MATEMATIK FISIKA I

DAFTAR ISI 1. Pendahuluan 2. Bilangan dan persamaan aljabar komplek 3. Matrik 4. Definisi serta aljabar komplek 5. Determinan 6. Sistem persamaan linier 7. Transformasi koordinat 8. Analisa vektor 9. Kalkulus 10. deferensial 11. Kalkulus integral fungsi vektor

FISIKA MATEMATIK II

1. Pendahuluan 2. Deret Faurier 3. Persamaan diferensial biasa 4. Transformasi Fourier 5. Transformasi Laplace untuk solusi persamaan diferensial biasa 6. Fungasi komplek 7. Pemecahan diferensial biasa 8. Transformasi koordinat 9. Transformasi Integral 10. Persamaan diferensial parsil

Referensi 1. Mery L Boas Mathematical Methods in the

Physical, 3 and editor, John Wiley & Sons 2006

2. K.F Riley Mathematical Method for Physics and Engineern,3rd Combridge 2006.

3. Roswati Mudjiarto, Frans J Krips.

I.1 Bilangan berpangkat

Sifat-sifatnya

a.

b.

c.

d.

e. dan

f. dan

g. a = a maka x = y, asal a 1 , a 0

h. a = b maka a = b asal x 0

rnmrnm axxaxaa ....nmnm aaa :

mnnm aa )(

).....(... mmmm cbacba

mm

m

b

a

b

amn

aam n

mnm baaa ).( mm

m

b

a

b

a)(

i. a > a ,a>1 maka x>y asal x 0 , y 0

j. a > a dan 0 < a < 1 maka x < y

I.2 Pengertian logaritma dan sifat-sifatnya

Definisi : logaritma dari auntuk bilangan pokok g

ialah bilangan x sehingga g = a

1. log m = x dan

2. log abc = log a + log b + log c

3. log a/b = log a - log b

4. log a = n . log a dan log a =

5. log a x log d x log s = log s

(pembuktian)

6.

7.

8.

9.

10.

baba gg loglog

yxgyx gg 1loglog

yxgyx gg 1loglog

yxgyx gg 10loglog

yxgyx gg 10loglog

DERET Def : Baris adalah suatu fungsi yang daerah definisinya adalah bilangan asli :( 1,2,3) Def : Deret adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan. Baris 1,3,5,7, ; Deret 1+3+5+7+.. Macam-macam baris dan deret. a. Barisan hitung dan deret hitung(aritmatika) b. Barisan ukur dan deret ukur (geometri) c. Barisan harmonis dan deret hatmonis(selaras) d. Barisan ukur hitung dan deret ukur hitung Barisan dan deret (aritmatika ) Definisi : Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda antara

tiap-tiap dua suku yang berurutan adalah tetap besarnya, beda itu dilambangkan b

U-U = U-U =U-U = ..= Un Un-1 =b

jadi b = Un Un-1 = konstan, maka suku yang ke n adalah Un =a + (n-1)b dan jumlah n suku yang pertama dn =1/2 n{a + Un }.

Sisipan

Jika di antara m dan n disisipkan sebuah atau beberapa buah bilangan menurut aturan yang tertentu, maka dikatakan bahwa bilangan-bilangan itu disisipkan di antara m dan n. Jika diantara m dan n disisipkan k buah bil.

sehingga menjadi baris aritmatika :

m, m+ b, m + 2b, ,m + kb, n m + kb = n

kb + b = n m (k + 1 ) b = n m = b

maka : , k = banyak bil. Yan disisipkan

Banyak suku-suku barisan baru adalah banyaknya barisan mula-mula ditambah suku-suku yang disisipkan : n = n + (n-1)k , di perhatikan a = a

Un = Un dan St = St. Bila banyak suku barisan itu genap,maka akan didapat dua suku tengah:

1. 2. dn = n.St ; St =suku te

Tengah,Un=suku terakhir, dn=jml suku yg pertama

1'

k

bb

2

UnaSt

Barisan dan Deret Geometri

Definisi: Barisan geometri adalah barisan bilangan yang mempunyai hasil bagi antara tiap-tiap dua suku yang berurutan adalah tetap besarnya. Hasil bagi itu disebut pembanding (p) atau disebut ratio(r). Jika U, U, U, ..Un merupakan barisan geometri,maka

U/U = U/U = U/U =.= Un/Un-1 = p=r=tetap

a = suku pertama ; p = pembanding

a, ap ,..,ap-1 adalah barisan geometri yang banyak suku adalah n buah : 1napUn

Jumlah n suku yang pertama deret geometri dn

p = pembanding

dn=jml suku 1

Sisipan

Jika di antara dua suku berurutan suatu barisan geometri disisipkan sebuah atau beberapa buah bilangan, sehingga barisan bilangan baru merupakan barisan geometri maka akan kita peroleh rumus2 sisipan sebagi berikut :

a, ,b, baris geometri semula

a, ap, ap, ap,b baris geometri baru

1

1

1

1

p

pa

p

padn

nn

apx p = b , ap = b , (ap) = b/a = p

1. p=pembanding baru

k= banyak bilangan yang

disisipikan antara tiap dua

suku berurutan.

2. n = n + (n 1 ) k

Deret ukur tak hingga

1. Jika suatu deret geometri banyaknya suku mendekati tak terhingga dan pembandingnya antara 1 dan -1 atau [p] < 1 maka deret itu disebut deret konvergen

1' k pp

2. Deret yang tidak memenuhi syarat di atas disebut deret divergen

Jumlah deret geometri tak terhingga (d)

( [p] < 1 )

Baris dan Deret Ukur Hitung.

Definisi : Baris ukur hitung :barisan bilangan yang susku2nya merupakan hasil kali suku2 barisan aritmatika dan barisan geometri yang bersesuaian

nlim

p

adn

1

Baris aritmatika : a, a+b, a+2b, ..a +(n-1)b

Baris geometri : a, ap, ap, ap

Barisan ukur hitung : a .a, (a+b)ap, (a+2b)ap, , {a + (n-1)b}.ap .

1}.)1({ napbnaUn

PERSAMAAN DAN KESAMAAN

Persamaan

Def : Persamaan dalam suatu veriabel tertentu : bentuk pers.yang nilainya (besarnya) variabel itu dapat ditentukan dan tertentu besarnya .

Contoh : 2x + 1 = 0 2x = -1 x = -

harga x tertentu yaitu = -

Macam-macam Persamaan

1. Persamaan linier: pengkatnya paling tinggi satu

contoh : ax + b = 0 a,b = bilangan tetap

2. Persamaan kuadrat : pers.variabel pangkat paling tinggi dua. Contoh : ax + bx +c =0

3. Persamaan pangkat tinggi : pers. Variabelnya mempunyai pangkat > 2. Bentuk umum :

Persamaan kuadrat :

b - 4ac = D = diskriminan

1. Jika D > 0 maka x x

2. Jika D = 0 maka x = x

3. Jika D < 0 maka ada bil. imajiner

0.....221

10 n

nnn axaxaxa

a

acbbx

2

42

2,1

Sifat-sifat akar persamaan kuadrat :

- x + x = - b/a dan x . x = c/a

Penguriannya : ax + bx + c = a(x x ) (x x)

1.Jika D>0 maka ax + bx + c = a(x x )(x - x) dapat di uraikan atas dua faktor linier yang berlainan.

2. Jika D = 0 maka ax + bx + c = a(x- x ) dapat diuraikan atas dua faktor yang sama

3. Jika D< o maka ax + bx + c , tidak dapat diuraikan atas faktor-faktornya

Kesamaan Def : Kesamaan (lambang ) dalam suatu

variabel tertentu ialah suatu bentuk persamaan yang berlaku setiap harga variabel.

(2x + x) x(2x +1); berlaku untuk setiap harga x sifat-sifat : 1. f(x) =a x+a x

+.+a=0 maka berlaku a =a =a = = an = 0 2. a x+a x

+.= bx+bx

++b mk berlaku a =b;a=b,.;an =bn Memecahkan pecahan : 1. Jika pecahan mempunyai n faktor pada penyebut

nya mk pecahan tsb dapat dipecahmenja di n pecahan baru

2. Jika penyebut suatu pecahan mempunyai satu faktor berpangkat n, maka pecahan dapat di pecah menjadi n pecahan baru.

3. Dalam memecah pecahan akan didapat pecahan-pecahan baru dengan derajat pembilang maksimal satu lebih kecil dari derajat penyebut.

Dalil Sisa

Jika f(x) = ax+ax

+.+an-1 +an dibagi oleh (x-x), maka sisanya adalah f(x).

Sifat-sifat dalil sisa : 1. Jika pembagi bentuk linier, mk sisanya adalah bilangan tetap

2. Jika penbagi bentuk kuadrat , mk sisa bentuk linier

3. Jika pembagi bentuk pangkat tiga,mk sisanya bentuk kuadrat

Fungsi kuadrat.

Pers. Umum lingkaran Ax + Ay+ Dx +Ey +F = 0

Pers.Khususu lingkaran (x h) + (y k) = r

Pers Umum Ellips Ax + Cy + Dx + Ey +F = 0

Pers Khusus Ellips (x-h)/a +(y-k)/b = 1

Pers. Umum parabola Ax+Dx +Ey +F =0 sb //sb y

-- - - - - Cy + Dx +Ey +F = 0 sb // sb x

Pers Khususnya : y =4p x vertek (0,0) sb // sb x

x = 4py vertek (0,0) sb // sb y

Sedang, (x-h) = 4p(y-k) ; (y-k) = 4p(x-h) p(h,k)

Harga ekstrim dan grafik suatu fungsi.

a. Jika dalam suatu interval f(x) >0, maka dalam

interval itu f(x) naik.

b. Jika dalam suatu interval f(x) < 0, maka dalam

interval itu f(x) turun

Syarat Maks dan Mim

a. Jika titi