[Matematicas].Las.matematicas.en.El.siglo.xix.(Mariano.hormigon)[MadMath]

Las Matematicas del siglo xix

Mariano Hormigon

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Indice general

El golpe de timon 1

Un romantico final para un deseo imposible 9

Logica y verdad: Las geometras no eucldeas 16

Rigor y mas rigor 24

Las matematicas y la ciencia son femeninos 30

La geometra unificada y fundamentada 38

La esencia de las matematicas es su libertad 45

Las matematicas en Espana en el siglo xix 52

Conclusion 56

Cronologa 59

Bibliografa 61

Las Matematicas del siglo xix. Mariano Hormigon 1

El golpe de timon

Las divisiones cronologicas estandarizadas siglos, decadas, lustros oanos no suelen ser excesivamente adecuadas para senalar los avances oretrocesos cualitativos de la historia del pensamiento, de las ideas, de laciencia o de las Matematicas. Desde un punto de vista estricto, 1800 esun ano como cualquier otro de la voragine europea de los anos en que lainfluencia revolucionaria francesa se extenda por Europa aunque fuera deforma un tanto sui generis con los avances de los ejercitos de Napoleon.

Sin embargo, hay algo que s es constatable. Unos anos antes del estallidoproducido en Pars al calor de la convocatoria de los Estados Generales de1789, Lagrange, que se encontraba en la cima de su efervescencia creadora,escriba a dAlembert uno de los patriarcas vivos de las Matematicas delsiglo xviii una famosa y archicitada carta, en 1781, en la que expona suspreocupaciones acerca del negro porvenir que prevea para las Matematicas,sobre todo en el campo de la Geometra, habida cuenta de los escasos pro-blemas que quedaban por resolver. El mismo Lagrange, una decada despues,sistematizaba buena parte del saber matematico de su tiempo. Los picos quedejo fueron completados por Monge y Laplace, entre otros. Las Matemati-cas vivan una sensacion de plenitud y, por tanto, de peligro. Cuando unaciencia esta completa y no tiene enigmas se muere. Sin embargo, treintaanos despues, las Matematicas se desarrollaban en una tormenta de orien-taciones, como si de una recien creada disciplina se tratase. En menos detreinta anos los desarrollos eran tan ricos y tan nuevos que apareca un nue-vo universo, fertil y preparado, para una comunidad matematica cada vezmas numerosa y de intereses cada vez mas amplios. Mas no era solo eseel cambio producido, aunque para muchos haya sido el mas importante, yaque es el que afecto mas ntimamente al nucleo central de la disciplina. Tam-bien se presentaron otros cambios profundos y significativos que afectarona otros aspectos tanto internos como externos de la definicion y presenciaintelectual y social de las Matematicas. Entre esos cambios hay que destacarnecesariamente tres. El primero, de nuevo de orden cuantitativo, fue el grancrecimiento de centros, instituciones y personas que se dedicaron al culti-vo profesional de las Matematicas. El segundo fue el rotundo viraje que seimprimio a la finalidad mas o menos inmediata del quehacer matematico a


cualquier nivel. El tercero, estrechamente vinculado al valor de verdad delas proposiciones matematicas, se conoce en la historia como la polemica delos fundamentos. De todas estas cosas hay mucho que escribir, que contary que reflexionar, mas las dimensiones de esta obra imponen un rigurosocriterio mas de eleccion que de seleccion, porque desde cualquier optica quese enfoque sera correcta y extraordinariamente relevante la historia de lasMatematicas del siglo xix que se contara.

Mas cualquiera que sea la va de desarrollo por la que se opte, debepartir de las obras de dos autores excelsos que dieron un elocuente golpede timon en el mundo de las elaboraciones matematicas que se haban idodesgranando en el siglo xviii, y que sentaron las bases de lo que seranlas Matematicas, desde luego del siglo xix, aunque tambien de la mayorparte del siglo xx. Tales autores fueron Carl Friedrich Gauss (1777-1855) yAugustin Louis Cauchy (1789-1857). Gauss es el primero de la incomparableserie de matematicos que coloco a las Universidades alemanas en la cabezade las elaboraciones matematicas, tanto en cuanto a extension y calidad de ladocencia como del maximo nivel investigador. Cauchy, ademas de manteneren lo mas alto el nivel de las Matematicas galas, realizo una obra tan extensay tan profunda que hoy su nombre es quizas el mas conocido y repetido enla formacion estandar de los matematicos de cualquier pas del mundo.

Carl Friedrich Gauss es uno de los mas grandes matematicos de todoslos tiempos, tanto que la honorfica distincion que a su muerte le concedio elRey de Hannover, de Prncipe de los Matematicos ha sido habitualmente ad-mitida por las generaciones posteriores de matematicos. Naturalmente lasMatematicas, como todos los territorios sociales donde prima la racionali-dad, no son monarquicas, y por eso la denominacion de Prncipe no indicaprimaca exclusiva al igual que tampoco senala ningun tipo de privilegiohereditario. Porque Gauss proceda de una familia humilde. Su padre segano la vida en los oficios mas diversos: fue, por ejemplo, jardinero, pintor ycobrador de recibos de una compana de seguros; su madre, antes de casarse,haba sido sirvienta.

Gauss es en la Historia de las Matematicas uno de los casos mas apabu-llantes de precocidad. El mismo dijo que haba aprendido a calcular antesque a hablar y se han difundido anecdotas sobre sus capacidades calculsticas


infantiles, unas posibles, otras comprobadas. Es incuestionable, sin embar-go, que gracias a las becas que le concedio el Duque de Braunschweig pudoestudiar, demostrando un singular aprovechamiento no solo en Matematicassino tambien en lenguas extranjeras.

Lo que en la primera infancia fueron destellos de genialidad cuajo en laadolescencia en una serie de aportaciones cada vez mas brillantes que fueanotando en un diario, famoso documento que, cuando salio a la luz muchosanos despues en 1898, demostro que bastantes hallazgos matematicosatribuidos a otros colegas haban sido descubiertos precozmente por el. En-tre los muchos descubrimientos que realizo, uno le cautivo particularmente:la construccion con regla y compas del polgono regular de diecisiete lados.Fue el 30 de marzo de 1796, a los 18 anos, cuando anoto el resultado queacababa con un problema que se arrastraba desde la Antiguedad, a saber:que polgonos regulares podan construirse con regla y compas. La idea nu-clear consista en identificar la construccion de un polgono regular de plados con la resolucion de la ecuacion xp 1 = 0 en el campo complejo.

La segunda gran aportacion de Gauss en este perodo fue su tesis docto-ral, presentada en 1799 en la Universidad de Helmstedt, y que consistio en lademostracion del teorema fundamental del algebra, que establecio que todaecuacion polinomica con coeficientes reales puede escribirse de forma unicacomo producto de factores de primero y segundo grado.

Durante estos primeros anos juveniles Gauss estaba escribiendo ademasuno de los textos cruciales de las Matematicas del siglo xix, lasDisquisitionesarithmeticae, cuyo contenido iba a trasformar decisivamente la orientaciony estructura de la Teora de Numeros en particular y de las Matematicas nofinalistas puras en general. Este libro, publicado en 1801, iba a dar aGauss reconocimiento y fama universales en los medios cientficos.

Mas ese mismo ano otro hecho iba a completar la autoridad cientficadel joven Gauss. El 1 de enero se vio por primera vez uno de los plane-tas menores del sistema solar: Ceres. Se le observo durante 40 das y luegovolvio a ocultarse repentinamente. Gauss, a partir tan solo de tres observa-ciones, desarrollo una nueva metodologa para el calculo de su orbita, contanta exactitud que Ceres pudo ser observado de nuevo casi un ano despues,cuando volvio a ser visible a los telescopios de los astronomos.


A partir de ese ano los intereses investigadores de Gauss se dividieronprimordialmente entre la Aritmetica superior y la Astronoma. Gauss con-sideraba que las Matematicas eran la reina de las Ciencias y que la Teorade Numeros era la reina de las Matematicas los sentimientos monarquicosde Gauss eran muy profundos-.

Pocos anos despues, en 1807, Gauss consiguio una catedra en Gotinga yya no abandono esta ciudad en su dilatada vida a pesar de las ventajosasofertas que se le hicieron desde varios centros cientficos de Europa. Con elloaporto su trabajo y su prestigio al desarrollo y consolidacion de la Universi-dad de Gotinga como una de las mas si no la mas importante institucionmatematica europea del siglo xix.

Aunque Gauss tiene una considerable obra sus completas abarcan docevolumenes no se prodigo excesivamente a la hora de publicar. Era partida-rio de no dar a la luz sus investigaciones mas que cuando pudieran soportarlos mas estrictos patrones clasicos en lo referente al rigor. Esta busqueda delrigor le llevo a retomar a lo largo de su vida algunos temas a los que fuellevando sistematicamente a cotas de mayor perfeccion.

Ademas de Teora de Numeros y Astronoma tambien cultivo Gauss otroscampos, siempre con notable maestra. En Geometra, ademas de las convic-ciones que alcanzo sobre los desarrollos no eucldeos y que no se atrevio apublicar por temor al clamor de los beocios se intereso enormemente porla Geometra que pudiera explicar el problema de la figura de la Tierra y sumejor representacion en el plano. Al hilo de estas preocupaciones practicasse enfrasco en el desarrollo de dos importantes cuestiones teoricas: el proble-ma de la representacion conforme y el problema del analisis cualitativo de lafigura de una superficie cuando se tienen datos cuantitativos sobre las curvasque yacen en la superficie y sobre los angulos que forman. Fruto de estasinvestigaciones fueron sus obras Investigaciones generales sobre superficiesalabeadas, que vio la luz en 1827, y sus dos tratados sobre Investigacionessobre temas de Geodesia Superior, que publico en 1844 y 1847.

Aunque Gauss es uno de los cualificados responsables del golpe de timondado a la orientacion matematica y, por tanto, de la sustitucion de la utilidadde la ciencia por la no finalidad como argumento teleologico del trabajo delos matematicos, como casi todos los grandes cientficos nunca desdeno com-


pletamente los trabajos de aplicacion, demostrando en ellos una singular ca-pacitacion, como por ejemplo sus colaboraciones con el fsico Wilhem EduardWeber (1804-1891), que condujeron a la invencion de su telegrafo electro-magnetico en 1833. El conservadurismo de Gauss le llevo a romper estarelacion en 1837, cuando Weber, uno de los siete de Gotinga, firmo el escritoen que se negaba a jurar lealtad al Rey cuando este sustituyo la Constitucionvigente por la anterior, que era aun mas reaccionaria. Tambien trabajo Gaussen cuestiones de Mecanica, Optica e incluso se intereso eficazmente por laBolsa, realizando algunas operaciones ventajosas para el y para el Montepode Viudas de Catedraticos de Gotinga, cuyo numero haba aumentado con-siderablemente en la decada de 1840 a 1850 y vean en peligro sus pensiones.

Gauss, aunque ejercio una notable influencia entre los matematicos de suepoca y entre los de las generaciones posteriores, lo hizo casi exclusivamentea traves de sus publicaciones cientficas. No le gustaba la docencia y secarteaba poco con sus colegas matematicos. Si a eso se anade su permanenciaen Gotinga casi una voluntaria reclusion puede entenderse que su figurapropiciara respeto cientfico, pero no desbordante admiracion y fidelidadpersonales.

El otro conductor del cambio de rumbo de las Matematicas del xix fue elfrances Augustin Louis Cauchy, personaje un tanto insolito en el universo dela racionalidad a causa de su fanatica religiosidad y de su conservadurismopoltico. Fue hijo de su tiempo, tan lleno de cambios, y en todas las ocasionesen que hubo de optar, su decision siempre se inclino hacia las posicionesmas retrogradas y reaccionarias. Solo una virtud hay que senalarle en esteaspecto: la fidelidad a sus principios. A su muerte en 1857 se congregaron,entre otros, los jesuitas y el Cardenal de Pars junto a su lecho, en prueba dereconocimiento por los servicios prestados a lo largo de toda su vida. Unavida que merecio el siguiente comentario de Abel:

Cauchy es extremadamente catolico y mojigato. Esta es una cir-cunstancia muy extrana en un matematico.

Aunque no esta suficientemente estudiado, es bastante probable que esaposicion ideologica le impulsara a imprimir un cambio de direccion a laorientacion de las Matematicas de la Ilustracion y del perodo revoluciona-


rio. Con todo, el cambio era algo necesario. Tras el frenetico desarrollo de lasMatematicas del xviii, en el que los resultados y las aplicaciones ocurrierona borbotones, haban quedado en la estructura del edificio grietas excesi-vamente visibles como para pasar desapercibidas. Algunas de estas grietas,situadas en la misma cimentacion del calculo, eran lo suficientemente preo-cupantes como para justificar cualquier detencion reflexiva en el proceso decreacion.

Cauchy nacio, cinco semanas despues de que el pueblo de Pars tomarala Bastilla, en Arcueil, un pueblo de las cercanas de la capital de Franciadonde su familia se haba retirado a esperar mejores tiempos. Pese a susprevenciones, el padre de Cauchy mantuvo contactos con intelectuales cuyaestrella ascenda irresistiblemente en el firmamento napoleonico como P. S.Laplace. Gracias a ello fue nombrado Secretario del Senado en el ano 1800y la familia volvio a Pars.

All, con el apoyo de Laplace y algunos otros matematicos, el joven Cau-chy ingreso en la Escuela Politecnica en la que se hizo ingeniero civil, siendodestinado, antes de cumplir los veintiun anos, a Cherburgo para ir a trabajaren la construccion del puerto. En los tres anos que paso en la localidad por-tuaria comenzo Cauchy a interesarse por las Matematicas teoricas y, aunqueescribio sobre cuestiones tecnicas, acogio la sugerencia de Lagrange de estu-diar la teora de poliedros, comenzando a ampliar la gama de sus temas deinteres, mandando memorias y redactando artculos con una cadencia queanunciaba ya el volumen de su gigantesca produccion.

Tanto se intereso por las Matematicas que abandono la practica de la in-geniera a su regreso a Pars en 1813. Intento entrar en instituciones cientfi-cas, pero la competencia era dura ante el numero de cientficos que generaronla efervescencia del primer tramo revolucionario y del perodo napoleonico.Cauchy era en 1813 una joven promesa, pero poco mas.

Sin embargo, cuando los Borbones se hicieron de nuevo con la corona deFrancia y la represion cayo salvajemente sobre los cientficos republicanos(por ejemplo Monge o Carnot), las puertas de la Academia se abrieron paraCauchy, que no hizo ascos a esa peculiar forma de promocion. No solo eso:con Luis xviii en el trono, Cauchy era feliz e iniciaba ademas una notable ca-rrera en la que no fue pequeno aliciente su nombramiento como Catedratico


de la Escuela Politecnica. Porque fue en la Politecnica donde iba a escribiruna de sus obras mas fundamentales: el Curso de Analisis de la EscuelaPolitecnica (bastardamente calificada de Real), que vio la luz en 1821. Laimportancia de estas lecciones reside en el hecho de que es en ellas dondese encuentra el final del penoso y voluntarista recorrido del calculo infinite-simal por conseguir una cimentacion rigurosa de la prodigiosa herramientacreada por Leibniz y magistralmente desarrollada por los Bernoulli, Euler,dAlembert y los grandes matematicos de la Revolucion Francesa. A pesarde los contantes intentos por fundamentar lo mas rigurosamente posible laya poderosa rama del calculo infinitesimal, matematicos tan aventajados co-mo los citados fracasaron en el intento, aunque algunos, como dAlembert,lo atisbaran atinadamente.

El triunfo, sin embargo, fue de Cauchy. En el Cours dAnalyse sustentoCauchy el calculo infinitesimal en el concepto esencial de lmite, practica-mente con la misma estructura que actualmente se utiliza en los textos decalculo. A partir de este concepto desarrollo el algebra de los lmites, el con-cepto de sucesion, la teora de series, la nocion de convergencia, algun criteriopara determinarla, la introduccion rigurosa de los conceptos de derivada eintegral, etc.

El impulso y el exito de las nuevas ideas, o de la nueva manera deexponer las antiguas, animaron a Cauchy a seguir insistiendo en el tema conmultitud de memorias y trabajos y en un nuevo libro, publicado dos anosmas tarde, en 1823, con el ttulo Lecciones de calculo infinitesimal.

Aun cuando con esta aportacion ya hubiera ocupado un lugar de pri-mersimo orden en la historia de las Matematicas, la obra de Cauchy esimportantsima cuando menos en cuatro campos mas. Son estos la teorade ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, la teora defunciones de variable compleja, el algebra y la Fsica Teorica.

Resaltar las aportaciones originales de Cauchy es sencillamente imposibleen las reducidas dimensiones de esta obra. Cualquier persona que se adentremnimamente en el estudio en serio de las Matematicas o de la Fsica Teoricase encuentra hoy el nombre de Cauchy unido a una multitud tal de conceptosy entes matematicos que quiza lo situen en fama por encima del mismsimoEuler. Los problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales, los teo-


remas de existencia y unicidad de solucion de los problemas de valor inicial,la formula de acotacion de Cauchy, la sucesion de Cauchy, el teorema delmite de Cauchy, las formulas integrales de Cauchy, el determinante deCauchy, los criterios de convergencia de Cauchy, etcetera, etcetera.

La vida de Cauchy corrio paralela a su tiempo. Su instalacion social tanconfortable en la tiranica Francia de la restaurada monarqua borbonica setrunco de pronto con la Revolucion de 1830. A pesar del parto de los montesque supuso la monarqua de Luis Felipe para los revolucionarios, para elreaccionario Cauchy fue demasiado y se marcho el exilio junto a su ex-reyCarlos x, quien lo llego a tener en el grupo de preceptores del heredero dela corona entre 1833 y 1838.

El exilio, no obstante, no corto las relaciones de Cauchy con la Academiade Ciencias y las demas instituciones cientficas francesas, a las que llego aabrumar con sus extensas y valiosas memorias. Mas a partir de 1838volvio a instalarse en Pars, donde los sucesivos gobiernos le crearon condi-ciones favorables especiales para que continuara con sus trabajos. A partirde la Revolucion de 1848 se reintegro a la Politecnica y a la Sorbona y si-guio su actividad docente e investigadora vinculado a los mas importantesorganos cientficos franceses.

Gauss y Cauchy son los mas grandes entre los matematicos de la primeramitad del siglo xix. Sin embargo, se ignoraron cientficamente a lo largo desus vidas y rara vez se citaron. Cosas.

De Gauss no se tiene conocimiento de que perjudicara a nadie. De Cau-chy s se sabe que, por su especial caracter, tuvo bastante que ver con losprematuros y tragicos finales de dos de los mas brillantes matematicos detodo el siglo xix: el noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) y el frances Eva-riste Galois (1811-1832). La mera constatacion de las fechas de nacimiento ymuerte indica que ambos murieron jovencsimos. El que figuren en un lugardestacado en esta y en todas las historias de las Matematicas que puedanescribirse indica bien claramente que algo grandsimo hubieron de hacer ensus cortas vidas.


Un romantico final para un deseo imposible

La tesis doctoral de Gauss verso sobre el teorema fundamental del alge-bra. Segun este, todos los matematicos mnimamente versados saban desdelos albores del siglo xix que toda ecuacion polinomica con coeficientes realestena al menos una raz. Lo que Gauss haba demostrado en su tesis era algo,sin embargo, que haba sido ya intuido desde el mismo siglo xvii por Girardy que, tras intentos no totalmente fructuosos de matematicos de primera filacomo Euler, dAlembert o Lagrange, se haba admitido como una conjeturamuy razonable. No haba que hacer ninguna solemne profesion de fe paraadmitir de buena gana que una ecuacion de grado 5 tuviera 5 races realeso complejas, pero como podan calcularse?

Desde antiguo se saban encontrar las races de las ecuaciones de primeroy segundo grado por medio de formulas en las que figuraban los coeficientesde la ecuacion. En el siglo xvi, Cardano haba dado a conocer la formulade Tartaglia y Scipione del Ferro para la ecuacion cubica. Las ecuaciones decuarto grado podan reducirse a otros inferiores por medio de cambios devariable adecuados. Pero y las de quinto grado? Existira una formula, pormas complicada que fuera, que pudiera expresar por medio de combinacionesalgebraicas de los coeficientes las races de una ecuacion de quinto grado?Naturalmente, si en la ecuacion de segundo grado las soluciones se obtenanpor medio de races cuadradas y en las de tercero aparecan races cubicas,no sera extravagante pensar que, en las de quinto grado, las solucionesvinieran dadas por races quintas, en las de septimo por races septimas yas sucesivamente.

Admitida la conjetura del teorema fundamental y el potente resultadode las formulas para resolver las ecuaciones de segundo y tercer grado, soloquedaba ponerse a trabajar para intentar resolver por radicales la ecuacionde quinto grado. En 1799, el matematico italiano Paulo Ruffini (1765-1822)avanzo decisivamente, aunque no completamente, en el problema de demos-trar la imposibilidad de este problema.

Y aunque talentos de la envergadura de Lagrange y Cauchy hicieronavanzar el proceso considerablemente, la gloria de acabar con este difcilproblema estaba reservada al primer gran matematico noruego de la historia,


Niels Henrik Abel. Abel puede servir de ejemplo a los fanaticos defensoresde la especificidad del talento personal para obtener resultados importantes.Abel es un caso notable de privaciones personales, familiares y ambientales,autodidacta en lo cientfico y con poca fortuna en la vida. Sin embargo, en elmarco de una existencia acorde con las corrientes romanticas que recorranEuropa, supo y pudo crear en los veintisiete anos que vivio una obra lucida,interesante y granada de excelsos hallazgos.

Nacio Abel en el seno de la familia de un cura rural. Estudio en condicio-nes difciles, en un ambiente escolar en el que los malos tratos eran monedacorriente. Sin embargo, se iba a cruzar en su vida un hombre bueno, BermMichael Holmboe que, como profesor de Matematicas de la Escuela Episco-pal de Oslo, se percato muy pronto de las dotes del enfermizo Abel para elcultivo de las Matematicas. Holmboe leyo los primeros papeles de Abel enlos que crea haber encontrado la solucion por radicales de la ecuacion dequinto grado y se convirtio en su protector y su mas ardiente propagandista.Gracias a su apoyo, consiguio Abel una beca para estudiar en la Universi-dad de Oslo. Durante su perodo universitario publico algunos trabajos enla Revista de Ciencias Naturales de Oslo.

Hacia finales de 1823. Abel llego a la conclusion de que la solucion porradicales de la ecuacion de quinto grado era imposible. Lo mas importantede este resultado estribaba en el hecho de poder admitir como solucion deun enigma matematico su no existencia, su imposibilidad. En Matematicas,hasta entonces, cuando un problema se encasquillaba, se enfocaba en otradireccion o simplemente se aparcaba, esperando que algun genio posterior loresolviese. Pero no se admita de buen grado que un problema sobre todosi se poda comprender racionalmente pudiera ser imposible.

Los mas famosos problemas de la Antiguedad la cuadratura del crcu-lo, la triseccion de angulo o la duplicacion del cubo haban llegado al sigloxix con la vitola de la extrema dificultad. El siglo xix, gracias a los resulta-dos de Hermite (1822-1901), Lindemann (1852-1939) y otros, acabo con laincertidumbre y demostro que esos problemas con su enunciado clasico eranimposibles. Mas el primer gran hito matematico fue el resultado relativo ala ecuacion de quinto grado.

Los trabajos de Abel causaron indudablemente admiracion en el mundo


universitario noruego aunque no hubiera ningun interlocutor que pudierahacerse una idea cabal de su verdadera enjundia y se le consiguio unabeca para que pudiera viajar a los centros cientficos mas adelantados delcontinente europeo para seguir progresando.

Naturalmente, escala obligada del viaje cientfico era Pars. Convencidode la importancia de su trabajo, lo hizo imprimir a su costa y, con esamemoria en su equipaje como tarjeta de presentacion, se fue a Berln y Pars.En la capital de Prusia fue acogido con cordialidad por Crelle, fundador dela importantsima revista Journal fur die reine und angewandte Mathematik(Revista de las Matematicas Puras y Aplicadas), que le animo a publicarsus ideas matematicas en su revista. En cuatro meses redacto Abel seismemorias, que aparecieron en el volumen primero del Journal de Crelle.Una de ellas era el importante resultado que nos ocupa, la Demostracion dela imposibilidad de la resolubilidad algebraica de las ecuaciones generales degrado superior al cuarto, que es todava un hito actual en la exposicion de laMatematica clasica. Tambien en esta serie de artculos aparecieron algunosimportantsimos resultados para la fundamentacion rigurosa del Analisis,como el teorema de continuidad de Abel. Crelle procuro siempre favorecer aAbel, aunque cuando encontro algo consistente que ofrecerle, era demasiadotarde. Mas no precipitemos los acontecimientos.

Abel llego a Pars en 1826 despues de haber dado un amplio rodeo porEuropa. Intento hablar con Cauchy, entonces en plena potencia creadora,pero fue vana pretension. Los trabajos que haba publicado en el Journal deCrelle no le haban servido para nada.

Paciente y resignado, presento a la consideracion de la Academia unode sus trabajos mas profundos, el Estudio de una propiedad general de unaclase muy amplia de funciones transcendentes, que comprenda una generali-zacion de la proposicion que establece la adicion de integrales elpticas. Abelcreyo ingenuamente que los doctos varones de la Academia abriran susbrazos cientficos para acoger al exotico noruego que, modestamente, habasido capaz de aportar tan estimable el lo saba trabajo.

Pero las Academias son muy suyas. Y la francesa se curo en salud, en-comendandole a Cauchy el dictamen serio y objetivo sobre la Memoria encuestion. Pero Cauchy actuo como nunca cabra esperar de un hombre de


ciencia avido de saber: lo hizo extraviar. Naturalmente, el manuscrito eralargo y profundo, las integrales elpticas no son banales y el tena otros asun-tos a los que dedicar su tiempo. Abel, con esa generosidad que acredita a losjovenes brillantes, hablo en todo momento enconmiasticamente de Cauchyy de todos los matematicos franceses. Sin embargo, la Academia nunca lecontesto.

Abel siguio trabajando en Pars en el tema de las integrales y funcioneselpticas. Alcanzando fecundos resultados, llego al momento en que el dinerose le fue acabando y tuvo que volver a Noruega. Lo hizo pasando de nuevo porBerln donde Crelle intento, pero no pudo, conseguirle un empleo adecuado.

En Noruega tampoco se resolvieron sus problemas. No consiguio un pues-to fijo en la Universidad de Oslo y a sus problemas familiares se unio ungrave problema personal: la tuberculosis pulmonar.

La fuerza interior que genera el tener ideas en la cabeza le hizo posi-ble mantener un ritmo de trabajo casi frenetico, consiguiendo resultadoscada vez mas importantes en la teora de funciones elpticas. Pero en el de-sigual combate con la tuberculosis vencio esta. Abel murio el 6 de abril de1829. En el curso de este proceso su fama se extenda por todos los centroscientficos de Europa. Dos das despues de la muerte de Abel, Crelle le es-criba diciendole que le haba conseguido un trabajo en Berln. Cauchy nose inmuto.

Otro aspecto del romantico desenlace de este captulo de la teora deecuaciones algebraicas lo representa la vida de uno de los mas precocesmatematicos de la historia, el revolucionario frances Evariste Galois.

Nacio en Bourg-la-Reine en 1811 y no llego a cumplir los veintiun anos.Mas en esa corta existencia conocio los sinsabores de la vida y pudo, a pesarde todo, exponer algunas ideas matematicas de una fecundidad e importan-cia indiscutibles. Galois, hijo de un hombre liberal y anticlerical, alcanzo eluso de razon en el crispado ambiente de la Francia de la restauracion borboni-ca. Y en la tension social de aquel momento, el adolescente y precoz Galoistomo el partido de la Republica, el partido de la Revolucion, el partido de lalibertad. Ejercio en su etapa escolar esta profunda vocacion y asistio expec-tante a los acontecimientos de la Revolucion de julio de 1830 que sustituyo al


Borbon, Carlos x, por el Orleans, Luis Felipe, el Res Ciudadano que trai-ciono los ideales del levantamiento popular y que, con el formidable aparatopolicial que genero, supuso la ruina de muchas personas y, en particular, deEvariste Galois.

No es extrano que una persona tan inquieta como Galois enfocara lasMatematicas con un talante completamente rupturista respecto a lo que elconsideraba los viejos modelos. Desde sus tempranos anos escolares habacomenzado a leer Matematicas de altura en los libros de Lagrange, Legendre,Gauss y Abel, entre otros. A partir de los escritos de este ultimo comenzo aescudrinar en el tema de las ecuaciones algebraicas. Movido por el interes porlas Matematicas, en y hacia las ecuaciones algebraicas, actuo en dos direccio-nes: intento entrar en la Escuela Politecnica y comenzo a enviar manuscritosa la Academia de Ciencias. En ninguno de los caminos le acompano la fortu-na. Las dos veces que se presento a examen en la Politecnica lo suspendieron.En la primera por encontrar lagunas en su formacion, en la segunda porque,segun se cuenta, el examinador intento humillarlo haciendole preguntas ex-cesivamente elementales que terminaron cuando Galois le arrojo el borradora la cabeza.

La carrera de Galois como publicista tambien fue atormentada. A co-mienzos del ano 31 presento a la consideracion de la Academia un trabajosobre las condiciones de resolubilidad de ecuaciones por radicales que era unextracto de otro que el Sr. Cauchy haba vuelto a extraviar. Hay que verlo despistado que era este santo varon! Ese extracto tuvo mas suerte y sesupo que el dictamen haba sido encargado a Lacroix (1765-1843) y Poisson(1781-1840).

Ni Lacroix ni Poisson a pesar de no ser matematicos vulgares preci-samente se enteraron del meollo de trabajo de Galois, que tuvo una sinduda genial perspectiva del problema. Si Abel haba establecido con rigorque una ecuacion general de grado superior al cuarto nunca es resoluble porradicales, Galois aspiraba a dar una teora general en la que, por medio delanalisis de algun ente en el que intervinieran los coeficientes de la ecuacion,se pudieran deducir las propiedades de la misma. En otras palabras, Galoisquera destacar la estructura del conjunto de las soluciones de una ecuacionalgebraica.


Galois asocio a cada ecuacion algebraica de grado n un grupo de permu-taciones, que en el caso general era de oden n!. En ese grupo se reflejabantodas las propiedades de la ecuacion, estudiando simplemente los subgruposnormales.

La profundidad de estas ideas iba a ser tal que no solo el Algebra, sinola Geometra y buena parte de las Matematicas puras de la parte final delsiglo xix y de todo el siglo xx iban a girar en torno a la idea de estructuraque Galois planteo como pionero de la indiscutiblemente importante teorade grupos.

Sin embargo, el joven matematico y revolucionario no solo no tuvo ningunreconocimiento sino que solo recogio animadversion. As, expresaba amar-gamente bajo juramento que a los hombres prominentes del Estado y de laciencia deba todo menos gratitud, ya que por su culpa haba tenido quedesarrollar y escribir todas estas ideas en la carcel, una morada que paraGalois no era excesivamente conveniente para la reflexion. En otro parrafose quejaba de lo a menudo que se perdan los manuscritos en las carteras delos academicos, aunque no concibiera como podan ser tan distrados quienesya cargaban sobre sus conciencias con la muerte de Abel.

Al salir de la carcel la polica le tendio una trampa y Galois se vio obli-gado a batirse en duelo a causa de una prostituta. La vspera de su muerteanunciada Galois tuvo la suficiente fuerza de animo como para escribir doscartas. Una era su importante testamento cientfico, dirigido a su amigoAuguste Chevalier, y la otra era una carta dirigida a todos los republicanos.

En la carta a Chevalier, expona en sntesis los resultados e ideas masimportantes y le peda a su amigo que se dirigiera a Jacobi o a Gauss parainstarles a que se pronunciaran no sobre la veracidad sino sobre la impor-tancia de su teora.

La historia hizo justicia a Galois y a partir de la publicacion por Liouville(1809-1882), en 1846, de sus papeles matematicos, y del tratado de sustitu-ciones de C. Jordan (1838-1922) en 1870, su nombre es admitido como unade las luminarias mas precoces y brillantes de las Matematicas.

En la carta a los republicanos, Evariste Galois explicaba as los sucesos:


Yo ruego a mis amigos y patriotas que no me guarden rencorporque muera, aunque no muera por mi pas. Muero vctimade una infame coqueta. Mi vida se extinguira por una misera-ble intriga... Pongo al Cielo por testigo de que unicamente bajocoaccion y por la fuerza fui obligado a transigir a un desafo queyo he intentado evitar por todos los medios... Adios! Me hubie-se gustado consagrar mi vida al bien publico. Conservadme enel recuerdo ya que el destino no me ha concedido una vida quehubiese dado a conocer mi nombre a la Patria.

Dos das despues de escribir estas lneas mora, como consecuencia delas heridas recibidas en el duelo. Evariste Galois, al que le hubiera gustadoconsagrar su vida al bien publico.


Logica y verdad: Las geometras no eucldeas

Otro de los grandes temas que intrigaron a los matematicos desde lostiempos de Euclides fue el tema del quinto Postulado. Euclides, en sus Ele-mentos, haba establecido su solido sistema logico basado en veintitres de-finiciones, cinco postulados y cinco nociones comunes. Las nociones comu-nes eran principios logicos; las definiciones encabezadas por la archifamo-sa punto es lo que no tiene partes establecan, en la exigencia del logosplatonico, los instrumentos de trabajo; los postulados, por ultimo, senalabancinco proposiciones a las que se les otorgaba el privilegio de ser verdades envirtud de su evidencia. Estos postulados aseguraban la posibilidad de poderunir dos puntos cualesquiera por medio de una recta que, ademas, podaprolongarse indefinidamente. El tercer postulado permita trazar circunfe-rencias y el cuarto estableca la igualdad de todos los angulos rectos. Nadiese planteo nunca graves problemas con estos cuatro postulados.

El quinto, sin embargo, tena un enunciado mas barroco. Su enunciadodeca que ((si una lnea recta al cortar a otras dos hace que los angulosresultantes al mismo lado tengan por suma menos que dos rectos, entonces,al prolongar hacia el infinito estas dos rectas, estas se cortan en el mismolado en que se encuentran los angulos que sumaban menos de dos rectos)).

Desde luego este quinto axioma no tena una estructura similar a losotros cuatro ni mucho menos. Por esta razon desde los mismsimos tiem-pos de Euclides se polemizo intensamente sobre la posibilidad de deducir elQuinto Postulado a partir de los otros cuatro, fracasando todos los intentos.El resultado mas notable que pudo hallarse fue la obtencion de algunas pro-posiciones equivalentes al enunciado de Euclides, de exposicion mas evidenteen bastantes casos. Uno de estos enunciados equivalentes senalaba que porun punto exterior a una recta puede trazarse sobre el plano que determi-nan una sola paralela. Por esta razon se denomino este axioma como de lasparalelas.

La secuencia de infructuosos intentos de deducir el quinto a partir de losotros cuatro postulados fue articulando mas consistentemente la conviccionde que los axiomas de Euclides eran independientes. Para probarlo, algunosautores, como los islamicos medievales Tabit ibn Qurra, Ibn AlHaytham, Al-


Jayyam, Al-Tussi o el jesuita italiano Girolamo Saccheri (1667-1733), entreotros, pensaron un camino indirecto. La independencia y solidez del postu-lado penso demostrarse partiendo de un enunciado contradictorio con el delas paralelas y desarrollar a partir del nuevo axioma y de los cuatro primerosde Euclides un cuerpo de doctrina en el que se esperaba encontrar algun evi-dente absurdo logico. Las primeras aproximaciones por esta va fracasaronpor la pusilanimidad intelectual de sus promotores, que en algun momentocometieron algun error para arrimar el ascua de un supuesto absurdo a lasardina de su posicion prejuiciosa. Pero esta situacion no iba a durar mucho.

Fue Gauss, como en tantas otras ocasiones, el primero en concluir quea partir de los cuatro primeros axiomas de Euclides y un quinto que esta-bleciese por decreto que por un punto exterior a una recta podan trazarsedos paralelas a la recta dada, no se llegaba a ninguna contradiccion. Sinembargo, tambien como en tantas otras ocasiones, Gauss no publico nadapor temor, segun su propio testimonio, al clamor de los beocios.

El primero que tuvo agallas para desarrollar un avance de la teora y quese atrevio a publicarla fue el ruso Nikolai Ivanovich Lobachevskiy (1792-1856). Tambien el hungaro Janos Bolyai (1802-1860) llego a los mismosresultados, que publico como apendice de un libro de su padre, el matemati-co y amigo de Gauss, Farkas W. Bolyai (1775-1856), mas a pesar de haberrecibido la aprobacion del mismo Gauss, abandono las Matematicas al ente-rarse de que no haba sido el primero. Lobachevskiy fue mas tenaz, a pesarde lo resbaladizo del tema, y hoy su nombre esta justamente presente encualquier reflexion que se haga sobre las rupturas tematicas del siglo xix.

Nacio Nikolai Ivanovich en la ciudad que hoy lleva el nombre de Gorki,en el seno de la familia de un funcionario que al poco tiempo abandono a sufamilia. A pesar de las dificultades que ello comporto, y gracias a algunasayudas familiares y estatales, pudo Lobachevskiy asistir a la Universidad deKazan, donde se graduo en 1811. A partir de entonces se mantuvo siemprevinculado a esta Universidad, primero como profesor, luego como responsa-ble de la Biblioteca, como Decano de la Facultad de Fsica y Matematicas yluego como Rector, puesto que ocupo ininterrumpidamente desde 1826 hastasu jubilacion veinte anos despues.

Lobachevskiy es, por tanto, uno de esos cientficos que unen sus preo-


cupaciones investigadoras a una gran capacidad de gestion. Fruto de estoultimo fue la transformacion de la Universidad de Kazan en un centro quemantuvo desde entonces relaciones cientficas con muchas universidades deRusia y del extranjero. Estas relaciones se vieron potenciadas gracias a la pu-blicacion de una revista de la Universidad, titulada Trabajos de los cientficosde Kazan, que el mismo dirigio durante algun tiempo.

El acercamiento al problema de la independencia del Quinto Postuladode Euclides fue en Lobachevskiy muy precoz. Ya en 1816, al iniciar su tra-bajo como profesor de la Universidad, redacto unos apuntes de Geometraen los que pretenda haber demostrado el Quinto Postulado. Sin embargo,su constante reflexion sobre este problema le llevo, diez anos despues, a pu-blicar en frances una Breve exposicion de los Fundamentos de Geometracon una demostracion rigurosa del Teorema de las Paralelas que, aunquelamentablemente se ha perdido, se tiene certeza de su existencia por las fre-cuentes referencias que Lobachevskiy realizo hacia el trabajo de 1826 a lolargo de su vida. La pretendida demostracion de Lobachevskiy no era detipo logico-matematico, sino de caracter emprico. As, el mismo dira en suGeometra imaginaria que ((la hipotesis de la Geometra ordinaria debe serpor consiguiente considerada como rigurosamente probada; pero al mismotiempo hay que estar tambien convencido de que independientemente de laexperiencia se buscara en vano una demostracion de esta verdad, que, desuyo, no esta contenida en nuestra percepcion de los cuerpos.))

Una vez admitida la verdad fsica de la Geometra eucldea, se abrala posibilidad de construir otra geometra basada en los cuatro primerospostulados de Euclides y un quinto que deca que por un punto exterior auna recta pasan por lo menos dos rectas paralelas a la dada (y, por tanto,infinitas).

A partir de estos postulados, Lobachevskiy fue desgranando un cuerpode doctrina logicamente impecable en el que llegaba a resultados como elque asegura que la suma de los angulos interiores de un triangulo es menora dos rectos o la negacion de la relacion de semejanza.

Las ideas de la conferencia pronunciada en 1826 comenzaron a apare-cer impresas, primero en el Mensajero de Kazan y luego en la revista de laUniversidad. En estos anos fue cuando acuno el termino de Geometra ima-


ginaria, porque Lobachevskiy siempre estuvo convencido de que esta teorano tena ni podra nunca tener ninguna representacion real, aunque siempreestuvo persuadido tambien de su intrnseca importancia matematica.

En 1837 aparecio el primer trabajo de Lobachevskiy en el Journal deCrelle, en frances y tambien bajo el ttulo Geometra imaginaria, que signi-fico la amplificacion internacional de sus ideas, consiguiendo ser conocido enel conjunto de la comunidad matematica, aunque no universalmente acep-tado y comprendido.

La constante dedicacion al tema le llevo a publicar en ruso y en frances en1855, un ano antes de su muerte, su Pangeometra, una completa exposicionde sus teoras geometricas.

Para entonces el problema de fondo que el enfoque de Lobachevskiyhaba suscitado ya era de dominio general en el universo cientfico. La Geo-metra imaginaria del matematico ruso, aunque no fuera visualizada en elespacio ordinario (todava), era, sin embargo, logicamente irreprochable. Esorepresentaba, ante todo, hacer saltar por los aires los presupuestos teoricosbasicos que los matematicos haban sostenido desde la Antiguedad clasi-ca en la identificacion de las Matematicas con la verdad. Imaginaria o no,haba otra geometra, ademas de la de Euclides, que no produca ningunacontradiccion discursiva en su desarrollo; por tanto, desde el punto de vistalogico-matematico era tan admisible como la otra. O mas si cabe, ya quela geometra eucldea era un caso lmite de la Geometra de Lobachevskiy.Pero como podra discernirse cual de las dos era la verdadera?

A lo largo del siglo se dieron respuestas para todos los gustos respecto aldilema de Matematicas y Verdad, iniciandose un proceso que desembocara,ya en el siglo xx, en una situacion bipolar en la que pugnaban en direccio-nes divergentes la perplejidad y el utilitarismo. La perplejidad fue producidapor la perdida de la certidumbre que hasta entonces haban detentado lasMatematicas. La incertidumbre, en un primer momento estrechamente li-gada a los trabajos en geometras no euclidianas, vino precisamente de laposibilidad de eligir entre opciones logicamente consistentes primero y, pos-teriormente, al hilo de la polemica de los fundamentos, de la constancia delsueno imposible de la justificacion rigurosa desde los cimientos del edifi-cio matematico. Bertrand Russell lo expresara con rudeza: Matematica es


aquello de lo que no se sabe de que estamos hablando ni si lo que decimoses verdad.

Sin embargo, conforme avanzaba la perplejidad, las Matematicas demos-traban da a da su mayor incidencia social, su rentabilidad economica, suenorme utilidad. Y a pesar de vivir un proceso que revelaba la mayor crisisteorica de todos los tiempos porque afectaba precisamente a su funda-mentacion las Matematicas pasaban a ser una fuerza productiva directae imprescindible en el desarrollo de las sociedades modernas (aunque en al-gunos casos se hable ya incluso de fuerza destructiva directa). Mas esto yapertenece a perodos de la segunda mitad del siglo xx.

Un ano antes de que Lobachevskiy publicara su Pangeometra, esto es, en1854, disertaba en Gotinga un joven matematico aleman Sobre las hipotesisque sirven de fundamento a la geometra. Era Bernhard Riemann (1826-1866). Firmemente asentado en los presupuestos teoricos del libro de Gaussde 1827, las Investigaciones generales sobre superficies curvas en las quedesarrollaba el profundo concepto de geometra intrnseca de una superfi-cie, Riemann planteaba una formidable generalizacion de los presupuestosgeometricos, rompiendo el rgido corse de las tres coordenadas del espacioconsiderado ordinario, al trabajar con magnitudes de dimensiones multiplesque llamaba multiplicidades, sobre las que defina una metrica variable y ge-neralizaba asimismo los conceptos de curvatura de una superficie y de unacurva en un punto de las mismas.

A partir de este entramado conceptual, las geometras de Euclides yLobachevskiy aparecan como casos particulares de la geometra riemanianamas general, correspondientes a espacios de curvaturas nula o negativa. Parael caso de un espacio de curvatura positiva apareca una geometra en la queel quinto postulado estableca que por un punto exterior a una recta nopasaba ninguna paralela a la dada.

Aunque tampoco se entendio muy bien la disertacion de Riemann del54, el hecho de que el anciano Gauss estuviera en el tribunal sirvio para quenadie se escandalizara de las atrevidas conclusiones. Es mas, Riemann que siempre intento desarrollar las Matematicas sobre problemas del mundofsico pudo poner ejemplos de dominios en los que sus modelos se ajusta-ban a los hechos reales, poniendo de manifiesto una cuestion que siempre se


haba pasado por alto: que la geometra eucldea no encaja nada bien en laNaturaleza.

En efecto, un disco metalico desigualmente calentado en el que se hu-bieran situado bastoncitos de metal que se dilataran por efecto del calores un ejemplo de una multiplicidad (superficie) sobre la cual las distanciasdependeran del lugar que se considere. Tambien para su geometra daba unejemplo claramente comprensible. Si se identifica una superficie esferica (dosdimensiones) con un plano (en alguna geometra) y sus crculos maximos conrectas, por un punto exterior a una recta no pasara ningun crculo maximoque no tenga un punto comun (en realidad, dos) con la dada y, por tanto,no habra rectas paralelas.

Aunque el trabajo de Riemann no fue publicado hasta 1867, la ansiedadpor encontrar modelos en los que se verificasen las geometras no eucldeasfue en aumento a partir de la decada de los 50. As, en 1866, el matematicoitaliano Eugenio Beltrami (1835-1900) mostro que el plano de Lobachevskiypuede identificarse localmente con la seudoesfera, superficie de revolucion decurvatura negativa en la que las rectas sean las geodesicas de la superficie.

Riemann fue otro de los casos de matematicos de gran brillantez quedesaparecieron prematuramente. A pesar de no llegar a cumplir los cuarentaanos realizo una obra tan profunda que hoy es considerado como uno delos matematicos mas importantes del siglo xix, no solo en Geometra, sinotambien en la mayor parte de las restantes disciplinas matematicas.

Nacio Riemann en una aldea proxima a Hannover, en el seno de la fa-milia de un pastor protestante de la suficiente cultura como para poderinstruir a su hijo en sus primeros pasos por la Aritmetica y la Geometra.Estudio con grandes dificultades economicas el bachillerato y su difcil si-tuacion se mantuvo cuando se incorporo como estudiante a la Universidadde Gotinga donde, aunque comenzo estudiando Filosofa y Teologa, ter-mino en Matematicas, pudiendo asistir a clase con el mismo Gauss. PeroGauss no senta un entusiasmo indescriptible por la docencia, y en ese as-pecto haba en la decada de los 40 en la Universidad de Berln un plantel deprofesores verdaderamente impresionante, entre los que destacaban Jacobi,Lejeune Dirichlet, Steiner, Eisenstein. Por eso fue Riemann a Berln a seguirun curso con esos eminentes profesores, tras lo cual volvio a Gotinga, donde


asistio a las clases del fsico W. Weber y al Seminario de Pedagoga. No esde extranar, por tanto, esa vision totalizadora y profunda de la ciencia yde las Matematicas a partir de esa profusion y diversificacion de interesesintelectuales.

Con estos mimbres pudo defender en 1851 su tesis doctoral sobre losFundamentos para una teora general de las funciones de una variable com-pleja, otro trabajo importantsimo sobre la teora de las funciones analticasen el campo complejo. En 1853 se convirtio en ayudante de Weber y en el54 oposito a catedras. Riemann hubo de proponer tres temas de disertacion.El tribunal, del que formaba parte Gauss, eligio contra todo precedente altercero de los propuestos, que era el ya comentado de las hipotesis que sirvende fundamento a la Geometra. Otro de los asuntos propuestos, que tratabade la representabilidad de una funcion mediante funciones arbitrarias, enel que comenzo a desarrollar sus aportaciones sobre la generalizacion delconcepto de integral definida, constituye hoy un aspecto central del AnalisisMatematico.

En 1854 Bernhard Riemann era ya un gran cientfico, pero debido algran esfuerzo intelectual realizado y a su no muy fuerte constitucion fsica,comenzo a resentirse su salud. En aquellos anos Riemann comenzo a recibirnombramientos y distinciones de las mas prestigiosas instituciones cientficasalemanas. El mayor galardon lo obtuvo en 1859, cuando sucedio a Dirichleten Gotinga, quien a su vez haba ocupado la catedra que quedo vacante a lamuerte de Gauss.

Una de sus contribuciones a la Teora de Numeros fue una memoriapresentada a la Academia de Ciencias de Berln sobre el Numero de primosmenores que una cantidad dada. El tema era clasico porque Euler y Gauss yahaban conseguido resultados importantes en un problema que aun estaravigente hasta fin de siglo.

Desde ese punto de vista, la memoria de Riemann no hubiera sido unacontribucion especialmente sorprendente. Sin embargo, en dicho trabajo apa-reca una funcion

(s) =n=1

1ns

s = + i

llamada funcion zeta de Riemann. Riemann conjeturo que los infinitos ce-


ros no triviales de esta funcion estan sobre la recta = 1/2. La vision deRiemann se plasma en la importancia que esta funcion tiene para el conoci-miento de la distribucion de los numeros primos.

La justa fama de la conjetura se acrecento cuando Hilbert no solo lasituo en los veintitres problemas futuros que senalo en el II Congreso Inter-nacional de Matematicas de Pars en 1900 sino que, cuando le preguntaronen una entrevista sobre que cuestion se interesara si cien anos despues desu muerte tuviera oportunidad de hablar con matematicos de la epoca dijoque lo primero que les preguntara sera si la conjetura de Riemann habasido demostrada.

En los primeros anos sesenta comenzaron a llegar distinciones extranjeraspara Riemann, entre otras de la Academia de Pars y de la Royal Society deLondres.

A partir de 1862 su salud comenzo a empeorar. Intento aliviar su en-fermedad pulmonar viajando a Italia, donde estrecho la relacion cientficacon Betti, Beltrami y otros eminentes matematicos transalpinos. En el ter-cero de sus viajes a Italia, que emprendio en junio de 1866, la muerte lealcanzo junto al Lago Maggiore el 20 de julio.


Rigor y mas rigor

El siglo xviii fue una prodigiosa epoca en la que los geometras trabajarona borbotones. Descubrieron muchas cosas, obtuvieron muchos resultados ycontribuyeron decisivamente al desarrollo social, a las corrientes crticas enel pensamiento filosofico y al prestigio de la ciencia. Sin embargo, dejaronmuchos agujeros en el entramado conceptual, trabajaron a veces muy a laligera con entidades de muy difcil definicion y comprension, a las que nopudieron dominar y que solo manejaron a base de fe.

El cambio de rumbo que Gauss y Cauchy dieron a las Matematicas delsiglo xviii alguien podra llamarlas atolondradas fue decisivo para quelos matematicos se dieran cuenta de que, aunque el rigor no fuera absolu-tamente prioritario, s era absolutamente necesario para poder avanzar conseguridad en el proceso de obtener mas resultados convenientes para el desa-rrollo social, para el afianzamiento de las corrientes de pensamiento crticoy para el mejor conocimiento del mundo fsico y de los fenomenos de laNaturaleza.

Gauss y Cauchy crearon un estilo que fue rapidamente seguido en lasramas mas importantes del arbol de las Matematicas. Y aunque en Algebray en Geometra ya se han comentado algunos significativos y trascendentalesdesarrollos, sera en el Analisis Matematico, en su version ya contemporaneade la teora de funciones, donde se probara el nuevo estilo de trabajo. Elcentro del gran avance de la teora de funciones ya no sera la provincianaGotinga, sino Berln, y la autoridad mas representativa del nuevo modo dehacer matematicas, Karl Weierstrass (1815-1897).

Fue el gran matematico antifascista italiano Vito Volterra (1860-1940)quien definio ya en 1900 en su conferencia plenaria del Congreso de Parsantes aludido que el siglo xix era el siglo de la teora de funciones. Lacategorica definicion surga del hecho incontestable de la penetracion de laidea intuitiva de funcion en todos los dominios de las Matematicas.

Aunque la idea de funcion se atisba con mas o menos claridad en Descar-tes, Leibniz o Euler, el punto de referencia inexcusable para todos los autoresde la primera mitad del siglo xix fue la teora de las funciones analticas deLagrange. La teora fue extendiendose al considerar los valores imaginarios


y complejos de las funciones, valores donde se encontraban precisamente laspropiedades mas reconditas e importantes. Quienes mas, y con mas exito,trabajaron durante la mayor parte del siglo xix para desvelar los secretos deesta teora fueron Cauchy, Riemann. Weierstrass y, al final de siglo, Poincare.

Naturalmente, como suele ocurrir en casi todos los aspectos del desarro-llo cientfico, la formulacion de una teora general se articula tras el estudioexhaustivo de algun caso particular. En el caso concreto de la teora generalde funciones la gua para orientarse fue el estudio particularizado de las fun-ciones elpticas. La teora de las funciones elpticas se construyo sobre treselementos fundamentales: el teorema de adicion, el principio de la inversiony el de la doble periodicidad. El teorema de adicion de las funciones elpti-cas fue obtenido en toda su generalidad por Euler. El principio de dobleperiodicidad de las funciones elpticas fue descubierto cuando Abel y Jacobiestablecieron el principio de inversion.

Abel y Carl Gustav Jacob Jacobi (1805-1851), ilustre matematico quetrabajo en Konigsberg (la actual Kaliningrado) y Berln, abrieron una po-derosa brecha en el cuerpo de doctrina que Legendre crea completamenteacabado. Abel extendio el teorema de la adicion y Jacobi enuncio por pri-mera vez el principio general de inversion, la periodicidad multiple y uso lashoy llamadas funciones jacobianas.

Los pasos siguientes estaran protagonizados principalmente, como ya seha dicho, por Riemann y por Weierstrass.

Karl Weierstrass, que fue la maxima autoridad matematica entre la desa-paricion de Gauss y Cauchy y el encumbramiento internacional de Poincare yHilbert, nacio en Westfalia en 1815. Su padre era un funcionario de Prusiaque, a pesar de no ocupar un puesto excesivamente elevado, procuro a suscuatro hijos una buena instruccion.

Weierstrass hizo un excelente bachillerato, por lo que su padre le envio aestudiar Cameralismo en la Universidad de Bonn. Pero los deseos intelectua-les del estudiante no coincidan con los de su progenitor, y esa contradiccionprodujo en Karl dificultades y problemas psquicos e incluso fsicos. Y fueprecisamente en su epoca de estudiante en Bonn cuando Weierstrass hallo ellibro de Jacobi Fundanmenta nova theorie functionum ellipticarum, que el


joven neofito estudio con aficion y devocion. Aunque solo pudo comprender-lo cabalmente cuando se ayudo con unos apuntes de clase del profesor deMunster, C. Gundermann, le sirvio decisivamente para cambiar su orienta-cion profesional. Colgo la carrera de cameralista, se volvio a su casa y le dijoa su padre que quera estudiar Matematicas.

Pasado el sofocon familiar, Weierstrass pudo matricularse en la Academiade Munster y pasar el examen de estado. En ese perodo asistio personal-mente a las clases de Gudermann, quien fue el primero en darse cuenta deltalento de Karl para las Matematicas. La titulacion alcanzada le facultabapara impartir clases en el nivel basico de la ensenanza, cosa que hizo a par-tir del ano 42 en la antigua ciudad de Deutsch-Krone (hoy en Polonia) y apartir de 1848 en Brausberg (Prusia Oriental).

Trabajaba mucho, teniendo que impartir hasta treinta horas de clase a lasemana de materias tan dispares como Gimnasia, Geografa o Matematicas.Mas a pesar de no tener biblioteca matematica de altura en los institutosen los que trabajo, comenzo a investigar y, cuando en 1854 aparecio en elJournal fur die reine und augewandte Mathematik (la Revista de Matemati-cas Puras y Aplicadas que haba fundado Leopold Crelle) su trabajo Sobrela teora de las funciones abelianas, la comunidad matematica alemana sequedo boquiabierta ante el sorprendente artculo que haba sido capaz deescribir un maestro de provincias en ejercicio. En dicho trabajo aportaba lasolucion al problema de la inversion de Jacobi.

La vida cambio radicalmente para el cuarenton y reciente investigador.La Universidad de Konigsberg le concedio el doctorado honoris causa y pudoentonces, en el curso 1855-56, trasladarse a Berln, donde en poco tiempo,debido a la natural perspicacia de Alexander von Humboldt y Leopold Cre-lle, se vinculo a la Universidad, a la Academia de Ciencias y al InstitutoPolitecnico de Berln.

A pesar del general reconocimiento hubo de seguir trabajando muy porencima de la media de los colegas de su epoca, tanto en las tareas docentescomo en las investigadoras. Sin embargo, el positivo contraste de encon-trarse con interlocutores apropiados para sus preocupaciones intelectualesle estimulo de tal manera que produjo y explico Matematicas de manera ca-si frenetica. Tanto es as que su salud se resintio tan bruscamente que en el


ano 1861, en el curso de una clase, le sobrevinieron unos brutales problemasde equilibrio que nunca le abandonaran completamente. Durante el restode su larga vida academica debio impartir sus clases sentado, mientras unalumno escriba en la pizarra sus reflexiones y explicaciones.

En 1864, en vsperas de cumplir los cincuenta anos, fue nombrado Ca-tedratico de la Universidad de Berln.

Sentado y todo, las clases de Weierstrass debieron ser realmente prodi-giosas. En una Universidad como la alemana del siglo xix, en la que no fuenada raro que profesores tan eminentes como Gauss, Riemann o Klein nopasaran de la decena de alumnos, Weierstrass llego a reunir en las aulas enlas que explicaba mas de doscientos estudiantes. Sin duda es el mas dotadoy cualificado representante de los docentes que gustan de incorporar resul-tados recientes a sus lecciones cotidianas. No debio hacer mal, a juzgar porlo nutrido del auditorio, una tarea que en bastantes ocasiones condujo yconduce a eminentes matematicos a fracasos estrepitosos.

Sus clases, sus ensayos y su enorme capacidad de trabajo le otorgaronel reconocimiento de sus colegas de la Facultad de Filosofa, primero, que leeligieron decano, de sus companeros de claustro, despues, que lo llevaron alRectorado en 1873 y, por ultimo, de las instituciones cientficas extranjeras ydel Estado prusiano, que le colmaron de honores y distinciones en los ultimosanos de su vida.

Con todo no tuvo una vida precisamente rosa. Su enfermedad cronica ledejo sujeto a una silla de ruedas durante los ultimos anos de su vida, en losque sufrio mucho. Se mantuvo soltero y fue una persona sencilla y no hostilhacia el progreso.

Como ya he apuntado antes, Weierstrass inclino su tarda vocacionhacia las Matematicas a partir de la teora de las funciones elpticas. Es-te anhelo se hizo mas vehemente cuando consiguio dar la solucion generaldel problema de la inversion de Jacobi. A partir de ah dedico su vida aperfeccionar en el mas alto grado esta rama del Analisis Matematico.

Como todos los grandes cientficos, aspiro a simplificar la difcil, y enre-vesada teora, procurando no dejar ningun cabo suelto y aspirando al mismotiempo a un desarrollo lo mas riguroso posible.


Invirtio treinta anos en la tarea. La razon de este dilatado plazo hayque encontrarla necesariamente en las lagunas conceptuales y estructuralessobre las que se haba constitudo el Analisis desde el siglo anterior. Cuandomas se intentaba afianzar el edificio, mas agujeros se abran en los cimientos.El mismo Weierstrass los expreso as:

Las mayores dificultades del Analisis Superior tienen sin lugar adudas su origen precisamente en una exposicion poco precisa yno lo suficientemente general de los conceptos fundamentales yoperaciones aritmeticas.

Ah estaba la clave: para ganar mayores cotas de rigor en el Analisis eranecesario sumergirse en el ancestral dominio de la Aritmetica y dotar de unadefinicion rigurosa a todos los tipos de numeros como los racionales y, sobretodo, los reales, que haban sido manejados con soltura por los matematicosy, sin embargo, no haban sido definidos con la suficiente precision. Por esoWeierstrass empezo desde el principio, construyendo a partir de los nume-ros naturales, segun expresion de Leopold Kronecker (1823-1919) los unicoscreados por Dios, toda la Aritmetica. As desarrollo captulos hoy funda-mentales del Analisis moderno. Sucesiones, series, el concepto de funcion,la continuidad y diferencialidad de las funciones (con la introduccion de lametodologa -), la convergencia uniforme y muchos otros.

Naturalmente no todo el Analisis fue obra exclusiva de Weierstrass, aun-que s se debio a el mas que a ningun otro un estilo concreto de abordar suscuestiones y no hay que olvidar que esta rama de las Matematicas era laherencia pulida del antiguo calculus leibniziano. Un estilo y un programade trabajo formidable del que se sirvieron los mejores analistas del mundoentero.

El mismo proceso que con el real llevo Weierstrass con el analisis comple-jo. Baso su teora general de las funciones analticas de una y varias variablesen la idea de los desarrollos en serie de potencias.

En ese estilo de hacer Matematicas haba sobre todo una posicion esen-cialmente nueva que significaba la ratificacion definitiva del golpe de timondado por Gauss y Cauchy, en otras palabras: el triunfo de las Matematicas


Puras. El mismo ano en que Weierstrass fue nombrado Catedratico Titularde la Universidad de Berln consegua la autorizacion para crear el Seminariode Matematicas Puras de su Universidad. Fue quizas en esta epoca en la quese consolido el nuevo rumbo de las Matematicas, un rumbo centrpeto, solointeresado por las cuestiones especficas de las Matematicas, cada vez masalejadas de las contingencias del mundo natural. Por ese Seminario pasaronun elenco de matematicos verdaderamente sorprendente entre los que cabedestacar a Cantor el creador de la teora de conjuntos, Mittag-Leffier,Schwartz, Frobenius, Fuchs, Klein; y a cierta distancia pertenecio a el laprimera y mas notable Catedratica de Matematicas del siglo xix, la rusa S.V. Kovalevskaja. Con la caja de resonancia que supusieron los comentarios,siempre laudatorios, de estos matematicos, no es extrano que Weierstrassalcanzara la maxima autoridad mundial en el universo matematico.


Las matematicas y la ciencia son femeninos

El 10 de febrero de 1891 mora en Estocolmo Sofia Vasilievna Kovalevs-kaja, quien gracias a su fuerza de voluntad, su tenacidad y la claridad de susobjetivos supo convertirse en la mujer de mas espectacular exito de su ge-neracion: fue la primera mujer que conquisto un doctorado en Matematicas(Gotinga, julio de 1874) y logro ser aceptada en los crculos matematicosde su epoca, la primera mujer fuera de Italia que ocupo una Catedra deMatematicas (en Estocolmo, desde julio de 1884), la primera mujer elegidaMiembro Correspondiente de la Academia Imperial de las Ciencias de SanPetersburgo (noviembre de 1889) y la primera mujer editora de una revis-ta cientfica de primera lnea, Acta Mathematica, fundada en 1882 por G.Mittag-Leer, puesto desde el que canalizo la comunicacion cientfica entrematematicos alemanes, rusos y franceses, ademas de escandinavos. Pero nosolo desplego su actividad en la docencia, la investigacion y la organizacionde la ciencia. Durante toda su vida se mantuvo fiel a los ideales de justi-cia y de progreso de su juventud, lucho por su independencia personal yeconomica y por el derecho a la educacion universitaria, venciendo obstacu-los educativos y polticos; consciente de su condicion de representante de unnuevo tipo de mujer, abogo consecuentemente en defensa de los derechos dela mujer y de las clases oprimidas, permaneciendo siempre en contacto conlos crculos radicales y socialistas de las ciudades que visito o en las que vi-vio. Como escritora centro su interes en los temas sociales mas candentes delmomento y dirigio el contenido poltico de sus obras hacia la intelectualidadliberal y radical rusa y hacia quienes anhelaban reformas sociales y polticasen la Rusia Zarista.

Ademas de novelas con fondo autobiografico, escribio obras de teatro,poemas y artculos para periodicos rusos y europeos que le reportaron pres-tigio en ambientes literarios. A lo largo de la Historia de la Humanidad yhasta epocas recientes la mujer ha sido privada de la posibilidad y del de-recho de acceder a una educacion sistematica y al disfrute de conocimientossuperiores en pie de igualdad con el varon, si bien se registran excepciones enalgunos momentos y en algunas culturas: en Egipto las mujeres podan asis-tir a las Escuelas de Medicina de Sais; en Alejandra Hypata (ca. 370-415),hija del matematico Teon, destaco en Filosofa y Matematicas; durante la


Edad Media las hijas de familias acomodadas podan en Italia cursar estu-dios de Medicina (Salerno, Bolonia), recibir grados y doctorados y ejercer ladocencia ganando catedras; Mara Gaetana Agnesi (1718-1799), apoyada porsu padre (Catedratico de Matematicas en Bolonia), alcanzo gran erudicionfilologica y matematica y llego a suceder a su padre en la Catedra; hacia lamisma epoca y tambien en Bolonia Laura Bassi (1711-1778) desempenabala Catedra de Filosofa y explicaba Fsica Experimental; Sophie Germain(1776-1831), autodidacta y en contra de la voluntad de su padre, apren-dio Lenguas Clasicas y Matematicas, obteniendo en 1816 el Gran Premiode la Academia de Ciencias de Pars por un trabajo sobre la teora de su-perficies elasticas y elasticidad de los metales; Caroline Herschel (17501848)ayudo a su hermano en sus observaciones astronomicas.

La situacion en Alemania y en Rusia merece una consideracion masdetallada, por tratarse del escenario en el que Kovalevskaja iba a desplegarla mayor parte de sus esfuerzos en pos de una Educacion Superior, unatitulacion y unas posibilidades para el ejercicio profesional.

Durante la mayor parte del siglo xix se mantuvo contra las mujeresla prohibicion de matriculacion y asistencia a las Universidades alemanas.Desde 1870 algunas Universidades empezaron a admitirlas como oyentes nooficiales sin derecho a matrcula formal, y en el otono de los 90 este derecho seextendio a otras universidades. En 1895 la norteamericana Grace ChisholmYoung, dirigida por Felix Klein, obtuvo su Doctorado en Matematicas porconducto regular gracias a una iniciativa en favor de la educacion para lasmujeres por parte del Ministro de Cultura de Prusia, quien propugnaba launificacion de la educacion de hombres y mujeres con igualdad de derechos.Para finales del siglo Gotinga, Heidelberg y Berln otorgaban doctorados amujeres.

En 1897 un centenar de catedraticos alemanes recibieron un cuestiona-rio acerca de la admision de mujeres sobre bases legales oficiales: los ma-tematicos se mostraron mayoritariamente favorables, mientras que el mayorrechazo provena de los historiadores. En 1902 el Consejo Academico de laUniversidad de Berln todava rechazaba la matrcula de mujeres y en 1908una ley regulaba en Prusia su matriculacion, pero un artculo facultaba alMinistro de Educacion para prohibirles el acceso a determinados cursos. En


1904 Erlangen solo contaba con dos mujeres entre su alumnado; una de ellasera Emmy Noether, en la Seccion de Ciencias de la Naturaleza de la Fa-cultad de Filosofa. Incluso en los anos anteriores a la i Guerra Mundialalgunos catedraticos alemanes se negaban a iniciar sus clases mientras hu-biese una mujer en el aula. Ademas, el reglamento de las oposiciones a losCuerpos Docentes universitarios unicamente admita a los varones. Solo elderrumbamiento del Imperio Aleman tras la i Guerra Mundial permitira laderogacion de dicho reglamento.

En torno a 1860 se produjeron algunos hechos cientficos que tuvieronuna gran repercusion intelectual y un enorme alcance, no solo para la Cien-cia sino tambien para la Historia Social y el desarrollo poltico posterior;en un intervalo de pocos anos aparecieron algunas de las obras que mashan influido en los mas diversos campos del conocimiento y de la accion:Ch.Darwin publico en 1859 su Origen de las Especies; J. C. Maxwell dabaa la imprenta su Teora Dinamica del Campo Electromagnetico (1864), enla que estableca sus celebres ecuaciones y propona la hipotesis de la natu-raleza electromagnetica de las ondas luminosas, y K. Marx editaba en 1867la primera parte de El Capital, que tanto habra de influir en la EconomaPoltica, en las Ciencias Sociales y en los movimientos de emancipacion declase.

Pero las mujeres tambien encontraban en la Rusia Zarista trabas lega-les para una actividad independiente; no estaban autorizadas a trabajar,estudiar, viajar o vivir aparte sin el permiso de su padre, tutor o maridoy no podan disponer de documentos personales: figuraban inscritas en lospasaportes de dichos varones. Algunas mujeres aprovechaban esta circuns-tancia para contraer matrimonios ficticios y de conveniencia (consideradospor la Iglesia Ortodoxa como un gravsmo sacrilegio) con hombres tolerantesque manifestasen su simpata hacia la causa de la liberacion de la mujer yconseguan el permiso de los mismos para viajar al extranjero; en ocasio-nes lograban hacerse acompanar por alguna pariente o amiga, quien de estemodo se beneficiaba tambien de la libertad as ganada.

Esta fue, de hecho, la estratagema a la que recurrieron Kovalevskaja ysu hermana Anna para sustraerse al control de su padre.

Suiza se convirtio en la meta ansiada por muchas mujeres avidas de co-


nocimientos. Desde 1864 se formo en Zurich una numerosa colonia rusa en laque abundaban las jovenes deseosas de iniciar estudios superiores; su espe-ranza estaba alimentada por las facilidades que dicha Universidad ofreca: lasmujeres eran admitidas sin examen de acceso ni exigencia de ttulos previos.En 1865 Nadezda P. Suslova (1843-1918) asista como oyente a los cursosde Zurich; en 1867 era la primera mujer en Europa que obtena un ttulo enMedicina. Su influencia y su consejo se hicieron sentir entre las jovenes a suregreso a Rusia; en su crculo figuraron tambien Sofia y sus amigas. En 1874Kovalevskaja lograra su Doctorado en Matematicas por Gotinga y JulijaLermontova el suyo en Qumica; en ambos casos Weierstrass realizo ante lasautoridades academicas las gestiones que finalmente condujeron a la acep-tacion de sus respectivos trabajos de tesis. Anna M. Evreinova, amiga deambas, ganara en Leipzig su Doctorado en Derecho.

Ginebra, Berna y Pars recibieron tambien a un considerable numero dejovenes rusas, cuya reputacion era casi siempre pesima debido a su adhesion alas ideas progresistas y revolucionarias y a sus actitudes poco convencionales,lo que les deparaba el rechazo social de la poblacion local, o al menos el delos sectores acomodados y bienpensantes.

Sofia Vasilievna Krukovskaja nacio en Moscu el 15 de enero de 1850 (3de enero segun el Calendario Juliano, vigente en Rusia hasta el triunfo dela Revolucion de 1917).

Fue una nina retrada y poco sociable a la que no se permita jugar conotros ninos de su edad, pero dotada de viva inteligencia y deseos de aprender.

El autentico dolo de Sofia durante su infancia y adolescencia era suhermana Anna, unos siete anos mayor que ella, a la que admiraba y veneraba.La maduracion y evolucion intelectual y poltica de Anna, hacia las ideasradicales de los anos 60 del siglo xix arrastraron a su hermana menor ydisgustaron a su padre.

Sofia, aceptada en el grupo de amigas de su hermana, desde su infanciase vio expuesta a las ideas y actitudes de los jovenes radicales. Cuando lasamigas buscaban un posible marido ficticio para algunas de ellas y as poderabandonar legalmente la casa paterna y salir al extranjero, tras algunosintentos fallidos, el joven Vladimir Onufrievic Kovalevskij (1842-1883) se


mostro dispuesto a tomar por esposa precisamente a Sofia. Vladimir, hijode un hacendado polaco rusificado y de madre rusa, era entonces escritor,publicista y traductor. Interesado por la Biologa y la Geologa y amigode Darwin y de Huxley, se convertira en el fundador de la PaleontologaEvolucionista.

Tras vencer la resistencia de su padre, provocando un escandalo fami-liar, Sofia se caso con Vladimir el 27 de septiembre de 1868. Al cabo de unosmeses en San Petersburgo, en abril de 1869 la pareja partio junto con Annahacia Viena. Desde all, esta ultima se fue a Pars (donde intimara con elrevolucionario frances Victor Jaclard, con el que se casara en 1871) y ellosa Heidelberg, donde en otono se les unira Julija Lermontova para estudiarQumica. Una comision especial denego la matrcula de Sofia, pero le permi-tio asistir a las clases si los profesores daban su conformidad. De este modofrecuento durante tres semestres los cursos y seminarios de Matematicas deP. du Bois-Reymond y de Konigsberger (discpulos de Weierstrass) y los deFsica de Kirchhoff y Helmholtz, llevando una vida retirada dedicada al es-tudio. Vladimir fue a Jena y Munich para preparar su doctorado, obtenidoen Jena en 1872.

Provista de cartas de presentacion de sus profesores de Heidelberg, enoctubre de 1870 Kovalevskaja fue a Berln para intentar estudiar en su Uni-versidad y conocer a Weierstrass, cuyo apoyo se gano gracias a su talentomatematico. Pese a las gestiones de este, no fue admitida en los cursos oficia-les y Weierstrass decidio darle clases particulares; con interrupciones, estasduraron desde el otono de 1870 hasta el verano de 1874.

En 1872 ella revelo a su maestro la verdadera naturaleza de su matri-monio, lo que supuso un cambio de actitud de Weierstrass respecto a losestudios de su discpula. Para la primavera de 1874 ya haba preparado tresmemorias bajo la direccion de Weierstrass, quien tras activar gestiones porva epistolar consiguio de la Universidad de Gotinga que fuesen admitidascomo tesis doctoral y su autora dispensada de examen y de defensa oralde las mismas. As, en julio de 1874 Kovalevskaja consegua in absentia suDoctorado en Filosofa summa cum laude.

De estos tres trabajos el mas importante y vigente es el titulado Acercade la Teora de las Ecuaciones en Derivadas Parciales, inspirado por la idea


de Weierstrass de que una ecuacion diferencial podra usarse como defini-cion de una funcion analtica y la conjetura de que una serie de potenciasobtenida formalmente a partir de una ecuacion en derivadas parciales concoeficientes analticos debera necesariamente converger. Kovalevskaja de-mostro la existencia y unicidad de solucion holomorfa para un sistema deecuaciones en derivadas parciales en forma normal con condiciones inicia-les dadas, propuso un cambio lineal de variables independientes para llevarel sistema a dicha forma y ofrecio un contraejemplo para la conjetura deWeierstrass: la ecuacion unidimiensional del calor, para la que Problema deCauchy expresado en forma normal no admite solucion holomorfa.

En Sobre la reduccion de una determinada clase de integrales abelianasde tercer rango a integrales elpticas generalizaba resultados anteriores deKonigsberger establecidos para rango dos y estudiaba bajo que condicionesuna integral hiperelptica que contuviera un polinomio de octavo grado sereduca a una integral elptica de primera especie, obteniendo as un criterioalgebraico de degeneracion de integrales hiperelpticas.

El tercer trabajo, Comentarios y notas adicionales a la investigacion deLaplace sobre la forma de los Anillos de Saturno, criticaba las aproximacio-nes y simplificaciones introducidas por Laplace para la determinacion de laseccion transversal del anillo, calculaba una solucion con precision hasta eltercer orden y planteaba la cuestion de la estabilidad y del analisis del errorasociada a las aproximaciones consideradas.

En el verano de 1874 Sofia volvio a Rusia e inicio un perodo de seisanos de vida familiar y social y consumo su matrimonio, del que nacera unahija el 17 de octubre de 1878. Al no encontrar ningun trabajo acorde con suelevada cualificacion, la pareja se dedico, para asegurarse la independenciaeconomica, a las especulaciones inmobiliarias, que fracasaron en 1879; a losproblemas economicos se les una la singularidad de sus relaciones, en lasque alternaban fases de hostilidad con otras de apasionado afecto.

Asociado como directivo de una compana petrolfera en la que no podaejercer su autoridad, las irregularidades financieras de los propietarios (enlas que se vio comprometido) llevaron a Vladimir al suicidio en abril de1883. Su esposa hubo de restablecer su buen nombre, probar su inocencia yaclarar el embrollo financiero dejado por Kovalevskij.


En el otono de 1883 Mittag-Leer le consiguio un contrato temporal enla Universidad de Estocolmo, fundada en 1881 como alternativa progresistaal conservadurismo de las Universidades de Lund y Uppsala. Inicio sus clasescon gran exito el 31 de enero de 1884.

Desde mediados de 1881 Kolvalevskaja trabajaba tambien en la integra-cion analtica del sistema de ecuaciones de Euler que describe la rotacion deun solido pesado en torno a un punto fijo. Aplicando tecnicas de la teorade funciones de variable compleja y de funciones abelianas y considerandoel tiempo como una variable compleja, demostro que aparte de los casos yaconocidos de Euler-Poinsot y Lagrange-Poinsot solo haba otro caso (que elladescubrio e integro por medio de funciones theta cuyos dos argumentos sonfunciones lineales enteras de t) en el que la solucion son funciones uniformesdel tiempo cuyas unicas singularidades para valores finitos de t son polos,siendo cualesquiera las condiciones iniciales fijadas.

Estos resultados le depararon el Premio Bordin de la Academia de Cien-cias de Pars en la Navidad de 1888, el Premio de la Academia de Estocolmoy numerosos homenajes. Avalada por tales galardones y recomendada poreminentes cientficos, resulto posible en junio de 1889 su nombramiento vi-talicio para una catedra de la Universidad de Estocolmo. Su sexo y sus con-vicciones polticas impidieron su eleccion como Miembro de Pleno Derechode la Academia de San Petersburgo.

Sofia paso en el Sur de Francia y en Italia las vacaciones de invierno de1890-1891 en compana de Maksim M. Kovalevskij, jurista y profesor radicalde Derecho Poltico expulsado de Rusia por sus crticas a la legislacion za-rista; se haban conocido en la primavera de 1887 y se sentan muy unidos.Ella enfermo cuando regresaba a Estocolmo a finales de enero de 1891. Unapneumona mal diagnosticada acabo con su vida la manana del 10 de febrerode 1891.

Ya en vida de Kovalevskaja se suscito en ocasiones la cuestion de su in-dependencia e iniciativa cientficas. Formada en el Analisis Matematico puroy en la Teora de Funciones de Weierstrass (que dotan de cohesion internaal conjunto de su obra), ella siempre reconoca a su maestro como origen demuchas de sus ideas; pero su tratamiento y desarrollo de los problemas eranabsolutamente originales. El propio Weierstrass se manifesto en ocasiones


gratamente sorprendido por la ingeniosidad de los enfoques y resultados desu discpula y apreciaba el valor que para el tena la comunicacion cientficacon ella.


La geometra unificada y fundamentada

No toda la actividad matematica alemana se desarrollo exclusivamenteen Berln y Gotinga, aunque s la mas importante. En otras Universidadesgermanicas y en los dos primeros tercios del siglo tambien hubo cultivado-res eminentes aunque trabajaron mas aislados. Ejemplos de esta actividadfueron Jacobi y Hilbert en sus respectivas epocas en Konigsberg, Hessey Helmholtz en Heidelberg, Mobius en Leipzig, Von Staudt en Erlangen oPlucker en Bonn.

Y fue a Bonn donde marcho a estudiar en 1865 un joven estudiante dedieciseis anos que se llamaba Felix Klein (1849-1925) y que estaba llamadoa jugar un crucial papel en el proceso de poner orden al maremagnum con-ceptual en el que bullan las Matematicas del ultimo tramo de siglo xix. Elmuchacho era despierto y al ano siguiente ya era ayudante de Julius Plucker(1801-1868), un destacado geometra que realizo trabajos importantes so-bre la Geometra de lneas, una perspectiva en la que los elementos basicosde trabajo eran las lneas rectas descritas analticamente utilizando coorde-nadas lineales. Bruscamente, el joven Klein hubo de hacer frente a seriasresponsabilidades, ya que a la muerte de Plucker se tuvo que encargar depreparar la segunda parte de la Nueva geometra del Espacio, cuya edicionhaba quedado inconclusa. A pesar de ese esfuerzo, Klein pudo doctorarsecon la direccion de Rudolf Lispchitz (1832-1903).

Como el libro postumo de Plucker le vena grande al joven doctor tuvoque seguir formandose. Para ello fue a Gotinga, donde conocio a Clebsch, yluego a Berln donde, entre otros, comenzo una fructfera relacion cientficacon el noruego Sophus Lie (1842-1899). Naturalmente, en Berln pudo asistirel Seminario de Weierstrass.

A pesar de la Guerra Franco-Prusiana, Klein se presento a oposicionesy obtuvo el nombramiento de catedratico titular en 1872 en la Universi-dad de Erlangen. En esta Universidad deban los catedraticos preparar unamemoria-programa sobre lo que pensaban hacer y sobre sus objetivos do-centes. El Programa que Klein preparo se titulaba Consideraciones compa-rativas sobre recientes investigaciones geometricas, que lo hara justamentecelebre entre los matematicos y que, conocido como Programa de Erlangen,


se convirtio en uno de los documentos de referencia mas importantes de lasMatematicas contemporaneas.

Como muchas de las grandes ideas que afloran en Matematicas, su efi-cacia estuvo en la genialidad de ver como se podan conjuntar en un mismocuerpo de doctrina las geometras eucldea y no eucldea, la geometra pro-yectiva y la metrica, que hasta entonces mismo aparecan como conceptosdistantes e incluso divergentes. La clave de su programa unificador estuvoen colocar en la base del mismo la idea de grupo que, entre otros, Galoishaba esbozado, Liouville difundido y Camille Jordan (1838-1922) sistema-tizado dos anos antes en su Tratado de las sustituciones y de las ecuacionesalgebraicas trasladada a los dominios de la Geometra y convertida en elesencial concepto de grupo de transformaciones.

El batiburrillo del medio siglo anterior, las tremendas polemicas y quere-llas sobre la verdad en la Geometra, sobre la manera apropiada de matema-tizar el espacio, sobre la validez o no de los apriorismos de Kant respecto dela Geometra eucldea quedaban resueltos por medio de un proceso de rela-tivizacion, decisivamente iniciado por Riemann y por Hermann Grassmann(1807-1877) un destacado cientfico que trabajo en la actual Szczecin.La Geometra perda la honorable faceta de ser, en una de sus versiones par-ticulares, la representacion genuina de la Verdad y pasaba a ser un cuerpode doctrina como otro cualquiera sustentado en su andamiaje logico.

El Programa de Erlangen afrontaba la pregunta y la respuesta sobre loque deba entenderse por Geometra, senalando que para ello no haca faltamas que una variedad extendida en el espacio y un grupo de transforma-ciones. Para cada grupo se obtena una geometra diferente. As se podaexplicar de manera irreprochablemente logica que sobre un mismo espaciopudiera sustentarse diferentes tipos de Geometra. El escollo de relacionar laspropiedades proyectivas y metricas lo salvo al aprovechar los trabajos delabogado, matematico y astrofsico ingles Arthur Cayley (18211895) quiendesarrollo, a partir de estudios sobre la teora de invariantes, una metrica apartir de relaciones proyectivas.

El programa de Erlangen de Klein supuso, por tanto, un importantsimomarco de referencia para la tarea de poner orden en las Matematicas pormedio de la interconexion, convergencia y unificacion de procesos aparen-


temente independientes. Klein haba conseguido fusionar por medio de unconcepto algebraico, el de grupo, los variopintos derroteros de las geometrasdel xix pero, estaban firmemente asentados?

El mismo ano que Klein daba el definitivo salto al olimpo matematico,la difteria acababa con la vida de Alfred Clebsch (1833-1872), otro agudsi-mo investigador que tambien acabo tempranamente sus das. Su testigo fuerecogido por el joven profesor de Erlangen. Klein tambien terminara reca-lando en Gotinga en 1886, aunque antes paso dos largas estancias en Munichy Leipzig.

Cuando Klein llego a Gotinga era un maduro matematico, a pesar de sustreinta y cinco anos, firmemente instalado en la estela cientfica de Riemanny con una obra realmente importante en su currculum.

Pero, por desgracia, su salud ya estaba resentida, sobre todo a partir deuna carrera alocada que corrio paralelamente con Poincare (1854-1912), enlos primeros anos ochenta, sobre el tema de las funciones automorfas y en laque vencio sin paliativos el sabio frances. Por eso Klein abrio sus horizontesa otras preocupaciones como la organizacion de la ciencia, la didactica yla historia de las ciencias, en una orientacion muy riemanniana en la quelas Matematicas se encontraban muy proximas a la Fsica. En sus anos deGotinga, Klein dio cursos que los alumnos o ayudantes recogan sistemati-camente en apuntes y que se convirtieron en elementos importantsimospara el desarrollo sostenido y sosegado de las Matematicas del siglo xx. Elcurso sobre la Matematica Elemental desde un punto de vista superior fuetraducido a todos los idiomas europeos practicamente, y su curso editadopostumamente Lecciones sobre el desarrollo de las Matematicas en el sigloxix es todava fuente de informacison valiosa sobre el tema.

Ademas de su trabajo como docente, Klein realizo una gran actividaden tareas de gestion y direccion. As, dirigio los Matematische Annalen, laE

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