Matematika 12 2014 Gurnal

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65 67 69 71 73 75 77 79

81 83 85 87 89 91 93 95

97 99 101 103 105 107 109 111

113 115 117 119 121 123 125 127

1

2 3 6 7 10 11 14 15

18 19 22 23 26 27 30 31

34 35 38 39 42 43 46 47

50 51 54 55 58 59 62 63

66 67 70 71 74 75 78 79

82 83 86 87 90 91 94 95

98 99 102 103 106 107 110 111

114 115 118 119 122 123 126 127

2

4 5 6 7 12 13 14 15

20 21 22 23 28 29 30 31

36 37 38 39 44 45 46 47

52 53 54 55 60 61 62 63

68 69 70 71 76 77 78 79

84 85 86 87 92 93 94 95

100 101 102 103 108 109 110 111

116 117 118 119 124 125 126 127

3

8 9 10 11 12 13 14 15

24 25 26 27 28 29 30 31

40 41 42 43 44 45 46 47

56 57 58 59 60 61 62 63

72 73 74 75 76 77 78 79

88 89 90 91 92 93 94 95

104 105 106 107 108 109 110 111

120 121 122 123 124 125 126 127

4

16 17 18 19 20 21 22 23

24 25 26 27 28 29 30 31

48 49 50 51 52 53 54 55

56 57 58 59 60 61 62 63

80 81 82 83 84 85 86 87

88 89 90 91 92 93 94 95

112 113 114 115 116 117 118 119

120 121 122 123 124 125 126 127

5

32 33 34 35 36 37 38 39

40 41 42 43 44 45 46 47

48 49 50 51 52 53 54 55

56 57 58 59 60 61 62 63

96 97 98 99 100 101 102 103

104 105 106 107 108 109 110 111

112 113 114 115 116 117 118 119

120 121 122 123 124 125 126 127

6

64 65 66 67 68 69 70 71

72 73 74 75 76 77 78 79

80 81 82 83 84 85 86 87

88 89 90 91 92 93 94 95

96 97 98 99 100 101 102 103

104 105 106 107 108 109 110 111

112 113 114 115 116 117 118 119

120 121 122 123 124 125 126 127

7

1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 1819 20 21 22 23 24 25 26 2728 29 30 31 32 33 34 35 3637 38 39 40 41 42 43 44 4546 47 48 49 50 51 52 53 5455 56 57 58 59 60 61 62 63

1

1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 1819 20 21 22 23 24 25 26 2728 29 30 31 32 33 34 35 3637 38 39 40 41 42 43 44 4546 47 48 49 50 51 52 53 5455 56 57 58 59 60 61 62 63

2

1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 1819 20 21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31 32 33 34 35 3637 38 39 40 41 42 43 44 4546 47 48 49 50 51 52 53 5455 56 57 58 59 60 61 62 63

3

. ,.

2014

. , . ,. , . ,

. , . , . ,

.

11

11- 23 2013 () .

38 . , , - .

( ) 12 , 10 I, II III . - . .

(http://www.mccme.ru/olympiads). .

, , - .

(10 ; 6 )

1.1. x

2 2 2 22 2sin cos ?x x r

1.2. (a; 0); B(b; 0); C(0; c) D(0; d). .1.3. n n2 1

?

(15 ; 7 )

2.1. A, cos A, cos 2A, ..., cos 2nA, ... - ?2.2. 1 -

. -, , . .2.3.

13-?

/ , ,

50

5151 2014

(20 ; 8 )

3.1. 43. ,

-. -?3.2. D 1.

- OK, OL, OM ON , , CD DA . , AK r KB, BL r LC, CM r MD DN r NA. KLMN.3.3.

10 . - , - ? ( . 1 ; 0,5 ; - 0.)

(25 ; 9 )

4.1. x, y, z t (0; 1).

x t y x z y t z2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 4 ( ) ( ) ( ) ( ) .x t y x z y t z2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 4 ( ) ( ) ( ) ( ) .

4.2. , - ABC , BC,

. -, F BAC < 60o.4.3. n -

, . , . n ?

(15 ; 7 )

5.1. y = ax2 + bx + c (. 1).

. 1

- y = cx2 + 2bx + a. .5.2. ,

-, ?5.3. , -

1001.

1.1. x. I. -

.

2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2sin cos sin cos sin cos .x x x x x x r

II. 2 0

2sin ,x a 2 02cos ,x b ab x x 2 2 22 2sin cos .

, a b r 2 2. -: a b 2 2, a2 + b2 + 2ab < 8. a2 + b2 + 2ab > 4ab, 4ab < 8, ab < 2. .

1.2. a b c d 2 2

; .

(x; y) - - CD. :

xa b 2

y c d 2

.

. , , OAOB = OCOD ( - ).

1.3. n = 2 n = 3. , n2 1 = (n + 1)(n 1),

(n + 1; n 1) = d b 2. d = 2, n2 1 - , d = 1, n2 1 .

n + 1 = 2k n 1 = 2m, 2. , k = 2, m = 1, n = 3. n 1 = 1, n = 2.

2.1. , .

, , A P 23, cos cos .A P 2

312

-.

2014 5252

I. . , :

cos2 12

kA (k 0),

cos 2k + 1A = cos (22kA) = 2cos2 2kA 1 =

2

12

112

2

.

II. ,

cos cos cos .243

23

12

A P P

, n ,

2 23

2n mA P P , n ,

223

2n mA P P , m .

,

223

23

22k m P P P 4k 1 = 3m.

4k 1 3, - k - m, . ,

223

23

22 1k m P P P 22k 1 + 1 = 3m,

22k 1 + 1 3 k.

, A P 23

- .. , -

p 23

2P Pm, m .

2.2. 53.

DABC , - D , (. 2).

. 2

I. QBCD , -. PQ . PKQ, K -

. PK QK -

, PK QK 32.

DKO -

, cos . DKO OKDK

13

PKQ DKO3 3

13

2327

arccos arccos

( cos ,A 13 cos cos cos3 4 3 23

273A A A ).

PKQ

PQ PKQ22

232

1

( cos ).

,

PQ 325027

53.

- , . II. -

() DABC, DO DM : MO = 3 : 1. , - DP. , DP DM : MP = 3 : 5. -

, , - - k 5

3. ,

, 53.

2.3. , . -

n-. , n b 12. , n- -

- , . 6. - - , 32 = 6. , 12. . , ,

, 12-. .

3.1. 7.

a a a1 2 843

... .

a1 b a2 b b a8. a8 > 0, a1 + a2 + + a7 > 0,

/ , ,

5353 2014

a843

. ,

a a a a2 3 7 86 643

8 b ... .

, a1 > 8. , , a1 = 7

.

a a a2 3 82521

... .

7 7 2521

7421

43.

7 6 2521

507

7 0,

.

3.2. 0,5. ,

, , . , -, ,

r OB r OC r OD r OA.,

= OB = OC = OD, , D (. 3).

. 3

K, L, M N D. ( -

-, ) ,

S SKLMN ABCD 12

12.

3.3. 7 . I. ,

30 6 , - 24 . , , - ( ). , -.

7 -, 7 , 5 . -, , , . , - , 3,5 , 3 . 2 , . II. m

n (n b m), (, ) k . - 5m , , , , 5m n ,

km n mr r59

49.

2

9k m

mr ,

m 2k , 09

1 m ,

2k r m k mr2.

,

(9 m) + k < nm, k < 2m 9. ,

mm

22 9 m > 6.

.

4.1. I. , a > 0, b > 0

a b a b2 2 ( a2 + b2 < (a + b)2).

x t x t2 21 1 ( ) , y x y x2 21 1 ( ) ,

z y z y2 21 1 ( ) , t z t z2 21 1 ( ) .

. II. ABCD -

1. , , D DA -

AK = x, BL = y, CM = z, DN = t (. 4).

. 4

2014 5454

NK + KL + LM + MN < 4.

NK < AK + AN,KL < BK + BL, LM < CL + CM, MN < DM + DN.

, : NK + KL + LM + MN < AB + BC + CD + DA = 4.

4.2. F BAC = A, , R - (. 5).

F BMC = F BMRC = 180o A.

. 5

, 180o A > A, A < 90o. -, , , - ( ), F BC = 2A. , , -

. -, ,

= 90o + BA = 180o A = F BMC,, , - . , - ( -). , -, . F BC < F BMC,

2A < 180o A A < 60o.. -

, , , -.

4.3. n = 4 n = 6. ,

. , - , 4 , ,

, , - , . -, , , . I. , -

. : A, B, C, D E. , . A B , C, D E . , C, D E - , - , . , , C D, E , D, , . , -, 5.: 4,

, 6, - - . II. ,

, -. , B, B C, C -, - B. , . , n -

, , - . , n 4. , - ( ). 3n, n . n

( ). n = 4 . n > 4.

n 4 , , n 3 . , n 3 3, n 6. , n = 6 (. 6).

. 6

/ , ,

5555 2014

5.1. . 7.

. 7

a, b c. I.

, , (0; 1); (1; 2) (1; 2). -,

y(0) = c, y(1) = a + b + c, y(1) = a b + c,

ca b ca b c

122

,,.

: a = 1, b = 2, c = 1.

II. , - y = x2, a = 1.

b = 2 ba2

1 (-

), = y(0) = 1.,

y = x2 4x 1 y = (x 2)2 5.

5.2. , . . -

, = = 3, = 1 (. 8).

. 8

, D CE -, M .

BE : EA = BD : DC = AB : AC = 3 : 1( ). DE K,

BK : KH = 3 : 1 ( - ), BM : MH = 2 : 1 ( ). , M DEH, .

5.3. 501; 749. I. abc a b c 100 10

.

abc a ab b ac bc c2 2 2 210 000 2000 100 200 20 .

abc a ab b ac bc c2 2 2 210 000 2000 100 200 20 .

2. 2 1, , c = 1 c = 9. -

2020 1180 81

2bc cbb

.

, 01 (b; c): (5; 1), (0; 1) (4; 9). , :

10 000a2 + 10 200a + 2601,

10 000a2 + 200a + 1,

10 000a2 + 9800a + 1201. ,

, = 5, = 7. II. n . n2

1001, n2 1 = (n 1)(n + 1) 1000, 1000. : n 1 n + 1, 5, , - 125. , -, , 125, 250. , -

, - :

248250; 250252; 498500; 500502; 748750; 750752; 9981000.

1000 : 1) 500502 = 251 000,

n 1 = 500 n = 501;2) 748750 = 561 000,

n + 1 = 750 n = 749.

2014 5656

5757 2014

2014 2014

5. . . 911/2014

58

. ,[email protected],

.

www.1september.ru( . 5.4.)

5.4. (, ,

), , ,

a b a b r (1)

a b a b b (2) . -, (1) - . (1) - , ( , ):

AB a , BC b

, AC a b

, AC b AB + BC.

,

a

b , - ().

1. a, -

x x x x a2 26 10 4 8 ..

a x x x x 2 26 10 4 8,

a x x ( ) ( ) .3 1 2 42 2

p x{ ; }3 1 q x{ ; }.2 2

p x ( ) ,3 12 q x ( ) ,2 42

p q {1; 3} p q 1 3 102 2 .

p q p q r ,

a p q , a r 10. -

/

5959 2014

,

p

q .

p qll , -

, 32

12

xx

(,

x = 2 ,

, x x 2 x 2 -).

x 83. ,

a x x x x 2 26 10 4 8 10.: 10..

p

q, ,

p q - x. , -

p

q , , -

p

q, . ,

p

q , : - .

2. - a,

( ) ( ) ( ) ( ) .x x x x a 1 6 1 22 2 2 2

.

a x x x x ( ) ( ) ( ) ( )1 6 1 22 2 2 2

. -

p x x{ ; } 1 6 q x x{ ; }.4 2

a p q , p q -

{3; 4}

p q 3 4 52 2 .

(1) , a r 5, ,

p qll ,

xx

xx

xx

14

62

14

0

,

.

x 227 (, x = 4, x = 2

p

q ,

, x x 2, x x 4 x 2 x 4 ). ,

a x x x x ( ) ( ) ( ) ( )1 6 1 22 2 2 2

x 227 5.

: 5.

- -. ( - ), - : , , ..

(2). ( ) - :

a b a b a b a b b cos ; . -

, cos ; ,

a b 1

a

b , ,

a bll .

3. - a,

x x x a1 9 3 42 2 ..

a x x x 1 9 3 42 2 D a( ) ;

13

13

.

p x x; 4 2[ ] q x x1 9 32[ ]; .

a p q , p x x 2 24 2,

q x x 1 9 9 12 2 .

(2) , a b 2, ,

p qll . , x = 0 p q , - - :

1 9 3

4

013

2

2

b

xx

x

x

x

,

,

2014 6060

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2 2 4 b

x x x

x

,

,

:

x

x

2 437

013

b

,

.

x 237

, 237

236

13

.

x 237

. ,

a x x x 1 9 3 42 2 x 2

37 2.

: 2.. -

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p

q -, -, . - - - . , -, ( ) - , , ,

p

q - , - . , .

4. - a,

ax x x x x2 2 1 2 1 1 4 1 | | | | , a..

x r 12,

ax x x x

x | | | | .2 1 2 1 1 4 12 (*)

(*) -

D a( ) ; d

12

-

.

p x x| |;2 1 4 1 [ ] q x x2 1 1 [ ]; | | .

p x x x x x | | | | ,2 1 4 1 4 2 22 2 2

q x x x x x 2 1 12 2 2| | | | . a p q

x

2 , (2) -

, a xx

b 22

2 , a b 2, - ,

p qll . -, x 1

2

p

q -

, x = 1 .

x x 12, x x 2, (

) :

| |,

| |,

,

2 1

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2

12

x

xxx

xx

xx

x

( ),

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2 12 1

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4 11

4

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2

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xxxx

x

x 52. -

, (*),

2, x 12 x 5

2.

: a = 2, x 12, x 5

2.

, - - . - .

5. -

z x y x y | | ( ) ( ) .2 3 42 2.

p x y{ ; }2 0 q x y{ ; }.3 4

p x y | |,2 q x y ( ) ( ) .3 42 2

z p q , p q - {2y + 3; y 4}

p q y y y y ( ) ( ) .2 3 4 5 4 252 2 2

/

6161 2014

(1) , z y yr 5 4 252 ,

,

p qll . 5y2 + 4y + 25 - y - y2.

y 25. ,

, 1215

. z r 115,

, y 25

p qll , x + 2y = 0 , ,

x 45.; min ; .z z

45

25

115

: min ; .z z

45

25

115

6. -

z y x x y y 1 3 2 22 2 ..

p y y y; 3 2 2 2 [ ] q x x1 2[ ]; .

z p q ,

p y y y y 2 2 23 2 2 4 1( ) ,

q x x 1 12 2 . (2) ,

z yb b 4 1 4 22( ) , , y = 1 (

p 2 ) p qll , 11 3

12

2 x x , x 32.; max ; .z z

3

21 2

: 2.

, - - - . ,

a b a b r

a b a b b , , . - , - , .

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2014 6262

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2015

digital.1september.ruprosv.ru

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(, ) -, . , - 3 3, .

, - -. , ! , . , ,

, 20 - . - ! - ! -

, -.63 www.1september.ru

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mat.1september.ru www.1september.ru : 79073 ( ); 12717 (CD-)

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XVI . - .

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Documents

Matematika 12 2014 Gurnal