MATEHUTIKOS a la XXII Jornada Didàctica Matemàtica d’ABEAM

Algoritmes ambpaper, tisores, gometsi cinta adhesiva

Per aquest taller hem seleccionat un conjunt d’activitatsque miren d’enfocar el procés demostratiu/argumentatiudesproveint-lo del llenguatge formal i permetre així unaexploració dels conceptes de manera que l’alumne nopugui recórrer a la memòria (el com es fa). Sovint elsprofessors percebem com a familiar manipulacions al-gèbriques, fórmules per al càlcul d’àrees, descomposici-ons aritmètiques, i no recordem el moment inaccessible(abans de la seva comprensió) que té el llenguatge sim-bòlic (buit de significat).És per això que us proposem una sèrie d’activitats on laforma d’expressar el concepte (una forma que en podrí-em dir manipulativa) ajuda l’alumne a fer-lo emergir. Ai-xí és com un alumne es va familiaritzant a poc a poc ambles diferents representacions de les objectes matemàtics.I així és com, a poc a poc, va agafant confiança de quèla millor eina de la que disposa per a resoldre situacionsmatemàtiques és el seu pensament. Les activitats, adre-çades a l’ESO, versaran sobre: descomposició de nombresprimers, àrees de triangles i polígons, mesura de pi, elsangles interiors d’un polígon,... i tot, és clar, amb gomets,paper, tisores i cinta adhesiva.

Per a més informació sobre l’ecosistema que ofereix Matheutikos, podeu donar un cop d’ull aquí:

matheutikos.com

Pots contactar amb nosaltres per a demanar accés a la resta d’activitats, incloent les activitats interactives a:

adominguez@matheutikos.com

NOMDATACURS

Representació operacional dels nombres enters

Considerarem l’operació de sumar una unitat positiva com afegir una rodona:

���+� = ��� �Si volem eliminar una rodona, podem indicar-ho així

��⊗ = ��Això també ho podem representar en forma d’operació afegint una creu o unitat negativa:

���+× = ��⊗ = ��És a dir, estem acceptant que el resultat de sumar un cercle i una creu dóna zero com a resultat:

�+× = ⊗ = 0� Exercici 1: Quin és el resultat (gràfic) de les següents operacions?

���+×× = ��+×× =

� Exercici 2: A quins nombres corresponen les següents representacions?

� = × = ××× = ⊗ = ⊗⊗⊗ =

� Exercici 3: Seguint aquestes regles, representa el resultat de les següents operacions (amb dibuixos)

��+�� =

��+×× =

×+�� =

��−� =

−�+�� =

� Exercici 4: Transforma les següents operacions en una suma i determina’n el resultat (amb dibuixos):

���−� = ���+ . . . =

��−×× = ��+ . . . . . . =

×−�� = ×+ . . . . . . =

��−� = ��+ . . . =

−�+�� = + . . .+�� =

� Exercici 5: Expressa les següents operacions de forma simbòlica emprant cercles i creus:

3+ (−5) = ���+×××××

2+ (−3) =

(−5) + 3 =

(−2) + (−1) =

� Exercici 6: Expressa les següents operacions primer en la seva forma simbòlica, converteix-es després en unasuma i dona el resultat numèric al final:

3− (−5) = ���−××××× = ���+ . . . . . . . . . . . . =

2− (−3) =

(−5)− 3 =

(−2)− (−1) =

0− (−1) =

2− (1− 3) =

� Exercici 7: Ara aplicarem la propietat distributiva dels producte de nombres naturals:

5 · (2 + 4) = 5 · 2+5 · 4

als nostres nombres simbòlics. Aplica questa propietat al següent producte:

× · (�+×) = . . . . . . · . . . . . .+ . . . . . . · . . . . . .� Exercici 8: Quin és el resultat de multiplicar un nombre qualsevol per la unitat (1)? i per zero?

2 · 1 = 5 · 1 = 123 · 1 = × ·� =2 · 0 = 5 · 0 = 123 · 0 = × · ⊗ =

� Exercici 9: Quin és el resultat de les següents operacions?

(�+×) = × · (⊗) = × · (�+×) = × · . . . =

� Exercici 10: Quin valor ha de prendre, per tant, la següent operació?

× ·�+× · × =

� Exercici 11: Podries argumentar quant ha de valer del següent producte a partir del resultat anterior?

× · × =

NOMDATACURS

Com retallar un nombre

Agafarem una tira feta de quadradets iguals. Volem retallar la tira sense trencar cap quadrat. Amb els retalls quehaguem obtingut, els apilarem l’un al damunt de l’altre, com per exemple:

�

→

Només imposarem les següents restriccions: cal que la figura resultant sigui un rectangle i cal utilitzar tots elsquadradets de la tira original.� Exercici 1: Quants rectangles diferents pots fer retallant una tira com aquesta? (enganxa’ls aquí)

� Exercici 2: Quants rectangles diferents pots fer retallant una tira com aquesta?

� Exercici 3: Quants rectangles diferents pots fer retallant una tira com aquesta?

� Exercici 4: Quants rectangles diferents pots fer retallant una tira com aquesta?

� Exercici 5: Quants rectangles diferents pots fer retallant una tira com aquesta?

Examinem el resultat

� Exercici 6: Què podem dir sobre l’àrea dels rectangles que es formen amb aquest procediment?

� Exercici 7: Quina propietat tenen les tires que només poden formar un rectangle? (o dos rectangles, segons comes miri)

� Exercici 8: Quina longitud tenia la tira amb la que has pogut formar més rectangles?

� Exercici 9: Podries endevinar quants rectangles es poden formar amb una tira de 36 quadradets sense haver-lade retallar?

Full de Retalls

NOMDATACURS

La forma dels nombres

Representarem els nombres primers amb figures geomètriques. Per exemple, escriurem el nombre 2 com un cerclei el nombre 3 com un triangle, el 5 com un pentàgon:

2→ 3→ 5→

A un dibuix amb cercles, triangles, pentàgons, li farem correspondre un valor numèric, que serà igual al productedels nombres que representa:

→ 2× 2× 3

� Exercici 1: A quins nombres representen aquestes agrupacions (calcula el nombre)?

→ → →

� Exercici 2: Centrem-nos en un conjunt específic (calcula el nombre que representa aquest conjunt):

→

� Exercici 3: Volem esbrinar de quantes maneres el podem dividir. Per a saber-ho, separarem unes quantes figuresa un costat i la resta a l’altre costat:

a) Quin nombre representa cadascuna de les figures resultants?

b) Els nombres així obtinguts, són divisors del nombre original?

� Exercici 4: Dibuixa totes les maneres de separar les cinc figures (tres triangles i dos cercles) que originennombres diferents, tot indicant a sota de cada agrupació, de quins divisors es tracta:

� Exercici 5: Escriu tots els divisors del nombre que estem estudiant (108) endreçats de petit a gran.

� Exercici 6: Examina què passa quan multipliquem el divisor més petit amb el més gran, el segon més petit ambel penúltim de la llista, el tercer amb l’antepenúltim. Quina regla hi veus?

� Exercici 7: Si volem que aquesta regla funcioni per a tots els casos, quin divisor hem d’assignar al conjunt que noconté cap element?

� Exercici 8: A primera vista, quina de les següents agrupacions representa un nombre que té tants divisors com108?

→ → →

� Exercici 9: Fent servir altres nombres primers, escriu un nombre del qual puguis assegurar que té tants divisorscom 108 i que a més sigui múltiple de 7.

� Exercici 10: Dibuixa totes les maneres de separar aquestes cinc figures. Quants divisors té aquest nombre?

tot indicant a sota de cada agrupació, de quins divisors es tracta:

� Exercici 11: Comenta el resultat (si t’ha donat igual que en el cas anterior, o més gran, o més petit, etc)

NOMDATACURS

Com trobar múltiples i divisors a partir de la forma dels nombres

Seguirem emprant la representació dels nombres primers amb figures geomètriques. Per exemple, escriurem elnombre 2 com un cercle i el nombre 3 com un triangle, el 5 com un pentàgon:

2→ 3→ 5→

A un dibuix amb cercles, triangles, pentàgons, li farem correspondre un valor numèric, que serà igual al productedels nombres que representa:

##△

→ 2× 2× 3

� Exercici 1: Escriu els 8 primers múltiples del nombre 6

� Exercici 2: Representa cadascun d’aquests nombres amb un diagrama de figures

6

#△

12

� Exercici 3: Escriu els 6 primers múltiples de 10

� Exercici 4: Representa cadascun d’aquests nombres amb un diagrama de figures

10

#D

� Exercici 5: De tots els múltiples que són comuns a 6 i a 10, quin és el més petit de tots? Fes la seva representació.

6

#△

mcm

10

#D

� Exercici 6: Basant-te en aquesta estratègia, quin és el múltiple més petit a aquests dos nombres?

△D

mcm

#D

� Exercici 7: Dels dos nombres que hi ha representats, quin és el múltiple més petit que és comú a tots dos?

Nombre B

△△#

mcm

Nombre A

##

△

Comprova que no t’has equivocat escrivint els múltiples de cada nombre i encerclant el més petit del comú delsmúltiples

nombre A :

nombre B :

� Exercici 8: Donats els nombres 42 i 175, escriu quina forma tindrà el mínim comú dels múltiples (no cal que elcalculis).

Potències factors primers

mcm(42,175) =

42 mcm(42,175) 175

� Exercici 9: Seguint aquesta estratègia podem determinar fàcilment el màxim comú divisor de dos nombres.

Potències factors primers

mcd(180,240) =

180 mcd(180,240) 240

Potències factors primers

mcd(135,315) =

135 mcd(135,315) 315

Potències factors primers

mcd(42,175) =

42 mcd(42,175) 175

NOMDATACURS

Angles i polígons

� Exercici 1: Una forma de sumar tots els angles d’un triangle és retallant les puntes i enganxant-les en un cerclegraduat l’una al costat de l’altre. Retalla les puntes dels tres primers triangles del full de retalls i enganxa’ls alstres cercles graduats.

� Exercici 2: Formula una frase que comenci dient "Qualsevol triangle compleix que...ï expressi el que s’observaa l’apartat anterior

� Exercici 3: Examinem ara uns quants polígons. Quants cercles necessites per a enganxar totes les puntes delspolígons? (pinta les puntes dels polígons del mateix color, emprant un color diferent per a cada polígon, per talde distingir-los)

� Exercici 4: Raona si podem entendre la relació a partir d’aquest esquema:

� Exercici 5: Podem aplicar el mateix raonament al pentàgon dividint-lo en triangles? I a l’hexàgon? (dibuixa elstriangles que siguin necessaris)

� Exercici 6: Quin serà el resultat de sumar tots els angles interiors de l’heptàgon? I de l’octògon?

� Exercici 7: Quant sumaran els angles interiors d’un polígon com aquests?

� Exercici 8: Sabries enunciar una conjectura que comencés per La suma dels angles interiors d’un polígon de ncostats... i expressés el que has descobert?

Full de Retalls

NOMDATACURS

Superfície de poligons i tisores

� Exercici 1: Mesura amb un regle els segments indicats amb un requadre. Després retalla per la línia indicada elparal·lelogram (fes servir el full de retalls) i enganxa els pedaços al rectangle. Pinta cada pedaç d’un color diferent.Quina de les figures ocupa més superfície?

b =

a =

b =

�

h =

� Exercici 2: Mesura amb un regle els segments indicats amb un requadre. Després retalla per la línia indicada elparal·lelogram (fes servir el full de retalls) i enganxa els pedaços al rectangle. Pinta cada pedaç d’un color diferent.Quina de les figures ocupa més superfície?

b =

a =

b =

h =

�

� Exercici 3: Mesura els segments indicats. Després hauràs de fer talls verticals (sempre per la línia dibuixada) ienganxar els pedaços al rectangle del costat. Hauràs de repetir el procediment fins que els pedaços no superin lalínia vertical. Pinta cada pedaç d’un color diferent. Quina de les figures ocupa més superfície?

b =

a =

b =

h =

�

� Exercici 4: Raona si la següent afirmació és correcta: l’àrea d’un paral·lelogram només pot dependre de la seva basei la seva altura. Argumenta observant si els paral·lelograms caben dins dels rectangles quan els retallem.

� Exercici 5: Quina àrea tenen els rectangles dels exercicis anteriors? Dona primer una expressió algèbrica isubstitueix els valors dels costats mesurats després.

Expressió àrea rectangle: A=

Expressió àrea paral·lelogram: A=

Àrea fig 1 fig 2 fig 3

rectangle

paral·lelogram

� Exercici 6: Quant val el perímetre de cada figura? Omple la taula.

Perímetres fig 1 fig 2 fig 3

rectangle

paral·lelogram

� Exercici 7: Raona si la següent afirmació és correcta: El perímetre d’un paral·lelogram es manté constant si mante-nim constant la seva àrea. Argumenta observant si els paral·lelograms caben dins dels rectangles quan els retallemi comparant els perímetres dels rectangles i dels paral·lelograms.

� Exercici 8: Quants talls caldrà fer per a convertir aquest paral·lelogram en un rectangle?

�

Full de retalls

NOMDATACURS

Superfície i centre del triangle amb tisores

Mirarem de tallar un triangle per la meitat i convertir-lo en un paral·lelogram. Per a fer-ho ens cal trobar els puntsmitjos de cada costat. Doblegarem el triangle fent coincidir els dos extrems tal i com s’indica en la figura següent:

1 2

+

punt mig

3

+

punt mig

+ �+

4

Un cop convertit en paral·lelogram, el retallarem fins a convertir-lo en un rectangle (i així poder mesurar ambfacilitat la seva àrea):

�

5 6

� Exercici 1: Fes servir el triangle del full de retalls (és idèntic al triangle de l’exemple) per a fer el primer i segonpassos (determinar els punts mitjos dels costats). Repeteix aquest procediment amb dos triangles (necessitaremdos triangles com els de l’exemple)� Exercici 2: Retalla el següent triangle per la meitat de l’altura (pas 3) i enganxa’l al perfil del paral·lelogram.Repeteix el mateix pas amb l’altre triangle, però ara uneix els pedaços fins a formar el paral·lelogram amb cintaadhesiva. Després retalla-la tal i com indica el pas 4 per a convertir-lo en un rectangle:

� Exercici 3: Mesura amb un regle els segments indicats amb un requadre. Després retalla per la línia indicada elparal·lelogram (fes servir el full de retalls) i enganxa els pedaços al rectangle. Pinta cada pedaç d’un color diferent.Quina de les figures ocupa més superfície?

b =

a =

b =

h =

� Exercici 4: Mesura amb un regle els segments indicats amb un requadre. Després retalla per la línia indicada elparal·lelogram (fes servir el full de retalls) i enganxa els pedaços al rectangle. Pinta cada pedaç d’un color diferent.Quina de les figures ocupa més superfície?

b =

a =

b =

h =

� Exercici 5: Quina relació hi ha entre l’àrea del rectangle ombrejat i l’àrea del triangle format per la base deltriangle b i la seva altura h?

� Exercici 6: Quina àrea tenen els rectangles dels exercicis anteriors? I els triangles? Dona primer una expressióalgèbrica i substitueix els valors dels costats mesurats després.

Expressió àrea rectangle: A=

Expressió àrea triangle (fes servir b i h): A=

Àrea fig 1 fig 2 fig 3

rectangle

triangle

� Exercici 7: Quin dels dos triangles té més àrea? Raona la resposta.

b =

h =

b =

� Exercici 8: Aprofita els triangles que no hagis fet servir encara del full de retalls per a determinar el seu centre demasses: uneix cada vèrtex del triangle amb el punt mig dels costats confrontats al vèrtex. Repeteix el procedimentper als tres vèrtex. Què observes? Pots sostenir el triangle recolzant-lo amb la punta del llapis just en aquest punt?

+ +

+

Aprofita el regle per a trobar el centre de masses dels dos triangles dibuixats en aquest apartat

� Exercici 9: Sabries trobar el centre del triangle fent només papiroflèxia? (sense fer servir el regle). Enganxa elresultat.

Full de retalls

Hi ha més figures de les necessàries per si comets algun error.

NOMDATACURS

Mesures i raons de figures semblants

Els cercles tenen una propietat molt important: sempre que en veiem un, reconeixem immediatament un cercle.No importa la seva mida, sabem només veure’l que és un cercle. Als quadrats també els passa el mateix

� Exercici 1: Dibuixa tres quadrats diferents en aquest espai

� Exercici 2: Mesura el perímetre de cada quadrat i mesura després la seva diagonal. Completa la taula fent elcàlcul del quocient del perímetre entre la diagonal del quadrat.

Perímetre Diagonal PD

quadrat 1

quadrat 1

quadrat 1

� Exercici 3: Quina és la mitjana del quocient de les teves mesures?

� Exercici 4: S’apropa al valor√8?

� Exercici 5: Ara farem el mateix amb els cercles. Farem servir un tub de pega i un rotllo de celo. Dibuixa al paperel cercle del tub de pega i el cercle del rotllo de celo. Mesura el seu diàmetre. Per a mesurar el seu perímetre fesservir una tira de celo que ressegueixi el tub de pega (compte, que doni una volta exacta!). Fes el mateix amb elcelo

� Exercici 6: Mesura el perímetre de cada cercle i mesura després el seu diàmetre. Completa la taula fent el càlculdel quocient del perímetre entre el diàmetre del cercle.

Perímetre Diàmetre PD

cercle 1

cercle 1

� Exercici 7: Quina és la mitjana del quocient de les teves mesures?

� Exercici 8: Compara aquestes mesures amb la d’altres companys. Què creus que podríeu fer amb les mesuresobtingudes per a millorar la precisió del càlcul?

� Exercici 9: Saps quin nom rep la mesura que heu fet? S’assembla al valor que coneixes de π?

NOMDATACURS

El teorema d’Euler i els sòlids platònics

� Exercici 1: Els poliedres regulars (anomenats també sòlids platònics) són, com el seu nom indica, cossos ambmoltes cares que es veuen igual els miris com els miris. N’hi ha cinc, i començarem per comptar el nombre de vèrtexs,cares i arestes de cada figura:

tetraedre

V = C = A =

cub o hexaedre

V = C = A =

octaedre

V = C = A =

dodecaedre

V = C = A =

icosaedre

V = C = A =

� Exercici 2: Què signifiquen els prefixos grecs tetra-, hexa-, octa-, dodeca-, icosa- ?

� Exercici 3: Observes alguna relació en les quantitats V , C, A? Escriu-la amb paraules i, si pots, en formad’expressió algèbrica.

� Exercici 4: Ara mirarem si aquesta relació es compleix en poliedres irregulars. Comencem amb unes quantesfigures:

V = C = A = V = C = A = V = C = A =

Es compleix la relació que has trobat per als sòlids platònics?

� Exercici 5: Examinem de més aprop les dues últimes figures. Per a passar d’una a l’altra primer cal eliminaruna cara i després afegir un vèrtex algunes cares i algunes arestes:

V0 = 10

A0 = 15

C0 = 7

Eliminem 1 cara−→

V ′ =

A′ =

C ′ =

Afegim 1 vèrtexAfegim 4 caresAfegim 4 arestes

−→

Vf =

Af =

Cf =

� Exercici 6: ¿Passarà el mateix sigui com sigui la cara a la qual afegim un vèrtex? Imaginem que partim d’unsòlid amb Vo vèrtexs, Co cares i Ao arestes i li afegim un vèrtex a una de els cares. El nombre final de vèrtexs,cares i arestes l’indicarem com Vf , Cf i Af . Posem per cas que la cara és un dels triangles de l’icosaedre, o un delsquadrats del cub, o un dels pentàgons del dodecaedre:

Vf = Vo +1

Af = Ao +3

Cf = Co +3− 1

Vf = Vo +

Af = Ao +

Cf = Co + − 1

Vf = Vo +

Af = Ao +

Cf = Co + − 1

Perquè no varia el nombre característic V +C −A?

� Exercici 7: Què passa si comencem a fer un forat al sòlid platònic? Com que les cares no poden tenir forats, caldràafegir alguna aresta. Perforarem un cub començant per la part superior (el pas intermedi té una cara a dintre delforat):

V = C = A = V = C = A = V = C = A =

� Exercici 8: En quin moment la característica d’Euler (V +C −A) canvia de valor? Podem dir que el sòlid té unforat si el forat està a mitges?

� Exercici 9: Quin valor creus que prendrà la característica d’Euler si fem dos forats?

� Exercici 10: Els següents sòlids no compleixen el teorema d’Euler, o si el compleixen, poden donar problemes...Sabries dir què tenen de particular?

V = C = A = V = C = A = V = C = A =