MA1101 MATEMATIKA 1A

Hendra GunawanSemester I, 2019/2020

13 November 2019

Sasaran Kuliah Hari Ini

6.1 Fungsi Logaritma Natural

- Menentukan turunan dari fungsi logaritmanatural dan variannya.

- Menentukan integral tak tentu dari 1/u danvariannya.

- Menurunkan fungsi secara logaritmik.

6.2 Fungsi Invers dan Turunannya

Menentukan invers dari suatu fungsi & turunannya.

11/15/2013 2(c) Hendra Gunawan

6.1 FUNGSI LOGARITMA NATURALMA1101 MATEMATIKA 1A

11/20/2013

- Menentukan turunan dari fungsi logaritmanatural dan variannya.- Menentukan integral tak tentu dari 1/u danvariannya.- Menurunkan fungsi secara logaritmik.

3(c) Hendra Gunawan

BAB 6 FUNGSI TRANSENDEN

The Missing Link

11/20/2013

21

1

0

12

23

)(

(?)

2

3

xxdx

d

xdx

d

xxdx

d

xx

dx

d

xx

dx

d

4(c) Hendra Gunawan

Fungsi Logaritma Natural (ln)

Definisi:

Cttn. Nilai ln x menyatakan luasdaerah di bawah kurva y = 1/t, 1 ≤ t ≤ x. Karena itu,

ln x < 0 jika 0 < x < 1

= 0 jika x = 1

> 0 jika x > 1.

11/20/2013

x

txdtx

1

1 .0,:ln

1 x

y=1/t

t

y

1x

y=1/t

t

y

5(c) Hendra Gunawan

Turunan dari ln x

Menurut Teorema Dasar Kalkulus,

11/20/2013

.0,1

ln xx

xdx

d

6(c) Hendra Gunawan

Contoh

1. Tentukan

Jawab:

2. Tentukan

Jawab:

11/20/2013

.22

)(1

)ln(

).ln(

2

2

2

2

2

xx

xx

dx

d

xx

dx

d

xdx

d

.||ln xdx

d

7(c) Hendra Gunawan

Integral Tak Tentu dari 1/u

Contoh:

1. Tentukan

Jawab: Misal u = x + 1. Maka du = dx, shg

11/20/2013

.||ln1 Cuduu

.

1x

dx

.|1|ln||ln1

CxCuu

du

x

dx

8(c) Hendra Gunawan

Contoh

2. Tentukan

Jawab:

3. Hitung

Jawab:

11/20/2013

.

12dx

x

x

1

0

2.

1dx

x

x

9(c) Hendra Gunawan

Teorema (Sifat-Sifat Logaritma)

• ln 1 = 0

• ln a.b = ln a + ln b

• ln a/b = ln a – ln b

• ln ar = r ln a

11/20/2013 10(c) Hendra Gunawan

Contoh

Tentukan dy/dx jika

Jawab: Menggunakan Teorema sebelumnya

11/20/2013

.1

1ln

x

xy

.1

1

1

1

1

1

2

1

)]1ln()1[ln(2

1

1

1ln

2

1

2

xxxdx

dy

xxx

xy

11(c) Hendra Gunawan

Penurunan Logaritmik

Tentukan dy/dx bila

Jawab: Ambil ln dari kedua ruas, lalu turunkanterhadap x:

11/20/2013

.4

11

3

x

xy

.4

11

)4(2

3

11

1

4

3

2

1

11

11

)4ln(2

1)11ln(ln

33

2

3

2

3

x

x

x

x

xdx

dy

x

x

xdx

dy

y

xxy

12(c) Hendra Gunawan

Grafik Fungsi y = ln x

Catat bahwa ln 1 = 0, dy/dx = 1/x > 0 dand2y/dx2 = -1/x2 < 0sehingga grafik y = ln xmonoton naik dancekung ke bawah.

11/20/2013

1 x

y

13(c) Hendra Gunawan

Latihan

1. Tentukan

2. Tentukan semua nilai ekstrim dari

f(x) = 2x2 ln x – x2

pada daerah asalnya.

3. Tentukan dy/dx jika

11/20/2013

.)2tan( dxx

.2

)1()1( 222/3

x

xxy

14(c) Hendra Gunawan

6.2 FUNGSI INVERS DAN TURUNANNYAMA1101 MATEMATIKA 1A

11/20/2013

Menentukan invers dari suatu fungsi danturunannya.

15(c) Hendra Gunawan

Fungsi Invers

Dalam hal tertentu, dari persamaan fungsi y = f(x)kita dapat memperoleh x sebagai fungsi dari y, sebutlah x = g(y). Fungsi g disebut invers dari f, ditulis

g = f -1.

Jadi: y = f(x) jika dan hanya jika x = f -1(y).

Contoh:

y = 2x + 3 jika dan hanya jika x = ½(y – 3).

Cttn. Grafik y = f -1(x) merupakan pencerminangrafik y = f(x) terhadap garis y = x.11/20/2013 16(c) Hendra Gunawan

Teorema (Eksistensi Invers)

Jika f fungsi 1-1, maka f mempunyai invers.

Akibatnya,

jika f monoton sejati, maka f mempunyai invers.

11/20/2013 17(c) Hendra Gunawan

Turunan dari Fungsi Invers

Jika y = f(x) dan f’(x) ≠ 0, maka

Dalam notasi Leibniz:

11/20/2013

.1

.)('

1)()'( 1

dxdydy

dx

xfyf

18(c) Hendra Gunawan

Contoh

Diketahui y = x5 + x + 1 = f(x). Tentukan (f -1)’(3).

Jawab: 3 = f(1). Lalu, f monoton naik karena f ’(x) = 5x4 + 1 > 0 untuk setiap x. Jadi, f -1 ada.

Menurut Teorema tadi,

11/20/2013

.6

1

11.5

1

)1('

1)3()'(

4

1

ff

19(c) Hendra Gunawan

Latihan

1. Hitung (f -1)’(2) apabila f(x) = 3x5 + x – 2.

2. Buktikan bahwa y = f(x) = ln x mempunyaiinvers, sebutlah y = g(x). Kemudian buktikanbahwa g’(x) = g(x).

11/20/2013 20(c) Hendra Gunawan