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Universidad Tecnológica NacionalFacultad Regional Tucumán

Trabajo FinalMatemática Superior:

Gráficas de Funciones DiscretasGeoGebra 5.0.2

Carrera: Ingeniería en SistemasCatedra: Matemática SuperiorProfesor: Ricardo Adra

Alumno: Paliza César GermánLegajo: 33321

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INDICE

Tema Pág.

Introducción GeoGebra 3

Comando Utilizados en GeoGebra para Graficar Funciones Discretas 4

Pasos para Graficar Funciones Discretas en GeoGebra 5

Funciones del libro Oppenheim con sus respectivas graficas discretas 9Casos de estudio serie de Fourier 33

Ejemplos realizados en GeoGebra 34

Conclusión 49

Bibliografía 49

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¿Qué es GeoGebra?GeoGebra es un software libre de matemática dinámica, para aprender y enseñar en todos los niveles

educativos. Este manual aborda todos los comandos y herramientas de GeoGebra 5.0. Según el hardware y las

preferencias, se puede elegir entre GeoGebra 5.0 Escritorio y tabletas cuyas diferencias se detallan en

términos de empleo y diseño.

Si bien ambas alternativas ofrecen todo el repertorio de posibilidades de GeoGebra, sus interfaces  difieren

ligeramente. 

Partes de la Ventana:

http://www.geogebra.org/http://www.geogebra.org/wiki/es/Comandoshttp://www.geogebra.org/wiki/es/Herramientashttp://www.geogebra.org/wiki/es/Notas_Lanzamiento_de_GeoGebra_5.0http://www.geogebra.org/download/http://www.geogebra.org/wiki/es/GeoGebra_5.0_escritorio_vs._Web_o_Tablethttp://www.geogebra.org/wiki/es/GeoGebra_5.0_escritorio_vs._Web_o_Tablethttp://www.geogebra.org/wiki/es/GeoGebra_5.0_escritorio_vs._Web_o_Tablethttp://www.geogebra.org/wiki/es/GeoGebra_5.0_escritorio_vs._Web_o_Tablethttp://www.geogebra.org/wiki/es/GeoGebra_5.0_escritorio_vs._Web_o_Tablethttp://www.geogebra.org/wiki/es/GeoGebra_5.0_escritorio_vs._Web_o_Tablethttp://www.geogebra.org/download/http://www.geogebra.org/wiki/es/Notas_Lanzamiento_de_GeoGebra_5.0http://www.geogebra.org/wiki/es/Herramientashttp://www.geogebra.org/wiki/es/Comandoshttp://www.geogebra.org/

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Comandos Utilizados en GeoGebra para Graficar Funciones Discretas

Comando SecuenciaSecuencia[ , , , ]

Lista los objetos creados al conjugar la expresión con el índice que varía en el rango del valor inicial al final.

Así, Secuencia[Expresión, ñ, a, b] lista los objetos creados por la Expresión con el índice ñ desde el valor a al b.

Ejemplo:

l_s := Secuencia[(2, ñ), ñ, 1, 5] lista los puntos de abscisa 2 y ordenadas de valores sucesivos en el rango de 1 a5:

l_l = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}

Comando Encadena

Encadena[ , , ... ]

Encadena dos o más listas, dando por resultado una nueva con la sucesión de elementos de cada una de las

dadas, sin re-ordenamiento alguno.

Nota: La nueva lista contiene todos los elementos de cada una de las dadas, pese a posibles repeticiones y sin

re-ordenamiento alguno.

Ejemplo:Encadena[{5, 4, 3}, {1, 2, 3}] crea la lista {5, 4, 3, 1, 2, 3}

Comando Segmento

Segmento[ , ]

Crea el segmento entre los dos puntos extremos indicados.

Ejemplo: Segmento[A, B] traza el segmento entre los puntos A y B.

Comando ElementoElemento[ , ]

Da por resultado el elemento enésimo de la lista.Ejemplo:

Elemento[{1, 3, 2}, 2] da 3, el segundo elemento de {1, 3, 2}.

Herramienta deslizador

Es una representación gráfica de un número libre o ángulo libre

Puede crearse desde cualquiera existente, sencillamente, exponiendo tal objeto en la Vista Gráfica

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Pasos para Graficar Funciones Discretas en GeoGebraPara recrear ecuaciones del libro Oppenheim en GeoGebra se seguirá el siguiente mecanismo:

*En este caso utilizamos una función trivial y fácil de graficar: f(x) = sen (x)

1. Primero graficamos la función continua introduciéndola en la barra de Entrada

2. Luego hacemos clic derecho sobre la función en el panel “Vista Algebraica”, se desplegara un menú,

procedemos haciendo clic en Propiedades:

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3. Aparecerá el cuadro de Dialogo “Preferencias”, aquí retocamos la función continua cambiando su color, el

estilo de trazo, opacidad, etc.

4. Luego insertaremos un Deslizador, que será utilizado en pasos posteriores, para ello hacemos clic en el

icono de deslizador como se muestra en la siguiente captura, y luego en la vista gráfica.

Se abrirá un cuadro de dialogo donde nos pedirá valores (nombre, min, max, etc) para asignar al deslizador, lo

configuraremos de la siguiente manera

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5. Mediante el Comando Secuencia graficaremos los valores discretos dela función donde la sintaxis general

utilizada será:

= Secuencia[(, ), , , , ]

Y particularizado para este ejemplo

ListaPtosDiscreta = Secuencia[(i, sen(i)), i, -300, 300, c]

*El deslizador c será utilizado para modificar el intervalo para poder apreciar varia la función, tomando

diferentes intervalos

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6. Luego Graficaremos los segmentos que van desde el eje x hacia los valores discretos mediante alguno de los

siguientes Comandos:

ListaSegmentos = Secuencia[Segmento[(i, 0), Elemento [Lista1 , i+301]], i, -300, 300,c]

Explicación:

* El comando segmento grafica un segmento desde el eje x hasta los valores discretos

* se utiliza el comando Elemento [ , i+300]

* se utiliza i +301 para que nos traiga el elemento desde i=1, ya que el comando secuencia toma como valor

inicial i=-300

ListaSegmentos = Secuencia[Segmento[(i, 0), (i, f(i))], i, -300, 300,c]

Explicación:

* Es una versión más simplificada donde f debe ser la función continua

Luego desactivaremos la función continua desde la vista algebraica y tendremos la Función Discreta:

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FUNCIONES DEL LIBRO OPPENHEIM CON SUS RESPECTIVAS GRAFICAS DISCRETAS

Ejemplo #1 : Cap 1 - Pag 27

Secuencias sinusoidales para diferentes frecuencias:

  74  

 

Para realizar el grafico en GeoGebra:

1. Para graficar la función continua introducimos: f(x) = cos(7 / 4 π x) en la barra de Entrada. Luego Creamos

un deslizador con los valores (min=0.1, max=1, incremento=0.1)

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2. Para graficar la función discreta introducimos: ListaDiscretos = Secuencia[(i, f(i)), i, -300, 300, c] en la barra

de Entrada

3. Para graficar los segmentos que van desde el eje x hasta los puntos de la función introducimos:

ListaSegmentos = Secuencia[Segmento[(i, 0), (i, f(i))], i, -300, 300, c] en la barra de Entrada

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Ejemplo #2 : Cap 3 - Pag 257 Problema 3.28

Determine los coeficientes de la serie de Fourier para la siguiente señal periódica discreta. Grafique la

magnitud y fase de cada conjunto de coeficiente ak.

Pto10 inciso b (Series de Fourier Discreta):

[] sin   .cos  Para realizar el grafico en GeoGebra:1. Para graficar la función continua introducimos: f(x) = sen(2π x / 3) cos((π x) / 2)  

en la barra de Entrada. Luego Creamos un deslizador con los valores (min=0.1, max=1, incremento=0.1)

2. Para graficar la función discreta introducimos: ListaDiscretos = Secuencia[(i, f(i)), i, -300, 300, c] en la barra

de Entrada

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3. Para graficar los segmentos que van desde el eje x hasta los puntos de la función introducimos:

ListaSegmentos = Secuencia[Segmento[(i, 0), (i, f(i))], i, -300, 300, c] en la barra de Entrada

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Ejemplo #3 : Cap 5 - Pag 364 - Ejemplo 5.2

Sea [] ||, || < 1 Esta señal está trazada en la figura 5.5(a) para 0 < < 1. Su transformada de Fourier se obtiene a partirde la ecuación (5.9) como

 () ||−+∞=−∞  

−∞=

−−=−∞

 

Para realizar el grafico en GeoGebra:

1. Para graficar la función continua introducimos f(x) = 0.2^abs(x) en la barra de Entrada. Luego Creamos un

deslizador con los valores (min=0.1, max=1, incremento=0.1)

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2. Para graficar la función discreta introducimos: ListaDiscretos = Secuencia[(i, f(i)), i, -300, 300, c] en la barra

de Entrada

3. Para graficar los segmentos que van desde el eje x hasta los puntos de la función introducimos:

ListaSegmentos = Secuencia[Segmento[(i, 0), (i, f(i))], i, -300, 300, c] en la barra de Entrada

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Ejemplo #4 : Cap 5 - Pag 365 - Ejemplo 5.3

Considere el pulso rectangular

Ecuación 5.10 [] 1, || ≤ 0, || >  El cual se ilustre en la figura 5.6(a) para

2. En este caso,

Ecuación 5.11 () −

=− 

Para realizar el grafico en GeoGebra:

1. Para graficar la función continua introducimos f(x) = Si[abs(x) < 2, 1, 0] en la barra de Entrada. Luego

Creamos un deslizador con los valores (min=0.1, max=1, incremento=0.1)

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2. Para graficar la función discreta introducimos: ListaDiscretos = Secuencia[(i, f(i)), i, -300, 300, c] en la barra

de Entrada

3. Para graficar los segmentos que van desde el eje x hasta los puntos de la función introducimos:

ListaSegmentos = Secuencia[Segmento[(i, 0), (i, f(i))], i, -300, 300, c] en la barra de Entrada

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Ejemplo #5 : Cap 5 - Pag 367 - Ejemplo 5.4

Sea x[n] el impulso unitario; esto es, x[n] δ[n]. En este caso, la ecuación de análisis (5.9) se evalúa fácilmente, con lo que obtiene

X(ej) 1. 

En otras palabras, al igual que en el caso continuo, el impulso unitario tiene una representación en transformada

de Fourier que consiste de contribuciones iguales en todas las frecuencias. Si aplicamos entonces la ecuación

(5.15) a este ejemplo, obtenemos

Ecuación 5.16x̂ [n] 12π ∫ ejdω sinWnπn

−  xn sin ∗ n / π ∗ n En la figura 5.7 se ofrece una gráfica de lo anterior para varios valores de W. Como puede verse, la frecuencia

de las oscilaciones en la aproximación se incrementa a medida que crece W, lo cual es similar a lo observado en

el caso continuo. Por otro lado, en contraste con este caso, la amplitud de dichas oscilaciones disminuye en

relación con la magnitud de x̂[0]  conforme se incrementa W, y éstas desaparecen por completo cuando W πPara W= π/4. 

Para realizar el grafico en GeoGebra:

1. Para graficar la función continua introducimos f(x) = sen((π / 4 x) / π x) en la barra de Entrada. Luego

Creamos un deslizador con los valores (min=0.1, max=1, incremento=0.1)

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2. Para graficar la función discreta introducimos: ListaDiscretos = Secuencia[(i, f(i)), i, -300, 300, c] en la barra

de Entrada

3. Para graficar los segmentos que van desde el eje x hasta los puntos de la función introducimos:

ListaSegmentos = Secuencia[Segmento[(i, 0), (i, f(i))], i, -300, 300, c] en la barra de Entrada

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Ejemplo #6 : Cap 5 - Pag 385 - Ejemplo 5.13

Considere un sistema LTI con respuesta al impulso

ℎ[] [] con || < 1, y suponga que la entrada al sistema es

[] [] Con || < 1. Evaluando las transformadas de Fourier de ℎ[] y [], tenemos

() 11 −   5.51 Y

 () 11 −   5.52 De manera que

() () () 11 − 1 −   5.53 

Al igual que en el ejemplo 4.19, determinar la transformada inversa de   se hace con mayor facilidadexpandiendo  mediante el método de fracciones parciales. Específicamente,   es una razón depolinomios en potencias de −, y nos gustaría expresar esto como una suma de términos de este tipo mássimples, de manera que podamos reconocer por inspección la transformada inversa de cada término (junto,

quizás, con el uso de la propiedad de diferenciación en frecuencia de la sección 5.3.8). El procedimiento

algebraico general para las transformadas racionales se describe en el apéndice. Para este ejemplo, si

≠ , la

expansión en fracciones parciales de  es de la forma()   1 − 1 −  5.54 

Igualando los miembros derechos de las ecuaciones (5.53) y (5.54), encontramos que

 

,

 

Por lo que, gracias al ejemplo 5.1 y a la propiedad de linealidad, podremos obtener por inspección la

transformada inversa de la ecuación (5.54):

[] [] []  5.55 

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1 [+[] +[]] Para , la expansión en fracciones parciales en la ecuación (5.54) no es válida. Sin embargo, en este caso

() 11 − 

La cual puede expresarse como

()   11 −  5.56 Al igual que en el ejemplo 4.19, podemos usar la propiedad de diferenciación en frecuencia, ecuación (5.46),

 junto con el par de transformada de Fourier

[] ℱ↔ 11 − Para concluir que

[] ℱ↔ 11 − Para tomar en cuenta el factor , usaremos la propiedad de desplazamiento de tiempo para obtener

1+[1] ℱ↔ 11 − Y, por último, tomando en cuenta el factor 1/ en la ecuación (5.56), obtendremos

[] 1[ 1]  5.57 Es importante observar que, aunque el miembro derecho se multiplica por un escalón que empieza en 1la secuencia 1[ 1] todavía es cero antes de 0, ya que el factor 1 es cero en 1. Asípodremos expresar de manera alternativa [] como

[] 1

[]  5.58 

Como se ilustra en el siguiente ejemplo, la propiedad de convolución, junto con otras propiedades de la

transformada de Fourier, son a menudo útiles en el análisis de la interconexión de sistemas.

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Para realizar el grafico en GeoGebra:

1. Para graficar la función continua introducimos: f(x) = (x + 1) (2^x) en la barra de Entrada. Luego Creamos un

deslizador con los valores (min=0.1, max=1, incremento=0.1)

2. Para graficar la función discreta introducimos: ListaDiscretos = Secuencia[(i, f(i)), i, -300, 300, c] en la barra

de Entrada

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3. Para graficar los segmentos que van desde el eje x hasta los puntos de la función introducimos:

ListaSegmentos = Secuencia[Segmento[(i, 0), (i, f(i))], i, -300, 300, c] en la barra de Entrada

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Ejemplo #7 : Cap 5 - Pag 389 - Ejemplo 5.15

Considere el problema de encontrar la transformada de Fourier de    de una señal []  la cual es eproducto de dos señales, esto es,

[] [][] Donde

[] sin3/4 

Y

[] sin/2  A partir de la propiedad de multiplicación dada en la ecuación (5.63), sabemos que   es la convoluciónperiódica de  y , donde la integral en la ecuación (5.63) se puede tomar sobre cualquier intervalode longitud 2. Seleccionando el intervalo de < < , obtenemos

 () 12 ∫  () −−   5.64 

La ecuación (5.64) se parece a la convolución aperiódica, excepto que la integración está limitada al intervalo < ≤ . Sin embargo, podemos convertir la ecuación en una convolución ordinaria al definir ()  ()p a r a < ≤ 0 con otro valor 

Entonces, al reemplazar  en la ecuación (5.64) por () y valiéndonos del hecho de que () escero para

|| > , vemos que

 () 12 ∫  () −

−  

12 ∫  () −∞

−∞  

Así,  es 1/2 veces la convolución aperiódica del pulso rectangular () y la onda cuadrada periódica 

, las cuales se muestran en la figura 5.19. El resultado de esta convolución es la transformada de Fourier,

  mostrada en la figura.

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Para realizar el grafico en GeoGebra:

1. Para graficar la función continua introducimos: f(x) = sen((3π x / 4) / (π x)) sen(π x / 2 π x) en la barra de

Entrada. Luego Creamos un deslizador con los valores (min=0.1, max=1, incremento=0.1)

2. Para graficar la función discreta introducimos: ListaDiscretos = Secuencia[(i, f(i)), i, -300, 300, c] en la barra

de Entrada

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3. Para graficar los segmentos que van desde el eje x hasta los puntos de la función introducimos:

ListaSegmentos = Secuencia[Segmento[(i, 0), (i, f(i))], i, -300, 300, c] en la barra de Entrada

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Ejemplo #8 : Cap 5 - Pag 394 - Ejemplo 5.16

Considere la siguiente señal periódica con periodo 9:

[]

1

9

sin59

sin9 , ≠ múltiplo de 9

5

9 , múltiplo de 9 5.72 

En el capítulo 3 encontramos que una onda rectangular tiene coeficientes de Fourier en una forma muy similar

a como sucede con la ecuación (5.72). Entonces, la dualidad sugiere que los coeficientes para [] deben estaren la forma de una onda rectangular. Para ver esto con mayor precisión, sea [] una onda rectangular conperiodo 9 tal que

[] 1, || ≤ 20, 2 < || ≤ 4

 

Los coeficientes de la serie de Fourier  para [] se pueden determinar del ejemplo 3.12 como

{

19sin59 sin9

, ≠ múltiplo de 95

9, múltiplo de 9

La ecuación de análisis (3.95) de la serie de Fourier para [] se puede escribir ahora como

19 1−/

=− 

Intercambiando los nombres de las variables  y  y observando que [] , encontramos que[] 1

9 1−/

=− 

Haciendo ´  en la suma del miembro derecho, obtenemos[] 19 +´/

´=−

 

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Por último, moviendo el factor 1/9 dentro de la sumatoria, vemos que el miembro derecho de esta ecuacióntiene la forma de la ecuación de síntesis (3.94) para []. Concluimos entonces que los coeficientes de Fourierde [] están dados por

1/9, || ≤ 20, 2 < || ≤ 4 Y, por supuesto, son periódicos con periodo

9.

Para realizar el grafico en GeoGebra:

1. Para graficar la función continua introducimos: f(x) = sen((3π x / 4) / (π x)) sen(π x / 2 π x) en la barra de

Entrada. Luego Creamos un deslizador con los valores (min=0.1, max=1, incremento=0.1)

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2. Para graficar la función discreta introducimos: ListaDiscretos = Secuencia[(i, f(i)), i, -300, 300, c] en la barra

de Entrada

3. Para graficar los segmentos que van desde el eje x hasta los puntos de la función introducimos:

ListaSegmentos = Secuencia[Segmento[(i, 0), (i, f(i))], i, -300, 300, c] en la barra de Entrada

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Ejemplo #9 : Cap 5 - Pag 400 -Problemas Basicos Ej. 5.3

Determine la transformada de Fourier para ≤ <  en cada caso de las siguientes señales periódicas:  a)  

[] 1

2 + 1

2 −+ 1

2 1/2−−  

12 , − 1/2−  

 () 2 26 2− 26    

26 − 26 } 

Para realizar el grafico en GeoGebra:

1. Para graficar la función continua introducimos: f(x) = sen(π x / 3 + π / 4) en la barra de Entrada. Luego

Creamos un deslizador con los valores (min=0.1, max=1, incremento=0.1)

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2. Para graficar la función discreta introducimos: ListaDiscretos = Secuencia[(i, f(i)), i, -300, 300, c] en la barra

de Entrada 

3. Para graficar los segmentos que van desde el eje x hasta los puntos de la función introducimos:

ListaSegmentos = Secuencia[Segmento[(i, 0), (i, f(i))], i, -300, 300, c] en la barra de Entrada

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Ejemplo #10 : Cap 5 - Pag 400 -Problemas Basicos Ej. 5.3 inciso b

b) 2 cos  [] 2 12

+ 12 −+ 2 12

1/2−− 

2, 12 , − 1/2−  () 2 2 212 2− 212 

4 / 6 −/ 6 Para realizar el grafico en GeoGebra:

1. Para graficar la función continua introducimos: f(x) = 2 + cos(π / 6 x + π / 8) en la barra de Entrada. Luego

Creamos un deslizador con los valores (min=0.1, max=1, incremento=0.1)

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CASOS DE ESTUDIO SERIE DE FOURIER

Serie de FourierUna serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a

trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de

Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una

suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples

Las series de Fourier tienen la forma:

Comandos utilizadosUtilizamos los ya mencionados en la pág. 4, a los que se les suma:

Comando Si

Si[ , , ]Siendo la condición verdadera (true), entonces crea el objeto especificado y el señalado en segundo lugar si no lo fuera -

false -.

El comando Si y/o los booleanos en general, permiten crear funciones condicionadas por tramos,

Comando SumaSuma[ ]

Suma todos los elementos de la lista.

Método Utilizado para Graficar la Resolución:

El operador suma (

∑=

) es simulado por el operador Suma.

Que al tener dentro el Operador secuencia, genera todos las armónicas desde 1 hasta el deslizador “arm” 

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2. Para graficar la función introducimos en la barra de Entrada: f(x) = Si[-π < x < π, x^2] 

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3. Ahora insertaremos un Deslizador con los siguientes parámetros:

Este deslizador modificara la cantidad de Armónicas que tendrá la futura Serie de Fourier

4. Para graficar la función introducimos en la barra de Entrada:

g(x) = 1 / 3 π² + 4Suma[Secuencia[(-1)^n / n² cos(n x), n, 1, arm]]

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5. Al mover el deslizador arm, podemos apreciar cómo se suman las correspondientes armónicas, tanto en la

vista gráfica como en la Algebraica.

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EJEMPLO 2Se considera la función   definida por

  , 2 ≤ ≤ 0 , 0 ≤ ≤ 2  Y se considera que   4  Su Serie de Fourier es:

  1 8   cos/2∞=,,  Para realizar el grafico en GeoGebra:

1. Para graficar la función introducimos en la barra de Entrada:

- f(x) = Si[-2 < x < 0, -x]

- g(x) = Si[0 < x < 2, x]

* En este caso se utilizaron dos funciones, por que es la forma que tiene geogebra oara graficar funciones por

partes.

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2. Ahora insertaremos un Deslizador con los siguientes parámetros:

3. Para graficar la Serie de Fourier introducimos en la barra de Entrada:

h(x) = 1 - 8 / π² Suma[Secuencia[cos(n π x / 2) / n², n, 1, arm, 2]]  

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4. Al mover el deslizador arm, podemos apreciar cómo se suman las correspondientes armónicas, tanto en la

vista gráfica como en la Algebraica. 

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EJEMPLO 3Se considera la función   definida por   ≤ ≤  Y se considera que   0 , 2 Su Serie de Fourier es:

  8 1+∞

= ∗sen  Para realizar el grafico en GeoGebra:

1. Insertaremos un Deslizador con los siguientes parámetros 

* Este representara la cte L de la que depende la función

2. Para graficar la función introducimos en la barra de Entrada: f(x)= Si[-L < x < L, x] 

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3. Ahora insertaremos un Deslizador con los siguientes parámetros:

4. Para graficar la Serie de Fourier introducimos en la barra de Entrada:

g(x) = (2L) / π Suma[Secuencia[(-1)^(n + 1) / n sen((n π x) / L), n, 1, arm]]  

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5. Al mover el deslizador arm, podemos apreciar cómo se suman las correspondientes armónicas, tanto en la

vista gráfica como en la Algebraica.

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EJEMPLO 4 

Se considera la función   definida por  1 ^2 1 ≤ ≤ 1 Y se considera que es una función periodica Su Serie de Fourier es:

  23 4 ∗ 1∞= ∗cos Para realizar el grafico en GeoGebra:1. Para graficar la función introducimos en la barra de Entrada: f(x) = Si[-1 < x < 1, 1 - x²]

2. Ahora insertaremos un Deslizador con los siguientes parámetros:

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3. Para graficar la Serie de Fourier introducimos en la barra de Entrada:

g(x) = 2 / 3 - 4 / π² Suma[Secuencia[(-1)^n / n² cos(n π x), n, 1, arm]] 

4. Al mover el deslizador arm, podemos apreciar cómo se suman las correspondientes armónicas, tanto en la

vista gráfica como en la Algebraica.

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EJEMPLO 5

Se considera la función periódica   definida por  1 , /2 ≤ ≤ 01 , 0 ≤ ≤ /2  

Donde / 2 ≤ ≤ / 2 T es el periodo de la funcion y 2 ∗ /  Su Serie de Fourier es:

  4  12 1   1  ∗ ∞

=,, 

Para realizar el grafico en GeoGebra:

1. Insertaremos un Deslizador con los siguientes parámetros:

* Este deslizador representara la amplitud de la función

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2. Para graficar la función introducimos en la barra de Entrada:

- f(x) = Si[(-T) / 2 ≤ x ≤ 0, -1]

- g(x) = Si[0 ≤ x ≤ T / 2, 1]  

* Se utilizaran dos funciones, porque esta es la manera que tiene GeoGebra de graficar funciones por partes

3. Para graficar la Serie de Fourier introducimos en la barra de Entrada:

H(x) = 4 / π Suma[Secuencia[1 / (2n - 1) sen((2n - 1) x ω), n, 1, arm]] 

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4. Ahora insertaremos un Deslizador con los siguientes parámetros:

5. Al mover el deslizador arm, podemos apreciar cómo se suman las correspondientes armónicas, tanto en la

vista gráfica como en la Algebraica.

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Conclusión:

GeoGebra es un software, sumamente versátil con el que se pueden graficar todo tipo de

funciones, incluyendo continuas, discretas, señales.

También cuenta con una wiki donde se puede obtener información sobre su funcionamiento y

un foro de respaldo, que aunque no es tan grande como el de otros software, va en

crecimiento.

A esto se le suma que es multiplataforma y cuenta con aplicaciones para todos los sistemas

operativos y además una completa aplicación de Google Chrome que se puede ejecutar en

cualquier sistema operativo sin necesidad de instalar aplicación alguna

Bibliografía:

- Oppenheim - Señales y Sistemas.- http://www.geogebra.org/wiki/en/Manual