Matematinės fizikos lygtys. Konspektas

Vilniaus universitetoFizikos fakultetoStudentu moksline draugija

2015 Vilnius

Matematines fizikos lygtysKonspektas antro kurso studentams

Laba diena

© Vilniaus universiteto Fizikos fakulteto Studentų mokslinė draugija

Simona Barkauskaitė, Jonas Berzinš, Gytis Braždžiūnas, Vytautas Butkus, Jevgenij Chmeliov,Martynas Grybauskas, Tomas Kontrimas, Eglė Krištopavičiūtė, Birutė Leiputė,

Svetlana Malickaja, Vytenis Pranculis, Petras Purlys, Maria Razgute, Romanas Samuilovas,Henrikas Svidras, Laura Šerkšnytė

Įžanga

Šis konspektas (2015 m. sausio 8 d. versija) yra rengiamas pagal Vilniaus universitete, Fizikos fakultete antrokurso studentams dėstomą kursą ”Matematinės fizikos lygtys“. Konspektą sukūrimą inicijavo bei nuolat pildo VU FFStudentų mokslinės draugijos nariai studentai, tačiau prisijungti prie jo tobulinimo yra kviečiamas kiekvienas norintis.Jeigu turite pastabų, galite pasiūlyti gerų literatūros šaltinių, konspekte nesančių uždavinių su sprendimais, teorijąiliustruojančių pavyzdžių ar kitokios informacijos, aktualios ir naudingos šio kurso klausytojui, rašykite elektroniniopašto adresu [email protected]. Taip pat, norime įspėti, jog konspekte gali būti klaidų! Pranešę apie jas, labaiprisidėtumėte prie konspekto tobulinimo.

Pagarbiai,Konspekto rengėjai

mailto:[email protected]

Turinys

1 Įvadas į vektorinę algebrą 71.1 Vektoriai ir vektorinės funkcijos apibendrintojoje koordinačių sistemoje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Descartes’o koordinačių sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Cilindrinė koordinačių sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Sferinė koordinačių sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Paprastosios diferencialinės lygtys 192.1 Pirmos eilės diferencialinės lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Kintamųjų atskyrimo metodas (Bernulio metodas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.2 Kintamųjų pakeitimo metodas (Lagrange’o metodas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.3 Konstantų varijavimo metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Antrosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.1 Homogeninės lygtys su pastoviais koeficientais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2 Nehomogeninės lygtys su kintančiais koeficientais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.3 Nehomogeninės lygtys su pastoviais koeficientais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Kraštinis uždavinys. Greeno funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4 Paprastųjų diferencialinių lygčių sistemos ir pagrindiniai jų sprendimo metodai . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.1 Eliminavimo metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.2 Integruojamojo darinio metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.3 Konstantų varijavimo metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4.4 Eulerio metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Kompleksinio kintamojo funkcijų teorija 333.1 Cauchy–Riemanno analiziškumo sąlygos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Funkcijų analizinis tęsinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.1 Γ(z) funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Integravimas kompleksinėje plokštumoje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.1 Cauchy integralas ir integralinė formulė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4 Laurento eilutė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5 Funkcijos reziduumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5.1 Reziduumų teoremos taikymas integralams skaičiuoti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5.2 Integralo

´ 2π

0f (cos θ, sin θ) dθ skaičiavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5.3 Integralo´ +∞−∞ f(z)dz skaičiavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5.4 Integralo´∞

0xµ−1f(x)dx skaičiavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.6 Begalinių sumų skaičiavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.7 Integralinis funkcijų vaizdavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.7.1 Heaviside’o funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.7.2 Diraco δ funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.7.3 Dvimatė δ (x, y) funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.7.4 Trimatė δ (x, y, z) funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.8 Integralo asimptotinė vertė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.8.1 Stirlingo formulė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Integralinės transformacijos 534.1 Fourier transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1.1 Pavyzdys: kondensatoriaus išsikrovimas per varžą . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.1.2 Fourier integralas kompleksinėje plokštumoje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.1.3 Dviejų funkcijų sąsūka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2 Laplace’o transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2.1 Riemanno–Mellino formulė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2.2 Kai kurių funkcijų Laplace’o vaizdai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2.3 Vėlavimo teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.4 Periodinės funkcijos Laplace’o vaizdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2.5 Dviejų funkcijų sąsūka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.6 Laplace’o vaizdo integravimas ir diferenciavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5 Fizikinių vyksmų lygtys 655.1 Stygos svyravimo lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.1 Baigtinės stygos svyravimo lygties sprendimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.1.2 Stygos energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2 Difuzijos lygtis ir jos sprendimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6 Dalinių išvestinių diferencialinės lygtys 736.1 Charakteristikų metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2 d’Alembert formulė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.3 Kintamųjų atskyrimo (Fourier) metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.3.1 Dirichlet uždavinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.3.2 Neumann uždavinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.3.3 Laplace’o lygtis sferinėje koordinačių sistemoje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.4 Sturmo–Liouville’io lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.4.1 Tikrinių funkcijų ortogonalumas ir normuotumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.4.2 Išsigimusios funkcijos ir jų ortogonalizavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.4.3 Membranos svyravimo lygties tikrinės funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7 Variacinis skaičiavimas 897.1 Funkcionalo sąvoka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.2 Variacija ir jos savybės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.3 Variaciniai uždaviniai su neslankiaisiais rėžiais. Eulerio lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.3.1 Dvilypio integralo funkcionalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.3.2 Paprasčiausios Eulerio lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.4 Variacinių sąlyginių ekstremumų uždavinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.5 Stygos svyravimų lygtis ir variacinis principas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.6 Variaciniai uždaviniai su judamaisiais rėžiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.6.1 Formos variacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.7 Ekstremalės su lūžio taškais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.7.1 Funkcionalas su kraštiniais taškais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Rodyklė 106

Literatūra 109

7

1 | Įvadas į vektorinę algebrą

1.1 Vektoriai ir vektorinės funkcijos apibendrintojoje koordinačiųsistemoje

Vektorių mes įsivaizduojame kaip tam tikrą atkarpą trimatėje erdvėje su nurodyta krypti-mi. Grafiškai vektorinis dydis ~A tada atvaizduojamas kaip linija su rodykle. Algebriškaivektorius ~A yra užrašomas per jo projekcijas į koordinačių ašis

~A = A1~q10 +A2~q20 +A3~q30 =

3∑

i=1

Ai~qi0 (1.1)

kur ~q10, ~q20 ir ~q30 yra vienetiniai vektoriai (ortai), atitinkantys koordinačių sistemos (q1, q2, q3)ašis. Vienintelės dvi prielaidos, kurias mes teigiame apie koordinačių sistemą šioje vietoje yratai, kad jos ortai yra ortonormuoti ir koordinačių sistema yra dešininė. Ortonormuotumasreiškia, kad ortų vektorių ilgiai lygūs vienetui (jie yra normuoti), o erdvėje jie tarpusavyjesudaro stačius kampus (yra orgotonalūs), kas per skaliarinę sandaugą užsirašo kaip

~qi0 · ~qj0 = δij . (1.2)

Čia δij yra Kroneckerio delta, Leopold Kronecker(1823–1891) Vokiečiųmatematikas.δij =

{1, kai i = j

0, kai i 6= j.(1.3)

Reikalavimas, jog koordinačių sistema yra dešininė užrašomas per vektorinę sandaugą

~qi0 × ~qj0 =

{±~qk0, kai i 6= j~0, kai i = j.

(1.4)

Taigi, dviejų vienodų (i = j) ortų vektorinė sandauga lygi nuliui, o nevienodų – trečiamortui ~qk0 su ženklu, nustatomu pagal taisyklę, kurią galima iliustruoti taip:

−−−−−−−−−−−−−−→~q10~q20~q30~q10~q20~q30←−−−−−−−−−−−−−

+ (1.5)

Tai yra, jei dauginami du gretimi ortai viršutinės rodyklės kryptimi, gaunamas trečiasisortas su ”+“ ženklu (pvz.~q20 × ~q30 = ~q10), o jei ortai dauginami apatinės rodyklės kryptimi,gaunamas ortas su ”-“ ženklu (pvz. ~q10 × ~q30 = −~q20).

Bendru atveju, koordinačių sistemos ortai priklauso nuo koordinatės (Pav. 1a). Des- René Descartes (lot.Renatus Cartesius)(1596-1650) Prancūzųfilosofas, matematikas,rašytojas.

cartes’o koordinačių sistemos ortai ~x0, ~y0 ir ~z0 nuo koordinačių nepriklauso (Pav. 1b).

A

~q30(qA1 , q

A2 , q

A3 )

~q10(qA1 , q

A2 , q

A3 ) ~q20(q

A1 , q

A2 , q

A3 )

~q10(qB1 , qB2 , qB3 )

~q20(qB1 , qB2 , qB3 )

~q30(qB1 , qB2 , qB3 )

B

(a) Apibendrintoje kreivinėje koordinačių sistemoje ortųkryptys priklauso nuo koordinačių. Skirtinguose taškuoseA(qA1 , q

A2 , q

A3

)ir A

(qB1 , q

B2 , q

B3

)ortų ~q10, ~q20 ir ~q30 kryptys

skiriasi, tačiau jie išlieka statmeni vienas kitam.

A~x0

~y0 B

~z0

~x0

~y0

~z0

(b) Descartes’o koordinačių sistemoje ortai nepri-klauso nuo koordinačių. Skirtinguose taškuose Air B ortų ~x0, ~y0 ir ~z0 kryptys yra tokios pat.

1 pav. Ortų konfigūracijos apibendrintoje (a) ir Descartes’o (b) koordinačių sistemoje, taškuoseA ir B.

Vektorinė funkcija yra nuo vieno ar daugiau parametrų priklausanti funkcija, kuriosreikšmė yra n-dimensinis vektorius. Vektorinės funkcijos pavyzdys yra trimatis radius vek-torius

8 1 ĮVADAS Į VEKTORINĘ ALGEBRĄ

C

~f(u)

~f(u+∆u)

d~f(u)

O

u

2 pav. Vektorinės funkcijos ~f(u) atvaizdas. Parametras u nusako padėtį ant kreivės C.

~r = ~r (q1, q2, q3) . (1.6)

Jo parametrai yra koordinatės q1, q2 ir q3, o reikšmė – vektorius, kurio pradžia yra koordi-načių pradžia, o pabaiga – erdvės taškas (q1, q2, q3).

Svarbu išmokti skaičiuoti vektorinės funkcijos išvestinę ir diferencialą. Tarkime, jog ~f(u)irgi yra radius vektorius, kurio pradžia yra koordinačių pradžios taškas O ir pabaiga –taškas P (u) ant kreivės C, o parametras u aprašo taško P padėtį kreivėje. (Pav. 2). Tokiosvektorinės funkcijos ~f , priklausančios tik nuo vieno parametro u, išvestinės apibrėžimas yra

d

du~f (u) = lim

∆u→0

~f (u+ ∆u)− ~f (u)

∆u. (1.7)

o diferencialas

d~f(u) =d~f(u)

dudu. (1.8)

Matome, jog vektorius d~f(u) bus nukreiptas lygiagrečiai kreivei C kiekviename taške P (u),tačiau d~f(u) ilgis nebus lygus vienetui. Vektorinės funkcijos ~h(u, v), priklausančios nuodviejų parametrų u ir v, diferencialas bus

d~h(u, v) =∂~h(u, v)

∂udu+

∂~h(u, v)

∂vdv. (1.9)

Atitinkamai, diferencialas funkcijos, priklausančios nuo trijų parametrų bus trimačio vekto-riaus tam tikroje koordinačių sistemoje diferencialas.

1.2 Descartes’o koordinačių sistemaDescartes’o koordinačių sistemos sąryšį su apibendrintosiomis koordinatėmis užrašome kaipfunkcijas

x = x(q1, q2, q3)y = y(q1, q2, q3)z = z(q1, q2, q3)

(1.10)

ir reikalaujame, jog kiekvienas taškas (x, y, z) Descartes’o koordinačių sistemoje atitiktųtik vieną tašką kitoje koordinačių sistemoje (q1, q2, q3). Atbulinis koordinačių sąryšis busfunkcijos

q1 = q1 (x, y, z)q2 = q2 (x, y, z)q3 = q3 (x, y, z) .

(1.11)

Tarkime, jog užfiksuojame vieną koordinatę (q1 = const.), likusios dvi q2 ir q3 kinta. Tuometvisi taškai {q1 = const., q2, q3} sudarys rinkinį, kuris vadinamas koordinatiniu paviršiumi.Toks paviršius Descartes’o koordinačių sistemoje bus plokštuma (Pav. 3a). Užfiksavę dvikoordinates (pavyzdžiui q1 ir q2), gausime koordinatinę kreivę. Akivaizdu, jog Descartes’okoordinatėse gausime tieses (Pav. 3b).

Užrašysime radius vektoriaus, apibrėžto formule (1.6), diferencialą pagal analogiją suišraiška (1.9):

d~r (q1, q2, q3) =∂~r (q1, q2, q3)

∂q1dq1 +

∂~r (q1, q2, q3)

∂q2dq2 +

∂~r (q1, q2, q3)

∂q3dq3. (1.12)

1.2 Descartes’o koordinačių sistema 9

y

x

z

y

x

z

z0

x0

y

x

z

y0

x0

y = y0

z = z0

x = x0

(a) Koordinatiniai paviršiai

y

x

z

y = y0z = z0

z0

y0

y

x

z

x = x0z = z0

z0

x0

y

x

z

x = x0y = y0

y0x0

(b) Koordinatinės kreivės (mėlyna spalva)

3 pav. Koordinatinės kreivės ir koordinatiniai paviršiai Descartes’o koordinačių sistemoje.

Vektoriai ∂~r (q1, q2, q3) /∂q1, ∂~r (q1, q2, q3) /∂q2 ir ∂~r (q1, q2, q3) /∂q3 bus nukreipti lygiagre-čiai koordinatinėms kreivėms, tačiau jie nėra lygūs vienetinio ilgio ortams ~q10, ~q20 ir ~q30.Kad gautumėme ortus, šias išvestines reikia padalinti iš jų ilgio:

~qi0 =∂~r (q1, q2, q3) /∂qi|∂~r (q1, q2, q3) /∂qi|

. (1.13)

Čia i = 1, 2, 3. Pažymėję

hi ≡∣∣∣∣∂~r (q1, q2, q3)

∂qi

∣∣∣∣ , (1.14)

sąryšį (1.12) galime perrašyti kaip

d~r (q1, q2, q3) = h1~q10dq1 + h2~q20dq2 + h3~q30dq3. (1.15)

Kadangi radius vektorius Descartes’o koordinačių sistemoje yra

~r (q1, q2, q3) = ~r (x, y, z) = x~x0 + y~y0 + z~z0, (1.16)

jo ilgis r ≡ |~r| =√x2 + y2 + z2. Koeficientus hi perrašome kaip

hi =

∣∣∣∣∂x(q1, q2, q3)

∂qi~x0 +

∂y(q1, q2, q3)

∂qi~y0 +

∂z(q1, q2, q3)

∂qi~z0

∣∣∣∣ (1.17)

=

√(∂x

∂qi

)2

+

(∂y

∂qi

)2

+

(∂z

∂qi

)2

.

Koeficientai hi yra vadinami mastelio keitimo koeficientais (scaling factors) arba Lamé ko-efientais. Gabriel Lamé (1795–1870)

Prancūzų matematikas,kreivinių koordinačių teorijoskūrėjas.

Radius vektoriaus diferencialų skaliarinė sandauga duoda elementarų ploto elementą

ds2 = d~r · d~r =∑

i

h2i dq

2i . (1.18)

Kadangi mūsų nagrinėjamos koordinačių sistemos yra ortogonalios (~qi0 · ~qj0 = δij). Išilgaikreivės q1, kai q2 ir q3 yra užfiksuoti, radius vektoriaus diferencialas yra d~r = h1dq1~q10.Tokios elementarios atkarpos ilgis yra ds1 ≡ h1dq1. Analogiškai, ilgiai kreivių q2 ir q3, ilgiaiyra ds2 = h2dq2 ir ds3 = h3dq3. Tūrio elementas, apribotas šiomis atkarpomis yra

dV = |(h1dq1~q10) · [(h2dq2~q20)× (h3dq3~q30)]| (1.19)= h1h2h3dq1dq2dq3.


Šioje vietoje galime išvesti gradiento operatoriaus, žymimo simboliu ”∇“ (kuris vadina-mas nabla arba del), išraišką apibendrintoje koordinačių sistemoje. Descartes’o koordinačiųsistemoje operatoriaus ∇ poveikis funkcijai φ – funkcijos φ gradientas – apibrėžiamas kaip

∇φ ≡ ~x0∂φ

∂x+ ~y0

∂φ

∂y+ ~z0

∂φ

∂z. (1.20)

Panaudojant išraišką (1.16), galime užrašyti funkcijos φ diferencialą kaip dviejų vektorių∇φ ir d~r skaliarinę sandaugą:

dφ = d~r · (∇φ) . (1.21)

Kaip atrodo d~r apibendrintosiose koordinatėse, mes žinome iš sąryšio (1.15), tačiau apie ∇φkol kas nieko negalime pasakyti. Šį vektorių užrašome kaip

∇φ ≡ f1~q10 + f2~q20 + f3~q30, (1.22)

kur f1, f2 ir f3 yra mums nežinomos (kolkas) funkcijos. Įstatę šį pažymėjimą ir (1.15)formulę atgal į (1.21) išraišką, gauname

dφ = h1f1dq1 + h2f2dq2 + h3f3dq3. (1.23)

Kita vertus, kelių kintamųjų funkcijos pilnas diferencialas yra apibrėžiamas kaip

dφ =∂φ

∂q1dq1 +

∂φ

∂q2dq2 +

∂φ

∂q3dq3. (1.24)

Sulygine abi šias išraiškas gauname, jog

fi =1

hi

∂φ

∂qi. (1.25)

Taigi, ∇ operatoriaus išraiška apibendrintose koordinatėse yra

∇ =~q10

h1

∂

∂q1+~q20

h2

∂

∂q2+~q30

h3

∂

∂q3. (1.26)

Vektorinės funkcijos~a = ax~x0 + ay~y0 + az~z0 (1.27)

divergencija Descartes’o koordinačių sistemoje bus

div~a = ∇ · ~a =

(~x0

∂

∂x+ ~y0

∂

∂y+ ~z0

∂

∂z

)· (ax~x0 + ay~y0 + az~z0) (1.28)

=∂ax∂x

+∂ay∂y

+∂az∂z

,

rotorius

rot~a =∇× ~a =

(~x0

∂

∂x+ ~y0

∂

∂y+ ~z0

∂

∂z

)× (ax~x0 + ay~y0 + az~z0) (1.29)

=~x0

(∂az∂y− ∂ay

z

)+ ~y0

(∂ax∂z− ∂az

∂x

)+ ~z0

(∂ay∂x− ∂ax

∂y

).

Iš kitų diferencialinių operatorių verta paminėti Laplace’o operatorių 4φ ≡ ∇ · ∇φ =divgradφ. Jo poveikis funkcijai yra funkcijos gradiento divergencija. Tad, turint jų išraiškasPierre–Simon Laplace

(1749–1827) Prancūzųmatematikas ir astronomas.

(1.20) ir (1.28), tereikia įsistatyti atitinkamas gradiento projekcijas į divergenciją:

4 = ∇ · ∇φ = divgradφ =∂2φ

∂x2+∂2φ

∂y2+∂2φ

∂z2. (1.30)

1.3 Cilindrinė koordinačių sistemaCilindrinė koordinačių sistema yra kreivinė koordinačių sistema, aprašoma koordinatėmis ρ,ϕ ir z. Atitinkami ortai ~ρ0, ~ϕ0 ir ~z0 priklausys nuo koordinačių. Descartes’o koordinačiųsąryšis su cilindrine koordinačių sistema yra

1.3 Cilindrinė koordinačių sistema 11

y

x

z

~r

ϕ

z

ρ0

ρ

z0

ϕ0

r cosϕr sinϕ

4 pav. Cilindrinė koordinačių sistema.

y

x

z

y

x

z

y

x

z

ρ0

ϕ0

ϕ = ϕ0 z = z0ρ = ρ0

(a) Koordinatiniai paviršiai.

y

x

z

y

x

z

y

x

z

ρ0

ρ = ρ0ϕ = ϕ0ϕ = ϕ0

ϕ0

z = z0

ρ = ρ0

z0 ρ0

z = z0

z0

ϕ0

(b) Koordinatinės kreivės (mėlyna spalva).

5 pav. Koordinatinės kreivės ir koordinatiniai paviršiai cilindrinėje koordinačių sistemoje.

x = x(ρ, ϕ) = ρ cosϕy = y(ρ, ϕ) = ρ sinϕz = z(z) = z,

(1.31)

kur 0 < ρ <∞, 0 < ϕ < 2π, −∞ < z <∞. Atitinkamai, atvirkštinis sąryšis yra

ρ = ρ(x, y) =√x2 + y2

ϕ = ϕ(x, y) = arctan yx

z = z(z) = z.(1.32)

Koordinatiniai paviršiai yra apskritasis cilindras (ρ = const.), plokštuma, kertanti cilindrąišilgai (ϕ = const.) ir plokštuma, kertanti cilindrą skersai (z = const.) (Pav. 5a). Atitin-kamai, koordinatinės kreivės yra tiesė išilgai z ašies (ρ = const., ϕ = const.), apskritimasploštumoje, lygiagrečioje xOy plokštumai (ρ = const., z = const.) ir pustiesė (spindulys)plokštumoje, lygiagrečioje xOy plokštumai (z = const., ϕ = const.) (Pav. 5b).

Radius vektorius cilindrinėje koordinačių sistemoje išreiškiamas per ortus ~ρ0 ir ~z0:

~r = ρ~ρ0 + z~z0, (1.33)

o kiekvienas vektorius ~a – per visus tris ortus:

~a = aρ~ρ0 + aϕ~ϕ0 + az~z0. (1.34)

Skaičiuodami Lamé koefientus perėjimui nuo Descartes’o prie cilindrinės koordinačių siste-mos pagal formulę (1.17), gauname

hρ = 1, hϕ = ρ, hz = 1. (1.35)


y

x

z

ρ∆ρ

∂~ρ0

∂ρ

(a) ∂~ρ0∂ρ = 0

y

x

z

ρ

∆ρ

∂~ϕ0

∂ρ

(b) ∂~ϕ0

∂ρ = 0

y

x

z

ρ

∆ρ

∂~z0∂ρ

(c) ∂~z0∂ρ = 0

y

x

z∂~ρ0

∂ϕ

ϕ

∆ϕ

∆~ρ0

~ρ0(ϕ + ∆ϕ)

~ρ0(ϕ)

∆~ρ0 = ~ϕ0

√2 − 2 cos∆ϕ

= ~ϕ02 sin∆ϕ2

y

x∆ϕ

(d) ∂~ρ0∂ϕ = lim∆ϕ→∞

~ϕ0 sin ∆ϕ/2∆ϕ/2 = ~ϕ0

y

x

z∂~ϕ0

∂ϕ

ϕ

∆ϕ

∆~ϕ0 = −~ρ0

√2 − 2 cos∆ϕ

= −~ρ02 sin∆ϕ2

y

x

∆ϕ ∆ϕ

(e) ∂~ϕ0

∂ϕ = lim∆ϕ→∞−~ρ0 sin ∆ϕ/2

∆ϕ/2 = −~ρ0

y

x

z∂~z0∂ϕ

ϕ

∆ϕ

(f) ∂~z0∂ϕ = 0

y

x

z∂~ρ0

∂z∆z

(g) ∂~ρ0∂z = 0

y

x

z∂~ϕ0

∂z∆z

(h) ∂~ϕ0

∂z = 0

y

x

z∂~z0∂z

∆z

(i) ∂~z0∂z = 0

6 pav. Ortų išvestinės ∂~qi0∂qj

= lim∆qj→0~qi0(qj+∆qj)−~qi0(qj)

∆qj, kai (q1, q2, q3) = (ρ, ϕ, z) pagal koordinates cilindrinėje

koordinačių sistemoje. Mėlyni vektoriai žymi ortus ~qi0(qj + ∆qj), raudoni – ~qi0 (qj).

Tada elementarusis tūris cilindrinėje koordinačių sistemoje yra

dV = ρdρdϕdz, (1.36)

o diferencialinis ∇ operatorius (pagal formulę (1.26))

∇ = ~ρ0∂

∂ρ+~ϕ0

ρ

∂

∂ϕ+ ~z0

∂

∂z. (1.37)

Skaičiuodami vektoriaus divergenciją cilindrinėje koordinačių sistemoje turime turėti ome-nyje, jog ortai priklauso nuo koordinačių:

div~a =

(~ρ0

∂

∂ρ+~ϕ0

ρ

∂

∂ϕ+ ~z0

∂

∂z

)· (aρ~ρ0 + aϕ~ϕ0 + az~z0) (1.38)

=∂aρ∂ρ

+1

ρ

∂aϕ∂φ

+∂az∂z

+ aρ~ρ0 ·∂~ρ0

∂ρ+ aϕ~ρ0 ·

∂~ϕ0

∂ρ+ az~ρ0 ·

∂~z0

∂ρ

+aρρ~ϕ0 ·

∂~ρ0

∂ϕ+aϕρ~ϕ0 ·

∂~ϕ0

∂ϕ+azρ~ϕ0 ·

∂~z0

∂ϕ

+ aρ~z0 ·∂~ρ0

∂z+ aϕ~z0 ·

∂~ϕ0

∂z+ az~z0 ·

∂~z0

∂z.

Tokia daugybė narių atsirado dėl to, kad projekcijų ir ortų sandaugas dešinėje pusėje di-ferencijavome kaip sudėtines funkcijas. Devynių narių – ortų dalinių išvestinių pagal visaskoordinates – skaičiavimas iliustruotas Pav 6. Matome, jog išvestinės septintame ir aštun-tame divergencijos skleidinio nariuose nėra lygios nuliui (atitinkamai, Pav. 6d ir Pav. 6e).Šie nariai lygūs

aρρ~ϕ0 ·

∂~ρ0

∂ϕ=aρρ~ϕ0 · ~ϕ0 =

aρρ

(1.39)

1.4 Sferinė koordinačių sistema 13

r sin θ

y

x

z

~r

ϕ

~ϕ0

θ

~r0

~θ0

r sin θ sinϕ

r sin θ cosϕ

r cos θ

7 pav. Sferinė koordinačių sistema

ir

aϕρ~ϕ0 ·

∂~ϕ0

∂ϕ= −aϕ

ρ~ϕ0 · ~ρ0 = 0. (1.40)

Taigi, iš ortų diferencijavimo gavome tik vieną papildomą narį ir galutinė divergencijosišraiška yra

div~a =∂aρ∂ρ

+aρρ

+1

ρ

∂aϕ∂φ

+∂az∂z

(1.41)

=1

ρ

∂

∂ρ(ρaρ) +

1

ρ

∂aϕ∂φ

+∂az∂z

.

Suskaičiuokime vektorinės funkcijos ~a rotorių. Jis yra lygus gradiento operatoriaus (išraiš-ka (1.37)) ir vektorinės funkcijos ~a (išraiška (1.34)) vektorinei sandaugai. Šįkart mes esamejau gudresni, nes žinome, jog tik dviem atvejais ortų išvestinės duoda nenulinius narius:

rot~a =

(~ρ0

∂

∂ρ+~ϕ0

ρ

∂

∂ϕ+ ~z0

∂

∂z

)× (aρ~ρ0 + aϕ~ϕ0 + az~z0) (1.42)

= ~z0∂aϕ∂ρ− ~ϕ0

∂az∂ρ− ~z0

1

ρ

∂aρ∂ϕ

+ ~ρ01

ρ

∂az∂ϕ

+ ~ϕ0∂aρ∂z− ~ρ0

∂aϕ∂z

+aρρ~ϕ0 ×

∂~ρ0

∂ϕ+aϕρ~ϕ0 ×

∂~ϕ0

∂ϕ.

Įsistatę žinomas ortų išvestines septintame ir aštuntame skleidinio nariuose gausime nariusatitinkamai aρρ ~ϕ0 × ~ϕ0 = 0 ir aϕ

ρ ~ϕ0 × (−~ρ0) = ~z0aϕρ . Taigi, galutinė rotoriaus išraiška yra

rot~a = ~z0∂aϕ∂ρ− ~ϕ0

∂az∂ρ− ~z0

1

ρ

∂aρ∂ϕ

+ ~ρ01

ρ

∂az∂ϕ

+ ~ϕ0∂aρ∂z− ~ρ0

∂aϕ∂z

+ ~z0aϕρ

(1.43)

= ~ρ0

(1

ρ

∂az∂ϕ− ∂aϕ

∂z

)+ ~ϕ0

(∂aρ∂z− ∂az

∂ρ

)+ ~z0

(∂aϕ∂ρ

+aϕρ− 1

ρ

∂aρ∂ϕ

).

Laplace’o operatorius gaunamas įstačius gradiento išraišką (1.37) į divergencijos formu-lę (1.41):

4φ =1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂φ

∂ρ

)+

1

ρ

∂

∂φ

(1

ρ

∂φ

∂ϕ

)+∂2φ

∂z2. (1.44)

1.4 Sferinė koordinačių sistemaSferinė koordinačių sistema yra kreivinė koordinačių sistema, aprašoma koordinatėmis r,ϕ ir θ. Atitinkami ortai ~r0, ~ϕ0 ir ~θ0 vėlgi priklausys nuo koordinačių kaip ir cilindrineikoordinačių sistemai. Descartes’o koordinačių sąryšis su sferine koordinačių sistema yra

x = x(r, ϕ, θ) = r sin θ cosϕy = y(r, ϕ, θ) = r sin θ sinϕz = z(r, θ) = r cos θ,

(1.45)


y

x

z

r0y

x

zr = r0

ϕ0

y

x

z

θ0

ϕ = ϕ0 θ = θ0

(a) Koordinatiniai paviršiai

y

x

z

r0

r = r0θ = θ0

r0y

x

z

r0

r = r0ϕ = ϕ0

ϕ0

r0θ0 y

x

z

r0

ϕ = ϕ0θ = θ0

θ0

ϕ0

(b) Koordinatinės kreivės (mėlyna spalva)

8 pav. Koordinatinės kreivės ir koordinatiniai paviršiai sferinėje koordinačių sistemoje.

kur 0 < r <∞, 0 < ϕ < 2π, 0 < θ < π. Atitinkamai, atvirkštiniai sąryšiai yra

r = r(x, y, z) =√x2 + y2 + z2

ϕ = ϕ(x, y) = arctan yx

θ = θ(x, y, z) = arctan

√x2+y2

z .

(1.46)

Koordinatiniai paviršiai yra sfera (r = const.), pusplokštumė (ϕ = const.) ir kūgio paviršius(z = const.) (Pav. 8a). Atitinkamai, koordinatinės kreivės yra pusė apskritimo lanko (r =const., ϕ = const.), apskritimas ploštumoje, lygiagrečioje xOy plokštumai (r = const.,θ = const.) ir pustiesė (spindulys), lygiagretus radius vektoriui (ϕ = const., θ = const.)(Pav. 8b).

Radius vektorius cilindrinėje koordinačių sistemoje išreiškiamas per vieną ortą ~r0:

~r = r~r0, (1.47)

o kiekvienas vektorius ~a – per visus tris ortus:

~a = ar~r0 + aθ~θ0 + aϕ~ϕ0. (1.48)

Skaičiuodami Lamé koefientus perėjimui nuo Descartes’o prie sferinės koordinačių sistemospagal formulę (1.17), gauname

hr = 1, hθ = r, hϕ = r sin θ. (1.49)

Tada elementarusis tūris cilindrinėje koordinačių sistemoje yra

dV = r2 sin θdrdθdϕ, (1.50)

o diferencialinis ∇ operatorius (pagal formulę (1.26))

∇ = ~r0∂

∂r+~θ0

r

∂

∂θ+

~ϕ0

r sin θ

∂

∂ϕ. (1.51)

Skaičiuojame vektoriaus divergenciją sferinėje koordinačių sistemoje:


ρ

y

x

z

~r

∂~r0∂r

∆~r0 = 0

∆r

ρ

z

r

~r0

(a) ∂~r0∂r = 0

∂~θ0∂r

∆~θ0 = 0

∆r

ρ

z

r

~θ0

(b) ∂~θ0∂r = 0

∂~ϕ0

∂r

∆~ϕ0 = 0

∆r sin θ

y

x

r sin θ

~ϕ0

(c) ∂~ϕ0

∂r = 0

y

x

z

ρ

θ

∆θ

∆r

∂~r0∂θ

ρ

z

r

θ

∆θ

~r0

∆~r0 = ~θ0

√2 − 2 cos∆ϕ

= 2~θ0 sin∆ϕ2

(d) ∂~r0∂θ = ~θ0

∂θ0∂θ

ρ

z

r

θ

∆θ

~θ0

∆~r0 = −~r0

√2 − 2 cos∆ϕ

= −2~r0 sin∆ϕ2

(e) ∂~θ0∂θ = −~r0

∂~ϕ0

∂θ

∆~ϕ0 = 0

x

yr sin θ

~ϕ0

(f) ∂~ϕ0

∂θ = 0

y

x

z

∆ϕ

ϕ

r

∂~r0∂ϕ

x

yr sin θ

∆ϕ ~r0 sin θ

∆~r0 = ~ϕ0

√2 sin2 θ(1 − cos∆ϕ)

= 2~ϕ0 sin θ sin∆ϕ2

(g) ∂~r0∂ϕ = ~ϕ0 sin θ

∂~θ0∂ϕ

x

yr sin θ

∆ϕ ~θ0 cos θ

∆~θ0 = ~ϕ0

√2 cos2 θ(1 − cos∆ϕ)

= 2~ϕ0 cos θ sin∆ϕ2

(h) ∂~θ0∂ϕ = ~ϕ0 cos θ

r

∂~ϕ0

∂ϕ

x

yr sin θ

∆ϕ~ϕ0

~ϕ0

ρ

z

θ

~r0

~θ0

−~ρ0

∆~ϕ0 = −~ρ0

√2(1 − cos∆ϕ) = −2~ρ0 sin

∆ϕ2

(i) ∂~ϕ0

∂ϕ = −~ρ0 = −~r0 sin θ − ~θ0 cos θ

9 pav. Ortų išvestinės ∂~qi0∂qj

= lim∆qj→0∆qi0∆qj

, kai (q1, q2, q3) = (r, θ, ϕ) pagal koordinates cilindrinėje koordinačių sistemoje.Mėlyni vektoriai žymi ortus ~qi0(qj + ∆qj), raudoni – ~qi0 (qj).


div~a =

(~r0∂

∂r+~θ0

r

∂

∂θ+

~ϕ0

r sin θ

∂

∂ϕ

)·(ar~r0 + aθ~θ0 + aϕ~ϕ0

)(1.52)

=∂ar∂r

+1

r

∂aθ∂θ

+1

r sin θ

∂aϕ∂ϕ

+ ar~r0 ·∂~r0

∂r+ aθ~r0 ·

∂~θ0

∂r+ aϕ~r0 ·

∂~ϕ0

∂r

+arr~θ0 ·

∂~r0

∂θ+aθr~θ0 ·

∂~θ0

∂θ+aϕr~θ0 ·

∂~ϕ0

∂θ.

+ar

r sin θ~ϕ0 ·

∂~r0

∂ϕ+

aθr sin θ

~ϕ0 ·∂~θ0

∂ϕ+

aϕr sin θ

~ϕ0 ·∂~ϕ0

∂ϕ.

Vėlgi, kaip ir cilindrinei koordinačių sistemai, reikia suskaičiuoti devynias ortų išvestines(Pav. 9). Šįkart lygūs nuliui tėra 4 nariai, o išvestinė ∂~ϕ0

∂ϕ yra visai egzotiška. Ji yra lygivienetiniam vektoriui, lygiagrečiam xOy plokštumai, bei nukreiptam į z ašį, taigi, lygi vek-toriui −~ρ0, ”pasiskolintam“ iš cilindrinės koordinačių sistemos. Visgi, jį reikia užrašyti persferinės koordinačių sistemos ortus. Pažaidę su stereometrija (kas yra pasistengta parodytiPav. 9i), gausime

− ~ρ0 = −~r0 sin θ − ~θ0 cos θ. (1.53)

Sustatę visas išvestines į divergencijos išraišką (1.52)

div~a =∂ar∂r

+1

r

∂aθ∂θ

+1

r sin θ

∂aϕ∂ϕ

(1.54)

+ar

r sin θ~ϕ0 · ~ϕ0 sin θ +

aθr sin θ

~ϕ0 · ~ϕ0 cos θ +aϕ

r sin θ~ϕ0 ·

(−~r0 sin θ − ~θ0 cos θ

)

+arr~θ0 · ~θ0 −

aθr~θ0 · ~r,

gauname galutinę divergencijos formulę

div~a =1

r2

∂

∂r

(r2ar

)+

1

r sin θ

∂

∂θ(sin θaθ) +

1

r sin θ

∂aϕ∂ϕ

. (1.55)

Skaičiuojame rotorių sferinėje koordinačių sistemoje.

rot~a =

(~r0∂

∂r+~θ0

r

∂

∂θ+

~ϕ0

r sin θ

∂

∂ϕ

)×(ar~r0 + aθ~θ0 + aϕ~ϕ0

)(1.56)

= ~ϕ0∂aθ∂r− ~θ0

∂aϕ∂r− ~ϕ0

1

r

∂ar∂θ

+ ~r01

r

∂aϕ∂θ

+ ~θ01

r sin θ

∂ar∂ϕ− ~r0

1

r sin θ

∂aθ∂ϕ

+ ar~r0 ×∂~r0

∂r+ aθ~r0 ×

∂~θ0

∂r+ +aϕ~r0 ×

∂~ϕ0

∂r

+arr~θ0 ×

∂~r0

∂θ+aθr~θ0 ×

∂~θ0

∂θ+aϕr~θ0 ×

∂~ϕ0

∂θ

+ar

r sin θ~ϕ0 ×

∂~r0

∂ϕ+

aθr sin θ

~ϕ0 ×∂~θ0

∂ϕ+

aϕr sin θ

~ϕ0 ×∂~ϕ0

∂ϕ.

Vėlgi, pasinaudojame gautomis ortų išvestinių išraiškomis:

rot~a = ~ϕ0∂aθ∂r− ~θ0

∂aϕ∂r− ~ϕ0

1

r

∂ar∂θ

+ ~r01

r

∂aϕ∂θ

+ ~θ01

r sin θ

∂ar∂ϕ− ~r0

1

r sin θ

∂aθ∂ϕ

(1.57)

+ ar~r0 ×~0 + aθ~r0 ×~0 + aϕ~r0 ×~0+

arr sin θ

~ϕ0 × ~ϕ0 sin θ +aθ

r sin θ~ϕ0 × ~ϕ0 cos θ +

aϕr sin θ

~ϕ0 ×(−~r0 sin θ − ~θ0 cos θ

)

+arr~θ0 × ~θ0 +

aθr~θ0 × (−~r0) +

aϕr~θ0 ×~0

= ~r0

(− 1

r sin θ

∂aθ∂ϕ

+1

r

∂aϕ∂θ

+aϕ cos θ

r sin θ

)+ ~θ0

(−∂aϕ∂r

+1

r sin θ

∂ar∂ϕ− aϕ

r

)

+ ~ϕ0

(∂aθ∂r− 1

r

∂ar∂θ− aθ

r

).

Taigi, galutinė rotoriaus išraiška yra


1 lentelė Sąryšiai skirtingose koordinačių sistemose

Descartes’o Cilindrinė Sferinė(x, y, z) (ρ, ϕ, z) (r, ϕ, θ)

~r x~x0 + y~y0 + z~z0 ρ~ρ0 + z~z0 r~r0

dV dxdydz ρdρdϕdz r2 sin θdrdϕdθ

∇ ~x0∂∂x + ~y0

∂∂y + ~z0

∂∂z ~ρ0

∂∂ρ + ~ϕ0

ρ∂∂ϕ + ~z0

∂∂z ~r0

∂∂r +

~θ0r∂∂θ + ~ϕ0

r sin θ∂∂ϕ

div~a ∂ax∂x +

∂ay∂y + ∂az

∂z1ρ∂∂ρ (ρaρ) + 1

ρ∂aϕ∂φ + ∂az

∂z1r2

∂∂r

(r2ar

)+ 1

r sin θ∂∂θ (sin θaθ) + 1

r sin θ∂aϕ∂ϕ

rot~a ~x0

(∂az∂y −

∂ayz

)

+~y0

(∂ax∂z − ∂az

∂x

)

+~z0

(∂ay∂x − ∂ax

∂y

)

~ρ0

(1ρ∂az∂ϕ −

∂aϕ∂z

)

+~ϕ0

(∂aρ∂z − ∂az

∂ρ

)

+~z0

(∂aϕ∂ρ +

aϕρ − 1

ρ∂aρ∂ϕ

)

~r01

r sin θ

(∂∂θ (aϕ sin θ)− ∂aθ

∂ϕ

)

+~θ01r

(1

sin θ∂ar∂ϕ − ∂

∂r (raϕ))

+~ϕ01r

(∂∂r (raθ)− ∂ar

∂θ

)

rot~a =~r01

r sin θ

(∂

∂θ(aϕ sin θ)− ∂aθ

∂ϕ

)+ ~θ0

1

r

(1

sin θ

∂ar∂ϕ− ∂

∂r(raϕ)

)+ ~ϕ0

1

r

(∂

∂r(raθ)−

∂ar∂θ

).

Laplace’o operatorių sverinėje koordinačių sistemoje gausime sukombinavę išraiškas (1.55)ir 1.51:

4φ =divgradφ =1

r2

∂

∂r

(r2 ∂φ

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂φ

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2φ

∂ϕ2. (1.58)

Šaltiniai1. B. R. Kusse, E. A. Westwig. Mathematical Physics. Applied Mathematics for Scientists

and Engineers. 2nd Ed. (Wiley-VCH Verlag, Weinheim, 2006), p. 1-66.

2. M. L. Boas. Mathematical Method in the Physical Sciences. 2nd Ed. (John Wiley &Sons, USA, 1983), p. 235–296., 426–435.

19

2 | Paprastosios diferencialinės lygtys

ApibrėžimasDiferencialine lygtimi vadinama lygtis, siejanti nepriklausomą kintamąjį x, ieškomą funkciją y(x)ir jos išvestines y′, y′′,. . .,y(n),

F(x, y, y′, . . . , y(n)

)= 0, y(n) = f

(x, y, y′, . . . , y(n)

). (2.1)

Kadangi ieškomoji funkcija y(x) yra tik vieno kintamojo x funkcija, tokia diferencialinė lygtisvadinama paprastąja.

ApibrėžimasAukščiausios eilės išvestinė esanti diferencialinėje lygtyje yra tos diferencialinės lygties eilė. Pa-

vyzdžiui ax′′ + bx′ + c = 0 ir ax′′ + b = 0 lygtys yra antrosios eilės diferencialinės lygtys, oax′ + b = 0 yra pirmosios eilės diferencialinė lygtis.

ApibrėžimasDiferencialinės lygties sprendiniu (arba integralu) vadinama y = ϕ (x), kuri tenkina tą lygtį.

2.1 Pirmos eilės diferencialinės lygtys

Vienatinio Cauchy uždavinio sprendinio egzistavimo teoremaPirmosios eilės diferencilinė lygtis yra visada išsprendžiama. Tarkime, kad funkcija f (x, y)yra Augustin-Louis Cauchy

(1789–1857) Prancūzųmatematikas, pagrindiniskompleksinių skaičių teorijoskūrėjas.

apibrėžta, tolygi ir turi tolydžią dalinę išvestinę ∂f∂y

tam tikroje prokštumos x0y srityje D, kuriaipriklauso ir taškas f (x0, y0). Tuomet egzistuoja tokia taško x0 aplinka Vδ (x0), kurioje egzistuojavienintelis diferencialinės lygties y′ = f (x, y) sprendinys y = ϕ (x) ir y|x=x0 = y0.

Pirmosios eilės diferencialinės lygtys yra sprendžiamos kintamųjų atskyrimo metodu,kintamųjų pakeitimo metodu ir konstantų variajavimo metodu.

2.1.1 Kintamųjų atskyrimo metodas (Bernulio metodas)

Lygtis, kuri gali būti užrašoma kaip

f(y)dy

dx= g(x), (2.2)

sprendžiama iš pradžių ją perrašant tokia forma:

f(x)dx = g(y)dy, (2.3)

o tada suintegruojant:ˆ

f(x)dx =

ˆ

g(y)dy. (2.4)

Suintegravus funkciją, gaunama išraiška, kurioje yra integravimo konstanta. Tačiau ji galibūti suskaičiuojama turint pradinę salygą: y(x0) = a, kur a ir x0 reikšmės yra duotos.

Uždavinys 2. Išspręsti pirmos eilės diferencialinę lygtį

dy

dx= 6xy2, (2.5)

jei pradinė salygą yra y(1) =1

25.

20 2 PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Lygtis perrašoma minėtaja forma:y−2dy = 6xdx. (2.6)

Suintegruojame abi puses ir gauname

− 1

y= 3x2 + C. (2.7)

Čia C – integravimo konstanta. Ją randame iš pradinės sąlygos:

− 1125

= 3 + C =⇒ C = −28. (2.8)

Taigi, išreiškus iš (2.7) lygties y, gauname sprendinį

y(x) =1

28− 3x2. (2.9)

N

2.1.2 Kintamųjų pakeitimo metodas (Lagrange’o metodas)

Jei funkcijos negalime tiesiogiai išspręsti kintamųjų atskyrimo metodu, ją galime spręstikintamųjų keitimo metodu. Apsibrėžkime savo lygtį kaip:

y′ + P (x)y = Q(x). (2.10)

Įsivedame kintamąjį:y = uv, (2.11)

kuriame u = u(x) ir v = v(x) yra tolydžiai diferencijuojamos funkcijos. Išdiferencijavus y,gauname

y′ = u′v + uv′. (2.12)Įrašę į pradinę diferencialinę lygtį keitinį ir jo diferencialo keitinį gauname tokios formoslygtį:

u′v + v′u+ P (x)uv = u′v + u(v′ + P (x)v) = Q(x) (2.13)Funkciją v(x) parenkame tokią, kad

v′ + P (x)v = 0 (2.14)

Ši lygtis gali būti lengvai išsprendžiama kintamųjų atskyrimo metodu:

v(x) = C1e−´

P (x)dx (2.15)

Mūsų pradinė diferencialinė lygtis (2.13) tampa

u′C1e−´

P (x)dx = Q(x). (2.16)

Gavome dar vieną lygtį, kuri išsprendžiama kintamųjų atskyrimo metodu. Jos sprendinys:

u(x) =1

C1

ˆ

Q(x)e´

P (x)dxdx+ C2. (2.17)

Belieka kintamuosius gražinti į (2.11) išraišką:

y(x) = C1e−´

P (x)dx

(1

C1

ˆ

Q(x)e´

P (x)dxdx+ C2

)(2.18)

= e−´

P (x)dx(

ˆ

Q(x)e´

P (x)dxdx+ C).

Kadangi integravimo konstantos yra bet kokie skaičiai, tai jų sandaugą C1C2 pakeitėmekonstanta C.

Uždavinys 3. Išspręsti diferencialinę lygtį

y′ =2y

x+ x3ex − 1. (2.19)

2.1 Pirmos eilės diferencialinės lygtys 21

Persirašius lygtį kaipy′ − 2

xy = x3ex − 1 (2.20)

matyti, kad tai – pirmosios eilės tiesinė diferencialinė lygtis. Ją spręsime kintamųjų pakeitimometodu. Įvedame teorijoje minėtą keitinį y(x) = u(x)v(x) ir mūsų lygtis tampa:

u′v + v′u− 2

xuv = u′v + u

(v′ − 2

xv

)= x3ex − 1. (2.21)

Skiaustuose esančius narius prilyginame 0:

v′ − 2

xv = 0. (2.22)

Atskyrę kintamuosius integruojame:ˆ

dv

v=

ˆ

2

xdx =⇒ v(x) = x2. (2.23)

Integravimo konstantos šiame sprendinyje neįrašėme, nes jau žinome, kad sprendžiant diferen-cialinę lygtį kintamajam u(x), gausime kitą integravimo konstantą, o rezultate – integravimokonstantų sandaugą. Todėl integravimo konstantą paliekame tik u(x) sprendinyje. Pagrindinėlygtis tampa tokia:

x2u′ = x3ex − 1. (2.24)Iš jos kintamųjų atskyrimo metodu randame

u(x) = xex − ex +1

x+ C. (2.25)

Taigi bendrasis duotosios lygties sprendinys yra:

y(x) = Cx2 + x2ex(x− 1) + x. (2.26)

. N

2.1.3 Konstantų varijavimo metodas

Pirmos eilės diferencialinę lygtį (2.10) spręsime konstantų varijavimo metodu. Iš pradžiųpanagrinėkime lygtį, jei Q(x) = 0:

y′ + P (x)y = 0. (2.27)

Tokia lygtis vadinama pirmosios eilės tiesine homogenine lygtimi. Tai – lygtis su atskiriamaiskintamaisiais ir ją išsprendę gauname:

y(x) = Ce−´

P (x)dx. (2.28)

Čia C – bet kokia konstanta. Palyginę šį sprendinį su kintamųjų pakeitimo metodo spren-diniu (2.18), matome, kad variacinio metodo sprendinyje pakeitus konstantą C tam tikrafunkcija C(x), galime gauti ir pakeitimo metodo sprendinį. Todėl tariame, jog bendrojipirmos eilės diferecialinės lygtis sprendinio forma yra

y(x) = C(x)e−´

P (x)dx (2.29)

Įrašę ją į (2.10) diferencialinę lygtį y′ + P (x)y = Q(x), gauname

C ′(x)e−´

P (x)dx + (−P (x))C(x)e−´

P (x)dx + P (x)C(x)e−´

P (x)dx = Q(x), (2.30)

tai yra,C ′(x)e−

´

P (x)dx = Q(x). (2.31)

Iš čiaC ′(x) = Q(x)e

´

P (x)dx (2.32)

irC(x) =

ˆ

Q(x)e´

P (x)dxdx+ C. (2.33)


Įrašę C(x) į bendrąją pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendinio formulę, gaunamesprendinį

y(x) = e−´

P (x)dx(

ˆ

Q(x)e´

P (x)dxdx+ C). (2.34)

Uždavinys 4. Išspręsti lygtį

y′ − 2xy

1 + x2= 1 + x2 (2.35)

konstantos varijavimo metodu

Atskyrę kintamuosius ir suintegravę homogeninę lygtį

y′ − 2xy

1 + x2= 0 (2.36)

gaunamame lygties sprendinį:y = C(1 + x2) (2.37)

Šią y(x) išraišką įrašome į duotąją lygtį laikydami konstantą C = C(x):

C′(x)(1 + x2) + 2xC(x)− 2xC(x)(1 + x2)

(1 + x2)= (1 + x2). (2.38)

Suprastinę matome, kadC′(x) = 1 =⇒ C(x) = x+ C. (2.39)

Taigi, bendrasis duotosios lygties sprendinys yra:

y = (x+ C)(1 + x2). (2.40)

N

2.2 Antrosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys

ApibrėžimasAntros eilės tiesine diferencialine lygtimi vadinama tokia lygtis:

y′′ + a (x) y′ + b (x) y = f (x) (2.41)Čia a (x), b (x), f (x) yra žinomos ir tam tikrame intervale (a,b) tolydžios funkcijos. Jeigua (x) = a ir b (x) = b, tuomet turime diferencialinę lygtį su pastoviais koeficientais. Taip pat,jeigu f (x) = 0, tuomet mūsų diferencialinė lygtis yra homogeninė, o jeigu f (x) 6= 0, tuomet jiyra nehomogeninė.

ApibrėžimasTurime lygtį y′′ + a1 (x) y′ + a2 (x) y = f (x). Pažymime y′′ + a1 (x) y′ + a2 (x) y = L [y]. ČiaL [y] pavadiname diferencialinės lygties operatoriumi ir turime L [y] = f (x). Šiam operatoriuibūdinga tokia tiesiškumo sąvybė: L [c1y1 + c2y2] = c1L [y1] + c2L [y2].

Sprendinių tiesinė kombinacijaJei funkcijos y1 ir y2 yra lygties L [y] = 0 sprendiniai, tuomet funkcija y = c1y1 + c2y2 irgi yra

lygties L [y] = 0 sprendinys.

Įrodymas Kadangi tarėme, jog L [y1] = 0 ir L [y2] = 0, įstatome šias reikšmes į lygtį ir turimeL [c1y1 + c2y2] = c1L [y1]+c2L [y2] = 0. Šalia koeficientų c1 ir c2 atsiranda nuliai, todėl išeina,jog L [c1y1 + c2y2] = 0. N

Sakykime, kad y1 ir y2 yra antros eilės diferencialinės lygties L [y] = 0 sprendiniai.Tuomet y = c1y1 + c2y2 irgi yra tos lygties sprendinys ir tikėtina, kad y yra bendrasislygties L [y] = 0 sprendinys. Tačiau taip yra ne visada. Pavyzdžiui, turime sąryšį y2 = 3y1.

2.2 Antrosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys 23

Įstatome jį į lygtį ir gauname y = c1y1 + 3c2y1 = (c1 + 3c2) y1 = Cy1. Viską apibendrinametik viena konstanta, todėl tai negali būti antrosios eilės diferencialinės lygties sprendinys.

Reiškinys c1y1 + c2y2 bus bendrais lygties L [y] = 0 sprendinys tuomet, kai iš jo busgalima gauti atskirąjį sprendinį tenkinantį pradines sąlygas:

y|x=x0= y0 y′|x=x0

= y′0

Kad taip ir būtų, turime atsakingai pasirinkti c1 ir c2 konstantas. Tą padarome spręsdamitokią tiesinę lygčių sistemą:

{y0 = c1y10 + c2y20

y′0 = c1y′10 + c2y

′20

(2.42)

Čia y10 = y1|x=x0, y20 = y2|x=x0

, y′10 = y′1|x=x0, y′20 = y′2|x=x0

. Šios sistemos sprendinys busvienatinis, kai determinantas bus lygus nuliui. Pareikalaujame, kad jis būtų nelygus nuliui- tada galėsime rasti tokias c1 ir c2, kad būtų tenkinamos pradinės sąlygos. Kitaip tariant,jeigu

∣∣∣∣y10 y20

y′10 y′20

∣∣∣∣ = y10y′20 − y′10y20 6= 0 (2.43)

tuomet antros eilės diferencialinės lygties sprendiniai y1 ir y2 yra tiesiškai nepriklausomi.

ApibrėžimasŠis determinantas yra vadinamas Wronskio determinantu ir gali būti žymimas Józef Maria

Hoene–Wroński(1776–1853) Lenkų filosofas(matematikas, fizikas,išradėjas, teisininkas irekonomistas)

W (y1, y2) =

∣∣∣∣y10 y20

y′10 y′20

∣∣∣∣ ..

Galime padaryti kelias išvadas:

1. Jeigu atskirieji sprendiniai y1 ir y2 yra tokie, kad W (y1, y2) 6= 0, tuomet tinkamaiparinkę x0 visada galime gauti c1 ir c2 (nesvarbu, kokie yra y10, y20, y′10 ir y′20).

2. Reiškinys y = c1y1 + c2y2 yra lygties L [y] = 0 bendrasis sprendinys kai W (y1, y2) 6= 0.Sakoma, kad y1 ir y2 sudaro fundamentaliuosius sprendinius (fundamentaliąją siste-mą).

2.2.1 Homogeninės lygtys su pastoviais koeficientais

Ši lygtis matematiškai užrašoma taip:

y′′ + py′ + qy = 0 (2.44)

Čia p ir q yra realieji skaičiai. Ieškome dviejų tiesiškai nepriklausomų sprendinių y1 ir y2.Tariame (atspėjame), kad tai bus eksponentiniai sprendiniai: y = ekx. Diferencijuojame šiąišraišką 2 kartus: y′ = kekx, y′′ = k2ekx. Gautas išraiškas statome į (2.44) ir gauname:

k2ekx + pkekx + qekx = 0 | : ekx

k2 + pk + q = 0 (2.45)

Ši lygtis vadinama charakteringąja lygtimi su šaknimis k1 ir k2. Jos sprendimas gali būtiišskirtas į tris atvejus:

1. k1 ir k2 yra skirtingos realios konstantos (k1 6= k2, k1,2 ∈ R). Tuomet atskirieji (2.44)sprendiniai yra y1 = ek1x ir y2 = ek2x. Kadangi y1

y2= e(k1−k2)x 6= const., sprendiniai

yra tiesiškai nepriklausomi ir tuomet bendrasis sprendinys yra:

y = c1ek1x + c2ek2x (2.46)


2. k1 ir k2 yra vienodos realios konstantos (k1 = k2 = k, k ∈ R). Vienas iš sprendiniųyra y1 = ekx. Kitas sprendinys yra gaunamas taikant Liouville’o formulę:

y2 = y1

ˆ

e−´

pdx

y21

dx = ekxˆ

e−kx

e2kxdx = ekx

ˆ

dx = xekx (2.47)

Čia taip pat pritaikėme Viete teoremą: p = − (k1 + k2) = −2k. Sudėję atskiruosiussprendinius gauname bendrąjį sprendinį:

y = c1ekx + c2xekx (2.48)

3. k1 ir k2 konstantos yra kompleksinės (k1,2 ∈ C). Pasižymime, kad k1,2 = α ± βi.Tuomet y1 = e(α+βi)x ir y2 = e(α−βi)x. Pritaikome Eulerio formulę y1 bei y2 irLeonhard Euler

(1707–1783) Šveicarųmatematikas ir fizikas.

gauname kitokį jų pavidalą:

y1 = eαx · eβix = eαx (cosβx+ i sinβx) (2.49)y2 = eαx · e−βix = eαx (cosβx− i sinβx) (2.50)

Jei kompleksinė realiojo argumento funkcija y = u (x)+iv (x) yra diferencialinės lygties(2.44) sprendinys, tai u (x) ir v (x) irgi yra tos lygties sprediniai. Pasižymime

y1 = eαx cosβx (2.51)y2 = eαx sinβx (2.52)

Kadangi y1y2 6= const., abu šie sprendiniai yra tiesiškai nepriklausomi ir turime bendrąjįsprendinį:

y = c1y1 + c2y2 = eαx (c1 cosβx+ c2 sinβx) (2.53)

2.2.2 Nehomogeninės lygtys su kintančiais koeficientais. Konstantų varijavimo(Lagrange’o) metodas


y′′ + a1 (x) y′ + a2 (x) y = f (x) (2.54)

TeoremaJeigu y yra bendrasis lygties L [y] = 0 sprendinys, o y yra koksnors atskirasis L [y] = f (x) lygtiessprendinys, tuomet (2.54) lygties bendrasis sprendinys bus y = y + y.

Bendruoju atveju (2.54) lygtį ispręsime konstantų variacijos metodu (Lagrange’o me-todu). Pradžiai tariame, kad y1 ir y2 yra lygties L [y] = 0 fundamentalieji sprendiniaiJoseph–Louis Lagrange

(1736–1813) Italųmatematikas ir astronomas.

(fundamentalioji sistema). Tuomet bendrasis sprendinys bus

y = c1y1 + c2y2 (2.55)

Tariame, kad (2.55) lygties konstantas galima pakeisti į funkcijas ir tą padarius gaunameatskirąjį L [y] = f (x) lygties sprendinį:

y = c1 (x) y1 + c2 (x) y2 (2.56)

Išdiferencijuojame šią išraišką:

y′ = c′1 (x) y1 + c1 (x) y′1 + c′2 (x) y2 + c2 (x) y′2 (2.57)

Pareikalaujame, kadc′1 (x) y1 + c′2 (x) y2 = 0 (2.58)

ir diferencijuojame antrą kartą. Gauname tokias išraiškas:

y′ = c1 (x) y′1 + c2 (x) y′2 (2.59)

y′′ = c′1 (x) y′1 + c1 (x) y′′1 + c′2 (x) y′2 + c2 (x) y′′2 (2.60)

2.2 Antrosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys 25

Surašome (2.56), (2.59) ir (2.60) į (2.54):

c′1 (x) y′1 + c1 (x) y′′1 + c′2 (x) y′2 + c2 (x) y′′2 + a1 (x) (c1 (x) y′1 + c2 (x) y′2)

+ a2 (x) (c1 (x) y1 + c2 (x) y2) = f (x) (2.61)

Pertvarkome:

c1 (x) (y′′1 + a1 (x) y′1 + a2 (x) y1) + c2 (x) (y′′2 + a1 (x) y′2 + a2 (x) y2)

+ c′1 (x) y′1 + c′2 (x) y′2 = f (x) (2.62)

Kadangi y1 ir y2 yra bendri sprendiniai, skliausteliuose esantys reiškiniai yra lygūs 0. Priešios išraiškos pridėję (2.58) gauname lygčių sistemą

{c′1 (x) y1 + c′2 (x) y2 = 0

c′1 (x) y′1 + c′2 (x) y′2 = f (x)(2.63)

Šios sistemos sprendiniai y1 ir y2 yra tiesiškai nepriklausomi, kadangi determinantas (vrons-kianas) yra nelygus nuliui. Toliau randame c′1 ir c′2. Pažymėję c′1 (x) = ϕ1 (x) ir c′2 = ϕ2 (x)integruojame:

c1 (x) =

ˆ

ϕ1 (x) dx+ c∗1

c2 (x) =

ˆ

ϕ2 (x) dx+ c∗2

Tuomet, atskirasis (2.54) lygties sprendinys yra

y = y1

ˆ

ϕ1 (x) dx+ y2

ˆ

ϕ2 (x) dx (2.64)

o bendrasis sprendinys yra

y = y + y = c1y1 + c2y2 + y1

ˆ

ϕ1 (x) dx+ y2

ˆ

ϕ2 (x) dx (2.65)

2.2.3 Nehomogeninės lygtys su pastoviais koeficientais. Neapibrėžtųjų koefici-entų metodas


y′′ + py′ + qy = f (x) (2.66)

Jos sprendimas vadinamas neapibrėžtųjų koeficientų metodu. Nagrinėsime du atvejus:

1. Tarkime, kad šios funkcijos nehomogeninė dalis yra daugianario Pn (x) ir eksponen-tės sandauga f (x) = Pn (x) eαx. Čia α ∈ R. Tuomet atskirojo sprendinio ieškometardami, kad jis bus tokio paties pavidalo y = Qn (x) eαx. Diferencijuojame sprendinį

y′ = Q′n (x) eαx + αQn (x) eαx (2.67)y′′ = Q′′n (x) eαx + αQ′n (x) eαx + αQ′n (x) eαx + α2Qn (x) eαx (2.68)

Rezultatus įstatome į (2.66):

Q′′n (x) eαx + 2αQ′n (x) eαx + α2Qn (x) eαx + pQ′n (x) eαx

+ pαQn (x) eαx + qQn (x) eαx = Pn (x) eαx. (2.69)

Padalinę abi puses iš eαx gauname

Q′′n (x) + (2α+ p)Q′n (x) +(α2 + pα+ q

)Qn (x) = Pn (x) (2.70)

Toliau atsakymas priklauso nuo to, koks yra α:

(a) Jeigu α nesutampa su kokiu nors charakteringosios lygties k2 + pk+ q = 0 spren-diniu k1,2, tuomet α2+pα+q 6= 0 ir kairėje pusėje yra n-tojo laipsnio daugianaris:

y = Qn (x) eαx (2.71)


(b) Jeigu α sutampa su viena nekartotine charakteringosios lygties k2 + pk + q = 0šaknimi, tuomet α2 + pα + q = 0 ir kairėje pusėje yra n-1 laipsnio daugianaris.Dėl šios priežasties parinkdami atskirąjį sprendinį y turime imti n+1 laipsniodaugianarį be laisvojo nario (be konstantos):

y = xQn (x) eαx (2.72)

(c) Jeigu α sutampa su kartotine charakteringosios lygties k2 + pk + q = 0 šaknimi,tuomet α2 +pα+q = 0 ir pagal Vieto teoremą p = − (k1 + k2) = −2α⇒ 2α+p =0 tad kairėje pusėje turime n-2 eilės daugianarį ir parinkdami atskirąjį sprendinįturime imti n+2 laipsnio daugianarį be laisvojo nario (be konstantos):

y = x2Qn (x) eαx (2.73)

2. Tarkime, kad šios funkcijos nehomogeninė dalis yra daugianarių, eksponentės bei si-nuso ir kosinuso kombinacija f (x) = Pn (x) eαx cosβx+Qm (x) eαx sinβx. TaikydamiEulerio formulę perrašome trigonometrines išraiškas kitu pavidalu:

eiβx = cosβx+ i sinβx

e−iβx = cosβx− i sinβx(2.74)

cosβx =1

2

(eiβx + e−iβx

)

sinβx =1

2

(eiβx − e−iβx

) (2.75)

Perrašome f (x) naudodami eksponentes trigonometrinėms funkcijoms išreikšti:

f (x) = eαx(Pn (x)

1

2

(eiβx + e−iβx

))+ eαx

(Qm (x)

1

2

(eiβx − e−iβx

))(2.76)

= e(α+βi)x

(1

2Pn (x) +

1

2iQm (x)

)+ e(α−βi)x

(1

2Pn (x)− 1

2iQm (x)

)

Nustatome aukščiausios eilės daugianario eilę (pažymime l = max {m,n}) ir perrašomef (x) sutraukdami Pn (x) ir Qm (x) sumą ir skirtumą į naujus daugianarius Rl (x) irSl (x):

f (x) = Rl (x) e(α+βi)x + Sl (x) e(α−βi)x (2.77)

Toliau atsakymas priklauso nuo to, koks yra α+ βi :

(a) Jeigu α + βi nesutampa su charakteringosios lygties k2 + pk + q = 0 šaknimi,tuomet:

y = eαx (Ul (x) cosβx+ Vl (x) sinβx) (2.78)

(b) Jeigu α+βi sutampa su charakteringosios lygties k2 +pk+q = 0 šaknimi, tuomet:

y = xeαx (Ul (x) cosβx+ Vl (x) sinβx) (2.79)

2.3 Kraštinis uždavinys. Greeno funkcijaTurime antros eilės tiesinę nehomogeninę diferencialinę lygtį

y′′+py ′ + qy = f (x ). (2.80)

Cauchy uždavinys: rasti y = ϕ (x), kai y|x=x0 = y0 ir y′|x=x0 = y′0. Kraštinis uždavinys:rasti y = ϕ (x), kai y (a) = A, y (b) = B, a ≤ b. Funkcijos integralė eis per 2 taškusM1 (a,A) irM2 (b, B) (Pav. 10). Raskime intervale [a, b] paprasčiausios nehomogeninės lyg-ties

y′′ = f (x) , (2.81)

2.3 Kraštinis uždavinys. Greeno funkcija 27

x

y

M1

M2

a b

A

B

y = ϕ(x)

••

10 pav. Kraštinis uždavinys.

x2

x1

a

x1 = x2

x

x1 = a

x2 = x

f(x1)

11 pav. Integralo´ x

a

´ x2

af(x1)dx1dx2 =

´ x

af (x1) (x− x1) dx1 skaičiavimas.

kurios funkcija f (x) tame intervale tolydi, sprendinį y = y (x), tenkinantį šias sąlygas:

y (a) = α, y (b) = β. (2.82)

Integruodami gauname:

y′ =

x

a

f (x1) dx1 + C1, (2.83)

y =

x

a

x2ˆ

a

f (x1) dx1

dx2 + C1 (x− a) + C2. (2.84)

Pažymime y kaip

y = y + y, (2.85)

kur y =´ x

a

´ x2

af(x1)dx1dx2 yra atskirasis sprendinys , o y = C1 (x− a)+C2.

´ x

a

´ x2

af(x1)dx1dx2

galima išreikšti vienu integralu (Pav. 11)

xˆ

a

x2ˆ

a

f(x1)dx1dx2 =

xˆ

a

dx2

x1=x2ˆ

x1=a

f (x1) dx1 =

ˆ x

a

f (x1) dx1

x2=xˆ

x2=x1

dx2 =

xˆ

a

f (x1) (x− t) dt,

(2.86)

xˆ

a

x2ˆ

a

f(x1)dx1dx2 =

xˆ

a

f (x1) (x− x1) dx1. (2.87)

Bendrasis sprendinys tampa lygus:

y (x) = C1 + C2 (x− a) +

xˆ

a

f (x1) (x− x1) dx1. (2.88)

Pasinaudojame kraštinėmis sąlygomis:


y (a) = C1 = α, (2.89)

y (b) = α+ C2 (b− a) +

bˆ

a

f (x1) (x− x1) dx1 = β, (2.90)

C2 =1

b− a

β − α−

bˆ

a

f (x1) (x− x1) dx1

. (2.91)

.

Įstatome konstantų reikšmes į bendrojo sprendinio išraišką:

y = α+x− ab− a

{β − α−

ˆ b

a

f (x1) (x− x1) dx1

}+

ˆ x

a

f (x1) (x− x1) dx1. (2.92)

Paimame narį

− x− ab− a

ˆ b

a

f (x1) (x− x1) dx1 +

ˆ x

a

f (x1) (x− x1) dx1 (2.93)

=

xˆ

a

[−x− ab− a (b− x1) + (x− x1)

]f (x1) dx1 +

bˆ

x

x− ab− a (x1 − x) f (x1) dx1. (2.94)

Perrašome bendrąjį sprendinį:

y = α+x− ab− a (β − α) +

bˆ

a

G (x, s) f (s) ds; (2.95)

čia definavome Greeno funkciją G (x, s)

G (x, s) =

(x− b) (s− a)

b− a , kai a 6 s 6 x;

(x− a) (s− b)b− a , kai x 6 s 6 b.

(2.96)

Greeno funkcijos savybės:George Green (1793–1841)Anglų matematikas ir fizikas. 1. G (x, s) yra tolydi intervaluose a 6 x 6 b ir a < s < b.

2. G′x (x, s) turi trūkį, kai x = s :

G′x (s+ 0, s)−G′x (s− 0, s) =s− ab− a −

s− bb− a = 1. (2.97)

3. Kai x = a ir x = b, G (x, s) tenkina atitinkamas lygties y′′ + a1 (x ) y ′ + a2 (x ) y = 0sąlygas, tai

α0y′ (a) + α1y (a) = 0 ir β0y

′ (b) + β1y (b) = 0 (2.98).čia α0, α1, β0, β1 ∈ R− konstantos, tenkinančios sąlygas:

α20 + α2

1 > 0,β2

0 + β21 > 0;

ir

{α0G

′x (a, s) + α1G (a, s) = 0,

β0G′x (b, s) + β1G (b, s) = 0.

(2.99)

4. Kai x 6= s, G (x, s) yra tiesinės homogeninės lygties y′′ + a1 (x ) y ′ + a2 (x ) y = 0 spren-dinys:

G′′xx (x, s) + a1 (x)G′x (x, s) + a2 (x)G (x, s) ≡ 0 (x 6= s) . (2.100)

2.4 Paprastųjų diferencialinių lygčių sistemos ir pagrindiniai jų sprendimo metodai 29

2.4 Paprastųjų diferencialinių lygčių sistemos ir pagrindiniai jų spren-dimo metodai

Tarkime, y1 = y1(x), y2 = y2(x), . . ., yn = yn(x) – kintamojo x funkcijos

ApibrėžimasSistema, kurią sudaro diferencialinės lygtys, siejančios kintamąjį x, funkcijas y1, . . .,yn ir jų

išvestines, vadinama diferencialinių lygčių sistema.

Normalioji pirmos eilės diferencialinių lygčių sistema:

dy1dx = f1(x, y1, y2, . . . , yn)dy2dx = f2(x, y1, y2, . . . , yn)

. . .dyndx = fn(x, y1, y2, . . . , yn).

(2.101)

Jos sprendiniu vadinsime tame intervale apibrėžtų ir tolygiai diferencijuojamų funkcijų y1 =ϕ1(x), y2 = ϕ2(x), . . ., yn = ϕn(x) visumą.

2.4.1 Eliminavimo metodas

Cauchy uždavinysReikia rasti y1, . . .,yn, kai žinomos pradinės sąlygos

y1 |x=x0 = y10 ; . . . yn |x=x0 = yn0 (2.102)

Normalioji diferencialinių lygčių sistema sprendžiama eliminavimo metodu. Išdiferenci-juojame pirmąją sistemos lygtį pagal x:

d2y1

dx2=∂f1

∂x+∂f1

∂y1· dy1

dx+∂f1

∂y2· dy2

dx+ . . .+

∂f1

∂yn· dyn

dx(2.103)

ir į ją įrašome dy1dx , . . . ,

dyndx reikšmes iš lygčių sistemos (2.101). Gauname priklausomybę:

d2y1

dx2= ϕ2(x, y1, y2, . . . , yn). (2.104)

Ją vėl diferencijuojame pagal x ir įrašome yn išvestinių reikšmes:

d3y1

dx3= ϕ3(x, y1, y2, . . . , yn). (2.105)

Taip sudarome sistemą:

dy1dx = ϕ1(x, y1, y2, . . . , yn),d2y1dx = ϕ2(x, y1, y2, . . . , yn),

. . .dny1dxn = ϕn(x, y1, y2, . . . , yn).

(2.106)

Iš sios sistemos galime eliminuoti y2,. . .,yn. Gauname priklausomybę siejančią x,y1,dy1dx ,d2y1

dx2 ,. . .,dny1dxn ,

taigi gauname n-tosios eilės diferencialinę lygtį. Išsprendę ją, randame y1 = Φ(x,C1, C2, . . . , Cn).Žinodami y1, funkcijas y2,. . .,yn randame iš 2.101 sistemos.

2.4.2 Integruojamojo darinio metodas

Integruojamojo darinio metodas tinka tik tuomet, jeigu sistemoje yra vienas ar keli nepri-klausomi pirmieji integralai,

Φ1(t, x, y) = C1, (2.107)Φ2(t, x, y) = C2. (2.108)

Apibrėžimas


Normaliųjų diferencialinių lygčių sistemos integruojamuoju dariniu vadiname kiekvieną suinte-gruojamą diferencialinę lygtį, kurią gauname iš diferencialinių lygčių sistemos sudėties, atimties,daugybos, dalybos veiksmais.

Uždavinys 5. Išspręsti diferencialinių lygčių sistemą{

dxdt = ydydt = x.

(2.109)

Sudedame lygčių sistemos lygtis:d(x+ y)

dt= x+ y. (2.110)

Tai – paprastoji diferencialinė lygtis kintamajam x+ y. Jos sprendinys

ln(x+ y) = t+ lnC1 =⇒ x+ y = C1et. (2.111)

Atimame lygtis:d(x− y)

dt= y − x. (2.112)

Analogiškai, gaunamex− y = C2e

−t. (2.113)Belieka atstatyti x ir y sprendinius{

x+ y = C1et

x− y = C2e−t =⇒

{x = 1

2(C1e

t + C2e−t)

y = 12(C1e

t − C2e−t).

(2.114)

N

2.4.3 Konstantų varijavimo metodas nehomogeninei paprastųjų diferencialiniųlygčių sistemai

Tai pirmos eilės tokio pavidalo lygtys:

dy1dx = a11(x)y1 + a12(x)y2 + . . .+ a1n(x)yn + f1(x)dy2dx = a21(x)y1 + a22(x)y2 + . . .+ a2n(x)yn + f2(x)

. . .dyndx = an1(x)y1 + an2(x)yn + . . .+ ann(x)yn + fn(x),

(2.115)

čia aij(x) – žinomi koeficientai, o f i(x) – žinomos funkcijos

ApibrėžimasJei ∀i : fi = 0, tai (2.115) sistema yra homogeninė pirmos eilės paprastųjų tiesinių diferencialiniųlygčių sistema yra homogeninė.

ApibrėžimasJei ∀i, j : ai,j ∈ R, tai (2.115) sistema yra vadinama tiesine pirmos eilės diferencialinių lygčių

sistema su pastoviais koeficientais.

Bet kurį i-ąjį (2.115) sistemos narį galime užrašyti kaip

dyidx

=

n∑

j=1

aij(x)yj + fi(x) (2.116)

ir sukonstruoti vektorinę lygtį

d~y

dx= A(x)~y + ~f(x), (2.117)

kurioje A(x) yra koeficientų matrica

2.4 Paprastųjų diferencialinių lygčių sistemos ir pagrindiniai jų sprendimo metodai 31

A(x) =

a11(x) a12(x) . . . a1n(x)a21(x) a22(x) . . . a2n(x)...

.... . .

...an1(x) an2(x) . . . ann(x)

, (2.118)

o ~y ir ~f(x) yra vektoriai

~y =

y1(x)y2(x)...

yn(x)

= colon(y1(x), y2(x), . . . , yn(x)) (2.119)

ir

~f(x) =

f1(x)f2(x)...

fn(x)

= colon(f1(x), f2(x), fn(x)). (2.120)

Čia colon(. . .) yra tiesiog kintamųjų eilutės padarymo stulpeliu funkcija. Tada d~ydx yra vek-

torius, kurio elementai – išvestinės

d~y

dx=

ddxy1d

dxy2

...d

dxyn

= colon

(dy1

dx,

dy2

dx, . . .

dyndx

). (2.121)

Spręsime lygčių sistemą konstantų varijavimo būdu. Užrašome sprendinį kaip

~y(x) = C1(x)~Y1(x) + C2(x)~Y2(x) + . . .+ Cn(x)~Yn(x), (2.122)

kuriame

Y1(x) = colon(y11(x), y12(x), . . . , y1n(x))

Y2(x) = colon(y21(x), y22(x), . . . , y2n(x))...

Yn(x) = colon(yn1(x), yn2(x), . . . , ynn(x)),

(2.123)

o yij yra homogeninės lygties ddx~y(x) + A(x)~y(x) = 0 sprendiniai. Įstatę pažymėjimą į lygtį,

gauname

C ′1(x)y11(x) + C ′2(x)y12(x) + . . .+ C ′n(x)y1n(x) = f1(x)

C ′1(x)y21(x) + C ′2(x)y22(x) + . . .+ C ′n(x)y2n(x) = f2(x)...

C ′1(x)yn1(x) + C ′2(x)yn2(x) + . . .+ C ′n(x)ynn(x) = fn(x)

(2.124)

Išsprendžiame:

C ′i(x) = ϕi(x) =⇒ Ci(x) =

ˆ

ϕi(x)dx+ C∗1 (2.125)

bei atstatome sprendinį pagal (2.122) formulę.

2.4.4 Eulerio metodas tiesinėms diferencialinių lygčių sistemoms su pastoviaiskoeficientais

Nagrinėjame sistemą kaip 2.115 lygtyje su ∀i, j : aij ∈ R ir fi(x) = 0, ir n = 2:{

dy1dx = a11y1 + a12y2dy2dx = a21y1 + a22y2.

(2.126)


Sprendinių ieškome tarę, kad y1 = α1ekx; y2 = α2ekx. Gauname{α1kekx = a11α1ekx + a12α2ekx

α2kekx = a21α1ekx + a22α2ekx=⇒

{α1(a11 − k) + α2a12 = 0

α1a21 + α2(a22 − k) = 0.(2.127)

Pažymime iš koeficientų sudarytą determinantą

∆ =

∣∣∣∣a11 − k a12

a21 a22 − k

∣∣∣∣ . (2.128)

Jei ∆ 6= 0, tai bus gautas trivialusis sprendinys

α1 = α2 = 0. (2.129)

Pareikalavę, jog ∣∣∣∣a11 − k a12

a21 a22 − k

∣∣∣∣ = 0, (2.130)

gauname netrivialųjį sprendinį bei randame kvadratinės lygties

k2 − k(a11 + a22)− a12a21 = 0 (2.131)

šaknis k1 ir k2. Turėsime skirtingus sprendinius, jei šaknys yra realios arba kompleksinės:

1. Jei k1, k2 ∈ R ir k1 6= k2, tai įrašome į (2.127) sistemą sprendinius bei randamekonstantas α(1)

1 ir α(1)2 (įrašę k1) ir α(2)

1 , α(2)2 (kai įrašome k2). Gauname kelis galimus

sprendiniusy

(1)1 = α

(1)1 ek1x, y

(2)1 = α

(2)1 ek2x, (2.132)

y(1)2 = α

(1)2 ek1x, y

(2)2 = α

(2)2 ek2x. (2.133)

Taigi, bendrasis sprendinys bus{y1 = c1y

(1)1 + c2y

(2)1

y2 = c1y(1)2 + c2y

(2)2 ,

(2.134)

kur c1 ir c2 – konstantos

2. Jei sprendiniai kompleksiniai,

k1 = α+ βi, k2 = α− βi, (2.135)

tai bendrąjį sprendinį sudarys

y(1)1 = α

(1)1 e(α+βi)x = α

(1)1 eαx(cosβx+ i sinβx), (2.136)

y(2)1 = α

(2)1 e(α−βi)x = α

(2)1 eαx(cosβx− i sinβx), (2.137)

y(1)2 = α

(1)2 e(α+βi)x = α

(1)2 eαx(cosβx+ i sinβx), (2.138)

y(2)2 = α

(2)2 e(α−βi)x = α

(2)2 eαx(cosβx− i sinβx). (2.139)

Jei funkcija y(x) = u(x) + iv(x) yra realios diferencialinės lygties sprendinys, tai u(x)ir v(x) irgi bus sprendiniai. Atskyrę šių lygčių realias ir menamas dalis, bendrąjįsprendinį galime užrašyti kaip (2.134).

33

3 | Kompleksinio kintamojo funkcijų teo-rija

Definuojame menamą vienetą, pasižymintį savybe i2 = −1.

z = x+ iy (3.1)

– kompleksinis skaičius z ∈ Z, kurio reali dalis x = Re z, o menama y = Im z, x, y ∈ R, galibūti atvaizduotas kaip vektorius kompleksinėje plokštumoje (Pav. 12).

Re

Imz(x, y)

x

y

ϕ

12 pav. Kompleksinio skaičius z = x+ iy atvaizdavimas kompleksinėje plokštumoje.

Kompleksinį skaičių taip pat galima užrašyti trigonometrine forma panaudojant Eulerformulę

z = reiϕ = r (cosϕ+ i sinϕ) , (3.2)

kur r yra kompleksinio skaičiaus amplitudė r = |z| =√x2 + y2, o ϕ = arg z – kampas.

Du kompleksiniai skaičiai z1 ir z2 yra lygūs tada ir tik tada, kai jų realios ir menamosdalys yra lygios:

z1 = z2 ⇐⇒ Re z1 = Re z2, Im z1 = Im z2. (3.3)Kompleksinio skaičiaus z kompleksiškai jungtinis skaičius apibrėžiamas kaip

z∗ = x− iy. (3.4)

Iš čia galima parodyti, jog

r2 = x2 + y2 = (x+ iy) (x− iy) = z · z∗. (3.5)

ApibrėžimasKompleksinės funkcijos apibrėžimas. Jei kiekvieną kintamąjį z iš Z kompleksinių skaičių aibės

atitinka viena ar daugiau reikšmių w iš W aibės, tai w yra kompleksinio skaičiaus funkcija w =f(z), apibrėžta aibėje Z.

Kompleksinio skaičiaus z = x+ iy funkcija f (z) bus skaičius kompleksinėje plokštumojew = u + iv, todėl jo reali ir menama dalys bus x ir y funkcijos, u = u(x, y) ir v = v(x, y),atitinkamai (Pav. 13).

ApibrėžimasIšvestinės apibrėžimas. Kintamojo z pokytį ∆z = ∆x + i∆y atitinka funkcijos pokytis ∆w =f(z0 + ∆z)− f(z0) (z0 6=∞).

Jei egzistuoja riba lim ∆z→0f(z0+∆z)−f(z0)

∆z= f ′(z0), tai f ′(z) = w′ yra kompleksinės funk-

cijos f(z) išvestinė taške z0. Jei f ′(z0) yra baigtinis skaičius, tai funkcija f(z) vadinama dife-rencijuojama taške z0.

ApibrėžimasVienareikšmė funkcija, diferencijuojama kiekviename srities g taške, vadinama analizine toje

srityje. Analizinės funcijos išvestinė nepriklauso nuo artėjimo prie taško krypties.

34 3 KOMPLEKSINIO KINTAMOJO FUNKCIJŲ TEORIJA

x

yz(x, y)

u

v

w(u, v)

• •

•

•

z w

13 pav. Sąryšis tarp kompleksinio skaičiaus z (x, y) ir jo funkcijos w (u, v), atvaizduotų z ir wplokštumose. Jei taškas juda z plokštumoje, tai z tašką atitinka ≥ 1 taškas w plokštumoje

3.1 Cauchy–Riemanno analiziškumo sąlygos

Cauchy–Riemanno analiziškumo sąlygaFunkcija f(z) = u(x, y) + iv(x, y) yra diferencijuojama tam tikroje srityje tada ir tik tada, kaiBernhard Riemann

(1826–1866) Vokiečiųmatematikas. ∂

∂xu =

∂

∂yv (3.6)

ir∂

∂yu = − ∂

∂xv. (3.7)

Įrodymas Formaliai užrašome funkcijos f (z) išvestinę taške z0:

f ′ (z) = lim ∆z→0f(z0 + ∆z)− f(z0)

∆z= lim ∆z→0

∆f(z)

∆z. (3.8)

Kompleksinės funkcijos analiziškumo sąlyga reikalauja, jog f ′ (z) nepriklausytų nuo artėjimo įz0 krypties. Suskaičiuokime išvestinę, kai artėjama išilgai realios ir menamos ašies:

1) Kai judama lygiagrečiai x ašiai, ∆z = ∆x+ i · 0 = ∆x→ 0:

lim ∆z→0∆f(z)

∆z= lim ∆x→0

∆u+ i∆v

∆x= lim ∆z→0

∆u

∆x+ i lim ∆z→0

∆v

∆x(3.9)

=∂

∂xu+ i

∂

∂xv,

f ′ (z) =∂u

∂x+ i

∂v

∂x. (3.10)

2) Kai judama lygiagrečiai y ašiai, ∆z = 0 + i ·∆y = i∆y → 0

lim ∆z→0∆f(z)

∆z= lim ∆z→0

∆u+ ∆v − i∆z

= lim ∆iy→0∆u+ i∆v

i∆y=

1

ilim ∆z→0

∆u

∆y+ lim ∆z→0

∆v

∆y(3.11)

= −i∂

∂yu+

∂

∂yv,

f ′ (z) = −i∂u

∂y+∂v

∂y. (3.12)

Pareikalavę analiziškumo (išvestinių lygumo)

∂u

∂x+ i

∂v

∂x=∂v

∂y− i∂u

∂y, (3.13)

gauname Cauchy-Riemann analiziškumo sąlygas

∂u

∂x=∂v

∂y,

∂v

∂x= −∂u

∂y. (3.14)

Cauchy-Riemann analiziškumosąlygos polinėje koordinačių sistemoje (z = reiϕ).

∂u

∂r=

1

r

∂v

∂ϕ,

∂u

∂ϕ= −r ∂v

∂r.

N

3.2 Funkcijų analizinis tęsinys 35

x

yz

S1

S2

14 pav. Analizinės funkcijos w1 ∈ S1 ir w2 ∈ S2 vienareikšmiškumo sritys.

3.2 Funkcijų analizinis tęsinysSakykime, kad yra duota vienareikšmė, srityje S1 analizinė funkcija w1(z) ir w2(z) – srityjeS2analizinė funkcija (Pav. 14). Galima sudaryti naują funkciją:

w(z) =

{w1(z), z ∈ S1

w2(z), z ∈ S2

(3.15)

3.2.1 Γ(z) funkcija

ApibrėžimasΓ(z) yra kompleksinio skaičiaus, kurio realioji dalis yra teigiama (Re z > 0), funkcija

Γ(z) ≡∞

0

e−ttz−1dt. (3.16)

Ištiriame elgesį apatiniame rėžyje. Kai t→ 0, e−t → 1 ir

Γ(z)|t→0 =

∞

0

tz−1dt =1

ztz∣∣∣∣∞

0

. (3.17)

Panagrinėkime narį tz = tx+iy = txtiy :

1. tiy = eiy ln t, bet eiϕ = cosϕ+ i sinϕ ir |eiϕ| = 1. Todėl

|tiy| = 1 =⇒, kai t, y ∈ R. (3.18)

2. tx|t→0 → 0, kai x > 0.

Todėl Γ(z) bus analizinė funkcija, kur x > 0. Suskaičiuokime dydį zΓ(z):

zΓ(z) =

∞

0

e−tztz−1dt =

∞

0

e−td (tz) = tze−t∣∣∞0︸︷︷︸

=0

+

∞

0

e−ttzdt =

∞

0

e−tt(z+1)−1dt = Γ(z + 1).

(3.19)

Funkcijos Γ(z+1) = zΓ(z) analiziškumo sritis bus Rez = x > −1, tačiau z 6= 0. AtitinkamaiΓ(z+ 2) = z(z+ 1)Γ(z) bus analizinė, kai x > −2, x 6= −1, 0. Gauname analiziškumo tęsinįį kairę (Pav. 15)

Gama funkcija yra jos argumento – sveiko skaičiaus – faktorialas:

Γ(1) =

∞

0

e−tdt = −e−t∣∣∞0

= 1

Γ(2) = 1 · Γ(1) = 1

Γ(3) = 2 · Γ(2) = 2

. . .

Γ(n+ 1) = n!


x

y z

-1

Γ(z)Γ(z + 1)

15 pav. Funkcijos Γ(z) analiziškumo pratęsimas į kairę.

3.3 Integravimas kompleksinėje plokštumoje

ApibrėžimasJei plokštumos kreivę galime parametrizuoti,{

x = x(t)y = y(t),

(3.20)

kur t ∈ (a, b), tai kreivė – tolydi.

ApibrėžimasJei x(t) ir y(t) yra diferencijuojamos, tai kreivė yra glodi.

ApibrėžimasJei kreivę l galima suskaidyti į baigtinį skaičių glodžių kreivių, tai tą kreivę vadiname globaliai

glodžia kreive.

ApibrėžimasJei kreivės l galai sutampa, tai ją vadiname uždara kreive.

Parametrizuota kreivė l kompleksinėje plokštumoje

z = z(t) = x(t) + iy(t). (3.21)

Daliname ją į gabaliukus z0, z1, z2, . . . , zn (Pav. 16). Pažymime ∆zk ≡ zk − zk−1, ξk ∈

x

y

l

••

z

z1

z2zn−1

znz0

zn−2

16 pav. Glodi kreivė l kompleksinėje plokštumoje bei jos dalinimas į integralinės sumos elemen-tus.

(zk−1, zk). Galime definuoti kompleksinės, vienareikšmės ir apibrėžtos kiekviename kreivėsl taške funkcijos f(z), integralinę sumą

Sn =

n∑

i=1

f (ξi) ∆zi. (3.22)

3.3 Integravimas kompleksinėje plokštumoje 37

x

y

1

••

z

BA

2

S

17 pav. Kompleksinės funkcijos f(z) integravimo kontūras S.

Formaliai pažymėję, jog λ = max (∆zk), įvedame integralinių sumų ribos sąvoką.ˆ

l

f(z)dz ≡ limλ→0

[n∑

i=1

f(ξi)∆zi

]. (3.23)

Uždavinys 6. Suskaičiuoti funkcijos f(z) = 1 kompleksinį integralą, kai integravimokreivė C yra uždaras apskritimas.

Kadangi kontūras uždaras, jos galutiniai taškai sutampa, zn = z0, ir integralas lygus nuliui:˛

C

dz = limλ→0

[n∑i=1

∆zi

]= limλ→0

[(z1 − z0) + (z2 − z1) + . . .+ (zn − zn−1)] = zn − z0 = 0.

(3.24)N

Uždavinys 7. Suskaičiuoti funkcijos f(z) = z kompleksinį integralą, kai integravimokreivė C yra uždaras apskritimas.

Integralinėje sumoje funkcija f(ξi) = ξi, o taškas ξi yra atkarpos tarp zi−1 ir zi viduryje.Vėlgi, kadangi kreivė yra uždara, tai zn = z0 ir

˛

C

zdz = limλ→0

n∑i=1

ξi︸︷︷︸= 1

2(zi+zi−1)

∆zi

= limλ→0

1

2

n∑i=1

(zi + zi−1) ∆zi︸︷︷︸=zi−zi−1

(3.25)

=1

2limλ→0

[n∑i=1

(zi + zi−1)(zi − zi−1)

]=

1

2limλ→0

[n∑i=1

(z2i − z2

i−1)

]

=1

2limλ→0

[(z2

1 − z20) + (z2

2 − z21) + . . .+ (z2

n − z2n−1)

]=

1

2

(z2n − z2

0

)= 0.

N

Šiuos rezultatus galima apibendrinti kaip teoremą.

Cauchy teoremaJei funkcija f(z) yra analizinė ir vienareikšmė srityje S, tai jos integralas bet kuria uždara kreiveC ⊂ S, lygus nuliui,

˛

C

f(z)dz = 0. (3.26)

Integralo nepriklausomumas nuo integravimo kelio. Tarkime, turime kompleksinėsfunkcijos f(z) integralą uždaru kontūru S (A → 1 → B → 2 → A), pavaizduotą Pav. 17.Pagal Cauchy teoremą, jis lygus nuliui. Daliname integralą į dvi dalis

˛

C

f(z)dz =

ˆ

A→1→B

f(z)dz +

ˆ

B→2→A

f(z)dz = 0, (3.27)


x

y z

×aC

S

(a) a /∈ S

x

y z

C2

S1

×ar

Cr

S2C1

(b) a ∈ S, a /∈ C

x

y zC

×a

S

(c) a ∈ C

18 pav. Cauchy integralo atvejai.

gaunameˆ

A→1→B

f(z)dz =

ˆ

A→2→B

f(z)dz. (3.28)

Vadinasi, jei kompleksinė funkcija yra analizinė, jos integralas kreive tarp fiksuotų taškų Air B nepriklauso nuo integravimo kelio.

3.3.1 Cauchy integralas ir integralinė formulė

Nagrinėjame Cauchy integraląI(a) =

˛

C

f(z)

z − adz (3.29)

uždara kreive C, kurios ribojamame plote S pointegralinė funkcija yra analizinė, išskyrustašką a (funkcija f(z) yra analizinė visoje erdvėje). Išnagrinėsime kelis atvejus (Pav. 18):

1. taškas a nepriklauso sričiai S (a /∈ S);

2. taškas a yra kontūro viduje (a ∈ S, a /∈ C);

3. taškas a yra ant paties kontūro (a ∈ C).

a /∈ S. Integruojama funkcija f(z)z−a yra analizinė srityje S. Pagal Cauchy teoremą,

˛

C

f(z)

z − adz = 0. (3.30)

a ∈ S, a /∈ C. Funkcija f(z)z−a nėra analizinė visoje integravimo srityje. Kadangi jau žinome,

kad integralas uždaru kontūru, kurio viduje funkcija yra analizinė, lygus nuliui, sritį S išskai-dome į 3 sritis, iš kurių dviejose (S1 ir S2) funkcija yra analizinė. Trečia sritis Cr – radiusor apskritimu apgaubtas taškas a, kuriame funkcija nėra analizinė. Kaip matome Pav. 18b,integralai kreivėmis ties ”siūlėmis“ tarp sričių yra priešingų krypčių, tad kompensuojasi irtoks padalijimas yra visiškai teisingas. Iš trijų integralų tik trečiasis nėra lygus nuliui:

˛

C

f(z)

z − adz =

˛

C1

+

˛

C2

+

˛

Cr

f(z)

z − adz =

˛

Cr

f(z)

z − adz. (3.31)

Išskaidome integralą į dvi dalis

I(a) =

˛

Cr

f(a)

z − adz +

˛

Cr

f(z)− f(a)

z − a dz. (3.32)

Įvertiname antrąjį narį. Jo skaitiklio modulio riba yramax |f(z)− f(a)|, o ant kontūro|z − a| = r.

∣∣∣∣∣∣

˛

Cr

f(z)− f(a)

z − a dz

∣∣∣∣∣∣≤ max |f(z)− f(a)| · 2πr

r= 2π ·max |f(z)− f(a)| . (3.33)

3.4 Laurento eilutė 39

Riboje r → 0, galimos z vertės artėja prie a (z → a), taigi, max |f(z)− f(a)| → 0. Antrasis(3.32) išraiškos narys lygus nuliui. Lieka

I(a) = f(a)

˛

Cr

dz

z − a. (3.34)

Pažymime z − a = reiϕ=⇒ z = reiϕ + a, dz = ireiϕdϕ (kadangi r = const.).

f(a)

˛

Cr

dz

z − a = f(a)

2πˆ

0

ireiϕdϕ

reiϕ= f(a) · 2πi. (3.35)

Cauchy integralas, kai funkcijos neanaliziškumo taškas yra kontūro viduje, yra lygus funk-cijos, iš kurios yra atmesta neanaliziškumą duodanti dalis (vardiklis z − a), reikšmei taškea, padaugintai iš 2πi:

I(a) = 2πi · f(a). (3.36)

a ∈ C. Papildome kontūrą apėjimu aplink tašką a (Pav. 18c). Integralo uždaru kontūrureikšmė lygi principiniam Cauchy integralui

˛

C

f(z)

z − adz =

C

f(z)

z − adz, (3.37)

kurffl

žymi principinę integralo reikšmę ir riboje yra lygi integralui,

c

a

g(x)dx = limε→+0

b−εˆ

a

g(x)dx+

cˆ

b+ε

g(x)dx

. (3.38)

Papildome integralą apėjimu aplink tašką a pagal laikrodžio rodyklę (pažymime integralu´

a). Kadangi mes kažką pridėjome, tą patį reikia ir atimti, kad išliktų tapatybė. Kitavertus, integralas uždaru kontūru, kurio viduje funkcija yra analizinė, lygus nuliui:

I(a) =

+

ˆ

a︸︷︷︸=0

−ˆ

a

f(z)

z − adz. (3.39)

Panaudodami tuos pačius keitinius kaip anksčiau, suskaičiuojame

−ˆ

a

f(z)dz

z − a = −f(a)

ϕ0ˆ

ϕ0+π

ireiϕdϕ

reiϕ= f(a) · πi, (3.40)

kur ϕ0 yra kampas atžvilgiu taško a, Oy ašies ir taško, kur puslankis kerta kontūrą C.Suformuluojame Cauchy integralinę formulę:

˛

C

f(z)

z − adz = f(a) ·

0, a /∈ S2πi, a ∈ S, a /∈ Cπi, a ∈ C.

(3.41)

3.4 Laurento eilutėLaurent eilutė yra dar vienas galimas funkcijų skleidimas begaline eilute. Tačiau, priešingainei Tayloro skleidime, yra nariai su neigiamais laipsniais. Taipogi, Laurento eilute galimaskleisti kompleksines funkcijas taško z0 aplinkoje Pierre Alphonse Laurent

(1813–1854) Prancūzųmatematikas.

f (z) =

∞∑

n=−∞cn (z − z0)

n, (3.42)


kur cn yra skleidimo koeficientai.

ApibrėžimasLaurento eilutė

∞∑n=−∞

cn (z − z0)n = . . .+c−2 (z − z0)−2+c−1 (z − z0)−1+c0+c1 (z − z0)+c2 (z − z0)2+. . . (3.43)

yra sudaryta iš reguliariosios Laurento eilutės

c0 + c1 (z − z0) + c2 (z − z0)2 + . . . (3.44)

ir pagrindinės Laurento eilutės

c−1 (z − z0)−1 + c−2 (z − z0)−2 + . . . (3.45)

Iš pradžių suskaičiuokime kompleksinės funkcijos (z − a)n, kur a – kompleksinė kons-

tanta, o n – bet koks sveikas skaičius, integralą uždaru apskritimo formos kontūru C:|z − a| = R (Pav. 19).

z

•

z′′

z′

Ra

C

19 pav. Funkcijos integravimo kontūras |z − a| = R.

Tokia funkcija – vienas Laurento eilutės narys be skleidimo koeficiento cn. Atliekame kin-tamųjų pakeitimą z − a ≡ Reiϕ=⇒dz = Rieiϕdϕ,

�

|z−a|=R . . . dz =´ 2π

0. . . dϕ:

‰

C

(z − a)n

dz =

2πˆ

0

RneinϕRieiϕdϕ = iR(n+1)

2πˆ

0

ei(n+1)ϕdϕ. (3.46)

Kai n 6= −1, galime suintegruoti:

iR(n+1)

2πˆ

0

ei(n+1)ϕdϕ

∣∣∣∣∣∣n 6=−1

=Rn+1

n+ 1

[ei(n+1)2π − 1

]= 0. (3.47)

Kai n = −1,

iR(n+1)

2πˆ

0

ei(n+1)ϕdϕ

∣∣∣∣∣∣n=−1

= i

2πˆ

0

dϕ = 2πi. (3.48)

Taigi,‰

C

(z − a)n

dz = δn,−12πi =

{0, n 6= −1

2πi, n = −1. (3.49)

Kadangi išmokome suintegruoti vieną Laurento eilutės narį be skleidimo koeficiento cn,galime suintegruoti bet kokią kompleksinę funkciją f (z), išskleistą Laurento eilute (apibrė-žimas (3.42)) įstatydami vieno eilutės nario išraišką (3.49),

‰

C

f (z) dz =

∞∑

n=−∞cn

‰

C

(z − z0)n

dz = 2πi

∞∑

n=−∞cnδn,−1 = 2πic−1. (3.50)

Taigi, kompleksinės funkcijos f (z) integralas uždaru kontūru yra lygus jos skleidimo Lau-rento eilute koeficientui c−1.

Apibrėžimas

3.5 Funkcijos reziduumas 41

Laurent eilutės koeficientas c−1 yra vadinamas funkcijos f (z) reziduumu taške z0 bei žymimas

Resz=z0f (z) arba Resf (z)|z=z0 (3.51)

ir funkcijos f (z) integralas uždaru kontūru apie tašką z = z0 lygus‰

C

f (z) dz = 2πi · Resz=z0f (z) . (3.52)

3.5 Funkcijos reziduumasJei turime nevienareikšmės funkcijos f(z) izoliuotą ypatingą tašką z0, tai to taško aplinkojefunkciją galima išreikšti Laurent’o eilute:

f(z) =

+∞∑

n=−∞Cu(z − z0)u 0 < |z − z0| < r

Koeficientas C−1 prie (z − z0)−1vadinamas funkcijos f(z) reziduumu taške z0 ir žymimas

Resz=z0

f(z) = C−1 =1

2πi

˛

C

f(z)dz,

kur kontūro C apėjimo kryptis teigiama (prieš laikrodžio rodyklę).Funkcijos reziduumas be galo nutolusiame taške

Resza=∞

f(z) = −C−1 = − 1

2πi

˛

C

f(z)dz

ApibrėžimasJei f(z) yra analizinė visoje išplėstinėje kompleksinių skaičių plokštumoje, išskyrus, galbūt,

baigtinį skaičių izoliuotų taškų, reziduumų suma juose bei be galo nutolusiame taškeu∑i=1

Resz=zi

f(z) + Resz=∞

f(z) = 0

Pagrindinė reziduumų teoremaJeigu funkcijoje f(z) yra analizinė ir vienareikšmė tam tikroje srityje Γ, išskyrus, galbūt, baigtinįskaičių izoliuotų taškų (z1, z2, ..., zn) ∈ Γ, tai

˛

Γ

f(z)dz =

u∑i=1

Resz=zi

f(z) · 2πi

3.5.1 Reziduumų teoremos taikymas integralams skaičiuoti

1 ATVEJIS Taškas a yra funkcijos f(z) 1 eilės polius:

f(z) =f1(z)

z − a, f1(a) 6= 0

Resz=a

f(z) = limz→a

(z − a)f(z) = f1(a)

2 ATVEJIS Funkcija yra dviejų taške z0analizinių funkcijų dalmuo

g(z0) 6= 0; k(z0) = 0; k′(z0) 6= 0

f(z) =g(z)

k(z)=f1(z)

f2(z)

k(z) = f2(z) = ϕ(z) · (z − z0) (ϕ(z0) 6= 0)

f ′2(z) = ϕ′(z) · (z − z0) + ϕ(z); f ′2(z0) = ϕ(z0)

Resz=z0

f(z) = limz→z0

(z − z0) f1(z)

f2(z)= limz→z0

z − z0

f2(z)− f2(z0)− f1(z) =

f1(z)

f ′2(z)


y

x1

z

r = 1

20 pav. Integravimo kontūras

3 ATVEJIS Taškas z0yra n-tos eilės polius

f(z) =f1(z)

(z − z0)n f1(z0) 6= 0

f1(z) = f1(z0) + f ′1(z0)(z − z0) +1

2f ′′1 (z0)(z − z0)2 + ...+

1

k!f

(k)1 (z − z0)k + ...

f(z)(z − z0)n = f1(z0) + f ′1(z0)(z − z0) + ...+1

(n+ 1)!f

(n−1)1 (z − z0)n−1 + ...

f(z) =f1(z0)

(z − z0)n+

f ′1(z0)

(z − z0)n−1+ ...+

1

(n− 1)!f

(n−1)1 (z0)

1

z − z0︸︷︷︸C−1

+ ...

Resz=z0

f(z) =1

(n− 1)!f

(n−1)1 (z0)

Kitais atvejais pavyzdžiai gali netikti. Tenka skeisti funkcijas Lorano eilute z0 aplinkoježinant kitus skleidimus

Pavyzdys:

f(z) = e 1z ; ex = 1 + x+

x2

2+ ...

e1z = 1 +

1

z+

1

2· 1

z2↑−1narys

+ ...+1

(n+ 1)!

1

zn−1+ ...

C−1 = 1

Resz=0

e 1z = 1, o Res

z=−∞e 1

z = −1

3.5.2 Integralo´ 2π

0f (cos θ, sin θ) dθ skaičiavimas

I =´ 2π

0f (cos θ, sin θ) dθ f - racionalioji trupmeninė funkcija. Naudojami keitiniai:

1)z = eiθ

eiθ = cos θ + i sin θ

e-iθ = cos θ − i sin θ

2)

cos θ =1

2

(eiθ + e−iθ) =

1

2

(z + z−1

)

3.5 Funkcijos reziduumas 43

R−Rx

y

CRz

21 pav. Integravimo kontūras integralo´ +∞−∞ f(z)dz skaičiavimui

3)sin θ =

1

2i(eiθ − e−iθ) =

1

2i(z − z−1

)

4)dz = ieiθdθ = izdθ

dθ =dziz

˛

Cr=1

f(z)dz = 2πi∑

Resf(z)

3.5.3 Integralo´ +∞−∞ f(z)dz skaičiavimas

I =´∞−∞ f(x)dx Integralą pakeičiame į kompleksinių skaičių išraišką (x→ z), kur kon-

tūras riboje →∞

I(z) =

˛

L

f(z)dz =

ˆ R

−Rf(z)dz +

ˆ

CR

f(z)dz =∑

Resf(z) · 2πi

Įrodoma, kadˆ

CR

f(z)dz = 0

kai riboje |z| → ∞ pointegrinė funkcija malžėja greičiau nei |z|−1. lim z→∞´

CRf(z)dz = 0

jei lim z→∞f(z) · z = 0ˆ ∞

−∞f(x)dx = 2πi

∑Resf(z)

3.5.4 Integralo´∞

0xµ−1f(x)dx skaičiavimas

I =´∞

0xµ−1f(x)dx µ tokie kad I egzistuoja begalybėje ir µ ∈ Q Kadangi pointegralinė

funkcija nevienareikšmė, reikalingas Riemanno paviršiaus įvedimas (pjūvis), kuris apeinamaskonturu ABCDFG. Konturo viduje gali būti ypatingų taškų.

Pagal reziduumų teoremą:

I = 2πi ·∑

Resf(z) =

ˆ

AB

+

ˆ

BCD||0

+

ˆ

DF

+

ˆ

FGA||0

zµ−1f(z)dz

z = xeiϕ

dz = eiϕdx

I =

ˆ ∞

0

xµ−1eiϕ||1

f(x)dx+

ˆ 0

∞xµ−1ei2π(µ−1)f(x)dx = I1

(1− ei2π(µ−1)

) (eiϕ = 1 nes ϕ = 0

)

I = I1

(1− ei2π(µ−1)

)= 2πi

∑Res

{zµ−1f(z)

}


x

B

D

A

Fx

C Gr

y

z

22 pav. Integravimo kontūras integralo´∞

0xµ−1f(x)dx skaičiavimui

I1 =2πi∑

Res{zµ−1f(z)

}

1− ei2π(µ−1)=

2πi1− ei2π(µ−1)

∑Res

{zµ−1f(z)

}

=2πi · e−iπ(µ−1)

−(eiπ(µ−1) − e−iπ(µ−1)

)∑

Res{zµ−1f(z)

}

=−πi·e−iπ(µ−1)

i sin (π (µ− 1))

∑Res

{zµ−1f(z)

}=

π

sinµπ

∑Res

{(−z)µ−1f(z)

}

3.6 Begalinių sumų skaičiavimasNagrinėsime dviejų tipų sumas:

S1 =

∞∑

n=−∞f(n) (3.53)

ir

S2 =

∞∑

n=−∞(−1)

nf(n). (3.54)

Užrašysime sumuojamą funkciją f (n) kaip kompleksinę funkciją f (z), turinčią polius taš-kuose z1, z2, . . . , zm, bei skaičiuosime integralą uždaru kontūru

˛

C

f(z)p (z) dz, (3.55)

kur p (z) yra nežinoma pagalbinė funkcija. Reikia parinkti p (z) taip, kad ji turėtų polius tiessveikomis vertėmis ant realios ašies: z = n, n = 0,±1,±2, . . ., o reziduumai šiuose poliuosebūtų 1 arba (−1)

n. Tokios funkcijos yra:

1. Pagalbinė funkcija p (z) =π

sinπz. Jos poliai yra realioje ašyje z = n; n = 0,±1,±2 . . .

, o reziduumai juose

Res{ π

sinπz

}∣∣∣z=n

=π

π cosπn= (−1)n. (3.56)

2. Pagalbinė funkcija p (z) = π cotπz. Jos poliai yra realioje ašyje z = n; n = 0,±1,±2 . . ., o reziduumai juose

Res {π cotπz} = Res{π cosπz

sinπz

}=π cosπz

π cosπz= 1. (3.57)

3.6 Begalinių sumų skaičiavimas 45

Re

Im

1 2-2 -1

z

C1

C2

×

××

×

◦◦ ◦◦

i-

-i-

2i-

-2i-

N◦

Ni-

-N◦

-Ni-

(N + 1)i-

-(N + 1)i-

N+1◦

-N-1◦

CN

23 pav. Begalinių sumų skaičiavimas pasinaudojant integravimu kompleksinėje plokštumoje.simboliais ’×’ pažymėti funkcijos p (z) f (z) poliai, simboliais ’◦’ – galimi pagalbinės funkcijosp (z) poliai. C1, C2,. . ., CN – skirtingi kontūrai.

Taigi, begalinės pirmojo tipo (lygtis 3.53) sumos skaičiavimo algoritmas būtų toks. Su-darome integralą kompleksinėje plokštumoje

˛

CN

π cotπzf(z)dz, (3.58)

kur kontūras CN apima 2N pagalbinės funkcijos polių (Pav. 23). Didiname kontūrą ir jeigugalime įrodyti, jog riboje N →∞ integralas lygus nuliui,

limN→∞

˛

CN

π cotπz f(z)dz = 0, (3.59)

gauname˛

C∞

π cotπz f(z)dz = 2πi∑

Res [π cotπzf(z)] (3.60)

= 2πi

[ ∞∑

n=−∞f(n) +

m∑

k=1

Reszk [π cotπzf(z)]

]= 0,

kur suma∑k Rezzk reiškia, jog skaičiuojami tik funkcijos π cotπzf (z) reziduumai funkcijos

f (z) poliuose z1, z2, . . . , zm. Taigi, pirmojo ir antrojo tipo sumos bus

S1 =

∞∑

n=−∞f(n) = −

m∑

k=1

Reszk [π cotπzf(z)] (3.61)

S2 =

∞∑

n=−∞f(n)(−1)n = −

m∑

k=1

Reszk

[ π

sinπzf(z)

]. (3.62)

Taigi, kad galėtumėme naudoti šias išraiškas skaičiavimuose, turi būti tenkinamos šios sąly-gos ir savybės:

1. Funkcija f (z) turi būti analizinė visuose taškuose, išskyrus jos polius.

2. Didinant kontūrą, kompleksinės funkcijos integralas turi išnykti. Iš tikrųjų, tai susivedaį tai, jog funkcija f (z)turi tenkinti reikalavimą

|f (z)| ≤ M

|z|k, (3.63)

kur M ir k > 1 yra konstantos. Kitais žodžiais tariant, funkcija f (z) turi artėti į nulįgreičiau nei 1

z .


3. Reikia tikėtis, jog funkcijos f (z) polių skaičius yra baigtinis. Kitu atveju (m = ∞)begalinės sumos skaičiavimas tampa begaliniu reziduumų skaičiavimu :)

Uždavinys 8. Suskaičiuoti sumą

S =

∞∑

n=1

f(n) =

∞∑

n=1

1

n2 + 1=

1

2+

1

5+

1

10+ . . . (3.64)

Sudarome funkciją f (z) = 1z2+1

. Funkcija turi pirmos eilės polius taškuose z1 = i ir z2 = −i(m = 2), yra analizinė visoje kompleksinėje plokštumoje išskyrus polius ir artėja į nulį greičiaunei 1

z. Taigi, yra tinkama begalinės sumos skaičiavimui naudojant reziduumus. Funkcijos

π cotπzf(z) reziduumai poliuose z1 ir z2 yra

Resz1 = limz→i

(z − i)π cotπzf(z)

z2 + 1=π cotπi

2i= −π

2cothπ (3.65)

irRezz2 = lim

z→−i(z + i)

π cotπzf(z)

z2 + 1=π cot (−πi)

−2i= −π

2cothπ. (3.66)

Čia pasinaudojome tapatybe cot iy = −i coth y. Pagal (3.61) formulę,∞∑

n=−∞f(n) = −

(−π

2cothπ − π

2cothπ

)= π cothπ. (3.67)

Tam, kad gautume mums norimą rezultatą, turime pastebėti, jog sumuojama funkcija yra lyginė:f (n) = f (−n). Taigi, galime užrašyti

∞∑n=−∞

f (n) =

−1∑n=−∞

f (n) +

∞∑n=1

f (n) + f (0) = 2

∞∑n=1

f (n) + f (0)︸︷︷︸=1

. (3.68)

Iš čia ∞∑n=1

f (n) =1

2(π cothπ − 1) . (3.69)

N

3.7 Integralinis funkcijų vaizdavimas

3.7.1 Heaviside’o funkcija

Heaviside’o funkcija apibrėžiama taip:Oliver Heaviside(1850–1925) Anglų inžinierius,

matematikas ir fizikas.σ(x) =

{1, x ≥ 0

0, x < 0.(3.70)

Teigiamoje x srityje σ (x) lygi vienetui, neigiamoje x srityje – nuliui (Pav. 24).

y

x

y = σ(x)1

0

24 pav. Heaviside funkcija

Parodysime, jog jos integralinis atvaizdas yra

σ(x) =1

2πi

˛

C

eixk1

kdk. (3.71)

Pointegrinė funkcija taške k = 0 turi pirmos eilės polių. Integruodami kompleksinę funkcijąkontūru, atskiriame du atvejus: x ≥ 0 ir x < 0.

3.7 Integralinis funkcijų vaizdavimas 47

k

×

k′′

k′−R R

C

#

%

25 pav. Integravimo kontūras kai x ≥ 0.

1. Kai x ≥ 0. Integruojame pusapskritimiu viršutinėje kompleksinės plokštu\cdotmiosdalyje, puslankiu apgaupdami polių taške k1 = 0 (Pav. 25).Pointegriniame reiškinyje eksponentę galima užrašyti kaip

eikx = eix(k′+ik′′) = eixk′e−xk′′. (3.72)

Kadangi didinant pusapskritimio radiusą k′′ → ∞, tai e−xk′′ → 0 ir eikx → 0. Vadi-

nasi, integralas puspaskritimiu virš realios ašies#

lygus 0. Integralas pusapskritimiužemiau realios ašies

%

irgi bus lygus nuliui, tad iš viso integralo (3.71) lieka tik integ-ralas išilgai realios ašies:

˛

C

eikx1

kdk = lim

R→∞

ˆ R

−R

eikx

kdk = 2πiResk1

eikx

k(3.73)

= 2πi limk→0

keikx

k= 2πi.

Taigi, σ(x) = 1 kai x ≥ 0

2. Kai x < 0, funkcija auga eksponente, todėl kontūrą galime papildyti tik iš apačios(Pav. 26).

k

×k′′

k′−R R

%

1

%

2

C

26 pav. Integravimo kontūras, kai x < 0.

Bet tada kontūro viduje nėra ypatingų taškų ir integralas kontūru lygus nuliui:

σ(x) =1

2πi

‰

C

eikxdk

k=

1

2πi· 2πi · 0 = 0 (3.74)

Išnagrinėję integralinio Heaviside funkcijos atvaizdo atvejus kai x ≥ 0 ir x < 0, gauname,

jog σ(x) =

{1, x > 0

0, x ≤ 0, taigi, integralinis atvaizdas (3.71) yra teisingas.

3.7.2 Diraco δ funkcija

Diraco δ funkcija yra realaus argumento funkcija δ (x), lygi nuliui visoje argumentų srityje, Paul Dirac (1902–1984)Anglų fizikas, vienas iškvantinės mechanikos irkvantinės elektrodinamikoskūrėjų.

išskyrus x = 0, o jos integralas lygus vienetui. Diraco δ funkcija gali būti aprašyta kaipHeaviside’o funkcijos išvestinė

δ(x) =d

dxσ(x). (3.75)

Tada jos integralinis atvaizdas bus Heaviside’o funkcijos integralinio atvaizdo išvestinė:


δ(x) =d

dx

(1

2πi

˛

C

eixk1

kdk

)=

1

2πi

ˆ ∞

−∞

ikeikx

kdk =

1

2π

ˆ ∞

−∞eikxdk. (3.76)

Ypatingasis taškas pranyksta, todėl integruojame išilgai realiosios ašies, k – realus dydis.Dar kelios funkcijos savybės:

1. δ(x) yra lyginė funkcija:

δ(−x) =1

2π

ˆ ∞

−∞e−ikxdk (3.77)

k1≡−k= − 1

2π

ˆ ∞

−∞e+ik1xdk1 =

1

2π

ˆ −∞

∞eik1xdk1 = δ(x) (3.78)

2. Funkcijos f (x), padaugintos iš δ (x) funkcijos integralas lygus f (0), jei 0 patenka įintegralo rėžius.Integralą

ˆ ∞

−∞f(x)δ(x)dx, (3.79)

išskaidome:

ˆ ∞

−∞f(x)δ(x)dx =

ˆ −ε

−∞︸︷︷︸=0

+

ˆ +ε

−ε+

ˆ ∞

+ε︸︷︷︸=0

f(x)δ(x)dx (3.80)

ir skaičiuojame jo ribą

limε→0

ˆ +ε

−εf(x)δ(x)dx = f(0). (3.81)

Išvada:´∞−∞ f(x)δ(x− c)dx = f(c)

3.´∞−∞ f(x)δ(ax)dx = 1

|a|f(0)

Įrodymas. Kadangi δ (x) – lyginė funkcija, δ (ax) = δ (|a|x).ˆ ∞

−∞f(x)δ(ax)dx =

ˆ ∞

−∞f(x)δ(|a|x)dx = [x1 = |a|x] =

ˆ ∞

−∞f

(x1

|a|

)δ(x1)

dx1

|a| =1

|a|f(0)

(3.82)

4.∞

−∞f(x)δ(x2 − c2)dx = 1

2|c|f(−c) + 12|c|f(c)

Įrodymas. δ(x2 − c2

)lygi nuliui taškuose x = ±c, taigi, reikia išskaidyti integravimo

sritį į sritis, panašiai kaip skaičiuojant´∞−∞ f(x)δ(x)dx. Vėlgi, nenulinės reikšmės yra

tik integralai srityse apie ±c:∞

−∞

f(x)δ(x2 − c2)dx =

ˆ −c+ε

−c−εf(x)δ((x− c)(x+ c))dx+

ˆ c+ε

c−εf(x)δ((x− c)(x+ c))dx

(3.83)

=

ˆ −c+ε

−c−εf(x)δ(−2c(x+ c))dx+

ˆ c+ε

c−εf(x)δ((x− c)2c)dx.

Pasinaudoję tuo, jog´∞−∞ f(x)δ(ax)dx = 1

|a|f(0), gaunameˆ −c+ε

−c−εf(x)δ(−2c(x+ c))dx =

1

2 |c|f (−c) , (3.84)

ˆ c+ε

c−εf(x)δ((x− c)2c)dx =

1

2 |c|f (c) (3.85)

ir ∞

−∞

f(x)δ(x2 − c2)dx =1

2 |c|f(−c) +1

2 |c|f(c). (3.86)

3.8 Integralo asimptotinė vertė 49

3.7.3 Dvimatė δ (x, y) funkcija

Galime užrašyti integralinius atvaizdus dviejų kintamųjų atžvilgiu (integravimo kintamuo-sius patogumo dėlei irgi pažymime skirtingai: k1 ir k2):

δ(x) =1

2π

ˆ ∞

−∞eik1xdk1, (3.87)

δ(y) =1

2π

ˆ ∞

−∞eik2ydk2. (3.88)

Dvimatės δ (x, y) funkcijos integralinis atvaizdas – funkcijų δ (x) ir δ (y) integralinių atvaizdųsandauga:

δ (x, y) ≡ δ(x)δ(y) =

(1

2π

)2 ¨ ∞

−∞eik1x+ik2ydk1dk2.

Pasinaudojame vektoriniu žymėjimu. Tarkime, jog k1 yra vektoriaus ~k projekcija į x ašį, ok2 – į y ašį, ~r = x~x0 + y~y0:

δ (x, y) =

(1

2π

)2 ¨ ∞

−∞ei(~k,~r)dkxdky︸︷︷︸

~k

=

(1

2π

)2 ¨ ∞

−∞ei~k·~rd~k. (3.89)

3.7.4 Trimatė δ (x, y, z) funkcija

Analogiškai dvimatei, galime užrašyti trimatę δ (x, y, z) funkciją

δ (x, y, z) = δ(~r) =

(1

2π

)3∞

−∞

dkxdkydkzei(kxx+kyy+kzz) =

(1

2π

)3∞

−∞

ei~k·~rd~k. (3.90)

3.8 Greičiausio nuolydžio, arba balno, metodas integralo asimpto-tinei vertei skaičiuoti

Kartais fizikoje gauname sunkiai suskaičiuojamus integralus, kuriuose integruojamos funk-cijos priklauso nuo kažkokio išorinio parametro ir dėl to juos suskaičiuoti analiziškai tampasudėtinga. Tačiau dažnai tereikia sužinoti integralo apytikslę reikšmę esant dideliam para-metrui, t.y, integralo asimptotinę vertę. Toks integralas gali būti

I(w) =

∞

−∞

f(x)ewq(x)dx, (3.91)

kur w – realus parametras, o f(x) ir q(x) – tam tikros funkcijos. Dar bendresniu atveju,integralas gali būti kompleksinis:

I(w) =

ˆ

C

ewq(z)dz, w∈ R, z∈ C. (3.92)

Kompleksinėje plokštumoje, turime sritis, kur eksponentė greitai artėja į begalybę (diver-guoja). Todėl negalime apibrėžti tokio kontūro C ir naudoti reziduumų teoremos. Kai wmažas, galima skleisti eilute ir skaičiuoti pagal eilės pirmuosius narius. Kai w didelis, reikiaskaičiuoti (3.92) integralo priklausomybę nuo didelio w. Tai vadinama funkcijos asimptotikosradimu.

Pointegrinis reiškinys įgaus didžiausią reikšmę taške z0, kur yra q(z) maksimumas q(z0).Taigi, skaičiuojant integralą reikia rasti bei lokalizuoti tą tašką z0, ir toje aplinkoje inte-gruoti. Tačiau toks taškas bus balno taškas, nes kompleksinė funkcija neturi nei minimumo,nei maksimumo. Taip įsitikinti galima dukart diferencijuojant realią ir menamą bendroskompleksinės funkcijos u(x, y) + iv(x, y) dalis, pasinaudojant Cauchy–Riemanno sąlygomis((3.6) ir (3.7) lygtys):

{∂u∂x = ∂v

∂y ,∂u∂y = − ∂v

∂x .(3.93)


Iš čia gauname, jog (∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)u = 0 (3.94)

ir (∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)v = 0. (3.95)

Tai reiškia, jog, pavyzdžiui, jei funkcija x kryptimi demonstruoja maksimumą (u′x = 0,u′′xx < 0), tai y kryptimi bus minimumas, nes u′′yy = −u′′xx > 0. Toks taškas bus balnotaškas.

Išskleidžiame q(z) taško z0 aplinkoje:

q(z) = q(z0) + q′(z0)︸︷︷︸=0

(z − z0) +1

2q′′(z0)(z − z0)2 + . . . (3.96)

Svarbu balno taško aplinkoje išvengti svyravimų, todėl galima surasti tokią integravimotrajektoriją, jog pagal realią koordinatę balno taške būtų pasiektas maksimumas, o menamojidalis būtų nekintanti: Im [wq(z)] = const. Tada esant |w| → ∞ pointegralinė funkcija turėsaštrų maksimumą. Pažymėję q(z) = q(z0)− s2 integruojame pagal realų kintamąjį:

I(w) =

∞

−∞

f(z)ew(q(z0)−s2) dz

dsds = f(z0)ewq(z0) dz

ds

∣∣∣∣ s=0z=z0

∞

−∞

e−ws2

ds (3.97)

= f(z0)ewq(z0) dz

ds

∣∣∣∣ s=0z=z0

√π

w.

Skaičiuojame dzds :

dq(z)

ds=

dq(z)

dz· dz

ds= −2s =⇒ dz

ds=−2s

q′(z). (3.98)

Ribai skaičiuoti naudojame de l’Hopitalio taisyklę:Guillaume de l’Hopital(1661–1704) Prancūzų

matematikas.lims→0z→z0

dz

ds= lim

s→0z→z0

dds (−2s)dds (q′(z))

=−2

q′′(z0) dzds

∣∣s=0z=z0

, (3.99)

iš kurios gaunamedz

ds

∣∣∣∣ s=0z=z+0

=

√−2

q′′(z0)

ir

I(w) ∼ f(z0)ewq(z0)

√−2π

wq′′(z0)(3.100)

3.8.1 Stirlingo formulė

Rasime kompleksinės gama funkcijosJames Stirling (1692–1770)Škotų matematikas.

Γ(z + 1) =

∞

0

e−ttzdt (3.101)

asimptotinę vertę. Jei jos argumentas yra natūralus skaičius n∈ N, ji lygi jo faktorialui,

Γ(n+ 1) = n! (3.102)

Suvedame integralo išraišką į lygties (3.92) formą:

Γ(z + 1) =

∞

0

e−ttzdt = [t⇒ tz] =

∞

0

e−tztzzzzdt = zz+1

∞

0

e−tztzdt = zz+1

∞

0

ez(ln t−t)dt.

3.8 Integralo asimptotinė vertė 51

Čia q(t) = ln t− t. q(t) turi maksimumą taške t0 = 1, tad

q′′(t0) = −1, q(t0) = −1 (3.103)

Taigi,

Γ(z + 1) ∼ zz+1e−z√

2π

z. (3.104)

Natūraliam skaičiui n, gaunama Stirlingo formulė

n! ≈√

2πn(n

e

)n(3.105)

Žinoma, ji gerai tinka kai n – didelis (žr. lentelę).

2 lentelė Stirlingo formulės rezultato (dviejų ženklų po kablelio tikslumu) palyginimas su tikslian! reikšme. Esant n ≥ 9, paklaida yra mažesnė už 1%.

n: 1 2 3 4 5 6 7 8 9n!: 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880√

2πn(ne

)n: 0.92 1.92 5.84 23.51 118.02 710.08 4980.40 39902.40 359536.87paklaida (proc.): 7.78 4.05 2.73 2.06 1.65 1.37 1.18 1.04 0.92

Šaltiniai1. J. H. Heinbockel. Introduction to Complex Variables (Trafford Publishing, Blooming-

ton, USA, 2007), p. 253–256

2. S. Y. Buhman. Analytical Methods for Integrals and Differential Equations (lecturenotes)http://qols.ph.ic.ac.uk/∼sbuhmann/docs/lectures/AnalyticalMethods1.pdf

http://qols.ph.ic.ac.uk/~sbuhmann/docs/lectures/AnalyticalMethods1.pdf

53

4 | Integralinės transformacijos

4.1 Fourier transformacija

ApibrėžimasIntegralinė transformacija. Integralas f (k) =

b

a

K (x, k) f (x) dx vadinamas funkcijos f(x) inte-

graline transformacija. K (x, k) yra transformacijos branduolys.

Funkcija f (x) turi egzistuoti intervale (a, b). Be to, f (x) intervale (a, b) tenkina skleidi-nio Fourier eilute sąlygas:

f (x) =a0

2+

∞∑

n=1

(an cos

nπ

lx+ bn sin

nπ

lx), (4.1)

kur an,bn - funkcijos f (x) Fourier koeficientai, kur n = 0, 1, ...:

an =1

l

l

−l

f (τ) cosnπτ

ldτ, (4.2)

bn =1

l

l

−l

f (τ) sinnπτ

ldτ (4.3)

Taip pat, jei f (x) yra reali ir tenkina visas aukštosios matematikos sąlygas, tai Fouriertransformacija (Fourier vaizdas) yra

f (k) =1√2π

+∞ˆ

−∞

e−ikxf (x) dx. (4.4)

Originalas yra

f (x) =1√2π

+∞ˆ

−∞

eikxf (k) dk. (4.5)

Ar galima iš vaizdo gauti originalą?

f (x) =

+∞ˆ

−∞

1√2π

e−ikx

1√2π

+∞ˆ

−∞

eikx1f (x1) dx1

dk (4.6)

=

+∞ˆ

−∞

f (x1) dx1

1

2π

+∞ˆ

−∞

eik(x1−x)dk

=

+∞ˆ

−∞

f (x1) δ (x1 − x ) dx1 = f (x) .

Čia pasinaudojome, jog δ (x1 − x ) yra delta funkcija (žr. 3.7.2 skyrių)

δ (x1 − x ) =1

2π

+∞ˆ

−∞

eik(x1−x)dk . (4.7)

Kiti Fourier transformacijos variantai

• Fourier vaizdas f (k) =´ +∞−∞ eikxf (x) dx, originalas f (x) =

1

2π

´ +∞−∞ e−ikxf (k) dk;

• Fourier kosinusinė transformacija. Fourier vaizdas fc (k) =

√2

π

´ +∞0

f (x) cos kxdx,

originalas f (x) =

√2

π

´ +∞0

f c (k) cos kxdx;

54 4 INTEGRALINĖS TRANSFORMACIJOS

k

y

y = |f(k)|2

27 pav. Kondensatoriaus išsikrovimo per varžą krūvio laikinės priklausomybės Fourier vaizdomodulio kvadratas.

• Fourier sinusinė transformacija. Fourier vaizdas fs (k) =

√2

π

´ +∞0

f (x) sin kxdx,

originalas f(x) =

√2

π

´ +∞0

fs (k) sin kxdx.

Spektrinė funkcija:

s (k) =

+∞ˆ

−∞

eikxf (x) dx. (4.8)

Amplitudinis spektras:

A (k) = |s (k)| =

√√√√√

+∞ˆ

−∞

f (x) cos kxdx

2

+

+∞ˆ

−∞

f (x) sin kxdx

2

. (4.9)

Fazinis spektras:

Φ (k) = − arg s (k) . (4.10)

4.1.1 Pavyzdys: kondensatoriaus išsikrovimas per varžą

Funkcija laiko srityje

f (t) =

{e−αt , t > 0;

0, t < 0.(α > 0) . (4.11)

Jos Fourier vaizdas

f (k) =1√2π

+∞ˆ

−∞

eikte−αtdt =1√2π

+∞ˆ

−∞

et(ik−α)dt =1√2π

1

α− ik, (4.12)

amplitudė (Pav. 27)

|f (k)|2 =1

2π

1

α2 + k2. (4.13)

4.1.2 Fourier integralas kompleksinėje plokštumoje

Apibendrintas Fourier integralas. Argumentas gali būti kompleksinis, kintamasis Fouriervaizde – taip pat. Pažymime kompleksinį argumentą

z = x+ iy (4.14)

ir integralinės tranformacijos argumentą

k = σ + iτ. (4.15)

4.1 Fourier transformacija 55

x

y

y = y+

y = y−

f(z) – analizine

z

28 pav. Funkcijos f(z) analiziškumo juosta.

Tarkime, kompleksinė funkcija f(z) yra analizinė arti realios ašies (f(x) yra analizinė).Įvedame analiziškumo juostą y− < y < y+ (Pav. 28).

TeoremaJei tam tikroje srityje integralinės tranformacijos vaizdui galioja

|f(k)| ≤{Aeτ−x, kaix→ +∞, τ− < 0

Beτ+x, kaix→ −∞, τ+ > 0,(4.16)

tai funkcija f(k) bus analizinė juostoje τ− < τ < τ+.

Įrodymas Ant realios ašies

|f(k)| = 1√2π

+∞ˆ

−∞

∣∣∣ei(σ+iτ)x∣∣∣ · |f (x)| dx =

1√2π

+∞ˆ

−∞

∣∣∣eiσx∣∣∣︸︷︷︸

=1

e−τx |f (x)| dx. (4.17)

Pažymėję |f(x)| = Aeτ−x, gauname sąlygą riboje x→ +∞:

e−τxeτ−x < 1 =⇒ τ− < τ. (4.18)

Riboje x→ −∞ pažymėję |f(x)| = Beτ+x, gauname sąlygą

e−τxeτ+x < 1 =⇒ τ < τ+. (4.19)

Fourier integralas konverguoja ir f(k) yra analizinė arti −∞ ir +∞ (Pav. 29). Kitur

|f(k)| = 1√2π

+∞ˆ

−∞

∣∣∣ei(σ+iτ)(x+iy)∣∣∣ · |f (x+ iy)| dz =

1√2π

+∞ˆ

−∞

∣∣∣ei(σx−τy)∣∣∣︸︷︷︸

=1

e−τxe−σy |f (z)| dz

(4.20)

Sutrumpiname integravimo kelią į tiesę (dz → dx):

|f(k)| ≤ e−σy√2π

+∞ˆ

−∞

e−τx |f (z)| dx = const. · e−σy. (4.21)

• kai σ → +∞, |f(k)| ≤ const. · e−σy+ ,• kai σ → −∞, |f(k)| ≤ const. · e−σy− .

N

Begalybėje neapibrėžtos funkcijos integravimas Begalybėje neapibrėžta funkcija,pavyzdžiui, gali būti periodinė funkcija. Funkcija ex bus neapibrėžta x → ∞, sinx busneapibrėžta kai x→ ±∞.

Neapibrėžtumas x → ∞. Jeigu funkccijos f(x) integralas x → ∞ neegzistuoja, inte-gravime įvedama pagalbinė greitai mažėjanti funkcija e−τ0x, kur τ0 toks, kad garantuotų


σ

τ

τ = τ+

τ = τ−

f(k) – analizine

k

29 pav. Funkcijos f(k) analiziškumo juosta.

σ

τ

τ = τ0f(k) – analizine

k1

30 pav. Funkcijos f(k) analiziškumo sritis.

integralo konvergavimą x → ∞. Naujos funkcijos g(x) = f(x) · e−τ0x atvirkštinė Fouriertranformacija

g(x) =1√2π

+∞ˆ

−∞

e−ikxg(k)dk. (4.22)

Funkcija f(x) tada

f(x) = eτ0x1√2π

+∞ˆ

−∞

e−ikxg(k). (4.23)

Pažymėję k1 ≡ iτ0 + k, gauname

f(x) =1√2π

+∞+iτ0ˆ

−∞+iτ0

e−ik1xg(k1 − iτ0)dk1 (4.24)

ir integruojame pagal kintamąjį, kuris yra pastumtas per menamą dydį. Fourier vaizdai

g(k) =1√2π

+∞ˆ

−∞

eikxf(x)e−τ0xdx, (4.25)

g(k1 − iτ0) =1√2π

+∞ˆ

−∞

eik1τf(x)dx = f(k1). (4.26)

Įstatome atgal į lygtį (4.24),

f(x) =1√2π

+∞+iτ0ˆ

−∞+iτ0

e−ikxf(k)dk (4.27)

Matome, jog g(k1 − iτ0) yra reiškiamas taip pat, kaip f(k), turintis menamą priedą tam,kad konverguotų begalybėje (τ ≥ τ0 > 0), (Pav. 30).

4.1 Fourier transformacija 57

Neapibrėžtumas x→ −∞. Jeigu f(x) yra neapibrėžta, kai x→ −∞, įvedamas priedasτ1 (τ ≤ τ1 < 0), kurio pagalba integralas egzistuoja. Tada

g(x) =1√2π

+∞ˆ

−∞

e−ikxe−τ1xf(k)dk (4.28)

ir, analogiškai kaip x→∞ atveju,

f(x) =1√2π

+∞+iτ1ˆ

−∞+iτ1

e−ikxf(k)dk. (4.29)

Čia priedas τ ≤ τ1 < 0 garantuoja konvergavimą begalybėje.

Neapibrėžtumas x → ±∞. Tarkime, integralas neapibrėžtas nei x → ∞, nei x → +∞.Įvedamos funkcijos

f+(x) =

{f(x), x ≥ 0

0, x < 0(4.30)

ir

f−(x) =

{0, x ≥ 0

f(x), x < 0. (4.31)

Jų Fourier vaizdai

f+(k) =1√2π

+∞ˆ

0

eikxf+(x)dx, (4.32)

kur k = σ + iτ1, τ1 ≥ τ0 > 0, todėl integralas konverguos.

f−(k) =1√2π

0ˆ

−∞

eikxf−(x)dx. (4.33)

Pasinaudojus prieš tai gautomis išraiškomis (4.27) ir (4.29), atstatome f±(x) originalus:

f+(x) =1√2π

+∞+iτ0ˆ

−∞+iτ0

e−ikxf+(k)dk, (4.34)

f−(x) =1√2π

+∞+iτ1ˆ

−∞+iτ1

e−ikxf−(k)dk. (4.35)

Gautas išraiškas sudėjus, gausime funkciją f(x). Atstatinėjant originalą reikia turėti ome-nyje, jog integravimo srityje gali būti ypatingųjų taškų.

Uždavinys 9. Suskaičiuoti funkcijos

f(x) = e|x| (4.36)

Fourier atvaizdą.

Funkcija e|x| yra neapibrėžta tiek x→∞, tiek x→ −∞. Įvedame funkcijas

f+(x) =

{ex, x ≥ 0

0, x < 0(4.37)

ir

f−(x) =

{0, x ≥ 0

e−x, x < 0. (4.38)


σ

τ

τ = τ0 = 1f+(k) – analizine

k

×

τ = τ1 = −1f−(k) – analizine

×

31 pav. Funkcijos f(x) = e|x| Fourier atvaizdo analiziškumo sritys, poliai pažymėti ”×“.

Skaičiuojame f+(x) atvaizdą:

f+(k) =1√2π

∞

0

eikxf+(x)dx =1√2π

∞

0

e(ik+1)xdx =1√2π

e(ik+1)x

ik + 1

∣∣∣∣∞0

= (4.39)

=

e(ik+1)x = eiσx︸︷︷︸=1

e−(τ−1)x

= − 1√2π

1

ik + 1=

i√2π

1

k − i, τ ≥ τ0 > 1

ir f−(x) vaizdą:

f−(k) =1√2π

0ˆ

−∞

eikxf−(x)dx =1√2π

0ˆ

−∞

e(ik−1)xdx =1√2π

e(ik−1)x

ik − 1

∣∣∣∣0−∞

= (4.40)

=

e(ik−1)x = eiσx︸︷︷︸=1

e−(τ+1)x

=1√2π

1

ik − 1=−i√2π

1

k + i, τ ≤ τ1 < −1.

Patikriname. Turime omeny, jog f+(k) turi polių taške k = i (jį reikia apeiti iš apačios) of−(k) – taške k = −i (reikia apeiti iš viršaus).

f+(x) =1√2π

+∞+iτ0ˆ

−∞+iτ0

e−ikxf+(k)dk =i

2π

+∞+iτ0ˆ

−∞+iτ0

e−ikx

k − idk =

i

2π· (−2πi) · e−i·i·x = ex. (4.41)

Narys −2πi iš reziduumų teorijos yra neigiamas, nes polius buvo apeitas prieš laikrodžio rodyklę.Skaičiuojant f−(x), polius apienamas pagal laikrodžio rodyklę (Pav. 31).

f−(x) =1√2π

+∞+iτ1ˆ

−∞+iτ1

e−ikxf−(k)dk =−i

2π

+∞+iτ1ˆ

−∞+iτ1

e−ikx

k + idk =

−i

2π· (2πi)e−i·(−i)·x = e−x. (4.42)

N

4.1.3 Dviejų funkcijų sąsūka

ApibrėžimasDviejų funkcijų f1 (x) ir f2 (x) sąsūka vadinama funkcija

f (x) =1√2π

+∞ˆ

−∞

f1 (x) f2

(x− x′

)dx′. (4.43)

Skaičiuojame sąsūkos Fourier vaizdą:

4.2 Laplace’o transformacija 59

f (x) =1√2π

+∞ˆ

−∞

e−ikxf (k) dk (4.44)

=1√2π

+∞ˆ

−∞

dx′1√2π

+∞ˆ

−∞

e−ik1xf1 (k1) dk11√2π

+∞ˆ

−∞

e−ik2(x−x ′)f2 (k2) dk2. (4.45)

Pakeičiame integravimo tvarką:

f (x) =1√2π

+∞ˆ

−∞

f1 (k1) dk1

+∞ˆ

−∞

e−ik2xf2 (k2) dk21

2π

+∞ˆ

−∞

e−i(k2−k1)x′dx′ (4.46)

=1√2π

+∞ˆ

−∞

f1 (k1) dk1

+∞ˆ

−∞

e−ik2xf2 (k2) dk2δ (k2 − k1) =1√2π

+∞ˆ

−∞

e−ik1xf1 (k1) f2 (k1) dk1

(4.47)

Gavome sąsūkos vaizdą. Be to, palyginę gautąjį rezultatą su apibrėžimu (4.44), gaunamefunkcijų f1(x), f2(x) ir f(x) Fourier vaizdų sąryšį

f (k) = f1 (k) · f2 (k) . (4.48)

Ši savybė yra labai svarbi. Norint gauti dviejų funkcijų sąsūką, nebūtina skaičiuoti integ-ralą (4.43). Galima suskaičiuoti funkcijų f1(x) ir f2(x) Fourier vaizdus, juos sudauginti beiatstatyti originalą f(x). Ta pati savybė, tik ”iš kitos pusės“, labai dažnai naudojama signalųfiltravime. Mes turime kažkokį laikinį signalą f1(t), iš kurio spektro f1(ω) reikia pašalintitam tikrus dažnius. Vadinasi, reikia f1(ω) padauginti iš duoto filtro branduolio f2(ω) beiatstatyti sandaugos f(ω) = f1(ω) · f2(ω) originalą f(t). Matome, jog f(t) bus signalo f1(t)(signalo) ir filtro branduolio originalo f2(t) sąsūka. Taigi, belieka atstatyti filtro branduoliooriginalą ir skaičiuoti sąsūkos integralą f(t) =

´ +∞−∞ f1(t)f2(t− t′)dt′.

Rekomenduojami šaltiniai

1. G. B. Arfken, H. J. Weber. Mathematical Methods for Physicists. 5th Ed. (AcademicPress, San Diego, USA, 2001), p. 905–928.

2. R. Snieder. A Guided Tour of Mathematical Physics. (Samizdat Press,http://samizdat.mines.edu/snieder/, 1994) p. 129–138.

4.2 Laplace’o transformacijaLaplace’o transformacija yra integralinė transformacija su branduoliu K(x, p) = e−px (žr.apibrėžimą 4.1 skyriuje)

f(p) =

∞

0

e−pxf(x)dx. (4.49)

Čia p – kompleksinis k, f(p) – Laplace’o vaizdas. Kai p → ∞ , f(p) → 0, jei f(x) auga ne

greičiau nei eksponentė. Nuo Fourier skiriasi režiais (∞

0

). Naudinga aprašant pereinamuosius

vyksmus, kai t > 0. Konverguoja, kai Rep > 0, vaizdas – analizinė funkcija. Tarkime, turimelaiko funkciją, apibrėžtą tik teigiamuose laikuose

f(t)|t<0 = 0. (4.50)

Tada Fourier ir Laplace’o transformacijų sąryšį galime parodyti atlikdami funkcijos

ft(x) =

{f(x), x ≥ 0

0, x < 0(4.51)

http://samizdat.mines.edu/snieder/


transformaciją. Funkcijos Fourier vaizdas yra

Ft(k) =1√2π

∞

−∞

eikxft(x)dx =1√2π

∞

0

eikxft(x)dx. (4.52)

Tada, pažymėję k ≡ ip, gauname

Ft(ip) =1√2π

∞

0

e−pxft(x)dx =1√2πf(p). (4.53)

Taigi, sąryšis tarp funkcijų, apibrėžtų teigiamoje kintamojo srityje, Laplace’o ir Fouriertransformacijos sąryšis yra

f(p) =√

2πFt(k) (4.54)

4.2.1 Riemanno–Mellino formulė

Fourier atvirkštinė transformacija Laplace’o transformacijai gauti:Hjalmar Mellin (1854–1933)Suomių matematikas.

ft(x) =1√2π

+∞+iτ0ˆ

−∞+iτ0

e−ikxFt(k)dk =

{k = σ + iτ, τ > τ0k = ip, p = −ik

}(4.55)

=1√2π

+∞+iτ0ˆ

−∞+iτ0

eikx 1√2πf(p)idp =

1

2πi

+∞+iτ0ˆ

−∞+iτ0

epxf(p)dp = f(x) (4.56)

f(x) =1

2πi

+∞+iτ0ˆ

−∞+iτ0

epxf(p)dp (4.57)

4.2.2 Kai kurių funkcijų Laplace’o vaizdai

1. Heaviside’o funkcija

σ(x) =

{1, x ≥ 0

0, x < 0(4.58)

σ(p) =

∞

0

e−pxdx = −1

pe−px|x=∞

x=0 =1

p, p > 0 (4.59)

Laplace’o transformacija žymima L [σ(x)] = 1p arba σ(x)→ 1

p arba σ(x) + 1p . Atvikrš-

tinė – L−1[

1p

]= σ(x), σ(x)← 1

p .

2. Eksponentiškai kintanti funkcijaf(x) = eλx (4.60)

f(p) =

∞

0

e−pxeλxdx =1

λ− pe−x(−λ+p)|x=∞

x=0 =1

p− λ (4.61)

ReRe(p− λ) > 0, Rep >Reλ, f(p) analizinė išskyrus p = λ.

3. Funkcijos išvestinėψ(x) =

df

dx(4.62)

ψ(p) =

∞

0

e−pxψ(x)dx =

∞

0

e−pxdf

dxdx (4.63)

= e−pxf(x)|x=∞x=0 + p

∞

0

e−pxf(x)dx = −f(0) + pf(p)


df(x)

dx→pf(p)− f(0). (4.64)

Tai labai naudinga savybė, nes diferenciavimą galima pakeisti daugyba.

L{

df

dx

}= pf(p)− f(0) (4.65)

L{

d2f

dx2

}= L

{d

dxf′x(x)

}= pL

{f′(x)}− f ′x(0) = p2f(p)− pf(0)− f ′x(0) (4.66)

...

L{

dnf

dxn

}= pnf(p)− pn−1f(0)− pn−2f

′(0)− ...−+fn−1

x (0) (4.67)

4. Funkcijos integralas

ψ(x) =

xˆ

0

f(y)dy (4.68)

dψ(x)

dx→pψ(p)− ψ(0), ψ(0) = 0 (4.69)

f(x)→pψ(p) = f(p) (4.70)

ψ(p) =1

pf(p), ψ(p)→1

pf(p) (4.71)

x

0

f(y)dy→1

pf(p) (4.72)

Integravimą galime pakeisti į daugybą.

4.2.3 Vėlavimo teorema

Tarkime, jog nuo laiko priklausanti funkciją f(t) yra apibrėžta tik teigiamoje laiko srityje.Apibrėžkime laike intervalu τ > 0 paslinktą funkciją

fτ (t) =

{0, t < τ,

f(t− τ), t ≥ τ, (4.73)

kaip parodyta 32a pav. Paskaičiuosime šios funkcijos Laplace’o vaizdą fτ (p). Pagal (4.49) for-mulę, Laplace’o vaizdas

fτ (p) =

∞

τ

e−ptf(t− τ)dt = [t− τ = t1] =

∞

0

e−p(t1+τ)f(t1)dt1 (4.74)

= e−pτ∞

0

e−pt1f(t1)dt1 = e−pτf(p).

Gauname, jog vėluojančios funkcijos Laplace’o vaizdas lygus funkcijos f(t) Laplace’o vaizdui,padaugintam iš eksponentės e−pτ . Tai yra vadinama laiko poslinkio (vėlavimo) teorema.

Vėlavimo teoremaVėluojančios (laike pastumtos) funkcijos Laplace’o vaizdas lygus funkcijos f(t) Laplace’o vaizdui,padaugintam iš eksponentės e−pτ :

f(t− τ)→e−pτf(p). (4.75)

Analogiškai galima apibrėžti ir dažnio poslinkio teoremą:


t

y

τ

y = f(t)

0

y = fτ (t)

t

y

T

y = f(t)

0 2T−T

(a) (b)

32 pav. (a) Dvi laike pastumtos funkcijos f(t) ir fτ (t). (b) Periodinė funkcija f(t) su pasikar-tojimo intervalu T .

Dažnio poslinkio teoremaPastumto dažnio Laplace’o vaizdo originalas yra laikinė funkcija, padauginta iš eksponentės e−pt:

f(p+ α)←e−αtf(t) (4.76)

4.2.4 Periodinės funkcijos Laplace’o vaizdas

ApibrėžimasPeriodinė funkcija tai tokia funkcija f(t), kuri atsikartoja reguliariais argumento T intervalais.

Arba, ∃T > 0, kad f(t+ T ) = f(t) (32b pav.).

Suskaičiuosime periodinės funkcijos Laplace’o vaizdą. Bet prieš tai, patogumo dėlei,apsibrėžkime funkciją ψ(t), kuri yra vienas funkcijos f(t) periodas,

ψ(t) =

{f(t), 0 ≤ t ≤ T0, t > T

(4.77)

ir kurios Laplace’o vaizdas yra ψ(p). Tada galime užrašyti

f(p) =

∞

0

e−ptf(t)dt =

T

0

e−ptf(t)dt+

∞

T

e−ptf(t)dt (4.78)

=

T

0

e−ptψ(t)dt+

∞

T

e−ptf(t)dt = ψ(p) +

∞

T

e−ptf(t)dt.

Likusiame integrale įvesime naują integravimo kintamąjį t1 ≡ t − T . Tokiam integravi-mo kintamajam apatinis integravimo rėžis sumažės periodu T , o viršutinis – begalybė –nepasikeis. Galėsime pasinaudi vėlavimo teorema ((4.75) lygtimi):

f(p) =

[t1 ≡ t− Tdt = dt1

]= ψ(p) +

∞

0

e−p(t1+T )f(t1 + T )︸︷︷︸=f(t1)

dt1 = ψ(p) + e−pT f(p). (4.79)

Iš čia gauname, jog periodinės funkcijos f(t) Laplace’o vaizdas yra

f(p) =ψ(p)

1− e−pT . (4.80)


x

x′

0

g(x, x′)

∫∞0

dx∫ x

0dx′g(x, x′)

∫∞0

dx′ ∫∞x′ dxg(x, x′)

x′ =

x

33 pav. Du būdai suintegruoti dviejų kintamųjų funkciją trikampiu.

4.2.5 Dviejų funkcijų sąsūka

Panagrinėsime dviejų funkcijų f1(x) ir f2(x), kurios yra apibrėžtos tik teigiamoje savoargumentų srityje, sąsūką f(x):

f(x) =

xˆ

0

f1(x′)f2(x− x′)dx′, (4.81)

kuri nuo 4.1.3 skyriuje apibrėžtos (4.43) lygties skiriasi rėžiais dėl to, kad

f1(x′) = 0, kaix′ < 0 (4.82)

irf2(x− x′) = 0, kaix′ < x. (4.83)

Skaičiuodami sąsūkos Laplace’o vaizdą keičiame integravimo tvarką, kaip parodyta pav. 33:

f(p) =

∞

0

dx

xˆ

0

dx′e−pxf1(x′)f2(x− x′) (4.84)

=

∞

0

dx′∞

x′

dxe−pxf2(x− x′) =

∞

0

e−px′f1(x′)dx′

∞

x′

e−p(x−x′)f2(x− x′)dx

= [x1 ≡ x− x′] =

∞

0

e−px′f1(x′)dx′

∞

0

e−px1f2(x1)dx1 = f1(p) · f2(p).

Gautoji išraiškaf(p) = f1(p) · f2(p) (4.85)

yra analogiška sąsūkos vaizdo lygčiai (4.48) Fourier transformacijoje.Galima parodyti, jog sąsūkos operacija yra komutatyvi:

∞

0

f1(x′)f2(x− x′)dx′ =

[x− x′ = ξdx′ = −dξ

]= −

xˆ

0

f1(x− ξ)f2(ξ)dξ (4.86)

=

xˆ

0

f1(x− ξ)f2(ξ)dξ

4.2.6 Laplace’o vaizdo integravimas ir diferenciavimas

Skaičiuojame funkcijos f(x) Laplace’o vaizdo f(p) išvestinę pagal kintamąjį p:

d

dpf(p) =

d

dp

∞

0

e−pxf(x)dx = −f(p) =

∞

0

e−pxxf(x)dx. (4.87)


Gauname, jog Laplace’o vaizdo išvestinės originalas yra funkcija, padauginta iš jos argu-mento su minuso ženklu:

xf(x)→ − d

dpf(p). (4.88)

Skaičiuodami n-tos eilės Laplace’o vaizdo išvestinę gautume bendrą formulę

xnf(x)→(− d

dp

)nf(p). (4.89)

Šis sąryšis bus naudingas uždaviniuose, kuriuose argumento daugybą iš funkcijos išmintin-ga pakeisti diferencijavimu, atliekant reiškinių Laplace’o transformaciją. Tai pritaikysimespręsdami stygos svyravimo lygtį (5.1.1) skyriuje.

Suskaičiuokime Laplace’o vaizdo integralą pagal rėžiuose nuo p iki ∞:∞

p

f(p1)dp1 =

∞

0

f(x)dx

∞

p

e−p1xdp1 =

∞

0

f(x)dx

(− 1

x

)e−p1x

∣∣p1=∞p1=p

. (4.90)

=

∞

0

e−pxf(x)

xdx.

Gauname, jog Laplace’o vaizdo integralo originalas yra funkcija, padalinta iš jos argumento:

f(x)

x→∞

p

f(p1)dp1. (4.91)

65

5 | Elementariųjų fizikinių vyksmų dife-rencialinės lygtys

5.1 Stygos svyravimo lygtisStyga – tai tamprus siūlas, ištemtas tarp dviejų įtvirtintų taškų (Pav. 34a). Siūlo formąaprašo nuo laiko ir koordinatės priklausanti funkcija y(x, t), o jos masę – ilginio siūlo masėstankio konstanta ρ (styga yra homogeniška). Mūsų tikslas – gauti diferencialinę lygtį, kuriossprendinys būtų stygos funkcija y(x, t). Naudojame kelias aproksimacijas

• Siūlą laikome absoliučiai lanksčiu, t. y., nepaisome jo storio. Todėl jį veikiančiosįtempimo jėgos yra nukreiptos funkcijos y(x, t) liestinės kryptimi kiekviename jos taške.Taigi, įtempimo jėgos, norinčios grąžinti stygą į pusiausvyros padėtį, atsiranda dėlstygos ilgio, o ne formos, kitimo.

• Stygos atsilenkimai nuo pusiausvyros padėties yra maži.

• Stygos judėjimas yra tik vertikalia kryptimi.

Nagrinėjame mažą stygos elementą ∆x. Jį veikiančios jėgos yra (Pav. 34b):

• įtempimo jėga į dešinę pusę, jėgos vektoriaus ilgis yra T (x + ∆x, t), vektorius sudarokampą α(x+ ∆x, t) su x ašimi.

• įtempimo jėga į kairę pusę, jėgos vektoriaus ilgis yra T (x, t), vektorius sudaro kampąα(x, t) su x ašimi, ir, galbūt,

• kitos išorinės jėgos, pavyzdžiui, gravitacijos jėga. Tarsime, jog išorinės jėgos yra verti-kalios ir nukreiptos žemyn ir stygos elementą žemyn veikianti jėgos dedamoji yra lygif(x, t)∆x.

x

y(x, t)

A B

f(x, t)

dx

y

xx x + ∆x

y

T (x, t)

T (x+∆x, t)

α

αy

y + ∆y

α

(a) (b)

34 pav. (a) Stygos, įtvirtintos tarp taškų A ir B, forma aprašoma lygtimi y(x, t). Stygą vienakryptimi veikia išorinė jėga, aprašoma funkcija f(x, t). (b) Stygos ilgio elementas dx bei jįveikiančios įtempimo jėgos.

Vertikaliai judėjimo komponentei turime užrašyti Newtono lygtį ilgio elementui: Isaac Newton (1642–1727)Anglų fizikas ir matematikas.

m∂2

∂t2y(x, t) = T (x, t) sinα(x, t)− T (x+ ∆x, t) sinα(x+ ∆x, t) + f(x, t)∆x. (5.1)

Kaip buvo susitarta pradžioje, nagrinėjame mažus stygos atsilenkimus, α(x, t)� 1. Galimesupaprastinti sinα(x, t) išraišką kai kampas – mažas:

sinα(x, t) =tanα(x, t)√

1 + tan2 α(x, t)≈ tanα(x, t), (5.2)

o kampo α tangentas yra funkcijos y(x, t) išvestinė tame taške, tanα(x, t) = ∂y(x,t)∂x . Tada

m∂2

∂t2y(x, t) = T (x+ ∆x, t)

∂y(x+ ∆x, t)

∂x− T (x, t)

∂y(x, t)

∂x+ f(x, t)∆x. (5.3)

66 5 FIZIKINIŲ VYKSMŲ LYGTYS

Įstatome stygos elemento masės išraišką m = ρ√

(∆x)2 + (∆y)2, padaliname abi lygtiespuses iš ilgio elemento ∆x bei skaičiuojame ribą, kai ∆x→ 0,

ρ lim∆x→0

√1 +

(∆y)2

(∆x)2

∂2

∂t2y(x, t) = lim

∆x→0

[T (x+ ∆x, t)∂y(x+∆x,t)

∂x − T (x, t)∂y(x,t)∂x

∆x

]+ f(x, t).

(5.4)

Kairėje esantis reiškinys lim∆x→0

√1 + (∆y)2

(∆x)2 yra lygus

√1 +

(∂y(x, t)

∂x

)2

=√

1 + tan2 α(x, t) ≈ 1 (5.5)

, o dešinėje esantis pirmas reiškinys yra funkcijos išvestinės pagal x apibrėžimas.

ρ∂2

∂t2y(x, t) =

∂

∂x

[T (x, t)

∂y(x, t)

∂x

]+ f(x, t) (5.6)

=∂T (x, t)

∂x

∂y(x, t)

∂x+ T (x, t)

∂2y(x, t)

∂x2+ f(x, t).

Šią lygtį galime dar supaprastinti pasinaudodami prielaida, jog stygos judėjime tėra vertika-lūs svyravimai. Tai reiškia, jog horizontalios tempimo jėgos tūrio elementui kompensuojasi:

T (x+ ∆x, t) cosα(x+ ∆x, t)− T (x, t) cosα(x, t) = 0, (5.7)

arbaT (x+ ∆x, t) = T (x, t). (5.8)

Tai reiškia, jog ∂T (x,t)∂x = 0, ir

ρ∂2

∂t2y(x, t) = T

∂2

∂2xy(x, t) + f(x, y). (5.9)

Tai yra stygos svyravimo (judėjimo) lygtis. Jos dešinėje pusėje – dvi konkuruojančios jėgos(jėgos tankiai ploto vienetui): stygą į pusiausvyros padėtį grąžinanti įtempimo jėga Fy =

T ∂2

∂2xy(x, t) bei išorinė jėga f(x, t). Stygos lygtis dažniausiai yra užrašoma pavidalu beišorinės jėgos,

∂2y

∂t2= c2

∂2y

∂x2, (5.10)

kur c ≡ T/ρ.

5.1.1 Baigtinės stygos svyravimo lygties sprendimas

Stygos svyravimo lygties sprendimui reikia užduoti pradines sąlygas. Jos yra pradinė stygoslygtis (atlenkimo forma) ir pradinis greitis,

{y(x, t = 0) = y0(x),∂y(x,t=0)

∂t = v0(x).(5.11)

Kraštinės sąlygos rodo tai, jog stygos galai yra įtvirtinti,{y(x = 0, t) = 0,y(x = a, t) = 0.

(5.12)

Stygos svyravimo lygtį galime suvesti į paprastąją diferencialinę lygtį panaudodami Lapla-ce’o transformaciją arba kintamųjų atskyrimo metodu (apie jį plačiau – 6.3 skyriuje)

Sprendimas panaudojant Laplace’o transformaciją Pasinaudojame funkcijos išves-tinės Laplace atvaizdo išraiška (4.66),

L{

d2y(x, t)

dt2

}= p2y(x, p)− py(x, 0)− f ′x(x, 0) (5.13)

5.1 Stygos svyravimo lygtis 67

atliekame stygos svyravimo lygties (5.10) abiejų pusių Laplace’o transformaciją

p2y(x, p)− py(x, 0)︸︷︷︸=y0(x)

− ∂

∂xy(x, 0)

︸︷︷︸=v0(x)

= c2∂2

∂x2y(x, p), (5.14)

arba∂2

∂x2y(x, p)− p2

c2y(x, p) = −py0(x)− v0(x).

Išsprendę lygtį stygos lygties Laplace’o atvaizdui, originalą atstatome pasinaudodami Riemanno–Mellino formule (4.57)

y(x, t) =1

2πi

+∞+iτ0ˆ

−∞+iτ0

epty(x, p)dp. (5.15)

Kintamųjų atskyrimo metodas Atskiriame laiko ir koordinatės priklausomybes stygoslygčiai

y(x, t) ≡ X(x) · T (t). (5.16)

Įstatę šią definiciją į stygos svyravimo lygtį (5.10), gauname

X ′′(x)

X(x)=

1

c2T ′′(t)T (t)

. (5.17)

Kadangi kairėje ir dešinėje pusėje yra nuo skirtingų kintamųjų priklausančios išraiškos, josturi būti lygios konstantai, kad būtų tapatybė. Pažymėsime, jog ta konstant lygi −k2, beiišspręsime lygtis atskirai kairei bei dešinei (5.17) sąryšio pusėms.

1. X ′′(x)− k2X(x) = 0 sprendinys yra

X(x) = A sin kx+B cos kx, (5.18)

kuriame kartu su k, A ir B yra nežinomos konstantos, kurias randame iš kraštiniųsąlygų:

y(0, t) = 0 =⇒ X(0) = 0 :B = 0, (5.19)

y(a, t) = 0 =⇒ X(a) = 0 :k =nπ

a. (5.20)

2. T ′′(t)− c2k2T (t) = 0 sprendinys bus

T (t) = C sin ckt+D cos ckt. (5.21)

Kadangi k yra nevienareikšmė, T (t) sprendinys bus suma visų galimų sprendinių suskirtingais kn = nπ

a ,

T (t) =∑

n

Cn sin cknt+Dn cos cknt. (5.22)

Bendrasis stygos lygties sprendinys bus

y(x, t) =

∞∑

n=1

sinπn

ax(Cn sin

cπn

at+Dn cos

cπn

at). (5.23)

Pritaikome pradinę sąlygą stygos formai:

y(x, 0) = y0(x) =

∞∑

n=1

sinπnx

aDn. (5.24)

Iš čia (žr. 10 uždavinį)

Dn =2

a

aˆ

0

y0(x) sinπnx

adx. (5.25)


Pritaikome pradinę sąlygą stygos greičiui:

∂y(x, t = 0)

∂t= v0(x) =

∞∑

n=1

sinπnx

a· Cn

a

cπn. (5.26)

Čia, analogikškai konstantai Dn, gauname

Cn =2

cπn

aˆ

0

v0(x) sinπnx

adx. (5.27)

Taigi, kartu su išraiškomis (5.27) ir (5.25) konstantoms Cn ir Dn, (5.23) lygtis yra baigti-nės stygos svyravimo lygties sprendinys. Sumos narius vadiname svyravimo modomis. Jeikažkurio uždavinio sprendinys turi tik n = 1 sumos narį, sakysime, jog styga skleidžia savopagrindinį toną. Sumos nariai n > 1 vadinami virštoniais.

Sprendinį galima užrašyti ir kiek kitokiu pavidalu,

y(x, t) =

∞∑

n=1

sinπnx

aHn cos (ωnt+ αn) , (5.28)

kuriame ωn = cπna yra svyravimo dažnis, αn – fazė, o Hn – amplitudė.

5.1.2 Stygos svyravimo kinetinė ir potencinė energija

Kinetinė stygos svyravimų energiją galima lengvai užrašyti kaip integralą per atstumą tarpstygos įtvirtinimo taškų a,

K(t) =

aˆ

0

1

2v2(x, t)ρdx =

aˆ

0

1

2ρ

(∂y(x, t)

∂t

)2

dx. (5.29)

Potencinę energiją apspręs jėgos, norinčios grąžinti stygą į pusiausvyros padėtį. Jeigu jėgoskonservatyvios (o jos tokios ir yra jeigu atmetame oro pasipriešinimą), jos yra neigiamaspotencinės energijos gradientas,

~F = −gradV. (5.30)Jėgos veiks stygą tik vertikalia kryptimi, todėl nelygi nuliui bus tik projekcija

Fy = −∂V∂y

. (5.31)

Kadangi potencinė energija nepriklausys nuo laiko ir koordinatės išreikštai (nuo šių para-metrų priklausys neišreikštai per funkciją y(x, t)), dalinę išvestinę galima pakeisti pilna iružrašyti pontencinės energijos diferencialą per

dV = −Fydy. (5.32)

Mes stygą į pusiausvyros padėtį gražinančią jėgą jau radome, tai – (5.9) lygties dešinės pusėspirmasis narys, Fy = T ∂2y(x,t)

∂x2 . Įstatome, bei išskleidžiame diferencialą dy,

dV = −T ∂2y(x, t)

∂x2dy = T

∂2y(x, t)

∂x2

∂y(x, t)

∂xdx

︸︷︷︸=0

+∂y(x, t)

∂tdt

, (5.33)

bei suintegruojame dalimis pagal koordinatę (stygos galuose y′t = 0)

V = −Tdt

aˆ

0

y′′xxy′tdx = −Tdt

y′xy′t|

a0︸︷︷︸

=0

−aˆ

0

y′xy′′xtdx

(5.34)

=T

2dt

aˆ

0

∂

∂t

(∂y(x, t)

∂x

)2

dx =1

2

aˆ

0

(∂y(x, t)

∂x

)2

dx.

Stygos svyravimo kinetinė ir potencinė energija

E =1

2

aˆ

0

ρ

(∂y(x, t)

∂t

)2

dx+1

2

aˆ

0

(∂y(x, t)

∂x

)2

dx. (5.35)

5.2 Difuzijos lygtis ir jos sprendimas 69

5.2 Difuzijos lygtis ir jos sprendimasDifuziją vienoje dimensijoje aprašo diferencialinė lygtis

∂n

∂t= D

∂2n

∂x2, (5.36)

kurioje D yra difuzijos koeficientas, o n = n(x, t) yra tankio funkcija, pavyzdžiui, aprašantidifunduojančių dalelių koncentraciją erdvėje ir laike. Dalelės nei išnyksta, nei atsirandanaujų, tad tankio integralas turi būti pastovus bet kuriuo laiko momentu,

∞

−∞

n(x, t)dx = const. (5.37)

Spręsime difuzijos uždavinį, t.y. ieškosime n(x, t) išraiškos, su pradine sąlyga tankio funkcijalygia Diraco delta funkcijai (žr. 3.7.2 priedą):

n(x, 0) = δ(x). (5.38)

Taikome Laplace’o transformaciją tankiui pagal laiko kintamąjį,

n(x, p) =

∞

0

e−ptn(x, t)dt. (5.39)

Pasinaudodami 4.64 sąryšiu, perrašome difuzijos lygtį,

pn(x, p)− n(x, 0)︸︷︷︸=δ(x)

= D∂2n(x, p)

∂x2. (5.40)

Taikome Fourier transformaciją pagal koordinatę. Pagal lygtį (4.5)

n(x, p) =1√2π

∞

−∞

eikxn(k, p)dk, (5.41)

pagal (3.76) lygtį,

δ(x) =1

2π

ˆ ∞

−∞eikxdk. (5.42)

Antroji (5.41) lygties išvestinė bus

∂2n(x, p)

∂x2=

1√2π

∞

−∞

(∂2

∂x2eikx

)n(k, p)dk = − k2

√2π

∞

−∞

eikxn(k, p)dk. (5.43)

Įstatę (5.41)–(5.43) lygtis į (5.40) gauname

p1√2π

∞

−∞

eikxn(k, p)dk − 1

2π

ˆ ∞

−∞eikxdk = − k

2D√2π

∞

−∞

eikxn(k, p)dk (5.44)

arbapn(k, p)− 1√

2π= −k2Dn(k, p). (5.45)

Iš čia gauname tankio išraišką

n(k, p) =1√2π· 1

p+ k2D. (5.46)

Atstatome Fourier transformacijos originalą:

n(x, p) =1

2πD

∞

−∞

eikx 1pD + k2

dk. (5.47)


pτ

σ

A B

CDD

35 pav. Integravimo kontūras Riemann–Mellin formulėje. Užbrūkšniuotas plotas žymi sritį, kuryra trūkis.

Šis integralas kompleksinėje plokštumoje turi du pirmos eilės polius k = ±i√p/D, nes

p

D+ k2 =

(i√p/D + k

)(−i√p/D + k

). (5.48)

Skaičiuojame kompleksinį integralą viršutine pusplokštume (3.5.3 skyriuje parodyta, jogkompleksinis integralas pusapskritimiu kompleksinėje pusplokštumėje nunyksta ir turimetik integravimą pagal realią ašį) bei panaudojame Cauchy integralinę formulę reziduumuitaške k = i

√p/D:

n(x, p) =1

2πD· 2πi

exp[i · i√p/Dx

]

i√p/D + i

√p/D

=exp

(−√p/Dx

)

2√pD

. (5.49)

Naudosime Riemann–Mellin formulę (4.57) atstatyti Laplace’o originalui panašiai funkcijai

ϕ(t) =1

2πi

ˆ

C

ept1√p

e−a√pdp, (5.50)

kurioje a = x/√D – konstanta t atžvilgiu. Kadangi funkcija nevienareikšmė, integruosime

kontūru, parodytu pav. 35. Integralas apskritimu BCD lygus nuliui:

limBD→0

ˆ

BCD

ept1√p

e−a√pdp =

[p = reiφ

dp = ireiφdφ

]= limr→0

π

−π

epti√reiφ/2dφ = 0. (5.51)

Analogiškai ir integralas didesniuoju apskritimu. Kadangi išilgai realios ašies dp = dreiφ, oφ = ±π, lieka:

ϕ(t) =1

2πi

0·eiπˆ

−∞·eiπere−iπt e−iπ

√re−iπ/2

e−a√re−iπ/2

dr +

−∞·e−iπˆ

0·e−iπ

ereiπt eiπ

√reiπ/2

e−a√reiπ/2dr

(5.52)

=1

2πi

0ˆ

∞

e−rt+ia√r (−i)√

rdr +

∞

0

e−rt−ia√r i√

rdr

=

[r′ =

√r

dr = 2r12 dr′

]

=1

π

−

0ˆ

∞

e−r′2t+iar′dr′ +

∞

0

e−r′2t−iar′dr′

=1

π√t

0ˆ

−∞

e−t(r′− ia

2t )2e−a2

4t d(√tr′) +

∞

0

e−t(r′+ ia

2t )2e−a2

4t d(√tr′)

=

1√πt

e−a2

4t .

Iš čia gauname Difuzijos lygties sprendinį

n(x, t) =ϕ(t)

2√D

=1

2√πDt

e−x2

4Dt . (5.53)

5.2 Difuzijos lygtis ir jos sprendimas 71

n(x,t)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-5 -4 -2 0 2 4 5

n(x, t = 0) = δ(x)

n(x, t = 18D

)

n(x, t = 14D

)

n(x, t = 12D

)

n(x, t = 54D

)

36 pav. Difuzijos lygties sprendinys ((5.53) lygtis) laikuose 4Dt = 0.5, 1, 2 ir 5.

Patikriname normuotumą:∞

−∞

n(x, t)dx =1

2√πDt

√4Dt

∞

−∞

e−x2

4Dt d

(x√4Dt

)=

1√π· √π = 1. (5.54)

Pradinė sąlygan(x, t = 0) = lim

t→0

1

2√πDt

e−x2

4Dt = δ(x). (5.55)

73

6 | Dalinių išvestinių diferencialinės lyg-tys

Antros eilės dalinių išvestinių diferencialinės lygties bendras pavidalas funkcijai ψ(x, y)

A(x, y) · ∂2ψ

∂x2+ 2B(x, y) · ∂

2ψ

∂x∂y+ C(x, y) · ∂

2ψ

∂y2= F

(x, y, ψ,

∂ψ

∂x,∂ψ

∂y

). (6.1)

Jei funkciją F galima užrašyti

F = a+ b(x, y)ψ + c(x, y)∂ψ

∂x+ d(x, y)

∂ψ

∂y, (6.2)

tai (6.1) lygtis yra tiesinė. Jei a 6= 0, tai nehomogeninė. Lygties sprendinys ieškomas tamtikroje srityje S, apribotoje kontūru C (Pav. 37). Kontūras užduodamas parametrinėmis

x

y

C

~n0~τ0

37 pav. Kontūras.

lygtimis {ξ = ξ(s)η = η(s),

(6.3)

kur s – koordinatė ant kontūro. Pagal kraštines sąlygas kontūre, išskiriami keli uždaviniųtipai:

1. Cauchy uždavinys

ψ|C = ψ0 ir∂ψ

∂n

∣∣∣∣C

= N (s), (6.4)

2. Dirichlet uždavinys (6.3.1 skyrius)

ψ|C = ψ0, (6.5)

3. Neumann uždavinys (6.3.2 skyrius)

∂ψ

∂n

∣∣∣∣C

= N (s), (6.6)

4. mišrusis (aψ + b

∂ψ

∂n

)∣∣∣∣C

= ϕ(s). (6.7)

6.1 Charakteristikų metodasSiekiama dalinių išvestinių lygtį paversti paprastąja diferencialine lygtimi.

Tangentinis vektorius ~τ0, |~τ0| = 1,

~τ0 =d~r

|d~r| =d~r

ds= ~x0

dξ

ds+ ~y0

dη

ds. (6.8)

Kadangi koordinačių sistema dešininė (1.1 skyrius),

~x0 × ~z0 = −~y0, ~y0 × ~z0 = ~x0, (6.9)

74 6 DALINIŲ IŠVESTINIŲ DIFERENCIALINĖS LYGTYS

kontūro normalės vektorius

~n0 = ~τ0 × ~z0 =

(~x0

dξ

ds+ ~y0

dη

ds

)× ~z0 = −~y0

dξ

ds+ ~x0

dη

ds, (6.10)

funkcijos išvestinė pagal normalę ant kontūro

∂ψ

∂n

∣∣∣∣C

= ~n0 · gradψ =

(~x0

dη

ds− ~y0

dξ

ds

)·(~x0

∂ψ

∂x

∣∣∣∣C

+ ~y0∂ψ

∂y

∣∣∣∣C

+ ~z0∂ψ

∂z

∣∣∣∣C

)(6.11)

=dη

ds

∂ψ

∂x

∣∣∣∣C

− dξ

ds

∂ψ

∂y

∣∣∣∣C

= N (s).

ψ skleidinys Tayloro eilute artimiems kontūrui taškamsBrook Taylor (1685–1731)Anglų matematikas.

ψ(x, y) = ψ(ξ, η) +∂ψ

∂x

∣∣∣∣C

(x− ξ) +∂ψ

∂y

∣∣∣∣C

(y − η) (6.12)

+1

2

[∂2ψ

∂x2

∣∣∣∣C

(x− ξ)2 +∂2ψ

∂x∂y

∣∣∣∣C

(x− ξ)(y − η) +∂2ψ

∂y2

∣∣∣∣C

(y − η)2

]+ . . .

Diferencijuojame funkciją ant kontūro ψ(x, y) = ψ0(s) kaip sudėtinę funkciją:

dψ0

ds=∂ψ

∂x

∣∣∣∣C

dξ

ds+∂ψ

∂y

∣∣∣∣C

dη

ds. (6.13)

Kartu su (6.11) lygtimi, ši sudaro lygčių sistemą

dηds

∂ψ∂x

∣∣∣C− dξ

ds∂ψ∂y

∣∣∣C

= N (s)

dξds

∂ψ∂x

∣∣∣C

+ dηds

∂ψ∂y

∣∣∣C

= dψ0

ds .(6.14)

Jos koeficientų determinantas∣∣∣∣

dηds −dξ

dsdξds

dηds

∣∣∣∣ =

(dη

ds

)2

+

(dξ

ds

)2

= 1 6= 0, (6.15)

nes |~τ0| =∣∣d~r

ds

∣∣=⇒∣∣d~r

ds

∣∣ =∣∣∣~x0

dξds + ~y0

dηds

∣∣∣ =(

dηds

)2

+(

dξds

)2

= 1. Turime sprendinius

∂ψ∂x

∣∣∣C

= p(s)

∂ψ∂y

∣∣∣C

= q(s).(6.16)

Išdiferencijuojame juos pagal s kaip sudėtines funkcijas. Pridėję lygtį (6.1), gauname lygčiųsistemą

∂2ψ∂x2

∣∣∣C

dξds + ∂2ψ

∂x∂y

∣∣∣C

∂η∂s = dp

ds

∂2ψ∂y∂x

∣∣∣C

dξds + ∂2ψ

∂y2

∣∣∣C

dηds = dq

ds

A(x, y) · ∂2ψ∂x2

∣∣∣C

+2B(x, y) · ∂2ψ∂x∂y

∣∣∣C

+C(x, y) · ∂2ψ∂y2

∣∣∣C

= F(x, y, ψ, ∂ψ∂x ,

∂ψ∂y

).

(6.17)Kadangi mes ieškome tokio kontūro, kuriame dalinės išvestinės atsiskiria, pareikalaujame,jog koeficientų determinantas būtų lygus nuliui:

∣∣∣∣∣∣

dξds

∂η∂s 0

0 dξds

dηds

A 2B C

∣∣∣∣∣∣=

(dξ

ds

)2

C +

(dη

ds

)2

A− 2Bdξ

ds

dη

ds= 0. (6.18)

Ant kontūro gauname lygtį(

dx

ds

)2

C +

(dy

ds

)2

A− 2Bdx

ds

dy

ds= 0, (6.19)

kurią, padauginę iš ds2

dx2 ,gauname dalinių išvestinių lygties charakteristiką, kuri aprašo kreivę,kurioje dalinių išvestinių lygtis tampa paprastąja diferencialine lygtimi:

(A

dy

dx

)2

− 2ABdy

dx+AC = 0. (6.20)

6.2 d’Alembert formulė 75

Išsprendę šią kvadratinė lygtį

Ady

dx=

1

2

[2B ±

√4B2 − 4AC

], (6.21)

Ady =(B ±

√B2 −AC

)dx, (6.22)

gauspime dvi kreivių šeimas su ”+“ ir ”-“ ženklais sprendinyje:

• λ(x, y) = const., kai Ady =(B +

√B2 −AC

)dx,

• µ(x, y) = const., kai Ady =(B −

√B2 −AC

)dx.

Dalinių išvestinių diferencialinių lygčių tipai

• Hiperbolinė (pvz. stygos, membranos), B2 > AC;

• Parabolinė (pvz. šilumos laidumo), B2 = AC;

• Elipsinė (pvz. Laplaso), B2 < AC.

6.2 d’Alembert formulėStygos svyravimo lygtis

1

c2∂2y

∂t2=∂2y

∂x2(6.23)

yra hiperbolinė diferencialinė lygtis. Jos charakteristika pagal lygtį (6.22) (A = 1c2 , B = 0,

C = −1) yra1

c2dx

dt= ±1

c. (6.24)

Sprendžiame:

dx = ±cdt, (6.25)x = ±ct+ const. (6.26)

∓ct+ x = const. (6.27)

Dvi kreivių šeimos (y = y(λ, µ)):{λ(x, t) = −ct+ xµ(x, t) = ct+ x.

(6.28)

Skaičiuojame išvestines:

∂y

∂x=∂y

∂λ

∂λ

∂x︸︷︷︸=1

+∂y

∂µ

∂µ

∂x︸︷︷︸=1

=∂y

∂λ+∂y

∂µ, (6.29)

∂y

∂t=∂y

∂λ

∂λ

∂t︸︷︷︸=−c

+∂y

∂µ

∂µ

∂t︸︷︷︸=ct

= −c ∂y∂λ

+ c∂y

∂µ, (6.30)

∂2y

∂x2=∂2y

∂λ2

∂λ

∂x︸︷︷︸=1

+∂2y

∂µ∂λ

∂λ

∂x︸︷︷︸=1

+∂2y

∂λ∂µ

∂µ

∂x︸︷︷︸=1

+∂2y

∂µ2

∂µ

∂x︸︷︷︸=1

=∂2y

∂λ2+ 2

∂2y

∂λ∂µ+∂2y

∂µ2. (6.31)

∂2y

∂t2= −c ∂

2y

∂λ2

∂λ

∂t︸︷︷︸=−c

+ c∂2y

∂µ∂λ

∂λ

∂t︸︷︷︸=−c

− c ∂2y

∂λ∂µ

∂µ

∂t︸︷︷︸=c

+ c∂2y

∂µ2

∂µ

∂t︸︷︷︸=c

= c2∂2y

∂λ2− 2c2

∂2y

∂λ∂µ+ c2

∂2y

∂µ2.

(6.32)Įstačius (6.31) ir (6.32) į pradinę lygtį (6.23), gauname

∂2y

∂λ2− 2

∂2y

∂λ∂µ+∂2y

∂µ2=∂2y

∂λ2+ 2

∂2y

∂λ∂µ+∂2y

∂µ2, (6.33)

∂2y

∂λ∂µ= 0. (6.34)


Vadinasi, y(λ, µ) = f(λ) + g(µ) =⇒ y(x, y) = f(x− ct) + g(x+ ct), kur f ir g yra nežinomosfunkcijos. Sprendinys f(x − ct) yra tiesioginė banga, judanti greičiu c = dx

dt x didėjimokryptimi. g(x + ct) yra atbulinė banga. Ieškome f ir g sprendinių. Definuojame pradinębangos formą ir greitį: {

y(x, t = 0) = y0(x)∂y(x,t=0)

∂t = v0(x).(6.35)

Pradiniu laiku t = 0,f(x) + g(x) = y0(x) (6.36)

išvestinėms− cdf(x)

dx+ c

dg(x)

dx= v0(x). (6.37)

Pertvarkome,− df(x) + dg(x) =

v0(x)

cdx, (6.38)

− f(x) + g(x) =1

c

xˆ

0

v0(x′)dx′ + C, (6.39)

kur C = const. Sudėję (6.36) ir (6.39), gauname

g(x) =1

2y0(x) +

1

2c

xˆ

0

v0(x′)dx′ +C

2. (6.40)

Atėmę (6.39) iš (6.36),

f(x) =1

2y0(x)− 1

2c

xˆ

0

v0(x′)dx′ − C

2. (6.41)

Sprendinys

y(x, t) =1

2y0(x− ct)− 1

2c

x−ctˆ

0

v0(x′)dx′ +1

2y0(x+ ct) +

1

2c

x+ctˆ

0

v0(x′)dx′ (6.42)

=1

2y0(x− ct) +

1

2y0(x+ ct) +

1

2c

x+ctˆ

x−ct

v0(x′)dx′

yra vadinamas d’Alembert formule. Ją iliustruosime tokiu pavyzdžiu. Tarkime, y0(x) yraJean le Rond d’Alembert(1717–1783) Prancūzų

matematikas, fizikas, filosofas.Gauso funkcija, o pradinis greitis v0(x) = 0. Sprendinys y(x, t) atvaizduotas Pav. 38 įvairiaisparametro t atvejais.

6.3 Kintamųjų atskyrimo (Fourier) metodas6.3.1 Dirichlet uždavinys

ApibrėžimasDirichlet uždavinys tai yra dalinių išvestinių lygties sprendimas, kai yra užduotos kraštinės sąlygosPeter Gustav Lejeune

Dirichlet (1805–1859)Vokiečių matematikas.

sprendiniui ψ tam tikro koordinačių kontūro taškuose.

Mes nagrinėsime dvimatę Laplace’o lygtį

∇2ψ =∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2= 0, (6.43)

o kraštinė sąlyga ieškomam sprendiniui ψ(x, y) |C ant stačiakampio kontūro parodyta Pav. 39.Atkarpose 0–1–2–3 ieškoma funkcia lygi nuliui:

ψ (x = 0, y) = 0, 0 ≤ y ≤ b, (6.44)

ψ (x, y = b) = 0, 0 ≤ x ≤ a, (6.45)

6.3 Kintamųjų atskyrimo (Fourier) metodas 77

x

y

x

y

x

y

x

y

g(x+ ct)g(x+ ct)

g(x+ ct) g(x+ ct)

f(x− ct)f(x− ct)

f(x− ct) f(x− ct)

t = 0 t = c10

t = c2 t = c

38 pav. Sprendinys y(x, t) kai t = 0, c10 , c

2 ir c.

x

yC

a

b1

0

2

3

ϕ(x)

39 pav. Laplace’o lygties kraštinės sąlygos

ψ (x = a, y) = 0, 0 ≤ y ≤ b, (6.46)

o atkarpoje 0–1 ji lygi duotai funkcijai ϕ(x):

ψ (x, y = 0) = ϕ (x) , 0 ≤ x ≤ a.Kintamuosius galime atskirti, nes kontūras sutampa su koordinačių ašimis:

ψ (x, y) ≡ X (x) · Y (y) . (6.47)

Įstatome atgal į Laplace’o lygtį

∇2ψ = X ′′ (x)Y (y) +X (x)Y ′′ (y) = 0 (6.48)

bei padalinę iš sandaugos X (x)Y (y) gauname

X ′′ (x)

X (x)= −Y

′′ (y)

Y (y). (6.49)

Kadangi šioje lygybėje priklausomybės nuo x ir y atsiskiria, galime pareikalauti, jog abi šioslygybės pusės būtų susietos per atskyrimo konstantą k:

X ′′ (x)

X (x)= −Y

′′ (y)

Y (y)= −k2. (6.50)

Tada lygtis funkcijai X (x) yra

X ′′ (x) +X (x) k2 = 0.


Tokios antros eilės diferencialinės lygtys yra sprendžiamos ieškant sprendinio kaip komplek-sinės eksponentės funkcijos

X (x) ≡ eiαx. (6.51)

Įstačius šią išraišką, gauname charakteristinę lygtį

α2 − k2 = 0,

kurios sprendiniai yraα = ±k.

Kadangi sprendiniai yra du, X (x) sprendinys (6.51) bus eksponenčių suma, kuri, pasinau-dojus kompleksinės eksponentės ir harmoninių funkcijų sąryšiu gali būti užrašyta kaip

X (x) = A sin kx+B cos kx, (6.52)

kur A ir B yra konstantos, kurias nustatysime pasinaudodami kraštinėmis sąlygomis. Kon-tūro C srityje 0–1 funkcija turi būti lygi nuliui:

X (0) = B = 0. (6.53)

Taigi B = 0. Konstantą A randame įstatę kraštinę sąlygą kontūro C srityje 2–3:

X (a) = A sin kx = 0. (6.54)

Jei A būtų lygi nuliui, turėtume trivialų sprendinį, kuris fizikų nedomina. Taigi, nuliui turibūti lygus sinusas:

sin ka = 0.

Iš čia gauname sąryšį tarp k ir a:

ka = nπ, n = 0,±1, . . .

Taigi, konstanta k gali įgyti tik vertes, priklausančias nuo sveiko skaičiaus n:

kn =nπ

a, n = 1, 2, . . .

Panaši lygtis bus funkcijai Y (y):

Y ′′ (y)− k2Y (y) = 0.

Jos sprendinio ieškome kaip paprastos eksponentės

Y (y) ≡ eβx. (6.55)

Charakteringoji lygtisβ2 − k2 = 0

turi du sprendiniusβ = ±k

ir Y (y) funkcija bus jų, padaugintų iš konstantų C ir D, suma:

Y (y) = Ceky + De−ky = C cosh (ky) +D sinh (ky) . (6.56)

Konstantas C ir D nustatome iš kraštinių sąlygų. Kontūro atkarpai 2–3

Y (b) = C cosh (kb) +D sinh (kb) = 0.

Iš čiaC

D= − sinh (kb)

cosh (kb).

Formaliai pažymėjęC = F sinh kb

irD = −F cosh kb


gauname sprendinį, priklausantį nuo konstantos F :

Y (y) = F sinh kb cosh ky − F cosh kb sinh ky = F sinh (k (b− y)) . (6.57)

Sudauginame kintamuosius, gražiname ψ. Kadangi X (x) turi be galo daug reikšmių, api-brėžiamų per n, tai visas Laplace’o lygties sprendinių sprektras taipogi bus sprendinių,priklausančių nuo n, suma:

ψ (x, y) =

∞∑

n=1

An sin knx · sinh (kn (b− y)) . (6.58)

Galiausiai, pasinaudosime kraštine sąlyga ant kontūro atkarpos 0-3, kad nustatytumėmekonstantas An. Laplace’o lygties sprendinys ant šios atkarpos yra aprašomas funkcija ϕ (x).Taigi, įsistatę y = 0 į sprendinio išraišką 6.58, gauname

ϕ (x) =

∞∑

n=1

An sin knx · sinh knb.

Dauginame abi puses iš sin mπa x , kur m – sveikas skaičius

ϕ (x) sinmπ

ax =

∞∑

n=1

An sinnπ

ax sin

mπ

ax · sinh knb

ir integruojame pagal x nuo 0 iki a:a

0

ϕ (x) sinmπ

axdx =

∞∑

n=1

An sinh knb ·a

0

sinnπ

ax sin

mπ

axdx.

Dešinėje pusėje esantis integralas yra lygus Kronecker delta funkcijai (kodėl, žiūrėkite užda-vinį 10):

a

0

ϕ (x) sinmπ

axdx =

∞∑

n=1

An sinh (knb) ·a

2δn,m = An sinh

(mπab)· a

2

ir konstanta An

An =2

a sinh(mπa b) ·

a

0

ϕ (x) sin(mπax)

dx.

Uždavinys 10. Įrodykite, joga

0

sinnπ

ax sin

mπ

axdx =

a

2δn,m,

kur m ir n yra sveiki skaičiai, o a – kažkokia žinoma konstanta, δn,m – Kroneckerio deltafunkcija.

Nagrinėjame du atvejus: n 6= m ir n = m:1. n 6= m

Pasinaudojame trigonometriniu sąryšiu sinα sinβ = 12

(cos (α− β)− cos (α+ β)):

a

0

sinnπ

ax sin

mπ

axdx =

1

2

a

0

(cos (α− β)− cos (α+ β)) dx

=1

2

a

0

(cos

(n−m)π

ax− cos

(n+m)π

ax

)dx

=1

2

[a

(n−m)π(sin (n−m)π − 1)− a

n+m(sin (n+m)π − 1)

]

= 0.


2. n = m

Pasinaudojame trigonometriniu sąryšiu sin2 α = 12

(1− cos 2α):

a

0

sin2 nπ

axdx =

1

2

a

0

(1− cos 2

nπ

ax)

dx =1

2

a

0

dx−a

0

cos 2nπ

axdx

=1

2a− a

2πn· 0 =

a

2.

Taigi, integralas, kai m 6= n lygus nuliui, o kai m = n, jis lygus a2. Galime užrašyti

a

0

sinnπ

ax · sin mπ

axdx =

a

2δn,m.

N

6.3.2 Neumann uždavinys

ApibrėžimasNeumann uždavinys tai yra dalinių išvestinių lygties sprendimas, kai yra užduotos kraštinės

sąlygos sprendinio ψ išvestinei tam tikro koordinačių kontūro taškuose

∂ψ

∂~n= N (~s) , (6.59)

kur ~n yra kontūro normalė, o ~s – kontūro koordinatės.

∂ψ∂y = N (x)

∂ψ∂x = 0

∂ψ∂y = 0

∂ψ∂x = 0

x

yC

a

b1

0

2

3

40 pav. Laplace’o lygties kraštinės sąlygos

Vėlgi, nagrinėsime dvimatę Laplace’o lygtį, laikysime, jog kontūro kraštinėse 0–1–2–3sprendinio ψ išvestinė yra lygus nuliui, o kraštinėje 0–3 funkcijai N (x) (Pav. 40:

∂ψ (x, y)

∂y

∣∣∣∣y=0

= N (x) , 0 ≤ x ≤ a. (6.60)

Vėlgi, atskiriame kintamuosius,

ψ (x, y) = X (x) · Y (y) ,

X ′′

X=−YY

= −k2.

Formalus diferencialinės lygties funkcijai X

X ′′ + k2X = 0

sprendinys yra toks pats, kaip ir sprendinys (6.52) Dirichlet uždavinyje

X (x) = A sin kx+B cos kx.


Sąlyga X ′(x) = 0 atkarpoje 0–1 duoda A = 0, o ta pati sąlyga atkarpoje 2–3 duoda sin ka =0 =⇒ir

kn =nπ

a, n = 0,±1, . . . . (6.61)

Formalus sprendinys funkcijai Y yra analogiškas Dirichlet uždavinio sprendiniui (6.56)

Y (y) = C cosh (ky) +D sinh (ky) . (6.62)

Sąlyga Y ′(y) = 0 kontūro atkarpoje 1–2 duoda

C sinh (kb) +D cosh (kb) = 0, (6.63)

pažymėjęC = F cosh(kb), (6.64)

D = −F sinh(kb), (6.65)

gaunameY (y) = F cosh [k (b− y)] . (6.66)

Taigi, turime pilnojo sprendinio išraišką panašią į Dirichlet uždavinyje (sprendinyje vietojsinuso atsirado kosinusas, o vietoj hiperbolinio sinuso – hiperbolinis kosinusas),

ψ (x, y) =

∞∑

n=1

Bn cosnπ

ax · cosh

(nπa

(b− y)). (6.67)

Pritaikome kraštinę sąlygą išvestinei kontūro atkarpoje 0–3

N (x) =∂ψ (x, y)

∂y

∣∣∣∣y=0

= −∞∑

n=1

nπ

aBn cos

(nπax)· sinh

(nπa

(b− y)). (6.68)

Konstantos Bn reikšmę randame panašiai, kaip ir Dirichlet uždavinyje, pasinaudodami tuo,jog

a

0

cos nπa x · cos mπa xdx = a2 δn,m,

Bn =2´ a

0N (x) cos

(nπa x)

dx

nπ sinh(nπa b) . (6.69)

6.3.3 Laplace’o lygtis sferinėje koordinačių sistemoje

∇2 =1

r2

∂

∂r

(r2 ∂

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2

∂ϕ2

∂

∂θ=

∂

∂z

∂z

∂θ= − sin θ

∂

∂z= −

√1− z2

∂

∂z

∇2 =1

r2

∂

∂r

(r2 ∂

2

∂r

)+

1

r2

∂

∂z

((1− z2

) ∂2

∂z

)+

1

r2 (1− z2)

∂2

∂ϕ2

ϕ (r, ϕ, z) = R (r) Φ (ϕ)Z (z)

∇2ϕ (r, ϕ, z) = 0

1

r2

∂

∂r

(r2 ∂R

∂r

)+

1

r2

∂

∂z

((1− Z)

∂Z

∂z

)+

1

r2 (1− z2)

∂2Φ

∂ϕ2= 0

Φ′′

Φ= −m2

Reikalaujame periodiškumoΦ = A cosmϕ+B sinmϕ

Φ = eimϕ, m = 1, 2, 3 . . .

Radialioji dalis turi būti lygi

1

R

∂

∂r

(r2 ∂R

∂r

)

︸︷︷︸n(n+1)

+1

Z

∂

∂z

((1− z2

) ∂Z∂z

)− m2

1− z2

︸︷︷︸n(n+1)

= 0


1

R

∂

∂r

(r2 ∂R

∂r

)= λ

r2 ∂2R

∂r2+ 2r

∂R

∂r= λR

SprendinysR = rk

R′ = krk−1

r2R′ = krk+1

k (k + 1) = n (n+ 1)

R = Arn +Br−(n+1)

lieka∂

∂z

((1− z2

) ∂Z∂z

)+

(n (n− 1)− m2

1− z2

)Z = 0

gauname Zm,n (z)

Kai m = 0 −→ papr. Legendre’o lygtis, kurios sprendinys – n laipsnio polinomas:Adrien-Marie Legendre(1752–1833) Prancūzų

matematikas. Pn(z) = 12nn!

∂n

∂zn

(z2 − 1

)

Pn (1) = 1

Kai m 6= 0 −→prijungtinis sprendimas.

Pn,m (z) =(1− z2

)m2 P (n)

n (z)

n-tojo laipsnio m eilės Legendre’o lygtis.

6.4 Sturmo–Liouville’io lygtis (tikrinių verčių uždavinys)Matematikoje Sturmo–Liouville’io lygtimi yra vadinama antros eilės diferencialinė lygtisJacques Charles Francois

Sturm (1803–1855) irJoseph Liouville

(1809–1882) Prancūzųmatematikai.

− d

dz

[p (z)

dψ

dz

]− q (z)ψ = λr (z)ψ, (6.70)

kur ψ yra nuo z priklausanti funkcija, o funkcijos p (z), q (z) ir r (z) yra duotos ir yra ana-lizinės nagrinėjamoje srityje a ≤ z ≤ b. Taigi, šios lygties sprendimas yra funkcijų ψ irdydžių λ radimas. Sturm-Liouville lygties sprendiniai funkcijos ψ yra vadinamos tikrinėmisfunkcijomis, o atitinkami dydžiai λ – tikrinėmis vertėmis. Dydžių λ radimas vadinamasSturmo–Liouville’io, arba tikrinių verčių, uždaviniu. Dažniausiai sprendžiamuose uždavi-niuose būna pradinės sąlygos

ψ (a) = 0, ψ (b) = 0.

Taigi, kai ieškojome koeficiento k sprendžiant diferencialinę lygtį kintamųjų atskyrimo me-todu

X ′′ + k2X = 0, (6.71)

iš tikrųjų sprendėme Sturmo–Liouville’io lygtį kai p (z) ≡ 1, q (z) ≡ 0, r (z) ≡ 1 ir k ↔ λ,ψ ↔ X. Tokių ir panašių lygčių fizikoje yra labai daug. Pavyzdžiui, šilumos laidumo cilindreaprašo Besselio lygtis,Friedrich Wilhelm Bessel

(1784–1846) Vokiečiųastronomas ir matematikas. − x d

dx

(x

dy

dx

)− x2y = α2y, (6.72)

o kvantmechaninės dalelės, judančios paraboliniame potenciniame lauke, (harmoninio osci-liatoriaus) banginę funkciją tenkina tokia Schrödingerio lygtis:Erwin Schrödinger

(1887–1961) Austrų fizikas,kvantinės mechanikos kūrėjas.

− ~2m

d2ψ

dx2+

1

2mω2x2ψ = Eψ. (6.73)

Taigi, Sturm-Liouville tipo diferencialinių lygčių sprendinių savybės yra svarbus klausimas.

6.4 Sturmo–Liouville’io lygtis 83

6.4.1 Tikrinių funkcijų ortogonalumas ir normuotumas

Sakykime, Sturm-Liouville lygtį tenkina funkcijos ψn (n = 1, . . . , N), o jas atitinka tikrinėsvertės λn. Nagrinėsime atvejį, kai tokios tikrinės funkcijos ir tikrinės vertės yra dvi:

ψ1 →λ1

ψ2 →λ2.

Tada galime užrašyti Sturm-Liouville lygtis šiems atvejams:

ddz

[p (z) dψ1

dz

]+ [q (z) + λ1r (z)]ψ1 = 0

ddz

[p (z) dψ2

dz

]+ [q (z) + λ2r (z)]ψ2 = 0.

Padauginę šias lygtis atitinkamai iš ψ2 ir ψ1 bei atėmę gausime

d

dz

[p (z)ψ2

dψ1

dz− p (z)ψ1

dψ2

dz

]= (λ2 − λ1) r (z)ψ1ψ2. (6.74)

Šios išraiškos abi puses suintegruojame pagal z intervale [a, b], :

bˆ

a

dzd

dz

[p (z)ψ2

dψ1

dz− p (z)ψ1

dψ2

dz

]= (λ2 − λ1)

bˆ

a

dzr (z)ψ1ψ2. (6.75)

Kairėje pusėje integruojame išvestinę, tad, integralas pasinaikina ir lieka tik įstatyti rėžius.Pasinaudoję kraštinėmis sąlygomis ψn (a) = ψn (b) = 0 matome, jog kairioji pusė yra lyginuliui. Gauname

(λ2 − λ1)

aˆ

a

dzr (z)ψ1ψ2 = 0. (6.76)

Kai tikrinės vertės nelygios (λ2 6= λ1), tikrinės funkcijos turi būti ortogonalios:

bˆ

a

dzr (z)ψ1ψ2 = 0, (6.77)

tačiau kai tikrinės vertės yra lygios (λ2 = λ1), likęs integralas nėra lygus nuliui, tad galimepareikalauti, jog funkcijos būtų normuotos:

bˆ

a

dzr (z)ψ1ψ2 = 1. (6.78)

Kai Sturm-Liouville lygtis turi daugiau tikrinių verčių, apibendrintai ortogonalumo ir nor-muotumo sąlygas galime užrašyti kaip

bˆ

a

dzr (z)ψmψn = δmn. =

{1, m = n

0, m 6= n(6.79)

6.4.2 Išsigimusios funkcijos ir jų ortogonalizavimas

ApibrėžimasIšsigimusios funkcijos yra tokios tikrinės funkcijos, kurios kelios atitinka vieną tikrinę vertę.

Išsigimusi funkcija nebus ortogonali kitoms tikrinėmes funkcijoms

Sakykime, jog vieną tikrinę vertę λ1 atitinka kelios tikrinės funkcijos ψ1,1, ψ1,2,... Ieško-sime naujų funkcijų ϕ1,1, ϕ1,2, ..., kurios būtų ortonormuotos, bei būtų išsigimusių funkcijųtiesinės kombinacijos.

Pirma lygtis – ortogonalumo pagrindas. Pasirenkame, jog dvi funkcijos bus lygios:

ϕ1,1 = ψ1,1. (6.80)


Antroji ieškoma funkcija bus ψ1,1 ir ψ1,2 tiesinė kombinacija:

ϕ1,2 = Aψ1,1 +B1,2, (6.81)

kur A ir B yra ieškomos konstantos. Tęsiame toliau,

ϕ1,3 = Aψ1,1 +Bψ1,2 + Cψ1,3, (6.82). . .

Reikalaujame funkcijų ortogonalumo:

(ϕ1,1, ϕ1,2) = 0 =⇒ (ψ1,1, Aψ1,1 +Bψ1,2) = 0 (6.83)=⇒ A+B (ψ1,1, ψ1,2) = 0

ir normuotumo

(ϕ1,2, ϕ1,2) = 1 =⇒ A2 + 2AB (ψ1,1, ψ1,2) +B2 = 1. (6.84)

Taigi, tikrinių verčių uždaviniui galime suformuluoti kelias teoremas:

1. Kiekvienai tikrinei vertei λn egzistuoja viena tikrinė funkcija ψn.

2. Tikrinės funkcijos, atitinkančios skirtingas tikrines vertes, yra ortogonaliosaˆ

a

dzr (z)ψmψn = δmn, (6.85)

kur r (z) yra svorinė funkcija.

3. Visos tikrinės vertės yra realios.

4. Jeigu p (z) > 0, q (z) > 0 ir r (z) > 0 srityje a ≤ z ≤ b, tai visos tikrinės vertės busteigiamos (λn > 0).

6.4.3 Membranos svyravimo lygties tikrinės funkcijos

Tarkime, turime įtemptą membraną ant stačiakampio rėmelio. Kiekvieno membranos taškonuokrypis nuo jo padėties ramybės būsenoje (kai membrana yra plokščia) priklausys nuolaiko. Šiuo nuokrypio funkciją ψ aprašys bangos lygtis

∇2ψ (x, y, t)− 1

c2∂2ψ

∂t2= 0 (6.86)

su kraštine sąlygaψ (x, y, t)|C = 0, (6.87)

kur C – stačiakampis kontūras (Pav.41). Atskiriame kintamuosius kaip

ψ (x, y, t) ≡ T (t) · ϕ (x, y) . (6.88)

Teigiame, jog kiekvieno taškas harmoniškai svyruos dažniu ω. Tada laikinę funkciją užrašo-me kaip kompleksinę funkciją1

T (t) ≡ eiωt. (6.92)1Čia vertėtų paaiškinti, kodėl naudojame tokią išraišką. Jei mūsų membrana būtų tikras būgnas, jame

būtų sužadinami įvairūs dažniai, taigi, realistiškesnė laikinės funkcijos išraiška būtų begalinė suma

T (t) =∑n

Aneiωnt, (6.89)

kur An – dažniu ωn svyruojančios modo amplitudė. Įrašę šią išraišką į (6.86) formulę, gausime∑n

Aneiωnt

[∇2ϕ (x, y)−

ω2n

c2ϕ (x, y)

]= 0. (6.90)

Iš esmės, šioje išraiškoje osciliuojanti dalis atsikabina nuo nuo koordinačių priklausančios dalies, taip kadkoordinatinė dalis

∇2ϕ (x, y)−ω2n

c2ϕ (x, y) (6.91)

turi būti lygi nuliui bet kokiam ωn. Taigi, pasirinkimas T (t) ≡ eiωt vietoj (6.89) išraiškos tereiškia, jogmes nagrinėjame vieną atskirą svyravimų modą. Išspręndę uždavinį vienai modai, galėtumėme sukonstruotibendrą sprendinį ir didesniam modų skaičiui.


x

y

C

a

b

41 pav. Membranos svyravimo lygties kraštinės sąlygos. Ant kontūro C kraštų nuokrypiofunkcija visada lygi nuliui: ψ (0, y, t) = ψ (a, y, t) = ψ (x, 0, t) = ψ (x, b, t) = 0.

Įrašome šias išraiškas į (6.86) lygtį bei suprastiname nuo laiko priklausančias eksponentes.Gauname

− ∂2ϕ

∂x2− ∂2ϕ

∂y2= k2ϕ, (6.93)

kur k ≡ ωc . Ši lygtis vadinama amplitudine, arba Helmholtz, lygtimi. Šią dalinių išvestinių

lygtį sprendžiame kintamųjų atskyrimo metodu. Įstatę ϕ (x, y) ≡ X (x) · Y (y) į Helmholtzlygtį gausime

− Y ∂2X

∂x2−X∂2Y

∂x2= k2XY. (6.94)

Padaliname abi puses iš XY :

−∂2X∂x2

X−

∂2Y∂x2

Y= k2. (6.95)

Nuo koordinačių x ir y priklausomos dalys atsiskiria, tad, pažymėję X′′xxX ≡ −k2

x ir Y ′′yyY ≡ −k2

y

gausime dvi Sturm-Liouville tipo lygtis:

− ∂2X

∂x2= k2

xX (6.96)

ir− ∂2Y

∂y2= k2

yY, (6.97)

kuriose konstantas sieja sąryšisk2x + k2

y = k2. (6.98)

Lygčių (6.96) ir (6.97) sprendiniai yra harmoninės funkcijos. Tokiu būdu,

ϕ (x, y) = (A sin kxx+B cos kxx) (C sin kyy +D cos kyy) . (6.99)

Įstatę kraštinę sąlygą ψ (0, y, t) = 0 =⇒ ϕ (0, y) = 0, gausime

B (C sin kyy +D cos kyy) = 0. (6.100)

Šis sąryšis turi galioti visiems y, tad konstanta B = 0. Pagal kraštinę sąlygą ant priešingoskontūro sienos ϕ (a, 0) = 0, gausime, jog

A sin kxa (C sin kyy +D cos kyy) = 0. (6.101)

Vėlgi, šis sąryšis turi galioti visiems y. Kadangi pasirinkę A = 0 gausime nesvyruojančiąmembraną, turime reikalauti, jog

sin kxa = 0. (6.102)

Iš čia surandame, jog tikrinės vertės kx gali būti 0, ±πa , ± 2πa , . . . Taigi,

kx =nπ

a, (6.103)


x

y

a

b

ϕ1,1(x, y)

(a) m = 1, n = 1

x

y

a

b

ϕ1,2(x, y)

a2

(b) m = 1, n = 2

x

y

a

b

ϕ2,1(x, y)

b2

(c) m = 2, n = 1

x

y

a

b

ϕ2,2(x, y)

a2

b2

(d) m = 2, n = 2

42 pav. Tikrinės membranos svyravimo lygtys.

kur n – sveikas skaičius, o tikrinė funkcija X yra

X (x) = A sinnπ

ax. (6.104)

Analogiškai pažaidę su kraštinėmis sąlygomis koordinatei y, gausime tikrines vertes

ky =mπ

a(6.105)

ir funkcijasY (y) = C sin

mπ

by, (6.106)

kur m – sveikas skaičius. Galime rekonstruoti ir pilną Helmholtz lygties sprendinį

ϕm,n = A sinnπ

ax sin

mπ

by, (6.107)

k2m,n =

(nπa

)2

+(mπb

)2

. (6.108)

Čia amplitudžių sandaugą A·C pažymėjome kaip A. Kaip parodė kraštinių verčių uždaviniosprendimas, tikrinių verčių spektras yra diskretus. Jos gali būti tik tam tikros vertės, kuriasnusako du parametrai – sveiki skaičiai m ir n. Taigi, norėdami tai pabrėžti, užrašydamisprendinį šiuos du valdančiuosius parametrus užrašėme kaip indeksus.

Paanalizuokime virpesius. Akivaizdu, jog tikrinės funkcijos kai parametrų rinkiniai(m,n) yra (0, 0), (0, 1) arba (1, 0) yra lygios nuliui. Pirma nenulinė moda yra m = 1,n = 1.

• m = 1, n = 1. Tikrinė funkcija

ϕ1,1 = A sinπ

ax sin

π

by, (6.109)

parodyta Pav. 42a. Kai svyravimai yra šios modos, visi membranos taškai svyruojasu ta pačia faze.


ϕ1,2 = A sin2π

ax sin

π

by, (6.110)

kai x = a2 yra lygi nuliui. Taigi, abipus šios linijos yra dvi sritys, kuriose svyravimai

yra priešingos fazės (Pav. 42b).



ϕ2,1 = A sinπ

ax sin

2π

by, (6.111)

atrodo labai panašiai kaip ir ϕ1,2, tik yra sukeistos koordinatės x ir y. Todėl priešingosfazės sritis skirs linija y = b

2 (Pav. 42c).


ϕ2,2 = A sin2π

ax sin

2π

by. (6.112)

Bus 4 sritys, kur svyravimų fazės bus skirtingos (Pav. 42d). Jas riboja tiesės x = a2 ir

y = b2 .

89

7 | Variacinis skaičiavimas

7.1 Funkcionalo sąvokaVisiems gerai žinoma, kokiu būdu randamas tam tikros funkcijos f (x) ekstremumo taš-kas. Tačiau fizikoje dažnai kyla poreikis surasti kito ypatingo kintamojo dydžio, vadinamofunkcionalu, didžiausią arba mažiausią reikšmę.

ApibrėžimasFunkcionalu J [y1 (x) , y2 (x) , . . .] vadinamas kintamasis dydis, kurio reikšmę nusako viena arbakelios funkcijos yi (x). Uždaviniai, kuriuose reikia rasti funkcionalo minimumą arba maksimumąnusakančias funkcijas yi0(x), vadinami variaciniais uždaviniais.

Paprasčiausias funkcionalo pavyzdys yra kreivės, jungiančios du duotus taškus A (x1; y1)ir B (x2; y2) (žr. 43a pav.), ilgis L. Šis ilgis priklausys nuo konkretaus kreivės pavidalo:jeigu užduota kreivės lygtis y = y (x), tenkinanti kraštines sąlygas y (x1) = y1 ir y (x2) = y2,tai jos ilgis2

L =

x2ˆ

x1

√1 + (y′)2

dx. (7.1)

Akivaizdu, jog mažiausią L reikšmę L0 =

√(x2 − x1)

2+ (y2 − y1)

2 atitinka atkarpa, jun-gianti taškus A ir B, aprašoma funkcija y0 (x) = y1 + y2−y1

x2−x1(x− x1). Tačiau šį paprastą

rezultatą galima gauti ir sudėtingai – tiesiogiai taikant variacinio skaičiavimo teoriją (7.1)funkcionalui, kaip parodyta 7.3.2 skyriuje.

Kitas gerai žinomas bei sudėtingesnis variacinio skaičiavimo taikymo pavyzdys yra Di-donos (lot. Dido, finikiečių princesės, Kartaginos miesto įkūrėjos) uždavinys.

Uždavinys 11. Kokia funkcija y (x) turi aprašyti fiksuoto ilgio l kreivę tarp dviejų taškųA (0; 0) ir B (xb, 0) (žr. 43b pav.) ir kokia turi būti taško B abscisė xb, kad po šia kreiveesantis plotas S būtų didžiausias?

Matematiškai šis uždavinys vadinamas sąlyginio ekstremumo variaciniu uždaviniu suvienu slankiuoju rėžiu ir yra formuluojamas taip: reikia rasti funkcionalo

J [y (x)] =

xbˆ

0

y (x) dx (7.2)

minimumą esant laisvai pasirenkamam xb, kraštinėms sąlygoms y (0) = y (xb) = 0 beipapildomai sąlygai

xbˆ

0

√1 + (y′)2

dx = const. = l. (7.3)

Šio izoperimetrinio uždavinio atsakymas buvo žinomas dar senovės Graikijoje: tai yra spin-dulio r = l/π pusapskritimio lankas (punktyrinė linija 43b pav.).

Dar vieną įdomų variacinį uždavinį 1696 m. suformulavo Johannas Bernoullis, pasiūlęsmatematinei visuomenei surasti ”brachistochroną“ (graik. brachistos – trumpiausias, ch-ronos – laikas) – du nesančius vienoje vertikalėje taškus A ir B jungiančią kreivę, kuriospaviršiumi riedantis mažas rutuliukas iš taško A pasiektų tašką B per trumpiausią laiką(43c pav.). Šiuo atveju funkcionalas bus rutuliuko nusileidimo trukmė t [y (x)], kurią galimanesunkiai apibrėžti. Kadangi rutuliuko greitis taške M (x; y) yra v =

√2g (a− y) = dl

dt , čia

2(7.1) formulė gaunama integruojant elementarų ilgio elementą dL [y(x)] =√

(dx)2 + (dy)2:

L =

x=x2ˆ

x=x1

dL =

x=x2ˆ

x=x1

√1 +

(dy

dx

)2

dx.

90 7 VARIACINIS SKAIČIAVIMAS

A(x1; y1)

B(x2; y2)

O

x

y

(a) Kreivė, jungianti du taškus

A(0; 0) B(xb; 0)

S

l

2l/π

B′

O

x

y

(b) Didonos uždavinys

A(0; a)

B(b; 0)

O x

y

b

a

g

v

M(x; y)

(c) Brachistochronos uždavinys

43 pav. Variacinių uždavinių pavyzdžiai

g – laisvojo kritimo pagreitis, o dl =

√1 + (y′)2

dx – kelio elementas, rutuliuko nusileidimotrukmė

t [y (x)] =

bˆ

0

√1 + (y′)2

2g (a− y)dx.

Kreivė, minimizuojanti šį funkcionalą esant kraštinėms sąlygoms y (0) = a ir y (b) = 0, yracikloidė.π 2π

x

y

1

2

0

a = 1

Cikloidę aprašo lygtis

x = a arccos(1−

y

a

)−√

2ay − y2.

7.2 Variacija ir jos savybėsPrieš nagrinėdami variacinių uždavinių sprendimo būdus trumpai aptarkime pagrindinessąvokas, kurios yra labai panašios į tas, kurios sutinkamos funkcijų ekstremumo radimoteorijoje:

ApibrėžimasKintamasis dydis J vadinamas funkcionalu, priklausančiu nuo funkcijos y (x) ir žymimu J =J [y (x)], jeigu kiekvieną funkciją y (x), priklausančią tam tikrai funkcinei erdvei C, atitinka tamtikra J reikšmė: y (x) → J . Analogiškai apibrėžiami ir funkcionalai, priklausantys nuo keliųvienodų arba skirtingų kintamųjų funkcijų.

ApibrėžimasFunkcionalo J [y (x)] argumento y (x) prieaugiu, arba variacija, δy vadinamas skirtumas δy =y (x)− y1 (x) tarp dviejų funkcijų, priklausančių tai pačiai funkcinei erdvei C.

Laikoma, jog intervale x ∈ [a; b] dvi funkcijos y = y1 (x) ir y = y2 (x) priklauso tai pačiainulinės eilės funkcinei erdvei C0 [a; b], jeigu visada galima parinkti tokį ε > 0, jog sąlyga|y1 (x)− y2 (x)| < ε galiotų ∀x ∈ [a; b]. Jeigu ε yra pakankamai mažas, sakoma, jog šioskreivės yra artimos nulinės eilės artutinumo prasme. Pavyzdžiui, visos 44 pav. pavaizduotoskreivės priklauso tai pačiai funkcinei erdvei C0.

7.2 Variacija ir jos savybės 91

A

B

O x

y

y1(x)

y2(x)

y3(x)

a b

44 pav. Skirtingos funkcinės erdvės.

ApibrėžimasFunkcionalas J [y (x)] vadinamas tolydžiuoju, jeigu mažą funkcijos y (x) variaciją atitinka mažasfunkcionalo J [y (x)] pokytis.

Tačiau praktiniuose uždaviniuose dažnai sutinkamas J [y (x)] =´ b

aF (x, y, y′) dx pavi-

dalo funkcionalas dėl išreikštos priklausomybės nuo y′ bus tolydus nevisada. Todėl patogunagrinėti tokias funkcijas, kurių ne tik ordinačių skirtumas |y1 (x)− y2 (x)| , bet ir polin-kio kampą nusakantis pirmųjų išvestinių skirtumas |y′1 − y′2| būtų mažas. Yra laikoma, jogtokios funkcijos priklauso tai pačiai pirmos eilės funkcinei erdvei C1 [a; b], kuri yra C0 poerd-vis. Pavyzdžiui, 44 pav. pavaizduotos kreivės y1 (x) bei y2 (x) priklauso tai pačiai funkcineierdvei C1, o y3 (x) jai jau nebepriklauso (jos išvestinė smarkiai skirsis nuo y′1(x) ir y′2(x)).

Analogiškai apibrėžiamos ir aukštesnių eilių funkcinės erdvės. Taigi funkcionalas J [y (x)]ties funkcija y = y0 (x) yra tolydus k-tos eilės artutinumo prasme, jeigu ∀ε > 0 galimaparinkti tokį δ > 0, kad galiotų nelygybės

|J [y (x)]− J [y0 (x)]| < ε,

|y (x)− y0 (x)| < δ,

|y′ (x)− y′0 (x)| < δ,

. . .∣∣∣y(k) (x)− y(k)0 (x)

∣∣∣ < δ.

(7.4)

ApibrėžimasTiesiniu funkcionalu vadinamas toks funkcionalas L [y (x)], kuriam galioja sąryšiai

L [c · y (x)] = c · J [y (x)] (7.5)

irL [y1 (x) + y2 (x)] = L [y1 (x)] + L [y2 (x)] , (7.6)

kuriuose c – reali konstanta.

FunkcionalasL [y (x)] =

ˆ b

a

(p (x) · y + q (x) + y′) dx (7.7)

yra tiesinis.

ApibrėžimasFunkcionalo variacija δJ yra vadinamas funkcionalo prieaugis

∆J = J [y (x) + δy]− J [y (x)] , (7.8)

jei jį galima išreikšti pavidalu

∆J = L [y (x) , δy] + β (y (x) , δy) ·max |δy| ,

kuriame L [y (x) , δy] – funkcijos δy atžvilgiu tiesinis funkcionalas, max |δy| – didžiausia |δy| vertėintervale x ∈ [a; b], o

limmax|δy|→0

β (y (x) , δy)→ 0. (7.9)


∆J tiesinė (δy atžvilgiu) dalis L [y (x) , δy] ir yra funkcionalo variacija δJ .

Nagrinėjant funkcionalus jų variacija vaidina tokį pat vaidmenį, kaip ir diferencialaifunkcijų analizėje.

Funkcionalo variaciją galima apibrėžti ir kitaip. Pradžiai panagrinėkime funkcijos f (x+ ε∆x)reikšmes esant fiksuotiems x ir ∆x bei laisvam parametrui ε. Kai ε = 0, gauname pradinęfunkcijos reikšmę f (x), o kai ε = 1 – funkcijos prieaugį f (x+ ∆x). Funkcijos f (x+ ε∆x)išvestinė pagal ε esant ε = 0 yra lygi funkcijos f (x) diferencialui taške x:

∂

∂εf (x+ ε∆x)

∣∣∣∣ε=0

= f ′ (x+ ε∆x) ·∆x|ε=0 = f ′ (x) ∆x −→∆x→0

df (x) . (7.10)

Visiškai analogiškai funkcionalo variaciją galima apibrėžti kaip

δJ [y (x) , δy] =∂

∂εJ [y (x) + εδy]

∣∣∣∣ε=0

. (7.11)

Iš tikrųjų,

∂

∂εJ [y (x) + εδy]

∣∣∣∣ε=0

= limε→0

J [y + εδy]− J [y]

ε= limε→0

L [y, εδy] + β (y, εδy) · |ε|max |δy|ε

(7.12)

= limε→0

ε · L [y, δy]

ε+ limε→0

β (y, εδy) · |ε|max |δy|ε

= δL [y, δy] ,

nes β (y, εδy) → 0, kai ε → 0. Toks funkcionalo variacijos apibrėžimas yra šiek tiek plates-nis, nes egzistuoja tokių funkcionalų, kurių prieaugyje negalima išskirti pagrindinės tiesinėsdalies, tačiau antrojo apibrėžimo prasme variacija egzistuoja.

Funkcijos y = y0 (x) funkcionalas J [y (x)] funkcija įgyja maksimumą (arba minimumą),jeigu funkcionalo reikšmė ties bet kuria kita funkcija, artima y0 (x), yra nedidesnė (nema-žesnė), negu J [y0 (x)], t. y. jeigu

∆J = J [y (x)]− J [y0 (x)] ≤ 0 (arba ≥ 0) (7.13)

ApibrėžimasJeigu (7.13) nelygybėje lygybė galioja tik esant y (x) = y0 (x), tai sakoma, kad ties funkcijay0 (x) funkcionalas įgyja griežtą maksimumą (minimumą).

Belieka suformuluoti būtiną funkcionalo ekstremumo sąlygą bei pagrindinę variacinioskaičiavimo lemą.

Būtina funkcionalo ekstremumo sąlygaTegu funkcionalas J [y (x)] įgyja ekstremumą (maksimumą arba minimumą), kai y = y0 (x) ⊂C1 [a; b] bei x ∈ [a; b]. Tada egzistuojant funkcionalo variacijai yra teisinga lygybė δJ [y0, δy] = 0.

Pagrindinė variacinio skaičiavimo lemaJeigu kiekvienai tolyginei funkcijai f (x) galioja lygybė

bˆ

a

Φ (x) · f (x) dx = 0,

kurioje funkcija Φ (x) yra tolygi intervale x ∈ [a; b], tai šitame intervale Φ (x) ≡ 0.

7.3 Variaciniai uždaviniai su neslankiaisiais rėžiais. Eulerio lygtisIšnagrinėsime funkcionalą

J [y (x)] =

bˆ

a

F (x, y (x) , y′ (x)) dx (7.14)

7.3 Variaciniai uždaviniai su neslankiaisiais rėžiais. Eulerio lygtis 93

A

B

O x

y

a b

ya

yb

45 pav. Variacinis uždavinis su įtvirtintais rėžiais

bei rasime, kokią diferencialinę lygtį turi tenkinti šio funkcionalo ekstremumą nusakančioskreivės y (x). Taip pat laikysime, jog leistinų kreivių kraštiniai taškai yra įtvirtinti: y (a) =ya bei y (b) = yb (žr. 45 pav.)

Panagrinėkime dvi artimas funkcijas y (x) bei y (x). Kaip jau buvo minėta, skirtumasy (x) − y (x) = δy vadinamas funkcijos y (x) variacija. Ši variacija yra nuo x priklausantifunkcija; vadinasi, ją galima viena ar kelis kartus diferencijuoti pagal x:

(δy)′

= y′ (x)− y′ (x) = δ (y′) ≡ δy′, (7.15)

t. y. variacijos išvestinė yra lygi išvestinės variacijai. Analogiškai,

(δy)′′

= y′′ (x)− y′′ (x) = δ (y′′) , (7.16)

ir t. t.Remdamiesi šia savybe, paskaičiuokime (7.14) funkcionalo variaciją, pointegrinėje funk-

cijoje skirtumą ∆F užrašę per dalines išvestines bei atlikę integravimą dalimis:

δJ [y, δy] =

ˆ b

a

F(x, y + δy, (y + δy)

′)dx−

ˆ b

a

F (x, y (x) , y′ (x)) dx

=

ˆ b

a

{F (x, y + δy, y′ + δy′)− F (x, y, y′)} dx =

ˆ b

a

{∂F

∂y· δy +

∂F

∂y′· δy′

}dx

=

ˆ b

a

{∂F

∂y· δy +

∂F

∂y′· d

dxδy

}dx =

∂F

∂y′· δy∣∣∣∣x=b

x=a

+

ˆ b

a

{∂F

∂y− d

dx

∂F

∂y′

}δydx.

(7.17)

Čia simboliais ∂∂x , ∂

∂y bei ∂∂y′ pažymėtos dalinės išvestinės pagal atitinkamus dydžius nepai-

sant šių dydžių galimos priklausomybės nuo nepriklausomojo kintamojo x, o ddx žymi pilnąją

išvestinę pagal x3.Iš 7.2 teoremos gauname, jog (7.14) funkcionalo ekstremumo atveju turi būti δJ = 0.

Kadangi mūsų sprendžiamame uždavinyje rėžiai yra įtvirtinti, δy|x=a = δy|x=b = 0. Pasi-naudoję 7.2 lema, iš (7.17) gauname Eulerio lygtį:

∂F

∂y− d

dx

∂F

∂y′= 0. (7.18)

Ši lygtis dar kartais vadinama pagrindine variacinio skaičiavimo lygtimi. Bendruoju atvejutai yra antros eilės diferencialinė lygtis; ją tenkinančios kreivės y = y (x,C1, C2), priklau-sančios nuo dviejų laisvų konstantų, vadinamos (7.17) funkcionalo ekstremalėmis. Tikekstremalėse funkcionalas gali įgyti ekstremumą. Pagaliau, laisvosios konstantos C1 ir C2

nustatomos iš kraštinių sąlygų y (a) = ya bei y (b) = yb.Jeigu funkcionalas priklauso nuo dviejų funkcijų y1 (x) ir y2 (x):

J [y1, y2] =

bˆ

a

F (x, y1 (x) , y′1 (x) , y2 (x) , y′2 (x)) dx,

3pavyzdžiui ∂∂x

(x2y′

)= 2xy′, ∂

∂y

(x2y′

)= 0, ∂

∂y′(x2y′

)= x2, d

dy

(x2y′

)= 2xy′ + x2y′′


analogiškai suradus jo pirmąją variaciją gaunamos tokio Euler’io formulės:

∂F

∂y1− d

dx

∂F

∂y′1= 0,

∂F

∂y2− d

dx

∂F

∂y′2= 0,

kurios yra papildomos 4 kraštinėmis sąlygomis y1 (a) = y1a, y2 (a) = y2a, y1 (b) = y1b

bei y2 (b) = y2b. Analogiškai užrašomos ir lygtys, kai funkcionalas priklauso nuo didesniofunkcijų skaičiaus.

Panagrinėkime dabar atvejį, kai funkcionalas išreikštai priklauso nuo funkcijos y (x) ant-rosios išvestinės:

J [y (x)] =

ˆ b

a

F (x, y (x) , y′ (x) , y′′ (x)) dx. (7.19)

Skaičiuodami šio funkcionalo variaciją bei du kartus atlikę integravimą dalimis, gauname:

δJ =

ˆ b

a

{∂F

∂y· δy +

∂F

∂y′· d

dxδy +

∂F

∂y′′· d2

dx2δy

}dx =

=∂F

∂y′· δy∣∣∣∣x=b

x=a

+∂F

∂y′′· δy′

∣∣∣∣x=b

x=a

+

ˆ b

a

{∂F

∂y· δy − d

dx

∂F

∂y′· δy − d

dx

∂F

∂y′′· d

dxδy

}dx =

=∂F

∂y′· δy∣∣∣∣x=b

x=a

+∂F

∂y′′· δy′

∣∣∣∣x=b

x=a

− d

dx

∂F

∂y′′· δy∣∣∣∣x=b

x=a

(7.20)

+

ˆ b

a

{∂F

∂y− d

dx

∂F

∂y′+

d2

dx2

∂F

∂y′′

}· δydx = 0. (7.21)

Dėl kraštinių sąlygų taškuose x = a ir x = b variacijos δy = δy′ = 0, taigi iš (7.19) lygtiesturime

∂F

∂y− d

dx

∂F

∂y′+

d2

dx2

∂F

∂y′′= 0. (7.22)

Išsprendus šią diferencialinę lygtį, laisvosios integravimo konstantos nustatomos iš 4 krašti-nių sąlygų, nusakančių funkcijos y (x) bei jos išvestinės reikšmes taškuose a ir b (ya, yb, y′abei y′b).

Jeigu funkcionalas išreikštai priklauso nuo aukštesnės eilės išvestinių:

J [y (x)] =

ˆ b

a

F(x, y (x) , y′ (x) , y′′ (x) , . . . , y(n) (x)

)dx, (7.23)

galioja Eulerio–Poissono lygtis:Siméon Denis Poisson(1781–1840) Prancūzųmatematikas ir fizikas.

∂F

∂y− d

dx

∂F

∂y′+

d2

dx2

∂F

∂y′′− . . .+ (−1)

n dn

dxn∂F

∂y(n)= 0.

Ši lygtis turės 2n sprendinių (2n laisvų konstantų), randamų iš 2n kraštinių sąlygų.

7.3.1 Dvilypio integralo funkcionalas

Panagrinėkime kiek sudėtingesnį atvejį, kai funkcionalas yra dvilypio integralo pavidalo:

J [u (x, y)] =

¨

S

F(x, y, u (x, y) , u′x, u

′y

)dxdy. (7.24)

Laikysime, jog kontūre C, ribojančiame sritį S, funkcijos u (x, y) reikšmės yra užduotos, t. y.turime užduotą erdvinį kontūrą C, per kurį turi eiti visi galimi paviršiai u (x, y) (žr. 46a pav.).

Iki šio skyrelio pabaigos dalines išvestines pagal funkciją u bei jos išvestines žymėsimesimboliais ∂

∂u , ∂∂u′x

bei ∂∂u′y

, o simboliais ∂∂x bei ∂

∂y žymėsime pilnąsias išvestines pagal

7.3 Variaciniai uždaviniai su neslankiaisiais rėžiais. Eulerio lygtis 95

O

x

y

u

u(x, y)

SC

C

(a) Paviršius, einantis per erdvinį kontūrąC

O x

y

a b

S

C

K

L

y1(x)

y2(x)

(b) Paviršinio integralo keitimas kontūri-niu

46 pav. Dvilypio integravimo sritis

atitinkamus nepriklausomus kintamuosius. (7.24) funkcionalo variacija

δJ =

¨

S

{∂F

∂u· δu+

∂F

∂u′x· ∂∂xδu+

∂F

∂u′y· ∂∂yδu

}dxdy =

=

¨

S

∂F

∂u· δu+

∂

∂x

(∂F

∂u′x· δu)

︸︷︷︸=A(x,y)

− δu · ∂∂x

∂F

∂u′x+

∂

∂y

(∂F

∂u′y· δu)

︸︷︷︸=B(x,y)

− δu · ∂∂y

∂F

∂u′y

dxdy.

(7.25)

Šios išraiškos antrame bei ketvirtame nariuose integravimą srityje S galima pakeisti in-tegravimu pagal šią sritį ribojantį kontūrą C (46b pav.):

¨

S

∂B

∂ydxdy =

ˆ b

a

dx

ˆ y2(x)

y1(x)

∂B

∂ydy =

ˆ b

a

dx {B (x, y2 (x))−B (x, y1 (x))} = (7.26)

= −

ˆ

Ly2K

dxB (x, y) +

ˆ

Ky1L

dxB (x, y)

= −

˛

C

B (x, y) dx,

čia kontūras C apeinamas pagal laikrodžio rodyklę. Analogiškai galima parodyti, jog¨

S

∂A

∂xdxdy =

˛

C

A (x, y) dy. (7.27)

Taigi iš (7.25) lygties turime

δJ =

˛

C

∂F

∂u′x· δudy−

˛

C

∂F

∂u′y· δudx+

¨

S

{∂F

∂u− ∂

∂x

∂F

∂u′x− ∂

∂y

∂F

∂u′y

}· δudxdy = 0. (7.28)

Nagrinėjame variacinį uždavinį su neslankiaisiais rėžiais, todėl visi ieškomi paviršiai u (x, y)turi eiti per kontūrą C, taigi jame δu|C = 0. Iš čia gauname Euler’io lygties apibendrinimą– Eulerio–Ostrogradskio lygtį: Mikhail Ostrogradsky

(ukr. МихайлоОстроградський)(1801–1862) Ukrainiečiųmatematikas ir fizikas.

∂F

∂u− ∂

∂x

∂F

∂u′x− ∂

∂y

∂F

∂u′y= 0. (7.29)

7.3.2 Paprasčiausios Eulerio lygtys

Šiame skyrelyje išspręsime Eulerio lygtį (7.18) keliems paprasčiausiems funkcionalams. Iš-reikštu pavidalu, paėmus bendriausią atvejį F = F (x, y (x) , y′ (x)), Eulerio lygtį galimaužrašyti taip:

F ′y − F ′xy′ − F ′′yy′y′ − F ′′y′y′y′′ = 0. (7.30)


Čia apatinis indeksas rodo kintamąjį, pagal kurį yra skaičiuojamos F dalinės išvestinės.Pritaikysime (7.30) formulę keliems atvejams:

• F išreikštai nepriklauso nuo y (x)

Vadinasi,F = F (x, y′) . (7.31)

Tada F ′y = 0, ir (7.18) lygtyje lieka vienas narys:d

dx

(F ′y′)

= 0 ⇒ F ′y′ = const. = C1. (7.32)

Šią lygtį y funkcijos išvestinei galima išspręsti:y′ = ϕ(x,C1). (7.33)

Tada pati funkcijay (x) =

ˆ

ϕ (x,C1) dx+ C2. (7.34)

Šis atvejis atitinka prieš tai suformuluotą uždavinį apie tiesiausio kelio radimą tarpdviejų taškų, kur F = F (y′) =

√1 + y′2.4

• F išreikštai nepriklauso nuo x

F = F (y, y′) . (7.38)

Tada (7.30) lygtyje F ′xy′ = 0, ir turime:

F ′y − F ′′yy′y′ − F ′′y′y′y′′ = 0 (7.39)

Šią lygtį galima užrašyti kiek kitokiu pavidalu: 1y′

ddx

(F − y′F ′y′

)= 05. Taigi, vėl

gavome pirmos eilės diferencialinę lygtįF − y′F ′y′ = const. = C1, (7.41)

kurią galima išspręsti arba įvedant parametrines priklausomybes y = y (t) bei x = x (t),arba kintamųjų atskyrimo būdu tiesiogiai išreiškus

y′ = ϕ (y, C1) ⇒ x =

ˆ

dy

ϕ (y, C1)+ C2. (7.42)

Veikimo funkcionalasTeorinėje mechanikoje dažnai sutinkamas funkcionalas yra veikimas

S =

t2ˆ

t1

L (x, x) dt, (7.43)

kuris priklauso nuo laiko t, dalelės koordinatės x ir greičio x ≡ dxdt

. Funkcija L (x, x) yra va-dinamoji Lagrange’o funkcija, kuri lygi kinetinės

(K = 1

2mx2

)ir potencinės (V (x)) energijų

skirtumui. Dalelė tarp dviejų taškų juda tokia trajektorija, kuri minimizuoja veikimo funkciją S– tai yra vadinamasis mažiausio veikimo principas. Matome, jog Lagrange’o funkcija yra lygiaitokio pat pavidalo, kokį ką tik išnagrinėjome; pastovus dydis

H = L − xL′x = const. (7.44)

yra dalelės Hamiltono funkcija, kuri nusako laikui bėgant nekintančią dalelės energiją.William Rowan Hamilton(1805–1865) Britų fizikas,

astronomas ir matematikas.Performulavo Newtonomechaniką (Hamiltono

mechanika).

4Iš čiaF ′y′ =

y′√1 + y′2

= C1 ⇒ y′ =∣∣∣∣ C1

1− C1

∣∣∣∣ (7.35)

iry(x) =

∣∣∣∣ C1

1− C1

∣∣∣∣x+ C2. (7.36)

Įstatę pradines sąlygas y(x1) = y1 ir y(x2) = y2 gauname

y(x) =y2 − y1

x2 − x1(x− x1) + y1. (7.37)

5Iš tikrųjų,

d

dx

(F − y′F ′y′

)= F ′yy

′ + F ′y′y′′ − y′′F ′y′ − y

′F ′′yy′y′ − y′F ′′y′y′y

′′ = y′(F ′y − F ′′yy′y

′ − F ′′y′y′y′′). (7.40)

7.4 Variacinių sąlyginių ekstremumų uždavinys 97

• F išreikštai priklauso tik nuo y′ (x)

F = F (y′) (7.45)

Tada iš Euler lygties (7.30) telieka

F ′′y′y′y′′ = 0. (7.46)

Taigi, F ′′y′y′ = 0 arba y′′ = 0:

– jei y′′ = 0, taiy(x) = C1x+ C2; (7.47)

– jei lygtis F ′′y′y′ = 0 turi vieną arba kelis sprendinius y′ = ki, tai y(x) = kix + Ci– šį rezultatą jau turi savyje prieš tai gautas sprendinys.

Taigi, galimos ekstremalės yra visos tiesios linijos y = C1x+ C2.

• F tiesiogiai nepriklauso nuo y′

F = F (x, y) . (7.48)

Tada F ′y (x, y) = 0. Šios algebrinės lygties sprendinys (jeigu jis egzistuoja) neturi lais-vųjų integravimo konstantų, todėl bendruoju atveju jis netenkins variacinio uždaviniokraštinių sąlygų. Tik išskirtiniais atvejais, kai kreivė F ′y (x, y) = 0 eina per kraštiniustaškus (a, ya) bei (b, yb), šioje kreivėje funkcionalas įgyja ekstremumą.

• F tiesiškai priklauso nuo y′

F (x, y, y′) = M (x, y) +N (x, y) · y′ (7.49)

Tada iš Euler’io lygties turime

∂M

∂y+∂N

∂yy′ − dN (x, y)

dx=∂M

∂y+∂N

∂yy′ − ∂N

∂x− ∂N

∂yy′ =

∂M

∂y− ∂N

∂x= 0. (7.50)

Kaip ir praeitu atveju, gavome algebrinę, o ne diferencialinę lygtį, taigi jos sprendinysbendruoju atveju netenkins kraštinių sąlygų. Kita vertus, jeigu ∂M

∂y − ∂N∂x ≡ 0, reiškinys

(Mdx+Ndy) yra pilnas diferencialas, todėl funkcionalas

J =

ˆ b

a

(M (x, y) +N (x, y) · dy

dx

)dx =

ˆ b

a

(Mdx+Ndy) = const. (7.51)

nepriklauso nuo integravimo kelio, taigi variacinis uždavinys netenka prasmės.

7.4 Variacinių sąlyginių ekstremumų uždavinysUždaviniai su sąlyginiais ekstremumais yra atskira variacinio principo uždavinių klasė, ty-rinėta Eulerio ir Lagrange’o. Paprasčiausias tokio tipo yra vadinamasis izoperimetrinisuždavinys: Uždavinys vadinamas

izoperimetriniu, nes pirmabuvo suformuluotas kaipduoto perimetro figūros,turinčios didžiausią plotą,radimas (žr. Didonosuždavinį).

Vienmatis izoperimetrinis uždavinysRasti funkcionalo

J [y] =

bˆ

a

F (x, y, y′)dx (7.52)

ekstremumą esant sąlygoms

Ji[y] =

bˆ

a

fi(x, y, y′)dx = ci, (7.53)

čia ci – tam tikra konstanta, i = 1, . . . ,m.

Toks uždavinys sprendžiamas Lagrange’o (arba neapibrėžtųjų) daugiklių metodu.


Lagrange’o daugiklių taisyklėJei kreivė y(x) yra funkcionalo

J [y] =

bˆ

a

F (x, y, y′)dx (7.54)

ekstremalė su sąlygabˆ

a

f(x, y, y′)dx = 0, (7.55)

tai egzistuoja toks daugiklis λ(x), su kuriuo funkcija y(x) yra ekstremalė funkcionalui

bˆ

a

[F (x, y, y′) + λ(x)f(x, y, y′)

]dx. (7.56)

Čia λ(x) yra vadinamasis Lagrange’o daugiklis.

Galime apibendrinti uždavinį ir didesniam skaičiui n > 1 kintamųjų ir funkcijų

J [y1, y2, ..., yn] =

bˆ

a

F (x, y1, y2, ..., yn, y′1, y′2, ..., y

′n)dx (7.57)

bei sąlygų skaičiui m < n:

ϕi(x, y1, y2, ..., yn) = 0, (i = 1, 2, ...,m). (7.58)

Tada naujos funkcijos

F ∗ ≡ F +

m∑

i=1

λiϕi (7.59)

funkcionalas

J∗[y1, y2, . . . , yn] ≡bˆ

a

F ∗dx (7.60)

Nebebus sąlyginis bei tenkins Eulerio lygtis su (7.58) sąlyga:{∂F∗

∂yj− d

dx∂F∗

∂y′j= 0

ϕi = 0.(7.61)

Holonominiai ir neholonominiai sąryšiaiHolonominiai ryšiai – kai sąlygos nepriklauso nuo išvestinių

ϕi = ϕi(x, y1, y2, ..., yn) = 0. (7.62)

Neholonominiai ryšiai – kai

ϕi = ϕi(x, y1, y2, ..., yn, y′1, y′2, ..., y

′n) = 0. (7.63)

Jei turime neholonominius ryšius, tai iš Eulerio–Lagranžo lygties nesąlyginiam funkcionalui

∂F ∗

∂yj− d

dx

∂F ∗

∂y′j= 0 (7.64)

Gausime diferencialines lygtis Lagrange’o daugikliams λ ir λ′x iš nario ∂F∗∂y′j

.

7.5 Stygos svyravimų lygtis ir variacinis principas 99

7.5 Stygos svyravimų lygtis ir variacinis principasRemsimes mažiausio veikimo principu. Veikimo funkcionalas

S =

t2ˆ

t1

Ldt. (7.65)

Čia L = K − V yra Lagrange’o funkcija. Stygos atkarpos x+ dx kinetinė energija

dK =1

2ρ

(∂y(x, y)

∂t

)2

dx, (7.66)

tad kinetinė energija per visą stygos ilgį bus

K =

lˆ

0

1

2ρ

(∂y

∂t

)2

dx. (7.67)

Darbas atliekamas, kai styga pakeičia savo formą. Jo diferiancialinė išraiška:

xl

y

47 pav. Ekstremalė y = y(x, t = 0).

dV = T (ds− dx) = T (√

dx2 + dy2 − dx) = T

√

1 +

(∂y

∂x

)2

− 1

dx (7.68)

Kvadratinę šakni galima suprastinti ją skleidžiant eilute, kadangi√

1 + x2 ≈ 1 + 12x

2. Turė-sime:

dV = T

[1 +

1

2

(∂y

∂x

)2

− 1

]|ddx =

1

2T

(∂y

∂x

)2

dx (7.69)

ir

V =

lˆ

0

1

2T

(∂y

∂x

)2

dx+1

2C1y

2(0, t) +1

2C2y

2(l, t). (7.70)

Čia C1ir C2yra atramos standumo koeficientai. Tada veikimo funkcionalas bus:

S =

t2ˆ

t1

dt

lˆ

0

1

2ρ

(∂y

∂t

)2

dx

]−

lˆ

0

1

2T

(∂y

∂x

)2

dx+1

2C1y

2(0, t) +1

2C2y

2(l, t)

=

t2ˆ

t1

dt

lˆ

0

[1

2ρ

(∂y

∂t

)2

− 1

2T

(∂y

∂x

)2]

dx− 1

2C1y

2(0, t)− 1

2C2y

2(l, t)

.

Pirmoji šio funkcionalo variacija δS turi būti lygi 0:


δS =

t2ˆ

t1

dt

lˆ

0

dx

[1

2ρδ

(∂y

∂t

)2

− 1

2Tδ

(∂y

∂x

)2]− 1

2C1δy

2(0, t)− 1

2C2δy

2(l, t)

=

t2ˆ

t1

dt

lˆ

0

dx

[ρ∂y

∂tδ

(∂y

∂t

)− T ∂y

∂xδ

(∂y

∂x

)]− C1y(0, t)δy(0, t)− C2y(l, t)δy(l, t)

Pasinaudojame variacijos sąvybe, jog išvestinės variacija lygi variacijos išvestinei

δdx

dt=

d

dtδx. (7.71)

Tada

δS =

t2ˆ

t1

dt

lˆ

0

dx

[ρ∂y

∂t

d

dtδy − T ∂y

∂x

d

dxδy

]− C1y(0, t)δy(0, t)− C2y(l, t)δy(l, t)

. (7.72)

Užrašome išvestines integraluose per pilnas laiko ir koordinatės išvestines. Naryje

ρ∂y

∂t

d

dtδy =

d

dt

(ρ∂y

∂tδy

)− ρ∂

2y

∂t2δy (7.73)

pilnoji išvestinė pagal laiką duos nulį, nes ją galime suintegruoti pagal laiką, o rėžiuose t = t1ir t = t2 variacija δy(t) lygi nuliui. Potencinės energijos narį užrašome kaip

T∂y

∂x

d

dxδy =

d

dx

(T∂y

∂xδy

)− T ∂

2y

∂x2δy (7.74)

ir suintegruojame, ką galime:

δS =

t2ˆ

t1

dt

{ lˆ

0

dx

[−ρ∂

2y

∂t2+ T

∂2y

∂x2

]δy(x, t) (7.75)

− T ∂y∂xδy(l, t) + T

∂y

∂xδy(0, t)− C1y(0, t)δy(0, t)− C2y(l, t)δy(l, t)

}

Kadangi δy(t1) = 0, δy(t2) = 0, gauname stygos svyravimo lygtį

ρ∂2y

∂t2= T

∂2y

∂x2(7.76)

ir kraštines sąlygas

T∂y(0, t)

∂x= C1y(0, t) (7.77)

T∂y(l, t)

∂x= −C2y(l, t). (7.78)

Išnagrinėjome bendrą atvejį be sąlygų atramoms. Kai atramos nejuda, C1, C2 →∞:

y(0, t) = 0, y(l, t) = 0. (7.79)

Jei atramos yra minkštos, C1,C2 → 0:

T∂y(0, t)

∂x= 0, T

∂y(l, t)

∂x= 0. (7.80)

7.6 Variaciniai uždaviniai su judamaisiais rėžiais 101

7.6 Variaciniai uždaviniai su judamaisiais rėžiaisPaprastame variaciniame uždavinyje turėjome funkcionalą

J [y(x)] =

x2ˆ

x1

F (x, y, y′)dx (7.81)

ir teigėme, jog kraštinės sąlygos (x1, y1), (x2, y2) nejuda. Tokio uždavinio ekstremumasradome iš Eulerio–Lagranžo lygties ir ekstremalė priklausė nuo 2 laisvų konstantų C1 irC2 (nes buvo 2 eilės diferencialinės lygties sprendinys). Variaciniuose uždaviniuose su ju-damaisiais(varijuojamais) rėžiais pradinių sąlygų (x1, y1), (x2, y2) nebėra. Jei pasiekiamasfunkcionalo ekstremumas kai y = y(x,C1, C2), tai funkcionalą galima nagrinėti šios šeimosfunkcijomis (48 pav.).

y

A(x1, y1)

x

(x2, y2)

C (x2 + δx2, y2 + δy2)

B

DE

F

α

y(x)

y(x,C1, C2)

48 pav. Ekstremalės y = y(x,C1, C2) sudarys pluoštą sprendinių.

Panagrinėkime skirtumus tarp dviejų ekstremalių (48 pav.). Atstumai

DE = δx2, (7.82)BD = δy2|x=x2

, (7.83)FC = δy2 (7.84)BD = FC− EC = EF = δy2|x=x2

(7.85)

Kampui α: kai α ≈ 0,tanα = sinα

cosα≈ sinα

sinα =EC

DC= tanα = y′(x)|x=x2

. (7.86)

Tada DE ≈ DC, todėlDC ≈ δx2 ir

δy2|x=x2= δy2 − δx2y

′(x2) 6= δy2. (7.87)

7.6.1 Formos variacija

Apibrėžkime dviejų ekstremalių skirtumą kaip formos variaciją (49 pav.):

δy(x)| ≡ y(x)− y(x). (7.88)

Koordinačių pakeitimas (50 pav.):x = x(x). (7.89)

Jo variacijaδx = x− x, (7.90)

bendroji variacija

δy(x) = y(x)− y(x). (7.91)

Galime rasti ryšį tarp formos ir bendrosios variacijos:


y

xx1 x2

y(x)

y(x)

49 pav. Formos variacija.

xx1 x2

x

y

x1 x2

x

x(x)

y

50 pav. Nepriklausomo argumento variacija

δy = y(x)− y(x) = y(x)− y(x) + y(x)− y(x) = δy(x)|+ y′(x)δx.

Čia skirtumą y(x)−y(x) užrašėme per koordinatės pokytį, padaugintą iš išvestinės, y′(x)δx,o, skleisdami eilute formos variaciją δy(x)| iki pirmos eilės gauname δy(x)| = δy(x). Taigi,formos variacija lygi

δy| = δy − y′(x)δx (7.92)Skaičiuojame formos variacijos funkcionalą:

δJ =

δx2+x2ˆ

δx1+x1

F (x, y(x), y′(x))dx−x2ˆ

x1

F (x, y(x), y′(x))dx (7.93)

=

x1ˆ

x1+δx1

+

x2ˆ

x1

+

x2+δx21ˆ

x2

F (x, y(x), y′(x))dx−

x2ˆ

x1

F (x, y(x), y′(x))dx

Kandangi integralų intervalai (x1 +x1 + δx1) ir (x2 +x2 + δx2) maži, pointegrines funkcijaslaikome nekintančiomis integralo ribose, tad šie integralai bus lygus F (x1)δx1 ir F (x2)δx2.Pritaikius Euler formulę, gauname

δJ = Fδx|x=x2x=x1

+

x2ˆ

x1

{∂F

∂yδy|+ ∂F

∂y′d

dxδy|}

dx

Iškeliame ddx prieš sandaugą ir suintegruojame:

δJ = Fδx|x=x2x=x1

+

x2ˆ

x1

∂F

∂yδy|dx+

x2ˆ

x1

{d

dx

∂F

∂y′δy| − d

dx

∂F

∂y′δy|}dx (7.94)

= Fδx|x=x2x=x1

+∂F

∂y′δy|x=x2

x=x1+

x2ˆ

x1

{∂F

∂y− d

dx

∂F

∂y′

}δy|dx

Gauname Eulerio–Lagranžo lygtį su kraštinėmis sąlygomis:

∂F∂y − d

dx∂F∂y′ = 0[

Fδx+ ∂F∂y′ (δy − y′δx)

]∣∣∣x=x2

x=x1

= 0,(7.95)

7.7 Ekstremalės su lūžio taškais 103

δy|x2 = y(x2 + δx2)− y(x2) = y′(x2)δx = ϕ′2(x)δx, (7.96)

δy|x1= y(x1 + δx1)− y(x1) = y′(x1)δx = ϕ′1(x)δx. (7.97)

Kraštinės transversalumo sąlygos:

1. Kai δx1 = 0, δx2 6= 0:

{F +∂F

∂y′(ϕ′2 − y′)}|x=x2

= 0, (7.98)

2. Kai δx1 6= 0, δx2 = 0:

{F +∂F

∂y′(ϕ′1 − y′)}|x=x1

= 0. (7.99)

7.7 Ekstremalės su lūžio taškais

y

x

y = ϕ(x)

A(x0, y0)

B(x2, y2)

C(x1, y1)

51 pav. Ekstremalė su lūžio tašku.

Ankstesniuose variacinio skaičiavimo pavyzdžiuose ekstremalė buvo laikoma y = y(x)tolydžia funkcija, tačiau galima spręsti variacinio skaičiavimo uždavinį ir ekstremalei sulūžio tašku. Turime funkcionalą

J =

bˆ

a

F (x, y(x), y′(x))dx (7.100)

Kaip iliustruota 51 pav., reikia rasti tokią minimalaus ilgio kreivę y(x), kuri eitų per taškąA(x0, y0) ir atsispindėjus nuo y = ϕ(x) patektų į tašką B(x2, y2). Taško C aplinkoje buskreivės išvestinės

y′(x− 0) ir y′(x+ 0). (7.101)

Patogu funkcionalą perrašyti

J [y] =

x1ˆ

x0

F (x, y(x), y′(x))dx+

x2ˆ

x1

F (x, y(x), y′(x))dx (7.102)

Skaičiuosime pirmąją variaciją

δJ = δ

x1ˆ

x0

F (x, y(x), y′(x))dx+ δ

x2ˆ

x1

F (x, y(x), y′(x))dx (7.103)

Iš pirmojo (x0 ≤ x < x1) ir antrojo (x1 ≤ x < x2) integralo gaunamos transversalumosąlygos:

[F +∂F

∂y′(ϕ′ − y′)]|x=x1−0δx1 − [F +

∂F

∂y′(ϕ′ − y′)]|x=x1+0δx1 = 0. (7.104)

Iš čia


y

x

y = ϕ(x)

A

B

C

α β2 β1

x1

52 pav. Ekstremalė su lūžio tašku ir liestinėmis taške C.

F (x, y(x1), y′(x1 − 0)) +∂F (x, y(x1), y′(x1 − 0))

∂y′ϕ′(x1)− y′(x1 − 0)) (7.105)

= F (x, y(x1), y′(x1 + 0)) +∂F (x, y(x1), y′(x1 + 0))

∂y′ϕ′(x1)− y′(x1 + 0))

Skaičiuojame funkcionalą:

J =

x1ˆ

x0

A(x, y)√

1 + y′2dx (7.106)

Taikome transversalumo sąlygas∂∂y′√

1 + y′2 = ∂y′

∂y√

1+y′2

A(x, y)[√

1 + y′2 +y′(ϕ′ − y′)√

1 + y′2]|x=x1−0 = A(x, y)[

√1 + y′2 +

y′(ϕ′ − y′)√1 + y′2

]|x=x1+0 (7.107)

Išprastiname A(x, y) 6= 0:

1 + y′2 + y′ϕ′ − y′2√1 + y′2

|x=x1−0 =1 + y′2 + y′ϕ′ − y′2√

1 + y′2|x=x1+0. (7.108)

Iš čia1 + y′ϕ′√

1 + y′2|x=x1−0 =

1 + y′ϕ′√1 + y′2

|x=x1+0. (7.109)

Apibrėžiame atspindžio kampus (52 pav.):

ϕ′(x1 + 0) = ϕ′(x1 − 0)− ϕ′(x1) = tanα, (7.110)y′(x1 − 0) = tanβ1, (7.111)y′(x1 + 0) = tanβ2. (7.112)

Gauname:

1 + tanβ1 tanα√1 + \tanβ1

=1 + tanβ2 tanα√

1 + tg2β2

(7.113)

1 + tanβ1 tanα√1

cos β1

=1 + tanβ2 tanα√

1cos β2

(7.114)

cosβ1 + sinβ1 tanα = cosβ2 + sinβ2 tanα (7.115)cosβ1 cosα+ sinβ1 sinα = cosβ2 cosα+ sinβ2 sinα (7.116)

cos(α− β1) = cos(α− β2) (7.117)

Gauname, kad β1 = β2. Atspindžio ir kritimo kampai lygūs.

7.7 Ekstremalės su lūžio taškais 105

7.7.1 Funkcionalas su kraštiniais taškais

J [y] =

x1ˆ

x0

F (x, y(x), y′(x))dx+

x2ˆ

x1

F (x, y(x), y′(x))dx (7.118)

Tegul kraštinė ekstremalė turi 1 kampinį tašką (53 pav.)

y

x

A(x0, y0)

B(x2, y2)

C(x1, y1)

C(x1 + δx1, y1 + δy1)

53 pav. Funkcionalas su kraštiniais taškais.

C gali slankioti. x1yra kampinio taško abscisė.

δJ = (F − ∂F

∂y′y′)|x=x1−0δx1 +

∂F

∂y′|x=x1−0δy1 (7.119)

= (F − ∂F

∂y′y′)|x=x1+0δx1 +

∂F

∂y′|x=x1+0δy1,

o turėjome

Fδx+∂F

∂y′(δy − y′δx)}|x=x2

x=x1= 0 (7.120)

–

Weierstrasso–Erdmanno sąlygaKarl Weierstrass(1815–1897) Vokiečiųmatematikas.G. Erdmann Vokiečiųmatematikas

δx1 6= 0, δy1 = 0:

(F − y′F ′y′)|x=x1−0 = (F − y′F ′y′)|x=x1+0 (7.121)

δx1 = 0, δy1 6= 0:∂F

∂y′|x=x1−0 =

∂F

∂y′|x=x1+0 (7.122)

Šios sąlygos yra pakankamos sąlygos norint įrodyti, jog egzistuoja kampas analizuojamojeekstremalėjs atkarpoe. Jei kampas egzistuoja – dalinės išvestinės kampo aplinkoje turi būtitolygios.

106 RODYKLĖ

Rodyklė

Aamplitudinis spektras, 54analizinė funkcija, 33, 34, 55, 59analizinis tęsinys, 35apibendrintoji koordinačių sistema, 7asimptotinė vertė, 49atskirasis sprendinys, 27atvirkštinė Fourier transformacija, 56

Bbalno taškas, 50bendrasis sprendinys, 32Besselio lygtis, 82brachistochrono uždavinys, 89būtina funkcionalo ekstremumo sąlyga, 92

CCauchy integralinė formulė, 39, 70Cauchy teorema, 37Cauchy–Riemanno sąlygos, 49charakteringoji lygtis, 23cikloidė, 90cilindrinė koordinačių sistema, 10

Dd’Alembert formulė, 76dažnio poslinkio teorema, 62de l’Hopitalio taisyklė, 50del operatorius, 10dešininė koordinačių sistema, 7Descartes’o koordinačių sistema, 8diferencialinė lygtis, 19

antros eilėshomogeninė, 23nehomogeninė, 24tiesinė, 22

paprastoji, 19pirmos eilės, 19

homogeninė, 21diferencialinės lygties

eilė, 19integralas, 19sprendinys, 19

diferencialinių lygčių sistema, 29homogeninė, 30tiesinė, 30

difuzijos koeficientas, 69difuzijos lygtis, 69Diraco δ funkcija, 47, 69Dirichlet uždavinys, 76divergencija

cilindrinė koordinačių sistema, 12Descartes’o koordinačių sistema, 10sferinė koordinačių sistema, 14

dvilypio integralo funkcionalas, 94

Eekstremalė, 93ekstremumo taškas, 89eliminavimo metodas, 29Eulerio formulė, 26, 33Eulerio lygtis, 93Eulerio metodas, 31Eulerio–Ostrogradskio lygtis, 95Eulerio–Poissono lygtis, 94

Ffaktorialas, 50fazinis spektras, 54Fourier eilutė, 53Fourier integralas, 54Fourier koeficientai, 53Fourier transformacija, 69Fourier vaizdas, 53, 56, 60fundamentalieji sprendiniai, 23funkcijos asimptotika, 49funkcinė erdvė, 90funkcionalas, 89, 90funkcionalo variacija, 91

Gglobaliai glodi kreivė, 36glodi kreivė, 36gradientas


gradiento operatorius, 10gravitacijos jėga, 65Greeno funkcija, 26

HHamiltono funkcija, 96

RODYKLĖ 107

Heaviside’o funkcija, 46, 60holonominiai ryšiai, 98

Iilgio elementas, 65išorinė jėga, 65integralinė suma, 37integralinė transformacija, 53, 59integralo asimptotinė vertė, 49integravimo tvarkos keitimas, 63integruojamojo darinio metodas, 29įtempimo jėga, 65izometrinis uždavinys, 97

Jjudėjimo lygtis, 66

Kkintamųjų atskyrimo metodas, 19, 67kintamųjų pakeitimo metodas, 20kompleksiškai jungtinis, 33komutatyvumas, 63konservatyvi jėga, 68konstantų varijavimo metodas, 19, 21, 24, 31konvergavimas, 56koordinatinė kreivė, 8koordinatinis paviršius, 8kosinusinė transformacija, 53Kroneckerio delta, 7, 79

LLagrange’o daugiklių metodas, 97Lagrange’o funkcija, 96, 99Lagrange’o metodas, 24Lamé koeficientai, 9Laplace’o operatorius


Laplace’o transformacija, 59, 69Laplace’o vaizdas, 61Laplace’o vaizdo išvestinė, 64Laplace’o vaizdo integralas, 64Laurento eilutė, 39Liouville’io formulė, 24lyginė funkcija, 48

Mmasteliavimo koeficientai, 9mažiausio veikimo principas, 96, 99

Nnabla operatorius, 10neapibrėžtųjų koeficientų metodas, 25neholonominiai sąryšiai, 98nepriklausomi pirmieji integralai, 29netrivialusis sprendinys, 32Newtono lygtis, 65normuotumas, funkcijų, 83

Oortai, 7

ortogonalumasfunkcijų, 83vektorių, 7

ortonormuotumas, 7

Ppagrindinė variacinio skaičiavimo lema, 92pagrindinis tonas, 68paprastoji diferencialinė lygtis, 66periodinė funkcija, 55, 62

Rreziduumas, 41, 70Riemanno–Mellino formulė, 60, 67rotorius


SSchrödingerio lygtis, 82sferinė koordinačių sistema, 13sinusinė transformacija, 54skaliarinė sandauga, 7sąlyginis ekstremumas, 89sąsūka, 58, 63slankusis rėžis, 89spektras

amplitudinis, 54fazinis, 54

spektrinė funkcija, 54Stirlingo formulė, 50Sturmo–Liouville’io lygtis, 82styga, 65svyravimas

dažnis, 68energija, 68fazė, 68lygtis, 66

svyravimo moda, 68

TTayloro eilutė, 39, 74tikrinė funkcija, 82tikrinės vertės, 82tikrinių verčių uždavinys, 82tolydi kreivė, 36tolydžiai diferencijuojama funkcija, 20transformacija

Fourier, 53Fourier ir Laplace’o sąryšis, 59integralinė, 53kosinusinė, 53Laplace’o, 59, 69sinusinė, 54

transformacijos branduolys, 53trivialusis sprendinys, 32

Uuždara kreivė, 36

108 RODYKLĖ

Vvariacija, 90variacinis skaičiavimas, 89veikimas, 96vektorinė funkcija, 7vektorinė lygtis, 30vektorinė sandauga, 7vėlavimo teorema, 61vėluojanti funkcija, 61Viete teorema, 24virštonis, 68

WWeierstrasso–Erdmanno sąlyga, 105Wronskio determinantas, 23

LITERATŪRA 109

Literatūra

[1] G. B. Arfken, H. J. Weber, Mathematical Method for Physicists. 5th Ed. (Academic Press, 2001).

[2] M. L. Boas, Mathematical Method in the Physical Sciences. 2nd Ed. (John Wiley & Sons, 1983).

[3] S. Y. Buhmann, Analytical Method for Integrals and Differential Equations (lecture notes)(http://qols.ph.ic.ac.uk/ sbuhmann/docs/lectures/).

[4] J. H. Heinbockel, Introduction to Complex Variables (Trafford Publishing, 2007).

[5] J. H. Heinbockel, Introduction to the Variatonal Calculus (Trafford Publishing, 2007).

[6] K. B. Howell, The Transforms and Applications Handbook. 2nd Ed. (CRC Press LLC, 2000).

[7] B. R. Kusse, E. A. Westwig, Mathematical Physics. Applied Mathematics for Scientists and Engineers. 2nd Ed.(Wiley-VCH Verlag, Weinheim, 2006).

[8] V. Pekarskas, Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas (KTU leidykla "Technologija", 2003).

[9] R. Snieder, A Guided Tour of Mathematical Physics (Samizdat Press, 1994).

Documents

Matematinės fizikos lygtys. Konspektas