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Matematica: GeometriaAULA 8: Trigonometria
E ssa aula abordará assuntos relacionados àtrigonometria como arcos, relações trigono-métricas, lei dos senos e cossenos, ciclo tri-
gonométrico, funções e equações trigonométricas.
1 Arcos e angulos
1.1 Arcos de circunferencia
Circunferências são figuras geométricas circularescujos pontos do seu contorno são equidistantes de seucentro. Essa distância é chamada de raio. Os arcos sãouma parcela dessa região, como mostrado na Figura 1.
Figura 1: Arco de uma circunferência
Na imagem acima, identificamos os seguintes ele-mentos da circunferência:
• AB: Arco da circunferência;• AÔB: Ângulo central do arco AB;• O: Centro da circunferência;• OA=OB: Raio (r) da circunferência.
O comprimento da circunferência (C) é calculadoconforme a Equação 1, em que r é o raio da circunfe-rência.
C = 2πr (1)O ângulo associado a esse comprimento é 360°, ou
seja, uma volta completa. O comprimento do arcoAB (l) está relacionado com o ângulo AÔB, e podeser calculado a partir de uma regra de três, usando ocomprimento da circunferência (C) e o ângulo central,como mostrado a seguir:
Ângulo Comprimentodo arco
360◦ 2πr
AOB l
360
AOB=
2πr
l
l =π · r ·AOB
180
(2)
1.2 Angulos e suas unidades
Um ângulo pode ser expresso em duas unidades demedidas: em grau (◦) ou radianos (rad). Uma voltacompleta na circunferência corresponde a 360°, ou a2π rad. A conversão entre essas unidades é feita porregra de três. Como visto a seguir:
Ângulo em graus Ângulo em radianos180◦ π rady x
180o
y=π
x(3)
Caso o ângulo AOB seja dado em radianos, o com-primento de arco (l) pode ser encontrado por:
Volta completa Arco da volta incompleta2π rad AOB
2πr l
AULA 8: Trigonometria
O que resulta em:
2π
2πr=AOB
l
1
r=AOB
l
l =r
AOB
(4)
Exercício 1
(UFSC) O menor ângulo formado pelos pontei-ros do relógio às 3h 25min é 47, 5◦.
RESOLUÇÃO:Deseja-se descobrir o arco de circunferênciaformado pelos ponteiros do relógio. Sabemosque uma volta completa tem 360◦, e que orelógio tem 12 horas. Dividindo 360◦ pelas12h, temos que o ângulo formado por doisnúmeros consecutivos é igual a 30◦.
O ponteiro dos minutos está apontado exata-mente para o 5.
Os números 4 e 5 são consecutivos e fazemparte do arco. O ângulo formado entre eles éde 30o.
A cada hora (60 minutos), o ponteiro das ho-ras se desloca 30o, então em 25 minutos ele sedeslocará:
60 min25 min =
30◦
β
β =30◦ · 25
60= 12, 5◦
Esse ângulo é o ângulo formado entre o número3 e o ponteiro das horas. No entanto, queremosdescobrir o ângulo entre este ponteiro e onúmero 4. Para isso, subtraímos esse valor de30o: 30o − β = 17, 5o.
Somando este valor ao ângulo formado entreos números 4 e 5, temos o ângulo central doarco: 17, 5o + 30o = 47, 5o. Logo, a proposiçãoestá correta.Resposta: 47,5o
FIQUE LIGADO
Você tem a liberdade de escolher qual unidadede medida adotará para resolver uma questão,seja um ângulo em graus ou radianos ouuma unidade de comprimento em metros oucentímetros.
Evite mudar a unidade depois que você come-çou o exercício, pois isso aumenta sua chancede errar. Boa parte da trigonometria é adimen-sional, e esse tipo de erro costuma ser fatal parasua pontuação.
2 Triangulos e a trigonometria
Assim como círculos, triângulos são figuras planas.Uma de suas características mais importantes é quea soma dos seus ângulos internos sempre resultaem 180◦.
2.1 Triangulos retangulos
No triângulo retângulo, um dos seus ângulos é reto,ou seja, vale 90◦, como mostrado na Figura 2.
Figura 2: Triângulo retângulo
Observando a imagem, notamos os principais ele-mentos do triângulo retângulo:• c: Hipotenusa (maior lado e sempre oposto ao
ângulo reto);• a: Cateto oposto ao ângulo α, ou adjacente ao
ângulo β;• b: Cateto adjacente ao ângulo α, ou oposto ao
ângulo β.O comprimento dos catetos e da hipotenusa pode
ser relacionado conforme o Teorema de Pitágoras,descrito na equação abaixo:
c2 = a2 + b2 (5)Da mesma maneira que o comprimento de arco de
uma circunferência pode ser associado a um ângulo, o
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AULA 8: Trigonometria
comprimento dos lados do triângulo retângulo podemser relacionados com os ângulos α e β. As principaisrelações são o seno, cosseno e a tangente, descritasabaixo em relação ao ângulo α:
Seno: Cosseno: Tangente:
sen(α) = ac cos(α) = b
c tg(α) = ab
Observações:
• A tangente também pode ser escrita da seguinteforma:
tg(α) =sen(α)
cos(α)(6)
Nesse caso o valor de cosseno não pode ser zero,pois não existe divisão por zero.
• A soma α e β vale 90°, o que quer dizer que sãoângulos complementares. Portanto, β pode serescrito da seguinte maneira:
β = 90− α (7)
• O valor do seno de um ângulo é igual ao cossenodo seu complementar, isso quer dizer que:
sen(α) = cos(β) = cos(90α) (8)
Existem três ângulos notáveis, cujos valores deseno, cosseno e tangente devem ser gravados. Essesângulos são apresentados na tabela abaixo.
0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦
sen 0 1/2√2/2
√3/2 1
cos 1√3/2
√2/2
1/2 0
tan 0√3/2 1
√3 ∞
FIQUE LIGADO
Cada vestibular tem um estilo de prova. É im-portantíssimo que você cheque se a prova queprestará tem ou não formulário, e, caso tenha,quais dos valores acima são fornecidos ou não.Para saber essa informação, você pode pesqui-sar as porvas anteriores, isso também vale paraoutras matérias e conteúdos.
As relações trigonométricas inversas são muitoimportantes, e elas têm como base as relaçõesanteriores:
Secante:sec(α) = 1
cos(α)
Cossecante:cossec(α) = 1
sen(α)
Coangente:cotg(α) = 1
tg(α)
Por serem divisões, o valor de seno, cosseno e tan-gente não podem ser zero.
2.2 Triangulos quaisquer
As relações trigonométricas são muito importantes,por isso elas devem ser adaptadas para os demais tri-ângulos, que não tem um ângulo reto, como pode servisto na Figura 3.
Figura 3: Triângulo qualquer
Essa adaptação é feita com a lei dos senos e a leidos cossenos, apresentadas a seguir.
Lei dos senos:a
sen(α)=
b
sen(β)=
c
sen(γ)(9)
Lei dos cossenos:
a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos(α)
b2 = a2 + c2 − 2 · a · c · cos(β)
c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos(γ)
(10)
Observe que tanto a lei dos senos, quanto a lei doscossenos, relacionam um ângulo com o lado oposto aele. Por exemplo, na lei dos senos o lado a é opostoao ângulo α. Já na lei dos cossenos, quando o lado aestá em evidência, o ângulo α, oposto a ele, é utilizadona equação. Caso α seja um ângulo reto, a lei doscossenos vira o Teorema de Pitágoras.Exercício 2
(UDESC) Um engenheiro precisa projetar umarampa de acesso com inclinação constante. Aaltura da porta de entrada em relação à rua é
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de 150 cm e o espaço para construção da rampaé de 215 cm. Sendo α o ângulo de inclinaçãodessa rampa,é correto afirmar que:(a) α ∈ (30o, 45o](b) α ∈ (15o, 30o](c) α ∈ (60o, 75o](d) α ∈ (5o, 15o](e) α ∈ (45o, 60o]
RESOLUÇÃO:Esse problema pode ser representado por essedesenho:
Como podemos ver, temos as medidas do catetooposto e do adjacente, e devemos encontrar ovalor de α, logo, devemos usar a tangente:
tg(α) =cateto oposto
cateto adjacente =150
215= 0, 6977
Esse valor não corresponde à tangente de umângulo notável. Portanto, devemos descobrirentre quais valores notáveis ele se encontra,e assim poderemos determinar qual alter-nativa tem o intervalo correto. Como essevalor está entre 0,5774 (tangente de 30o) e 1(tangente de 45o), a resposta correta é a letra A.
Resposta: A
Observação: Nessa questão apenas olhar a ta-bela de valores notávies não seria suficiente,pois temos valores como 5o, 15o e 75o, mas nãose preocupe, podemos os encontrar usando asequações de soma de arco, que serão apresen-tadas ainda nessa aula.
Problema 1
(UFSC) Considere o triângulo a seguir. Se x e yrepresentam, respectivamente, as medidas dolado AB e do ângulo com vértice em C, entãoo valor numérico de x · y é π
3 .
RESOLUÇÃO:Como a possível resposta desse exercício tem oπ, é preferível fazer os cálculos em radianos.Sabemos que 60◦ é igual a π
3 rad.
Vamos começar tentando encontrar o valorde x. Visto que conhecemos um ângulo e ovalor de dois lados, podemos aplicar a leidos cossenos. Como o lado de 2
√3 é oposto
ao ângulo de 60o, esse lado ficará em evidência:
a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos(α)
(2√
3)2
= x2 + 42 − 2 · x · 4 · cos(π3
)
x2 − 4x+ 4 = 0
Resolvendo a equação de segundo grau:
∆ = (−4)2 − 4.4 = 0
x′ = x′′ =−(−4)± 0
2= 2
Agora, calcularemos o valor do ângulo y. Oenunciado da questão nos dá o ângulo de π
3
rad e a medida do lado oposto a ele, 2√
3.Nós já encontramos o valor de x, e podemosusá-lo para descobrir o valor do ângulo y, queé oposto a ele.
Já que procuramos um ângulo e temos os valo-res de dois lados e outro ângulo, usaremos a leidos senos.
a
sen(α)=
b
sen(β)
2
sen(y)=
2√
3
sen(π3 )
sen(y) =1
2
O ângulo associado a esse valor de seno é: π/6rad.
Multiplicando x e y: x · y = 2 · π6 = π3 . Logo, a
resposta é verdadeira.
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3 Ciclo Trigonometrico
O ciclo trigonométrico associa um círculo de raioigual a 1 ao plano cartesiano, como mostrado na Fi-gura 4. O eixo das abscissas é o eixo dos cossenos, eseu valor é positivo no 1° e 4° quadrantes, e negativono 2° e 3°. Já o eixo das ordenadas corresponde aoeixo dos senos, que tem valores positivos no 1° e 2°quadrante, e negativos no 3° e 4°.
Figura 4: Ciclo trigonométrico
Como o círculo tem raio unitário, os valores de senoe cosseno variam de -1 a 1. A origem do eixo cartesianoe do círculo coincide, portanto o valor de cos (90°) = 0e cos (180°) = -1. Ao percorrer o ciclo no sentido anti-horário o valor do ângulo é positivo e ao percorrer nosentido horário ele é negativo.Trabalhar com ângulos do 2°, 3° e 4° quadrante re-
quer mais atenção, pois é preciso fazer sua redução aoprimeiro quadrante, já que o valor em módulo das rela-ções trigonométricas são iguais, mas o sinal é diferente.A imagem abaixo auxilia nessa transformação:
F
P F
Como interpretá-la:
• Se o ângulo pertence ao 2° quadrante, devemossaber o quanto falta (F) para completar π rad;
• Se o ângulo pertence ao 3° quadrante, devemossaber o quanto ele passou (P) de π rad;
• Se o ângulo pertence ao 4° quadrante, devemossaber o quanto falta (F) para completar 2π rad;
Uma vez encontrado o ângulo correspondente, é im-portante tomar cuidado com o sinal. Por exemplo, 3π/4está no segundo quadrante, então seu valor de cossenoé negativo e seu valor de seno é positivo sen ( 3π4 ) =sen
(π4
) = √22 e cos ( 3π4 ) = −cos (π4 ) = −√2
2 .
4 Relacao fundamental da trigo-nometria
Imagine uma reta sendo traçada da origem a umaborda do círculo, é possível desenhar um triânguloretângulo, como mostrado na Figura 5.
Figura 5: Triângulo retângulo no ciclo trigonométrico
Chamando o raio de r, pode-se aplicar o teorema depitágoras:
r2 = cos2(α) + sen2(α) (11)
Como o raio é unitário:
1 = cos2(α) + sen2(α) (12)A equação acima é chamada de equação fundamen-
tal da trigonometria. Ela é muito versátil, podendoser aplicada para qualquer ângulo. Existem outras duasrelações que podem ser obtidas dividindo a relaçãofundamental por:
• sen2(α):
1
sen2(α)=cos2(α)
sen2(α)+sen2(α)
sen2(α)
cossec2(α) = cotg2(α) + 1(13)
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• cos2(α):
1
cos2(α)=cos2(α)
cos2(α)+sen2(α)
cos2(α)
sec2(α) = 1 + tg2(α)(14)
Exercício 3
(UFSC) Sabendo que tg(x) = 5 e queπ < x < 3π
2 , então cos(x) =√2626 .
RESOLUÇÃO:O exercício fornece a tangente e o cosseno,que podem ser relacionados pela seguinteexpressão: sec2(x) = 1 + tg2(x).
É importante lembrar que a secante é o inversodo cosseno, então iremos descobrir o valor dasecante, e com ele chegar no valor de cosseno.
sec2(x) = 1 + tg2(x)
sec2(x) = 1 + 52
sec2(x) = 26
sec(x) = ±√
26
sec(x) =1
cos(x)
cos(x) =1
sec(x)
cos(x) = ± 1√26
= ±√
26
26
Por conta da raiz, o valor pode ser negativo oupositivo. No entanto, pelo enunciado sabe-seque o ângulo pertence ao terceiro quadrante,logo o valor é negativo.
Resposta: Falso.
FIQUE LIGADO
Use seus conhecimentos básicos de trigonome-tria para lhe poupar tempo no vestibular. Porexemplo, o enunciado do exercício acima falaque o ângulo está no terceiro quadrante, e queseu cosseno é positivo. Como ângulos do ter-ceiro quadrante tem cosseno negativo, isso nãoé possível e a questão nem precissaria ser resol-vida.
5 Arcos e a trigonometria
A ideia de arcos na circunferência podem ser as-sociadas ao ciclo trigonométrico por meio das rela-ções de soma e subtração, arco duplo, metade e côn-gruos. Essas relações são muito úteis pois permitemusar os valores de ângulos notáveis para descobrir ovalor dessas relações para ângulos não listados. Porexemplo: cos(150) = cos(45o − 30o) (subtração dearcos) e cos(22, 5o) = cos( 45o
2 ) (arco metade).
5.1 Soma e subtracao de arcos
A soma e subtração de arcos são operações usadaspara encontrar o valor das relações trigonométricaspara um ângulo obtido a partir de outros dois. Porexemplo, o valor de seno, cosseno e tangente de 75o
podem ser encontrados usando os valores dessasrelações para os ângulos 30o e 45o, pois 75o = 30o+45o.
As relações são mostradas abaixo:
sen(α± β) = sen(α) · cos(β)± sen(β) · cos(α) (15)
cos(α± β) = cos(α) · cos(β)∓ sen(α) · sen(β) (16)
tg(α± β) =tg(α)± tg(β)
1∓ tg(α) · tg(β)(17)
FIQUE LIGADO
Caso você já tenha que calcular a tangente, oseno e o cosseno usando as relações acima, nãoé muito vantajoso calcular a tangente com afórmula apresentada, é melhor fazer a divisãodo seno pelo cosseno.
Em contrapartida, se o valor da tangente foro único solicitado (como no exercício 2 dessaaula) é melhor investir seu tempo trabalhandodiretamente com ela.
5.2 Arco duplo
Essas fórmulas são obtidas a partir das equações desoma de arcos, ao considerarmos α=β.
sen(2α) = 2 · sen(α) · cos(α) (18)
cos(2α) = cos2(α)− sen2(α) (19)
tg(2α) =2 · tg(α)
1− tg2(α)(20)
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AULA 8: Trigonometria
Exercício 4
(UDESC) Verificar se a afirmação é verdadeiraou não: 2 · cos2(θ)− cos(2θ) = 1.
RESOLUÇÃO:Sabemos que:
cos(2α) = cos2(α)− sen2(α) (Eq. I)
Usando a equação fundamental da trigonome-tria:
sen2(α) + cos2(α) = 1
sen2(α) = 1− cos2(α) (Eq. II)
Substituindo a Equação II na Equação I:
cos(2α) = cos2(α)− 1 + cos2(α)
cos(2α) = cos2(α)− 1 + cos2(α)
cos(2α) = 2cos2(α)− 1
2cos2(α) + cos(2α) = 1
Resposta: A afirmação é verdadeira.
5.3 Arco metade
As equações de arco metade são obtidas usando aequação do arco duplo do cosseno e a relação funda-mental da trigonometria, como pode ser observadoabaixo. Parte-se, portanto, das duas seguintes expres-sões:
cos(2x) = cos2(x)− sen2(x) (Eq. I)1 = cos2(x) + sen2(x) (Eq. II)
Substituindo a Equação II na Equação I, temos
sen2(x) = 1− cos2(x)
cos(2x) = cos2(x)− (1− cos2(x))
cos(2x) = 2 · cos2(x)− 1
Considerando α = 2x, tem-se
cos(α) = 2 · cos2(α
2
)− 1
2 · cos2(α
2
)= cos(α) + 1
cos(α
2
)= ±
√cos(α) + 1
2
O arco metade do seno pode ser encontrado se-guindo os mesmos passos, mas fazendo a substituiçãocos2(x) = 1 − sen2(x) . As fórmulas do arco metadesão apresentadas a seguir.
sen(α
2
)= ±
√1− cos(α)
2
cos(α
2
)= ±
√1 + cos(α)
2
tg(α
2
)= ±
√1− cos(α)
1 + cos(α)
(21)
Problema 2
(UFSC) Se sen(1/2)=1/3, então o valor de
sen(x) + cos(x), com x no primeiro quadranteé: 7+4
√2
9 .RESOLUÇÃO:Primeiro, usaremos a equação do arco metadepara encontrar o valor do cosseno.
sen(x
2
)= ±
√1− cos(x)
2(1
3
)2
= ±√
1− cos(x)
2
1− cos(x) =2
9
cos(x) =7
9
Agora, podemos utilizar a relação fundamentalda trigonometria para determinar o valor doseno.
cos2 + sen2 = 1(7
9
)2
+ sen2(x) = 1
sen2(x) = 1− 49
81=
32
81
sen(x) = ±4√
2
9
Como o ângulo está no primeiro quadrante, ovalor de seno é positivo. Portanto: cos(x) +
sen(x) = 7+4√2
9 .A resposta é Verdadeira.
5.4 Arcos congruos:
Alguns ângulos podem se relacionar por meio deconstantes. Os arcos côngruos são responsáveis poressa ligação. Por exemplo π/2 rad pode ser relacionadocom 3π/2 rad por meio da equação abaixo, em quek = 1.
α =π
2+ kπ, ∀ k ∈ IR (22)
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Também é possível dar mais de uma volta no ciclo,ou seja o valor do ângulo pode ser maior do que 2π.Por exemplo, 5π/2 se relaciona com π/2, por meio daequação abaixo, em que k = 1.
α =π
2+ 2kπ, ∀ k ∈ IR (23)
O exercício 5 mostra como trabalhar com esse casopor meio da sua aplicação.Exercício 5
(UDESC - 2016/2) Assinale a alternativa quecorresponde ao valor da expressão:
6 · cos2(13π6
)− 4 · cos2
(11π4
)+ sen
(−7π6
)+
tg2(31π3
)(a) 6(b) 5(c) 9/2(d) 3(e) 23/4
RESOLUÇÃO:É muito díficil associar valores de arcos notáveisaos ângulos acima, então precisamos escreveressas funções em um novo formato, como mos-trado a seguir:
13π
6=
12π
6+π
6= 2π +
π
6
Como 2π é uma volta completa, quer dizerque “andamos” uma volta inteira e mais π/6.Portanto, todas as relações trigonométricas doângulo π/6 rad valem para 13π/6 rad, pois elesestão no mesmo lugar no ciclo trigonométrico.
Obervação: Essa divsão do ângulo em duasfrações, deve ser feita até que se obtenha umresultado par, por exemplo: 2π, 4π, 6π..., poisisso quer dizer que a volta foi completa. Comomostrado abaixo:
11π
4=
10π
4+π
4,não é um número inteiro.
11π
4=
9π
4+
2π
4,não é um número par.
11π
4=
8π
4+
3π
4, é um número inteiro e par.
Portanto: 11π/4 = 2π + 3π/4. Ou seja, demosuma volta no ciclo partindo do ângulo 3π/4rad. Então todas as relações trigonométricaspara 3π/4 rad e 11π/4 rad são iguais.
Agora vamos fazer esse processo com o ângulode −7π6 . Como seu valor é negativo, significaque o arco que o originou percorreu a circun-ferência no sentido horário, e como os valores
notáveis são obtidos pela volta no sentido anti-horário, deve-se fazer a subtração entre 2π eele para saber qual seu ângulo correspondenteobtido a partir do percurso do arco no outrosentido.
2π − 7π
6=
5π
6
Como 31π3 ≤ 2π vamos descobrir qual ângulo
corresponde a ele dando menos de uma voltano ciclo trigonométrico:
31π
3=
30π
3+π
3, é um número inteiro e par
31π
3= 10π +
π
3
Portanto, demos 10 voltas no ciclo partindo deπ/3. E por isso usaremos seus valores notáveis.Agora que os ângulos tem valores mais familia-res, podemos reescrever a expressão como
6 · cos2(π
6
)− 4cos2
(3π
4
)+ sen
(5π
6
)+ tg2
(π3
)
6
(√3
2
)2
− 4
(−√
2
2
)2
+1
2+(√
3)2
= 6
Resposta: Letra A.
FIQUE LIGADO
O processo acima também pode ser feito paraângulos em graus. Nesse caso, basta fazer adivisão por 360◦, parando quando for necessá-rio colocar casas decimais. O cociente será onúmero de voltas, e o resto será o ângulo quevocê deve trabalhar.
6 Funcoes trigonometricas
Como qualquer função, as funções trigonométricasvisam relacionar elementos do conjunto domínio comos elementos do conjunto imagem.A função seno pode ser escrita, de forma genérica,
conforme a expressão abaixo. Ela associa a cada variá-vel x o valor de seu seno (sen(x)). O gráfico da funçãoseno é apresentado na Figura 6.
y = a+ b · sen(m · x+ n) (24)
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AULA 8: Trigonometria
Figura 6: Função seno
A função cosseno, por sua vez, associa a cada realx o valor de seu cosseno (cos(x)), e pode ser descritade forma genérica conforme a Equação 25. O gráficodesta função é apresentado na Figura 7.
y = a+ b · cos(m · x+ n) (25)
Figura 7: Função cosseno
Os coeficientes a, b,m e n das Equações 24 e 25 têmos seguintes impactos nos gráficos das funções:
• Imagem: Im = [a− |b|; a+ |b|];• Período: p = 2π
m ;• Deslocamento horizontal: O coeficiente n des-
loca o início do gráfico ao longo do eixo das abs-cissas em relação a origem;
• Deslocamento vertical: O coeficiente a deslocao gráfico para cima ou para baixo ao longo doeixo y;
• Paridade: A função seno é ímpar e a cosseno épar.
A função tangente associa a cada x o valor de suatangente. Sua forma genérica é dada pela Equação 26,e seu gráfico é apresentado na Figura 8.
y = a+ b · tg(m · x+ n) (26)Como não existe tangente de α = π
2 + kπ , há umaassíntota no seu gráfico. Seu domínio é definido por:D = x ∈ IR /x 6= π
2 ∀ x ∈ IR.
• Imagem: Im = [−∞;∞]
Figura 8: Função tagente
• Período: p = πm ;
• Deslocamento horizontal: O coeficiente n des-loca horizontalmente o início do gráfico em rela-ção a origem;
• Deslocamento vertical: O coeficiente desloca ográfico para cima ou para baixo ao longo do eixoy;
• Paridade: A função tangente é ímpar.
Problema 3
(UFSC) O dólar americano (US$) é moedabastante usada em transações financeirasinternacionais, mas, em decorrência devários fatores, o seu preço pode variarbastante. Em um dia de forte variação,o preço, em reais, de venda e de comprade um dólar americano comercializado noBrasil foi descrito, respectivamente, pelasfunções: V (t) = 3, 8 + 0, 4 · sen(π/4t) eC(t) = 3, 5 + 0, 5 · sen(π/4t), nas quais trepresenta o tempo medido em horas, sendoque t ∈ IR e 8 ≤ t ≤ 17.
(01) Os valores máximo e mínimo do preço dodólar para venda foram de, respectivamente,R$ 3,80 e R$ 0,40.(02) Apenas para t = 13h, o preço de comprado dólar foi de R$ 3,30.(04) Uma pessoa que comprou US$130,00quando t = 8 h e vendeu essa quantia quandot = 14 h perdeu R$13,00. Contudo, se a vendafosse feita quando t = 16 h, obteria um lucrode R$39,00.(08) Usando cartão de crédito, uma pessoacomprou um produto em um site americanoao preço de US$ 50,00. Considerando que acobrança da fatura do cartão de crédito ocorresegundo o preço de compra sempre às 17 h,então o produto custou mais do que R$ 175,00.(16) Para cada t pertencente ao intervalot ∈ IR; 12 ≤ t ≤ 16, a diferença entre opreço de venda e o preço de compra foi maior
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AULA 8: Trigonometria
que US$ 0,30.
RESOLUÇÃO:(01) Os valores máximo e mínimo são os extre-mos da imagem, então precisamos descobrirqual é o intervalo da imagem. Os coeficientesda função que regulam o preço de venda são:a = 3, 8, b = 0, 4, m = π/4 e n = 0.
Im = [a− |b|; a+ |b|]Im = [3, 8− |0, 4|; 3, 8 + |0, 4|]Im = [3, 2; 3, 6]
Portanto, essa alternativa é falsa, pois o valormínimo de venda é 3,2 dólares e o máximo éde 3,6 dólares, a alternativa só apresentou oscoeficientes da equação.
(02) Primeiro, devemos verificar o valor deC(t = 13) e depois determinar se esse valorsó é alcançado uma vez.
C(t = 13) = 3, 5 + 0, 5 · sen(
13π
4
)Sabemos que 13π/4 rad pertence ao ter-ceiro quadrante. Fazendo a redução parao primeiro quadrante, concluimos quesen
(13π/4
)= −sen (π/4).
C(t = 13) = 3, 5− 0, 5sen(π
4
)C(t = 13) = 3, 5− 0, 5
(√2
2
)C(t = 13) = 3, 3
Agora, verificaremos se nesse domínio o senoatinge o valor de−
√22 . A função seno é negativa
no terceiro e no quarto quadrante. O ângulono quarto quadrante que tem esse valor é 7π
4rad, e esse valor não está dentro do domínio dafunção. No entanto, usando a teoria de arcoscôngruos, podemos fazer:
α =7π
4+ kπ, ∀ k ∈ IR Com k=2
α =7π
4+ 2π
α =17π
4
Como 17π4 rad está no domínio, a afirmativa é
falsa.
(04) Devemos saber qual o valor do dólar nomomento da compra, ou seja C(t = 8).
C(t = 8) = 3, 5 + 0, 5 · sen(
8π
4
)C(t = 8) = 3, 5 + 0, 5 · sen (2π)
C(t = 8) = 3, 5 + 0, 5 · 0C(t = 8) = 3, 5
Isso quer dizer que um dólar vale 3,5 re-ais. Convertendo US$ 130,00 para reais,temos o valor de R$ 455,00. Para saber seele teve lucro ou prejuízo, vamos descobriro valor de venda as 14 horas, ou seja V (t = 14).
V (t = 14) = 3, 8 + 0, 4 · sen(
14π
4
)Usando a teoria de arcos côngruos:
14π
4=
8π
4+
6π
414π
4= 2π +
3π
2
Portanto:
V (t = 14) = 3, 8 + 0, 4 · sen(
3π
2
)V (t = 14) = 3, 8 + 0, 4(−1)
V (t = 14) = 3, 4
Isso quer dizer que 1 dólar vale 3,4 reais.Convertendo US$ 130,00 para reais temos R$442,00. Para saber o retorno financeiro de algodevemos calcular o valor: Venda - Custo. Se essevalor for positivo, temos lucro, se for negativo,prejuízo. Fazendo 442, 00− 455, 00 = −13, 00.Logo, houve prejuízo de 13 reais.
Considerando agora a venda para t = 16 h:
V (t = 16) = 3, 8 + 0, 4 · sen(
16π
4
)V (t = 16) = 3, 8 + 0, 4 · sen(4π)
V (t = 16) = 3, 8 + 0, 4(0)
V (t = 16) = 3, 8
Como 1 dólar vale 3,8 reais, US$ 130,00 =R$ 494,00. Considerando o preço de compra,podemos calcular: 494, 00 − 455, 00 = 39, 00.Nesse caso, o lucro teria sido de R$39,00. Esseitem é verdadeiro.
(08) É uma situação de compra do dólar, deve-
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AULA 8: Trigonometria
mos saber qual o valor de C(t = 17).
C(t = 17) = 3, 5 + 0, 5 · sen(
17π
4
)C(t = 17) = 3, 5 + 0, 5 · sen
(16π
4+π
4
)C(t = 17) = 3, 5 + 0, 5 · sen
(4π +
π
4
)C(t = 17) = 3, 5 + 0, 5 · sen
(π4
)C(t = 17) = 3, 5 + 0, 5
(√2
2
)C(t = 17) = 3, 87
Nesse cenário, 1 dólar vale 3,87 reais, entãoUS$ 50,00 = R$ 193,50. Como esse valoré maior que R$175,00, essa afirmativa éverdadeira.
(16) A forma mais direta de resolver esse itemé criar uma nova função que chamaremos delucro. Ela é dada pela diferença entre o preçode venda e o de compra.
L(t) = V (t)− C(t)
L(t) = 3, 8 + 0, 4 · sen(π
4t)
−(
3, 5 + 0, 5 · sen(π
4t))
L(t) = 0, 3− 0, 1 · sen(π
4t)
Devemos entender o que o intervalo dado(12 ≤ t ≤ 16) significa, fazendo:
π
4t =
12π
4= 3π
eπ
4t =
16π
4= 4π
Isso significa que estamos avaliando o terceiroe quarto quadrante. Podemos fazer o gráficoda função Lucro, exibido abaixo:
Nele percebemos que o terceiro e quarto qua-drante valem mais que 0,3, logo essa afirmativaé verdadeira.A somatória dos itens corretos é 28.
7 Equacoes trigonometricas
As equações trigonométricas são equações cujasincógnitas são relações trigonométricas. Como a res-posta inclui muitos ângulos, ela é dada usando arcoscôngruos.A resolução desse tipo de equação pode ser dividida
em duas etapas. Na primeira, deve-se reescrever aequação usando uma única relação trigonométrica.Nesse momento, pode ser necessário usar a relaçãofundamental da trigonometria. A ideia desse passo éencontrar qual o valor dessa relação trigonométrica.A segunda etapa envolve percorrer o ciclo trigo-
nométrico para encontrar os ângulos que satisfazema equação. Essa etapa exige muita atenção, pois éimportante não se esquecer de nenhuma solução.Por exemplo, no intervalo 0 ≤ α ≤ 2π, dois ângulosdiferentes apresentam o mesmo valor de cosseno (seuvalor é positivo no 1◦ e 4◦ quadrantes e negativo no 2o
e 3o quadrantes). Além disso, o valor do ângulo nãoestá limitado ao valor de 2π rad, então é importanteusar os conceitos de arcos côngruos. Observe oexemplo abaixo.
Exercício 6
(UFSC) A equação sen(2x) + cos(x) = 0admite 4 soluções no intervalo [0, 3π].
RESOLUÇÃO:Na primeira etapa da resolução, substituiremoso primeiro termo da equação usando a fórmulado arco duplo para o seno: sen(2x) = 2·sen(x)·cos(x).
sen(2x) + cos(x) = 0
2 · sen(x) · cos(x) + cos(x) = 0
(2sen(x) + 1) · cos(x) = 0
cos(x) = 0
2sen(x) + 1 = 0
sen(x) =−1
2
Na segunda etapa descobriremos quais ângulosgeram esses valores das relações trigonométri-cas.Para cos(x) = 0: O valor de cosseno é zero paradois ângulos – π
2 rad e 3π2 rad (uma volta no ci-
clo trigonométrico). Utilizando os conceitos dearcos côngruos, para encontrar quais ângulosgeram esses valores para 2π ≤ x.
x =π
2+ kπ, ∀ k ∈ IR
Já o seno vale −1/2 para dois ângulos em umavolta no ciclo: 7π/6 rad e 11π/6 rad. Aplicando
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os arcos côngruos:
x =7π
6+ 2kπ, ∀ k ∈ IR
x =11π
6+ 2kπ, ∀ k ∈ IR
Encontrando quais ângulos estão no intervalo[0, 3π]: x = [π/2,
7π/6,3π/2,
11π/6,5π/2]. Nesse
intervalo existem 5 soluções, portanto a afirma-tiva é Falsa.
FIQUE LIGADO
As equações trigonométricas são muito simila-res as equações algébricas, mas elas tem algu-mas particularidades importantes. Por exemplo,se no exercício acima cos(x) fosse apenas x, elepoderia ser cortado pois já saberiamos que umadas soluções seria x=0. No caso da trigonome-tria, esses cortes geralmente eliminam soluçõesimportantes.
Problema 4
(UFSC) O gráfico a seguir representa a funçãoy = 2 · sen(x)− 1.
Então o comprimento do arco AB é 2π3 unidades
de comprimento.
RESOLUÇÃO:Queremos saber o valor de x no ponto A e noponto B. Nesses pontos a função corta o eixox, portanto y = 0. Ao fazer: 2 · sen(x)− 1 = 0,temos uma equação trigonométrica.
2 · sen(x)− 1 = 0
2 · sen(x) = 1
sen(x) =1
2
Devemos determinar quais ângulos tem senoigual a 1/2. Como esse valor é positivo, temosduas respostas no intervalo 0 ≤ α ≤ 2π, umângulo no primeiro (π/6 rad) e outro nosegundo quadrante(5π/6 rad). Para saber ocomprimento do arco AB, devemos fazer: B -
A. Portanto: 5π6 −
π6 = 4π
6 = π6 .
A afimação é: Verdadeira.
Trigonometria e sua vida
A trigonometria pode parecer algo intimidadore pouco interessante em um primeiro contato,até o nome dela é díficil! Mas ela é muitoimportante para as ciências exatas, e diaria-mente usamos algo que foi possibilitado poresse campo do conhecimento.
A trigonometria é umas das grandes ferramen-tas matemáticas que ajudam a traduzir fenôme-nos físicos em dados que podem ser entendidose analisados por físicos, matemáticos e enge-nheiros. Por exemplo, a luz que chega até a suacasa usa uma tensão complexa, que é represen-tada pelas relações trigonométricas e númerosimaginários. Temos, ainda, o entendimento decomo uma asa de avião se comporta duranteum vôo usa a trigonometria para modelar oseu comportamento e garantir a segurança dospassageiros.
COLABORADORES DESTA AULA• Texto:
Ana Carolina Albino• Diagramação:
Ana Carolina AlbinoLaura Braz
• Revisão:Laura Braz
8 Lista de Problemas
A seguir você encontrará um compilado de exercíciossobre trigonometria retirados das provas de vestibula-res e do ENEM. Foram coletadas questões de provasda UFSC, desde o vestibular de 2010 até sua últimaedição. Já as provas da UDESC foram analisadas até oconcurso de 2013/1, e a do ENEM até 2018.1. (UDESC) A alternativa correta sobre funções
trigonométricas é:
(a) (sen(x) + cos(x))2 = 1
(b) A função f(x) = tg(x) é definida comof(x) =
sen(x)
cos(x)e o domínio de f é o conjunto dos
números reais.(c) A função seno é a inversa da função cosseno.(d) cotg2(x) = 1− cossec2(x)
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(e) A função f(x) = sec(x) é positiva no intervado(−π3,−π2
)e negativa no intervalo
(5π
2,
10π
3
).
2. (UDESC) Sabendo que:cos(x) + sen(y) = a
sen(x) + cos(y) = b
sen(x+ y) = c
pode-se afirmar que:
(a) a2 − b2 = 1 + c(b) a2 + b2 = 2 + 2c(c) a+ b = 2c(d) a2 + b2 = 1− 2c(e) a− b = c
3. (UDESC) O grado é uma unidade de medida deângulos em que uma das vantagens é facilitar asoperações envolvendo ângulos retos. Neste sis-tema, a circunferência é dividida em 400 partesiguais e cada parte é denominada 1 gon. Na figuraa seguir, observa-se a divisão dos quatro quadran-tes usando este sistema.
Desta forma, o seno do ângulo de 350
3gon é
igual a:
(a)√
3
2
(b)√
2 +√
6
4
(c)√
2 +√
3
4
(d)√
2 +√
6
2
(e)√
2−√
6
2
4. (UDESC) A expressão sec2(x)− 1
tg2+ 1 +
cossec2(x) + 1
cotg2(x) + 1é igual a:
(a) 1− 2cos2(x)(b) 3 + 2cos2(x)
(c) 3 + 2sen2(x)(d) 1(e) 1 + 2sen2(x)
5. (UDESC) Se x ∈(
0,π
2
)é o ângulo que faz
com que os termos sen(x), sen(
3
2x
)e sen(3x)
formem, nesta ordem, uma progressão geomé-trica de razão
√2. Então, o valor de x+
3
2x+3x é:
(a) 11
6π
(b) 12
11π
(c) 6
11π
(d) 1
6π
(e) 11
12π
6. (UDESC) A equação 3 ·sen2(x)+(m−1)sen(x)−4(m− 1)2 = 0 admite solução para os valores dem pertencentes ao intervalo:
(a) [−1, 1]
(b) [0, 2]
(c)[
1
4,
9
4
](d)
[−1
4,
7
4
](e) [1, 4]
7. (UFSC) Assinale as alternativas corretas:
01. Se x = tg(y) e z =1
sec2(y) + 1com
y ∈ (−π2,π
2), então z =
1
x2 + 2.
c02. Se x = sen
(4π
5
)+ cos
(4π
5
), então x é
um número real positivo.04. Sejam α e β arcos de medidas iguais a 60◦
e 1, 2 rad, respectivamente. Se o primeiro arcoestá sobre uma circunferência de raio 2 cm eo outro sobre uma circunferência de raio 3 cm,então o comprimento do arco α é maior do que ocomprimento do arco β.08. Considere a função f : IR→ IR definida porf(x) = 2 · sen(3x). No intervalo [0, 2π), o gráficoda função f intersecta o eixo x em cinco pontos.16. A igualdade tg3(x) = tg(x)sec2(x) − tg(x) éválida para todo x 6= π
2+ kπ; k ∈ Z.
8. (UFSC) Assinale as alternativas corretas:
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AULA 8: Trigonometria
01. Se cossec(x) = 2 e 0 ≤ x ≤ π
2, então tg(x) é
um número irracional.
02. A equação cos
(3π
2− x)
= −sen(x) ésatisfeita para todo x ∈ IR.
04. Se x 6= kπ
2, sendo k um número inteiro,
então sec2(x) + cossec2(x) = sec2(x)cossec2(x).08. A equação sec(x) =
√2 apresenta duas
soluções no intervalo 0 ≤ x ≤ 4π.
16. A função f(x) = cos
(x+ π
2
)é uma função
par e tem período 4π.
9. (UFSC) Assinale as alternativas incorretas:
01. O menor valor assumido pela funçãog(x) = 2 + sen(3x) é -1.
02. O valor de sec(−13π
3
)é 1
2 .
04. O domínio da função h(x) = tg(2x+π
3) é o
conjunto D = x ∈ IR | x 6= π
6+kπ
2, k ∈ Z.
08. O período da função y = sen4
(5x+
2π
3
)é
2π
5.
10. (UFSC) Assinale as alternativas verdadeiras:
01. Se sen(x) =
√2
2, então o valor da expressão
E =sec2(x)− 1
tg2(x) + 1é√
2.
02. Sabendo que sen(x) =3
5e cos(y) =
5
13com
0 ≤ x ≤ π
2e 3π
2≤ y ≤ 2π, então cos(x+y) =
64
65.
04. Na figura abaixo, a medida de b+ c é igual a24√
2 cm.
08. 4(sen2(x) + cos2(x) − cos2(2x))cos2(2x) =sen2(4x) para todo x real.
16. A equação log 2(cos(x)) = 1 tem exatamenteduas soluções no intervalo [0, 2π].32. A equação sen(2x) + cos(x) = 0 admite 4soluções no intervalo [0, 3π].
64. Se sen(x) = −√
5 e x ∈(π,
3π
2
)então
tg(x) + cotg(x) é 3
2.
11. (UFSC) No livro A hora da estrela de Clarice Lis-pector, a personagem Macabéa é atropelada porum veículo cuja logomarca é uma estrela inscritaem uma circunferência, como mostra a figuraabaixo. Se os pontos A, B e C dividem a circunfe-rência em arcos de mesmo comprimento e a áreado triângulo ABC é igual a 27
√3 cm2, determine
a medida do raio dessa circunferência em centí-metros.
12. (ENEM) Os movimentos ondulatórios (periódi-cos) são representados por equações do tipo ±A ·sen(wt+θ) que apresentam parâmetros com signi-ficados físicos importantes, tais como a frequência:w =
2π
T, em que T é o período; A é a amplitude
ou deslocamento máximo; θ é o ângulo de fase0 ≤ θ2π
w, que mede o deslocamento no eixo hori-
zontal em relação à origem no instante inicial domovimento. O gráfico representa um movimentoperiódico, P = P (t), em centímetro, em que Pé a posição da cabeça do pistão do motor de umcarro em um instante t, conforme ilustra a figura.
A expressão algébrica que representa a posiçãoP (t), da cabeça do pistão, em função do tempo t
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AULA 8: Trigonometria
é:(a) P (t) = 4sen(2t)(b) P (t) = −4sen(2t)(c) P (t) = −4sen(4t)
(d) P (t) = 4sen(
2t+π
4
)(e) P (t) = 4sen
(4t+
π
4
)13. (ENEM) Uma pista circular delimitada por duas
circunferências concêntricas foi construída. Nacircunferência interna dessa pista, de raio 0,3 km,serão colocados aparelhos de ginástica localizadosnos pontos P, Q e R, conforme a figura.
O segmento RP é um diâmetro dessa circunferên-cia interna, e o ângulo PRQ tem a medida iguala π
5rad. Para uma pessoa ir do ponto P ao ponto
Q andando pela circunferência interna no sentidoanti-horário, ela percorrerá uma distância, emquilômetro, igual a:
(a) 0, 009π(b) 0, 03π(c) 0, 06π(d) 0, 12π(e) 0, 18π
14. (ENEM) Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, a High Roller, situada em LasVegas. A fugura representa um esboço dessa roda-gigante, no qual o ponto A representa uma de suascadeiras:
A partir da posição indicada, em que o seg-mento OA se encontra paralelo ao plano do solo,rotaciona-se a High Roller no sentido anti-horário,em torno do ponto O. Sejam t o ângulo determi-nado pelo segmento OA em relação à sua posição
inicial, e f a função que descreve a altura do pontoA, em relação ao solo, em função de t. Após duasvoltas completas, f tem o seguinte gráfico:
A expressão da altura é dada por:
(a) f(t) = 80sen(t) + 88(b) f(t) = 80cos(t) + 88(c) f(t) = 88cos(t) + 168(d) f(t) = 168sen(t) + 88cos(t)(e) f(t) = 88sen(t) + 168cos(t)
15. (ENEM) A rosa dos ventos é uma figura que re-presenta oito sentidos, que dividem o círculo empartes iguais.
Uma câmera de vigilância está fixada no teto deum shopping e sua lente pode ser direcionadaremotamente, através de um controlador, paraqualquer sentido. A lente da câmera está apontadainicialmente no sentido Oeste e seu controladorefetua três mudanças consecutivas, a saber:
• 1a mudança: 135◦ no sentido anti-horário;• 2a mudança: 60◦ no sentido horário;• 3a mudança: 45◦ no sentido anti-horário.
Após a 3a mudança, ele é orientado a reposicionara câmera, com a menor amplitude possível, nosentido Noroeste (NO) devido a um movimentosuspeito de um cliente. Qual a mudança de sen-tido o controlador deve efetuar para reposicionara câmera?
(a) 75o no sentido horário(b) 105o no sentido anti-horário(c) 120o no sentido anti-horário(d) 135o no sentido anti-horário
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(e) 165o no sentido horário
16. (ENEM) Sobre um sistema cartesiano considera-seuma malha formada por circunferências de raioscom medidas dadas por números naturais e por12 semirretas com extremidades na origem, sepa-radas por ângulos de π
6rad, conforme a figura.
Suponha que os objetos se desloquem apenaspelas semirretas e pelas circunferências dessamalha, não podendo passar pela origem (0;0).Considere o valor de π com aproximação de,pelo menos, uma casa decimal. Para realizaro percurso mais curto possível ao longo damalha, do ponto B até o ponto A, um objeto devepercorrer uma distância igual a:
(a) 2π1
3+ 8
(b) 2π2
3+ 6
(c) 2π3
3+ 4
(d) 2π4
3+ 2
(e) 2π5
3+ 2
9 Gabarito
1. Item (e): A função f(x) = sec(x) é positivano intervado (−π3 ,
−π2 ) e negativa no intervalo
( 5π2 ,
10π3 ).
2. Item (b): a2 + b2 = 2 + 2c
3. Item (b):√2+√6
4
4. Item (e): 1 + 2sen2(x)
5. Item (e): 1112π
6. Item (b): [0, 2]7. Soma dos itens corretos: 25. Item 01: Correto.
Item 02: Incorreto. Item 04: Incorreto. Item 08:Correto. Item 16: Correto.
8. Soma dos itens corretos: 07. Item 01: Correto.Item 02: Correto. Item 04: Correto. Item 08:Incorreto. Item 16: Incorreto.
9. Soma dos itens corretos: 08. Item 01: Incorreto.Item 02: Incorreto. Item 04: Incorreto. Item 08:Correto.
10. Soma dos itens corretos: 08. Item 01: Incorreto.Item 02: Incorreto. Item 04: Incorreto. Item 08:Correto. Item 16: Incorreto. Item 32: Incorreto.Item 64: Incorreto.
11. 6 cm.
12. Item (a): P (t) = 4sen(2t)
13. Item (d): 0, 12π
14. Item (a): f(t) = 80sen(t) + 88
15. Item (e): 165o no sentido horário
16. Item (a): 2π13 + 8
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