Matematika Diskrit 1logika Mantik

Matematika Diskrit;Matematika Diskrit;logikalogika

oleh : Hanung N. Prasetyooleh : Hanung N. Prasetyo

Matematika Diskrit Kuliah-1 2

Textbook:Textbook:

Kenneth H. Rosen, Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Discrete Mathematics and its Applications, its Applications, Mc.Graw Hill, 5Mc.Graw Hill, 5thth Ed. Ed.

Rinaldi Munir, Rinaldi Munir, Matematika Diskrit, Matematika Diskrit, Informatika Informatika BandungBandung

Isi :Isi :

1.1. Penalaran Matematika: logika, metoda dan Penalaran Matematika: logika, metoda dan pembuktian.pembuktian.

2.2. Analisis Kombinatorial: counting, analisis cmbAnalisis Kombinatorial: counting, analisis cmb

3.3. Struktur Diskrit: representasi dan keterkatian Struktur Diskrit: representasi dan keterkatian objek diskritobjek diskrit

4.4. Algoritma: spesifikasi, verifikasi, kompleksitasAlgoritma: spesifikasi, verifikasi, kompleksitas

5.5. Aplikasi M. Diskrit: dalam Ilmu Komputer, Aplikasi M. Diskrit: dalam Ilmu Komputer, jaringan, kimia, botany, linguistik, geografi, jaringan, kimia, botany, linguistik, geografi, bisnis, internet.bisnis, internet.


Mengapa matematika diskrit ?Mengapa matematika diskrit ?

• Komputer (dijital) beroperasi secara diskrit Komputer (dijital) beroperasi secara diskrit dengan unit terkecil yg disebut bit.dengan unit terkecil yg disebut bit.

• Dengan demikian, baikDengan demikian, baik– Struktur (rangkaian) dan jugaStruktur (rangkaian) dan juga– Operasi (eksekusi algoritma)Operasi (eksekusi algoritma)

Dapat dijelaskan dengan matematika diskritDapat dijelaskan dengan matematika diskrit


Perangkat MatematikaPerangkat Matematika

Perangkat Perangkat yang berguna dalam matematika diskrit:yang berguna dalam matematika diskrit:• Logika Matematika (Logic)Logika Matematika (Logic)• Teori Himpunan (Set Theory)Teori Himpunan (Set Theory)• Fungsi (Functions)Fungsi (Functions)• Deretan (Sequences)Deretan (Sequences)


LogikaLogika• Berguna untuk melakukan penalaran matematikaBerguna untuk melakukan penalaran matematika• Digunakan dalam mendesain rangkaian elektronik.Digunakan dalam mendesain rangkaian elektronik.

• Logika adalah suatu sistem yang didasarkan pada Logika adalah suatu sistem yang didasarkan pada proposisi.proposisi.

• Suatu proposisi adalah sebuah pernyataan yang bisa Suatu proposisi adalah sebuah pernyataan yang bisa bernilai bernilai benar benar (true/T)(true/T) atau atau salahsalah (false/F) tetapi tidak (false/F) tetapi tidak sekaligus keduanya.sekaligus keduanya.

• Kita katakan bahwa Kita katakan bahwa nilai kebenarannilai kebenaran (truth value)(truth value) dari dari sebuah proposisi adalah sebuah proposisi adalah benarbenar atau atau salahsalah..

• Dalam rangkaian dijital, nilai ini dinyatakan sebagai Dalam rangkaian dijital, nilai ini dinyatakan sebagai 11 dan dan 00


““Gajah lebih besar daripada tikus.”Gajah lebih besar daripada tikus.”

Apakah ini sebuah pernyataan?Apakah ini sebuah pernyataan? YAYA

Apakah ini sebuah proposisi?Apakah ini sebuah proposisi? YAYA

Apakah nilai kebenaran Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini?dari proposisi ini?

BENARBENAR

Proposisi atau PernyataanProposisi atau Pernyataan


““520 < 111”520 < 111”




SALAHSALAH



““y > 5”y > 5”

Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut bergantung pada y, tapi nilainya belum bergantung pada y, tapi nilainya belum ditentukan.ditentukan.


Apakah ini sebuah proposisi?Apakah ini sebuah proposisi? TIDAKTIDAK


Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai fungsi proposisifungsi proposisi atau atau kalimat terbukakalimat terbuka..


““Sekarang tahun 2004 dan 99 < 5.”Sekarang tahun 2004 dan 99 < 5.”




SALAHSALAH



““Tolong untuk tidak tidur selama kuliah”Tolong untuk tidak tidur selama kuliah”

TIDAKTIDAK

TIDAKTIDAK

Hanya pernyataanlah yang bisa menjadi Hanya pernyataanlah yang bisa menjadi proposisi.proposisi.

Ini adalah sebuah permintaan.Ini adalah sebuah permintaan.

Apakah ini sebuah pernyataan?Apakah ini sebuah pernyataan?

Apakah ini sebuah proposisi?Apakah ini sebuah proposisi?



““x < y jika dan hanya jika y > x.”x < y jika dan hanya jika y > x.”

Apakah ini pernyataan ?Apakah ini pernyataan ? YAYA

Apakah ini proposisi ?Apakah ini proposisi ? YAYA

Apakah nilai kebenaran Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini ?dari proposisi ini ? BENARBENAR

… … karena nilai kebenarannya karena nilai kebenarannya tidak bergantung harga tidak bergantung harga spesifik x maupun y.spesifik x maupun y.



Penggabung ProposisiPenggabung Proposisi

Beberapa contoh terdahulu menunjukkan Beberapa contoh terdahulu menunjukkan bahwa beberapa proposisi dapat digabung bahwa beberapa proposisi dapat digabung menjadi sebuah proposisi gabungan.menjadi sebuah proposisi gabungan.

Hal ini kita formal-kan dengan melambangkan Hal ini kita formal-kan dengan melambangkan proposisi sebagai huruf-huruf; seperti proposisi sebagai huruf-huruf; seperti pp, , qq, , rr, , ss;; dan memperkenalkan operator-operator dan memperkenalkan operator-operator logika. logika.


Operator logikaOperator logikaKita akan membahas operator-operator berikut:Kita akan membahas operator-operator berikut:

• Negasi Negasi (NOT)(NOT)• Konjungsi (AND)Konjungsi (AND)• Disjungsi Disjungsi (OR)(OR)• Eksklusif OR Eksklusif OR (XOR)(XOR)• Implikasi (jika – maka)Implikasi (jika – maka)• Bikondisional (jika dan hanya jika)Bikondisional (jika dan hanya jika)

Tabel logika (tabel kebenaran/ Tabel logika (tabel kebenaran/ truth tabletruth table) dapat ) dapat dipakai untuk menunjukkan bagaimana operator-dipakai untuk menunjukkan bagaimana operator-operator tsb diatas menggabungkan beberapa operator tsb diatas menggabungkan beberapa proposisi menjadi satu proposisi gabungan.proposisi menjadi satu proposisi gabungan.


Negasi (NOT)Negasi (NOT)

Operator Uner, Lambang: Operator Uner, Lambang:

PP PP

BenarBenar SalahSalah

SalahSalah BenarBenar


Konjungsi (AND)Konjungsi (AND)

Operator Biner, Lambang: Operator Biner, Lambang:

PP QQ PQPQ

BenarBenar BenarBenar BenarBenar

BenarBenar SalahSalah SalahSalah

SalahSalah BenarBenar SalahSalah

SalahSalah SalahSalah SalahSalah


Disjungsi (OR)Disjungsi (OR)


PP QQ PPQQ


BenarBenar SalahSalah BenarBenar

SalahSalah BenarBenar BenarBenar



Eksklusif Or (XOR)Eksklusif Or (XOR)


PP QQ PPQQ

BenarBenar BenarBenar SalahSalah

BenarBenar SalahSalah BenarBenar




Implikasi (jika - maka)Implikasi (jika - maka)


PP QQ PPQQ




SalahSalah SalahSalah BenarBenar


Bikondisional (jika dan hanya jika)Bikondisional (jika dan hanya jika)


PP QQ PPQQ



SalahSalah BenarBenar SalahSalah

SalahSalah SalahSalah BenarBenar


Pernyataan dan OperasiPernyataan dan OperasiPernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat

digabungkan menjadi suatu pernyataan baru.digabungkan menjadi suatu pernyataan baru.

PP QQ PP QQ (P)(Q)(P)(Q)

BenarBenar BenarBenar SalahSalah SalahSalah SalahSalah

BenarBenar SalahSalah SalahSalah BenarBenar BenarBenar

SalahSalah BenarBenar BenarBenar SalahSalah BenarBenar

SalahSalah SalahSalah BenarBenar BenarBenar BenarBenar


Pernyataan dan OperasiPernyataan dan Operasi

PP QQ PQPQ (PQ)(PQ) (P)(Q)(P)(Q)

BenarBenar BenarBenar BenarBenar SalahSalah SalahSalah

BenarBenar SalahSalah SalahSalah BenarBenar BenarBenar

SalahSalah BenarBenar SalahSalah BenarBenar BenarBenar

SalahSalah SalahSalah SalahSalah BenarBenar BenarBenar

Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat digabungkan menjadi suatu pernyataan baru.digabungkan menjadi suatu pernyataan baru.


Pernyataan-pernyataan yang ekivalenPernyataan-pernyataan yang ekivalen

PP QQ(PQ(PQ

))(P)(Q(P)(Q

))(PQ)(PQ)(P)(Q(P)(Q

))

BenarBenar BenarBenar SalahSalah SalahSalah BenarBenar

BenarBenar SalahSalah BenarBenar BenarBenar BenarBenar

SalahSalah BenarBenar BenarBenar BenarBenar BenarBenar

SalahSalah SalahSalah BenarBenar BenarBenar BenarBenar

Pernyatan Pernyatan (P(PQ) dan (Q) dan (P)P)((Q) adalah ekivalen secara Q) adalah ekivalen secara

logis, karena logis, karena (P(PQ)Q)((P)P)((Q) selalu benar.Q) selalu benar.


Tautologi dan KontradiksiTautologi dan Kontradiksi

Suatu Suatu tautologitautologi adalah pernyataan yang adalah pernyataan yang selalu selalu bernilai benarbernilai benar

Contoh: Contoh: • RR((R)R) (P(PQ)Q)((P)P)((Q)Q)

Jika SJika ST sebuah tautologi, kita tulis S T sebuah tautologi, kita tulis S T. T.

JIka SJIka ST sebuah tautologi, kita tulis S T sebuah tautologi, kita tulis S T. T.


Suatu Suatu kontradiksikontradiksi adalah pernyataan yang adalah pernyataan yang selalu selalu bernilai salahbernilai salah..

Contoh: Contoh: • RR((R)R) (((P(PQ)Q)((P)P)((Q))Q))

Negasi dari sebarang tautologi adalah sebuah Negasi dari sebarang tautologi adalah sebuah kontradiksi, sebaliknya, negasi dari sebuah kontradiksi, sebaliknya, negasi dari sebuah kontradiksi adalah sebuah tautologi.kontradiksi adalah sebuah tautologi.

KontradiksiKontradiksi


LatihanLatihan

Kita tahu tautologi berikut: Kita tahu tautologi berikut:

(P(PQ) Q) ((P)P)((Q)Q)

Latihan di kelas : Latihan di kelas :

Tunjukkan bahwa Tunjukkan bahwa (P(PQ) Q) ((P)P)((Q).Q).

Kedua tautologi ini disebut sebagai Kedua tautologi ini disebut sebagai hukum De hukum De MorganMorgan

Contoh logika dalam informatikaContoh logika dalam informatika

Operasi bitOperasi bit

Sebuah bit hanya mengandung dua Sebuah bit hanya mengandung dua nilai yaitu 1 atau 0nilai yaitu 1 atau 0

1 untuk merepresentasikan benar1 untuk merepresentasikan benar

0 untuk merepresentasikan salah0 untuk merepresentasikan salah

Contoh rangkaian bitContoh rangkaian bit

1001101110011011


Misalkan dioperasikan dua buah rangkaian bit Misalkan dioperasikan dua buah rangkaian bit yang tetapyang tetap

(operasi ini biasa disebut bitwise)(operasi ini biasa disebut bitwise)

10011011 dengan 0101010110011011 dengan 01010101

Hasilnya:Hasilnya:

1001101110011011

0101010101010101

00010001 00010001 bitwise andbitwise and

11011111 11011111 bitwise orbitwise or

11001110 11001110 bitwise xorbitwise xor



Aljabar Aljabar OR booleanOR boolean

Hasilnya adalah semua halaman yang mengandung salah satu kata, aljabar atau Hasilnya adalah semua halaman yang mengandung salah satu kata, aljabar atau boolean atau kedua-duanyaboolean atau kedua-duanya

Aljabar Aljabar AND booleanAND boolean

Hasilnya adalah semua halaman yang mengandung dua kata aljabar dan boolean Hasilnya adalah semua halaman yang mengandung dua kata aljabar dan boolean sekaligus. (cat: beberapa mesin pencari tidak memerlukan AND secara eksplisitsekaligus. (cat: beberapa mesin pencari tidak memerlukan AND secara eksplisit

(Aljabar (Aljabar OR boolean) AND MathematicsOR boolean) AND Mathematics

Hasilnya adalah semua halaman yang mengandung tepat kata aljabar dan Hasilnya adalah semua halaman yang mengandung tepat kata aljabar dan matematika atau yang mengandung kata boolean dan matematika atau matematika atau yang mengandung kata boolean dan matematika atau sekaligus yang mengandung kata aljabar, boolean dan matematika.sekaligus yang mengandung kata aljabar, boolean dan matematika.



Proposisi dan FungsiProposisi dan FungsiFungsi proposisi (kalimat terbuka) :Fungsi proposisi (kalimat terbuka) :

Pernyataan yang mengandung satu buah variabel atau lebih.Pernyataan yang mengandung satu buah variabel atau lebih.

Contoh : Contoh : xx - 3 > 5. - 3 > 5.

Misalkan kita sebut fungsi proposisi ini sebagai P(Misalkan kita sebut fungsi proposisi ini sebagai P(xx), dimana P ), dimana P adalah predikat dan adalah predikat dan xx adalah variabel. adalah variabel.

Apakah nilai kebenaran dari P(2) ?Apakah nilai kebenaran dari P(2) ? SalahSalah

SalahSalah

BenarBenar

Apakah nilai kebenaran dari P(8) ?Apakah nilai kebenaran dari P(8) ?

Apakah nilai kebenaran dari P(9) ?Apakah nilai kebenaran dari P(9) ?


Fungsi ProposisiFungsi Proposisi

Tinjau fungsi proposisi Q(x, y, z) yg didefinisikan: Tinjau fungsi proposisi Q(x, y, z) yg didefinisikan:

x + y = z.x + y = z.

Disini, Q adalahDisini, Q adalah predikatpredikat dan x, y, and z adalahdan x, y, and z adalah variabelvariabel..

Apakah nilai kebenaran dari Q(2, 3, 5) ?Apakah nilai kebenaran dari Q(2, 3, 5) ? BenarBenar

Apakah nilai kebenaran dari Q(0, 1, 2) ?Apakah nilai kebenaran dari Q(0, 1, 2) ?

Apakah nilai kebenaran dari Q(9, -9, 0) ?Apakah nilai kebenaran dari Q(9, -9, 0) ?

SalahSalah

BenarBenar


Kuantifikasi UniversalKuantifikasi Universal

Mis. P(x) suatu fungsi proposisi.Mis. P(x) suatu fungsi proposisi.

Kalimat yg dikuantifikasi secara universal Kalimat yg dikuantifikasi secara universal ::

Untuk semua x dalam semesta pembicaraan, P(x) Untuk semua x dalam semesta pembicaraan, P(x) adalah benar.adalah benar.

Dengan kuantifier universal Dengan kuantifier universal ::x P(x) “untuk semua x P(x)” x P(x) “untuk semua x P(x)” atau atau ““untuk setiap x P(x)”untuk setiap x P(x)”

(Catatan: (Catatan: x P(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan x P(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan sebuah sebuah proposisiproposisi, bukan , bukan fungsi proposisifungsi proposisi.).)


Contoh : Contoh : S(x): x adalah seorang mahasiswa IT.S(x): x adalah seorang mahasiswa IT.G(x): x adalah seorang yang pandai.G(x): x adalah seorang yang pandai.

Apakah arti dari Apakah arti dari x (S(x) x (S(x) G(x)) ? G(x)) ?

““Jika x adalah mahasiswa IT, maka x adalah Jika x adalah mahasiswa IT, maka x adalah seorang yang pandai”seorang yang pandai”atauatau““Semua mahasiswa IT pandai.”Semua mahasiswa IT pandai.”

Kuantifikasi UniversalKuantifikasi Universal


Kuantifikasi EksistensialKuantifikasi Eksistensial

Kalimat yang di-kuantifikasi secara eksistensialKalimat yang di-kuantifikasi secara eksistensial::

Ada x di dalam semesta pembicaraan dimana P(x) Ada x di dalam semesta pembicaraan dimana P(x) benar.benar.

Dengan peng-kuantifikasi eksistensial Dengan peng-kuantifikasi eksistensial ::x P(x) “Ada sebuah x sedemikian hingga P(x).”x P(x) “Ada sebuah x sedemikian hingga P(x).”

“ “Ada sedikitnya sebuah x sedemikian Ada sedikitnya sebuah x sedemikian hingga P(x).”hingga P(x).”

(Catatan: (Catatan: x P(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan x P(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan sebuah proposisi, tapi bukan sebuah proposisi, tapi bukan fungsi proposisifungsi proposisi.).)


Contoh : Contoh : P(x): x adalah seorang dosen IT.P(x): x adalah seorang dosen IT.G(x): x adalah seorang yang pandai.G(x): x adalah seorang yang pandai.

Apakah arti Apakah arti x (P(x) x (P(x) G(x)) ? G(x)) ?

““Ada x sedemikian hingga x adalah seorang dosen Ada x sedemikian hingga x adalah seorang dosen IT dan x adalah seorang yang pandai.”IT dan x adalah seorang yang pandai.”atauatau““Sedikitnya satu orang dosen IT adalah seorang Sedikitnya satu orang dosen IT adalah seorang yang pandai.”yang pandai.”

Kuantifikasi EksistensialKuantifikasi Eksistensial


KuantifikasiKuantifikasi

Contoh lain :Contoh lain :

Misalkan semesta pembicaraan adalah bilangan riil.Misalkan semesta pembicaraan adalah bilangan riil.

Apakah arti dari Apakah arti dari xxy (x + y = 320)y (x + y = 320) ? ?

““Untuk setiap Untuk setiap xx ada ada yy sehingga sehingga x + y = 320x + y = 320.”.”

Apakah pernyataan ini benar ?Apakah pernyataan ini benar ?

Apakah ini benar untuk bilangan cacah?Apakah ini benar untuk bilangan cacah?

YaYa

TidakTidak


DisproofDisproof dengan dengan counterexamplecounterexample

CounterexampleCounterexample dari dari x P(x) adalah sebuah x P(x) adalah sebuah objek c sehingga P(c) salah. objek c sehingga P(c) salah.

Pernyataan seperti Pernyataan seperti x (P(x) x (P(x) Q(x)) dapat di- Q(x)) dapat di-disproofdisproof secara sederhana dengan memberikan secara sederhana dengan memberikan counterexamplecounterexample-nya.-nya.

Pernyataan: “Semua burung bisa terbang.”Pernyataan: “Semua burung bisa terbang.”

Disproved Disproved dengandengan counterexample counterexample: : PenguinPenguin..


NegasiNegasi

((x P(x)) ekivalen scr logis dengan x P(x)) ekivalen scr logis dengan x (x (P(x)).P(x)).

((x P(x)) ekivalen scr logis dengan x P(x)) ekivalen scr logis dengan x (x (P(x)).P(x)).

Documents

Matematika Diskrit 1logika Mantik