ZADACI ZA VJEBANJE 12/4/2007y 1. Rjeite slijedee sisteme linearnih jednaina;(a) 3x 4y = 23(b) 5x 4y = 8(c) 2x y = 6 (d) 5x - 6y = 0 (e) -8x + 2y = 0 2x + 9y = -8-7.5x + 6y = -12 8x 4y = 3 3x +y = 0 28x 7y = 0Rjeenje:a)1) Rjeavanjem sistema linearnih jednaina determinantama, primjenom Kramerovog pravila3x - 4y = 232x + 9y = -8Determinanta sistema formirana od koeficijenata uz nepoznate jedeterminanta nepoznate x (koja se dobija zamjenom u determinantni sistema koeficijenata uz x slobodnim lanovima) je:determinanta nepoznate x (dobija se iz D zamjenom koeficijenata uz y slobodnim lanovima):Prema Kramerovom pravilu bie:12/4/20072) Rjeavanje sistema linearnih jednaina primjenom matricay Dati sistem jednaina3x 4y = 232x + 9y = -8u matrinom obliku glasi:Rjeeni oblik matrine jednaine jey Inverzna matrica se dobija kao kolinik adjungovane matrice i determinante matrice. Adjungovana matrica matrice drugog reda se moe dobiti tako to se elementima na glavnoj dijagonali promjene mjesta, a elementima na sporednoj dijagonali promjene predznaci.3) Gausov postupak eliminacije12/4/20073 4 232 9 8xy

=

| | |13 4 232 9 8xy

=

| | |4) Rjeavanje sistema linearnih jednaina elementarnom baznom transformacijomy Neka je sistem jednaina3x 4y = 232x + 9y = -8dat u vektorskom obliku na sledei nain:sa kompaktnom notacijomxa1+ ya2 = btako da je y Rjeavanje sistema jednaina (i) - (ii) moe se svesti na rjeavanje vektorske jednaine (j). tj. odreivanje nepoznatihskalara x i y u linearnoj kombinaciji vektora a1i a2kojom se dobija vektor b. Za dalu poetnu bazu (kojoj pripadajuje:a cilj je formirati bazu kojoj pripadaju a1i a2.y Vektorska jednaina u tabelarnom obliku je:12/4/20072 4 233 9 8x y

+=

| | |1 22 4 23, ,3 9 8a a b= = =

| | |1 21 0 i 0 1e e = = | | ) )1 21 1 2 2 1 21 0 23 0 2323 8 23 80 1 0 8 83 2 , 4 9 ,b e ea e e a e e = +=+= + = | | | | |= + =+y Neka vektor a1ulazi u bazu umjesto vektora e1(broj 3 je tzv. ishodni element),tada e, potujui postupak objanjen u Teoriji, nova tabela izgledati ovako:y U slijedeem koraku ( transformacija baze) neka a2 postane bazni a e2 vanbazni vektor. Ishodni elemenat je broj. Nove vrijednosti dobijamo po opisanom postupku:y Rezultati poslednje tabele pokazuju da se vektor b moe izraziti kaob = 5a1+ (-2) a2y Znai, nepoznati skalari, odnosno rjeenja sistema jednaina su x=5, y=2.y (Treba napomenuti da unutranji dio tabele sadri inverznu matricu matrice koeficijenata nepoznatih)b)1) Primjena determinanti12/4/2007353 ) ) ) ) ) )5 456 4 7.5 30 30 07.5 68 486 4 12 48 48 012 65 85 12 8 7.5 60 60 07.5 12xyDDD

= ===

= ===

= ==+ = y Kada postoji beskonano mnogo rjeenja sistema, sve determinante (i sistema i pojedinih nepoznatih) jednake su nuli, tj. rjeenja su neodreena.a mogua rjeenja se mogu dobiti dodjeljivanjem proizvoljne vrijednosti za jednu promjenjivu, npr.y = , pa jeNpr. neka je = 3, onda je x = 4, a y = 3, itd.2) Primjena matricay Rjeavanjem sistema5x - 4y = 8-7.5x + 6y = -12dolazimo do zakljuka da ne postoji inverzna matrica matriceJerjoj je determinanta D = 5 6 - (-4) (-7,5) = 0 pa je dalje ispitujemo da li je sistem neodreen (ima bezbroj rjeenja)ili je kontradiktoran (nema rjeenja), na slijedei nainpa zakljuujemo da je rije o neodreenom sistemu.12/4/20070 0,0 0yxDDx yD D= = = =8 45 4 8, ,5x x REE E+ = = 5 47.5 6

|3) Gausov postupaky Zakljuujemo da je sistem jednostruko neodreen i da zamjenom proizvoljno odabranih vrijednosti za jednu od nepoznatih i jednaini 5x - 4y = 8. moemo dobiti odgovarajue vrijednosti druge nepoznate, pa tako dobiti po volji mnogo parova rjeenja (x0, y0).4) Elementarna bazna transformacijay Nakon jedne izvrene bazne transformacije sa ishodnim elementom 5, u drugoj tabeli trebalo bi e2da izae-iz baze a a2da ue u bazu, meutim 0 ne moe biti ishodni elemenat, pa se sledea iteracija ne moe izvriti. S druge strane, poto su u desnoj koloni svi koeficijenti koji se odnose na jedinine vektore jednaki nuli, zakljuujemo da postoji beskonano mnogo reenja sistema; za polazni vektorski oblik sistema jednainajedno mogue rjeenje jeZnai ,a pored toga postoji jo beskonano mnogo rjeenja.12/4/20075 4 8 / 1, 5 5 4 87.5 6 12 0 0 0 < .+ | |5 4 87, 5 6 12x y

+ = | | |5 4 8807, 5 6 12 5

+ = | | |8, 05x y = =y Ako je konstatovano da postoji beskonano mnogo rjeenja,tada broj jedininih vektora koji su ostali u bazi a u posljednjoj koloni im odgovara koeficijent nula, pokazuje koliko jednaina (i koje) se, praktino moe izostaviti iz poetnog sistema (jer se mogu dobiti kombinacijom preostalih) i da preostali dio sistema daje isto rjeenje.Ostala rjeenja dobijena iz relacije( dobija vrijednost po volji). Vidi posljednju tabelu!c)1) Primjena determinantiy Kada sistem nema mogue rjeenje, tada je determinanta sistema jednaka nuli i determinanta bar jedne nepoznate razliita je od nule, tako da se za nepoznate dobija nemogu izrazpa sistem jednaina nema rjeenja.2) Pomou matrica12/4/20078 4;5 5x y E E = + = ) ) ) )2 12 4 18 8 8 08 46 16 4 13 24 3 213 41 613 68 3 48 458 3xyDDD

= = =+ =

= = =+ =

= === 21 45,0 0yxDDx yD D = = = =2) Pomou matricapa zakljuujemo da je dati sistem kontradiktoran,tj. da nema rjeenja jer djeljenje brojeva -21 i -42 sa nulom (0) nije izvodljivo.3) Gausov postupakpa dolazimo do istog zakljuka, tj. da sistem nema rjeenja.4) Elementarna bazna transformacijaPoto 0 ne moe biti ishodni elemenat, ne moemo oba vektora a1i a2unijeti u bazu, dakle ne postoje skalarni x i y pomou kojih se moe izraziti b = xa1+ ya2, dakle sistem jednaina nema rjeenja12/4/20072 1 2 1det 08 4 8 42 1 4 18 4 8 24 1 6 21 21/ 01 18 2 3 42 42 / 0 0 0adjxy = = | = |= = =

| | | | | )2 62 1 2 1 6 / 4218 4 0 0 21 0 210x yy y = | < , = =.+ | |

|d)y Dati sislem je sistem homogenih jednaina. polo su svi slobodni lanovi jednaki nuli Ovakav sistem uvijekima mogue rjeenje ili postoji samo jedno, trivijalno rjeenje, a to je da sve nepoznate jednake nuli, ili postoji beskonano mnogo rjeenja od kojih je jedno i trivijalno 1) Sistem homogenih jednaina prikladno je rjeavati pomou determinanti.y Determinante pojedinih nepoznatih su svakako jednake nuli, dok ako je determinanta sistema razliita od nule postoji samo trivijalno rjeenje:2) Pomou matrica3) Gausov postupak12/4/2007 )5 65 1 6 3 5 18 233 1D

= == + =00, 023yxDDx yD D= = = = =5 6 5 6 1 6det 23;3 1 3 1 3 51 6 0 0 0 01 13 5 0 0 0 0 23 23adjx xy y = =

| | |= |== = , = | | | | | | ) )5 6 0 5 6 0 5 6 0 3/ 5023/ 5 0 0 3 1 0 0 23/ 5 0x yxy y = | < =, ` = =.+ | | | )4) Rjeavanje elementarnom baznom transformacijomPoto se oba vektora a1i a2nalaze u bazi, znai da postoji samo jedno rjeenje vektorske jednaine b = 0 a1+ 0 a2.e) Zakljuak: Postupak i rezultati su isti kao pod b), a odreen broj parova rjeenja se moe dobiti tako se npr. za x uzme vrijednost , pa e biti y=4..Ako dalje npr. uzmemo da je =1, onda e se dobili x=1,y=4. itd.2.Rijeite sledee sisteme linearnih jednaina:12/4/2007Rjeenje:1) Primjena determinantiy Ako je determinanta sistemarazliita od nule, tada sistemima jedno jedinstvenorjeenje. Vrijednost determinante izraunata primenom Sarusovog pravila je:D 0 sistem je rjeiv i ima jedinstveno rjeenje.y Vrijednost determinante Dxdobijenaje razvijanjem poelementimaprvevrste.tj. kaozbirproizvoda elemenata prve vrste, i odgovarajuih kofaktora.y Vrijednost determinante Dyrazvijanjem po elementima tree kolone:12/4/2007y Vrijednost determinante se ne mjenja ako se elementima neke vrste (ili kolone) dodaju elementi neke druge vrste (ili kolone) proireni bilo kojim brojem. Iskoristimo ovu mogunost u cilju transformacije determinante Dz, dodajui elemente druge vrste pomnoene sa -0,6, elementima prve, i drugu pomnoenu sa -1,6 elementima tree vrste tako da u prvoj koloni dobijemo dve nule i razvijmo dobijenu determinantu po elementima prve kolone:2) Rjeenje sistema jednaina pomou matricaMatrini oblik sistema jednaina jeOdreivanje inverzne matrice: 12/4/200711A adjAA

= y Adjungovana matrica je transponat matrice kofaktora. Kofaktori elemenata redom po elementima prve druge i tree vrste su:Matrica kofaktora date matrice je:Inverzna matrica je:a rjeenje sistema12/4/2007 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )1 1111 2121 3132 1212 2222 3234 11 4 2 1 7 8 7 157 25 11 1 52 1 8 188 25 41 57 48 38 75 61 52 67 527 23 61 32 68 428 23 51 37 5 8 618 7AAAAAA++++++

= = = + =

= = = = ==

= = == ==

= = = ) ) ) ) ) ) )3 1313 2323 3335 61 5 1 6 4 194 13 61 3 3 1 65 335 13 51 34 5 5 375 4AAA+++

= ==

= = =

= ==3) Gausov postupak (uradite sami)4) Elementarna bazna transformacijaIz tabele se itaju rjeenja x=2, y=-3, z=5.y Birajui ishodne elemente na glavnoj dijagonali kod sve tri iteracije, obezbjedili smo u poslednjoj tabeli inverznu matricu. Ishodni elementi se mogu birati i na drugi nain, rjeenja za nepoznate se i tada mogu oitati, a inverzna matrica se tada oitava nakon preureivanja vrsti i kolona poslednje tabele (uporedi rezultat sa inverznom matricom dobijenom pomou kofaktora ili proveri tanost inverzne matrice preko relacije A-1 A =E(E je oznaka za jedininu matricu).12/4/2007y Ispitivanje rjeivosti sistema pokazuje da je determinanta sistema D=0, a istovremeno determinante svih nepoznatih takoe su nule: Dx=Dy=Dz=0, znai postoji beskonano mnogo rjeenja sistema. Rjeenja sistema moemo prikazati na sledei nain:y Dodjelimo proizvoljnu vrijednostnepoznatoj x, tada jey Pretpostavimo da je konstanta, dakle dobili smo sistem od tri jednaine za dve nepoznate y i z, bar je jedna jednaina suvina. Primjenimo jedan od metoda rjeavanja,npr. metod suprotnih koeficijenta.y (Da smo dobili da su obe poslednje jednaine bezuslovne jednakosti, to bi znailo da treba dodjeliti proizvoljnu vrijednost za jo jednu nepoznatu).Zamjenom z u jednu od prethodnih jednaina slijedi:Rjeenja sistema su: 12/4/200719 169 37169 3738 338 74 19zzzEEE= =`= )169 37 9 335 6 51 3 ,19 19y yE EE += =9 33 169 37, , ,19 19X y z RE EE E = = = y Konkretna rjeenja se dobijaju odabiranjem proizvoljnih vrijednosti za .Npr. neka je Zadatak rjeavan elementarnom baznom transformacijom ima slijedei tok:Ne mogu se sva tri vektora a1, a2i a3istovremeno nai u bazi (samo dva od njih) ali poto se i u koloni b na odgovarajuem mjestu nalazi 0 to znai da postoji beskonano mnogo rjeenja sistema, jedno od njih je i npr.y Ovdje je (zbog skalara 0) napisano 0 a3umjesto 0 e3. Ovo istovremeno znai da je jedna od jednaina suvina, jer se moe dobiti kombinacijom druge dve, npr. ako prvu jednainu pomnoimo sa 3 i dodajemo joj drugu pomnoenu sa -2 dobiemo treu jednainu! Konkretna rjeenja emo dobiti iz relacije(Vidi posljednju tabelu)12/4/20079 1690,onda je0, , .19 9x y z itd E = = = =169 19 276 33i i 37 37 37 37x y z E E E

== + =y Ispitivanje rjeivosti sistema pokazuje da su sve determinante sistema i nepoznatih,jednake nuli, D = Dx= Dy= Dz= 0, znai postoji beskonano mnogo rjeenja sistema jednaina.y Poto su dobijene identike jednakosti, znai da su u gornjem sistemu dve jednaine suvine, potrebno je dodeliti vrijednosti jo jednoj nepoznatoj,npr. neka je y = , a veze meu nepoznatima zadrane su u jedno bilo kojoj od date tri jednaine: 3- 5 + 6z = 51. Rjeenja sistema su:y Konkretna rjeenja se dobijaju proizvoljnim odabirom vrijednosti za i .y Neka je npr. = 9, = -3, onda je x = 9, y = -3, z = itd.y Gausovim postupkom se dobija:12/4/200751 3 5, , , , .6x y z RE FE F EF += = = 32y Sistem je dvostruko neodreen, pa treba proizvoljno odreivati vrijednosti za dve od ukupno tri nepoznate Neka je npr. y = 3, z = 9, onda je x = 4 itd.y Elementarnom baznom transformacijom rjeenje je sledee:U bazi se moe nalaziti najvie jedan od vektora a1 , a2ili a3, postoji beskonano mnogo rjeenja od kojih je npr.: x = 17, y = 0, z = 0.Od date tri jednacine dve su suvine.Druga se moe dobiti kao prva pomnoena sa a trea mnoenjem prve sa 2 (vidi prvu kolonu poslednje tabele!)Za y = , z = ( i su proizvoljno odabrane vrijednosti), dobije se(vidi posljednju tabelu).Ispitivanja rjeivosti sistema pokazuju da je D = 0, Dx= -228, Dy= -368 iDz= 640, dakle sistem je u suprotnosti (nije saglasan) i nema rjeenja.Gausovim postupkom se dobija:12/4/200713

517 23x E F = + y Poto dijeljenje broja -16 sa nulom nije izvodljivo (nije mogue, nije delinisano), zakljuujemo da sistem nema rjeenja.y Elementarnom baznom transformacijom dobijamo:Poto dalja transformacija nije mogua, zakljuujemo kao u 1. zadatku pod (c).Postoji samo trivijalno rjeenje sistema jednaina x = y= z = 0. Ostale postupke obavljamo kao u 1. zadatku pod (d).12/4/20073 5 65 4 1 15308 7 2x y zD D D D

== = = =(razvijanjem prve kolone ) =Poto je D = 0 i svakako Dx= Dy= Dz= 0, postoji beskonano mnogo rjeenja sistema (meu kojima je x=y=z=0).Neka je x = , tada je:Problem se moe rjeiti i ostalim postupcima.12/4/20073 5 65 4 11 23 20D

= )3 174 661 1 0111 99+

=

5 6 34 523 203 65373 63 6 3 33194 5 , ,5 19 5 1933 37Rjesenja sistema su, za proizvoljno:, , ,19 19y zy zy zzyz xz z yx y z REEEEE EEE E EE E E EE + = = + =+=

++ === == = = y Postoji beskonano mnogo rjeenja sistema.y Sve subdeterminanle sistema, treeg reda.koje se dobijaju izostavljanjem jedne vrste i jedri determinante sistema, jednake su nuli.y Meu subdetorminantama drugog reda postoje i razliite od nule, npr.to je formirano od koeficijenata uz y i v u prvoj i drugoj jednaini. 12/4/20071 2 1 42 4 3 803 6 4 121 2 5 40x y zDD D D

= =

= = =12 1322 232 110 04 3a aa a= ==

y Prema tome, proizvoljne vrijednosti se mogu dodjeliti za x i z: x = , z = . y Sabiranjem prve i druge jednaine, kao i tree i etvrte, slijedi:Rjeenje sistema je12/4/20073 6 2 12 62 4 9 8 27a zamjenom i je:6 2 6 3 12 / 94 9 27 2 8 / 246 23 9212216 2 2 6 3 1223x y v zx y v zx zy vy vyyvvE FE FE FE FE FE F E F = + + == = = + = +=+=+ + += + ' '=1, 2 , 3, ,2x y v z R E E F FE

= = + = = y Gausovim postupkom se dobija:y Neka je y = , a z = , onda je x = -2 + 4 pa se rjeenja mogu prikazati ovako:x = -2 + 4, y = , v = 3, z = .y Konkretna rjeenja se mogu dobiti proizvoljnim odabirom vrijednosti za i Neka je npr. = 1,a = 2, tada je x = 6, y = 1, v = 3, z = 2, itd.y Dati sistem je dvostruko neodreen.y Kada se problem rjeava elementarnom baznom transformacijom,dobija se slijedee rjeenje:12/4/2007y Rezultati poslednje tabele se interpretiraju na slijedei nain:b = 0e3+ 0a2+ 3a3+ Oe4b=0a1+ 0a2+ 3a3+ Oa4y Jedno od rjeenja za nepoznate su x = 0, y = 0, v = 3, z = 0. Pored navedenog sistema ima jo beskonano mnogo rjeenja;ako je x = i z = , tada je(odgovarajue vrijednosti u redu a2i koloni a1sa suprotnim predznacima).y Neka je npr. =6, a =2, onda je x=6, y=1, v=3, z=2, itd.y Poto je broj jednacina manji od broja nepoznatih, radi se o neodreenom sistemu sa beskonano mnoge rjeenja.1. Gausovim postupkomPrema tome sistem je dvostruko neodreen. Neka je npr. x5= 0, a a4= 2.5 tada je x3= -4, x2= 1,5 i x1= 0.5 itd.12/4/2007122E F+2. Pomou determinantiy Neka je x4=, a x5=, tada moemo formirati sledei sistem:Neka je npr. =2,5, a =0, tada je: x1=-0,5; x2=1,5; x3=-4; x4 =2,5: x5=0 itd. 12/4/20071231 2 31 2 31 2 35 3 2 2 24 2 7 56 30 3 25 3 14 1 2 481 6 12 2 2 3 17 5 1 2 14 4 33 3 2 6 15 2 2 2 14 7 5 2 12 24 61 3 3 2 15 3 2 2 24 1 7 5 2021 6 3 3 2xxxx x xx x xx x xDDDDE FE FE FE FE F E FE FE FE F E FE FE FE FE F + + =+ =++ + =+

= = + =+ =+ + + =+= + + = + = + 1231234 54 12914 4 34812 24 6 2 4;48 8202 4 12948,xxxDxDDxDDxDx xE FE FE F E FE FE F ++ += =

+ += = =

+= =

= =y U slijedeim primjerima formirati i rjeiti sistem jednaina:3. Za izradu dva tipa stolova Si(i=1,2) potrebno je upotrebiti dve vrste dasaka Dj(j=1,2). Utroakdasaka i raspoloivi kapacitet dati su u sledeoj tabeliy Odrediti takav program proizvodnje koji obezbjeuje potpuno iskoriavanje raspoloivih kapaciteta!Rjeenje:y Neka x i y oznaavaju broj proizvedenih stolova S1i S2, respektivno. Na osnovu datih podataka formira se sistem jednaina0.075x + 0.2 = 460.2x + 0.5y = 26Rjeenje sistema je x = 80, y = 200Treba proizvesti 80 stolova S1i 200 tipa S2i svi raspoloivi kapaciteti e biti iskorieni,4. Fabrika automobila izrauje dve vrste vozila u dva bazina pogona; tehnoloki uslovi proizvodnje kao i dobit po jedinici proizvoda dati su u sledeoj tabeli:Odrediti onaj program proizvodnje koji omoguuje da se kapacitet I pogona iskoristi sa 80%, a II sa 92%! Za dobijeni proizvodni program odrediti ukupnu dobit fabrike!12/4/2007Rjeenje:y Neka a oznaava broj proizvodnih jedinica vozila tipa A, a b broj proizvedenih jedinica vozila tipa B. Sistem jednaina je 8.25a + 3,5b = 808.5a + 6.0b = 92Rjeenje sistema je a=8, b=4.y Program proizvodnje pod datim uslovima predvia proizvodnju 8 jedinica tipa vozila A i 4 jedinica tipa vozilay Za dati program proizvodnje ukupna dobit je 124 novane jediniceD=12-8 + 7-4 = 1245. Program proizvodnje jednog pogona u odreenom vremenskom periodu predvia proizvodnju . tri najvanija rezervna dela za traktore. Ovi proizvodi Pi(i=1,2,3) u procesu proizvodnje prolaze kroz tri maine Mi(i=1,2,3). Raspoloivi kapaciteti maina M1, M2i M3su 5900 asova 6200 asova i 6600 asova, respektivno. Potrebna vremena obrade jedinice proizvoda Pina mainama M1, M2i M3su redom 3 asa, 4 asa i 5 asova. Za proizvod P2ovi podaci su redom 1 as, 2 asa, i 2 asa a za P3redom 4 asa, 2 asa i 1 as. Odrediti program proizvodnje koji omoguuje da se u potpunosti iskoriste svi mainski kapaciteti!Rjeenje:y Neka su x1, x2i x3brojevi proizvedenih jedinica proizvoda P1, P2i P3, respektivno. Sistem jednaina je: 3x1+ x2+ 4x3= 5900 4x1+ 2x2+ 2x3= 62005x1+ 2x2+ x3= 660012/4/2007y Rjeenje sistema je x1= 1000, x2= 500, x3= 600.y Da bi svi mainski kapaciteti biliu potpunosti iskorieni,u datom vremenskom periodu potrebno je proizvesti redom 1000, 500 odnosno 600 jedinica proizvoda P1, P2i P3.6. Fabrika elektronskih aparata izrauje tri vrste depnog elektronskog raunara R1(i=1,2,3) u tripogona. Tehniko-tehnoloki uslovi proizvodnje kao i dobit po jedinici proizvoda dati su u sledeoj tabeli:Odrediti onaj program proizvodnje koji obezbeuje iskorienje kapaciteta redom 97%, 90% i 98%! Za dobijeni program odredite ukupnu dobit fabrike!4x + 7y + 8z = 973x + 11 y + 6z = 905x + 5y + 4z = 98Rjeenje sistema je x=15, y = 3, z = 2.y Za dato iskorienje kapaciteta proizvodi se 15 jedinica R1, 3 jedinice R2i 2 jedinice R3. Ukupna dobit fabrike je 7.7 novanih jedinica:0.2 15 + 1.1 3 + 0.7 2 = 7.7 12/4/20077. Dnevni kapacitet dve maine jednog pogona iznose redom 12 i 1(5 asova. Proizvodi P1i P2moraju se obraditi na obe maine. Kada bi se proizvodio samo proizvod P1za puno radno vreme na prvoj maini je mogue obraditi 100 komada P1a na drugoj 200 komada P1U sluaju da se proizvodi samo P2, za puno radno vreme na prvoj maini se moe obraditi 80 komada P2, a na drugoj 50 komada P2. Odrediti koliko komada P1i P2treba proizvoditi dnevno u datom pogonu ako je raspoloive kapacitete mogue iskoristiti sa 87,5% prve i 85% druge maine!Rjeenje:y Tehniki koeficjenti proizvodnje pokazuju potrebno troanje kapaciteta po jedinici proizvodnje. Za jedan komad P1 potrebno je angaovatiasova prve iasova druge maine, za jedan komad P2 ovi pokazatelji suasova prve idruge maine.y Neka je xi(i=1,2) oznaava broj proizvedenih komada proizvoda P1i P2respektivno.Sistem jednaina je:Rjeenje sistema je x1=50, x2=30. Pod tim uslovima dnevna proizvodnja P1je 50 komada i P230 komada12/4/20071210016200128016501 21 21 21 212 1212 0,875100 8016 1616 0,85200 500,12 0,15 10, 50, 008 0, 32 13, 6x xx xx xx x+ = + = + =+ =8. Dva radnika, radei zajedno,mogu da zavre radni zadatak za 12 dana.Prviradnik je naizvrenju zadatka radio 2 dana, a drugi 3 dana i tada je konstatovano da su izvrili 20% zadatka. Za koliko dana bi mogao uraditi ceo posao svaki od radnika, radei sam?Rjeenje:y Neka je x1oznaka za broj dana za koji bi prvi radnik, radei sam, zavrio ceo posao, a x2oznaka za broj dana za koji bi isti posao uradio drugi radnik, tada predstavlja dnevnu y produktivnost prvog radnika, odnosno dioukupnog posla koji prvi radnik obavi za 1 dan, a predstavlja dnevnu produktivnost drugog radnika. Ako, radei zajedno, mogu da zavre ceo posao za 12 dana, onda za 1dan mogu da uradecijelog posla, tj. vai jednaina:y Broj 1 na desnoj strani oznaava ceo posao (100%).y Druga reenica teksta omoguuje postavljanje slijedee jednaine:y Uvrtavanjem od formiranih jednaina slijedi:y Rjeenja ovog sistema suy Dalje e biti:Odgovor:y Prvi radnik bi, radei sam, cijeli posao uradio za 20 dana, a drugi za 30 dana.12/4/200711x21x1121 2 1 21 1 1 1 112 12 12 x x x x+ = +=1 21 1 12 35 x x +=1 21 1, u vx x= = 12 12 112 35u vu v+ =+ =1 1,20 30u v = =1 21 21 1 1 120, 3020 30x xx x= = = =9. Tri grupe radnika Gi(i=1,2,3) mogu da zavre neki posao na sledei nain: G1i G2radei zajedno 5 dana, grupe G1i G3 za 6 dana i grupe G2i G3za 10 dana.1. Za koliko dana bi mogla zavriti ceo posao svaka grupa radnika pojedinano?2. Za koliko dana bi posao bio zavren u sluaju da sve tri grupe radnika rade istovremeno?Rjeenje:a) Rasuujui kao u 8. zadatku, formiramo sledei sistem iednaina: Pri emu su x1, x2i x3oznake za broj dana za koji bi grupe G1, G2i G3zavrile ceo posao radei pojedinano.Uvodeidobija se sistem linearnih jednaina:12/4/20071 21 32 31 1 17, 51 1 161 1 110x xx xx x+ =+ =+ =1 2 31 1 1, , u v zx x x= = =1 2 31 2 317, 5161101 1 1Rjesenja ovog sistema su:, ,10 30 15Dalje ce biti:1 1 1 1 1 110; 30; 1510 30 15u vu zv zu v zx x xx x x+ =+ =+ == = == = = = = =12/4/2007c. Neka je x oznaka za broj dana za koji bi sve tri grupe, radei zajedno, zavrile ceo posao, tada vai jednaina:1 1 1 1510 30 15xx+ + = =10. Date su matrice:5 7 21 0 23 1 4 4 0 0 1 2, , 2 5 3 ,2 0 5 5 3 2 5 04 6 33 4 3A B C D = = = = | | |

|1. Rijeiti matrinu jednainu AT Y + 3e2 1 = 2 DTpo Y gde je e2jedinini vektor kolona sa tri elementa, od kojih je drugi jednak jedan, a 1 je sumirajua vektor vrsta sa etiri elementa.2. Odrediti A DTi D AT3. Odrediti e,TA, Ae3, 1TA i A 1!4. Odrediti a1 Tb1, a1 T c3i c3 a1 T, gde je a1 T, prva vrsta matrice A, b, prva kolona matrice B i c3 trea kolona matrice C!Rjeenje:a)AT Y +3e2 2 DTAT Y = 2 3 e2 1/Ay Prema pravilima operacija sa matricama, matrica Y mora biti tipa (2x4)y Poto matrica ATnije kvadratna,pomnoimo lijevu i desnu stranu jednaine sa transponatom matrice A tj. (AT )T= A, s lijeva:y Dobijena je kvadratna matrica A ATdrugog reda. Pomnoimo nakon toga.lijevu i desnu stranu dobijene jednaine inverznom matricom matrice A AT, tj sa (A AT) s lijeva:y a poto je12/4/2007

) )122 3 1/T T TA A Y A D e A A

= ) ) ) )1 1 122 3 1T T T TA A A A Y A A A D e

= ) ) ) )1 112 islijedi:2 3 1T TT TA A A A E EY YY A A A D e

=== 12/4/2007? A ) )113 2 5 0 2 3 03 1 4 3 1 41 0 2 7 1 5 4 3 1 1,1,1,12 0 5 2 0 54 5 2 2 0 3 010 0 4 633 1 1 4 4 32 1 0 45 3 1 414 223 0 1 5 4 22 0 0 55 2 0 5YY

+ + = | | | | | ' ' ' '

++ = +++ | | ) )10 0 0 010 8 3 1 1 1 14 4 0 6 0 0 0 010 0 4 626 14 3 1 411 1 13 514 19 2 0 54 4 0 629 14 25 15 1 37114 26 40 20 8 18 55829 25 14 40 29 15 14 20 29 1 141558YYY

+

| | ' ' =

| | | =

| | + ++= ) ) ) )8 29 37 14 1814 25 2640 14 15 26 20 14 1 268 14 1 26 18+ + ++ + |Primjetimo slijedea pravila:y proizvod jedinine vektor vrste i matrice je vektor vrsta koja sadri elemente one vrste date matrice koja odgovara elementu 1 u jedininom vektoru,y proizvod matrice i jedinine vektor kolone je vektor kolona koja sadri elemente one kolone date matrice koja odgovara elementu 1 u jedininom vektoru,y proizvod sumirajue vektor vrste i matrice je vektor vrsta iji su elementi jednaki zbiru elemenata po pojedinim kolonama date matrice,y proizvod matrice i sumirajue vektor kolone je kolona iji su elementi jednaki zb;rj elemenata po pojedinim vrstama date matrice.y Poto broj kolona prvog vektora nije jednak broju vrsti drugog vektora, dato mnoenje nije mogue.y Proizvod vektor vrste i vektor kolone sa jednakim brojem elemenata je skalarni proizvod vektora, iji je rezultat skalar, ili matrica prvog reda.12/4/2007y Proizvod vektor kolone i vektor vrste sa jednakim brojem elemenata je dijadni proizvod vektora, iji je rezultat matrica reda koliko je elemenata u vektoru.11. U slijedeim primjerima odrediti vrijednost parametara t tako da date matrice budu regularne (nesingularne)!Rjeenje:y Regularna matrica je takva kvadratna matrica kojoj je determinanta razliita od nule.12/4/2007_ a221,26) det 144 024144 0 2Matrica K je regularna za t R\-2, 2ta K ttt t = =+ = + = =

2) det 2 2 02 1Matrica L je neregularna (singularna) za sve realne vrijednosti tt tb L t t = == | ) ) ) ) )2 2221,2 1 23 2 6 3 2) det 5 11 5 105 22 18 30 99 14 18 44 16 01 3 7 1 344 44 4 18 1644 28 418 44 16 0 , 2,2 18 36 94Matrica M je regularna za t R\ - , 29tM t t t t t t tt t t t t

= =+ + = + = = = = ==

| , `| )12. Rijeite matrinu jednainu:13. Data je matrica A14. Data je matricay Kako se zove ova specijalna matrica? Odredite matrini polinom A2 4A 5A0 .12/4/2007 ) ) ) ) ) )1 1 1 2 1 36 9 45 2 2 5) det 2 5 6 1 9 1 4 16 3 4 3 4 64 6 36 15 6 9 6 4 4 12 20 90 36 54 36 48 80 272 0Matrica N je regularna za sve realne vrijednosti t.t td N tt t t t+ + + ==+ +=

|= + + =+ + + + = =15. Dati su vektoria) Ispitati linearnu zavisnost i rang sledeih vektorskih sistema:b) Ispitati skalare u sledeim linearnim kombinacijama:c) Odrediti dimenziju podprostora kojeg generiu vektori12/4/2007Rjeenje:a) y 1) U nekom datom skupu (sistemu) linearno nezavisnih vektora moe biti najvie toliko vektora koliko je elemenata (komponenti) u vektorima. Poto su vektori a1...,a7sa po etiri elemenata, skup (a1,...,a7) ini sistem linearno zavisnih vektora.y Rang nekog vektorskog sistema je najvei broj linearno nezavisnih vektora koji se mogu izabrati u datom sistemu. Ako su vektori linearno nezavisni, tada se linearnom kombinacijom vektora nula vektor moe dobiti samo na trivijalni nain. Formirajmo sledeu linearnu kombinaciju vektora:y Odredite rang elementarnom baznom transformacijom! Rang datog vektorskog sistema {a1 ,..., a7 } je maksimalan broj vektora koji se mogu unijeti u bazu (umjesto poetnih baznih vektora e1 , e2 i e4 ).12/4/20071 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 71 2 3 4 5 6 703 0 4 1 6 0 9 02 5 5 1 3 0 6 04 2 7 2 11 0 12 01 4 0 2 4 2 3 0a a a a a a a P P P P P P PP P P P P P P+ + + + + + =

+ + + + + + =

| | | | | | | |y Dakle u slijedeoj (poslednjoj) tabeli u bazi e se nai etiri vektora sistema (a1, a7}. To je najvei broj vektora koji smo mogli unijeti u bazu(pri emu nije bitno o kojim vektorima se radi, niti je bitan njihov redosljed); rang vektorskog sistema je 4. Da smo drugaije odabrali ishodne elemente u bazi bi bila neka druga etiri vektora. Vektori koji se nalaze u bazi formiraju linearno nezavisni sistem, tj. jednainaima samo trivijalno rjeenje, 1= 2= 3= 4= 0.y Vanbazni vektori se mogu izraziti linearnom kombinacijom baznih vektora(Za ove podatke treba uraditi posljednju tabelu).12/4/20071 3 2 1 3 3 4 60 a a a a E E E E + + + =y Navedeno znai da se linearnom kombinacijom svih vektora sistema {a1,... a7) nula vektor moe dobiti i na trivijalni nain, npr. a5se moe dati i kao:2)y Rang vektorskog sistema {a1, a2la3, a4,} je 4, dati vektori formiraju linearno nezavisni sistem. Do slinog zakljuka dolazimo i rjeavanjem nepoznatih skalara u linearnoj kombinaciji.to se moe prikazati u vidu sistema linearnih jednainaDeterminanta sistema je D=87 0, homogeni sistem ima samo jedno i to trivijalno rjeenje 12/4/20075 4 1 3 6 2 71 2 3 4 5 6 72 0 1 0 0 0iz cega slijedi:0 0 1 2 1 3 0 0a a a a a a aa a a a a a a= +++++ ++++=3)y Najvei broj vektora sistema (a1, a3, a4, a5}koji se mogu unijetiu bazu je 3: vektor a3se moe unijeli u bazu ali jedino tako da ili vektor a4ili a5bude van baze; rang datog vektorskog sistema je 3.y Vektori a2, a3, a4i a5formiraju linearno zavisni sistem (broj vektora u sistemu je vei od ranga sistema). Linearnu zavisnost moemo ispitati i pomou analize linearne kombinacijeto predstavlja homogeni sistem linearnih jednaina:Ako postoji samo jedno (trivijalno) rjeenje sistema, tada su vektorilinearno nezavisni, a ako je rjeenja beskonano mnogo, tada vektori formiraju linearno zavisni sistem!12/4/20071 1 2 3 3 4 4 50 a a a a K K K K + + + =y Determinante nepoznatih su jednake nuli: D1= D2= D3= D4= 0, a determinanta sistema je takoe nula:y Prema Kramerovom pravilu postoji beskonano mnogo rjeenja sistema, i bar se jednoj nepoznatoj moe dodjeliti proizvoljna vrijednost.y Posmatrajmo subdeterminante treeg reda determinante poetnog sistema D (koje se dobijaiu izostavljanjem jedne vrste i jedne kolone). Subdeterminante u kojima su izostavljene prva kolona i bilo koja vrsta, jednake su nuli, a ostale subdeterminante su razliite od nule, npr.:odnosnoy Proizvoljna vrijednost se,dakle, dodjeljuje nepoznatoj 1,ije je rjeenje 1 = 0. Jo jednostavnije je do ovoga zakljuka doi Gausovim postupkom:12/4/20071 3 42 3 43 441 0 2 4 02 4 0 1 0 2 4 0 1 0 2 4 0 1 0 2 4 00 4 7 18 04 7 18 0 3 4 1 6 0 0 4 7 18 0 0 4 7 18 055 550 0 02 0 2 5 1 3 0 0 5 5 5 0 0 0 1 2 04 20 0 4 7 2 11 0 0 7 10 27 0 9 9 0 0 0 0 00 0 04 2K K KK K KK KK + + =| + + = + = = | | | | , ` | )y Sistem je jednostruko neodreen.y Neka je 4= , tada je 3=-2 , 2=- ; je 1=0y Konkretna rjeenja se mogu dobiti odabirom proizvoljnih vrijednosti za . Poto sistem jednaina ima beskonano mnogo rjeenja,zakljuujemo da se linearnom kombinacijom vektora, a1, a3, a4i a5nula vektoi moe dobiti pored trivijalnog i na beskonano mnogo razliitih naina, i da je skup { a1, a3, a4, a5} sistem linearno zavisnih vektora.Rang vektorskog sistema { a1, a2, a3) je 3. Dati vektori formiraju linearno nezavisni sistem,5)12/4/20075)y Rang vektorskog sistema {a3, a4, a5} je 2. Dati vektori formiraju linearno zavisni sistem:a5= a3+ 2a4znai, 0 vektor se moe dobiti, pored trivijalnog, na beskonano mnogo naina, npr.:a3+ 2a4- a5= 0.y Ispitajmo linearnu zavisnost sistema {a3, a4, a5}pomou linearne kombinacijey Iz kolone as poslednje tabele zakljuujemo da vai: 3= - 5; 4= -2 5.y Neka je 5=a, tada je 4= -2a, a 3= -. Odabirom proizvoljnih vrijednosti za a dobijamo eljeni broj konkretnihrjeenja.Do istog zakljuka dolazimo i Gausovim postupkom:y Neka je 5= , tada je 4= -2 , a 3=- 6)12/4/20073 3 4 4 5 53 4 53 4 53 4 54 504 6 05 3 07 2 11 02 4 0a a a K K KK K KK K KK K KK K+ + =+ + = +=+ + =+ =y Rang vektorskog sistema {a1,a2} je 2.y Vektori formiraju linearno nezavisni sistem. U linearnoj kombinaciji1a1+ 2a2= 0skalari imaju samo trivijalno rjeenje 1= 2= 07)y Rang vektorskog sistema {a1, a7}je 1. Vektor a7je:a7= -3 a1 iz kojeg slijedi i mogua netrivijalna linearna kombinacija za dobijanje nula vektora: 3 a1 a7= 0.y Pored ovog postoji jo beskonano mnogo (netrivijalnih) mogunosti dobijanja nula vektora linearnom kombinacijom vektora a1i a7.8. Rang vektorskog sistema koji sadri jedan vektor (razliit od nula vektora) je jedan, koji predstavka linearno nezavisni sistem.9. Meu linearno nezavisnim vektorima ne moe se nalaziti nula vektor; { a2,a3,0} obrazuje linearno zavisni sistem. Prema zadatku (a) 4) vektori a1i a3su meusobno linearno nezavisni, znai rang sistema {a2, a3, 0}je 2.12/4/2007b)1) p a2+ q a3+ r a4+ s a6= a7.y Data linearna kombinacija u obliku vektorske jednaine je:2)Rjeenje sistema je dato u rjeenju zadatka(a) 2) (druga kolona poslednje tabele - treba je uraditi)c)Prema rezultatu zadatka (a)6) vektori a1i a6formiraju linearno nezavisni sistem, rang sistema {a1 ,...,a7} je 2. Dimenzija potprostora kojeg generiu vektori a1i a2. tj. skup svih vektora sa 4 komponente koji se mogu formirati linearnom kombinacijom 1 a1 + 2 a2je takoe 2.y Vektori e4i a6formiraju linearno zavisni sistem, a6= 2 e4, sa rangom 1. Dimenzija potprostora vektora oblika1 a6 + 2e4y to se moe predstaviti i kaoje takoe 1.12/4/20071 2 3 420 9 22 28, , ,133 133 133 133F F F F = === )21 2 4 4 1 6 62 ili2e e a aPP P E P F ++ =+ = ' 'i vektoria) Utvrditi rang matrice A, matrice B i matrice C!b) Utvrditi da li lei1. vektor d u potprostoru vektor kolona matrice A,2. vektor f u potprostoru vektor kolona matrice A,3. vektor g7u potprostoru vektor vrsti matrice A,4. vektor h u potprostoru vektor kolona matrice C, i5. vektor hTu potprostoru vektor vrsti matrice C?Rjeenje:y a) Rang matrice ne moe biti vei od broja vrsti (m) odnosno kolona (n): r(A) < min (m.n); u datom primjeru je r(A)