1. Determinante (Definicija i osobine) Definicija: Determinanta je jedna od vaznih karakteristika matrice. Zadaje se iskljucivo za kvadratne matrice, jer prema jednoj od vaznih definiicija (kombinator) se moze videti da pojam determinante nema smisla uvesti za nekvadratne matrice. Postoje determinante prvog, drugog i proizvoljnog reda! Osobine: 1. Ako su svi elementi jedne vrste (kolone) jednake nuli vrednost determinante je nula.

2. Vrednost determinante je jednaka nuli ako su joj dve vrste (kolone) proporcionalne.

3. Zamena mesta dve vrste (kolone) menja znak determinante.

4. Determinanta se mnozi brojem tako sto SAMO ELEMENTE JEDNE VRSTE (KOLONE) pomnozimo

tim brojem.

5. Vrednost determinante se ne menja ako elemente jedne vrste (kolone) pomnozimo i dodamo

elementima neke druge vrste (kolone).

6. Determinanta se nemenja pri transponovanju.

7. Ako se ispod (iznad) glavne dijagonale nalaze sve nule tada je vrednost determinante jednaka

proizvodu elementa glavne dijagonale.

8. Lapasova teorema

2. Matrica (Definicija i osobine) Definicja: Matrica tipa m x n je skup od m * n brojeva aij ( i = 1,2,3, …, m ; j = 1,2,3, …, n ) ili nekih drugih matematickih velicina, rasporedjeni u m vrstama i n kolonama u obliku pravougaone sheme (tabllliiice) koju stavljamo u uglastu zagradu

Primer :

(1)

Brojevi aij ( i = 1,2,3, …, m ; j = 1,2,3, …, n ) matrice (1) su njeni elementi. Prvi indeks (i) obelezava vrstu, a drugi (j) kolonu u kojoj se elementi nalaze. Elementi matrice mogu biti realni brojevi, kompleksni brojevi, funkcije, vektori, itd. Samu matricu oznacavamo velikim slovima A, B, C, … Kratko pisanje matrice (1) : [aij]m,n Horizontalni redovi se nazivaju vrste a vertikalni kolone Osobine: 1. Determinanta 2. Rang matrica – to je brojna osobina matrice, nesto drugacija od determinante. Za razliku od

determinante ona se moze zadati za matricu bilo kojeg formata. 3. Inverzna matrica – Neka je data matrica A = [aij]mxn. Tada matrica AT=[bij]nxm je transponovana

matrica. 4. Kvadratna matrica, ciji su svi elementi van glavne diagonale nule, zove se diagonalna matrica. 5. Matrica sa proizvoljnim brojem vrsta i kolona ciji su svi elementi nule se naziva nula matrica.

3. Kramerovo pravilo (definicija)

Kramerovo je teorema u linearnoj algebri, koja daje resenje sistema linearnih jednacina pomocu determninanti. Dobila je ime po Gabrijelu Krameru. Sistem linarnih nepoznatih :

a11x1 + a12x2 + …. + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + …. + a2nxn = b2 (1)

………………………………………….. an1x1 + an2x2 + …. + annxn = b1

Ako je determinanta sistema (1) razlicita od nule, sistem je saglasan i ima jedinstveno

resenje. Vrednost nepoznate je razlomak ciji je imenilac determinanta sistema, a brojilac

determinanta dobijena iz determinanti sistema kada se umesto koeficijenta zu nepoznatu

stave slobodni clanovi sistema.

Formula X = A-1

H predstavlja matricni oblik « Kramerovih formula » x i =

4. Kroneker – Kapelijeva teorema

Posmatramo sistem od m linearnih jednacina sa n nepoznatih:

a11x1 + a12x2 + …. + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + …. + a2nxn = b2 (1)

………………………………………….. am1x1 + am2x2 + …. + amnxn = bm

Stav 1: Rang matrice A i rang prosirene matrice B sistema (1) medjusobno su jednaki, ako i

samo ako je poslednje kolone matrice B linearna kombinacija nekih (ili svih) kolona matrice A.

TEOREMA: Stav 2 - Kroneker-Kapelijev stav: Da bi sistem linearnih jednacina (1) bio saglasan,

potrebno je i dovoljno da rang matrice sistema (1) bude jednak rangu prosirene matrice toga sistema (rangA=rangB)

Stav 3: Ako je rang matrice saglasnog sistema jednak borju nepoznatih, sistem ima

jedinstveno resenje. Stav 4: Ako je rang matrica saglasnog sistema manji od broja nepoznatih, sistem ima

beskonacno mnogo resenja.

5. Matricni metod za resavanje jednacina

Matricni oblik: AX = B gdje je matrica sistema A – kvadratna matrica reda n. Pretpostavljamo da je determinanta matrice A razlicit od nule, to jest:

detA =

Tada A ima inverznu matricu A-1 i mnozenje obe strane jednacine AX = B sleva sa A-1, dobijemo

AX = B / A-1 (sa leva)

A-1

*A*X = A-1

* B

I * X = A-1

* B

X = A-1

* B

6. Skalarni proizvod vektora Definicja: Skalarnim proizvodom dva vektora nazivamo realan broj koji je jednak proizvodom intenziteta tih vektora i kosinusa ugla izmedju njih.

* = * * cosALFA

Skalarni proizvod vektora i zapisuje se :

* = * ili (

7. Vektorski proizvod Definicja:

Vektroski proizvod * je koji je normalan na vektore i i intenzitet vektora c je jednak

povrsini paralelograma, konstruisanim nadvektorima i kao sranicama.

to jest: * * sinALFA, gdje je alfa ugao izmedju vektora i

Vektroski proizvod vektora i se oznacava x ili ] Intenzitet vektroskog proizvoda jednak je proizvodu intenziteta tih vektora i sinusa ugla, izmedju tih vektora.

8. Mesoviti proizvod vektora

Mjesoviti proizvod vektora , , naziva se broj koji predstavlja skalarni proizvod vekora , i

vektroskog proizvod x .

* ( , - mjesoviti proizvod 3 vektora je broj !

Mjesoviti proizvod vektora oznacava se sa ( * ili , ,