MAT-146 Segunda Parte

Walter T. Huaraca Vargas

25 de Abril de 2018

Derivada: 1˝ Problema

Distância

Aumento

a b a bc

c

(A) (B)

(C)

Figura: (A) Problema Elementar, (B) Problema de Cálculo e (C) Ideia daSolução

Derivada: 2˝ Problema

c

c

(A) (B)

(C)

a

b

Figura: (A) Razão Média, (B) Razão Instantanea e (C) Ideia da Solução

Derivada de uma função num ponto

DefiniçãoSeja f : RÑ R uma função definida no ponto a P Dompf q, diremos que fé derivável no ponto a se existe o seguinte limite:

f1

paq “ limhÑ0

f pa` hq ´ f paq

h

Se a função f é derivável em a, f1

paq é chamada de derivada de f em a.

Observação

1 Existem outras notação para a derivada de f em a: Dx f paq,df pxqdx |x“a

e f ¨pxq.2 Uma forma equivalente ao limite anterior é:

f1

paq “ limxÑa

f pxq ´ f paq

x ´ a

ExemploAchar a derivada da função f pxq “

?x em a “ 4

DefiniçãoSeja f : RÑ R uma função tal que

f1

pxq “ limhÑ0

f px ` hq ´ f pxq

h

exista, é chamada função derivada de f ou simplesmente derivada de f .Obviamente Dompf

1

q “ tx P Dompf q; f1

pxq exista u.

ExemplosProve que:

1 Se f pxq “ k , k constante; então f1

pxq “ 0 para todo x P R.2 Se f pxq “ ax ` b com a, b P R e a ‰ 0, então f

1

pxq “ a para todox P R.

3 Se f pxq “ xn com n P N, então f1

pxq “ nxn´1.4 Se f pxq “ a|x |, então f não é derivável no 0. (f phq ď h2)5 Se

f pxq “

"

x2; 0 ď x0; x ă 0

Calcular f1

p0q

Interpretação Geométrica

Derivadas laterais

DefiniçãoSeja f : RÑ R uma função e a P Dompf q.

1 A derivada pela esquerda de f em a é definida e denotada por

f1

pa´q “ limhÑ0´

f pa` hq ´ f paq

h“ lim

xÑa´

f pxq ´ f paq

x ´ a

se o limite existir.

2 A derivada pela direita de f em a é definida e denotada por

f1

pa`q “ limhÑ0`

f pa` hq ´ f paq

h“ lim

xÑa`

f pxq ´ f paq

x ´ a

se o limite existir.

Derivadas laterais

DefiniçãoSeja f : RÑ R uma função e a P Dompf q.

1 A derivada pela esquerda de f em a é definida e denotada por

f1

pa´q “ limhÑ0´

f pa` hq ´ f paq

h“ lim

xÑa´

f pxq ´ f paq

x ´ a

se o limite existir.2 A derivada pela direita de f em a é definida e denotada por

f1

pa`q “ limhÑ0`

f pa` hq ´ f paq

h“ lim

xÑa`

f pxq ´ f paq

x ´ a

se o limite existir.

ProposiçãoA função f : RÑ R é derivável no ponto a P Dompf q se, e somente se,existem e são iguais f

1

pa`q e f1

pa´q.

ProposiçãoSe uma função é derivável no ponto a P Dompf q, então ela é contínua ema.

O reciproco não é verdadeiro, como mostra o exemplo a seguir:

ExemploA função definida por:

f pxq “

"

2´ x2 se x ď 2x2 ´ 4x ` 2 se x ą 2

é contínua no ponto a “ 2? é diferenciável no ponto a “ 2?

11a Aula

ProposiçãoA função f : RÑ R é derivável no ponto a P Dompf q se, e somente se,existem e são iguais f

1

pa`q e f1

pa´q.

ProposiçãoSe uma função é derivável no ponto a P Dompf q, então ela é contínua ema.

O reciproco não é verdadeiro, como mostra o exemplo a seguir:

ExemploA função definida por:

f pxq “

"

2´ x2 se x ď 2x2 ´ 4x ` 2 se x ą 2

é contínua no ponto a “ 2? é diferenciável no ponto a “ 2?

11a Aula

ProposiçãoA função f : RÑ R é derivável no ponto a P Dompf q se, e somente se,existem e são iguais f

1

pa`q e f1

pa´q.

ProposiçãoSe uma função é derivável no ponto a P Dompf q, então ela é contínua ema.

O reciproco não é verdadeiro, como mostra o exemplo a seguir:

ExemploA função definida por:

f pxq “

"

2´ x2 se x ď 2x2 ´ 4x ` 2 se x ą 2

é contínua no ponto a “ 2? é diferenciável no ponto a “ 2?

11a Aula

Reta Tangente e Reta Normal

Seja f : RÑ R uma função derivável no ponto x “ a, com a interpretaçãogeométrica dada anteriormente, temos:

Definição (Reta Tangente)A reta definida por:

LT : y ´ f paq “ f1

paqpx ´ aq

é chamada de reta tangente ao gráfico de f no ponto Ppa; f paqq.

Definição (Reta Normal)A reta que passa pelo ponto Ppa; f paqq e perpendicular à reta tangente aográfico de f no ponto P é chamada de reta normal ao gráfico de f noponto Ppa; f paqq.

Reta Tangente e Reta Normal

Seja f : RÑ R uma função derivável no ponto x “ a, com a interpretaçãogeométrica dada anteriormente, temos:

Definição (Reta Tangente)A reta definida por:

LT : y ´ f paq “ f1

paqpx ´ aq

é chamada de reta tangente ao gráfico de f no ponto Ppa; f paqq.

Definição (Reta Normal)A reta que passa pelo ponto Ppa; f paqq e perpendicular à reta tangente aográfico de f no ponto P é chamada de reta normal ao gráfico de f noponto Ppa; f paqq.

observação1 Se f

1

paq ‰ 0 a equação da reta normal é:

LN : y ´ f paq “1

f 1paqpx ´ aq

2 Se f1

paq “ 0 a equação da reta normal é:

LN : px ´ aq “ 0

Exemplos1 Dada f pxq “ x2 ´ 2x ` 3, achar LT e LN ao gráfico de f em Pp2; 3q2 Dada f pxq “ 2x3 ` 3x2 ´ 36x ` 1, determine as equações das

tangentes horizotais ao gráfico de f .

observação1 Se f

1

paq ‰ 0 a equação da reta normal é:

LN : y ´ f paq “1

f 1paqpx ´ aq

2 Se f1

paq “ 0 a equação da reta normal é:

LN : px ´ aq “ 0

Exemplos1 Dada f pxq “ x2 ´ 2x ` 3, achar LT e LN ao gráfico de f em Pp2; 3q2 Dada f pxq “ 2x3 ` 3x2 ´ 36x ` 1, determine as equações das

tangentes horizotais ao gráfico de f .

Regras Básicas

TeoremaSejam f e g funções deriváveis em x e K uma constante, então as funçõesKf , f ˘ g , fg f

g são deriváveis em x e temos:

1 pKf q1

pxq “ Kf1

pxq

2 pf ˘ gq1

pxq “ f1

pxq ˘ g1

pxq

3 pfgq1

pxq “ f1

pxqgpxq ` f pxqg1

pxq

4 pf

gq1

pxq “f1

pxqgpxq ´ f pxqg1

pxq

rgpxqs2Se gpxq ‰ 0.

Regras Básicas

TeoremaSejam f e g funções deriváveis em x e K uma constante, então as funçõesKf , f ˘ g , fg f

g são deriváveis em x e temos:

1 pKf q1

pxq “ Kf1

pxq

2 pf ˘ gq1

pxq “ f1

pxq ˘ g1

pxq

3 pfgq1

pxq “ f1

pxqgpxq ` f pxqg1

pxq

4 pf

gq1

pxq “f1

pxqgpxq ´ f pxqg1

pxq

rgpxqs2Se gpxq ‰ 0.

Regras Básicas

TeoremaSejam f e g funções deriváveis em x e K uma constante, então as funçõesKf , f ˘ g , fg f

g são deriváveis em x e temos:

1 pKf q1

pxq “ Kf1

pxq

2 pf ˘ gq1

pxq “ f1

pxq ˘ g1

pxq

3 pfgq1

pxq “ f1

pxqgpxq ` f pxqg1

pxq

4 pf

gq1

pxq “f1

pxqgpxq ´ f pxqg1

pxq

rgpxqs2Se gpxq ‰ 0.

Regras Básicas

TeoremaSejam f e g funções deriváveis em x e K uma constante, então as funçõesKf , f ˘ g , fg f

g são deriváveis em x e temos:

1 pKf q1

pxq “ Kf1

pxq

2 pf ˘ gq1

pxq “ f1

pxq ˘ g1

pxq

3 pfgq1

pxq “ f1

pxqgpxq ` f pxqg1

pxq

4 pf

gq1

pxq “f1

pxqgpxq ´ f pxqg1

pxq

rgpxqs2Se gpxq ‰ 0.

Exemplos1 Se f pxq “ 5x5 ` x4 ´ 2x3 ` 1, calcular f

1

pxq e f1

p1q.2 Dada f pxq “ x´n, x ‰ 0 e n P N, calcular f 1pxq.3 Se f pxq “ x`3

2´x , x ‰ 2 calcular f1

pxq.

4 Provar que psenpxqq1

“ cospxq

5 Provar que pcospxqq1

“ ´senpxq

6 Sem Prova pLnpxqq1

“ 1x

7 Sem Prova pexq1

“ ex

12a Aula

A Regra da Cadeia

Teorema (Regra da Cadeia)Sejam f : AÑ R e g : B Ñ R duas funções tais que Impf q Ă B . Se f éderivável no ponto a P Dompf q e g é derivável em b “ f paq P B , entãog ˝ f é derivável em a e temos que:

pg ˝ f q1

paq “ g1

pf paqqf1

paq

ExemplosDerivar

1 f pxq “ px3 ` 12x ` 666q200, achar g1

pxq

2 f pxq “”

x`2x´2

ı16, achar f

1

pxq.

3 f pxq “ CospSenpxqSenpxqq

4 f pxq “ ee

x2 ` 13x

5 f pxq “

„

Cospxq

1` Senpx2q

π

6 f pxq “ 3Senpxq

Observação1 Se y “ yptq e t “ tpxq são funções deriváveis, então:

dy

dx“

dy

dt

dt

dx

2 Se y “ f pxq é uma função derivável e tem inversa x “ f ´1pyq, então:

dx

dy“

1dydx

Se dydx ‰ 0.

3 Se y “ yptq e x “ xptq são duas funções deriváveis, então:

dy

dx“

dydtdxdt

Se dxdt ‰ 0.

Observação1 Se y “ yptq e t “ tpxq são funções deriváveis, então:

dy

dx“

dy

dt

dt

dx

2 Se y “ f pxq é uma função derivável e tem inversa x “ f ´1pyq, então:

dx

dy“

1dydx

Se dydx ‰ 0.

3 Se y “ yptq e x “ xptq são duas funções deriváveis, então:

dy

dx“

dydtdxdt

Se dxdt ‰ 0.

Observação1 Se y “ yptq e t “ tpxq são funções deriváveis, então:

dy

dx“

dy

dt

dt

dx

2 Se y “ f pxq é uma função derivável e tem inversa x “ f ´1pyq, então:

dx

dy“

1dydx

Se dydx ‰ 0.

3 Se y “ yptq e x “ xptq são duas funções deriváveis, então:

dy

dx“

dydtdxdt

Se dxdt ‰ 0.

Observação1 Se y “ f pxq “ rupxqsn e upxq é derivável, então:

f1

pxq “ nrupxqsn´1u1

pxq

2 Se y “ f pxq “a

upxq e upxq é derivável com upxq ą 0, então:

f1

pxq “u1

pxq

2a

upxq

Observação1 Se y “ f pxq “ rupxqsn e upxq é derivável, então:

f1

pxq “ nrupxqsn´1u1

pxq

2 Se y “ f pxq “a

upxq e upxq é derivável com upxq ą 0, então:

f1

pxq “u1

pxq

2a

upxq

Exemplos1 Se y “ x4 ´ x2 ` x e x “ pt2 ` 1q4. Achar dy

dt

2 Dada f pxq “?5` 3x2, achar f

1

pxq.

13a Aula

Derivadas de ordem superior

1 Seja y “ f pxq uma função diferenciável, a derivada da função f1

pxq échamada de segunda derivada de f e é denotada por f

2

, D2x f pxq,

d2f pxqdx2 , f ¨¨pxq ou dy

dx .

2 Se f2

px0q existe, diremos que f é duas vezes derivável em x0 e onúmero f

2

px0q é chamado de segunda derivada de f em x0.3 De forma análoga, derivando sucessivamente a função f (sempre que

possível), obtemos a n-ésima derivada ou derivada de ordem n de f

que denotaremos por: f pnq, Dnx f pxq,

dnf pxqdxn , ou dny

dxn .

Derivadas de ordem superior

1 Seja y “ f pxq uma função diferenciável, a derivada da função f1

pxq échamada de segunda derivada de f e é denotada por f

2

, D2x f pxq,

d2f pxqdx2 , f ¨¨pxq ou dy

dx .2 Se f

2

px0q existe, diremos que f é duas vezes derivável em x0 e onúmero f

2

px0q é chamado de segunda derivada de f em x0.

3 De forma análoga, derivando sucessivamente a função f (sempre quepossível), obtemos a n-ésima derivada ou derivada de ordem n de f

que denotaremos por: f pnq, Dnx f pxq,

dnf pxqdxn , ou dny

dxn .

Derivadas de ordem superior

1 Seja y “ f pxq uma função diferenciável, a derivada da função f1

pxq échamada de segunda derivada de f e é denotada por f

2

, D2x f pxq,

d2f pxqdx2 , f ¨¨pxq ou dy

dx .2 Se f

2

px0q existe, diremos que f é duas vezes derivável em x0 e onúmero f

2

px0q é chamado de segunda derivada de f em x0.3 De forma análoga, derivando sucessivamente a função f (sempre que

possível), obtemos a n-ésima derivada ou derivada de ordem n de f

que denotaremos por: f pnq, Dnx f pxq,

dnf pxqdxn , ou dny

dxn .

Derivação Implícita

DefiniçãoSeja E px , yq “ 0 uma equação das variáveis x e y . Se ao reemplazarmos ypor f pxq, a equação transforma-se numa identidade, então diremos que afunção y “ f pxq esta definida implicitamente pela equação E px , yq.

Exemplos1 y “ f pxq “

?x ´ 1 e y “ gpxq “ ´

?x ´ 1 estão definidas

implicitamente pela equação y2 ´ x ` 1 “ 0.2 y7 ` cospyq ´ x2 ` senpxq ` 4 “ 03 x2 ` y2 ` 4 “ 0

A obtenção da derivada de uma função y “ f pxq definida em formaimplicita por uma equação E px , yq “ 0 é chamada de derivação implicita epode ser obtida com:

dy

dx“ ´

E1

x

E 1y

ExemplosAs seguintes equações definem implicitamente uma função y “ f pxq, achary1

“dydx .

1 x2 ` y2 “ 252 4x2 ´ 9y2 “ 36

36x ` 8x2y ´ y3 ` y5

x2 “ 4

A obtenção da derivada de uma função y “ f pxq definida em formaimplicita por uma equação E px , yq “ 0 é chamada de derivação implicita epode ser obtida com:

dy

dx“ ´

E1

x

E 1y

ExemplosAs seguintes equações definem implicitamente uma função y “ f pxq, achary1

“dydx .

1 x2 ` y2 “ 252 4x2 ´ 9y2 “ 36

36x ` 8x2y ´ y3 ` y5

x2 “ 4

Derivada da função inversa

Se uma função f é derivável e possui inversa perto de a com inversacontínua perto de b “ f paq e f

1

paq ‰ 0, então a função inversa f ´1 éderivável em b e

pf ´1q1

pbq “1

f 1pf ´1pbqq“

1f 1paq

ExemploCalcular as derivadas de:

1 gpyq “ arctanpyq

2 gpyq “ arcsenpyq

14a Aula

Derivada da função inversa

Se uma função f é derivável e possui inversa perto de a com inversacontínua perto de b “ f paq e f

1

paq ‰ 0, então a função inversa f ´1 éderivável em b e

pf ´1q1

pbq “1

f 1pf ´1pbqq“

1f 1paq

ExemploCalcular as derivadas de:

1 gpyq “ arctanpyq

2 gpyq “ arcsenpyq

14a Aula

Taxas Relacionadas

DefiniçãoSeja f : RÑ R função definida por y “ f pxq.

1 Se a P Dompf q e ∆x ‰ 0 é um número tal que a`∆x P Dompf q,então ∆x é chamado de incremento de x , observe que o incremento∆x é a mudança que experimenta a variável independente x ao passarde a até a`∆x .

2 A mudança que experimenta y (quando x ao passar de a até a`∆x .)é o incremento de y , denotado por ∆y e esta definido por∆y “ f pa`∆xq ´ f paq.

3 A diferencial da variável independente x , denotada por dx é definidocomo dx “ ∆x .

4 A diferencial da função f no ponto a, correspondente ao incremento∆x , denotada por dy é definido como dy “ f

1

paq∆x “ f1

paqdx , emgeral a A diferencial da função f em qualquer ponto x P Dompf q,correspondente ao incremento ∆x é dy “ f

1

pxqdx (dy „ δy)

Taxas Relacionadas

DefiniçãoSeja f : RÑ R função definida por y “ f pxq.

1 Se a P Dompf q e ∆x ‰ 0 é um número tal que a`∆x P Dompf q,então ∆x é chamado de incremento de x , observe que o incremento∆x é a mudança que experimenta a variável independente x ao passarde a até a`∆x .

2 A mudança que experimenta y (quando x ao passar de a até a`∆x .)é o incremento de y , denotado por ∆y e esta definido por∆y “ f pa`∆xq ´ f paq.

3 A diferencial da variável independente x , denotada por dx é definidocomo dx “ ∆x .

4 A diferencial da função f no ponto a, correspondente ao incremento∆x , denotada por dy é definido como dy “ f

1

paq∆x “ f1

paqdx , emgeral a A diferencial da função f em qualquer ponto x P Dompf q,correspondente ao incremento ∆x é dy “ f

1

pxqdx (dy „ δy)

Taxas Relacionadas

DefiniçãoSeja f : RÑ R função definida por y “ f pxq.

1 Se a P Dompf q e ∆x ‰ 0 é um número tal que a`∆x P Dompf q,então ∆x é chamado de incremento de x , observe que o incremento∆x é a mudança que experimenta a variável independente x ao passarde a até a`∆x .

2 A mudança que experimenta y (quando x ao passar de a até a`∆x .)é o incremento de y , denotado por ∆y e esta definido por∆y “ f pa`∆xq ´ f paq.

3 A diferencial da variável independente x , denotada por dx é definidocomo dx “ ∆x .

4 A diferencial da função f no ponto a, correspondente ao incremento∆x , denotada por dy é definido como dy “ f

1

paq∆x “ f1

paqdx , emgeral a A diferencial da função f em qualquer ponto x P Dompf q,correspondente ao incremento ∆x é dy “ f

1

pxqdx (dy „ δy)

Taxas Relacionadas

DefiniçãoSeja f : RÑ R função definida por y “ f pxq.

1 Se a P Dompf q e ∆x ‰ 0 é um número tal que a`∆x P Dompf q,então ∆x é chamado de incremento de x , observe que o incremento∆x é a mudança que experimenta a variável independente x ao passarde a até a`∆x .

2 A mudança que experimenta y (quando x ao passar de a até a`∆x .)é o incremento de y , denotado por ∆y e esta definido por∆y “ f pa`∆xq ´ f paq.

3 A diferencial da variável independente x , denotada por dx é definidocomo dx “ ∆x .

4 A diferencial da função f no ponto a, correspondente ao incremento∆x , denotada por dy é definido como dy “ f

1

paq∆x “ f1

paqdx , emgeral a A diferencial da função f em qualquer ponto x P Dompf q,correspondente ao incremento ∆x é dy “ f

1

pxqdx (dy „ δy)

Exemplo1 Se f pxq “ x2 calcule ∆y e dy para a “ 3 e ∆x “ 0.3

2 Se o comprimento do raio de um círculo é 8, 25cm e o erro máximopossível é de ˘0, 05 Qual é o erro cometido ao calcular à área?

3 Se y “ 6 3?x4, calcule dy em qualquer ponto x .

4 Um quadro de 1m de altura é colocado em uma parede de tal formaque sua base esteja no mesmo nível dos olhos de um observador queestá se aproximando da parede a uma velocidade de 3m{s. Com quevelocidade a medida do ângulo de visão do quadro estará variandoquando o observador estiver a 2m da parede?

Exemplo1 Se f pxq “ x2 calcule ∆y e dy para a “ 3 e ∆x “ 0.32 Se o comprimento do raio de um círculo é 8, 25cm e o erro máximo

possível é de ˘0, 05 Qual é o erro cometido ao calcular à área?

3 Se y “ 6 3?x4, calcule dy em qualquer ponto x .

4 Um quadro de 1m de altura é colocado em uma parede de tal formaque sua base esteja no mesmo nível dos olhos de um observador queestá se aproximando da parede a uma velocidade de 3m{s. Com quevelocidade a medida do ângulo de visão do quadro estará variandoquando o observador estiver a 2m da parede?

Exemplo1 Se f pxq “ x2 calcule ∆y e dy para a “ 3 e ∆x “ 0.32 Se o comprimento do raio de um círculo é 8, 25cm e o erro máximo

possível é de ˘0, 05 Qual é o erro cometido ao calcular à área?3 Se y “ 6 3

?x4, calcule dy em qualquer ponto x .

4 Um quadro de 1m de altura é colocado em uma parede de tal formaque sua base esteja no mesmo nível dos olhos de um observador queestá se aproximando da parede a uma velocidade de 3m{s. Com quevelocidade a medida do ângulo de visão do quadro estará variandoquando o observador estiver a 2m da parede?

propriedades do diferencial

Sejam u “ f pxq e v “ gpxq duas funções deriváveis e c uma constante,então:

1 dpcq “ 02 dpcuq “ cdu

3 dpu ˘ vq “ du ˘ dv

4 dpu ¨ vq “ vdu ` udv

5 dpuv q “vdu´udv

v2 sempre que v ‰ 0.

ExemploSe f pxq “ 4x?

x2`x2 , achar df pxq.

15a Aula

Teorema de Rolle e Teorema do Valor MédioDefinição (Valores Máximos e Mínimos de uma função)Seja f : RÑ R uma função com dominio D Ă R e seja a P D.

1 Diremos que f apresenta valor máximo global em x “ a se:

f pxq ď f paq,@x P D

2 Diremos que f apresenta valor mínimo global em x “ a se:

f paq ď f pxq,@x P D

3 Diremos que f apresenta valor máximo local em x “ a se existe δ ą 0tal que:

f pxq ď f paq,@x P pa´ δ; a` δq

4 Diremos que f apresenta valor mínimo local em x “ a se existe δ ą 0tal que:

f paq ď f pxq,@x P pa´ δ; a` δq

Teorema de Rolle e Teorema do Valor MédioDefinição (Valores Máximos e Mínimos de uma função)Seja f : RÑ R uma função com dominio D Ă R e seja a P D.

1 Diremos que f apresenta valor máximo global em x “ a se:

f pxq ď f paq,@x P D

2 Diremos que f apresenta valor mínimo global em x “ a se:

f paq ď f pxq,@x P D

3 Diremos que f apresenta valor máximo local em x “ a se existe δ ą 0tal que:

f pxq ď f paq,@x P pa´ δ; a` δq

4 Diremos que f apresenta valor mínimo local em x “ a se existe δ ą 0tal que:

f paq ď f pxq,@x P pa´ δ; a` δq

Teorema de Rolle e Teorema do Valor MédioDefinição (Valores Máximos e Mínimos de uma função)Seja f : RÑ R uma função com dominio D Ă R e seja a P D.

1 Diremos que f apresenta valor máximo global em x “ a se:

f pxq ď f paq,@x P D

2 Diremos que f apresenta valor mínimo global em x “ a se:

f paq ď f pxq,@x P D

3 Diremos que f apresenta valor máximo local em x “ a se existe δ ą 0tal que:

f pxq ď f paq,@x P pa´ δ; a` δq

4 Diremos que f apresenta valor mínimo local em x “ a se existe δ ą 0tal que:

f paq ď f pxq,@x P pa´ δ; a` δq

Teorema de Rolle e Teorema do Valor MédioDefinição (Valores Máximos e Mínimos de uma função)Seja f : RÑ R uma função com dominio D Ă R e seja a P D.

1 Diremos que f apresenta valor máximo global em x “ a se:

f pxq ď f paq,@x P D

2 Diremos que f apresenta valor mínimo global em x “ a se:

f paq ď f pxq,@x P D

3 Diremos que f apresenta valor máximo local em x “ a se existe δ ą 0tal que:

f pxq ď f paq,@x P pa´ δ; a` δq

4 Diremos que f apresenta valor mínimo local em x “ a se existe δ ą 0tal que:

f paq ď f pxq,@x P pa´ δ; a` δq

Exemplo1 Se f pxq “

?9´ x2 Determine os valores máximos e mínimos globais.

2 Se f pxq “ |2x |1`x2 Determine os valores máximos e mínimos globais.

Observação1 Se f pcq é um valor máximo ou mínimo, então ele será chamado de

valor extremos de f .

Exemplo1 Se f pxq “

?9´ x2 Determine os valores máximos e mínimos globais.

2 Se f pxq “ |2x |1`x2 Determine os valores máximos e mínimos globais.

Observação1 Se f pcq é um valor máximo ou mínimo, então ele será chamado de

valor extremos de f .

LemaSeja f : RÑ R uma função tal que:

1 f pcq é um extremo local de f

2 f é derivável em c

Então f1

pcq “ 0.

Definição (Ponto Crítico)Seja f : RÑ R uma função derivável em c P Dompf q. O número c échamado de ponto crítico de f ou ponto singular de f se f

1

pcq “ 0

LemaSeja f : RÑ R uma função tal que:

1 f pcq é um extremo local de f

2 f é derivável em c

Então f1

pcq “ 0.

Definição (Ponto Crítico)Seja f : RÑ R uma função derivável em c P Dompf q. O número c échamado de ponto crítico de f ou ponto singular de f se f

1

pcq “ 0

ExemplosCarcular os pontos críticos das seguintes funções:

1 16p2x

3 ` 3x2 ´ 36x ` 6q

2 f pxq “|2x |

1` x2

3 f pxq “x

7`

7x

16a Aula

Teorema (Teorema de Rolle)Seja f : ra; bs Ñ R uma função tal que:

1 f é contínua em ra; bs

2 f é derivável em pa; bq

3 f paq “ f pbq “ 0Então existe c P pa; bq f

1

pcq “ 0.

ExemploEn cada caso, dada f pxq, verifique se ela satisfaz o Teorema de Rolle noIntervalo I :

1 f pxq “ x43 ´ 3x

13 , I “ r0; 3s

2 f pxq “ x2´9xx´3 , I “ r0; 3s

Teorema (Teorema de Rolle)Seja f : ra; bs Ñ R uma função tal que:

1 f é contínua em ra; bs

2 f é derivável em pa; bq

3 f paq “ f pbq “ 0Então existe c P pa; bq f

1

pcq “ 0.

ExemploEn cada caso, dada f pxq, verifique se ela satisfaz o Teorema de Rolle noIntervalo I :

1 f pxq “ x43 ´ 3x

13 , I “ r0; 3s

2 f pxq “ x2´9xx´3 , I “ r0; 3s

Teorema do valor médioTeorema (T.V.M.)Seja f : ra; bs Ñ R uma função tal que:

1 f é contínua em ra; bs

2 f é derivável em pa; bq

Então existe c P pa; bq tal que f1

pcq “ f pbq´f paqb´a

ObservaçãoSejam f , g : ra; bs Ñ R funções

1 Se f é contínua em ra; bs e diferenciável em pa; bq tal que f1

pxq “ 0para todo x P pa; bq, então f pxq “ k para todo x P ra; bs.

2 Se f e g são contínuas em ra; bs e diferenciáveis em pa; bq tal quef1

pxq “ g1

pxq para todo x P pa; bq, então f pxq “ gpxq ` K para todox P ra; bs

17a Aula

Teorema do valor médioTeorema (T.V.M.)Seja f : ra; bs Ñ R uma função tal que:

1 f é contínua em ra; bs

2 f é derivável em pa; bq

Então existe c P pa; bq tal que f1

pcq “ f pbq´f paqb´a

ObservaçãoSejam f , g : ra; bs Ñ R funções

1 Se f é contínua em ra; bs e diferenciável em pa; bq tal que f1

pxq “ 0para todo x P pa; bq, então f pxq “ k para todo x P ra; bs.

2 Se f e g são contínuas em ra; bs e diferenciáveis em pa; bq tal quef1

pxq “ g1

pxq para todo x P pa; bq, então f pxq “ gpxq ` K para todox P ra; bs

17a Aula

Funções Crescentes e DecrescentesSeja f : RÑ R uma função, diremos que f pxq é:

Não Crescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com

x1 ă x2 ñ f px1q ě f px2q

Não Descrescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com

x1 ă x2 ñ f px1q ď f px2q

Crescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com

x1 ă x2 ñ f px1q ă f px2q

Descrescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com

x1 ă x2 ñ f px1q ą f px2q

Funções Crescentes e DecrescentesSeja f : RÑ R uma função, diremos que f pxq é:

Não Crescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com

x1 ă x2 ñ f px1q ě f px2q

Não Descrescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com

x1 ă x2 ñ f px1q ď f px2q

Crescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com

x1 ă x2 ñ f px1q ă f px2q

Descrescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com

x1 ă x2 ñ f px1q ą f px2q

Funções Crescentes e DecrescentesSeja f : RÑ R uma função, diremos que f pxq é:

Não Crescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com

x1 ă x2 ñ f px1q ě f px2q

Não Descrescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com

x1 ă x2 ñ f px1q ď f px2q

Crescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com

x1 ă x2 ñ f px1q ă f px2q

Descrescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com

x1 ă x2 ñ f px1q ą f px2q

Funções Crescentes e DecrescentesSeja f : RÑ R uma função, diremos que f pxq é:

Não Crescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com

x1 ă x2 ñ f px1q ě f px2q

Não Descrescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com

x1 ă x2 ñ f px1q ď f px2q

Crescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com

x1 ă x2 ñ f px1q ă f px2q

Descrescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com

x1 ă x2 ñ f px1q ą f px2q

TeoremaSeja f : RÑ R contínua em ra; bs e derivável em pa; bq.

1 Se f1

pxq ą 0 para todo x P pa; bq, então f é crescente em ra; bs.

2 Se f1

pxq ă 0 para todo x P pa; bq, então f é decrescente em ra; bs.

TeoremaSeja f : RÑ R contínua em ra; bs e derivável em pa; bq.

1 Se f1

pxq ą 0 para todo x P pa; bq, então f é crescente em ra; bs.2 Se f

1

pxq ă 0 para todo x P pa; bq, então f é decrescente em ra; bs.

Teste de 1ra Derivada

Seja f uma função definida numa vizinhança Bpc ; δq do ponto c e é:Contínua em Bpc ; δq “ pc ´ δ; +̧δq,Derivável em Bpc ; δq (excepto talves em c)

Logo1 Se f

1

pxq ą 0 para todo x P pc ´ δ; cq e f1

pxq ă 0 para todox P pc ; c ` δq, então f pcq é um valor de máximo local de f .

2 Se f1

pxq ă 0 para todo x P pc ´ δ; cq e f1

pxq ą 0 para todox P pc ; c ` δq, então f pcq é um valor de mínimo local de f .

Teste de 2da Derivada

Seja f uma função tal que:Existem suas derivadas até de sugunda ordem numa vizinhançaBpc ; δq do ponto c

f1

pcq “ 0f2

pcq ‰ 0Logo

1 Se f2

pxq ă 0 então f pcq é um valor de máximo local de f .2 Se f

2

pxq ą 0 então f pcq é um valor de mínimo local de f .

ExemplosDetermine os intervalos de crescimento e os valores extremos locais dasfunções:

1 f pxq “ x3 ´ x2 ´ 9x ` 2

2 gpxq “5x`

x

53 hpxq “ 1

1`|x | `1

1`|x´a| com a ą 0

4 f pxq “ x3 ` 3x2 ´ 24x ´ 10 no intervalo r0; 4s.

ObservaçãoSe f é definido em ra; bs, então ele tem máximo global e mínimo global(Teorema de Weierstrass), para achar eles, achamos os extremos locaisinteriores, calculamos os valores nos extremos do intervalo para finalmentecompararlos.

18a Aula

Concavidade e Pontos de inflexãoDefiniçãoSeja f : RÑ R uma função derivável no ponto c interior a Dompf qlembremos que a equação da reta tangente ao gráfico de f no pontoPpc , f pcqq éT pxq “ f pcq ` f

1

pcqpx ´ cq

1 Diremos que f é cóncava para cima no ponto c , se existe umavizinhança Bpc; δq Ă Dompf q tal que

upxq “ f pxq ´ T pxq ą 0,@x P Bpc; δq, x ‰ c

2 Diremos que f é cóncava para baixo no ponto c , se existe umavizinhança Bpc; δq Ă Dompf q tal que

upxq “ f pxq ´ T pxq ă 0,@x P Bpc; δq, x ‰ c

3 Diremos que f é concava para cima (baixo) em pa; bq se for concavapara cima (baixo) em todo ponto de pa; bq.

Concavidade e Pontos de inflexãoDefiniçãoSeja f : RÑ R uma função derivável no ponto c interior a Dompf qlembremos que a equação da reta tangente ao gráfico de f no pontoPpc , f pcqq éT pxq “ f pcq ` f

1

pcqpx ´ cq

1 Diremos que f é cóncava para cima no ponto c , se existe umavizinhança Bpc; δq Ă Dompf q tal que

upxq “ f pxq ´ T pxq ą 0,@x P Bpc; δq, x ‰ c

2 Diremos que f é cóncava para baixo no ponto c , se existe umavizinhança Bpc; δq Ă Dompf q tal que

upxq “ f pxq ´ T pxq ă 0,@x P Bpc; δq, x ‰ c

3 Diremos que f é concava para cima (baixo) em pa; bq se for concavapara cima (baixo) em todo ponto de pa; bq.

Concavidade e Pontos de inflexãoDefiniçãoSeja f : RÑ R uma função derivável no ponto c interior a Dompf qlembremos que a equação da reta tangente ao gráfico de f no pontoPpc , f pcqq éT pxq “ f pcq ` f

1

pcqpx ´ cq

1 Diremos que f é cóncava para cima no ponto c , se existe umavizinhança Bpc; δq Ă Dompf q tal que

upxq “ f pxq ´ T pxq ą 0,@x P Bpc; δq, x ‰ c

2 Diremos que f é cóncava para baixo no ponto c , se existe umavizinhança Bpc; δq Ă Dompf q tal que

upxq “ f pxq ´ T pxq ă 0,@x P Bpc; δq, x ‰ c

3 Diremos que f é concava para cima (baixo) em pa; bq se for concavapara cima (baixo) em todo ponto de pa; bq.

DefiniçãoSeja f uma função contínua no ponto c , diremos que o ponto Ppc , f pcqq éum ponto de inflexão de f se existe δ ą 0 tal que as concavidades nosintervalos pc ´ δ; cq e pc ; c ` δq são diferentes.

TeoremaSeja f : RÑ R derivável ate a segunda ordem numa vizinhançaBpc ; δq Ă Dompf q.

1 Se f2

‰ 0 e f2

ą 0, então f é concava para cima no ponto c .2 Se f

2

‰ 0 e f2

ă 0, então f é concava para baixo no ponto c .3 Se f

2

pcq “ 0 e f3

pcq ‰ 0 então Ppc ; f pcqq é um ponto de inflexão def .

DefiniçãoSeja f uma função contínua no ponto c , diremos que o ponto Ppc , f pcqq éum ponto de inflexão de f se existe δ ą 0 tal que as concavidades nosintervalos pc ´ δ; cq e pc ; c ` δq são diferentes.

TeoremaSeja f : RÑ R derivável ate a segunda ordem numa vizinhançaBpc ; δq Ă Dompf q.

1 Se f2

‰ 0 e f2

ą 0, então f é concava para cima no ponto c .

2 Se f2

‰ 0 e f2

ă 0, então f é concava para baixo no ponto c .3 Se f

2

pcq “ 0 e f3

pcq ‰ 0 então Ppc ; f pcqq é um ponto de inflexão def .

DefiniçãoSeja f uma função contínua no ponto c , diremos que o ponto Ppc , f pcqq éum ponto de inflexão de f se existe δ ą 0 tal que as concavidades nosintervalos pc ´ δ; cq e pc ; c ` δq são diferentes.

TeoremaSeja f : RÑ R derivável ate a segunda ordem numa vizinhançaBpc ; δq Ă Dompf q.

1 Se f2

‰ 0 e f2

ą 0, então f é concava para cima no ponto c .2 Se f

2

‰ 0 e f2

ă 0, então f é concava para baixo no ponto c .

3 Se f2

pcq “ 0 e f3

pcq ‰ 0 então Ppc ; f pcqq é um ponto de inflexão def .

DefiniçãoSeja f uma função contínua no ponto c , diremos que o ponto Ppc , f pcqq éum ponto de inflexão de f se existe δ ą 0 tal que as concavidades nosintervalos pc ´ δ; cq e pc ; c ` δq são diferentes.

TeoremaSeja f : RÑ R derivável ate a segunda ordem numa vizinhançaBpc ; δq Ă Dompf q.

1 Se f2

‰ 0 e f2

ą 0, então f é concava para cima no ponto c .2 Se f

2

‰ 0 e f2

ă 0, então f é concava para baixo no ponto c .3 Se f

2

pcq “ 0 e f3

pcq ‰ 0 então Ppc ; f pcqq é um ponto de inflexão def .

ExemploDetermine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão dasseguintes funções:

1 f pxq “ x4 ´ 3x3 ´ x ` 12 f pxq “ x`3

x´3

19a Aula

Traçado de Curvas

1 Determinar o dominio Dompf q de f .

2 Determinar as interseções com os eixos.3 Verificar simetrias da função, existência de assintotas, calcular limites

laterais nos extremos do dominio e nos pontos de discontinuidade.4 Determinar os intervalos de crescimento e os valores extremos da

função.5 Determinas os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.6 Construir o grafico com o auxilio das informações anteriores.

Traçado de Curvas

1 Determinar o dominio Dompf q de f .2 Determinar as interseções com os eixos.

3 Verificar simetrias da função, existência de assintotas, calcular limiteslaterais nos extremos do dominio e nos pontos de discontinuidade.

4 Determinar os intervalos de crescimento e os valores extremos dafunção.

5 Determinas os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.6 Construir o grafico com o auxilio das informações anteriores.

Traçado de Curvas

1 Determinar o dominio Dompf q de f .2 Determinar as interseções com os eixos.3 Verificar simetrias da função, existência de assintotas, calcular limites

laterais nos extremos do dominio e nos pontos de discontinuidade.

4 Determinar os intervalos de crescimento e os valores extremos dafunção.

5 Determinas os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.6 Construir o grafico com o auxilio das informações anteriores.

Traçado de Curvas

1 Determinar o dominio Dompf q de f .2 Determinar as interseções com os eixos.3 Verificar simetrias da função, existência de assintotas, calcular limites

laterais nos extremos do dominio e nos pontos de discontinuidade.4 Determinar os intervalos de crescimento e os valores extremos da

função.

5 Determinas os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.6 Construir o grafico com o auxilio das informações anteriores.

Traçado de Curvas

1 Determinar o dominio Dompf q de f .2 Determinar as interseções com os eixos.3 Verificar simetrias da função, existência de assintotas, calcular limites

laterais nos extremos do dominio e nos pontos de discontinuidade.4 Determinar os intervalos de crescimento e os valores extremos da

função.5 Determinas os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.6 Construir o grafico com o auxilio das informações anteriores.

Exemplo1 f pxq “ x2´x´2

x´52 f pxq “ x

x´4

19a Aula