MAKALAH

RANGKUMAN MATERI LOGIKA MATEMATIKA

Nama : NURHIDAYAT

NIM : DBC 113 055

JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS PALANGKA RAYA

2013

BAB I

PENGERTIAN

Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan

pelajaran-pelajaran lainnya, sehingga dapat membantu dan memberikan bekal

tambahan untuk menyampaikan pelajaran di sekolah. Dalam Logika dipelajari

metode-metode dan prinsip-prinsip yang dapat dipakai untuk membedakan cara

berpikir benar (correct) atau tidak benar (incorrect), sehingga dapat membantu

menyatakan ide-ide tepat dan tidak mempunyai arti ganda. Jadi, dalam ilmu logika

hanya mempelajari atau memperhatikan kebenaran dan kesalahan dari penalaran,

dan penarikan kesimpulan dari sebuah pernyataan atau lebih.

Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang

mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang

lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu

komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain

adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem

pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang

dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika

konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.

BAB II

PROPOSISI

Definisi Proposisi

Sebuah proposisi(proposition) atau statement ialah sebuah kalimat deklaratif yang

memiliki tepat satu nilai kebenaran, yaitu: ”Benar”(B) atau ”Salah”(S)

Beberapa contoh proposisi dan bukan proposisi:

1. Jakarta adalah ibu kota Republik Indonesia.

2. 7 merupakan sebuah bilangan prima.

3. Manusia adalah salah satu jenis makluk di Bumi.

4. Taufik Hidayat pandai main bulu tangkis atau tennes.

5. Jika 10 habis dibagi dengan 4, maka juga habis dibagi dengan 2.

6. Mudah-mudahan anda berhasil dalam meniti karier.

7. Berolahragalah secara teratur!

Kalimat deklaratif pertama, kedua dan ketiga dalam contoh tidak memuat

penghubung disebut proposisi primitip(primitif), dan dilambangkan dengan huruf

kecil: p, q, r, s. Kalimat deklaratif keempat dan kelima memuat penghubung

”atau” dan ”jika...maka...” disebut proposisi majemuk(composite). Kalimat

keenam dan ketujuh bukan proposisi.

BAB III

PENGHUBUNG

Penghubung atau konektif(connective)

Dalam logika matematika dikenal sebanyak 5 penghubung, yaitu:

1. Negasi(Negation)

2. Konjungsi(Conjunction)

3. Disjungsi(Disjunction)

4. Implikasi(Implication)

5. Ekuivalensi(Equivalence)

Definisi Penghubung

Misalkan p dan q adalah proposisi.

1. Negasi:

Untuk sembarang proposisi, p, yang memiliki nilai kebenaran, B=S, maka

negasinya ditulis sebagai, p, memiliki nilai kebenaran lawannya, S=B.

2. Konjungsi:

Konjungsi p dan q dinyatakan dengan, p ^ q, adalah sebuah proposisi yang

bernilai benar jika proposisi p dan q keduanya bernilai benar.

3. Disjungsi:

Disjungsi p dan q dinyatakan dengan, p v q, adalah proposisi yang bernilai salah

jika proposisi p dan q keduanya bernilai salah.

4. Implikasi (proposisi bersyarat):

Implikasi dari p ke q dinyatakan dengan, p => q, ialah proposisi yang bernilai

salah jika dan hanya jika p bernilai benar dan q bernilai salah.

Proposisi p disebut anteseden(premis/hipotesa) dan proposisi q disebut

konsekuen(konklusi/kesimpulan)

5. Ekuivalensi/Biimplikasi:

Ekivalensi dari p dan q dinyatakan dengan, p q, adalah proposisi yang bernilai

benar jika proposisi p dan q mempunyai nilai kebenaran sama.

Beberapa contoh proposisi majemuk

Misalkan p, q dan r adalah proposisi, dimana:

p : Bumi adalah satu-satunya planet di jagat raya yang mempunyai kehidupan. (B)

q : Satu dekade sama dengan 10 tahun. (B)

r : 1 + 1 = 3. (S)

Maka:

1. p : Bumi bukan satu-satunya planet di jagat raya yang mempunyai kehidupan.

(S)

2. p ^ q : Satu dekade sama dengan 10 tahun dan 1 + 1 = 3. (S)

3. p v q : Satu dekade sama dengan 10 tahun atau 1 + 1 = 3. (B)

4. q → r : Jika satu dekade sama dengan 10 tahun maka 1 + 1 = 3. (S)

5. q ↔ r : Satu dekade sama dengan 10 tahun jika dan hanya jika 1 + 1 = 3. (S)

BAB IV

TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI, EKUIVALENSI LOGIKA

A. TAUTOLOGI

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua

kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah

Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk

membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang

digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua

pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan

melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12

hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

Contoh:

Lihat pada argumen berikut:

Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini

pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini

pergi kulah.

Diubah ke variabel proposional:

A Tono pergi kuliah

B Tini pergi kuliah

C Siska tidur

Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan

kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi

logika 3 adalah kesimpulan.

(1) A → B (Premis)

(2) C → B (premis)

(3) (A V C) → B (kesimpulan)

Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B

A B C A → B C → B (A → B) ʌ (C → B) A V C (A V C) ((A → B) ʌ (C → B))

→ B → ((A V C) → B

B

B

B

B

S

S

S

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

B

S

S

B

B

B

B

B

B

S

B

B

B

S

B

B

B

S

S

B

B

S

B

B

B

B

B

B

S

B

S

B

B

S

S

B

B

S

B

B

B

B

B

B

B

B

B

Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk :

((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B adalah semua benar (Tautologi)

Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran:

1.      (p ʌ  ~q)  p

Pembahasan:

p q ~q (p ʌ ~q) (p ʌ ~q)  p

B

B

S

S

B

S

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

B

B

B

B

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu

semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain

pernyataan majemuk (p ʌ ~q)  p selalu benar.

2.      [(p  q) ʌ p] p  q

Pembahasan:

p q (p  q) (p  q) ʌ p [(p  q) ʌ p] p  q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

B

B

S

S

S

B

B

B

B

(1)              (2)                (3)                   (4)                            (5)

Berdasrkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu

adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk [(p  q) ʌ p] p  q selalu

benar. Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran atau penurunan

dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika.

Contoh:

a.     (p ʌ q)  q

Penyelesaian:

(p ʌ q)  q  ~(p ʌ q) v q

                 ~p v ~q v q

              ~p v T

             T .............(Tautologi)

Dari pembuktian diatas telah nampaklah bahwa pernyataan majemuk dari

(p ʌ q)  q adalah tautologi karena hasilnya T (true) atau benar.

Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran dari pernyataan

majemuk  (p ʌ q)  q yaitu:

P q (p ʌ q) (p ʌ q)  q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

S

B

B

B

T

Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk (p ʌ q)  q merupakan

Tautologi.

b.     q  (p v q)

penyelesaian:

q  (p v q)     ~q v (p v q)

                    ~q v (q v p)

                    T v p

                    T ............(Tautologi)

B.   KONTRADIKSI

Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan

yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan

majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari

komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut

kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan

menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F  atau salah

maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran

atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi

Logika.

Contoh dari Kontradiksi:

1.      (A ʌ ~A)

Pembahasan:

A ~A (A ʌ ~A)

B

S

S

B

S

S

Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk

(A ʌ ~A) selalu salah.

2.      P ʌ (~p ʌ q)

Pembahasan:

p q ~p (~p ʌ q) P ʌ (~p ʌ q)

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

S

S

B

S

S

S

S

S

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu

semua pernyataan bernilai salah (F).

C.   Ekuivalensi Logika

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran

sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “ dua buah pernyataan majemuk

dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai

kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-

pernyataan komponen-komponennya.

Hukum-Hukum Ekuivalensi Logika:

1.      Hukum komutatif:

p ʌ q  q ʌ p

p v q q v p

2.      Hukum asosiatif:

(p ʌ q) ʌ r  p ʌ (q ʌ r)

(p v q) v r  p v (q v r)

3.      Hukum distributif:

p ʌ (q v r)  (p ʌ q) v (p ʌ r)

p v (q ʌ r)  (p v q) ʌ (p v r)

4.      Hukum identitas:

p ʌ T  p

p v F  p

5.      Hukum ikatan (dominasi):

P v T  T

P v F  F

6.      Hukum negasi:

P v ~p  T

P ʌ ~p  F

7.      Hukum negasi ganda (involusi):

~(~p)  p

8.      Hukum idempoten:

P ʌ p  p

p v p  p

9.      Hukum de morgan:

~( p ʌ q)  ~p v ~q

~(p v q)  ~p ʌ ~q

10.   Hukum penyerapan (absorpsi):

p v (P ʌ q)  p

P ʌ (p v q)  p

11.  Hukum T dan F:

~T  F

~F  T

12.  Hukum implikasi ke and/or:

P  q  ~p v q[5]

Dengan adanya hukum-hukum diatas, penyelesaian soal-soal baik yang

bersifat tautologi, kontradiksi dan ekuivalensi logika tidak hanya menggunakan

tabel kebenaran namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu

dengan memanfaatkan 12 (dua belas) hukum-hukum ekuivalensi logika tersebut.

Dengan menggunakan prinsip-prinsip di atas, maka kalimat-kalimat yang

kompleks dapat disederhanakan, seperti contoh berikut:

1.      Buktikan ekuivalensi berikut: ~(p v ~q) v (~p ʌ ~q)  ~p

Jawab:

~(p v ~q) v (~p ʌ ~q)  (~p ʌ q) v (~p ʌ ~q)

                                     ~p ʌ (q v ~q)

                                     ~p ʌ T

                                     ~p ...........(terbukti)

2.      Tunjukkan bahwa:  ~(p v q)  (~p ʌ ~q)

Tabel kebenaran ~(p v q) dan (~p ʌ ~q) yaitu:

p q ~p ~q p v q ~(p v q) (~p ʌ ~q)

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

S

B

S

B

B

B

B

S

S

S

S

B

S

S

S

B

(1)           (2)        (3)        (4)         (5)                (6)                        (7)  

Dari tabel diatas pada kolomk (6) dan (7), jelas bahwa ~(p v q)  (~p ʌ ~q).

Jadi, ~(p v q)  (~p ʌ ~q). 

BAB V

VALIDITAS PEMBUKTIAN

A. PREMIS DAN ARGUMEN

Logika berkenaan dengan penalaran yang dinyatakan dengan pernyataan

verbal. Suatu diskusi atau pembuktian yang bersifat matematik atau tidak,

terdiri atas pernyataan-pernyataan yang saling berelasi. Biasanya kita memulai

dengan pernyataan-pernyataan tertentu yang diterima kebenarannya dan

kemudian berargumentasi untuk sampai pada konklusi (kesimpulan) yang

ingin dibuktikan.

Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan

disebut premis, sehingga suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi

atau pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya.

Sedang yang dimaksud dengan argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri

atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti (evidence) dan suatu

(satu) konklusi. Konklusi ini selayaknya (supposed to) diturunkan dari premis-

premis.

Konklusi selayaknya diturunkan dari premis-premis atau premis-premis

selayaknya mengimplikasikan konklusi, dalam argumentasi yang valid,

konklusi akan bernilai benar jika setiap premis yang digunakan di dalam

argumen juga bernilai benar. Jadi validitas argumen tergantung pada bentuk

argumen itu dan dengan bantuan tabel kebenaran.

Bentuk kebenaran yang digeluti oleh para matematikawan adalah

kebenaran relatif. Benar atau salahnya suatu konklusi hanya dalam hubungan

dengan sistem aksiomatik tertentu. Konklusi itu benar jika mengikuti hukum-

hukum logika yang valid dari aksioma-aksioma sistem itu, dan negasinya

adalah salah. Untuk menentukan validitas suatu argumen dengan selalu

mengerjakan tabel kebenarannya tidaklah praktis. Cara yang lebih praktis

banyak bertumpu pada tabel kebenaran dasar dan bentuk kondisional. Bentuk

argumen yang paling sederhana dan klasik adalah Modus Ponens dan Modus

Tolens.

Kaidah metode-metode inferensi pada dasarnya adalah sebuah tautologi.

Kaidah inferensi bermacam-macam, seperti

Modus ponen

Modus tollen

Silogisme

Simplifikasi

Penambahan

Konjungsi

B. MODUS PONEN

C. MODUS TOLLENS

D. SILOGISME HIPOTESIS

E. SILOGISME DISJUNGTIF

F. SIMPLIKASI

G. ARGUMEN

Argumen dikatakan valid jika konklusi benar bilamana semua hipotesisnya

benar, sebaliknya argumen dikatakan invalid

Adalah sederetan proposisi yang dituliskan sebagai :

p1

p2

.

.pn

Kesimpulan q

BAB VI

Himpunan

DefinisiHimpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

HMTI adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain.Cara Penyajian Himpunan

Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci. Contoh 1. - Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}. - Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}. - C = {kucing, a, Amir, 10, paku} - R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }- C = {a, {a}, {{a}} }- K = { {} } - Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 } - Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

Keanggotaanx A : x merupakan anggota himpunan A; x A : x bukan merupakan anggota himpunan A.  Contoh 2.

Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } K = {{}}maka3 A{a, b, c} R

c R {} K

{} R Contoh 3. Bila P1 = {a, b},

P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}},

makaa P1

a P2

P1 P2

P1 P3

P2 P3

Simbol-simbol Baku

P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }Q = himpunan bilangan rasionalR = himpunan bilangan riilC = himpunan bilangan kompleks Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U. Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U,

dengan A = {1, 3,5}.

Notasi Pembentuk Himpunan

Contoh 5. Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8},

A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

KardinalitasJumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.Notasi: n(A) atau A  Contoh 6.(i) B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20 },

atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8 (ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5

(iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3

BAB VII

KESIMPULAN

Mata Kuliah Logika Matematika mempelajari beberapa hal yang berkaitan

dengan logika, seperti logika secara kalimat, logika dalam pemrograman dan

logika dalam rangkaian digital. Logika dalam kalimat dinyatakan sebagai

proposisi dan pola-pola argumen/pernyataan logis dengan hukum-hukum

logika.Logika dalam pemrograman diperlihatkan dengan struktur dasar dari

pemrograman dan aliran/kontrol program dengan flow chart. Logika dalam

rangkaian digital diperlihatkan dengan logika biner dan gerbang-gerbang

logika serta penyederhanaan dalam rangkaian.

DATAR PUSTAKA

Nur Hadi. 2013. Logika Matematika.

http://blog.uny.ac.id/nurhadi/2013/09/16/logika-matematika/ 18/10/2013

Author . 2013. Logika Matematika.

http://id.wikipedia.org/wiki/Logika_matematika 18/10/2013

Author. 2013. Logika Matematika.

oc.its.ac.id/ambilfile.php?idp=148 18/10/13

Dedek Yohana. 2012. TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI, EKUIVALENSI

LOGIKA. http://dedekyohana93.blogspot.com/2012/11/tautologi-kontradiksi-

dan-ekuivalensi_4667.html 18/10/13

Erizal. 2009. Validitas Pembuktian – Bagian I.

http://erizal.wordpress.com/2009/10/22/validitas-pembuktian-%E2%80%93-

bagian-i/ 18/10/2013