MATEMATICISPECIALECulegeredeproblemeTANIA-LUMINIT ACOSTACHE2*Prefat aLucrarea este rezultatul seminariilor de Probabilitat i si statistica matem-atica si Matematici avansate t inute de autoare student ilor anilor ntai si doiai Facultat ilordeAutomaticasi Calculatoaresi ElectronicadinUniversi-tatea Politehnica Bucuresti.Cartea este structurata n unsprezece capitole, cont inand o sect iune teo-reticacuprincipalelenot iunisi rezultatenecesarerezolvarii exercit iilor, oparte de probleme rezolvate care acopera programa seminarului de Matem-atici 3 si probleme propuse student ilor pentru o xare mai buna a cunostint elorpredate, precum si pentru nt elegerea altor cursuri de specialitate.Pentru aprofundarea conceptelor fundamentale sunt necesare o pregatireteoreticasuplimentara sioparticipareactiva ncadrulseminariilor sicur-surilor.Mult succes!34*CuprinsPrefat a 31 Spat iideprobabilitate 71.1 Not iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Variabilealeatoare 372.1 Not iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773 Vectorialeatori 853.1 Not iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.2 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.3 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004 Siruridevariabilealeatoare 1034.1 Not iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.2 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.3 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225 Procesestochastice(aleatoare) 1245.1 Not iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.2 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.3 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386 Metodestatistice 1406.1 Not iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.2 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.3 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15856 CUPRINS7 Funct iiolomorfe. Dezvoltari nserieLaurent 1657.1 Not iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1657.2 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.3 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1748 Integralecomplexe 1768.1 Not iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1768.2 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1808.3 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1879 TransformataLaplace 1909.1 Denit ie si formule de inversare. . . . . . . . . . . . . . . . . 1909.2 Proprietat iile transformarii Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 1919.3 Rezolvareaecuat iilorsi sistemelordeecuat ii diferent ialecucoecient i constant i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1939.4 Integrarea unor ecuat ii cu derivate part iale, cu condit ii init ialesi condit ii la limita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949.5 Rezolvarea unor ecuat ii integrale . . . . . . . . . . . . . . . . 1959.6 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1959.7 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22310 TransformareaZ 23010.1Not iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23010.2Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23210.3Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23811 Ecuat iicuderivatepart ialedeordinuldoi 24011.1Not iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24011.2Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24311.3Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252Bibliograe 255Capitolul1Spat iideprobabilitate1.1 Not iuniteoreticeDenit ia1.1. Se numeste spat iu(camp)discretdeprobabilitate omult ime nita = (n)nNsau numarabila = (n)nIN, mpreuna cu unsir (pn)n, 0 pn 1, satisfacand condit ia

npn = 1Denit ia1.2. Orice submult imeA este un eveniment caruia i seataseaza probabilitateaP(A) =

nApnExemplul1.1. In urma experient ei care consta n aruncarea unei mon-edeputemobt ineunuldinrezultatele(fat acustema), (fat acuvaloarea).Considerandunsingurrezultat, fat acustemapoatesaaparasausanuapara ; n acest exemplu aparit ia fet ei cu stema este un eveniment aleator(ntamplator).Orice eveniment ntamplator depinde de act iunea combinata a mai mul-torfactori ntamplatori. Inexperient aaruncarii monedei printrefactoriintamplatori putemaminti: felulncaremisc ammana, particularitat ilemonedei, pozit ia n care se gaseste moneda n momentul aruncarii.Relativ la producerea unui eveniment ntamplator ntr-un singur rezultatnuputemspunenimic. Situat iaseschimbaatunci candavem nvedereevenimente ntamplatoarecepotobservatedemai multeori ncondit iiidentice.Acesteevenimentesesupununor legi, cunoscutesubnumeledelegistatistice, teoria probabilitat ilor stabilind forma lor de manifestare sipermit andsaseprevadadesfasurarealor. Estenormal sanuputemsaprevedem daca ntr-o singura aruncare a monedei va aparea fat a cu stema,nsa ntr-oseriemaredeexperient e,putemprevedeacusucientaprecizienumarul de aparit ii ale acestor fet e.Denit ia1.3. Evenimentulsigur este un eveniment care se realizeazacu certitudine la ecare efectuare a experient ei.Exemplul 1.2. Alegerea unei piese corespunzatoare sau necorespunzatoare78 CAPITOLUL1. SPAT IIDEPROBABILITATEstandardului dintr-un lot de piese este evenimentul sigur al experient ei.Denit ia 1.4. Evenimentul imposibil nu se produce la nici o efectuarea experient ei.Exemplul 1.3. Extragerea unei bile rosii dintr-o urna care cont ine numaibile albe.Denit ia1.5. Intotdeauna unui eveniment i corespunde un evenimentcontrar, acarui producereconsta nnerealizareaprimului. Evenimentulcontrar unui evenimentAl vom notaA, CA, Ac.Exemplul1.4. FieA evenimentul aparit iei uneia din fet ele 2,5 la arun-carea unui zar si cu B aparit ia uneia din fet ele 1,3,4,6. Se observa ca atuncicand nu se produce evenimentul A, adica atunci cand nu apare una din fet ele2 sau 5,se produce evenimentul B,adica obt inem una din fet ele 1,3,4,6 siinvers.Denit ia1.6. EvenimenteleA siBse numesc compatibile daca se potproduce simultan, adica daca exista rezultate care favorizeaza atat pe A catsi peB.Exemplul 1.5. Laaruncareazarului evenimentul Acareconstadinaparit ia uneia din fet ele cu un numar par si evenimentulBcare consta dinaparit ia uneia din fet ele 2 sau 6 sunt compatibile deoarece daca vom obt inecarezultatalexperient eiaparit iafet ei2 nseamnacas-auprodusambeleevenimente. Acelasi lucru se ntampla daca obt inem fat a 6.Denit ia 1.7. Evenimentele A si B se numesc incompatibile daca nu sepotproducesimultan,adica dacanu existarezultatecarefavorizeazaatatpeA cat si peB.Denit ia1.8. DacaA siBsunt evenimente incompatibile (A B = ),atunciP(A B) = P(A) +P(B).Mai general, pentruoricesir(An)nINdeevenimentedouacatedouaincompatibile, avemP(_n=0An) =

n=0P(An)Observat ia1.1. Evenimentelecontraresuntincompatibile, dareveni-mentele incompatibile nu sunt ntotdeauna contrare.Exemplul 1.6. Laaruncareazarului evenimentul Acareconstadinaparit iauneiadinfet elecuunnumarimpar sievenimentul Bcareconstadin aparit ia uneia din fet ele cu un num ar par sunt evenimente incompatibilesi contrare.Exemplul 1.7. Laaruncareazarului evenimentul Acareconstadinaparit ia uneia din fet ele cu un numar par si Bce consta din aparit ia fet ei5 sunt incompatibile, nsa nu sunt contrare deoarece nerealizarea evenimen-tuluiA nu este echivalenta cu producerea evenimentuluiB.Denit ia 1.9. Se numeste spat iu de probabilitate un triplet (, /, P),undeesteomult imedeevenimenteelementare, /esteo-algebradepart i ale lui , iarP : / [0, 1] este o masura de probabilitate satisfacand1.1. NOT IUNITEORETICE 9P() = 1 si P(_n=0An) =

n=0P(An), pentru orice sir (An)nIN de evenimentedoua cate doua incompatibile.Cazuriparticulare1.Denit iaclasicaaprobabilitat iiDaca este o mult ime cuNelemente, se poate deni un spat iu discretdeprobabilitateluandpn=1N, n=1, N. Inacestcazsespunecaeveni-menteleelementresuntechiprobabilesi pentruoriceevenimentA ,avemP(A) =card(A)card().2. Probabilitat igeometriceFie IRnomult ime de masuraLebesgue nitasi e /- al-gebrasubmult imilor saleboreliene. Obt inemunspat iudeprobabilitate(, /, P), denind pentru orice A /, P(A) =(A)(), unde este masuraLebesgue n IRn(deci lungime pe IR, arie n IR2etc.).Proprietat ialeprobabilitat ilorFie (, /, P) un spat iu de probabilitate.1. DacaA, B / siA B, atunciP(B A) = P(B) P(A)2. Formulalui PoincareFienevenimentearbitrareA1, . . . An /,atunci P(n_i=1Ai) =n

i=1P(Ai)

i=jP(AiAj)+. . .+(1)n1P(A1. . .An).3. Pentru orice sir crescator de evenimente A0 A1 . . . An . . . avemP(_n=0An) =limnP(An).4. Pentru orice sir descrescator de evenimenteA0 A1 . . . An . . .avemP(

n=0An) =limnP(An).Denit ia1.10. a) EvenimenteleA siBse numesc independente dacaP(A B) = P(A)P(B).b) Evenimentele A1, . . . An se numesc independenten ansamblu dacapentru oricem n si 1 j1 . . . jm n, avemP(Aj1 . . . Ajm) = P(Aj1) . . . P(Ajm)Observat ia1.2. Dacan evenimente sunt independente doua cate douanusuntneaparatindependente ntotalitatealor. Acestlucrusevede nurmatorul exempludatoratluiS.N.Bernstein: Seconsiderauntetraedruomogencufet elecolorate nalb, negru, rosu siapatra nceletreiculori.Efectuam experimentul aruncarii acestui corp o singura data . Sa notam cuAi evenimetul ca tetraedrul sa se aseze pe fat a cu numarul i,i = 1, 4. Eveni-mentele Ai sunt evenimente elementare ale campului asociat experimentuluidescris.AvemP(Ai) =14, i = 1, 410 CAPITOLUL1. SPAT IIDEPROBABILITATEDaca notamA = A1 A2, B = A1 A3, C = A1 A4 avemP(A) ==P(B) =P(C) =12, deoarecepentruecareculoaresuntpatrucazuriposibilesi douacazuri favorabile- fat acuculoarearespectivasi fat acutoate culorile.De asemenea, P(AB) = P(BC) = P(C A) =14, deci evenimenteleA, B, Csunt independente doua cate doua .DinP(A B C) =P(A1) =14,P(A)P(B)P(C) =18rezulta ca eveni-menteleA, B, Cnu sunt independente n ansamblul lor.Denit ia1.11. FieA si BevenimentecuP(B) ,= 0. Probabilitatealui Acondit ionatadeB, notataP(A/B)sauPB(A), sedenesteprinP(A/B) =P(AB)P(B).Formulade nmult ireaprobabilitat ilorDacaA1, . . . An suntn evenimente, atunciP(A1. . . An) = P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2) . . . P(An/A1. . . An1)Formulaprobabilitat iitotaleDacaevenimentulsigursedescompune nreuniuneaanevenimenteincompatibileH1, . . . Hn, atunci, pentru orice evenimentA /, avemP(A) =n

i=1P(A/Hi)P(Hi)FormulaluiBayesP(Hj/A) =P(A/Hj)P(Hj)n

i=1P(A/Hi)P(Hi)In particular, pentru orice doua evenimenteA, BavemP(A) = P(A/B)P(B) +P(A/Bc)P(Bc)siP(B/A) =P(A/B)P(B)P(A/B)P(B) +P(A/Bc)P(Bc)1.2 Problemerezolvate1. Intr-unspat iude probabilitate (, /, P) se consideraevenimenteleA, B, C /astfel ncat P(A)=13, P(B)=14, P(A B)=16. Sase determineP(Ac), P(Ac B), P(A Bc), P(Ac Bc), P(Ac Bc).Solut ie. P(Ac) = 1 P(A) = 1 13=231.2. PROBLEMEREZOLVATE 11P(AcB) = P(Ac)+P(B)P(AcB) =23+14[P(B)P(AB)] ==23 +14 14 +16=56P(ABc) = P(A)+P(Bc)P(ABc) =13+114[P(A)P(AB)] ==13 + 1 14 13 +16=1112P(Ac Bc) = P[(A B)c] = 1 P(A B) = 1 P(A) P(B)++P(A B) = 1 14 +16=712P(Ac Bc) = P[(A B)c] = 1 P(A B) = 1 16=562. Se considera spat iul =_a, b, c, d_ si evenimenteleA =_a, d_,B == _a, b, c_, C= _b, d_din-algebra /= T(). Sasestabileascadaca exista probabilitat i pe / ce verica una dintre urmatoarele seriide condit ii :a)P(A) = 0, 5, P(B) = 0, 9, P(C) = 0, 4b)P(A) = 0, 6, P(B) = 0, 8, P(C) = 0, 7c)P(A) = P(B) = P(C)Solut ie. a) Din relat iaP(A B) = P(A) +P(B) P(A B) rezulta1 = 0, 5 + 0, 9 P(_a_) =P(_a_) = 0, 4Analog, folosind evenimenteleB siC, gasimP(_b_) = 0, 3, P(_c_) == 0, 2, P(_d_) = 0, 1b) Dacaprocedamcalaa) gasimP(_a_) =0, 4, P(_b_) =0, 5siP(_c_) = 0, 1 ceea ce nu se poate pentru ca orice probabilitate estepozitiva .c) Notam cu x valoarea comuna a celor 3 probabilitat i si procedand camai sus rezulta P(_a_) = P(_b_) = 2x1, P(_c_) = 23x, P(_d_) == 1 x.Punand condit ia ca probabilitat ile sa e subunitare si pozitive rezulta12 x 233. Este mai probabil sa obt inem cel put in un numar 6 n 4 aruncari cuzarul sausaobt inemcel put inodublasase n24dearuncari cu2zaruri?Solut ie. Probabilitatea de a nu obt ine fat a cu numarul 6 ntr-o arun-care cu zarul este56.Probabilitatea de a obt ine cel put in un numar 6 n 4 aruncari cu zarulesteP1 = 1 _56_4 0, 51Probabilitatea de a nu obt ine dubla sase n 24 de aruncari cu 2 zarurieste _3536_24.12 CAPITOLUL1. SPAT IIDEPROBABILITATEProbabilitatea de a obt ine cel put in o dubla sase n 24 de aruncari cu2 zaruri esteP2 = 1 _3536_24 0, 49Asadar este mai probabil sa obt inem cel put in un numar 6n 4 aruncaricu zarul decat sa obt inem cel put in o dubla sase n 24 de aruncari cu2 zaruri.4. Care e probabilitatea ca suma a 3 numere din intervalul [0, a] alese lantamplare sa e mai mare decata?Solut ie. Spat iuldeprobabilitateeste = [0, a]3. Evenimentulceruteste format din punctele mult imiiE =_(x, y, z) /x +y +z a_Alegemunsistemortogonal deaxesi sereprezintaprintr-uncubde laturaa situat n primul octant, iarEeste una din regiunile lui separate de planul x+y+z = a (complementara tetraedrului OABC).AtunciP(E) =a3a36a3=565. PeunplanorizontalseconsideraunsistemdeaxexOysimult imeaEapunctelor cucoordonate ntregi. Omonedacudiametrul12earuncata lantamplare pe acest plan. Care e probabilitatea ca monedasa acopere un punct dinE?Solut ie. FieC(x0, y0)celmaiapropiatpunctdinEdecentrul Malmonedei, deci coordonatele luiMsunt de forma (x0 +x, y0 +y),12< x, y 170) = 1 _1701673_= 1 (1) = 160/0c)P(161 < X< 173) = _1731673__1611673_= (2) (2) == (2) 1 + (2) = 2(2) 1 = 950/02) a) FieY= numarul barbat ilor cu nalt imea mai mare de 170 cm.V. a. urmeaza o lege binomiala cun = 4 sip =P(X> 170) = 0, 16.De aceeaP(Y= 4) = (0, 16)4= 0, 0007.b)DacaZreprezintanumarul barbat ilorcu nalt imeamai marecamedia de 167 cm, atunciZeste binomiala cun = 4 sip == P(X> 167) = 0, 5. AstfelP(Z = 2) = C24(0, 5)4= 0, 375.35. Calitateaunui produselectronicesterezultantaact iunii a2grupuride factori Usi V ale caror modele probabilistice suntU= 2X + 3Ysi V = 4X Y , undeXsi Y suntvariabilealeatoareindependente,X N(3, 2) siY Bi(10; 0, 9). Sa se ae:a)D2(U), D2(V );b)(U, V );56 CAPITOLUL2. VARIABILEALEATOAREc)P(7 X 13);d) o limita inferioara pentruP(5 < Y< 13).Solut ie. a)D2(U) = D2(2X + 3Y ) = 4D2(X) + 9D2(Y ) = 422+ 90, 9 = 24, 1, unde D2(X) = 22= 4, D2(Y ) = npq = 10 0, 9 0, 1 = 0, 9D2(V ) = D2(4XY ) = 42D2(X) +(1)2D2(Y ) = 16 4+0, 9 = 64, 9b)E(U) = E(2X + 3Y ) = 2E(X) + 3E(Y ) = 23 + 3100, 9 = 33E(V ) = E(4X Y ) = 4E(X) E(Y ) = 43 100, 9 = 3UV= (2X + 3Y )(4X Y ) = 8X2+ 10XY 3Y2=E(UV ) == 8E(X2)+10E(XY )3E(Y2) = 8E(X2)+10E(X)E(Y )3E(Y2) == 128, 3, deoareceX, Ysunt independente siE(X2) = D2(X)++[E(X)]2= 4+32= 13, E(Y2) = D2(Y )+[E(Y )]2= 0, 9+(100, 9)2== 81, 9.Atunci(U, V ) =E(UV )E(U)E(V )D2(X)D2(Y )=128,333324,164,9= 0, 741.c)P(7 X 13) = _1332__732_= (5) (2) 0, 0227d) Aplicam inegalitatea lui Cebsev =P(5 < Y< 13) == P([Y 9[ < 4) 1 D2(Y )2= 1 0,942 0, 94.36. Se fac experimente asupra alegerii lamentului unui girofar pana candacesta este aprins. La ecare experiment probabilitatea de succes este15. Se cer media si dispersia num arului de experimente.Solut ie. FieXv. a. cereprezintanumaruldeexperimente. AtunciX _1 2 3 . . . k . . .1545 15_45_2

15. . ._45_k1

15. . ._.E(X) =

k=1k _45_k1

15=15

k=1k _45_k1=1525 = 5Am calculat astfel : eq =45< 1. Stimn

k=1qk= q 1 qn1 q==n

k=1kqk1=_q 1 qn1 q_

=1 (n + 1)qn+nqn+1(1 q)2==

k=1kqk1=limnn

k=1kqk1=1(1 q)2= 25E(X2) =n

k=1k2

_45_k1

15=15n

k=1k2

_45_k12.2. PROBLEMEREZOLVATE 57n

k=1kqk1=1 (n + 1)qn+nqn+1(1 q)2/q ==n

k=1kqk=q (n + 1)qn+1+nqn+2(1 q)2==n

k=1k2qk1=_q (n + 1)qn+1+nqn+2(1 q)2_

==1+q(n+1)2qn+qn+1(2n2+2n1)+qn+2(n2+4n+1)(1q)3==

k=1k2qk1=limnn

k=1k2qk1=1 +q(1 q)3= 925DeciE(X2) =15925 = 45.D2(X) = E(X2) [E(X)]2= 45 25 = 2037. Intr-obibliotecasunt ncart i numerotatedela1lan. Sescot lantamplarecart iledinbiblioteca. Avemontalniredacanumaruldepecartecoincidecunumarulextragerii. Sasecalculezemedia sidispersia numarului total de ntalniri.Solut ie. La ecare carte vom asocia o v. a. Xi, i = 1, n denita astfel :daca la extragerea i cartea scoasa poarta numarul i, atunci Xi = 1, ncelelalte cazuri Xi= 0. Probabilitatea ca la extragereai sa obt inemcarteacunumarul i este P(Xi=1) =1n, deoareceexistaocartefavorabila printre celen.Deoarece ecare variabilaXi poate sa ia numai valorile 1 sau 0 ==P(Xi = 0) = 1 P(Xi = 1) = 1 1n.AvemE(Xi) = 1 1n + 0 _1 1n_=1nE(X2i ) = 12

1n + 02

_1 1n_=1nD2(Xi) = E(X2i ) [E(Xi)]2=1n 1n2=n1n2Numarul total de ntalniri este dat deY=n

i=1Xi.E(Y ) = E(n

i=1Xi) =n

i=1E(Xi) =n

i=11n= n 1n= 1D2(Y ) = D2(n

i=1Xi) =n

i=1D2(Xi) + 2

1i 0 si cos x ia valori n intervalul [1, 1]P(YX 1) = P(Y X) =6

k=1P(X = k)P(Y k) =166

k=1(Y k) ==16(16 +26 +36 +36 +46 +56 +66) =7122.2. PROBLEMEREZOLVATE 6146. Presupunemcavariabilaaleatoare Xarerepartit iaX:_5 101323_.Facandtransformareade variabila Y =2X, sase ae funct iaderepartit ieFY (y) a luiY .Solut ie. Scriem funct ia de repartit ie a luiX:FX(x) =___0, x 513, 5 < x 101, x > 10AvemFY (y) = P(Y< y) = P(2X< y) = P(X 2047. Sa se determinea IR astfel ncatX _ka3k_, k IN sa e o v. a..Sa se calculezeE(X), D2(X).Solut ie.

kINa3k= 1 =

kIN13k=1a=11 13=1a=a =23E(X) =

kINk 23 13k=23

kINk3kAvem de calculatf1(1), undef1(x) =

kINkx3kPornim de la calculul sumeif(x) =

kINxk3k=

kIN_x3_k=11 x3==f

(x) =

kINkxk13k=3(3 x)2=f

(1) =

kINk3k=34= f1(1)DeciE(X) =23 34=12E(X2) =

kINk2

23 13k=23

kINk23k62 CAPITOLUL2. VARIABILEALEATOAREPornim din nou de la f(x) =

kINxk3k=11 x3=f

(x) =

kINkxk13k==3(3x)2=xf

(x) =

kINkxk3k=3x(3 x)2=[xf

(x)]

=

kINk2xk13k==_3x(3x)2_

=3(3x)2=

kINk23k=322=34=E(X2) =23 34=12D2(X) = E(X2) (E(X))2=12 14=1448. Se da variabila aleatoareXcu urmatoarea funct ie de repartit ie:FX(x) =___0, x < 0x4, 0 x < 1x24, 1 x < 21, x 2Se cer:a)P(1 X< 2), P(1 X< 2/1 X< 3);b) densitatea de repartit iefX(x);c) dispersiaD2(X).Solut ie. a)P(1 X< 2) = F(2) F(1) = 1 14=34P(1 X< 2/1 X< 3) =P(1X2Sa se gaseasca densitatea de repartit ie corespunzatoare variabilei Y== cos X.Solut ie. In _2,2_, funct iay = cos x nu e monotona .FY (y) =_arccos y2fX(x)dx +_2arccos y fX(x)dxDensitatea de repartit ie a luiYestefY (y) = F

Y (y) = fX(arccos y)(arccos y)

fX(arccos y)(arccos y)

= fX(arccos y) 11y2 +fX(arccos y)

11y2=2 11y260. SapresupunemcavariabilaaleatoareXurmeazaolegenormaladeparametrii 0 si 1. Sa se determine densitatea de repartit ie corespunzatoarevariabilei aleatoareY= [X[12.Solut ie. Densitatea de repartit ie a variabilei Xeste fX(x) =12ex22Funct ia de repartit ie a luiYesteFY (y) = P(Y< y) = P([X[12< y) = P([X[ < y2) == P(y2< X< y2) = 2FX(y2) =fY (y) = 2F

X(y2) = 2fX(y2)(y2)

= 2 12ey42 2y =4y2ey4261. FieXsiYv. a. independente distribuite Poisson cu parametrul sirespectiv. Se cere:a) sasearatecav. a. X+Y urmeazaodistribut iePoissondeparametru +;b) sa se arate ca v. a. X Ynu urmeaza o distribut ie Poisson.Solut ie. a) Funct ia generatoare de momente a unei v. a. X ce urmeazao lege Poisson cu parametrul esteGX(t) =

x=0txexx!= e

x=0(t)xx!= eet= e(t1)Pentru v. a. independenteXsiY, ecare dintre ele dand nastere lao distribut ie Poisson cu parametrii, respectiv avem68 CAPITOLUL2. VARIABILEALEATOAREGX+Y (t) = e(t1)e(t1)= e(+)(t1),careestefunct ia generatoarede momente a unei v. a. ce da nastere unei legi Poisson cu parametrul +.b)AvemGXY (t) =GX(t)GY (1t) =e(t1)e(1t1), expresiecenupoate adusa la o forma care sa reprezinte funct ia generatoare a uneivariabile Poisson.62. Sa se determine funct ia generatoare corespunzatoare variabilei X pen-tru care se stie:a)P(X n);b)P(X< n);c)P(X n)Solut ie. a)P(X n) +P(X> n) = 1 (1)NotamP(X> j) = qj. Obt inem o funct ie generatoareQ(s) ==

j=0qjsj. DacaG(s) =

j=0pjsj, undepj = P(X = j), atunciQ(s) ==1G(s)1s.Inmult im (1) cusnsi sumam =

n=0P(X n)sn+Q(s) =

n=0snCum [s[ < 1 =

n=0P(X n)sn=11 s 1 G(s)1 s=G(s)1 sb) Inmult im relat iaP(Xn) = 1 cusnsisumam =

n=0P(X< n)sn+G(s) +Q(s) =

n=0sn==

n=0P(X< n)sn=11 s G(s) 1 G(s)1 s=s1 sG(s)c) StimP(X n) +P(X< n) = 1. Analog obt inem

n=0P(X n)sn=1 sG(s)1 s63. FieXo variabila aleatoare a carei funct ie generatoare esteG(s). Sase determine funct ia generatoare corespunzatoare variabileiX + 1.Solut ie. Funct iageneratoareavariabilei Xeste GX(s) =

n=0pnsn,undepn = P(X = n), n = 0, 1, . . .2.2. PROBLEMEREZOLVATE 69P(X + 1 = n) = P(X = n 1) = pn1 =GX+1(s) =

n=1pn1sn== s

n=1pn1sn1= sGX(s)64. Fie (Xn)nun sir de variabile aleatoare independente care iau valorile0, 1, 2, . . . a1 cu probabilitat ile1a. Fie Sn = X1+. . .+Xn. Se cere sa secalculeze funct ia generatoare a variabilei Sn si funct ia corespunzatoareprobabilitat iiP(Sn j).Solut ie. Cum (Xn)n sunt variabile aleatoare independente =GSn(s) == [GXi(s)]nGXi(s) =1aa1

n=0sn=1 saa(1 s)=GSn(s) =_1 saa(1 s)_nInmult im relat iaP(Sn j) +P(Sn> j) = 1 cusnsi sumam ==

j=0P(Sn j)sj=11 sGSn(s)65. Dintr-o urna cont inand bile albe si bile negre se fac extrageri succesivedeecaredatapunandu-sebilaextrasa napoi nurna. Seextrageobilaalbacuprobabilitateap, iar obilaneagracuprobabilitateaq= 1 p. FieXovariabilaaleatoareceiavaloareandacapentruprima oara obt inem o bila alba , urmata de una neagra n extragerilede rangn 1 sin. Se cer:a) funct ia generatoare a variabileiX;b) valoarea medie si dispersia variabileiX.Solut ie. a) Succesiunea cea mai generala ce poate conduce la aparit iaunei bilealbe, urmatadeunaneagra laextragerilen 1si nesteX1: NN . . . NA, X2: AA. . . AN, undeA(resp. N)=aparit iauneibile albe (resp. negre)Se poate scrieX=X1 + X2, undeX1(X2)=variabila aleatoare egalacu rangul extragerii n care s-a obt inut prima bila alba (neagra ). CumX1 siX2 sunt independente =GX(s) = GX1(s)GX2(s).DeoareceP(X1 = k) = qk1p, avemGX1(s) =

k=1qk1psk== ps

k=1(qs)k1=ps1 qs.70 CAPITOLUL2. VARIABILEALEATOAREDeoareceP(X2 = l) = pl1q, avemGX2(s) =

l=1pl1qsl== qs

l=1(qs)l1=qs1 ps.Asadar,GX(s) =pqs2(1qs)(1ps).b) Se stie caE(X) = G

X(1) siD2(X) = G

X(1) +G

X(1) (G

X(1))2.AvemG

X(s) =pqs(2s)(1qs)2(1ps)2.G

X(s) =2pq(1+pqs23pqs3)(1qs)3(1ps)3Cands tinde catre 1,G

X(s) tinde catre2(12pq)p2q2.Deci,E(X) = G

X(1) =1pq.D2(X) =13pqp2q2Se poate calcula directP(X = n). Intr-adevar, pentru a aveaX = n,trebuie sa nu obt inem decat bile negre pana la extragerea de rangk,bile albe de la extragerea de rangk + 1 la extragerea de rangn 1,apoi o bila neagra , undek variaza de la 0 lan 2.AvemP(X = n) =n2

k=0qkpnk2pq = pqn1n2

k=0_pq_k=pq(qn1pn1)q pCalculandfunct iageneratoarecorespunzatoarevariabilei Xobt inemGX(s) =

n=2pq(qn1pn1)q psn=pqsq p

n=2[(qs)n(ps)n] ==pqs2(1qs)(1ps)66. FieX1si X2v. a. cuvalori ntregi pozitivesaunule. Densitateaperechii (X1, X2) inddatade pjk=P(X1=j, X2=k), funct iageneratoare corespunzatoare se deneste prinG(s1, s2) =

j,kpjksj1sk2.Se cer:a) sa se determine funct iile generatoare G1(s1) si G2(s2) ale variabilelorX1 siX2;b) sa se determine funct ia generatoareG1,2(s) a variabileiX1 +X2;sasearatecavariabileleX1si X2suntindependentedaca sinumaidacaG(s1, s2) = G(s1)G(s2).Solut ie. a) Fiepj = P(X1 = j). Decipj =

kpjk siG1(s1) ==

j(

kpjk)sj1 =

j,kpjksj1 sauG1(s1) = G(s1, 1)2.2. PROBLEMEREZOLVATE 71AnalogG2(s2) = G(1, s2).b) Fiecl = P(X1 +X2 = l) =

j,k,j+k=lpjkUrmeazacaG1,2(s)=

lclsl=

l(

j,k,j+k=lpjk)sl=

j,kpjksjsksauG1,2(s) = G(s, s).c) A spune ca X1 si X2 sunt independente este echivalent cu pjk = pjqk,undeqk = P(X2 = k).Deci G(s1, s2) =

j,kpjqksj1sk2sauG(s1, s2) =(

jpjsj1)(

kqksk2)siG(s1, s2) = G(s1)G(s2).67. Care din urmatoarele funct ii este funct ie caracteristica :a)1(t) = sin t;b)2(t) = cos2t;c)3(t) =_ 1, t < 01, t 0Solut ie. a)1(0) = 0 ,= 1, deci1(t) nu e funct ie caracteristicab)2(t) = cos2t =_eit+eit2_2=14e2it+14e2it+12Deci,2(t) e funct ia caracteristica corespunzatoare variabileiX _2 0 2141214_c)3(t) nu e continua , deci nu e funct ie caracteristica68. Fie X o variabila aleatoare ce ia valorile x = 0, 1, . . . cu probabilitat ileP(x) = e2

2xx!. Se cer:a) funct ia caracteristica ;b) valoarea medie si dispersia.Solut ie. a)X(t) =

x=0eitxP(x) = e2

x=0eitx

2xx!= e2

x=0(2eit)xx!== e2 e2eit= e2(eit1)b) Se stie caE(X) =

(0)isiE(X2) =

(0)i2Avem

(t) = 2eitie2(eit1)=

(0) = 2i =E(X) = 2

(t) = 2i2eite2(eit1)+4i2e2(eit1)=

(0) = 6i2= 6 =E(X2) == 6 =D2(X) = E(X2) (E(X))2= 6 4 = 272 CAPITOLUL2. VARIABILEALEATOARE69. Se arunca 2 zaruri. Sa se scrie funct ia caracteristica a variabileialeatoareXcare ne da numarul de puncte obt inut pe cele 2 zaruri.Solut ie. FieX1=v. a. cedanumarul depuncteobt inutpeprimulzar,X2=v. a. ce da numarul de puncte obt inut pe al doilea zarAtunciX = X1 +X2CumX1,X2 sunt independente =X(t) = E(eitX) = E(eit(X1+X2)) == E(eitX1)E(eitX2) = X1(t)X2(t), undeX1(t) = X2(t) =166

k=1eitk70. Se dau 2 urne A si B care cont in bile albe n proport ii cunoscute. DinurnaAsescoateobila sisepune nurnaB. DinurnaBefectuamapoi 3 extrageri succesive, punand de ecare data bila alba napoi nurna Sa se calculeze funct ia caracteristica corespunzatoare numaruluide bile albe obt inut n aceste 4 extrageri.Solut ie. Fiea=numarul debilealbedinurnaA, b=numarul debilenegre din urna B, =numarul de bile albe din urna A, =numarul debile negre din urnaB.FieXv.a. ce da numarul de bile albe obt inut n cele 4 extrageri; Xpoate lua valorile 0, 1, . . . 4P(X = 0) =ba+b _+1++1_3P(X = 1) =aa+b _++1_3+ba+bC13 ++1 _+1++1_2P(X = 2) =aa+b C13 +1++1

_++1_2+ba+b C23 _++1_2

+1++1P(X = 3) =aa+bC23_+1++1_2

++1 +ba+b _++1_3P(X = 4) =aa+b _+1++1_3X(t) = E(eitX) =ba+b _+1++1_3+ [aa+bC13 +1++1 _++1_2++ba+bC23 _++1_2

+1++1]eit+ [aa+bC13 +1++1 _++1_2++ba+bC23 _++1_2

+1++1]e2it+[aa+bC23_+1++1_2

++1 +ba+b

_++1_3]e3it+aa+b _+1++1_3e4it2.2. PROBLEMEREZOLVATE 7371. Sa se calculeze funct ia caracteristica a variabilei aleatoareXcare aredensitatea de repartit iefX(x) =_0, [x[ > 212_1 |x|2_, [x[ 2Solut ie. X(t) =_fX(x)eitxdx =12_22_1 |x|2_eitxdx ==12_02_1 +x2_eitxdx +12_20_1 x2_eitxdx =12_20_1 x2_eitxdx++12_20_1 x2_eitxdx =_20_1 x2_

eitx+eitx2dx =_20_1 x2_cos txdx ==sin txt/2012_x sin txt/20_20sin txtdx_=sin 2tt12_2 sin 2tt1t _cos txt_/20_= 12t2(cos 2t 1) =sin2tt272. Sa se ae densitatea de repartit ie corespunzatoare funct iei caracteris-tice(t) = e|t|.Solut ie. Aplicam formula de inversiune a funct iei caracteristice scrisacu ajutorul densitat ii:f(x) =12_ e|t|eitxdt =12__0 eteitxdt +_0eteitxdt_==12_0et(eitx+ eitx)dt =1_0etcos txdt =1(etcos tx)/0 x_0etsin txdt =1 +_xetsintx_/0x2_0etcos txdt =1x2f(x) =f(x) =1(1+x2)73. FieXo v. a. repartizata normalN(0, 1). Se cer:a) Sa se determine funct ia caracteristica a v. a.X22;b)DacaX1si X2suntv. a. independentrepartizateN(0, 1), sasedetermine funct ia caracteristica a v. a. Y=X21X222.Solut ie. a)X22(t) = E(eitX22) =12_ ex22(1it)dx ==12_ e_x(1it)2_2dx =12 21it_ ey2dy =1 11it

=11itb)X22(t) = X22(t) = (1 + it)12CumX1 siX2 sunt independente =Y (t) = X212(t)X222(t) == (1 it)12(1 + it)12= (1 +t2)1274. FieXsi Y v. a. independente care urmeaza o aceeasi repartit ie. Sapresupunemcadispersiilesuntnite. SasearatecadacaX + Y siXYsunt v. a. independente, atunci X si Ysunt normal distribuite.74 CAPITOLUL2. VARIABILEALEATOARESolut ie. Fara a restrange generalitatea, vom presupune caE(X) == E(Y ) = 0, D2(X) = D2(Y ) = 1.CumXsi Y suntindependente, dacanotamcu(t)funct iacarac-teristica, atunci X + Y arefunct iacaracteristica2(t), iarX Y ,(t)(t).DacaX +YsiX Ysunt v. a. independente, funct ia caracteristicaa variabileiX +Y+X Y= 2Xeste(2t) = 2(t)(t)(t) == 3(t)(t) = 3(t)(t) (1)Sevedeca(t) ,=0. Intr-adev ar, daca(t)=0, pentruovaloareoarecare a lui t, atunci daca n loc de t punemt2avem _t2_= 0, deci_t2n_= 0, n = 0, 1, 2, . . .Cum (t) este o funct ie continua obt inem ca (0) = 0, ceea ce ne ducela contradict ie deoarece(0) = 1.Introducem notat ia(t) = lg (t). Din (1) rezulta ca(2t) = 3(t)++(t) (2)In (2) luam t n loc det: (2t) = 3(t) +(t) (3)Din relat iile (2) si (3), notand(t) (t) = (t) obt inem(2t) == 2(t) (4)AmpresupuscaE(X)=0, D2(X)=1, deci (t)estediferent iabilade doua ori n punctul t = 0,

(0) = 0,

(0) = 1, deoarece E(X) ==

(0)i, D2(X) = E(X2) =

(0)i2Rezultacasi funct ia(t), deci si (t)estediferent iabila nt =0.Avem

(0) = 0,

(0) = 1, deci

(0) = 0 si n plus(0) = 0.In(4), dacapunemt2nlocdet, avem(t)=2_t2_ si, ngeneral,(t) = 2n_t2n_, deci(t)t=(t2n )t2n, n = 0, 1, . . .Dacan obt inem(t)t 0, deci(t) 0De aici rezulta ca(t) = (t). Asadar,(t) este o funct ie para .Tinem seama de (1) si obt inem(2t) = 4(t) sau(t) = 4_t2_.Rezulta ca(t) = 4n_t2n_ si de aici(t)t2=(t2n )(t2n )2 .Tinand seama de dezvoltarean serie (h) = (0)+h

(0)+h22

(0)+O(h2) se vede ca(h) =h2

(0)2+O(h2), unde limhO(h2)h2= 0Deci, dacan obt inem(t)t2=

(0)2= 12deunderezultaca(t) = et22 , deciXsiYsunt normal distribuite.2.2. PROBLEMEREZOLVATE 7575. FieX1, . . . Xnv. a. independente, pozitive urmand aceeasi repartit iedenita de densitateaex. Se cere sa se determine repartit ia vari-abileiY=n

k=1Xk.Solut ie. Calculam funct ia caracteristica corespunzatoare variabilei Xk.Xk(t) =_0exeitxdx = _0ex(it)dx =itDeoareceXksunt independente avemY (t) =n(it)n.Formula e inversiune a lui Fourier ne dafY (x) =n2_eitx(it)ndt.Aceastaintegralaserezolvacuajutorul reziduurilorfolosindfunct iag(z) =eitz(it)nsi conturul, un semicerc de raza R, ce cont ine n interiorpunctul i.Avem _RRg(z)dz +_Rg(z)dz = 2iRez(g, i).Deoarecezg(z) 0, cand [z[ rezulta _Rg(z)dz 0, candR .Deci _eitx(it)ndt = 2iRez(g, i).Pentru a calcula reziduul funct ieig n i punemz = i + , g(z)devineeix(i+)(i)n=ex(i)n[1 ix +. . . + (1)n1xn1(i)n1(n1)!+. . .].In aceasta dezvoltare termenul lui1este1 xn1exi(n1)! , de unden2_eitx(it)ndt = n22i xn1exi(n1)!=n(n1)!exxn1.Pentrux 076. Se stie ca dacaXsiYsunt v. a. independente, atunciX+Y (t) == X(t)Y (t). Sa se arate ca proprietatea inversa nu are locntotdeauna.Solut ie. Fievectorulaleator(X, Y )carearedensitateaderepartit iedata de expresiaf(x, y) =_14[1 +xy(x2y2)], [x[ 1, [y[ 10, n restVom arata ca v. a. XsiYsunt dependente.76 CAPITOLUL2. VARIABILEALEATOAREfX(x) =14_11[1 +xy(x2y2)]dy =12fY (y) =14_11[1 +xy(x2y2)]dy =12Asadar, fX(x)fY (y) =14 ,= f(x, y), deci v. a. X si Ysunt dependenteSa gasim acum densitatea de repartit ie a v. a. Z = X +YAvemfZ(z) =_f(x, z x)dxCumf(x, y) ,=0pedomeniul [x[ 1, [y[ 1, f(x, z x) ,=0pedomeniul [x[ 1, [z x[ 1.Dacaz 0, atunciz 1 1, iarz + 1 1Asadar,fZ(z) =_z+11f(x, z x)dx =14_z+11(1 xz3+ 3z2x22zx3)dx ==14(2 +z), daca 2 z 0Dacaz 0, atunciz 1 1, z + 1 1, decifZ(z) =_1z1f(x, z x)dx =14_1z1(1 xz3+ 3z2x22zx3)dx ==14(2 z), daca 0 z 2Calculam acum funct iile caracteristice ale v. a. X,YsiZ.AvemX(t) =12_11 eitxdx =eiteit2it=sin tt.AnalogY (t) =sin tt.Z(t) =14_02(2 +z)eitzdz +14_20 (2 z)eitzdz =14 2e2ite2itt2==12t2_1 e2ite2it2_=12t2(1 cos 2t) =_sintt_2Prin urmare,Z(t) = X(t)Y (t).77. Fie Xsi Y v. a. independente care urmeazaolege Poissondeparametru 1, respectiv 2. Sa se arate ca distribut ia lui X condit ionatadeX +Yeste o distribut ie binomiala si anumeP(X = k/X +Y= n) = b(k; n;11 +2).Solut ie. DeoareceXsiYsunt v. a. independente avemX+Y (t) ==X(t)Y (t) =e(1+2)(eit1)ceea ce arata ca variabila X+Yurmeaza o lege Poisson de parametru1 +2, deciP(X +Y= n) ==(1+2)nn!e(1+2)Prin denit ieP(X = k/X +Y= n) =P(X=k)P(Y =nk)P(X+Y =n)==k1k!e1nk2(nk)!e2(1+2)nn!e(1+2)=n!k!(nk)!_11+2_k_21+2_nk, de undeP(X = k/X +Y= n) =n!k!(nk)!_11+2_k_1 11+2_nksauP(X = k/X +Y= n) = b(k; n;11+2)2.3. PROBLEMEPROPUSE 772.3 Problemepropuse1. Intr-unnumarde1000lozuri, 10suntcastigatoare. Secumpara20lozuri. Care e probabilitatea de a avea :a) 2 lozuri castigatoare;b) 4 lozuri castigatoare.R: a)C210C18990C201000b)C410C16990C2010002. Intr-o cutie de chibrituri cont inand 41 bet e, 3 sunt fara gamalie. Scot and16 bet e lantamplare, sa se determine probabilitatea ca printre acesteasa se gaseasca cele 3 bet e defecte.R:C1338C33C16413. Intr-o urna sunt 25 bile, dintre care 14 albe si restul negre. Se extragdintr-o data 2 bile. Sa se calculeze probabilitatea ca ele sa e de culoridiferite.R:C114C111C2254. Product iazilnicaaunei fabrici estede550piese. Inmediemerglarebut 30/0 din piesele fabricate. Din product ia de 2 zile se trimit 1000de piese ntreprinderiiA. Sa se calculeze probabilitatea ca 980 dintreaceste piese sa e bune.R:C9801067C2033C100011005. Din 20 de unitat i agricole, 15 si-au realizat planul lansamant ari. Suntalese la ntamplare 10 unitat i agricole si se cere probabilitatea ca:a)dintre acestea 6 sa-si realizat planul;b) cel mult 4 unitat i agricole sa nu-si realizat planul;c) toate cele 10 unitat i analizate sa aiba planul ndeplinit.R: a)C615C45C1020b)4

k=0Ck5C10k15C1020c)C1015C10206. Avem 52 obiecte dintre care 4 poarta un semn distinctiv. Impart indu-se aceste 52 obiecte n 4 grupe egale, care e probabilitatea ca n ecaregrupa sa se gaseasca un obiect cu semnul distinctiv?R:C1248C14C1352

C1236C13C1339

C1224C12C132678 CAPITOLUL2. VARIABILEALEATOARE7. Se arunca 7 monede. Care e probabilitatea ca sa apara de 5 ori stemasi de 2 ori fat a?R:C57 _12_2

_12_58. La controlul de calitate este controlat un lot de piese. Probabilitateaca luand la ntamplare o piesa din lot sa e defecta este 0,005. Suntcontrolate100piesedinlot, caresuntluateperandsi puseecarenapoi n lot dupa ce a fost controlata . Se cere probabilitatea ca ntrecele 100 piese controlate sa avem cel mult 4 piese defecte.R:P=4

k=0Ck100(0, 005)k(0, 995)100k9. Doi adversari cu sanse egale joaca sah. Pentru unul din ei, ce este maiprobabil, sa castige:a) 2 partide din 4 sau 6 partide din 8?b) cel put in 2 partide din 4 sau 6 partide din 8?R: a)C24_12_2_12_2> C68_12_6_12_2b)C24124 +C34124 +C44124> C68128 +C78128 +C8812810. Osocietatecomercialaare6debitori. Probabilitateacalasfarsitulunei luni un debitor sa e solvabil este 0,8. Sa se determine probabil-itatea ca:a) tot i debitorii sa e solvabili;b) nici un debitor sa nu e solvabil;c) 4 debitori sa e solvabili;d) cel put in 2 debitori sa e solvabili;e) 4 debitori sa nu e solvabili;f) societatea sa nu mai aiba debitori;g) cel mult 2 debitori sa nu e solvabili.R: a) (0, 8)6; b) (0, 2)6; c)C46(0, 8)4(0, 2)2; d)6

k=2Ck6(0, 8)k(0, 2)6k;e)C26(0, 8)2(0, 2)4; f) (0, 8)6; g)6

k=4Ck6(0, 8)k(0, 2)6k11. Fie urneleU1cu 2 bile albe si 3 negre,U2cu 3 bile albe si 2 negre siU3 cu 2 bile albe si 2 negre. Sa se determine probabilitatea ca facandcate o extragere din ecare urna , numai o singura bila sa e alba .R: Probabilitatea este coecientul lui t din expresia_25t +35_

_35t +25_

_12t +12_, adicap =19502.3. PROBLEMEPROPUSE 7912. O urna cont ine 5 bile albe si 3 negre, o alta urna 6 bile albe si 2 negresi a treia, 7 bile albe si una neagra . Se extrage cate o bila din ecareurna . Sa se determine probabilitatea ca 2 bile sa e albe si una neagraR: Aplicam schema lui Poisson si gasim ca probabilitatea cautata estedata de coecientul luit2din produsul _58t +38_

_68t +28_

_78t +18_13. In3loturi deproduse40/0, 30/0si respectiv50/0suntdefecte. Seextrage la ntamplare cate un produs din ecare lot. Sa se ae proba-bilitatea ca:a) un produs sa e defect;b) un produs sa e corespunzator;c) toate produsele extrase sa e corespunzatoare;d) toate produsele extrase sa e defecte.R: a) Folosim schema lui Poisson cu 3 urne. Probabilitatea este coe-cientul lui t din dezvoltarea p3(t) = (0, 04t+0, 96)(0, 03t+0, 97)(0, 08t++0, 92)b) Probabilitatea este coecientul luit2din dezvoltarea luip3(t)c) Probabilitatea este coecientul luit0din dezvoltarea luip3(t)14. La un concurs de manageri se prezinta 3 candidat i. Fiecare candidatprimesteunpliccarecont ine4bilete, iarpeecarebiletestescrisao ntrebaredemanagement ncomert sau nturism. Plicul primu-lui candidat cont ine o ntrebare din comert ,plicul celui de-al doileacandidat cont ine 2 ntrebari din comert ,iar plicul celui de-al treileacandidat cont ine 3 ntrebari din comert . Fiecare candidat extrage lantamplareunbiletdinplicul cei-afostrepartizat. Sasecalculezeprobabilitatea ca:a) tot i candidat ii sa e examinat i din management n comert ;b) un candidat este examinat din management n comert ;c) nici un candidat nu este examinat din managementul n comert .R: Folosim schema lui Poisson cu 3 urne.a) coecientul luit3din dezvoltarea (14t +34)(24t +24)(34t +14)b) coecientul luit din dezvoltarea anterioarac) coecientul luit0din dezvoltarea anterioara15. O unitate agricola primeste n cursul unei saptamani 160 de camioanecu grau provenit de la 3 depoziteA, B, C. Probabilitatea ca graul saprovinadeladepozitul Aeste0,5, deladepozitul Beste0,3si deladepozitul Ceste0,2. Careesteprobabilitateacadincele160decamioane 90 sa e de la depozitulA, 20 de laB si restul de laC?R:160!90!20!50!0, 5900, 3200, 25080 CAPITOLUL2. VARIABILEALEATOARE16. Sa presupunem ca un fenomen aleatorXurmeaza o lege normala deparametriim = 2 si = 2. Sa se calculeze: a)P(0 X 3);b)P([X[ 1); c)P(1 X 1/0 X 3).R: a)P(0 X 3) = _12_+ (1) 1 = 0, 533b)P([X[ 1) = _32__12_= 0, 242c)P(1 X 1/0 X 3) = 0, 28117. Fie X, Y variabilealeatoareindependente, X, Y N(a, ). Sasecalculeze coecientul de corelat ie al variabilelor aleatoareU= X++Y, V= X Y, , IR, , ,= 0.R:(U, V ) =222+218. Variabilaaleatoare Xarerepartit iaX_1 0 10, 2 0, 3 0, 5_. Sasecalculeze valorile mediiE(X), E(2X), E(X + 1), E(2X + 1), E(X2),E((X 0, 3)2).R: E(X) = 0, 3, E(2X) = 0, 6, E(X+1) = 1, 3, E(2X+1) = 1, 6, E(X2) == 0, 7, E((X 0, 3)2) = 0, 6119. Doi jucatori detenisjoaca n4meciuri 12seturi. Considerandcaprobabilitat ilecelor2jucatori deacastigaunsetsuntegale, sasecalculeze valoarea medie, dispersia si abaterea medie patratica a vari-abilei aleatoare ce reprezinta numarul de seturi castigate de unul dintrejucatori.R:P(X = x) = Cx12_12_x_12_12x, x = 0, 12E(X) = np = 6, D2(X) = npq = 3, =_D2(X) = 320. Daca variabilele aleatoareX siYsunt legate prin relat iaY= aX +bcua ,= 0, b constante, atunci(X, Y ) =_1, a > 01, a < 021. Se considera variabilele aleatoareXsiYde densitat ifX(x) =_1a1x2, [x[ < 10, [x[ 1fY (x) =_0, x 0bxex22, x > 0Sasedetermineconstantele asi bastfel ncat funct iiledatesaedensitat i de probabilitate.R:a = , b = 12.3. PROBLEMEPROPUSE 8122. Se dau funct iilea)f(x) =___Ax, 0 x < 5A(10 x), 5 x < 100, n restb)f(x) =_Aex5, x > 00, n restPentru ce valori ale lui Afunct iile de mai sus sunt densitat i de repartit ie?R:a)A =125b)A =1523. FieXo variabila aleatoare a carei funct ie de repartit ie esteFX(x) =___0, x 0x4, 0 < x 113, 1 < x 2x6, 2 < x 312, 3 < x 4x8, 4 < x 81, x > 8Se cer:a) densitatea de repartit ie;b)P(2 < X 5);c)P(2 < X 5/1 < X 6)R: a)fX(x) =___14, 0 < x 116, 2 < x 318, 4 < x 80, n restb)P(2 < X 5) =724c)P(2 < X 5/1 < X 6) =71224. Se da funct iaf(x) =_al2x2, l < x < l0, n restSe cer:a) sase determine constanta aastfel ncat f sae densitateaderepartit ie a unei variabile aleatoareX;b) funct ia de repartit ie;82 CAPITOLUL2. VARIABILEALEATOAREc)P(0 < X l)R: a)a =1b)FX(x) =___0, x l1 arcsinxl+12, l < x < l1, x lc)P(0 < X l) =1225. FieXo v. a. repartizata exponent ial de parametru =12. Sa se aeP(1 < X< 3) siE(Xn).R:P(1 < X< 3) = e12 e32E(Xn) =n!n= 2nn!26. Se dau densitat ile de repartit iea)fX(x) =_2x, 0 < x < 10,n restb)fX(x) =_ [x[, [x[ < 10, n restSa se calculeze valoarea medie si dispersia variabileiX.R:a)E(X) =23, D2(X) =118b)E(X) = 0, D2(X) =1227. Se dau funct iile de repartit iea)FX(x) =___0, x < 0x2, 0 x 11, x > 1b)FX(x) =___0, x < 0x12, 0 x 11, x > 1Sa se calculeze valorile medii si dispersiile corespunzatoare.R:a)E(X) =23, D2(X) =118b)E(X) =13, D2(X) =44528. FieXo variabila aleatoare a carei densitate de repartit ie estefX(x) =_c ln_ax_, 0 x < a0, n restSa se determine constanta c si sa se calculeze valoarea medie, momentulde ordinul doi si dispersia variabileiX.R:c =1a,E(X) =a4, E2(X) = E(X2) =a29 , D2(X) =7a21442.3. PROBLEMEPROPUSE 8329. Se considera v. a. Xcu densitatea de repartit iefX(x) =_x2ekx, 0 x0, n resta) Sa se determine constanta;b) Sa se ae funct ia de repartit ie;c) Sa se calculezeP(0 < X 1c)P(0 < X 032. FieXo variabila aleatoare a carei funct ie generatoare esteG(s). Sase determine funct ia generatoare corespunzatoare variabilei 2X.R:G2X(s) = GX(s2)33. Fie X o variabila aleatoare ce ia valorile x = 1, 2, . . . cu probabilitat ileP(x) =23_13_x1. Se cer:a) Funct ia caracteristica ;b) valoarea medie si dispersia.84 CAPITOLUL2. VARIABILEALEATOARER: a)(t) =2eit3eitb)E(X) =32, D2(X) =3434. Se da funct ia caracteristica (t) =14(eit+1)2. Sa se determine funct iade repartit ie corespunzatoare.R:F(x) =___0, x 014, 0 < x 134, 1 < x 21, x > 235. Se da funct iaf(x) =_ex, x 00, x < 0Se cer:a) sa se verice cafeste o densitate de repartit ie;b) sa se scrie funct ia caracteristica ;c) valoarea medie si dispersia.R: b)(t) =11itc)E(X) = 1, D2(X) = 136. Sa se ae funct ia caracteristica a variabilei aleatoareXcu densitateade repartit iefX(x) =___0, x a c1c2(x a +c), a c < x < a1c2(x a c), a x < a +c0, x a +cR:X(t) = eita_sintc2tc2_237. Sa se ae funct ia caracteristica a variabilei aleatoare X care are funct iade repartit ieFX(x) =_0, x < a1 ek2(xa), x aR:X(t) =k2eitak2itCapitolul3Vectorialeatori3.1 Not iuniteoreticeDenit ia 3.1. Funct ia de repartit ie a unui vector aleator d-dimensionalX = (X1, . . . , Xd) este funct iaFX : IRd[0, 1],FX(x1, . . . , xd) = P(X1< x1, . . . , Xd< xd)Proprietat ilefunct ieiderepartit ie1)Feste crescatoare si continua la dreapta n ecare dintre variabile2)limxj0FX(x1, . . . , xd) = 0, j = 1, d3) a1b1a2b2 . . . adbdFX(x1, . . . , xd) 0 pentru oriceai 0, y> 00, n restsa se determineE(X), E(Y ), D2(X), D2(Y ).Solut ie. Aam mai ntai densitat ile de repartit ie ale componentelor:fX(x) =_0f(x, y)dy = 2xex2_0yey2dy = xex2(ey2)/0== xex2, x > 0fY (y) =_0f(x, y)dx = yey2, y> 0AtunciE(X) =_0xfX(x)dx =_0x2ex2dx.Facem substitut iax2= t =x = t12=dx =12t12dt.AtunciE(X) =12_0t12etdt =12_32_=12 12_12_=4.AnalogE(Y ) =4.E(X2) =_0x2fX(x)dx =_0x3exdx =12_0tetdt =12(2) ==121! =12Asadar,D2(X) =12 16.AnalogD2(Y ) =12 16.3.2. PROBLEMEREZOLVATE 894. Fie vectorul (X, Y ) cu densitatea de repartit ie f(x, y) =12(1+x2)(1+y2),x, y IR. Sa se aeF(X,Y )(x, y), FX(x), FY (y), fX(x), fY (y).Solut ie. F(X,Y )(x, y) =12_x_ydudv(1+u2)(1+v2)==12_xdu1+u2 _ydv1+v2=12_arctg x +2_ _arctg y +2_FX(x) =limyF(X,Y )(x, y) =12_arctg x +2_FY (y) =limxF(X,Y )(x, y) =12_arctg y +2_fX(x) = FX(x) =1(1+x2)fY (y) = FY (y) =1(1+y2)5. Fie vectorul (X, Y ) cu densitatea de repartit ief(x, y) =_axy(3 x)(4 y), x [0, 3], y [0, 4]0, n restSasedetermineasi sasescriefunct iaderepartit ieavectorului(X, Y ).Solut ie. _30_40axy(3 x)(4 y)dxdy = 1 ==a_3x22x33_/30_2y2y33_/40 = 1 =48a = 1 =a =148F(x, y) =___a_x0u(3 u)du_y0v(4 v)dv, x [0, 3], y [0, 4]a_x0u(3 u)du_40v(4 v)dv, x [0, 3], y> 4a_30u(3 u)du_40v(4 v)dv, x > 3, y [0, 4]1, x > 3, y> 40, n rest=___148 9x2x366y2y33, x [0, 3], y [0, 4]29_3x22x33_, x [0, 3], y> 4332_2y2y33_, x > 3, y [0, 4]1, x > 3, y> 40, n rest6. Fie vectorul (X, Y ) cu densitatea de repartit ief(x, y) =_e(x+y), x 0, y 00, n restSa se calculeze a) P(X 1, Y 1); b) P(X+Y 1); c) P(X+Y> 2);d)P(Y> 1/X 1);e)P(X> 1/Y> 1); f)P(X< 2Y ).90 CAPITOLUL3. VECTORIALEATORISolut ie. a)P(X 1, Y 1) =_10_10e(x+y)dxdy =_10exdx_10eydy = (e11)2b)P(X +Y 1) =_10_1x0e(x+y)dydx =_10ex(1 ex1)dx == 1 2e1c) P(X+Y> 2) = 1P(X+Y 2) = 1_20_2x0e(x+y)dydx = 2e2d) Fie evenimenteleA = Y> 1,B = X 1Vrem sa calculamP(A/B) = 1 P(A/B)P(A/B) =P(AB)P(B)=P(X1,Y 1)P(X1)P(X 1) =_10exdx = 1 e1AtunciP(A/B) = 1 (1e1)21e1= e1e) Fie evenimenteleA = X> 1, B = Y> 1Avem de calculatP(A/B) =P(AB)P(B)Stim P(AB) = 1 P(AB) = 1 (P(A) +P(B) P(AB)) ==P(A B) = P(A B) 1 +P(A) +P(B) == P(X 1, Y 1) 1 + 1 P(X 1) + 1 P(Y 1) == (e11)22(1 e1) + 1AtunciP(A/B) =(e11)22(1e1)+1e1f)P(X< 2Y ) =_ _xy 0,FZ(z) =_ _x2+y2z2 f(x, y)dxdy ==_20_z0f( cos , sin )dd =fZ(z) = z_20f(z cos , z sin )d,z> 09. DacaX, Ysunt v. a. independente, aratat i ca v. a. U= max(X, Y ),V= min(X, Y ) au funct iile de repartit ie FU(t) = FX(t)FY (t), FV (t) == 1 [(1 FX(t))(1 FY (t))].Solut ie. Cum max(X, Y ) t X t siY t =FU(t) == P(U t) = P(X t, Y t) = P(X t)P(Y t) = FX(t)FY (t)Cum min(X, Y ) > t X> t, Y> t =FV (t) = P(V t) == 1 P(V> t) = 1 P(X> t, Y> t) = 1 P(X> t)P(Y> t) == 1 [(1 FX(t))(1 FY (t))]10. FieX, Y v. a. independente, repartizateexponent ialcuparametrul =1. Aratat i ca V =min(X, Y ) e repartizataexponent ial cuparametrul = 2.Solut ie. FX(t) = FY (t) =_t0 exdx = ex/t0 = 1 et, t 0Cf. ex. anterior =FV (t) = 1 [(1 FX(t))(1 FY (t))] == 1 (1 et)2= 1 e2tcareefunct iaderepartit ieauneiv. a.repartizata exponent ial de parametru = 211. Fie vectorul aleator (X, Y ) cu densitateaf(x, y) =_aex2y, x 0, y 00, n restSa se determine a, funct ia de repartit ie a vectorului (X, Y ) si funct iilede repartit ie ale variabilelorX +Y,XY, X2,X.Solut ie. a_0_0ex2ydxdy = 1 =a_0exdx_0e2ydy = 1 ==a(ex/0)_12e2y_/0= 1 =a2= 1 =a = 2F(x, y) =_ _x0_y02eu2vdudv, x 0, y 00, n rest=_(1 ex)(1 e2y), x 0, y 00, n restFieZ = X +YFZ(z) = P(Z< z) =_ _x0,y0,x+y 00, n restf(U,V )(u, v) =_ _3uv03e3udw, 3u v> 0, v> 00, n restfU(u) =_ _3u0_3uv03e3udwdv, u > 00, n rest=_272 u2e3u, u > 00, n rest3.2. PROBLEMEREZOLVATE 9313. Fie (X, Y ) un vector aleator cu densitatea de repartit ief(x, y) =_4xy, 0 < x < 1, 0 < y< 10, n restSe cere sa se determine densitat ile de repartit ie corespunzatoare vari-abilelor aleatoareX2siY2.Solut ie. Facem schimbarile de variabilau = x2, v = y2J =D(x,y)D(u,v)=12u0012v=14uvAtuncif(U,V )(u, v) =_4uv 14uv, 0 < u < 1, 0 < v< 10, n rest=_1, 0 < u < 1, 0 < v< 10, n restfU(u) =_ _10dv, 0 < u < 10, n rest=_1, 0 < u < 10, n restfV (v) =_ _10du, 0 < v< 10, n rest=_1, 0 < v< 10, n rest14. Fie X,Y v. a. independentesi identicrepartizateexponent ial cuparametrul = 1. Calculat i densitatea vectorului (U, V ), undeU==X + Y ,V =XX+Ysideducet icav. a. V erepartizatauniform n(0, 1).Solut ie. Facem shimbarile de variabileu = x +y, v =xx+y=x == uv, y = u uvJ =D(x,y)D(u,v)=v u1 v u= uCumX, Y sunt independentesi identic repartizate exponent ial cuparametrul = 1, densitatea de repartit ie a vectorului (X, Y ) va f(x, y) =_ex ey, x, y 00, n rest94 CAPITOLUL3. VECTORIALEATORIDeci f(U,V )(u, v) =[J[e(uv+uuv)=ueu, u0, 0v1(deoarecex 0 = uv 0, y 0 = u uv 0 = u uv 0; pede alta parte, cumx, y 0 =0 xx+y 1 =0 v 1)fV (v) =_0ueudu = ueu/0+_0eudu = eu/0= e0== 1 =V U(0, 1)15. FieXsiYv. a. independente,Xavand o repartit ie exponent iala dedensitateex(x > 0) siYe repartizata uniform n (0, 2). PunandZ1 = X cos Y, Z2 = X sin Y , sa se arate caZ1 siZ2sunt indepen-dente si au aceeasi densitate_ex2.Solut ie. F(Z1,Z2)(u, v) =12_ _xcos y ) 0, n sau > 0, P([XnX[ < ) 1, n .2) Sirul (Xn)nIN converge aproape sigur catre X (Xna.s.X, candn ), dacaP(_/ limnXn() = X()_) = 1.3) Sirul (Xn)nIN convergen medie de ordinul r catre X (Xnr X,cand n ), daca exista momentele absolute E([Xn[r), n IN si E([X[)si dacaE([XnX[r) 0, candn .4) Sirul (Xn)nIN convergen repartit ie sau slab catre X (XnwX,candn ), dacaFXn(x) FX(x), n , x C(FX), undeFXn, n INsi FXsunt funct ii derepartit iealev. a. Xn, n INsirespectiv X, iar C(FX) =_x/FX(x)este continua nx_reprezinta mult imeade continuitate a luiFX.Relat ii ntretipuriledeconvergent a1)DacaXna.s.X, n , atunciXnPX, n .2)DacaXnPX, n , atunci existaunsubsir(Xnk)kINastfelncatXnka.s.X, k .3)DacaXnrX, n , atunci XnPX, n . Implicat iareciproca nu are loc, deoareceE([XnX[r) s-ar putea sa nu existe.4) DacaXnrX, n , atunciXnrX, n , pentrur< r.5) DacaXnPX, n , atunciXnwX, n .Teorema 4.1.FieX, X1, X2, . . . v. a. discrete cu valori ntregi nenegative.103104 CAPITOLUL4. SIRURIDEVARIABILEALEATOAREDacaGXn(t) GX(t), n , atunciXnwX, n .Teorema4.2. (Helly)DacaXnwX, n , atuncisirul (Xn)n0convergeuniform noriceintervalmarginitcatreX. Reciproc,daca sirul(Xn)n0convergepunctual peIRcatreofunct ie continuanorigine,atunci existaov. a. Xcufunct iacaracteristicaX=, astfel ncatXnwX, n .LegeanumerelormariAmvazutcanuputem sti naintedeefectuareaexperient eicevaloarevaluavariabilaaleatoarepecareostudiem. S-arpareaca, ntrucatde-spreecarevariabilaaleatoaredispunemdeinformat iireduse,cugreuamputeadeterminacomportareamedieiaritmeticeaunuinumarsucientdemare de variabile aleatoare. In realitate, n condit ii put in restrictive mediaaritmetica a unui numar sucient de marede variabile aleatoare si pierdecaracterul ntamplator. Pentru practica este foarte important sa cunoastemcondit iile n care act iunea combinata a mai mult i factori ntamplatori con-duce la un rezultat care sa nu depinda de ntamplare, deci care sa ne permitasaprevedemmersulfenomenuluistudiat. Astfeldecondit iisedau nteo-remele cunoscuten calculul probabilitat ilor sub denumirea comuna de legeanumerelormari. Termenul de lege a numerelor mari a fost folosit pentruprima oara de Poisson, desi, cu aproximativ un secol nainte, Jacob Bernoullia pus n evident a act iunea legii numerelor mari cu referire la repartit ia bino-miala . In 1867, Cebsev precizeaza riguros din punct de vedere matematiclegea numerelor mari n condit ii generale.Fie (, /, P) un spat iu de probabilitate si (Xn)nIN un sir de v. a. realedenite pe acest spat iu.Ne intereseaza cazul n care exista un sir de numere reale (an)nIN astfelncat:1)1nnk=1Xk anP0, n sau2)1nnk=1Xk ana.s.0, n De obicei se considera cazul n carean =1nnk=1E(Xk).In cazul 1) (resp. 2)) se spune ca sirul (Xn)nIN satisface legea slaba anumerelor mari (resp. legea tare a numerelor mari) sau ca (Xn)nINeste slabstabil (resp. tarestabil).Teorema 4.3.(Hincin) Fie (Xn)nINun sir de v. a. independente, iden-ticrepartizate,avandvaloareamediem(m< ). Atuncisirul (Xn)nINverica legea slaba a numerelor mari.4.1. NOT IUNITEORETICE 105Teorema 4.4. (Teorema lui Bernoulli) Sapresupunemcase fac nexperient eindependente, necareexperient aprobabilitateaevenimentuluiAind p, si e numarul de realizari ale evenimentului A, ncele nexperient e. Dacaesteunnumarpozitivarbitrarsucientdemic,atuncilimnP([n p[ < ) = 1.Observat ia 4.1. In cazul unei populat ii de volum mare, daca se efectueazaoselect iedevolumnsi seobt inrezultatefavorabile, atunci cuoprob-abilitate apropiata de unitate, putem arma ca probabilitatea evenimentu-luicercetatestedatadefrecvent arelativa. Prinurmare, daca nstudiulpopulat iilorpentrucarenuputemdeterminaapriori probabilitateadere-alizare a unui eveniment, probabilitatea teoretica p se poate exprima pe caleexperimentala prin frecvent a relativana evenimentului considerat, fapt ceconstituie justicarea teoretica a folosirii frecvent ei n loc de probabilitate.Corolarul4.1. Pentru > 0 avemlimnP([fnp[ < ) 1 pqn2, undefn =n,=de cate ori s-a realizat evenimentul A nn probe independente.Teorema4.5. (Teoremalui Poisson) Fie sirul de evenimenteA1, A2, . . . . . . , An, . . . alecarorprobabilitat idevericareauvalorilesucce-sive p1, p2, . . . , pn, . . .. Daca notam cu fn frecvent a relativa a numarului careindicadecateori s-aurealizatevenimenteleA1, A2, . . . . . . , An, . . .si cupexpresiap =limnp1 +p2 +. . . +pnn, atuncilimnP([fnp1 +p2 +. . . +pnn[ < ) = 1Teorema 4.6.(Cebsev) Fie (Xn)nINun sir de v. a. independente astfelncatE(Xi) = mi, D2(Xi) = 2i, i IN. Daca exista o constantaM< astfel ncat 2iM, i IN, atuncisirul (Xn)nINvericalegeaslabaanumerelor mari.ProblemalimitacentralaTeorema4.7. (TeoremaMoivre-Laplace)Seconsiderav. a. bernoul-lieneX1, X2, . . . , Xn, n IN, adicaXi =_1, cu probabilitateap0, cu probabilitateaq = 1 p1 i nsi v. a. Sn=X1 + X2 + . . . + Xn, n IN. Atuncisirul dev. a. (Yn)nIN, Yn=Snnpnpq, n INconverge nrepartit iecatreov. a.repartizata normal N(0, 1).Teorema 4.8.(TeoremaluiA.M.Leapunov) Fie X1, X2, . . . , Xn v. a.independente. Sa notammk = E(Xk), 2k = D2(Xk),106 CAPITOLUL4. SIRURIDEVARIABILEALEATOARE3k=E([Xk mk[3), 1 kn, 2(n) =nk=12k, 3(n) =nk=13k. Dacalimn(n)(n)=0, atunci (Yn)nconverge nrepartit iecatrev. a. Y , undeYn =nk=1Xk nk=1mk(n)siY N(0, 1).4.2 Problemerezolvate1. FieXo v. a. a carei densitate de repartit ie estef(x) =_xmm!ex, x > 00, n restSa se arate caP(0 < X< 2(m+ 1)) >mm+1.Solut ie. Folosim inegalitatea lui Cebsev:P([X E(X)[ < ) > 1 D2(X)2AvemE(X) =_0xf(x)dx =1m!_0xm+1 exdx =(m+2)m!==(m+1)!m!= m+ 1E(X2) =_0x2 f(x)dx =1m!_0xm+2 exdx =(m+3)m!==(m+2)!m!= (m+ 1)(m+ 2)D2(X) = E(X2) [E(X)]2= m+ 1Luam = m+ 1 =P([X (m+ 1)[ < m+ 1) > 1 m+1(m+1)2==mm+1=P(0 < X< 2(m+ 1)) >mm+12. Se arunca o moneda den ori. Cat de mare trebuie sa en pentru caP_n 12 0, 99, stiind careprezinta numarul de aparit iiale unei fet e alese de mai nainte.Solut ie. Se stie caD2(X) = E((X E(X))2) = E2([X E(X)[)Folosim inegalitatea lui Cebsev si obt inemP_n 12 1 E2([n12[)104E_n 12_= E_n 122_= E_2n2 n +14_=E(2)n2E()n+14==n2p2n2+npqn2npn+14=14n, deoarecep = q =12DeciP_n 12 1 1044nAamn din inegalitatea 1 1044n> 0, 99 =n > 52 1044.2. PROBLEMEREZOLVATE 1073. O variabila aleatoareXareE(X) = 80, E2(X) = 6416. Sa se deter-mine o limita inferioara a probabilitat iiP(40 < X< 120).Solut ie. 40 1000) = 1 P(ni=1Xi 1000) = 1P______ni=1Xin 135_n13534351000n135_n1353435______= 1 _1000n135_n1353435_= 0, 5 ==_1000n135_n1353435_= 0, 5 =1000n135_n1353435= 0 =n = 35000b)P_35000i=1Xi< 0_= _1000_350001353435_ 015. Calitateaunor piese este apreciataprincaracteristica Xcare esterepartizatanormalcumedia10cm siabatereamediepatratica0,15cm. Piesele sunt acceptate numai daca valorile caracteristiciiXsuntcuprinse n intervalul (9,8 cm, 10,2 cm). Firma producatoare are o co-manda de 3000 de piese. Sa se determine numarul de piese care trebuiesa e produse de rma astfel ncat sa se poata onora contractul.Solut ie. Fiennumaruldepiesecaretrebuiesaeprodusedermaastfel ncat contractul sa e onorat,x num arul pieselor contractate sip probabilitatea realizarii evenimentului (9,8 cm< X 00, n restn 1, > 0. Sa se verice aplicabilitatea teoremei lui Cebsev celortrei siruri.Solut ie. Teoremaesteaplicabiladacamediaenita sidispersiaesteegal marginita .E(Xn) = (5n) 13n2 + 0(1 23n2) + 5n 13n2= 0, E(X2n) = (5n)213n2+ 02 (1 23n2) + (5n)213n2=503 , D2(Xn) =503= teorema seaplicaE(Yn) = (n2)n+ 0(1 2n) +n2 n= 0, E(Y2n) == (n2)2 n+02 (12n) +(n2)2 n=2n4n , D2(Yn) =2n4n==limnD2(Yn) = 0 =c (0, ) astfel ncat n 1, D2(Yn) c = teorema se aplicaE(Zn) =_0xnexndx = n, E(Z2n) =_0x2nexndx = 22n==D2(Zn) = 2n=limnD2(Zn) =___0, (0, 1)1, = 1, > 1deci teorema se aplica numai daca (0, 1]18. Fie (Xn)n1 un sir de variabile aleatoare independente ce pot lua val-orile lg n cu probabilitat ileP(Xk =lg k) = P(Xk = lg k) ==12, k = 2, 3, . . . , P(X1= 0) = 1. Sa se arate ca sirul dat se supunelegii numerelor mari n formularea lui Cebsev.Solut ie. Se constata ca E(Xk) = lg k 12 +(lg k) 12= 0, E(X2k) == (lg k)212 + (lg k)212= lg k, D2(Xk) = lg k, k = 2, 3, . . .LuamYn =1nnk=1Xk =E(Yn) =1nnk=1E(Xk) = 0D2(Yn) =1n2nk=1D2(Xk) =1n2nk=1lg kD2(Yn) poate majorata astfel:nk=1lg k 23) = 1 = P([Yn[ > ) nu114 CAPITOLUL4. SIRURIDEVARIABILEALEATOAREtinde la 0, daca 23= (Yn)nnu converge n probabilitate catre021. Daca funct iile de repartit ie corespunzatoare sirului de variabile (Xn)ntind catre o repartit ie limita si daca sirul (Yn)n converge n probabili-tate la 0, atunci sirul (XnYn)n converge n probabilitate catre 0.Solut ie. Fiea IR, a > 0 =_/[Xn()Yn()[ > __/[Xn()[ > a__/[Yn()[ >a_==P(_/[Xn()Yn()[ > _) P(_/[Xn()[ > a_)++P(_/[Yn()[ >a_) P(Xn() < a) + 1 P(Xn() a)++P([Yn()[ >a) Fn(a) + 1 Fn(a) +P([Yn()[ >a)Dacaa e luat astfel ncat a sia sa e puncte de continuitate pentrufunct ia de repartit ie limitaF, atunci din ipoteza obt inemlimsupnP(_/[Xn()Yn()[ > _) F(a) + 1 F(a)Alegema astfel ncat a si a sa e puncte de continuitate pentruFsi, n plus, sa avemF(a) _) Cum e arbitrar =(XnYn)n converge n probabilitate catre 022. Fie (Xn)n un sir de variabile aleatoare Poisson, independente cu E(Xk) ==ksi Yn=1nnk=1Xk. Sasearatecadacaexista limn1nnk=1k=,atunci sirul de variabile aleatoare (Yn)n converge n probabilitate catre.Solut ie. Cum (Xn)n un sir de variabile aleatoare Poisson =k == E(Xk) = D2(Xk)Cum variabilele Xn sunt independente =D2(Yn) =1n2nk=1D2(Xk) ==1n2nk=1k =1n nk=1kn0, candn E(Yn) =1nnk=1E(Xk) =1nnk=1k Folosind inegalitatea lui Cebsev =0 P([Yn[ ) 1. Sasearateca(Xn)nconverge nprobabilitate la 1, cand n , dar (Xn)n nu converge aproape sigurla 1, candn .Solut ie. > 0, P([Xn1[ > ) = P(Xn = n) =1n 0 =XnP1Xna.sX >0, (0, 1)n0astfel ncat n>n0avemP(m>n_[XmX[ < _) > 1 (1)Pentru > 0, (0, 1), N> n obt inemP(m>n_[Xm1[ < _) P(Nm=n+1_[Xm1[ < _) =Nm=n+1P([Xm1[ < ) ==Nm=n+1P(Xm= 1) =Nm=n+1_1 1m_ =nN< 1 cu condit ia saalegemNastfel ncatN>n1= nu existan0astfel ncat sa aibaloc (1) =(Xn)n nu converge aproape sigur la 1, candn 24. Fie > 0 si (Xn)n un sir de v. a. astfel ncatP(Xn = 1) == 1 1n, P(Xn =n) =1n, n> 1. Sa se arate ca (Xn)nconverge nprobabilitate la 1 si (Xn)nconverge n medie de ordinul rla 1,candr < , dar (Xn)n nu converge n medie de ordinulr la 1, candr .Solut ie. P([Xn1[ > ) = P(Xn = n) =1n 0 =XnP1CumE([Xn1[r) = 0 _1 1n_+[n 1[r1n=(n1)rn=E([Xn1[r) ___0, r < 1, r = , r > 25. Fie (Xn)n un sir de v. a. avand repartit ia Xn _n2r0 n2r12n21 1n212n2_.Sa se arate ca (Xn)n converge aproape sigur catre 0.Solut ie. Aj, =_/[Xj()[ _Bn, =j=nAj,116 CAPITOLUL4. SIRURIDEVARIABILEALEATOAREBcn, =_j=nAcj,P(Bcn,) = P(_j=nAcj,) j=nP(Acj,) =j=nP([Xj()[ > )Din denit ia sirului (Xn)n = pentru n 1, < 1 avem P([Xj()[ >) = P(Xj() = j2r)+P(Xj() = j2r) =1j=P(Bn,) j=n1j2 0 (candn )limnP(Bn,) =limnP(j=n_/[Xj()[ _) = 126. Fie (Xn)n un sir de v. a. pozitive cu densitat ile de repartit ie date defn(x) =_xn1ex(n1)!, x > 00, x 0Sasearateca sirul_XnE(Xn)D2(Xn)_nurmeazalalimitaolegenormalaN(0, 1).Solut ie. E(Xn) =1(n1)!_0xnexdx =(n+1)(n1)!= nE(X2n) =1(n1)!_0xn+1exdx =(n+2)(n1)!= n(n + 1)D2(Xn) = n(n + 1) n2= nSirulYn =XnE(Xn)D2(Xn)devineYn =Xnnn=1nXnnDaca notam n(t) funct ia caracteristica a v. a. Yn si reusim sa aratamca limnn(t) = et22 , demonstrat ia s-a ncheiat, deoarece folosim teo-rema ce leaga ntre ele sirurile de funct ii de repartit ie si cele caracter-istice corespunzatoare unui sir de v. a.Folosind denit ia funct iei caracteristice avemn(t) =_0eit_xnn_fn(x)dx = eitn1(n1)!_0xn1e_1itn_xdx == eitn_1 itn_n(cu ajutorul funct iei )ln n(t) = itn nln_1 itn_= itn +n _itn t22n +o(n)_== t22+o(n) , dacatn < 14.2. PROBLEMEREZOLVATE 117Cumlimnln n(t) = t22=limnn(t) = et22==limnP_Xn() E(Xn)_D2(Xn)< x_=12_xet22 dt27. Sestiecadaca(Xn)nINesteunsir dev. a. convergent nme-diepatratica, atunci limnE(Xn)=E(X)si limnE(X2n)=E(X2),undeX= limnXn. Sasearatecadacase nlocuiestecondit iadeconvergent an medie patratica cu convergent an probabilitate, armat ianu mai este adevarata .Solut ie. Fie(Xn)nIN unsirdev. a. carepotluavalorile (n +4), 1, n+4 cu probabilitat ile P(Xn = n4) =1n+4, P(Xn = 1) == 1 4n+4, P(Xn = n + 4) =3n+4Avem limnP([Xn + 1[ >) =0, ceeacearatacasirul (Xn)nINconverge n probabilitate catre -1.PedealtaparteE(Xn)=1 +4n+4, deci limnE(Xn)=1, deunderezulta concluzia ca limnE(Xn) = 1 ,= 1 = E( limnXn).28. Sasearatecaexistasiruri dev. a. careconvergatat nmediedeordinulr cat si aproape sigur.Solut ie. Fie sirul de v. a. (Xn)nIN, undeXn _1n1n1212_ DeoareceE([Xn[r)=1nrrezultaca limnE([Xn[r)=0, ceeacearatacasirul(Xn)nINconverge n medie de ordinulr.FieTj, =_/[Xj()[ _Din felul cum am denit sirul (Xn)nINrezulta ca pentru oricej< kavem [Xj[ > [Xk[.Deci _/[Xj()[ __/[Xk()[ _=T1, T2, . . . Tn, Tn+1, . . .In acest cazSn, =j=nTj, = Tn,Fie> 0 dat. Dacan>1din denit ia sirului si din relat iile gasiteavem P(Sn,) = P(Tn,) = P(_/[Xn()[ _) = 1, ceea ce nseamnaca (Xn)nINconverge aproape sigur catre 0.29. Sa se arate ca poate exista un sir de v. a. convergent n medie patraticasi care sa nu e convergent aproape sigur.118 CAPITOLUL4. SIRURIDEVARIABILEALEATOARESolut ie. Fie(Yn)nIN unsir dev. a. independentecareiaudoarvalorile -1,0,1 cu probabilitat ileP(Yn = 1) = P(Yn = 1) =124n,P(Yn = 0) = 1 14n, n = 1, 2, . . .Pentrun 2 denim evenimentul Enca ind evenimentul ce constan faptul ca tot iYi = 0 cun n i < n.Probabilitateaacestui evenimenteste, datoritaindependent ei v. a.(Yn)nIN:P(En) =nni 1 , rezultat n contradict ie cuP(Ecm) P(Sm,) > 1 30. Convergent aaproapesiguranuimplicaconvergent a nmediedeor-dinulr.Solut ie. Fie (Xn)nINun sir de v. a. cu repartit iileXn _n2r0 n2r12n21 1n212n2_,r > 0, n INFieTj, =_/[Xj()[ _, S =j=nTj, siScn, =_j=nTcj,AtunciP(Scn,) = P(_j=nTcj,) j=nP(Tcj,)) ==j=nP(_/[Xj()[ > _)Dindenit ia siruluidev. a. (Xn)nIN urmeazacapentrun 1 si< 1 avemP(_/[Xj()[ > _) = P(_/Xj() = j2r_)++P(_/Xj() = j2r_) =1j2, asa caP(Sn,) j=n1j2Deci limnP(Sn,) =limnP(j=n_/[Xj()[ _) = 1, adica (Xn)nINconverge aproape sigur catre 0.Pe de alta parte, E([Xn[r) =P([Xn[r,= 0) + P([Xn[r= 0) = 1, decisirul (Xn)nINnu converge n medie de ordinulr catre 0.31. Sa se arate ca daca un sir de v. a. converge n probabilitate, nu rezultaca sirul dat converge aproape sigur.Solut ie. Consideram campul de probabilitate (, K, P), unde == [0, 1), K = B[0,1), Pmasura Lebesgue pe dreapta .Pentru ecare numar naturalm vom considera sirul de v. a.X(m)1, X(m)2, . . . , X(m)mdenite astfel:X(m)j() =_1, daca _j1m,jm_0, n rest120 CAPITOLUL4. SIRURIDEVARIABILEALEATOAREPunemX(1)1()=1, [0, 1)si consideramurmatorulsirdev. a.X(1)1, X(2)1, X(2)2, X(3)1, X(3)2, X(3)3, . . . , X(n)1, X(n)2, . . . , X(n)n, . . ..Oricare ar > 0 avemP(_/[X(n)k()[ _) = P(_/ _k1n,kn_ _) =1n.Dacan>N(, ) atunci P(_/[X(n)k()[ _) 0 si > 0n > N(, ) astfel ncat P([Xn[ > ) =12n2 1F(x) = P(_/X() < x_) =___0, dacax 012, daca 0 < x 11, dacax > 1deciFn(x) = F(x), x IR, n = 1, 2, . . . =limnFn(x) = F(x) ceea cedovedeste ca sirul (Xn)nINconverge n repartit ie catreX.34. Sestiecafunct iacaracteristicaestecontinuapentruorice tIR,precum si teorema lui Helly. Sa se arate ca este esent ial ca limita (t)sa e continua nt = 0.Solut ie. FieFn(x) =___0, dacax nx+n2n, daca n < x < n1, dacax 1Densitatea de repartit ie corespunzatoare estefn(x) =_12n, daca n < x < n0, n restSirul funct iilor caracteristice este dat den(t) =12n_nn eitxdx =sin ntntlimnn(t) = (t) =_1, dacat = 00, n restSe vede ca funct ia limita nu este continua nt = 0.Corespunzator acestui fapt avem pentru oricex xat limnFn(x) =12,adica limita sirului (Fn(x))nINnu este o funct ie de repartit ie.35. Sa se arate ca sirul funct iilor de repartit ie (Fn(x))nINcorespunzatorsirului de funct ii caracteristice (n)nINdate prin relat iilen(t) == eint, n IN nu converge catre o funct ie de repartit ie.Solut ie. Se observa ca sirul (n)nINnu converge n afara det == 2k. Neind ndeplinite condit iile din teorema lui Helly, rezulta caFn(x))nINnu converge catre o funct ie de repartit ie.122 CAPITOLUL4. SIRURIDEVARIABILEALEATOAREAcest lucruseobservasi direct, si anume n(t) =eintreprezintafunct iacaracteristicaav. a. Xncumasaconcentrata npunctuln.DeciFn(x) = P(_/Xn() x_) = (x n) ==_0, dacax < n1, n restSub aceasta forma se vede ca limnFn(x) = 0 pentru oricex xat.4.3 Problemepropuse1. Aplicandinegalitatealui Cebsev, sasegaseascalimitainferioaraaprobabilitat ii inegalitat ii 105 16 0, 0 < 0 astfel ncat matricea Pnsa aibatoate elementele strict pozitive, atunci lant ul este ergodic.Gasirearepartit ieistat ionare FiePmatricea de trecere a unui lant Markov ergodic, atunci distribut ia limita este unicul vector de probabilitate satisfacand ecuat ia vectorialaP= .Observat ia5.1. Dacaesterepartit iastat ionaraaunui lant Markovergodic, atunci sirul distribut iilorp(n) la momentuln satisface relat ialimnp(n) = II.ProcesestochasticecutimpcontinuudeordinulaldoileaFie(X(t))t0ofamiliedev. a. . Pentruoricenmomentedetimpt1) 0 sau bilaterala H1 : ,= 0;b) Alegerea unei statisticif= f(x1, . . . , xn) astfel ncat, n ipotezaH0,repartit ia luifsa e cunoscuta ;c)Infunct iedeipotezaalternativaH1sideniveluldesemnicat ie,xarea unei regiuni critice de formaRcr =_f/f< c_, Rcr =_f/f> c1_n cazul unui test unilateral, sauRcr =_f/f< c2_ Rcr =_f/f> c12_ncazul unui test bilateral. Cu c, c1, c2, c12s-aunotat cuantilelerepartit iei luif n ipotezaH0; deci, n aceasta ipoteza , probabilitatea uneierori de prima spet a esteP(f Rcr) = .d) Se calculeaza valoarea f(x1, . . . , xn) luata de statistica f pe elementeleunei anumite select ii empiricex1, . . . , xne) Se respinge ipotezaH0 daca si numai dacaf(x1, . . . , xn) Rcr1. Vericareaipotezei asupramediei maunei populat ii nor-malecu2cunoscut1.1. Testul bilateralH0 : m = m0H1 : m = m1 ,= m0Regiunea critica esteRcr : [xm0n[ > z126.2. PROBLEMEREZOLVATE 1451.2. Testul unilateral stangaH0 : m = m0H1 : m = m1< m0Regiunea critica esteRcr :xm0n z1.3. Testul unilateral dreaptaH0 : m = m0H1 : m = m1> m0Regiunea critica esteRcr :xm0n z12. Vericareaipotezei asupramediei maunei populat ii nor-malecu2necunoscut2.1. Testul bilateralH0 : m = m0H1 : m = m1 ,= m0Regiunea critica esteRcr : [xm0sn[ > t12(n 1)2.2. Testul unilateral stangaH0 : m = m0H1 : m = m1< m0Regiunea critica esteRcr :xm0sn t(n 1)2.3. Testul unilateral dreaptaH0 : m = m0H1 : m = m1> m0Regiunea critica esteRcr :xm0sn t1(n 1)3. Vericarea ipotezei asupra dispersiei unei populat ii normaleFie ipotezaH0 : 2= 20si alternativa eiH1 : 2= 213.1. Testul unilateral stangaH0 : 2= 20H1 : 2= 21< 20Regiunea critica esteRcr :(n1)s220< 2(n 1)3.2. Testul unilateral dreaptaH0 : 2= 20H1 : 2= 21> 20Regiunea critica esteRcr :(n1)s220> 21(n 1)3.3. Testul bilateralH0 : 2= 20H1 : 2= 21 ,= 20Regiunea critica esteRcr :(n1)s220< 22(n 1) (n1)s220> 212(n 1)6.2 Problemerezolvate1. Cercetandu-se numarul de accidente dintr-o unitate economica au fostobt inuteurmatoareledate nurmaefectuarii unei select ii devolum146 CAPITOLUL6. METODESTATISTICEn = 1000 muncitori.Nr. accidente 0 1 2 3 4Nr. muncitori afectat i 500 200 150 80 70Stabilit i:a) media si dispersia de select ie;b)funct iaempiricaderepartit iesi valorileei npunctelex=4six = 6.Solut ie. a)x =11000(0500 + 1200 + 2150 + 380 + 470) = 1, 02S2=11000[500(0 1, 02)2+200(1 1, 02)2+150(2 1, 02)2+80(3 1, 02)2+ 70(4 1, 02)2] = 1, 589b) X _0 1 2 3 4500100020010001501000801000701000_=_0 1 2 3 40, 5 0, 2 0, 15 0, 08 0, 07_F(x) =___0, x 00, 2, 0 < x 10, 7, 1 < x 20, 85, 2 < x 30, 93, 3 < x 41, x > 4F(4) = 0, 93, F(6) = 12. Durata de execut ie a unei lucrari ntr-o banda de montaj este repar-tizatanormal cumediamsi abaterea=4minute. S-acronome-trat durata de efectuare a operat iei la un numar den = 9 muncitori.Determinat i probabilitatea ca media duratei determinate pe baza celornobservat iisanudiferedem nvaloareabsolutacumaimultde3minute la un muncitor. ((2, 25) = 0, 9878)Solut ie. P([X m[ < 3) = P(3 < X m < 3) == P(3n 0, x > 0.Solut ie. Folosim teorema 6.8: I() = E(2lnf(x,)2) == E(22(ln x)) = E((1 +x2)) = E(12 2x3) == +2E(x)3=3=12D2(X) =1n22n =2n=1n12=1nI(), deoareceD2(Xk) = 2= Xeste estimator ecient9. Se considera caracteristica X din populat ia C, avand funct ia de repartit ieteoreticaF(x, ) = 1 _1 +x_ ex, x > 0, > 0. Se cer:a) sa se determine legea de repartit ief(x) a variabileiX, funct ia car-acteristicaX(t) si momentul de ordinulr,E(Xr);b) prinmetodaverosimilitat ii maximesaseestimezeparametrul allegii f(x, )pebazauneiselect iialeatoarex1, . . . , xndevolumn,extrasa din populat iaC;6.2. PROBLEMEREZOLVATE 149c) eestimatorul gasit la punctul b). Sa se arate caeste nede-plasat, consistent si ecient.Solut ie. a)f(x, ) =F(x,)x=1ex 1ex+x2ex=x2exX(t) =_0eitxx2exdx = (1 it)2E(Xr) =12_0xrxexdx =r+22yr+1eydy = r(r + 2) == r(r + 1)!b)L(x1, . . . , xn; ) =x1...xn2ne1ni=1xi=lnL = 2nln +ni=1lnxi1ni=1xi = lnL= 2n+ni=1xi2= 0 = =12nni=1xic)E() =12nni=1E(Xi) =12nn2 = (deoareceE(X) = 2 facandr=1 nformuladedusalapunctul a)pentrumomentul deordinulr)= e nedeplasatD2() = D2_12nni=1xi_=14n2ni=1D2(Xi) =14n2n22=22n 01 P([[ < ) 1 D2()2=_1 22n2_1, n , deci este consistentPentru ecient a trebuie aratat ca D2() =1nI(), unde I() = E_ lnf(x,)_2Avem lnf(x, ) = ln x 2 ln x= lnf(x,)= 2 +x2==E_ ln f(x,)_2= E_x22_2=14E(X 2)2=14D2(X) =224==22=1nI()=1n22=22n= D2(), deci este ecient10. Saseestimezeprinmetodaverosimilitat ii maximeparametrul alrepartit iilor:a)f(x, ) = (1 )x, x = 0, 1, 2 . . . , 0 < < 1b)f(x, ) = (1 +)x, 0 < x < 1, > 0c)f(x, ) =x0x+1, x > x0(x0 constanta data ), > 0d)f(x, ) =xex22, x > 0, > 0e)f(x, ) =x1ex(), x > 0, > 0, datf)f(x, ) = ex, x 0, > 0150 CAPITOLUL6. METODESTATISTICESolut ie. a)L(x1, x2, . . . xn; ) =ni=1f(xi, ) = n(1 )ni=1xi==ln L = nln +ni=1xi ln(1 ) = lnL=n ni=1xi1 = 0 == =nn+ni=1xi=11+xb)L(x1, x2, . . . xn; ) = (1 +)n(x1x2. . . xn)=ln L = nln(1 +)++ ln(x1x2. . . xn) = ln L=n1++lnni=1xi = 0 = = nni=1lnxi1c)L(x1, x2, . . . xn; ) = nxn0(x1x2. . . xn)(1+)=ln L = nln++n ln x0(1 +) lnni=1xi = ln L=n +nlnx0lnni=1xi = 0 == = nlnx0ni=1xid)L(x1, x2, . . . xn; ) =x1x2...xnn e12ni=1x2i=ln L = lnni=1xinln 12ni=1x2i= lnL= n +122ni=1x2i= 0 = =12nni=1x2ie) L(x1, x2, . . . xn; ) =(x1x2...xn)1[()]nne1ni=1xi=lnL = (1) lnni=1xinln () nln 1ni=1xi = ln L= n+12ni=1xi = 0 == =1nni=1xi =xf)L(x1, x2, . . . xn; ) = neni=1xi=lnL = nln ni=1xi =6.2. PROBLEMEREZOLVATE 151= ln L=n ni=1xi = 0 = =nni=1xi=1x11. Intr-o fabrica de t esut s-a constatat ca rezistent a la rupere a unui anu-mit r de bumbac are o repartit ie normala cu media necunoscuta m siabaterea medie patratica = 36g (calitatea standard). Pentru a cerc-eta calitatea unui lot de re de bumbac n ceea ce priveste rezistent a larupere s-a facut o select ie de volumn = 9 re, obt inandu-se media deselect ie X = 195 g. Sa estimeze rezistent a la rupere m a lotului de recontrolat, printr-un interval de ncredere 1 = 0, 95. (z0,975 = 1, 96)Solut ie. e cunoscut, decim _195 1, 96 369, 195 + 1, 96 369_== (171, 48; 218, 52)12. Rectorul Universitat ii Politehnice Bucuresti vrea sa stie care este me-dia varstei student ilor. Din anii trecut i se cunoaste ca abaterea stan-dard este de 2 ani. Un sondaj asupra a 50 de student i arata ca mediaeste de 23,2 ani. Cu un nivel de semnicat ie de 0,05, sa se determineun interval de ncredere pentru medie. Se presupune ca populat ia arecaracteristica normala .Solut ie. Se stiuX = 23, 2, = 2, n = 50, = 0, 05m (23, 2 1, 96 250, 23, 2 + 1, 96 250) = (22, 65; 23, 75)13. Pentru a testa viteza cu care este absorbit pe piat a un roman de Octa-vian Paler, o editura particulara pune n vanzare, prin 9 librarii, loturiidentice. Cantitat ile se epuizeaza dupa un numar de zile valabil dupacum urmeaza :Magazinei 1 2 3 4 5 6 7 8 9Nr. de zilexi51 54 49 50 50 48 49 50 49a) Sa se estimeze printr-un interval de ncredere 950/0 viteza medie cucare este absorbit pe piat a romanul (nr. mediu de zilem)b) Sa se determine un interval de ncredere 900/0pentru dispersia2a numarului de zileX n care se epuizeaza romanul. (t0,975(8) == 2, 33, 20,95(8) = 15, 5, 20,05(8) = 2, 73)Solut ie. a) sim sunt necunoscut i, decim _x _s2n t12(n 1), x +_s2n t12(n 1)_X =19(51 + 54 +. . . + 49) = 50152 CAPITOLUL6. METODESTATISTICEs2=18[(51 50)2+ (54 50)2+ (49 50)2+. . . + (49 50)2] = 3m _50 2, 33 _39, 50 + 2, 33 _39_= (48, 674; 51, 236)b)2_n1212(n1)s2,n122(n1)s2_=_815,53,82,733_== (1, 548; 8, 791)14. FieXv. a. normala care reprezinta grosimea unor placi metalice. Oselect ie de volum n = 5 a dat rezultatele X1 = 2, 015, X2 = 2, 02, X3 ==2, 025, X4=2, 02, X5=2, 015. Seceresaseestimezegrosimeamedieaplacilordemetal printr-uninterval de ncredere950/0. Saseaevolumulminimnalselect ieiastfel ncateroarea nestimareamedie la nivelul de ncredere specicat mai sus sa nu depaseasca 0,003.(t0,975(4) = 2, 776))Solut ie. X =15ni=1Xi = 2, 019,s =_14[(2, 015 2, 019)2+. . . + (2, 02 2, 019)2+ +(2, 015 2, 019)2] == 0, 0042Deci m (2, 0192, 7760,00425, 2, 019+2, 7760,00425) = (2, 0142; 2, 0238)Pentru aarea volumului minimn avem = 2, 776 0,0042n=n 0,000018(0,003)2(2, 776)2 615. FieXo v. a. avand o repartit ie Poissonf(x, ) = exx!,x = 0, 1, 2 . . . , > 0a) Sa se estimeze parametrul al repartit iei si sa se arate ca estimatoruleste ecient.b)Folosindoselect iedevolummare,sasedetermineunintervaldencredere 1 pentru.c) Intr-un cartier al capitalei cu 10 telefoane publice s-a efectuat zilnicndecursul unei anumiteperioade,nregistrareanumarului detele-foane care nu funct ioneaza . In total suntn = 200 nregistrari si s-auobt inut rezultatele :xi0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10ni41 62 45 22 16 8 4 2 0 0 0Seceresaseestimezenumarulmediudetelefoanedefecte,stiindcanumarul de telefoane defecte este o variabila Poisson si sa se determineun interval de ncredere 950/0 pentru numarul mediu de telefoane.6.2. PROBLEMEREZOLVATE 153Solut ie. a) L(x1, . . . , xn; ) = enni=1xix1!...xn!=ln L = n+ni=1xi ln ln(x1! . . . xn!) = ln L= n +ni=1xi= 0 = =1nni=1xi = Xlnf(x, ) = +xln ln x! = ln f(x,)= 1 +x=2ln f(x,)2== x2=I() = E_2ln f(x,)2_= E_x2_=2=1==1nI()=nPe de alta parteD2() = D2(X) = D2_1nni=1Xi_=1n2ni=1D2(Xi) ==1n2n =n= este ecientb) Pentrunmarevariabila_nN(0, 1). Rezultaintervalul dencredere pentru: z12_n< < +z12_n(*)c) Numarul mediu de telefoane care nu funct ioneaza calculat pe bazacelor 200 observat ii este dat de = X =1nni=1nixi =1200(041 + 162 +. . . + 100) = 1, 8Repartit ia complet specicata a variabileiXse scrief(x) = e1,8(1,8)xx!, x = 0, 1, 2 . . .Pentru 1 = 0, 95, z12= 1, 96, n = 200, = 1, 8 gasim intervalulpentru dat de (*): 1, 8 1, 960, 09 < < 1, 8 + 1, 960, 09 ==1, 62 < < 1, 9816. Unlotnumeros(devolumN>5000)decaseteaudio nregistrateestesupuscontrolului, pentrudeterminareaprocentului pdecasetenecorespunzatoaredinlot(p=probabilitateacaocasetaextrasalantamplaredinlotsaenecorespunzatoare). S-aucontrolatprintr-oselect ie cuntoarcere ncasete printre care s-augasit Xnecore-spunzatoare. Se cere:a) sa se estimeze proport ia p de casete necorespunzatoare din lot, con-siderand ca numarul de casete necorespunzatoare din celen urmeazao repartit ie binomiala ;b)Sasearatecaestimatorul gasitestenedeplasat, consistent si e-cient;c) sa se determine un interval de ncredere 1 pentru proport iap acasetelor necorespunzatoare din lot.154 CAPITOLUL6. METODESTATISTICESolut ie. NotandcuXiv. a. ceexprimanumarul decasetedefecteceaparlaextragereaderangiavemXi _1 0p q_, i =1, n, undepesteprobabilitateacaocasetasaenecorespunzatoare, iarqesteprobabilitatea ca o caseta sa e corespunzatoareRepartit ia v. a. Xi se mai scrief(x, p) = pxi(1 p)1xi, xi = 0, 1, i == 1, nFunct ia de verosimilitate este L(x1, . . . , xn; p) = pni=1xi(1p)nni=1xi==ln L =ni=1xi lnp + (n ni=1xi) ln(1 p) = ln Lp=ni=1xipnni=1xi1p=p=1nni=1xi=kn=fn, adicafrecvent arelativaaaparit iilor casetei necorespunzatoare n celen probe (keste numarulde casete necorespunzatoare din celen controlate)b)Deoarecekesteov. a. binomialaluandvalorile0, 1, . . . navemE(p) = E_kn_=1nE(k) =npn= p, decip este nedeplasatD2(p) =D2_kn_ =1n2D2(k) =np(1p)n2=p(1p)nsi cf. inegalitat ii luiCebsevP([p p[ m0Calculamzc =Xmn=2200002000005000010= 4z1 = z0,95 = 1, 64 = zc = 4 > z0,95 = 1, 64, deci acceptam ipotezaconform careia noua metoda duce la cresterea durabilitat ii motoarelor20. S-astabilitcagreutateatabletelordintr-unmedicamentcuact iunetoxica puternica trebuie sa em0 = 0, 5 mg. O cercetare selectiva den = 121 tablete a dat o greutate medie observata a tabletelor egala cuX = 0, 53 mg. Se cere sa se verice la pragul de semnicat ie = 0, 01ipotezaH0: m=m0=0, 5fat adeH1: m ,=0, 5. Oobservareatenta (prin cantariri numeroase) a tabletelor a condus la concluzia cavariabilagreutateatabletelorareorepartit ienormalacu=0, 11mg. (z0,995 = 2, 58)156 CAPITOLUL6. METODESTATISTICESolut ie. Aplicam testul bilateral si obt inem zc =Xm0n=0,530,50,1111= 3z12= z0,995 = 2, 58 =zc = 3 > z0,995 = 2, 58, deci respingemH0Greutatea medie a tabletelor difera semnicativ de greutatea admisadeci administrareaacestui medicamentbolnavilortrebuieinterzisa.21. Ofabricadeacumulatori armacaduratadefunct ionareaacumu-latoriloreste300dezile. Unlaboratorcerceteaza4acumulatori siobt inerezultatele298,290,306,302. Acesterezultateindicafaptul caacest tip de acumulatori are o durata de funct ionare mai mica decatarma fabrica ( = 0, 02,t0,02(3) = 4, 541)?Solut ie. Vericam ipotezaH1 : m < 300AvemX =14(298+290+306+302) = 299 si s2=13[(298299)2+(290299)2+ (306 299)2+ (302 299)2] =1403=s =_1403= 6, 83tc =2993006,832=13,41= 0, 29tc = 0, 29 < t0,02(3) = 4, 541, deci se accepta ipotezaH122. Douazeci de determinari a procentului de NaCl ntr-o anumita solut ieaucondusX=0, 70/0si s=0, 030/0. StiindcaprocentuldeNaClntr-oanumitasolut ieesteov. a. normala, sasevericelapragulde semnicat ie = 0, 05 ipotezaH0 : m = 0, 80/0fat a de alternativaH1 : m < 0, 80/0. (t0,95(19) = 1, 729)Solut ie. tc =Xmsn=0,70,80,0320= 15t(19) = t0,05(19) = t0,95(19) = 1, 729 =tc = 15 < t0,05(19) == 1, 729 =respingem ipotezaH0 si acceptamH123. Pentru efectuarea unei anumite piese, norma tehnica prevede o duratamedie de 40 minute. Pentru vericarea executarii piesei respective ncondit ii optime, se cronometreaza durata de fabricat ie la un numar den = 16 muncitori gasindu-se astfel o durata medie deX = 45 minutesi oabateremediepatraticaS =3, 5minute. Putemlaunpragde semnicat ie = 0, 01 sa respingem ipoteza conform careia duratamedie reala de execut ie a unei piese este mai mare decat norma tehnica(t0,99(15) = 2, 6)Solut ie. s2=nn1S2=161512, 25 = 13, 06 =s = 3, 61AvemH0 : m = 406.2. PROBLEMEREZOLVATE 157H1 : m > 40tc =Xmsn=45403,614= 5, 54t1(n 1)=t0,99(15)=2, 6 200 la un prag de semnicat ie = 0, 05. (t0,95(40) == 1, 684)Solut ie. Aplicam testult unilateral dreapta : tc =Xmsn=21320048,441== 11, 97t0,95(40) = 1, 684 < tc = 11, 97, deci respingem ipotezaH025. Precizia unui cantar electronic se verica cu ajutorul dispersiei masuratorilorefectuateasupraunui etalon. Dispersiamasuratorilornutrebuiesadepaseascavaloareanominala 20=0, 04. S-auefectuat n =11cantariri ale unui etalon si s-au obt inut rezultatele :i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11xi100,6 99,6 100 100,1 100,3 100 99,9 100,2 100,4 100,6 100,5Saseverice, launpragdesemnicat ie =0, 05, dacacantarulasigura precizia standard stabilita , presupunand ca datele de select iesunt observat ii asupra unei v. a. normale. (20,95(10) = 18, 3)Solut ie. AvemdetestatipotezaH0: 2=0, 04cualternativaH1:2> 0, 04 (cantarul nu asigura precizia ceruta ). Ipoteza alternativaH2 : 2< 0, 04 nu prezinta interes, deoarece nu ne temem ca preciziacantarului ar mai mare decat cea impusa de standarde.Avemx =111(100, 6 + 99, 6 +. . . + 100, 5) = 100, 2,s2=110[(100, 2 100, 6)2+ (100, 2 99, 6)2+. . . + (100, 2 100, 5)2]2c=(n1)s22=25>20,95(10)=18, 3, deci respingemipotezaH0,cantarul nu asigura precizia ceruta , prin urmare trebuie reglat.26. Pentru analiza preciziei unor masuratori s-au facutn = 16 masurtorisi s-astabilit s2=0, 56. Vericat i ipotezaH0: 2=0, 41fat adealternativa H1 : 2,= 0, 41 la pragul de semnicat ie = 0, 1, stiind capopulat ia n studiu este normala . (20,95(15) = 25, 20,05(15) = 7, 28)158 CAPITOLUL6. METODESTATISTICESolut ie. 2c =(n1)s22=150,560,41= 20, 49Rezulta20,05(15) 39, 4 =20,975(24)respingemH0,adica strungul nu asigura precizia necesara si trebuie reglat6.3 Problemepropuse1. Repartit ia valorilor defect iunilor unor aparate de masura si control afost analizata pe baza a 100 de observat ii care au furnizat urmatoarelevalori cu privire la numarul de porniri (puneri n funct iune) dupa careacestea se defecteaza :xi1 3 6 8 10ni15 20 30 10 25Stabilit i:a) media si dispersia de select ie;b)funct iaderepartit ieaselect ieisi valorileei npunctelex=2six = 7.R: a)x = 5, 85; S2= 9, 9256.3. PROBLEMEPROPUSE 159b)F(x) =___0, x 10, 15, 1 < x 30, 35, 3 < x 60, 65, 6 < x 80, 75, 8 < x 101, x > 10F(2) = 0, 15, F(7) = 0, 652. Pentruacercetaprezent astudent ilorlaunanumitcurss-aalesunesantiondenstudent i sis-a nregistratnumarulabsent eloracestorala patru cursuri consecutive.Nr. student ini50 20 15 8 7Nr. absent exi0 1 2 3 4a) Sa se scrie repartit ia empirica si funct ia de repartit ie empirica Fn(x);b) Sa se calculeze media si dispersia de select ie;c) Sa se calculezeF100(3)R: a)X _0 1 2 3 40, 5 0, 2 0, 15 0, 08 0, 07_F(x) =___0, x 00, 2, 0 < x 10, 7, 1 < x 20, 85, 2 < x 30, 93, 3 < x 41, x > 4b)x = 1, 02, S2= 1, 5996c)F100(3) = 0, 853. Se controleaza greutatea unor pachete si, pentru aceasta, se extrage oselect ie de volumn, care da urmatoarele valori:Pachetul 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Greutatea 21,5 21,6 21,75 22 22,45 22,6 23,2 23,4 23,5 23.65Sa se calculeze F10(20), F10(22), F10(23). Sa se scrie repartit ia empiricasi sa se calculeze media de select ie.160 CAPITOLUL6. METODESTATISTICER: X _21, 5 21, 6 21, 75 22 22, 45 22, 6 23, 2 23, 4 23, 5 23.65110110110110110110110110110110_F10(x) =___0, x 21, 50, 1, 21, 5 < x 21, 60, 2, 21, 6 < x 21, 750, 3, 21, 75 < x 220, 4, 22 < x 22, 450, 5, 22, 45 < x 22, 60, 6, 22, 6 < x 23, 20, 7, 23, 2 < x 23, 40, 8, 23, 4 < x 23, 50, 9, 23, 5 < x 23, 651, x > 23, 65F10(20) = 0, F10(22) = 0, 3, F10(23) = 0, 6x = 22, 5654. Repartit iavalorilor rezistent ei larupereaunor redebumbac(nkg)afostanalizatapebazaa100deobservat ii. Valorileobservatempreunacufrecvent elelor absolutesunt date ntabelul urmator:xi (valorile rezistent eila rupere n kg) 0,5 0,65 0,75 0,8 0,9 1 1,12 1,35ni (frecvent e absolute) 2 4 5 26 30 25 6 2Se cer:a) Valoarea medie si dispersia de select ie a rezistent ei la rupere;b)F(0, 78), F(0, 9), undeF(x) este funct ia empirica de repartit ieR: a)X = 0, 8957,S2 0, 0189b)F(0, 78) = 0, 11, F(0, 9) = 0, 375. Dintr-opopulat ienormalacumediam=12, probabilitateacame-diadeselect iecorespunzatoareunei select ii devolumn=16sanudepaseasca14estede0,24. Careesteprobabilitateacaosinguraobservat iedinaceastaselect iesaaibaovaloaremaimaredecat14?((0, 71) = 0, 76,(0, 1776) = 0, 9616)R:P(Xk> 14) = 0, 03846. Dintr-o populat ie normala se extrag toate select iile posibile de volumn = 25. Daca 50/0 dintre ele au medii care difera de media poulat iei cucel put in 5 unitat i n valoare absoluta , aat i abaterea medie patraticaa populat iei.R: StimP([X m[ 5) = 0, 05 = = 12, 766.3. PROBLEMEPROPUSE 1617. Dintr-o populat ie normala cu mediam1 = 60 si21= 40 se extrage oselect ie de volumn1 = 80 si dintr-o alta populat ie normala cu mediam2 = 80 si dispersia 22 = 100 se extrage o select ie de volum n2 = 100.Determinat i probabilitatea ca diferent a mediilor n valoare absoluta sae mai mare decat 8.R:P([X1X2[ > 8) 18. Aratat i ca media de select ie este un estimator ecient pentru parametrul al repartit iei Poisson.9. Aratat icamediadeselect ieesteunestimatorecientpentrumediam a repartit iei normale.10. Se constatacasosirile cumparatorilorntr-unraionde confect ii sesupun legii Poisson. Intr-o zi,se alege un interval de timp de 10 oresi n ecare ora se numara cumparatorii venit i la acest raion. Se obt invalorileX1 = 55, X2 = 60, X3 = 80, X4 = 75, X5 = 60, X6 = 83, X7 == 42, X8 = 70, X9 = 70, X10 = 46.a)Saseestimezeparametrul dinrepartit iaPoissonprinmetodaverosimilitat ii maxime;b) Sa se analizeze estimarea facuta .R: a) = Xb) e absolut corect, consistent, ecient11. Saseestimezeprinmetodaverosimilitat ii maximeparametrul alrepartit iilor:a)f(x, ) = (2 )x(ln2)1ln12, 1 < < 2b)f(x, ) =1x211,12< < 1c)f(x, ) =12e12(x)2, 0 < x < 1, > 0R: a) = 1 +1ln2 1nni=1ln xib) =_1 1nni=1ln xi_1c) =12__1 +_1 + 4ni=1x2in__12. FieXov. a. cudensitateaf(x, )=Ax+1, x 1, >0 sisacon-sideram o select ie aleatoare X1, . . . , Xn din populat ia de caracteristicaX.162 CAPITOLUL6. METODESTATISTICEa) Sa se determineAn funct ie de;b)Saseaeestimatoruldeverosimilitatealparametrului sisasestudieze proprietat ile acestuia.R: a)A =1b) =1nnk=1ln Xk este nedeplasat, consistent, ecient13. FieXv. a. normala care reprezinta greutatea unor oua . O select iede volumn = 200 a dat rezultatele urmatoare :Greutatea (g) 37,5 42,5 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5 72,5Nr. observat iilor 8 14 26 44 68 20 14 6Stiind ca dispersia luiXeste2= 64, aat i un interval de ncredere950/0 si 900/0 pentru mediam. (z0,975 = 1, 96, z0,95 = 1, 65)R: 53, 79 < m < 56, 0153, 97 < m < 55, 8314. FieXov. a. carereprezintanumaruldeziledupacareunanumitprodusalimentaresteabsorbitpepiat a. Inurmaunei select ii devolum n = 8 n randul centrelor de desfacere, s-au obt inut urmatoarelerezultate cu privire la numarul de zile dupa care se epuizeaza produsulrespectiv :Centru de desfacerei 1 2 3 4 5 6 7 8Nr. de zilexi40 54 40 50 38 40 50 60Presupunand caXare o repartit ie normala sa se ae:a) uninterval de ncredere950/0pentruvitezamediacucareesteabsorbit produsul pe piat a ;b)uninterval de ncredere950/0pentruabatereamediepatraticaanumarului de zile dupa care se epuizeaza produsul respectiv. (t0,975(7) == 2, 36, 20,975(7) = 16, 20,025(7) = 1, 69)R: a) 39, 73 < m < 53, 27b) 5, 37 < < 16, 5315. Intr-un parc cu 10 masini ale R.A.T.B-ului s-a efectuat zilnic n decur-sul unei anumite perioade nregistrarea numarului de masini defecte.Intotal s-aufacut n=200deastfel de nregistrari si s-auobt inuturmatoarele rezultate :Nr. de masini defectexi0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Frecvent ani39 42 38 36 18 12 8 4 2 1 06.3. PROBLEMEPROPUSE 163Sa se estimeze numarul mediu de masini defecte, stiind ca numarul demasini defecte este o v. a. Poisson si sa se determine un interval 950/0pentru numarul mediu de masini defecte.R:z12_n< < +z12_n , unde = X ==120010i=0nixi = 2, 2952, 085 < < 2, 50516. Pentru a estima precizia unui termometru se realizeaza 15 masuratoriindependenteasupratemperaturii unui lichidment inut constant la20C. Presupunem ca rezulttele masuratorilor sunt realizari ale vari-abileloraleatoarenormaleXk, k=1, 15demediem=20si ne-cunoscuta . Construit i un interval de ncredere 1 = 0, 99 pentru2, stiind ca11515k=1(xk 20)2= 18.R: 8, 23 < 2< 58, 717. Pentru stabilirea rezistent ei la rupere a unor cabluri s-au efectuat n == 36 masuratori si s-a stabilit media de select ie X = 500 kg. Stiind carezistent a la rupere este o v. a. normala cu 2= 100 kg, sa se vericeipotezaH0:m = 496 kg fat a de alternativele : a)H1:m ,= 496 kg;b)H1 : m < 496 kg la pragul de semnicat ie = 0, 01. (z0,995 == 2, 58, z0,99 = 2, 33)R: a) respingem ipotezaH1 si acceptamH0b) se acceptaH1 si se respingeH018. S-astabilitcagreutateaunorouapentruaimportatetrebuiesaedem0=50g. Ocercetareselectivaasupraunuivolumn=150oua dintr-un lot importat a determinat o greutate medie observata deX= 43 g. Se cere sa se verice la un prag de semnicat ie = 0, 01,ipotezaH0 :m =m0 = 50 g fat a de ipoteza alternativaH1 :m< 50g, daca greutatea oualelor este o v. a. normalaN(m, 16).R: respingem ipotezaH0 si acceptam ipotezaH119. Durata de funct ionare a unui tip oarecare de bec electric de 100 wat ipoate considerata ca o v. a. Xrepartizata normal cu mediam == 1500 si 2= 2002. O select ie de volumn = 25 de astfel de becurida o durata medie de funct ionare de 1380 ore. La pragul = 0, 01, sase verice ipotezaH0 : m = m0 = 1500 fat a deH1 : m = m1< 1500.R: respingemH0 si acceptamH1164 CAPITOLUL6. METODESTATISTICE20. Ormaproducatoaredebecuri armacaduratamediedeviat aabecurilor produse este de 170 ore. Un reprezentant al Ociului pentruProtect iaConsumatorilorcerceteazaunesantionaleatorden=100debecuri, obt inandoduratamedieobservatadeviat ade158ore sio abaterestandards = 30 ore. Determinat i un interval de ncredere1 = 0, 99pentruduratamediedeviat am, nipotezacaduratadeviat aabecuriloresteov. a. normala. Poateacuzatarmaproducatoare de publicitate mincinoasa ?(t0,995(99) = 2, 63)R: 150 1 la pragul de semnicat ie = 0, 05. (20,95(29) = 42, 6)R:x = 3, 03, s2= 1, 22se respinge ipotezaH0 si se accepta ipotezaH1Capitolul7Funct iiolomorfe. DezvoltarinserieLaurent7.1 Not iuniteoreticeDenit ia7.1. FieA Comult imedeschisasi f : A Cofunct iecomplexa . Funct ia fse numeste olomorfa ntr-un punctz0 A (sau C-derivabila nz0 sau monogena nz0) daca exista si e nita limital == limzz0,z=z0f(z) f(z0)z z0. Notamlcuf(z0) si se numestederivatacom-plexaaluif nz0.Fief= P + iQ, undeP= Ref, Q = Imf.Condit iile Cauchy-Riemann suntPx=QyPy= QxTeorema 7.1. FieA C o mult ime deschisa . Fief :A C,f= P +iQe olomorfa n z0 A daca si numai daca P, Q:A R sunt diferent iabile nz0 = (x0, y0) si derivatele lor part iale n (x0, y0) verica condit iile Cauchy-Riemann.Corolarul7.1. FieA C o mult ime deschisa sif :A C, f=P + iQ.Daca P, Q (1(A) si daca pentru z A au loc condit iile Cauchy-Riemann,atuncifeste olomorfa peA.Notamfz=12_fx ify_sifz=12_fx + ify_(numita derivata are-olara).Corolarul7.2. FieA C o mult ime deschisa sif :A C, f=P + iQ.DacaP, Q (1(A) sifz= 0 peA, atunci funct iafeste olomorfa peA.165166CAPITOLUL 7. FUNCT II OLOMORFE. DEZVOLTARIINSERIE LAURENTDenit ia7.2. Fieu:A IRofunct iedeclasa (2peA. Funct iausenumeste armonica daca pentru a A avem2ux2(a) +2uy2(a) = 0, adicau = 0 n orice punct dinA.Corolarul 7.3. FieA C o mult ime deschisa sif :A C,f= P +iQ siP, Q (2(A). Dacafeste olomorfa , atunciP, Q sunt funct ii armonice peA.Denit ia 7.3. Serian0an(z z0)n, unde z C, z0 C xat, ak C, k == 0, 1, 2, . . .