Mantık

Klasik Mantık Sembolik Mantık

ÖnermelerMantığı

İşMantığı

ÖNERMELERÖNERMELER Doğru yada yanlış bir hüküm Doğru yada yanlış bir hüküm

bildiren,ancak aynı anda hem bildiren,ancak aynı anda hem doğru hem yanlış olmayan doğru hem yanlış olmayan ifadelere ifadelere

“ “önermeönerme” ” denir.denir. Önermeler p, q, r gibi harflerle Önermeler p, q, r gibi harflerle

gösterilir.gösterilir.

ÖRNEKLERÖRNEKLER ve ve CEVAPLARICEVAPLARI

1.1. Kedilerin altı ayağı vardır.Kedilerin altı ayağı vardır. 2.2. Buraya gel!Buraya gel!3.3. 2+3=52+3=54.4. Büyük adamBüyük adam !!5.5. Üçgenin alanı yüksekliği i le Üçgenin alanı yüksekliği i le

tabanının çarpımını yarısına tabanının çarpımını yarısına eşitt ireşitt ir ..

Aşağıdaki ifadelerin önerme olup olmadığını bulun.

1. Önerme.

2. Önerme değil.

3. Önerme.

4. Önerme değil.

5. Önerme.

Çelişkili cümleler önerme değildirÇelişkili cümleler önerme değildir..

Örnek:Örnek: ”BÜYÜK HARFLERLE ”BÜYÜK HARFLERLE YAZILMIŞ OLAN BU CÜMLE YAZILMIŞ OLAN BU CÜMLE YANLIŞTIR” YANLIŞTIR”

Görüldüğü gibi bu cümle bir çelişki Görüldüğü gibi bu cümle bir çelişki içermektedir. Bu tür cümlelere içermektedir. Bu tür cümlelere PARADOKS PARADOKS denir. denir.

Bütün Giritliler yalancıdır!Bütün Giritliler yalancıdır!

(Giritli Epimenides)(Giritli Epimenides)

Bu cümleyi okumayın

Beyza:Şeyda doğru söylüyor

Şeyda:Beyza yalan söylüyor

Bir adam, saçları döküldüğü için doktora gider. doktor, teşhisi koyar: Stres! Ama adam saçları döküldüğü için strese girmektedir. Strese girdikçe daha da fazla dökülmektedir. Daha da fazla döküldükçe de,

stresi aynı hızla artmaktadır...

ÖRNEKLER ve ÖRNEKLER ve CEVAPLARICEVAPLARI

1. Bütün 1. Bütün örümcekler 7 örümcekler 7 bacaklıdır.bacaklıdır.

2. Bütün insanlar 2. Bütün insanlar ölümlüdür.ölümlüdür.

3. Bugün nereye 3. Bugün nereye gitt in?.gitt in?.

4. Dersine 4. Dersine zamanında çalış.zamanında çalış.

5. Yarın yağmur 5. Yarın yağmur yağacak. yağacak.

Örneklerden hangileriönerme değildir

1. Önerme2. Önerme

3. Değil 4. Değil5. Değil

Önermenin Doğruluk Önermenin Doğruluk DeğeriDeğeri

Önermedoğru ise 1 sembolü ile,yanlış ise 0 sembolü ile

ifade edilir. Buna önermenin doğruluk değeri

denir.

PP PP PP

DoğruDoğru

DD 11

YanlışYanlış

YY 00

Doğruluk değerlerinin tüm durumlarını gösteren tabloya doğruluk tablosu denir.

Sembolik işaretler Matematiğin yarısıdır.

Bertrand Russel

ÖRNEKLER ve CEVAPLAR

Önermelerin her birininÖnermelerin her birinindoğruluk değerini bularakdoğruluk değerini bularak1 ve 0 ile gösteriniz.1 ve 0 ile gösteriniz.

Önermelerin her birininÖnermelerin her birinindoğruluk değerini bularakdoğruluk değerini bularak1 ve 0 ile gösteriniz.1 ve 0 ile gösteriniz.

a)p: “Ankara,Türkiyenin başkentidir.”

b)q: “Her dörtgen karedir.”

c)r: “Neşet Ertaş Almanyalıdır.”

d)s: “Üçgenin iç açılarının toplamı 1800 dir ”

p: 1q: 0r: 0s: 1

Aşırı NotAşırı Not pp

qq rr

11

11 11 00

00 11 00

00

11 11 00

00 11 00

p ve q iki önerme olsun.p ve q iki önerme olsun.P doğru iken P doğru iken

q doğru yada yanlış olabilir. q doğru yada yanlış olabilir. Bunun gibi p yanlış olduğunda Bunun gibi p yanlış olduğunda

q doğru yada yanlış değer alabilir.q doğru yada yanlış değer alabilir.Bu şekilde doğruluk değerlerini Bu şekilde doğruluk değerlerini gösteren bir doğruluk tablosu gösteren bir doğruluk tablosu

çizilebilir.çizilebilir.

Önermelerin DenkliğiÖnermelerin Denkliği

İki önermenin doğruluk İki önermenin doğruluk değerleri aynı ise bu iki değerleri aynı ise bu iki önerme önerme denktir denktir denir. denir.

İki önerme denk ise İki önerme denk ise p p ≡≡ q q ile ile gösterilir ve “gösterilir ve “p denktir q yap denktir q ya ” ”

diye okunur.diye okunur.

Aşağıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini

bulmalyım. Hangileri denk, hangileri denk değildir?

Denkler için “ ≡ “ , denk olmayanlar için “≢ “ sembolünü kullan.

a)En küçük asal sayı 2 dir.

b)En büyük negatif tamsayı -1 dir.

c) 28 bir basamaklı bir sayıdır.

d) En büyük doğal sayı 9 dur.

a ≡ 1,b≡ 1,c ≡ 0,d ≡ 0

Bu ifadelerden şu sonuca varırız..

a ≡b,c≡ d,a ≢ c,a ≢d,b ≢c, b≢ d,

Önermenin DeğiliÖnermenin Değili Bir önermenin hükmü değiştir i lerek Bir önermenin hükmü değiştir i lerek

oluşturulan yeni önermeye bu oluşturulan yeni önermeye bu önermenin değil i denir. p önermesi önermenin değil i denir. p önermesi

için p nin değil i , p’ veya için p nin değil i , p’ veya ~~ p i le p i le gösteri l ir.gösteri l ir.

AŞIRI NOTAŞIRI NOT : Bir önermenin : Bir önermenin değil i onun zıddına değil i onun zıddına tamamlanmışıdır.tamamlanmışıdır.

Bu bilgilere göre aşağıdaki Bu bilgilere göre aşağıdaki tablo oluşurtablo oluşur

pp ~~pp

11 00 00 11

Bazı Bazı SembollerSemboller

DeğiliDeğili

== ≠≠ >> ≤≤≥≥ <<∈∈ ∉∉

ÖRNEKLER ve ÖRNEKLER ve CEVAPLARICEVAPLARI

Önermelerin değillerini Önermelerin değillerini bulunuz.bulunuz.

• p:p: Bugün hava bulutludur.Bugün hava bulutludur.• ~~p:p: Bugün hava bulutlu Bugün hava bulutlu

değildir.değildir.

• q: Bugün cumadır.

• ~q: Bugün Cuma değildir.

• r: 4+5=9

• ~r: 4+5≠9

• s: Murat futbol oynamaz.

• ~s: Murat futbol oynar.

Değilinin DeğiliDeğilinin DeğiliÖnerme doğru ise değili Önerme doğru ise değili

yanlıştır.Yanlış bir yanlıştır.Yanlış bir önermenin değili ise doğru önermenin değili ise doğru bir önermedir.O halde bir bir önermedir.O halde bir önermenin değilinin değili önermenin değilinin değili

kendisine denktir.kendisine denktir.

p ~p ~(~p)

D Y D

Y D Y

Örnek 5

“Ben mutlu değilim dersem doğru olmaz“cümlesini en basit formda yazınız.

Çözüm

p: “Ben mutluyum" denirse bu önerme ~(~p) ye denktir . Dolayısıyla bu ifade kısaca “ben mutluyum“ demektir.

Aşağıdaki ifadelerden Aşağıdaki ifadelerden hangilerinin önerme olduğuna hangilerinin önerme olduğuna karar ver!karar ver!

a)a)GGünaydınünaydın!!b)b)O çok iyi futbol oynuyorO çok iyi futbol oynuyor..c)c)İleri gitİleri git! ! d)d)8 asal sayıdır8 asal sayıdır..e)e)Bir haftada 7 gün vardırBir haftada 7 gün vardır..

f)T=2+4g)Hava karlıdır.h)Seni hiç kimse sevmez.i) Herkes bazı insanları sever.j)x<45k)x≥24l) 2x-4y<6

Aşağıdki cümlelerin Aşağıdki cümlelerin gerçek değerini gerçek değerini bulunuz.bulunuz.

a)a) Pamuk bir hayvandırPamuk bir hayvandır..b)b)Ay bir gezegendirAy bir gezegendir..c)c) Dünya hareket etmezDünya hareket etmez..d)d)3232<<12+612+6÷÷22••88e)e)8=24-88=24-8••22

Aşağıda veri len önerme Aşağıda veri len önerme çift lerinin bir ibirine denk çift lerinin bir ibirine denk olup olmadığını bulunuz.olup olmadığını bulunuz.a)a) p: p: Kelebek bir böcektirKelebek bir böcektir. . q: q: Gezegenler yıldızdırGezegenler yıldızdır..b)b) r: r: Dünyanın rotası ekseni Dünyanın rotası ekseni

etrafındadıretrafındadır.. s: s: Üçgenin alanı iki Üçgenin alanı iki

kenarının çarpımına eşittirkenarının çarpımına eşittir..c)c) t: 3t: 3<<5 k: (x-1)5 k: (x-1)22<< 0 0

Önermelerin değillerini Önermelerin değillerini bulunuz.bulunuz.

a)a) Dünyanın en büyük okyanusu Dünyanın en büyük okyanusu Pasifik okyanusudurPasifik okyanusudur..

b)b)44≥3≥3..c)c) 15 asaldır.15 asaldır.d)d)6 Doğal sayıdır.6 Doğal sayıdır.e)e)66••22<<1313f)f)Deniz dalgalıdır.Deniz dalgalıdır.

g)T=2+4h)Hava karlıdır.i)Seni hiçkimse sevmez.j)Herkes bazılarını sever.k)x<45l)x≥24m)2x-4y<6

Bileşik ÖnermelerBileşik Önermelerİki yada daha çok İki yada daha çok

önermeden-bağlaçlar önermeden-bağlaçlar kullanılarak-elde kullanılarak-elde

edilen yeni edilen yeni önermeye bileşik önermeye bileşik

önerme denir.önerme denir.

BağlaçlarBağlaçlar SembollerSemboller

VeVe ∧∧

VeyaVeya ∨∨

İseİse ⇒⇒

Ancak ve Ancak ve ancakancak

⇔⇔

p q∧Ve Bağlacı

“ “ ∧∧ ” ” BağlacıBağlacı

p ve q önermeleri “ve ” bağlacı i le p ve q önermeleri “ve ” bağlacı i le bileşik önerme yapılabil ir bu da p bileşik önerme yapılabil ir bu da p ∧∧ q i le gösteril ir. q i le gösteril ir.

örnek:örnek: p: Hayvanlar denizde yaşar.p: Hayvanlar denizde yaşar.q:2 asal sayıdır.q:2 asal sayıdır.Buna göre Buna göre pp ∧∧ q: q: Hayvanlar denizde Hayvanlar denizde

yaşaryaşar veve 2 bir asal sayıdır. 2 bir asal sayıdır.

1)1) PP∧∧ 00≡≡00 2)2)pp∧∧ 11≡≡pp 3)3)pp∧∧ ∼∼pp≡≡00

p ve q iki önerme olsun.her p ve q iki önerme olsun.her ikisi de doğru iken doğru ikisi de doğru iken doğru diğer durumlarda yanlış olan diğer durumlarda yanlış olan bileşik önermeye p ve q bileşik önermeye p ve q önermesi denir ve p önermesi denir ve p ∧∧q ile q ile gösterilir.gösterilir.

pp qq p p ∧∧ q q

11 11 11

11 00 00

00 11 00

00 00 00

ÖRNEKLER ve CEVAPLAR

Aşağıdaki önermeleri p, q, Aşağıdaki önermeleri p, q, r.. . i le göstererek doğruluk r... i le göstererek doğruluk değerlerini bulunuz.değerlerini bulunuz.

1.1. Limon sarıdır ve çilek kırmızıdır.Limon sarıdır ve çilek kırmızıdır. p: Limon sarıdır. p: Limon sarıdır. ⇒⇒ pp≡≡11 q: Çilek kırmızıdır. q: Çilek kırmızıdır. ⇒⇒ q q≡≡11 O halde pO halde p∧∧ qq ≡≡11∧∧ 11 ≡≡11

2.2. Bir dikdörtgenin 4 kenarı vardır ve Bir dikdörtgenin 4 kenarı vardır ve bir karenin 5 kenarı vardır.bir karenin 5 kenarı vardır.

p:Bir dikdörtgenin 4 kenarı vardır p:Bir dikdörtgenin 4 kenarı vardır ⇒⇒ pp≡≡11

q: Bir karenin 5 kenarı vardır. q: Bir karenin 5 kenarı vardır. ⇒⇒ qq≡≡00

olduğundan polduğundan p≡≡1ve q1ve q≡≡0,0, pp∧∧ q q ≡≡1 1 ∧∧ 0 0 ≡≡00

3.3.5+7=3 ve 95+7=3 ve 9>>88p: 5+7=3p: 5+7=3⇒⇒ pp≡≡00 q: 9q: 9>>8 8 ⇒⇒ q q≡≡11 Olduğundan pOlduğundan p≡≡0 ve 0 ve

qq≡≡1, p1, p∧∧ qq ≡≡ 0 0 ∧∧ 1 1 ≡≡00

4.4.Bir üçgenin 4 açısı ve bir Bir üçgenin 4 açısı ve bir dörtgenin 3 açısı vardırdörtgenin 3 açısı vardır

p: Bir üçgenin 4 açısı vardır p: Bir üçgenin 4 açısı vardır ⇒⇒ pp≡≡0 0

q: Bir dörtgenin 3 açısı q: Bir dörtgenin 3 açısı vardır vardır ⇒⇒ q q≡≡00

olduğundan polduğundan p≡≡0 ve q0 ve q≡≡0, 0, p p∧∧ qq ≡ ≡ 0 0 ∧∧ 00 ≡≡00

Şimdi kendini deneŞimdi kendini dene

Bileşik önermelerin gerçek Bileşik önermelerin gerçek değerini buldeğerini bul..

pp≡≡{{[([(11∧∧00)∧)∧11]∧]∧} } ∧∧{{11∧[∧[ ((11∧∧11)∧)∧00]]}}

p ve q önermeleri “VEYA ” p ve q önermeleri “VEYA ” bağlacı i le bileşik önerme bağlacı i le bileşik önerme yapılabil ir bu da p yapılabil ir bu da p VV q i le q i le gösteri l irgösteri l ir ..

Ör: p: “Ben zekiyim” q: Ör: p: “Ben zekiyim” q: “Sen güçlüsün”“Sen güçlüsün”

p V q:p V q: “ “ Ben zekiyim veya sen Ben zekiyim veya sen

güçlüsün”güçlüsün”

p ve p iki önerme olsun.bu p ve p iki önerme olsun.bu önermelerden ikisi de yanlış önermelerden ikisi de yanlış iken yanlış, diğer durumlarda iken yanlış, diğer durumlarda doğru olan bi leşik önermeye doğru olan bi leşik önermeye “p veya q”“p veya q” bi leşik önermesi bi leşik önermesi denir ve p V q i le gösteri l ir.denir ve p V q i le gösteri l ir.

Bu tanıma göre şu Bu tanıma göre şu eşit l ikleri yazabil ir iz.eşit l ikleri yazabil ir iz.

1. 1. p V 0 p V 0 ≡≡ pp 2. 2. p V 1 p V 1 ≡≡ 11 3. 3. pVpV ~~ p p ≡≡ 11

pp qq pVqpVq

11 11 11

11 00 00

00 11 00

00 00 00

Örnek p: “Ahmet işi yapar" ve q: “Ali işi yapar." önermeleri veriliyor. p VV q ne ifade eder?

Çözüm p V q: “Ahmet veya Ali’den biri işi yapar.”

Örnek p: “Terzi o işi yapar," q: “Berber o işi yapar," and let r: “Aşçı o işi yapar.“ (p VV q) ∧∧ (~~r) bileşik önermesini bulunuz. Çözüm (p VV q) ∧∧ (~~r) : " Terzi veya berberden birisi o işi yapar ve aşçı o işi yapamaz"

Örnek p: "55, 5 e bölünebilir," q: "676, 11 e bölünebilir," and r: "55, 11 e bölünebilir." Aşağıdaki önermeleri sembolik olarak gösteriniz: (a) “55, 11 e bölünemez veya 676, 11 e bölünemez." (b) “55, 5 veya 11 e bölünebilir;veya 676, 11 e bölünebilir."

Çözüm (a) (~ r) V ( ~q)(b) (p V r) V q ,veya,p V(r V q ) (p V q) V r ≡ p V (qV r)

Çözüm (a) (~ r) V ( ~q)(b) (p V r) V q ,veya,p V(r V q ) (p V q) V r ≡ p V (qV r)

p ~p

1 0

0 1

p q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0

p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

Sembolik Form

Doğruluk Tablosu

Okunuşu

Değili ~p Değil p

Veya p ve q

Ve p veya

q

p q ∨

p q ∧

p q ∨p q ∧

De Morgan KuralıDe Morgan Kuralı

1.1. ~~ (p (p V V q) q) ≡≡ ~~ p p ∧∧ ~~qq

2.2. ~~(p (p ∧∧ q) q) ≡≡ ~ ~ p p V V ~~qq

Augsts De Morgan (1806-Augsts De Morgan (1806-1871)1871)

Mantık analizcisi ve olasılık Mantık analizcisi ve olasılık teorisyenidir. De Morgan Londra teorisyenidir. De Morgan Londra matematik üniversitesinin ilk matematik üniversitesinin ilk profesörüdür. Aristo mantığının profesörüdür. Aristo mantığının sağlam temellere oturtmuştur.sağlam temellere oturtmuştur.

Aşağıdaki bileşik Aşağıdaki bileşik önermelerin değillerini önermelerin değillerini alınız..alınız..

a)a)p p ∧∧ ( ( ~~ q Vq V r)r) Çözüm : Çözüm : ~~ [[ p p ∧∧ (( ~~q V r)q V r) ]] ≡≡

≡≡ ~ ~ pV pV ~~ (( ~~q Vq V r)r)

≡≡ ~~ p V (p V ( ~~ ((~~ q q ∧∧ r)r) ≡≡ ~~ p V (q p V (q ∧∧ ~ ~ r)r)

b)b) (~p V~q) (~p V~q) ∧∧ (p (p ∧∧ ~q) ~q) Çözüm : Çözüm :

~[ (~p V~q) ~[ (~p V~q) ∧∧ (p (p ∧∧ ~q) ] ~q) ] ≡≡

≡≡ ~ (~p V~q) V ~ (p ~ (~p V~q) V ~ (p ∧∧ ~q) ~q) ≡≡ (~ (~p ) (~ (~p ) ∧∧ ~ (~ q) V (~p V ~ (~ q) V (~p V

~(~q))~(~q)) ≡≡ (p (p ∧∧ q) V (~p V q)q) V (~p V q)

TotolojiTotoloj i

Bütün degerleri Bütün degerleri doğru çıkan doğru çıkan önermelere totoloj i önermelere totoloj i denir. denir.

ÇelişkiÇelişki

Bütün doğruluk Bütün doğruluk değerleri yanlış olan değerleri yanlış olan önermelere çelişki önermelere çelişki denir. denir.

Örnek

p VV (~p) ifadesinin totoloji olduğunu gösteriniz. Çözüm Doğruluk tablosuna baskarak görelim:

p ~p

D Y D Y D D

p (~p) ∨

p ne olursa olsun ifadesi p den bağımsız olarak her zaman doğru çıkar.Bundan dolayı ifadesi bir totolojidir.

p (~p) ∨

p (~p) ∨

Example ifadesini totolojimidir.Çözüm Doğruluk tablosunu yaparsak:

p q

1 1 0 0 1 0 1

1 0 1 1 1 0 1

0 1 0 0 1 0 1

0 0 1 1 0 1 1

(p q) [ (~p) (~q) ]∨ ∨ ∧~(p) (~q)∧p q∨

(p q) [ (~p) (~q) ]∨ ∨ ∧

p′ q′

Örnek ifadesi çelişki midir?. Çözüm Tabloya bakınız:

p q

1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 1 0

(p q) [ (~p) (~q) ]∨ ∧ ∧~(p) (~q)∧p q ∨

(p q) [ (~p) (~q) ]∨ ∧ ∧

p′ q′

p V p V ~~ ((~~ q V q V ~~ r) bileşik r) bileşik önermesi totoloji ise p, q önermesi totoloji ise p, q ve r yi bulunuz. ve r yi bulunuz.

Eğer bu bileşik önerme Eğer bu bileşik önerme totoloji ise sonucu “1” totoloji ise sonucu “1” dir.Buradan,dir.Buradan,

pV pV ~~((~~qVqV~~r) r) ≡≡1 1

olduğu için, olduğu için,

pp≡≡11 ve ve ~~((~~qV qV ~~r) r) ≡≡11

~~((~~q) V q) V ~~r r ≡≡1 q V1 q V~~r r ≡≡1 1

den den q q ≡≡11 ve ve ~~r r ≡≡11

Yani,Yani,

pp≡≡1, q 1, q ≡≡1, r 1, r ≡≡00

Şartlı Şartlı ÖnermeÖnerme

p ve q iki önerme p ve q iki önerme olsun.p doru q yanlış olsun.p doru q yanlış iken yanlış, diğer iken yanlış, diğer durumlarda doğru durumlarda doğru olan bileşik önermeye olan bileşik önermeye “ p ise q ” bi leşik “ p ise q ” bi leşik önermesi denir ve “önermesi denir ve “ p p ⇒⇒ q q ” i le gösteri l ir.” i le gösteri l ir.

pp qq p p ⇒⇒ qq11 11 1111 00 0000 11 1100 00 11

Aşağıdaki önermelerin doğruluk Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz.değerlerini bulunuz.a)a) 4 4 << 7 7 ⇒⇒ 9 9 << 12 12 (1 (1 ⇒⇒ 1) 1) ≡≡ 1 1b)b) 22 3 3 = 8 = 8 ⇒⇒ 2 = 3 2 = 3 (1 (1 ⇒⇒ 0) 0) ≡≡ 0 0a)a) [[ (1 (1 ⇒⇒ 0 ) 0 ) ⇒⇒ 11 ]] ⇒⇒ [[ (0 (0 ⇒⇒ 0) 0) ⇒⇒ (1 (1

⇒⇒ 0) 0) ]] ≡≡ [[ 0 0 ⇒⇒ 1 1 ] ] ⇒⇒ [[ 1 1 ⇒⇒ 0 0 ]] ≡≡ 1 1 ⇒⇒ 0 0 ≡≡ 00

Aşağıdaki önermelerin tersini Aşağıdaki önermelerin tersini yazınız.yazınız.

• A) a A) a ⇒⇒ b: “Bugün cuma ise yarın b: “Bugün cuma ise yarın cumartesidir ”cumartesidir ”

b b ⇒⇒ a: “Yarın Cumartesi ise bugün a: “Yarın Cumartesi ise bugün cumadır.”cumadır.”

• B) c B) c ⇒⇒ d: “Hava kar yağışlı ise d: “Hava kar yağışlı ise soğuktur”soğuktur”

d d ⇒⇒ c: “Hava soğuk ise kar c: “Hava soğuk ise kar yağışlıdır.”yağışlıdır.”

Şartlı Önermenin Şartlı Önermenin TersiTersi

p ⇒q nun tersi ~p ⇒ ~q dir.

p ⇒q nun tersi ~p ⇒ ~q dir.

Aşağıdaki şartl ı Aşağıdaki şartl ı önermelerin tersini önermelerin tersini alınızalınız• A) Eğer x=3 ise 2.x+5=11A) Eğer x=3 ise 2.x+5=11 x≠3 ise 2.x+3≠11x≠3 ise 2.x+3≠11• B) Eğer 2<5 ise 5≥2 B) Eğer 2<5 ise 5≥2 Eğer 2≥5 ise 5<2 Eğer 2≥5 ise 5<2

Şartlı önermenin Şartlı önermenin karşıt tersikarşıt tersi

p ⇒ q nun karşıt tersi ~q ⇒ ~p dir.p ⇒ q nun karşıt tersi ~q ⇒ ~p dir.

Aşağıdaki Aşağıdaki önermelerin karşıt önermelerin karşıt terslerini yazınız.terslerini yazınız.• A)Eğer “2 tamsayı ise 2A)Eğer “2 tamsayı ise 222 de tamsayıdır” de tamsayıdır”Eğer “2Eğer “22 2 tamsayı değilse 2 de tamsayı tamsayı değilse 2 de tamsayı

değildir” değildir” • B)”Karenin alnı 4cmB)”Karenin alnı 4cm2 2 ise bir kenarı 4cm ise bir kenarı 4cm

dir”dir”““Karenin bir kenarı 4cm değilse alanı Karenin bir kenarı 4cm değilse alanı

4cm4cm2 2 değildir.” değildir.”

Şartlı önermenin Şartlı önermenin değil ideğil i

(p ⇒ q)≡~p Vq ~(p ⇒ q) ≡p ∧∧ ~q

(p ⇒ q)≡~p Vq ~(p ⇒ q) ≡p ∧∧ ~q

İspat:İspat:

pp qq p p ⇒⇒ qq

~~ (p(p⇒⇒qq))

~~qq pp∧∧ ~~ qq

11 11 11 00 00 00

11 00 00 11 00 11

00 11 11 00 11 00

00 00 11 00 11 00

Tabloda görüldüğü gibi, ~(p⇒ q) ≡ p ∧∧ ~q

Tabloda görüldüğü gibi, ~(p⇒ q) ≡ p ∧∧ ~q

Teorem:Teorem:1)1)p p ⇒⇒ p ≡ 1p ≡ 12)2)p p ⇒⇒ ~~p p ≡ ≡ ~~ pp3)3)0 0 ⇒⇒ p ≡ 1p ≡ 14)4)p p ⇒⇒ 0 ≡ 0 ≡ ~~ p p5)5)1 1 ⇒⇒ p ≡ pp ≡ p6)6)p p ⇒⇒ 1 ≡ 11 ≡ 1

ÖZELİKÖZELİK

1.1. p p ⇒⇒ q q ≡ ≡ ~~ p V p V qq

2.2. p p ⇒⇒ q q ≡ ≡ ~~ q q ⇒⇒ ~~ pp

3.3. ~~ (p (p ⇒⇒ q) q) ≡ ≡ p p ∧∧ ~~ qq

İspat:İspat:

pp qq ~~pp ~~qq pp⇒⇒

qq~~pvqpvq ~~q q ⇒⇒ ~~pp

11 11 00 00 11 11 11

11 00 00 11 00 00 00

00 11 11 00 11 11 11

00 00 11 11 11 11 11

Ancak ve Ancak ve AncakAncakBağlacıBağlacı

p ve q iki önerme olsun. p ve q iki önerme olsun. p ve q önermelerinin p ve q önermelerinin

doğruluk değerler i aynı doğruluk değerler i aynı iken aynı , farkl ı iken iken aynı , farkl ı iken yanlış olan önermeye yanlış olan önermeye

p ancak ve ancak q p ancak ve ancak q bi leş ik önermesi denir bi leş ik önermesi denir ve ve

p p ⇔⇔ q i le göster i l i r .q i le göster i l i r .

pp qq p p ⇔⇔ qq

11 11 1111 00 0000 11 0000 00 11

Teorem:Teorem: p p ⇔⇔ q q ≡≡ (p (p ⇒⇒ q) q) ∧∧ (q (q ⇒⇒ p) p)

pp qq p p ⇔⇔ q q p p ⇒⇒ qq

q q ⇒⇒ p p (p(p ⇒⇒q) q) ∧∧ (q(q ⇒⇒p)p)

11 11 11 11 11 11

11 00 00 00 11 00

00 11 00 11 00 00

00 00 11 11 11 11

ŞimdiŞimdiKendiniKendini

DenemeDenemeZamanıZamanı

I.QUIZI.QUIZAşağıdaki soruları Aşağıdaki soruları

cevaplayınızcevaplayınız

11 . Hangisi bir . Hangisi bir önerme değildirönerme değildir??A) Herkesin bir kız kardeşi vardır.A) Herkesin bir kız kardeşi vardır.B) Bütün köpekler hayvandır.B) Bütün köpekler hayvandır.C) Doğru parçasında en az iki nokta C) Doğru parçasında en az iki nokta vardır.vardır.D) Sevgili öğrenciler.D) Sevgili öğrenciler.E) Bazı insanlar zekidirE) Bazı insanlar zekidir..

Cevap:DCevap:D

22 .. Eğer dört önermeniz varsa, Eğer dört önermeniz varsa, kaç tane doğruluk değeri vardır?kaç tane doğruluk değeri vardır?

A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64

CevapCevap: : CC

33. . p:”Eren çok çalışkandır” ve p:”Eren çok çalışkandır” ve q:”Esra basketbol oynayamaz” q:”Esra basketbol oynayamaz” önermeleri veriliyor.Aşağıdakilerden önermeleri veriliyor.Aşağıdakilerden

hangisi “Eren tembel ve Esra basketbol hangisi “Eren tembel ve Esra basketbol oynar”oynar”

bileşik önermesini ifade eder?bileşik önermesini ifade eder?A)p’ A)p’ V q’ B)(p’ VV q’ B)(p’ V q) C)p q) C)p ∧∧ q’ q’

D)p’ D)p’ ⇒⇒ q’ E) p’ q’ E) p’ ∧∧ q’ q’ Cevap:DCevap:D

44.. p p ⇒⇒ (p (p ∧∧ q) ifadesine q) ifadesine aşağıdakilerden hangisi denktir?aşağıdakilerden hangisi denktir?A) p A) p ⇒⇒ (p V q)’ B) p (p V q)’ B) p ⇒⇒ q C) p V q C) p V

q’ D)p’ q’ D)p’ ⇒⇒ q’ E)p q’ E)p ⇒⇒ q’ q’

Cevap:BCevap:B

55.. p p ⇒⇒ (q (q ⇒⇒ p’) ifadesi hangisine p’) ifadesi hangisine denktir?denktir?

A)P V(p V q)’ B)p A)P V(p V q)’ B)p ⇒⇒ q C)p’ q C)p’ V V q’ q’ D) q’ D) q’ ⇒⇒ p E)p’ p E)p’ ⇒⇒ q q

Cevap:CCevap:C

66.. (p (p ⇒⇒ q) V(p q) V(p ∧∧ q) ifadesi q) ifadesi hangisine denktir?hangisine denktir?

A)p A)p ⇒⇒ q B)p C)q D)0 q B)p C)q D)0 E)1 E)1

Cevap:ACevap:A

77 . . (p (p ⇒⇒ q) q) ⇒⇒ (p(p ’ ’ ⇒⇒ q)q) aşağıdakilerden hangisine aşağıdakilerden hangisine denktirdenktir ??

a) (pa) (p VV qq )) ’’ b) b) (p(p ’ ’ ⇒⇒ qq ’’ )) c) c) (p (p ⇒⇒ qq )) ’’ d) d) (p(p⋁q⋁q )) e) e) (p(p ⋁q⋁q ) ) ⇒⇒ (p⋁q) (p⋁q)

Cevap: D

88 . . 3=5 3=5 ⇒⇒ 9=25 9=25 şartl ı şartl ı önermesinin değil i nedir?önermesinin değil i nedir? a) (3a) (3≠5≠5) ) V V (9≠25)(9≠25) b) (3≠5)b) (3≠5) V V (9=25)(9=25) c) (3=5) c) (3=5) ∧∧ (9≠25)(9≠25) d) (3=5) d) (3=5) ∧∧ (9=25)(9=25) e) (9=25)e) (9=25) V V (3=5)(3=5)

Cevap: C

99 . . [p [p ⇒⇒ (q(q V V r)r) ]] ≡0≡0 denkliği denkliği veri ldiğine göre hangisi veri ldiğine göre hangisi doğrudurdoğrudur ?? a) p a) p ∧∧ rr b) rb) r’V’Vqq c) (pc) (pVVq) q) ∧∧ (p (p ∧∧ r) r) d) (pd) (pVVq) q) ∧∧ r r e) (pe) (p’V ’V r) r) ∧∧ (r(r’ ’ ∧∧ q)q)

Answer: BAnswer: B

1010 .. [p[p VV (q (q ∧∧ r)] r)] ∧∧ [r (p [r (p ⇒⇒ q)]q)] i fadesi neye denktir i fadesi neye denktir ??

a) 1a) 1 b) 0b) 0 c) pc) p V q V q d) q d) q ∧∧ r r e) re) r

CevapCevap: A: A

1111 . . qq ’ ’ ∧∧ (p(p ’ ’ vv r)r) ’’ ≡≡ 1 1 denkliği veri ldiğine göre denkliği veri ldiğine göre p, q, r nin değeri p, q, r nin değeri hangisinde doğru olarak hangisinde doğru olarak veri lmiştirveri lmiştir ? ? a)0,1,0a)0,1,0

b)0,1,1b)0,1,1 c)1,0,0c)1,0,0 d)1,1,0d)1,1,0 e)0,0,0e)0,0,0

Cevap Cevap : : AA

1212 . . q q ∧∧ (p(p ⇒⇒ q)q) i fadesi i fadesi hangisine denktirhangisine denktir ??

a)0a)0 b)1b)1 c)c)pp d)qd)q e)pe)pVVqq

CevapCevap: : DD

1313 . . pp ’ ’ ⇒⇒ (p (p ⇒⇒ q)q) bi leşik bi leşik önermesi aşağıdakilerden önermesi aşağıdakilerden hangisine denktirhangisine denktir ?? a)pa)p b)qb)q c)c)qq’’ d)Td)Totolojiotoloji e)e)ÇelişkiÇelişki

CevapCevap: D: D

1414 .. (p (p ⇒⇒ q) q) ’ ’ ⇒⇒ (p (p ⇒⇒ q)≡? q)≡?

a) Ta) Totolojiotoloji b) pb) p’ ’ ⇒⇒ qq’’ c) c) ÇelişkiÇelişki d)p d)p ⇒⇒ q q e)e)pp’’ ⇒⇒ q q

CevapCevap: : DD

1515 . . Hangisi totoloj idirHangisi totoloj idir ?? a) p a) p ⇒⇒ ((pp’V’Vqq)) b) pb) p’ ’ ⇒⇒ (p (p ⇒⇒ p p’’)) c) pc) p’ ’ ⇒⇒ qq d)pd)pVVqq e)(pe)(p’V’Vpp) ) ⇒⇒ qq

CevapCevap: : BB

1616 . . (p (p V V q) q) ⇒⇒ (r(r ’ ’ VV s)s) bi lşik bi lşik önermesi aşağıdailerden önermesi aşağıdailerden hangisine denktirhangisine denktir ?? a) a) r r ⇒⇒[(pVq) [(pVq) ⇒⇒s]s] b) (p b) (p ⇒⇒ q) q)’ ’ ⇒⇒((rr’V’Vss)) c) (rc) (r’V’Vs)s)VV(p (p ⇒⇒ q) q) d) (pd) (pVVq)q)’ ’ ⇒⇒((rr’V’Vss)) e) (r e) (r ⇒⇒ s s’’))VV(p(p’ ’ ⇒⇒ q)q)

CevapCevap: A: A