Fundamentos de la Aritmetica y del
AnalisisJulioReyPastorDigitalizacion:[email protected]
Analisis. J.ReyPastor 1Si alguien nos pidiera una denicion de la
Matematica futura, le diramosqueseralaCienciadelosconjuntos; ysi
acontinuacionnospreguntaranqueexpresaestapalabraconjunto,
nosveramosmuyapuradosparadaruna denicion aceptable. Se ha dicho que
el signicado de esta palabra nodieredel vulgar;
peroestonoescompletamenteexacto. Enel lenguajevulgar nos referimos
siempre a conjuntos nitos, a conjuntos cuyos elementostodos se
pueden enumerar al cabo de un cierto tiempo; si bien hablamos
aveces de conjuntos que no somos capaces de imaginar, ni mucho
menos deenumerar, aloscualesatribuimos, porinduccion,
lasmismaspropiedadesexperimentadas en los conjuntos que imaginamos
o percibimos bien.Conceptoden umeronaturalDelosconjuntosnitosnace,
porabstraccion, el conceptoden umero,fundamento de toda la
Matematica. Mas, como a esta nocion suele
llegarsedemodonadariguroso,
convienedeciralgunaspalabrassobrelagenesiscombinatoria de la
Aritmetica y sobre el metodo axiomatico.He aqu un ejemplo clasico,
que nos muestra la necesidad del concepto den umero, y el camino
mas natural para llegar a el. Una madre que carezca deesta nocion,
tiene varios hijos, que llamaremosA,B,C,D; hace entre ellosun
reparto de manzanas, y seana,b,c,d las que corresponden aA,B,C,D,
respectivamente. Cada ni no tiene, pues, su manzana; y si como
hemossupuestolamadrecarecedelconceptoden umero,tendrabuencuidadode
dar a cada chico su manzana, para tener seguridad de que ninguno
quedasin ella.Mas supongamos que, tomando las mismas
manzanasa,b,c,d, ensayarepartirlas de otro modo; y, por ejemplo, da
a a B, la d a A, la c a D, y la ba C. Entonces observa un hecho
sorprendente: cada chico tiene una manzana,aunque no sea la suya, y
no sobra manzana ninguna. En cambio, si intentarepartirel
conjuntoa, b, dentrelosni nosA, B, C, D, indefectiblementequeda un
chico sin manzana.Dos conjuntos se dicen coordinables cuando entre
sus elementos se
pue-deestablecerunacorrespondenciabiunvoca;esdecir,detalmodo,queacadaelementodeunocorrespondeuno,yunosolo,enelotro.YelhechoFundamentosdelaAritmeticaydel
Analisis. J.ReyPastor 2antes observado no es casual, sino que dos
conjuntos cualesquiera,
coordi-nablesdeunciertomodo,losondecualquierotromodoqueseensayelacorrespondencia.Deestehecho,
facil dedemostrar, naceel conceptoden umero. Parapoder estudiar las
propiedades comunes a todos los conjuntos coordinables,y
distinguirlos de los no coordinables, se introducen estos entes
abstractosrepresentativos quellamamos n umeros. Todos los conjuntos
coordinablestienen el mismo n umero; los no coordinables tienen n
umeros distintos. Re-sulta, pues, el n umero, de una doble
abstraccion: del orden de los elementosdel conjunto, y de la
naturaleza de estos.Estemetodo, parallegaral conceptoden
umeronatural, ydemostrarsus propiedades primeras, se apoya en las
nociones de conjunto y de tiempo;y por si alguien se preguntara si
sera posible prescindir de ellas, o de otrasanalogas,
yconstruirlaAritmeticaconlaLogicapurasimplemente, nosadelantaremos
diciendole que la Logica es una palanca poderosa, pero quenecesita
un punto de aplicacion exterior a la palanca misma; ella, por s
sola,no puede dar sino tautologas.Por otra parte, como ha hecho
notar Hilbert, en la exposicion usual delas leyes logicas se
utilizan, tacita o explcitamente, la nocion de conjunto yhasta la
de n umero; y una separacion rigurosa de lo intuitivo y de lo
logicoen esta primera nocion de n umero natural exigira un progreso
de la Logicaactual, paralelo al de la
Matematica.MetodogeneticoDilucidenloslosofosestascuestiones;
peroseaellocomoquiera, unavez el matematico en posesion del n umero
natural1, con dos n umeros enterosconstruye el n umero racional,
con innitos n umeros racionales construye elirracional, con dos n
umeros reales cualesquiera compone el n umero complejoordinario, y
con todos ellos edica la Aritmetica primero, y el Analisis
supe-rior despues, sin recurrir a la intuicion. Por esto ha podido
decir Poincare,que hoy el rigor absoluto esta logrado.1Para
Kronecker el n umero natural debe considerarse como dado, sin
necesidad de
fun-damentacion.ParaHelmoltzesunfrutodelaexperiencia.ParaHilbert,elmejormetodoparaintroducireln
umeroeselaxiomatico.FundamentosdelaAritmeticaydel Analisis.
J.ReyPastor 3Estaconstruccionaritmeticapura,enlaquesolosehabladen
umerosynodecantidades, enlaquesedeneel n umeroracional comoparden
umerosnaturalesenunciertoordendesucesion, yel irracional
comocortadura en el campo de los n umeros racionales, con total
independenciadelanociondelmitelacual
presuponelaintuiciondelacantidad,esunaconquistamoderna,
engranpartedebidaaDedekind, ypuntodepartida para la aritmetizacion
de la matematica, realizada por Weierstrass.Constituira ofensa a la
ilustracion de mis oyentes detenerme en la explica-cion de esta
nocion moderna del n umero inconmensurable o irracional; puesesto
equivaldra a suponer que hay entre ellos quien sigue todava encari
nadocon la ya derogada teora de Euclides.MetodoaxiomaticoExpuesto
queda as, a grandes rasgos, el metodo genetico; con el se llega ala
nocion de n umero real por sucesivas ampliaciones del concepto de n
umeronatural. Hilbert preere, sinembargo, desdeel
puntodevistalogico, elmetodoaxiomatico,
parallegardirectamenteacaracterizarel sistemadelosn umerosreales,
perosindejardereconocerel altovalorpedagogicoyeurstico del metodo
genetico.No podemos detenernos hoy a exponer en detalle el metodo
axiomatico.En el se llama n umeros reales a un conjunto de cosas o
entes cualesquiera,a, b, c, . . . que cumplen un conjunto de
condiciones; y esta serie de
postuladosconstituyenunadenicionindirectadedichosn umeros.
Estospostuladoshan de ser compatibles e independientes entre s;
punto importante sobre elque insistiremos al tratar de los
fundamentos de la Geometra.ConstrucciondelaAritmeticaEn el metodo
genetico es preciso ir generalizando sucesivamente las
ope-racioneselementales,paracadanuevosistemaden
umeros;yestosehacedisponiendo de la arbitrariedad de las nuevas
deniciones, de tal modo, queen el nuevo sistema, los n umeros
satisfagan a las mismas leyes formales queen el sistema anterior
menos amplio. Esta norma o principio de permanen-cia de las leyes
formales (con frecuencia interpretado muy erroneamente
enFundamentosdelaAritmeticaydel Analisis. J.ReyPastor 4nuestro pas)
es la que da a la Aritmetica uniformidad y
sencillez.Nonosdetendremos,porserbienconocido,enexplicarestasgenerali-zaciones
sucesivas; ni como se combinan luego las operaciones
elementales,dando origen a muy diversos algoritmos (fracciones
continuas, determinan-tes, etc.). Perocitemossiquierala
ultimadelasoperacioneselementalesaritmeticas, que sirve de enlace
con el Analisis, y de la cual hemos de
ocu-parnosmasdetenidamenteenotraconferencia; asaber: el pasoal
lmite.Una combinacion cualquiera de las operaciones elementales
restantes, y deesta nueva, es lo que constituye un algoritmo
innito: las series, los produc-tosinnitos,
lasfraccionescontinuasinnitas,
losdeterminantesinnitos,etc.InnitopotencialeinnitoactualEsta cita
nos lleva como de la mano a establecer la frontera de
separacionentre la Aritmetica y el Analisis, que pudiera
establecerse as: la Aritmeticaestudialosconjuntosnitosyel
innitopotencial; el Analisis, el innitoactual. Precisaremos esta
distincion.Quequeremosexpresarcuandodecimosquelaseriedelosn
umerosnaturales1, 2, 3, 4, 5, . . .
eslimitadaoesindenida,oesinnita?Sencilla-mente este hecho: despues
de cada n umero hay otro; he aqu en esta frase elsignicado del
innito potencial. Toda la Aritmetica de los algoritmos in-nitos
puede construirse sin usar esta palabra innito; y es que, en
realidad,solomanejamosconjuntosnitos, conjuntosformadospor
nelementos, yluego tomamosn bastante grande, para que se cumplan
ciertas condicionesimpuestas.Se presenta, pues, esta cuestion:
podemos operar con conjuntos innitoscomo con los conjuntos nitos?
Mas a un: es, legtimo hablar de conjuntosinnitos, siendo el hombre
incapaz de concebir simultaneamente los elemen-tos de un conjunto
nito apenas el n umero de ellos es algo grande?
Porqueyanosetratadeconsiderarunn
umerondeelementosquevacreciendo,sinodeconcebirsimultaneamentetodosloselementosdel
conjunto; eslaenorme diferencia existente entre la potencia y el
acto, entre el devenir y elser.FundamentosdelaAritmeticaydel
Analisis. J.ReyPastor 5ConjuntosinnitosNo podemos entrar en esta
cuestion del conocimiento del innito actual,lacual
correspondealaFilosofaynoalaMatematica; perosi nopode-mos
concebirlo, sabemos manejarlo; y este estudio del innito actual
obraadmirable de Cantor ha revolucionado esta ciencia; dentro de
pocos a nossera el comienzo obligado de todo libro de
matematicas.Supongamos establecida una ley, un convenio cualquiera
sujeto al prin-cipio del tertio excluso (es decir, no
contradictorio); diremos que forman unconjunto todos los objetos
que cumplen esta ley. Poco importa que no po-damos concebir
simultaneamente todos ellos; nos basta la seguridad de que,dado un
objeto cualquiera, o cumple esta ley, o no la cumple; y en el
primercaso queda incluido en el conjunto.Observese que nos
guardamos de decir que se pueda saber si dicho objetopertenece o no
al conjunto. Pudiera, en efecto, suceder, que, con los
recursosactuales de la Matematica, no fuese posible saber si dicho
ente cumple o nola condicion impuesta como denicion del conjunto.
Un ejemplo: el conjuntode los n umeros irracionales esta
perfectamente denido, y, sin embargo, dadoun n umero, no es facil,
ni a veces posible, decidir si es racional o
irracional.Tenemos,porejemplo,lafamosaconstantedeEuleroMascheroni,quesepresenta
en multitud de teoras diversas; se conoce su desarrollo en serie,
enproducto innito, en forma de integral:C =
10ln(ln(x)) dxC = 1 ln
21
+ 12 ln
32
+ 13 . . .C = ln
n=1ne1/nn + 1
C = 0, 577215664 . . .Podemos calcular tantas cifras exactas
como queramos, y, sin embargo,no sabemos todava si este n umero tan
perfectamente conocido es racionalo es irracional.Perfectamente
denido esta igualmente el conjunto de los n umeros
alge-FundamentosdelaAritmeticaydel Analisis. J.ReyPastor 6bricos,
y, sin embargo, no sabemos, ni parece hoy posible averiguar, si
22oesonalgebricosotrascendentes.Masparaquebuscarejemplosarti-ciosos,
si tenemos el n umeroy el n umeroe, los dos fundamentales de
laMatematica,cuyocaractertrascendentenosehalogradodemostrarhastanes
del sigloxix, a pesar del interes supremo que en ello haba, por
llevaraparejadalacontestaciondenitivaalafamosacuestiondelacuadraturadel
crculo?LasucesionnaturalyelconjuntorealFijemonosenlosconjuntosinnitosmassencillosquesepresentanalestudiar
el Analisis; por ejemplo, los terminos deunaserie. Cuandosedice que
la serie esta dada? Cuando se da una expresion general
algortmica(n), de la cual se deducen sucesivamente los terminos,
dando a n los valores1, 2, 3, . . . . (as, por ejemplo, la serie
armonica 1 + 1/2 + 1/3 + . . . ), o biencuando se da una ley
cualquiera de formacion. As, la serie de Fibonacci
sedenedeestemodo:losprimerosterminosson0y1,y,apartirdeellos,cada
termino es la suma de los dos anteriores:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
21, . . .Estos ejemplos podran inducirnos, como dice Borel, a dar
la denicionsiguiente: Diremosqueunconjuntoestadado,
cuandoporunaleycual-quiera se pueden determinar sus elementos
sucesivamente, sin dejar ningunoni repetir ninguno. Esto equivaldra
a reducir el innito actual al innitopotencial.Aquellos de mis
oyentes que no esten familiarizados con la Matematicamoderna,
aceptarandesdeluegoestadenicioncomosatisfactoria. Nadamas
peligroso, sin embargo, en todas las teoras donde interviene el
innito,quedejarsellevardelainduccion,
dejandopasarlaspalabrassinexamenriguroso que precise y delimite su
signicado.Darloselementossucesivamentequieredecir:daruno,yluegootro,ydespuesuntercero...;equivale,pues,aenumerarlos,y,portanto,anume-rarlos;esatribuiracadaelementounn
umerodelasucesion1,2,3,4,. . .FundamentosdelaAritmeticaydel
Analisis. J.ReyPastor 7de modo que, recprocamente, a cada n umero
natural corresponda un soloelemento. Dicho concisamente: es
establecer una correspondencia biunvocaentre los elementos del
conjunto y la serie de los n umeros naturales.Ybien:
sontodoslosconjuntossusceptiblesdeestaenumeracion, deesta
numeracion, de esta correspondencia? Es decir, son todos los
conjuntosnumerables?Fijemonos enel formadopor todos los n umeros
reales comprendidosentre 0 y 1. Vamos a demostrar que este
conjunto, perfectamente denido,noesnumerable; esdecir:
decualquiermodoqueseformeunasucesionindenidan1, n2, n3, n4, . . .de
n umeros comprendidos entre 0 y 1, hay otros n umeros de este
intervaloque no guran en la sucesion.Recordemos para esto una
propiedad elemental de las fracciones conti-nuas: todon umeroreal
admiteundesarrollo
unicoenfraccioncontinua(nitaoilimitada);y,porconsiguiente,silosdesarrollosdierenenalg
uncociente incompleto, representan n umeros distintos. Sentado
esto, desarro-llemos los n umerosn1, n2, n3, . . .n1 =1a1 +1b1 +1c1
+1...n2 =1a2 +1b2 +1c2 +1...Y ahora es muy facil formar un n umeron
=1a +1b +1c +1...distintodetodosellos,
ycomoelloscomprendidoentre0y1. Enefecto:bastatomara =a1, b =b1, c
=c1, . . . ; estafraccion, as formada,
tiene,respectodecadaunadelasanteriores, al
menosuncocienteincompletodistinto, y, por tanto, es distinta de
todas.FundamentosdelaAritmeticaydel Analisis. J.ReyPastor 8Tenemos,
pues, dos conjuntos innitos no coordinables entre s: el forma-do
por los n umeros naturales 1, 2, 3, . . . y el conjunto de todos
los n umerosreales comprendidos entre 0 y 1.NociondePotenciaPara
los conjuntos nitos hemos podido apreciar la importancia
capitaldelacoordinabilidad. Desdeel puntodevistamatematico,
dosconjuntoscoordinables son equivalentes, y el n umero es el ente
abstracto que nos servapara representar todos los conjuntos
coordinables entre s. Lo mismo aconte-ce en la Matematica trasnita.
Cantor ha introducido una nocion que, paralosconjuntosinnitos,
tienelamismaimportanciacapital queel n umerotiene para los nitos;
este concepto es el de potencia.Se dice que dos conjuntos tienen
igual potencia, o son equivalentes, cuan-do son coordinables, y
distinta potencia en caso contrario. Tenemos, pues,porlopronto,
dospotenciasdistintas: ladelosconjuntosnumerables, esdecir, ladel
conjunto1, 2, 3, 4, . . . yladel conjuntodelosn
umerosrealescomprendidos entre 0 y 1; esta ultima se llama la
potencia del
continuo.OtrosconjuntosCualquieranoversadoenestascuestionestrasnitas,podracreerque,halladas
estas dos potencias distintas, es facil obtener otras potencias
diver-sas. Por ejemplo: si del conjunto de los n umeros naturales
1, 2, 3, . . .
supri-mimosvarios,parecequeelnuevoconjuntonoserayacoordinableconelanterior,
pues contiene menos elementos que el.Y, sin embargo, nada mas lejos
de la verdad que esta aparente
evidencia.Nosoloprescindiendodevarioselementos;
aunsuprimiendoinnitosdelconjunto1, 2, 3, . . . el
formadoporlosinnitosrestantesesequivalentealanterior, es decir,
coordinable con el. Suprimamos, por ejemplo, los cuatroelementos
primeros, osuprimamos todos los impares y, sinembargo,
heFundamentosdelaAritmeticaydel Analisis. J.ReyPastor 9aqu la
correspondencia biunvoca:1 2 3 4 5 6 . . .5 6 7 8 9 10 . . .2 4 6 8
10 12 . . .Al elemento n del primer conjunto corresponde el n+4 en
el segundo, yel 2n en el tercero; cada elemento de uno tiene un
homologo, y solo uno, enel otro, sin excepcion
ninguna.Ejemploinstructivoeseste, encuantonosense
naaprocedercautelo-samenteenestascuestionesdel innitomatematico.
Lasnocionesdemasymenos,desumaydiferencia,soloestandenidasparaconjuntosnitos,y
al aplicar inconscientemente proposiciones como el todo es mayor
que
lapartealosconjuntosinnitos,paraloscualescarecendesentido,obtene-mos
consecuencias falsas. Es preciso, pues, para ocuparse con fruto de
estascuestiones trasnitas, sin incurrir en paralogismos, borrar de
nuestra mentetodossusprejuicios, ynousarning
unvocablosinanteshaberlodenido,aunque este tuviera claro signicado
en el orden de la nitud.Fracasados en la obtencion de conjuntos
innitos de potencia inferior a lade la serie 1, 2, 3, . . .
intentemos siquiera obtener otros de potencia superiora la del
continuo. Parece a primera vista que tomando, no solo los n
umerosdel intervalo(0, 1), sinotodoslosn umerosrealespositivos,
esteconjuntomas amplio no sera coordinable con el anterior. Y, sin
embargo, nada masfacil que establecer aritmetica o geometricamente,
dicha coordinacion.Geometricamente,losn
umerosdelintervalo(0,1)estanrepresentadosporunsegmentoAB;ytodoslosn
umerosrealespositivos,porunasemi-rrectaAC. Coloquemos ambos con el
origen com unA formando un angulodistinto de cero y de 180. En la
paralela aACtrazada por B, tomemos uncentro O, y proyectando desde
el los puntos del segmento AB, obtenemos losde la semirrecta AC la
correspondencia es punto a punto, es decir, biunvocasin
excepcion.FundamentosdelaAritmeticaydel Analisis. J.ReyPastor
10Conjuntoden umerosracionalesTodava otra sorpresa. Formemos ahora
el conjunto de todos los n umerosracionales; de el forma parte la
serie 1, 2, 3, 4, . . . ; y el, a su vez, esta
conte-nidoenelconjuntomasampliodetodoslosn
umerosreales.Paraquienestratanal
innitoconexcesivafamiliaridadseraevidenteque, conteniendoeste
conjunto de los n umeros racionales innitamente menos n umeros que
elde los reales, e innitamente mas que el de los naturales, no sera
posible sucoordinacion con uno ni con otro; mas bien parece que
tendra una potenciaintermedia entre ambos. Totalmente inexacta esta
sospecha; coloquemos enun cuadro los n umeros racionales1//
2~~}}}}}}}}}3~~}}}}}}}}}4~~}}}}}}}}}5. .
.1277nnnnnnnnnnnnnnnnn22
32
4252. . .1399tttttttttttttttttttttttttttt23334353. .
.1424344454. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .Despues de
tachar las fracciones reducibles, cada n umero racional
quedaescrito una vez y solo una vez, y entonces podemos
enumerarlos, comenzandopor 1 ysiguiendo el orden indicado por las
echas, obteniendo la sucesionordenada siguiente:1, 2, 12, 3, 13, 4,
32, 23, 14, 5, . . .A cada n umero racional corresponde un n umero
de orden, y recproca-mente; es decir: el conjunto de todos los n
umeros racionales es numerable. Ya la misma conclusion llegamos si
incluimos tambien los n umeros
negativos.FundamentosdelaAritmeticaydel Analisis. J.ReyPastor
11Todo se reduce a efectuar la enumeracion como indica el siguiente
esquema:. . .
oo
//
. . .. . .
OOooOO . . .. . . // // // OO . . .. . . . . .Este hecho, que no
podamos sospechar, y todos nuestros fracasos ante-riores en la
busca de un conjunto que no sea coordinable con el natural
niconelcontinuo,hacensurgirennosotrosunaduda:existenconjuntosden
umeros reales que no sean numerables ni tengan la potencia del
continuo?La duda es completamente fundada; mas a un: es un
problema, y proble-ma capital; y, por a nadidura, problema todava
no resuelto. Es una de lascuestionesfundamentalesse
naladasporHilbertalosinvestigadores,ensufamosa conferencia de
Pars.Potenciayn
umeroHemosadvertidoquelapotenciavieneaserparalosconjuntosinni-tos
como el n umero para los nitos. Con las potencias pueden denirse
lasmismasoperacionesfundamentalesqueconlosn
umeros(adicionymulti-plicacion), de este modo: suma de dos
potenciasm + n es la potencia delconjunto obtenido agregando los
objetos de un conjunto de potencia m y otrode potencia n. Producto
mn es la potencia del conjunto obtenido apareandocada objeto del
primero con cada objeto del segundo.He aqu, pues, las mismas
deniciones que sirvieron para la suma y pro-ducto de dos n umeros.
Pero este paralelismo entre n umeros y potencias noes completo. La
potencia toma del n umero solamente su caracter cardinal,mas no el
ordinal. Precisaremos esta
diferencia.Loselementosdeunconjuntonitopuedenordenarsemediantecual-quier
convenio. Si, por ejemplo, se trata de cuatro objetos, indicaremos
estaFundamentosdelaAritmeticaydel Analisis. J.ReyPastor
12ordenacion as:a b c ddonde el signo tiene el signicado: anterior
a. Sea, analogamente, l k p m otro conjunto de igual n umero de
elementos, tambien ordenados. Sepuede, evidentemente, coordinarlo
con el anterior de modo que se conserveel orden de ambos, as:a b c
dl k p mEs decir, el n umero natural, aunque ha sido denido como n
umero car-dinal (con abstraccion del orden), sirve tambien de n
umero ordinal; y as su-cedeenlavidapracticaqueel
mismosignousamospararepresentarunconjuntodeveinteobjetos,queparadesignarelvigesimoobjetoentreva-rios
ordenados.ConjuntosordenadosQue sucede si los conjuntos son
innitos? En primer lugar, no siempre esposible la ordenacion de sus
elementos. Fijemonos solamente en los conjuntosordenados, es decir,
en aquellos para los cuales es posible jar un conveniotal, que
entre dos elementos cualesquiera establezca un orden de prelacion;y
para que esta no sea contradictoria, cumpla la condicion siguiente:
Si esh b, yb q, esh q.As, por ejemplo, el conjunto de los n umeros
racionales es ordenado, y elmodo mas sencillo de ordenarlos es
ponerlos de menor a mayor. Pondremos,verbigracia, 2/5 3/4 por ser
2/5< 3/4. Por otra parte sabemos que esteconjunto es numerable,
es decir, se puede coordinar de muchos modos conel conjunto 1, 2,
3, 4, . . . Y ahora nos preguntamos: sera posible hacer
estacoordinacion de modo que se conserve el orden de ambos
conjuntos; es decir,de tal suerte que, en la sucesion numerada de
fracciones, cada una sea menorque las
siguientes?Evidentemente,no;puesentredosn
umerosnaturalesconsecutivos,nohayotrosn
umerosnaturales;mientrasqueentrelosdosracionalescorres-pondientes
existen innitos otros racionales, los cuales, por tanto,
careceranFundamentosdelaAritmeticaydel Analisis. J.ReyPastor
13dehomologoenlaserienatural. Nobasta, pues,
quedosconjuntosestenordenados y tengan la misma potencia, para que
puedan coordinarse orde-nadamente; es precisa alguna condicion
mas.ConjuntosbienordenadosObservemos que esta imposibilidad estriba
en lo siguiente: en el conjuntodelosn umerosracionales,
aunqueordenado, cadaelementonotieneotrosucesivo;sepuedehablarden
umeromenorqueotro,peronoden umerosconsecutivos. Pues bien: un
conjunto se dice bien ordenado cuando a cadaelemento sigue otro; y
dos conjuntos bien ordenados, entre los cuales existeuna
correspondencia biunvoca, que conserva el orden, se llaman
semejantes.Pondremosunejemplosencillo;yenvezdeoperarsoloconlosn
ume-ros,utilizaremossurepresentaciongeometricaparalograrclaridadmayor.Enunarecta
marquemos los puntos a1, b1, c1, d1, . . . de abscisas 0, 1/2,3/4,
5/8, . . . ; es decir, bsecamos el segmento unidada1A1por el
puntob1;lasegundamitadlabisecamosporel puntoc1, etc.
Apliquemosestemis-moprocesoal segmentoa1b1, yobtenemosen el
lasucesionindenidadepuntosa1, a2, a3, a4, . . . ; hacemos lo mismo
en elb1c1, y resulta la sucesionb1, b2, b3, . . . ; en el segmento
c1d1 nace la sucesion c1, c2, c3, . . . , etc., etc. Heaqu, pues,
un conjunto innito bien ordenado, compuesto de una innidadnumerable
de conjuntos numerables.N umerostransnitosPuestoqueel conceptoden
umeronatural
noshaservidopararepre-sentartodoslosconjuntosnitosquesoncoordinables,
ydistinguirlosdelosnocoordinables,logicoparecegeneralizaresteconceptoden
umero,demodo que sirva para representar todos los conjuntos bien
ordenados que sonsemejantes, y distinguirlos de los no
semejantes.Paramayor sencillez, nos jaremos enel ejemploanterior.
Comence-mosnumerandosuselementos,paralocualnosbastan,porlopronto,losn
umeros naturales; los puntos a1, a2, a3, . . . ocupan los lugares
1o, 2o, 3o, . . .Masahorasenospresentaunadicultadinesperada:
mientrasnoexisteFundamentosdelaAritmeticaydel Analisis. J.ReyPastor
14ning unn umeronatural queseamayor quecualquier otro, aqu
tenemosmuchos elementos por ejemplo: elb1 que son posteriores a
todos los in-nitos elementosa1, a2, a3, . . . an. . . Aparece,
pues, bien clara la necesidadde introducir nuevos entes abstractos,
nuevos n umeros, que nos sirvan pararepresentar estos nuevos
elementos.Peroantesdeconsiderarel b1, apareceyaladicultad.
Enefecto, eln umero natural n nos sirve para representar el
conjunto de losn primeroselementos. Mas con que n umero podemos
representar el conjunto de todoslospuntos a1, a2, a3. . . , an, . .
. ?Yanosetratadel innitopotencial, delconjunto nito que va
creciendo indenidamente, sino de la serie total quees innita; es
decir, se trata del innito actual numerable; para
representarlointroducimos el smbolo.Salvada as la primera dicultad,
los conjuntosa1a2a3. . . an. . . b1a1a2a3. . . an. . . b1b2a1a2a3.
. . an. . . b1b2b3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .se representan por +1, +2, . . . respectivamente. Mas de nuevo
surge laduda: que n umero asignaremos al conjunto de todos los
puntos a1, a2, a3, . . .an. . . mas todos losb1, b2, b3, . . . bn,
. . . ? Porque el n umero +n, por muygrande que tomemos n, designa
el conjunto de todas las a con las n primerasb, mas no todas
lasb.Operacionesconn umerostransnitosPero antes de avanzar mas,
hagamos una digresion : como podran de-nirse con los n umeros
trasnitos las mismas operaciones fundamentales delosn
umerosnitos?Bastauncambiodepalabrasyunapeque narestric-cion.
Llamamos suma + de dos n umeros trasnitos y , al n umero
quecorrespondealconjuntoobtenidoagregandoacontinuaciondelosobjetosde
un conjuntoM, cuyo n umero sea, los de un conjuntoN, cuyo n
umerosea, conservando el orden prejado para los elementos de cada
conjunto.Aplquese esta denicion, y se vera que no solo es + 1
distinto de 1 + ,FundamentosdelaAritmeticaydel Analisis.
J.ReyPastor 15sino que es 1 + = , y en general es + = +. La adicion
de n umerostrasnitos no es conmutativa.Compongamosahoralosconjuntos
MyN; esdecir, apareemoscadaelementom deMcon cada elementon deN, y
establezcamos el siguienteordendeprelacion:decimosque(m,
n)esanteriora(m
, n
)siesn n
;y en el cason =n
, cuando seam m
. El n umero trasnito del conjuntoas compuesto, se llama
producto de por; y en general esdistinto de. Aplique el lector la
denicion, y vera que, lejos de ser 2 igual a 2es 2 = .Sucesionesden
umerostransnitosYa es facil asignar n umero a los conjuntos que van
obteniendose en nues-tro ejemplo. Al formado por todas las a y las
b, le corresponde + = 2;a los obtenidos agregando un objetoc1, o
bienc1, c2, . . . , les correspondenlos n umeros 2 + 1, 2 + 2, , 2
+ 3al formado por todas las a, todas las b y todas las c, le
asignamos el n umero 3, etc. As llegamosalosn umeros 4, 5, . . . ,
n; y, nalmente,recordando la denicion de producto antes dada, el n
umero que correspondeal conjunto total es o sea2.Peroel
procesoaplicadoal segmentoa1A1paraconstruir el anteriorconjunto, lo
podemos repetir para un segundo segmentoA1B1, y para
otroB1C1,...ysielegimoslospuntosB1, C1, D1, . . .
comoantes,demodoqueconverjan hacia un puntoX, podemos repetir el
proceso en otro segmentoXY , yluegoenotros,
yestarepeticionnotienen. Yvamosobteniendoas n umeros trasnitos
cadavezmayores; al 2siguenlos 2+ 1, 2+2, . . . , 2+, . . . , 2+2 ,
2+3 , . . . , 2+2= 2 2; y luego vendran2 3 y 2 4, ... y 2 = 3; y
repetido incesantemente el proceso, se llegaa4, 5, . . . , ; y
despues vendraPodemosaumentarcuantoqueramosel n umerodeexponentes,
y, sinem-FundamentosdelaAritmeticaydel Analisis. J.ReyPastor
16bargo, nobasta; siempreexistenelementosposteriores, esdecir, n
umerostrasnitos mayores. El smbolo es ya impotente para
designarlos, y enton-ces se introduce un nuevo smbolo. As como era
por denicion = lmn, es ahora= lmn=...(n
potencias)yllegaunmomentoenqueestosnuevossmbolos,combinadosconlaypotenciadosconexponentesaltsimos,
nosonsucientes;
yseintroducennuevosynuevossmbolos,nuevasynuevasunidadestrasnitasdeespeciesuperior.CalculoconlasalefdeCantorCantorhadesignadolaspotenciasdelosconjuntosrepresentadosporlos
n umeros trasnitos, por las letras 1, 2, 3, . . . ; pero el calculo
de estossmbolos alef ha provocado algunas impugnaciones, en las que
no podemosentrar. Citaremos solamente algunos resultados que han
sido rigurosamentedemostrados:Sia < b es a +b = by a b = b.0 0 =
20= 30= =potencia del continuo = cy como 0es la potencia de los
conjuntos numerables, o primera potencia,tenemos aqu ligadas
algortmicamente las dos potencias fundamentales deque antes nos
hemos ocupado con todo detalle. En cambio esc2= c3= = cn= = c0=
cigualdad cuyo signicado geometrico hemos de estudiar en la proxima
con-ferencia.ElproblemadelcontinuoNos hemos jado ha poco en el
hecho de que los n umeros racionales, ensu orden natural de menor a
mayor, no forman un conjunto bien ordenado;pero alterando
convenientemente este orden hemos conseguido
esto.FundamentosdelaAritmeticaydel Analisis. J.ReyPastor
17Tampocoestabienordenadoel conjuntodetodoslosn umerosreales,dados
en su orden creciente de magnitud, y Cantor se pregunta: podra
es-tablecerse entre los n umeros reales un orden de prelacion tal
que resulte unconjunto bien ordenado? Para los n umeros racionales,
esto era sumamentefacil, porsernumerablesuconjunto;
peroahorasetratadel continuo, esdecir, deunconjuntononumerable, seg
unanteshemosdemostrado, yladicultad sube de punto.Problema gravsimo
es este de Cantor, cuya solucion llevara probable-mente consigo la
del otro problema que planteabamos al principio, a saber:el de la
existencia de potencias intermedias entre el continuo y los
conjuntosnumerables.DespuesdelaconferenciadadaenelCongresodeHeidelbergporel
ilustrematematicoKonig, nohacemuchofallecido, llegoacreerseresuelto
el problema de Cantor en sentido negativo. En efecto, utilizando
elteorema de Bernstein, expresado por la igualdadXV= X 2Vse deduce
que el continuo no es un conjunto bien ordenado. Pero,
desgracia-damente, la demostracion del bello teorema de Bernstein
tiene una lagunatodava no llenada, y la consecuencia de Konig
careca, por tanto, de basesolida. Sin embargo, una consecuencia muy
interesante resulta de su trabajo:si el continuo no es un conjunto
bien ordenado, el teorema de Bernstein escierto. Son, pues,
equivalentes ambas cuestiones, y el problema del continuoqueda as
reducido a la demostracion del teorema de Bernstein.En cambio, si
la sospecha de Cantor es cierta, el continuo, es decir, losn
umerosreales,sepodrandisponerdemodoqueresulteunconjuntobienordenado,
y la potencia del continuo sera inmediatamente superior a la delos
conjuntos numerables. El desarrollo de la teora esta, pues,
pendiente deesta pregunta: esc = 1?La sospecha de Cantor ha
obtenido una demostracion muy ingeniosa deZermelo, la cual ha
sufrido varias impugnaciones de Borel, Baire, Schonies,Poincare,
Lebesgue,... Ambos problemas siguen, pues, enpie,
desaandoconlasencillezaparentedesusterminoslamismadelosproblemasdela
esnge el ingenio de los matematicos, a dura prueba sujeto en esta
suatrevida lucha con el innito.
