

1.1.2.Định nghĩa. Môđun U được gọi là đều nếu bất kỳ môđun con A và B

khác 0 của U thì A B 0, hay mọi môđun con khác không của U là môđun

cốt yếu trong U.

Ví dụ. Z-môđun Z là đều vì bất kỳ 0 A, B Z thì A= nZ, B= mZ, với

N* và A B= [m,n]Z 0, ([m,n] là bội số chung nhỏ nhất của m,n )

1.1.3.Định nghĩa. Cho môđun M và N M. Môđun N được gọi là đóng trong

M nếu N không có một mở rộng thực sự trong M. Nói khác đi N được gọi là

đóng trong M nếu với mọi môđun con K 0 của M mà N K thì K=N.

Ví dụ. A và B là hai môđun con của M thỏa mãn M=A B thì môđun B là

đóng trong M.

1.1.4.Định nghĩa. Cho môđun M và N M. Môđun con K của M được gọi là

bao đóng của môđun con N trong M nếu K là một môđun con tối đại trong M

sao cho N K.

Hệ quả. Bao đóng của môđun luôn tồn tại.

Chứng minh. Thật vậy cho H M. Ta chứng minh luôn tồn tại bao đóng của

H trong M. Đặt S={K M/H K}

- S khác rỗng vì H S

5

- Sắp thứ tự của S theo quan hệ . Lấy tập con của S, sắp thứ tự tuyến

tính là K1 K2 … Kn … (1)

Đặt A= Ki, ta thấy A là cận trên của (1). Ta chứng minh A S hay H

A.

Lấy x A và x 0 suy ra tồn tại n để x Kn, mà H Kn suy ra Rx H 0 suy

ra H A suy ra A S.

Vậy mỗi tập sắp thứ tự tuyến tính đều có cận trên. Theo Bổ đề Zorn suy

ra S có phần tử tối đại là K.

Ta chứng minh K là bao đóng của H. Do K S suy ra H K, nếu tồn tại

B M sao cho K B suy ra H B suy ra B S điều này mâu thuẩn với giả

thiết tính tối đại của K suy ra B=K.

Ví dụ. Xét Z- môđun, 2Z có bao đóng là Z

1.1.5.Định nghĩa. Cho môđun M và N,H M. Môđun H được gọi là một

phần bù giao của N trong M nếu H là môđun tối đại trong các môđun con của

M thỏa mãn H N=0.

1.1.6.Định nghĩa

(1) Một môđun M khác không được gọi là môđun đơn trong trường hợp

nó không có những môđun con không tầm thường.

(2) Cho họ (Mi)i I là một tập hợp những môđun con đơn của M. Nếu M

là tổng trực tiếp của tập hợp này, thì M= Mi là một sự phân tích nửa đơn

của M. Một môđun M được gọi là môđun nửa đơn trong trường hợp nó có

một sự phân tích nửa đơn.

1.1.7.Định nghĩa

(1) Một môđun M được gọi là không thể phân tích được trong trường

hợp nó khác không và không có những hạng tử trực tiếp không tầm thường.

6

(2) Một hạng tử trực tiếp K của M được gọi là một hạng tử trực tiếp tối

đại của M nếu và chỉ nếu K có một bù hạng tử trực tiếp không phân tích được

N trong M.

(3) Một sự phân tích M= Mi của một môđun M như một tổng trực

tiếp của những môđun con khác không (Mi)i I được gọi là bù hạng tử trực

tiếp (bù hạng tử trực tiếp tối đại) trong trường hợp cho mọi hạng tử trực tiếp

K của M có tập hợp con J của I với M =

1.1.8.Định nghĩa. Cho hai môđun I và J.

(1) Môđun I được gọi là J-nội xạ (J-injective) nếu với mỗi đơn cấu

môđun g:K J và với mỗi đồng cấu môđun f: K I thì có một đồng cấu môđun

f *:J I (f * là một mở rộng của f theo đơn cấu g) sao cho

f *.g = f

(2) Môđun I được gọi là tựa nội xạ (quasi-injective) nếu I là I- nội xạ

Ví dụ: i) Z–môđun q là Z nội xạ

ii) Z–môđun Z không phải là Z nội xạ

1.1.9. Định nghĩa. Cho hai môđun P và J.

(1)Môđun P được gọi là J-xạ ảnh (J- projective) nếu với mỗi toàn cấu

g:J K và với mỗi đồng cấu h:P K thì có một đồng cấu h*:P J sau cho g.h*=

h

7

I

K J

f

g

f*

(2) Môđun P được gọi là tựa xạ ảnh (quasi-projective) nếu P là P-xạ ảnh

1.1.10. Định nghĩa. Cho môđun M. Ta thường xét các điều kiện sau:

(C1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M. Nói

cách khác, mọi môđun con đóng trong M là một hạng tử trực tiếp của M.

(C2) Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là

một hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M.

(C3) Nếu những môđun con của A và B là các hạng tử trực tiếp của M và

A B=0 thì A B cũng là hạng tử trực tiếp của M.

(1-C1) Mọi môđun con đều của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp

của M.

(1) Một môđun M được gọi là CS-môđun (hay Extending) nếu M thỏa

mãn điều kiện (C1).

(2) Một môđun M được gọi là (1-C1)-môđun nếu M thỏa mãn điều kiện

(1-C1).

(3) Một môđun M được gọi là liên tục (hay continuous) nếu M thỏa mãn

các điều kiện (C1) và (C2).

(4) Một môđun M được gọi là tựa liên tục (hay quasi-continuous) nếu M

thỏa mãn các điều kiện (C1) và (C3).

1.1.11.Định nghĩa. Cho họ các môđun (Ai/i I). Khi đó tích đềcác

cùng với các phép toán cộng và phép nhân vô hướng

theo thành phần

8

P

KJ

h

g

h*

(ai)+ (bi)=(ai+bi);

(ai)r =(air),

là một môđun. Môđun này được gọi là tích trực tiếp của họ (Ai/i I).

Trường hợp Ai = A, , ta ký hiệu .

Phép chiếu Pj : Aj là một R-đồng cấu môđun,

(ai) aj

1.1.12.Định nghĩa. Môđun A được gọi là tổng trực tiếp trong của một họ các

môđun con (Ai/i I) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

(1) A = ,

(2)

1.1.13.Định nghĩa. Một họ {Ai/i I} các môđun con của M được gọi là hạng

tử trực tiếp địa phương của M nếu là tổng trực tiếp và là hạng tử

trực tiếp của M với mỗi tập con hữu hạn J của I.

Nếu là tổng trực tiếp của M thì hạng tử trực tiếp địa phương là

hạng tử trực tiếp.

1.2.Một số tính chất của môđun nội xạ

9

1.2.1.Mệnh đề. Cho N là A-môđun nội xạ. Nếu B A thì N là B-nội xạ và N

là -nội xạ.

Chứng minh. i) Ta chứng minh N là B-nội xạ.

Với mọi môđun X B ta có X A. Mà N là A-nội xạ nên với mỗi đồng

cấu luôn mở rộng được thành đồng cấu sao cho .

Chọn sao cho . Khi đó là một mở rộng của nên N là B

-nội xạ

ii) Ta chứng minh N là -nội xạ.

Giả sử là môđun con của và là đồng cấu bất kỳ. Gọi

là đồng cấu tự nhiên từ A vào và là thu hẹp của trên X. ( x). Ta

xét biểu đồ sau:

Vì N là A- nội xạ nên tồn tại sao cho . Ta có B A và

(do B X = = )

10

h

AX

N

iB

i

' A

BX

N

B

A

Xi

Vậy B Ker hay Ker Ker . Do là toàn cấu nên có thể chọn

sao cho , thì ta có

Vậy là mở rộng của hay N là -nội xạ.

1.2.2.Mệnh đề. Môđun N là A -nội xạ khi và chỉ khi N là aR-nội xạ, A

Chứng minh. A thì aR A nên theo Mệnh đề 1.2.1,N là aR-nội xạ

Bây giờ ta giả sử N là aR-nội xạ A, ta sẽ chứng minh N là A-nội

xạ.

Gọi X là môđun con của A và là đồng cấu bất kỳ. Xét tập S gồm

tất cả các cặp (B, ), trong đó X B A và là mở rộng của quan hệ

thứ tự trên S là quan hệ . (X, ) nên S khác rỗng, S thỏa Bổ đề Zorn.

Vậy ta có thể tìm được cặp (B, ) tối đại theo nghĩa X B A và

là đồng cấu mở rộng của .

Ta chứng minh B cốt yếu trong A.

Giả sử B không cốt yếu trong A, khi đó có môđun Y A, Y 0 sao cho B

Y=0. Khi đó X B Y A. Xác định đồng cấu như sau

.

Như vậy là mở rộng của và là mở rộng của . Do đó (B, )

mâu thuẫn với (B, ) tối đại.

Giả sử B A, ta xét phần tử a A-B. Đặt K = .

Do aK = aR B nên K 0 (Vì )

Ta xác định đồng cấu như sau: sao cho

Do N là aR- nội xạ nên có thể mở rộng được thành

Ta xác định như sau , là ánh xạ , vì giả sử

có b’+ar’=b+ar (b’-b) +(ar’-ar) = 0

Ta có (b’+ar’ )- (b+ar ) =

= (b’-b) +v(ar’-ar). Vì (b’-b) +a(r’-r) = 0 nên ta có a(r’-r) .

Suy ra (r’-r) do đó v(ar’ –ar) = (ar’-ar)

11

Do đó (b’+ar’ )- (b+ar ) = = (b’-b+ar’-ar) = .

Vậy (b’+ar’ )= (b+ar ). Dễ dàng kiểm tra là đồng cấu và là mở rộng

của .

Vậy (B, ) (B+aR, ) điều này trái với (B, ) tối đại. Vậy B=A và :A

N là mở rộng của hay N là A-nội xạ.

1.2.3.Mệnh đề. Môđun N là - nội xạ nếu và chỉ nếu N là Ai -nội xạ,

Chứng minh. ( ) N là -nội xạ mà Ai , nên theo Mệnh đề

1.2.1, N là Ai -nội xạ, .

( ) Giả sử N là Ai -nội xạ, .

Đặt A= , X A và là đồng cấu.

Tương tự chứng minh Mệnh đề 1.2.2, bằng Bổ đề Zorn chúng ta có thể

giả sử không thể mở rộng thành đồng cấu từ X’ vào N với bất kỳ môđun X’

A mà X’ chứa X. Khi đó X A.

Do X A nên và a Aj sao cho a X. Vì N là Aj-nội xạ nên N là aR-

nội xạ theo Mệnh đề 1.2.1

Lý luận tương tự Mệnh đề 1.2.2, ta có thể mở rộng thành ,

điều này trái với sự tối đại của . Vậy N là A-nội xạ.

1.2.4.Mệnh đề [3, Proposition 1.6]. là A-nội xạ nếu và chỉ nếu là A-

nội xạ,

1.2.5.Mệnh đề [3, Theorem 1.7]. Cho họ các môđun những điều

kiện sau là tương đương

(1) là A-nội xạ

(2) là A-nội xạ với mọi tập con đếm được I A

12

(3) là A-nội xạ và mọi cách chọn mi với sao

cho với A, dãy tăng dừng.

1.2.6.Mệnh đề [3, Corollary 1.8]. là A nội xạ nếu và chỉ nếu Mi là A-

nội xạ, và mọi cách chọn mi sao cho với A, dãy

tăng dừng.

Cho họ R- môđun .Ta có các điều kiện sau

(A1) Mọi cách chọn , và mi thì dãy

dừng.

(A2) Mọi cách chọn và mi với , sao

cho thì dãy tăng dừng.

(A3) Mọi cách chọn , và mi ,nếu dãy là dãy

tăng nó là dãy dừng.

Rõ ràng (A1) (A2) (A3)

1.2.7.Mệnh đề [3, Propossition 1.9]. Cho M = .Khi đó M( là -

nội xạ với mọi nếu và chỉ nếu là -nội xạ với mọi và thỏa

mãn (A2)

1.2.8.Mệnh đề [3, Propossition 1.10]. Cho là nội xạ nếu và chỉ nếu

là nội xạ và thỏa mãn (A1)

1.2.9.Mệnh đề. Nếu K là môđun con của M và L là phần bù giao của K, khi

đó

(1) L là môđun con đóng trong M

(2) L K là môđun con cốt yếu của M

Chứng minh. (1) Ta chứng minh L đóng trong M.

13

Thật vậy, gọi N là môđun con của M sao cho L N. Nếu N L thì L

K=0, L tối đại nên N K 0. Mà N K N và L N nên (N K) L=N (K L) 0.

Vì K L = 0 nên ta có điều vô lý.

Do đó N=L hay L là môđun con đóng trong M.

(2) Ta chứng minh L K M.

Thật vậy, lấy 0 N M, nếu N (K L)=0 thì N K=0 và N L =0. Do đó

(N L) K=0 (vì nếu n+l=k thì n=k-l, hay n N và n K L và do đó n=0 và k-

l =0). Lúc đó theo tính tối đại của L thì N L =L hay N= 0. Điều này mâu

thuẫn với giả thiết 0 N.

Vậy N (K L) 0 hay L K M.

CHƯƠNG 2. ĐẶC TRƯNG MÔĐUN TỰA NỘI XẠ

BỞI TÍNH CHẤT (1-C1)

2.1.Một số tính chất của môđun tựa nội xạ

2.1.1.Bổ đề. Cho A và N là các môđun. Khi đó môđun N là A-nội xạ nếu và

chỉ nếu với mọi .

Chứng minh. Vì E(N) là nội xạ nên ta chỉ cần chứng minh với mọi

.

Giả sử X A và :X N là một đồng cấu. Từ E(N) là nội xạ được mở

rộng đến :E(A) E(N). Mặt khác suy ra được mở rộng tới một đồng

cấu từ A vào N. Vì vậy N là A-nội xạ.

14

E(N)

N

AX

Ngược lại,với mọi . ta giả sử X= . Từ giả

thiết, N là A-nội xạ, x có thể mở rộng được tới đồng cấu v:A N. Ta khẳng

định rằng, N .

Thật vậy, giả sử n N, a A sao cho n= .

Khi đó ta có vì thế a X. Suy ra rằng n =

= tức là N vì N E(N). Do đó

2.1.2.Hệ quả [3, Corollary 1.14]. Mọi môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu

fM M với mọi f End(E(M))

2.1.3.Hệ quả. Cho A và B nội xạ lẫn nhau (A là B-nội xạ và B là A-nội xạ).

Nếu E(A) E(B) thì A B. Thực tế mọi đẳng cấu từ E(A) đến E(B) thu hẹp

thành đẳng cấu từ A đến B. Trong trường hợp này A và B là tựa nội xạ.

15

E(N)

N

AX

x v

Chứng minh. Giả sử g:E(A) E(B) là một đẳng cấu. Vì B là A-nội xạ nên

theo Bổ đề 2.1.1, g(A) B.

Tương tự g -1(B) A. Ta lại có B=(gg-1)(B)=g(g-1(B)) g(A) B.

Vậy g(A) = B,Vì vậy g A:A B là một đẳng cấu, hay A B. Ta lại có A là

B-nội xạ, B A nên A là A-nội xạ, có nghĩa là A là môđun tựa nội xạ.

2.1.4.Mệnh Đề [3, Proposition 1.17]. M1 M2 là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M i

là Mj nội xạ (i,j= 1,2). Đặc biệt, hạng tử trực tiếp của môđun tựa nội xạ là

tựa nội xạ.

Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 1.2.3 và Mệnh đề 1.2.4

2.1.5.Mệnh đề [3, Proposition 1.18]. Cho M = . Những điều kiện sau

là tương đương

(1) M là tựa nội xạ

(2) là tựa nội xạ và M( là - nội xạ

(3) là -nội xạ và thỏa mãn (A2)

Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 1.2.7 và Mệnh đề 2.1.4

2.1.6.Hệ quả [3, Proposition 1.19]. là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M i là

Mj nội xạ (i,j=1,2,3,…,n). M n là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là nội xạ.

Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 2.1.5

16

2.2.Một số tính chất lớp CS-môđun và (1-C1)-môđun

2.2.1.Hệ quả. Cho môđun M. Nếu M là CS-môđun thì M là (1-C1)-môđun

Chứng minh. Giả sử M là CS-môđun theo định nghĩa CS-môđun, mỗi môđun

con của M cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M.

Do vậy, mỗi môđun con đều cũng cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp

của M, từ đó dẫn đến M là (1-C1)–môđun theo Định nghĩa 1.1.10.

2.2.2.Bổ đề . Giả sử M là môđun nào đó, khi đó ta có:

i) Cho A là môđun con tùy ý của M. Nếu A đóng trong hạng tử trực tiếp

của M thì A đóng trong M.

ii) Mọi hạng tử trực tiếp của M đóng trong M.

Chứng minh.

i) Giả sử và A đóng trong M1, ta chứng minh A đóng trong

M. Thật vậy, xét phép chiếu

17

Giả sử B ta chứng minh A = B. Ta có: suy ra vì

thế là đơn cấu.

Do đó . Vì A đóng trong M1 nên cho nên

Suy ra mà ta có suy ra . Hay

. Do A đóng trong M1 nên ta có A = B.

Vậy A đóng trong M.

ii) Giả sử A là hạng tử trực tiếp của M ta có . Lấy sao cho

thì . Từ đó suy ra

Xét phép chiếu ta có mà nên

là đơn cấu. Vì thế N nhúng đơn cấu vào môđun A mà

.

Vậy A đóng trong M

2.2.3. Hệ quả. Hạng tử trực tiếp của (1-C1) – môđun là (1-C1) – môđun.

Chứng minh. Giả sử hay , M thoả (1-C1). Ta thấy A đóng

trong M ta chứng minh A là (1-C1)–môđun.

Thật vậy, lấy bất kỳ môđun T đều đóng trong A. Do A đóng trong M và

sử dụng Bổ đề 2.2.2 ta có T đóng trong M. Mà M là (1-C1)–môđun nên

với . Mặt khác và , suy ra tồn tại

môđun thỏa mãn , suy ra

hay , do đó A là (1-C1) – môđun

2.2.4.Bổ đề. Nếu M là (1-C1)–môđun, khi đó mỗi môđun con đóng của M là

(1-C1)–môđun.

Chứng minh. Giả sử N là môđun con đóng của M và U là môđun con đóng

đều nào đó của N (Do môđun con A đóng trong môđun con B mà môđun B

đóng trong môđun C thì môđun A đóng trong môđun C). Khi đó U đóng

trong M.

18

Vì M là (1-C1)–môđun nên U là hạng tử trực tiếp của M nghĩa là

với X là môđun con nào đó của M. Vì nên theo luật

modunlar ta có .

Như vậy U là hạng tử trực của N suy N là (1-C1)–môđun

2.2.5.Hệ quả. Nếu M là (1-C1)–môđun thì mọi hạng tử trực tiếp của M cũng

là (1-C1)–môđun

Chứng minh. Gọi môđun con N là một hạng tử trực tiếp của M và U là

môđun con đóng đều trong N. Khi đó, theo Bổ đề 2.2.4 thì U đóng trong M.

Vì M là (1-C1)–môđun nên U là môt hạng tử trực tiếp của M, khi đó ta

có M=U U/ với U/ là một môđun con nào đó của M. Vì U N nên theo luật

modunlar ta có N=U (N U/).

Vậy U là một hạng tử trực tiếp của N. Hay N là (1-C1) –môđun.

2.2.6.Mệnh đề. Giả sử M là (1-C1)–môđun và là một môđun con đóng

của M, trong đó X là hạng tử trực tiếp của M và U là môđun đều. Khi đó

là hạng tử trực tiếp của M.

Chứng minh. Vì A là hạng tử trực tiếp của M do đó với M1 là

môđun con của M. Gọi là phép chiếu tự nhiên. Giả sử V là mở rộng

cốt yếu của trong M1, vì do đó là một đơn cấu nên ta có

, do đó là môđun đều.

Như vậy V là một môđun con đóng đều của M1. Do M1 là hạng tử trực

tiếp của M, M là (1-C1)-môđun, M1 cũng là (1-C1)-môđun.

Ta thấy (vì ). Ta sẽ chứng minh

.

Thật vậy, lấy thì mà với do vậy

. Từ đó suy ra hay

(*).

Ta sẽ chứng minh rằng là cốt yếu trong .

19

Thật vậy, gọi . Lấy . Theo (*) ta có

hay , do đó v= x – x’ và nên suy ra . Bởi vì V

đều nên . Từ đó ta có .

Nhưng nên . Theo giả thiết là đóng

nên . Vì và V là hạng tử trực tiếp của M1 nên

với M2 là môđun con của M1. Suy ra là hạng tử trực tiếp

của M nghĩa là là hạng tử trực tiếp của M.

2.2.7.Mệnh đề. Giả sử trong đó M1 và M2 là các (1-C1)-môđun.

Khi đó M là (1-C1)-môđun nếu và chỉ nếu mọi môđun con đóng đều K của M

là hạng tử trực tiếp của M, trong đó hoặc

Chứng minh. Giả sử M là (1-C1)-môđun. Lúc đó K của M là môđun con đóng

đều của M thỏa mãn hoặc , rõ ràng ta có K là hạng tử trực

tiếp của M.

Ngược lại, nếu mọi môđun con đóng đều K với hoặc

là hạng tử trực tiếp của M, ta sẽ chứng minh M là (1-C1)-môđun.

Giả sử L là môđun con đóng đều của M. Khi đó tồn tại phần bù H trong

L sao cho H, ta có H đóng đều trong M. Theo giả thiết thì

nên là môđun con nào đó của M. Theo luật modunlar ta có

. Hơn nữa đóng trong L, L đóng trong M, nên đóng

trong M.

Vì vậy, theo giả thiết do đó là hạng tử trực tiếp của

H’, nghĩa là với X là môđun con của H’.

Mà suy ra hay L là hạng tử trực tiếp

của M.

Vậy M là (1-C1)-môđun.

2.2.8.Bổ đề. Cho M1 và M2 là các môđun và . Khi đó M2 là M1 nội

xạ nếu và chỉ nếu với mọi môđun con N của M sao cho , tồn tại

môđun con M’ của M sao cho và

20

Chứng minh. Giả sử rằng mọi môđun con N của M, với , đều tồn tại

môđun con M’ của M sao cho và . Cho và là

đồng cấu.

Đặt . Khi đó H là môđun của M và . Theo giả

thiết tồn tại môđun con H’ của M sao cho và . Giả sử

là phép chiếu chính tắc (đối với tổng trực tiếp )

Khi đó và với bất kỳ ta có:

. Như vậy là mở rộng của g

trên M1. Vậy M2 là M1 nội xạ.

Ngược lại, nếu M2 là M1 nội xạ, gọi là các phép chiếu tự nhiên

.Xét biểu đồ giao hoán sau, trong đó . Do M2 là M1

nội xạ nên tồn tại đồng cấu sao cho

Đặt ta có: hoặc = M1+M2 . Hơn

nữa với bất kỳ thì .

Như vậy ta có . Ta lại có với bất kỳ thì y = 0 hoặc y

M2, nên suy ra rằng

2.2.9.Bổ đề. Cho R là một vành và M là một R-môđun sao cho

là một tổng trực tiếp hữu hạn những môđun Mi với i=1,2,

…,n, trong đó là họ các môđun nội xạ lẫn nhau. Khi đó M là

(1-C1)-môđun khi và chỉ khi Mi là (1-C1)-môđun với mọi i = 1,2,…,n.

Chứng minh. Điều kiện cần theo Hệ quả 2.2.3, ta thấy M là (1-C1)-môđun thì

Mi cũng là (1-C1)-môđun, mọi i = 1,2,…,n.

21

N M1

M2

Ngược lại, giả thiết rằng Mi, với mỗi i = 1,2,…,n là các (1-C1)-môđun

nội xạ lẫn nhau, ta sẽ chứng minh M là (1-C1)-môđun bằng phương pháp qui

nạp theo n.

Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp n=2. Giả sử .

Gọi K là một môđun con đóng đều trong M. Vì M1và M2 là những hạng tử

trực tiếp của M nên K M1=0 hoặc K M2=0.

Không làm mất tính tổng quát ta giả sử K M2=0. Khi đó, bởi vì M2 là

M1- nội xạ nên theo Bổ đề 2.2.8, tồn tại môđun con L của M sao cho M =L

M2 và K L.

Đặt là phép chiếu tự nhiên, thì với phần tử bất kỳ x L tồn

tại x1 M1, x2 M2 sao cho x=x1+x2. Khi đó ta có (x)= (x1+x2)=x1 Cho (x)

= ( x1 + x2) =x1=0 thì x = 0+x2, và vì L M2=0 nên x =x2=0 hay ker = 0.

Như vậy là một đơn cấu.

Bây giờ ta xét phần tử x/1 M1. Vì M=L M2 nên tồn tại x/

2 M2, x/ L

sao cho x/1 = x/ + x/

2 x/ = x/1- x/

2 . Khi đó (x/) = (x/1- x/

2 )= x/1 hay là

toàn cấu . Vậy là đẳng cấu hay L M1.

Gọi K/ là một môđun con của M1 mà K K/. Vì K là môđun đóng đều

trong M nên K đóng đều trong L và điều này dẫn đến K/ đóng đều trong M1.

Do M1 là (1-C1)-môđun nên K/ M1, nghĩa là M1= K/ U/. Gọi U là

môđun con của L mà U U/ . Ta sẽ chứng minh rằng L = K U.

Thật vậy, lấy phần tử bất kỳ x U K L. Khi đó, vì là đẳng cấu nên

(x) (U K) (U) (K) =U/ K/= 0 hay x=0 Vậy U K=0.

Bây giờ lấy phần tử bất kỳ x L thì (x) =x/ M1. Khi đó có x1 K/, x2

U/ sao cho (x) = x/ =x/1+x/

2. Điều này dẫn đến tồn tại duy nhất phần tử x1

K, x2 U sao cho x/1 = (x1), x/

2= (x2).

Như vậy (x) = x/ = x/1+x/

2= (x1) + (x2) = (x1+x2)

hay x =x1+x2.

Vậy L=K U. Khi đó ta có M= L M2 =K U M2 hay K M. Hay M

là (1-C1)- môđun.

22

2.2.10.Bổ đề. Giả sử K là hạng tử trực tiếp của môđun M. Khi đó, ta có K là

phần bù giao của môđun con N trong M và

Chứng minh. Giả sử K là phần bù giao của môđun N và K là hạng tử trực tiếp

của M khi đó và theo Mệnh đề 1.2.9 ta có là cốt yếu trong M.

Ngược lại, giả sử N, K là các môđun con của M và K là hạng tử trực tiếp

của M với ; . Khi đó tồn tại môđun con K/ của M sao cho

Giả sử tồn môđun con K1 của M sao cho và . Khi đó

.

Giả sử có . Trước hết trong đó

. Bởi vậy . Mâu thuẫn này chứng tỏ

và K =K1.

Như vậy K là phần bù giao của N trong M.

2.2.11.Mênh đề. Giả sử R- là một vành và M là một R-môđun sao cho

là tổng trực tiếp của những môđun đều M i và sự phân

tích đó là bù hạng tử trực tiếp đều. Giả thiết với mọi , mọi đơn cấu

Mi Mj là một đẳng cấu. Khi đó các phát biểu sau là tương đương.

(1)M là (1-C1)-môđun

(2) là (1-C1)-môđun với mọi

Chứng minh. (1) (2) hiển nhiên theo Hệ quả 2.2.3

(2) (1) Giả sử mọi môđun là (1-C1)-môđun với .

Gọi (K là môđun đều) và f: K Mj là một đồng cấu. Đặt

, thì (do phép chiếu tự nhiên có

) là môđun con đều của A.

Lấy thì tồn tại sao cho y = x – f(x), và suy ra

23

Do đó y = 0 và dẫn đến . Bởi vì A là (1-C1)-môđun nên tồn tại

môđun con sao . Do sự phân tích là bù hạng tử trực tiếp đều

nên chúng ta có: hoặc

Trường hợp 1: . Gọi là phép chiếu từ đến Mi gọi

. Khi đó vì nên U’ đóng đều trong A và khi đó . Như

vậy là một đơn cấu, và từ giả thiết suy ra là một đẳng cấu. Điều đó có

nghĩa . Ta gọi , trong đó là phép chiếu chính

tắc. Khi đó với mọi , trong đó và . Từ

đó ta có

Có nghĩa là là một mở rộng của f hay Mj là Mi nội xạ.

Trường hợp 2: gọi là phép chiếu và gọi

. Khi đó trong đó và . Từ đó

ta có , nghĩa là là một mở rộng của f hay Mj là Mi

nội xạ.

Như vậy, môđun là nội xạ lẫn nhau và do đó áp dụng Bổ đề

2.2.9 ta có M là (1-C1)-môđun.

2.3.Một số đặc trưng của môđun tựa nội xạ bởi tính chất (1-C1)

2.3.1.Bổ đề. Cho M= là sự phân tích bù trực tiếp của những môđun

đều Mi khi đó M(J)= là sự phân tích bù trực tiếp với mọi tập con J của

IChứng minh. Đặt U là tổng trực tiếp của các môđun đều của M(J). Khi đó U

là tổng trực tiếp các môđun đều của M.Vậy U = .

24

Giả sử tồn tại tập hợp con K của I, sao cho M=U M(K). Nên U M(J).

Vậy chúng ta có thể đặt M(J) = U X. Khi đó X = M(K) M(J) .Từ đó dễ

thấy rằng X = M(T) với T = K J.

Như vậy M(J) = là sự phân tích bù trực tiếp của các môđun đều.

2.3.2.Định lí. Cho M = thỏa mãn các điều kiện sau:

(a) Tất cả Mi là các môđun đều

(b) Sự phân tích của M là sự phân tích bù trực tiếp các môđun đều

(c) Với mọi i,j I, i j, Mi không là các môđun con của Mj, khi đó các

phát biểu sau là tương đương.

(i) M là môđun tựa liên tục;

(ii) M có tính chất (1-C1);

(iii) M(J) là M(K)-nội xạ với mọi tập con J và K của I sao cho J K=ø

Chứng minh. (i) (ii) là hiển nhiên theo Định nghĩa 1.1.10

(iii) (i) theo [3,Theorem 2.13]

(ii) (iii) theo [3,Proposition 1.5], bây giờ ta chỉ cần chứng minh với

mỗi k K, M(J) là Mk-nội xạ.

Cho U là môđun con của MK và là một đồng cấu từ U vào M(J). Chúng

ta mở rộng đồng cấu trong HomR(Mk,M(J)). Vậy M(J) Mk là

(1-C1) –môđun, từ đó tồn tại tổng trực tiếp X của M(J) Mk sao cho

{x- (x);x U} X.

Vậy X là môđun đều và theo Bổ đề 2.3.1, M(J) Mk là sự phân tích bù

trực tiếp các môđun đều, điều đó xảy ra một trong hai trường hợp sau:

1) M(J) Mk với mọi tập con J/ của J, sau đó ta có M(J) Mk =X M(J/)

X M(J) M(J) Mk.

Từ đây X M(J/) = X M(J). Ta giả thiết rằng J=J/. Cho nên là một

mở rộng của ,vậy :X M(J) M(J) là một ánh xạ xạ ảnh.

2) M(J) Mk = X M(J1) Mk, với tập con J1 của J.

25

Đặt :X M(J1) Mk Mk cũng là ánh xạ xạ ảnh và đặt A =(X M(J1) M(J).

- Nếu A 0 thì ta thấy rằng A Mj 0, với mọi j J suy ra A cốt yếu trong

M(J). Ta dễ thấy rằng X A là cốt yếu trong Mk M(J).

Từ đó Mk (X M(J1)) 0, điều này mâu thuẩn. Cho nên tồn tại j J sao

cho Mj A= 0. Từ đó Mj ker = 0 và như vậy Mj (Mj). Theo giả thiết

chúng ta có (Mj) = Mk.

Như vậy X M(J1) Mk = X M(J1) Mj = X M(J2). Như thế

J2 = J1 {j} là tập con của J. Từ đây chúng ta sử dụng trường hợp 1, ta thấy

là mở rộng đồng cấu trong HomR(Mk,M(J)).

- Nếu A=0, thì M(J1)=0.Vì vậy chúng ta thấy rằng M(J) Mk = X Mk.

Dễ thấy M(J) là một môđun đều và M(J) Mk =Mj Mk =X Mk .

Từ J = {j}, chúng ta có (Mj) = Mk và Mj Mk..Vì vậy là mở rộng của ,

như vậy : X Mj Mj là ánh xạ xạ ảnh.

2.3.4.Hệ quả. Cho P là một môđun xạ ảnh trên vành liên tục phải .Thì P là

môđun tựa liên tục nếu và chỉ nếu P là (1-C1)-môđun.

Chứng minh. Cho R là một vành liên tục phải và P là một môđun xạ ảnh trên

R-môđun phải.Vậy R là vành, theo [1,Chapter 27], trên R cho hệ {e1,e2,

…,en} và R= e1R … enR. Vậy với mỗi End(eiR) là một vành địa phương.

Vậy R là một vành liên tục phải, Chúng ta thấy rằng eiR là môđun đều và nó

không thể nhúng vào ejR với mọi 1 n.

Theo [1,Theorem 7.11] chúng ta có P= với tập I, với mỗi Pi là đồng

cấu từ eiR vào {e1R,e2R,…,enR}. Cho nên Pi là một môđun đều và nó không

thể nhúng vào Pj với mọi i,j I.

Vậy P là (1-C1)-môđun ,nếu P là môđun tựa liên tục.

Ngược lại, chúng ta thấy rằng P là (1-C1)-môđun. Chúng ta sẽ chứng

minh P= là sự phân tích bù trực tiếp các môđun đều. Đặt U là tổng trực

tiếp các môđun đều của P.

26

Cho là phép chiếu của P váo Pi. Vậy U là môđun đều, chúng ta có U

ker = 0 với k . Mặt khác, U là tổng trực tiếp của P, U là R-môđun phải xạ

ảnh đều. Như vậy U là một đẳng cấu từ ejR vào {e1R,e2R,…,enR}. Như thế

chúng ta có (U) = Pk và trước đó P=U P(I-{k}).Theo Định lí 2.3.2, P là

môđun tựa liên tục.

KẾT LUẬN

Luận văn đã tìm hiểu và hệ thống hóa được kết quả sau:

1.Trình bày định nghĩa và một số tính chất của môđun nội xạ

2. Hệ thống hoá được một kết quả về môđun tựa nội xạ, lớp CS-môđun

và (1-C1)-môđun:

- Cho A và B nội xạ lẫn nhau (A là B-nội xạ và B là A-nội xạ). Nếu

E(A) E(B) thì A B. Thực tế mọi đẳng cấu từ E(A) đến E(B) thu hẹp thành

đẳng cấu từ A đến B. Trong trường hợp này A và B là tựa nội xạ (Hệ quả

2.1.3)

- Hạng tử trực tiếp của (1-C1) – môđun là (1-C1) – môđun (Hệ quả 2.2.3)

27

- Nếu M là (1-C1)–môđun, khi đó mỗi môđun con đóng của M là (1-C1)–

môđun (Bổ đề 2.2.4)

- Cho R là một vành và M là một R-môđun sao cho

là một tổng trực tiếp hữu hạn những môđun M i với i=1,2,…,n, trong đó

là họ các môđun nội xạ lẫn nhau. Khi đó M là (1-C1)-môđun

khi và chỉ khi Mi là (1-C1)-môđun với mọi i = 1,2,…,n (Bổ đề 2.2.9)

- Giả sử R- là một vành và M là một R-môđun sao cho

là tổng trực tiếp của những môđun đều Mi và sự phân

tích đó là bù hạng tử trực tiếp đều. Giả thiết với mọi , mọi đơn cấu

Mi Mj là một đẳng cấu. Khi đó các phát biểu sau là tương đương

(1) M là (1-C1)-môđun

(2) là (1-C1)-môđun với mọi (Mênh đề2.2.11)

- Cho M = thỏa mãn các điều kiện sau:

(a) Tất cả Mi là các môđun đều

(b) Sự phân tích của M là sự phân tích bù trực tiếp các môđun đều

(c) Với mọi i,j I, i j, Mi không là các môđun con của Mj, khi đó các

phát biểu sau là tương đương.

(i) M là môđun tựa liên tục;

(ii) M có tính chất (1-C1);

(iii) M(J) là M(K) nội xạ với mọi tập con J và K của I sao cho J K=ø

(Định lí 2.3.2)

Một lần nữa, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy

giáo hương dẫn, các thầy giáo cô giáo trong Khoa Toán, Khoa sau đại học và

tất cả các đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ tác giả để luận văn hoàn thành

đúng kế hoạch.

Luận văn chắc chắn còn có những vấn đề tồn tại, kính mong được sự

góp ý chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô giáo và các bạn.

28

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. F.W Anderson and K.R Fuller, Rings and Categories of Modules,

Springer-Verlag,New York-Heidelberg-Berlin,1974

[2]. Nguyễn Tiến Dũng, Tổng trực tiếp các (1-C1)-môđun, Luận văn thạc sĩ

toán học, 2005.

[3]. S.H Mohamed and B.J Muller, Continuous and Discret Modules,

London Math.Soc,Cambridge,1990

29

[4]. Lê Thi Quỳnh Nga, (1-C1)-môđun và môđun không suy biến, Luận văn

thạc sĩ toán học, 2005.

[5]. Ngo Sy Tung, Some results on quasi-continuous modules, Acta

Mathematica Vietnammica,Volume 19, Number 2, 1994.pp.13-17.

30