Marco Mulas Conteggio esatto ed approssimato di cicli da quattro in grafi non diretti

Marco Mulas

Conteggio esatto ed approssimato di cicli da quattro in grafi non diretti


Cicli da quattro

Reti ferroviarieReti sociali

Topologia e caratteristiche

di un grafo

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Definizioni

Chiameremo quadrato una qualsiasi sequenza (a,b,c,d) di nodi del grafo G se e solo se essa forma un ciclo di lunghezza quattro in G, ossia se e solo se {a,b}, {b,c}, {c,d}, {d,a} sono presenti nell’insieme degli archi di G.

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Definizioni

Chiameremo 2path (a,x,b) un cammino di lunghezza due all’interno del grafo.

Chiameremo 3path (a,x,y,b) un cammino di lunghezza tre all’interno del grafo.

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Algoritmi di conteggio esatto mediante vertici


INPUT: G=(V,E) count = 0for each a V for each b V (b≠a) for each c V (c≠b, c≠a) for each d V (d≠c, d≠b, d≠a) if {a,b},{b,c},{c,d},{d,a} E then count = count + 1 OUTPUT: count/8

mediante Ricerca Esaustiva

Tempo: (n4)

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Tempo: (n2) per istanze reali

Algoritmi di conteggio esatto mediante vertici


INPUT: G=(V,E) count = 0for each a V for each b adj(a) for each c adj(b) (c≠a) for each d adj(c) (d≠b, d≠a) if {d,a} E then count = count + 1 OUTPUT: count/8

mediante Backtracking

Tempo: (n2) + O(nd3)

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Algoritmi di conteggio esatto mediante 2path


Tempo: O(nd2 log n)

INPUT: G=(V,E) count = 0 P = for each 2path (a,x,b) in G P = P U (a,b)for each (c,d) P calcola la molteplicità k di (c,d) in P if k ≥ 2 then count = count +

OUTPUT: count/2

Tempo: O(n log n) per istanze reali

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Algoritmi approssimanti


Un algoritmo probabilistico per un problema di conteggio e (-)-approssimante se , (0,1) produce, con una probabilità maggiore o uguale a 1-, una stima e che dista al più un fattore dal conteggio esatto di X.

X X+XX-X

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Campionamento mediante quattro vertici


INPUT: G=(V,E) = 0Scegli a caso una possibile quadrupla (a, b, c, d) if {a,b}, {b,c}, {c,d}, {d,a} E then = 1OUTPUT:

[CQV]

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Algoritmi approssimanti


Teorema

Siano 1, 2,. . . , S variabili aleatorie identicamente distribuite a valori nell’intervallo [0,1] con valore medio E[].

Se

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allora

Campionamento mediante quattro vertici


INPUT: G=(V,E) = 0Scegli a caso una possibile quadrupla (a, b, c, d) if {a,b}, {b,c}, {c,d}, {d,a} E then = 1OUTPUT:

[CQV]

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Campionamento mediante 2path e un vertice


INPUT: G=(V,E) = 0Scegli a caso un 2path (a,b,c) e un vertice d t.c. d {a,b,c} If {c,d}, {d,a} E then = 1OUTPUT:

[CPV]

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Campionamento mediante 3path


[CTP]

INPUT: G=(V,E) = 0Scegli a caso un {a,b} EFra gli adj(a) scegli a caso un vertice dFra gli adj(b) scegli a caso un vertice cif d≠b c≠a {d,c} E then = OUTPUT:

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Risultati sperimentali


Dataset usato

Grafo Vertici Archi D medio QuadratiErdos–Renyi300,0.035 300 1.590 10,6 1.636

as19971109 3.011 5.343 3,5 61.245

as19990923 5.803 11.823 4,1 241.790

as20000102 6.474 7.391 4,1 299.317

Erdos–Renyi 3011,0.045 3.011 204.141 135,6 42.253.872

Email-Enron 36.692 183.831 10,0 36.262.229

Dblp.ungraph 317.080 1.049.866 6,6 55.107.654

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Algoritmi di conteggio esatto

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Con algoritmo di campionamento mediante 2path e un vertice

Grafo 20k 50k 100k 500k

dev. Speedup dev. Speedup dev. Speedup dev. Speedup

E.R. 300,0.035 3,1% 1,00 0,1% 2,44 0,3% 4,66 0,1% 22,65

as19971109 7,0% 0,20 6,8% 0,50 5,6% 1,00 1,0% 5,07

as19990923 7,5% 0,10 3,5% 0,25 2,5% 0,49 2,1% 2,48

as20000102 18,3% 0,30 1,6% 0,74 1,2% 1,43 1,0% 7,44

E.R. 3011,0.045 4,3% 0,003 1,3% 0,007 1,2% 0,014 0,8% 0,071

Email-Enron 9,5% 0,004 4,7% 0,010 4,1% 0,020 1,1% 0,099

dblp.ungraph 9,1% 0,005 8,1% 0,008 5,5% 0,015 1,8% 0,071

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Con algoritmo di campionamento mediante 3path

Grafo 100 2k 5k 10k

dev. Speedup dev. Speedup dev. Speedup dev. Speedup

E.R. 300,0.035 16,4% 0,0143 4,2% 0,0831 2,6% 0,2066 0,9% 0,4057

as19971109 15,5% 0,0029 0,14% 0,0116 0,11% 0,0289 0,10% 0,0697

as19990923 12,9% 0,0006 6,3% 0,0047 3,2% 0,0109 1,0% 0,0211

as20000102 18,8% 0,0028 2,8% 0,0136 2,7% 0,0318 1,5% 0,0673

E.R. 3011,0.045 12,6% 0,0002 4% 0,0005 2,5% 0,0009 1,9% 0,0015

Email-Enron 10,1% 0,0003 1,7% 0,0006 1,5% 0,0011 0,9% 0,0195

dblp.ungraph 6,9% 0,0018 2,1% 0,0020 1,0% 0,0024 0,001% 0,0029

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Confronto campionamenti


Esperimenti sul grafo Erdos–Renyi 300,0.035

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Confronto campionamenti


Esperimenti sul grafo as19971109

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Conclusioni e sviluppi futuri


• Sono stati presentati due tipologie di algoritmo esatto per il conteggio dei quadrati e tre algoritmi di campionamento per il conteggio approssimato

• Mediante l’algoritmo di conteggio esatto basato sui 2path si riescono ad ottenere risultati esatti in un tempo discreto

• L’algoritmo di campionamento basato sul 3path risulta il più efficiente dei tre presentati.

• Mediante dei buon algoritmi di conteggio approssimanti e possibile raggiungere un’ottima stima indicativa usando usando tempi accettabili

• Con il modello di memoria esterna si può eseguire il conteggio esatto, basato su 2path mediante mergesort iterativo a k vie su file, anche su grafi più grandi (n1M e m2M)

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Grazie per la cortese attenzione


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