Embed Size (px)
Citation preview
Matemàtiques Egípcies
Jaume Solsona Villaplana
Desenvolupament de la Matemàtica a Egipte.
Papirs Rhind i de Moscou.
Numeració egípcia.
Aritmètica egípcia.
Fraccions egípcies.
Operacions amb fraccions.
Resolució d’equacions.
Trigonometria egípcia.
Unitats de mesura i capacitat.
Geometria egípcia.
Progressions aritmètiques i geomètriques.
Bibliografia.
Índex
Desenvolupament de les Matemàtiques a Egipte
• En gran part, els egipcis,
van desenvolupar la seva
destresa matemàtica per la
necessitat de d’haver de
distribuir les terres any
rere any després de les
inundacions del riu Nil.
• Els agrimensors egipcis
es veien obligats a
reconstruir els llindars de
les terres que les
inundacions del Nil feien
malbé.
Papirs Rhind i de Moscou
Papir Rhind: Consta de 87 problemes.
Papir de Moscou: Consta de 25 problemes.
Papir Rhind Problema Temàtica
1 al 6 Repartiment d’1, 2, 6, 7, 8 i 9 pans entre 10 homes.
7 al 20 Multiplicació de fraccions.
21 al 23 Restes.
24 al 27 Equacions resoltes per Regula Falsi.
28 i 29 Cerca de nombres.
30 al 34 Equacions lineals més complexes resoltes amb divisions.
35 al 38 Equacions lineals més complexes resoltes amb Regula Falsi.
39 i 40 Progressions aritmètiques.
41 al 46 Volums.
47 Taula de fraccions d’un heqat en fraccions d’ull d’Horus.
48 al 55 Àrees de triangles, rectangles, trapezis i cercles.
56 al 60 Pendents, altures i bases de piràmides.
61 Taula d’una regla per trobar els 2/3 de nombres senars i fraccions.
62 Pes de metalls preciosos.
63 Repartiments proporcionals.
64 Progressió aritmètica.
65-68 Repartiments proporcionals.
69-78 Intercanvis, proporció inversa i càlcul del pesu.
79 Progressió geomètrica
80 i 81 Taules de fraccions de canvi d’unitats de mesura.
82-87 Problemes poc clars, el 85 apareix al revés.
Va ser escrit, en hieràtic, per l’escriba
Ahmes aproximadament en el 1650 a.C. a
partir d’escrits 200 anys més antics.
L’any 1858 va ser adquirit, en Luxor, per
l’egiptòleg escocès Henry Rhind.
Actualment es conserva al Museu
Britànic.
El papir té una longitud d’uns 6 metres, i
33 cm d’amplada. Representa la millor
font d’informació sobre matemàtica
egípcia que es coneix. Comença així:
"Càlcul exacte per comprendre el
coneixement de totes les coses existents i
de tots els obscurs secrets i misteris".
Papir de Moscou És un papir egipci datat del 1890 aC.
Juntament amb el papir Rhind és el
document matemàtic més important de
l’Antic Egipte.
També se’l coneix com a papir de
Golesnichev perquè va ser ell qui el va
comprar l’any 1883. El 1912 el papir va ser
adquirit pel Museu de Belles Arts de Moscou
i passà a anomenar-se papir de Moscou.
Té 5 metres de llarg i 8 cms d’ample.
Problema Temàtica
1 al 2 Il·legibles.
3 Altura d’un pal de fusta.
4 Àrea d’un triangle.
5 «Pesus» de barres i pa.
6 Àrea del rectangle.
7 Àrea d’un triangle.
8 i 9 «Pesus» de barres i pa.
10 Àrea d’una superfície corba.
11 «Barres i cistells» (?).
12 «Pesu» de cervesa.
13 «Pesu» de barres i cervesa.
14 Volum d’una piràmide truncada.
15-16 «Pesu» de cervesa.
17 Àrea d’un triangle.
18 Mesures en palms i colzes.
19 Equació lineal.
20 Fraccions d’Horus.
21 Mescla de pa per una ofrena sacrificatòria.
22 «Pesus» de barres i cervesa.
23 Càlcul del treball d’un sabater. Obscur.
24 Intercanvis.
25 Equació 2x + x = 9.
Numeració Egípcia • Els egipcis feien servir dos tipus
d’escriptura: L’escriptura jeroglífica o
sagrada i l’escriptura hieràtica.
• L’escriptura jeroglífica, paraula que
literalment significa esculpit, però que
per als egipcis significava «expressió de
la paraula dels déus». És la que es feia
servir en totes les inscripcions que
s’han trobat en els seus monuments.
• L’escriptura hieràtica es deriva de la
jeroglífica i és la que feien servir els
escribes a l’escriure sobre papir.
• A partir d’aquí es deriven dues formes
de numeració: la numeració jeroglífica i
la numeració hieràtica.
Numeració Jeroglífica
L’existència de sistemes de numeració a l’antic
Egipte data del 3000 aC. El seu desenvolupament
social i econòmic feia necessari utilitzar i
memoritzar massa quantitats per confiar-les
només a la numeració oral.
Es dotaren, per tant, d’una escriptura numèrica
additiva basada en el sistema decimal.
Cada símbol representa una quantitat que
s’afegeix als altres per formar el nombre desitjat.
Normalment els símbols s’escrivien de dreta a
esquerra.
La maça del rei Narmer (III Mil·lenni a.C.)
És, pot-ser , el primer testimoni de la representació de grans quantitats en la
història egípcia. Representa un botí de guerra:
400.000 toros 1.422.000 cabres 120.000 presoners
Numeració Hieràtica
Es tracta d’un sistema de
numeració additiu a l’igual
que el jeroglífic.
Cada símbol representa
una quantitat diferent que
s’afegeix als altres per
formar el nombre desitjat.
Els símbols s’escrivien de
dreta a esquerra.
Aritmètica Egípcia
SUMA
Per sumar, els egipcis simplement
ajuntaven les dues quantitats i si, per
exemple, el nombre de símbols de les
unitats era superior a deu aleshores
substituïen els deu símbols de la unitat
pel símbol de les desenes.
RESTA
Com que no coneixien els nombres
negatius, el minuend sempre tenia que
ser major que el subtrahend. Si els
faltaven unitats en el minuend les treien
de la unitat superior.
Aritmètica Egípcia PRODUCTE
Per fer productes, als egipcis no els hi calien taules de multiplicar. Es
basaven, sobretot, en la seva gran capacitat per duplicar i sumar.
Per exemple, per multiplicar 12 x 15 feien el següent:
1 15
2 30
4 60
8 120
4 + 8 = 12 60 + 120 = 180
Per tant 12 x 15 és igual a 180.
Aritmètica Egípcia DIVISIÓ
El mètode emprat pels egipcis a l’hora de dividir és molt semblant al que
fan servir per multiplicar. Per exemple, al problema 69 del papir Rhind
s’efectua la divisió de 1120 entre 80, que dóna 14:
1 80
10 800
2 160
4 320
10 + 4 = 14 800 + 320 = 1120
Traduït a la nostra manera d’escriure
seria el que veiem a la taula adjunta.
Observem que per accelerar el procés de
la divisió dupliquen, i també
multipliquen per 10.
L’ull d’Horus Horus, fill d’Osiris e Isis, era el déu falcó
dels egipcis i protector dels faraons. Per
venjar al seu pare va lluitar contra Seth, i
en una d’aquestes lluites Seth li arrencà un
ull a Horus i en va fer sis bocins.
Cada part d’aquest ull és el símbol d’una
fracció amb numerador la unitat i
denominador, una potència de dos.
Per què feien servir fraccions unitàries?
La raó és purament pràctica. Els egipcis estaven acostumats a repartir
racions de pa o de cervesa entre quadrilles de treballadors. I la manera més
pràctica de repartir les racions de manera que les parts no quedin massa
esmicolades acostuma a ser fent servir fraccions unitàries.
Suposem que volem repartir 3 pans entre 5 persones. A continuació veiem
dues formes d’efectuar la repartició. Si ens haguessin de donar els trossos
que ens toquen, amb tota seguretat, preferiríem la manera egípcia de fer el
repartiment.
La fracció ⅔
Taula del Recte del papir Rhind
2/3 = 1/2 + 1/6 2/53 = 1/30 + 1/318 + 1/795
2/5 = 1/3 + 1/15 2/55 = 1/30 + 1/330
2/7 = 1/4 + 1/28 2/57 = 1/38 + 1/114
2/9 = 1/6 + 1/18 2/59 = 1/36 + 1/236 + 1/531
2/11 = 1/6 + 1/66 2/61 = 1/40 + 1/244 + 1/488 + 1/610
2/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104 2/63 = 1/42 + 1/126
2/15 = 1/10 + 1/30 2/65 = 1/39 + 1/195
2/17 = 1/12 + 1/51 + 1/68 2/67 = 1/40 + 1/335 + 1/536
2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114 2/69 = 1/46 + 1/138
2/21 = 1/14 + 1/42 2/71 = 1/40 + 1/568 + 1/710
2/23 = 1/12 + 1/276 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365
2/25 = 1/15 + 1/75 2/75 = 1/50 + 1/150
2/27 = 1/18 + 1/54 2/77 = 1/44 + 1/308
2/29 = 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232 2/79 = 1/60 + 1/237 + 1/316 + 1/790
2/31 = 1/20 + 1/124 + 1/155 2/81 = 1/54 + 1/162
2/33 = 1/22 + 1/66 2/83 = 1/60 + 1/332 + 1/415 + 1/498
2/35 = 1/30 + 1/42 2/85 = 1/51 + 1/255
2/37 = 1/24 + 1/111 + 1/296 2/87 = 1/58 + 1/174
2/39 = 1/26 + 1/78 2/89 = 1/60 + 1/356 + 1/534 + 1/890
2/41 = 1/24 + 1/246 + 1/328 2/91 = 1/70 + 1/130
2/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301 2/93 = 1/62 + 1/186
2/45 = 1/30 + 1/90 2/95 = 1/60 + 1/380 + 1/570
2/47 = 1/30 + 1/141 + 1/470 2/97 = 1/56 + 1/679 + 1/776
2/49 = 1/28 + 1/196 2/99 = 1/66 + 1/198
2/51 = 1/34 + 1/102 2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606
El Recte del Papir Rhind
Operacions amb fraccions egípcies
SUMA (1)
Per sumar fraccions, els egipcis
simplement ajuntaven les dues
quantitats i si, per exemple,
algunes fraccions sumaven la
unitat, superaven la unitat o la
suma d’algunes fraccions es podia
expressar de forma més
simplificada feien la substitució i
prou.
De vegades, quan la suma era
complicada feien servir els
anomenats nombres auxiliars
vermells.
Operacions amb fraccions egípcies
SUMA (2)
De vegades, quan la suma era
complicada feien servir els
anomenats nombres auxiliars
vermells.
Aquests nombres auxiliars
vermells són, per expressar-ho en
llenguatge actual, una mena de
comú denominador com el que
fem servir nosaltres quan operem
amb fraccions.
Veiem-ne un exemple extret del
problema 37 del papir Rhind.
Operacions amb fraccions egípcies
RESTA
Per restar fraccions, els egipcis
normalment feien servir els
anomenats nombres auxiliars
vermells.
Com s’ha explicat abans, en el cas
de la suma, els nombres auxiliars
vermells són una mena de comú
denominador com el que estem
acostumats a fer servir nosaltres
quan sumem o restem fraccions.
Veiem-ne un exemple extret del
problema 22 del papir Rhind.
Operacions amb fraccions egípcies PRODUCTE
Per multiplicar fraccions egípcies feien servir la propietat distributiva de la
suma respecte del producte i després sumaven tots els resultats parcials que
anaven trobant. Al problema 24 del papir Rhind, Ahmes efectua la
multiplicació 2 ¼ ⅛, per 7, que dóna: 16 ½ ⅛.
1 2 ¼ ⅛
2 4 ½ ¼
4 9 ½
7 16 ½ ⅛
Operacions amb fraccions egípcies DIVISIÓ ENTERA NO EXACTA
Quan la divisió entre dos nombres enters no és exacte aleshores el quocient
l’expressaven com la part entera més la part fraccionària.
Tenim un exemple d’això en el problema 70 del papir Rhind, on l’escriba
efectua la divisió de 2520 entre 100.
Per tant 2520 entre 100 dóna 25 1/5.
1 100
10 1000
20 2000 /
5 500 /
1/5 20 /
25 1/5 2520
Operacions amb fraccions egípcies
.
Suma 1
Resolució d’equacions Papir Rhind – Problema 24
«Una quantitat més la seva setena part sumen 19. ¿Quina és aquesta quantitat?».
Actualment resoldríem aquest problema amb l’equació: x + x/7 = 19.
Ahmes resol per Regula Falsi. Parteix d’un valor inicial fals, el 7, i calcula 7 + 7/7 =8.
Per resoldre el problema cal multiplicar el valor trobat, 2 ¼ ⅛, per 7, que dóna: 16 ½ ⅛.
1 2 ¼ ⅛
2 4 ½ ¼
4 9 ½
7 16 ½ ⅛
Per tant la solució del problema és: 16 ½ ⅛.
1 7
1/7 1
1 1/7 8
Per trobar la solució divideix 19 entre 8 1 8
2 16
½ 4
¼ 2
⅛ 1
2 ¼ ⅛ 19
Resolució d’equacions Papir de Moscou – Problema 19
«Una quantitat més la seva meitat més 4 dóna 10. ¿Quina és aquesta quantitat?».
Bibliografia Llibres:
Las Matemàtiques en el Antiguo Egipto, 2a Edició. Carlos Maza Gómez. Colección de Divulgación
Científica, Universidad de Sevilla.
Historia de las Matemáticas I. Jean Paul Collette. Siglo XXI de España Editores S.A.
Astronomía y Matemáticas en el Antiguo Egipto. Ángel Sánchez Rodríguez. Alderabán Ediciones.
Adreces web:
http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/
http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates67/opciones/investigaciones%20matematicas%200
607/matematicas%20en%20egipto/matematicas%20en%20egipto.htm
http://www.xtec.cat/~smargeli/nombres/algoris/egipmult.htm
http://personal.us.es/cmaza/egipto/aritmetica.htm
http://www.egiptologia.com/sociedad-tecnica-y-cultura/614-el-manejo-de-numeros-fraccionarios-las-
matematicas-egipcias-y-la-tabla-del-recto-del-papiro-rhind.html
http://www.egiptologia.com/todo-sobre-las-piramides/87-clasificacion-por-la-inclinacion-de-sus-caras/697-
grupo-5-angulos-en-torno-a-los-53-seked-5.html
http://www.egiptomania.com/ciencia/matematicas.htm
http://www.math.tamu.edu/~don.allen/history/egypt/node4.html
http://www.malhatlantica.pt/mathis/Egipto/Rhind/Rhind.htm
http://www.bbc.co.uk/ahistoryoftheworld/objects/y1T3knf-T66RwWyEt_cZBw
