master_juni

Univerzitet u Sarajevu

Prirodno-matematicki fakultet Sarajevo

Odsjek za fiziku

II ciklus studija – opci smjer

Fenomenologijaskalarnih leptokvarkova

Zavrsni— Magistarski rad

Mentor:doc. dr. Ilja Dorsner

Student:Emina Dzaferovic

Sarajevo, juni 2013. godine

Fenomenologija skalarnih leptokvarkova

Student: Emina DžaferovicMentor: doc. dr. Ilja Doršner

Sarajevo, juni, 2013. godine

Sadržaj

1 Uvod 21.1 Standardni Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Kiralna teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Higgsov bozon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.3 Diracov fermion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.4 Skalarno polje - Klein-Gordonova jednacina . . . . . . . . 121.1.5 Nosioci interakcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Leptokvarkovi 15

3 Proizvodnja i raspad leptokvarkova 223.1 Proizvodnja leptokvarkova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.1 Poprecni presjek na partonskom nivou zaσLO[qq→ LQ + LQ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.2 Prelazak sa partonskog poprecnog presjeka na hadronskipoprecni presjek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Raspad leptokvarkova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3 Predvidanja za LHC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.1 Tevatron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.2 LHC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Eksperimentalni status leptokvarkova 47

5 Zakljucak 52

6 Reference 53

1

1. Uvod

1 Uvod” To see a world in a grain of sand

And a heaven in a wild flowerHold infinity in the palm of your hand

And eternity in an hour. ”

William Blake

U ovom radu govorit cemo o fenomenologiji skalarnih leptokvarkova. No prijenego krenemo sa izlaganjem materije, potrebno je citaoca uvesti u svijet cestica izkojeg dolazi i sama tema.

Kada govorimo o fizici, govorimo o materijalnom i prostoru u kojem materi-jalno obitava, odnosno materiji i fizikalnom polju. Dakle, imamo materiju, i neštoizmedu materije, nešto što je drži takvom kakva jeste — fizikalno polje, odnosnosilu. Ako bismo smještali pocetak covjekovog bavljenja cesticama u historijskiokvir, onda bi to bilo doba grckog filozofa Demokrita [2,3], 5. stoljece prije noveere. On je govorio o atomu, nedjeljivoj cestici, onom od koje je sve sacinjeno.Ipak, na potvrdu atoma cekalo se sve do 19. stoljeca, do unazad stotinu i maloviše godina. A onda je sve krenulo. Otkrili smo elektron, pa proton, pa neutron,a zatim nam je zatrebao neki mali neutron, kojeg smo nazvali neutrino, pa suonda došli na red kvarkovi, ali bitno je reci da su kvarkovi cestice koje su najprijepostulirane, a tek kasnije otkrivene. U svakom slucaju, postulirani pa otkriveni —prisutni u fizikalnom svijetu — nisu mogli ostati tako sami u tek novom stvorenommodelu cestica, pa smo na drugu obalu stavili leptone, ciji najstariji ili najpozna-tiji predstavnik je elektron. A kada je taj mali svijet cestica postao veliki, ondasmo ih poceli klasificirati, a samo neke su našle svoje mjesto u knjigama i opštimfizikama. Trenutno ih znamo stotine. Neke od njih su fundamentalne, dakle onebez unutrašnje strukture (kao npr. elektron), a neke i kompozitne, složene, dakleone sa unutrašnjom strukturom (kao npr. proton). Sigurno je da ce ih biti još iviše. A onda, unazad koje desetljece dolaze neki novi hipotetski stanovnici u tajcarobni svijet malih dimenzija, dolaze leptokvarkovi. Dakle i leptokvarkovi sucestice. Ali glavno je pitanje kakve i sa kakvim osobinama. A na to pitanje cemopokušati odgovoriti u ovom radu.

U samom nazivu teme imamo dvije kljucne rijeci: fenomenologija i leptokvar-kovi. Vec smo se upoznali sa tim da su leptokvarkovi cestice, a kakve i sa kakvimosobinama — o tome cemo više saznati u radu. Što se tice rijeci fenomenolo-gija, evo nešto i o tome. Prva asocijacija na rijec fenomenologija je filozofija, jerse to smatra filozofskom disciplinom, odnosno pravcem. Sama rijec fenomeno-logija dolazi od grckih rijeci phainomenom (phainomai - pojavljivati se) i logos

2

1. Uvod

(um). Sve što se pojavljuje, pojavljuje se u odredenim doživljajima; nema “ne-doživljenog” pojavljivanja. Cilj fenomenologije se u skladu s time opisuje kaoistraživanje doživljaja koje treba poslužiti prikazu “esencija”, naime “uma” kojije u temelju doživljaja. To je vrlo opcenita definicija koja nam ništa ne govori otome na koji se nacin to istraživanje provodi ili bi se trebalo provoditi; ali ona vrlojasno ukazuje gdje se može naci polje za fenomenološka istraživanja. Ono je upodrucju doživljaja.

Tekst iznad bismo mogli pripisati nekom uvodnom izlaganju o tome šta je fe-nomenologija kao filozofski pravac ili disciplina, no šta je to u svijetu fizike, ilikonkretno u svjetlu onoga cime se bavi ovaj rad? Fenomenologija u 20. vijekuse odnosi na pravac u filozofiji koji je razvio Edmund Husserl [4] i neki od nje-govih sljedbenika. Danas se obicno u kolokvijalnoj upotrebi termin “fenomen”upotrebljava u znacenju “pojave”, ali u filozofiji on ima šire i složenije znacenje:to je suština koja se pojavljuje, otkriva našoj svijesti, tj. pojavljivanje neceg štostoji iza same pojave kao njena bit, smisao, temelj, izvor, bitak...

Dakle, fenomenologija u ovom radu se bavi fenomenom, suštinom, biti lep-tokvarkova, onim što je do sada poznato o ovim hipotetskim cesticama, njihovimosobinama i fenomenima vezanim za iste. Za sve ostalo, citaoca cemo uputitina put preko ovih redaka, slika i formula, u vrijeme koje tek dolazi ili kojem tekidemo, u svijet u kojem nove ideje i novi fenomeni tek trebaju biti otkriveni.

3

1.1 Standardni Model 1. Uvod

1.1 Standardni Model

Standardni Model [6,7,8] fizike elementarnih cestica je teorija koja opisuje tri odcetiri poznate fundamentalne sile kao i cestice na koje te sile djeluju. Upravo ovecestice cine svu vidljivu materiju u svemiru. Ipak, samim tim što ukljucuje trifundamentalne sile — elektromagnetnu, jaku nuklearnu i slabu nuklearnu — aline i gravitaciju kao cetvrtu, ostaje nepotpunom teorijom.

1.1.1 Kiralna teorija

Standardni Model je kiralna gauge1 teorija. Kada kažemo kiralna teorija, to znacida gauge simetrije Standardnog Modela razlicito tretiraju ljevoruke u odnosu nadesnoruke cestice. Da bismo govorili o ljevorukim, odnosno desnorukim cesti-cama, moramo se upoznati sa pojmom heliciteta. Helicitet predstavlja projekcijuspina na pravac ketanja, pri cemu je spin osnovna osobina elementarnih cestica,kompozitnih cestica (hadrona) i atomskih jezgara. Kvantno-mehanicke je prirodei ne može se opisati makroskopski. Predstavlja vrstu ugaonog momenta, a s ob-zirom da je spinski ugaoni moment S kvantiziran, dozvoljene vrijednosti za Ssu:

S = ~√

s(s + 1) (1)

pri cemu je s vrijednost spina (0, 1, 2 za bozone i polucjelobrojni za fermione).

Kada je rijec o jedinicama, ovdje koristimo prirodni sistem jedinica [1,7], a neSI. U prirodnom sistemu jedinica je

~ = c = 1 (2)

~ = [energija × vrijeme]= [dužina × impuls] (3)

1Gauge ili baždarena teorija je teorija u kojoj je Lagranžijan invarijantan pod kontinuiranomgrupom lokalnih simetrija. Transformacije (baždarene ili gauge transformacije) cine Lievu grupukoja predstavlja grupu simetrija ili gauge grupu za datu teoriju. Svaku Lievu grupu karakterišunjeni generatori. Za svaki taj generator postoji odgovarajuce vektorsko polje, tj. gauge odnosnobaždareno polje. Ta polja su ukljucena u izraz za Lagranžijan i omogucuju mu invarijantnost podlokalnom grupom transformacija. Kada je takva teorija kvantizirana, kvanti gauge polja se zovugauge bozoni.

4


[brzina] = broj (4)

[energija] = [impuls] = [masa] (5)

[dužina] = [masa]−1 (6)

Jedinica koju koristimo za energiju je [9]:

1 eV = 1.602 × 10−19 J . (7)

Na osnovu (2) i (7) možemo dobiti sljedece:

1s = 1.519 × 1015eV−1 (8)1m = 0.506 × 107eV−1 . (9)

Da bismo nastavili govoriti o helicitetu, odnosno o cetverovektoru heliciteta,potrebno je definisati cetverovektore.

Vec znamo da vektor opisuje tri dimenzije, npr. tri dimenzije prostora, visinu,širinu i dužinu. Slijedeci ovaj pristup, cetverovektor nije ništa drugo do vektorkoji opisuje cetiri dimenizije, npr. tri dimenzije prostora i dimenziju vremena. Tozapisujemo ovako:

xµ = xµ= (ct, x, y, z)= (x0, x1, x2, x3) . (10)

Prostorno vremenski interval ds2 je dat relacijom:

ds2 = dxµ dxµ = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 (11)

i invarijantan je u odnosu na Lorentzove transformacije.

Po analogiji na skalarni proizvod vektora (koji je invarijantan u odnosu narotacije) definišemo skalarni proizvod cetverovektora tako da ostane invarijantanu odnosu na Lorentzove transformacije:

5


ds2 = dx · dx= c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2

=∑µ,ν

gµνdxµdxν

= gµνdxµdxν (12)

pri cemu je

gµν = gµν =

0 µ , ν

−1 µ = ν , 01 µ = ν = 0

(13)

odnosno

gµν = gµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

. (14)

Treba napomenuti da smo u jednacini (12) prešli na Einsteinovu konvencijupo kojoj se sumiranje vrši po dva ponovljena indeksa u datom izrazu. U opštemslucaju cetverovektor možemo definisati kao skup 4 broja aµ ≡ (a0, a1, a2, a3) kojise pri homogenim Lorentzovim transformacijama

x′µ = Λµ

ν xν , µ, ν = 0, 1, 2, 3 (15)

transformiše prema relaciji:

a′µ = Λµ

νaν . (16)

Skalarni proizvod dva cetverovektora se definiše na sljedeci nacin:

a · b = gµν aµ bν

= a0b0 − ~a · ~b . (17)

Operator heliciteta h, za cesticu impulsa ~p, glasi

h = 2~p|~p|· ~S , (18)

gdje je ~S operator spina. Za fermion sa projekcijama spina +1/2 i −1/2 operator~S poprima oblik ~S = ~σ/2, gdje su ~σ = (σ1, σ2, σ3) Paulijeve matrice:

6


σ1 =

(0 11 0

), σ2 =

(0 −ii 0

), σ3 =

(1 00 −1

). (19)

Dakle, ako se radi o projekciji u pravcu impulsa h = +1, onda je to desnorukacestica, i obratno, ako je projekcija spina u suprotnom pravcu od pravca kretanjacestice h = −1, onda se radi o ljevorukoj cestici. Preciznije govoreci, rijec je ocestici desnorukog heliciteta i cestici ljevorukog heliciteta.

No, kada u Standardnom Modelu govorimo o ljevorukim i desnorukim ces-ticama, ne mislimo na helicitet, vec kiralnost. Šta to znaci? Znaci da cestice uStandardnom Modelu razdvajamo na njihove ljevoruke i desnoruke kiralne kom-ponente. Naime, u fizici elementarnih cestica, Diracov fermion [5] se opisujematricom kolonom koja ima cetiri komponente:

ψ =

φ1

φ2

φ3

φ4

(20)

pri cemu prve dvije komponente cine jedan spinor, a druge dvije drugi spinor:

ψ1 =

(φ1

φ2

)i ψ2 =

(φ3

φ4

)(21)

pa se zbog toga matrica kolona koja opisuje Diracov fermion naziva bi-spinorom.Vratimo se sada razdvajanju cestica na ljevoruke i desnoruke komponente. Toradimo pomocu γ5 matrice koja u kiralnoj reprezentaciji izgleda ovako:

γ5 =

(I 00 −I

). (22)

Sada stanje ψ nekog fermiona pomocu tzv. operatora projekcije PR,L ≡ (1 ±γ5)/2 razdvajamo na ljevoruko i desnoruko:

ψL ≡ PLψ =1 − γ5

2ψ ljevoruko polje (23)

ψR ≡ PRψ =1 + γ5

2ψ desnoruko polje (24)

odnosno

7


ψL =

(0ψ2

)i ψR =

(ψ1

0

). (25)

Upravo te komponente se razlicito transformišu pod gauge grupom Standard-nog Modela. Vec nam je poznato da su kvarkovi fermioni, pa se i oni opisujupomocu Diracovih fermiona, što znaci da i za kvarkove vrijedi prethodno napi-sano pa možemo dobiti donji ljevoruki kvark dL i donji desnoruki kvark dR kao igornji ljevoruki kvark uL i gornji desnoruki kvark uR .

Kako su uL i dL dio dvodimenzionalne reprezentacije, transformišu se kaodublet pod SU(2)2 grupom, dok pod tom istom grupom uR i dR predstavljaju jed-nodimenzionalne reprezentacije, tzv. singlete.

Opcenito, cestice u gauge teoriji se transformišu u odnosu na neku sime-triju. Kada je rijec o Standardnom Modelu, radi se o direktnom proizvodu grupaSU(3)×SU(2)×U(1). SU(3) grupa ima 8 generatora (32−1) i oni odgovaraju glu-onima, prenosnicima jake nuklearne sile. SU(2) grupa ima 3 generatora (22 − 1) aU(1) grupa ima jedan generator. Dva od ova cetiri generatora linearnim kombini-ranjem daju neutralni bozon3 Z (prenosnik slabe nuklearne sile) i foton (prenosnikelektromagnetne sile, takode neutralan). Linearnom kombinacijom druga dva ge-neratora dobijamo još dva bozona, ali naelektrisana: W+ (naboj +1e4) i W− (naboj-1e), koji su takode prenosnici slabe nuklearne sile.

2Specijalna unitarna grupa SU(N) je grupa unitarnih matrica dimenzije N × N. S dolazi odspecial što oznacava svojstvo da je determinanta matrice jednaka jedinici, a U dolazi od unitaryšto znaci da se radi o unitarnim matricama, dakle U†U = 1. Grupna operacija je množenje matrica.Broj generatora je jednak N2 − 1.

3To su cestice sa cjelobrojnim spinom koje se povinuju Bose-Einstein statistici.4e - elementarni naboj koji predstavlja elektricni naboj koji nosi proton ili ekvivalentno tome:

suprotan elektricni naboj onome koji nosi elektron. Elementarni naboj je fundamentalna fizikalnakonstanta. Da bi se izbjegla konfuzija u vezi sa predznakom, nekad se naziva elementarni pozitivninaboj. Ovaj naboj ima izmjerenu vrijednost koja aproksimativno iznosi e=1.602 176 565 ×10−19

C (Coulomba).

8


Slika 1: Fermioni Standardnog Modela

U Standardnom Modelu postoje tri generacije cestica [6,7,8], po petnaest fer-miona5 u svakoj. Kako je ova teorija kiralna teorija, i razlicito tretira ljevoruke oddesnorukih cestica, to se ocituje najprije u tome što ljevoruke dolaze u dubletima,a desnoruke u singletima.

Opcenito ih dijelimo na kvarkove i leptone. Na Slici 1 je prikaz tih cestica za-visno od generacije kojoj pripadaju, pri cemu i = 1, 2, 3 predstavlja indeks SU(3)grupe i stoji za boju kao dodatni kvantni broj kvarkova.

1.1.2 Higgsov bozon

Pored elementarnih cestica, Standardni Model sadrži, kao što je ranije receno, inosioce interakcija opisanih u ovoj teoriji. Za elektromagnetnu silu to su fotoni,za jaku nuklearnu to su gluoni i za slabu nuklearnu to su bozoni i to W−, W+, i Z.

Postoji još jedan bozon u ovoj teoriji, tzv. Higgsov bozon. Dvije velike na-ucne kolaboracije CMS i ATLAS koje rade na LHC-u (Veliki sudarac cestica) suobjavile 4. jula 2012. godine da vide signal u prikupljenim podacima koji imaodlike tog bozona. Ako se pokaže da je to zaista Higgsov bozon, Standardni Mo-del bi bio kompletiran, odnosno sve cestice Standardnog Modela bi bile otkrivene.

Rekli smo da Standardni Model ne sadrži gravitaciju što ga cini nepotpunomteorijom, no to nije sve. Naime, ne opisuje mase neutrina, iako one postoje i mogubiti ili Diracova ili Majorana masa.

5To su cestice sa polucjelobrojnim spinom koje se povinuju Fermi-Diracovoj statistici.

9


1.1.3 Diracov fermion

Diracov fermion je fermion koji nije istovremeno i svoja anticestica. Prema tome,svi fermioni u Standardnom Modelu su Diracovi fermioni osim možda neutrina.Opcenito fermione, dakle cestice sa polucjelobrojnim spinom, opisujemo Diraco-vom jednacinom:

i∂Ψ(~x, t)∂t

= (−i~α · ~∇ + βm)Ψ(~x, t) ≡ HΨ(~x, t) (26)

pri cemu je Ψ(~x, t) Diracov bi-spinor koji predstavlja cetverokomponentnu ma-tricu kolonu.

Matrice α i β su hermitske 4×4 matrice date sa:

~α =

(~σ 00 ~σ

), β =

(1 00 −1

). (27)

Ako uvedemo Diracove γ-matrice na sljedeci nacin:

γ0 = β i γi = βαi , (28)

i za njih vrijedi Cliffordova algebra

γµ, γν = γµγν + γνγµ = 2gµν1l . (29)

Radi lakšeg i kraceg pisanja, u nastavku cemo Ψ(~x, t) zamijeniti sa Ψ: Ψ(~x, t) ≡Ψ.

Diracovu jednacinu možemo pisati u kompaktnijem obliku:

(iγµ∂µ − m)Ψ = 0 , (30)

odnosno, ako uvedemo oznaku 6a ≡ aµγµ imamo:

(i 6∂ − m) Ψ = 0 . (31)

Odgovarajuci Lagranžijan izgleda ovako:

L = Ψ(i 6∂ − m)Ψ , (32)

gdje je Ψ adjungovani spinor koji se definiše na sljedeci nacin:

Ψ = Ψ†γ0 . (33)

10


Ovaj spinor cemo sada rastaviti na njegove kiralne komponente, ljevoruku idesnoruku, da bismo pokazali šta je to Diracova masa koja je za neutrine Stan-dardnim Modelom zabranjena i zašto je to tako. Razdvajanje vršimo pomocuprojekcionog operatora koristeci jednacine (23) i (24).

Ali, moramo pri tome definisati matricu γ5. Ranije smo uveli Diracove γ-matrice, no opcenito one mogu imati više reprezentacija. Ona koju smo ranijenaveli naziva se Diracovom, a sada cemo uvesti kiralnu, jer nam upravo ta re-prezentacija treba za dobivanje kiralnih komponenti Diracovog spinora. Ona jeodabrana tako da je u njoj matrica γ5 dijagonalna:

γ0 =

(0 −I−I 0

), ~γ =

(0 ~σ−~σ 0

), γ5 =

(I 00 −I

). (34)

Zbog svojstva γmatrica da zadovoljavaju Cliffordovu algebru, vrijede sljedecerelacije:

P2R,L = PR,L i PRPL = PRPL = 0 . (35)

Na osnovu toga dobivamo maseni clan:

L = −m Ψ Ψ = −m (ΨLΨR + ΨRΨL). (36)

Ovo se naziva Diracovom masom. Ovaj maseni clan miješa kiralne kompo-nente polja pa su vlastita stanja mase Diracovog polja ΨD = ΨL + ΨR.

U Standardnom Modelu, ovakvo nešto bi bilo zabranjeno jer narušava gaugeinvarijantnost. Naime, desnoruka fermionska polja su singleti SU(2), dok su ljevo-ruka dubleti, i zbog toga maseni clan kao dublet ne bi bio invarijantan pod SU(2)gauge transformacijom.

Ali, Higgsov bozon je dublet pod SU(2) grupom. Dakle, gauge invarijantnostzadržavamo korištenjem Higgsovog mehanizma u kojem svi fermioni u Standard-nom Modelu imaju Yukawa konstante medudjelovanja6 sa poljem Higgsovog bo-zona Φ. To možemo pisati:

LYukawa = −Yψ ΨL Φ ΨR + h.k. , (37)

gdje Yψ predstavlja matricu za Yukawa konstante medudjelovanja, a kontrakcijau SU(2) prostoru se podrazumijeva. Higgsovo polje dobiva vakuumski ocekivanu

6Za Yukawa konstante medudjelovanja možemo reci da su konstante koje dolaze od Yukavainterakcije (nazvane po Hideki Yukawi) izmedu skalarnog polja φ i Diracovog polja ψ tipa V ∝gψφψ (skalar) ili V ∝ gψγ5φψ (pseudoskalar). U Standardnom Modelu imamo fermione, daklecestice Diracovog polja i Higgsov bozon, cesticu skalarnog polja.

11


vrijednost 〈Φ〉 =

(0

v/√

2

)koja izmedu ostalog generiše mase fermiona. Clan u

Lagranžijanu koji je za to zadužen glasi:

LYukawa = −Yψv√

2(ΨL ΨR + ΨR ΨL) + interakci ja. (38)

U Standardnom Modelu svi fermioni dobivaju masu na ovaj nacin. Masa fer-miona opisanog poljem ψ data je sa:

mψ = Yψv√

2(39)

Jedini izuzetak je neutrino, s obzirom da ne postoje desnoruka polja za njega. Zatoje u toj teoriji neutrino bezmasivna cestica. Ipak, ako se uvedu desnoruki neutrini,tada neutrini mogu imati Diracovu masu.

1.1.4 Skalarno polje - Klein-Gordonova jednacina

Za opis skalarnih polja služimo se Klein-Gordonovom jednacinom [5] koja je ot-krivena prije Diracove jednacine i to 1926. godine. Naime, Diracova jednacina jedobijena linearizacijom Klein-Gordonove jednacine.

U dijelu 1.1.3 bavili smo se Diracovim fermionom i Diracovom jednacinomkoja opisuje fermione, dakle cestice sa polucjelobrojnim spinom. U ovom dijelubavimo se Klein-Gordonovom jednacinom koja opisuje cestice sa spinom nula.

Da bismo došli do Klein-Gordonove jednacine, poci cemo od principa kores-pondencije koji kaže da energiju E i impuls ~p zamjenjujemo sa sljedecim diferen-cijalnim operatorima:

E→ E = i~∂

∂t(40a)

~p→ ~p = −i~∂

∂~x(40b)

Koristeci kontravarijantni cetverovektor

pµ ≡(E

c, ~p

)= (p0, p1, p2, p3) (41)

dobivamo:

pµ → pµ = i~∂

∂xµ= i~ ∂µ (42)

12


Relativisticka energija slobodne cestice je data sljedecim izrazom:

E2 = ~p2c2 + m2c4 (43)

pa je invarijantni skalarni proizvod cetverovektora impulsa:

pµpµ =E2

c2 − ~p2 = m2c4 (44)

Na osnovu principa korespondencije i formule za relativisticku energiju imamo:

i~∂

∂tψ =

√−~2c2~∇2 + m2c4 ψ (45)

Nakon što (45) kvadriramo i primijenimo princip korespondencije, dobivamoKlein-Gordonovu jednacinu:

−~2 ∂2

∂t2ψ = (−~2c24 + m2c4)ψ (46)

Ovo možemo napisati u kompaktnijem obliku:

(n2∂µ∂µ + 1)ψ = 0 (47)

pri cemu je

n =~

mc(48)

S obzirom da je D’Alembertov operator

≡ ∂µ∂µ (49)

Lorentz invarijantan, slijedi i da je Klein-Gordonova jednacina Lorentz invari-jantna:

(n2 + 1)ψ = 0 (50)

odnosno u prirodnom sistemu jedinica:

( + m2)ψ = 0 . (51)

Za kompleksno skalarno polje, Lagranžijan je:

L = (∂µφ)†∂µφ − m2φ†φ (52)

pa na osnovu Euler-Lagrangeove jednacine kretanja

13


∂µ∂L

∂(∂µφ∗)−∂L

∂φ∗= 0 (53)

imamo:

( + m2) φ = 0 (54a)

( + m2) φ∗ = 0 . (54b)

Kako je φ kompleksno polje, može se napisati na sljedeci nacin:

φ =φ1 + i φ2√

2(55)

odnosno

φ† φ =12

(φ1 + i φ2)(φ1 − i φ2) (56)

pri cemu su φ1 i φ2 dva realna polja od kojih svako ima samo jedan stepen slobode.Lako se pokaže da je:

L =

2∑i=1

(12∂µφi∂

µφi −12

m2φiφi

). (57)

Dakle, φ1 i φ2 imaju istu masu.

1.1.5 Nosioci interakcija

Kako je Standardni Model baziran na direktnom proizvodu SU(3) × SU(2) ×U(1),invarijantnost gustoce Lagranžijana zahtijeva uvodenje kovarijantnih izvoda:

∂µ → Dµ = ∂µ − igYAµ − ig′[Ta]d1 Ba=1,2,3µ − igs[λb]d2gb=1,...,8

µ (58)

U ovoj formuli Aµ, Baµ i gb

µ su gauge polja pri cemu kao što smo ranije naveli,jednom linearnom kombinacijom Aµ i B3

µ dobivamo foton, a drugom Z bozon,dok linearna kombinacija B1

µ i B2µ daje W+ i W− bozone. Dalje imamo λb što bi

odgovaralo Gell-Mannovim matricama za slucaj kada su kvarkovi tripleti boje; ina kraju imamo d1 i d2 koji odgovaraju dimenzijama reprezentacija u kojima senalaze stanja na koja djeluju Dµ i Dµ unutar grupe SU(2) i SU(3), redom; dok sugbµ bezmasivni gluoni.

14

2. Leptokvarkovi

2 Leptokvarkovi

Leptokvarkovi su obojeni tripleti (SU(3)-obojene cestice) koje istovremeno nosenetrivijalan i barionski (B) i leptonski (L) broj, odnosno brojeve razlicite od nule.To su bozoni koji se transformišu u odnosu na spinsku reprezentaciju j = 0 ilij = 1, dakle cestice sa spinom 0 ili 1, zavisno od toga da li se radi o skalarnim ilivektorskim leptokvarkovima. U ovom radu bavit cemo se samo skalarnim. Nji-hovo postojanje je predvideno razlicitim modelima (Pati-Salam [10], SU(5) [11],SO(10) [12] itd.). U takvim modelima, mase leptokvarkova su opcenito jako ve-like, pa ih je zbog toga jako teško, skoro nemoguce, direktno eksperimentalnouociti, opaziti. Oni mogu nastati npr. u pp (proton-antiproton) sudarima putemjake interakcije preko gg (gluon-gluon) fuzije ili preko qq (kvark-antikvark) ani-hilacije. No, proizvodnjom i raspadom leptokvarkova bavit cemo se u cetvrtompoglavlju.

Kvantne brojeve leptokvarkova dobivamo na osnovu kvantnih brojeva cesticaStandardnog Modela. U uvodu smo vidjeli da u Standardnom Modelu imamo dvatipa cestica: leptone i kvarkove. Cestice koje cemo mi proucavati ce simultanomedudjelovati i sa leptonima i sa kvarkovima pa otuda i naziv — leptokvarkovi.

U Standardnom Modelu, leptonski broj L7 je ocuvan. Zbog toga je najlakšilepton stabilan (neutrino). Zbog toga ce takode i elektron (najlakši nabijeni lepton)biti stabilan. Kako je barionski broj B8 ocuvan slijedi da je najlakši barion stabilan(proton). Npr., ako pogledamo β-raspad [5], vidjecemo ocuvanje leptonskog ibarionskog broja.

Pogledajmo širinu β-raspada:

Γ ∼(gg′)2

(M2W)2·

(m2i − m2

f )4

m3i

(59)

pri cemu je mi masa neutrona, a m f masa protona.

Velicina

(gg′)2

(M2W)2

= G2F ∼ 10−8 GeV−4 (60)

odgovara brzini raspada za taj proces (vidjeti Sliku 2).

7Za leptone iznosi +1 a za njihove anticestice −1.8Za kvarkove iznosi +1/3 a za antikvarkove −1/3.

15

2. Leptokvarkovi

Tablica 1: Kvantni brojevi leptona i kvarkova preko simetrije SU(3)×SU(2)×U(1)KVARKOVI

NAZIV OZNAKA SU(3) SU(2) U(1)ljevoruki u kvark uL 3 2 +1

6desnoruki u antikvark uc

L 3 2 −16

desnoruki u kvark uR 3 1 +23

ljevoruki u antikvark ucR 3 1 −2

3ljevoruki d kvark dL 3 2 +1

6desnoruki d antikvark dc

L 3 2 −16

desnoruki d kvark dR 3 1 −13

ljevoruki d antikvark dcR 3 1 +1

3LEPTONI

NAZIV OZNAKA SU(3) SU(2) U(1)ljevoruki elektron eL 1 2 −1

2ljevoruki pozitron ec

L 1 2 +12

desnoruki elektron eR 1 1 −1desnoruki pozitron ec

R 1 1 +1ljevoruki neutrino νL 1 2 −1

2desnoruki antineutrino νc

R 1 2 +12

Vratimo se sada kvatnim brojevima leptona i kvarkova iz Tablice 1 na os-novu kojih možemo napraviti sve moguce kombinacije miješanja (jer u konac-nici leptokvark je ono što daje lepton i kvark) i vidjeti šta cemo dobiti. Kombi-nacije su date u Tablici 2 pri cemu smo vodili racuna samo o proizvodu unutarSU(3) × SU(2) ×U(1) prostora, dok je u potpunosti zanemarena Lorentzova struk-tura.

Medu ove 34 moguce kombinacije, samo su neke od njih zaista leptokvar-kovi. Prije svega možemo uociti ponavljanje nekih kombinacija kvantnih brojeva.Dakle, tu se radi o jednoj te istoj cestici, odnosno mogucem leptokvarku, samodobivenom na više nacina. Dalje, možemo uociti kombinacije kvantnih brojevakoje su jedna drugoj kompleksno konjugovane kao npr. 27 i 33. I to cemo posma-trati kao jednu cesticu, s tim da možemo dobiti i njoj kompleksno konjugovanu.U daljem radu cemo uzimati u obzir samo jednu od te dvije. E sada, glavno jepitanje koje od ovih kombinacija jesu leptokvarkovi a koje ne? Odgovor slijedina osnovu pravila Standardnog Modela. Izdvajamo kombinacije pod rednim bro-jevima 1., 2., 6., 7., 10., 11., 12., 14., 15., 16., 17., 20., 21., 23., 26., 27., 29. i33. Dobili smo 18 kombinacija, medutim, neke od njih se ponavljaju, ili su pak

16

2. Leptokvarkovi

Tablica 2: Sve moguce kombinacije miješanja kvarkova i leptonaKvantni brojevi potencijalnih leptokvarkova

R.br. Kvark-Lepton SU(3) SU(2) U(1)1. uL eL 3 1 +1

32. uL eL 3 3 +1

33. uL ec

L 3 1 −23

4. uL ecL 3 3 −2

35. uL eR 3 2 +5

66. uL ec

R 3 2 −76

7. uL νcR 3 3 −2

37a. uL ν

cR 3 1 −2

38. uc

L eL 3 3 +23

9. ucL eL 3 1 +2

310. uc

L ecL 3 3 +2

311. uc

L ecL 3 1 +2

312. uc

L eR 3 2 +76

13. ucL ec

R 3 2 −56

14. ucL ν

cR 3 3 −1

314a. uc

L νcR 3 1 −1

315. uR eL 3 2 −1

616. uR ec

L 3 2 −76

17. uR eR 3 1 +13

18. uR ecR 3 1 −5

319. uR ν

cR 3 2 −7

620. uc

R eL 3 2 +76

21. ucR ec

L 3 2 +16

22. ucR eR 3 1 +5

323. uc

R ecR 3 1 −1

324. uc

R νcR 3 2 +1

625. dR eL 3 2 +5

626. dR ec

L 3 2 −16

27. dR eR 3 1 +43

28. dR ecR 3 1 +2

329. dR ν

cR 3 2 −1

630. dc

R eL 3 2 +56

31. dcR ec

L 3 2 −56

32. dcR eR 3 1 −2

333. dc

R ecR 3 1 −4

3

17

2. Leptokvarkovi

Tablica 3: LeptokvarkoviKoji vode ka protonskom raspadu Koji ne vode ka protonskom raspaduSU(3) SU(2) U(1) SU(3) SU(2) U(1)3 1 1

3 3 2 16

3 3 13 3 2 7

63 1 4

3

Slika 2: Beta raspad

jedna drugoj konjugovano kompleksne. Stoga brojku od 18 svodimo na brojkuod 5 razlicitih kombinacija, pri cemu tih pet kombinacija razvrstavamo tako dadobijemo “prave” leptokvarkove (one koji nece dovesti do raspada protona) i onekoji ce dovesti do raspada protona. Možemo ih predstaviti u Tablici 3.

U nastavku ovog rada bavit cemo se samo ovim “pravim” leptokvarkovima, dakleonim koji ne daju protonski raspad, jer su oni koji vode ka protonskom raspadu“opasni”. Šta želimo reci? Znamo da su atomi, dakle materija, gradeni od protona(i neutrona). Ako se raspada proton, raspada se atom — raspada se materija. Tuleži opasnost. E sada, u kakvoj je vezi to sa leptokvarkovima? Pa jedan od nacinaraspada protona je putem medijacije leptokvarkova. Naime, ako su leptokvarkovidovoljno lagani, mase MS , i imaju dovoljno jaku interakciju sa leptonima i kvar-kovima (konstante medudjelovanja su λ i λ

′

, redom), tada može doci do raspadaprotona. Amplituda vjerovatnoce da ce doci do protonskog raspada na leptok-varkove je obrnuto proporcionalna kvadratu mase leptokvarkova. Dakle, što jeveca masa leptokvarkova, manja je vjerovatnoca da ce se proton raspasti. Dalje,amplituda je proporcionalna kvadratu brzine raspada protona, odnosno obrnutoproporcionalna vremenu života protona. Na osnovu ovih odnosa, možemo dobitidonji limit za masu leptokvarkova. Npr. neka je Yukawa interakcija leptokvarka

18

2. Leptokvarkovi

sa dva kvarkom data sa λ, a interakcija izmedu leptokvarka i leptona i kvarka datasa λ

′

, tada je amplituda za dati raspad data sa:

A ∝λλ

′

M2s

(61)

Dalje imamo:

Γ ∼(λλ

′

)2

M4s

m5p (62)

τ ∝M4

s

(λλ′)2m5p

(63)

gdje τ predstavlja vrijeme života protona. Treba obratiti pažnju da jednacina (61)vodi ka jednacini (58) za m f → 0. Eksperimentalna donja granica na vrijemeživota protona za neke moguce kanale raspada glasi:

p −→ π0e+ τexp > 1.3 × 1034 years [13]p −→ π0µ+ τexp > 1.1 × 1034 years [13] (64)

Kako nas interesuje limit na masu leptokvarkova, trebamo pretpostaviti nekuocekivanu vrijednost za λ i λ

′

. Standardni Model kaže da je uobicajena vrijednostYukawa konstanti medudjelovanja negdje izmedu 1 i 10−9 jer su to vrijednosti kojesu vec eksperimentalno ustanovljene. Npr. vec smo rekli da je masa fermiona datasa:

mF = YFv√

2(65)

gdje je v = 246 GeV [14] eksperimentalno izmjerena vrijednost na osnovu masaW± i Z bozona. Kako je mt=171.2 GeV, mτ=1.777 GeV, mµ=105.7 GeV i me=0.511GeV [14], dobivamo sljedece vrijednosti Yukawa konstanti koje su date u Tablici4.

Zbog toga cemo uzeti iste vrijednosti za λ i λ′

navedene u Tablici 4, da bi-smo generisali eksperimentalne granice za mase leptokvarkova. Uporedivanjemeksperimentalnih granica (Yukawa konstanti) i predvidenog vremena života, do-bivamo limit na omjer konstanti medudjelovanja λ i λ

′

i mase leptokvarkova MS ,dat u Tablici 5.

19

2. Leptokvarkovi

Tablica 4: Yukava konstante za mase fermionamF YF

mt ∼ 1mτ ∼ 10−2

mµ ∼ 10−4

me ∼ 10−6

Tablica 5: Donja granica za masu leptokvarkovaλ = λ

′

Ms(GeV)τ > 1.3 × 1034god τ > 1.1 × 1034god

1 > 4.6 × 1015 > 4.4 × 1015

10−3 > 4.6 × 1012 > 4.4 × 1012

10−6 > 4.6 × 109 > 4.4 × 109

Kod procesa protonskog raspada kroz razmjenu leptokvarkova, barionski i lep-tonski broj nisu ocuvani:

Slika 3: Protonski raspad

Naime, ako pogledamo lijevu stranu, vidimo 3 kvarka od kojih svaki ima ba-rionski broj B = 1

3 pa je ukupni barionski broj lijeve strane B = 1. Leptonski broj,s obzirom da nema leptona iznosi L = 0. Pogledajmo desnu stranu. Kako imamokvark i antikvark, njihovi barionski brojevi ce se poništiti i ukupni barionski brojza desnu stranu iznosi B = 0. Što se tice leptona, imamo pozitron ciji je leptonskibroj -1 pa je ukupni leptonski broj za desnu stranu L = −1. Dakle, vidimo da ba-rionski i leptonski broj nisu sacuvani. Ali otkrivamo nešto drugo. To je ocuvanjerazlike barionskog i leptonskog broja: B − L.

20

2. Leptokvarkovi

Bi − Li = 1 − 0 = 1 = B f − L f = 0 − (−1) = 1 (66)

Vec smo nešto ranije izracunali konstantu GF koja je odredivala brzinu raspadaneutrona. Sada cemo probati da odredimo analognu konstantu GLQ za protonskiraspad:

G2LQ =

(λλ′

)2

M4LQ

. 10−60 GeV−4 (67)

Kod β-raspada, jacina medudjelovanja sa fermionima i masa W bozona dajubrzinu raspada. No, kod protonskog raspada GLQ mora biti jako mali (manji od10−30 GeV−2) da se proton ne bi raspao. Upravo zbog ovoga bi bilo jako teškoproizvesti odnosno eksperimentalno uociti leptokvarkove koji nastaju na ovaj na-cin. Naime, ili su leptokvarkovi preteški da se uopšte proizvedu (E2 = m2), ilinemaju interakcija sa materijom (λ i λ

′

su mali). Stoga cemo se baviti slucajemleptokvarkova koji su manje opasni (nema opasnosti od raspada materije, odnosnokonstitutivnih elemenata koji je izgraduju) i veca je vjerovatnoca da cemo ih vi-djeti u sudaracima cestica.

Nakon što smo na osnovu leptona i kvarkova, tacnije njihovih kvatnih brojeva,našli leptokvarkove, tj. njihove kvantne brojeve i na osnovu toga ih podijelili uone koji nastaju jednim odnosno drugim putem, prelazimo na iduce poglavlje, ato je Proizvodnja i raspad leptokvarkova.

21

3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova

3 Proizvodnja i raspad leptokvarkovaSuština ovog rada je upravo nacin proizvodnje leptokvarkova, ono prema cemutragamo za leptokvarkovima kao cesticama nove fizike; i raspad leptokvarkova,ono po cemu cemo znati da je ono što je detektor zabilježio upravo leptokvark zacijim dokazom postojanja tragamo.

3.1 Proizvodnja leptokvarkovaU ovom dijelu cemo govoriti o procesima na hadronskom i partonskom nivou.Hadronski nivo podrazumijeva interakcije izmedu hadrona, tj. protona, neutronai drugih cestica sa podstrukturom, dok partonski nivo podrazumijeva interakcijeizmedu gradivnih elemenata hadrona. To znaci da se proton, koji je hadron, sas-toji od smjese kvarkova i gluona koji su partoni, pa kada govorimo o procesimaizmedu kvarkova i gluona, govorimo o partonskom nivou.

Postoje dva nacina proizvodnje leptokvarkova:

• proizvodnja para leptokvarkova i• proizvodnja pojedinacnih leptokvarkova.

Proces proizvodnje pojedinacnih leptokvarkova je prisutan u hadronskim su-daracima, a izgleda ovako:

g + q→ LQ + l (68)

Slika 4: Proizvodnja jednog leptokvarka

Procesi proizvodnje parova leptokvarkova na partonskom nivou izgledaju ovako:

q + q→ LQ + LQ (Tevatron, LHC) (69a)

g + g→ LQ + LQ (Tevatron, LHC) (69b)e + q→ LQ (HERA) (69c)

22

3.1 Proizvodnja leptokvarkova 3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova

Slika 5: Proizvodnja para leptokvarkova

U ovom dijelu rada se bavimo proizvodnjom para leptokvarkova, tj. eksperimen-tima i procesima koji se dešavaju u Tevatronu i LHC-u.

U LHC-u imamo pp (proton-proton) sudare i pri ovakvim sudarima, leptok-varkovi nastaju putem anihilacije kvarka i antikvarka (68a) i gluon-gluon fuzije(68b), sa poprecnim presjekom koji zavisi od konstante jakog medudjelovanja αs,ali koji je skoro pa nezavisan od λ.

Zbog prirode pp sudara (suprotnih pp sudarima u Tevatronu), gg fuzija pred-stavlja dominantan proces za proizvodnju para skalarnih leptokvarkova u LHC-uza male mase leptokvarkova (<1.5 TeV).Dakle, dva procesa koja želimo analizirati su procesi (68a) i (68b), a poprecnipresjeci za ove procese u najnižem redu9 (Lowest Order) izgledaju ovako:

σLO[qq→ LQ + LQ] =2α2

sπ

27sβ3 (70)

σLO[gg→ LQ + LQ] =α2

sπ

96s

[β(41 − 31β2) + (18β2 − β4 − 17)log

1 + β

1 − β

].

Bitno je reci da poprecni presjek kod proizvodnje para leptokvarkova zavisiod konstanti medudjelovanja izmedu gluona i leptokvarkova. Upravo ta medudje-lovanja su odredena gauge simetrijama skalarne kvantne-hromodinamike (QCD),pa pri predvidanju produkcije para leptokvarkova možemo zanemariti Yukawakonstante medudjelovanja [20,21]. S druge strane, proizvodnja pojedinacnih le-pokvarkova ukljucuje dijagrame koji zavise od nepoznatih novih konstanti medu-djelovanja baziranih na LQ-l-q verteksu. Zbog toga se u ovom radu bavimo samo

9Kvantno-mehanicki proracun najniži red (LO) u ovom smislu predstavlja prvi clan u razvojuu red kvantno-mehanickog procesa po λs. Takode, moguce je uzeti korekcije na najniži red kaošto su NLO (next-to-leading order), NNLO (next-to-next-to-leading order) itd.

23


produkcijom para leptokvarkova.

3.1.1 Poprecni presjek na partonskom nivou zaσLO[qq→ LQ + LQ]

U ovom dijelu izvodimo formulu za poprecni presjek σLO na partonskom nivouza proces qq→ LQ + LQ, koji glasi:


sπ

27sβ3 (71)

gdje je

β ≡√

1 − 4M2LQ/s i

√s = ECM (energija centra mase) .

Proces izgleda ovako:

Slika 6: Proces nastanka para leptokvarkova na partonskom nivou

gdje su i, i′

, j, j′

= 1, 2, 3 indeksi boje.

Potrebno je najprije naci amplitudu za proces q + q→ LQ + LQ.

24


Kvadrat amplitude

|M (pA, pB → p f ) |2 (72)

može se predstaviti ovom slikom

Slika 7: Prikaz impulsa koji doprinose vrijednosti amplitude

Tada je:

iM = −g2sv

s′

(p+)γµtcii′u

s(p)−iδca

k23

(k1 − k2)µtaj j′ . (73)

Ovdje treba prepoznati da je k3 = −k1 − k2. Dalje sumiramo po svim pocetnimspinovima:

12·

12

∑s,s′

(iM(−iM∗

)) ≡14

∑s.s′|M|2 ≡ |M(pA, pB → p f )|2 = |M|2 (74)

što je dalje jednako:

25


=14

∑s,s′

(−g2

s vs′

(p+)γµtcii′u

s(p)−iδca

k23

(k1 − k2)µtaj j′

)·

(−g2

s vs′

(p+)γνtdii′u

s(p)−iδdb

k23

(k1 − k2)νtbj j′

)∗=

=14

∑s,s′

(+g2

s vs′

(p+)γµtcii′u

s(p)−iδca

k23

(k1 − k2)µtaj j′ ·

· g2su

s(p)γνtdii′v

s′

(p+)+iδdb

k23

(k1 − k2)νtb∗j j′

)=

14

g2sTr

[/p+γµtc

ii′ (k1 − k2)µδcataj j′ /pγνt

d∗ii′ δ

db(k1 − k2)νtb∗j j′

] 1k4

3

. (75)

S obzirom da vrijedi da je (ta) = (ta)+ za SU(N), možemo dalje pisati:

=14

g4sTr

[/p+γµ/pγν

]tcii′ t

cj j′ (k1 − k2)µtd

ii′ tdj j′ (k1 − k2)ν

1k4

3

= pδ+ pγTr[γδγµγγγν]

= pδ+ pγ[4(gδµgγν − gδγgµν + gδνgµγ)

]. (76)

Iz ovoga slijedi da je:

|M|2 =14

g4s · 4

[pµ+(k1 − k2)µpν(k1 − k2)ν − pγ+ pγ(k1 − k2)(k1 − k2)+

+pµ+(k1 − k2)µpν(k1 − k2)ν] 1

k23

(tc)ii′ (td)ii′ (t

c) j j′ (td) j j′ . (77)

Sada smo došli do dijela gdje je potrebno izvršiti usrednjavanje po kvantnombroju boje pocetnog i krajnjeg stanja, tj. potrebno je izracunati ovaj dio izrazaiznad:


c) j j′ (td) j j′ . (78)

Usrednjavanjem dobivamo:

26



c) j j′ (td) j j′ =

13·

13·

∑i,i′ , j, j′

(tc)(td)(tc)(td)

=19

Tr[tctd

]Tr

[tctd

]=

19

[C(r)]2 δcdδcd

=19

(12

)2

· 8 =29

. (79)

Dobiveni rezultat uvrštavamo u izraz za kvadrat amplitude:

|M|2 =29

g4s

[2p+(k1 − k2)p · (k1 − k2) − p+ · p(k1 − k2)2

(k23)2

](80)

pri cemu se g4s može izraziti preko konstante jakog medudjelovanja αs:

αs =g4

s

4π. (81)

Da bismo nastavili dalje sa izvodenjem izraza za kvadrat amplitude, potrebno jerazjasniti brojnik razlomka u zagradi u posljednjem dobivenom izrazu za kvadratamplitude. Naime, pµ+ i pµ predstavljaju cetveroimpulse bezmasivnih kvarkova:

pµ+ ≡(|~p+|, ~p+

)(82a)

pµ ≡(|~p+|,−~p+

)(82b)

dok cetveroimpulsi kµ1 i kµ2 izgledaju ovako:

kµ1 ≡(k0

1,~k1

)(83a)

kµ2 ≡(k0

1,−~k1

). (83b)

Na osnovu prethodnih jednacina, možemo pisati da je:

pµ+ · pµ = |~p+|2 + |~p+|

2 = 2|~p+|2 (84)

(k1 − k2)µ(k1 − k2)µ = (2~k1) · (−2~k1) = −4|~k1|2 (85)

i

pµ+(k1 − k2)µ = −2~p+ · ~k1 (86)

pµ(k1 − k2)µ = 2~p+ · ~k1 . (87)

27


Uvrštavajuci dobivene rezultate u brojnik razlomka u izrazu za kvadrat ampli-tude, imamo:

2p+(k1 − k2)p · (k1 − k2) − p+ · p(k1 − k2)2

= −4|~p+|2|~k1|

2 cos2 θ + 2|~p+|24|~k1|

2

≡ 8|~k1|2|~p+|

2(1 − cos2 θ) (88)

pa kvadrat amplitude postaje:

|M|2 =29α2

s(4π)2 ·8|~k1|

2|~p+|2(1 − cos2 θ)

24|k01|

4. (89)

Sada kada imamo poznat kvadrat amplitude, diferencijalni poprecni presjekizgleda ovako:

dσLO =1

2EA2EB|vA − vB||M(pA pB → p f )|2 ×

×

∏f

d3 p f

(2π)3 ·1

E f

(2π)4 · δ(4) (pA + pB →∑

p f ) . (90)

Za slucaj konacnog stanja u kojem imamo dvije cestice, Lorentz-invarijantnifazni prostor poprima jednostavniji oblik:

∏f

d3 p f

(2π)3 ·1

E f

(2π)4 · δ(4) (pA + pB →∑

p f ) =

∫dΩCM

4π·

18π·

2|~k1|

ECM

(91)

U našem slucaju je |vA − vB| = 2, a za energiju i impuls imamo:

EA =ECM

2= EB = |k0

1| = |~p+| i (92)

|~k1| =

√(ECM

2

)2

− M2LQ =

(ECM

2

) √1 −

4M2LQ

E2CM

. (93)

Dalje možemo pisati:

28


dσLO

dΩCM=

12 ECM

2 2 ECM2 2·

14π·

18π·

2|~k1|

ECM·

·29α2

s (4π)2 8|~k1|2

24|k01|

4· |~p+|

2(1 − cos2 θ)

=1

E2CM 2 · 8π

·2 · 2 · (4π) · 8 |~k1|

3(

ECM2

)2(1 − cos2 θ)

ECM 24(

ECM2

)2

α2s

9

=4|~k1|

3(1 − cos2 θ)

2 · 24 ECM

(ECM

2

)4

α2

9

=

4(

ECM2

)3[1 −

4M2LQ

E2CM

]3/2(1 − cos2 θ)α2

s

2 · 9 · ECM

(ECM

2

)424

=

4α2s

[1 −

4M2LQ

E2CM

]3/2(1 − cos2 θ)

2 · 9 E2CM 24

· 2

=19α2

s

[1 −

4M2LQ

E2CM

]3/2(1 − cos2 θ)

22 ECM. (94)

Sada konacno dobivamo poprecni presjek:

σLO =19α2

s

[1 −

4M2LQ

E2CM

]3/2

22 ECM

∫ 2π

0dφ

∫ π

0sin θ dθ (1 − cos2 θ)

=19α2

s

[1 −

4M2LQ

E2CM

]3/2

22 ECM2π ·

[− cos θ +

cos3 θ

3

]|π0

=19α2

s

[1 −

4M2LQ

E2CM

]3/2

22 ECM2π

[2 −

23

]=

2π27

α2s

E2CM

1 − 4M2LQ

E2CM

3/2

. (95)

29


3.1.2 Prelazak sa partonskog poprecnog presjeka na hadronski poprecnipresjek

Naš cilj u ovom poglavlju je izracunati (izvršiti predikciju) broj(a) leptokvarkovakoji bi se mogli proizvesti u CERN-u (LHC-u) 2014. godine. Da bismo to ura-dili, potreban nam je poprecni presjek, ali na hadronskom nivou, dakle na nivouprotona. Znamo da se u LHC-u dešavaju pp sudari, da su dva procesa pri kojimanastaju parovi leptokvarkova procesi izraženi formulama (68a) i (68b). Znamo ta-kode i izraze za poprecne presjeke ova dva procesa (na partonskom nivou). Sadaje potrebno preci sa poprecnog presjeka na partonskom nivou na poprecni presjekna hadronskom nivou.

Na slici 7 je prikazan proces koji se odvija. Veliki zeleni krug predstavlja proton,a mali žuti krug unutar velikog zelenog predstavlja konstituent hadrona na parton-skom nivou (kvark, antikvark ili gluon). Malim slovom p je oznacen impuls napartonskom nivou, a velikim slovom P je oznacen impuls protona. Impuls gra-divne cestice predstavlja dio ukupnog impulsa protona i to možemo zapisati nasljedeci nacin:

p1 = x1 P1

p2 = x2 P2 . (96)

Slika 8: Proces na hadronskom i partonskom nivou

Sada je energija centra mase:

30


s = (p1 + p2)2 = 2p1 p2 = 2x1x2P1P2 (97)

odnosno, to možemo i ovako zapisati:

s = x1x2s0 (98)

na osnovu cega uvodimo novu varijablu Z:

ss0

= x1x2 ≡ Z (99)

pomocu koje možemo izraziti masu ucesnika u procesu:

M2 = s = Zso . (100)

Nakon što smo uveli novu varijablu koja zamjenjuje proizvod x1 i x2, uvodimoi još jednu varijablu (Y) pomocu koje izražavamo kolicnik x1 i x2. Dvije novevarijable koje smo uveli, izgledaju ovako:

Z = x1x2 (101)

e2Y =x1

x2(102)

a x1 i x2 izraženi preko novih varijabli izgledaju ovako:

x1 =√

ZeY (103)x2 =

√Ze−Y . (104)

Prelazak sa jednih promjenljivih na druge se vrši pomocu Jakobijana:

dZdY =

∣∣∣∣∣ ∂(Z,Y)∂(x1, x2)

∣∣∣∣∣ dx1dx2 (105)

odnosno, Jakobijan izgleda ovako:

∂(Z,Y)∂(x1, x2)

=

∣∣∣∣∣∣ x2 x11

2x1

−12x2

∣∣∣∣∣∣ . (106)

Neka su sada cestice koje ucestvuju u sudaru na hadronskom nivou (npr. pro-toni) A i B, a cestice na partonskom nivou kao konstituenti hadrona — a i b (kvar-kovi, antikvarkovi ili gluoni). Da bismo proveli racun za prelazak sa partonskog na

31


hadronski poprecni presjek, potrebno je koristiti PDF-ove [14]. PDF-ovi (PartonDistribution Functions) su gustoce vjerovatnosti nalaženja cestice na partonskomnivou koja nosi od ukupnog impulsa hadrona tek x-ti dio, a pri kvadratu energetskeskale koji oznacavamo sa Q2. Bitno je reci da setovi PDF-ova nisu fiksni, daklemijenjaju se, odnosno unapreduju i to u zadnjih 30 godina. Eksperimentalno seutvrduju i time se bave kolaboracije širom svijeta kao npr. kolaboracije u HERA-i,DESY-ju itd.

PDF za cesticu a na partonskom nivou unutar hadrona A npr. oznacava se sa :fa/A. Sada izraz za poprecni presjek na hadronskom nivou izgleda ovako:

σAB =

∫dx1dx2 f1/A(x1) f2/B(x2)σpar (107)

pri cemu σpar oznacava poprecni presjek na partonskom nivou.

Neka su sada q i q redom oznake za cestice a i b u hadronima A i B. Na-kon prelaska na nove koordinate uz pomoc jakobijana, sada poprecni presjek nahadronskom nivou izgleda ovako:

σAB =

∫ 1

Z0

∫ − 12 ln Z

12 ln Z

dZdY fq(√

ZeY) fq (√

Ze−Y)σ(Zs0) (108)

odnosno

σhadronic =

∫ 1

Z0

dZ σ (Zs0) ·∫ − 1

2 ln Z

12 ln Z

Y fq(√

ZeY) fq (√

Ze−Y) . (109)

Dakle, proracunom ovih integrala dobice se totalni poprecni presjek.

32

3.2 Raspad leptokvarkova 3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova

3.2 Raspad leptokvarkova

Nakon nastanka leptokvarka, dolazi do njegovog raspada. Leptokvark se po pret-postavci ako je Yukawa konstanta medudjelovanja dovoljno velika, treba trenutnoraspada na kvark i lepton i ono po cemu dolazimo do zakljucka da je prvobitnodošlo do nastanka leptokvarka je upravo njegov raspad, odnosno trag cestica nas-talih njegovim raspadom. Poznato je svojstvo “asimptotske slobode” za kvarkove,pa zbog toga kvark ne može postojati samostalno. Šta to znaci? Znaci da ne mo-žemo uociti samostalan kvark, vec vidimo jet-ove kvarkova (mlazeve kvarkova),jer kvark se automatski veže sa nastalim antikvarkom ili druga dva kvarka odgo-vorajuceg naboja boje. Mlazevi kvarkova se identifikuju na osnovu velike kolicineenergije koja se deponuje u kalorimetru. Kad je rijec o drugoj cestici koja nastajeraspadom leptokvarka, rekli smo da se radi o leptonu (elektronu ili neutrinu). Akoje upitanju elektron, njega identifikujemo na osnovu prisustva izolovane trake ukomori za pracenje, i deponovane energije u elektromagnetnom dijelu kalorime-tra. Neutrini, s druge strane, kao slabointereagujuce cestice, odlaze iz detektora,noseci energiju sa sobom. Na osnovu zakona održanja impulsa i energije možemopretpostaviti da se radi o neutrinu. Ako impuls u krajnjem stanju nije ocuvan,tj. ako postoji velika transferzalna komponenta impulsa, tada znamo da je meduizlaznim komponentama raspada bio i neutrino [19].

S obzirom da su leptokvarkovi još uvijek hipotetske cestice, dakle eksperi-mentalno nisu potvrdene, u ovom dijelu cemo predstaviti teorijske predikcije zanjihovu proizvodnju .

Teoretsko ocekivanje broja cestica nam daje sljedeca relacija:

N = I · σ · t (110)

pri cemu je

N = broj cesticaI = intenzitet koji predstavlja broj cestica po površini i po vremenuσ = poprecni presjekt = vrijeme.

U praksi relacija (110) glasi:

N =

∫I(t)σ dt . (111)

33


Ovdje cemo provesti racun za ovaj proces:

Slika 9: Proces raspada leptokvarka na partonskom nivou

Dalje razmatramo slucaj raspada leptokvarka ciji su kvantni brojevi (3, 2, 16 )

(to znaci da je triplet od SU(3), dublet od SU(2) i ima hipernaboj Y koji iznosi 16 ).

Vidimo da se radi o procesu u kojem se leptokvark raspada na lepton i na donjikvark. Kad kažemo lepton, znaci da možemo razmatrati raspad ili u elektron iliu neutrino, a kada kažemo donji kvark, to govori da drugi produkt raspada možebiti ili donji d kvark, ili cudni (strange, eng.) s kvark ili b (botom, eng.) kvark.U nastavku cemo vršiti racun za opci slucaj raspada leptokvarka mase mA u dvijecestice 1 i 2, dakle za neke opce mase m1 i m2.

Lagranžijan je propocionalan sljedecem:

L ∝ Yi jLiPRd jφ∗LQ

= Yi jLLidR jφ∗LQ

= Yi j

(eLidR jφ

∗LQ + νeLidR jφ

∗LQ

).

pri cemu leptonski i leptokvarkovski dubleti glase:

Li =

(νei

ei

)iφLQ =

(φ1

φ2

)(112)

sa nabojima leptokvarkovskog dubleta koji iznose φ1 = 23 i φ2 = 1

3 .

dΓ =1

2mA

∏f =1,2

d3 p f

(2π)3

12E f

∣∣∣M(mA → p f )∣∣∣2 × (2π)4δ(4)(pA −

∑f

p f ). (113)

34


Dalje je kvadrat amplitude iz formule (113) jednak:

∣∣∣M(mA → p f )∣∣∣2 =

14

∑s,s′|M|

2 =14

∑s,s′

Yi jvi(1 − γ5)i ju j (Ylkvl(1 − γ5)lkuk)† (114)

a znamo da je:

(v (1 − γ5)u)† = u†(1 − γ5)†γ0†v = u†γ0(1 + γ5) v = u (1 + γ5) v (115)

pa je konacno kvadrat amplitude jednak:

=14

∑s

∑s′

Yi jvi(1 − γ5)i ju jY∗lkuk(1 + γ5)klvl

=14

Tr[(/p1 − m1)li(1 − γ5)i j(/p2 + m2) jk(1 + γ5)kl

]=

14

Tr[(/p1 − /p1γ5 − m1 + m1γ5) (/p2 + /p2γ5 + m2 + m2γ5)

]=

14

Tr[/p1/p2 − /p1γ5/p2γ5

]=

14

Tr[/p1/p2 + /p1/p2γ5γ5

]=

14

Tr[/p1/p2 + /p1/p2

]=

14

Tr[2 /p1/p2

]=

12

Tr[γµp1µγ

νp2ν

]=

12

p1µp2νTr[γµγν

]=

12

p1µp2νTr[12γµγν +

12γνγµ

]=

12

p1µp2νTr[2gµν1l

]=

12

p1µp2νTr[gµν1l

]=

12

p1µp2νgµνTr [1l]

= 2 p1 · p2 . (116)

Dakle, sada je kvadrat amplitude:

35


∣∣∣M(mA → p f )∣∣∣2 = 2 p1 · p2 (117)

što dalje daje:

dΓ =1

2mA

∏f =1,2

d3 p f

(2π)3

12E f

2 p1 · p2 (2π)4 δ(4) (pA −∑

f

p f ) (118)

pa integriranjem imamo:

Γ =

∫1

2mA

d3 p1

(2π)3

d3 p2

(2π)3

12E1

12E2

p1 · p2 (2π)4 δ(4) (pA − p1 − p2) (119)

pri cemu je:

pµA = (mA, ~0) (120a)pµ1 = (m1, ~p1) (120b)pµ2 = (m2, ~p2) (120c)

E1 =

√~p1

2+ m2

1 (120d)

E2 =

√~p2

2+ m2

2 . (120e)

Uvrštavanjem jednacina (120), jednacinu (119) cemo integrirati po p2 koris-teci osobinu delta funkcije:∫ +∞

−∞

f (x) δ(x − a) dx = f (a) . (121)

Sada (119) postaje:

Γ =1

mA

∫d3 p1

(2π)3

12E1

12E2

(E1, ~p1) · (E2,− ~p1) (2π) δ(mA − E1 − E2) (122)

s tim da (117e) nakon izvršenog integriranja po p2 postaje:

E2 =

√~p1

2+ m2

2 . (123)

Ovaj dio integrala:

12E1

12E2

(E1, ~p1) · (E2,− ~p1) δ(mA − E1 − E2)

36


izrazicemo samo preko velicina p1, p2, m1 i m2 i uvrstiti u pocetni integral padobivamo sljedece:

Γ =1

mA

∫d3 p1

(2π)3

√~p1

4+ ~p1

2(m21 + m2

2) + m21m2

2 + ~p12√

~p14

+ ~p12(m2

1 + m22) + m2

1m22

×

× (2π) δ(mA −

√~p1

2+ m2

1 −

√~p1

2+ m2

2

). (124)

Da bismo se oslobodili integrala, morat cemo d3 p1 drugacije napisati:

Γ =1

mA

∫ 4πp21dp1

(2π)2

√~p1

4+ ~p1

2(m21 + m2

2) + m21m2

2 + ~p12√

~p14

+ ~p12(m2

1 + m22) + m2

1m22

×

× δ

(mA −

√~p1

2+ m2

1 −

√~p1

2+ m2

2

). (125)

Opet cemo se poslužiti jednim svojstvom δ-funkcije radi lakšeg integriranja:

∫dx δ (g(x)) f (x) =

∑i

f (xi)|g′(xi)|

, xi → prosti korijeni od g(xi) (126)

U našem slucaju x je p1, pa je potrebno naci proste korijene od p1. Daljevidimo da je

g(x) =

(mA −

√~p1

2+ m2

1 −

√~p1

2+ m2

2

). (127)

Na osnovu (127), slijedi:

mA =

√~p1

2+ m2

1 +

√~p1

2+ m2

2 (128)

pa možemo poci od:

37


mA −

√~p1

2+ m2

1 =

√~p1

2+ m2

2

m2A − 2mA

√~p1

2+ m2

1 + ~p12

+ m21 = ~p1

2+ m2

2

m2A + m2

1 − m22 = 2mA

√~p1

2+ m2

1(m2

A + m21 − m2

2

2mA

)2

= ~p12

+ m21

(129)

i dobiti:

~p12

=

(m2

A + m21 − m2

2

2mA

)2

− m21 (130)

ili možemo poci od:

mA −

√~p1

2+ m2

2 =

√~p1

2+ m2

1

m2A − 2mA

√~p1

2+ m2

2 + ~p12

+ m22 = ~p1

2+ m2

1

m2A + m2

2 − m21 = 2mA

√~p1

2+ m2

2(m2

A + m22 − m2

1

2mA

)2

= ~p12

+ m22

(131)

i dobiti:

~p12

=

(m2

A + m22 − m2

1

2mA

)2

− m22 . (132)

Ako razvijemo (132), dobicemo:

p1 =

√(mA − m1 − m2)(mA − m1 + m2)(mA + m1 + m2)(mA + m1 − m2)

2mA(133)

Sada je potrebno naci prvi izvod:

38


∂

∂p1

(mA −

√p2

1 + m21 −

√p2

1 + m22

)= −2

12

2p1√p2

1 + m21

− 212

2p1√p2

1 + m22

= −2p1

1√p2

1 + m21

+1√

p21 + m2

2

Konacno imamo:

Γ =1

mA

p21

π

√p4

1 + p21(m2

1 + m22) + m2

1m22 + p2

1√p4

1 + p21(m2

1 + m22) + m2

1m22

12p1

√p4

1 + p21(m2

1 + m22) + m2

1m22√

p21 + m2

1 +

√p2

1 + m22

(134)Sredivanjem rezultata (134) dobivamo:

Γ =p1

2mAπ

√p4

1 + p21(m2

1 + m22) + m2

1m22 + p2

1√p2

1 + m21 +

√p2

1 + m22

=p1

2mAπ

√(p2

1 + m21)(p2

1 + m22) + p2

1√p2

1 + m21 +

√p2

1 + m22

. (135)

Sada cemo u drugi razlomak u (133) uvrstiti (126) i (128) pa imamo sljedecirezultat:

Γ = p12m4

A − 2m2A(m2

1 + m22) − m2

1m22

8πm4A

. (136)

Dalje za p1 uzimamo rezultat (130) i dolazimo do konacne formule:

Γ =

√m4

A + m41 + m4

2 − 2m21m2

A − 2m22m2

A − 2m21m2

2

16πm5A

×

× (2m4A − 2m2

A(m21 + m2

2) − m21m2

2) (137)

39

3.3 Predvidanja za LHC 3. Proizvodnja i raspad leptokvarkova

Na pocetku ovog racuna, rekli smo da cemo sve to vršiti za opce mase produ-kata raspada m1 i m2. Kada smo dobili konacni rezultat sa tim masama, uzecemoda se radi o raspadu na neutrino i donji kvark, pri cemu je masa neutrina m1. Utom slucaju masu neutrina možemo zanemariti u odnosu na masu kvarka, pa našrezultat (137) postaje jednostavniji:

Γ =(m2

A − m22) 2m2

A (m2A − m2

2)

16πm5A

=(m2

A − m22)2

8πm3A

. (138)

3.3 Predvidanja za LHC

Nakon teorijskih postavki i matematickog racuna, u ovom dijelu prezentujemosljedece rezultate. Na osnovu formula koje smo prethodno izveli, pristupili smonumerickom proracunu da bismo dobili podatke za totalni poprecni presjek naLHC-u 2014. godine za energiju centra mase u iznosu od 14 TeV-a. Koristilismo se kodom napravljenim u kompjutacionom softwareskom program WolframMathematica 8.0.

3.3.1 Tevatron

Da bismo provjerili da li naš kod zaista radi i da li su podaci koje dobivamo zaLHC zaista smisleni, najprije racunamo totalni poprecni presjek za Tevatron10 prienergiji centra mase

√s =1.8 TeV i za razlicite mase leptokvarkova, a zatim ga

uporedujemo sa vec dobivenim podacima [15]. U Tablici 6 je prikaz rezultata iznavedene reference, a u Tablici 7 rezultata dobivenih numerickom analizom, dokna Slici 10 vidimo zavisnost totalnog poprecnog presjeka od mase leptokvarkova.

10Prije nego je zatvoren 29. septembra 2011. godine, Tevatron je bio najveci pp (proton-antiproton) sudarac. Smješten u Fermilabu, Tevatron je radio na ubrzavanju snopova protona iantiprotona koji putuju u suprotnim smjerovima oko podzemnog prstena obima 4 milje pri brziniskoro jednakoj brzini svjetlosti prije sudara u centru dva detektora.

40


Tablica 6: Podaci za Tevatron prema referenci [15]MLQ [GeV] σqq σgg σtot [pb]

150 0.741 0.244 0.985175 0.318 0.071 0.389200 0.142 0.022 0.164250 0.030 0.003 0.033

Tablica 7: Podaci za Tevatron dobiveni numerickom analizomMLQ [GeV] σqq σgg σtot [pb]

150 0.733 0.255 0.988175 0.311 0.073 0.384200 0.137 0.023 0.160250 0.029 0.003 0.032

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

140 160 180 200 220 240 260

σtot

[pb

]

MLQ

Slika 10: Zavisnost totalnog poprecnog presjeka od mase leptokvarkova (Teva-tron)

Možemo konstatovati da su razlike u podacima jako male, odnosno da je sla-

41


ganje jako dobro. No, bitno je pojasniti uzrok i tih malih razlika. Naime, kaošto je ranije receno, da bi se izracunao totalni poprecni presjek, potrebno je koris-titi PDF-ove. Kako su PDF-ovi promjenljivi, tako smo mi u našem kodu koristilizadnje objavljene PDF-ove [14], dok su u referenci [15] korišteni drugi PDF-ovi,stari više od 15 godina11.

3.3.2 LHC

Uz pomoc PDF-ova inkorporiranih u kod, vršili smo razlicite numericke pro-racune ovisno o masi leptokvarkova. Podaci koje smo dobili za totalni poprecnipresjek predstavljeni su u Tablici 8, dok su podaci za broj ocekivanih leptokvar-kova u LHC-u 2014. godine za energiju centra mase 14 TeV-a predstavljeni uTablici 9, gdje se može vidjeti da su pri proracunu korištene vrijednosti za inte-grirani luminozitet12 [24] pri detektorima ATLAS13 [22,24] i CMS14 [23,24] iz2012. godine za period od godinu dana. Upravo iz razloga što nam je potrebanintegrirani luminozitet za godinu dana, nismo mogli koristiti vrijednosti iz 2013.godine.

11Ne postoji jedinstven set PDF-ova ni u smislu opce prihvacenosti ni u smislu roka trajanja.Naime, u svijetu postoji više naucnih grupa, kolaboracija (SLAC, FNAL, CERN, HERA, DESY)koje se bave odredivanjem PDF-ova koristeci razlicite ulazne podatke, razlicito parametrizirajucisame PDF-ove.

12Luminozitet je jedan od najvažnijih parametara akceleratora. Predstavlja broj sudara u su-daracu cestica po jedinici površine i jedinici vremena. Što je veca vrijednost luminoziteta, vecije broj sudara. Integrirani luminozitet predstavlja integral luminoziteta u nekom vremenu, npr.godinu dana. Izražava se formulom L =

∫I d t , gdje je I trenutni luminozitet.

13ATLAS (A Toroidal LHC ApparatuS ) je najveci svjetski detektor cestica za opcu namjenu.Dug je 46 metara, visok je 25 metara, širok je 25 metara, a težak je 1000 tona i sastoji se od 100miliona senzora koji registruju cestice nastale u pp (proton-proton) sudarima u LHC-u.

14CMS (Compact Muon Solenoid) je jedan od detektora u LHC-u, kao i ATLAS, namijenjen zaopcu upotrebu pri pp (proton-proton) sudarima u LHC-u. Najveci dio zapremine CMS detektoraodlazi na višeslojni cilindar, dug 21 m sa precnikom od 16 m i težine preko 13000 tona. Unutrašnjisloj detektora cini silikonski cesticni uredaj koji služi za odredivanje pozicije cestica. Okružujega kristalni elektromagnetni kalorimetar kojeg dalje okružuje uredaj za detekciju miona. Sve toskupa se nalazi u centralnom superprovodnom solenoidnom magnetu jacine 3.8 T, dužine 13 m idijametra 6 m, koji omogucuje mjerenje impulsa naelektrisanih cestica.

42


Tablica 8: Totalni poprecni presjek na LHC-u 2014. godine za razlicite MLQ

MLQ [GeV] σqq σgg σtot [pb]

400 2.814520 0.259383 3.073903450 1.443240 0.151464 1.594704500 0.780824 0.092179 0.873003550 0.441271 0.057995 0.499266600 0.258556 0.037496 0.296052650 0.156187 0.024801 0.180988700 0.096833 0.016722 0.113555750 0.061395 0.011462 0.072857800 0.039694 0.007969 0.047663850 0.026107 0.005610 0.031717900 0.017433 0.003992 0.021425950 0.011798 0.002868 0.014666

1000 0.008081 0.002079 0.010160

Tablica 9: Ocekivani broj leptokvarkova za ATLAS i CMS

MLQ N (broj leptokvarkova)

[GeV] ATLAS L=21.70 [fb−1] CMS L=21.79 [fb−1]

400 66704 66980450 34605 34749500 18944 19023550 10834 10880600 6424 6451650 3927 3944700 2464 2474750 1581 1588800 1034 1039850 688 691900 465 467950 318 320

1000 220 221

Na Slici 11 može se vidjeti graficki prikaz zavisnosti broja leptokvarkova u

43


pp sudarima na LHC-u 2014. godine od njihove mase. Naime, broj leptokvar-kova drasticno opada sa povecanjem njihove mase. Brojevi se krecu od skoro70000 do nekih 200 leptokvarkova u periodu od godinu dana. Na ovom grafiku jeprikazana zavisnost pri luminozitetu CMS detektora iz 2012. godine. Naime, akose pogleda Tablica 9, može se uociti da su rezultati za CMS i ATLAS približni pana grafiku sa ovako velikim rasponom brojeva dolazi do preklapanja krivih, stogasmo ovdje iznijeli slucaj zavisnosti samo za integrirani luminozitet CMS detek-tora.

0

10

20

30

40

50

60

70

400 500 600 700 800 900 1000

N [

10

3 l

epto

kvar

kova]

MLQ [GeV]

Slika 11: Zavisnost broja leptokvarkova N od njihove mase MLQ

S obzirom da se ovdje radi o predvidanjima, i da je moguca promjena vrijednostiintegriranog luminoziteta u 2014. godini, ovdje takode donosimo Tablicu 10 ukojoj je predstavljen broj ocekivanih leptokvarkova za moguce vece vrijednostiintegriranog luminoziteta, od 25 do 35 fb−1 15.

15Barn je jedinica za površinu. Definiše se kao 10−28m2 (100 fm2). Femtobarn iznosi 10−15

barna, tj. 10−43m2 odnosno 10−39cm2. Ovdje se koristimo femtobarnima jer su uobicajene jediniceza površinu, poprecni presjek itd. premale da bi se rezultati mogli njima izraziti.

44


Tablica 10: Zavisnost broja leptokvarkova N od njihove mase MLQ pri razlicitimluminozitetima

MLQ N (broj leptokvarkova)[GeV] L=25 [fb−1] L=30 [fb−1] L=35 [fb−1]

400 76848 92217 107587450 39868 47841 55815500 21825 26190 30555550 12842 14978 17474600 7401 8882 10362650 4525 5430 6335700 2839 3407 3974750 1821 2186 2550800 1192 1430 1668850 793 951 1110900 536 643 750950 367 440 513

1000 254 305 356

0

20

40

60

80

100

120

400 500 600 700 800 900 1000

N [

103 l

epto

kvar

kova]

MLQ [GeV]

L=25 fb-1

L=30 fb-1

L=35 fb-1

Slika 12: Zavisnost broja leptokvarkova N od njihove mase MLQ pri razlicitimluminozitetima

45


Na slici 12 se vidi graficki prikaz zavisnosti broja leptokvarkova N od njihovemase MLQ pri razlicitim luminozitetima od 25 do 35 fb−1. Ono što se može uocitije da ma kako veliki ili mali luminoziteti bili, odnosno ma kako se razlikovali, zavelike mase MLQ, broj ocekivanih leptokvarkova je približno isti.

46

4. Eksperimentalni status leptokvarkova

4 Eksperimentalni status leptokvarkova” Kada se teorija i eksperiment ne slažu,

rješenje treba tražiti u izmjeni teorije.”

Richard Feynman

Leptokvarkovi su hipoteticke cestice koje nose i barionski (B) i leptonski (L) broj.Prema vrijednosti njihovog spina dijelimo ih na vektorske (vrijednost spina je 1)i skalarne leptokvarkove (vrijednost spina je 0). Ranije smo se upoznali sa te-orijom Standardnog Modela. Poznato je da u opce prihvacenom StandardnomModelu leptokvarkovi kao cestice nisu prisutni, ali u proširenim teorijama Stan-dardnog Modela ocekuje se postojanje leptokvarkovskih stanja. U literaturi serazmatraju leptokvarkovi prve, druge i trece generacije. Najjednostavnije receno,leptokvarkovi prve, druge, trece generacije su oni koji imaju medudjelovanje samosa prvom, drugom, trecom generacijom leptona i kvarkova, redom.

Pogledajmo šta to znaci na konkretnom primjeru. U Lagranžijanu imamo clan:

(Y)i j(ψL)i(ψR) jφ (139)

koji oznacava interakciju izmedu leptona i kvarkova putem leptokvarkova. Naime,ψL stanje u ovom izrazu oznacava kvarkovsko (ili leptonsko) stanje i ψR leptonsko(ili kvarkovsko) , dok φ stanje predstavlja leptokvark a (Y)i j je odgovarajuca Yu-kawa konstanta medudjelovanja. Indeksi i i j oznacavaju generaciju stanja (prva,druga ili treca generacija). Dakle, ako se radi o prvoj generaciji, izraz (139) možeimati ovakve oblike:

Y11uLeR φ ,

Y11dLν φ . (140)

Za drugu generaciju imamo:

Y22cL µR φ ,

Y22sLν φ . (141)

I za trecu generaciju imamo:

47


Y33tLτR φ ,

Y33bLν φ . (142)

Ono što se u praksi, dakle u eksperimentima mjeri su omjeri Y/MLQ, odnosnoomjer Yukawa konstanti medudjelovanja i same mase leptokvarkova, jer masu kaojedinstven parametar u ovom trenutku nije moguce odrediti.

No, vratimo se teorijskim modelima i njihovim predvidanjima na osnovu ko-jih se vrše eksperimenti i bilježe odredeni podaci.

Tako npr., Pati-Salam SU(4) model predvida postojanje leptokvarkovskog sta-nja. Naime, u ovom modelu, leptonski broj se posmatra kao cetvrti naboj boje: ce-tiri slaba dubleta svake generacije su uredena kao cetiri dubleta od SU(4) [10,20].Ova simetrija se kasnije spontano slama tako da gluoni postaju bezmasivni, a lep-tokvarkovi masivni. GUT (velike unificirajuce teorije, od eng. grand unificationtheories) koje se baziraju na SU(5) takode sadrže vektorske leptokvarkove kojiimaju mase unificirajuce skale, pa ih zbog toga nije moguce opaziti u akcelera-torima, dok se prisustvo skalarnih leptokvarkova na TeV skali nije apriori zabra-njeno.

Iako nismo direktno ili indirektno eksperimentalno utvrdili i predocili pos-tojanje leptokvarkova (s obzirom na njihovu masu i druge karakteristike), ipakmožemo dobiti neke brojcane limite vezano za njih — direktne i indirektne pri-rode. Direktne limite dobivamo iz sudaraca pri samoj proizvodnji a na osnovupoprecnih presjeka, dok indirektne limite racunamo iz ogranicenja na cetvero-fermionskim interakcijama induciranim leptokvarkovima, pri cemu te interakcijedobivamo u nisko-energetskim eksperimentima.

Krenimo od eksperimenata u sudaracima. Dakle, direktne limite na leptokvar-kovska stanja dobivamo putem limita na poprecnim presjecima pri produkciji jed-nog leptokvarka ili para leptokvarkova. Poprecni presjeci LO-a (Leading Order)procesa na partonskom nivou:

q + q → LQ + LQg + g → LQ + LQe + q → LQ (143)

mogu se ovako napisati:

48



sπ

27sβ3

σLO[gg→ LQ + LQ] =α2

sπ

96s[β(41 − 31β2) + (18β2 − β4 − 17)log

1 + β

1 − β]

σ[eq→ LQ] =πλ2

4δ(s − M2

LQ) (144)

za skalarni leptokvark. Ovdje√

s predstavlja invarijantnu energiju partonskog

podprocesa, a β ≡√

1 − 4M2LQ/s. Leptokvarkovska Yukawa konstanta medudje-

lovanja je data sa λ.

Leptokvarkovi se takode pojedinacno proizvode u hadronskim sudaracimaovim putem:

g + q→ LQ + l . (145)

U eksperimentima u LHC-u (Large Hadron Collider), LEP-u (Large ElectronPositron Collider) i Tevatron-u (kružni akcelerator cestica) traži se produkcijaleptokvarkovskih stanja u paru (pair-production) koja dolazi od leptokvarkovskegauge interakcije. Gauge konstante medudjelovanja skalarnih leptokvarkova sujednoznacno odredene shodno njihovim kvantnim brojevima. S obzirom da lep-tokvarkovi nose kvantni broj za boju, poprecni presjek proizvodnje para skalarnihleptokvarkova u Tevatron-u i LHC-u se može odrediti samo kao funkcija maseleptokvarka bez dodatnih pretpostavki. Ovo je u suprotnosti sa indirektnim li-mitima ili limitima pri proizvodnji pojedinacnih leptokvarkova. Za prvu i drugugeneraciju skalarnih leptokvarkova sa branching fraction raspada β = B(eq) = 1i β = B(uq) = 1, CDF (Collider Detector at Fermilab) i DØ (eksperiment priTevatron-u) eksperimenti dobivaju donje limite na masu leptokvarkova: mLQ>236GeV (prva generacija, CDF), zatim mLQ >299 GeV (prva generacija, DØ), pamLQ>226 GeV (druga generacija, CDF) i mLQ>316 GeV (druga generacija, DØ)pri CL16=95%.

16CL dolazi od dvije rijeci iz engleskog jezika: confidence level što bi u prijevodu znacilo“stepen pouzdanosti”. Naime, u istraživackom uzorkovanju, razliciti uzorci mogu biti slucajnoizabrani iz neke vrste (populacije), i svaki uzorak daje drugaciji interval pouzdanosti (eng. con-fidence interval). Neki intervali pouzdanosti ukljucuju stvarni parametar vrste, drugi ne. Stepenpouzdanosti (CL) odnosi se na (predstavlja) procenat svih mogucih uzoraka za koje se može oce-kivati da ukljucuju stvarni parametar vrste. Npr., pretpostavimo da su svi moguci uzorci izabrani(uzeti) iz iste vrste i zatim su izracunati intervali pouzdanosti za svaki uzorak. CL=95% implicira(oznacava) da 95% intervala pouzdanosti ukljucuje stvarni parametar vrste.

49


Kad je rijec o trecoj generaciji leptokvarkova, njihove limite dobivamo iz DØeksperimenta koji postavlja limit na 247 GeV za naboj −1

3 trece generacije leptok-varkova pri CL=95%.

Ako pogledamo rezultate iz LHC-a, proton-proton sudaraca koji radi pri ener-giji centra mase od 7 TeV-a, vidimo da dolazi do proširenja prethodnih limita namase skalarnih leptokvarkova koje je postavio Tevatron. Naime, sada za prvu ge-neraciju skalarnih leptokvarkova donja granica iznosi 339 GeV (CMS, β = 0.5),odnosno 376 GeV (ATLAS, β = 1) i 319 GeV (ATLAS, β = 0.5). Za drugu gene-raciju imamo donju granicu 394 GeV (CMS, β = 1), odnosno 422 GeV (ATLAS,β = 1) i 362 GeV (ATLAS, β = 0.5) [17]. Svi limiti su za CL=95%.

U još jednom akceleratoru cestica su izvodeni eksperimenti u kojima je vršenapotraga za leptokvarkovima, tacnije — produkcijom pojedinacnih leptokvarkova.Radi se o akceleratoru koji se nalazi u Hamburgu, u sklopu nacionalnog istraživac-kog centra u Njemackoj (DESY — Deutsches Elektronen Synchrotron), tacnije —hadronsko-elektronskom prstenastom akceleratoru HERA (Hadron Electron RingAccelerator). S obzirom da poprecni presjek pojedinacno proizvedenih leptokvar-kova zavisi od njegovih Yukawa konstanti medudjelovanja, u tom slucaju masenilimiti za leptokvarkove dobivene iz HERA eksperimenata obicno se prikazuju uvidu grafika zavisnosti konstanti medudjelovanja od mase leptokvarkova. Za lep-tokvarkovsku Yukawa konstantu medudjelovanja λ = 0.1, ZEUS (detektor cesticapri akceleratoru HERA) je postavio maseni interval 248–290 GeV za leptokvar-kove prve generacije, zavisno od vrste leptokvarkova.

Na slici 15 [17] mogu se vidjeti sumirani rezultati koje donose ATLAS, CMS,DØ , LEP i H1 za limite masa dva tipicna skalarna leptokvarka prve generacije, ito preko grafika zavisnosti konstanti medudjelovanja od mase leptokvarkova.

Na kraju možemo sumirati eksperimentalne rezultate masa skalarnih leptok-varkova prema generacijama:

m > 660 GeV, CL = 95% (I generacija, proizvodnja parova)m > 298 GeV, CL = 95% (I generacija, pojedinacna proizvodnja)m > 422 GeV, CL = 95% (II generacija, proizvodnja parova)m > 73 GeV, CL = 95% (II generacija, pojedinacna proizvodnja)

m > 247 GeV, CL = 95% (II generacija, proizvodnja parova)(146)

50


Slika 13: Sumirani rezultati za mase leptokvarkova

51

5. Zakljucak

5 ZakljucakLeptokvarkovi su hipotetske cestice i možemo reci da pripadaju dijelu fizike kojise naziva Nova fizika — fizika izvan Standardnog Modela. Kažemo da su hipotet-ske jer još (uvijek) nismo dobili eksperimentalni dokaz njihovog postojanja. No,kako se eksperimentalna fizika, ili da budemo precizni, akceleratorska fizika ra-zvija velikom brzinom, tako i opipljivost leptokvarkova biva bliža fizicarima.

U ovom radu smo se bavili fenomenologijom skalarnih leptokvarkova, od te-orijske postavke za predvidanje njihovog postojanja, preko procesa nastanka i ras-pada, do njihovog eksperimentalnog statusa. Ono što je znacajno za ovaj rad išto ga cini posebnim i drugacijim, jeste numericka analiza procesa nastanka lep-tokvarkova u zavisnosti od njihove mase i integriranog luminoziteta dva razlicitadetektora: ATLAS-a i CMs-a na LHC-u u CERN-u. Numericka analiza i prora-cun su uradeni za 2014. godinu kada se cekuje rad LHC-a na

√s = 14 TeV-a što

predstavlja znacajno poboljšanje u odnosu na prethodne godine, kao i brojne mo-gucnosti za razvoj fizike iza Standardnog Modela, izmedu ostalog i leptokvarkova.

Provjeru valjanosti dobivenih rezultata izvršili smo reprodukcijom podatakaza totalni poprecni presjek na Tevatronu [15]. Predocene su tablice sa podacima izprethodno navedene reference i podacima dobivenim pomocu numericke analize ikoda korištenog za predvidanja na LHC-u. Slaganje reprodukovanih sa citiranimpodacima je bilo jako dobro, pri cemu su odstupanja prisutna samo zbog razlicitihsetova PDF-ova. Ali, upravo koherentnost jednih i drugih podataka za Tevatrondaje sigurnost i povjerenje za one podatke koje smo dobili za LHC u 2014. godini.Evo do kakvih zanimljivih podataka smo došli numerickom analizom.

Za integrirani luminozitet iz 2012. godine na detektorima ATLAS i CMS,pokazuje se da je broj ocekivanih leptokvarkova približno isti za oba detektora.Drugi zanimljiv podatak je da pri razlicitim vrijednostima integriranog lumino-ziteta (25–35 fb−1), sa povecanjem mase lepokvarkova, razlika u integriranomluminozitetu postaje zanemariva - broj ocekivanih leptokvarkova za razlicite inte-grirane luminozitete, ali pri velikim masama, je skoro pa jednako mali. U svakomslucaju, ono što su pozitivni rezultati je da za pretpostavljene mase leptokvarkovaprve generacije i uz brojcanu vrijednost integriranog luminoziteta iz 2012. godine,broj ocekivanih leptokvarkova je relativno veliki — iznosi i preko 60000.

Stoga možemo reci da od 2014. godine i pp sudara na LHC-u u CERN-umožemo puno ocekivati, kako u oblastima fizike koje tek treba pojasniti poputtamne materije i tamne energije, tako i onim o kojima nam se cini da znamo jerponajviše o tome slušamo - porijeklu mase i Higgsovom bozonu.

52

6 Reference[1] M. E. Peskin, D. V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory (Fron-tiers in Physics), Addison-Wesley Publishing Company, (1995)[2] Aldo Brancacci, Pierre-Marie Morel Democritus: Science, the Arts, and theCare of the Soul, Koninklijke Brill NV, Leiden, The Netherlands (2007)[3] C. C. W. Taylor The Atomists, Leucippus and Democritus: fragments, Univer-sity of Toronto Press Incorporated (1999)[4] W. Marx Fenomenologija Edmunda Husserla: uvod, Naklada Breza, Zagreb(2005)[5] M. K. Sundaresan, Handbook of Particle Physics, CRC Press LLC (2001)[6] I. Picek, Fizika elementarnih cestica, Hinus, Zagreb (1997)[7] B. R. Martin & G. Shaw, Particle Physics, A John Wiley and Sons, Ltd, Publi-cation (2005)[8] Ž. Antunovic, Standardni Model[9] Green Book: IUPAC Quantities, Units and Symbols in Physical Chemistry,Blackwell Scientific Publications, Oxford (1993)[10] J. Pati and A. Salam, Phys. Rev. D10 (1974)[11] H. Georgi and S. Glashow, Unity of All Elementary-Particle Forces, PhysicalReview Letters, 32 (1974)[12] J. C. Baez, J. Huerta, The Algebra of Grand Unified Theories, (2009), hep-th/0904.1556[13] H. Nishino et al. Super-Kamiokande Collaboration , Search for Proton De-cay via p → e+π0 and p → µ+π0 in a Large Water Cherenkov Detector, Phys.Rev. Lett. 102, 141801 (2009)[14] J. Beringer et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D86, 010001 (2012)[15] M. Krämer (RAL), T. Plehn (DESY), M. Spira (CERN), P. M. Zerwas (DESY),Pair production of scalar leptoquarks at the Tevatron (1997) arXiv:hep-ph/9704322[hep-ph][16] E. Del Nobile, R. Franceschini, D. Pappadopulo, A. Strumia, Minimal Matterat the Large Hadron Collider, (2010) arXiv:0908.1567 [hep-ph][17] http://pdg.lbl.gov/2012/reviews/rpp2012-rev-leptoquark-quantum-numbers.pdf[18] J. M. Campbell, J. W. Huston, W. J. Stirling, Hard Interactions of Quarks andGluons: a Primer for LHC Physics (2006) arXiv:0611148v1 [hep-ph][19] R. M. Caputo, A Search for First Generation of Leptoquarks at the ATLASDetector Dissertation, Stony Brook University (2011)[20] S. Davidson, D. Bailey, and B. A. Campbell, Zeitschrift Für Physik C 61, 613(1994)[21] J. Blumlein, E. Boos, and A. Kryukov, Z. Phys C76, 137 (1997), hep-ph/9610408[22] https://twiki.cern.ch/twiki/bin/view/AtlasPublic/LuminosityPublicResults

53

6. Reference

[23] https://twiki.cern.ch/twiki/bin/view/CMSPublic/LumiPublicResults[24] http://www.lhc-closer.es[25] http://www-d0.fnal.gov/public/pubs/leptoquarkprl.html[26] http://www.phys.ufl.edu/ acosta/cdf/kyrie-lq-reu-paper.pdf[27] https://indico.in2p3.fr/getFile.py/access-contribId=55-sessionId=16-resId=0-materialId=2-confId=6004[28] http://edoc.ub.uni-muenchen.de/8903/1/Philippe-Calfayan.pdf[29] http://theory.sinp.msu.ru/comphep-old/tutorial/node82.html[30] http://www.ntua.gr/eseve/Vasikh-Ereyna/Thalis/Thalis-projects-English-summaries.pdf

54

Documents

master_juni