Tehnoloski - Matematika II - Zadaci Za Vezbu

DIFERENCIJALNE JEDNACINE

Diferencijalne jednacine koje razdvajaju promenljive

? y = y2

x3 Resenje: y =2x2

1+2Cx2

? yy = xex2y2 Resenje: y2 = ln(ex

2+ C)

? (xy2 + x)dx+ (yx2 + y)dy = 0 Resenje: y2 = Cx2+1 1? (3 + 2y)dx (3 x)dy = 0 Resenje: (3 x)3 + 2y = CHomogene diferencijalne jednacine

? y = 2x3yx2y Resenje:x

2(yx) = ln(y x) + C? dyy(ln yln x+1) =

dxx Resenje: y = x e

xC

? y x+ (y + x)y = 0 Resenje: y2 + 2xy x2 = C? xyy + x2 y2 = 0 Resenje: y2 = x2 ln C2x2? y = 2x+3y3x+4y Resenje: 2y

2 + 3xy + x2 = C

? (y +xy)dx = xdy Resenje: x lnCx = 2

xy

? y = eyx + yx Resenje: y = x ln lnCx

Diferencijalne jednacine koje se svode na homogene

? y = 2x+y+3x+y+2 Resenje:(y+1x+1

2)22

4(y+1x+1+

2)2+2

4= x+1+C

? y = 6x3y18x+2y+2 Resenje: (y x+ 4)3(y + 3x 4)5 = 124C8? (2x+ y+1)dx (4x+2y 3)dy = 0 Resenje: 2x+ y 1 = Ce2yx? y = 4xy1yx2 Resenje: C

4(4x2 8x y2 + 6y 5)(2x+ y 5)2 = 1? (2x+4y+1)dy = (x+2y+3)dx Res: 8y5 ln |4x+8y+7|4x = 5 ln 7? (3x+3y+1)dy+(x+y+1)dx = 0 Resenje: 3y+ln |x+y| = x+CLinearna i Bernulijeva diferencijalna jednacina prvog reda

? y yx = 2x2 + 5 Resenje: y = x(x2 + 5 lnx+ C)? x+ xy2 = e

1y cos2(y+5) Resenje: x = e

1y ( 12 (y+5)+

14 sin(2y+10)+C)

? y + y cosx = sinx cosx Resenje: y = 1 sinx+ Ce sin x? y yx = y3arctg(x3 + 5)Resenje: 3x2y = 2(x3 + 5)arctg(x3 + 5) ln(1 + (x3 + 5)2) + C? y + yx = x Resenje: y =

1x (C +

x3

3 )

? y 3yx2 = (x 2)4 Resenje: y = (x 2)3( (x2)2

2 + C)

1

? dy = y cotxdx dxsin x Resenje: y = cosx+ C sinx? xy = y + x3 + 3x2 2x Resenje: 2y = x3 + 6x2 4 lnx+ Cx? (1+y2)dx = (arctan yx)dy Resenje : x = arctan y1+Cearctan y? y + yx = xy2 Resenje : y = 1x(x+C)? xy 4y x2y = 0 Resenje : y = x4(C + 12 ln |x|)2? ydx+ (x 12x3y)dy = 0 Resenje : x2y(1 Cy) = 1? 3y cosx+ y sinx 1y2 = 0 Resenje : y = (sinx+ C cosx)

13

? (2xy5 y)dx+ 2xdy = 0 Resenje : y4 = 3x24x3+CDiferencijalne jednacine viseg reda (snizavanje reda)

? y = ex sinx Resenje: y = 12ex cosx+ C12 x+ C22? y = lnx Resenje: y = x

3

6 lnx x3

18 x3

12 +C12 x

2 + C2x+ C3

? y(IV ) = x5+sinx Resenje: y = x9

2988+sinx+C16 x

3+ C22 x2+C3x+C4

? yx = y Resenje: y = C12 x2 + C2

? y(y)3 = 1 Resenje: y = 52

4 (x+ C1)4x+ C1 + C24

? yy = x Resenje: y = C12 arcsin( xC1 )+C14 sin(2 arcsin(

xC1)+C2

Linearna diferencijalna jednacina viseg reda sa konstantnim koefi-cijentima

? y + y 2y = 2x3 + x2 2x+ 2Resenje: y = C1ex + C2e2x x3 2x2 4x 5? y + y 2y = 9e4x Resenje: y = C1ex + C2e2x + 12e4x? y + y 2y = ex Resenje: y = C1ex + C2e2x + 13ex? y 5y + 3y + 9y = (4x+ 11)exResenje: y = C1ex + C2e3x + C3xe3x + ( 18x+ 1)e

x

? y + 4y + 4y + 16y = sin(3x) 7 cos(3x)Resenje: y = C1e4x + C2 cos(2x) + C3 sin(2x) + 15 sin(3x) 15 cos(3x)Lagranzova metoda varijacije konstanti

? y 2y = ex sinx Resenje: y = D1 +D2e2x 12ex sinx? y 6y + 9y = e3xx2 Resenje: y = D1e3x +D2xe3x e3x lnx e3x

? yy2y = e2x sin 3x Res: y = D1ex+D2e2x sin 3x e2x82 cos 3x e2x

738

? y+y = 1cos x Res: y = D1 cosx+D2 sinx+ln(cosx) cosx+x sinx

2

? y3y+3yy = exx3 Res: y = D1ex+D2xex+D3x2ex+ 34ex+ 12ex lnx

Resiti diferencijalne jednacine

? y = 1cos y+x tan y Resenje: x =y

2 cos y +sin y2 +

Ccos y

? y = 1sin(pi2+

yx )

+ yx Resenje: x = C1esin yx

? y + xy sinx = 1yy Resenje: C = 1y + x x cosx+ sinx

? (x2 + 2y2)dx xydy = 0 Resenje: x2 + y2 = x4C1? y = xy(1 ex) Resenje: ln y = x22 xex + ex + C? dydx = x

2 lnx+ 1x ln xy Resenje: y = (x3

3 + C) lnx

? x =ln( xy )+1

yx

Resenje: y = xy(ln(xy ) 1

)+ C

? ex+2ydx+ 22x+2ydy = 0 Resenje: (e4 )x

12 ln 2 +( 2e )

2y

2 ln 22 = C

? y = cos(2x)(1y + y

)Resenje: y2 = Cesin(2x) 1

? y + y y + 15y = sin(2x)Resenje: y = C1e3x+ex(C2 sin(2x)+C3 cos(2x))+ 1221 (10 cos(2x)+11 sin(2x))

? y ytgx = y2 cosx Resenje: y = 1(x+C) cos x? (2x2y ln y x)y = y Resenje: xy(C ln y2) = 1? (2x4y+6)dx+(x+y3)dy = 0 Resenje: (y2x)3 = C(yx1)2

? (x y 1) + (y x+ 2)y = 0 Resenje: 2(x y) (xy)22 = x+C? y+2y = x2+4 Resenje: y = C1 cos(

2x)+C2 sin(

2x)+ 12x

2+ 32? y+y = x2+1+3ex Res: y = C1+xC2+C3ex+ 112x

4 13x3+ 32x2+ 32ex? y 5y + 8y 4y = e2x + e3x, y(0) = 1, y(0) = 1, y(0) = 0Resenje: y = 12e

x + 12e2x 2xe2x + 12x2e2x + 12e3x

Resiti diferencijalne jednacine

? y = xyx+2y6? y + y + 4y = x2 + 5x+ xe3x

? y 4y + 4y = e2xx2? y

= x+y5x+2y4

? y 4y = x2 + 4 + 2e4x + ex? (x+ 2y + 4) dy + (4x 7y + 1) dx = 0? dy = cosx (y + sinx) dx

? y + 2y + 4y = sinx+ 2 cosx+ x+ 3

3

? y + 3y + y 5y = 2x3 + x2 + 1 + 3ex? xydy = (x2 + 5y2)dx

? y = x3(x4 + 4y)

? y + y 4y 4y = 3cosx+ 2sinx? y

+ y cosx = sinx cosx

? (y2 + 5)dy = (xy + y sinx+ xy cosx)

? yV I y = 0? y 9y = x2 x+ 2 3e3x + 2 cosx? y

4x 22y = 3y 24x, y(0) = 0

? y 2xyx2+1 = x2? y + y sinx = y2 sinx cosx

? y + 2y 3y = 12xex? (x2 + xy)dx = (xy + y2)dy

? y + y 2y = 2x2 + 4x 3, y(0) = 1, y(0) = 0.? y(2y 1) + 5 = 3(x+ y) + xy? y + y = 2ex + sin 3x x2? y = 2xy+3x+y

? y(IV ) y = sin 2x+ 2ex? y y 2y = e2x sin 3x? (x y)dy = (2x+ y 6)dx? y yx = y2x lnx? y + y tgx = 1cos x? y(IV ) y = ex + sin(2x) + x4 + 1? y + 4y 1

sin2 x= 0

? (2x 2y)dx = (x+ y + 1)dy? y(IV ) 3y + 2y = ex + x2 3? 4x+ 2xy = cos y

? (2x+ 3y 5)dx = (x+ y 2)dy? y(IV ) 8y 9y = 4e3x? y = 2x3y53x4y7? y + y = x+ e2x + 2003

? y + 2y 3xex = 0? xy + y = y2 lnx

4

? y + yx = xy2? (1 + x2)dy = (

1 + x2 sinx xy)dx

? y + y

x = lnx

? y = 4x+y53xy+3? y2dx xydy = xy3dy? y 5y + 6y = 2x2 2x+ 3 + 3e3x + 5 sin(4x)? y + y = xex

? 2x2y + 3x32y dydx = 0

? y = (y + x)y + x

? y1y+1 =

xy

? (x+ y)dx = (x y)dy? y + y = 24e3x + 10 cos(2x) + 4x+ 3

? (yx2 + 2ye2x sinx)dx+ (2 ln y 2y cos y + 2y4)dy = 0? y y 2y = 2x2 + 4x+ 1 130 cos(3x)? y 3y + 2y = xex? y + 6y + 9y = (4x 3)e3x? y y = ex + cosx+ sin(2x)? 2x+3y5x2y+1 = y

5

EKSTREMI

1. Odreditiz

x,z

y,2z

x2,

2z

xy,2z

y2funkcije z = sin

y

x.

2. Naci ekstremne vrednosti funkcije

z =8

x+x

y+ y, x, y > 0.

3. Naci ekstremne vrednosti funkcije

u(x, y, z) = 5(xy)2 5(x1)2 5(xy+z)2 .

4. Za funkciju z = ln(y + xy2) odrediti

2zy2

i 3z

x2y.

5. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije u(x, y, z) = ex2xy+xz+3y2+yz+z23x14y9z.

6. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije u(x, y, z) = pi(x+yz)2+

pix22xy+y2 + pix

29.

7. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije u = (4x2 + 3y2 + 5z2)pod uslovom 2x+ 3y + 5z 18 = 0.

8. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije u(x, y, z) = 2(x+yz)2+

2(xy)2+ 2(x2)

2.

9. Naci ekstremne vrednosti funkcije u = x2+2y2+ 92z2+xy+xz

uz uslov x+ y + z = 3.

10. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije z = x2 + y2 xy poduslovom x y = 6.

11. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije u(x, y, z) = 2(x+yz)2

412((xy)2+(x3)2).

12. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije u(x, y, z) = pi(x+yz)2+(xy)2+(x1)2 .

13. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije u(x, y, z) = ln(x+ y2 +z2) uz uslov x y2 = 3.

14. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije u = 2(x3)2+(xy)2+(x2y+z)2 .

15. Odrediti ekstreme funkcije u(x, y, z) = 2(x+yz)2+ 2(xy)

2+

2(x2)2.

1

16. Naci ekstremne vrednosti funkcije u = x2+2y2+ 92z2+xy+xz

uz uslov x+ y + z = 3.

17. Naci ekstremne vrednosti funkcije U = xz + xy y2 uz uslovx+ y + z = 2.

18. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije U(x, y, z) = ln(x2+4y2+9z2 4x+ xy 2xz 2yz).

19. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije U(x, y, z) = x2 + 4y2 +9z2 56x+ xy 2xz 3yz, uz uslov x = y z.

20. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije U(x, y, z) = pi(x+yz)2+(xy)2+(x1)2 .

21. Odrediti ekstreme funkcije U(x, y, z) = 2(x+yz)24 12 ((xy)2+(x3)2).

22. Naci ekstreme funkcije U(x, y, z) = e(x+y+z)2+(xy)2+(z+2)2 .

Resenje: E(1, 1, 2) je minimum funkcije U.

23. Naci ekstreme funkcije U(x, y, z) = 2(x+ y + z) uz uslov x2 +y2 + z2 = 3.

Resenje: E1(1, 1, 1) ( = 1) je maksimum funkcije U, dokje E2(1, 1, 1) ( = 1) minimum funkcije U.

24. Naci ekstreme funkcije U(x, y, z) = e(x3)2+(xy)2+(x2y+z)2 .

25. Naci ekstreme funkcije U(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)2 uz uslovx+ y + z = 6.

Resenje: E(2, 2, 2) ( = 96) je minimum funkcije U.

26. Naci ekstreme funkcije U(x, y, z) = e(2x2y+z)2+(xy)2+(x1)2 .

27. Naci ekstreme funkcije U(x, y, z) = arctg ((x+ y+ z)2+ (xy)2 + (z + 1)2).


28. Naci ekstreme funkcije U(x, y, z) = ln(x2 + y2 + z) uz uslovz y2 = 1.Resenje: E(0, 0, 1) ( = 1) je minimum funkcije U.

2

29. Naci ekstreme funkcije U(x, y, z) = ln((x+ y z)2+(x y)2+(y 1)2 + 1).Resenje: E(1, 1, 2) je minimum funkcije U.

30. Naci ekstreme funkcije U(x, y, z) = e(x+y+z1)2+(xy)2+(z1)2 .


31. Naci ekstreme funkcije U(x, y, z) = (x y + z)2 + (x + 2y +z)2 + (x y 2z + 6)2.Resenje: E(2, 0, 2) je minimum funkcije u.

32. Naci ekstreme funkcije U = ex2+ y2+x2y2 ln(z2 + e).


33. Naci ekstreme funkcije U = (x (y z))2+(x1)2+(yx)2.Resenje: A(1, 1, 0) stacionarna tacka, Umin = 0.

34. Naci ekstreme funkcije U = ln ((xy z)2 + (xy 2)2 + x2 2x+ z2 4z + 6).

35. Naci ekstreme funkcije U = e(xy)2+(yz)2+(y2)2 .

Resenje: A(2, 2, 2) stacionarna tacka, Umin = 1.

36. Naci ekstreme funkcije U = ln(x+y+z) uz uslov x2+y2+z2 =3.

Resenje: A(1, 1, 1) stacionarna tacka, = 16, Umax = ln 3.

37. Naci ekstreme funkcije U = e12x2+xy+xz 3x+ y2+2yz 5y+3z2 5z.

Resenje: A(1, 2, 0) stacionarna tacka, Umin = e 13

2 .

38. Naci ekstreme funkcije U = eln(x+y+z) 12(x2 + y2 + z2 2).

39. Naci ekstreme funkcije U = 8y+ y

x+ x+ 6, x, y > 0.

Resenje: P (2, 4) stacionarna tacka, Umin = 12.

40. Naci ekstreme funkcije U = ef(x, y, z), gde je: f(x, y, z) = x2 +32y2 + 2z2 xy + xz yz + 3x 6y z.Resenje: A(1, 2, 1) je minimum.

3

41. Naci ekstreme funkcije U = ex2+xy+2xz+x+y2+yzy+ 3

2z2+2z.

Resenje: A(0, 1, 1) stacionarna tacka, Umin = e 32 .

42. Naci ekstremne vrednosti funkcije z = 27y+ y

x+ x, x, y > 0.

Resenje: A(3, 9) stacionarna tacka, zmin = 9.

43. Naci ekstremne vrednosti funkcije U = ln(x + y + z)2 poduslovom x2 + y2 + z2 = 12, x, y, z > 0.

Resenje: A(2, 2, 2) stacionarna tacka, = 112, Umax =

2 ln 6.

44. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije U = xyz ako je xy +xz + yz 12 = 0, x, y, z > 0.Resenje: A(2, 2, 2) stacionarna tacka, Umax = 8.

45. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije U = xy2z3 ako je x +2y + 3z = 4.

46. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije U = e2(x+y+z)+x2+y2+z2 ako je x+ y + z = 3.

47. Naci ekstreme funkcije U = x2 32y2 4z2+xy 3xz yz

3x+ 4y 3z.Resenje: A(1, 2, 1) stacionarna tacka, Umax = 4.

48. Naci ekstreme funkcije U = exyz pod uslovom x2+y2+z23 =0, x > 0, y > 0, z > 0.

Resenje: A(1, 1, 1) stacionarna tacka, = 12e, Umin =

1e.

49. Naci ekstremne vrednosti iz prvog oktanta za funkciju U =

x+ y2

4x+ z

2

y+ 2

z.

Resenje: A(12, 1, 1) stacionarna tacka, Umin = 4.

50. Naci ekstremne vrednosti funkcije U = x2+y2+z2xy+x2z.Resenje: A(2

3, 1, 1) stacionarna tacka, Umin = 43 .

4

51. Naci ekstreme funkcije U = x 2y+2z pod uslovomx2+ y2+z2 = 9.

Resenje: A(1, 2, 2) stacionarna tacka, = 12, Umin = 9;

B(1, 2, 2) stacionarna tacka, = 12, Umax = 9.

52. Naci ekstreme funkcije U = ex+y+z pod uslovom xyz = 8.

53. Naci ekstreme funkcije z = x2y + xy2 pod uslovom x+ y = 2.

54. Naci ekstreme funkcije U = xyz pod uslovom x2 + y2 + z2 =3, x > 0, y > 0, z > 0.

55. Naci ekstreme funkcije U = xyz pod uslovom x3+ y3+ z3 = 3.

56. Naci ekstreme funkcije U = xy2z3 pod uslovom x+ y + z = 6.

57. Naci ekstreme funkcije z = 8x+ x

y+ y, x > 0, y > 0.

5

FLUKS

1. Povrs z = 3 odseca od povsi x2 + y2 + z2 = 16 jednu plocicu kod koje jez > 0. Odrediti fluks sile ~F = yz~i+ xz~j + ~k kroz tu plocicu.

2. Date su povrs x + y + z = 4 i tacke A(3, 1, 0), B(2, 2, 0), C(0, 0, 4) kojeodredjuju trougao (plocicu) na toj povrsi. Naci fluks sile ~F = (y + x)~i +(z + y)~j + (z + x)~k kroz tu plocicu.

3. Povrsi x = 2, x = 0 i z = 0 odsecaju od povrsi y2 + z2 = 1 jednu plocicu.Naci fluks sile ~F = xz~i+ yz~j + x~k kroz tu plocicu.

4. Povrsi x2+y2+z = 4, z = 0, z = 2 ogranicavaju trodimenzionalnu oblastV. Naci fluks sile ~A = (2x y)~i+ (y + z)~j (z + 3x)~k kroz rub od V.

5. Naci fluks sile ~F = z~i+yz~jx~k kroz plocicu koja sadrzi tacku A(0, 12 ,72 ),

a koju od povrsi x2 + y2 + z2 = 2 odsecaju povrsi x = y, x = y ix2 + y2 = 1.

6. Odrediti fluks sile ~F = yz~i+ 3z~j + (x+ y)~k kroz plocicu koju od povrsix2 + y2 + z2 = 4 odsecaju povrsi x y = 1, x y = 2, x = 0 i y = 0.

7. Odrediti fluks sile ~A = (x+y)~i+(ex ln z+3)~j+zy ~k kroz rub trodimenzion-alne oblasti V koja je ogranicena povrsima z = x2 + y2, z 6 = x2 y2i z 8 = x2 y2.

8. Naci fluks sile ~S = xyz~i + y2z~j 5~k kroz plocicu koja sadrzi tackuA( 12 ,

32 ,262 ), a koju od povrsi x

2+ y2+ z2 = 9 odsecaju povrsi x2+ y2 =1, x2 + y2 = 4, x = y i x = 0.

9. Ravni x = 1, x = 2, z = 0 odsecaju od cilindra z = 9 y2 jednu plocicu.Naci fluks sile ~F = xz2 ~i y ~j + 2z ~k kroz nju.

10. Data je povrs [1] : x2+ y2 = z. Povrsi z = 2 i z = 3 odsecaju od povrsi [1]jednu plocicu. Naci fluks sile ~F = zx~i+ z3 ~j y ~k kroz tu plocicu.

11. Odrediti fluks sile ~A = 2xz ~i + 2yx ~j + 2yx ~k kroz rub zatvorene oblastikoju obrazuju povrsi z2 = x2 + y2, z 2 = x2 y2 i z + x2 + y2 = 6 ikojoj pripada tacka A(0, 0, 4).

12. Naci fluks sile ~A = x1 y2 ~i + y1 x2 ~j z

1 y2 ~k kroz rub

zatvorene oblasti koju obrazuju povrsi z = y2 + y + 6, z = 0, x =22 , x = 1.

1

13. Data je povrs [1] : x2+y2+z2 = 2. Povrsi z = 0 i z = 1 odsecaju od povrsi[1] jednu plocicu. Naci fluks sile ~F = y ~i x ~j + z2 ~k kroz tu plocicu.

14. Naci fluks sile ~F = 2xy ~i + y2 ~j + z2 ~k kroz rub zatvorene oblasti kojuobrazuju povrsi x2 + y2 + z2 = 10, z 2 = x2 + y2 i z = 1.

15. Naci fluks sile ~A = x~ix ~j+2xy ~k kroz plocicu koju od povrsi z = x2y2odsecaju povrsi x2 + y2 = 9 i x =

3y u I oktantu.

16. Povrsi y = x, y =3x i z = 4 odsecaju od povrsi z = x2+y2 jednu plocicu

koja se nalazi u prvom oktantu. Naci fluks sile ~F = xyz ~i x2z ~j z ~kkroz tu plocicu.

17. Povrsi y = 0, y = 3 i z = 0 odsecaju od povrsi x2 + z2 = 1 jednu plocicu.Naci fluks sile ~F = xz ~i+ (y + z) ~j + (x+ y) ~k kroz tu plocicu.

18. Plocica na sferi x2 + y2 + z2 = 4 je dobijena u preseku povrsi y = x iy =

3x u prvom oktantu. Naci fluks sile ~F = zy ~i+ z ~j + z2 ~k kroz nju.

19. Naci fluks sile ~F = zy ~i + z ~j + z2 ~k kroz plocicu ABCD na sferi x2 +y2 + z2 = 4. Plocica je zadata tackama A(2, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 1,

3) i

D(1, 0,3) i lukovima koji su dobijeni na sledeci nacin : luk AB je presek

sfere i xy ravni, luk BC presek sfere i yz ravni, luk CD je presek sferei ravni z =

3 i DA je presek sfere i xz ravni.

20. Data je sila ~F = x3 ~i + (y + 1) ~j + (x2 + z + 2y) ~k. Povrsi 9x2 + 4y2 =36, z = x u prvom oktantu ogranicavaju zatvorenu trodimenzionalnuoblast V. Naci fluks sile ~F kroz rub od V.

21. Povrsi x = 0, y = 0, z = 0 i x = 3 odsecaju od cilindra y2 + z2 = 4 jednuplocicu koja se nalazi u prvom oktantu. Naci fluks sile ~F = xz ~i+ zy ~j +yz ~k kroz tu plocicu.

22. Povrsi z = x2 + y2, z = 1 i z = 2 ogranicavaju jednu trodimenzionalnuoblast V. Naci fluks sile ~F = xy ~i+ y2 ~j + z ~k kroz rub od V.

23. Povrsi x + y + z = 2, z = 1, x = 0, z = 0 i y = 0 ogranicavajutrodimenzionalnu oblast V. Naci fluks sile ~F = x~i+ y ~j + ~k kroz rub odV.

24. Naci fluks sile ~A = (x2+3z)~i+ (y2+2xz) ~j + (z2+ xy) ~k kroz zatvorenupovrs 4x2 + 9y2 + 25z2 = 1.

2

25. Povrsi x + y = 4, x = 0 i z = 0 odsecaju od povrsi z = x2 y2 jednuplocicu. Naci fluks sile ~F = x~i+ x ~j + z ~k kroz tu plocicu.

26. Naci fluks sile ~F = (x+ 2y)~i+ (y + z) ~j + (z x) ~k kroz plocicu koja jeogranicena povrsima z + x2 + y2 = 2, z = 0 i z = 1.

27. Naci fluks sile ~F = x~i + y ~j + ~k kroz plocicu koja je formirana tako stose nalazi na povrsi z = x2 y2 a odsecaju je od te povrsi sledece drugepovrsi z = 0, y = 0, x2 + y2 = 9, i ta plocica sadrzi tacku A(2, 1, 3).

28. Naci fluks sile ~F = xy ~i+y2 ~j+z ~k kroz plocicu koju od povrsi z = x2y2odsecaju ravni z = 0 i x = 1.

29. Date su tri povrsi x2 + z = 9, x + y = 4 i z = 0 u prvom oktantu. Oneogranicavaju jednu zatvorenu oblast V. Naci fluks sile ~F = x2y ~i+ y2z ~j+z ~k kroz rub od V.

30. Povrsi [1] : x2 + y2 + z = 4 i [2] : z = 2x+ 4 odredjuju jednu plocicu napovrsi [1]. Naci fluks sile ~F = x~i+ y ~j + ~k kroz nju.

31. Data je povrs x2 + y2 + z2 = 4 i tacke A(2, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 1,3) i

D(1, 0,3) na toj povrsi. Luk AB je presek te povrsi sa xy ravni, luk BC

je presek te povrsi sa yz ravni, luk CD je presek povrsi i ravni z = 3 iluk DA presek te povrsi i xz ravni. Naci fluks sile ~F = zy ~i+ z ~j + z2 ~kkroz plocicu koju zatvorena kriva ABCDA odredjuje na toj povrsi.

32. Povrsi y2 + z = 4, 3x + 2y = 6, x = 0, y = 0, z = 0 ogranicavaju jednutrodimenzionalnu oblast V. Naci fluks sile ~F = xy( ~i + ~j + ~k) kroz rubod V.

33. Naci fluks sile ~F = xy ~i+ yz ~j + xz ~k kroz rub od V, gde je V sastavljenood x2 + 2y2 + 3z2 = 1, z 0 i z = 0.

34. Naci fluks sile ~F = y ~ix ~j+xz ~k kroz plocicu na povrsi x2+ y2+ z2 = 8koja se projektuje na trougao OAB, A(1, 0, 0) i B(2, 2, 0).

35. Date su tri povrsi z = 2 x2 y2, z = 1, z = 0. One ogranicavaju jednuzatvorenu oblast V. Naci fluks sile ~F = x2 ~i+ y2 ~j + z2 ~k kroz rub od V.

36. Povrsi x2 + z = 9, 3x + 4y = 24, x = 0, y = 0, z = 0 u prvom oktantuogranicavaju jednu oblast V. Naci fluks sile ~A = (x2+3z)~i+(y2+2xz) ~j+(z2 + xy) ~k kroz rub od V.

3

37. Data je povrs x2+y2+z2 = 9 i sila ~F = z ~i2xz ~j+2xz ~k. Naci fluks sile~F kroz deo od povrsi koja je odredjena svojom projekcijom S = {(, ) :1 2, : pi4 pi3 }.

38. Povrsi x2 + y2 + z2 = 4, x2 2x + y2 = 0, z 0 ogranicavaju jednutrodimenzionalnu oblast V. Naci fluks sile ~F = x~i+ xy ~j xz ~k kroz rubod V.

39. Povrsi z = 1 i z = 2 odsecaju od povrsi z + x2 + y2 = 9 jednu plocicu.Naci fluks sile ~F = x~i+ y ~j + z ~k kroz tu plocicu

40. Povrsi x + 2y + 3z = 6, x = 0, y = 0, z = 0 i z = 1 ogranicavaju jednutrodimenzionalnu oblast V. Naci fluks sile ~F = x2y ~i + xz ~j + z2 ~k krozkroz rub od V.

41. Na povrsi z = x2 y2 nalazi se jedna plocica. Ta plocica je odredjenasa povrsima y = x2, z = 0 i nalazi se u prvom oktantu. Naci fluks sile~F = x~i+ y ~j + ~k kroz tu plocicu.

42. Povrs x2+ y2+ z2 = 4, z 0 odredjuje jednu trodimenzionalnu oblast V.Naci fluks sile ~F = xy ~i+ xyz2 ~j + x2y ~k kroz rub od V.

43. Od povrsi z = x2y2, povrsi 3y = x, z = 0 i x2+y2 = 1 odsecaju jednuplocicu u prvom oktantu. Naci fluks sile ~F = (x + 1) ~i + (y + 2) ~j + z ~kkroz tu plocicu.

44. Tri povrsi x2 + y2 + z2 = 2, z = 0 i z = 1 ogranicavaju trodimenzionalnuoblast V. Naci fluks sile ~F = x2 ~i+ y2 ~j + z ~k kroz rub od V.

45. Tri povrsi x2 + y2 + z = 2, z = 0 i z = 1 ogranicavaju trodimenzionalnuoblast V. Naci fluks sile ~A = y ~i+ x ~j + z ~k kroz rub od V.

46. Date su povrsi [1] : x2 + y2 + z2 = 4, [2] : x2 + y2 2y = 0. Povrs[2] odseca od povrsi [1] jednu plocicu kod koje je z 0. Naci fluks sile~F = xz ~i+ yz ~j + ~k kroz tu plocicu.

47. Date 4 povrsi x2 + y2 + z2 = 1, x y = 0, 3x y = 0 i z = 0 odredjujujednu trodimenzionalnu oblast V. Naci fluks sile ~F = x~i+ y ~j + z2 ~k krozrub od V.

48. Ravni z = 0, y = 1, x = 2 odsecaju od povrsi z = x2 y2 jednu plocicu.Naci fluks sile ~F = (x+ y)~i+ (x y) ~j + z ~k kroz tu plocicu.

4

49. Date tri povrsi z = y, x2 + y2 = 1 i z = 0 ogranicavaju jednu trodi-menzionalnu oblast. Naci fluks sile ~F = y ~i + x ~j + z2 ~k kroz rub odV.

50. Povrsi x + y = 2, y = 0 i z = 0 odsecaju od povrsi z = x2 y2 jednuplocicu. Naci fluks sile ~F = y ~i+ x ~j + z ~k kroz tu plocicu.

51. Na povrsi z = x2 + y2 odredjena je plocica tako da se ona projektujena oblast D = {(, ), 0 1, pi4 pi3 }. Naci fluks sile ~F =y ~i+ x ~j + z ~k kroz rub od V.

52. Naci fluks sile ~F = ~i+ z ~j y ~k kroz plocicu na povrsi z = x2 y2 kojuod nje odsecaju ravni z = 0, x = 1.

53. Povrsi u prvom oktantu z = y, z = 0, x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 2ogranicavaju zatvorenu trodimenzionalnu oblast V. Naci fluks sile ~F =x2 ~i+ y2 ~j + z ~k kroz rub od V.

54. Naci fluks sile ~A = y ~i x ~j + ~k kroz plocicu na povrsi z = x2 + y2 kojuod nje odseca ravan z = 1.

55. Povrsi x2 + y2 + z2 = 9, z = 1 i z = 2 odredjuju zatvorenu trodimen-zionalnu oblast V. Naci fluks sile ~A = x2 ~i + y2 ~j + z2 ~k kroz rub odV.

56. Tri povrsi [1] : z = x2 y2, [2] : x = 1, [3] : z = 0 ogranicavajuoblast V. Time je na povrsi [1] ogranicena jedna plocica. Naci fluks sile~A = y ~i+ x ~j + ~k kroz nju.

57. Date su povrsi z2 = x2+y2, x = 0, y = 0, z = 0 i z = 1. One ogranicavajujednu oblast V. Naci fluks sile ~A = 2xy ~i y2 ~j + z3 ~k kroz rub od V.

58. Data je povrs [1] : x2 + y2 + z2 = 4 i prostorna kriva ABCA, gde suA(2, 0, 0), B(1,

3, 0), C(0, 0, 2) i [AB] deo povrsi [1] u xy ravni, [BC]

deo povrsi [1] i ravni y =3x i [CA] deo [1] i xz ravni. Kriva ABCA

odseca jednu plocicu na povrsi [1]. Naci fluks sile ~A = yz ~i xz ~j + z2 ~kkroz tu plocicu.

59. Pet povrsi x+ y + z = 2, x = 0, y = 0, z = 0, z = 1 odredjuju zatvorenuoblast. Naci fluks sile ~A = x2 ~i+ y2 ~j + z2 ~k kroz rub te oblasti.

60. Povrsi 3x + 4y = 24, x = 0, y = 0, z = 0 odsecaju od povrsi x2 + z = 9jednu plocicu. Naci fluks sile ~A = ~i+ y2z ~j + x ~k kroz tu plocicu.

5

61. Od povrsi x + y + z = 2 ravni z = 0 i z = 1 odsecaju jednu plocicu uprvom oktantu. Naci fluks sile ~A = x~i+ 2xy ~j + z ~k kroz nju.

62. Povrsi x2

4 +y2

9 +z2

16 = 1, z 0 ogranicavaju zatvorenu oblast V. Nacifluks sile ~A = x~i+ 2xy ~j + z ~k kroz rub od V.

63. Data je povrs x+ y+ z = 2. Tacke A(1, 1, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 2) leze natoj povrsi i odredjuju trougao u prostoru. Naci fluks sile ~A = (y + z)~i+(x+ z) ~j + (x+ y) ~k kroz plocicu tog trougla.

64. Data je povrs x2+y2+z2 = 9 i sila ~A = z ~i2xz ~j+2xy ~k. Naci fluks sile~A kroz deo od povrsi koja je odredjena svojom projekcijom D = {(, ) :1 2, : pi4 pi3 }.

65. Data je zatvorena povrs V ogranicena sa z = x2 y2, x = 1, z = 0. Nacifluks sile ~F = (2x z)~i (3z + y) ~j + (y3 + 2z) ~k kroz rub od V.

6

GRINOVA TEOREMA

1. Primenom Grinove teoreme odrediti rad sile ~A = (cosx4+xy)~i+(lny+

xy)~j po stranicama petougla sa temenima A(1, 0), B(3, 0), C(4, 2), D(2, 3)i E(0, 1).

2. Koristeci Grinovu teoremu naci rad sile ~A = (ex cos y ey sinx yx)~i+(ey cosx ex sin y)~j po konturi u I kvadrantu koju zatvaraju krive y =x2 4x+ 7, (x 3)2 + y2 = 4, x = 1 i x = 3.

3. Koristeci Grinovu teoremu naci rad sile ~A = (x+y)~i+(xyy)~j po krivojx2 + y2 = r2.

4. Date su tacke A(0,2), B(3, 3), C(1, 3), D(2, 3) i E(5, 3). Koristeci Gri-novu teoremu naci rad sile ~A = (ey 3y + x2)~i + (2y sin y + xey)~j poputanji ABCDEA, gde su [AB], [BC], [DE] i [EA] delovi pravih, a [CD]deo krive y = x2 + x+ 1.

5. Koristeci Grinovu teoremu naci rad sile ~A = (xy+ ex ln y)~i+(ey xy +3x2)~j po zatvorenoj konturiOABCDO, ako su date tackeO(0, 0), A(0, 2),B(1, 3), C(4, 0), D(3,1), a putanje OA,BC,DO su delovi pravih, AB jedeo krive y = x2 + 2, dok je putanja CD deo krive y = x2 6x+ 8.

6. Koristeci Grinovu teoremu naci rad sile ~A = (xy2+ ex)~i+( 12x

2y 3x+16y)~j po sestougluABCDEFA, gde jeA(0, 0), B(3, 0), C(3, 3), D(2, 2), E(1, 3)

i F (1, 1).

7. Koristeci Grinovu teoremu naci rad sile ~A = (y ex xy)~i + (ex x2 +arcsin y)~j po putanji ABCA, ako je A(1, 0), B(2, 1), C(0, 1) i putanja[AB] je deo prave, putanja [BC] je deo krive (x 1)2 + (y 1)2 = 1i putanja [CA] je deo krive y = 1 x2.

8. Koristeci Grinovu teoremu naci rad sile ~F = (6x3+7y)~i+(8x+ey ln y)~j poputanji koja je odredjena petouglom ABCDEA, gde je A(1, 1), B(2, 3),C(5, 3), D(6,1) i E(3,2).

9. Date su tacke A(2, 0), B(4, 2), C(3, 4), D(0, 2) i putanje: AB je y = 12x2 + 4x 6 = 0, BC je y = 2x + 10 i CA je y = 2x+63 . Izracunatiintegral

(x2 + y2) dx+ (x+ y)2 dy po krivoj ABCA koristeci Grinovu

teoremu.

1

10. Koristeci Grinovu teoremu naci rad sile ~F = (2y2 + x3)~i+ (4xy + 12x2)~j

po putanji ABCA, ako je A(0, 2), B(2, 0), C(5, 3) i putanje [AB] i [AC]su delovi prava, a [BC] je deo krive y = x2 6x+ 8.

11. Koristeci Grinovu teoremu naci rad sile ~A = (lnx + cos y)~i + (cosx x sin y)~j po putanji OABCO, ako je O(0, 0), A(3, 9), B(9, 9), C(12, 0) iputanja [AB] je deo krive y = x212x+36, [CO] je deo krive y = x212xdok su putanje [OA] i [BC] delovi pravih.

12. Pomocu Grinove teoreme odrediti rad sile ~A = (x ln y + x2 ln2 x)~i +(x2

2y + 3x)~j po zatvorenoj putanji ABCDA, ako je A(0, 2), B(4, 1),

C(2, 1), D(0, 1) i putanje: [AB], [CD] delovi pravih, [BC] deo krive(x 3)2 + (y 1)2 = 1 i [DA] deo krive x = y2 + y 2.

13. Pomocu Grinove teoreme odrediti rad sile ~A = 3x~i + x~j po zatvorenoj

putanjiOABCDEFO, ako jeA(2, 3), B(4, 3) , C(7, 4), D(7, 4), E(4, 3), F (2, 3)i putanje: [OA], [BC], [CD], [DE] i [FO] su delovi pravih, [AB] je deokrive y = x2 + 6x 5 i [EF ] je deo krive y = x2 6x+ 5.

14. Pomocu Grinove teoreme odrediti rad sile ~A = (exy+3y2)~i+(ex+6xy+x2)~j po stranicama petouglaABCDEA, ako jeA(1, 2), B(3, 4), C(5, 3), D(4, 1), E(2, 1).

15. Koristeci Grinovu teoremu odrediti rad sile ~A = 2y~i+ 4x~j po zatvorenojputanjiABCDEFGHA, ako jeA(0, 0), B(10, 0), C(10, 2), D(8, 4), E(6, 2), F (4, 2), G(2, 4)i H(0, 2), a susedne tacke su spojene pravim linijama.

16. Pomocu Grinove teoreme odrediti rad sile ~A = (x6+y)~i+(3x+ln(ln y))~jpo zatvorenoj putanji ABCDA, ako je A(0, 0), B(1, 1), C(2, 2), D(0, 2)i putanja [AB] deo krive y = x2+2x, [CD] deo krive y = x2+2x+2,dok su [BC] i [DA] delovi pravih.

17. Pomocu Grinove teoreme odrediti rad sile ~A = (yex+2x)~i+(ex+3x)~j poputanji ABCD, ako je A(0, 0), B(2, 0), C(3, 5), D(0, 8) i putanja [AB]deo krive y = x2 + 2x, [CD] deo krive y = x2 + 2x + 8, dok je [BC]deo prave.

18. Data je sila ~A = sin3 x~i + 2x~j i tacke A(0, 0), B(1, 1), C(1, 1) iD(2, 0). Naci rad sile ~A po putanji ABCDA gde su AB i DA delovipravih, BC deo krive x2 + y2 = 2y i CD deo krive y = x(x+ 2).

19. Data je sila ~F = x3 lnx~i+(x2+sin y)~j i tacke A(2, 0), B(1, 1) i C(0, 2).Naci rad sile ~F po putanji OABCO gde su OA, BC i CO delovi pravih,a AB deo krive x2 + y2 2x = 0.

2

20. Data je sila ~F = y4 x2~i + (y + 5)~j i tacke A(2, 0) i B(1, 2). Nacirad sile ~F po putanji OABO, gde su OA i AB delovi pravih, a BO deokrive y = 2x2.

21. Data je sila ~F = 4xy~i + (y + ln y)~j i tacke O(0, 0), A(1, 1), B(2, 0) iC(1, 3). Naci rad sile ~F po putanji OABCO, gde je OA deo krive 3y =x2 + 2x, AB deo krive y = x2 4x+ 4 i BC i CO delovi pravih.

22. Data je sila ~A = y2~i+4~j. Naci rad sile ~A po zatvorenoj putanji OABCOgde je OA deo krive x2 + y2 = 2x, AB deo prave x = 2, BC deo krivey = x2 2x+ 4 i CO deo y ose upotrebljavajuci Grinovu teoremu.

23. Primenom Grinove teoreme izracunatiL

3(x2 y2) dx 5xy dy gde je Lcetvorougao ABCD, A(1, 2), B(3, 2), C(4, 4) i D(2, 4).

24. Primenom Grinove teoreme naci rad sile ~F = (x + 3y)~i + (y 2x)~j poputanji ABCDA, gde je A(1, 0), B(3, 2), C(2, 3), D(0, 1) i putanja [AB]je deo prave, [BC] deo parabole y = x2 6x+ 11, [CD] deo prave i [DA]deo parabole y = (x 1)2.

25. Data je sila ~F = y2~i+ x2y~j i tacke A(2, 0), B(3, 1) i C(2, 2). Naci rad sile~F po putanji OABCO, gde je OA deo x ose, AB deo prave koja spajate dve tacke, BC deo prave koja spaja tacke B i C i CO deo krive y2 = 2xupotrebljavajuci Grinovu teoremu.

26. Data je sila ~F = y~i+x2

2~j i tacke O(0, 0), A(1, 0), B(3, 4) i C(0, 1). Naci

rad sile ~F po putanji OABCO, gde je OA deo x ose, AB deo krivey = (x 1)2, BC deo prave koja spaja te dve tacke i CO deo y oseupotrebljavajuci Grinovu teoremu.

27. Naci rad sile ~F = (yx + y cosx)~i + (y3x2 + sinx)~j po zatvorenoj krivojABCA, gde je A(0, 1), B(1, 0), C(2, 1), luk AB je na krivoj x2 + y = 1,luk BC na krivoj x y = 1 i CA na krivoj y = 1.

28. Grinovom teoremom naci rad sile ~F = xy~i + y2~j po zatvorenoj putanjiOCBA, gde je A(0, 2), B(1, 1) i C(2, 0), ako je AB deo krive x2+(y1)2 =1, BC deo prave, CO deo x ose, OA deo y ose.

29. Primenom Grinove teoreme izracunati rad sile ~F = 2(x2+y2)~i+(x+y)2~jpo krivoj C, gde je C kontura trougla cija su temena A(1, 1), B(2, 2) iC(1, 3).

3

30. IzracunatiC

(xy3 y2 cosx) dx+ (1 2y sinx+3x2y2) dy duz zatvorenekrive C : 2x = piy2 i x =

pi

2.

31. Data je sila ~F = x2~i + xy2~j i tacke A(1, 1) i B(2, 0). Naci rad sile poputanji OBAO, gde je OB deo x ose, BA deo krive y = x2 + 2x i OAdeo prave x = y koristeci Grinovu teoremu.

32. Data je kriva (x 1)2 + y2 = 1 i tacke A(1, 0), B(2, 0) i C(1, 1). Naci radsile ~F = y2~i+ x2~j po konturi ABCA upotrebljavajuci Grinovu teoremu.

33. Date su tri krive [1] : y = x2, [2] : y =x2

2, [3] : y = 2x i tacke

A(2, 4), B(4, 8). Kriva OA je deo od [1], kriva AB je deo od [3] i kriva BOje deo od [2]. Upotrebljavajuci dvostruki integral i Grinov teorem naci radsile ~F = 2x2y~i+ x3~j po zatvorenoj konturi OABO.

34. Naci rad sile ~F = (x2 + y2)~i+ 3xy~j po zatvorenoj putanji OABO ako jeOA deo luka krive y = x2+2x, AB i BO delovi prava i A(1, 1), B(0, 1).

35. Koristeci Grinov teorem naciC

y dx + x dy ako je zatvorena kriva Codredjena sa y = x, y = 0, x = 2 y2.

36. Data je sila ~F = (xy + ex)~i + (xy + sin y)~j, kriva [1] : x2 2x + y2 = 0 itacke A(2, 0) i B(1, 1). Zatvorena kriva OABO je data sa duzi OA po xosi i lukom ABO po krivoj [1]. Naci rad sile ~F po pomenutoj krivoj.

37. Date su dve krive y = x2 i x = 1 i tri tacke A(1, 1), B(1, 2), C(0, 2). Nacirad sile

~F = (x2y + y sinx)~i+ (xy cosx) ~jpo otvorenoj krivoj OABC.

38. Izracunati rad sile ~F = (xy + ey)~i + (x2 + xey)~j po zatvorenoj konturiOABO, gde su A(2, 0), B(1, 1), OA je deo x ose, AB je deo krivex+ y2 = 2 i BO je deo krive x2 + y2 2y = 0.

39. Izracunati krivolinijski integralC

(yx + y cosx) dx + (x3y2 + sinx) dy

po krivoj C, gde je C zatvorena putanja OABO gde je OA : luk krivex = y2, AB : prava y = 1 i BO : deo y ose.

4

40. IzracunatiC

(xy3 y2 cosx) dx+ (1 2y sinx+3x2y2) dy duz zatvorenekrive C : 2x = piy2, x =

pi

2.

41. Koristeci Grinov teorem naciC

y dx + x dy ako je zatvorena kriva Codredjena sa y = x, y = 0, x = 2 y2.

42. Primenom Grinove teoreme naciC

(2xy x2) dx+ (x+ y2) dy gde je Czatvorena kriva y = x2 i y2 = x.

43. Izracunati rad sile ~A =(x2y5

32+ 5x7

)~i +

(x3y416

+ 3y2)~j duz zatvorene

krive x = 3 cos t, y = 2 sin t upotrebljavajuci Grinov teorem.

5

KRIVOLINIJSKI INTEGRAL

1. Data je sila ~F = (2xyz+ y3+ z2)~i+ (x2z+3xy2+ z)~j + (x2y+ y+2xz)~ki tacke A(0, 1, 0) i B(1, 2, 3).

a) Pokazati da je sila ~F konzervativna.

b) Naci rad sile ~F od tacke A do tacke B preko diferencijala.

c) Naci rad sile ~F od tacke A do tacke B pomocu izlomljene linije.

2. Data su povrsi [1] : x2+y2+z2 = 4 i [2] : y = x i tackeA(2,2, 0), B(0, 2, 0)

i C(0, 0, 2). Kriva AB se nalazi na povrsi [1] i xy ravni, kriva BC se nalazina [1] i yz ravni i kriva CA se nalazi na povrsi [1] i povrsi [2]. Naci radsile ~F = xz~i+ y~j + 2z~k po krivoj ABCA.

3. Date su povrsi [1] : x2+y2 = 4z, [2] : x = 0, [3] : y = 0, [4] : z = 2 i tackeA(2, 0, 2), B(0,

2, 2), C(0, 0, 4). Izracunati rad sile ~F = xy~i+xz~j+z ~k

po zatvorenoj konturi ABCA, ako je putanja AB u preseku povrsi [1] i[4], BC u preseku [1] i [2], a CA u preseku [1] i [3].

4. Data je sila ~F =(x2yz+x lnx

)~i+(x33z+

ln yy

)~j+(x33y+

1z ln z

)~k i tacke

A(e, e, e) i B(3, 4, 5).




5. Data je sila ~F = (xy2 sin z)~i+ (x2y + z)~j + (y x cos z)~k.a) Pokazati da je sila ~F konzervativna.

b) Naci rad sile ~F od tacke A(0, 1, 0) do tacke B(2,1,1) pomocu difer-encijala i preko izlomljene linije.

6. Data je sila ~F = (x + 2y)~i + (2y + 3z)~j + (3z + x)~k i kocka cije je temeC koordinatni pocetak, teme A u tacki 3 na x osi, jos dva temena su utackama 3 na y i z osi, teme D je u xz ravni i nije na x i z osi, temeB je jedino teme kocke koje se ne nalazi ni u jednoj od xy, yz, xz ravni.Odrediti rad sile ~F po konturi ABCDA, gde su sve putanje delovi pravih.

7. Data je sila ~F = 2x(ey+ez)~i+(x2ey+z sin y+y2)~j+(x2ezcos yz3)~ki tacke A(0, 0, pi2 ) i B(1, 1, 2).


1



8. Date su povrsi [1] : z2 = x2 + y2, [2] : z = 4, [3] : x2 + y2 = z + 2, sila~F = x~i+x2y~j+(x+z2)~k i tacke A(2

2, 2

2,4), B(0, 4,4), C(0, 1,1)

i D(22 ,

22 ,1). Naci rad sile ~F po konturi ABCD, ako se putanja AB

nalazi u preseku povrsi [1] i [2], putanja BC je deo prave, a putanja CDje u preseku povrsi [1] i [3].

9. Data je sila ~F = (2xy + z)~i+ (x+ 3yz)~j + (x2 + y2)~k, tacke A(0, 1,1),B(1, 0,1), C(4, 0,4), D(4, 0,4) i povrsi [1] : z2 = x2 + y2, [2] :z+2 = x2+ y2 i [3] : z = 4. Naci rad sile ~F po konturi ABCDA, ako seputanja AB nalazi u preseku povrsi [1] i [2], CD u preseku [1] i [3], doksu ostale putanje delovi pravih.

10. Data je sila ~F = (xyz)~i + (x + y + z)~j + (x2 + yz)~k i tacke O(0, 0, 0),A( 2

3

3 , 0, 2), B( 23

3 , 0, 2) i C(0, 0, 2).Naci rad sile ~F po konturiOABCO,ako su putanje OA,BC,CO delovi pravih, dok se putanja AB nalazi upreseku povrsi 3x2 + 2y2 = z2 i z = 2.

11. Data je sila ~F = (xy+1)~i+(x+y+z)~j+(zy+2)~k, tackeO(0, 0, 0), A(2, 2, 1),B(0,

8, 1), C(0, 0, 3) i povrsi [1] : x2 + y2 + z2 = 9, [2] : z = 1. Naci rad

sile ~F po zatvorenoj konturi OABCO, ako se putanja AB nalazi u presekupovrsi [1] i [2], dok su ostale putanje delovi pravih.

12. Data je sila ~F = (x+y)~i+(yz+1)~j+ (x2+z)~k, tacke O(0, 0, 0), A(0, 0, 4),B(1, 1, 2), C(0,

2, 2) i povrsi [1] : x2+y2 = z+4, [2] : x = y, [3] : z = 2.

Naci rad sile ~F po zatvorenoj konturi OABCO, ako se putanja AB nalaziu preseku povrsi [1] i [2], putanja BC u preseku povrsi [1] i [3], dok suputanje OA i CO delovi pravih.

13. Date su povrsi [1] : x2 + y2 = z + 5, [2] : z = 1, [3] : x = 0 itacke A(

2,2, 1), B(0, 2, 1), C(0, 0, 5) i D(0, 0, 1). Naci rad sile ~F =

(x+yz)~i+(y2+2)~j+ (x+y+z)~k po krivoj ABCDA, gde je putanja ABu preseku povrsi [1] i [2], putanja BC u preseku [1] i [3], dok su putanjeCD i DA delovi pravih.

14. Na sferi x2+ y2+ z2 = 9 su date tacke A(3, 0, 0), B( 33

2 ,32 , 0) i C(0, 0, 3).

Tako su dobijena tri puta: AB na sferi i xy-ravni, BC na sferi i y = x3

ravni i CA na sferi i xz-ravni. Naci rad sile ~F = x2~i (y+ z)~j + 2yz~k pozatvorenoj krivoj ABCA.

2

15. Date su povrsi [1] : x2+y2 = z, [2] : x2+y2 = 8z i tackeO(0, 0, 0), A(0, 2, 4),B(0,

2, 6) i C(

2, 0, 6). Naci rad sile ~F = x~i+ (x+ y) ~j + (y+ z) ~k po

putanji OABCO gde se OA nalazi na povrsi [1] i yz ravni, AB se nalazina [2] i yz - ravni, BC je presek povrsi [2] i ravni z = 6 i putanja CO jeprava.

16. Data je sila ~F = (2x+y2 sin z)~i+(2xy+z3)~j+(3yz2x cos z)~k i tackeA(0,1, 1) i B(2, 0, 1).a) Pokazati da je sila ~F konzervativna.



17. Data je sila ~F = (xy+sinx+z ln z)~i+(x2

2 +y+z2)~j+ (x+x ln z+2yz)~k

i tacke P (0,1, 2) i Q(pi, 2, 5).a) Pokazati da je sila ~F konzervativna.

b) Naci rad sile ~F od tacke P do tacke Q preko diferencijala.

c) Naci rad sile ~F od tacke P do tacke Q pomocu izlomljene linije.

18. Data je sila

~F = (x lnx+ 2xy + 2xz)~i+ (x2 + 2yz) ~j + (x2 + y2 + ez sin z) ~k

i tacke A(1, 0, 0) i B(e, 2, 1).


b) Izracunati rad sile ~F od tacke A do tacke B preko diferencijala odred-jene funkcije U.

c) Izracunati rad sile ~F od tacke A do tacke B preko izlomljene linije.

19. Data je sila

~F =(yx+ ez cosx

)~i+ (lnx+ yez) ~j +

(ez sinx+

y2ez

2

)~k

i tacke A(e, 0, 1) i B(1, 1, 0).


3



20. Data je povrs [1] : x2 + y2 = 3z i tacke O(0, 0, 0), A(0, 3, 3), B(3, 0, 3) iC(2, 0, 34 ). Naci rad sile ~A = xy ~i+z ~j+(x+y+z) ~k po putanji OABCOgde se OA nalazi na povrsi [1] i yz ravni, AB se nalazi na [1] i ravniparalelnoj sa xy ravni, BC je deo prave i CO se nalazi na povrsi [1] ixz ravni.

21. Data je sila ~F = (ex cos y+xy2+z2)~i+(x2yex sin y+z sin z+cos z) ~j+(2xz + yz cos z) ~k.


b) Odrediti rad sile ~F od tacke A(0, pi, 0) do tacke B(1, 2pi, pi2 ) prekototalnog diferencijala i izlomljene linije.

22. Naci rad sile ~A = (x+y+z)~i+(x2+y2+z2) ~j+(xy+z) ~k po zatvorenojputanjiABCDA, ako su date tackeA(

5, 0, 2), B(0,

5, 2), C(0,

5, 0), D(

5, 0, 0),

i putanje medju njima: [AB] u preseku povrsi x2 + y2 + z2 = 9 i z + 3 =x2 + y2, dok su [BC], [CD] i [DA] delovi pravih.

23. Data je sila

~F =(xy2 sin y +

yz2

2

)~i+

(x2y sin y +

x2y2 cos y2

+xz2

2

)~j + xyz ~k

i tacke A(1, pi2 , 0) i B(2, 0, 2).




24. Date su povrsi [1] : 4x2+36y2+9z2 = 36 i [2] : x2+9y2+9z2 = 9 i tackeA(3, 0, 0), B(0, 1, 0) i C(0, 0, 1). Odrediti rad sile ~A = x~i+y2 ~j+z ~k pokrivoj ABCA, ako se putanja AB nalazi u preseku povrsi [1] i xy ravni,BC u preseku povrsi [2] i yz ravni i CA je deo prave.

4

25. Data je sila

~F =(xyz+yz

lnxx

+xzex)~i+(x2z

2+z

ln2 x2

)~j+(x2y

2+y

ln2 x2

+xexex)~k

i tacke A(e, 2, 0) i B(1, 1, 1).




26. Data je sila

~F = (xey z cos y)~i+(x2ey

2+ xz sin y

)~j +

( x cos y + zez

)~k

i tacke A(1, 0, 0) i B(2, 1, 1).




27. Data je sila ~F = (xyz sin z+ln(xz))~i+ x2

2 z sin z ~j+(x2

2 y sin z+x2

2 yz cos z+xz

)~k i tacke A(e, 0, e) i B(1, 2, e).




28. Data je sila ~F =(x2 sin y +

xy2z

2

)~i +

(x3 cos y3

+x2yz

2

)~j +

x2y2

4~k i

tacke A(1, pi2 , 3) i B(2, 0, 2).


b) Izracunati rad sile ~F od tacke A do tacke B preko diferencijala.


5

29. Data je povrs x2 + y2 = z 4 i tacke A(0, 0, 4), B(0, 1, 5) i C(1, 0, 5).Naci rad sile ~F = x2~i+(y+z)~jz ~k po putanji ABCOA, ako se putanjaAB nalazi na povrsi i yz ravni, BC na povrsi i ravni koja je paralelnaxy ravni, a CO i OA su delovi pravih.

30. Date su tacke A(3, 0, 0), B(2, 1, 0) i C(0, 0, 3). Naci rad sile ~F = (x +y + z)~i x2 ~j + z ~k po zatvorenoj konturi ABCA, gde su AB, BC i CAodsecci pravih koje spajaju odgovarajuce tacke.

31. Data je sila ~F = x2yz ~i+ 13x3z ~j+ 13x

3y ~k i tacke A(3, 1, 2) i B(4,2,5).


b) Izracunati rad sile ~F po putanji C, gde je C deo prave koji spaja tackeA i B.

c) Izracunati rad sile ~F od tacke A do tacke B preko diferencijala odredjenefunkcije U.

d) Izracunati rad sile ~F od tacke A do tacke B preko izlomljene linije.

32. Povrsi x2+y2 = z i z = x+2y odredjuju jednu zatvorenu krivu u prostoru.Naci rad sile ~F = (x+ 1)~i+ (y + z) ~j + z ~k po toj krivoj.

33. Data je sila ~F = (yz sinx+xy2+xez)~i+(x2yz cosx) ~j+(x22 ezy cosx) ~ki tacke A(0, 2, 1) i B(pi3 , 3, 0).


b) Naci rad sile ~F od tacke A do B preko diferencijala odredjene funkcijeU.

c) Naci rad sile ~F od tacke A do B preko izlomljene linije.

34. Na povrsi [1] : 2x2 + 3y2 = 3z date su tacke O(0, 0, 0), A(0, 2, 4) iB(6, 0, 4). Tako su dobijena tri puta: OA na povrsi [1] i yz ravni, AB

na povrsi [1] i z = 4 ravni i BO na povrsi [1] i xz ravni. Sve zajedno cinizatvorenu krivu OABO. Naci rad sile ~F = (x+yz)~i+(x2y) ~j+(yz) ~kpo krivoj OABO upotrebljavajuci krivolinijski integral.

35. Data je sila ~F = (2xz3 + 6y) ~i + (6x 2yz) ~j + (3x2z2 y2) ~k i tackeA(1,1, 1) i B(2, 1,1).a) Pokazati da u R3 rad te sile ne zavisi od puta.


6


d) Izracunati rad sile ~F ako je putanja prava koja spaja tacke A i B.

36. Date su povrsi [1] : x2 + y2 + z2 = 12, [2] : y = x, [3] : y =3x i

tacke A(6,6, 0), B(

3, 3, 0) i C(0, 0, 2

3). Luk AB je u preseku [1] i

xy ravni, luk BC je u preseku [1] i [3] i luk CA je u preseku [1] i [2].Upotrebljavajuci krivolinijski integral naci rad sile ~F = x~i y ~j + z ~k pozatvorenoj putanji ABCA.

37. Data je sila ~F = yz ~i+ zx ~j + xy ~k i tacke A(1, 2, 1) i B(2, 1, 3).


b) Izracunati rad sile ~F po putanji C, gde je C prava koji spaja tacke A iB.


d) Izracunati rad sile ~F od tacke A do tacke B koristeci izlomljenu liniju.

38. Data je sila ~F = y2ez ~i + (2xyez + z cos y) ~j + (xy2ez + sin y) ~k i tackeA(1, 2, 0) i B(2,1, pi).a) Pokazati da je sila ~F konzervativna.

b) Izracunati rad sile ~F od tacke A do tacke B preko izlomljene linije.


39. Date su povrsi [1] : 36x2+9y2+4z2 = 36, [2] : z1 = x2(y1)2, [3] :z = y i tri tacke A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) i C(0, 1, 1). Time su odredjeni lukovikrivih na sledeci nacin. Luk AB na povrsi [1] i xy ravni, luk BC napovrsi [2] i yz ravni, CO na povrsi [3] i yz ravni i luk OA na x osi.Naci rad sile ~F = (2x+y)~iz ~j+y ~k po konturi zatvorene krive OABCO.

40. Povrsi (x 1)2 + y2 = z i 2x + z = 2 ogranicavaju jednu zatvorenuoblast V. Presek te dve povrsi je prostorna kriva C. Naci rad sile ~F =x~i+ (x+ y) ~j + z2 ~k po krivoj C.

41. Data je sila ~F = (2xyz + ln y)~i+ (x2z + xy ) ~j + (x2y 2z) ~k.


7

b) Izracunati rad sile ~F od tacke A(1, 2, 1) do tacke B(2, 3, 3) koristeciproizvoljnu liniju.

c) Izracunati rad sile ~F od tacke A(1, 2, 1) do tacke B(2, 3, 3) preko difer-encijala odredjene funkcije U.

42. Date su povrsi [1] : x2 + y2 + 4z2 = 4, [2] : y =3x i tri tacke

A(1,3, 0), B(0, 2, 0) i C(0, 0, 1). Time su odredjeni lukovi krivih na

sledeci nacin. Luk AB na povrsi [1] i xy ravni, luk BC na povrsi [1] i yzravni, CA na povrsi [1] i povrsi [2]. Naci rad sile ~F = 3z ~i x ~j + y ~kpo konturi zatvorene krive ABCA.

43. Data je sila ~F = (x22yz)~i+(y22xz) ~j+(z22xy) ~k i tacke A(1, 1, 1)i B(2, 3, 4).


b) Izracunati rad sile od tacke A do tacke B koristeci proizvoljnu liniju.

c) Izracunati rad sile od tacke A do tacke B preko diferencijala.

44. Data je sila ~F = (2xz3 + 6y) ~i + (6x 2yz) ~j + (3x2z2 y2) ~k i tackeA(1,1, 1) i B(2, 1,1).a) Pokazati da u R3 rad te sile ne zavisi od puta .

b) Izracunati rad te sile od tacke A do tacke B preko diferencijala odred-jene funkcije U .

c) Izracunati rad te sile od tacke A do tacke B preko pogodne putanje.

45. Date povrsi x2+ y2+ z2 = 4 i z = x 2 odredjuju krivu u prostoru. Nacirad sile ~F = xz ~i+ (x 1) ~j + y ~k po toj prostornoj krivi.

46. Data je povrs x2 + y2 + z2 = 4 i tacke A(2, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 1,3) i

D(1, 0,3) na toj povrsi. Luk AB je presek te povrsi sa xy ravni, luk BC

je presek te povrsi sa yz ravni, luk CD je presek povrsi i ravni z = 3i luk DA presek te povrsi i xz ravni. Naci rad sile ~F = zy ~i+ z ~j + z2 ~kpo zatvorenoj konturi ABCDA.

47. Date su povrsi [1] : z2 = 2x2 + 2y2, [2] : y = x, [3] : y =3x, [4] : z = 2

i tacke A(1, 1, 2), B(22 ,

32 , 2). Kriva OA je na preseku [1] i [2], kriva

AB je na preseku [1] i [4] i kriva BO je na preseku [1] i [3]. Naci rad sile~F = xy ~i+ yz ~j + xz ~k po zatvorenoj konturi OABO.

8

48. Data je sila ~F = (ex+y2sin z + 2xyez) ~i + (2yex+y

2sin z + x2ez) ~j +

(ex+y2cos z + x2yez) ~k i tacke A(2,1, 0) i B(1, 2, pi2 ).

a) Pokazati da je sila konzervativna.

b) Naci rad sile od A do B preko izlomljene linije.

c) Naci rad sile od A do B preko diferencijala.

49. Povrsi [1] : z + x2 + y2 2 = 0, [2] : x = 0, [3] : y = 0 i [4] : z =1 ogranicavaju jednu trodimenzionalnu oblast V. Na rubu te oblasti sutacke A(1, 0, 1), B(0, 1, 1) i C(0, 0, 2). Kriva AB je presek [1] i [4], krivaBC je presek [1] i [2] i kriva CA je presek [1] i [3]. Izracunati rad sile~A = xz ~i + xy ~j + z ~k po konturi ABCA upotrebljavajuci krivolinijskiintegral.

50. Date su tacke A(1, 1) i B(0, 1). Naci rad sile ~F = (x2 + y2) ~i + 3xy ~j pozatvorenoj putanji OABO, gde je OA deo luka krive y = x2+2x, a ABi BO su delovi pravih koje spajaju odgovarajuce tacke.

51. Date su 4 povrsi [1] : z = x2 + y2, [2] : y = x, [3] : y =3x, [4] : z = 4 i

tacke A(2,2, 4) i B(1,

3, 4). Naci rad sile ~A = yz ~i+ 2xz ~j + xy ~k po

zatvorenoj konturi OABO, ako se luk OA nalazi u preseku [1] i [2], lukAB u preseku [1] i [4] i luk BO u preseku [1] i [3].

52. Date su povrsi [1] : x2 + y2 + z2 = 12, [2] : y = x, [3] : y =3x i

tacke A(6,6, 0), B(

3, 3, 0) i C(0, 0, 2

3). Luk AB je u preseku [1] i

xy ravni, luk BC je u preseku [1] i [3] i luk CA je u preseku [1] i [2].Upotrebljavajuci krivolinijski integral naci rad sile ~F = x~i y ~j + z ~k pozatvorenoj konturi ABCA.

53. Date su dve povrsi [1] : z = x2 y2 i [2] : x = 2y i tacka A(2, 1, 3).Povrs [2] odseca od povrsi [1] jednu prostornu krivu. Naci rad sile ~F =(x y) ~i + y ~j + zy ~k po gore pomenutoj prostornoj krivi od tacke O doA.

54. Pokazati da je sila ~F = (y2 sinx e2z + xy2 cosx e2z) ~i + (2xy sinx e2z z sin y) ~j + (2xy2 sinx e2z + cos y) ~k konzervativna. Naci rad te sile odtacke (0, pi, 1) do (pi2 , 2pi, 2) na dva nacina :

a) izlomljenom linijom,

b) preko diferencijala.

9

55. Date su povrsi [1] : z2 = 4x2 + 9y2, [2] : z = 2, [3] : z = 3 i tackeA(1, 0, 2), , B(0, 23 , 2), C(0, 1, 3), D(

32 , 0, 3). Luk AB je u preseku [1] i [2],

luk BC na preseku [1] i yz ravni, luk CD na preseku [1] i [3] i luk DAna preseku [1] i xz ravni. Naci rad sile ~F = (x + y) ~i + (x y) ~j + z ~kpo zatvorenoj krivi ABCDA.

56. Data je sila ~F = (ey2+ 2x) ~i + (2xyey

2+ sin z) ~j + y cos z ~k i dve tacke

A(1, 1, 0) i B(2, 2, pi2 ).


Naci rad sile ~F od tacke A do tacke B upotrebljavajuci :

b) izlomljenu liniju,

c) diferencijal.

57. Date su povrsi [1] : z = x2 + y2, [2] : y =3x, [3] : x = 0, [4] : z = 4

i tacke A(1,3, 4) i B(0, 2, 4). Luk OA je u preseku [1] i [2], luk AB

u preseku [1] i [4] i luk BO je u preseku [1] i [3]. Naci rad sile ~F =xz ~i+ y2 ~j + xy ~k po zatvorenoj konturi OABO.

58. Date su povrsi [1] : x2+ y2+ z2 = 4, [2] : y = x, [3] : y =3x i [4] : z = 0

i tri tacke A(2,2, 0), B(1,

3, 0) i C(0, 0, 2). Luk AB je u preseku [1]

i [4], luk BC je u preseku [1] i [3] i luk CA je u preseku [1] i [2]. Naci radsile ~A = (x+ 2y)~i+ (y z) ~j + (x+ 2z) ~k po zatvorenoj putanji ABCA.

59. Date su tri povrsi [1] : x2 + y2 + z2 = 2, [2] : x y = 0, [3] : x = 0 i tackeA(1, 1, 0), B(0,

2, 0), C(0, 0, 2). Kriva AB je u preseku [1] i xy ravni ,

kriva BC je u preseku [1] i [3] i kriva CA je u preseku [1] i [2]. Naci radsile ~F = y ~i x ~j + ~k po zatvorenoj krivoj ABCA.

60. Data je sila ~F = (y2ez + 3x2y cos z) ~i + (2xyez + x3 cos z) ~j + (xy2ez x3y sin z) ~k i tacke A(1,1, 0) i B(2, 2, pi).a) Pokazati da je ~F konzervativna sila.

b)Izracunati rad te sile koristeci izlomljenu liniju.

c) Izracunati rad sile od A do B koristeci totalni diferencijal.

61. Naci rad sile ~A = (x + 1) ~i + (y x) ~j + (z + y) ~k po zatvorenoj konturiOABO ako je data povrs [1] : x + y + z = 2, povrs [2] : y = x2, tackeA(1, 1, 0), B(0, 0, 1) i ako je luk OA presek [2] i z = 0, luk AB presek [1]i [2] i BO deo z ose.

10

62. Dato je pet povrsi [1] : z2 + x2 = 1, [2] : 3x + y = 3, [3] : z =0, [4] : y = 0 i [5] : x = 0. One ogranicavaju oblast V. Date su tritacke A(1, 0, 0), B(0, 3, 1) i C(0, 0, 1). Kriva AB je u preseku [1] i [2],kriva BC je u preseku [1] i [5] i kriva CA je u preseku [1] i [4]. Naci radsile ~A = z2 ~i+ 2xy ~j + 2z ~k po zatvorenoj konturi ABCA.

63. Data je povrs [1] : x2 + y2 + z = 1 i tacke A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) i C(0, 0, 1).Time je odredjena zatvorena kriva ABCA. Kriva AB je na [1] i xy ravni,kriva BC je na [1] i yz ravni i kriva CA na [1] i xz ravni. Naci rad sile~A = (x+ yz)~i+ (x2 y) ~j + (y z) ~k po zatvorenoj konturi ABCA.

64. Date su dve povrsi [1] : x2 + y2 + z2 = 4, [2] : y =3x i tri tacke

A(2, 0, 0), B(1,3, 0), C(0, 0, 2). Time su odredjeni lukovi krivih na sledeci

nacin. Luk AB na povrsi [1] i xy ravni, luk BC na povrsi [1] i povrsi[2], CA na povrsi [1] i xz ravni. Naci rad sile ~A = 3z ~i x ~j + y ~kpo konturi zatvorene krive ABCA.

65. Pokazati da je ~A = (2xz3+6y)~i+(6x2yz) ~j+(3x2z2 y2) ~k konzerva-tivna sila. Izracunati rad te sile od (1,1, 1) do (2, 1,1) na dva nacina: koristeci proizvoljnu liniju i preko diferencijala.

66. Date du dve povrsi x2 + y2 + z = 3 i 2x + 2y + z = 1. One ogranicavajujednu zatvorenu oblast V. Presek te dve povrsi je prostorna kriva C. Nacirad sile ~A =~i+x ~j+y ~k po krivoj C upotrebljavajuci krivolinijski integral.

67. Povrs [1] : z + x2 + y2 2 = 0, [2] : x = 0, [3] : y = 0, [4] : z =1 ogranicavaju jednu trodimenzionalnu oblast V. Na rubu te oblasti sutacke A(1, 0, 1), B(0, 1, 1) i C(0, 0, 2). Kriva AB je presek [1] i [4], krivaBC je presek [1] i [2] i kriva CA je presek [1] i [3]. Izracunati rad sile~A = xz ~i + xy ~j + z ~k po zatvorenoj konturi ABCA upotrebljavajucikrivolinijski integral.

68. Data je povrs z2 = x2 + y2 i tacka A(0, 1, 1) i B(1, 0, 1) na njoj. PuteviOA na povrsi i yz ravni, AB na povrsi i z = 1 ravni i BO na povrsii xz ravni odredjuju zatvorenu krivu u prostoru OABO. Naci rad sile~A = z2 ~i+~j+yz ~k po krivoj OABO upotrebljavajuci krivolinijski integral.

11

ZAPREMINA TRODIMENZIONALNE OBLASTI

1. Odrediti zapreminu trodimenzionalne oblasti V koja sadrzi tacku A(0, 0, 3)i ogranicena je povrsima z2 = x2+y2, x2+y2+z2 = 4, x2+y2+z2 = 16.

Resenje : V = 2pi0

d

80

d

162

dz 2pi0

d

20

d

42

dz.

2. Odrediti zapreminu trodimenzionalne oblasti V koja je ogranicena povrsimax = y2, y = x, z = 3 i z = x2 + y2.

Resenje : V = 10

dy

yy2

dx

x2+y23

dz.

3. Odrediti zapreminu tela koje je omedjeno povrsima x2 + y2 = z 6,y = x2 + 4, z = 0 i y = 0.

Resenje : V = 22

dx

x2+40

dy

6+x2+y20

dz.

4. Odrediti zapreminu tela koje je omedjeno povrsima x2+ y2 = z, x22x+y2 = 0 i z = 0.

Resenje : V = 2pi0

d

10

d

1+2 cos+20

dz.

5. Odrediti zapreminu trodimenzionalne oblasti koja je ogranicena povrsimax2 + y2 = z2, z = 2 i z = 3.

Resenje : V = 2pi0

d

20

d

2

dz 2pi0

d

30

d

3

dz.

6. Koristeci dvostruki integral izracunati zapreminu oblasti koja je ogranicenapovrsima x + y + z = 4, z = 0 , x = 0, y = 0, y = 2 i pripada joj tacka(1, 1, 1).

Resenje : V = 20

dx

4x0

(4 x y) dy.

7. Odrediti zapreminu trodimenzionalne oblasti koja je ogranicena povrsimax2 + y2 = 6 z i 4x+ 4y + z = 5.

Resenje : V = 2pi0

d

30

d

24 cos4 sin2114 cos4 sin

dz.

1

8. Naci zapreminu tela koje je ograniceno povrsima x2 + y2 + z2 = 1, x2 +y2 + z2 = 4.

Resenje : V = pi

2

0

d

21

d

4212

dz.

9. Naci zapreminu tela koje je ograniceno povrsima x+y = 1, z = 0, x+y+z = 5, x = 0, y = 0 i kome pripada tacka P ( 12 ,

12 ,

12 ).

Resenje : V = 10

dx

1x0

dy

5xy0

dz.

10. Naci zapreminu trodimenzionalne oblasti ogranicene povrsima x = y2, x =y2 + 2, y = 2, y = 1, z = 1 i z 4 = x2 + y2.

Resenje : V = 12

dy

y2+2y2

dx

x2+y2+41

dz.

11. Izracunati zapreminu trodimenzione oblasti ogranicene povrsima z = y2y 2, z = 0, 2x+ y = 4 i x = 3.

Resenje : V = 21

dy

4y2

3dx

0y2y2

dz.

12. Odrediti zapreminu trodimenzionalne oblasti V koja je ogranicena povrsimaz = 1, y = 3, y = 1, x = 4, x = 2 i x2 + y2 = z 5.

Resenje : V = 42

dx

31

dy

x2+y2+51

dz.

13. Odrediti zapreminu trodimenzionalne oblasti V koja je ogranicena povrsima

x2+4y2 = 4, x = 0, y = 0, z = 6, 3z = x2+y2 i sadrzi tacku A(1, 12, 4).

Resenje : V = pipi2

d

10

2 d 6342 cos2 2 sin2

dz.

14. Odrediti zapreminu trodimenzionalne oblasti V koja je ogranicena povrsimax2 + y2 = z 3, x = y2 + 1, y = 1, y = 0, z = 0 i x = 0.

Resenje : V = 10

dy

y2+10

dx

x2+y2+30

dz.

15. Odrediti zapreminu tela koje se nalazi u I oktantu izmedju povrsi 2x +3y + 6z = 6 i 4x+ 3y + 2z = 12.

2

Resenje : V = 30

dx

124x3

0

dy

124x3y2

0

dz 30

dx

62x3

0

dy

62x3y6

0

dz.

16. Odrediti zapreminu oblasti koju ogranicavaju povrsi z = x2+9, x+z =3, xz ravan i njoj paralelna ravan koja prolazi kroz tacku (0, 4, 0).

Resenje : V = 43

dx

9x23x

dz

40

dy.

17. Odrediti zapreminu oblasti ogranicene ravnima 2xy = 1, y = 1, 2x+y = 1, z = 3 i z = 2.

Resenje : V = 11

dy

1y2

y12

dx

23

dz.

18. Tri povrsi x2+ y2+ z = 12, x2+ y2 = z2 i z = 8 ogranicavaju jednu trodi-menzionalnu oblast V kojoj pripada tacka A(0, 0, 3). Odrediti zapreminute oblasti.

Resenje : V = 2pi0

d

30

d

122

dz 2pi0

d

20

d

1228

dz.

19. Naci zapreminu tela koje sadrzi tackuA(1, 1, 4), a ograniceno je povrsimaz 9 = x2 + y2, x2 + y2 = 9, x2 + y2 = 1, z = 2, x = 0 i y = 0.

Resenje : V = pipi2

d

21

d

2+92

dz.

20. Naci zapreminu tela koje je ograniceno povrsima x2 + y2 + z2 = 18,z = 6 i x2 y2 = z + 2.

Resenje : V = 2pi0

d

20

d

226

dz 2pi0

d

20

d

22182

dz.

21. Naci zapreminu tela koje je ograniceno povrsima y = x2, y = 2x 1, y =2x 1, z = 2 i z = x2 + y2.

Resenje : V = 01

dx

x22x1

dy

x2+y22

dz+ 10

dx

x22x1

dy

x2+y22

dz.

22. Naci zapreminu tela koje sadrzi tacku A(0, 0, 3), a ograniceno je povrsimax2 + y2 = z2, x2 + y2 + z2 = 2 i x2 + y2 = 6 z.

Resenje : V = 2pi0

d

20

d

62

dz 2pi0

d

10

d

22

dz.

3

23. Naci zapreminu tela koje sadrzi tacku A(1,52, 3) i ograniceno je povrsima

x2 + y2 = 9, x2 + y2 = 4, x = y, x = 0, z = 2 i x2 + y2 = z 4.

Resenje : V = pi

2

pi4

d

32

d

4+22

dz.

24. Naci zapreminu tela koje sadrzi tacku A(0, 0, 3), a koje se nalazi u konusuizmedju centralnih sfera poluprecnika 2 i 4.

Resenje : V = 2pi0

d

80

d

162

dz 2pi0

d

20

d

42

dz.

25. Naci zapreminu tela koje je ograniceno povrsima y = x2, x = y, x2+y2 =z + 1 i x2 + y2 = z 6.

Resenje : V = 10

dx

xx2

dy

6+x2+y21x2y2

dz.

26. Naci zapreminu tela koje sadrzi tacku A(0, 1, 1), a ograniceno je povrsimax = y2 2, x = y, z = x2 + y2 i z 18 = x2 y2.

Resenje : V = 21

dy

yy22

dx

18x2y2x2+y2

dz.

27. Odrediti zapreminu trodimenzionalne oblasti V koja sadrzi tackuA(0, 1, 4),a ogranicena je povrsima y = x, y = 3x, x2+y2 = 4, z10 = x2y2i z = 2.

Resenje : V = 3pi

4

pi3

d

20

d

1022

dz.

28. Odrediti zapreminu trodimenzionalne oblasti V koja sadrzi tackuO(0, 0, 0),a ogranicena je povrsima y = x 1, y = x 1, y = x2 + 1, z = 2 iz = 3 x.

Resenje : V = 01

dx

x2+1x1

dy

3x2

dz+ 10

dx

x2+1x1

dy

3x2

dz.

29. Odrediti zapreminu trodimenzionalne oblasti V koja sadrzi tackuA(0, 1, 4),a ogranicena je povrsima y = x2, y = x2 + 2, z = 6 i z = x2 + y2.

Resenje : V = 11

dx

x2+2x2

dy

6x2+y2

dz.

4

30. Naci zapreminu tela ogranicenog povrsima x2+y2+z2 = 10 i x2+y2 = z2kome pripada tacka M(0, 0, 0).

Resenje : V = 2 2pi0

d

100

d

1020

dz 2pi0

d

10

d

102+2

dz.

31. Odrediti zapreminu oblasti ogranicene povrsima x2 + y2 = z2, x2 + y2 +z2 = 2 i x2 + y2 = z + 12, koja sadrzi tacku A(0, 0, 2).

Resenje : V = 2pi0

d

30

d

2+12

dz 2pi0

d

10

d

22

dz.

32. Odrediti zapreminu trodimenzionalne oblasti V omedjene povrsima x2 +y2 + z2 = 12, z = 2 i x2 + y2 = z, tako da tacka A(0, 0, 3) pripadaunutrasnjosti oblasti V.

Resenje : V = 2pi0

d

30

d

1222

dz 2pi0

d

80

d

22

dz.

33. Odrediti zapreminu oblasti koju ogranicavaju povrsi x2+y2 = z3, z = 7i x2 + y2 + z2 = 17.

Resenje : V = 2pi0

d

20

d

72+3

dz 2pi0

d

10

d

1722+3

dz.

34. Odrediti zapreminu oblasti koja sadrzi tacku A(0, 0, 2) i koju ogranicavaju

centralni: konus, elipsoid (sece x, y, z osu u tackama

83 ,

83 ,

85 ) i sfera

(poluprecnika 4 ).

Resenje : V = 2pi0

d

80

d

162

dz 2pi0

d

10

d

835

2dz.

35. Naci zapreminu tela koje ograniceno sa z = x2 + y2 i x2 + y2 + z2 = 2 asadrzi tackuA(1, 0, 0). (Trazi se zapremina u spoljasnjem delu paraboloida)

Resenje : V = 2 2pi0

d

20

d

220

dz 2pi0

d

10

d

222

dz.

36. Naci zapreminu tela koje ograniceno sa z2 = x2+y2, z = 1 i x2+y2+z2 =8 a sadrzi tacku A(0, 0, 32 ).

Resenje : V = 2pi0

d

20

d

82

dz 2pi0

d

10

d

1

dz.

5

37. Naci zapreminu trodimenzione oblasti koju ogranicavaju povrsi: 2y z +4 = 0 i x2 + y2 = z + 4.

Resenje : V = 2pi0

d

30

d

32+2 sin2( sin+1)

dz.

38. Naci zapreminu trodimenzione oblasti koju ogranicavaju povrsi: x2+y2 =z 5, x2 + y2 = 9, x2 + y2 = 4 i z = 0.

Resenje : V = 2pi0

d

32

d

5+20

dz.

39. Naci zapreminu tela koje je ograniceno sa: x2 + y2 = z i x+ y + z = 12 .

Resenje : V = 2pi0

d

10

d

12(sin+cos)

2(cos+sin)+ 32dz.

40. Naci zapreminu tela kojeg ogranicavaju povrsi: z = x2 + y2 + 3, z =4 i z = 7.

Resenje : V = 2pi0

d

20

d

73+2

dz 2pi0

d

10

d

43+2

dz.

41. Naci zapreminu tela kojeg ogranicavaju povrsi z2 + y2 = 4 i x + y = 4 uprvom oktantu.

Resenje : V = 20

dy

4y0

dx

4y20

dz.

42. Date povrsi x + y + z = 6, z = 1 i z = 3 u prvom oktantu ogranicavajuzatvorenu trodimenzionalnu oblast V. Naci zapreminu.

Resenje : V = 50

dx

5x0

dy

6xy1

dz 30

dx

3x0

dy

6xy3

dz.

43. Izracunati zapreminu tela koje se nalazi u I oktantu, a ograniceno jesledecim povrsima y = x, x = 0 i x2 + y2 + z2 = 4.

Resenje : V = pi

2

pi4

d

20

d

420

dz.

44. Izracunati zapreminu tela koje je ograniceno sa z = 1 x2 y2 i z =1 x y.

6

Resenje : V = 2pi0

d

22

0

d

12(cos+sin)2

(cos+sin)dz.

45. Izracunati zapreminu tela koje je ograniceno povrsima : x2 + z2 = 9, z =0, y = 0 i x+ 4y = 4.

Resenje : V = 33

dx

4x4

0

dy

9x20

dz.

46. Naci zapreminu tela koje je ograniceno sa: z = x, z = 0, x2 + y2 =2x i y = 1.

Resenje : V = 10

dx

11(x1)2

dy

x0

dz.

47. Naci zapreminu tela koje je ograniceno sa: z = (x1)2+y2 i 2x+z = 2.

Resenje : V = 2pi0

d

10

d

2(1 cos)22 cos+1

dz.

48. Naci zapreminu zahvacenu izmedju sledece dve povrsi, tako da tacka (0, 0, 1)pripada trazenoj oblasti : x2 + y2 + z2 = 2 i z2 = x2 + y2.

Resenje : V = 2pi0

d

10

d

22

dz.

49. Naci zapreminu tela koje je ograniceno dvema povrsima: x2+y2+z1 =0 i z + 2x+ 4y + 10 = 0.

Resenje : V = 2pi0

d

40

d

22 cos4 sin42 cos4 sin20

dz.

50. Naci zapreminu oblasti V((0, 0, 32 ) V

)ogranicene sa tri povrsi: x2 +

y2 = 1, x2 + y2 + z2 = 1 i x2 + y2 + z2 = 4.

Resenje : V = 2pi0

d

10

d

4212

dz.

51. Naci zahvacenu zapreminu izmedju povrsi z+x2+y22 = 0, z2 = x2+y2,gde je z > 0.

Resenje : V = 2pi0

d

10

d

22

dz.

7

52. Naci zapreminu oblasti koja je ogranicena povrsima x2+z2 = 1, 3x+2y =6, y = 0 i z = 0 i sadrzi tacku A(0, 1, 12 ).

Resenje : V = 11

dx

63x2

0

dy

1x20

dz.

53. Naci zapreminu oblasti koja je ogranicena povrsima z+x2+y2 = 1, x+y =1, z = 0 a koja se nalazi u prvom oktantu i sadrzi tacku ( 12 ,

13 , 1).

Resenje : V = 10

dx

1x0

dy

1x2y20

dz.

54. Tri povrsi x2 + y2 + z2 = 1, x2 + y2 + z = 9, z = 0 ogranicavaju jednuzatvorenu oblast. Naci zapreminu te oblasti.

Resenje : V = 2pi0

d

30

d

920

dz 2pi0

d

10

d

120

dz.

55. Naci zapreminu oblasti ogranicenu povrsima: z+x2+y2 = 2 i z = x2+y2.

Resenje : V = 2pi0

d

10

d

222

dz.

56. Naci zapreminu tela ogranicenu povrsima: x2 + y2 = 1 i x2 + z2 = 1.

Resenje : V = 2pi0

d

10

d

12 cos2 12 cos2

dz.

57. Naci zapreminu V odredjenu povrsima: x2 + y2 + z2 = 9, z = 1 i z = 2.

Resenje : V = 2pi0

d

80

d

921

dz 2pi0

d

50

d

922

dz.

58. Odrediti zapreminu oblasti V koju ogranicavaju povrsi: z2+x2 = 1, 3x+y = 3, z = 0, y = 0 i x = 0.

Resenje : V = 10

dx

33x0

dy

1x20

dz.

59. Date su tri povrsi x2+y2+z = 4, x22y+y2 = 0 i z = 0. One odredjujuzatvorenu oblast V. Naci zapreminu od V.

Resenje : V = 2pi0

d

10

d

322 sin0

dz.

8

60. Odrediti zapreminu oblasti V koju ogranicavaju povrsi: x2 + y2 + z =3 i 2x+ 2y + z = 1.

Resenje : V = 2pi0

d

20

d

12(cos+sin)232(cos+sin)

dz.

61. Odrediti zapreminu oblasti V koju ogranicavaju povrsi: z+ x2+ y2 2 =0, x = 0, y = 0 i z = 1.

Resenje : V = pi

2

0

d

10

d

221

dz.

62. Naci zapreminu tela ogranicenog povrsima x2 + y2 + z2 = 1, y = x, y =3x u prvom oktantu.

Resenje : V = pi

3

pi4

d

10

d

120

dz.

9

diferencijalne jednacine.pdfEkstremi .pdffluks.pdfGrinovateorema.pdfKrivolinijskiIntegral.pdfTrostruki integrali .pdf

Documents

Tehnoloski - Matematika II - Zadaci Za Vezbu